80
1 UNIVERSITATEA DE VEST “VASILE GOLDIȘ” ARAD FACULTATEA DE ȘTIINŢE ECONOMICE STATISTICĂ ECONOMICĂ SUPORT DE CURS 2014-2015 LECTOR UNIV. DR. DEAC DAN
1
UNIVERSITATEA DE VEST VASILE GOLDI ARAD
FACULTATEA DE TIINE ECONOMICE
STATISTIC ECONOMIC
SUPORT DE CURS
2014-2015
LECTOR UNIV. DR. DEAC DAN
2
CUPRINS
Capitolul 1 Noiuni introductive......................................................................5
1.1 Fenomene care au condus la apariia i dezvoltarea
statisticii.............................................................................................6
1.2 Metode speciale de cercetare.......................................................7
1.3 Elementele de baz ale statisticii..............................................8
Capitolul 2 Colectarea datelor...........................................................................9
2.1 Tipuri de date i scale de msurare .....................................10
2.2 Surse de date statistice..............................................................12
2.3 Planul observrii statistice.......................................................12
2.4 Recensmntul statistic.............................................................12
2.5 Sondajul statistic...........................................................................13
Capitolul 3 Sistematizarea si prezentarea datelor...............................15
3.1 Sistematizarea datelor...............................................................16
3.2 Prezentarea datelor statistice.................................................18
3.3 Distribuii statistice unidimensionale ...............................21
3.4 Histograma......................................................................................25
3.5 Diagrame de structur...............................................................27
3.6 Reprezentri grafice specifice seriilor de timp............ 28
3.7 Cartograme i cartodiagrame................................................30
3
3.8 Distribuii statistice bidimensionale .................................31
Teste....35
Capitolul 4 Indicatori statististici n mrimi absolute
i relative......................................................................................36
4.1 Indicatori n mrimi absolute ..............................................37
4.2 Indicatori n mrimi relative ...............................................37
Capitolul 5 Indicatori ai tendinei centrale. ( Mrimi medii).........40
5.1 Probleme generale ale mrimilor medii..........................41
5.2 Media aritmetic.........................................................................43
5.3 Media unei caracteristici alternative.................................44
5.4 Medii cu aplicaie special......................................................45
5.5 Modul (Dominanta)..................................................................47
5.6 Mediana..........................................................................................49
5.7 Quantilele .......................................................................................51
5.8 Mediala............................................................................................55
5.9 Relaii ntre valorile tendinei centrale ...........................57
Teste58
Capitolul 6 Indicatori ai dispersiei i asimetriei...................60
6.1 Indicatori simpli si sintetici ai dispersiei.........................61
6.2 Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative.......65
6.3 Msurarea dispersiei n sistemul medianei....................66
4
6.4 Dispersia unei variabile nominale (atributive).............68
6.5 Indicatori ai formei.....................................................................69
Capitolul 7 Indicatori ai seriilor cronologice..........................................73
7.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului i
variaiei n timp...........................................................................74
7.1.1 Indicatori absolui..74
7.1.2 Indicatori relativi.75
7.1.3 Indicatori medii.76
Teste.... 80
Bibliografie80
5
CAP.1 Noiuni introductive
OBIECTIVE
- cunoaterea noiunilor de baz din statistic.
- folosirea corect a termenilor de baz din statistic n practica curent.
REZUMAT
n acest capitol definim i exemplificm termenii de baz din statistic. Se
descrie structura de baz a cursului cu accent pe importana practic a cunoaterii i
utilizrii statisticii n activitatea economic.
6
Statistica:
- tiina colectrii i nelegerii datelor ce caracterizeaz fenomenele de mas .
- instrument de cunoatere a particularitilor de volum, structur i dinamic a
fenomenelor i proceselor economico-sociale.
1.1 Fenomene care au condus la apariia si dezvoltarea statisticii.
- Nevoile guvernelor de a calcula date privind cetenii i activitile rilor pe care
le conduc.
- Dezvoltarea teoriei probabilitilor.
- Apariia i extinderea utilizrii calculatoarelor.
Datele au fost permanent colectate de-a lungul istoriei. (civilizaiile egiptene,
romane, greceti : pentru taxe i nrolare; din evul mediu:naterile, decesele,
cstoriile )
n zilele noastre, progresele calculatoarelor au determinat schimbri profunde n
statistic. Exist soft-uri statistice specializate cu care se pot face analize foarte
complexe.
Obiectul de studiu:
Fenomenele i procesele ce prezint urmtoarele particulariti:
- Se produc n numr mare de cazuri (fenomene de mas)
- Variaz de la un element la altul.
- Sunt forme individuale de manifestare.
Fenomenele de mas se supun aciunii legilor statistice. Pentru a evidenia o
lege statistic este necesar studiul unui numr mare de cazuri individuale.
7
Un principiu fundamental al statisticii este Legea numerelor mari, dat de
Bernoulli (,, frecvena apariiei unui eveniment converge n probabilitate la
probabilitatea producerii acelui eveniment)
1.2 Metode speciale de cercetare:
- Observarea de mas.
- Centralizarea i gruparea.
- Procedee i metode de analiz i interpretare statistic.
Etapele cercetrii statistice:
- Observarea statistic: se culeg datele
- Prelucrarea statistic: se sistematizeaz datele, se calculeaz indicatorii
primari, derivai, absolui i sintetici.
- Analiza i interpretarea rezultatelor: se verific ipotezele, se formuleaz
concluziile, se elaboreaz deciziile. Pasul dificil este transpunerea problemei n
termeni statistici.
Statistica descriptiv: Totalitatea metodelor de culegere, prezentare i
caracterizare a unui set de date.
Statistica inferenial: Totalitatea metodelor de estimare a caracteristicilor unei
populaii pe baza rezultatelor obinute pe un eantion.
Utilizeaz metode de sistematizare, rezumare i prezentare a datelor.
De exemplu:- Metoda grafic
Statistica inferenial este format dintr-un grup de metode ce pot da
concluzii ample caracteristicilor unei populaii pe baza datelor din eantioane. Dar
acestea nu se pot afla cu o probabilitate de 100%.Probabilitatea de estimare corect
este de obicei 90%, 95% sau 99%.
8
1.3 Elementele de baz ale statisticii.
1. Populaia (colectivitatea) statistic.
Totalitatea elementelor de aceeai natur ce au trsturi comune. Dac
colectivitatea e numeroas, cercetarea este foarte grea.
2. Eantion: submulime de elemente selectate dintr-o colectivitate (populaie)
statistic:
Colectiviti statistice: - statice(stare la un moment dat)
-dinamice (proces, devenire n timp)
3. Unitatea statistic ( individ ): - simpl
-complex (ex. familia)
4. Caracteristica statistic: trstura comun tuturor unitilor. E numit i
variabil statistic.
5. Datele statistice: Caracteristica numeric obinut de statistic privind
colectivitatea studiat. Mesajul lor este informaia statistic.
