1 ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE ECONOMIE AGROALIMENTAR I A MEDIULUI Prof. univ. dr. MIRCEA GHEORGHI Conf. univ.dr. SIMONA ROXANA PTRLGEANU ECONOMETRIE BUCURETI -2008- 2 CUPRINS Introducere3 Capitolul I:Modele econometrice4 1.1.Generaliti 4 1.2.Model aleator 4 1.3.Natura variabilelor care apar n model4 1.4.Inducia statistic5 1.5.Identificarea modelului5 1.6.Previziunea variabilei endogene5 1.7.Vocabular uzual 6 Capitolul II: Regresia simpl10 2.1. Modelul liniar al regresiei simple10 2.2. Determinarea estimatorilor parametrilor prin metoda celor mai mici ptrate11 2.3. Proprietile estimatorilor12 2.3.1. Covariana estimatorilor15 2.3.2. Determinarea unui estimator nedeplasat pentru variana erorilor16 2.3.3. Interpretarea geometric a metodei celor mai mici ptrate18 2.3.4. Coeficientul de corelaie liniar21 2.3.5. Distribuia de probabilitate a estimatorilor22 2.4. Teste i intervale de ncredere24 2.5. Previziunea cu modelul liniar25 2.6. Experien de calcul29 Capitolul III: Regresia multipl34 3.1. Modelul liniar al regresiei multiple34 3.2.Determinarea estimatorilor parametrilor35 3.3. Proprietile estimatorilor36 3.4. Determinarea unui estimator nedeplasat pentru variana reziduurilor38 3.5. Teste i regiuni de ncredere39 3.6. Previziunea variabilei endogene41 3.7. Coeficientul de corelaie multipl. Analiza varianei42 3.8. Experien de calcul45 Capitolul IV: Studiul modelului liniar cnd ipotezele clasice asupra erorilor nu mai sunt realizate 49 4.1. Ipoteza de independen a erorilor49 4.1.1. Testarea ipotezei de independen a erorilor 52 4.1.2. Experien de calcul55 4.2. Ipoteza de normalitate a erorilor59 4.3. Ipoteza de heteroscedasticitate60 4.3.1. Experien de calcul61 4.4. Ipoteza de independen a erorilor n raport cu variabilele exogene63 4.5. Ipoteza referitoare la faptul c variabilele sunt observate fr eroare63 4.5.1. Experien de calcul65 Bibliografie68 3 INTRODUCERE Dezvoltareaaparatuluistatisticfurnizeazeconomitilortotmaimultedatecifricedespreproceselei fenomenele care au loc n timp i spaiu. Econometria este un mijloc de a exploata aceste date. Noiunea de econometrie provinedintermeniioikonomie(economie)imetron(msurare)idesemneaztotalitateametodeloritehnicilorde msurare a fenomenelor i proceselor care au loc n domeniul economic. Primele lucrri econometrice au avut ca obiect funciile consumului, care leag nivelul consumului de venitul disponibil (aceste funcii stau la baza teoriei keynesiene). ndecursultimpului,numeroiautoriauncercatdefinireaeconometriei.LucrareaECONOMETRIA PENTRU...ECONOMITI, a profesorului Eugen tefan Pecican, aprut la Editura Econmic n 2003, coninemulte referiri n acest sens, din care am selectat cteva. AutoriReferina R. Frisch Econometria realizeaz mbinarea punctelor de vedere care se refer la teoria economic, statistic i matematic cu privire la natura relaiilor cantitative din economie P.A. Samuelson,T.C. Koopmans, J.R.N. Stone Econometriareprezintoanalizdenaturcantitativafenomeneloreconomice,bazatpe dezvoltarea recent a teoriei culegerii i interpretrii datelor, n conexiune cu metodele de inferen (inducie) statistic adecvate Fr. PerrouxEconometria este o economie