1

CUPRINS

I. ALGEBRA LINIARA…………………………………………………………………. 1 1. SPATII VECTORIALE ……………………………………………………………… 1

1.1 Definitia spatiului vectorial .Exemple……………………………………………. 1

1.2 Reguli de calcul intru-n spatiu vectorial…………………………………………. 2

1.3 Subspatii vectoriale………………………………………………………… …… 3 2. BAZA SI DIMENSIUNE IN SPATIUL VECTORIAL……………………………. 5

2.1 Dependenta si independenta liniara……………………………………………… 5

2.2 Sisteme de generatori…………………………………………………………….. 7

2.3 Baza si dimensiune in spatial vectorial………………………………………….. 8

2.4 Coordonatele unui vector intr-o baza……………………………………………... 10

2.5 Modificarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baze………………….. 11

3. APLICATII LINIARE INTRE SPATII VECTORIALE…………………………. 13

4. APLICATII LINIARE PARTICULARE………………………………………….. 17

4.1. Relatia de izomorfism.Teorema fundamentala de izomorfism……………………. 17

4.2. Matricea asociata unei aplicatii liniare……………………………………………. 18

4.3. Transformari liniare pe spatii vectoriale………………………………………….. 20

5. SUBSPATII INVARIANTE. VALORI SI VECTORI PROPRII ………………. 22

5.1. Subspatii invariante ……………………………………………………………… 22

5.2. Valori si vectori proprii asociati unei transformari liniare ………………………. 22

5.3. Diagonalizarea unei transformari liniare ………………………………………… 25

6. SPATII EUCLIDIENE ……………………………………………………………… 27

6.1. Definitii, normarea si metrizarea unui spatiu Euclidian …………………………. 27

6.2. Baze ortogonale, baze ortonormate, subspatiul orthogonal.……………………… 29

7. FORME LINIARE, BILINIARE, PATRATICE …………………………………. 32

7.1. Forme linire ……………………………………………………………………… 32

7.2. Forme biliniare …………………………………………………………………… 34

7.3. Forme patratice …………………………………………………………………... 38

a) Metoda Gauss …………………………………………………………………. 38

b) Metoda Jacobi ………………………………………………………………… 40

c) Metoda valorilor proprii ……………………………………………………… 41

2

II. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU ………………………………………….. 43

1. SPATIUL EUCLIDIAN 3E ………………………………………………………. 43

1.1. Segmente orientate. Relatia de echipolenta. Vector liber si vector legat ………. 43

1.2. Structura de spatiu vectorial pe 3E ………………………………………………. 44

1.3. Baze orientate pozitiv sau negativ. Spatiul tangent la 3E intr-un punct …………. 45

1.4. Proiectii ortogonale………………………………………………………………. 46

1.5. Produse cu vectori ………………………………………………………………… 47

1.5.1. Produsul scalar a doi vectori. Structura de spatiu Euclidian a lui 3E …….. 47

1.5.2. Produsul vectorial a doi vectori ………………………………………….. 48

1.5.3. Produsul mixt a trei vectori …………………………………………………51

1.5.4. Dublul produs vectorial …………………………………………………… 53

1.6. Repere si sisteme de referinta ……………………………………………………. 55

1.6.1. Repere carteziene rectangulare ……………………………………………. 55

1.6.2. Vectori de pozitie al unui punct din 3E …………………………………… 55

2. DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU …………………………………………… 57

2.1. Planul in spatiu ………………………………………………………………….. 57

2.1.1. Diverse ecuatii ale planului ……………………………………………….. 57

2.1.2. Distanta de la un punct la un plan si distanta dintre doua plane paralele ……………………………………………………………. 62

2.2. Dreapta in spatiu ………………………………………………………………… 63

2.2.1. Diverse forme ale ecuatiei unei drepte ce trece printr-un punct dat si are directia data de un vector fixat …………………………………………………… 63

2.2.2. Ecuatia dreptei ce trece prin doua puncte ……………………………….. 64

2.2.3. Ecuatia dreptei ca intersectie de plane ……………………………………. 65

2.3. Proprietati ale dreptelor si planelor ……………………………………………… 66

2.3.1. Fascicol de plane …………………………………………………………. 66

2.3.2. Pozitii relative ale dreptelor si planelor ………………………………….. 66

2.3.3. Simetricul unui punct fata de un plan si fata de o dreapta ……………….. 69

2.3.4. Proiectia unei drepte pe un plan ………………………………………… 70

2.3.5. Pozitii relative a doua drepte in spatiu ………………………………….. 71

2.3.6. Distanta de la un punct la un plan. Distanta dintre doua plane paralele…. 72

3

2.3.7. Perpendiculara comuna a doua drepte. Distanta dintre doua drepte oarecare……………………………………………………………… 73

3. SFERA ……………………………………………………………………………….. 75

3.1. Ecuatii ale sferei ………………………………………………………………….. 75

3.2. Probleme de intersectie …………………………………………………………… 75

3.2.1. Intersectia unei sfere cu o dreapta …………………………………………. 75

3.2.2. Intersectia unei sfere cu un plan ………………………………………….. 76

3.3. Planul tangent untr-un punct al sferei ……………………………………………. 77

3.4. Intersectia a doua sfere ……………………………………………………………. 78

3.5. Puterea unui punct in raport cu o sfera …………………………………………… 79

3.5.1. Puterea punctului fata de sfera …………………………………………….. 79

3.5.2. Planul radical a doua sfere ……………………………………………….. 79

3.5.3. Axa radicala a trei sfere …………………………………………………… 79

4. GENERAREA SUPRAFETELOR ………………………………………………… 81

4.1. Ecuatii ale suprafetelor si curbelor in spatiu ……………………………………….81

4.2. Generarea suprafetelor ……………………………………………………………. 81

4.3. Suprafete cilindrice …………………………………………………………….. 82

4.4. Suprafete conice ………………………………………………………………….. 83

4.5. Suprafete conoide …………………………………………………………………. 85

4.6. Suprafete de rotatie ……………………………………………………………. 86

5. CUADRICE PE ECUATII REDUSE ……………………………………………… 88

5.1. Cuadrice cu centrul de simetrie ………………………………………………….. 88

5.1.1. Elipsoidul real …………………………………………………………….. 89

5.1.2. Hiperboloizi …………………………………………………………….. 92

a) Hiperboloidul cu o panza ………………………………………………… 92

b) Hiperboloidul cu doua panze ……………………………………………. 95

5.2. Cuadrice fara cebtru ……………………………………………………………… 98

5.2.1. Paraboloidul hiperbolic …………………………………………………… 98

5.2.2. Paraboloidul eliptic ………………………………………………………. 100

4

SEMINARII I. ALGEBRA LINIARA …………………………………………………………. 102

1. Spatii vectoriale …………………………………………………………………… 102

2. Subspatii vectoriale ……………………………………………………………….. 103

3. Operatii cu subspatii ………………………………………………………………… 103

4. Dependenta si independenta liniara ………………………………………………… 104

5. Sisteme de generatori ……………………………………………………………….. 105

6. Baza in spatial vectorial …………………………………………………………….. 106

7. Matricea de trecere de la o baza la alta. Modificarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza …………………………..……………………………………… 110

8. Sisteme de ecuatii liniare …………………………………………………………… 113

9. Aplicatii liniare intre spatii vectoriale ……………………………………………….. 114

10. Valori si vectori proprii. Diagonalizarea unui endomorfism ……………………….. 120

11. Procedeul de ortonormare …………………………………………………………….127

12. Forme biliniare ……………………………………………………………………… 128

13. Aducerea la forma canonica a formelor patratice ………………………………….. 131

13.1. Metoda Gauss ……………………………………………………………….. 131

13.2. Metoda valorilor proprii ……………………………………………………… 133

II. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU ……………………………………….. 136

1. Produse cu vectori …………………………………………………………………. 136

2. Planul si dreapta in spatiu ……………………………………………………….. 139

3. Sfera ……………………………………………………………………………… 148

4. Generarea suprafetelor ……………………………………………………………. 153

1.

5

2. SPAŢII VECTORIALE

2.1. DEFINIŢIA SPAŢIULUI VECTORIAL. EXEMPLE

Fie V ≠ Φ o mulţime şi K un corp care poate fi R sau C.

DEFINIŢIE Se numeşte lege de compoziţie pe V sau operaţie algebrică pe V orice

aplicaţie ϕ : V x V → V definită prin (x,y) → ϕ (x,y) .

DEFINIŢIE Se numeşte lege de compoziţie externă pe V orice aplicaţie f : K x V → V,

care asociază perechii (α, x) , α ∈ K , x ∈ V un nou element f(α,x)∈V.

Observaţie. Utilizăm simbolurile * , 0, ⊥, T, ., +, ⊗, ⊕ etc. pentru operaţii algebrice.

DEFINIŢIE O mulţime V ≠ φ , înzestrată cu două legi de compoziţie , una internă

”+” : V x V → V şi cealaltă externă ” . ” : K x V →V se numeşte spaţiu vectorial peste

K sau spaţiu liniar peste K , dacă au loc axiomele:

1) (V, + ) este grup comutativ

2) α (β x) = (α β) x , ∀ α,β∈K , ∀ x ∈V

3) α (x+y) = α x + α y , ∀ α∈K , ∀ x , y∈V

4) (α+β) x = α x +β x , ∀ α,β ∈ K , ∀ x ∈V

5) 1 . x = x , ∀ x ∈V

DEFINIŢIE Elementele corpului K se numesc scalari, iar cele din V se numesc vectori.

DEFINIŢIE Dacă K = R atunci V se numeste spaţiu vectorial real iar dacă K = C atunci

V se numeste spaţiu vectorial complex.

Notăm V/K un spaţiu vectorial peste K.

EXEMPLE de spaţii vectoriale :

10 Fie K un corp, iar ( ){ }niKxxxxKxxKxKK in

orin

n ,1,,...,,... 21 =∈==4434421

Consideram pe Kn operaţiile

Adunarea + : Kn x Kn → Kn definită prin ∀x = (x1, x2, … xn ) şi y = (y1, y2, …, yn)

avem x+y = (x1 + y1, x2 + y2 ,…, xn + yn)

Înmulţirea cu scalari . : K x Kn → Kn definită prin ∀ α∈K şi ∀ x = (x1, x2, …, xn ) ∈Kn

avem αx = (αx1, αx2, …, αxn).

Se verifică usor că (Kn , + , ⋅ ) este spaţiu vectorial peste K.

6

DEFINIŢIE Pentru K = R, (Rn , + , ⋅) este spaţiu vectorial real numit spaţiul aritmetic

n-dimensional.

20 (C, +, ⋅)⏐C este spaţiu vectorial complex cu operaţiile de adunare a numerelor

complexe şi de înmulţire a numerelor complexe.

30 (Mmn (K), + , ⋅ )⏐K este spaţiu vectorial al matricilor cu m linii şi n coloane cu

elemente din K, în raport cu operaţiile de adunare a matricilor şi înmulţire a matricilor cu

scalari.

40 Dacă Rn [X] = {P∈R[X]⏐P polinom de grad cel mult n} atunci (Rn[X], +, ⋅ )⏐R este

spaţiu vectorial în raport cu operaţiile de adunare a polinoamelor şi înmulţire a

polinoamelor cu scalari.

50 (K, + , ⋅)⏐K este spaţiu vectorial peste el însuşi cu operaţiile corpului K (orice corp este

un spaţiu vectorial peste el însuşi).

60 Fie V⏐K un spaţiu vectorial, X ≠ φ şi Vx = {f : X → V} Atunci (Vx , +, ⋅ )⏐K este

spaţiu vectorial în raport cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea funcţiilor cu scalari.

2.2. REGULI DE CALCUL ÎNTR-UN SPAŢIU VECTORIAL

Fie V⏐K un spaţiu vectorial

PROPOZIŢIE Au loc urmatoarele relaţii

1) (α - β)x = αx - βx , ∀ α , β ∈ K , ∀ x ∈ V

2) α(x – y) = αx - αy , ∀ α ∈ K , ∀ x , y ∈ V

3) 0 . x = θ , ∀ x ∈V

4) α . θ = θ , ∀ α ∈K

5) (-α)x = α(-x) = - αx , ∀ α ∈K, ∀ x ∈V

6) α . x = θ ⇒ α = 0 sau x = 0 , unde θ ∈ V este vectorul nul.

Demonstraţie 1) αx = (α-β+β)x = (α-β)x + βx ⏐-βx ⇒ αx - βx = (α-β)x

2) αx = α(x-y+y) = α(x-y) + αy ⏐- αy ⇒ αx - αy = α(x-y)

3) luăm în 1) β = α ⇒ 0 . x = θ

4) luăm în 2) y = x ⇒ α ⋅ θ = θ

5) (-α)x = (0 - α)x = 0 ⋅ x - α ⋅ x = θ - αx = - αx

7

α(-x) = α(θ-x) = α ⋅ θ - α ⋅ x = θ - αx = - αx

6) αx = θ dacă α = 0 ⇒ 0 ⋅ x = θ , ∀ x∈V

Dacă α ≠ 0, cum α∈K ⇒ ∃ α-1 ∈ K aşa încat α ⋅ α-1 = α-1 α = 1 ⇒ α-1⏐αx = θ ⇒ α-1

α x = α-1 θ ⇒ x = θ

1.3 SUBSPAŢII VECTORIALE

Fie V⏐K un spaţiu vectorial şi W ⊂ V , W ≠ φ o submulţime.

DEFINIŢIE W este un subspaţiu vectorial al lui V dacă legile de compoziţie de pe V induc

legi de compoziţie pe W, împreună cu care W devine un spaţiu vectorial.

Observatie. Legile de compoziţie de pe V induc legi de compoziţie pe W, dacă oricum am

compune două elemente din W rezultatul rămâne tot în W şi orice scalar din K înmulţit cu

orice element din W ne dă tot un element din W.

PROPOZIŢIE (caracterizări echivalente pentru subspaţii).

Fie V⏐K spaţiu vectorial şi W ⊂ V o submulţime nevidă. Sunt echivalente afirmaţiile:

1) W este subspaţiu vectorial în V

2) a) ∀ x , y ∈ W ⇒ x + y ∈ W

b) ∀ α ∈ K , ∀ x ∈ W ⇒ αx ∈W

3) ∀ α , β ∈ K, ∀ x , y ∈W ⇒ αx + βy ∈W

Demonstraţie

1) ⇒ 2) evident

2) ⇒3) Fie α, β ∈ K şi WyβxαWyβWxα

Wx,ya)b)

∈+⇒⎩⎨⎧

∈∈

∈ ⇒

3) ⇒ 1) Luăm α = 1, β = -1 în 3) şi obţinem x - y ∈ W, ∀ x , y ∈ W

ceea ce ne arată că W este subgrup în (V, +). Proprietăţile operaţiei de înmulţire cu scalari ce

funcţionează pe V rămân valabile şi pe W şi în plus înmulţirea cu scalari de pe V induce o

înmulţire cu scalari pe W, deoarece dacă luăm β = 0 în 3) obţinem ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ W ⇒

⇒ αx ∈ W ⇒ W subspaţiu în V.

EXEMPLE DE SUBSPAŢII 1) Fie V⏐K spaţiu vectorial. Mulţimile {θ} şi V sunt subspaţii vectoriale în V, numite şi

subspaţiile improprii ale lui V.

8

2) În R2 ⏐R mulţimea W = {(x1, x2, x3)⏐x1 – 2x2 +x3 = 0 ⏐ este subspaţiu.

3) În M32 ( R )⏐R mulţimea ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= Rx,y

0yxy0x0

W este subspaţiu.

OPERAŢII CU SUBSPAŢII 1) INTERSECŢIA a două subspaţii este tot un subspaţiu vectorial.

PROPOZIŢIE Fie V⏐K un spaţiu vectorial şi V1, V2 subspaţii în V.

Atunci V1∩ V2 este subspaţiu în V.

Dem. Fie α, β ∈ K şi ⎩⎨⎧

∈β+α∈β+α

⎩⎨⎧

⇒∈∈

⇒∩∈2

1

22

1121 Vyx

VyxsubspatiuV,Vy,x

iutsubspaV,Vy,xVVy,x ⇒

VnîsubspatiuVVVVyx 2121 ∩⇒∩∈β+α⇒

2) REUNIUNEA a două subspaţii nu este în general subspaţiu decât numai dacă unul este

inclus în celălalt.

3) SUMA a două subspaţii este tot un subspaţiu.

Fie V⏐K spaţiu vectorial şi V1 , V2 subspaţii.

DEFINIŢIE Se numeste suma subspaţiilor V1 şi V2 şi se notează cu V1 + V2 mulţimea

V1 + V2 = {x1 + x2 ⏐x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 }.

PROPOZIŢIE (suma a două subspaţii este tot un subspaţiu)

Fie V⏐K subspaţiu vectorial şi V1,V2 subspaţii în V. Atunci V1+ V2 este un

subspaţiu în V.

Demonstratie Fie α,β ∈ K şi x,y ∈ V1 + V2

x ∈ V1+ V2 ⇒ ∃ x1∈V1 , x2 ∈V2 aşa încât x = x1 + x2

y ∈ V1+ V2 ⇒ ∃ y1∈V1, y2 ∈V2 aşa încât y = y1+ y2

Atunci

( ) ( ) 2121V

22V

112121 VVVVβyαxβyαxyyβxxαβyαx21

+⇒+∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+++=+

∈∈ este

subspaţiu în V.

4 ) SUBSPAŢIUL GENERAT DE O MULŢIME DE VECTORI

Fie V⏐K spaţiu vectorial şi S = {x1, x2, …, xn } ⊂ V.

9

DEFINIŢIE Se numeste combinaţie liniară de vectorii sistemului S cu coeficienţi din K,

orice expresie de forma ∑=

=+++n

1iiinn2211 xαxα...xαxα unde 1,niK,α i =∈ şi

1,niS,x i =∈

NOTĂM cu ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∈= ∑=

n

1iiiii 1,niS,xK,αxα)S(L = mulţimea tuturor combinaţiilor

liniare de vectori din S cu coeficienţi din K.

