+ All Categories
Home > Documents > Curs de Geometrie Descriptiva

Curs de Geometrie Descriptiva

Date post: 29-Nov-2015
Category:
Upload: emanuelg
View: 429 times
Download: 38 times
Share this document with a friend
Description:
Curs detaliat
34
CAPITOLUL 1 1. PUNCT. DREAPTĂ. PLAN 1.1. PUNCTUL 1.1.1. Generalităţi 1.1.1.1. Reprezentarea punctului în epură. Considerăm două plane perpendiculare, planul orizontal de proiecţie şi planul vertical de proiecţie, notate cu [H], respectiv cu [V] , care se intersectează după dreapta (OX), denumită axă de proiecţie sau linie de pământ. Un punct din spaţiu “A” se proiectează pe planul orizontal de proiecţie în punctul a – denumit proiecţie orizontală a punctului şi pe planul vertical de proiecţie în punctul a’ – denumit proiecţie verticală a punctului, (fig1.1. a). Distanţa de la punctul A (din spaţiu) la planul [H] se numeşte cotă şi notează cu z, iar distanţa de la punctul A la planul [V] se numeşte depărtare şi se notează cu y. O X O a’ A ax a Depărtare Cotă [V] [H] a’ a ax X Cotă (z) Depărtare (y) (Proiecţi e verticală ) (Proiecţi e orizontal ă) [H] [V] [V] [H]
Transcript
Page 1: Curs de Geometrie Descriptiva

CAPITOLUL 1

1. PUNCT. DREAPTĂ. PLAN

1.1. PUNCTUL

1.1.1. Generalităţi

1.1.1.1. Reprezentarea punctului în epură.

Considerăm două plane perpendiculare, planul orizontal de proiecţie şi planul vertical de proiecţie, notate cu [H], respectiv cu [V] , care se intersectează după dreapta (OX), denumită axă de proiecţie sau linie de pământ. Un punct din spaţiu “A” se proiectează pe planul orizontal de proiecţie în punctul a – denumit proiecţie orizontală a punctului şi pe planul vertical de proiecţie în punctul a’ – denumit proiecţie verticală a punctului, (fig1.1. a).

Distanţa de la punctul A (din spaţiu) la planul [H] se numeşte cotă şi notează cu z, iar distanţa de la punctul A la planul [V] se numeşte depărtare şi se notează cu y.

a b

Fig.1.1.

O

X

O

a’A

ax

a

Depărtare

Cotă

[V]

[H]

a’

a

axX

Cot

ă (z

)D

epăr

tare

(y)

(Proiecţieverticală)

(Proiecţieorizontală) [H]

[V]

[V]

[H]

Page 2: Curs de Geometrie Descriptiva

Prin rotirea planului orizontal [H], în sensul acelor de ceasornic până se suprapune peste planul vertical [V] se obţine epura punctului (fig.1.1.b), unde proiecţiile a şi a’ se află pe aceeaşi linie de ordine perpendiculară pe OX.

Epura este reprezentarea plană convenţională a reprezentărilor spaţiale, proiectate ortogonal pe planele de proiecţie, utilizând numai axele de proiecţie. Astfel, se obţine, în dublă proiecţie ortogonală, epura punctului din spaţiu A, cu cele două proiecţii a şi a’, ele fiind situate pe aceeaşi linie de ordine.

1.1.1.2. Punctul în diedre.

Diedrul este unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul proiecţiei ortogonale, planele [H] şi [V] împart spaţiul în patru diedre (fig. 1.2 a), noate cu I, II, III, IV, iar axa (OX) împarte planele de proiecţie în semiplane (fig. 1.3 a). În figura 1.2 b sunt reprezentate în epură puncte situate în cele patru diedre. Funcţie de diedrul în care sunt conţinute, semnele lui z şi y sunt pozitive sau negative, după cum sunt redate în tabelul 1.1.

a bFig. 1.2.