6. Indicatorul statistic: Expresia numeric a unor fenomene.
7. Parametrul statistic: Indicator statistic descriptiv calculat pentru o
colectivitate total.
Exemplu:
- Populaia statistic: cetenii dintr-o localitate.
- Eantionul: persoanele selectate pentru anchet.
- Scopul anchetei: descrierea diverselor caracteristici ale colectivitii.
- Parametru: venit mediu
9
CAP. 2 Colectarea datelor
OBIECTIVE:
- Cunoaterea de ctre studeni a clasificrii datelor statistice i a scalelor de
msurare.
- Cunoaterea de ctre studeni a surselor de date statistice.
- Cunoaterea de ctre studeni a elementelor planului unei observri statistice.
- Cunoaterea de ctre studeni a tipurilor de sondaj statistic, ca baz de formare
a unui eantion.
REZUMAT:
n acest capitol se prezint elementele de start ntr-un studiu statistic bazat pe
eantionare. n prealabil, se clasific datele statistice i se prezint scalele de
msurare ale acestora.
Se prezint elementele de coninut ale planului unei observri statistice i
metodele de alegere a unui eantion.
10
2.1 Tipuri de date i scale de msurare:
Clasificarea datelor:
- Date univariate: (o singur variabil statistic)
- Date bivariate: (dou variabile statistice)
- Date multivariate( mai mult de dou variabile statistice)
Caracteristicele statistice se pot clasifica dup mai multe criterii:
a) Dup modul de exprimare:
- Calitative ( nu se exprim numeric: profesie, locul de domiciliu)
- Cantitative (se exprim numeric: salariu, greutate, nlime)
b) n funcie de variantele de rspuns:
- Alternative (binare) cu doua variante de rspuns.
- Nealternative , cu mai multe rspunsuri (se pot transforma n
alternative.
c) n funcie de natura caracteristicilor.
- Caracteristici continue : greutate, nlime.
- Caracteristici discrete: numr de orae, numr de copii.
d) n funcie de coninutul caracteristicii, caracteristicile calitative se impart in;:
- Caracteristici de timp.
- Caracteristici de spaiu.
- Caracteristici atributive (altul dect spaiul i timpul)
e) n funcie de modul de obinere i caracterizare a fenomenelor.
- Caracteristici primare.
- Caracteristici derivate.
11
Scale de msurare:
Sunt patru scale principale de msurare:
- Scala nominal :(scala denumirilor) se atribuie nume pentru
variabile. Se face o difereniere de specie dar nu i de grad.
Exemplu: ocupaia, sexul, profesia.
- Scala ordinal: sunt msurate variabile de tip nenumeric dar care
pot fi ordonate. Difereniere de specie i de grad.
Exemplu: nivelul de studii, categorii de hoteluri, ratinguri, etc.
- Scala de intervale (cardinal). Difereniere de specie i de grad, n
plus folosete uniti de msur egale. Absena unui punct zero
absolut pentru scal.
Exemplu: temperatura.
- Scala proporional ( de raport)
Are toate calitile celor anterioare iar n plus are un punct fix zero
absolut.
Pentru compararea i msurarea opiniilor, a comportamentelor, s-au elaborat scale
specifice de intensitate.
n cercetrile de marketing se folosete scala de opinie sau de rating.Se fixeaz 4
pn la 10 gradaii pentru gradarea rspunsurilor.
12
2.2 Surse de date statistice
Sursele de date pot fi:
- Primare ( date obinute direct prin organizarea de observri
statistice, ex: recensmntul statistic)
- Secundare ( datele sunt prelucrate n tabele i grafice) ex: buletinul
statistic pe anul n care gsim de exemplu: micarea populaiei
n ora, veniturile salariale, numrul de omeri, nivelul produciei la
unele bunuri, etc.
2.3 Planul observrii statistice:
- Observarea statistic: Aciunea de culegere a datelor de la unitile
statistice.
Condiiile ce trebuie ndeplinite de observare:
- Condiia de cantitate (obinerea n timpul stabilit a tuturor datelor)
- Condiia de calitate (asigurarea veridicitii coninutului datelor)
Observarea se face dup un plan riguros ce trebuie s conin:
- Scopul observrii.
- Delimitarea colectivitii i unitii de observare.
- Stabilirea caracteristicilor de observare.
- Alegerea formularelor de observare.
- Delimitarea timpului i locului observrii.
- Stabilirea msurilor organizatorice.
2.4 Recensmntul statistic.
Este o metod de observare total cu caracter periodic ce surprinde un fenomen n
mod static.
Exemplu: recensmntul populaiei, a locuinelor,a animalelor.
13
2.5 Sondajul statistic.
Este o metod parial de observare statistic; avantajul unei economii de timp i
bani.
Exemple: CTC. ,pentru a estima rezervele de zcminte, n analiza
macroeconomic, demografie, agricultur, comer, anchete sociale, etc.
A. Sondajul aleator simplu:
Condiii:
- Fiecare unitate statistic are probabilitatea egal de a fi aleas.
- Unitile sunt alese independent, fr legtur una cu alta.
Sondajele pot fi repetate( cu revenire n populaie pentru populaii infinite)sau
nerepetate (far revenire n populaie pentru populaii finite)
Procedee de selecie aleatoare.
1) Procedeul urnei cu bile: fiecare unitate se numeroteaz de la 1 la N. Se
folosete o urn cu N bile numerotate de la 1 la N din care se fac n extrageri
fr revenire.
2) Procedeul tabelului cu numere ntmpltoare: numrul de ordine al unitii
este ales din tabelul cu numere aleatoare.
3) Procedeul mecanic de selecie: se stabilete pasul de numrare k. De
exemplu dac volumul populaiei este N=1000, iar volumul eantionului
este n=50, atunci k=
=20;se va selecta tot a 20-a unitate.
B) Sondajul stratificat.
Se divizeaz colectivitatea general n ,, straturi ct mai omogene
C) Sondajul n cuiburi.
Cuib sau Cluster : grupare de uniti statistice concentrate i strict delimitate.
Exemplu: familia.
14
Avem trei niveluri de cercetare:
- Uniti statistice
- Cuiburile (grupurile)
- Populaia n ansamblu
Etape:
- Stabilirea cuiburilor
- Extragerea unui eantion din cuiburile stabilite
- Examinarea fiecrei uniti statistice din cele ce compun cuibul.
Alte tipuri de sondaj:
- Eantionarea concentrat selectarea n eantion a acelei pri ce
prezint majoritatea cazurilor individuale.
- Selecie dirijat se iau elementele (unitile) reprezentative
apropiate de media ce trebuie estimat. Rezultatele nu sunt obiective.
- Eantionarea multifazic: - se ia un eantion, de la unele elemente se
iau anumite caracteristici iar de la altele se studiaza alte
caracteristici.
- Eantionarea pe cote: - alegerea unitilor statistice este lsat pe
seama operatorilor.