de intenie tiinific G.C. ChowEconometriaesteundomeniuncaresembinartaitiinadeautilizametodelestatisticen vederea msurrii relaiilor economice W. Griffits,H. Carter,G. Judge Econometria este ansamblul metodelor de realizare a analizei datelor economice Autorul lucrrii citate mai sus este de prerea c obiectul econometriei const n cunoaterea mecanismelor de desfurareaproceseloreconomicedescrisedeseriidedatestatistice,prinutilizareametodelorcantitativedenatur statistic sau matematic. Definiiiledateeconometrieipunnevidendouelemente:domeniuldestudiu(economia,relaiiledintre variabileleeconomice)imetodeleutilizate(provenitedinstatisticimatematic).Econometriaseorienteazspre construirea demodeleeconometricecaresreprezinte simplificatproceselesaufenomeneleeconomiceanalizatei s permitsimulrialeacestora,nscopulnelegeriilor,pedeoparte,darisserveasclarealizareadepreviziuni, prognoze care s fundamenteze politicile economice, pe de alt parte. 4 CAPITOLUL I MODELE ECONOMETRICE

1.1.Generaliti Modelareaeconomicreprezintunprocesdecunoateremijlocitarealitiicuajutorulunuiinstrumentcu caracteristicispeciale:modelul.Sistemulrealsupusstudiuluiestenlocuitprinmodelulsu,careesteoreprezentare simplificat a obiectului cercetat. Modeluleconometriceste,deregul,omulimederelaiinumericecarepermitereprezentareasimplificata procesului economic supus studiului (uneori chiar a ntregii economii). Modelele actuale comport adesea mai mult de zece relaii (ecuaii). Validitatea unui model este testat prin confruntarea rezultatelor obinute cu observaiile statistice. Pentruastudiaunfenomeneconomicsencearcreprezentarealuiprincomportamentuluneivariabile.Aceast variabil economic depinde, la rndul su de alte variabile de care este legat prin relaii matematice.Deexemplu,dacsestudiazcererea(C)ioferta(O)dintr-unanumitbunpeopia,setieccerereai ofertadepinddepreul(p)bunuluirespectiv.PutemscriecvariabileleCiOsuntfunciidevariabilapicla echilibrul pieei, trebuie ca cererea s fie egal cu oferta. Se construiete astfel un model elementar de forma: [1] ===O Cp g Op f C) () (

Ofertaicerereadintr-unanumitbundepindidealtevariabiledectpreul.Astfel,cerereadintr-unbun alimentar depindei devenitul disponibil,depreul unor produseanaloageetc.La fel,dacestevorbadespreun bun agricol (gru,...) oferta depinde de preul anului precedent. Relaia stabilit ntre variabile n modelul econometric este dat, de regul, la un anumit moment de timp t, caz n care variabilele apar indiciate:[2] ===t trt t t t tnt t t t tO Cx x x p g Ox x x p f C) ,..., , , () ,..., , , (2 1 12 1

nmodelul[2]s-auintrodusmaimultevariabilecareexpliccerereaiofertadintr-unbunis-aconsiderat realizarea acestor variabile la momentul t sau t-1. Se observ c modelul comport mai multe relaii. Se zice c avem un model cu ecuaii multiple. Evident, se va ncepe studiul cu un model mai simplu, cu o unic ecuaie. 