LUCRAREA NR. 1

MATLAB PREZENTARE GENERAL

Introducere MATLAB este un limbaj foarte performant utilizat n diferite domenii ce necesit calcule

laborioase, care combin ntr-un mediu uor de utilizat puterea de calcul, vizualizarea i programarea, problemele i soluiile acestora fiind exprimate ntr-o form matematic familiar. Este utilizat n rezolvarea problemelor ce necesit:

- calcule matematice; - dezvoltarea algoritmilor; - modelare i simulare; - analiza datelor i vizualizarea lor; - grafice tiinifice i inginereti; - dezvoltarea de aplicaii incluznd construirea de interfee grafice pentru utilizatori etc.

MATLAB este un sistem interactiv al crui element de baz este un tablou a crui dimensiune nu este necesar s fie specificat. Acest lucru permite rezolvarea un probleme tehnice de calcul foarte complicate ntr-un timp mult mai scurt dect cel necesar ntr-un limbaj scalar neinteractiv cum este limbajul PASCAL sau limbajul C. MATLAB-ul prezint familii de soluii cu aplicaii specifice numite TOOLBOXES. Acestea permit nvarea i aplicarea unor tehnologii specializate i constau din colecii de funcii MATLAB ce extind mediul MATLAB pentru rezolvarea unor clase specifice de probleme. Domeniile n care toolbox-urile sunt disponibile include procesarea semnalelor, sistemele automate, reelele neuronale, logica fuzzy, simulri, achiziii de date, baze de date i multe altele.

Sistemul MATLAB const din cinci pri principale:

Mediul de lucru este un set de instrumente i faciliti necesare n utilizarea funciilor i fiierelor MATLAB. Multe din aceste instrumente sunt interfee utilizator grafice, aa numitele GUI (graphical user interfaces). El include desktop-ul MATLAB, fereastra de comand (Command Window), o istorie a comenzilor i browsere pentru HELP, WORKSPACE (spaiul de lucru), fiiere i ci de cutare. Biblioteca de funcii matematice MATLAB este o colecie vast de algoritmi de calcul ncepnd de la funcii elementare cum ar fi sum, sinus, cosinus etc., i pn la funcii foarte complexe cum ar fi calculul valorilor proprii, funcii Bessel sau transformata Fourier rapid. Limbajul MATLAB este un limbaj de nivel nalt, orientat pe obiecte, avnd ca element de baz tabloul. Poate fi utilizat att pentru aplicaii mici, mai puin importante ct i pentru aplicaii foarte complexe. Manipulatorul grafic este sistemul grafic al MATLAB-ului ce cuprinde comenzi de nivel nalt pentru vizualizarea datelor n plan sau n spaiu, procesarea imaginilor, animaie i prezentare grafic. Interfaa program pentru aplicaii este o bibliotec ce permite scrierea de programe n C sau FORTRAN i care interacioneaz cu MATLAB-ul. Pentru lansarea n execuie a MATLAB-ului se d dublu clic pe icoana shortcut din desktop-ul WINDOWS. Dup lansare pe ecran apare desktop-ul MATLAB ce conine instrumentele (interfee grafice) pentru lucrul cu fiiere, variabile i aplicaii asociate MATLAB-ului, prezentat n figura urmtoare:

1

Vizualizare i modificare director

curent

Documentaie, demo-uri i instrumente MATLAB

Fereastra de comand unde se introduc

funciile MATLAB HELP

Comutare n spaiul de

lucru

Istoria comenzilor

utilizate

Pentru a lucra cu MATLAB-ul este necesar nelegerea urmtoarelor aspecte: Workspace (spaiul de lucru) este setul de variabile ce sunt pstrate n memorie n timpul

unei sesiuni de lucru. Se poate folosi browser-ul Workspace din meniul VIEW pentru a vizualiza aceste variabile.

Search path (calea de cutare) sunt directoarele n care MATLAB-ul caut fiierele ce trebuie executate precum i funciile folosite de acestea.

Lucrul cu fiierele se realizeaz folosind browser-ul Current Directory sau funciile echivalente.

Setarea directorului curent i a cilor de cutare Lucrul cu fiiere n MATLAB se realizeaz utiliznd directorul curent i cile de cutare ca

ferin. Orice fiier pentru a putea fi rulat trebuie s se afle n directorul curent sau cutare. Din meniul Current Directory poate fi modificat directorul de lucru. Pentru ei noi ci de cutare se selecteaz comanda Set Path. . . din meniul FILE. De t fi utilizate o serie de comenzi pentru setarea sau obinearea unei ci de cutare. puncte de rentr-o cale deadugarea unasemenea po

Acestea sunt urmtoarele:

2

path - afieaz cile de cutare n care se poate afla fiierul ce trebuie rulat path newpath - modific calea de cutare pentru a utiliza acele directoare indicate de newpath path(path,'newpath') adaug o nou cale de cutare la cele existente p = path(...) returneaz calea specificat ntre paranteze n variabila p

Fereastra de comand Command Window (fereastra de comand) este principalul mod de comunicare cu

MATLAB-ul. Este utilizat pentru a rula funcii MATLAB (denumite i comenzi), a introduce variabile i de a realiza operaii MATLAB. Pentru a vizualiza fereastra de comand se selecteaz comanda Command Window din meniul VIEW.

