Curs Geometrie Descriptiva

GEOMETRIE DESCRIPTIV

5

CAPITOLUL 1 STANDARDE GENERALE PRIVIND REPREZENTRILE N CONSTRUCIA DE MAINI1.1. Linii utilizate n desenul tehnic ISO 128-20:19961.1.1 Tipuri i clase de grosimen standardul ISO 128-20:1996 sunt prezentate liniile de baz utilizate n desenul tehnic i variaii ale acestora, aa cum este artat n tabelul 1 (extras din standard). Tabelul 1 Nr.(cod) Aspect Denumire 01 02 03 04 10 05 12 07 Linie continu (continuous line) Linie ntrerupt (dashed line) Linie punct (dashed dotted line) Linie dou puncte (dashed double-dotted line) Linie punctat (dotted line) Linia continu ondulat uniform (uniform wavy continuous line) Linia continu n spiral uniform (uniform spiral continuous line)

Pentru linia ntrerupt, linia punct i linia dou puncte, lungimea segmentelor, a distanelor dintre acestea, respectiv a distanelor dintre segmente i puncte sunt diferite, n funcie de codul liniei. n vechiul standard, STAS 103-84 se stabilesc tipurile, clasele de grosime, ct i regulile de execuie ale liniilor utilizate n desenul tehnic. Astfel, liniile se clasific n patru tipuri: linie continu; linie ntrerupt; linie punct; linie dou puncte.

6


n funcie de grosime, liniile se mpart n dou clase de grosime: linie groas i linie subire. Fiecare linie, de un anumit tip i de o anumit clas de grosime, sau o combinaie a celor dou clase, se simbolizeaz printr-o liter majuscul, conform tabelului 2. Tabelul 2 Denumirea liniei Tip Aspectul liniei Cazuri de utilizare (exemple) Linie continu groas A Linie continu subire: - ondulat - n zig-zag Linie ntrerupt: - groas - subire Linie-punct subire Linie-punct mixt Linie-punct groas C D E F G H J Linie-dou puncte subire K contururi i muchii reale vizibile muchii fictive vizibile; linii de cot, ajuttoare i de indicaie; hauri; conturul seciunilor suprapuse; reprezentarea simplificat a liniilor de ax (scurte); linii de fund la filetele vizibile; linii teoretice de ndoire pe reprezentrile desfurate ale obiectelor. linii de ruptur pentru delimitarea vederilor i seciunilor n orice material, cu excepia lemnului i numai dac limita respectiv nu este o linie de ax; linii de ruptur n lemn. contururi i muchii reale acoperite. linii de ax; suprafaa de rostogolire pentru roi dinate; traseele planelor de simetrie; traiectorii. traseele planelor de secionare indicarea suprafeelor cu prescripii speciale (tratamente termice, de suprafa etc.) conturul pieselor nvecinate; pri situate n faa planului de secionare; liniile centrelor de greutate, cnd acestea nu coincid cu liniile de ax; poziii intermediare i extreme de micare ale pieselor mobile.

Linie continu subire

B


7

1.1.2 Grosimea liniilorGrosimea de baz, notat cu b, este grosimea liniei continue groase (A) i se alege din urmtorul ir de valori standardizate: 2; 1.4; 1.0; 0.7; 0.5; 0.35; 0.25; 0.18, n funcie de mrimea, complexitatea i natura desenului. Raportul dintre grosimea de baz, b i grosimea liniei subiri, b1, trebuie s fie de minimum 2. Pe acelai format, pentru toate proieciile liniile subiri i cele groase trebuie trasate cu aceeai grosime. Modul de utilizare a diferitelor tipuri de linii n desenul tehnic industrial este exemplificat n figura 1.

Fig.1

1.1.3 Reguli de execuie a liniilor1. Liniile punct i liniile-dou puncte ncep, se termin i se intersecteaz dup segmente. 2. n cazul liniei ntrerupte, liniei-punct i liniei-dou puncte, lungimea segmentelor i intervalele dintre acestea trebuie s fie uniforme. Schimbarea direciei unor astfel de linii se face ntotdeauna pe segmente (fig.2).

Fig.2 Standardul SR EN ISO 128-21:2002 prezint modul de reprezentare a liniilor descrise n standardul ISO 129-20:1996, utilizate n sistemul CAD.

8


1.2.Scrierea standardizat SR EN ISO 3098/02:2002Pentru scrierea cotelor, simbolurilor sau textelor pe desenele tehnice se utilizeaz literele latine, greceti sau chirilice, ct i cifrele arabe sau romane. Se utilizeaz dou moduri de scriere: a) scriere nclinat (cu caractere nclinate la 750 spre dreapta); b) scriere dreapt (cu caractere perpendiculare fa de linia de baz a rndului). Dimensiunea nominal a scrierii este nlimea h a literelor majuscule i a cifrelor, exprimat n mm i se alege din irul nlimilor standard: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20 mm, ct i oricare alt nlime obinut prin amplificarea mrimilor anterioare cu 10n (n = 1,2k). n funcie de grosimea liniei utilizate, se stabilesc dou tipuri de scriere: - scriere tip A (scrierea ngust), cu grosimea liniei de scriere aproximativ egal cu (1/14)h. - scriere tip B (scriere normal), cu grosimea liniei de scriere aproximativ egal cu (1/10)h. Pe un desen sau pe toate desenele unei documentaii tehnice trebuie utilizat acelai tip de scriere. Grosimile liniei de trasare, calculate n funcie de dimensiunea nominal sunt prezentate n tabelul 3. Tabelul 3 Dimensiunea Grosimea liniei de trasare (n mm) nominal a scrierii A(1/14) B(1/10) (n mm) 0.18 0.25 2.5 0.25 0.35 3.5 0.35 0.5 5 0.5 0.7 7 0.7 1.0 10 1.0 1.4 14 1.4 2.0 20 Elementele caracteristice celor dou tipuri de scriere, n funcie de dimensiunea h a scrierii sunt indicate n tabelul 4 i n figura 3. Tabelul 4 Elemente caracteristice Tip A Tip B nlimea literelor mari i a cifrelor (h) (14/14)h (10/10)h nlimea literelor mici (c1) (10/14)h (7/10)h Grosimea liniei de scriere (d) (1/14)h (1/10)h


9

Distana ntre dou litere ale unui cuvnt, dou cifre ale unui numr sau ntre o liter i o cifr ale unui simbol (a) Distana minim ntre dou cuvinte sau dou numere alturate (e) Distana minim ntre liniile de baz a dou rnduri succesive, la dou reele complete Distana ntre liniile de baz pentru indici, fa de linia de baz a rndului Distana ntre liniile de baz pentru exponeni, fa de linia de baz a rndului Distana minim ntre liniile de baz a dou rnduri (b1) (b2) (b3) Distana ntre litere i diacritice (f)

(2/14)h

(2/10)h

(6/14)h (20/14)h (3/14)h (8/14)h

(6/10)h (14/10)h (2/10)h (6/10)h

(25/14)h (21/14)h (17/14)h (5/14)h

(19/10)h (15/10)h (13/10)h (4/10)h

Fig.3 Observaii: 1. Dimensiunile indicilor i exponenilor nscrii pe desen sunt n general egale cu jumtate din dimensiunile literelor i cifrelor care sunt afectate de indice sau exponent, dar nu mai mici de 2,5 mm (fig. 5 i 6).

Fig.5

Fig. 6

10


2. Dimensiunea scrierii toleranelor este 0,50,6 din dimensiunea nominal a cotelor;

Scriere nclinat tip A Fig. 7

Scriere dreapt tip A

Scriere nclinat tip B Fig. 8

Scriere dreapt tip B

1.3. Formatele desenelor tehnice ISO 5457:1999Prin ISO 5457:1999 se stabilesc dimensiunile, modul de notare, regulile de prezentare i utilizare a formatelor. Formatul reprezint spaiul delimitat pe coala de desen printr-un chenar, necesar decuprii copiei desenului original. Acest contur, avnd dimensiunile (a1 x b1), se execut cu linie continu subire (fig. 9).


11

1

1

2

10 a1 a3 a2

b1

20

2

b2 b1 b3

a2 a1 a3

Formatul A4 Fig. 9 1- este conturul pentru decuparea desenului original (marginea formatului, a3 x b3) i se traseaz cu linie continu subire. 2- este spaiul util pentru desenare, cu dimensiunile a2 x b2 Formatele se aleg n urmtoarea ordine de preferin: a) Formatele seria A, sunt formate prefereniale (de baz) i sunt alese din seria principal A, conform ISO 216 (tabelul 5). Tabelul 5 Simbol a1 x b1 (mm) a2 x b2 (mm) a3 x b3 (mm) A0 841 x 1189 821 x 1159 880 x 1230 A1 594 x 841 574 x 811 625 x 880 A2 420 x 594 400 x 564 450 x 625 A3 297 x 420 277 x 390 330 x 450 A4 210 x 297 180 x 277 240 x 330b) Formatele alungite speciale, se obin prin alungirea dimensiunii a1 a formatelor din

Formatele A0.A3

seria A, ISO, astfel nct lungimea (dimensiunea b1) formatului alungit s fie un multiplu ntreg al dimensiunii a1 a formatului de baz ales. Simbol A3 x 3 A3 x 4 A4 x 3 A4 x 4 A4 x 5c)

a1 x b1 (mm) 420 x 891 420 x 1189 297 x 630 297 x 841 297 x 1051

Formatele alungite excepionale, se pot obine prin alungirea dimensiunii a1 a formatelor din seria A, ISO, astfel nct lungimea (dimensiunea b1) formatului alungit s fie un multiplu ntreg al dimensiunii a1 a formatului de baz ales (tabelul 6).

b2

b3

20

10

12


Tabelul 6 Simbol A0 x 2 A0 x 3 A1 x 3 A1 x 4 A2 x 3 A2 x 4 A2 x 5 a1xb1 (mm) 1189 x 1682 1189 x 2523 841 x 1783 841 x 2378 594 x 1261 594 x 1682 594 x 2102 Simbol A3 x 5 A3 x 6 A3 x 7 A4 x 6 A4 x 7 A4 x 8 A4 x 9 a1xb1 (mm) 420 x 1486 420 x 1783 420 x 2080 297 x 1261 297 x 1471 297 x 1682 297 x 1892

Submultiplii formatului A0 sunt prezentai n figura 10.

841

A0

594 420 297 A4 A3

A1 A2 A3.2 A2.1 A3.1 A2.0 A3.0

0

210

420

594Fig.10

841

1189

1.3.1 Elementele grafice ale formatelorElementele grafice ale formatelor sunt prezentate n figura 11.1 2 4

3 6A

1

10

1 A

8 A

5 20

5B B

5

Fig. 11


13

1 2 3

4 5 6 7

8

Marcajul de decupare a copiei se amplaseaz n cele 4 coluri ale formatului. Are dimensiunile 10 mm x 5 mm; Zona neutr; Sistemul de coordonate, se traseaz cu linie continu subire n zona neutr la o distan de 5 mm de chenar; este utilizat pentru identificarea rapid a diferitelor zone ale desenului. Numrul de diviziuni trebuie s fie par. Lungimea unei diviziuni va fi cuprins ntre 27 i 75 mm. Literele i cifrele se scriu cu caractere drepte, conform ISO 3098/2:2002 n zona neutr, cu nlimea de scriere de 3,5 mm. Pentru formatul A4, acesta se reprezint numai pe laturile de sus i dreapta ale formatului. Chenarul formatului, se execut cu linie continu groas; Spaiul util de desenare; Limita de tiere a formatului; Reperele de centrare se execut la extremitile celor dou axe de simetrie ale planei i se reprezint cu linii continue cu grosimea minim de 0,5 mm care ncep de la marginea formatului i depesc cu aproximativ 5 mm chenarul. Aceste repere se execut n scopul poziionrii corecte a formatelor la multiplicare sau microfilmare. Indicatorul se execut conform SR ISO 7200:1994 i se deseneaz la toate formatele, la baza acestora, colul dreapta jos al cmpului desenului, att pentru plane tip X n lungime, ct i pentru plane tip Y n lime (fig.12).

