7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

1/21

1. INTRODUCERE

1.1 GENERALITI

Materia, micarea, spaiuli timpulfac parte din noiunile cele mai generaleale cunoaterii umane.

Materia este categoria filozofic care desemneaz realitatea obiectiv, datomului prin simurile sale.Prima modalitate de existen a materiei, sesizat de cunoaterea uman este

substana, aspectul ei cantitativ fiind masa. Substana are o structur discretfiind constituit din particule (electroni, protoni, neutroni) care formeazansambluri relativ stabile, numite corpuri.

O alt form de existen a materiei este cmpul fizic (gravitaional,electromagnetic) conceput ca un mediu material continuu, aspectul cantitativfiind caracterizat de intensitatea cmpului.

Micarea ca mod de existen a materiei cuprinde toate schimbrile,transformrile i procesele care au loc n univers. Micarea este conceput n

spaiu i timp care sunt forme fundamentale, universale i obiective de existena materiei.

Spaiul este o reprezentare generalizat a dimensiunilor corpurilor i adistanelor dintre ele.

Timpulreprezint imaginea generalizat a intervalelor dintre evenimente i aduratei fenomenelor.

1.2 SCURT ISTORIC AL MECANICII

Ca tiin,Mecanica apare odat cu acumularea i generalizarea experienein epoca creerii primelor mijloace de producie. n primul rnd a aprut Statica,dezvoltarea ei fiind legat de arta construciilor nc din antichitate.

Arhitas din Tarent (430 365 .H) filozof din coala lui Platon s-a ocupat deprimele probleme teoretice ale mecanicii; atribuindu-i-se descoperireascripetelui i a urubului.

Aristotel (384 322 .H) a fcut multe observaii juste asupra Staticii,

ndeosebi asupra echilibrului, fiind preocupat de problema cderii verticale acorpurilor grele dei a tratat-o metafizic, elabornd o teorie dup care corpul

5

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

2/21

tinde spre locul su din natur. Tot el este primul filozof care abordeazproblema relativitii micrii.

Arhimede (287 212 .H), mare geometru i mecanician, adevratulntemeietor al Staticii rezolv aproape toate problemele mecanicii care s-au pus

n timpul su. n lucrrile sale, Despre prghii, Cartea reazemelor iDespre echilibrul suprafeelor d teoria prghiilor, rezolv echilibrulsistemului format din dou greuti suspendate pe o bar care se poate roti n

jurul unui punct, elaboreaz regulile compunerii i descompunerii forelorparalele, d definiia centrului de greutate, stabilete unele legi de baz alehidrostaticii i face referiri la ceea ce mult mai trziu va fi numit momentulforelor.

n timpul Renaterii, odat cu nflorirea artelor i a celorlalte tiine,Mecanica ia un avnt considerabil, fcndu-se saltul de la Static la Dinamic,

studiul micrii i al forelor fiind n prim plan.Marelui nvat i artist Leonardo da Vinci (1452 1518) i datoreazMecanica, multe dintre ideile originale i ndrznee care i-au trasat cile dedezvoltare n viitor. Leonardo da Vinci execut primele cercetri experimentaleasupra cderii libere a unui corp greu, introduce noiunea de moment subdenumirea de momento sau prghie potenial. La Leonardo da Vinci gsimunele indicaii cu privire la principiul deplasrilor virtuale, legile echilibrului,egalitatea aciunii cu reaciunea, etc.; el studiaz ciocnirile i stabilete unelereguli privitoare la frecare.

Evenimentul cel mai revoluionar al acestei epoci l constituie apariiaconcepiei lui N. Copernic (1473 1543) asupra sistemului heliocentric i totacum apar lucrrile lui Johan Kepler (1571 1630) cu privire la micarea

planetelor n jurul Soarelui celebrele trei legi ale lui Kepler.ntreaga epoc e dominat de lucrrile lui Galileo Galilei (1564 1642),

unul din cei mai mari nvai ai epocii, lupttor nenfricat mpotriva nvturiigeocentriste i a scolasticii, descoperitor al multor legi de baz ale Mecaniciiclasice. Galileo Galilei formuleaz noiunile principale ale Cinematicii (viteza iacceleraia) i stabilete formula cderii corpurilor; introduce noiunea de forca agent mecanic i emite ideea relativitii micrii. Se poate spune c istoria

Dinamicii ncepe de la Galilei. El formuleaz legea ineriei aproape sub forman care este cunoscut astzi, teoria micrii corpului greu pe un plan nclinat,legile micrii corpului lansat. Sub forma regulii de aur a Mecanicii, el aratc, n ceea ce privete mainile mecanice, ct se ctig n for, se pierde nvitez.