1.2.Model aleator Spresupunemcsestudiazconsumul(Ci)dintr-unanumitbundectreofamilie(i).ntrealtevariabile, consumuldepindedevenituldisponibilalfamiliei(Vi).ModeluleconometricelementarconstnaexprimaCi n funciedeVi.Desigur,alifactoridintrecareuniisuntnecunoscuidetermindeasemeneaconsumulfamiliei. Condensm efectele acestor ali factori ntr-unul singur, aleator, notat i. Se obine astfel un model aleator: [3]i i iV f C c + = ) ( Factorulaleatoriesteovariabilaleatoarecareurmeazoanumitlegedeprobabilitate,cevatrebuisfie specificat prin ipotezele fcute asupra modelului. Cel mai frecvent, ipotezele se refer doar la momentele de ordinul I i II ale variabilei aleatoare i. Urmeaz s ne asigurm c funcia f (sau clasa de funcii) aleas nu contrazice rezultatele experienei. De exemplu, dac s-a ales f ca o funcie liniar (adic f(Vi) = aVi+b), modelul econometric este: [4] i i ib aV C c + + =

i variind pe i pentru diferitele familii studiate, ne vom asigura c relaia [4]este bine satisfcut. Se spune c testm modelul. Dac rezultatul obinut este convenabil, se va trece la estimarea parametrilor a i b. Apoi, definind o regul de previziune se va putea determina consumul Ci dac se cunoate venitul Vi. 1.3.Natura variabilelor care apar n model ntr-un model econometric se disting dou tipuri de variabile: -exogene. Sunt variabilele explicative ale variabilei studiate i se consider ca fiind date autonom. n modelul [4]Viestevariabilaexogen(sauexplicativ,independent).VenitulfamilieiViexplicnacestmodel 5 consumul familiei Ci. Valoarea variabilei exogenepentru un i dat i pentru i precizat-permite determinarea consumului Ci. -endogene. Sunt variabilele de explicat (sau dependente). Ci este variabila endogen n modelul precedent. Se poate remarca faptul c Ci este acum o variabil aleatoare datorit lui i. Distinciantrenaturavariabilelor este foarteimportanti vatrebui precizat ntotdeaunanaintedeastudia modelul. Cnd modelul econometric a cptat formularea matematic definitiv se spune c modelul a fost specificat. Modelul [4] de mai sus este specificat. Se cunoate forma funciei f din expresiaCi = f(Vi) + i , adicf(Vi) = aVi+b. Adugarea variabilei exogene i d modelului formularea definitiv [4]. Mulimeaparametrilorcaredefinesccompletmodeluleconometricconstituiestructuraacestuia.De exemplu, dac a = 0,7 i b = 23 iar urmeaz o lege de probabilitate normal de medie (speran matematic) egal cu zero i dispersie (varian) egal cu 5, atunci mulimea a = 0,7; b= 23;o =5` constituie structura modelului [4]. Scopul va fi acela ca, plecnd de la cuplurile (Ci,Vi) asociate diferitelor familii i, s sedeterminestructuraadevratamodelului.Cualtecuvinte,plecnddelaunspaiueantiondefinitdemulimea cuplurilor (Ci,Vi) s se determine structura adevrat a modelului n spaiul cu trei dimensiuni al structurilor a ,b, o ` . Aici intervine induciastatistic. 1.4.Inducia statistic Obiectul induciei statistice este de a determina o procedur care, pornind doar de la observaiile statistice de care dispunem, s permit trecerea de la spaiul eantion la spaiul structurilor. Odat ce modelul a fost ales, se admite c exist un triplet (a, b, o ) care permite reprezentarea exact a procesului prin care valorile variabilelor observate au fost determinate. n cursul induciei statistice modelul nu se mai modific. Procedura aleas aa cum se va vedea n continuare va consta n obinerea de estimatori pentru parametrii a i b care s permit determinarea celor mai bune valori reale ale acestor parametri. Aceste valori se vor aprecia, n general, cu ajutorul unor intervale de ncredere construite la un prag de semnificaie (o) dat. De exemplu, n modelul[4] se va gsi c ae[0,64;0,78] i be[20;27] cu o probabilitate de 95% (s-a considerat o=5%). Se poate estima i abaterea medie ptratic (o) a variabilei aleatoare i. Se va vedea rolul important jucat de aceast variabil aleatoare n modelul econometric. 