Prompterul (

Lucrul cu tablouri n MATLAB Tabloul bidimensional (matricea) este elementul de baz al MATLAB-ului. Exist foarte

multe operaii cu tablouri definite n MATLAB. Iat cteva dintre ele: Crearea unui tablou: Urmtoarele instruciuni: u = [3; 1; 4] v = [2 0 -1] A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] s = 7 creeaz un vector coloan, un vector linie, o matrice 3x3 i un scalar: u = 3 1 4 v = 2 0 -1 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 10 s = 7 Adunarea i scderea a dou matrici impun restricia ca cele dou tablouri s aib aceleai

dimensiuni, n caz contrar aprnd urmtorul messaj de eroare: Error using ==> + Matrix dimensions must agree Forma instruciunilor este urmtoarea: X = A + B Y = X A Produsul a dou matrici este reprezentat de un asterix: X = A*B iar transpusa unei matrici printr-un apostrof: X=A. Matricea unitate este obinut cu instruciunea eye(m,n) unde m este numrul de linii i n

numrul de coloane. Rangul, determinantul i inversa unei matrici sunt date de instruciunile rank(A), det(A) i respectiv inv(A).

Calculul valorilor proprii i al polinomului caracteristic pentru o matrice se face cu instruciunile: eig(A), poly(A)

Pentru afiarea grafic a unor rezultate trebuie utilizat funcia plot(x, y) unde x i y sunt doi vectori de dimensiuni egale, x axa absciselor, y axa ordonatelor.

Se pot terge rnduri sau coloane dintr-o matrice utiliznd o pereche de paranteze drepte. Dac, de exemplu, X este o matrice 4x4: X = 16 3 2 13 5 3 11 8 9 3 7 12 4 3 14 1 Atunci pentru a terge a dou coloan a lui X se utilizeaz expresia : X(:,2) = [] Matricea obinut este urmtoarea:

4

X = 16 2 13 5 11 8 9 7 12 4 14 1 MATLAB are patru funcii care genereaz matrici de baz: zeros (genereaz o matrice de

zerouri), ones (genereaz o matrice n care toate elementele au valoarea 1), rand (genereaz o matrice de numere aleatoare distribuite uniform ntre 0 i 1) i randn (genereaz o matrice de numere aleatoare normal distribuite).

Uneori este necesar ca unele operaii cu tablouri s se fac element cu element. Adunarea i scderea sunt la fel ca n cazul matricilor obinuite, ns operaiile multiplicative sunt diferite. MATLAB-ul utilizeaz un punct n faa semnului obinuit pentru operaia ce trebuie executat.

Aceste operaii sunt urmtoarele: + Adunarea - Scderea .* nmulirea element cu element ./ mprirea element cu element .\ mprirea la stnga element cu element .^ Ridicarea la putere element cu element .' Transpunerea unei matrici fr conjugare De exemplu, dac avem urmtoarea matrice: A = 3 3

3 3 atunci operaia A*A va da rezultatul: ans = 18 18 18 18 iar operaia A .* A va da rezultatul: ans = 9 9

9 9 Matricile i scalarii pot fi combinai n cteva moduri. Astfel, un scalar poate fi sczut

dintr-o matrice prin scderea din fiecare element al matricii. B = A - 8.5 Dac dorim s dm o valoare oarecare anumitor elemente dintr-o matrice, se poate folosi

expresia urmtoare: B(1:2,2:3) = 0

care face zero elementele de la intersecia liniilor 1 i 2 cu coloanele 2 i 3 B = 7.5 0 0 4.5 -3.5 0 0 -0.5 0.5 -2.5 -1.5 3.5 -4.5 6.5 5.5 -7.5 Funcia find determin indicii elementelor unui tablou care ndeplinesc o anumit condiie.

Expresia k = find(X) returneaz indicii elementelor diferite de zero din matricea X. Sau k = find(isprime(A))' determin poziiile elementelor prime din matricea A.

5

TEM:

1. S se creeze un director de lucru n care se vor salva fiierele create la laborator. 2. S se deschid un fiier de tipul diary n care s fie nregistrate toate comenzile i rezultatele

sesiunii de lucru. 3. S se realizeze un program pentru calculul sumei, diferenei i produsului a dou matrici. 4. S se realizeze un program care calculeaz rangul, determinantul, inversa, valorile proprii i

polinomul caracteristic ale unei matrici. 5. Folosind instruciunea help nume_instruciune s se determine sintaxa instruciunilor FOR, IF,

WHILE, SWITCH i s se realizeze un program care calculeaz suma elementelor unei matrici 4x4.

6. S se realizeze un program pentru rezolvarea unui sistem de trei ecuaii liniare cu trei necunoscute.

7. S se realizeze un program pentru calculul normei unui vector. 8. S se realizeze un program care calculeaz produsul scalar a doi vectori. 9. S se traseze grafic funciile sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan) i arctangent (atan). 10. S se realizeze un program pentru calculul numerelor prime mai mici de 1000. 11. S se genereze 1000 de numere aleatoare ntre 0 i 10 i s se calculeze media acestora. 12. S se realizeze un program pentru calculul lui n! 13. Folosind funcia polyval i polyvalm s se realizeze un program care calculeaz valoarea unui

polinom ntr-un punct i valoarea unui polinom ce are ca argument o matrice. De asemenea s se calculeze rdcinile polinomului folosind funcia roots.

14. S se realizeze un program care calculeaz produsul a dou polinoame.

6

LUCRAREA NR. 2

CALCULUL SIMBOLIC N MATLAB

n MATLAB pot fi efectuate n mod simbolic o serie de calcule matematice cum ar fi calculul unor derivate, integrale, limite sau serii Taylor; n cadrul algebrei liniare determinarea inversei, valorilor proprii, determinantului sau descompunerii unei matrici simbolice, metode de simplificare a expresiilor algebrice, rezolvarea simbolic i numeric a ecuaiilor algebrice i difereniale, funcii speciale .a.