Cr. Huygens (1629 1695) a formulat sub o form encipient, noiunile deacceleraie centrifug i centripet i de moment de inerie. A studiat micrileoscilatorii, centrul de oscilaie al pendulului fizic, ciocnirea corpurilor elastice.

Isaac Newton (1643 1727) n lucrarea sa fundamental Principiile

matematice ale filozofiei naturale a formulat cele trei principii fundamentaleale Mecanicii clasice pe a cror baz se pot studia micrile tuturor corpurilor,

6

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

3/21

inclusiv micarea corpurilor cereti. Newton descoper legea atracieiuniversale, a aprofundat studiul forelor, a studiat i descoperit legilefundamentale ale opticii, a pus bazele calculului infinitezimal (diferenial iintegral).

V. Varignon (1654 1722) este cunoscut prin metodele sale geometriceaplicate n mecanic, prin definirea complet a noiunii de moment i printeorema momentelor.

L. Euler (1707 1783) a dezvoltat dinamica punctului material utilizndcalculele analitice i difereniale. El este creatorul Mecanicii corpului solid,studiind primul, metoda micrii corpului solid, n special a solidului cu un

punct fix, cu ajutorul celor trei unghiuri cunoscute sub numele de unghiurile luiEuler. El este fondatorul Hidrodinamicii i al Teoriei stabilitii barelor elastice.

M. L. Lomonosov (1711 1765) este primul care formuleaz principiul

conservrii energiei, studiaz problema interaciunii ntre corpuri, propagareacldurii, etc.C. A. Coulomb (1736 1806) a stabilit legile experimentale ale frecrii de

alunecare i rostogolire, a studiat torsiunea firelor stabilind legile torsiunii.Spre mijlocul secolului al XVIII-lea ncep s fie formulate i principiile

variaionale ale Mecanicii.P. Maupertuis (1698 1759) formuleaz n 1744 Principiul minimei

aciuni, pe care l aplic la explicarea legilor reflexiei i refraciei luminii i lateoria ciocnirilor. Demonstraia matematic a acestui principiu a fost dat nsde Euler, iar generalizarea a fost fcut ntr-o prim form de Lagrange i nform complet de Jukovski.

J. dAlembert (1717 1783) public Trait de Dynamique unde esteformulat celebra sa metod cinetostatic utilizat la rezolvarea problemelor dedinamic.

J. L. Lagrange (1736 1813) a fost acela care a dezvoltat ns considerabilpartea teoretic a Mecanicii, ndeosebi n lucrarea sa Mecanica analitic.Lagrange a creat Mecanica analitic pe baza principiului deplasrilor virtuale,ncercnd s demonstreze analitic, att ct era posibil, Principiul deplasrilorvirtuale. El a demonstrat analitic Principiul dAlemberti a rezolvat problema

oscilaiilor mici ale unui sistem de corpuri.M. V. Ostrogradski (1801 1861) studiaz legturile dependente de timp,

introduce noiunea de legturi exprimate analitic prin inegaliti i aplic pentruastfel de legturi, principiul deplasrilor virtuale. Ostrogradski a dat o nouform ecuaiei generale a Dinamicii, ecuaie care integrat n raport cu timpul,conduce la expresia cea mai general aPrincipiului Hamilton-Ostrogradski.

W. R. Hamilton (1805 1865) aplic calculul variaional n Mecanic iformuleaz principiul care-i poart numele.

Din nevoia de a explica numeroase fenomene care n Mecanica clasic

apreau ca inexplicabile, n secolul al XX-lea se reexamineaz multe dintretezele i principiile Mecanicii newtoniene. Ca o consecin apar: Mecanica

7

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

4/21

relativist, Mecanica cuantic, Mecanica ondulatorie, Mecanica statistic.Numele savanilorA. Einstein, Max Plank, L. de Broglie, Fok, Vasilov, etc. suntlegate de aceste mecanici noi.