1.5.Identificarea modelului ConsidermdinnoumodelulCi=aVi+b+i.Spresupunemcprocedurautilizat,porninddelainformaia deinut,adicdelacuplurile(Ci,Vi),i=1,2,...nuconducelaosoluieunic,ciladoustructuridistincte: s0=a0,b0,o0`,s1=a1,b1,o1`.DeorecelegeadeprobabilitatepentruprecizeazilegeadeprobabilitatepentruC, fiecarestructur(inndcontdevalorileexogeneloridelegealui)conducelaolegedeprobabilitatepentruC. Presupunem c structurile s0 i s1 conduc la aceeai lege de probabilitate pentru consumul C. Sunt posibile dou cazuri: -s0is1 suntdistincteinuputemalegentreele.Sespunecstructurileconsideratenu suntidentificabilei,caurmare,modelulnuesteidentificabil.Dinaceastcauznu vom putea determina valorile parametrilor care figureaz n model; -s0 i s1 nu sunt distincte, intersecia lor nu este vid. Acestea vor permite identificarea unei priaparametrilormodelului(ceicareaparininterseciei).Sespunecceledou structuri sunt echivalente, dar nu permit o identificare complet a modelului. Problema identificrii este important mai ales n cazul modelelor cu ecuaii multiple. 1.6.Previziunea variabilei endogene Interesul unui model a crui structur a fost determinat constn a-l utiliza pentru previzionareavariabilelor endogene ntr-o etap viitoare sau ntr-o circumstan dat, dac este vorba despre observaii luate la acelai moment-, atuncicndceleexogeneaufostfixate.Deexemplu,dacdorimsstudiemevoluiaimporturilor(Y)nfunciede produsul intern brut (X1) i de nivelul stocurilor (X2),modelul econometric este: yt=a1x1t+a2x2t+b+t,t=1,2,...,T undetestetimpul.Dateleistorice(peperioada1990-2005)despreY,X1iX2(observaiilefiindanuale) permit determinarea parametrilor modelului. S presupunem c am gsit estimaiile punctuale:===66 , 0 14 , 0 21baa 6 Modelulestimateste: 6 6 , 0 14 , 0 2 1+ + =t t tx x y.Dacdorimsfacemopreviziuneaimporturilor pentru anul 2007, trebuie s timPIB-ul i nivelul stocurilor n anul 2007. Presupunnd c aceste variabile exogene sunt x1=1030 i x2=12,7 vom avea ca previziune pentru y: y2007=(0,14).1030+(0,6).(12,7)+6 sau, n general, b x a x a yp 2 2 1 1+ + =u u u, unde este perioada de previziune.Observaie. Asupra valorii previzionate trebuie s remarcm: -valorile exogenelor x1, x2 au fost alese arbitrar, eventual innd cont de evoluia lor trecut; -specificareamodeluluinupoatefiperfect,formafuncieialesepentruaexplicaevoluialuiyneputndfi suficient de precis; -esteposibilcavariabileleexplicative(exogene)alevariabileiendogene(explicate),snumaiintervinn acelai mod ca n perioada 1990-2005, cnd s-a studiat legatura dintre ele. Este posibil s aib loc un oc, o ruptur care s perturbe echilibrul dintre variabilele care explic fenomenul, la momentul previziunii. Esteevidentctoateacestecauzepotconstituisursedeeroareapreviziunii.Vomvedeacaresuntmetodeledea minimiza eroarea de previziune. Rezumatul capitolului I Pentru construcia i utilizarea unui model econometric, se parcurg urmtoarele etape: -specificareamodelului(gsireaformulriimatematicedefinitivealegturiidintrevariabilelecaredescriu fenomenul sau procesul economic studiat); -estimareaparametriloritestareamodeluluicuajutorulstatisticilor(seriilordedateobservate)deja cunoscute; -previziunea variabilei endogene. 