Tabelul 1.1 DiedrulCoordonata

I II III IV

Depărtarea (y) + - - +Cota (z) + + - -

a’

a

axX

[H]

[V]

[V]

[H]

O

X

O

Aa’

axa

[V]

[H]

b’

c’

d’

bdc

B

C

D

bxcx]

dx

Diedrul III

Diedrul II

Diedrul IV

Diedrul I

c

b

bx

Dep

. (-)

b’

Cot

ă (-

)

c’

d’

d

Cot

ă (+

)

cxdx

Cot

ă (+

)D

epăr

tare

(+

)

Dep

ărta

re (

-)

Dep

. (+

)C

otă

(-)

Page 3: Curs de Geometrie Descriptiva

1.1.1.3. Alfabetul punctului

Utilizând şi planele bisectoare [B1] şi [B2] ale unghiurilor diedre formate de planele [H] şi [V], se împarte spaţiul în opt octanţi (fig.1.3 a), notaţi cu cifrele 1......8. Proiectând ortogonal planele pe direcţia axei OX către O se obţine reprezentarea din figura 1.3 b, unde sunt reprezentate urmele planelor bisectoare BI și BII, diedrele şi octanţii.

a b

c

Fig. 1.3

Page 4: Curs de Geometrie Descriptiva

Există 17 posibilități de a plasa punctele în spațiu, ele putând fi dispuse în funcție de planele de proiecție și planele bisectoare. Punctele reprezentate în spațiu sunt reprezentate în figurile 1.3 a, b și sunt notate A, B, C............R, T, iar reprezentarea în epură este prezentată în figra 1.3 c. Se poate observa că toate punctele situate în octanții I și III au semnele coordonatelor y și z pozitive (octantul I), sau negative (negative), iar în octanții II și IV semne diferite, (negative sau pozitive), fiind prezentate în tabelul 1.2. Punctele conținute în planele de proiecție și anume cele conținute în planul orizontal [H] au cota, z = 0 și proiecția verticală situată pe axa OX, iar punctele conținute în planul vertical [V] au depărtarea y = 0 și proiecția orizontală situată pe axa OX. Punctele conținute în planul bisector [B1] au proiecțiile, reprezentate în epură, situate simetric față de axa OX, iar cele conținute în planul bisector [B2] au proiecțiile confundate.

Tabelul 1.2

1.1.1.4. Punctul în triedre

Spațiul mărginit de trei plane concurente ortogonale formează un triedru. Pentru acesta se utilizează un al treilea plan, numit plan lateral de proiecție, [L], reciproc perpendicular pe celelalte două plane de proiecție [H] și [V], iar un punct din spațiu “A” va avea și o a treia proiecție, numită proiecție laterală și notată cu a”. Distanța de la punctul din spațiu, “A”, și planul lateral [L], poartă denumirea de abscisă și se notează cu x. Punctul în spațiu și în epură, cu proiecțiile sale pe cele trei plane este reprezentat ăn figura 1.4 a și b.

DiedrulOctantul

I II III IV1 2 3 4 5 6 7 8

Semn (y) + + - - - - + +Semn (z) + + + + - - - -

Relația între y și z |y|>|z| |y|<|z| |y|<|z| |y|>|z| |y|>|z| |y|<|z| |y|<|z| |y|>|z|

Page 5: Curs de Geometrie Descriptiva

a bFig. 1.4

Epura punctului situat în triedru, (fig. 1.4 b), se obține prin rotirea planului [H] în sensul acelor de ceasornic și rotirea planului [L] în sens invers acelor de ceasornic până se vor suprapune peste planul [V]. Astfel, proiecția a” descrie un arc de cerc cu o rază egală cu depărtarea punctului “A”. Cele trei plane de proiecție [H], [V], și [L] împart spațiul în opt triedre, notate cu I, II, III, ......VII, VIII. În figura 1.5 sunt reprezentate opt puncte în cele opt triedre.