Albert Einstein (1879 1955) a artat c se poate construi o teorie fizic,

perfect consecvent considernd rezultatul experienei lui Michelson (constantavitezei de propagare a luminii n vid, indiferent de sistemul de referin) ca unprincipiu. Acceptarea acestui principiu cerea n schimb s se renune la noiunilede spaiu absolut i timp absolut ale mecanicii newtoniene. n cadrul noii teorii,denumit de el teoria relativitii, distanele i duratele erau relative, depinzndde sistemul de referin n care erau msurate. Totul se petrece ca i cum s-ardesfura ntr-o varietate cu patru dimensiuni, trei dimensiuni fiind spaiale iuna temporal, cunoscut sub numele de universul lui Minkowski, matematicianlituanian care a dat aceast interpretare geometric, teoriei relativitii. Unul

dintre rezultatele teoriei relativitii l reprezint legea de variaie a masei nfuncie de vitez.

2

0

)c/v(1

mm

= (1.1)

unde m0 este masa de repaus, v este viteza i c reprezint viteza de propagare aluminii n vid.

Aceast lege a dat natere multor discuii filozofice, deoarece pornind de ladefiniia masei dat de Newton, ca fiind o msur a cantitii de materie, rezultac materia se putea crea sau distruge dup cum viteza v a corpului cretea saudescretea. A trebuit corectat i aceast definiie a lui Newton, n sensul cmasa este doar o msur a ineriei corpului i nu a cantitii de materie. Deremarcat c, dei ecuaiile mecanicii relativiste sunt diferite de ecuaiilemecanicii newtoniene, tind ctre acestea cnd vitezele relative ale corpurilorsunt neglijabile n raport cu viteza de propagare a luminii n vid.

n ara noastr, trebuie s menionm pentru activitatea lor, n domeniulMecanicii teoretice, pe Spiru Haret(1851 1912),Andrei Ioachimescu (1868 1913) i Dimitrie Pompei (1873 1954) care au lsat importante studii deMecanic teoretic iar n cel al Mecanicii aplicate pe Anghel Saligny (1854

1925), Ion Ionescu (1870 1946), G. E. Filipescu (1885 1937), valoroiingineri care au executat importante lucrri inginereti i au lsat studii deseam n domeniul mecanicii teoretice i aplicate.

1.3 OBIECTUL MECANICII

Mecanica este tiina care studiaz una din cele mai simple forme demicare a materiei cunoscut sub numele de micare mecanic. Micarea

mecanic se definete ca modificare a poziiei unui corp sau a unei pri aacestuia, n raport cu un alt corp considerat repersausistem de referin.

8

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

5/21

Micarea mecanic raportat la un sistem de referin fix se numetemicare absolut iar cea raportat la un sistem de referin mobil se numetemicare relativ. ntruct n univers nu exist corpuri (repere) fixe, micareamecanic este relativ.

Repausuleste starea unui corp sau a unor sisteme de corpuri a cror poziii,fa de un sistem de referin rmn neschimbate. Repausul fiind un cazparticular al micrii are un caracter relativ ca i aceasta.

S-au ntmpinat mari dificulti n gsirea unor sisteme de referin absolute.ncepnd cu sistemul geocentric al lui Ptolemeu care considera Pmntul fix,continund cusistemul heliocentric al lui Copernic care considera Soarele fix, s-a acceptat, mai trziu, un nou sistem de referin (care constituie la ora actual,cel mai preferabil reper), cu originea n centrul de mas al galaxiei din care face

parte Soarele i axele orientate ctre stele extrem de ndeprtate, n raport cu

care legile mecanicii se verific experimental.

1.4 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII CLASICE

Primul model al mecanicii a fost definitivat de Isaac Newton n opera safundamental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicat n1686 i reprezint mecanica clasic. Mecanica clasic sau newtonian studiazmicarea corpurilor materiale macroscopice, avnd viteze mici n comparaie cuviteza luminii.

Noiunile fundamentale ale mecanicii clasice -spaiul, timpuli masa - suntconsiderate ca fiind complet independente, iar proprietile lor sunt absolute.