PROPOZIŢIE (subspaţiul generat de S)

Fie V⎪K spaţiu vectorial S ⊂ V, S = {x1, x2 ,…, xn }. Atunci L(S) este subspaţiu in

V.

Demonstraţie

Fie α, β ∈K şi x,y ∈ L(S) ⇒ ∃ αi ∈ K, n,1i = aşa încât ∑=

=n

1iii xαx

⇒ ∃ βi ∈ K, n,1i = aşa încât ∑=

=n

1iii xβy

( )∑ ∑∑ ∑= == =

∈=+=+=+n

1i

n

1iiiiii

n

1i

n

1iiiii L(S)xγxββααxββxααβyαx ⇒ L(S) subspaţiu în V

DEFINIŢIE L(S) se numeste subspaţiul generat de S sau acoperirea liniară a lui S

OBSERVAŢII

1) V1 + V2 = L(V1 ∪ V2 )

2) Subspaţiul generat de S este cel mai mic subspaţiu al lui V, în raport cu incluziunea, care

conţine pe S şi coincide cu intersecţia tuturor subspaţiilor lui V ce conţin pe S.

VARIETATE LINIARĂ Fie V/K spaţiu vectorial.

DEFINIŢIE Se numeste varietate liniară a spaţiului V, orice submulţime L≠φ, cu

proprietatea că există x0∈V astfel încât mulţimea V’=L-x0={x-x0⎮x∈L} sa fie un subspaţiu

vectorial al lui V.

DEFINIŢIE V se numeste spaţiul suport al varietaţii liniare L.

10

2. BAZĂ ŞI DIMENSIUNE ÎN SPAŢIUL VECTORIAL

2.1. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ

Fie V⏐K spaţiu vectorial şi S = {x1 , x2 ,…, xn }⊂ V.

DEFINIŢIE Spunem că sistemul de vectori S este liniar independent sau liber dacă din

orice relaţie de forma α1 x1 + α2 x2 +…+ αn xn = θ , cu αi ∈ K, n,1i = , rezultă α1= α2 =

…= αn = 0 (adică din orice combinaţie liniară nulă rezultă toţi coeficienţii nuli).

DEFINIŢIE Spunem că sistemul de vectori S este liniar dependent sau legat dacă

există αi ∈ K, n,1i = nu toţi nuli aşa încât α1 x1 + α2 x2 +… + αn xn = θ (adică există

combinaţii liniare nule care nu au toţi coeficienţii nuli).

EXEMPLE : 1) S = {θ}⇒ S este liniar dependent deoarece există α = 1 ∈ K aşa încât 1.θ =

θ

2 ) S = {x}, x∈V, x ≠ θ ⇒ S este liniar independent pentru că din α x = θ, x ≠ θ ⇒ α = 0

3) În Rn⏐R :S={e1, …, en} , unde e1 = (1,0,0,…,0), …, en = (0,…,0,1) este liniar

independent pentru că din α1e1 + α2 e2 + …+αnen = θ ⇒ α1(1,0,…,0) + α2(0,1,…,0)

+…+ +αn(0,0,…,1) = (0,…,0) ⇔ (α1, α2…αn) = (0,…,0) ⇒ α1 = α2 = …= αn = 0

4) În C⏐R : S = {1,i} este liniar independent pentru că a . 1 + b . i = 0 ⇒ a = 0, b = 0

5) În Rn[X]/R S={1,X,X2,…,Xn} este liniar independent.

PROPOZIŢIE(proprietăţi de ereditate pentru sisteme independente şi dependente)

Fie V/K spaţiu vectorial şi S = {x1 … xn} ⊂ V Atunci

1) Dacă θ ∈ S ⇒ S este liniar dependent

2) Dacă S este liniar independent ⇒ xi ≠ θ, ∀ i = n,1

3) Dacă S este liniar dependent , atunci oricare ar fi S’ ⊂ V, S ⊂ S’ ⇒ S’este liniar

dependent (orice suprasistem al unui sistem liniar dependent este tot liniar dependent)

4) Daca S este liniar independent , oricare ar fi S”⊂ S, S” ≠ θ ⇒ S” liniar independent

(orice subsistem al unui sistem liniar independent este tot liniar independent).

Demonstraţie 1) θ ∈ S .Să presupunem xn = θ. Avem 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 +…+ 1 ⋅ θ = θ care nu

are toti coeficienţii nuli ⇒ S este liniar dependent.

2) Presupunem că există xi = θ ∈ S ⇒ S liniear dependent (contradicţie) ⇒ xi ≠ θ, ∀ i =

n,1 .

11

3) S liniar dependent ⇒ ∃ αi ∈ K i = n,1 , nu toţi nuli aşa încât α1x1 + …+ αnxn = θ (1) .

Fie S’ = {x1, x2,…,xn, xn+1, …, xm} unde m ≥ n .Extindem relaţia (1) la relaţia α1x1 + …+

αnxn + 0⋅ xn+1 + …+ 0 xm = θ care este combinaţie liniară nulă de vectorii din S’ ce nu are toţi

coeficienţii nuli ⇒ S’ este liniar dependent.

4) Presupunem S” liniar dependent )3

⇒ S ⊃ S” este liniar dependent (contradicţie) ⇒ S”

liniar independent.

PROPOZIŢIE Un sistem S = {x1 … xn } ⊂ V este liniar dependent ⇔ (∃) un vector în S

care se poate exprima ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori din S.

Demonstratie: ”⇒” Dacă S este liniar dependent ⇒ ∃ αi ∈ K, i = n,1 nu toţi nuli aşa încât:

(- 11−α )/α1x1 + α2x2 +…+αnxn = θ.

Presupunem că α1 ≠ 0 ⇒ ∃ 11−α ∈K astfel încât 1

1−α . α1x1 + 1

1−α . α2x2 + …+ 1

1−α αnxn = θ ⇒

x1 = - 11−α α2x2- … - 1

1−α αnxn = β2x2 + …+ βnxn , unde βi = - 1

1−α αi , i = n,1 .

”⇐” Presupunem x1 = β2x2 + … + βnxn ⇔ -x1+β2x2 + … + βnxn = θ ⇒ S liniar dependent.

PROPOZIŢIE Un sistem de vectori S⊂ V este liniar independent ⇔ nici un vector din S nu

se poate exprima ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori ai lui S.

DEFINIŢIE Se numeste dimensiunea sau rangul unui sistem de vectori S ⊂ V numarul

maxim de vectori liniari independenţi din S .

DEFINIŢIE (Extensia definiţiei dependenţei şi independenţei liniare la sisteme infinite).

Fie V/K un spaţiu vectorial şi S ⊂ V sistem de vectori infinit. S este liniar dependent dacă ∃

S’⊂ S, S’ finit, cu S’ liniar dependent şi S este liniar independent dacă ∀ S’⊂ S, S’ finit, S’

este liniar independent.

EXEMPLU În R[X]/R fie S = {1, X, X2, …, Xn,…}. S este liniar independent pentru că

oricare ar fi S’⊂ S { }p21 nnn X,...,X,X'S = ,din

p,1i,00X...XX in

pn

2n

1p21 ==α⇒=α++α+α ,deci S’este liniar independent.

2.2. SISTEME DE GENERATORI

Fie V/K spaţiu vectorial şi S = {x1, …, xn }⊂ V

12

DEFINIŢIE Spunem că spaţiul vectorial V/K este finit generat dacă există o mulţime finită

S ⊂ V de vectori aşa încât ∀ x∈V se exprimă ca o combinaţie liniară de vectori lui S, adică

avem: ∃ αi∈ K i= n,1 aşa încât x = α1x1 +…+αnxn .

S se numeste sistem de generatori pentru V.

OBSERVAŢII: 1o Dacă V este generat de S , avem V = L(S).

2° Orice spaţiu vectorial V/K admite cel putin un sistem de generatori , de exemplu S=V.

EXEMPLE: 1° În C/R, S={1,i} este sistem de generatori pentru că ∀ z∈C, z = a⋅1 + b⋅i

2° În Rn/R , S={e1, e2 ,…,en} este sistem de generatori pentru că ∀x∈(x1, x2, …,xn) ∈ Rn

avem: x = (x1,0,0,…,0)+(0, x2 ,0,…, 0)+…+(0,0,0,…, xn)=x1 e1+x2 e2+…+xn en

3° În Rn [X] /R, S={1,X,…,Xn} este sistem de generatori.

PROPOZIŢIE (invarianţa proprietaţii de a fi sistem de generatori la transformari

elementare).

Fie V/K spaţiu vectorial şi S={x1,x2,…,xn} ⊂ V un sistem de generatori.

Urmatoarele transformari duc sistemul S într-un nou sistem S’ care este tot un sistem de

generatori pentru V:

1) Schimbarea ordinii vectorilor in S

2) Înmulţirea unui vector din S cu un scalar nenul

3) Adăugarea la un vector din S a unui alt vector din S înmulţit cu un scalar ≠ 0

Demonstraţie 2) Fie λ∈K, λ≠0 . S este sistem de generatori pentru V ⇒ ∀ x∈V, ∃ αi∈K;

n,1i = aşa încât ( ) { }n21nn22111

nn11 x,,,xxλS'x...xαxλαλxαxαx LL =⇒α+++=++= −

este sistem de generatori pentru V

3) S sistem de generatori pentru V ⇒ ∀ x∈V , ∃ αi∈K , n,1i = aşa încât

{ {( ) ( ) nnjijjii2211nn

xλα

jjxλαii11 xαxλααxλxαxαxαxαxαxαxαx

jiji

++−++++++=++++++=−+

LLLLLL

{ }nji21 x,,xx,,x,x'S LL λ+=⇒ este sistem de generatori pentru V , unde λ∈K, λ≠0.

TEOREMA SCHIMBULUI (A INLOCUIRII)

Fie V/K spaţiu vectorial, S = {u1,…,us} un sistem liniar independent din V şi

S’={v1,…,vm} un sistem de generatori pentru V. Atunci

1) s ≤ m,

13

2) după o eventuală reindexare a vectorilor din S’, sistemul

S”={u1,…,us, vs+1,…,vm} este tot un sistem de generatori pentru V.

OBSERVAŢIE Afirmaţia 1) ne arată că într-un spaţiu vectorial, orice sistem liniar

independent este mai sarac decat orice sistem de generatori.

Afirmaţia 2) ne arată că putem înlocui în orice sistem de generatori o parte din vectori cu

alţii liniari independenti , fară să afectăm proprietatea de a fi sistem de generatori a sistemului.

2.3. BAZĂ SI DIMENSIUNE IN SPAŢIUL VECTORIAL

Fie V/K un spaţiu vectorial şi { } Vxx,xB n21 ⊂= K

DEFINIŢIE Se numeste bază în spaţiul vectorial V/K orice sistem de vectori B⊂V cu

proprietaţile:

1) B este liniar independent

2) B este sistem de generatori pentru V

EXEMPLE

1) În C/R, B={1,i} este bază

2) În Rn/R, B={e1, e2, …, en} este bază numită baza canonică a lui Rn

3) În Rn[X]/R , B={1,X,X2,…,Xn} este bază

4) În Mm,n(R)/R , B = {E11, E12,…,Emn} este bază , unde matricea Eij = (apq)mn are

elementele ⎩⎨⎧ =

=restin,0

)j,i()q,p(,1a pq adică i

0000

0100

0000

E

j

ij

4434421KK

LLLL

KK

LLLL

KK

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Demonstratie: B este liniar independent pentru că 0EαEαEα mnmn12121111 =+++ L

⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒

000

000000

ααα

αααααα

mnm2m1

2n2221

1n1211

KKM

KKKK

LMM

KK

mnmn12121111

mn2m1m

n11211

ij

EaEaEaaaa

aaaAãcpentrugeneratoridesistemB

n,1jm,1i0

+++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=∀=

=∀=∀=α

K

KMM

K

14

TEOREMA

Orice spaţiu vectorial nenul admite cel puţin o bază.

DEFINIŢIE Un spaţiu vectorial care admite o bază finită se numeste spaţiu vectorial finit

dimensional. În caz contrar se numeste spaţiu vectorial infinit dimensional.

PROPOZIŢIE Orice două baze dintr-un spaţiu vectorial V/K au acelaşi numar de elemente.

Demonstratie Fie V/K un spaţiu vectorial , { } { }m12n11 v,...,vB,u,...,uB == baze în V. Să

demonstrăm că m = n

mnmn

tindependenliniarBãbazBVpentrugeneratoridesistemBãbazB

mnVpentrugeneratoridesistemBãbazB

tindependenliniarBãbazB

inlocuiriiT

22

11

inlocuiriiT

22

11

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

≥⎯⎯⎯ →⎯⎭⎬⎫

⇒−⇒−

≤⎯⎯⎯ →⎯⎭⎬⎫

⇒−⇒−

DEFINIŢIE Se numeste dimensiune a spaţiului vectorial V/K şi se notează dimkV numarul

natural egal nu numarul de vectori dintr-o bază a lui V.

EXEMPLE : dimRC = 2 ; dimRRn = n ; dimRRn [X] = n+1 , dimR Mm,n= m.n

PROPOZIŢIE Fie V/K spaţiu vectorial şi { } .Vx,...,x,xB n21 ⊂= B este bază in V ⇔ orice

vector din V se exprimă in mod unic ca o combinaţie liniară de vectori din B.

Demonstraţie : ”⇒” B este bază ⇒ B sistem de generatori ⇒ orice x∈V se exprimă ca o

combinaţie liniară de vectorii lui B. Să demonstram unicitatea reprezentarii lui x.

Presupunem că x admite două reprezentări în baza B:

∑ ∑= =

=∈βα==n

1i

n

1iiiiiii 1,niK,xβxisxαx Scădem termen cu termen aceste reprezentări

⇒

( )

1,ni,βα1,ni,0βαtindependenliniarBãbazB

θxβα

iiii

n

1iiii

==⇒=∀=−⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⇒−

=−∑=

” ⇐ ” Din ipoteză rezultă că B este sistem de generatori pentru V. Să demonstrăm că B este

liniar independent.

15

Fie θxαxαxα nn2211 =+++ K .Dar n1 0x0xθ ++= K . Din unicitatea reprezentării

vectorului θ în baza B VinãbazB1,ni0,αi ⇒=∀=⇒ .

2.4 COORDONATELE UNUI VECTOR INTR-O BAZĂ FIXATĂ.

Fie V/K spaţiu vectorial şi

{ } nn11in1 xαxαxncitîsaa1,niK,,Vx.Vnîãbaz,...,xxB ++==∈α∃∈∀= K

DEFINIŢIE Numim coordonatele vectorului x în baza B sistemul ordonat de scalari

( ) nn1 K,, ∈αα K

Observatie Operaţiile algebrice de pe spaţiul vectorial V induc operaţii algebrice între

coordonatele vectorilor în modul următor: pentru orice

∑ ∑= =

==n

1i

n

1iiiii xβysixαx avem ( ) ( )∑

=

=⇒+=+n

1in21iii ,...,α,αααxβαyx

( ) ( ) ),...,(xxiar,,definim,,, n1

n

1iiinn11n21 λαλα=λα⇒αλ=λβ+αβ+α=β+αβββ=β ∑

=

KK

PROPOZIŢIE Fie V/K cu dimkV = n. Atunci

1) orice sistem liniar independent are cel mult n vectori;

2) orice sistem liniar independent care care n vectori este bază în V;

3) orice sistem de generatori pentru V are cel putin n vectori;

4) orice sistem de generatori pentru V care are n vectori este bază.

Observatie Baza în spaţiu vectorial este un cel mai bogat sistem liniar independent şi un cel

mai sărac sistem de generatori.

2.5 MODIFICAREA COORDONATELOR UNUI VECTOR LA O SCHIMBARE DE

BAZE.

Fie V/K spaţiu vectorial { } { }n212n211 v,,v,vBu,,u,uB LL == baze în V.

a) Matricea de trecere de la baza B1 la baza B2

Vom asocia perechii de baze date, o matrice C=(Cij)n.n care ne va furniza mecanismul

de schimbare a coordonatelor unui vector la trecerea de la B1 la B2. Exprimăm vectorii bazei

B2 în baza B1.

nnn2n21n1n

n2n2221122

n1n2211111

uCuCuCv.................................................

uCuCuCvuCuCuCv

+++=

+++=+++=

L

L

L

∑=

=∀=n

1jjjii n,1iuCv

16

Acest sistem de relaţii defineşte o matrice C=(Cij)∈ Mn(K) ce reprezintă matricea de

coeficienţi din sistemul de relaţii anterior, luată transpus.

DEFINIŢIE Matricea C astfel determinată se numeste matricea de trecere de la baza B1 la

baza B2

Dacă notăm cu ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

2

n

2

1

1

v

vv

B

u

uu

BMM

atunci

relaţia de legatură dintre vectorii celor două baze mai sus definite se transcrie matriceal sub

forma:

1T

2 BCB ⋅=

b) Modificarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baze

PROPOZIŢIE La trecerea de la B1 la B2 coordonatele unui vector x∈V se modifică după

formula 12 B

1B XCX ⋅= − , unde C este matricea de trecere de la B1 la B2 , iar

21 BB X,X sunt

vectorii coloană cu coordonatele lui x în baza B1, B2 respectiv.

Demonstraţie Fie x∈V . În baza B1 , x admite reprezentarea ∑=

=n

1jjjuαx .