15
Cap.3 Sistematizarea i prezentarea datelor
OBIECTIVE
- nsuirea de ctre studeni a metodelor de sistematizare i prezentare a datelor.
- nsuirea de ctre studeni a modalitilor de ntocmire a reprezentrilor
grafice specifice diverselor tipuri de date.
REZUMAT
n acest capitol se continu analiza statistic a unui set de date, prin metodele
de sistematizare i prezentare a datelor. Se pun n eviden prin exemple,
reprezentrile grafice structurate dup tipologia specific a datelor analizate.
n urma parcurgerii cu atenie a acestui capitol, studenii vor ti s
sistematizeze datele culese i s ntocmeas reprezentarea grafic potrivit setului
de date analizat. La seminarii se folosete programul Excel i programul R.
16
Prelucrare statistic fenomen complex prin care datele nregistrate sunt
sistematizate i tratate statistic.
Sistematizarea datelor ordonarea acestora n funcie de omogenitatea lor.
3.1. Sistematizarea datelor
- se realizeaz prin centralizare si grupare
3.1.1. Procedee de sistematizare
-Centralizarea (totalizarea unitilor statistice sau a valorilor unei
caracteristici la nivelul grupelor tipice sau al colectivitaii).
-Se face prin sumare directa.Rezult astfel indicatori statistici de nivel.
Exemplu: numrul populaiei unei localitai la un moment dat, valoarea
produciei unei firme pe o perioada dat.
-Gruparea - (centralizare pe grupe a unitailor statistice).
Rezult iruri de date ordonate cresctor sau descresctor.
3.1.2. Tipuri de grupri statistice :
a) Dup numrul caracteristicilor de grupare :
-grupare simpl dup o singur caracteristic.
- exemplu gruparea intreprinderilor industriale dup numrul muncitorilor.
- gruparea combinat separarea unei colectiviti n grupe omogene dup variaia
simultan a dou sau mai multe caracteristici;
Se face o grupare dup o caracteristic principal, apoi, fiecare grup se divizeaz
n subgrupe dup variaia unei alte caracteristici (secundare)
b) Dupa natura caracteristicii:
- grupare dup o variabil calitativ:
17
- grupare dup o variabil nominal (clasificare)
- grupri dup variabila timp i dup variabila spaiu ;
- Exemplu: gruparea populaiei pe ocupaii, rezultatele acestei grupri fiind cuprinse
n nomenclatoare.
- dup o variabil exprimat numeric.
Se poate face pe:
- variante (numr redus de posibilitati);
exemplu:gruparea familiilor din cartier dupa numrul de copii);
-intervale de variaie (numr mare de variante);
exemplu: gruparea populaiei din localitate dup vrst)
3.1.3. Probleme ale gruprii statistice
1. Scopul gruprii statistice :
- pentru sistematizarea materialului n vederea prelucrrii (grupe egale ca mrime);
- pentru analiza direct in cazul grupelor bine determinate.
2. Alegerea variabilei de grupare (variabil dup care se face separarea unitilor in
grupe omogene). Funcie de scopul gruprii se va decide gradul de esenializare a
caracteristicilor.
3. Stabilirea numrului de grupe.( Funcie de scop).
- exemplu: gruparea statistic a unei populaii dup vrst : se folosesc n general
intervale cincinale, adic intervale tipice egale: 0-4; 5-9; 10-14; 95-99 ; 100 i peste.
Se folosesc pentru unele cercetri intervale tipice neegale:0-19 (populaie tnr);20-
59 (populaie adult);60 i peste (populaie vrstnic).
Numrul k al grupelor folosite n practic , dac volumul eantionului este n, se
poate face dup formula Sturges: [ 1 3 322 ]
4. Determinarea mrimii intervalului de grupare ( )
18
Fie X caracteristica de grupare cu valorile xi, i=1
Numrul: A = xmax xmin se numete amplitudinea de varianie a lui X
Atunci =
sau =
( numrul obinut se rotunjete n plus)
5. Delimitarea grupelor de variaie i separarea unitilor colectivitii pe
intervale de variaie
- dac variabila este continu atunci limita superioar a unui interval va fi limita
inferioar a intervalului urmtor.Se face o not explicativ (care limit e inclus n
interval)
- dac variabila e discret atunci limita inferioar a intervalului urmtor este
deplasat cu o unitate fa de limita superioar a intervalului precedent.
- intervalele pot fi nchise sau deschise
3.2. Prezentarea datelor statistice
Distribuie statistic rezultatele sistematizate prin grupare.
3.2.1. Tabele statistice
Elementele unui tabel:
- titlul general si titlurile interioare;
- unitatea de msur general;
- notele explicative;
- sursa datelor;
- rubricile tabelului.
19
Tipuri de tabele :
- simplu (distribuie univariat)
- cu dubl intrare (tabel de corelaie) ( distribuie bivariat)
3.2.2. Repezentri grafice
Metod de prezentare sub forma unei imagini a datelor unei distribuii ntr-un
sistem de coordonate dat. Principiul de baz : proporionalitatea
Elementele reprezentrii
a. Axele de coordonate
b. Scara
c. Reeaua graficului
d. Legenda
a. Axele de coordonate
Axe rectangulare:
n plan:
y
yi Ai(xi,ni)
ni
0 xi
20
n spaiu:
Z nij este frecvena absolut a perechii (xi,yj)
Ai(xi,yj,nij)
nij 0 xi
yi x
Y
Coordonate polare
Ai
0 x
Ai ( i , j) 1
1
grade sau radiani
- proporional cu
-proporional cu intervalul de timp ce separ dou valori succesive.
De exemplu: 2 = anul
atunci
= luna
= trimestrul
b) Scara :
- uniform (aritmetic, cu diviziuni echidistante);
21
- neuniform (logaritmic) punem n coresponden biunivoc numrul cu
logaritmul su zecimal.
0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000
-3 -2 -1 0 1 2 3
c)Reeaua graficului se construiesc paralele la axe prin punctele respectiv
yj . Este util pentru distribuii bidimensionale.
d)Legenda alturi de figur; se reprezint la scar redus elemente de
construcie cu explicaii.
3.3. Distribuii statistice unidimensionale
3.3.1. Definitie notaii.
Definiie : Se numete distribuie statistic unidimensional, corespondena dintre
irul valorilor unei caracteristici i cel de al doilea: irul frecvenelor absolute.
Acestea se prezint sub forma unui tabel.
X:( x1,x2,,xm )unde x1
22
3.3.2. Frecvene relative si frecvene cumulate
Definiia 1. Se numete frecven relativ a valorii xi numrul =
unde :
= n - volumul colectivitii
Evident 1
Definiia 2. Se numete frecven absolut cumulat cresctoare a valorii xi,
Numrul ( ) ( ) 1 .