Spaiul este o reprezentare generalizat a dimensiunilor corpurilor, apoziiilor reciproce i a distanelor dintre ele. n mecanica clasic, spaiul esteconsiderat tridimensional, infinit, continuu, omogen (diferite poriuni ale sale nuse deosebesc ntre ele) i izotrop (proprietile dup diferitele direcii care

pleac din acelai punct nu se deosebesc ntre ele).Timpul este o form obiectiv de existen a materiei. Noiunea de timp

oglindete timpul real existent n mod obiectiv. n mecanica clasic, timpul este

nelimitat, continuu, omogen i ireversibil(se scurge ntr-un singur sens).Masa este conceput ca o mrime fizic scalar strict pozitiv, care msoar

dou proprieti importante ale materiei, existent sub form de substan:ineria i cmpul atraciei universale (n particular, cmpul gravitaional).

Ineria este proprietatea materiei de a-i conserva starea de micaremecanic pe care o are la un moment dat.

Cmpul atraciei universale se manifest prin fora gravitaiei universalecare se exercit ntre dou corpuri materiale.

1.5 DIVIZIUNILE MECANICII

9

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

6/21

Dup natura corpurilor a cror micare se studiaz, mecanica se divide n:Mecanica corpurilor rigide sau mecanica teoretic;Mecanica corpurilor deformabile: mecanica corpurilor elastice i plastice

(Rezistena materialelor, Teoria elasticitii i plasticitii), mecanica corpurilor

lichide i gazoase (Hidromecanica i Aeromecanica).n toate aceste ramuri ale mecanicii, noiunile, principiile generale i legilefundamentale sunt aceleai, numai modul de utilizare difer, dup naturacorpurilor crora le sunt aplicate.

Din punct de vedere metodologic, mecanica teoretic se mparte n trei maricapitole distincte, a cror parcurgere succesiv este dictat mai mult de scopurididactice.

Statica se ocup cu studiul echilibrului corpurilor, studiind echilibrulsistemelor de fore i reducerea acestor sisteme.

Cinematica studiaz micarea corpurilor, fr s in seama de forele carele acioneaz i masa lor. Aceasta face un studiu geometric al micrii.Dinamica fiind capitolul cel mai complex, trateaz micarea corpurilor

innd seama de forele care acioneaz asupra lor i de masa acestora.

1.6 MODELE TEORETICE UTILIZATE N MECANIC

Pentru simplificarea studiului n mecanic, corpurile materiale seschematizeaz sub forma unor modele teoretice:

Punctul material este un punct geometric cruia i se atribuie mas. Acestmodel poate fi utilizat i n cazul corpului solid de dimensiuni mari, cu condiiaca forele care l acioneaz s fie concurente ntr-un singur punct.

Continuul materialreprezint modelul unui corp la care se admite c oriceelement de volum conine materie, adic are mas.

Corpul solid rigid (rigidul) este un model utilizat n mecanica clasic,reprezentnd un continuu material nedeformabil.

Sistemul material reprezint o mulime de puncte materiale sau corpurisolide, n interaciune mecanic.

1.7 PRINCIPIILE FUNDAMENTALE ALE MECANICII CLASICE

Mecanica clasic se bazeaz pe un numr de legi sau principiifundamentale, numite i postulate sau axiome ale mecanicii clasice. Aceste

principii fundamentale nu pot fi dovedite complet pe cale experimental sauteoretic dar se verific n toate mprejurrile n care intervine aplicarea lor.

Isaac Newton a enunat pentru prima oar n form definitiv principiile

mecanicii pe care le-a denumit axiomele sau legile micrii.1. Principiul ineriei (Legea I-a)

10

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

7/21

Un corp i pstreaz starea de repaus sau de micare rectilinie i uniform

att timp ct nu intervin alte fore care s-i modifice aceast stare.

2. Principiul aciunii forelor (Legea a II-a)

Variaia micrii este proporional cu fora motoare imprimat i este

dirijat dup linia de aciune a forei.Pornind de la acest principiu, Newton a stabilit legea fundamental amecanicii:

amF = (1.2)

Pe baza acestei legi, Newton a artat c aciunea exercitat de o for asupraunui punct material este independent de viteza acestuia i de aciuneasimultan a altor fore.