Tip X -lungime Tip Y - latime

Fig.12

1.3.2 Utilizarea formatelorDesenul original se execut pe cel mai mic format care permite reprezentarea clar a obiectului respectiv. Formatele alungite speciale i excepionale se utilizeaz numai pentru obiectele ce nu pot fi reprezentate pe formatele de baz. Formatele pot fi utilizate fie pe lungime format tip X, fie pe lime format tip Y, avnd ca baz dimensiunea a sau b. Excepie face formatul A4, care este format tip Y i formatele alungite A4 x n, care sunt formate tip X. Baza formatului este latura inferioar a acestuia n poziia normal de citire a desenului, pe care este amplasat indicatorul.

14


1.4. Indicatorul SR ISO 7200:1994Indicatorul servete la identificarea desenelor de execuie i a modificrilor operate pe acestea, aplicndu-se pe fiecare desen i pe fiecare din planele ce l compun. Indicatorul se amplaseaz pe baza formatului i alipit de chenar n colul din dreapta jos al cmpului desenului, att pentru plane tip X ct i pentru plane tip Y. Indicatorul conine o zon de identificare i una sau mai multe zone de informaii suplimentare. Zona de identificare se amplaseaz n unghiul inferior dreapta al indicatorului i se execut cu linie continu, de aceeai grosime ca linia folosit la trasarea chenarului. Zona trebuie s cuprind urmtoarele informaii de baz (fig.13): a) numrul de nregistrare sau de identificare al desenului; b) denumirea desenului; c) numele proprietarului legal al desenului.

c b b a c a c

b a

max. 170

max. 170

max. 170

b) c) Fig.13 Zonele de informaii suplimentare se amplaseaz fie deasupra, fie n stnga zonei de identificare i conin: 1. informaiile indicative: simbolul care indic metoda de proiectare; scara principal a desenului; unitatea pentru exprimarea dimensiunilor liniare, dac este alta dect milimetrul. 2. informaiile tehnice: informaii privind starea suprafeei; metoda de indicare a toleranelor geometrice; valorile toleranelor generale care se aplic, dac nu sunt indicate tolerane individuale; orice alt standard din domeniul desenelor tehnice. 3. informaii de ordin administrativ: formatul planei de desen; data primei ediii a desenului; indicele aferent unei revizii (se nscrie n rubrica corespunztoare numrului desenului) data i descrierea succint a revizuirii aferente indicelui;

a)


15

alte informaii de ordin administrativ (semnturile persoanelor responsabile pentru desen i pentru actualizare). n figura 14 se exemplific un model de indicator, cu o dispunere posibil a informaiilor menionate mai sus.

Fig.14 Desenele alctuite din mai multe plane, cu acelai numr de identificare, trebuie numerotate cu numere succesive pe fiecare plan, numrul total de plane fiind indicat pe prima plan (Plana n/p, unde n = numrul planei; p = numrul total de plane). Un exemplu de indicator redus, aplicabil unui desen de ansamblu este prezentat n figura 15.

Fig.15 Indicatorul care se va utiliza n cadrul orelor de geometrie descriptiv i de desen tehnic este prezentat n figura 16.20 50 5x20

10

Desenat Verificat

3 6

4 7

5 8

Material

Scara n/p

10

UNIVERSITATEA "DUNAREA DE JOS" DIN GALATI30

1

FACULTATEA DE MECANICA Grupa30 170 2 30 10

CATEDRA: G. M. T.

Fig.16

16


1 denumirea planei; 2 numrul desenului; 3, 6 numele i prenumele persoanei care a executat (verificat) lucrarea; 4, 7 semntura persoanei care a executat (verificat) lucrarea; 5, 8 data executrii (verificrii) lucrrii; n numrul de ordine al lucrrii; p numrul total de lucrri din cadrul documentaiei respective.

1.5. mpturirea desenelor tehnice SR 74:1994Desenele se mpturesc prin pliere, aducndu-se la mrimea formatului A4. Desenele se mpturesc astfel nct zona de identificare a indicatorului s fie complet vizibil, n poziia normal de citire a desenului, iar fia de ndosariere, n cazul mpturirii copiilor destinate perforrii, s apar complet neacoperit pe toat lungimea sa. mpturirea modular


17

1.6. Scara unui desen SR EN ISO 5455:1997Scara unui desen tehnic reprezint raportul dintre dimensiunea liniar din desen i dimensiunea liniar real a segmentului respectiv. Scara se alege n funcie de complexitatea, dimensiunile obiectului de reprezentat i de destinaia desenului respectiv. Ea trebuie s fie suficient de mare pentru a permite interpretarea corect a datelor furnizate de desenul respectiv. Scara i dimensiunile obiectului de reprezentat influeneaz alegerea formatului de desenare. Scrile de reprezentare sunt standardizate i se aleg din tabelul urmtor: 2:1 5:1 10:1 Scri de mrire 20:1 200:1 50:1 500:1 100:1 1000:1 etc. Scara natural 1:1 1:2 1:5 1:10 Scri de micorare 1:20 1:200 1:50 1:500 1:100 1:1000 etc.

Scara principal a desenului se nscrie n indicator, ntr-o rubric destinat nscrierii acesteia. Dac pe un desen exist proiecii executate la scri diferite (vedere, seciune, detaliu), scrile corespunztoare acestora se nscriu lng sau sub proieciile respective.

18


CAPITOLUL 2 CONSTRUCII GEOMETRICE1. mprtirea unui segment n n pri egale Pentru a mpri un segment n n pri egale se procedeaz astfel (fig.17): a) Se consider un segment arbitrar de lungime u; b) Se construiete o semidreapt (d) concurent cu segmentul dat AB; c) Se aaz segmentul u de n ori peste semidreapta d; d) Se unete ultimul punct marcat M cu cealat extremitate a segmentului AB; e) Se construiesc paralele cu direcia MB prin fiecare din punctele balustrate; f) Se gsesc punctele 1, 2, n, care reprezint tocmai punctele care mpart segmentul AB n n pri egale.

A

1

2

3

4

5

6

7

B

(u)

(d) MFig.17 (n=7) 2. mprtirea unui cerc n n pri egale Pentru a mpri un cercn n pri egale se procedeaz astfel (fig.18): a) Se consider diametrul vertical AB; b) Se construiesc dou arce de cerc cu centrele n A i B, de raz AB care se intersecteaz n M i N; c) Se mparte segmentul AB n n pri egale (dup metoda prezentat mai sus); d) Se unesc punctele M i N cu cifrele pare sau impare i se prelungesc dreptele pn intersecteaz cercul dat; e) Se obin punctele pe cerc care reprezint tocmai diviziunile cutate.


19

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8

M

N

B

9

Fig.18 (n=9) Cazuri particulare: n=2 Se construiete un diametruN

M

n=4

Se construiesc dou diametre perpendiculare

A D O B C

n=6

Se poart un segment de lungime egal cu raza cercului peste cerc i se gsesc vrfurile hexagonului regulat nscris in cerc.

A B F

C D

E

3. Constructia unei drepte paralele cu o dreapt dat, situat la distana h(fig.19). Etape: a) Se construiesc arce de cerc cu raza h i cu centrele n puncte situate pe dreapta dat; b) Se construiete tangenta comun exterioar a acestor cercuri, care reprezint tocmai dreapta cutat.

20


h D dFig. 19 4. Racordarea a dou drepte concurente printr-un arc de cerc de raz dat R (fig.20). Etape: a) Se construiesc dou drepte paralele cu dreptele date, la distana R; b) La intersecia celor dou drepte se afl punctul O, centrul cercului de racordare; c) Se construiesc din O perpendiculare pe dreptele date i se obin punctele T1 i T2 de tangen ale arcului de racordare cu dreptele date.

R T1

D

O d T2Fig. 20 5. Racordarea unei drepte cu un cerc (raza r) printr-un arc de cerc de raz dat R (fig.21) a) Se construiete cercul cu centrul n O de raz R+r; b) Se construiete o paralel la dreapta dat la distana R; c) La intersecia lor se afl centrul cercului de racordare O1; d) Punctele de tangen ale arcului de racordare cu cele dou elemente geometrice care se racordeaz sunt T1 i T2. Acestea se afl astfel: T1 este piciorul perpendicularei din O1 pe dreapta dat, iar T2 este punctual n care dreapta OO1 intersectez cercul dat.

T1 O1 D d' OFig. 21

T2

R+ r


21

6. Racordarea a dou cercuri printr-un arc de cerc de raz dat R, cu tangen exterioar (fig.22) a) Se construiesc dou cercuri cu centrele n O1 i O2 de raze R+R1, respectiv R+R2; b) Se determin centrul cercului de racordare O la intersecia celor dou cercuri; c) Se determin punctele de tangen T1 i T2 la intersecia cercurilor date cu dreptele OO1, respectiv OO2.O T1 O1R+ R1

T2 O 2

O1O2 (R1 + R2 ) 2 7. Racordarea a dou cercuri printr-un arc de cerc de raz dat R, cu tangen interioar (fig.23) d) Se construiesc dou cercuri cu centrele n O1 i O2 de raze R-R1, respectiv R-R2; e) Se determin centrul cercului de racordare O la intersecia celor dou cercuri; f) Se determin punctele de tangen T1 i T2 la intersecia cercurilor date cu prelungirile dreptelor OO1, respectiv OO2.Observaie: Problema admite soluii doar dac R O

Fig. 22

O1

R+RR-R2

R2

R1

O 2 T2

T1

O1O2 + (R1 + R2 ) 2 8. Racordarea a dou cercuri printr-un arc de cerc de raz dat R, tangent interior la un cerc i exterior la cellalt (fig.24) g) Se construiesc dou cercuri cu centrele n O1 i O2 de raze R-R1, respectiv R+R2; h) Se determin centrul cercului de racordare O la intersecia celor dou cercuri; i) Se determin punctele de tangen T1 i T2 la intersecia cercurilor date cu prelungirea dreptei OO1, respectiv cu dreapta OO2.Observaie: Problema admite soluii doar dac R

Fig. 23

22


OR+ R2

T2 O1 O 2

R1 R-

T1

Fig. 24 9. Construcia tangentelor comune exterioare la dou cercuri date (fig. 25) a) Se construiete cercul cu centrul n O, mijlocul segmentului O1O2, de raz b) c) d) e)

O1O2 ; 2 Se gsesc punctele de intersecie ale cercului construit anterior cu cercul cu centrul n O1 de raz R1-R2 (R1>R2); se determin A i B; Se unesc punctele A i B cu O2 i dreptele rezultate reprezint direciile tangentelor comune exterioare; Segmentele O1A, respectiv O2B se prelungesc i la intersecia cu cercul cu centrul n O1 se afl punctele T1 i T2; Prin punctele T1 i T2 se construiesc paralelele la O1A, respectiv O2B i se obin tangentele comune exterioare (T1T3, respectiv T2T4).T2 T4 B O1 A O O 2

T3 T1

Fig. 25 10. Construcia tangentelor comune interioare la dou cercuri date (fig. 26) a) Se construiete cercul cu centrul n O, mijlocul segmentului O1O2, de raz

O1O2 ; 2 b) Se gsesc punctele de intersecie ale cercului construit anterior cu cercul cu centrul n O2 de raz R1+R2; se determin A i B; c) Se unesc punctele A i B cu O1 i dreptele rezultate reprezint direciile tangentelor comune interioare; d) Segmentele O1A, respectiv O2B se prelungesc i la intersecia cu cercul cu centrul n O2 se afl punctele T1 i T2;


23

e) Prin punctele T1 i T2 se construiesc paralelele la O1A, respectiv O2B i se obin tangentele comune exterioare (T1T3, respectiv T2T4).T4 O O1 T1 A

T2 O 2

T3

Fig. 26

24


Aplicaii: S se realizeze modelele urmtoare folosind construciile geometrice. Se vor realiza toate construciile intermediare. Tema 1O85R2 2