Se numete frecven relativ cumulat cresctoare a valorii xi, numrul
( ) 1 ; evident 1
Se pot calcula i valorile ( ) ( ) frecvena absolut cumulat
descresctoare, respectiv frecvena relativ cumulat descresctoare a valorii xi
( )
( )
( )
( )
Intervalul 1 2 3 4 5
23
3. 3.3 Prezentarea n tabel a unei distribuii unidimensionale
Modelul unui tabel simplu:
Interval de
grupare
Frecvena absolut
Frecvena relativ
Frecvena absolut cumulat
Frecvena relativ cumulat
x0-x1
|
|
xi-1-xi
|
|
xk-1-xk
n1
|
|
ni
|
|
nk
f1
|
|
fi
|
|
fk
N1 |
|
Ni
|
|
Nk
F1
|
|
Fi
|
|
Fk
Total N 1 - -
Exemplu: Inregistrarea unui eantion de 100 persoane dupa caracteristica vrst
Grupa de
vrst Efectivul
(ni)
Frecvena absolut
fi
frecvena
relativ
Frecvena absolut cumulat
Frecvena cumulat
relativ
Ni ( ) Ni ( ) Fi ( ) Fi ( )
0 14 15 59
60 si
peste
(din care
65 de ani
i peste)
17
61
22
(10)
0,17
0,61
0,22
(0,1)
17
78
100
-
100
83
22
-
0,17
O,78
1
-
1
0,83
0,22
-
Total 100 1
24
3.3.4 Poligonul i curba frecvenelor
Poligonul frecvenelor specific variabilelor discrete.
Se unesc prin segmente punctele Ai (xi,ni), i=1 , unde X: (xi, ni) 1
Curba frecvenelor: punctele Ai( xi,ni) se unesc prin arce de curb. Este
aproximat mai bine forma distribuiei colectivitii dup caracteristica cercetatat.
Curba frecvenelor cumulate : se unesc punctele Ai(xi,Ni) prin arce de curb.
Poligonul frecvenelor cumulate : este reprezentarea grafic a funciei
empirice de repartiie: Fn(x)=
Exemplul : distribuia familiilor dintr-un bloc dup numrul de copii.
25
3.4. Histograma:
Folosit pentru serii cu distribuie continu X: ( ) unde =(xi-1, )
1
Dac intervalele sunt inegale se folosesc frecvenele reduse
,
Construcia histogramei
Se construiesc dreptunghiuri cu baza aezat pe abscis, lungimea acesteia
fiind proporional cu lungimea a intervalului .
nlimea dreptunghiurilor va fi proporional cu . Se poate obine poligonul frecvenelor dac se unesc prin segmente mijloacele
intervalelor duse prin ordonatele .
Exemplul1: n tabelul de mai jos avem distribuia unui eantion de 200
persoane dup timpul de deplasare zilnic ( n minute).
26
Exemplul 2: n tabelul de mai jos avem distribuia unui eantion de 100
persoane dup vrst
27
3.5. Diagrame de structur.
Proporionalitate ntre volumul colectivitii( 100% )i suprafaa din figur.
-dreptunghiul de structur ;
- ptratul de structur;
- cercul de structur.
Exemple:
28
3.6 Reprezentri grafice specifice seriilor de timp
Diagrama polar :pentru fenomene cu evoluie ciclic( serii cronologice)
- Prin segmente de dreapt,
- Prin sectoare de cerc;
Exemplu:
Construcie:
- Se construiete un cerc cu raza proporional cu nivelul maxim al fenomenului;
- Se mparte cercul ntr-un numr de sectoare egale cu numrul perioadelor de
variaie;
- Se traseaz sectoare de cerc cu raza proporional cu nivelul atins de fenomen n
perioadele considerate.
29
Cronograma reprezentare grafic specific seriilor de timp. Poate fi liniar
sau prin benzi sau coloane.
Exemple:
30
3.7 Cartograme i cartodiagrame
Reprezentri grafice specifice seriilor teritoriale
Cartograma: intensitatea de manifestare a unui fenomen
Cartodiagrama: structura unui fenomen.
Exemple:
31
3.8 Distribuii statistice bidimensionale
Definiie : Fie C o colectivitate de volum n
X variabila cu valorile xi , 1
Y variabila cu valorile , = 1
Fie numrul elementelor din colectivitate corespunztoare perechii
( ) (frecvena absolut a perechii)
Se numete distribuie bidimensional (bivariat) irul de triplete
( ) 1 1
Aceast distribuie se prezint ntr-un tabel cu dubl intrare (tabel de
corelaie).
32
|
|
|
|
|
|
|
|
I
I
I
..
( . ) 1 i
( , ) 1
=
distribuii marginale
Frecvenele relative marginale :
Frecvenele relative pariale :
Frecvenele relative condiionate:
1
1
33
a) Distribuii bidimensionale cu ambele variabile cantitative.
Exemplu: Prezentarea unui eantion de 50 de persoane dintr-o ntreprindere dup
producia individual (buci) i salariul lunar ( euro / lun)
,
( ; )
200-400 400-600 600-800 800-1000 1000-
1200
20-30 2 - - - - 2
30-40 1 1 5 - - 7
40-50 - 5 7 10 - 22
50-60 - 1 2 4 5 12
60-70 - 1 1 3 2 7
3 8 15 17 7 50
Reprezentri grafice norul de puncte ntr-un sistem de axe se traseaz
reeaua corespunztoare valorilor , . Se construiesc apoi punctele ( ) n
celulele reelei.
Diagrama paralelipipedelor n sistem de 3 axe . Se construiesc
paralelipipede cu baza n planul ( X0Y), iar nlimea proporional cu .
b)Distribuie bidimensional, cu o variabil cantitativ i una atributiv.
34
Distributia dup vrst i sex a populaiei Romniei.
Reprezentarea grafic : piramida vrstelor.
c)Distribuie bidimensional cu ambele variabile atributive.
Exemplu: Distributia populatiei Romaniei dupa mediu si sex in 2011( date
conventionale).
Mediu
Sex
Urban Rural Total
Masculin 6000000 4000000 10000000
Feminin 7000000 5000000 12000000
Total 13000000 9000000 22000000
35
Reprezentarile grafice sunt diagrame de structura. Ex dreptunghi:
Teste
Distribuia unui eantion de 150 de persoane dup caracteristica timpul de
deplasare zilnic, este:
Timpul de
deplasare(minute)
Ji=xi-1 - xi
0-30
30-60
60-90
90-120
120-180
Numr persoane
ni
15
40
50
35
10
a) s se reprezinte grafic histograma, poligonul i curba frecvenelor.
b) s se reprezinte grafic structura pe intervalele 0-60, 60-120, 120-180, folosind
cerc, respectiv dreptunghi de structur.
36
Cap.4. Indicatori statististici n mrimi absolute i relative
OBIECTIVE
- Cunoaterea de ctre studeni a indicatorilor statistici n mrimi absolute
(sporul absolut).
- Cunoaterea de ctre studeni a indicatorilor statistici n mrimi relative
( mrimile de structur).