3. Principiul aciunii i al reaciunii (Legea a III-a)La orice aciune corespunde o reaciune egal i contrar sau aciunile

reciproce a dou puncte materiale sunt ntotdeauna egale i ndreptate n

sens contrar.

4. Principiul paralelogramului forelor (Corolarul I)

Dac asupra unui punct material acioneaz simultan dou fore avnd

direcii diferite, efectul este acelai ca i cnd asupra punctului ar aciona o

for unic numit rezultant i care are ca mrime, direcie i sens,

diagonala paralelogramului avnd drept laturi, forele considerate.

1.8 SISTEME I UNITI DE MSUR

ntruct ntre mrimile fizice exist o serie de relaii, se poate alege unnumr restrns de mrimi fizice, independente numite mrimi fundamentale, nfuncie de care se pot exprima celelalte mrimi numite mrimi derivate.

Unitile de msur ale acestor dou categorii de mrimi se numesc unitide msur fundamentale i uniti de msur derivate.

n ara noastr se utilizeaz Sistemul internaional de uniti de msur (SI)

care are 7 uniti fundamentale: metrul (m), pentru lungime, kilogramul (kg),pentru mas, secunda (s), pentru timp, amperul (A), pentru intensitateacurentului electric, kelvinul (K), pentru temperatura termodinamic, candela(cd), pentru intensitatea luminoas i molul (mol), pentru cantitatea desubstan.

Unitile de msur fundamentale utilizate n mecanic sunt: metrul,kilogramulisecunda.

Metrul este lungimea egal cu 1 650 763, 73 lungimi de und n vid aleradiaiei care corespunde tranziiei atomului de kripton 86 ntre nivelele sale

2p10 i d5.

11

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

8/21

Kilogramuleste masa prototipului internaional de platin iridiat adoptat nanul 1889 de Conferina General de Msuri i Greuti i pstrat la Svre nFrana.

Secunda este durata de 9 192 631 770 perioade ale radiaiei corespunztoare

tranziiei ntre cele dou nivele hiperfine ale strii fundamentale ale atomului decesiu 133.Principalele uniti de msur derivate, utilizate n mecanic sunt: newtonul

(N), pentru for,joule-ul(J), pentru lucru mecanic, wattul(W), pentru putere ipascalul(Pa), pentru presiune.

Newtonul(N) reprezint fora care imprim unei mase de 1 kg, o acceleraiede 1 m/s2.

Joule-ul (J) reprezint lucrul mecanic efectuat de o for de 1 N care sedeplaseaz cu 1 m pe propriul su suport.

Wattul(W) reprezint lucrul mecanic de 1 Jefectuat ntr-o secund.Pascalul(Pa) reprezint presiunea exercitat de 1 Npe 1 m2.Mrimile fundamentale utilizate n mecanic fiind: lungimea L, masa Mi

timpul T, mrimile derivate se obin din acestea cu ajutorul ecuaiei dedimensiuni:

TML]D[ = (1.3)

unde , , sunt numere pozitive, negative, ntregi, fracionare sau nule.Multiplii i submultiplii unitilor de msur sunt dai n Tabelul 1.1.

Tabelul 1.1Submultiplii Multiplii

Prefixul Simbolulprefixului

Factorul demultiplicare

Prefixul Simbolulprefixului

Factorul demultiplicare

deci d 10-1 deca da 101

centi c 10-2 hecto h 102

mili m 10-3 kilo k 103

micro

10-6 mega M 106

nano n 10-9 giga G 109

pico p 10-12 tera T 1012

femto f 10-15 peta P 1015

atto a 10-18 exa E 1018

Principalele mrimi utilizate n mecanic sunt date n Tabelul 1.2

Tabelul 1.2

Mrimea Simbolul Ecuaia dedefiniie Dimensiunilen SI Unitatea demsur n SI

12

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

9/21

Lungimea l - L mMasa m - M kgTimpul t - T sAria A A = l2 L2 m2

Volumul V V = l 3 L3 m3Unghiul plan = l/R - -(rad)Perioada T T = 2/ T sFrecvena f f = 1/T T-1 HzViteza v rv = LT-1 m/sAcceleraia a ra = LT-2 m/s2