Page 6: Curs de Geometrie Descriptiva

Fig. 1.5

1.2. DREAPTA

1.2.1. Generalităţi

1.2.1.1. Reprezentarea dreptei în epură.

Page 7: Curs de Geometrie Descriptiva

Pentru obținerea proiecțiile dreptei (D) în epură este suficient să obținem proiecțiile a două puncte, în epură, ce aparțin dreptei. Astfel, unind proiecțiile de același nume, (orizontale sau verticale), ale celor două puncte obținem proiecțiile dreptei (fig. 1.6 a) și anume, proiecția orizontală a dreptei, d (pe planul [H]) și proiecția verticală a dreptei d’ (pe planul [V]). Epura dreptei în diedru se realizează prin rotirea planului orizontal [H] până se suprapune peste planul [V], reprezentată în figura 1.6 b.

a bFig. 1.6

1.2.1.2. Urmele dreptei.

O dreaptă din spațiu poate intersecta planele de proiecție [H], [V] sau [L]. Punctele în care dreapta din spațiu intersectează planele de proiecție se numesc urmele dreptei (fig. 1.7 a): urma orizontală (intersecția cu planul orizontal), urma verticală (intersecția cu planul vertical) și urma laterală (intersecția cu planul lateral). În epură, urma orizontală, H(h, h’), se determină prin prelungirea proiecției verticale, d’, a dreptei până intersectează axa OX, unde punctul de intersecție reprezintă proiecția verticală a urmei orizontale, notată cu h’, iar din acel punct se ridică sau se coboară o linie de ordine care intersectează proiecția orizontală, d, a dreptei. Urma verticală, V(v, v’), se determină prin prelungirea proiecției orizontale, d, a dreptei până intersectează axa OX, unde punctul de intersecție reprezintă proiecția orizontală a urmei verticale, notată cu v, iar din acel punct se ridică sau se coboară o linie de ordine care intersectează proiecția verticală, d’, a dreptei (fig. 1.7 b).

Page 8: Curs de Geometrie Descriptiva

a bFig. 1.7

În triplă proiecție ortogonală o dreaptă (D) are trei urme, urma orizontală H (intersecția cu planul orizontal [H]), urma verticală V (intersecția cu planul vertical [V]) și urma laterală L (intersecția cu planul lateral [L]) prezentate în figura 1.8 a. In epură urmele dreptei, H(h, h’, h”), V(v, v’, v”) și L(l, l’, l”), se obțin prin rotirea celor două plane orizontal și lateral până la suprapunerea peste planul vertical, cum s-a prezentat mai sus, și proiecțiile lor sunt situate pe proiecțiile de același nume ale dreptei (fig. 1.8 b).

a bFig. 1.8

1.2.1.3. Regiunile spațiului străbătut de dreaptă.

Page 9: Curs de Geometrie Descriptiva

Considerând planele de proiecție orizontal [H] și planul de proiecție vertical [V], o dreaptă din spațiu (D) poate străbate maxim trei diedre și cinci octanți. Drepta (D), prezentată în figura 1.9 a, străbate diedrele II, I, IV, notându-se intersecțiile cu planele de proiecție și planele bisectoare cu H=[H]∩(D), I1=[B1]∩(D), V=[V]∩(D) și I2=[B2]∩(D). Pentru a stabili diedrele pe care dreapta (d) le străbate, trebuie să se determine urmele dreptei (intersecțiile cu cele două plane de proiecție) și să se cunoască semnele depărtării și cotei pentru proiecțiile orizontale, respectiv verticale ale urmelor, (prezentate în tabelul 1.1), după cum se reprezintă în epură (fig. 1.9 b). Astfel, se observă că între cele două urme H și V dreapta (D) străbate diedrul I, după intersecția cu planul orizontal diedrul IV, iar după intersecția cu planul vertical diedrul II. Stabilirea octanților străbătuți de dreapta (D), necesită determinarea intersecțiilor dreptei cu planele bisectoare [B1] și [B2]. Intersecția cu planul bisector [B1] se determină relativ simplu, cunoscând faptul că cele două proiecții ale punctului de intersecție se află dispuse în epură simetric față de axa (OX), fie aflându-se în diedrul I, fie în diedrul III, în funcție de semnele depărtării și cotei (vezi tabelul 1.1). Pentru determinarea celor două proiecții ale punctului de intersecție se construiește din proiecția orizontală a urmei verticale sau din proiecția verticală a urmei orizontale un segment sub același unghi α, realizat de proiecția orizontală a dreptei, d, cu axa (OX), respectiv proiecția verticală a dreptei d’, cu axa (OX). Intersecția cu planul bisector [B2] se află în punctul de intersecție ale celor două proiecții ale dreptei, d și d’, cunoscându-se faptul că în epură proiecțiile punctului de interseție cu planul bisector sunt confundate și amplasate deasupra sau dedesuptul axei (OX). Pentru stabilirea octanților stăbătuți de dreapta considerată se reprezintă arbitrar punctele A(a, a’), B(b, b’), C(c, c’), E(e, e’) și F(f, f’), situate între intersecțiile dreptei (D) cu planele de proiecție și planele bisectoare, precum și de de o parte și de alta a lor. După reprezentarea în epură a proiecțiilor punctelor conasiderate și ținând cont de valorile absolute ale depărtărilor față de cote (tabelul 1.2), putem determina octanții străbătuți de dreaptă:

A: y < 0; z > 0 → Diedrul II; |y| > |z| → Octantul 4;

B: y < 0; z > 0 → Diedrul II; |y| < |z| → Octantul 3;

C: y > 0; z > 0 → Diedrul I; |y| < |z| → Octantul 2;

E: y > 0; z > 0 → Diedrul I; |y| > |z| → Octantul 1;

F: y > 0; z < 0 → Diedrul IV; |y| > |z| → Octantul 8;

1.2.1.4. Poziții particulare ale dreptei.

În funcție de poziția dreptei din spațiu față de planele de proiecție, dreptele pot fi:1. drepte paralele cu planele de proiecție:

- dreapta de nivel (orizontala), dreaptă paralelă cu planul orizontal [H];- dreapta de front (frontala), dreaptă paralelă cu planul vertical [V];- dreapta de profil, dreaptă paralelă cu planul lateral [L];

Page 10: Curs de Geometrie Descriptiva

a bFig. 1.9

2. drepte perpendiculare pe planele de proiecție:- dreapta verticală, dreaptă perpendiculară pe planul orizontal [H];- dreapta de capăt, dreaptă perpendiculară pe planul vertical [V];- fronto-orizontala, dreaptă perpendiculară pe planul lateral [L];

3. drepte conținute în planele de proiecție;4. drepte conținute în planel bisectoare.

1. Drepte paralele cu planele de proiecție.

Dreapta de nivel sau orizontala este dreapta paralelă cu planul orizontal de proiecție [H], (fig. 1.10 a, b), deci toate punctele ce aparțin acestei drepte au aceiași cotă. Dreapta de nivel, notată cu (N), are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, datorită faptului că ne ajută la tratarea capitolelor următoare:

nu are urmă orizontală, ci numai urmă verticală, V(v, v’, v”) și urmă laterală, L(l, l’, l”);

în epură se observă faptul că unghiurile β și γ realizate de proiecția orizontală a dreptei ,d, cu axa (OX), respectiv axa (OY) sunt proiectate în adevărată mărime pe planul orizontal și sunt practic unghiurile realizate de dreapta (D) cu planul vertical [V], respectiv planul lateral [L];

toate segmentele de dreaptă conținute într-o dreaptă de nivel se proiectează în adevărată mărime pe planul orizontal.