54R9

6 gauri O8

O 50

O68

14 uri O 3 ga

O26R1 3

R1 6

28

i O22 3 gaur

O26

R9 0

45

45

15

8 80

Tema 255R75O18

10

R8

18

65O36R10

R1 5

O8 0

O6 0O12 0

0 O80 ri O 1 5 gau

2g aur iO

26

R24

R5 2

R1 7

46R5

75

12 R1

R25O3 0

45

45

O14

56

120

R8

R2 7

0 R7

R77

R10


25

Tema 3uriO 2 ga 14O4 2

R14

ri au 6g

O8

R6

R5

4 R3 R 25

28

O66

O2

2

30

66

10

R9 8

32O3 6

R100

6

R3

R730

2

ri gau

30

R3

0 O2

O40

3

30

Tema 4R32

762 ga ur iO 18

R24

6 O2

2 R1

12

R2 1

46

R2 4

6 R1

R45O26

R1 8

1 R2R3 3

R1 0

73

3410

O124

8 R2

R1 0

34

R4 5

R18

0 O6

2 R2

R2 0

2g au ri O2 0

76

50

110

R2 5

2 R1

0 O45 R1

2 O5

26


Tema 5O6 6

R1

6

6 O4

45

R5

R2 5

82

R6

2 ga u

ri O 1

5R60

8 R1

R1

R55

R67

0

au 3g

O ri

16

8

10 ri O gau

30

R6

O72

O6 0

O2 5

6

Tema 6i O12 3 gaur

6 O2

R5

O7 5

R1 2

O95

130

O36

R1 20

3 R1

72R15

R1 4

18

R10

O16

15

15

O36

R8

O 56

R2 6

85

2 O5R5

R12

60

60

R30


27

Tema 74g aur iO 10

R75

R7

4 R2

18

R6

420 O8

R21

4g

12 iO aur

R383 R6

O34

4530 30

R3 0

45O110

Tema 8

R28

R16

O1214 ri O au 6g

R2 0

R45

O2 2

57

O9

0

R10

6

104

O2 2

R4 3

O58

O32

R2 0

O78

O26

R1 0

2

90

R4 0

8 O1 uri ga

O36

R28

R14

30

30

66R72R108

R2 4

R6

0 R1

33O16 0

28


Tema 936 O58O10 8 gauri

4 ga

uri O

10

R1 5

O1 6

O40

R32

20 4

R20

O2 2

6 gauri OO36

8

100

69

6 O2

40

40

2 R3

66

Tema 1090O5 28O26

16 iO ur ga

2g

au ri

O2 0

20

O6

85

R 42R96

O3 6O14

R42

72

84

6 O2

R7 4

0

R12

80

30

60

R1 4

ri au 3g

6 O1

90

R1 50 R2

0 R2

R1 2

R12

40 O8 O5

4 R1


29

CAPITOLUL 3 PUNCTUL3.1 Tripla proiecie ortogonal a punctuluiSe consider un reper format din trei plane reciproc perpendiculare: planul orizontal [H], planul vertical [V] i planul lateral [W], reprezentat n figura 27.

Fig.27 Planul vertical i planul orizontal mpart spaiul tridimensional n patru diedre: D1 - delimitat de [Ha] i [Vs]; D2 - delimitat de [Vs] i [Hp]; D3 - delimitat de [Hp] i [Vi]; D4 - delimitat de [Vi] i [Ha]. Planul lateral [W] mparte cele patru diedre n opt triedre: Cele trei plane se intersecteaz dup trei drepte care formeaz axele sistemului de referin: Ox = [H ] I [V ] ; Oy = [H ] I [W ] ; Oz = [V ] I [W ] Cele trei axe ale sistemului de referin sunt concurente n punctul O, numit originea sistemului de referin. Sensurile pozitive ale axelor sunt marcate cu sgei. Fie un punct A situat n triedrul 1 (T1) (fig.28). Pentru a determina proieciile punctului A pe cele trei plane de proiecie, se construiesc proiectante fa de [H], [V], [W]. Se obin punctele:

30


a se numete proiecia orizontal a punctului A. Segmentul Aa reprezint distana de la punctul A la [H] i se numete cota punctului A. a se numete proiecia vertical a punctului A. Segmentul Aa reprezint distana de la punctul A la [V] i se numete deprtarea punctului A. a se numete proiecia lateral a punctului A. Segmentul Aa reprezint distana de la punctul A la [W] i se numete abscisa punctului A. z

a' AH

az a" O a ay

ax x

y VW

Fig.28 Poziia punctului este deci descris prin cele trei coordonate descriptive ale sale: abscisa, deprtarea i cota. Convenia cu privire la semnele coordonatelor este redat n tabelul de mai jos.T1 + + + T2 + + T3 + T4 + + T5 + + T6 + T7 T8 + -

Abscisa Deprtarea Cota

n figura 29 sunt reprezentate n tripl proiecie ortogonal, punctele B i C aparinnd triedrelor 4, respectiv 5.


31

z

z

c z c"

c' C

H

bx x b b' V B bz

O byx

H

cx O cy y VW

c

y b" W

a) Fig.29

b)

3.2 Epura punctuluiReprezentarea n epur presupune prezentarea pe planul vertical a proieciilor punctelor din spaiu. n acest scop se rabat planele orizontal i lateral peste planul vertical de proiecie. Rabaterea planului orizontal de proiecie se face prin rotirea acestuia n jurul axei Ox pn la suprapunerea pe planul vertical de proiecie, iar rabaterea planului lateral se face prin rotirea acestuia n jurul axei Oz (fig.30).z

a' AH

a z a" O a ay

ax x

y VW

32


Fig.30 Se observ c: punctele a i a se gsesc pe aceeai perpendicular pe axa Ox, numit linie de ordine fa de Ox.; punctele a i a se gsesc pe aceeai perpendicular pe axa Oz, numit linie de ordine fa de Oz.; axa Oy va ocupa doua poziii n urma rabaterii planelor [H] i [W], n prelungirea axei Oz i, respectiv n prelungirea axei Ox, poziie n care va fi notat cu Oy1. Epura punctului const n reprezentarea acestuia n planul desenului, prin proieciile sale, construite cu ajutorul coordonatelor (fig.31).z a' a z a"

ax x a

O

ay1

y1

ay y

Fig.31 Din convenia cu privire la semnele coordonatelor i din modul de obinere a reprezentrii n epur rezult: abscisele pozitive se msoar pe axa Ox n stnga originii sistemului de referin, iar cele negative n dreapta; deprtrile pozitive se msoar pe linii de ordine fa de axa Ox sub aceasta, iar deprtrile negative deasupra acesteia; cotele pozitive se msoar pe linii de ordine fa de axa Ox deasupra acesteia, iar cotele negative sub aceasta. n figura 32 este prezentat modul de construire a epurei punctului A (20, 35, 30) situat n primul triedru. Etape: 1. Se traseaz axele sistemului de referin; abscisa fiind pozitiv, se msoar pe axa Ox din origine spre stnga un segment de 20 mm obinndu-se ax; 2. Se traseaz prin ax linia de ordine fa de axa Ox; deprtarea fiind pozitiv, pe linia de ordine, sub axa Ox, se msoar deprtarea - 35mm - obinndu-se proiecia orizontal a;


33

3. Cota se msoar pe linia de ordine deasupra axei Ox (fiind pozitiv), obinndu-se proiecia vertical a; 4. Punctul ay se obine intersectnd axa Oy cu linia de ordine fa de aceasta, dus prin proiecia orizontal a; 5. Punctul az se obine prin intersectarea axei Oz cu linia de ordine prin proiecia vertical a; cu centrul n O i cu raza Oay se traseaz un arc de cerc n sens trigonometric; 6. Prin punctul de intersecie dintre arcul de cerc i axa Oy1 - notat cu ay1 - se duce linia de ordine fa de Oy1; 7. Prin intersectarea acesteia cu linia de ordine fa de axa Oz dus prin a, se obine proiecia lateral a; arcul de cerc poate fi nlocuit cu o dreapt dus prin ay care face un unghi de 450 cu axa Oy.z a' a z a"

z a' a z a"

ax x

O

ay1

axy1

O

ay1

x

y1

a

ay y

a

ay y

Fig. 32 n figura 33a este prezentat epura punctului B (30, -20, 50) situat n triedrul 2, iar n figura 33b epura punctului C (-40, 20, -45) din triedul 8.

z b' b x bx by1 b" b z

z

O

cx c'

cy 1 c" y 1

by O y1

x

c z

c y

c y

ya)

b)

34


Fig.33ntrebri referitoare la epura punctului

1. Care segment din epur msoar distana de la punct la planul vertical de proiecie? Care este denumirea acestei distane? Dar de la punct la planul orizontal? 2. Cum sunt situate proieciile unui punct fa de axa Ox atunci cnd el se afl n diedrele IV, II, VII i V? 3. Fiind date dou proiecii ale unui punct, s se explice cum se obine cea de-a treia proiecie. 4. Cum se determin coordonatele unui punct, cunoscnd epura acestuia? 5. Care este semnul coordonatelor punctelor situate n triedrele III, VIII, I i VI?Probleme propuse

1. S se reprezinte n epur urmtoarele puncte i s se precizeze cror triedre aparin:a) pe aceeai epur A (30, -20, 30); B (-20, 30, 25); C (-40, -15, 40); D (50, 25, -60). b) pe aceeai epur M (80, 30, 40); N (40, -20, -50); P (-50, -30, -20); Q (-70, 40, 60).

2. S se reprezinte n epur urmtoarele puncte i s se precizeze poziia particular pe care o ocup: a) pe aceeai epur H (40, -20, 0); V (-30, 0, 40); W (0, 50, -40). 3. S se determine a treia proiecie a punctelor A, B, C cunoscndu-se:z

za'

OO x y1

x

y1 b' b '' y

y

a

a)

b)


35

z O x c" c' y1

y

c)

36


CAPITOLUL 4 DREAPTA4.1 Reprezentarea drepteiDreapta este reprezentat prin proieciile sale care se obin unind proieciile de acelai nume a dou puncte aparinnd dreptei. n figura 34 este reprezentat proiecia axonometric principal a dreptei determinat de punctele A i B. Figura 35 conine reprezentarea n epur a dreptei AB. Un punct aparine unei drepte dac proieciile sale sunt situate pe proieciile de acelai nume ale dreptei.

zza z

a' A b' B xay ax

a'

az

a" b"b y1 a y1

a"bz

b'

bz

b" O aby a y

bx

ax

x b

Oby

y1

b

y

a

ay

y

Fig.34

Fig.35

4.2 Urmele drepteiUrma unei drepte pe un plan este punctul n care dreapta intersecteaz planul.

Urma orizontal este punctul de intersecie a dreptei cu planul orizontal de proiecie. Urma orizontal H (h, h', h") a drepteiD (d, d', d") este un punct al acesteia care are cota nul, adic proiecia vertical h' trebuie s se gseasc la intersecia proieciei verticale a dreptei cu axa Ox, iar proiecia lateral h" trebuie s se gseasc la intersecia axei Oy cu proiecia lateral a dreptei (fig.36).


37

n figura 37 este prezentat modul de obinere, n epur, a urmei orizontale a dreptei. Etape: 1. Se prelungete proiecia vertical a dreptei pn la intersecia acesteia cu axa Ox i se noteaz cu h' punctul de intersecie; 2. Prin h' se construiete linia de ordine care intersecteaz prelungirea proieciei orizontale a dreptei n h; 3. Se determin h i dac s-a lucrat corect, h trebuie s fie situat la intersecia proieciei laterale a dreptei cu axa Oy1.

z

a'

a

z

z a'a" az

Ab' b

a" b"b y1 a y1

x

h'

Ba y b a a x

z b" by a y

b' h' x h b abx a x

bz

O h"

Oby ay

h"

y1

H=h

y

y

Fig.36

Fig.37

Urma vertical este punctul de intersecie a dreptei cu planul vertical de proiecie Urma vertical V (v, v', v") a dreptei D (d, d', d") este punctul de pe dreapt care are deprtarea nul, adic proiecia orizontal v se afl la intersecia proieciei orizontale a dreptei cu axa Ox, iar proiecia lateral v" trebuie s se gseasc la intersecia proieciei laterale a dreptei cu axa Oz. n figura 38 este reprezentat axonometric modul n care se obine urma vertical, iar n figura 39 este reprezentarea n epur. Etape: 1. Se prelungete proiecia orizontal a dreptei i se noteaz cu v intersecia acesteia cu axa Ox; 2. Linia de ordine fa de Ox dus prin v intersecteaz prelungirea proieciei verticale a dreptei n v'; 3. Proiecia lateral v" rezult din intersectarea axei Oz cu linia de ordine fa de aceasta, dus prin proiecia vertical v'.