Viteza unghiular = T-1 s-1

Acceleraia unghiular = T-2 s-2

Masa specific = m/V L-3

M kg/m3

Greutatea specific = G/V L-2MT-2 N/m3

Momentul de inerie J 2ii lmJ = L2M kgm2

Fora F amF = LMT-2 NMomentul forei M FxrM = L2MT-2 NmImpulsul H vmH = LMT-1 kgm/sMomentul cinetic K HxrK = L2MT-1 kgm2/sEnergia cinetic E E = mv2/2 L2MT-2 JLucrul mecanic L = rdFL L2MT-2 J

Puterea P P = dL/dt L2MT-3 WPercuia P = dtFP LMT-2 Ns

Presiunea p F/A L-1MT-2 Pa

1.9 NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL

1.9.1 MRIMI SCALARE I MRIMI VECTORIALE

Mrimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric (pozitivsau negativ) se numesc mrimi scalare sau scalari.

Mrimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric, prindirecie i sens se numesc mrimi vectoriale sau vectori.

Vectorul reprezentat prin segmentul de dreapt orientat se numete vectorliber.

n cazul cnd pentru definirea vectorului este necesar s se precizezesuportul, acesta se numete vector alunector.

Dac pentru definirea vectorului este necesar s se precizeze punctul deaplicaie , acesta se numete vector legat.

13

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

10/21

Notaia vectorului se face printr-o liter cu o bar deasupra sau cu doulitere cu o bar deasupra, prima liter marcnd originea, cea de-a doua,extremitatea vectorului.

1.9.2 COMPUNEREA A DOI VECTORI CONCURENI

Considernd doi vectori a i b cu originea n punctul O i unghiul dintresuporturile celor doi vectori, , suma sau rezultanta celor doi vectori estevectorul c , definit ca mrime direcie i sens de diagonala paralelogramuluiconstruit cu vectorii a i b , ca laturi (fig.1.1a).

bac += (1.4)

Mrimea vectorului rezultant este:

cosab2bac 22 ++= (1.5)

Direcia vectorului rezultant este definit de unghiul :

cosab2ba

sinbsin22 ++

= (1.6)

Expresia analitic. Considernd c vectorii a i b definesc planul Oxy,vectorul rezultant c va fi situat n acelai plan, cei trei vectori putnd fiexprimai prin proiecii pe axele sistemului menionat, dup cum urmeaz(fig.1.1b):

jcicc;jbibb;jaiaa yxyxyx +=+=+= (1.7)

Conform relaiei (1.4) putem scrie:

Fig. 1.1

14

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

11/21

)jbib()jaia(jcic yxyxyx +++=+ (1.8)

Rezult componentele pe axe ale vectorului rezultant c :

yyyxxx bac;bac +=+= (1.9)

Mrimea vectorului rezultant este:

2yy

2xx

2y

2x )ba()ba(ccc +++=+= (1.10)

iar direcia este dat de unghiul dintre suportul vectorului rezultant i axa Ox:

xx

yy

x

y

baba

cctg

+

+

== (1.11)

1.9.3 COMPUNEREA A nVECTORI CONCURENI

Regula paralelogramului poate fi extins la compunerea unui numroarecare de vectori concureni 1V , 2V ,. nV , ajungndu-se la o construciegrafic numit regula poligonului vectorilor, laturile acestuia fiind vectorii din

sistem. O latur Vi a poligonului se obine prin construirea unui vectorechipolent cu vectorul iV avnd ca origine, extremitatea vectorului 1iV i caextremitate, originea vectorului 1iV+ .

Rezultanta sistemului de vectori este definit ca suma vectorial a vectoriloriV :

=

=+++=n

1iin21 VV...VVV (1.12)

Construcia grafic reprezint segmentul de dreapt care unete origineaprimului vector 1V , cu extremitatea ultimului vector nV din acest poligon

(fig.1.2a). Regula poligonului, pentru cazul particular de compunere a doivectori concureni se numete regula triunghiului (fig.1.2b).