Toolbox-ul Symbolic Math definete un nou tip de date MATLAB numite obiecte simbolice. Un obiect simbolic este o structur de date de tip ir de caractere ce reprezint simbolul utilizat pentru a reprezenta o variabil, o expresie matematic sau o matrice.

Crearea de variabile i expresii simbolice Pentru construirea de variabile i expresii simbolice se utilizeaz comanda sym. De exemplu,

comenzile: a = sym('alpha') xb= sym('beta')

creeaz o variabil simbolic a care este tiprit pe ecran alfa i o variabil simbolic b ce este tiprit beta. Dac se d comanda a+b, rspunsul va fi:

ans = alfa+beta

n acelai mod se procedeaz n cazul expresiilor matematice. De exemplu, dac dorim s

reprezentm simbolic o expresie n care apare raportul: 2

5+1 , atunci utilizm comanda: r=sym('(1+sqrt(5))/2')

Acum pot fi efectuate diferite calcule matematice utiliznd variabila r. Spre exemplu, relaia: f=r^2-r-1

returneaz rspunsul: f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2) Dac se d comanda: simplify(f) se obine valoarea 0. S presupunem c dorim s studiem funcia ptatic: f=ax2+bx+c. Comanda f = sym('a*x^2+b*x+c')

asigneaz expresia simboic ax2 + bx + c variabilei f. n acest caz ns nu se creeaz variabile corespunztoare termenilor a, b, c i x. Pentru a putea efectua opeaii matematice cu aceast expresie trebuie create variabilele n mod explicit, adic:

a = sym('a') b = sym('b') c = sym('c') x = sym('x')

sau mai simplu: syms a b c x (care este mai recomandat deoarece este mai puin de scris). Conversiile numerice Considerm urmtoarea mrime constant: t = 0.1 Funcia sym are patru opiuni pentru o reprezentare simbolic a valorii numerice aflate n t.

Acestea sunt urmtoarele: - opiunea f : sym(t,'f')

returneaz o reprezentare simbolic n virgul mobil:

1

'1.999999999999a'*2^(-4) - opiunea r : sym(t,'r')

returneaz forma raional a numrului 1/10 (aceasta este setarea implicit a funciei sym) - opiunea e sym(t,'e') returneaz forma raional a lui t plus diferena ntre valoarea raional teoretic a lui t i

valoarea actual n virgul mobil sym(t,'e') ans = 1/10+eps/40 - opiunea d returneaz numrul t pe attea cifre zecimale cte specific instruciunea

digits (valoarea implicit fiind de 32 de cifre). sym(t,'d') ans = .10000000000000000555111512312578 digits(7) sym(t,'d') ans = .1000000 O utilizare important a funciei sym este conversia unei matrici din form numeric n

form simbolic. Dac avem urmtoarea matrice: A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000

atunci instruciunea A = sym(A)

conduce la urmtorul rezultat A = [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5] Crearea de funcii matematice simbolice Exist dou modaliti de a crea funcii matematice:

- folosirea expresiilor simbolice; - crearea de fiiere matlab.

Utiliznd expresii simbolice se folosesc comenzile urmtoare: syms x y z r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) t = atan(y/x) f = sin(x*y)/(x*y)

care genereaz expresiile simbolice r, t, i f. Crearea unui fiier matlab ce conine o funcie simbolic permite o utilizare mai general a

funciilor. Spre exemplu crearea funciei sin(x)/x poate fi realizat astfel: function z = sinc(x) if isequal(x,sym(0)) z = 1; else z = sin(x)/x; end Calcule simbolice Calculul derivatei Spre exemplu, pentru a calcula derivata simbolic a funciei sinus, crem

expresia: syms a x

2

f = sin(a*x) dup care folosind funcia diff se calculeaz derivata acesteia n raport cu x.

diff(f) ans = cos(a*x)*a Se poate calcula derivata n raport cu variabila a cu comanda: diff(f,a)

care returneaz df/da. ans = cos(a*x)*x Pentru a calcula derivata de ordinul 2 se utilizeaz urmtoarea comand: diff(f,x,2)

care returneaz urmtorul rezultat: ans = -sin(a*x)*a^2 Calculul integralei Dac f este o expresie simbolic, atunci comanda: int(f,v)

determin integrala nedefinit a lui f n raport cu v. De asemenea este posibil calculul integralei definite folosind comanda:

int(f,v,a,b), unde f este expresia ce trebuie integrat, v, variabila dup care se face integrarea, iar a i b sunt limitele de integrare. Calculul limitelor

Dac f este o expresie simbolic, atunci comanda: limit(f,x,a) sau limit(f,a), calculeaz )(lim xf

axiar limit(f,x,a,'left') i limit(f,x,a,'right') calculeaz limitele la dreapta i la stnga. Calculul unor serii Suma unor serii de numere poate fi calculat utiliznd comanda

symsum. Spre exemplu, suma seriei =1

2

1k k

este 6

2 syms x k s1 = symsum(1/k^2,1,inf) s1 = 1/6*pi^2 Simplificri Iat trei expresii diferite: syms x f = x^3-6*x^2+11*x-6 g= (x-1)*(x-2)*(x-3) h = x*(x*(x-6)+11)-6 Folosind urmtorele comenzi ele pot fi puse sub forma obinuit: pretty(f), pretty(g), pretty(h) x3 - 6 x2 + 11 x - 6 (x - 1) (x - 2) (x - 3) x (x (x - 6) + 11) - 6 Aceste expresii sunt trei reprezentri diferite ale aceleiai funcii matematice. Fiecare din

cele trei forme poate fi preferat ntr-o anumit situaie. Prima form este cea mai des utilizat reprezentare a unui polinom. Cea de-a doua este forma factorizat, cea care prezint rdcinile polinomului. Cea de-a treia form este reprezentarea Horner.