1.7.Vocabular uzual Dac suntei familiarizai cu statistica matematic, putei trece la capitolul II. n caz contrar, v reamintim aici cteva noiuni de baz. Lectura acestui paragraf credem c v vaincita s revedei cursul de Statistic matematic. NordepuncteFiinddatoseriededatestatisticencarevalorile(xi,yj)aparefectivdenijoriputem reprezentantr-unplantoateacestevaloriprinpunctedecoordonate(xi,yj)afectatedecoeficieniinij,obinndu-se astfel un nor de puncte. Ajustare Reprezentarea grafic a seriilor de date economice conduce frecvent la figuri puin lizibile i greu de interpretat din cauza variaiilor pe termen scurt, numeroase i sensibile, dar fr o semnificaie important. Metodele matematicenumitedeajustare permit obinereauneicurbesimple, ctmaiapropiatposibil demulimea depuncte furnizate de observaiile empirice disponibile. Ajustare liniar Atunci cnd reprezentarea grafic a unei serii statistice duble d un nor de puncte de form alungit, se ncearc obinerea unei aproximri bune a acestei serii cu ajutorul unei drepte, realizndu-se astfel o ajustare liniar. Exist mai multe metode pentru gsirea acestei drepte: -metodagrafic(sedeterminpunctulmediu Malecruicoordonatesunt( ) y x, i setraseazdreapta care pare a fi cea mai reprezentativ a seriei, determinnd ecuaiaY=aX+b. Aceast metod este ambigu pentru c nu ine cont de ponderea fiecrui punct n norul de puncte);-metoda lui Mayer (se regrupeaz punctele norului n dou submulimi crora li se determin punctele medii M1 i M2. Dreapta de ajustare este atunci dreapta care trece prin M1 i M2); - metoda celor mai mici ptrate (const n a face minim suma ptratelor distanelor de la punctele norului la o dreaptdeecuaieY=aX+bnumitdreaptderegresiealuiYnX.Searatcpanta(coeficientuldirector)acestei drepteestea=cov(X,Y)/Var(X).Coeficientulbseobinescriindcdreaptaderegresietreceprinpunctulmediu: X a Y b = .ProcedndlafelsegsetedreaptaderegresiedeecuaieX=a'Y+b',cua'=cov(X,Y)/Var(Y)i Y a X b ' = ' . Celedoudreptede regresiesunt,ngeneral, distincte.Compararealor permitemsurarea nivelului decorelaiealcaracteristicilorXiY.Corelaiasemsoarcucoeficientuldecorelaie=cov(X,Y)/o(X)o(Y).Se constat c 2=aa' i c variaz ntre 1 i 1. 2 msoar unghiul dintre cele dou drepte de regresie, care coincid dac 2=1, adic1 = . Caracteristicile X i Y sunt corelate maximal cndeste apropiat de 1). n afara faptului de a da o reprezentare mai mult sau mai puin satisfctoare legturii dintre X i Y, importana ajustrii liniare este de a permite previziuni statistice, asociind lui X o valoare probabil a lui Y prin relaia Y=aX+b. ProbabilitateFiinddatomulimefinitO,numimprobabilitatepeOoriceaplicaiepaluiP(O) mulimea prilor lui O - n intervalul [0,1| care verific trei condiii: 7 - p(A)>0, pentru Ae P(O) - p(O)=1 - p(AB)= p(A)+ p(B), dac A,Be P(O), AB=u