15

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

12/21

Expresia analitic. Suporturile

vectorilor din sistem fiind orientate nspaiu se va considera un sistem deaxe cartezian triortogonal Oxyz fade care vor fi exprimatecomponentele pe axe ale acestorvectori (fig.1.2c). Notnd proieciile

pe axe ale vectorului iV cu Vix, Viy,Viz i ale vectorului rezultant V , cuVx, Vy, Vz, conform relaiei (1.12) se va putea scrie:

=

++=

=++

n

1iiziyix

zyx

)kVjViV(

kVjViV

(1.13)

Analog raionamentului anterior, rezult valorile componentelor pe axe alevectorului rezultant:

=

=n

1iixx VV ,

=

=n

1iiyy VV ,

=

=n

1iizz VV (1.14)

Mrimea vectorului rezultant este:

Fig.1.2

Fig. 1.2c

16

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

13/21

2z

2y

2x VVVV ++= (1.15)

iar direcia dat prin cosinusurile directoare:

VVcos x= , V

Vcos y= , VVcos z= . (1.16)

1.9.4 DIFERENA A DOI VECTORI CONCURENI

Considernd doi vectori concureni a i b , aplicai n acelai punct O,diferena dintre cei doi vectori este un vector c situat pe dreapta ce trece prinextremitile celor doi vectori, orientatde la vectorul scztor ctre vectoruldesczut. Diferena a doi vectori se

obine ca suma dintre vectorul a iopusul vectorului b (fig.1.3).

)b(abac +== (1.17)

Mrimea vectorului rezultant este:

cosab2bac 22 += (1.18)

Fig. 1.3

17

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

14/21

direcia fiind dat de unghiul .

cosab2ba

sinbsin

22

+

= (1.19)

1.9.5 DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUP DOU DIRECIICONCURENTE

Descompunera unui vector V dup doudirecii concurente d1 i d2 nseamn

determinarea sistemului de vectori concureni1V i 2V a cror rezultant este vectorul Vsau determinarea componentelor 1V i 2V aleacestuia, pe cele dou direcii d1 i d2. Folosindregula paralelogramului, prin extremitateavectorului V se construiesc paralele ladireciile d1 i d2, punctele de intersecie cuaceste direcii definind extremitile vectorilor1V i 2V (fig.1.4).

1.9.6 DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUP TREI DIRECIICONCURENTE N SPAIU

Se aplic regula paraleogramului n dou etape. n prima etap sedescompune vectorul V dup una din cele trei direcii, spre exemplu d3 i odirecie d1,2, obinut ca intersecie dintre planul format de celelalte doudirecii, d1 i d2 cu planul format de cea de-a treia direcie d3 i vectorul V ,rezultnd componentele 3V i 2,1V .

Fig. 1.4

18

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

15/21

n etapa a doua se descompune componenta 2,1V dup direciile d1 i d2rezultnd componentele 1V i 2V . Vectorul V reprezint diagonala

paralelipipedului avnd ca muchii, componentele 1V , 2V i 3V (fig.1.5).

1.9.7 NMULIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR. VERSORPrin nmulirea unui vector a cu un scalarm rezult un vectorb .

amb = (1.20)

caracterizat de mrimea:mab = (1.21)

Fig. 1.5

19

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

16/21

direcia dat de suportul vectorului a i sensul dat de semnul scalarului m.Dac 0m > , vectorul b are acelai sens cu a , iar dac 0m < , b este de senscontrar lui a .

mprirea unui vector cu un scalar revine la nmulirea vectorului cu

inversul scalarului acestuia. Prin mprirea unui vector cu propriul su modulrezult vectorul de mrime unitar, de aceai direcie i sens cu vectorulconsiderat, numit versor.

a

au = ; (1.22)

Versorul unei axe reprezint vectorul unitar dirijat dup acea ax cu sensulpozitiv n sensul pozitiv al axei. Versorii axelor sistemului de coordonatecartezian Ox, Oy, Ozsunt notai cu i , j , k .

1.9.8 PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Numim produs scalar al vectorilor a i b , notat ba , scalarul:

cosbaba = (1.23)

unde este unghiul format de suporturile celor doi vectori.Produsul scalar al vectorilor a i bpoate fi exprimat ca produsul dintre

mrimea unui vector i proiecia celuilalt pe acesta, i invers (fig.1.6).