În baza B2 , x admite reprezentarea ∑=

=n

1iii vβx

Avem j

n

1j

n

1ijiijji

n

1i

n

1ji

n

1i

n

1jjjii

n

1iii uCuCuCβvβx ∑ ∑∑∑∑ ∑∑

= == == ==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β=β=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== , ceea ce reprezintă

exprimarea lui x în B1. Cum reprezentarea unui vector într-o bază este unică , identificăm

coeficientii celor două reprezentări ale lui x în baza B1 şi obţinem

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=

+++=⇔== ∑

=nnn2n21n1n

n1n2121111n

1ijiij

βCβCβCα

βCβCβCα1,nj;Cβα

LM

L

Fie ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

B

β

ββ

X1 M

= vectorul coloană cu coordonatele lui x în baza B1

17

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

B

β

ββ

X2 M

= vectorul coloană cu coordonatele lui x în baza B2

Atunci relaţiile anterioare se scriu matriceal sub forma 21 BB Cxx = sau

22 B1

B xCx −=

c) Inversabilitatea matricii de trecere C

Pornind de la faptul ca B2 fiind bază este un sistem liniar independent, adică din

1,ni0,α0vαvαvα inn2211 =∀=⇒=+++ L , putem scrie combinaţia liniară nulă sub

forma θ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔= ∑ ∑∑∑∑

= ====j

n

1j

n

1ijii

n

1jjji

n

1ii

n

1iii uCαθ,uCαθvα . Dar B1 bază ⇒ B1 liniar

independent ⇒

⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++=∀=∑

= 0αCαCαC

0αCαCαC1,ni0,Cα

nnn2n21n1

n1n212111n

1ijii

LM

L

Din ipoteză acest sistem omogen admite numai soluţia banală ⇒ determinantul sistemului

este nenul ⇔ determinantul matricei C≠0 ⇒ C inversabilă.

3. APLICAŢII LINIARE INTRE SPAŢII VECTORIALE

Fie V şi W spaţii vectoriale peste acelaşi corp K şi f : V → W o funcţie.

DEFINIŢIE Se numeste aplicaţie liniară de la V la W orice funcţie f : V → W care

satisface condiţiile:

a) f(x+y) = f(x)+f(y) , ∀ x , y ∈V ( este aditivă)

b) f(αx) = α f(x) , ∀ α∈K , ∀ x ∈V( este omogenă)

PROPOZIŢIE (caracterizări echivalente pentru aplicaţii liniare)

Fie f : V → W o funcţie. Sunt echivalente:

1) f este aplicaţie liniară

2) ∀ α , β∈K, ∀ x , y∈V avem ( ) f(y)βαf(x)βyαxf +=+

Demonstraţie

1) ⇒ 2) Vx,yK,α,βf(y)αf(x))βy(fαx)(f)βyαx(fba

∈∀∈∀β+=+=+

2) ⇒ 1) Luăm α = β = 1 ⇒ a). Luăm β = 0 ⇒ b)

18

EXEMPLE 1° V/K spaţiu vectorial , f : V → V, f(x) = x este aplicaţie liniară , numită

aplicaţia identică .

2° V/K spaţiu vectorial , f : V → V f(x) = θv este aplicaţie liniară , numită aplicaţia nulă .

3° fλ : V → V, fλ(x) = λx , λ∈K fixat, este aplicaţie liniară şi se numeste omotetia de raport

λ

4° f : V → Kn , f(x) = (x1, x2, …, xn) , unde (x1,…, xn) sunt coordonatele lui x într-o bază B

fixată a lui ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

n

1iii vxxV este liniară şi se numeste sistem de coordonate pe V.

PROPOZIŢIE (proprietaţi imediate ale aplicaţiilor liniare) Fie f: V → W aplicaţie liniară. 1° f(x-y) = f(x) – f(y) , ∀ x , y∈V 2° f(θV) = θW

3° ( )∑∑==

=∈∀∈α∀α=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛α

n

1iiiii

n

1iii n,1iVxKxfxf

Demonstraţie 1° Luăm în caracterizarea echivalentă a aplicaţiei liniare α=1, β= -1 2° Luăm x = y în 1° 3° inducţie DEFINIŢIE O aplicaţie liniară dintre două spaţii vectoriale se mai numeste şi morfism de spaţii vectoriale DEFINIŢIE O aplicaţie liniară de la un spaţiu vectorial în el însuşi se numeste transformare

liniară sau endomorfism sau operator liniar.

DEFINIŢIE O aplicaţie liniară injectivă se numeste monomorfism , una surjectivă se

numeste epimorfism , iar una bijectivă se numeste izomorfism.

Un izomorfism de la un spaţiu vectorial în el însuşi se numeste automorfism.

PROPOZIŢIE (compunerea a două aplicaţii liniare este o aplicaţie liniară).

Fie V, W, U spaţii vectoriale peste acelaşi corp K. f : V → W, g : W →U aplicaţii

liniare. Atunci g o f : V → U este o aplicaţie liniară.

Demonstraţie Fie α, β∈K şi x , y∈V. Calculăm

(gof) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) =+=+α=+α=+α−

)y(fβg)x(fαg)y(fβxfgβyxfgβyxlinglinf

= ( ) ( ) )y(fg)x(fg oo β+α ⇒ gof liniară

DEFINIŢIE Se numeste nucleu al aplicaţiei liniare f : V → W şi se notează cu fker

mulţimea { }Wθ)x(f/Vxfker =∈=

19

DEFINIŢIE Se numeste imaginea aplicaţiei liniare f : V → W şi se notează cu Imf

mulţimea { }Vx/)x(ffIm ∈=

PROPOZIŢIE (caracterizarea injectivitaţii şi a surjectivitaţii cu ajutorul nucleului şi a

imaginii)

Fie f : V → W aplicaţie liniară.

1) f – injectivă ⇔ Ker f = {θv}

2) f – surjectivă ⇔ Im f = W

Demonstraţie ”⇒ ” Fie x∈Ker f ⇒ f(x) = θw dar ( ) ( )

vvwv θx

ãinjectivfθf)x(fsiθθf

=⇒⎭⎬⎫==

⇒

Ker f = {θv}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fKerxxθxxfθxfxfxfxf"" 21w21w2121 ∈−⇒=−⇔=−⇔=⇐ . Din ipoteză

Ker f = {θv}⇒ x1-x2 = θv ⇒ x1 = x2 ⇒ f injectivă

3) ”⇒” f surjectivă ⇔ ∀ y∈W, ∃ x∈V aşa încât y=f(x) ⇒ y∈Im f

⇒ WfImWfImdar

fImW=→

⎭⎬⎫

⊂⊂

”⇐” evident

PROPOZIŢIE (proprietaţi de transport pentru subspaţii)

Fie f : V →W aplicaţie liniară.

1) ∀ L subspaţiu vectorial în V ⇒ f(L) = {f(x)/x∈L} este subspaţiu vectorial în W

2) ∀ L’ subspaţiu vectorial în W ⇒ f-1(L’) = {x∈L⏐f(x)∈L’} este subspaţiu în V.

În particular ,Im f = f(V) este subspaţiu în W şi Ker f = f-1 ({θw}) este subspaţiu în V.

Demonstraţie 1) Fie α,β∈K şi vectorii x , y ∈ f(L) ⇒ există x’, y’∈ L astfel încât

L'y'xsubspatiuL

L'y,'x)'y(fy)'x(fx

∈β+α⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∈

==

αx+βy = αf(x’)+βf(y’) = f(αx’+βy’)∈f(L) ⇒ f(L) subspaţiu în W

Fie α, β∈ K şi x , y ∈ f-1(L’) ⇒ f(x)∈L’, f(y)∈L’, L’ subspaţiu, ⇒ αf(x) + βf(y) ∈ L’

Dar αf(x) + βf(y) = f(αx+βy)∈L’ ⇒ αx + βy ∈ f-1(L’) ⇒ f-1(L’) subspaţiu în V.

PROPOZIŢIE (proprietaţi de transport pentru sisteme de vectori)

20

Fie f : V → W aplicaţie liniară şi S = {x1, x2 ,…, xp} ⊂ V o mulţime de vectori.

Atunci:

1) Dacă S este sistem de generatori pentru V ⇒ f(S) este sistem de generatori pentru Im

f.

2) Dacă S este liniar dependent ⇒ f(S) este liniar dependent.

3) Dacă S este liniar independent şi f injectivă ⇒ f(S) este liniar independent.

Demonstraţie : f(S) = {f(x1), f(x2),…,f(xp)}

1) Fie y∈Im f ⇒ ∃ x∈V aşa încât y=f(x)

S sistem de generatori pentru V ⇒ ∃ αi ∈K, p,1i = aşa încât x = α1x1 + α2x2 + … + αpxp.

Aplicăm f ultimei relaţii ⇒

( ) )S(f)x(f...)x(f)x(fx...xf)x(fy pp2211

f

liniarapp11 ⇒α++α+α=α++α== este sistem de

generatori pentru Im f

2) S liniar dependent ⇒ ∃ αi∈ K, p,1i = nu toţi nuli aşa încât α1x1 +…+αpxp = θ

Aplicăm f acestei relaţii şi obţinem f(α1x1+…+αpxp) = f(θVn) ⇒ α1f(x1) +

+α2f(x2)+…+αpf(xp) = θW , unde nu toti αi sunt nuli ⇒ f(S) este liniar dependent.

3) Fie αi ∈K p,1i = aşa încât α1 f(x1)+α2 f(x2)+…+αp f(xp) = θW f

liniara→

( )⎭⎬⎫θ=α++α

⇒⎭⎬⎫θ=α++α+α

tindependenliniarSx...x

ãinjectivf)(fx...xxf Vpp11Vpp2211

tindependenliniar)S(f0... p321 ⇒=α==α=α=α⇒

CONSECINŢĂ Dacă f : V → W este o aplicaţie liniară injectivă , iar B este bază în V atunci

f(B) este bază în Im f , deci dimk Im f = dimk V = n

TEOREMA DIMENSIUNII PENTRU NUCLEU ŞI IMAGINE Fie f : V → W o aplicaţie liniară cu dim V = dim W = n

Atunci n)f(Imdim)fKer(dim kk =+

Demonstratie

1° Daca { } ( ) ( ) nVdimfImdimãinjectivf0fKerdimatuncifKer kk

seccon

kV ==⇒⇒=θ=

⇒ ⇒ ( ) ( ) nn0fImdimfKerdim kk =+=+

21

2° Dacă ( ) 1p,pfKerdimfKer kV ≥=⇒θ≠

Fie { }p11 x,...,xB = o bază în Ker f. Completăm baza B1 la o bază B2 = {x1,…,xp, xp+1 ,…,xn}

a lui V, lucru permis de teorema schimbului. Să demonstrăm că B3 = {f(xp+1),…,f(xn)} este

bază în Im f.

B2 este sistem de generatori pentru Im f. Fie y∈Im f .Atunci există x∈V aşa încât y = f(x).

În baza B2 x admite reprezentarea x=α1x1+…+αnxn . Aplicând f obţinem

( ) ( )pp11

f

linnn1p1ppp11 x...xfx...xx...xf)x(fy α++α⇒α++α+α++α== ++ +

( ) ( ) ( ) 3nn1p1p

f

linnn1p1p Bxf...xfx...xf ⇒α++α=α++α+ ++++ este sistem de generatori pentru Im f.

B2 liniar independent. Fie αp+1, … ,αn ∈ K aşa încât αp+1 f(xp+1) +…+ αn f(xn) = θW f

lin⇒ f(αp+1 xp+1+ … +αn xn) = θW ⇒ αp+1 xp+1 +…+ αn xn ∈Ker f.

Cum B1 este bază în Ker f ⇒ ∃ α1, α2, …, αp ∈K aşa încât αp+1 xp+1 +…+αn xn =

= α1x1 +…+αpxp ⇒

⇒=α==α=α==α⇒⎭⎬⎫

⇒θ=α−−α−α++α

+++ 0......

tindependenliniarBãbazBx...xx...x

n1pp122

vpp11nn1p1p

⇒⇒ tindependenliniarB3 B3 bază în Im f ⇒ dimk Im f = n-p

⇒ dimk (ker f)+ dimk (Im f) = p + n - p = n

4 APLICAŢII LINIARE PARTICULARE

4.1. RELAŢIA DE IZOMORFISM. TEOREMA FUNDAMENTALĂ DE

IZOMORFISM

DEFINIŢIE Două spaţii vectoriale V , W peste acelaşi corp K se numesc izomorfe şi se

notează V ≅ W dacă există o aplicaţie liniară şi bijectivă între cele două spaţii.

PROPOZIŢIE Relaţia de izomorfism are proprietaţile:

1) reflexivitate: V ≅ V

2) simetrie: V ≅ W ⇒ W ≅ V

3) tranzitivitate: V ≅ W, W ≅ U ⇒ V ≅ U, adică este o relaţie de echivalenţă.

Demonstraţie

1) Fie aplicaţia: 1V : V → V, 1V (x) = x care este liniară şi bijectivă ⇒ V ≅ V.

22

2) V ≅ W ⇒ ∃ f : V → W liniară şi bijectivă ⇒ ∃ f-1 : W → V bijectivă. Să demonstrăm

că f -1 este liniară. Fie α , β ∈K şi x , y ∈ W. Avem f(f-1 (αx+βy)) = αx + βy =

= αf(f-1(x))+βf(f-1(y)) f

liniara= f[αf-1(x) + βf-1(y)]

f – injectivă ⇒ f-1 (αx+βy) = αf-1(x)+βf-1(y) ⇒ f-1 liniară ⇒ W ≅ V

3) UV:fgãbijectivsiãliniarUW:gUWãbijectivsiãliniarWV:fWV

→⇒⎭⎬⎫

→∃→≅→∃→≅

o este liniară şi bijectivă

deoarece compunerea a două aplicaţii liniare este tot liniară şi compunerea a două aplicaţii

bijective este tot bijectivă ⇒ V ≅ U

TEOREMA FUNDAMENTALĂ DE IZOMORFISM

Două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K sunt izomorfe ⇔ ele au aceeaşi

dimensiune.

Demonstratie ”⇒” Fie V şi W spaţii vectoriale peste K cu V ≅ W.Să demonstrăm că m = n.

V ≅ W ⇒ (∃) f : V → W liniară şi bijectivă . f surjectivă ⇒ Imf = W

Fie B1 = {u1, u2, …, un} bază în V.

nmnWdimWinãbaz)B(ftindependenliniar

)B(ftindependenliniarB

ãinjectivf1

1

1

=⇒=⇒⇒⇒⎭⎬⎫

”⇐”

Fie V şi W spaţii vectoriale peste K cu dimkV = dimkW = n.

Să demonstrăm că V ≅ Kn. Fie f : V → Kn , f(α) = (α1, … ,αn) un sistem de

coordonate pe V, unde α1, …, αn sunt coordonatele lui x într-o bază fixată a lui V.

WVKWlogAna

KVãbijectivsiãliniarfn

n

≅⇒⎭⎬⎫

≅≅⇒−

4.2. MATRICEA ASOCIATĂ UNEI APLICAŢII LINIARE

Vrem să arătăm că există o corespondenţă bijectivă (un izomorfism de structuri

algebrice) intre mulţimea aplicaţiilor liniare dintre două spaţii vectoriale cu baze fixate şi

mulţimea tuturor matricilor de o anumită dimensiune cu elemente din K.

4.2.1. Corespondenta bijectivă dintre aplicaţii liniare şi matrici

PROPOZIŢIE

23

Fie f : V → W o aplicaţie liniară cu B1 , B2 baze fixate în V , W respectiv. Atunci

există o unică matrice A = (aij)∈Mmn(K) asociată aplicaţiei f.

Demonstratie

Fie B1={u1, u2, …, un}, B2={v1, v2 ,…, vn}. Exprimam imaginea vectorilor din baza B1,

prin aplicaţia f , în baza B2:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++=+++=

mmn2n21n1n

m2m2221122

m1m2211111

va...vava)u(f.........................................................va...vava)u(f

va...vava)u(f

f(ui)= j

m

1jjiva∑

=

∀i=1,n

DEFINIŢIE Matricea de coeficienţi din sistemul anterior , luată transpus , se numeste

matricea asociata lui f în cele două baze fixate.

PROPOZIŢIE Fie A=(aij)mn matricea dată. Există o unică aplicaţie liniară f : V →W asociată lui A

printr-o relaţie de forma Y = AX în două baze fixate în V, W respectiv.

Demonstratie Fie B1 = {u1,…,un} bază în V şi B2 = {v1,…,vm} bază în W fixate.

Definim aplicaţia f : V →W pe vectorii bazei B1 impunand relaţiile:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++=+++=

mmn2n21n1n

m2m2221122

m1m2211111

va...vava)u(f.........................................................va...vava)u(f

va...vava)u(f

⇔ ∑=

=m

1jjjii va)u(f n,1i = (1)

Prelungim funcţia f la ceilalti vectori lui V în modul urmator:

⇒α++α+α==∈α∃⇒⎭⎬⎫∈

nn2211i1

u...uuxincitasan,1iKVinãbazB

VxFie

( ) ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑= == = = ===

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛α=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α=α=α=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛α=

n

1jj

n

1iiji

n

1i

n

1i

n

1i

n

1jjjii

m

1jjjii

)1(

ii

f

liniara

n

1iii vavavaufuf)x(f

∑=

β==∈β∃⇒⎭⎬⎫∈ m

1jjjj

2

v)x(fincatasam,1j;KWinãbazBW)x(fDar

Din unicitatea reprezentării vectorului într-o bază rezultă

24

∑=

α=βn

1iijij a m,1j =∀ ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

α++α+α=β

α++α+α=βα++α+α=β

nmn22m11mm

nn22221212

nn12121111

a...aa...................................................

a...aaa...aa

sistem ce dă legatura dintre coordonatele lui x în baza B1 şi coordonatele lui f(x) în baza B2

adică reprezintă aplicaţia f căutată.

Relaţiile din sistemul anterior se numesc ecuaţiile analitice ale aplicaţiei f. Fie

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

α

α=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

β=

1

n

1

2

m

1

BinxluilecoordonatecuãcoloanvectorulX

Bin)x(fluilecoordonatecuãcoloanvectorulY

M

M

AXY = numită reprezentarea matriceală a lui f.

4.2.2. Izomorfismul dintre spatiul vectorial al aplicaţiilor liniare dintre două spaţii fixate

şi spaţiul vectorial al matricilor de o anumită dimensiune.

Notăm cu L(V, W)= {f : V → W/ f liniară}

PROPOZIŢIE Fie L(V, W) cu operaţiile de adunare a funcţiilor şi înmulţire a funcţiilor cu

scalari este un subspaţiu vectorial al spaţiului WV.