Osenumeteunivers(sauuniversdeprobabiliti).Onzestratcuprobabilitateapsenumetespaiu probabilizat.OricepartealuiOesteuneveniment.Unsingleton(mulimececonineunsingurelement)alluiOse numeteevenimentelementarsaueventualitate.Oesteevenimentulcert.uesteevenimentulimposibil.A este evenimentul complementar luiA n O (se numete eveniment contrar luiA). Dac AB=u,evenimentele Ai B sunt incompatibile. Variabil aleatoare Dac O este un univers finit, numim variabil aleatoare orice aplicaie X: O R ( a luiOnmulimeanumerelorreale).MulimeavalorilorluiX,adicX(O)senumeteuniversulimagine.Atenie!-o variabil aleatoare nu este o variabil, ci o aplicaie! Se observ c nu este necesar s cunoatem o probabilitate pe O pentru a defini o variabil aleatoare pe O. Legea de probabilitate a unei variabile aleatoare Dac universul finit Oeste nzestrat cu o probabilitate p, iarXesteovariabilaleatoaredefinitpeO,numimlegedeprobabilitateavariabileialeatoareX,aplicaiapx: X(O)[0,1|careasociazoricruixeX(O)probabilitateaevenimentuluimulimeaantecedentelorluixprinX. Aceast mulime X-1(x) este notat (X=x). Legea de probabilitate a lui X, notat px este definit prin px: X(O)[0,1|, x p(X=x). A studia o variabil aleatoare nseamn a-i descoperi legea sa de probabilitate. FunciederepartiieDacuniversulfinitOestenzestratcuoprobabilitatep,iarXesteovariabil aleatoaredefinitpeO,seasociazacesteivariabilealeatoarefunciaF:R[0,1|definitprinF(x)=p(X||.|

\| =jj jjjp ppy Y X MY X M 1 . , 0 . ,.) / (: ) / (-variabila aleatoare media lui Y condiionat de X , cu repartiia: 8 = >||.|

\| =ii iiip ppx X Y MX Y M 1 . , 0 . ,.) / (: ) / (RegresieSenumete regresiavariabilei aleatoareXn raport cuY,variabila aleatoareM(X/Y)cumulimea valorilor posibile: M(X/Y=y),. R xeSimilar, regresia variabilei aleatoare Y n raport cu X este: M(Y/X=x),. R yeDac M(X/Y)=aX+b sau M(Y/X)=cY+d se spune c regresia este liniar Repartia normal Variabila aleatoare X urmeaz o repartiie normal de parametri m i (se mai scrie i ) , ( o m N X e ) dac densitatea ei de probabilitate (derivata funciei de repartiie) este: ),2) (exp(21) (22ot om xx f =, R x e , R me>0 Pentru m=0 i =1 se obine repartiia normal normat N(0,1), cu densitatea de probabilitate: ),2exp(21) (2xx f =t, R x e Searatcparametrimi2suntmedia(speranamatematic),respectivdispersia(variana)variabileialeatoare) , ( o m N X e . Repartiia 2 (hi-ptrat) cu n grade de libertate Variabila aleatoare X urmeaz legea de repartiie hi-ptrat cu n grade de libertate (se mai scrie i) (n H X e ) dac densitatea ei de repartiie este: ),2exp(2 )2(1) (122xxnx fnnI=x>0, *N n eDacvariabilelealeatoare ), 1 , 0 ( N Xi ei=1,2,...,nsuntindependente,atuncivariabilaaleatoare ==niiX Y12urmeaz legea de repartiie H(n). Repartiia Student cu n grade de libertate S(n) Variabila aleatoare X urmeaz legea de repartiie Student cu n grade de libertate dac densitatea ei de repartiie este: , 121,21) (212+||.|

\|+|.|

\|B=nnxnnx f , R x e*N n e Dacvariabilelealeatoare), 1 , 0 ( N X e) (n H Y esuntindependente,atuncivariabilaaleatoare ) (n SnYXZ e = . Repartiia Fisher-SnedecorF(n1,n2)Variabila aleatoareXurmeaz legea derepartiieFisher-Snedecorcu n1 i n2 grade de libertate dac densitatea ei de repartiie este: , 12,2) (2212 1122212 111n nnnxnnn nxnnx f+||.|