38


zV=v' b' a' B A vbx

v"bz az

b"

v' a"

b' a'

z v"bz az

b" a"b y1 a y1

x

ax

Oby

v xay

bx

ax

O bby ay

h"

b a

y1

ya

y

Fig.38

Fig.39

Urma lateral este punctul de intersecie al dreptei cu planul lateral de proiecie. Urma lateral W (w, w', w") a drepteiD (d, d', d") este punctul de pe dreapt care are abscisa nul, deci proiecia orizontal w se gsete la intersecia axei Oy cu proiecia orizontal a dreptei, iar proiecia vertical w' se gsete la intersecia axei Oz cu proiecia vertical a dreptei. n figura 40 este reprezentarea axonometric n care este artat modul n care se determin proieciile urmei laterale, iar n figura 41 este reprezentarea n epur. Etape: 1. Se prelungete proiecia orizontal a dreptei pn la intersecia cu axa Oy. n acest punct se afl w; 2. Se prelungete proiecia vertical a dreptei pn la intersecia cu axa Oz. n acest punct se afl w; 3. Se construiete proiecia lateral w"; pentru verificare w" trebuie s aparin proieciei laterale a dreptei.zb' a' B Abx bz az

b" b' w' a"bx by ay

zbz

b" a" w"b y1 a y1

a'ax

az

x

ax

O W=w" x b

w' Oby ay

b a

y1

w

y

a w y

Fig.40

Fig.41


39

4.3 Regiunile drepteiPentru a identifica diedrele i triedrele pe care le strbate o dreapt, dup ce s-au determinat urmele dreptei, se ia cte un punct pe fiecare poriune a dreptei, adic ntre urme i n afara zonei dintre urme i se studiaz semnele coordonatelor acestor puncte. n figura 42 este reprezentat axonometric dreapta D, iar n figura 43 este reprezentat n epur. A B C E + + x + + + y + + + z T4 T1 T5 T6 Triedrul

zE e"v" V=v'

e'

d" c"w'

c' CW=w"

b' d'h'

B

OH=h w"

b" ch" v

d e

x

a'

a D A

b

a"

y

Fig.42

40


z

e" v" c"

e' c' v'

w' b' h'x

w" b" O h" v e c a"y 1

a' b

w h

T4

a

T1y

T5

T6

Fig.43 Dreapta oarecare din figura 44a care intersecteaz axa Ox, trece prin trei triedre: T1, T3, T5, iar dreptele oarecare care trec prin originea sistemului de referin strbat triedrele 1 i 8 (fig.44b).d' z d' h=h'=v=v' x d y O y1 x d y h=h'=v=v'=w=w' O y1 z

a) Fig.44

b)


41

4.4 Poziiile particulare ale dreptelorDup poziia pe care o ocup n sistemul de referin, dreptele pot fi: simplu particulare (drepte paralele cu unul din planele sistemului de referin) sau dublu particulare (drepte perpendiculare pe planele sistemului de referin sau paralele cu dou plane ale sistemului de referin).

4.4.1. Drepte simplu particulareO dreapt paralel cu un plan este determinat de dou puncte situate la aceeai distan fa de acel plan. Segmentele situate pe o dreapt paralel cu unul din planele de proiecie se proiecteaz n adevarat mrime pe respectivul plan de proiecie. O dreapt paralel cu unul din planele sistemului de referin nu are urm pe acel plan de proiecie. Exist trei categorii de drepte simplu particulare: dreptele de nivel sau orizontalele, sunt paralele cu [H] i se noteaz cu G (g, g,g) Proprieti: Toate punctele unei drepte de nivel au aceeai cot i deci proiecia vertical a'b' a dreptei de nivel AB este paralel cu axa Ox; iar proiecia lateral a"b" este paralel cu axa Oy. (fig.45). Unghiul pe care dreapta l face cu [V] se proiecteaz n mrime real ntre proiecia orizontal ab i axa Ox. Complementul acestuia, adic unghiul pe care proiecia orizontal l face cu axa Oy este adevrata mrime a unghiului pe care dreapta AB l face cu [W]. Segmentul AB din spaiu se proiecteaz n mrime real pe [H].z z b" v' w" x a x b y w v a b w y O y1 a' b'v"=w' a" b" w"

b' v' a' A

w'=v" a" B O

v

Fig.45dreptele de front sau frontalele, sunt paralele cu [V] i se noteaz cu F (f, f, f). Proprieti: Toate punctele unei drepte de front au aceeai deprtare i deci proiecia orizontal ab a dreptei de front este paralel cu axa Ox, iar proiecia lateral a"b" este paralel cu axa Oz. (fig.46).

42


Unghiul pe care dreapta l face cu [H] se proiecteaz n mrime real ntre proiecia vertical ab i axa Ox. Unghiul pe care proiecia vertical ab l face cu axa Oz este adevrata mrime a unghiului pe care dreapta AB l face cu [W]. Segmentul AB din spaiu se proiecteaz n mrime real pe [V].z w' b' a' h' B O A h a b yh a b w

w" b" a" h"=wa'

w' b'

z

w" b" a" h"

x

h'

O

y1

x

y

Fig. 46Dreptele de profil, sunt paralele cu [W]. Proprieti: Toate punctele unei drepte de profil au aceeai abscis i deci proiecia orizontal ab a dreptei de profil este paralel cu axa Oy, iar proiecia vertical ab este paralel cu axa Oz. (fig.47). Unghiul pe care dreapta l face cu [H] se proiecteaz n mrime real ntre proiecia lateral ab i axa Oy1. Unghiul pe care proiecia lateral ab l face cu axa Oz este adevrata mrime a unghiului pe care dreapta AB l face cu [V]. Segmentul AB din spaiu se proiecteaz n mrime real pe [W].


43

zv" v' a' b' h'=v a b A O B b" h" h b' a" v' a' v" a" b" O v=h' a

z

x

y1h"

x

y

b h

y

Fig.47 n figura 48 sunt reprezentate n epur drepte simplu particulare crora li s-au determinat urmele. Se observ c dreapta de nivel nu are urm orizontal, cea de front nu are urm vertical, iar cea de profil nu are urm lateral.z g' x v g y w" v' v"=w' wO

g" y 1x f

f'

f" y 1

d'

z

d"

h' O h" h w' w w" y

x h v'

h'=v O h" v" y

y 1

Fig.48

4.4.2 Drepte dublu particulareDreptele dublu particulare sunt perpendiculare pe unul din planele sistemului de referin. Ele sunt paralele cu celelalte dou plane de referin i paralele cu axa lor de intersecie. Segmentele situate pe aceste drepte se proiecteaz n adevarat mrime pe dou din planele sistemului de referin. Dreptele perpendiculare pe unul din planele sistemului de referin au urm numai pe planul pe care sunt perpendiculare. Exist trei categorii de drepte dublu particulare: a) Verticalele sunt dreptele perpendiculare pe [H]. Toate punctele unei verticale au aceeai abscis i aceeai deprtare deci, proieciile pe planul vertical i lateral ale acesteia sunt paralele cu axa Oz, iar proiecia ei orizontal se reduce la un punct, ce coincide cu urma orizontal a dreptei (fig.49).

44


zz

a' a' A O b' h' B b" h" x h' O b' a"

a"

b" h" y1

x

a=b=h

y

a=b=h

y

Fig.49b) Dreptele de capt sunt perpendiculare pe [V]. Toate punctele unei drepte de capt au aceeai abscis i aceeai cot deci, proieciile pe planul orizontal i lateral ale acesteia sunt paralele cu axa Oy, iar proiecia ei vertical se reduce la un punct ce coincide cu urma vertical a dreptei (fig.50).zz v" b" a'=b'=v' a'=b'=v' B O A v b a" v x b O y1 v" b" a"

x

a

y

a y

Fig.50 c) Fronto-orizontalele sunt perpendiculare pe [W]. Toate punctele unei drepte fronto-orizontale au aceeai deprtare i aceeai cot deci, proieciile pe planul orizontal i vertical ale acesteia sunt paralele cu axa Ox, iar proiecia ei pe planul lateral se reduce la un punct ce coincide cu urma lateral a dreptei (fig.51).


45

z w' b' a' a' O B A b x w a b w a"=b"=w" O y1 b' w' a"=b"=w"

x

a

y

y

Fig.51 n figurile 52, 53 i 54 sunt reprezentate drepte coninute n planele de proiecie. Astfel: - dreapta coninut n [H] are proiecia vertical suprapus peste axa Ox, iar proiecia ei lateral peste axa Oy (fig.52);z zb' a' A=a B=b

Oa" b"

x v' v

a' a

b'

O a"

b" w" y1

x

y

b

w y

-

Fig.52 dreapta coninut n [V] are proiecia orizontal suprapus peste axa Ox, iar proiecia ei lateral peste axa Oz (fig.53);

46


z

B=b'

b" b' a"

w'

zb" a"

A=a' b a

Oh'

a'

y1

x y

a

b

O y

x

-

Fig.53 dreapta coninut n [W] are proiecia orizontal suprapus peste axa Oy, iar proiecia ei vertical peste axa Oz (fig.54).v" a' A=a" b' O a B=b" b' b" O a v" a' a"

z

x

y1h"

x

b h"

y

b h

y

Fig.54

4.5 Poziiile relative a dou drepteDou drepte pot avea n spaiu urmtoarele poziii: paralele, concurente sau disjuncte (oarecare). 1. Dreptele paralele au proieciile de acelai nume paralele (fig.55); 2. Dreptele concurente au proieciile de acelai nume concurente, interseciile acestora sunt situate pe aceeai linie de ordine (fig.57); 3. DrepteleD i reprezentate n epur n figura 56 nu sunt concurente (proieciile de acelai nume se intersecteaz, dar punctele nu sunt pe aceeai linie de ordine).


47

d' d'1 m'

d' m' d'1 d' O d n d1 x d d m 1 d'1 O

x d d1

O

x

Fig.55

Fig.56

Fig.57

4.6 Proiecia unghiului dreptTeorema de proiecie a unghiului drept:Dac un unghi drept are o latur paralel cu unul din planele de proiecie, atunci pe acel plan unghiul drept se proiecteaz n adevrat mrime.

SauUn unghi drept se proiecteaz n adevrat mrime pe un plan paralel cu una din laturile sale.

O aplicaie direct a acestei teoreme este dat de construcia perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt aflat ntr-o poziie particular. n figura 58 este prezentat construcia perpendicularei dus prin punctul A pe dreapta de nivelG; unghiul drept se proiecteaz n adevrat mrime pe planul orizontal, deoarece una din laturile acestuia este paralel cu acest plan de proiecie. n figura 59 sunt prezentate etapele construirii perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt de front; unghiul dintre dreapta de frontF i perpendiculara prin punctul S se proiecteaz n adevrat mrime pe planul vertical de proiecie.