Exist cteva funcii ce aplic o serie de identiti algebrice i trigonometrice pentru a transforma o reprezentare a unei funcii n alta posibil mai simpl sau mai util. Aceste funcii sunt: collect, expand, horner, factor, simplify, i simple.

Funcia collect grupeaz termenii polinomului n ordine descesctoare a puterilor variabilei simbolice:

3

f=(x-1)*(x-2)*(x-3) collect(f) x^3-6*x^2+11*x-6 Funcia expand asigur distributivitatea nmulirii fa de adunare. Iat cteva exeple:

f expand(f) a*(x + y) (x-1)*(x-2)*(x-3) x*(x*(x-6)+11)-6 exp(a+b) cos(x+y)

a*x+a*y x^3-6*x^2+11*x-6 x^3-6*x^2+11*x-6 exp(a)*exp(b) cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)

Funcia horner transform un polinom n reprezentarea Horner a acestuia. f= x^3-6*x^2+11*x-6 horner(f) -6+(11+(-6+x)*x)*x Funcia factor exprim un polinom cu coeficieni raionali n produs de polinoame de grad

minim. f= x^3-6*x^2+11*x-6 factor(f) (x-1)*(x-2)*(x-3) Funcia simplify poate fi utilizat pentru simplificarea unor expresii ce conin identiti

algebrice, puteri ntregi sau fracionale, funcii trigonometrice, exponeniale sau logaritmice i funcii speciale.

f= x*(x*(x-6)+11)-6 simplify(f) x^3-6*x^2+11*x-6 f=(1-x^2)/(1-x) simplify(f) x+1 Rezolvarea ecuaiilor algebrice Dac S este o expresia simbolic, atunci solve(S) determin valorile variabilei simbolice

pentru care S este zero. De exemplu, ecuaia de gradul II se rezolv astfel: syms a b c x S = a*x^2 + b*x + c; solve(S) ans = [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] Dac se dorete rezolvarea unei ecuaii de forma f(x) = q(x), trebuie folosite iruri de

caractere ntre apostroafe: s = solve('cos(2*x)+sin(x)=1') s = [ 0] [ pi] [ 1/6*pi] [ 5/6*pi] Rezolvarea ecuaiilor difereniale Funcia dsolve calculeaz soluii simbolice pentru ecuaii difereniale ordinare. Ecuaiile

4

trebuie specificate prin expresii simbolice ce conin litera D pentru a nota difereniala. D2, D3, DN corespund derivatei de ordinul 2, 3 . . . N. n mod implicit, variabila independent este t. Astfel,

expresia D2y reprezint relaia 22

dtyd . Condiiile iniiale pot fi specificate prin adugarea de ecuaii.

Dac nu sunt specificate condiiile iniiale, soluiile vor conine constante de integrare C1, C2, etc. Exemple: dsolve('Dy=1+y^2') ans = tan(t+C1) Pentru a specifica condiiile iniiale se utilizeaz expresia: y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1') y = tan(t+1/4*pi) Observaie: Variabila y se afl n spaiul de lucru al MATLAB-ului, ns variabila

independent t trebuie declarat cu comanda syms t , altfel comanda diff(y,t) va da eroare. Ecuaiile neliniare pot avea mai multe soluii, chiar dac se dau condiiile iniiale. x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0') x = [-sin(t)] [ sin(t)] y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x') simplify(y) y = -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x) Calculul transformatei Z directe i inverse

Transformata Z direct pentru un ir de numere ( ) 0nnf este dat de relaia: =

=0

)(n

nn zfzF

n MATLAB exist dou posibiliti pentru calculul transformatei Z: F =ztrans(f) sau F(z) = symsum(f(n)/z^n, n, 0, inf), unde n este variabila simbolic a expresiei f. f = sin(a*n) ztrans(f,w) ans= sin(a)*w/(1-w*cos(a)+w^2) Transformata Z invers are urmtoarea sintax: f = iztrans(F) Expresia F are z ca variabil independent implicit. Calculul transformatei Laplace directe i inverse

Transformata Laplace pentru o funcie f(t) este dat de relaia: =0

)()( dtetfsF st

n Matlab se utilizeaz comanda L = laplace(F) unde expresia simbolic F are pe t ca variabil independent implicit. Funcia returnat este o funcie n s.

f = t^4 laplace(f) ans= 24/s^5 Transformata Laplace invers este dat de relaia , iar n MATLAB se

utilizeaz comanda: F = ilaplace(L) cu variabila independent implicit s. +

=

jc

jc

st dsesFtf )()(

f = 1/s^2 ilaplace(f) ans= t

5

TEM: 1. S se calculeze derivatele de ordinul I si II pentru urmtoarele funcii:

2)(

42 yxxf += ,

++=12

35)(2

xxtgxg , ( )( )54sinln)( 2 ++= xxxh

2. S se calculeze urmtoarele integrale:

dxxxxx

+2

2

)sin()cos()sin()cos(

, +

+ dxxx

x1

14

2

, ( )dxx

xx + ++ 22

11ln , dx

xxa

10

2

22

1)1ln( , dx

xxaxarctg

1

021)(

3. S se calculeze urmtoarele limite i serii:

3sinlim n

n , nn

n 21lnlim + , ,

=

2

2

11lnn n ( )( )

= +++1 111

n nnnn4. S se rezolve urmtoarele ecuaii difereniale: y+(y2-1)y+y=0, y+5yy2+y=0 y+7y-ytg(y)+3y+1=0, n C.I. y(0)=0.4, y(0)=0,y(0)=0.2 5. S se rezolve urmtoarele sisteme de ecuaii:

