Curs de mecanica auto Cap8 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap8 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

1/21

4. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

4.1 NOIUNI FUNDAMENTALE

4.1.1 LUCRUL MECANIC

Prin definiie, lucrul mecanic efectuat de fora F la deplasarea punctuluimaterial din poziiaM0, n poziiaM1 este dat de integrala curbilinie:

=10

1o

MM

MM rdFL (4.1)

unde rd este deplasarea efectuat de punctul de aplicaie al forei F n timpulelementar dt (fig.4.1).

Pentru o for constant i o deplasare rectilinie a punctului material, lucrulmecanic este:

Fig.4.1

61


2/21

rFL10MM

= (4.2)

Fora F este n general o funcie de timpul t, poziia r i viteza v apunctului de aplicaie. Deplasarea 10MM , efectuat pe arc, este constituit din

deplasri elementare MM, care se pot asimila cu deplasrile pe corzilecorespunztoare rd (fig.4.1). n aceast deplasare elementar, fora F esteadmis constant. Lucrul mecanic al forei F pe o deplasare elementar rd senumete lucrul mecanic elementar:

rdFdL = (4.3)

Dac n relaia (4.3) se nlocuiete dtvrd = , n care v este vitezapunctului material, se obine:

dt)v,Fcos(vFdtvFdL == (4.4)Lucrul mecanic al forei F , n deplasarea finit din M0 nM1 este numit

lucrul mecanic totalsau finit i este determinat prin integrala curbilinie (4.1).Dac vectorii r,v,F sunt exprimai prin proieciile lor pe axele unui

sistem cartezian Oxyz, lucrul mecanic total are expresia:

++=++=1M0M1M0M

10dt)vFvFvF()dzFdyFdxF(L zzyyxxzyxMM (4.5)

4.1.2 FUNCIA DE FOR

Se consider o funcie scalar U(x,y,z) de coordonatele punctului, cuajutorul creia se pot exprima componentele forei astfel:

z

UF;

y

UF;

x

UF zyx

=== (4.6)

Funcia U se numete funcie de for, iar fora F se numete for

conservativ i deriv din funcia de for U.Condiiile lui Cauchy, de existen pentru funcia Usunt:

z

F

x

F;

y

F

z

F;

x

F

y

F xzzyyx

=== (4.7)

Deci fora conservativ este:

UgradUkz

Uj

y

Ui

x

UF ==++=

(4.8)

62


3/21

unde operatorul (nabla), numit i operatorul Hamilton este un operatorvectorial, care transform un scalar ntr-un vector.

Lucrul mecanic elementar este:

dUdzz

U

dyy

U

dxx

U

rdFdL =++==

(4.9)iar lucrul mecanic total va fi:

===B

A

AB

AB

AB UUdUrdFL (4.10)

unde: )z,y,x(UU);z,y,x(UU BBBBAAAA ==Lucrul mecanic total al unei fore conservative este independent de

traiectoria parcurs i depinde numai de poziiile iniiale i finale ale punctului.Dintre forele conservative, deci care formeaz cmpuri poteniale,

amintim greutatea i fora elastic.Greutatea are proieciile pe axele reperului Oxyz (fig.4.2):

mgG;0G;0G zyx === (4.11)

Prin urmare:

mgz

U;0

y

U;0

x

U===

(4.12)

Fig.4.2

63


4/21

Condiiile lui Cauchy (4.7) sunt ndeplinite i deci fora de greutate este ofor potenial. Funcia de for pentru greutate este:

CmgzU;dzmgdU +==

; (4.13)

Lucrul mecanic totalLMoM efectuat de greutate, n deplasarea punctului dinpoziiaM0, n poziiaMare expresia:

)zz(mg

)Cmgz(CmgzL

0

0MM0

=

=++=(4.14)

Considernd c suportul forei elastice are o direce oarecare n spaiu(fig.4.3) putem scrie:

kzFz

U;kyF

y

U;kxF

x

Uezeyex ==

==

==

(4.15)

Condiiile lui Cauchy (4.7) sunt ndeplinite i deci fora elastic este ofor potenial. Funcia de for pentru fora elastic este:

( ) Cr2

kCzyx

2

kU;dzkzdykydxkxdU 2222 +=+++== (4.16)

Lucrul mecanic total LMoM efectuat de fora elastic, n deplasareapunctului din poziiaM0, n poziiaMeste:

( )2o2202MM rr2

k)Cr

2

k()Cr

2

k(L

0=++= (4.17)