20

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

17/21

==

==

aprbcosabba

bpracosbaba

b

a

1.24)

Expresia analitic: Cnd vectorii a i b sunt exprimai prin proieciile peaxele sistemului triortogonal Oxyz:

++=

++=

kajbibb

kajaiaa

zyx

zyx(1.25)

expresia analitic a produsului scalar devine:

zzyyxx babababa ++= (1.26)

1.9.9 PROIECIA UNUI VECTOR PE O AX

Se numete proiecia vectorului a pe axa notat apr , lungimeasegmentului obinut prin intersecia axei cu dou plane normale la ax care trec

prin originea i extremitatea vectorului a . Vectorul a orientat oricum n

spaiu, care face unghiul cu axa de versor u are proiecia pe ax egal cu

Fig. 1.6

21

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

18/21

produsul dintre modulul vectorului i cosinusul unghiului format de vector cusensul pozitiv al axei (fig.1.7).

cosaapr = (1.27)

Cu ajutorul produsului scalar se scrie:

auaapr == (1.28)

Expresia analitic: Dac vectorula i versorul u al axei suntexprimai analitic:

++=

=++=

++=

kcosjcosicos

kuuiuu

kajaiaa

zjyx

zyx

(1.29)

unde cos, cos, cossunt cosinusurile directoare ale axei , atunci proieciavectorului a pe axa poate fi exprimat analitic sub forma:

cosacosacosaapr zyx ++= (1.30)

Fig. 1.7

22

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

19/21

1.9.10 PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

Produsul vectorial al vectorilor a i b este un vector c , definit astfel:

bac = (1.31)

Vectorul produs vectorial are urmtoarele caracteristici:a. mrimea (modulul) vectorului:

sinbac = (1.32)

reprezentnd aria paralelogramului avnd ca laturi cei doi vectori, a crorsuporturi formeaz unghiul .

b. direcia este dat de o dreapt perpendicular pe planul definit de cei doivectoric. sensul este dat de regula urubului drept: sensul de naintare al urubului

situat pe suportul vectorului c , prin rotirea vectorului a ctre vectorul b ,n sensul parcurgerii unghiului minim dintre cei doi vectori (fig.1.8).Expresia analitic. Cei trei vectori putnd fi exprimai prin proiecii pe

axele sistemului triortogonal Oxyz:

++=

++=

++=

kcjcicc

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

zyx

(1.33)

produsul vectorial este scris sub forma determinantului,

Fig. 1.8

23

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

20/21

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac == (1.34)

prin dezvoltarea acestuia, rezultnd componentele pe cele trei axe ale vectoruluic :

=

=

=

xyyxz

zxxzy

yzzyx

babac

babac

babac

(1.35)

1.9.11 PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI

Produsul mixt a trei vectori , a , b i c este prin definiie, produsul scalardintre vectorul a i vectorul produs vectorial, cb .

)cb(a)c,b,a( = (1.36)Fig. 1.9

24

7/29/2019 Curs de mecanica auto Cap1

21/21

Avnd n vedere definiiile produsului scalar i vectorial rezult c produsulmixt este un scalar i reprezint volumul paralelipipedului avnd ca muchii ceitrei vectori (Fig.1.9).

Expresia analitic: Dac cei trei vectori sunt cunoscui prin proieciile lor pe

axele sistemului triortogonal Oxyz, conform (1.33) atunci produsul mixt poate fiexprimat analitic:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

)cb(a)c,b,a( == (1.37)

1.9.12 DUBLUL PRODUS VECTORIAL A TREI VECTORI

Dublul produs vectorial al vectorilor a , b i c este un vector egal cuprodusul vectorial dintre vectorul a i vectorul produs vectorial cb . Rezultc dublul produs vectorial este un vector situat n planul vectorilor b i c ,conform relaiei:

c)ba(b)ca()cb(a = (1.38)

Dac cei trei vectori sunt cunoscui prin proieciile lor pe axele sistemuluitriortogonal Oxyz, conform (1.33) atunci dublul produs vectorial se scrie:

c)ba(b)ca(

)kcjcic()bababa()kbjbib(

)cacaca(

ccc

bbb

jaiaiakakaja

ccc

bbb

kji

)kajaia()cb(a

zyxzzyyxxzyx

zzyyxx

zyx

zyx

xyzxyz

zyx

zyxzyx

=

=++++++

++=

=

=++=

25