Demonstratie Fie α, β∈K şi f,g∈L(V, W). Sa demonstrăm că αf + βg ∈L(V, W).

Fie α1, α2 ∈ K x1 , x2 ∈V.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( ) ãliniarestegfxgfxgfxgxfxfxfxgxg

xfxfxxgxxfxxgf

2211

2221112211

2211

g,f

lin221122112211

β+α⇒β+αα+β+αα==β+αα+β+αα=α+αβ+

+α+αα=α+αβ+α+αα=α+αβ+α

PROPOZIŢIE

Aplicaţia Ψ : L(V, W) → Mmn(K) definită prin ψ(f) = A , unde A este matricea

asociată lui f în două baze fixate din V, W , este un izomorfism de spaţii vectoriale.

Demonstratie ψ este injectivă. Fie f,g∈L(V, W) astfel încit ψ(f) = ψ(g) ⇔ A=B, A,B fiind

matricile asociate lui f,g în cele două baze fixate din V, W respectiv. Considerăm relaţiile

25

y = f(x) , z = g(x) în reprezentarea lor matriceală Y = A X , Z = B X ⇒ Y = Z , deci f(x) =

g(x) ∀ x∈V ⇒ f = g

ψ este surjectivă ∀ A ∈ Mmn(K) , ∃ f : V → W liniară definită prin Y=AX ⇒ ψ(f) = A ⇒ ψ

surjectivă.

ψ este liniară ⇔ ∀ α,β∈K, ∀f,g∈L(V, W) să avem ψ(αf+βg) = αψ(f)+βψ(g)

Fie ψ(f) = A = (aij)mn şi ψ(g) = B = (bij)mn

Să determinăm matricea asociată lui αf + βg în bazele fixate. Calculăm pentru aceasta

(αf + βg) (ui)

( )( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

β+α=β+α=β+α=β+αn

1j

n

1j

n

1jjjijijjijjiiii vbavbvaugufugf

matricea asociată αf + βg va fi αA + βB ⇒ ( ) )g()f(BAgf Ψβ+Ψα=β+α=β+αΨ

4.3. TRANSFORMĂRI LINIARE PE SPAŢII VECTORIALE

(ENDOMORFISME)

DEFINIŢIE Se numeste transformare liniară (operator liniar sau endomorfism) pe V,

orice aplicaţie liniară f : V → V

Observatie Toare rezultatele obţinute pentru aplicaţii liniare, răman valabile şi pentru

transformarile liniare cu deosebire că matricea asociată lui f în nişte baze fixate este pătratică

(m = n).

4.3.1 Modificarea matricei unei transformari liniare la o schimbare de baze.

Fie f : V → V o transformare liniară , B1 = {u1,…,un} , B2 = {v1,…,vn} baze în V.

PROPOZIŢIE La trecerea de la baza B1 la baza B2 a lui V, matricea A asociată lui f în baza

B1 este legată de matricea A’ asociată lui f în baza B2 prin relaţia ACC'A 1−= , unde C este

matricea de trecere de la B1 la B2.

Demonstratie Fie X, X’ vectorii coloană cu coordonatele lui x în B1, B2 respectiv.

Fie Y,Y’ vectorii coloană cu coordonatele lui f(x) în B1, B2 respectiv .

f admite reprezentarea matriceală Y = AX în B1, şi Y’ = A’X’ în B2 .

Dacă C este matricea de trecere de la B1 la B2 , atunci legatura dintre coordonatele lui x

şi f(x) în cele două baze va fi 'CYY'CXX

==

26

Înlocuim de X şi Y în relaţia

⇒⎭⎬⎫

==

⇒=⇒=−

−

'X'A'Y'ACXC'Y

)'CX(A'CYAXY1

C 1 ACC'A 1−=

4.3.2 Inelul endomorfismelor, grupul automorfismelor unui spaţiu vectorial

PROPOZIŢIE

Mulţimea transformarilor liniare ale unui spatiu vectorial V, notată cu

Endk(V)=L(V,V) , cu operaţiile de adunare a funcţiilor şi compunere a funcţiilor , capată o

stuctură de inel.

Demonstratie (Endk (V), +) este grup abelian

Compunerea funcţiilor este asociativă, are element neutru 1v(x) = x, este distributivă

faţă de adunare

( ) ( ) ( ) ( )hfgf)hg(f)x)(hf(

)x)(gf()x(hf)x(gf)x(h)x(gf)x)(hg(f)x))(hg(f(f

liniara

oooo

oo

+=+⇒+

+=+=+=+=+

PROPOZIŢIE

Multimea automorfismelor unui spaţiu vectorial V cu operaţia de compunere a

funcţiilor capătă o structură de grup , notat cu GL(V) şi numit grupul liniar asociat lui V.

DEFINIŢIE Se numeste algebra liniară pe spaţiul V studiul proprietăţilor vectorilor care

rămân invariante la aplicarea automorfismelor grupului liniar.

PROPOZIŢIE

O transformare liniară f∈ EndkV este automorfism ⇔ det A ≠ 0

PROPOZIŢIE Are loc izomorfism de grupuri GL (V) ≈GL(n,K) , unde GL(n,K) este

grupul matricelor pătratice inversabile de dimensiune ”n”.

Observatie Datorită acestui izomorfism , dacă automorfismului f îi corespunde matricea A şi

lui g îi corespunde B, atunci lui f-1 îi corespunde A-1 şi lui g o f îi corespunde BA.

5 . SUBSPAŢII INVARIANTE . VALORI SI VECTORI PROPRII 5.1. SUBSPAŢII INVARIANTE.

Fie f : V → V o transformare liniară.

DEFINIŢIE Un subspaţiu L a lui V se numeste invariant la f dacă f(L) ⊂ L ⇔∀ x∈L ⇒

f(x)∈L

27

EXEMPLE 1° L = {θ} este invariant la orice f : V → V (transformare liniară) pentru că f(θ) = θ.

2° Dacă f : V → V este transformarea nulă ,f(x) = θ, ∀x∈V atunci orice subspaţiu L al lui V

este invariant la f pentru că f(L) = {θ}⊂L.

3° Dacă fλ : V → V fλ(x) = λx, λ∈K fixat este omotetia de raport λ , atunci orice

subspaţiu L al lui V este invariant la f pentru că ∀ x∈L, avem fλ(x) = λ x ∈ L.

4° Dacă 1v : V → V; 1v (x) = x este transformare identică, atunci orice subspaţiu L al lui V

este invariant la 1v pentru că 1v(L) = L ⊂ L.

5.2. VALORI ŞI VECTORI PROPRII ASOCIAŢI UNEI TRANSFORMARI

LINIARE

Fie V/K spaţiu vectorial , f : V → V o transformare liniară şi B o bază fixată în V.

DEFINITIE Se numeşte valoare proprie asociată transformarii f orice scalar λ∈K, care are

proprietatea că există cel putin un vector x∈V, x≠θ astfel încât f(x) = λx.

DEFINIŢIE Se numeşte vector propriu asociat valorii proprii λ, orice vector nenul din V

ce satisface relaţia f(x) = λx.

Metoda de determinare a valorilor şi vectorilor proprii

Fie f : V → V o transformare liniară , B bază fixată în V , A matricea lui f în baza B , Y

= A ⋅ X expresia matriceală a lui f ,unde X ,Y sunt vectori coloană cu coordonatele lui x, f(x)

în baza B ,respectiv.

Relaţia ce defineste valorile şi vectorii proprii f(x) = λX devine AX = λX ⇔AX - λInX

= θ ⇔ ( ) θ=λ− XIA n

Relaţia din chenar este un sistem liniar omogen. Pentru a exista valori proprii trebuie ca acest

sistem omogen să admită soluţii nebanale, adică trebuie ca determinantul sistemului să fie nul

⇔ ( ) 0IAdet n =λ− care este o ecuaţie de grad n în parametrul λ ale cărei soluţii vor fi

valorile proprii asociate lui f.

DEFINIŢIE Ecuaţia ( ) 0InAdet =λ− se numeşte ecuaţia caracteristică a lui f.

DEFINIŢIE Mulţimea valorilor proprii asociate lui f se numeşte spectrul lui f şi se notează

cu { }n21 ,...,,)A(Spec)f(spec λλλ== .

28

Vectorii proprii corespunzatori unei valori proprii λ se determină ca fiind soluţiile

nebanale ale sistemului omogen ( ) θ=λ− XIA n .

Observatie Fiecărei valori proprii ii corespunde o familie infinită de vectori proprii.

DEFINIŢIE Polinomul )IA(det)(P)(P nAf λ−=λ=λ se numeşte polinom caracteristic

asociat lui f.

PROPOZIŢIE (invarianta polinomului caracteristic la o schimbare de baze).

Polinomul caracteristic Pf (λ) este invariant la trecerea de la o bază la alta în V.

Demonstratie Fie B1, B2 baze în V , f : V → V transformare liniară , A, A’ matricea lui f în

baza B1, B2 respectiv, iar C matricea de trecere de la B1 la B2. Ştim că legatura dintre

matricile A’, A este ACC'A 1−= .

Fie PA (λ) = det (A-λ In) polinomul caracteristic în baza B1 şi PA’(λ)= det(A’- λ In)

polinomul caracteristic în baza B2 . Atunci

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) )(PIAdetCdetIAdetCdet

CIACdetCICACCdetIACCdetI'Adet)(P

Ann1

n1

n11'

n1

n'A

λ=λ−=⋅λ−⋅=

=λ−=λ−=λ−=λ−=λ

−

−−−−

PROPOZIŢIE Mulţimea vectorilor proprii asociaţi unei valori proprii λ a lui f , împreună cu

vectorul nul formează un subspaţiu vectorial al lui V, invariant la f şi notat cu Vf (λ).

Demonstratie Fie α, β ∈ K, x,y∈Vf (λ) . Să demonstrăm că αx + βy ∈ Vf (λ)

x∈Vf (λ) ⇒ f(x) = λ x , y∈Vf (λ) ⇒ f(y) = λ y

Calculăm f (αx + βy) = α f(x) + β f(y) = α λx + β λy = λ (αx + βy) ⇒ αx + βy ∈ Vf (λ) ⇒

Vf (λ) este subspaţiu în V.

Vf (λ) este invariant la f pentru că: ∀ x ∈ Vf (λ) ⇒ f(x) = λx ∈ Vf (λ).

DEFINIŢIE Subspaţiul Vf (λ) = {x∈V / f(x) = λ x} se numeste subspaţiul propriu asociat

valorii proprii λ.

PROPOZIŢIE (subspaţiile proprii asociate la doua valori proprii distincte au în comun

doar vectorul θ).

Fie λ1 , λ2 valori proprii pentru f cu λ1 ≠ λ2 ⇒ Vf (λ1) ∩ Vf (λ2) = {θ}

29

Demonstratie Fie

( ) θxxxx)x(f)(Vxx)x(f)(Vx

)(V)(Vx 212122f

11f2f1f =λ−λ⇒λ=λ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

λ=⇒λ∈λ=⇒λ∈

→λ∩λ∈

Dar λ1 ≠ λ2 ⇒ x = θ

PROPOZIŢIE (vectorii proprii independenţi asociaţi la valori proprii distincte).

Fie f : V → V transformare liniară, λ1, …, λp ∈ K valori proprii pentru f distincte două

cate două , iar x1, x2 ,… ,xp vectori proprii corespunzatori valorilor proprii date ,

respectiv.Atunci sistemul de vectori S ={x1, …, xp } este liniar independent.

Demonstratie Inducţie după p.

Pentru p = 1 , λ1 este valoare proprie pentru f , x1 este vector propriu asociat lui λ1 , deci

x1 ≠ θ ⇒ S = {x1} este liniar independent.

Presupunem afirmaţia adevărată pentru ”p-1” şi o demonstrăm pentru ”p”.

Fie λ1 ,…, λp valori proprii distincte şi x1 ,…, xp vectorii proprii asociaţi.Presupunem S

liniar dependent ,adică există αi ∈ K, p,1i = nu toţi nuli aşa încât

α1 x1 +…+αp-1 xp-1 + αp xp = θ. (1)

Dacă αp = 0 (1) devine α1 x1 +…+αp-1 xp-1 = θ , dar din ipoteza de inducţie x1, …, xp-1 sunt

liniari independenţi ⇒ α1 = α2 = … = αp-1 = 0 (contradicţie cu dependenţa lui S) ⇒αp ≠ 0.

Aplicând f relaţiei (1) ⇒ α1 f(x1) + α2 f(x2) + … + αp-1 f(xp-1) + αp f(xp) = θ ⇒

⇒ α1λ1x1 + … + αp-1 λp-1 xp-1 + λp αp xp = θ (2)

Înmulţim relaţia (1) cu λp şi o scădem din (2) pentru a elimina ultimul termen

α1(λ1 - λp) x1 + α2(λ2 - λp)x2 + … + αp-1 (λp-1 - λp) xp-1 = θ

Din independenţa vectorilor x1 ,…, xp-1 ⇒ αi(λi - λp) = 0 , ∀ 1p,1i −=

Dar λi ≠ λp , ∀ 1p,1i −= ⇒ αi= 0 , ∀ 1p,1i −= ⇒ (1) devine αp xp = θ

Dar αp ≠ 0 ⇒ xp = θ , contradicţie cu definiţia vectorilor proprii ⇒ S liniar independent.

PROPOZIŢIE

Dimensiunea subspaţiului propriu Vf (λ) asociat valorii proprii λ a lui f este cel mult egală

cu ordinul de multiplicitate al rădăcinii λ in ecuaţia caracteristică.

Notam cu O(λ) ordinul de multiplicitate a rădăcinii λ în ecuaţia caracteristică.

30

Demonstratie Fie O(λi) = m şi dimk Vf (λi) = k, unde λi este o valoare proprie fixată a lui f.

Să demonstrăm că k ≤ m.

Cum O(λi) = m ⇒ Pf (λ) = (λ-λi)m . q (λ), unde q(λi) ≠ 0. Cum dimk Vf (λi) = k, fie

B1= {v1, v2, …, vk) o bază in Vf (λi).

Prelungim B1 la o bază B2 = {v1, v2 ,…,vk+1, …, vn } a lui V. (din Teorema schimbului).

Matricea asociată lui f în baza B2 este

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λλ

=

+

+

+

+

nn1nk

kn1kki

n21k2i

n11k1i

2B

aa0000

aa000

aa000aa000

A

LL

LLLLLLLL

LL

LLLLLLLL

LL

LL

,

deoarece f(vj) = λi vj ∀ k,1j = , vj fiind vectori proprii asociaţi valorii proprii λi.

Pf (λ) = det (AB2 - λ In) = (λ- λi)k ⋅ H(λ) ⇒ k ≤ m, deoarece H(λ) poate să conţină factori de

forma (λ - λi)p.

5.3. DIAGONALIZAREA UNEI TRANSFORMARI LINIARE

Fie V/K spaţiu vectorial, f : V → V o transformare liniară.

DEFINIŢIE Spunem că transformarea liniară f admite formă diagonală (are reprezentare

diagonal-canonică) dacă există o bază B a lui V în care matricea asociată lui f are forma

diagonală.

PROPOZIŢIE

Transformarea liniară f : V → V este diagonalizabilă ⇔ (∃) o bază a lui V alcatuită numai din

vectori proprii.

Demonstratie ”⇒” f diagonalizabilă ⇒ ∃ B bază în V, B = {u1, u2, … , un} astfel încât

matricea asociată lui f în baza B este

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn

22

11

B

b000

00b0000b

A

L

LLLLL

LLLLL

L

L

31

Din modul de determinare a matricii asociate lui f în baza B ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=⋅=

nnnn

2222

1111

ub)u(f...........................ub)u(fub)u(f

⇒ u1, u2,

…, un sunt vectori proprii pentru f , corespunzatori respectiv valorilor proprii b11, b22 , … , bnn

.

”⇐” ∃ λ1 ,…, λn ∈ K valori proprii corespunzătoare, astfel încât f(u1) = λ1 u1 , f(u2) = λ2 u2

,…, f(un) = λn un ⇒ matricea asociată lui f în baza B va fi

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λλ

λ

n

3

2

1

000

000000000

L

LLLLL

L

L

L

⇒

f diagonalizabilă.

Observatie Forma diagonală a unei transformari liniare se obţine într-o bază de vectori

proprii, iar pe diagonala matricii ,corespunzatoare acestei forme, se găsesc valorile proprii ale

lui f.

PROPOZIŢIE Transformarea liniară f : V → V este diagonalizabilă ⇔

1° λi ∈ K, n,1i = şi

2° dimk Vf (λi) = θ (λi), n,1i =

CONSECINŢĂ Dacă valorile proprii ale transformarii liniare f sunt rădăcini simple ale

ecuaţiei caracteristice, atunci dimk Vf (λi) = 1 = O (λi) ⇒ f este diagonalizabilă. În plus, spatiul

V devine Vf (λ1) ⊕ Vf (λ2) ⊕ Vf (λ3) ⊕ … ⊕ Vf (λn).

Observatie Baza în care f are forma diagonală este reuniunea bazelor subspaţiilor proprii

corespunzatoare.

32

6 SPATII EUCLIDIENE (cu produs scalar)

6.1 DEFINITII,EXEMPLE,NORMAREA SI METRIZAREA UNUI SPATIU

EUCLIDIAN

Fie V/K spatiu vectorial, K = R,C

DEFINITIE Se numeste produs scalar pe V orice aplicatie <⋅ , ⋅ > : V x V → K cu

proprietatile:

1° < x,x > ≥ 0 , ∀ x∈V si < x,x > = 0 ⇔ x = θ (axioma de pozitivitate si nulitate).

2° < x,y > = >< x y, , ∀x,y ∈V (simetrie complexa).

3° <x1+x2, y> = <x1,y > + <x2,y > , ∀ x1, x2, y ∈ V (aditivitatea variabilei I).