4.1.3 PUTEREA

Prin definiie,puterea este lucrul mecanic produs n unitatea de timp, deci:

Fig.4.3

64


5/21

t

LP= (4.18)

cnd fora i momentul (n cazul rigidului) sunt constante n timp, sau:

dt

dLP= (4.19)

cnd fora i momentul sunt variabile.nlocuind expresia lucrului mecanic elementar rezult:

vFdt

rdFP =

= (4.20)

sau

== M

dt

dMP (4.21)

4.1.4 RANDAMENTUL MECANIC

ntr-o main forele motoare produc lucrul mecanic motorLm. Forelerezistente produc lucrul mecanic util Lu, n scopul pentru care a fost construitmaina i lucrul mecanic pasivLp, folosit pentru nvingerea frecrilor.

pum LLL += (4.22)

Se definete randamentul mecanic, notat cu , raportul:

m

u

L

L= (4.23)

care este o mrime adimensional i indic modul cum folosete maina, lucrulmecanic motor.

Exprimnd lucrul mecanic util n funcie de cel motor pmu LLL = inlocuindu-l n expresia (4.23), rezult:

== 1L

L1

m

p(4.24)

unde:m

p

L

L= se numete coeficient de pierderi.

Se constat c, ntotdeauna 1


6/21

Prin definiie, impulsulunui punct materialMde mas m, care se mic cu viteza ,v este unvector coliniar cu v i a crei expresie este (fig.4.4):

vmH = (4.25)

Impulsul H se mai numete i cantitate de micare.

4.1.6 MOMENTUL CINETIC

Momentul cinetic al unui punct material Mde mas m, care se mic cuviteza v , calculat n raport cu un punct fix O, este prin definiie momentulimpulsului punctuluiM, calculat n raport cu acelai punct O:

Fig.4.4

66


7/21

vmrHrKo == (4.26)

Momentul cinetic 0K se mai numete i momentul cantitii de micare ieste un vector legat, analog vectorului moment al unei fore n raport cu un punct,definit n static (fig.4.5).

4.1.7 ENERGIA MECANIC

Energia cinetic

Pentru un punct material de mas m care are viteza v , prin definiie,energia cinetic este:

2mv2

1E = (4.27)

Energia cinetic este o mrime de stare, scalar i strict pozitiv (mrimecare caracterizeaz micarea, n orice moment).

Energia potenial

Energia potenial este o mrime care caracterizeaz capacitatea micriinemecanice de a trece ntr-o anumit cantitate de micare mecanic.

Energia potenial se pune n eviden cnd forele care acioneaz asuprapunctului material sunt fore conservative (deriv din funcii de for U).

Dac fora conservativ F admite o funcie de for U(x,y,z), atunci,funcia potenial sau energia potenial reprezint funcia de for, luat cusemnul minus.

)z,y,x(U)z,y,x(V = (4.28)

Fig.4.5

67


8/21

Pentru lucrul mecanic elementar i total al forei F , care se deplaseazdinM0 nMse obin expresiile:

( ) ( )z,y,xVz,y,xVdVL;dVdUdL 0000MM

MM

0

0==== (4.29)

Semnificaia funciei potenial V(x,y,z) rezult, admind c punctulM0(x0,y0,z0) este punct de potenial zero i prin urmare, funcia de for U(x0,y0,z0)respectiv, potenialul V(x0,y0,z0) sunt nule. Exprimnd lucrul mecanic al foreiconservative F , cnd punctul se deplaseaz dinMnM0, rezult:

( ) ( ) ( )z,y,xVz,y,xVz,y,xVL 0000MM0 == (4.30)

Energia potenial a punctului material corespunztoare poziiei M(x,y,z)reprezint lucrul mecanic efectuat de fora conservativ F la deplasarea

punctului material din poziiaMn poziiaM0, care prin convenie are potenialulnul.

Se numete energie mecanic a punctului material acionat de o forconservativ, suma ntre energia cinetic i energia potenial.

VEE cm += (4.31)

4.2 TEOREME GENERALE N DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

4.2.1 TEOREMA IMPULSULUIDerivata n raport cu timpul a impulsului unui punct material este egal

n fiecare moment cu rezultanta forelor care acioneaz asupra punctului.Derivnd n raport cu timpul impulsul rezult:

amvmH == (4.32)

Cum n baza legii fundamentale a dinamicii Fam = , rezult:

FH = (4.33)

Proiectnd pe axe relaia (4.33) se obine:

zzyyxx FH;FH;FH === (4.34)

Conservarea impulsuluiDac n timpul micrii 0F = (punctul este izolat sau rezultanta este nul)

atunci rezult:CH;0H ==

(4.35)

68


9/21

Deci impulsul se conserv, adic pstreaz n timp aceeai valoare.Constanta C se determin din condiiile iniiale ale problemei.