Dreapta de front sau frontala este dreapta paralelă cu planul vertical de proiecție [V], (fig. 1.11 a, b), deci toate punctele ce aparțin acestei drepte au aceiași depărtare. Dreapta de front, notată cu (F), are următoarele proprietăți:

nu are urmă verticală, ci numai urmă orizontală, H(h, h’, h”) și urmă laterală, L(l, l’, l”);

Page 11: Curs de Geometrie Descriptiva

în epură se observă faptul că unghiurile α și γ realizate de proiecția verticală a dreptei ,d’, cu axa (OX), respectiv axa (OZ) sunt proiectate în adevărată mărime pe planul vertical și sunt practic unghiurile realizate de dreapta (D) cu planul orizontal [H], respectiv planul lateral [L];

toate segmentele de dreaptă conținute într-o dreaptă de nivel se proiectează în adevărată mărime pe planul vertical.

a bFig. 1.10

a bFig. 1.11

Page 12: Curs de Geometrie Descriptiva

Dreapta de profil este dreapta paralelă cu planul lateral de proiecție [L], (fig. 1.12 a, b), deci toate punctele ce aparțin acestei drepte au aceiași abscisă. Dreapta de profil, are următoarele proprietăți:

nu are urmă laterală, ci numai urmă orizontală, H(h, h’, h”) și urmă verticală, V(v, v’, v”);

în epură se observă faptul că unghiurile α și β realizate de proiecția laterală a dreptei, d”, cu axa (OY), respectiv axa (OZ) sunt proiectate în adevărată mărime pe planul lateral și sunt practic unghiurile realizate de dreapta (D) cu planul orizontal [H], respectiv planul vertical [V];

toate segmentele de dreaptă conținute într-o dreaptă de profil se proiectează în adevărată mărime pe planul lateral.

a bFig. 1.12

2. Drepte perpendiculare pe planele de proiecție.

Dreapta verticală este dreapta perpendiculară pe planul orizontal de proiecție [H] (fig. 1.13). Dreapta verticală are următoarele proprietați:

are numai urmă orizontală, H(h, h’, h”); proiecțiile verticală d’, respectiv laterală d” sunt paralele cu axa (OZ); proiecția orizontală este un punct d ≡ h.

Page 13: Curs de Geometrie Descriptiva

a bFig. 1.13

Dreapta de capăt este dreapta perpendiculară pe planul vertical de proiecție [V] (fig. 1.14). Dreapta de capăt are următoarele proprietați:

are numai urmă verticală, V(v, v’, v”); proiecțiile orizontală d, respectiv laterală d” sunt paralele cu axa (OY); proiecția verticală este un punct d’ ≡ v’.

a bFig. 1.14

Page 14: Curs de Geometrie Descriptiva

Dreapta fronto-orizontală este dreapta perpendiculară pe planul lateral de proiecție [L] (fig. 1.15). Dreapta fronto-orizontală are următoarele proprietați:

are numai urmă laterală, L(l, l’, ”); proiecțiile orizontală d, respectiv verticală d’ sunt paralele cu axa (OX); proiecția laterală este un punct d” ≡ l”.

a bFig. 1.15

3. Drepte conținute planele de proiecție.

O dreaptă conținută în planul de proiecție orizontal [H], este o dreaptă de nivel de cotă egală cu zero, deci proiecția verticală a dreptei, d’, se află pe axa (OX), iar cea laterală, d”, pe axa (OY), (fig. 1.16). O dreaptă conținută în planul de proiecție vertical [V], este o dreaptă de front de depărtare egală cu zero, deci proiecția orizontală a dreptei, d, se află pe axa (OX), iar cea laterală, d”, pe axa (OZ), (fig. 1.17). O dreaptă conținută în planul lateral de proiecție [L], este o dreaptă de profil de abscisă egală cu zero, deci proiecția orizontală a dreptei, d, se află pe axa (OY), iar cea verticală, d’, pe axa (OZ), (fig. 1.18).

4. Drepte conținute în planale bisectoare.

O dreaptă conținută în planul bisector [B1], (fig. 1.19) are proiecțiile orizontală, d, respectiv verticală, d’, simetrice față axa (OX) și urmeleau proiecțiile confundate pe axa (OX) (h=h’=v=v’). Dacă dreapta se află în diedrul I, proiecția orizontală, d, se reprezintă în epură sub axa (OX), iar cea verticală, d’, deasupra axei (OX). Dacă dreapta se află în diedrul III, proiecția orizontală, d, se reprezintă în epură deasupra axei (OX), iar cea verticală, d’, sub axa (OX).