REZUMAT
n acest capitol se implementeaz i se exemplific indicatorii variaiei
absolute care vor fi folosii n spe la seriile cronologice. Mai apoi se
implementeaz i se exemplific categoriile de indicatorii relativi cu accent pe
mrimile de structur.
37
4.1 Indicatori n mrimi absolute
Indicatorii de nivel sunt indicatori individuali, rezultat al centralizrii pe
grupe. Se obin prin sumare direct n cadrul unei grupe:
Indicatori ai variaiei absolute :
Fie ( ) 1
Numrul se numete spor.
Sau 1
4.2 Indicatori n mrimi relative:
Exprim rezultatul comparrii a doi indicatori statistici sub form de raport.
Arat cte uniti din indicatorul de la numrtor revin la o unitate a indicatorului
considerat ca baz de raportare.
Probleme ale folosirii mrimilor relative.
- alegerea bazei de comparare: funcie de gradul de independen dintre
caracteristici sau funcie de scopul cercetrii;
- asigurarea comparabilitii datelor ce formeaz raportul;
- alegerea formei de exprimare a mrimilor relative (procente, promili,
prodecimili etc.) arat de cte ori se cuprinde indicatorul de raportat n baza de
raportare.
Tipuri de mrimi relative:
Mrimile de structur : (ponderi sau greuti specifice ).
Exprim raportul dintre parte i ntreg.
Notaii : 1
38
Exemplu :
1
. 100
100
Mrimi relative de coresponden (mrimi relative de coordonare)
. 100
. 1000
nivelul grupei A respectiv B.
Arat cte uniti dintr-o grup revin la 100 sau 1000 uniti din cealalt grup a
colectivitii.
Mrimi relative de intensitate :
K =
K = marimea relativ de intensitate.
X = variabila (fenomenul) de raportat.
Y = variabila (fenomenul) ales ca baz de raportare.
Arat gradul, intensitatea de rspndire a unui fenomen n raport cu variabila la
care se raporteaz.
Se utilizeaz n demografie (caracterizeaz micrile populaiei), economie.
39
40
Cap.5 Indicatori ai tendinei centrale. ( Mrimi medii)
OBIECTIVE
- Cunoaterea de ctre studeni a noiunii de mrime medie n Statistic i nsuirea
schemei de clasificare a mrimilor medii.
- Implementarea i cunoaterea de ctre studeni a mrimilor medii uzuale n
statistic i nelegerea utilitii acestora.
REZUMAT
n acest capitol se prezint conceptul de marime medie n statistic i se face
o clasificare a mrimilor medii.
Urmeaz apoi studiul fiecrei mrimi medii uzuale. Se susine printr-o multitudine
de exemple, prezentate mai ales la seminar, importana i utilitatea fiecrei mrimi
studiate.
41
5.1 Probleme generale ale mrimilor medii.
Mediile, sunt mrimi statistice care exprim n mod sintetic si generalizant,
ceea ce este esenial pentru unitile unei colectiviti distribuite dupa o anumit
caracteristic.
Trsturi caracteristice :
- media exprim n mod sintetic valorile unei serii statistice i are un caracter
abstract;
- este o mrime generalizant (nlocuind fiecare termen al seriei cu nivelul
mediu, suma termenilor va fi aceeai);
- media sintetizeaz normalul, adic exprim nivelul purtat de majoritatea
unitilor colectivitii. Se mai numete i sperana matematic (poziia central
spre care tind unitile unei colectiviti);
- este rezultatul aciunii factorilor eseniali, exprim legicul. Abaterile de la
nivelul mediu se datoreaz factorilor aleatori.
Condiii de calitate ale unei mrimi medii(Principiul lui Yule)
1.Media trebuie definit obiectiv printr-o definiie sau formul;
2.Media trebuie s fie reprezentativ pentru toi termenii seriei;
3.Media trebuie s aibe o semnificaie concret uor de observat;
4.Media trebuie s fie simplu de calculat;
5.Media trebuie s se preteze la calcule algebrice ulterioare;
6.Media trebuie s fie puin sensibil la fluctuaiile de eantionare.
42
Clasificarea mrimilor medii
a)Dup rolul lor n analiza statistic :
- mrimi medii fundamentale : - media aritmetic;
- modul;
- mediana;
- mrimi medii cu aplicaii speciale:
- media geometric;
- media armonic;
- media ptratic;
- media progresiv;
- media cronologic;etc
b)Dup modul de obinere:
- medii de poziie: modul, mediana, mediala;
- medii de calcul
medii simple pentru distribuii de tipul:
X: ( ) 1
- medii ponderate pentru distribuii de tipul
X: ( ) 1 .
43
5.2 Media aritmetic ( )
Definiie -mod de calcul.
Media simpl:
Dac : X: ( ) 1
atunci:
. ; .
Observm c: .
Media ponderat :
Dac: X: ( ) 1
atunci: .
unde
1
Dac seria este prezentat pe intervale de variaie:
X: ( ) ( ) 1
atunci:
=
unde: x i=
( )
Proprieti ale mediei aritmetice:
1. Dac:
2. ( )
3. ( ) 0 ( )
4. ( )
5. a) ( )
( )
44
b)
c)
( )
6. dac: Z = X+Y , X,Y variabile aleatoare independente, atunci:
Calculul simplificat al mediei.
Din propietile 5) punctul a) i b), c
Respectiv:
5.3 Media unei caracteristici alternative:
Distribuia de frecven pentru o caracteristic alternativ.
Valori ale caracteristicii
( )
Frecvena de apariie
Efectiv ( ) Pondere ( )
Da (1)
Nu (0)
Unitai ce posed caracteristica
Uniti ce nu posed caracteristica
p=
=
Total n =1
45
1 0 ( )
Media unei caracteristicii alternative = ponderea unitilor ce posed caracteristica.
5.4 Medii cu aplicaie special
Media geometric.
Se aplic doar pentru numere strict pozitive.
Media geometric simpl:
. . .
Media geometric ponderat :
.
.
Observaii : logaritmnd relaiile celor dou medii obinem:
1)
2) =
Proprieti:
1) este mrime intern, normal i translativ.
2) = unde .
3)
unde
.
46
Exemplu: Cifra de afaceri a unei firme crete cu 10% n primul an; cu 15% n
urmtorii doi ani i cu 18% n ultimul an pe o perioada de observare de patru ani.
S se calculeze creterea medie anual.
1 10 1 15 1 18
1 716605
1 144635 1 145
14 5
Media de ordin r :
1
Media aritmetic de ordin r:
Observaie:
Dac: 1
2 =
1
Inegalitatea mediilor:
47
5.5 Modul (Dominanta)
Notat Mo sau Do. Este o mrime fundamental de pozitie.
Modul este valoarea caracteristicii cu frecvena absolut .
Determinarea modului:
) ( ) 1 .
-se determin .
-se citete valoarea corespunztoare =
b)dac X: ( ) 1 ( )
-se determin
- Se citete intervalul modal ( ) .