4° < αx,y > = α<x,y> , ∀ α∈K, ∀ x,y∈V (omogenitatea variabilei I).

DEFINITIE Un spatiu vectorial V/K inzestrat cu un produs scalar se numeste spatiu

Euclidian.

PROPOZITIE (proprietati ale produsului scalar).

Daca < ⋅ , ⋅ > : V x V → K este un produs scalar pe V atunci:

5° <x,y1+y2> = <x,y1> + <x,y2> , ∀ x, y1, y2 ∈V (aditivitatea variabieli II).

6° <x, β> = β <x,y> ,∀ β∈K, ∀ x,y∈V (omogenitate complexa a variabilei II).

7° <θ, y> = <x, θ> = 0 , ∀ x,y ∈ V.

8° ∑∑∑ ∑= == =

βα=βαn

1i

m

1jjiji

n

1i

m

1jjjii y,xy,x

Demonstratie

5° 21

2

21

3

21

2

21 y,xy,xx,yx,yx,yyyy,xo00

+=+=+=+ .

6° y,xx,yy,xoo 42β=β=β .

7° Luam α = 0 in 4° si β = 0 in 6°

8° Inductie.

EXEMPLE 1) Rn⏐R spatiu vectorial. Definim <⋅ , ⋅> : Rn x Rn → R,

∀ x = (x1, x2 ,…,xn) , y = (y1, y2,…,yn) : <x,y> = x1 y1 + x2 y2 +…+xn yn = ∑=

n

1̀iii yx

2) Notam: C([a,b]) = {f : [a,b] → R⏐ f continua}. Definim aplicatia

33

<⋅ , ⋅> : C([a,b]) x C([a,b]) →R prin ∀f, g ∈ C[a,b]) avem <f,g> = dx)x(g)x(fb

a∫

PROPOZITIE (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz) (C-B-S)

In orice spatiu Euclidian V/K are loc inegalitatea:

y,yx,xy,x2

⋅≤ .

Demonstratie Pornim cu 0yx,yx ≥α+α+ conform axiomei 1° ⇔

⇔ 0y,yx,yy,xx,x ≥αα+α+α+ ⇔

⇔ 0y,yx,yy,xx,x ≥α⋅α+α+α+ ⇔

⇔ 0y,yy,xy,xx,x ≥αα+α+α+ .

Luam y,yy,x

−=α Relatia devine:

0y,yy,y

y,x

y,yy,x

y,xy,yy,x

y,xy,y

y,xx,x ≥⋅⋅+⋅−⋅−

2

y,xy,yx,x ≥⋅

NORMAREA SPATIILOR EUCLIDIENE Fie V/K spatiu Euclidian.

DEFINITIE Se numeste norma definita de produsul scalar pe V, aplicatia RV: →⋅

data de Vx,x,xx ∈∀= .

x se numeste norma elementului x sau lungimea elementului x.

PROPOZITIE

Orice spatiu Euclidian este spatiu vectorial normat (norma definita de produsul scalar

este o norma in sens general).

Demonstratie Trebuiesc verificate axiomele:

1) x ≥ 0 , ∀x∈V si x =0 ⇔ x=θ.

2) Vx,K,xx ∈∀∈α∀⋅α=α

3) Vy,x,yxyx ∈∀+≤+

34

1) θ=⇔=⇔=≥= x0x,x0x;evident0y,xx

2) xx,xx,xx,xx,xx 2 ⋅α=α=α=αα=αα=α

3) =+++=++=+ y,yx,yy,xx,xyx,yxyx

= ≤+⋅+=+++ y,yy,xRe2x,xy,yy,xy,xx,x

≤ y,yy,yx,x2x,xy,yy,x2x,x)S.B.C(

+⋅+≤++ =

= yxyyx2x 22 +=+⋅+ .

METRIZAREA UNUI SPATIU EUCLIDIAN PROPOZITIE Orice spatiu Euclidian este metrizabil.

Demonstratie Se defineste metrica d : V x V → R prin d(x,y) = yx − , ∀ x,y∈V.

6.2 BAZE ORTOGONALE , BAZE ORTONORMATE , SUBSPATIUL

ORTOGONAL.

Fie V/K spatiu Euclidian.

DEFINITIE Spunem ca doi vectori x,y∈V sunt ortogonali daca <x,y> = 0.

Notam x ⊥ y.

DEFINITIE Doua sisteme de vectori din V se numesc ortogonale daca orice vector din

primul sistem este ortogonal pe orice vector din sistemul al doilea.

Fie x∈V si V’⊂ V subspatiu.

DEFINITIE Spunem ca x este ortogonal pe V’ si notam x ⊥ V’ daca x este ortogonal pe

orice vector din V’ : x ⊥ y , ∀ y∈V’.

DEFINITIE Fie V1, V2 subspatii ale lui V. Spunem ca V1 este ortogonal pe V2 si notam

V1⊥V2 daca ∀ x∈V1 , ∀ y∈V2 , avem x ⊥ y .

Observatii

1° x ⊥ V’ , V’⊂ V subspatiu ⇔ este ortogonal pe o baza a lui V’.

2° V1 , V2 ⊂ V subspatii V1 ⊥ V2 ⇔ orice vector dintr-o baza a lui V1 este ortogonal pe orice

vector dintr-o baza a lui V2 .

3° θ este ortogonal pe orice vector.

35

PROPOZITIE (independenta sistemelor ortogonale ce nu contin θ)

Daca V/K este spatiu Euclidian, S = {x1 , x2 ,…,xn}⊂ V un sistem ortogonal de

vectori, cu θ ∉ S, atunci S este liniar independent.

Demonstratie Fie α1x1 + α2x2+…+αnxn = θ. Aplicam in dreapta

0xx,x,x

...x,x...x,xx,x,x...xxn,1ix,2

iiiinn

iiii11iinn2211i

=α⇔θ=α+

++α++α⇔θ=α++α+α⇒=⋅

Dar tindependenliniaresteSn,1i,00xx i2

ii ⇒=∀=α⇒≠⇒θ≠ .

DEFINITIE O baza B a lui V se numeste baza ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali

doi cate doi.

DEFINITIE O baza B = {u1, u2,…, un } a lui V se numeste baza ortonormata daca este

ortogonala si toti vectorii sai au norma egala cu 1.

Observatie B ortonormata ⇔ ⎩⎨⎧

≠=

=δ=ji,0ji,1

u,u ijji

TEOREMA (de ortonormare Gramm – Schmidt)

Orice spatiu Euclidian admite o baza ortonormata.

Demonstratie Fie B = {u1, u2,…, un } o baza a lui V.

Etapa de ortogonalizare a lui B . Construim o noua baza B1 = {v1, v2,…, vn } definita prin

relatiile

v1 = u1;

v2 = u2 - αv1

v3 = v3-β1v1-β2v2

…………………..

vn = un-γ1v1 …-γn-1 vn-1

Coeficientii acestor reprezentari se vor determina astfel incit vectorii vi sa fie ortogonali

doi cate doi.

v2 ⊥ v1 ⇔ <v2, v1> = 0 <u2- α1v1, v1> = 0 ⇔ <u2, v1> - α <v1, v1> = 0 ⇒ 11

12

v,vv,u

=α

36

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=β−β−

=β−β−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

⊥⊥

0v,vvu

0v,vvu

0v,v

0v,vvvvv

222113

122113

23

13

23

13

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=β

=β

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=β−β−

=β−β−

22

232

11

131

22221123

12211113

v,vv,u

v,vv,u

0v,vv,vv,u

0v,vv,vv,u

vu ⊥ vi , ⇔−=∀=⇔−= 1n,1i0v,v1n,1i in

0v,v...vvu i1n1n2211n =γ−−γ−γ−⇔ −− ⇔−=∀ 1n,1i

0v,vv,u0v,v...v,v...v,vv,u iiiini1n1niiii11in =γ−⇔=γ−−γ−−γ− −−

1n,1iv,vv,u

ii

ini −==γ

Etapa de normare a lui B1 Se obtine baza ortonormata B2 = {e1, e2, …, en } prin operatiile

n,1i,vve

i

ii == .

Observatie B1 este baza deoarece transformarile la care am supus baza B pentru a obtine pe

B1 sunt transformari elementare, deci nu modifica caracterul de sistem de generatori, iar

independenta liniara a lui B1 este asigurata de propozitia anterioara. Analog pentru B2.

PROPOZITIE (subspatiul ortogonal pe un subspatiu dat)

Fie V/K spatiu Euclidian, V1 ⊂ V subspatiu vectorial ⇒ (∃) L ⊂ V subspatiu vectorial

cu L ⊥ V1 si V1 ⊕ L = V.

Demonstratie Fie B1 = {u1, u2,…,up } o baza a subspatiului V1. Prelungim B1 la o baza

B2 = {u1, u2,…,up, up+1, …, un } a lui V (din teorema schimbului). Definim subspatiul L =

L(up+1,…,un) = subspatiul generat de vectorii up+1,…,un. Desigur, V1 = L(u1,…,up).

Ortonormam baza B2 a lui V si obtinem baza B3 = {e1, e2,…, ep, ep+1,…,en}. Atunci

37

L = L(eP+1,…,en) si V1 = L(e1,…,ep), deoarece prin transformarile elementare ale procesului

de ortonormare sistemele de generatori trec in sisteme de generatori. Cum B3 este ortonormata

⇒ ei ⊥ ej ∀ p,1i = , ∀ j = n,1p + ⇒ V1 ⊥ L.

Evident, V = L + V1 . Sa demonstram ca L ∩ V1 = {θ}.

Fie x ∈ L ∩ V1 ⇒ nn1p1p

pp11

e...ex

e...e x

α++α=

α++α=

++

nn1p1p

pp11

e...e

e...e

α++α=

=α++α→

++

⇒θ=⇒==α⇒⎭⎬⎫θ=α−−α−α++α

⇒ ++ xn,1i,0tindependenliniarB

e...ee...ei

3

nn1p1ppp11

1VLV ⊕=

7 . FORME LINIARE, BILINIARE, PATRATICE

7.1 FORME LINIARE

Fie V/K spatiu vectorial.

DEFINITIE Se numeste forma liniara orice aplicatie liniara f : V → K, unde K este privit

ca spatiu vectorial peste el insusi.

PROPOZITIE Fie f : V → K o aplicatie. Sunt echivalente.

1) f este forma liniara

2) f(x+y) = f(x) + f(y) , ∀ x,y ∈ V

f(αx) = α f(x) , ∀ α ∈ K, ∀ x∈V

3) f(αx+βy) = α f(x) + β f(y), ∀ α, β ∈ K, x,y∈V

38

Expresia analitica a formei liniare; matrice asociata, expresie matriceala

Fie V/K spatiu vectorial, B = {u1, u2…,un } baza in V, f : V → K forma liniara. Fie x

∈ V ⇒ ∑ ∑∑= ==

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⇒=

n

1i

n

1iii

n

1iiiii )u(fxuxf)x(fuxx Notam

⇒== n,1i),u(fa ii ∑=

=n

1iii xa)x(f se numeste expresie analitica a lui f.

DEFINITIE Scalarii ai n,1i = se numesc coeficientii formei liniare, iar matricea

A = (a1,a2…an ) se numeste matricea formei f iu baza B.

Notam

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

x

xx

XM

vectorul coloana cu coordonatele lui x in baza B ⇒ AX)x(f =

numita reprezentarea matriceala a lui f.

SPATIUL DUAL AL UNUI SPATIU VECTORIAL

Fie V/K spatiu vectorial, B = {u1, u2,…,un } baza in V.

Notam cu V* = {f : V → K ⏐ f liniara }

PROPOZITIE V* este spatiu vectorial peste K cu operatiile de adunare a functiilor si de

inmultire a functiilor cu scalari.

DEFINITIE V* se numeste spatial dual al spatiului V.

PROPOZITIE Spatiul dual V* are aceeasi dimensiune ca si spatiul vectorial V.

Demonstratie Construim in V* o baza B* = {f1, f2,…,fn} unde fi : V → K sunt forme liniare

date de relatiile fi(uj) = δij = ⎩⎨⎧

≠≠

ji,0ji,1

39

B* este sistem liniar independent Fie α1f1 + α2f2 +…+αnfn = θ . Aplicam aceasta

egalitate de functii vectorului uj ∈ B, j = n,1 ⇒

*jjjnnjjjj11 Bn,1j,0)u()u(f...)u(f...)u(f ⇒=∀=α⇒θ=α++α++α este liniar

independent.

B* este sistem de generatori Fie f ∈ V* oarecare. Sa demonstram ca ∃ αi ∈ K, i

= n,1 , asa incat ∑=

α=n

1iii ff . Aplicam aceasta egalitate de functii vectorului uj ∈B,

( ) ⇒α++α++α=⇒=∀ )u(f...)u(f...)u(f)u(fn,1j jnnjjjj11j

*jj Bn,1j,)u(f ⇒=∀=α⇒ este sistem de generatori.

B* baza in V* ⇒ dimk V* = dimk V = n.

DEFINITIE Baza B* a lui V* se numeste baza duala a lui B.

7.2 FORME BILINIARE

Fie V/K spatiu vectorial.

DEFINITIE Se numeste forma biliniara pe V orice aplicatie g : V x V → K care este

liniara in ambele variabile.

PROPOZITIE Fie g : V x V → K o aplicatie. Sunt echivalente:

1) g este forma biliniara;

2) g(x1+x2, y) = g(x1, y) + (x2, y) , ∀ x1, x2, y ∈ V

g(αx, y) = αg(x,y) , ∀ α ∈ K , ∀ x,y ∈ V

g(x, y1+y2) = g(x, y1) + g(x, y2) , ∀ x, y1, y2 ∈ V

g(x, βy) = βg(x,y) , ∀ β∈K , ∀x,y∈V.

40

3) g(αx1 + βx2, y) = αg(x1, y)+βg(x2,y) , ∀ α, β ∈ K , ∀ x1, x2, y ∈ V

g(x, γy1 + δy2) = γg(x1 , y1) + δg(x1, y2) , ∀ γ, δ ∈ K , ∀ x, y1, y2 ∈ V

Expresia analitica a formelor biliniare; matrice asociata; expresie matriceala

Fie B = {u1, u2,…,un} baza in V/K.

Fie x, y ∈ V ⇒ ∑=

=n

1iii uxx , ∑

=

=n

1jjjuyy

( )∑∑∑ ∑=== =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

1jjiji

n

1i

n

1i

n

1jjjii u,ugyxuy,uxg)y,x(g

Notam aij = g(ui, uj). Atunci ∑=

=n

1j,ijiij yxa)y,x(g se numeste expresia analitica a lui g.

DEFINITIE Scalarii aij se numesc coeficientii formei biliniare g, iar matricea A = (aij)nn se

numeste matricea asociata lui g in baza B.

PROPOZITIE Exista o corespondenta bijectiva intre multimea formelor biliniare pe V si

multimea matricilor patratice de ordin n cu elemente din K.

Notam X = T(x1,…,xn), Y = T(y1,…,yn) vectorii coloana cu coordonate lui x,y in B ,

respectiv. Atunci

( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑ ∑∑= = = =

γ

=

γγ⋅=⋅γγ=γ=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==n

1i

n

1j

n

1i

n

1in1

Tn1n1

Tniiii

n

1jjijjiij ...x...xx...x,...,xxyayxa)y,x(g

i

43421

Cum ( ) AXYX)AY()y,x(gAY... TTTn1

T ==⇒=γγ sau g(x,y) = XAY)AY(X TT = care se

numeste expresia matriceala a lui g.

41

Modificarea matricii asociate unei forme biliniare la o schimbare de baze

Fie g : V x V → K forma biliniara; B1 = {u1, u2,…, un}, B2 = {v1, v2,…,vn } baze in

V. Fie x,y∈V si X,Y vectorii coloana cu coordonatele lui x,y respectiv, in baza B1; X’, Y’

vectorii coloana cu coordonatele lui x,y in baza B2; A, A’ matricea asociata lui g in baza B1,

respectiv B2.

Expresia matriceala a lui g va fi g(x,y) = tX AY in baza B1, g(x,y) = tX’A’Y’ in baza

B2.

Dar legatura intre coordonatele lui x , respectiv y in cele doua baze este data de

relatiile X = CX’ si CY’, C fiind matricea de trecere de la B1 la B2. Inlocuind X, Y in

reprezentarea matriceala a lui g in baza B1 obtinem:

( ) ( ) ( ) 'YCAC'X'CYA'CXXAY)y,x(g Tttt ===

Din unicitatea reprezentarii lui g in baza B2 rezulta CAC'A T ⋅⋅=

PROPOZITIE Matricea asociata formei biliniare g se modifica la trecerea de la baza B1 la

baza B2 a lui V dupa formula CACA12 B

TB ⋅⋅= , C fiind matricea de trecere de la B1 la B2.

FORME BILINIARE SIMETRICE

Fie V/K spatiu vectorial, g : V x V → K o forma biliniara.

DEFINITIE

Forma biliniara g : V x V → K se numeste simetrica daca g(x,y) = g(y,x) ∀

x,y∈V.

PROPOZITIE

O forma biliniara g : V x V → K este simetrica ⇔ matricea asociata lui g in orice baza

a lui V este simetrica.

42

Demonstratie

”⇒” g simetrica ⇒ g(x,y) = g(y,x) , ∀ x,y∈V. Daca B = {u1,…, un } este baza in V,

atunci, in particular, vom avea aij = g(ui, uj) = aji ⇒ A = (aij) matricea asociata lui g in baza B

este simetrica.

”⇐” Fie A matricea lui g in baza B si A = TA. Fie x,y∈V, X,Y vectorii coloana cu

coordonatele lui x,y in baza B.

Atunci g(y,x) = TX ⋅ TA ⋅ Y =A

simetrica

TX ⋅ A ⋅ Y = g(x,y) ⇒ g – simetrica.

7.3 FORME PATRATICE

Fie V/K spatiu vectorial, B = {u1,…,un } baza in V.