O dreaptă conținută în planul bisector [B2], (fig. 1.20), are proiecțiile orizontală, d, respectiv verticală, d’, confundate reprezentate deasupra axei (OX), dacă dreaptă se află în diedrul II, sau sub axa (OX) dacă dreapta se află în diedrul IVși urmele au proiecțiile confundate pe axa (OX) (h=h’=v=v’).

Page 15: Curs de Geometrie Descriptiva

Fig. 1.16 Fig. 1.17 Fig. 1.18

Fig. 1.19 Fig. 1.20

Page 16: Curs de Geometrie Descriptiva

1.2.1.5. Poziții relative a două drepte.

Drepte paralele. Două drepte paralele în spațiu au proiecțiile de același nume paralele între ele, deoarece două plane paralele [R] ce conține dreapta (D1) și planul [Q] ce conține dreapta (D2), (fig. 1.21 a), se intersectează cu un al treilea [H], după două drepte paralele d1 și d2. În epură (fig. 1.21 b) sunt reprezentate cele două drepte paralele din spațiu prin proiecțiile de același nume paralele între ele. Este necesar ca toate cele trei proiecții ale celor două drepte, pentru că există situații în care două proiecții de același nume ale dreptelor să fie paralele în epură, iar în cea de-a treia să fie disjuncte, caz în care dreptele din spațiu nu sunt paralele.

a bFig. 1.21

Drepte concurente. Două drepte sunt concurente în spațiu când au proiecțiile de același nume concurente, iar punctul de intersecție a proiecțiilor se află pe aceiași linie de ordine, (fig. 1.22).

Drepte disjuncte (oarecare). Două drepte sunt disjuncte în spațiu când nu sunt nici paralele, nici concurente, iar în figura 1.23, punctul de intersecție a proiecțiilor nu se află pe aceiași linie de ordine.

Page 17: Curs de Geometrie Descriptiva

Fig. 1.22 Fig. 1.23

Page 18: Curs de Geometrie Descriptiva

1.3. PLANUL

1.3.1. Generalităţi

1.3.1.1. Reprezentarea planului în epură.

Un plan oarecare [P] (fig.1.24 a) intersectează planele de proiecție orizontal, [H], respectiv vertical, [V], după două drepte , numite urmele planului [P] și notate cu Ph, urma orizontală și cu Pv urma verticală. Urmele planului, Ph și Pv, se intersectează într-un punct situat pe axa de proiecție (OX), notat cu Px. In epură, (fig. 1.24 b), se reprezintă cele două urme ale planului [P] ți este prezentată și o dreaptă ce apraține acestui plan, cu urmele sale.

a bFig. 1.24

În triplă proiecție ortogonală, ( fig. 1.25 a și b), înafara celor două urme, orizontală și verticală apare și urma laterală, notată cu PL, care reprezintă intersecșia planului [P] cu planul de proiecție lateral [L]. Această urmă se intersectează cu axa (OZ) și cu urma verticală Pv, în punctul Pz, iar cu axa(OY) și urma orizontală Ph, în punctul Py.

1.3.1.2. Dreaptă și punct conținute în plan.

O dreaptă (D), cu cele două proiecții, pe planul orizontal, d, respectiv pe planul vertical d’, (fig. 1.26, a - în spațiu, b – în epură), este conținută într-un plan [P], dacă are urmele situate pe urmele de același nume ale planului (urma orizontală a dreptei, H, este conținută de urma

Page 19: Curs de Geometrie Descriptiva

orizontală a planului Ph, iar urma verticală a dreptei, V, este conținută de urma verticală a planului).

a bFig. 1.25

a bFig. 1.26

Un punct din spațiu, A, aparține planului [P], atunci când el aparține unei drepte conținute în planul [P]. Deci, punctul că să aparțină unei drepte din plan, trebuie să aibă proiecțiile sale

Page 20: Curs de Geometrie Descriptiva

situate pe proiecțiile de același nume ale dreptei (D). La rândul ei dreapta ca să fie conținută în planul [P], trebuie să aibă urmele H, V, situate pe urmele de acelați nume ale planului, P h, respectiv PV.