-
Dac intervalele sunt inegale se folosesc n loc de frecvenele reduse:
Determinarea grafic : cu histograma.
Propietile modulului.
1. .
2. 0
3. Dac
48
4. Dac:
Media armonic:
1
ponderat.
Media ptratic:
a)Simpl:
b)Ponderat:
49
5.6 Mediana( )
Definiie : Se numete median acea valoare a caracteristicii unei serii
ordonate, pn la care i peste care sunt distribuite n numr egal unitile
colectivitii, respectiv valoarea caracteristicii care mparte seria dat n dou
grupe cu efective egale.
Dac volumul colectivitii este m, atunci locul medianei corespunde valorii
, dac m este impar, respectiv
dac m este par
unde este unitatea median.
Calculul medianei pentru diferite tipuri de distribuii.
a) X= ( ) 1
i) dac m=2p+1, atunci: =
1
Deci :
Exemplu: 5 10 15 25 35
5 2 2 1 2;
3 =15
ii) dac m=2p, atunci :
Avem doi termeni centrali ai seriei: i
Exemplu: 4 6 10 4 2 2
=
7.5
b) ( ) 1
1) Se calculeaz ( )
50
2) Se determin
2
2 1
Se determin ( ) ( )
3) Se determin
Exemplu:
( ) 0
1
2
3
4
5
6
7
6
18
23
20
14
6
2
1
6
24
47
67
81
87
89
90
m=90=2p
=
45
Observm c:
( ) 47 45
2
total 90 -
c) ( ) 1
( )
1) Se calculeaz ( )
2) Se determin i cea mai mic valoare ( ) , astfel nct ( )
3) Se determin intervalul median ( )
4) ( )
, unde:
( )
51
Exemplu:
S se determine mediana pentru distribuia urmtoare
( ] ( ) ( )
(0;30]
(30;60]
(60;90]
(90;120]
(120;150]
(150;180]
25
50
60
45
15
5
25
75
135
180
195
200
200
175
125
65
20
5
Total 200 - -
100 ( ) 135 100
(60 0) .
( )
60 30
100 75
60 60 12.5 72.5
5.7 Quantilele(generalizri ale medianei)
Sunt valori ale caracteristicii ce mpart seria n r grupe ale cror efective
sunt egale. Numrul r se numete ordinul quantilelor.
Quantile uzuale:
r=2 - quantila este mediana
r=4 quartilele
r=10 decilele
r=100 centilele
n continuare vom calcula aceste quantile uzuale pentru distribuii de intervale,
fiind cele mai utilizate n practic.
52
Quartilele: Q1 , Q2 , Q3
0 Q1 Q2 Q3
Q1=
( )
Q2=
{1 2 3} Q3=
Unde:
,
, d- lungimea
intervalului quartilic .
Decilele: D1 , D2 , ..., D9
D1 =
D5=
D9=
53
, .
( )
( ) 1
, 1
Centilele: C1 , C2 , ,C99
C1 =
C50= =
C99=
unde:
, ,
( )
Exemplu: S se calculeze quartilele,decilele i centilele extreme pentru seria de
intervale prezentat n tabelul urmtor:
( ; ] ( ) ( )
(0,30]
(30 ; 60]
(60 ; 90]
(90 ; 120]
(120 ; 150]
(150 ; 180]
25
50
60
45
15
5
25
75
135
180
195
200
200
175
125
65
20
5
Total 200 - -
Quartilele:
4 200
4 50
Observm c: ( ) 75 50 (30 60] 1
Q1= ( )
30 30
30 15 45
54
2 200
2 100
( ) 135 100 (60 0] 2
Q2= ( )
60 30
60 30
60
60
60 12.5 72.5
3
4
3
4 200 150
Observm c: ( ) 180 150 ( 0 120] 3
Q3= ( )
0 30
0 30
0 10 100
Decilele:
10 200
10 20
Observm c: ( ) 25 20 (0 30] 1
D1= ( )
0 30
30
24
10
10 200 180
Observm c: ( ) 180 ( 0 120]
D9= ( )
0 30
0
120
55
Diagrama box-plot (Tukey 1972)
D1 Q1 Me Q3 D9
- valorile minime i maxime ale distribuiei.
D1 , D9 - decilele extreme.
5.8 Mediala ( )
Indicator de poziie egal cu acel nivel al caracteristicii ce mparte suma
n dou pri egale.
Notaie: .
Avem c: . Egalitatea are loc doar n cazul unei echirepartiii.
a) Determinarea medialei pentru serii simple : ( ) 1
1.Se ordoneaz cresctor termenii
2.Se determin irul 1
3.
4. =
Exemplu: S se determine mediala pentru seria cu valorile :2, 4, -3, 5, 8, 6, 1, 9
=8
=-3; =1; =2; =4; =5; =6; =8;
= =-3
56
= + =-2
2 2 0
4
9
15
16
23
23 >16= , deci = =8
32=
b) Determinarea pentru serii cu frecven: ( ) 1
1. Se determin 1
2.
=
.
3. = ( )
c) Determinarea pentru serii de intervale: ( ) 1
1. Se determin: , 1
2.
3.
57
5.9 Relaii ntre valorile tendinei centrale:
1) Dac distribuia este unimodal simetric atunci:
2) Dac distribuia este unimodal asimetric atunci are loc relaia
3( )
Ex: Pt. distribuia dup timpul de deplasare n minute a eantionului de 200
persoane, avem: =73,5; =72; =72,5
73,5-72=3(72,5-72), adevrat.
58
TESTE
1) Populaia ocupat (mii persoane) pe sectoare de activitate n Romnia, n anii
1993 i 2001 este dat n tabelul de mai jos:
Sectorul de activitate 2003 2001
Industrie 3030 2017
Construcii 574 340
Agricultur i silvicultur 3614 3498
Alte ramuri 2844 2708
Total 10062 8563
Sursa: Anuarul Statistic al Romniei, 1994, C.N.S. , p.158, 2002, p.94
a) S se ntocmeasc un tabel cu ponderea populaiei ocupate pe sectoare de
activitate, n anul 1993 comparativ cu anul 2001.
b) S se ntocmeasc un tabel cu modificrile de structur n 2001 fa de 1993 pe
sectoare de activitate, n mrime absolut.
2) Numrul de salariai pe sexe la nivelul economiei naionale a Romniei, la
31.12.1999, este dat n tabelul urmtor:
Total personal muncitor 2.976.000
Brbai 1.781.000
Femei 1.195.000
Sursa: Anuarul Statistic al Romniei, I.N.S., 2000, p.110
Se cere s se calculeze mrimile relative de coresponden( coordonare).