DEFINITIE

Se numeste forma patratica orice aplicatie liniara h : V → K cu proprietatea ca exista

o forma biliniara simetrica g : V x V → K asa incat h(x) = g(x,x), ∀ x∈V (formele patratice

sunt restrictii ale unor forme biliniare simetrice ).

Reprezentare analitica, matrice asociata, reprezentare matriceala pentru formele patratice

Fie B = {u1, u2,…, un } baza in V, h : V → K forma patratica, g : V x V → K forma

biliniara simetrica cu h(x) = g(x,x).

Din reprezentarea analitica a formei biliniare g : g(x,y) = ∑∑= =

n

1i

n

1jjiij yxa definim

reprezentarea analitica a formei patratice h : ∑∑= =

=n

1i

n

1jjiij xxa)x(h , unde

( )n,1jn,1i,u,uga jiij =

==

Matricea asociata formei patratice h in baza B coincide cu matricea asociata formei

biliniare simetrice g din definitia lui h.

43

Notam ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

n

1

x

xX M ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

n

1

y

yY M vectorii coloana cu coordonatele lui x,y in baza B.

Din reprezentarea matriceala a formei biliniare g : g(x,y) = TX A Y rezulta reprezentarea

matriceala a formei patratice h : XAX)x(h T= .

DEFINITIE

Daca h : V → K este o forma patratica, atunci forma biliniara simetrica g : V x V →

K asociata lui h se numeste polara lui h.

DEFINITIE O forma patratica h : V → K se numeste pozitiv (negativ) definita daca h(x) >

0 (h(x)<0) , ∀ x ≠ θ (h(θ)= 0).

O forma patratica h : V → K se numeste pozitiv (negativ) semidefinita daca h(x) ≥

0 (h (x) ≤ 0) , ∀ x ∈ V .

7.4 ADUCEREA LA FORMA CANONICA A FORMELOR PATRATICE

(BILINIARE SIMETRICE)

Fie V/K spatiu vectorial si h : V → K o forma patratica.

DEFINITIE Spunem ca forma patratica h : V → K (forma biliniara g : V x V → K

) admite reprezentare canonica daca exista o baza B’ a lui V si scalarii λ1, λ2, …, λn ∈K asa

incat h(x) = λ1(x’1)2 +…+λn(x’n)2 ( )'n

'nn

'2

'22

'1

'11 yx...yxyx)y,x(g λ++λ+λ= , unde

'n

'1

,n

'1 y,...,y,x,...,x sunt coordonatele lui x,y in baza B’.

Observatie matricea asociata unei forme patratice adusa la forma canonica are forma

diagonala.

METODE DE ADUCERE LA FORMA CANONICA A FORMELOR PATRATICE

a) METODA GAUSS (de alcatuire a patratelor perfecte)

44

Fie V/K spatiu vectorial, B = {u1,…,un} baza in V, h : V → K o forma patratica, A

matricea asociata lui h in baza B ⇒ reprezentarea analitica a lui h va fi

∑∑= =

=n

1i

m

1jjiij xxa)x(h .

Varianta I Exista aii ≠ 0 (exista 2ix in expresia lui h ).

Presupunem a11 ≠ 0 astfel reindexam variabilele. Supunem forma patratica h la o

procedura de alcatuire de patrate perfecte , urmata de schimbari de variabila in felul

urmator: grupam toti termenii care continpe x1 si alcatuim un patrat perfect cu ei

( )∑ ∑= =

++++=++++=n

2j,i

n

2j,ijiij

2n

'n12

'12111

11jiijn1n12112

2111 xxbxa...xaxa

a1xxaxxa...xxaxa)x(h

(s-au modificat coeficientii)

Facem o schimbare de variabila :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=+++=

nn

22

n'n12

'121111

xy

xyxa...xaxay

M ⇒

∑=

+⋅=n

2j,ijiij

21

11

yybya1)x(h

Grupam toti termenii care contin pe y2 si alcatuim un patrat perfect cu ei, daca b22 ≠ 0.

Obtinem

( )

( ) ∑

∑

=

=

+++++

=+++++=

n

3j,ijiij

2n

'n23

'23222

22

2i

11

n

3j,ijiijn2n23223

2222

21

yycyb...ybybb1y

a1

yybyyb...yybyby21)x(h

Facem schimbarea de variabila

45

∑=

++=⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=+++=

=

n

3j,ijiij

22

22

21

11

nn

33

n'

n23'232222

11

zzczb1z

a1)x(h

yz

yzyb...ybybz

yz

Daca toti aii sunt nenuli, dupa n pasi ajungem la forma canonica a lui h.

Varianta II aii = 0 ∀ i = n,1 (h nu contine nici un 2

ix )

Exista aij ≠ 0. Facem schimbare de variabila ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠=∀=

−=

+=

j,ik,n,1k,yx

yyx

yyx

kk

jij

ji1

In expresia lui h apare termenul ( )( ) ( )2j

2iijjijiij yyayyyya −=−+ .

Trecem acum la varianta I.

Observatie Fiecare schimbare de variabila reprezinta practic legatura dintre coordonatele noi

si coordonatele vechi ale lui x, deci putem determina din aceasta schimbare matricea de

trecere de la baza veche la baza noua. Noua baza se obtine din formula Bnou = TC ⋅ Bvechi .

Dupa n schimbari de baza, gasim baza B’ in care h are expresia canonica.

EXEMPLU

32312123

22

21

3 xx2xx2xx2xxx)x(h,RR:h −−−++=→ . Determinati forma canonica a lui

h cu metoda Gauss.

Solutie

( ) ( ) 322

3213223

223121

21 xx4xxxxx2xxxx2xx2x)x(h −−−=−++−−=

46

Schimbare variabila 1 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=⇒−−=

33

22

32213211

xyxy

yy4y)x(hxxxy

Schimbare variabila 2

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=

+−=−+−=⇒+=

11

323

canonicaforma

23

22

213232

21332

zyzzy

z4z4zzzzz4z)x(hzzy

b) METODA JACOBI. Fie h : V → K o forma patratica, B = {u1,…,un } baza in V,

A = (aij)nn matricea lui h in baza B.

PROPOZITIE Daca toti minorii principali ai matricei A sunt nenuli, atunci h admite

reprezentare canonica ( ) ( ) ( ) ,x...xx)x(h 2'n

n

1n2'2

2

12'1

1

0

ΔΔ

++ΔΔ

+ΔΔ

= − unde Δ0 = 1, Δ1 =

a11, Adet,...,aaaa

n2221

12112 =Δ=Δ , iar '

n'2

'1 x,...,x,x sunt coordonatele lui x∈V in baza in

care h are forma canonica.

Observatie Un minor se numeste principal daca are diagonala sa principala de-a lungul

diagonalei principale a matricii din care face parte.

c) ADUCEREA LA FORMA CANONICA A FORMELOR BILINIARE

SIMETRICE SI A CELOR PATRATICE (metoda valorilor proprii)

TEOREMA Fie g : V x V → R o forma biliniara simetrica si h : V → R forma patratica

asociata. Exista o baza ortonormata a lui V alcatuita din vectorii proprii ai lui g asa incat

g(x,y) = 'n

'nn

'2

'22

'1

'11 yx...yxyx λ++λ+λ si ( ) ( )2'

nn2'

11 x...x)x(h λ++λ= unde n,1ii =λ

sunt valorile proprii ale lui g, iar n,1iy,x 'i

'i = sunt coordonatele lui x,y in baza specificata.

47

Demonstratie Se stie ca exista B o baza ortonormata a lui V in care forma biliniara

simetrica g admite reprezentarea g(x,y) = <f(x),y> unde f : V → V este transformare liniara

simetrica. Alegem baza ortonormata B’ a lui V in care f are forma diagonala (matricea

asociata lui f in baza B’ este

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛λ

λ

=

000

0000

A 2

1

L

LLLLL

L

L

) ⇒ in baza B’ avem:

( ) ( ) =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛λ

λ

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅==

n

12

1

n1TTTTT

y

y

000

0000

x...xYAXYAXYAXY'Xy),x(f)y,x(g M

L

LLLLL

L

L

= ( ) nnn111

nn

11

n1 yxyxy

yx...x λ++λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ⋅ LM unde X’ = AX este reprezentarea analitica a lui

f in baza B’.

h(x) = g(x,x) = 2nn

211 x...x λ++λ .

Procedeul practic de aducere la forma canonica prin metoda valorilor proprii.

1) Determinam matricea asociata lui h intr-o baza oarecare.

2) Determinam valorile proprii ale lui h : λ1 , λ2 , …, λn .

3) Forma canonica este 2nn

211 x...x)x(h λ++λ= .

4) Determinam subspatiile proprii si cate o baza in fiecare subspatiu.

5) Baza in care h are expresia canonica se obtine reunind bazele subspatiilor proprii si

ortonormind sistemul de vectori astfel obtinut.

48

5. PRODUSE CU VECTORI

5.1. Produsul scalar a doi vectori. Structura de spatiu Euclidian a lui E3

Consideram aplicatia : · REE 33 →× definite prin )bacos(baba ⋅⋅=⋅

PROPOZITIE Aplicatia definită mai sus este un produs scalar pe 3E , deci ( 3E , ⋅ ) este

spatiu Euclidian real.

PROPOZITIE Produsul scalar are urmatoarele proprietati:

1) 3Eb,aabba ∈∀⋅=⋅

2) 3Ec,b,a,bcbab)ca( ∈∀+=+

3) 3Eb,a,R)b(a)ba(b)a( ∈∀∈α∀α=α=⋅α

4) 0ba ≥⋅ si 0aa =⋅ θ=⇔ a

Demonstratie Observam mai intai ca

aprbbpra)b,acos(bababa

⋅==⋅=⋅

Atunci

1) 3Eb,aabba ∈∀⋅=⋅ este evidenta

2) 3Ec,b,a,bcbab)ca( ∈∀+=+ adica distributivitatea produsului fata de adunarea

vectorilor

bcbacprbaprb)cprapr(b)ca(prbcoscabb)ca(bbbbb

⋅+⋅=⋅+=+=+=ϕ+⋅=⋅+

3) 3Eb,a,R)b(a)ba(b)a( ∈∀∈α∀α=α=⋅α

)b(a)b(prabpra)ba(aprb)a(prbb)a(aabb

α=α•=α=α=α=α=⋅α

4) 0ba ≥⋅ si 0aa =⋅ θ=⇔ a

0a0cosaaaa 2 ≥==⋅

Observatie 22 aa =

θ=⇔=⇔=⇔=⇔=⋅ a0a0a0a0aa 22

Observatie. E3 fiind spatiu Euclidian real in el au loc relatiile specifice spatiului Euclidian :

49

2aaaa =⋅=

babacos⋅

⋅=ϕ pentru θ≠θ≠ b,a cu [ ]π∈ϕ ,0 defineste unghiul celor doi vectori.

baba +≤+ inegalitatea triunghiulara

( ) 222baba ⋅≤⋅ inegalitatea C – B – S (Cauchy-Buniacovski-Schvartz )

Semnul produsului scalar este dat de cos ϕ :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∈ϕ⇔>ϕ⇔>⋅2

,00cos0ba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

∈ϕ⇔<ϕ⇔<⋅ ,2

0cos0ba

PROPOZITIE

ba ⋅ = 0 ⇔ θ=a sau θ=b sau ba ⊥

CONSECINTA

Doi vectori sunt ortogonali daca si numai daca produsul lor scalar este nul.

Expresia analitica a produsului scalar

Consideram in 3E baza ( )k,j,iB = ortonormata si orientata pozitiv, unde

1kk

1jj

1ii

=⋅

=⋅

=⋅

0ik

0kj

0ji

=⋅

=⋅

=⋅

sau

100k010j001ikji⋅

Fie 3Eb,a ∈ cu kbjbibb

kajaiaa

321

321

++=

++= , atunci

( )( )

332211

332313322212

312111321321

bababa

kkbajkbaikbakjbajjbaijba

kibajibaiibakbjbibkajaiaba

++=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅=++++=⋅

332211 babababa ++=⋅

50

Observatie

23

22

21 aaaa ++= iar

23

22

21

23

22

21

332211

bbbaaabababacos

++⋅++

++=ϕ

5.2. Produsul vectorial a doi vectori ba ×

DEFINITIE. Se numeste produsul vectorial al vectorilor 3Ebsia ∈ b

luati in aceasta ordine, un vector, notat cu ba × care este a

definit astfel :

- directia vectorului ba × (dreapta suport) este perpendiculara pe bsia , adica ba ×

⊥ a si ba × ⊥ b

- sensul vectorului ba × este sensul de inaintare al burghiului drept ce roteste pe a

peste b pe drumul cel mai scurt, adica astfel incat baza (a, b , ba × ) sa fie orientata

pozitiv

- marimea vectorului ba × este data de formula

ϕ⋅=× sinbaba , [ ]π∈ϕ ,0 fiind ungiul dintre a si b , adica este aria

paralelogramului determinat de reprezentantii vectorilor bsia .

PROPOZITIE

Proprietatile produsului vectorial sunt :

1) este anticomutativ adica

abba ×≠× { }θ∈∀ \Eb,a 3

avand loc relatia ( )abba ×−=×

2) este distributiv fata de adunarea vectorilor adica

( ) 3Ec,b,a,cabacba ∈∀×+×=+×

3) ( ) ( ) ( ) 3Eb,aR,bababa ∈∀∈α∀α×=×α=×α

4) θ=θ×=×θ aa , 3Ea∈∀

5) ( ) ( )2222bababa ⋅−⋅=× 3Eb,a, ∈∀ identitatea lui Lagrange

51

Demonstratie

1) absibab,aab

b,aba××

⎪⎭

⎪⎬⎫

⊥×

⊥× au aceeasi directie

ba × = aria paralelogramului = ab× ⇒ ba × si ab× au aceeasi marime.

( )( )( )

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

×

×

×

negativorientatabazaoesteba,b,a

pozitivorientatabazaoesteab,a,b

pozitivorientatabazaoesteba,b,a

⇒ ba × si ab× au sensuri opuse

⇒ ba × = - ( ab× )

3) Directia lui α a coincide cu directia lui a

⇒ α ba × are directia lui ba ×

Directia lui αb coincide cu directia lui b ⇒ cei trei vectori au aceeasi directie

⇒ a x αb are directia lui ba ×

α( ba × ) are directia lui ba ×

Sens Pentru α > 0

( ) baluisensularebabaluisensularebabaluisensulareba

bluisensulareb

aluisensularea

××α×α×××α

⇒α

α

⇒ cei trei vectori au acelasi sens

Pentru α < 0 analog

Pentru α = 0 evident

Marime

( ) α⋅α=α⋅α=×α sinbab,asinbaba

unde ϕ este unghiul directie αa si b adica ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<α−π

>α=ϕ

0,b,a

0,b,a

( )ϕα=ϕα=α×

α⋅α=×α

sinbasinbaba

sinbaba

52

⇒ cei trei vectori au marimile egale.

4) Se obtine din 3° luand α = 0

5) ( ) ( ) =ϕ=ϕ=×=× 222222sinbasinbababa

( ) ( )22222222222babacosbabacos1ba ⋅−=ϕ−=ϕ−=

PROPOZITIE

bsiasaubsauaba θ=θ=⇔θ=× sunt coliniari.

Demonstratie.

⇒ ( ) 0b,asinba0baba =⋅⋅⇒=×⇔θ=×

⇒ θ=a sau θ=b sau sin ( ) 0b,a =

⇓

( ) 0b,a = sau π ⇒ b,a coliniare

⇐ Pentru θ=a si θ=b este evidenta relatia. Presupunem θ≠a si θ≠b b,a

coliniare ⇒ ∃ α∈R asa incat ba α= ( ) ( ) θ=θ⋅α=×α=×α=× bbbbba

Expresia analitica a produsului vectorial

Fie in E3 baza B = { }k,j,i ortonormata deci cu

θ−θ−

−θ

=×=×=×

θ=×θ=×θ=×

ijkikjjkikjix

adicajikikj

kji

kkjjii

Fie 3Eb,a ∈ cu kbjbibb

kajaiaa

321

321

++=

+==

( ) ( ) =++×++=× kbjbibkajaiaba 321321

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+×+×+×+×+× jjbaijbakibajibaiiba 2212312111

( ) ( ) ( ) ( ) =×+×+×+×+ kkbajkbaikbakjba 33231332

= ( ) ( ) ( ) =−+−−− kbabajbabaibaba 122113312332

53

321

321

bbbaaakji

= unde determinantul se calculeaza dezvoltandu-se numai dupa prima linie.

5.3. Produsul mixt a trei vectori

DEFINITIE. Aplicatia ( ) REEE.,.,. 333 →××= definite prin ( ) ( ) cbac,b,a ⋅×= se

numeste produsul mixt al celor trei vectori luati in ordinea data.

PROPOZITIE Produsul mixt al vectorilor c,b,a liniar independenti este

1) pozitiv ⇔ baza ( c,b,a ) este orientata pozitiv si este

2) negativ ⇔ baza ( c,b,a ) este orientata negativ.

Demonstratie ⇒ ( c,b,a ) > 0 ⇒ 0c)ba( >⋅× deci ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈×=

2,), πϕ ocba ⇒ c se afla

de aceeasi parte a planului OAB determinat de reprezentantii lui a si b ca si vectorul ba × ⇒

baza ( c,b,a ) este la fel orientata ca si baza ( )ba,b,a × deci are orientarea pozitiva

⇐ Daca ( c,b,a ) este orientata pozitiv, atunci ( )ba,b,a × este orientata tot pozitiv, rezulta ca

vectorii ba × si c sunt de aceeasi parte a planului OAB, deci ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

∈×=ϕ2

,o)c,ba ⇒

⇒ ( c,b,a ) > 0.

PROPOZITIE Produsul mixt al vectorilor c,b,a liniar independenti luati in aceasta ordine,

reprezinta volumul paralelipipedului construit cu reprezentantii celor trei vectori, cu aceeasi

origine 0, luat cu semnul + daca baza ( c,b,a ) este orientata pozitiv si cu semnul – daca baza

( c,b,a ) este orientata negativ.