1.3.1.3. Determinarea planului.

Un plan oarecare [P], este complet determinat în spațiu de:- două drepte concurente;- două drepte paralele;- o dreaptă și un punct exterior ei;- trei puncte necoliniare.

Pentru determinarea planului, [P], definit de două drepte concurente, (D1) și (D2), (fig. 1.27), se determină urmele orizontale ale dreptelor H1 și H2, respectiv urmele verticale V1 și V2, prin care trebuie să treacă și urmele de același nume ale planului, pentru ca dreptele să aparțină planului.

Fig. 1.27 Fig. 1.28

În cazul a două drepte paralele ce determină un plan, [P], se procedează în mod similar determinându-se urmele orizontale, respectiv verticale ale celor două drepte și obligând urmele planului [P], cea orizontală să conțină urmele orizontale ale celor două drepte, iar cea verticală urmele verticale ale dreptei (fig. 1.28).

Page 21: Curs de Geometrie Descriptiva

1.3.1.4. Drepte particulare ale planului. Drepte conținute în plan și paralele cu unul dintre planele de proiecție.

Dreapta de nivel conținută într-un plan [P], ( fig. 1.29 a – spațiu, b – epură), are proiecția orizontală paralelă cu urma orizontală a planului, iar urma verticală a dreptei este situată pe urma verticală a planului, pentru ca această dreaptă să aparțină planului. Proiecția verticală a dreptei de nivel a unui plan este paralelă cu axa (OX).

a bFig. 1.29

Dreapta de front conținută într-un plan [P], ( fig. 1.30 a – spațiu, b – epură), are proiecția verticală paralelă cu urma verticală a planului , iar urma orizontală a dreptei este situată pe urma orizontală a planului, pentru ca această dreaptă să aparțină planului. Proiecția orizontală a dreptei de front a unui plan este paralelă cu axa (OX).

a bFig. 1.30

Page 22: Curs de Geometrie Descriptiva

1.3.1.5. Poziții particulare ale planelor față de planele de proiecție.

În funcție de poziția planului din spațiu față de planele de proiecție, plane pot fi:1. plane paralele cu planele de proiecție (plane dublu proiectante):

- plan de nivel, plan paralel cu planul orizontal [H];- plan de front, plan paralel cu planul vertical [V];- plan de profil, plan paralel cu planul lateral [L];

2. plane perpendiculare pe planele de proiecție (plane proiectante):- planul vertical, plan perpendicular pe planul orizontal [H];- plan de capăt, plan perpendicular pe planul vertical [V];- plan paralel cu axa (OX), plan perpendicular pe planul lateral [L];

3. plan care conține axa (OX);

1. Plane paralele cu planele de proiecție.

Plan de nivel , [P], este planul paralel cu planul orizontal de proiecție [H] și perpendicular pe celelalte două plane de proiecție,[V], [L], (fig. 1.31 a, b). Planul de nivel are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, pentru tratarea capitolelor viitoare:

nu are urmă orizontală, ci numai urme verticală, Pv și urmă laterală, PL; urma verticală, Pv, este paralelă cu axa (OX), iar cea laterală, PL cu axa (OY); o figură plană conținută în planul de nivel (exemplu triunghiul ABC) se

proiectează în adevărată mărime pe planul orizontal, [H] și complet deformat, sub forma unor segmente de dreaptă, pe planele vertical, [V] și lateral [L].

a bFig.1.31

Page 23: Curs de Geometrie Descriptiva

Plan de front , [P], este planul paralel cu planul vertical de proiecție [V] și perpendicular pe celelalte două plane de proiecție,[H], [L], (fig. 1.32 a, b). Planul de nivel are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, pentru tratarea capitolelor viitoare:

nu are urmă verticală, ci numai urme orizontală, Ph și urmă laterală, PL; urma orizontală, Ph, este paralelă cu axa (OX), iar cea laterală, PL cu axa (OZ); o figură plană conținută în planul de front (exemplu triunghiul ABC) se

proiectează în adevărată mărime pe planul vertical, [V] și complet deformat, sub forma unor segmente de dreaptă, pe planele orizontal, [H] și lateral [L].