=+=

50

22

22

yxyx

,

=++=++

31

222 zyxzyx

6. S se calculeze transformata Z direct pentru irurile: f(n)=1, f(n)=1/n, f(n)=1/n2 7. S se calculeze transformata Z invers pentru funciile:

F(z)= z1 , F(z)= ( )2z

z , F(z)= ( )2110zTz , F(z)=

))(( bzazz

8. S se calculeze transformata Laplace direct pentru funciile: f(t)=e-4t+sin(t-2)+t2e-2t, f(t)=sin(at), f(t)=cos(at), f(t)=eatsin(bt) 9. S se calculeze transformata Laplace invers pentru funciile:

12)( 2 += ss

ssF , 27

1)( 3 = ssF , )65(12)( 2 ++

+=sss

ssF , 1

)1()(2

1

++=

sTsTKsF

6

LUCRAREA NR. 3

Rezolvarea ecuaiilor difereniale

Aceast lucrare descrie modul de rezolvare numeric n MATLAB a ecuaiilor difereniale. MATLAB-ul are urmtoarele funcii pentru rezolvarea ecuaiilor difereniale: Funcia Tipul problemei de rezolvat Metoda de integrare ode45 Ecuaie diferenial cu o scar de timp Runge-Kutta ode23 Ecuaie diferenial cu o scar de timp Runge-Kutta ode113 Ecuaie diferenial cu dou scri de timp Adams ode15s Ecuaie diferenial cu dou scri de timp FDN ode23s Ecuaie diferenial cu dou scri de timp Rosenbrock ode23t Ecuaie diferenial cu dou scri de timp Metoda trapezelor ode23tb Ecuaie diferenial cu dou scri de timp TR-BDF2 unde FDN sunt formule de difereniere numeric iar TR-BDF2 aplic mai nti o metod Runge-Kutta iar n faza a doua o metod de difereniere napoi de ordinul doi. Sintaxa acestor funcii este urmtoarea: [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2...) unde solver este una din funciile MATLAB ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, sau ode23tb.

Argumentul odefun este o funcie ce evalueaz membrul drept al ecuaiei difereniale. Toate ecste funcii pot rezolva ecuaii de forma: y=f(t,y)sau sisteme de ecuaii difereniale de forma: M(t,y)y=f(t,y), unde M(t,y) este o matrice. Funcia ode23s poate rezolva numai sisteme cu matrici M constante, iar funciile ode15s i ode23t pot rezolva sisteme pentru care matricea M este singular.

Parametrul tspan este un vector ce specific intervalul de integrare, [t0 tf]. Pentru a obine soluiile n anumite momente de timp se utilizeaz forma:

tspan = [t0,t1,...,tf]. Parametrul y0 este un vector ce conine condiiile iniiale.

Pentru utilizarea unor argumente opionale de integrare se utilizeaz funcia odeset. Parametrii p1,p2... sunt parametrii opionali. Examplu: Un exemplu de sistem cu o singur scar de timp este urmtorul, n care este descris micarea unui rigid fr aciunea forelor externe. y1=y2y3 , y1(0)=0 y2=-y1y3 , y2(0)=1 y3=-0.51y1y2 , y3(0)=1 Pentru a simula acest sistem se creeaz o funcie rigid ce conine ecuaiile:

function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % aloca spatiu pentru un vector coloana dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

Precizia cu care sunt efectuate calculele poate fi modificat utiliznd funcia odeset. Integrarea se face pe intervalul [0 12] cu condiiile iniiale [0 1 1]. options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.') n cazul unei ecuaii difereniale de ordin superior, aceasta trebuie transformat ntr-un sistem de ecuaii difereniale de ordinul I de forma urmtoare: y=f(t,y) Orice ecuaie de forma y(n)=f(t,y,y,,y(n-1)) cu ajutorul urmtoarelor substituii: y1=y, y2=y, , yn=y(n-1) poate fi transformat n urmtorul sistem de ecuaii difereniale de ordinul I: y1=y2 y2=y3 : : yn= f(t,y1,y2,,yn) Pentru rezolvarea ecuaiilor difereniale cu condiii pe frontier se utilizeaz funcia bvp4c. Acest funcie rezolv o ecuaie de forma y=f(t,y)pe intervalul [a,b] i care respect condiiile pe frontier ci(y(a),y(b))=0. Funcia bvp4c are una din sintaxele urmtoare: sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit) sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options) sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...) Argumentul odefun este o funcie ce evalueaz ecuaiile difereniale f(x,y). Ea poate avea una din formele urmtoare: dydx = odefun(x,y) dydx = odefun(x,y,p1,p2,...) dydx = odefun(x,y,parameters) dydx = odefun(x,y,parameters,p1,p2,...) Argumentul parameters este vectorul parametrilor necunoscui iar p1, p2, sunt parametrii cunoscui. Ieirea dydx este un vector coloan. Argumentul bcfun este o funcie ce calculeaz restul pentru condiiile pe frontier. Ea poate avea una din formele urmtoare: res = bcfun(ya,yb) res = bcfun(ya,yb,p1,p2,...) res = bcfun(ya,yb,parameters) res = bcfun(ya,yb,parameters,p1,p2,...)