48


Etape: 1. Se obine proiecia orizontal i a piciorului perpendicularei ducnd o perpendicular pe proiecia orizontal g a dreptei de nivel prin proiecia orizontal a punctului; 2. Proiecia vertical i' se afl la intersecia liniei de ordine dus prin proiecia orizontal i cu proiecia vertical g' a dreptei de nivel; 3. Proiecia vertical a perpendicularei se obine prin unirea proieciei verticale a' cu proiecia vertical i'.

m' g' i'

x g m iFig. 58

O

Etape: 1. Se construiete mai nti proiecia vertical i' a piciorului perpendicularei ducnd o perpendicular prin n pe proiecia vertical f' a dreptei de front; 2. Proiecia orizontal a acestuia rezult prin intersectarea proieciei orizontale f a frontalei cu linia de ordine dus prin proiecia vertical i'.

f' i'

n'

x n f iFig. 59

O

ntrebri referitoare la epura dreptei

1. Definii urma dreptei. 2. Care sunt etapele de construire a urmei orizontale a unei drepte? Dar a urmei verticale? Laterale? 3. Cum se stabilete n epur poziia relativ a dou drepte? 4. Cnd se proiecteaz un unghi drept pe planul de proiecie n mrime real?Probleme propuse:


49

1. S se reprezinte n epur dreapta AB, s se determine urmele acesteia i s se stabileasc diedrele i triedrele pe care le strbate. Se cunosc: a. A (15, 5, 30); B (35, 20, 10); b. A (-20, 8, 23); B (15, 20, 10); c. A (-55, 40, -8); B (40, -10, 38); d. A (-15, -15, 32); B (35, 20, 10); e. A (12, -32, 7); B (47, -6, -27); 2. S se gseasc proieciile punctelor M, N i P situate pe dreapta AB. Se cunosc: A (40, 30, 40); B (10, 0, 20), M (30, y, z); N (x, 40, z), P (x, y,-10). 3. S se construiasc prin M o dreapt D (d, d) paralel cu dreapta AB. Se cunosc: A (70, 40, 20), B (10, 68, 60), M (30, 10, 30). 4. S se determine proieciile figurii plane ABCD cunoscnd: A (70, 20, 40); B (50, 60, 20), C (20, 40, 60); D (60, 10, z). 5. S se construiasc prin punctul M (10, 5, 30) drepte perpendiculare pe AB i CD. Se cunosc: A (30, 12, 10), B (0, 35, 10); C (35, 15, 15); D (35, 30, 35).

50


CAPITOLUL 5 PLANUL5.1. Reprezentarea planuluiUn plan poate fi reprezentat n epur n urmtoarele moduri: 1. Prin proieciile a trei puncte din plan (fig. 60 a); 2. Prin proieciile unei dreapte i ale un punct din plan (fig. 60 b); 3. Prin proieciile a dou drepte concurente (fig. 60 c); 4. Prin proieciile a dou drepte paralele (fig. 60 d); 5. Prin urmele sale (fig 61 b). Urmele planului [P] sunt dreptele de intersecie ale acestuia cu planele de proiecie: Ph se numete urm orizontal. n acest caz se noteaz numai proiecia ei pe [H], proieciile vertical i lateral fiind suprapuse peste Ox i respectiv Oy; Urma orizontal mai poate fi definit ca fiind locul geometric al urmelor orizontale ale tuturor dreptelor din plan. Pv se numete urm vertical. n acest caz se noteaz numai proiecia ei pe [V], proieciile orizontal i lateral fiind suprapuse peste Ox i respectiv peste Oz; Urma vertical mai poate fi definit ca fiind locul geometric al urmelor verticale ale tuturor dreptelor din plan. Pw se numete urm lateral. n acest caz se noteaz numai proiecia ei pe [W], proieciile orizontal i vertical fiind suprapuse peste Oy i respectiv peste Oz. Urma lateral mai poate fi definit ca fiind locul geometric al urmelor laterale ale tuturor dreptelor din plan.

b' c' a' x a b c O x a b a'

b' c' a' O c x a

b'

b' c' a' O c x a b c O c'

b

a

b Fig.60

c

d


51

zz Pz Pv Pv Pw O x Px Py Ph Py Pz Pw Py1 y1

P x

Ph

x

y

y

b Fig. 61 Poziiile urmelor sunt determinate de poziia planului n sistemul de referin - fig.62.

a

z

Pv Q v P x Qx Q h Ph O

Pw

Py

x

y

Fig. 62

52


5.2 Plane particulare5.2.1 Plane perpendiculure pe unul din planele sistemului de referin. Plane simplu particularea) Plan proiectant fa de [H] (fig.64). Proprieti: Este perpendicular pe planul orizontal de proiecie, (paralel cu axa Oz); Urmele vertical i lateral sunt paralele cu axa Oz; Unghiul dintre axa Ox i urma orizontal este adevrata mrime a unghiului pe care planul proiectant l face cu planul vertical de proiecie; Unghiului este mrimea unghiului dintre planul proiectant i planul lateral de proiecie; Toate punctele coninute ntr-un plan proiectant fa de [H] au proieciile orizontale situate pe urma orizontal a acestuia.zb" a"

a"Pv

Pva' Pw

b'

z

Pw

a'

A O

x Py

O P xa b

Py1y1

Px

a

Ph

Ph

x

y

Py

y

Fig 64 b) Planul proiectant fa de [V] (fig.65). Proprieti: Este perpendicular pe planul vertical de proiecie (paralel cu axa Oy); se mai numete plan de capt; Urmele orizontal i lateral sunt paralele cu axa Oy; Unghiul dintre axa Ox i urma vertical este adevrata mrime a unghiului pe care planul proiectant l face cu planul orizontal de proiecie; Unghiul este msura unghiului dintre planul proiectant i planul lateral de proiecie; Figurile coninute ntr-un plan proiectant fa de [V] au proieciile verticale situate pe urma vertical a acestuia.


53

z Pzb'

B

b'

P z

z

Pw b"

Pwa' x Px

Pv

a'

OA

O

a" y 1

Px x

Ph

y

a Ph b y

Fig. 65 c) Planul proiectant fa de planul lateral de proiecie (fig.66). Proprieti: Este perpendicular pe [W] (paralel cu axa Ox); Urmele orizontal i vertical sunt paralele cu axa Ox; Unghiul pe care planul proiectant l face cu [H] este , adic unghiul dintre urma lui lateral i axa Oy1; Unghiul dintre urma lateral i axa Oz, este msura unghiului pe care planul proiectant l face cu planul vertical de proiecie; Figurile coninute ntr-un plan proiectant fa de [W] au proieciile laterale situate pe urma lateral a acestuia.zv" a' A O a h" x a b' O Pv a" a' P z a" P w b" y1 Py1 z

x

y

b Ph Py y

Fig. 66

54


5.2.2 Plane paralele cu unul din planele sistemului de referin. Plane dublu particulare1. Planul de nivel (fig. 67). Proprieti: Este paralel cu [H]; Toate punctele planului au aceeai cot, de unde rezult c urma vertical a unui astfel de plan este paralel cu axa Ox, iar cea lateral, paralel cu axa Oy.zz Nz a" b" O A B Nv a' b' a"=b" Nw

b' a'

Nv

Nwx

O y1

b

x

a

y

a

b

y

Fig 67 2. Planul de front (fig.68). Proprieti: Este paralel cu [V]; Toate punctele planului au aceeai deprtare, de unde rezult c urma orizontal a unui astfel de plan este paralel cu axa Ox, iar cea lateral, paralel cu axa Oz.zz Fw Fw a' b' A O b" B b x Fy O a" b' b" Fw y1 a' a"

x

Fh

a

y

Fh

a

b

Fh

y

Fig.68


55

Planul de profil - fig.69 3. Proprieti: Este paralel cu [W]; Toate punctele planului au aceeai abscis, de unde rezult c urma orizontal este paralela cu axa Oy, iar cea vertical, cu axa Oz.zz Pv b' Pv b' a" P x b B A O b" a' a" x Pv Ph b O y1 a" b"

x

a P h

y

a Ph

y

Fig. 69 Observaii: 1. Un plan paralel cu unul din planele sistemului de referin nu are urm pe acel plan de proiecie. 2. Figurile coninute ntr-un plan paralel cu unul din planele sistemului de referin se proiecteaz pe acesta n adevrat mrime. 3. Proieciile figurilor pe celelalte plane de proiecie sunt situate pe urmele corespunztoare ale planului.

5.3 Dreapta i punctul coninute n planO dreapt aparine unui plan dac dou puncte ale sale sunt coninute n plan. Un punct este coninut ntr-un plan dac este situat pe o dreapt coninut n plan. n epur, o dreapt este coninut ntr-un plan dac urmele sale sunt pe urmele de acelai nume ale planului. Se pot defini urmele planului ca fiind locurile geometrice ale urmelor tuturor dreptelor coninute n plan. Dreapta HV (fig. 70) este coninut n planul [P] deoarece urmele acesteia sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului. Punctul M (m, m') aparine planului [P] deoarece el este situat pe dreapta HV.

56


w"

z w' Pz Pw

a' 1' m' c' y1 x b 1 a m c O

v' Pv m' Px x h h' v m Ph Py y w Py1 b'

Fig. 70

Fig 71

n figura 71 dreapta MB aparine planului plcii triunghiulare ABC deoarece ea trece prin dou puncte ale acesteia (punctul 1 este situat pe dreapta BM). DreaptaD (d, d') din figura 72 aparine planului ABC deoarece ea trece prin punctul B al planului i este paralel cu latura AC.b' d' a' a' c' x O a x c c d d b a b d1 O c' d' d'1 b'

Fig. 72

Fig.73

n figura 73 punctul C (c, c) nu aparine planului determinat de dreptele paralele D i D1, deoarece el nu aparine dreptei AB coninut n plan. Pentru a determina urmele planului definit prin dou drepte concurente, se procedeaz astfel (fig. 74): Se construiesc urmele celor dou drepte; Se construiesc urmele planului prin unirea urmelor de acelai nume ale celor dou drepte.


57

d'

v'1 v' m' h'

Pv

d' 1 Px x m d1 h1 d h'1 v

v1 O

h

Ph

Fig. 74

5.4 Drepte remarcabile ale unui planDreptele remarcabile ale unui plan sunt drepte coninute n plan i paralele cu unul din planele sistemului de referint, adic orizontalele, frontalele i dreptele de profil ale planului. O alt categorie de drepte remarcabile ale unui plan este reprezentat de liniile de cea mai mare pant. 1. Orizontalele planului (fig. 75) - sunt drepte paralele cu [H] i care aparin planului; urmele lor verticale i laterale sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului; proiecia orizontal este paralel cu urma Ph a planului. DreaptaG este o orizontal a planului.zz Pz Pz P g" w Px x g Ph Py y Pv g' g P x Ph Py Pw g" Py1 y1

Pv

g' G

O

x

y

Fig. 75

58


2. Frontalele planului (fig. 76) - sunt drepte paralele cu [V] i care aparin planului; urmele lor orizontale i laterale sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului; sunt paralele cu urma vertical a planului; dreaptaF este o frontal a planului.zz Pz Pv Pv f' Pw O F P x f Ph Py f" x Px f Ph f' Py1 y Pz f" Pw

x

y

Py y

Fig. 76 3. Dreptele de profil ale planului (fig. 77) - sunt drepte paralele cu [W] i care aparin planului; urmele lor orizontale i verticale sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului; au proieciile laterale paralele cu urma vertical a planului; dreaptaD este o frontal a planului.zz Pz Pw O d P x Ph D Py d" x Ph d Py y Px Pv Pz d' Pw d" Py1 y1

Pv d'

x

y

Fig. 77 4. Liniile de cea mai mare pant fa de [H], ([V], [W]) sunt drepte coninute n plan i perpendiculare pe urma lui orizontal, vertical, respectiv lateral i implicit pe toate orizontalele, frontalele, respectiv dreptele de profil ale planului.