a bFig. 1.32

Plan de profil , [P], este planul paralel cu planul lateral de proiecție [L] și perpendicular pe celelalte două plane de proiecție,[H], [V], (fig. 1.33 a, b). Planul de profil are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, pentru tratarea capitolelor viitoare:

nu are urmă laterală, ci numai urme orizontală, Ph și urmă verticală, Pv; urma orizontală, Ph, este paralelă cu axa (OY), iar cea verticală, Pv cu axa (OZ); o figură plană conținută în planul de nivel (exemplu triunghiul ABC) se

proiectează în adevărată mărime pe planul lateral, [L] și complet deformat, sub forma unor segmente de dreaptă, pe planele orizontal, [H] și vertical [V].

2. Plane perpendiculare pe planele de proiecție.

Plan vertical , [P], este planul perpendicular pe planul orizontal de proiecție [H] (fig. 1.34 a, b). Planul vertical are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, pentru tratarea capitolelor viitoare:

are urmele verticală, Pv și laterală, PL, paralele cu axa(OZ); unghiurile realizate de urma orizontală cu axele (OX), β, respectiv (OY), θ, sunt

proiectate în adevărată mărime pe planul orizontal și reprezintă unghiurile realizate de planul P cu planele vertical [V], respectiv lateral, [L];

o figură plană conținută în planul vertical (exemplu triunghiul ABC) se proiectează deformat parțial pe planele vertical și lateral și complet deformat pe planul orizontal.

Page 24: Curs de Geometrie Descriptiva

a bFig. 1.33

a bFig. 1.34

Page 25: Curs de Geometrie Descriptiva

Plan de capăt , [P], este planul perpendicular pe planul vertical de proiecție [V] (fig. 1.36 a, b). Planul de capăt are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, pentru tratarea capitolelor viitoare:

are urmele orizontală, Ph și laterală, PL, paralele cu axa(OY); unghiurile realizate de urma verticală cu axele (OX), α, respectiv (OZ), θ, sunt

proiectate în adevărată mărime pe planul vertical și reprezintă unghiurile realizate de planul P cu planele orizontal [H], respectiv lateral, [L];

o figură plană conținută în planul de capăt (exemplu triunghiul ABC) se proiectează deformat parțial pe planele orizontal și lateral și complet deformat pe planul vertical.

A b

Fig. 1.36

Plan paralel cu axa(OX) , [P], este planul perpendicular pe planul lateral de proiecție [L] (fig. 1.37 a, b). Planul paralel cu axa (OX) are următoarele proprietăți, care trebuie puse în evidență, pentru tratarea capitolelor viitoare:

are urmele orizontală, Ph și verticală, Pv, paralele cu axa(OX); unghiurile realizate de urma laterală cu axele (OY), α, respectiv (OZ), β, sunt

proiectate în adevărată mărime pe planul lateral și reprezintă unghiurile realizate de planul P cu planele orizontal [H], respectiv vertical, [V];

o figură plană conținută în planul paralel cu axa(OX) (exemplu triunghiul ABC) se proiectează deformat parțial pe planele orizontal și vertical și complet deformat pe planul lateral.

Page 26: Curs de Geometrie Descriptiva

a bFig. 1. 37

1.3.1.6. Pozițiile relative a două plane

Plane paralele

Două plane paralele [P] și [Q] în spațiu (fig. 1.38 a – în spațiu, b – în epură) au urmele de același nume paralele Ph || Qh și Pv || Qv.

a bFig. 1.38

Page 27: Curs de Geometrie Descriptiva

Plane concurente

Două plane concurente [P] și [Q] în spațiu (fig. 1.39 a – în spațiu, b – în epură) se intersectează după o dreaptă Δ (δ, δ’) care are urmele la intersecțiile urmelor de același nume ale planelor Ph ∩ Qh → h și Pv ∩ Qv →v’.

a bFig. 1.39


Recommended