unde ya i yb sunt vectori coloan corespunztori lui y(a) i y(b). Argumentul parameters este vectorul parametrilor necunoscui iar p1, p2, sunt parametrii cunoscui. Ieirea res este un vector coloan. Argumentul solinit este o structur cu urmtoarele cmpuri: x nodurile reelei de puncte n care se calculeaz soluiile. Condiiile la frontier sunt impuse astfel: a = solinit.x(1) i b = solinit.x(end). y aproximrile iniiale ale soluiei astfel c solinit.y(:,i) este o aproximare a soluiei n nodul solinit.x(i). parameters este un vector opional ce conine aproximrile iniiale pentru parametrii necunoscui. Structura poate avea orice nume, ns cmpurile trebuie numite x, y, i parameters. Se poate forma solinit cu ajutorul funciei bvpinit. Exemplu: S se rezolve ecuaia y+|y|=0, unde ]4,0[x , i condiiile pe frontier sunt: y(0)=0 y(4)=-2 Soluie: Mai nti ecuaia trebuie scris sub forma unui sistem de dou ecuaii difereniale de ordinul I: y1=y2 y2=-|y1|, unde y1=y i y2=y. Funciile corespunztoare sistemului i condiiilor iniiale pe frontier sunt sistem i ci: function dydx = sistem(x,y) dydx = [ y(2) -abs(y(1))]; function res = ci(ya,yb) res = [ ya(1) yb(1) + 2]; Apoximarea iniial a soluiei n cinci puncte uniform distribuite n intervalul [0,4] i cu aproximrile iniiale y1(x)=1 i y2(x)=0 este dat de funcia:

solinit = bvpinit(linspace(0,4,5),[1 0]); Problema este rezolvat cu comanda:

sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); Soluia numeric este evaluat n 100 de puncte uniform distribuite i este plotat

cu comenzile: y = bvpval(sol,linspace(0,4)); x= linspace(0,4); plot(x,y(1,:)); O alt soluie a acestei probleme poate fi obinut schimbnd condiiile iniiale:

solinit = bvpinit(linspace(0,4,5),[-1 0]);

TEM: 1. S se determine soluiile ecuaiei difereniale urmtoare:

y+5yy2+y=0 pe intervalul [0, 10] n condiiile iniiale: y(0)=0, y(0)=0.5. S se reprezinte grafic i evoluia n planul fazelor. 2. S se determine soluiile ecuaiei difereniale urmtoare: ( ) 0'1" 2 =++ yyyy pe intervalul [0, 20] n condiiile iniiale: y(0)=0, y(0)=2. Parametrul are valoarea 1. 3. Aceeai problem pentru =1000. 4. S se determine soluiile ecuaiei difereniale urmtoare:

y+y+ysin(y)+y+1=0 pe intervalul [0, 10] n condiiile iniiale: y(0)=0.2, y(0)=0, y(0)=0.3. S se mpart ecranul n patru cadrane utiliznd funcia subplot, i s se vizualizeze simultan dependenele (y,y), (y,y), (y,y) precum i o reprezentare tridimensional a matricei y folosind funcia mesh. 5. Aceeai problem de la punctul 4 pentru ecuaia:

y+7y+ytg(y)+3y+1=0 n condiiile iniiale y(0)=0.4, y(0)=0, y(0)=0.2, pe intervalul [0, 5]. 6. S se determine soluiile ecuaiei difereniale urmtoare:

y-3y+y=0 pe intervalul [0,10], cu condiiile pe frontier y(0)=0; y(10)=-5.

LUCRAREA NR. 4

Un sistem continuu are forma urmtoare: = Ax + Bu x& y = Cx + Du (1)

din care se poate obine funcia de transfer a acestuia: NUM(s) -1 H(s) = -------- = C(sI-A) B + D (2) DEN(s) Un sistem discret este un sistem de forma urmtoare:

x[n+1] = Ax[n] + Bu[n] y[n] = Cx[n] + Du[n] (3) sau sub forma unei funcii de transfer n z:

00

11

00

11

......

)(zbzbzbzazazazH m

mm

m

nn

nn

++++++=

(4)

Crearea unui obiect funcie de transfer n MATLAB poate fi realizat utiliznd funcia tf a crei sintax este urmtoarea:

sys = tf(num,den) (pentru un sistem continuu) sys = tf(num,den,Ts)(pentru un sistem discret unde Ts este perioada de

eantionare) unde num i den sunt doi vectori ce conin coeficienii numrtorului i

numitorului. De asemenea, dac se cunosc zerourile i polii funciei de transfer se poate utiliza

funcia zpk care are urmtoarea sintax: sys = zpk(z,p,k) unde z este un vector ce conine zerourile funciei de transfer, p polii iar k

amplificarea. Pentru crearea unui sistem discret se utilizeaz funcia: sys = zpk(z,p,k,Ts) unde Ts este perioada de eantionare. Pentru crearea unui model n spaiul strilor se utilizeaz funcia ss care are

urmtoarea sintax: sys = ss(a,b,c,d) Ieirea sys este un obiect. Crearea unui sistem discret se realizeaz cu aceeai

funcie dar cu sintaxa: sys = ss(a,b,c,d,Ts) unde Ts este perioada de eantionare. Funcia ss2tf calculeaz funcia de transfer a unui sistem cruia i se cunoate

reprezentarea n spaiul strilor: [num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

Dac se cunoate funcia de transfer se pot obine matricile A,B,C,D ale sistemului folosind funcia: tf2ss.

O caracteristic important a sistemelor o constituie rspunsul acestora la semnale tip. Simularea rspunsului la semnal treapt unitate este realizat cu funcia step care are una din urmtoarele sintaxe:

step(sys)- ploteaz rspunsul la semnal treapt pentru un obiect de tip funcie de transfer al crei model a fost creat cu una din funciile tf, zpk sau ss. Pentru modele cu mai multe intrri sunt aplicate semnale treapt pe fiecare intrare. Timpul de simulare i numrul de puncte sunt alese n mod automat.