\|+|.|

\|B||.|

\|= x>0,*2 1, N n n e 9 Dacvariabilelealeatoare ) (1 1n H X ei ) (2 2n H X esuntindependente,atuncivariabila aleatoare ) , (2 12211n n FnXnXX e = . 10 CAPITOLUL IIREGRESIA SIMPL Studiem,pentrunceput,celmaisimplumodeleconometric:ovariabilendogenreprezintevoluia fenomenului considerat i aceast evoluie este explicat printr-o singur variabil exogen. ncadrulcapitoluluiesteprezentatmetodadeestimareaparametrilorcareintervinntr-unmodel econometric,sevorexaminaproprietileestimatorilorobinuiisevorgeneralizarezultateleanalizeipentrumodele mai complexe. ntr-o prima parte se va trata obinerea estimatorilor parametrilor modelului i proprietilor lor, iar ntr-o a doua parte se d ointerpretarea geometric a metodei utilizate, determinarea intervalelor de ncredere referitoare la parametri i previziunea care poate fi fcut cu un astfel de model. 2.1. Modelul liniar al regresiei simple Considerm modelul: (1) t t tb ax y c + + =, t=1, 2, ...,T n care: Y reprezint o variabil endogen; X o variabil exogen; c o variabil aleatoare ale crei caracteristici vor fi precizate prin ipoteze. Se dispune de T observaii asupra lui Y i X, adic T cupluri (xt, yt) care sunt realizri ale lui X i Y. a i b sunt parametri reali necunoscui pe care dorim s-i estimm cu ajutorul observaiilor (xt, yt) cunoscute. Ipoteze fundamentale Pentruaputeaobinerezultateleenunatelanceput,vomsimplificalucrurileimpunndoseriedeipoteze restrictive asupramodelului.Ulterior, n alte capitole, se vor relaxa aceste restricii, discutndimplicaiile abandonrii unora din aceste ipoteze asupra calitii estimatorilor. I1:xt i yt sunt mrimi numerice observate fr eroare; X variabila explicativ se consider dat autonom n model; Y variabila endogen este o variabil aleatoare, prin intermediul lui c. I2: a)- curmeaz o lege de distribuie independent de timp, adic media i dispersia lui cnu depind de t: ( ) T t Et,..., 2 , 1 , 0 = = c, ( )2co c =tVar, cantitate finit,t . Observaie: S-aufolositaici,pentrumedieidispersie,notaiile( ) - E ,respectiv( ) - Var ,proveninddelasperana matematicivarianauneivariabilealeatoare.Sepresupunecstudeniiaucunotineelementaredespreteoria probabilitilor i statistic matematic. Altfel, ele trebuie revzute! b)-RealizrileluicsuntindependentederealizrileluiXncursultimpului.Aceastaesteipotezade homoscedasticitate. n caz contrar, exist heteroscedasticitate. 11 c)-Independenaerorilor(sevavedeapeparcurscvariabilaaleatoarecreprezinterorisaureziduuri). Douerorirelativeladouobservaiidiferitetitsuntindependententreele,nsemnndcaucovariananul: ( ) 0 , cov =' t t c c, ceea ce implic ( ) 0 . =' t tE c c. Prin definiie, cov( =') ,t t c c | | )) ( ))( ( (t t t tE E E' ' c c c ci innd cont de a) rezult implicaia. d)- Normalitatea erorilor. Presupunem c c urmeaz o lege de repartiie normal , cu media 0 i dispersia 2co, ceea ce poate fi scris astfel: ( )2, 0co c N e. I3:Primele momente empirice ale variabilei X, pentru T foarte mare, sunt finite: = TtTtx xT101 (media empiric). ( )= TtTts x xT1221 (variana empiric). Aceast ipotez va fi folosit pentru a preciza proprietile asimptotice ale estimatorilor parametrilor