( c,b,a ) = ± vol P

Demonstratie Daca baza ( c,b,a ) este orientata pozitiv atunci ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

∈ϕ2

,0 , deci

( c,b,a ) = ba × ⋅ =⋅×=ϕ⋅×= OEbacosbac aria (OADB) ⋅ OE = V

54

Deci baza ( c,b,a ) este orientata negativ, atunci ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

∈ϕ ,2

deci OEcosi −=ϕ .

Rezulta

( ) Vcosibac,b,a −=ϕ⋅⋅×=

PROPOZITIE Produsul mixt a trei vectori nenuli este nul ⇔ vectorii sunt coplanari.

Demonstratie ⇒ Daca ( c,b,a ) = 0 ⇒ cba0c)ba( ⊥×⇒=× dar ⇒⊥× b,aba

c,b,a coplanari.

⇐ daca c,b,a sunt coplanari atunci ⇒⊥× b,aba cba ⊥× ⇒ c)ba( ⋅× = 0 ⇒

( c,b,a ) = 0.

PROPOZITIE Produsul mixt este invariant la permutari circulare si isi schimba semnul la

permutarea a doar doi factori ai sai adica ( c,b,a ) = ( a,c,b ) = ( b,a,c )

( c,b,a ) = - ( )c,a,b

PROPOZITIE Produsul mixt este o aplicatie triliniara

Expresia analitica a produsului mixt

Fie 3E baza ortonormata B = { }k,j,i si vectorii

kcjcicc

kbjbibb

kajaiaa

321

321

321

++=

++=

++=

Atunci

( )kcjcicbbbaaakji

c)ba()c,b,a( 321

321

321 ++=×= =

( ) ( ) ( )[ ] ( ) =++−+−−−= kcjcickbabajabbaibaba 321122131312332

( ) ( ) ( ) =−+−−−= 312212133112332 cbabacbabacbaba

321

321

321

321

321

321

cccbbbaaa

bbbaaaccc

==

5.4. Dublu produs vectorial

55

DEFINITIE Aplicatia 3333 EEEE)( →××=⋅×⋅×⋅ definite prin ( c,b,a ) → )cb(a ××

sau ( c,b,a ) → c)ba( ×× se numeste dublul produs vectorial al vectorilor c,b,a luati in

aceasta ordine.

PROPOZITIE

c)ba(b)ca()cb(a ⋅−⋅=×× iar

a)cb(b)ca(c)ba( ⋅−⋅=××

Demonstratie. Notam cu w = ( )cba ××

1) Daca w = θ ⇒ cb,a × sunt coliniari ⇒ ∃ λ ∈ R asa incit ( )cba ×λ=

Atunci

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] =×λ−×λ=− cbcbbccbcbabca

( ) ( ) θ=θ−θ=λ−λ= cb,c,bbc,c,b

2) Daca w ≠ θ

( ) c,b,wc,bcb

cb,awcbaw ⇒

⊥×

×⊥⇒××= coplanari ⇒ ∃ α, β ∈ R a.i. cbw β+α=

(deoarece cei trei vectori sunt liniar dependenti)

Deci ( ) ( )acabawacaw ⋅β+⋅α=⋅⇒⋅β+α=

( ) ( ) ⇒⋅λ−=β⋅λ=α

λ=⋅β−

=⋅α

⇒=⋅β+⋅α⇒baca

baca0caba

( ) ( )[ ]cbabcaw −λ= .

Scriind expresia analitica a celor doi membri din egalitatea anterioara si identificand

primele componente ⇒ λ = 1

( ) =−−−

=××

122131132332

321

cbcbcbcbcbcbaaakji

cba

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+−−−−−−−= 23323122113113312212 cbcbacbcbajcbcbacbcbai

( ) ( )[ ]2332231131 cbcbacbcbak −−−+

56

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=++++−++++λ=−λ kcjcicbababakbjbibcacacacbabca 321332211321332211

( ) ( )+−−+λ+−−+λ= 233211233211133122133122 cbacbabcabcajcbacbabcabcai

( ) 1cbacbabcabcak 322311322311 =λ⇒−−+λ+

1.6. REPERE SI SISTEME DE REFERINTA

1.6.1 REPERE CARTEZIENE RECTANGULARE.

DEFINITIE Se numeste reper cartezian ansamblul format dintr-un punct 0 ∈E3 numit

originea reperului si o baza B={u1,u2,u3} a lui 3E si se noteaza cu R(0) = (0, U1, U2, U3 ).

DEFINITIE Daca baza B este ortonormata reperul se numeste cartezian ortonormat, iar

daca baza B este orientata pozitiv reperul se numeste orientat pozitiv.

DEFINITIE Un reper cartezian ortonormat, orientat pozitiv se mai numeste reper cartezian

triortogonal si se noteaza cu ),,,0( kjiR .

DEFINITIE Dreptele care trec prin originea 0 a unui reper cartezian triortogonal si sunt

orientate de versorii reperului se numesc axele de coordonate ale reperului si se noteaza cu

- xx’ axa absciselor z

- yy’ axa ordonatelor o y

- zz’ axa cotelor x

DEFINITIE Planele x 0 y, x 0 z, si y 0 z se numesc plane de coordonate.

DEFINITIE Se numeste sistem de referinta in 3E ansamblul format dintr-un punct 0 si axele

de coordonate x’x, y’y, z’z si se noteaza cu (0, x, y, z)

1.6.2. VECTOR DE POZITIE AL UNUI PUNCT DIN 3E

Fie ),,,0( kjiR un reper in 3E si M∈E3 , M ≠ 0 un punct fixat, atunci exista un

vector 3Er ∈ care are ca reprezentant segmental →

OM .

DEFINITIE Vectorul r asociat punctului M ca mai sus se numeste vector de pozitie al

punctului M.

57

Reciproc, dat un vector 3Er ∈ , consideram reprezentantul sau cu originea în 0,

extremitatea acestuia definind un punct M∈E3.

In concluzie am pus în evidenţă o corespondenţă bijectivă între mulţimea punctelor din

E3 \{0 } şi mulţimea vectorilor din 3E \ {θ} definită prin MrM →

Observatie ( )rM este punctul cu vectorul de poziţie r .

Fie x,y,z mărimile algebrice ale proiecţiilor ortogonale ale segmentului →

OM pe cele

trei axe de coordonate xx’, yy’, zz’ respective, adica C z

OAiOMOMprxi

=⋅==→→

C z

OBjOMOMpryj

=⋅==→→

M

OCkOMOMprzk

=⋅==→→

O B y

A

x

DEFINITIE Tripletul (x,y,z) poarta numele de coordonatele carteziene ale punctului M şi

notăm M(x,y,z)

DEFINITIE Aplicaţia care asociază fiecărui punct M∈E3 coordonatele sale carteziene se

numeşte sistem de coordonate şi reprezintă o bijecţie între E3 şi R3.

APLICATIE Fie reperul ( )k,j,i,0R şi ( ) ( )2211 rM,rM două puncte diferite.

Să se exprime vectorul 21MM în funcţie de 1r şi 2r , să se determine distanţa de la M1 la M2

şi vectorul de poziţie al unui punct M ce împarte segmental →

21MM în raportul k, k ≠ -1

Solutie z M1 M r1 rM

r2 M2

O y

x

58

Din regula triunghiului, 1212212211 rrOMOMMMOMMMOM −=−=⇒=+

1221 rrMM −=

adică oricare vector din 3E este egal cu diferenţa dintre vectorul de poziţie al extremităţii şi

vectorul de poziţie al originei.

Daca M1(x1, y1, z1) atunci kzjyixr 1111 ++=

si M2(x2, y2, z2) atunci kzjyixr 2222 ++=

( ) 122121 rrMMM,Md −==

( )⇒−=−⇒=→→

rrkrrMMkMM 2121

( ) 21M rkrrk1 +=+ k1rkrr 21

++

=

În particular pentru k = 1 , M este mijlocul segmentului M1M2 şi 2

rrr 21M

+=

2. DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU

2.1. PLANUL IN SPATIU (E3)

2.1.1. DIVERSE ECUATII ALE PLANULUI.

a) Ecuaţia planului ce trece printr-un punct dat şi este perpendicular pe un vector dat.

Fie ( )k,j,i,0R un reper, ( )00 rM un punct fixat şi N un vector cunoscut.

Pentru a determina ecuaţia unui plan π ce trece prin M0 şi este perpendicular pe N

vom considera un punct oarecare M∈ E3 cu vectorul de poziţie r şi vom determina condiţiile

ce trebuiesc îndeplinite pentru ca M să aparţină planului π.

z M0 N

M

O y

x

59

MMM 0⇔π∈ este coplanar cu 00 =⋅⇔⊥⋅⇔ NMMNMMπ

( ) 0Nrr 0 =⋅− se numeşte ecuaţia vectorială a planului.

NrNr 0 ⋅=⋅

Notăm cu Nr 0 ⋅=α ⇒ α=⋅ Nr se numeşte ecuaţia vectorială generală a

planului.

Să determinăm reprezentările scalare ale planului.

Fie ( )0000 z,y,xM , ( )z,y,xM şi kCjBiAN ++= ⇒

( )kzjyixr 0000 ++=

( )kzjyixr ++=

( ) ( ) ( )kzzjyyixxrr 0000 −+−+−=−

( ) ( ) ( ) ( )CzzByyAxxNrr 0000 −+−+−=−

Ecuaţia planului devine 0DCzByAx =+++ numită ecuaţia scalară a planului în forma

generală unde D = -Ax0 – By0 – Cz0 .

b) Ecuaţia planului ce trece printr-un punct dat M0 şi este coplanar cu doi vectori daţi a

şi b , necoliniari Nba =×

b

π M0 a

Deoarece aba ⊥× şi π⊥×⇒⊥× babba

Luăm ca vector perpendicular pe plan, vectorul baN ×= . Ecuaţia vectorială a planului este

( )( ) 0barr 0 =×− ⇔ ( ) 0b,a,rr 0 =−

Scalar avem M0 (x0, y0, z0 ) , M (x, y, z ).

kajaiaa 321 ++= kbjbibb 321 ++=

60

Din expresia analitică a produsului mixt obţinem ecuaţia scalară a planului.

0bbbaaa

zzyyxx

321

321

000

=−−−

Condiţia ( ) 0b,a,rr 0 =− inseamnă că b,a,rr 0− sunt coplanari. Cum b,a sunt necoliniari

ei formează o bază în plan, deci vectorul 0rr − se exprimă ca o combinaţie liniară a

vectorilor a şi b .

Există u, v ∈ R , aşa încât 0rr − = bvau + ⇒ bvaurr 0 ++= , u,v∈ R, numită

ecuaţia vectorial parametrică a planului.

Scriind pe componente această relaţie obţinem

330

220

110

bvauzzbvauyybvauxx

++=++=++=

numite ecuaţiile scalar parametrice ale planului.

Observatie. Dacă într-un plan avem un punct şi doi vectori cunoscuţi, ecuaţia planului se

obţine uşor construind cel de al treilea vector MM 0 şi impunând condiţia ca cei trei vectori

să fie coplanari, adică produsul lor mixt să fie nul.

M ∈ π ⇔ b,a,MM 0 coplanari ⇔ ( ) 0b,a,MM0 =

b M

O a

c) Ecuaţia planului determinat de două puncte şi un vector necoliniar cu cele doua

puncte

Fie ( )11 rM , ( )22 rM două puncte fixate şi a vector necoliniar cu 21MM .

M2 M

π O a

61

Pentru a determina ecuaţia planului ce trece prin punctele M1 , M2 şi este coplanar cu

a considerăm un punct M ∈ E3 şi impunem condiţia ca M să aparţină lui π.

a,MM,MMM 211⇔π∈ sunt coplanari ⇔ ( ) 0a,MM,MM 211 = ⇔

( ) 0a,rr,rr 121 =−− ecuaţia vectorială a planului ,sau pe componente

0aaa

zzyyxxzzyyxx

321

121212

111

=−−−−−−

ecuaţia scalară a planului

Putem considera si ecuatia

( ) avrrurr 121 +−+= care este ecuaţia vectorial parametrică a planului.

d) Ecuaţia planului determinat de trei puncte necoliniare

Fie ( )11 rM , ( )22 rM , ( )33 rM trei puncte necoliniare şi 3EM∈ un punct oarecare.

M2 M

π M1 M3

31211 MM,MM,MMM ⇔π∈ sunt coplanari ⇔ ( ) 0MM,MM,MM 31211 = ⇔

( ) 0rr,rr,rr 13121 =−−− care este ecuaţie vectorială a planului sau

0zzyyxxzzyyxx

zzyyxx

131313

121212

111

=−−−−−−−−−

care este ecuaţie scalară a planului .

Ultimul determinant se obtine dezvoltind dupa ultima coloana urmatorul determinant

62

0

1zyx1zyx1zyx1zyx

333

222

111 ==Δ care constituie o formă mai simplă aecuatiei planului.

Observatie. 1) Condiţia ca 4 puncte să fie coplanare este Δ = 0.

2) Volumul tetraedrului determinat de cele 4 puncte este Δ=61V .

e) Ecuaţia planului prin tăieturi

Pentru a determina ecuaţia planului ce trece prin punctele A(a, 0, 0), B(0, b, 0),

C(0, 0, c) , punctele numite şi tăieturile planului, folosim ecuaţia de mai sus cu determinant a

planului.

C(0,0,c)

A(a,0,0) O B(0,b,0)

0c0a0bazyax

0

1c0010b0100a1zyx

=−−−

⇔= ⇔ (x-a) bc + y ac + z ab = 0

x bc + y ac + z ab = abc ⎥ : abc

1cz

by

ax

=++ ecuaţia planului prin tăieturi.

63

f) Ecuaţia normală a planului

Este ecuaţia planului determinată de distanţa de la plan la origine şi de versorul

vectorului normal la acel plan. z

M0 n

γ p

α β y

O

x

Fie n un versor (vector de lungimea 1.) si fie M0 proiecţia ortogonală a originii 0 pe

planul π. Notăm cu ( ) 0M0,0dp =π= .

Cum π⊥0M0 si nsiM0n 0⇒π⊥ sunt coliniare ⇒ ( )npMnpM0 00 ⇒⋅= .

Scriem ecuaţia planului ce trece prin M0 şi are ca vector normal la plan pe n .

( ) ( ) 0nnpr0nrr 0 =−⇔=−

0npnr2=− ⇒== 1, 22

nnpnr pnr = ecuaţia normală a planului.

Dacă notăm cu α, β, γ unghiurile formate de segmentul 0M0 cu axele 0x, 0y, 0z,

atunci coordonatele versorului n vor fi ( )γβα cos,cos,cosn adică

kcosjcosicosn γ+β+α= .

DEFINITIE cosα, cosβ, cosγ se numesc cosinuşii directori ai versorului normal la plan.

Dacă kzjyixr ++= , ecuaţia planului devine

pcoszcosycosx =γ+β+α care este ecuaţia normala a planului sub forma scalară .

Observatie Oricare ecuaţie a planului, împărţită la N ne dă ecuaţia normală a planului

numită şi ecuaţia normalizată a planului.

64

2.1.2. DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN SI DISTANTA DINTRE DOUA

PLANE PARALELE.

a) Distanţa de la un punct la un plan

Fie ( )11 rM un punct fixat şi planul pnr: =⋅π cu π∉1M

Fie M0 proiecţia ortogonală a lui M1 pe planul π. M1

Atunci ( ) 101 MM,Md =π . π M0

Pornind de la produsul scalar

( )1MMcosnMMnMM 101010 ±=ϕ⋅⋅=⋅ ,deoarece { }π∈ϕ ,0 ,deci cosϕ = 1±

( ) ( ) pnrnrnrnrrnMMMM,Md 1010110101 −=−=−=⋅==π

Dacă ecuaţia planului π este α=⋅Nr ⇒ ( )N

Nr,Md

11

α−=π

Dacă π are ecuaţia Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ ( )222

1111

CBA

DCzByAx,Md

++

+++=π

b) Distanţa dintre două plane paralele

Fie planele 0pnr: 11 =−⋅π , 0pnr: 22 =−⋅π paralele.

Fie M1 ∈ π1 iar M2 ∈ π2 proiecţia ortogonală a lui M1 pe planul π2.

( ) ( ) 21212112 pppnr,Md,d −=−=π=ππ

Observatie

Pentru 11 Nr: α=⋅π si 22 Nr: α=⋅π avem ( )N

,d 2121

α−α=ππ iar pentru

0DzCyBxA:0DzCyBxA:

22222

11111

=+++π=+++π

avem ( )222

2121

CBA

DD,d

++

−=ππ .

DEFINITIE Se numeşte unghiul a doua plane, unghiul format de vectorii normali la cele

doua plane.

65

2.2. DREAPTA IN SPATIUL E3

DEFINITIE. Familia tuturor dreptelor paralele între ele formează o direcţie în spaţiu. O

direcţie se marchează printr-un vector coliniar cu una din dreptele direcţiei. Acest vector se

numeşte vector director al oricărei drepte din direcţie.

Dacă d este o dreaptă, notăm cu knjmila ++= vectorul său director, l, m, n,

numindu-se parametrii directori ai dreptei.

Observatie Dacă a este vector director al dreptei d, atunci şi λ a , λ ≠ 0 este tot vector

director al dreptei.

2.2.1. Diverse forme ale ecuaţiei unei drepte ce trece printr-un punct dat şi are direcţia

dată de un vector fixat.

Fie ( )00 rM un punct fixat şi a un vector din 3E .

z M0

a

r0

M

x O y

Considerăm un punct ( ) 3ErM ∈ şi pentru a obţine ecuaţia dreptei ce trece prin M0 şi

are direcţia a , impunem condiţia ca punctul M să se afle pe această dreaptă. Acest lucru se

întâmplă dacă vectorul MM0 este coliniar cu a ⇔ MM0 × a = θ .