59

n figura 78 dreapta Lh este linie de cea mai mare pant fa de [H] (l.c.m.m.p./H) deoarece este perpendicular pe urma orizontala Ph a planului [P] i implicit pe toate orizontalele acestuia. Linia de cea mai mare pant a unui plan determin complet acel plan. Etapele de construire a planului [P] atunci cnd se cunoate linia de cea mai mare pant fa de [H] sunt urmtoarele: Se construiete urma orizontal a planului Ph avnd direcia perpendicular pe proiecia orizontal a liniei de cea mai mare pant fa de [H] i trecnd prin urma orizontal a lui Lh; Se construiete urma vertical a planului, Pv, unind punctul Px aflat la intersecia urmei orizontale cu axa Ox, cu proiecia vertical a urmei verticale a dreptei, v. Unghiul , obinut prin rabatere, reprezint mrimea real a unghiului pe care planul [P] l face cu planul [H].Pv v' l' h lh h v1

Px x

h'

v O

Ph

Fig. 78

5.5 Poziiile relative a dou planePlanele pot ocupa urmtoarele poziii relative: plane paralele i plane concurente. Planele paralele au urmele de acelai nume paralele (fig. 79), ca urmare a faptului c planele paralele se intersecteaz cu un al treilea plan dup drepte paralele.z

Qv Pv Pv Qx P xQ h Ph

Q v

O x

Px

Qx Ph Qh O

x

y

Fig 79

60


Pentru a construi un plan [Q] paralel cu un plan dat [P] care trece printr-un punct M exterior planului [P], se parcurg etapele (fig. 80): Se construiete prin M o orizontal (frontal) a planului [Q]. Aceasta are proiecia orizontal (vertical) paralel cu urma Ph (Pv) a planului [P]; Se determin urma vertical (orizontal) a dreptei considerate; Prin urma vertical (orizontal) a dreptei trece urma vertical (orizontal) a noului plan [Q] care este paralel cu urma de acelai nume a planului [P] dat; Se gsete punctul Qx la intersecia acesteia cu axa Ox i prin acest punct se construiete cealalt urm, paralel cu urma de acelai nume a planului [P].

Pv

Q v v' m' g'

Px x

Qx v m Ph Qh O g

Fig. 80 Planele concurente se intersecteaz dup o dreapt oarecare. Planele concurente se pot ntlni sub un unghi oarecare sau pot fi perpendiculare. Dreapta de intersecie dintre dou plane este determinat de dou puncte ce aparin ambelor plane sau de un punct ce aparine ambelor plane i de o direcie cunoscut. Pentru a determina dreapta de intersecie a planelor [P] i [Q] date prin urme, se intersecteaz urmele de acelai nume ale celor dou plane i se obin punctele H (h, h') i V (v, v') care determin drapta ( , ') .


61

Pv Q v v' ' Px x Q h h Ph h' v Qx O

Fig. 81 n figura 82 este artat modul n care se rezolv intersecia dintre un plan proiectant fa de [V] dat prin urme i o plac triunghiular. Se parcurg etapele: Se culeg punctele n care urma Pv a planului proiectant ntlnete laturile AB, respectiv AC ale plcii triunghiulare ABC. Se obin mai nti proieciile punctelor pe planul vertical m i n i apoi, construind linii de ordine fa de Ox se gsesc proieciile pe planul orizontal (m i n) la intersecia acestora cu dreptele ab, respectiv ac.b' Pv m' a' x m b n' c' Px O

b'

f'

d' m'

n' c'

a' x d m e b

e' O

a

an c Pv

n

f

c

Fig.82 Fig.83 Pentru cazul n care se intersecteaz dou placi triunghiulare ABC i DEF (fig. 83), placa DEF fiind coninut ntr-un plan vertical proiectant fa de [H], pentru determinarea dreptei de intersecie se parcurg etapele: Se construiesc mai nti proieciile orizontale m i n ale segmentului de intersecie; prin intersectarea laturilor ab i bc cu urma orizontal a planului DEF (def); Se ridic linii de ordine fa de Ox i la intersecia acestora cu proieciile verticale ale dreptelor ab i bc se afl proieciile punctelor M i N pe planul vertical, respectiv m i n.

62


n cazul n care se intersecteaz dou plane proiectante, se determin dreapta de intersecie la intersecia urmelor de acelai nume. a) Pentru plane proiectante fa de [H] dreapta de intersecie este o vertical (fig.84a); b) Pentru plane proiectante fa de [V] dreapta de intersecie este o dreapt de capt (fig.84b);Qv d' Pv Pv d' x Qx Ph d Qh Qh d Ph Px O x Qx Px Qv

a)

b)

Fig. 84 Planele perpendiculare sunt plane concurente sub un unghi diedru de 900. Dou plane sunt perpendiculare dac un plan conine normala la cellalt plan. Pentru a construi un plan perpendicular pe un plan dat care trece printr-un punct M, se parcurg etapele (fig.85): Se construiesc orizontala G i frontala F din planul plcii triunghiulare. Din punctul M se costruiesc proieciile perpendicularei pe planul ABC, avnd direciile perpendiculare pe proiecia orizontal a orizontalei (paralel cu urma orizontal a planului ABC), respectiv pe proiecia vertical a frontalei (paralel cu urma vertical a planului ABC); Se determin urmele acestei drepte; Problema admite o infinitate de soluii. Pentru a reprezenta una dintre ele, se alege un punct pe axa Ox, Px i se unete acesta cu proieciile h i respectiv v, obinndu-se urma orizontal a planului Ph, respectiv urma vertical, Pv.


63

b' P v Pv f' g' a' x Ph a 1 1' m' v' Px v b m 2 g c f h h' O 2' c'

Fig. 85Q v Pv Sv Rv

Px x

Qx O x

Sx

Rx O

Qh

Ph

Rh

Sh

a) Fig.86

b)

n figura 86 sunt reprezentate plane perpendiculare pe planele proiectante. Astfel, planul de capt [Q] este perpendicular pe planul oarecare [P], deoarece urma vertical Pv este perpendicular pe planul de capt (fig. 86a), iar planul vertical [R] este perpendicular pe planul oarecare [S], deoarece urma orizontal a planului oarecare Sh este perpendicular pe urma orizontal a planului proiectant, Rh (fig. 86b).

5.6. Poziiile unei drepte fa de un plan

64


O dreapt poate avea urmtoarele poziii relative fa de un plan: dreapt paralel cu planul, n particular dreapta coninut n plan; dreapt concurent cu planul, n particular dreapta perpendicular pe plan.

5.6.1 Dreapta paralel cu un planO dreapt este paralel cu un plan [P] dac este paralel cu o dreapt coninut n plan. Printr-un punct pot fi construite o infinitate de drepte paralele cu un plan. Se obine o soluie unic dac se impune nc o condiie. Astfel, pentru a construi o dreapt paralel cu planul ABC, care trece printr-un punct M i care este paralel i cu planul vertical de proiecie, se parcurg etapele (fig. 87): Se construiete frontala F coninut n plan; Se reprezint dreapta paralel cu frontala F care trece prin proieciile m i m ale punctului M.b' d' m' a' x m a f b d 1 f'

1' c'

c

Fig. 87 n figura 88 sunt reprezentate n epur drepte paralele cu planele proiectante.


65

z

Pva'

b'

Pv b'

Pv a' a" b' O x a O P w y1

x

O P xa b

x

Px

a'

b"

a

b b

Ph

Ph

Ph y

Fig. 86

5.6.2 Dreapta concurent cu un planAflarea punctului n care o dreapt neap un plan se reduce la rezolvarea interseciei a dou plane, considernd c dreapta dat este coninut ntr-un plan simplu sau dublu-particular, dup caz. Pentru construirea punctului de intersecie dintre dreaptaD i planul oarecare [T] (fig.87) se ia un plan auxiliar [Q] care conine dreaptaD i se construiete dreapta de intersecie a acestuia cu planul dat [T]; printr-o dreapt se pot duce o infinitate de plane; pentru simplificare i pentru diminuarea volumului de lucru, planul auxiliar se alege proiectant; punctul de intersecie cutat este punctul de intersecie K dintre drepteleD i.

Fig. 87 Etapele de aflare a proieciilor punctului n care o dreapt neap un plan sunt urmtoarele (fig. 88a): Se construiete un plan auxiliar care conine dreapta. Fie acesta planul [P], proiectant fa de [H]; Se intersecteaz urmele de acelai nume ale planelor [P] i [Q]. Se obine dreapta de intersecie (, ). Dreptele i D se intersecteaz n punctul I (i, i) care reprezint tocmai punctul n care dreapta D neap planul [Q]. sau (fig. 88b): Se construiete un plan auxiliar care conine dreapta. Fie acesta planul [P], proiectant fa de [V];

66


Se intersecteaz urmele de acelai nume ale planelor [P] i [R]. Se obine dreapta de intersecie (, ). Dreptele i D se intersecteaz n punctul I (i, i) care reprezint tocmai punctul n care dreapta D neap planul [R].

Qv Pv v' i' ' x Px=v i h Qha) Fig. 88

Rv d' i' h' Q O x x Px=h' i d = Ph Rh h Phb)

Pv d' ' v' v R x

d

Considernd planele opace, se impune clarificarea viziblitii dreptei D n raport cu planul [P]. Astfel, se pot enuna urmtoarele reguli de vizibilitate: Dintre dou puncte care au proieciile confundate pe planul orizontal de proiecie, este vizibil pe [H] acel punct care are cota cea mai mare (fig. 89); Dintre dou puncte care au proieciile confundate pe planul vertical de proiecie, este vizibil pe [V] acel punct care are deprtarea cea mai mare (fig.89); Astfel, punctul A este vizibil pe [H] deoarece cota acestuia este mai mare dect cota punctului B. Pe planul vertical este vizbil punctul A, deoarece deprtarea acestuia este mai mare dect deprtarea punctului A.A B a=b [H] [V] a'=b' B A

Fig 89


67

Pentru a determina punctul n care dreapta D(d, d) intersecteaz placa triunghiular ABC se procedeaz astfel (fig. 90): Se construiete un plan auxiliar de cpt care conine dreapta P (Ph, Pv); Se intersecteaz planul P cu planul plcii triunghiulare ABC; se obine dreapta de intersecie MN (mn, mn); Punctul n care dreapta D neap planul ABC este punctul n care aceasta se intersecteaz cu MN, I (i, i); Se clarific vizibilitatea considernd punctul 1M i 23. b'

Pv m'=1' a' x m a 1 n i b i'

3'

n ' 2' d'

c' Px O d

2=3

c

Pv

Fig. 90

5.6.3 Dreapta perpendicular pe un planO dreapt perpendicular pe un plan este perpendicular pe dou drepte distincte din plan. Astfel, o dreaptD perpendicular pe plan, are n epur, proieciile perpendiculare pe urmele de acelai nume ale planului.

68


Rv

d'

m' x m d RhFig. 91 Pentru construcia perpendicularei n punctul M pe planul planul plcii triunghiulare ABC, se parcurg etapele (fig 92): Se construiete orizontala C2 a planului triunghiului ABC; Se traseaz proiecia orizontal a perpendicularei d g ; Se construiete frontala A1 a planului triunghiului ABC; Se traseaz proiecia vertical d ' f ' .

Rx

O

b' d'g' 2' f' 1'

c'

a'

m'

x d ag 2

O c m1 f

Fig. 92


69

n figura 93 sunt reprezentate drepte perpendiculare pe plane proiectante fa de planele de proiecie. Perpendiculara pe un plan proiectant este paralel cu planul de proiecie pe care este perpendicular planul proiectant. Astfel: a) Dreapta D este perpendicular pe planul vertical [P] i este paralel cu [H]; b) Dreapta D este perpendicular pe planul de capt [Q] i este paralel cu [V]; c) Dreapta D este perpendicular pe planul [R] [W] i este paralel cu planul lateral de proiecie. Observaie: Dreptele perpendiculare pe planele paralele cu planele sistemului de referin sunt drepte dublu particulare, respectiv: verticale, de capt i fronto orizontale.P v d' i' Qv d' i' m' Px x m d i O x d m Ph i Qh Rh d y Qx O x d' i' m' m i O i" d" m" Rw y1 z Rv

m'

a)

b) Fig.93

c)

Pentru construcia unei perpendiculare pe o dreapt oarecare D, dus printr-un punct M, se parcurg urmtoarele etape (fig. 94): Se construiete planul [P] care conine punctul M i este perpendicular pe dreapt; Se construiete urma vertical Pv a planului, paralel cu proiecia frontalei f' construit prin m i perpendicular pe proiecia vertical a dreptei, d; Urma orizontal Ph a planului este perpendiculara dus prin urma orizontal h a frontalei pe proiecia orizontal d a dreptei, iar urma lui vertical Pv este paralela la f' dus prin intersecia Px a axei OX cu urma orizontal Ph; Se construiete planul vertical proiectant [Q] care conine dreaptaD; Qhd; urma vertical Qv este perpendiculara pe axa OX dus prin punctul de inersecie Qx al acesteia cu urma orizontal Qh; Se construiete dreapta de intersecie dintre planele [P] i [Q]; Punctul I (i, i') de intersecie dintre dreptele iD este piciorul perpendicularei pe dreaptaD prin punctul M.