1

step(sys,tfinal)- simuleaz rspunsul la semnal treapt de la t=0 la t=tfinal.

step(sys,t)- folosete un vector t care specific timpul pe care se face simularea.

step(sys1,sys2,...,t)- ploteaz rspunsul la semnal treapt pentru mai multe sisteme pe acelai grafic. Vectorul t specific intervalul de timp pe care se face simularea i este opional. Se pot de asemenea specifica culoarea i stilul liniei cu care se face plotarea:

step(sys1,'r',sys2,'y--'). Se pot obine valorile ieirii, timpului folosind urmtoarea sintax:

[y,t] = step(sys) Pentru modelele n spaiul strilor se pot obine i traiectoriile de stare: [y,t,x] = step(sys) Simularea rspunsului la impuls se realizeaz cu funcia impulse care are una din

urmtoarele sintaxe: impulse(sys) impulse (sys,tfinal) impulse (sys,t) impulse (sys1,sys2,...,t) [y,t,x] = impulse (sys) Semnificaiile parametrilor sunt cele specificate la funcia step. Pentru intrri arbitrare este utilizat funcia lsim care are sintaxa urmtoare lsim(sys,u,t) y=lsim(sys,u,t) unde u este vectorul de intrare iar t este vectorul timp.

MATLAB conine o serie de instruciuni de descriere i lucru cu sisteme discrete. De interes deosebit se bucur rspunsul sistemelor discrete la diverse semnale tip.

Pentru a determina rspunsul sistemului la semnal treapt unitate se utilizeaz funcia dstep care are urmroarele sintaxe:

dstep(a,b,c,d,iu) - ploteaz rspunsul sistemului dat sub forma (3) la semnal treapt (iu este intrarea la care se aplic semnalul treapt)

dstep(num,den) - realizeaz acelai lucru pentru sistemul dat sub forma (4), unde NUM i DEN sunt doi vectori ce conin coeficienii numrtorului i respectiv numitorului funciei de transfer H(z)

Numrul de puncte pe care este afiat rspunsul este determinat n mod automat. Dac se dorete specificarea explicit a numrului de puncte atunci se utilizeaz sintaxele: dstep(a,b,c,d,iu,n) sau dstep(num,den,n), unde N este numrul de puncte.

Dac nu se dorete plotarea rspunsului ci obinerea valorilor ieirii i strii n doi vectori, atunci se utilizeaz sintaxele:

[y,x] = dstep(a,b,c,d,...) [y,x] = dstep(num,den,...)

n Y obinndu-se ieirea i n X starea sistemului. n mod analog pot fi obinute rspunsuri la semnal impuls folosind comenzile: dimpulse(a,b,c,d,iu) dimpulse(num,den) dimpulse(a,b,c,d,iu,n) dimpulse(num,den,n)

Discretizarea unui sistem continuu poate fi realizat cu funcia c2d ce are urmtoarea sintax:

2

sysd = c2d(sysc,ts,method) unde ts este perioada de eantionare iar method este unul din urmtoarele iruri de

caractere: 'zoh' extrapolator de ordinul zero la intrare 'foh' interpolare liniar a intrrii 'tustin' aproximaie Tustin Pentru modelele n spaiul strilor sintaxa este urmtoarea: [sysd,g] = c2d(sysc,ts,method) unde g este matricea ce transform condiiile iniiale ale sistemului continuu n

codiiile iniiale ale sistemului discret. Trecerea de la un sistem discret la un sistem continuu se realizeaz cu funcia d2c care are sintaxa: sysc = d2c(sysd,method) Tem: 1. Se d urmtoarea reprezentare de stare a unui sistem:

[ ] 0,0001,1000

,

1111100001121101

==

=

= DCBA

a) S se calculeze funcia de transfer b) S se simuleze rspunsul la intrare treapt unitar c) S se simuleze rspunsul la impuls d) S se simuleze rspunsul la intrare ramp unitar e) S se simuleze rspunsul sistemului la semnal sinusoidal. f) S se discretizeze sistemul folosind perioada de eantionare T=0.1 sec. i s se

determine rspunsul acestui sistem la intrare treapt, impuls i ramp. g) S se ploteze traiectoriile se stare. 2. Aceeai problem pentru sistemele:

[ ] 0,1100,0001

,

01000010000150253311

==

=

= DCBA

[ ] 0,110,001

,010001504512

==

=

= DCBA

3. Se d un sistem continuu prin urmtoarea funcie de transfer:

751)( 3

2

+++=ss

ssH

a) S se determine reprezentarea de stare b) S se simuleze rspunsul la intrare treapt unitar c) S se simuleze rspunsul la impuls d) S se simuleze rspunsul la intrare ramp unitar

3

e) S se simuleze rspunsul sistemului la semnal cosinusoidal i la intrare de tip tangent f) S se discretizeze sistemul folosind perioada de eantionare T=0.1 sec. 4. S se determine dac sistemele de la punctele 1 3 sunt stabile sau nu. 5. S se realizeze o funcie de transfer continu care are un pol dublu p1=-2, un pol

simplu p2=-3, un zero z=5 i amplificarea 3, i o funcie de transfer discret care are un pol dublu p1=-0.2, un pol simplu p2=-0.3, cu un zero z=0.2, amplificarea 0.6 i perioada de eantionare 0.01. S se determine rspunsul acestor sisteme la semnal treapt i impuls precum i traiectoriile de stare pentru sistemul continuu.

6. Pentru sistemul

+++=

111)(

3

2

1 sTsT

sTKsH s se determine modelul n spaiul strilor i

rspunsul la semnal treapt n cazul T2T3, dup care s se obin forma discret a acestuia.

4

LUCRAREA NR. 5

Stabilitatea sistemelor i caracteristici de frecven

O problem important n studiul sistemelor automate o reprezint proprietatea de stabilitate a acestora. Referitor la studiul stabilitii, MATLAB dispune de o serie de instruciuni ce conin att criterii algebrice de stabilitate ct i frecveniale.