59
3) Distribuia muncitorilor unei firme dup caracteristica timpul necesar realizrii
unui produs, este dat n tabelul urmtor:
Timpul
(min)
Ji= xi-1-xi
0-30 30-60 60-90 90-120 120-150 150-180
Numr
muncitori
ni
25 50 60 45 15 5
S se calculeze:
a) Media aritmetic
b) Modul
c) Mediana
d) Diagrama Box-Plot
e) Mediala
60
Cap.6 Indicatori ai dispersiei i asimetriei
OBIECTIVE
- Cunoaterea de ctre studeni a noiunilor de dispersie i asimetrie.
- Cunoaterea de ctre studeni a indicatorilor dispersiei i nelegerea rolului
i importanei acestora.
- Cunoaterea de ctre studeni a principalilor indicatori ai dispersiei i
nelegerea rolului i importanei acestora.
REZUMAT
n acest capitol se definesc noiunile de dispersie i asimetrie. Se introduc
indicatorii specifici pentru cele dou concepte i se calculeaz pentru diverse tipuri
de date . Se pun n eviden prin exemple studiate mai ales la seminar, rolul i
importana cunoaterii modului de calcul a acestor indicatori i a conexiunilor ce se
pot face pe baza lor n interpretarea statistic a datelor.
61
6.1 Indicatori simpli i sintetici ai dispersiei
Dispersia exprim gradul de mprtiere a valorilor individuale ale unei distribuii
n jurul valorii centrale:
6.1.1 Indicatorii simpli ai dispersiei
Msoar cmpul de mprtiere al caracteristicii i mprtierea fiecrui nivel
individual al caracteristicii fa de nivelul mediu.
a) Amplitudinea variaiei
Daca X este variabila asociat caracteristicii unei populaii :
X: ( ) 1
=
100, se numete amplitudinea variaiei absolut respectiv
amplitudinea variaiei relativ.
b)Abaterea individual
Numrul: =
100, se numete abaterea
individual absolut respectiv abaterea individual relativ.
6.1.2 Indicatorii sintetici ai dispersiei
Exprim n mod sintetic, mprtierea tuturor nivelurilor individuale ale
caracteristicii fa de nivelul mediu.
a) ( ) : X=( ) 1
= | |
dac
= | |
.
Observaie: Dac nu se pune modul, atunci ( ) 0
b) Dispersia. Numrul: 2
( )
62
=
.
c)Abaterea medie ptratic (derivaia standard).
Este
d)Intervalul mediu de variaie .
Acesta este:
I. ( ) 68.27 ( )
II. ( 2 2 ) 5.65
III. ( 3 3 ) . 7 .
e) Coeficientul de variaie ( )
100
100
(0 100 )
este folosit ca test de reprezentativitate a mediei.
0< 50% - media nu este reprezentativ.
Exemplu : Un produs se vinde n 5 magazine cu preuri diferite : 10; 11; 12;
13; 14(lei).
S se calculeze preul mediu i gradul de dispersie cu ajutorul indicatorilor simpli
si sintetici:
1
5
10 11 12 13 14
5 60
5 12
Preul mediu este 12 lei
63
14 10
Amplitudinea variaiei:
14 10 4
100=
100 33 3
Abaterea individual: , 1 5
100
10 12 2
11 12 1
12 12 0
13 12 1
14 12 2
100=
100=
100 16.67
100=
100=
100 8.33
100=
100=
100 0
100=
100=
100 8.33
16.67
64
Indicatori sintetici ai dispersiei.
Abaterea medie liniar ( )
| |
| |
=
1 2
Deci: = 1,2 lei
{ 12 1 2 13 2
12 1 2 10 8}
(10 8 13 2)
Dispersia (2)
( )
5
5 2 4 2 1
5 10
5 2
Abaterea medie patratic.
2 1 4142 1 4142
Observm c:
Intervalul mediu de variaie.
=12-1,4142=10,5858
=12+1,4142=13,4142
deci 68% din unitile colectivitii (magazine) practic un pre cuprins ntre
10,5858 lei i 13,4142 lei
Coeficientul de variatie ( )
100
1 4142
12 100 11 78 17
=>media este semnificativ pentru distribuie.
65
6.2 Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative
O caracteristic alternativ are doar dou variante. Variantele se exprim prin
cuvinte, pot fi cuantificate cu ,,0 si ,,1
Dispersia unei caracteristici alternative.
(1 ) (0 )
(1 )
1
Abaterea mediei patratic.
Coeficientul de variaie ( )
100
100
100
Exemplu :
Din 300 piese examinate, 270 sunt bune.
S se determine :
i) procentul mediu de piese bune.
ii) procentul mediu de piese rebut.
iii) dispersia.
iv) coeficientul de variaie.
i)
100
100 0 ( 0 )
ii) 1 10 (0 1)
iii) 00.
100 33 33 .
66
6.3 Msurarea dispersiei n sistemul medianei
Indicatori ai dispersiei n sistemul medianei.
1) Intervalul interquartilic. ( )
2)
3) Semiinterquartila. ( ) .
2
Observaie :
25 25
4) Intervalul interdecilic. ( )
5) Abaterea interdecilic
80
6) Semiinterdecila =
Frecven
cumulat
IQ
ID
D1 Q1 Me Q3 D9 xi
67
Coeficientul de variaie interquartilic: ( )
100
2
100
2
Q1 - 1 Q1=
Q3 - 3 Q3=
Coeficientul de variaie interdecilic ( )
2
100
Aplicaie: Considernd datele din tabelul urmtor:
Timpul consumat
pentru realizarea unei
piese ( ]
Numr muncitori
( ) ( )
(110 ; 120]
(120 ; 130]
(130 ; 140]
(140 150] (150 160]
12
16
28
24
20
12
28
56
80
100
Total 100 -
68
S se determine gradul de variaie cu ajutorul indicatorilor de variaie n
sistemul medianei.
100
2
100
100
2
100
Se calculeaz :
6.4 Dispersia unei variabile nominale (atributive)
Msurarea dispersiei se bazeaz pe diferenele calitative dintre unitile
studiate.
Definiie: Se numete indice de variaie calitativ.
Numrul:
.
.
.
69
( 1)
2 . (
)
Exemplu: Avem un grup de =60 studeni.
1=40 copii de muncitori.
2=10 copii de intelectuali.
3=10 copii de rani.
S se studieze gradul de omogenitate al grupului dup originea social a prinilor.
=3
=4010+4010+1010=900
3(3 1)
2(60
3) 1200
00
1200 0 75 75
.
6.5 Indicatori ai formei
Forma unei distribuii statistice se poate aprecia cu ajutorul indicatorilor de
asimetrie i a indicatorilor de boltire.
Indicatori de asimetrie: dau informaii asupra modului de repartizare a
frecvenelor de o parte i de alta a valorii centrale.
( 1)2 . (
)
70
Indicatori de boltire: msoar aglomerarea frecvenelor n zona central.
6.5.1 Asimetria
Definiie: Se numete asimetrie, deviaia de la forma simetric a distribuiei.
Valorile centrale folosite pentru aprecierea asimetriei :
.