70


Qv v' d' Pv m' f'

i' '

Px x

h'1

h' i Q =v x O

h1 d=Qh= Ph h m f

Fig. 94

5.6.4. Intersecia dreptelor cu planele proiectante.Vizibilitatea) Intersecia unei drepte cu un plan vertical (fig. 95). Proiecia orizontal a punctului de intersecie se afl la intersecia urmei orizontale a planului cu proiecia orizontal a dreptei.P v i' d'

Px x d i O

Ph

Fig. 95


71

b) Intersecia unei drepte cu un plan de capt (fig. 96). Proiecia vertical a punctului de intersecie se afl la intersecia urmei verticale a planului cu proiecia vertical a dreptei.Qv d' i' Qx x d O

i

Qh

Fig. 96 c) Intersecia unei drepte cu un plan proiectant fa de [W] (fig. 97). Proiecia lateral a punctului de intersecie se afl la intersecia urmei laterale a planului cu proiecia pe planul lateral a dreptei.z Rv i' d' x i Rh y d O i" d" Rw y1

Fig. 97 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.ntrebri referitoare la reprezentarea n epur a planului Ce sunt urmele planului? Care sunt planele proiectante fa de planele de proiecie? Ce proprieti au? Descriei etapele de construie a urmelor unui plan definit prin dou drepte concurente. Cum se determin poieciile unui triunghi situat ntr-un plan definit prin urme? Care este condiia ca un punct s aparin unui plan? Ce poziii ocup n epur proieciile orizontalelor i frontalelor unui plan? Ce sunt liniile de cea mai mare pant? Descriei modul n care se pot construi urmele unui plan cnd se cunosc proieciile liniei de cea mai mare pant fa de [H].

72


Probleme propuse

1. S se determine urmele planului determinat de punctele A (35, 25, 10); B (15, 33, 30) C (50, 5, 25). 2. S se determine proiecia vertical a triunghiului ABC coninut n planul P. Se cunosc: [P]=[Px(90,0,0); M(80,9,0); N(80,0,8)]; A (60, 10, zA); B (50, 25, zB); C (25, 15, zC). 3. S se determine dreapta de intersecie a planelor P i Q, definite prin urme. Se cunosc: [P]=[Px(90,0,0); M (80,3,0); N (80,0,8)]; [Q]=[Qx(10,0,0); A (15,6,0); B (15,0,3)]. 4. S se determine punctul comun (de intersecie) a trei plane. Se cunosc: [P]=[Px(90,0,0); M (80,5,0); N (80,0,7)]; [Q]=[Qx(5,0,0); A (10,2,0); B (10,0,6)]; [R]=[Rx(25,0,0);C (30,12,0); N (30,0,8)].Indicaie: se intersecteaz planele dou cte dou; punctul cutat este punctul de concuren a dreptelor de intersecie. Se vor intersecta P i Q, respectiv P i R.

5. S se determine punctul n care dreapta AB neap planul P. S se clarifice vizibilitatea. dreptei n raport cu planul P. Se cunosc: [P]=[Px(25,0,0); M(35,7,0); N(35,0,10)]; A (75, 18, 5) B (30, 48, 53). 6. S se gseasc punctul n care dreapta MN neap placa triunghiular ABC. S se clarifice vizibilitatea dreptei n raport cu planul ABC. Se cunosc: A (65, 30, 15), B (45, 10, 40), C (10, 45, 5) M (60, 13, 14), N (25, 50, 27).7. S se determine dreapta de intersecie dintre plcile triunghiulare ABC i MNP. S se clarifice vizibilitatea. Se cunosc:

A (102, 45, 24), B (75, 81, 58), C (34, 7, 3), M (105, 34, 8), N (68, 0, 63); P (18, 51, 21).


73

CAPITOLUL 6 POLIEDRE6.1 Reguli de reprezentare n epur a poliedrelorPrisma este poliedrul mrginit de un numr oarecare de fee avnd forme de paralelograme sau dreptunghiuri i de dou fee paralele i egale ntre ele, numite baze ale prismei. Numrul laturilor unei baze este acelai cu numrul feelor laterale. Prismele ale cror muchii laterale sunt perpendiculare pe baze se numesc prisme drepte, iar feele laterale ale prismelor drepte sunt dreptunghiuri. Prismele ale cror muchii laterale sunt nclinate fa de baze se numesc oblice, iar feele laterale ale prismelor oblice sunt paralelograme. Piramida este poliedrul la care una din fee este un poligon cu un numr oarecare de laturi i care se numete baz, iar celelalte fee sunt triunghiuri ce au un vrf comun numit vrf al piramidei. Poliedrele se reprezint n epur prin proieciile muchiilor. Proieciile muchiilor se obin prin unirea proieciilor vrfurilor n aceeai succesiune ca i n spaiu. Poligonul rezultat din intersecia suprafeei poliedrale cu planul de proiecie se numete contur aparent al poliedrului pe plan. Dup planele pe care se obin proieciile, se disting contururi aparente pe [H], [V] [i [W]. Reguli de vizibilitate: a) Feele poliedrului sunt opace; b) Conturul aparent este ntotdeauna vizibil; c) Punctele coninute n fee vizibile sunt vizibile; d) Dac n interiorul conturului aparent, dou muchii se intersecteaz aparent, atunci una din muchii este vizibil, iar cealalt este invizibil; e) Dac ntr-un punct din interiorul conturului aparent converg mai multe muchii, atunci toate muchiile sunt vizibile sau invizibile, dup cum este vizibil sau invizibil punctul de convergen. n figura 98 este reprezentat o prism triunghiular ABCDEF, cu baza coninut n [H]. Muchiile laterale au proieciile de acelai nume paralele. Pentru clarificarea vizibilitii, s-au aplicat regulile enunate anterior. n figura 99 este reprezentat epura unei piramide triunghiulare oarecare SABC, cu baza ABC situat ntr-un plan oarecare, S fiind vrful piramidei. Proieciile muchiilor se obin unind proieciile de acelai nume ale vrfului piramidei cu proieciile vrfurilor triunghilui de la baza acesteia. Se aplic regulile de vizibilitate.

74


e'

f'

d'

z

d ''

e ''

f ''

b' x b

c'

a' a

a '' b '' O

c '' y1

c e d

f

y

Fig. 98

a'

z b' b '' s ''

a ''

s' c'' O b s a yFig. 99

c' x c

y1


75

6.2. Seciuni plane n poliedreForma seciunii determinat de un plan ntr-o piramid depinde de poziia planului de seciune. Astfel: dac o piramid este secionat de un plan ce i intersecteaz toate muchiile laterale, seciunea este un poligon cu un numr de laturi egal cu al poligonului de baz (fig. 100a); dac planul secant intersecteaz baza piramidei, atunci una din laturile poligonului de seciune este coninut n baza acesteia (fig. 100b). dac planul de seciune conine vrful piramidei, poligonul de seciune rezultat este un triunghi (fig. 100c).

a)

b) Fig. 100

c)

Forma seciunii determinat de un plan ntr-o prism depinde de poziia planului de seciune. Astfel: dac prisma este secionat de un plan ce i intersecteaz toate muchiile laterale, seciunea este un poligon cu un numr de laturi egal cu al poligonului de baz (fig. 101a); dac planul de seciune este paralel cu muchiile laterale ale prismei, seciunea este un paralelogram (fig. 101b); dac planul de seciune este neparalel cu muchiile laterale ale prismei, dar i intersecteaz bazele, seciunea este un trapez (fig. 101c).

a)

b) Fig. 101

c)

76


Pentru a determina vrfurile poligonului de seciune, obinut prin secionarea unei prisme triunghiulare oblice cu baza coninut n [H], cu un plan oarecare [Q], se procedeaz astfel (fig. 102): Se construiesc planele auxiliare proiectante (n exemplul considerat plane de capt) P1, P2, P3, care conin muchiile prismei; Se intersecteaz aceste plane cu planul Q, obinndu-se dreptele H1V1, H2V2, H3V3; Se intersecteaz muchiile prismei cu dreptele determinate anterior i se gsesc punctele M, N, P care reprezint vrfurile poligonului de seciune; Se clarific vizibilitatea acestuia.

Pv2 e'

Pv3 f'

Pv1 d' v' 3 v'2 v'1 Qv

m' n' b ' v3 p' v1 c' m h2 d Ph2 p h3 Ph3 h 1 Qh Ph1 c a' O a

Qx x

v2

n

b

e

Fig. 102 Pentru a determina vrfurile poligonului de seciune obinut, prin secionarea unei piramide patrulatere oblice cu baza coninut n [H], cu un plan oarecare [Q] (fig. 103), se procedeaz astfel: Se construiesc planele auxiliare proiectante (n exemplul considerat plane de capt) P1, P2, P3, P4 care conin muchiile piramidei; Se intersecteaz aceste plane cu planul Q, obinndu-se dreptele H1V1, H2V2, H3V3, H4V4; Se intersecteaz muchiile piramidei cu dreptele determinate anterior i se gsesc punctele M, N, P, Q care reprezint vrfurile poligonului de seciune; Se clarific vizibilitatea acestuia.


77

s' Q v P1v v' 1 v' 2 m' P 4v

v'4 q' v' 3

n' a' x b' d' v4 v3

p' c'

Qx O

v1 d q a m s n b P2h P 1h h4 h2 P3h p c P4h h3

h1 Qh

Fig. 103 n cazul n care planele de seciune sunt plane simplu particulare, se determin vrfurile poligonului de seciune astfel: a) Pentru prisma patrulater oblic cu baza coninut n [V] care se secioneaz cu planul [P] proiectant fa de [H], se parcurg etapele (fig. 104): Se intersecteaz muchiile acesteia cu urma orizontal a planului Ph; Se gsesc proieciile vrfurilor poligonului de seciune mnpq pe [H]; Se ridic linii de ordine din aceste puncte i pe proieciile verticale ale muchiilor prismei se gsesc proieciile verticale ale vrfurilor poligonului de seciune mnpq; Se clarific vizibilitatea.

78


v b' 1 a' 1 n' d' 1 m'

c' 1

b' p' q' a'

c'

P x

x

c

b

d'

d

a O

p

n

q m P h c b d 1 a

1

1

Fig. 104 b) Pentru piramida triunghiular oblic cu baza coninut n [H] care este secionat de planul [P] proiectant fa de [V], se parcug etapele (fig. 105): Se intersecteaz muchiile acesteia cu urma vertical a planului Pv; Se gsesc proieciile vrfurilor poligonului de seciune mnp pe [V]; Se coboar linii de ordine din aceste puncte i pe proieciile orizontale ale muchiilor piramidei se gsesc proieciile orizontale ale vrfurilor poligonului de seciune mnp; Se clarific vizibilitatea.


79

s'

Pv n' m' p' b' x a a' m c' Px O

s b n

p c Ph

Fig. 105 n cazul n care planele de seciune sunt plane dublu particulare, iar bazele poliedrelor sunt n planele de proiecie, poligonul de seciune este paralel cu baza poliedrului (fig. 106). n figura 106a este reprezentat, n epur, seciunea fcut ntr-o prism triunghiular oblic cu baza n [H] de un plan de nivel Nv. Proiecia seciunii n plan vertical este suprapus peste urma planului. n figura 106b este reprezentat n epur seciunea fcut ntr-o piramid triunghiular oblic cu baza n [V] de un plan de front Fh. Proiecia seciunii n plan orizontal este suprapus peste urma planului.