Criteriul algebric de stabilitate intern este urmtorul: Un sistem este intern stabil dac i numai dac toi polii polinomului caracteristic sunt situai n semiplanul stng. Polinomul caracteristic al unui sistem a crui matrice fundamental este A este dat de relaia:

)det()( AIAp =

Rdcinile polinomului caracteristic se numesc valori proprii. Polinomul caracteristic

se calculeaz cu instruciunea: poly(A), iar rdcinile unui polinom se calculeaz cu instruciunea roots(p) unde p este un vector ce conine coeficienii polinomului.

Stabilitatea intrare ieire pentru un sistem se determin calculnd radcinile numitorului funciei de transfer. Sistemul este stabil intrare ieire dac toate radcinile numitorului funciei de transfer se afl n semiplanul stng.

Un criteriu des utilizat pentru studiul stabilitii sistemelor l costituie criteriul lui Hurwitz. Fie un sistem al crui polinom caracteristic este urmtorul:

p(s)=sn+an-1sn-1+an-2sn-2+ ++a1s+a0. Matricea Hurwitz se alctuiete din coeficienii polinomului caracteristic astfel:

=

0

31

42

531

...000...............0...00...10...

a

aaaaaaa

H nnnn

nnn

Criteriul de stabilitate spune c: Un sistem este stabil dac toi minorii diagonali ai

matricii Hurwitz sunt pozitivi. n studiul stabilitii sistemelor cel mai adesea se utilizeaz criteriile freceniale de

stabilitate. Unul dintre acestea este criteriul lui Nyqiust: Condiia necesar i suficient pentru ca un sistem liniar s fie stabil, este ca hodograful funciei de transfer a sistemului s se roteasc n sens antiorar n jurul punctului critic de coordonate (-1,0) de un numr egal de ori cu numrul de poli pe care funcia de transfer i are n semiplanul drept al planului complex. Dac vom avea poli pe axa imaginar vom contoriza semicontururi. Cu alte cuvinte putem folosi formula:

22

+= pipd nnQ

unde: Q reprezint numrul de nconjurri ale punctului critic; npd reprezint numrul de poli situai n semiplanul drept;

npi reprezint numrul de poli situai pe axa imaginar.

1

Un sistem automat este la limita de stabilitate dac hodograful trece prin punctul critic (-1, 0). Dac nu sunt ndeplinite aceste condiii sistemul este instabil. Graficul hodografului se obine n MATLAB cu instruciunea nyquist(h) unde h este funcia de transfer a sistemului.

Instruciunea [re,im,w] = nyquist(h) returneaz n vectorii re, im i w partea real, partea imaginar i domeniul de frecvene pe care a fost calculat hodograful funciei de transfer h.

Comportarea sistemului n circuit nchis poate fi apreciat folosind indicatorii de calitate frecveniali definii pe caracteristica complex de frecven. Aceti indicatori sunt:

- Pulsaia de tiere notat t reprezint cea mai mare pulsaie la care hodograful

funciei de transfer intersecteaz cercul de raz unitate cu centrul n origine. - Marginea de faz reprezint unghiul n sens orar dintre direcia vectorului

H(j t ) i axa real negativ. Marginea de faz este definit prin relaia: )( t += , unde )(arg)( tt jH = .

- Pulsaia de tiere de faz notat reprezint cea mai mic pulsaie la care caracteristica complex de frecven intersecteaz axa negativ:

})(|min{ == . - Marginea de amplitudine este lungimea vectorului )( jH Aceti indicatori pot fi stabilii i pe caracteristicile bode ale sistemului. Aceste

caracteristici se traseaz folosind instruciunea bode(h) unde h este funcia de transfer a sistemului.

Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor se testeaz pornind de la faptul c un sistem este controlabil dac perechea (A,B) este controlabil i este observabil dac perechea (A,C) este observabil. Matricea de controlabilitate respectiv observabilitate se calculeaz cu instruciunile: R=ctrb(A,B) i Q=obsv(A,C). Sistemul este controlabil respectiv observabil dac i numai dac rangul matricilor R i Q este n. Rangul unei matrici se calculeaz cu instruciunea rank(X).

TEM: 1. Se d sistemul:

)2)(4(110)( +

+=sss

ssH

a. S se studieze stabilitatea intern i intrare - ieire. b. S se studieze stabilitatea sistemului folosind criteriul Hurwitz. c. S se studieze stabilitatea sistemului folosind criteriul Nyquist. d. S se calculeze pulsaia de tiere, marginea de faz, pulsaia de tiere de faz,

marginea de amplitudine. e. S se traseze caracteristicile bode pentru acest sistem. f. S se determine dac sistemul este controlabil i/sau observabil.

2

2. Aceeai problem pentru sistemele urmtoare:

)205.0)(102.0(8)( ++= ssssH , )1)(5(

)1(20)( ++=sss

ssH

[ ] 0,0001,1000

,

1000113201121011

==

=

= DCBA

[ ] 0,0001,1000

,

0102200132013212

==

=

= DCBA

3. S se studieze stabilitatea urmtoarelor sisteme folosind criteriul lui Nyquist:

)2)(4)(3()1(30)( ++

+=sss

ssH , )4(

)5)(1(10)( 4 +++=

sssssH

)5)(2)(1(10)( +++= ssssH , )5)(2)(1(

200)( +++= ssssH

)3(6)( 2 +

+=ssssH ,

)5.3(118)( 2 +

+=ssssH

3

LUC_1.pdfIntroducere

LUC_2.pdfLUC_3.pdfFunctia Tipul problemei de rezolvat Metoda de integrare

LUC_4.pdfLUC_5.pdf