Este posibil s se conserve n timp o singur component a impulsului.Astfel, dac 0Fx = , atunci:

.CH;0H xx==

(4.36)n acest caz se conserv componenta impulsului dup axa Ox.

4.2.2 TEOREMA MOMENTULUI CINETIC

Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic calculat n raport cuun punct fix O, este egal cu momentul n raport cu acelai punct al rezultantei

forelor care acioneaz asupra punctului material.

Derivnd n raport cu timpul expresia momentului cinetic (4.26), rezult:

FramrvmrvmrK0 ==+= (4.37)

Cum FrM0 = reprezint momentul n raport cu punctul O, al rezultanteiforelor care acioneaz asupra punctului material, rezult teorema momentuluicinetic:

00 MK = (4.39)

Proiectnd pe axe relaia (4.39) se obine:

zzyyxx MK;MK;MK === (4.39)

Conservarea momentului cineticDac n timpul micrii 0M0 = (punctul este izolat sau momentul rezultant

este nul) rezult:CK;0K 00 ==

(4.40)

Deci momentul cinetic se conserv, adic pstreaz aceeai valoare ntimp. Constanta C se determin din condiiile iniiale.

Se poate conserva i o singur component a momentului cinetic, deexemplu dac 0Mx = atunci:

CK;0K xx == (4.41)

n aceast ipotez se conserv momentul cinetic dup axa axa Ox.

4.2.3 TEOREMA ENERGIEI CINETICE

69


10/21

Variaia energiei cinetice a punctului material n intervalul de timp dt,este egal cu lucrul mecanic elementar, efectuat de rezultanta forelor aplicate

punctului n acelai interval de timp. (forma diferenial)Difereniind relaia energiei cinetice i innd seama de legea fundamental

a mecanicii amF=

, rezult: ( ) dLrdFrdamdt

vddtvmvdvmvmd

2

1)mv

2

1(ddE 22 =======

Termenul din stnga reprezint o diferenial total exact, pe cndtermenul din dreapta dL=Fxdx+Fydy+Fzdz reprezint o diferenial de tip Pfaff,care este o diferenial total exact, numai n cazul particular al forelorconservative. Forma diferenial a teoremei energiei cinetice este:

dLdE = (4.42)

Integrnd rezult teorema energiei cinetice, forma integral:

10MMo1LEE = (4.43)

Variaia energiei cinetice ntre poziia iniial i final a micriipunctului material este egal cu lucrul mecanic total efectuat n deplasareafinit ntre cele dou poziii, de rezultanta forelor aplicate punctului material.

Conservarea energiei mecaniceCnd rezultanta forelor aplicate punctului material, deriv dintr-ofuncie de for, energia mecanic a punctului se conserv.

Se consider teorema energiei cinetice scris sub form diferenial i sepresupune c forele deriv dintr-o funcie de for, adic:

dUdL = (4.44)

Cum energia potenial este V=-U, atunci dV=-dU.Din relaiile (4.42) i (4.44) rezult:

( ) ( ) 0VEd;0UEd;dUdE =+== (4.45)de unde:

.constVEEm =+= (4.46)

4.3 ECUAIILE DIFERENIALE ALE MICRII PUNCTULUIMATERIAL

4.3.1 GENERALITI

70


11/21

n dinamica punctului material se ntlnesc dou categorii de probleme:Problema direct. Se cunosc forele care acioneaz asupra punctului

material ca natur, suport, sens, mrime i se cere s se stabileasc micareapunctului material.

Fora este dat de o expresie de forma:)r,r,t(FF = (4.47)

A cunoate micarea nseamn a obine o relaie vectorial de tipul:

)t(rr = (4.48)

Legea fundamental a dinamicii este:

Fam = (4.49)

cum acceleraia este ra = i innd seama de relaia (4.47) se poate scrie:

)r,r,t(Frm = (4.50)

S-a obinut astfel o ecuaie diferenial de ordinul doi care reprezintecuaia diferenial a micrii. Aceast ecuaie vectorial se proiecteaz pe axe ise soluioneaz sub form scalar.