- Grafic, asimetria se poate aprecia cu ajutorul curbei frecvenelor i a
diagramei box plot.
- Se compar curba frecvenelor cu modelul teoretic al distribuiei normale
(clopotul Gauss
( )
Asimetrie la stnga
71
Asimetrie la dreapta
Indicatori ai asimetriei
a) Asimetria n mrime absolut ( )
sau
dac: 0
dac: 0
b) Coeficientul de asimetrie Yule ( )
[ 1 1 ]
dac 0 .
dac 0 .
dac 0 .
dac 0 1 .
dac 0 3 .
3( )
2
72
E xemplu:
128 13
137 86
147 2
128 13 147 2 2 137 86
147 2 128 13 0 0141
.
c) Coeficientul de asimetrie Pearson ( )
, [ 1 1 ]
Dac: 0 .
dac 0 .
dac 0
dac 0 1 .
dac 0 3 .
Exemplu:
Pentru distribuia de la exerciiul anterior sa se afle
| 137 5 137 4
|
0 0078. .
73
Cap. 7 Indicatori ai seriilor cronologice
OBIECTIVE
- Cunoaterea i nelegerea de ctre studeni a noiunii de serie cronologic.
- Cunoaterea i nelegerea de ctre studeni a indicatorilor absolui relativi i
medii pentru seriile cronologice.
REZUMAT
n acest capitol se studiaz o categorie foarte rspndit de serii de date, att
n domeniul economic ct i n alte domenii, i anume seriile cronologice. Se
prezint i se exemplific prin calcul categoriile de indicatori statistici specifici
pentru aceste serii de date.
74
7.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului i variaiei n timp
Serie cronologic serie de timp ce prezint un ir de observaii la diferite
momente sau intervale de timp.
Avem : serie de timp de momente : ( ) 0
serie de timp de intervale : ( ) 1
unde:
( )
7.1.1 Indicatori absolui
Nivelul absolut valoarea a fiecrui termen al seriei cronologice
Volumul absolut valoarea - valoarea nivelurilor absolute.
Sporul absolut creterea sau descreterea unui fenomen ntr-o perioad
(moment) fa de o alt perioad (moment)
- sporul cu baz fix : . 0
- sporul cu baz mobil: 1
Observaia 1:
1)
=
2)
75
7.1.2 Indicatori relativi :
a) Ritmul sau indicele de variaie arat de cte ori a crescut (sczut) nivelul
unui fenomen ntr-o perioad (moment) fa de nivelul aceluiai fenomen ntr-o alt
perioad (moment)
- ritmul variaiei cu baza fix:
100 0
- ritmul variaiei cu baza mobil:
100 1
Observaia 2:
1.
2.
( ) 1
b) Ritmul sporului arat cu ct s-a modificat n mrime relativ nivelul
fenomenului n perioada raportat fa de nivelul fenomenului n perioada de
raportare.
Ritmul sporului cu baz fix:
1 0
100
Ritmul sporului cu baz mobil:
1
100
100 1
76
d) Valoarea absolut a unui procent de cretere
- Cu baz fix:
% ( )
- Cu baz mobil:
% ( )
7.1.3 Indicatori medii
Nivelul mediu
Dac seria este de intervale , atunci nivelul mediu se afl calculnd o
medie aritmetic a termenilor seriei.
Dac seria este de timp atunci nivelul mediu se afl calculnd o medie
cronologic.
Media cronologic simpl (pentru serie cronologic cu momente egal distanate):
( ) 0
cr=
1
Media cronologic ponderat (pentru seria cronologic cu momente inegal
distanate)
cr=
cr =
77
Sporul mediu: ( )
Ritmul mediu al variaiei ( ) : arat de cte ori s-a modificat n medie pe
an nivelul unui fenomen, ntr-o perioad n care fenomenul evolueaz dup o
progresie geometric.
a)Metoda mediei geometrice.
=
100
- dezavantaj: se ignor termenii seriei, folosindu-se primul si ultimul.
b) Metoda mediei parabolice:
Fie seria:
1
= (1 )
( 1
1 ) 1
1
.
Dezavantaj: se exagereaz importana primului termen.
Ritmul mediu al sporului ( )
1
100
78
Apl
Se d seria cronologic ce reprezint volumul comerului exterior al Romniei in
perioada 1994 1999.
Anii ( ) Exportul (n mil. $) T0 = 1994
T1 = 1995
T2 = 1996
T3 = 1997
T4 = 1998
T5 = 1999
= 6151 1 = 7910 2 = 8084 3 = 8431 4 = 8302 5 = 8487
47365
a)S se calculeze indicatorii absolui i relativi ai variaiei n timp (i valoarea
absolt a unui procent de cretere cu baz fix i cu baz mobil)
b)S se calculeze indicatorii medii pentru aceste serii.
Indicatorii absolui
Anii
Ti Exportul ( ) Sporul absolut
cu baz fix
(mil. $ )
Cu baz mobil
1994
1995
1996
1997
1998
1999
=6151 =7910 =8084 =8431 =8302 =8487
0
175
= 1993
= 2280
=2151
=2336
-
=1759
=174
=347
=-129
=185
Aplicaie
1 :
79
Indicatorii relativi
Ritmul variaiei i al sporului.
Anul Ritmul 100
variaiei(%)
= 100
ritmul
=
100
sporului (%)
100
1994
1995
1996
1997
1998
1999
6151
7910
8084
8431
8302
8437
100
128,6
131,43
137,07
134,97
137,98
-
128,6
102,2
104,29
98,47
102,23
O
28,6
31,43
37,07
34,97
37,98
-
28,6
2,2
4,29
-1,53
2,23
Valoarea absolut a unui procent de cretere:
Cu baza fix %( )
61 51 .
Cu baz mobil: % ( ( ))
Indicatorii medii
2
2
5 40021
5 8004 2 .
Nivelul mediu
78 4 16 mil.
Sporul mediu
467 2 mil. $
Ritmul mediu al variaiei =
1 37 7 1 066 106 6
100 6 66
80
TESTE
Se cunosc datele privind producia de gru a unei ferme vegetale
Anul Producia ( ) 1995 1,8
1996 2
1997 2,1
1998 2
1999 2,3
2000 2 3
Sa se calculeze indicatorii absolui i relativi ai variaiei n timp, valoarea absolut
a unui procent de cretere cu baz fix i cu baza mobil i indicatorii medii.
Bibliografie:
1. D. Deac, Statistic Economic, suport de curs n format electronic. 2. C. Anghelache .a., Bazele Statisticii Teoretice i Economice, Ed.
Economic, Bucureti, 2005. 3. E. Jaba, C. Pintilescu, Statistic. Teste gril i probleme, Ed. Sedcom
Libris, Iai, 2005. 4. S. Ndban, Teoria probabilitilor i statistic matematic, EDP,
Bucureti 2007. 5. V. Voineag, .a., Statistic. Baze teoretice i aplicaii, Ed. Economic,
Bucureti, 2007.