80


e' Nv 2'

f'

d' 3' 1' Nv

s'

1'

a'

b' x b 1 2 e d 3 f

c'

a' O a

2' 3'

b'

c

x Fh 3

c' c 1

a 2

b O Fh

s

a) Fig 106

b)

6.3. Interseciile poliedrelor cu drepteProblema determinrii punctelor n care o dreapt neap un poliedru se reduce la problema seciunii plane ntr-un poliedru. Planul de secionare auxiliar este un plan proiectant care conine dreapta (metoda seciunii transversale) sau un plan care conine dreapta i secioneaz longitudinal poliedrul (metoda seciunii longitudinale). Pentru clarificarea vizibilitii sunt necesare urmtoarele precizri: Dreapta este vizibil n afara conturului aparent al poliedrului; ntre punctele n care neap poliedrul, dreapta este invizibil; Se clarific vizibilitatea poriunilor din dreapt situate ntre punctele de intersecie i conturul aparent al poliedrului, analiznd vizibilitatea feelor pe care sunt situate punctele de intersecie.Metoda seciunii transversale

Pentru a determina punctele n care o dreapt neap un poliedru (prism, piramid) se construiete un plan auxiliar care conine dreapta i care este perpendicular pe unul din planele de proiecie. Se gsesc punctele cutate la intersecia dreptei cu poligonul de seciune. n figura 107 este rezolvat intersecia dintre o prism i o dreapt, folosind metoda seciunii transversale. Etape: Se reprezint n epur proieciile dreptei D (d, d) i ale prismei ABCDEF; Se construiesc urmele planului Q, proiectant fa de [V], care conine dreapta D (Qvd, QhOx); Se determin proieciile seciunii transversale [123];


81

Se gsesc proieciile punctelor M i N n care dreapta D intersecteaz seciunea transversal. Acestea reprezint chiar punctele n care dreapta D neap prisma considerat; Se clarific vizibilitatea.

d' =Q v 2'

f' m' 3'

n'

1' Q x O

b' x b

c'

a' a 1

Qh

c n 3

2 d

m e

d

fFig.107 n figura 108 este rezolvat intersecia dintre o piramid i o dreapt, folosind metoda seciunii transversale. Etape: Se reprezint n epur proieciile dreptei D1 (d1, d1) i ale piramidei SABCD; Se construiesc urmele planului P, proiectant fa de [H], care conine dreapta D (Phd1, PvOx); Se determin proieciile seciunii transversale [1234]; Se gsesc proieciile punctelor M i N n care dreapta D intersecteaz seciunea transversal. Acestea reprezint chiar punctele n care dreapta D neap piramida considerat; Se clarific vizibilitatea.

82


s' d' 1 Pv 1' b' x c' a 1 m b 2 n 3 dFig. 108Metoda seciunii longitudinale

2' m' n'

3' 4'

a'

d' s

4

d1

Ph

c

n acest caz, planul de seciune auxiliar conine dreapta i secioneaz longitudinal poliedrul. Seciunea este fie un triunghi (n cazul piramidelor) fie un paralelogram (n cazul prismelor). Pentru piramide, planul care secioneaz longitudinal piramida conine dreapta i vrful pramidei, iar pentru prisme, planul auxiliar de seciune conine dreapta i este paralel cu muchiile prismei. Pentru a rezolva intersecia unei drepte cu o piramid (fig. 109) se parcurg etapele: Se reprezint piramida i dreapta, n epur; Se consider un punct oarecare pe dreapt I (i, i); Se construiete urma planului auxiliar determinat de dreapta D i vrful S al piramidei, pe planul care conine baza piramiei; Se intersecteaz urma Pv a planului auxiliar cu baza piramidei. Se obin punctele 1 i 2; Se construiete seciunea longitudinal [1234] care este un paralelogram; Se gsesc punctele n care aceast seciune este intersectat de dreapta D (d, d); Se gsesc punctele M i N care sunt tocmai punctele cutate. Dac s-a lucrat corect proieciile m i m, respectiv n i n se afl pe aceeai linie de ordine; Se clarific vizibilitatea.


83

d' a' Pv 1' b' a x n d m 1 b m' n' 2' c' 2 c v1 v'1

s'

i' v' Pv

v i

O

sFig. 109 Pentru a rezolva intersecia unei drepte cu o prism (fig. 110) se parcurg etapele: Se reprezint prisma i dreapta, n epur; Se consider un punct oarecare pe dreapt I (i, i), prin care se construiete o dreapt paralel cu muchiile prismei; Se construiete urma planului auxiliar determinat de dreapta D i paralela construit prin I la muchiile prismei, pe planul care conine baza piramidei; Se intersecteaz urma Ph a planului auxiliar cu baza piramidei. Se obin punctele 1 i 2; Se construiete seciunea longitudinal [S12]; Se gsesc punctele n care aceast seciune este intersectat de dreapta D (d, d); Se gsesc punctele M i N care sunt tocmai punctele cutate. Dac s-a lucrat corect proieciile m i m, respectiv n i n se afl pe aceeai linie de ordine; Se clarific vizibilitatea.

84


b' 1

1

d'1 i' m'

n' d' h' x 4 b 1 a1 3 c1 n d h Ph bFig. 110

h' 1 b' 2' a' 1' c' i m a 1 c d1 Ph 2 h1 O

ntrebri referitoare la poliedre Dac este dat proiecia unui punct care aparine unei fee a unui poliedru, cum se gsesc celelalte proiecii? Care sunt regulile de vizibilitate pentru poliedre? 2. 3. Cum se poate construi poligonul de seciune ntr-un poliedru? 4. Cum se gsesc punctele n care o dreapt intersecteaz un poliedru?

1.

Aplicaii propuse: 1. S se determine punctele n care dreapta MN intersecteaz piramida triunghiular oblic SABC cu baza n [H]. Se cunosc: A (140, 36, 0), B (100, 62, 0), C (80, 10, 0), S (14, 60, 60), M (120, 64, 36), N (46, 32, 0). Metoda I: Metoda seciunii transversale; Metoda II: Metoda seciunii longitudinale. 2. S se determine punctele n care dreapta MN intersecteaz prisma triunghiular oblic ABCA1B1C1 cu baza n [V]. Se cunosc: A(150, 0, 17), B(126, 0, 52), C(78, 0, 9), A1 (26, 100, 64), M(120, 56, 84), N(30, 16, 13). Metoda I: Metoda seciunii transversale; Metoda II: Metoda seciunii longitudinale.


85

CAPITOLUL 7 CORPURI CILINDRO-CONICE7.1 Reguli de reprezentare n epur a corpurilor cilindro-coniceSuprafaa cilindric este descris de o dreapt care se deplaseaz n spaiu, sprijininduse pe o curb directoare, fiind paralel cu o direcie dat. Cilindrul este corpul mrginit de o suprafa cilindric avnd curba directoare nchis de dou plane paralele ntre ele, cele dou seciuni ale acesteia cu planele paralele fiind bazele cilindrului. Dac bazele sunt cercuri, cilindrul este circular i poate fi drept sau oblic, dup cum distana dintre centrele bazelor este perpendicular sau nu, pe planul bazei. Un punct aparine suprafeei laterale a unui cilindru dac proieciile sale sunt situate pe o generatoare a suprafeei cilindrice. Suprafaa conic este descris de o dreapt numit generatoare, care se deplaseaz n spaiu trecnd printr-un punct fix i care se spijin pe o curb numit directoare Conul este un corp mrginit de o suprafa conic cu o curb directoare nchis i de un plan care trece prin punctul fix numit vrf. Suprafaa conic determin pe acest plan baza conului. Conurile circulare au baza cercuri, dar pot exista i conuri eliptice etc. Conul este drept dac dreapta care unete vrful conului cu centrul bazei este perpendicular pe planul bazei. Altfel este oblic.

n epur, se reprezint bazele, axele, vrful conului i generatoarele de contur aparent. Generatoarele de contur aparent ale conului pe un plan de proiecie sunt cele dou generatoare tangente la baza conului, iar generatoarele de contur aparent ale cilindrului sunt generatoarele tangente la baza acestuia i paralele cu axa cilindrului. n toate consideraiile care urmeaz se va face referire doar la corpuri cilindro-conice cu bazele coninute n plane de proiecie. Un punct aparine suprafeei laterale a unui con dac proieciile sale sunt situate pe o generatoare a suprafeei conice. n figura 111 este reprezentat un con circular oblic, cu baza coninut n [H]. Ca urmare, pe acest plan, baza conului se reprezint n mrime real. Deci, cu vrful compasului n proiecia o se construiete cercul avnd raza dat. Proiecia cercului pe planul vertical se suprapune peste axa Ox i este segmentul ab.

Reguli de vizibilitate: Conturul aparent pe [H] i pe [V] este dat de generatoarele de contur aparent i de poriunea din cercul de baz situat ntre acestea. Astfel, pe planul orizontal conturul aparent este scds, iar pe planul vertical sabs. Poriunea din cercul de baz situat n interiorul conturului aparent este invizibil. Toate generatoarele acestei poriuni sunt invizibile, pe planul orizontal de proiecie.

86


Pe planul vertical sunt vizibile generatoarele care se sprijin pe poriunea acb a bazei; celelalte sunt invizibile; Proieciile axei conului se reprezint cu linie punct subire.

a' x a

c'

o' d' d o

b'

O

b

c

Fig. 111 n figura 112 este reprezentat un cilindru circular oblic, cu baza coninut n [V]. Ca urmare, pe acest plan baza conului se reprezint n mrime real. Deci, cu vrful compasului n proiecia o se construiete cercul avnd raza dat. Baza superioar este coninu ntr-un plan de front i ca urmare, pe planul vertical se va proiecta n adevrat mrime. Astfel, cu vrful compasului n proiecia o1 se va construi un cerc identic cu cercul bazei inferioare. Proiecia cercului bazei inferioare pe planul orizontal se suprapune peste axa Ox i este segmentul ab, iar proiecia bazei superioare este un segment paralel cu segmentul ab.

Reguli de vizibilitate: Conturul aparent pe [H] i pe [V] este dat de generatoarele de contur aparent i de poriunea din cercul de baz situat ntre acestea. Astfel, pe planul vertical conturul aparent este dat de tangentele comune exterioare la proieciile celor dou cercuri de baz, de baza superioar (vizibil n ntregime pe acest plan) i de o poriune din baza inferioar, iar pe planul orizontal este un paralelogram. Poriunea din cercul de baz situat n interiorul conturului aparent (dbc) este invizibil. Toate generatoarele acestei poriuni sunt invizibile, pe planul vertical de proiecie. Pe planul orizontal sunt vizibile generatoarele care se sprijin pe poriunea acb a bazei; celelalte sunt invizibile;


87

Proieciile axei cilindrului se reprezint cu linie punct subire.

1 a' 1 c' d'1 a' a x o' d' c o d b O b' o'1 b' 1

a'1 c1 o1 d1 b1Fig. 112

7.2 Plane tangente la suprafee cilindroconicePlanele tangente la suprafee cilidro-conice sunt determinate de generatoarea suprafeei n punctul considerat i de tangenta la curb dus pe suprafaa respectiv, concurent cu generatoarea punctului. Vor fi exemplificate trei cazuri de construcie a planelor tangente la suprafee cilindroconice: a). construcia planului tangent la suprafaa cilindro-conic printr-un punct dat de pe aceasta; b). construcia planului tangent la suprafaa cilindro-conic printr-un punct exterior acesteia; c). construcia planului tangent la suprafaa cilindro-conic paralel cu o direcie dat;a). Construcia planului tangent la suprafaa cilindro-conic printr-un punct dat de pe aceasta Construcia planului tangent la conul din figura 113, prin punctul M (m, m) aparinnd suprafeei laterale a conului, se face parcurgnd urmtoarele etape: Prin punctul M se construiete generatoarea conului SK (sk, sk) pe care acesta se afl; Deoarece baza conului este n [H], prin k se construiete urma orizontal a planului tangent la con, avnd direcia tangent la cercul de baz (Ph); Ph I Ox = {Px }

88


Deoarece punctul M aparine planului tangent, prin M va trece o orizontal a planului, notat G (g, g), care are proiecia orizontal g, paralel cu urma Ph; Se determin urma vertical a acestei orizontale V (v, v); Se determin urma vertical a planului tangent Pv unind Px cu v.

P v

s'

v; Px x v k'

m' o'

g'

o k m g s

Ph

Fig. 113b). Construcia planului tangent la suprafaa cilindro-conic printr-un punct exterior acesteia Construcia planului tangent la cil

Date post:	11-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	nicusor-nedelcu
View:	787 times
Download:	5 times

Curs Geometrie Descriptiva

Documents