Problema invers. Se cunoate micarea, dat de o relaia (4.48) i se cere

fora F care produce micarea. Pentru aceasta se deriveaz de dou ori n raportcu timpul relaia (4.48) i se introduce n relaia fundamental a dinamicii scrissub forma (4.50). Se obine astfel ecuaia diferenial a micrii.

n general problema nu este univoc determinat, deoarece nu se poatestabili i natura forei.

4.3.2 ECUAIILE DIFERENIALE ALE MICRII PUNCTULUIMATERIAL

Ecuaia diferenial, sub form vectorial (4.50), proiectat pe un sistemde axe, convenabil ales conduce la urmtoarele ecuaii scalare, n funcie desistemul de coordonate:

n sistemul de coordonate carteziene:

71


12/21

==

=

==

=

z

y

x

zz

yy

xx

Fzm

Fym

Fxm

sau

Fma

Fma

Fma

(4.51)

unde zyx F,F,F reprezint proieciile pe axele Ox, Oy i respectiv Oz alerezultantei forelor care acioneaz asupra punctului material;

n sistemul de coordonate naturale (triedrul Frent):

=

=

=

=

=

=

F0

Fsm

Fsm

sau

Fma

Fma

Fma2

n

(4.52)

unde F,F,F reprezint proieciile pe axele sistemului Frent (tangenta,normala principal i binormala) ale rezultantei forelor care acioneaz asupra

punctului material;Integrarea ecuaiilor difereniale ale micrii este n general, aceeai n

toate sistemele de referin.n continuare se vor integra ecuaiile difereniale ale micrii n sistemul

cartezian. Ecuaiile difereniale ale micrii conform (4.51) vor fi:

=

=

=

)z,y,x,z,y,x,t(Fzm

)z,y,x,z,y,x,t(Fym

)z,y,x,z,y,x,t(Fxm

z

y

x

(4.53)

Sistemul de ecuaii difereniale de ordinul doi are ca necunoscute, ecuaiileparametrice ale traiectoriei:

72


13/21

=

=

=

)t(zz

)t(yy

)t(xx

(4.54)

Sistemul de ecuaii difereniale (4.53) admite un sistem unic de soluii, decisub aciunea unei fore F date, micarea efectuat de punct este unic.Integralele generale ale sistemului (4.53) conin ase constante arbitrare deintegrare 654321 C,C,C,C,C,C .

Integralele generale au expresia:

==

=

)C,C,C,C,C,C,t(zz

)C,C,C,C,C,C,t(yy

)C,C,C,C,C,C,t(xx

654321

654321

654321

(4.55)

Derivnd n raport cu timpul relaiile (4.55) se obine:

=

=

=

)C,C,C,C,C,C,t(zz

)C,C,C,C,C,C,t(yy

)C,C,C,C,C,C,t(xx

654321

654321

654321

(4.56)

Cu ajutorul relaiilor (4.55) i (4.56) se pot determina constantele deintegrare 654321 C,C,C,C,C,C punnd condiiile iniiale, la t=to, referitoare la:

poziia iniial 000 z,y,x i viteza iniial 000 z,y,x .Astfel condiiile iniiale de poziie sunt:

==

=

)C,C,C,C,C,C,t(zz

)C,C,C,C,C,C,t(yy

)C,C,C,C,C,C,t(xx

65432100

65432100

65432100

(4.57)

iar condiiile iniiale de vitez sunt:

73


14/21

=

=

=

)C,C,C,C,C,C,t(zz

)C,C,C,C,C,C,t(yy

)C,C,C,C,C,C,t(xx

65432100

65432100

65432100

(4.58)

Relaiile (4.57) i (4.58) formeaz un sistem algebric de 6 ecuaii cu 6necunoscute 654321 C,C,C,C,C,C . Rezolvnd acest sistem se obin valorileconstantelor de integrare n funcie de condiiile iniiale date:

=

=

==

=

=

)z,y,x,z,y,x,t(CC

)z,y,x,z,y,x,t(CC

)z,y,x,z,y,x,t(CC)z,y,x,z,y,x,t(CC

)z,y,x,z,y,x,t(CC

)z,y,x,z,y,x,t(CC

000000066

000000055

000000044

000000033

000000022

000000011

(4.59)

Introducnd valorile constantelor de integrare din relaia (4.59) n (4.55)se obin ecuaiile parametrice ale traiectoriei i introducndu-le n (4.56) se obincomponentele vitezei la un moment dat. Soluia problemei este univoc.

n unele cazuri, obinerea soluiei generale pentru sistemul (4.53) nu esteposibil, n schimb se pot obine integrale prime. O integral prim este o funciede timpul t, vectorul r i vectorul r , care se reduce la o constant dac r reprezint o soluie a ecuaiei difereniale. Integrala prim reprezint deci ngeneral, o ecuaie diferenial al crei ordin este mai mic cu o unitate dectecuaia diferenial dat.