a i b. IpotezeleI1, I2, I3pot prea foarterestrictive. Vomvedea ulterior ce consecineareabandonarea unoradintre ele asupra proprietilor estimatorilor lui a i b. 2.2. Determinarea estimatorilor parametrilor prin metoda celor mai mici ptrateDeterminareaestimatorilorparametriloraib(notaicu aib)prinmetodacelormaimiciptrate (MCMMP) seface punnd condiia ca suma ptratelor erorilor s fie minim, adic: | | ( ) = == =Ttt tTttb a b ax y1212, c. Pentru ca( ) b a, s fie minimal, trebuie ca: 1.condiii necesare:0 =cca,0 =ccb. 2.condiii suficiente:022>cca,022 2222>ccc ccc ccccb a bb a a . Calculm derivatele pariale ale funciei( ) b a, . ( )( ) 0 21= =cc=tTtt tx b ax ya ( )( ) 0 1 21= =cc=Ttt tb ax yb 0 21222=> =ccTttxa 12 Tb222=cc ==c cc=c ccTttxa b b a12 22 . Atunci, condiiile de ordinul I (necesare) conduc la sistemul de ecuaii: ( )= = = == = =0011 11 121Tb x a yx b x a y xTttTttTttTttTtt t, iar condiiile suficiente (de ordinul II) sunt verificate.EcuaiilecondiiideordinulI(numiteecuaiinormale,vezijustificareageometricdinparteaaII-a),le mprim la T, rezultnd: = = = =001 1121b x a yx b xTa y xTTttTtt t. Din a doua ecuaie avem x a y b = i nlocuind n prima ecuaie: ( )( )( ) ===2 22 2211x xx x y yx T xx y T y xx xTx y y xTatt ttt ttt t. Am obinut estimatoriiaibai parametrilor a i b dai de relaiile: ( )( )( )( ) = =x a y bx xx x y yatt t

, 22 Observaie: aeste o variabil aleatoare pentru c e funcie de yt, iarb este aleator pentru c e funcie dea . 2.3.Proprietile estimatorilor Vom arta c estimatoriiaibobinui prin metoda celor mai mici ptrate sunt nedeplasai i convergeni. n demonstraie vom ine cont de ipotezele I1, I2, I3. Pentru a uura demonstrarea proprietilor enunate, transformm mai ntiexpresiile(2)pentrualeexprimanfunciedeparametriiaib.Vomconsideramodelul(1) t t tb ax y c + + =, t=1, 2, ...,T, nsumm dup toi t i mprim la T. Rezult: + + =t t tTb xTa yTc1 1 1, adic 13 ( ) c + + = b x a y 2. Scdem membru cu membru pe (2) din (1): ( )( ) c c + = t t tx x a y yi nlocuim( ) y yt n expresia luia : ( ) ( ) | |( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) + = + == + = + =2 2222x xx xax xx x x xax xx x x x ax xx x x x aatt ttt t ttt t ttt t tc c cc c c c (deoarece0 ) ( ) ( = = x x x xt tc c ). Dinexpresialuib,avemcx a y b = ,adicb x a y + = ,iardin(2)c + + = b x a y ,astfelcprin scdere rezult:( ) c + = b b x a a 0sau( )x a a b b + = c . Am obinut c: ( )( )+ =2x xx xa att tc ( )x a a b b + = c. a ib sunt estimatori nedeplasai pentru a i b.Unestimatorestenedeplasatdacmediaestimatoruluiestechiarparametrulestimat.Vomaplica operatoruldemedieEnrelaiilegsitemaisus.Pentrucomoditate,notmcuwt cantitatea: ( )=2x xx xwttt, astfel c + =t tw a a c Rezult: ( ) ( ) () a E w a E a Et t= + =c , pentru c E(a)=a i E(ct)=0. ( ) ( ) ( ) ( ) a a E x E b E b E + = c Avemc:E(b)=b, ( ) ( ) = =|.|

\|= 01 1t tET TE E c c ci ( ) ( ) ( ) 0 = = = a a a E a E a a E, deci ( ) b b E =. a ib sunt estimatori convergeni pentru a i b. 14 tiindc ( ) a a E = i ( ) b b E =,estesuficientsartmc ( ) 0 Ta Vari ( ) 0 Tb Varpentruca ai bsfieconvergeninprobabilitatectreaib.Calculmvariana estimatorilora i b.tim c + =t tw a a c , adic = t tw a a c . ( ) ( ) ( )( ) ( )