Aplicaii. 1. Pendulul matematic din figura 4.6, constituit dintr-un fir de lungime l, decare este prins o bil M de masa m se deplaseaz pe o traiectorie circular ntr-un planvertical, cu centrul n punctul de fixare O. Pendulului, scos din poziia de echilibru, i se d o

rotire iniial 0 i o vitez iniial v0. S se determine legea de micare i tensiunea din fir.Rezolvare. Prin proiectarea legii fundamentale pe axele sistemului natural se obinecuaiile difereniale ale micrii:

=

=

cosmgNl

vm

sinmgdt

dvm

2

74


15/21

Considernd legea de micare a pendulului dat de unghiul la centru )t(= inlocuind v l= , n prima ecuaie a sistemului rezult ecuaia diferenial a micrii

pendulului:0sinmgml =+

n cazul micilor deplasri, cnd 05


16/21

==

=

=

l

v)0(

)0(

0t0

0

0

Rezult valorile constantelor de integrare C1 i C2:

020

1 C;lp

vC ==

care introduse n soluia ecuaiei difereniale, i innd seama de expresia pulsaiei proprii p,rezult legea de micare:

t

l

gcost

l

gsin

lg

v0

0 +=

care poate fi scris i sub forma:

)tl

gsin(A +=

unde:A amplitudinea micrii; - faza iniial

)v

lg(arctgC

Carctg;

lg

vCCA

0

0

1

220

202

221

==+=+=

Deci:

)v

lgarctgtl

gsin(

lg

v

0

020

20 ++=

Micarea pendulului matematic este periodic cu perioadag

l2T = .

Mrimea tensiuniiNse obine din a doua ecuaie a sistemului de ecuaii difereniale, nfuncie de poziia i viteza v a punctuluiM, pe traiectorie.

l

vmcosmgN

2

+=

Exprimarea vitezei punctuluiM, n funcie de poziia pe traiectorie, definit de legea demicare (t), se obine din prima ecuaie diferenial a sistemului, fr aproximarea micrii cuajutorul micilor deplasri (oscilaii):

0sinl

g;0sinmgml =+=+

nmulind ecuaia diferenial cu i apoi integrnd-o, rezult:

Ccosl

g

2;0)(cosdt

d

l

g

)2(dt

d

;0sinl

g 22===+

76


17/21

Constanta de integrare Cse determin din condiiile iniiale:

==

=

=lv)0(

)0(

0t 00

0

Rezult valoarea constantei de integrare C:

02

20

0

20 cos

l

g

l2

vcos

l

g

2C

==

care introdus n ecuaia diferenial, integrat conduce la expresia vitezei n funcie de poziia

punctuluiM:

)cos(cosl

g2;cos

l

g

2cos

l

g

20

20

20

20

2

+==

nmulind aceast ultim expresie cu l2 i avnd n vedere c lv = , obinem:

)cos(cosgl2vv 020

2 +=

care introdus n expresia reaciuniiNva conduce la:

[ ] )cos2cos3(mg2

mv)cos(cosgl2v

l

mcosmgN 0

20

020 +=++=

2. n momentul opririi motorului, o ambarcaiune (fig.4.7) cu greutatea N400P = areviteza )s/m515,0h/Km853,1Nd1(,Nd1v0 = . Rezistena apei pentru viteze mici seconsider proporional cu viteza cvR = , factorul de proporionalitate fiind m/Ns3,9c = .S se determine dup ct timp, viteza ambarcaiunii se reduce la jumtatea valorii iniiale icare este drumul parcurs n acest timp.

Rezolvare.Timpul dup care viteza ambarcaiunii se reduce la jumtatea valorii iniialese determin utiliznd teorema impulsului, proiectat pe direcia micrii, axa Ox:

77


18/21

RHx =

respectiv:

( ) cvmvdt

d=

prin separarea variabilelor se ajunge la ecuaia diferenial:

dtm

c

v

dv=

care integrat n domeniile [ ]1t,0 , pentru variabila t, i

2

v,v 00 , pentru variabila v, rezult

timpul t1:

10

0

1

0

0

t

0

2

v

v

t

0

2

v

v

tm

cvln;dt

m

c

v

dv==

s3693,081,93,9

4002ln

cg

P

2

vlnvln

c

mt 001

==

=

Drumul parcurs de ambarcaiune n acest interval de timp se obine utiliznd teoremaenergiei cinetice, forma finit, prin integrarea n domeniile

2

v,v 00 , pentru variabila v i

[ ]1x,0 , pentru variabilax:

100

x

0

2

v

v

2

xm

cv

2

v;dx

m

cdv;dx)cv()

2

mv(d

1

0

0

===

m13,181,93,92

515,0400

cg2

Pvx 01

==

Fig.4.7

78


19/21

3. Un corp de mas m cade de la nlimea h, fr vitez iniial, pe mijlocul unei bareAB, rezemat la capete (fig.4.8). Neglijnd greutatea barei, s se determine sgeata maximfmax. Se cunoate sgeata staticfs a barei, produs de aciunea static a greutii corpului.

Rezolvare. ntruct se dau viteza iniial 0v0 = i final 0v1 = ale corpului (npoziiileM0, respectivM1) precum i greutatea acestuia, se va utiliza teorema energiei cinetice.

Se face precizarea c acionnd static, punctul material produce barei AB sgeata staticfs. nacest caz admind bara cu elasticitate liniar, ea va fi sursa unei fore elastice de mrime

s0e kfF = care asigur echilibrul greutii mg.Condiia de echilibru este:

0mgkfs =

Prin aciune dinamic, dup ce punctul material a atins bara n poziia O, deplasareaacestuia se face sub aciunea forei de greutate i a forei elastice Fe=ky (y este sgeata grinziicorespunztoare poziieiMa punctului material).

Variaia energiei cinetice a punctului material ntre poziia iniial M0 i poziia finalM, este egal cu zero. Prin urmare lucrul mecanic total al forelor de greutate i elastic estenul:

( ) 0kydyfhmgmaxf

0

max =+

sau:

mgh mgf kf

+ =max

max

2

20

care mpreun cu condiia de echilibru conduce ecuaia de gradul II nfmax :

0hf2ff2f smaxs2

max =

Fig.4.8

79


20/21

i a crei rdcin pozitiv este soluia cutat:

)f

h211(fhf2fff

s

ss2

ssmax ++=++=

4. O sfer de mas m se situeaz n punctul cel mai de sus al unui semicilindru luciu deraz m5,0R = , i primete viteza iniial s/m7,0v0 = perpendicular pe generatoare. S sedetermine punctul n care sfera se desprinde de cilindru i ncepe micarea liber (fig.4.9).

Rezolvare Poziia punctului de desprindere al sferei de pe cilindru este definit de ununghi 1, pentru care reaciunea asupra sferei devine nul. Proiectnd legea fundamental adinamicii pe axele triedrului Frenet, vor rezulta ecuaiile difereniale ale micrii.

=

=

NcosmgR

vm

sinmgdt

dvm

2

Din a doua ecuaie a sistemului, rezult expresia reaciuniiN:

2

vR

m

cosmgN =

Poziia de desprindere a sferei definit de unghiul 1 este dat condiia:

0vR

mcosmg;0N 211 ==

Pentru a determina valoarea unghiului 1 va trebui exprimat viteza punctului v nfuncie de poziia lui , posibilitate dat de prima ecuaie diferenial a sistemului.

Avnd n vedere c acceleraia tangenial are expresia:

ddR

dtd

ddR

dtdR

dtsd

dtdv ====

Fig.4.9

80


21/21

aceasta se nlocuiete n prima ecuaie diferenial a sistemului i simplificnd prin m, obinem:

singd

dR =

Integrnd, rezult o primitiv, a crei constant de integrare se determin din condiiileiniiale:R

g C

2

2= +cos .

R

v;0;0t 000 ===

Constanta de integrare are valoarea:

gR2

vC

20 +=

i:)cos1(gR2vv 20

2+=

Pentru poziia de desprindere definit de unghiul 1, viteza sferei este v1:

)cos1(gR2vv 120

21 +=

Introducnd expresia vitezei v1 n condiia de desprindere, rezult

gR3

gR2vcos

20

1

+=

'35455,081,93

5,081,92)7,0(arccos

gR3

gR2varccos

220

1 =

+=

+=

Date post:	14-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	rad-bogdan
View:	238 times
Download:	1 times

Curs de mecanica auto Cap8 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

Documents