( ) θ=×− arr 0 ecuaţia vectorială a dreptei

barbarNotam

arar

0

0=×⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=×

×=× ecuaţia vectorială generală a dreptei

Observatie Din definiţia produsului vectorial ab ⊥ . Putem obţine şi alte ecuaţii ale dreptei

în modul următor:

MMdM 0⇔∈ coliniar cu a ⇔ aMM0 λ= , arrR 0 λ=−⇔∈λ ⇔

66

arr 0 λ+= ecuaţia vectorial paramerică a dreptei

Pentru a obţine ecuaţiile scalare ale dreptei luăm M(x,y,z), M0(x0,y0,z0),

knjmila ++= . Ecuaţia de mai sus se poate scrie pe componente sub forma:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ+=λ+=λ+=

nzzmyylxx

0

0

0

numite ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei.

Eliminând λ, obţinem

nzz

myy

lxx 000 −

=−

=− numita ecuaţia canonică a dreptei

2.2.2. Ecuaţia dreptei ce trece prin două puncte

Fie ( )11 rM şi ( ) 322 ErM ∈ ; pentru a găsi ecuaţia dreptei ce trece prin cele două puncte

este suficient să luăm ca vector director al dreptei vectorul 1221 rrMMa −== .

z M1

r1 M2

r2

O y

x

Înlocuind în ecuaţiile dreptei din paragraful anterior obţinem

( ) ( ) θ=−×− 121 rrrr ecuaţie vectorială

( )121 rrrr −λ+= ecuaţie vectorial parametrică

Dacă ( )1111 z,y,xM şi ( )2222 z,y,xM atunci avem

( )( )( )121

121

121

zzzzyyyyxxxx

−λ+=−λ+=−λ+=

ecuaţiile scalar parametrice

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−− ecuaţia canonică

67

2.2.3 Ecuaţia dreptei ca intersecţie de plane

π1 N2

N1

M0 π2

d N1×N2

Fie π1, π2 două plane necoplanare (π1 // π2) şi 21 π∩π=d

Ecuaţiile planelor sunt:

111 Nr: α=π

222 Nr: α=π

Cum

⎪⎭

⎪⎬⎫

⊥⇒π⊂

⊥⇒π⊂

22

11

Ndd

Ndd⇒ putem alege ca vector director pentru dreapta d, vectorul 21 NNa ×=

Fie ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

α=α=

⇒π∈π∈

⇒∈220

110

20

1000 Nr

NrMM

drM

Ecuaţia dreptei d este: ( ) ( ) θ=××− 210 NNrr

( ) ( )21021 NNrNNr ××=××

( ) ( ) ( ) 21012021 NNrNNrNNr −=××

( ) 21122 NNNNr α−α=×× forma vectorială

Scalar considerăm ecuaţiile celor două plane

⎩⎨⎧

=+++π=+++π

0DzCyBxA:0DzCyBxA:

22222

11111

Vectorul director al dreptei d este

222

11121

CBACBAkji

NNa =×=

68

Pentru a obţine un punct M0 ∈ d, luăm z = z0 in sistemul

⎩⎨⎧

=+++=+++

00

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

şi îl rezolvăm obţinând soluţiile x0 şi y0 ⇒ M0 (x0, y0, z0) ∈ d.

2.3 PROPRIETATI ALE DREPTELOR SI PLANELOR

2.3.1. FASCICOL DE PLANE

DEFINITIE Se numeşte fascicol de plane mulţimea planelor ce trec printr-o dreaptă dată d

numită axa fascicolului.

Axa fascicolului este determinată de doua plane fixate numite plane de bază.

PROPOZITIE Dacă axa d a unui fascicol de plane este determinată de planele de bază ( ) 0NrrP: 1111 =α−⋅=π şi ( ) 0NrrP: 2222 =α−⋅=π , atunci ecuaţia fascicolului cu axa d este

( ) R,0)r(PrP 21 ∈λ=λ+ ecuaţia fascicolului cu axa d

CONSECINTA Dacă axa d a fascicolului este determinată de planele

⎩⎨⎧

=+++=π=+++=π

0DzCyBxA)z,y,x(P:0DzCyBxA)z,y,x(P:

222222

111111

atunci ecuaţia fascicolului cu axa d este

0)z,y,x(P)z,y,x(P 21 =λ+ ⇔ ( ) ( ) ( ) 0DDzCCyBBxAA 21212121 =++λ++λ++λ+

2.3.2. POZITII RELATIVE ALE DREPTELOR SI PLANELOR

a) Poziţia relativă a două plane

Două plane se pot afla într-una din situaţiile:

- se intersectează

- sunt paralele

- cunt confundate

PROPOZITIE Fie planele 111 dNr: =π , 222 Nr: α=π , atunci

1) θ≠×⇔=π∩π 2121 NNd (nu sunt coliniare)

2) θ=×⇔=ππ 2121 NNd// şi 12 αλ≠α unde λ este raportul coeficienţilor celor doi

vectori normali ( 1N şi 2N )

69

3) ⎩⎨⎧

αλ=αθ=×

⇔π≡π12

2121

NN

b) Poziţia relativă a trei plane

Trei plane se pot afla într-una din situaţiile

- au un singur punct comun

- sunt paralele cu o dreaptă dată şi sunt secante două câte două

- sunt doua paralele si al treilea secant celorlalte doua

- fac parte din acelaşi fascicol

- sunt paralele între ele cu două din ele eventual confundate

- sunt toate trei confundate.

Fie planele

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++π=+++π

=+++π

0DzCyBxA:0DzCyBxA:

0DzCyBxA:

33333

22222

11111

Studiul poziţiei relative a celor trei plane revine la studiul sistemului liniar de ecuaţii

format din ecuaţiile planelor. Notind cu A matricea sistemului ,avem cazurile:

1) dacă det A ≠ 0, deci sistemul admite soluţia unică (x0, y0, z0), atunci cele trei plane au

un singur punct comun M0(x0, y0, z0).

2) dacă rang A = 2, adica det A =0 si exista cel putin un minor de ordin doi nenul ,fie

acesta Δp = 0BABA

22

11 ≠ ,iar determinantul caracteristic este Δc=

333

222

11

DBADBADBA

1

atunci avem cazurile:

- dacă sistemul este incompatibil (Δc ≠ 0), planele sunt paralele cu o dreaptă şi se

taie două câte două sau doua sunt paralele si al treilea este secant;

- dacă sistemul este compatibil(Δc=0), atunci cele trei plane trec prin aceeaşi

dreaptă, adica fac parte din acelasi fascicol de plane.

3) dacă rang A = 1, atunci planele sunt paralele sau confundate după cum termenii liberi

sunt proporţionali sau nu sunt proporţionali cu ceilalţi coeficienţi.

70

c) Poziţia unei drepte faţă de un plan

O dreaptă d şi un plan π se pot afla într-una din situaţiile:

- dreapta este inclusă în plan d ⊂ π

- dreapta este paralelă cu planul d // π

- dreapta taie planul într-un singur punct d ∩ π = {M0}

PROPOZITIE Fie d : bar =× şi α=⋅π Nr: , atunci

1) 0Nad =⋅⇔π⊂ şi θ=α+× abN

2) 0Na//d =⋅⇔π θ≠α+× abN

3) { } 0NaMd 0 ≠⋅⇔=π∩

Observatie Condiţia θ=α+× abN este echivalentă cu condiţia ca dreapta şi planul să aibă

măcar un punct comun. Această condiţie se obţine inmulţind vectorial la stânga cu vectorul N

ecuaţia dreptei.

( ) ⇔×=××⇔=×× bNarNbarN

( ) ( )α==

θ=α+×⇔×=⋅−⋅0

abNbNarNraN

d) Determinarea punctului de intersecţie al dreptei cu un plan

Pentru a găsi punctul comun dintre dreapta d şi planul π în ipoteza 0Na ≠ trebuie să

rezolvăm sistemul format din ecuaţia dreptei şi ecuaţia planului, adică

⎪⎩

⎪⎨⎧

α=⋅

=×

Nr

bar

Înmulţind ecuaţia dreptei vectorial, la stânga cu N şi obţinem

( ) bNarN ×=××

( ) ( )α=

×=− bNaNrrNa

NaabNr α+×

=

71

adică am obţinut vectorul de poziţie al punctului de intersecţie.

Dacă ecuaţiile dreptei şi planului sunt date scalar

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++π

−=

−=

−

0DCzByAx:n

zzm

yylxx:d 000

egalăm cu λ rapoartele din ecuaţia dreptei şi obţinem

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ+=λ+=α+=

nzzmyylxx

0

0

0

şi înlocuim x, y, z în ecuaţia planului

( ) ( ) ( ) ⇒=+λ++λ++λ+ 0DzCmyBlxA n000 CnBmAl

DCzByAx 000

+++++

=λ

Dacă înlocuim această valoare a lui λ în ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei

obţinem coordonatele punctului de intersecţie.

Observatie λ există deoarece 0NaCnBmAl ≠=++

2.3.3. SIMETRICUL UNUI PUNCT FATA DE UN PLAN SI FATA DE O DREAPTA

a) Simetricul unui punct faţă de un plan

Fie planul α=⋅π Nr: , ( ) π∉11 rM şi ( )22 rM simetricul lui M1 faţă de planul π.

N M1•

π M0•

M2 •

Pentru a determina punctul M2 este de ajuns să găsim punctul ( )00 rM care este

proiecţia ortogonală a lui M1 pe planul π. Punctul M0 se găseşte la intersecţia planului π cu o

dreaptă d ce trece prin M1 şi este perpendiculară pe π. Putem lua ca vector director pentru

această dreaptă vectorul N . Ecuaţia dreptei d este

( ) θ=×− Nrr 1

Se rezolvă sistemul format din ecuaşia dreptei d şi a planului π şi se obţine 0r

72

NaabNr0

α+×= Na = , iar 2r se obţine din relaţia

⇒+

=2

rrr 210 102 rr2r −=

b) Simetricul unui punct faţă de o dreaptă

Fie dreapta bar:d =× , ( ) drM 11 ∉ şi ( )22 rM simetricul lui M1 faţă de d.

• M1

• M0 a d

π • M2

Pentru a determina punctul M2 construim planul π care trece prin M1 şi este

perpendicular pe d. Acest plan taie d în punctul M0 şi observăm că vectorul director al dreptei

a poate fi luat ca vector normal la plan.

Ecuaţia planului π este ( ) 0arr 1 =⋅− . Rezolvăm sistemul

α=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⋅

=⋅

arar

bar

1 şi obţinem soluţia

aaabar0

⋅α+×

= 2r se obţine din relaţia

2rrr 21

0+

= 122 rr2r −=

2.3.4. PROIECTIA UNEI DREPTE PE UN PLAN

Fie planul α=π Nr: şi dreapta bar:d =× cu 0aN ≠⋅ , atunci dreapta d taie planul

într-un punct ( )00 rM .

73

d

P N M

a

M1

N

π M0

Fie Δ proiecţia ortogonală a dreptei d pe planul π, evident M0 ∈ Δ. Vom scrie ecuaţia

dreptei Δ ca intersecţie de doua plane, unul fiind π iar celălalt fiind planul proiectant P. Să

găsim ecuaţia planului P.

Cum d ⊂ P ⇒ M1 ∈ P, iar a coplanar cu P .

Cum P ⊥ π ⇒ N coplanar cu P. Ecuaţia planului P se obţine luând vectorul MM1 şi

obligându-l să fie coplanar cu N şi a , adică ( MM1 , N , a ) = 0 , atunci

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

=Δ

Nr

0a,N,MM: 1

DEFINITIE Unghiul dintre o dreaptă şi un plan este unghiul dintre dreaptă şi proiecţia

dreptei pe plan.

2.3.5. POZITII RELATIVE A DOUA DREPTE IN SPATIU

Două drepte d1 şi d2 se pot afla într-una din situaţiile:

1) d1 coincide cu d2 : d1 ≡ d2

2) d1 paralelă cu d2 : d1 // d2

3) d1 şi d2 sunt concurente : d1 ∩ d2 = {M0}

4) d1 şi d2 sunt strâmbe (nu sunt paralele şi nu au punct comun).

PROPOZITIE

Fie dreptele 111 bar:d =× ;i 222 bar:d =× , atunci:

1) d1 ≡ d2 ⇔ 21 aa = şi 21 bb = ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=×

θ=×

21

21

bb

aa

74

2) d1 // d2 ⇔ 21 aa = şi 21 bb λ≠ , ⎪⎩

⎪⎨⎧

θ≠×

θ=×⇔∈λ∀

21

21

bb

aaR

3) { } 0babaMdd 1221021 =+⇔=∩

5) d1 , d2 sunt strâmbe ⇔ θ≠× 21 aa şi 0baba 1221 ≠+

Observatie Două drepte au punct comun ⇔ =+ 1221 baba 0

Intradevar daca ( )11 rM ∈d1 si ( )22 rM ∈d2 , inmultim scalar la dreapta ecuatia dreptei d1 cu 2a si

ecuatia dreptei d2 cu 1a si obtinem

1222

2111

abar

abar

=×

=×

( )( ) 12122

21211

abaar

abaar

=×

=×

Adunind relatiile obtinem ( ) ( ) 1221122211 ababaaraar +=×+× ⇔

( ) ( ) 1221122211 ababa,a,ra,a,r +=+ ⇔( ) 12212121 ababa,a,rr +=− ⇔

( ) 12212121 ababa,a,MM +=

Cele doua drepte sunt concurente ⇔ 2121 a,a,MM sunt coplanari ⇔ 0abab 1221 =+

Punctul de intersecţie a două drepte concurente Fie ( )00 rM punctul de intersecţie al dreptelor d1 şi d2. Atunci 0r este soluţia

sistemului

⎪⎩

⎪⎨⎧

=×

=×

220

110

bar

bar

înmulţim vectorial la stânga cu 2b prima ecuaţie şi obţinem

( ) 12102 bbarb ×=××

( ) ( ) 12102012 bbarbrab ×=− 12

120

abbbr ×

=

Din condiţia de concurenţă a celor două drepte 01221 =+ baba avem

1212 baab −= şi 2112 bbbb ×−=× iar

75

12

120

babbr ×

=

2.3.6. DISTANTA DE LA UN PUNCT LA O DREAPTA. DISTANTA DINTRE DOUA

DREPTE PARALELE .

DEFINITIE Distanţa de la un punct la o dreaptă este lungimea porţiunii de perpendiculară

cuprinsă între punct şi dreaptă.

PROPOZITIE

Fie bar:d =× , ( ) drM 11 ∉ un punct fixat, atunci

( )a

bard,Md

1

1

−×=

M1

d M0 a P

Demonstratie

Distanţa căutată se obţine calculând aria paralelogramului determinat de vectorii

10MM şi a în două moduri

( ) aMMd,MdaA 101 ×=⋅= ⇒

( )( )

a

bar

a

arar

a

arrd,Md

10101

1

−×=

×−×=

×−=

PROPOZITIE

Distanţa dintre două drepte paralele 11 bar:d =× 22 bar:d =× este

( )a

bbd,dd

12

21

−=

76

2.3.7. PERPENDICULARA COMUNA A DOUA DREPTE . DISTANTA DINTRE

DOUA DREPTE OARECARE.

DEFINITIE Se numeşte perpendiculară comună a două drepte oarecare din spaţiu, o dreaptă ce se

sprijină pe cele două drepte şi este perpendiculată pe fiecare.

Fie 111 bar:d =× şi 222 bar:d =× două drepte strâmbe. Notăm cu Δ

perpendiculara comună a celor două drepte. Cum Δ ⊥ d1 ⇒ Δ ⊥ 1a si Δ ⊥ d2 ⇒ Δ ⊥ 2a

deci putem lua ca vector pentru Δ vectorul 21 aa × .

Dreapta Δ se găseşte la intersecţia a două plane :π1 care este planul ce trece prin d1 şi

este paralel cu 21 aa × , π2 care este planul ce trece prin d2 şi este paralel cu 21 aa × .

π2 M1 a1

a1×a2 M

a1×a2

M2 a2

a1×a2

π1 M

Deoarece în planul π1 avem punctul M1 ∈ d1 şi π1 este coplanar cu 1a şi 21 aa × ,

ecuaţia sa va fi ( ) 0aa,a,MM 2111 =× .

Deoarece în planul π2 avem punctul M2 ∈ d2 şi acest plan este coplanar cu 2a şi

21 aa × , ecuaţia sa va fi ( ) 0aa,a,MM 2111 =× ⇒

( )( )( )( )⎩

⎨⎧

=×−=×−

Δ0aa,a,rr0aa,a,rr

:2122

2111

77

DEFINITIE Distanţa dintre două drepte oarecare este lungimea porţiunii de perpendiculară

comună cuprinsă între cele două drepte.

PROPOZITIE Distanţa dintre două drepte strâmbe este dată de relaţia:

( )21

1211

21 aa

babad,dd

×

+=

Demonstratie Exprimăm în două moduri volumul paralelipipedului determinat de vectorii

21MM , 1a , 2a

M1 a1

M2 a2

( ) ( )21212121 d,ddaaa,a,MMV ×==

( )( )( ) ( ) ( )

=×

−=

×

−=

21

211212

21

2112

21 aa

a,a,ra,a,r

aa

a,a,rrd,dd

( ) ( )21

1221

21

211122

aa

baba

aa

aaraar

×

+=

×

×−×−=

78

3. SFERA

3.1. ECUATII ALE SFEREI.

Fie C∈E3 un punct fixat şi R∈[0,∞).

DEFINITIE Se numeşte sferă de centru C şi rază R, mulţimea tuturor punctelor din spaţiu ce

se află la distanţa R de punctul C, adică { }RCM/EMS R,C =∈= 3 .

DEFINITIE Punctul C se numeşte centrul sferei iar numărul R se numeşte raza sferei.

DEFINITIE Un punct P∈E3 se numeşte interior sferei SC,R dacă RCP < şi se numeşte

exterior sferei SC,R dacă RCP > .

Fie ( )k,j,i,0R un reper ortonormat, ( )0rC un punct fixat cu kzjyixr 0000 ++= şi

( )rM un punct oarecare cu kzjyixr ++= .

Pentru a găsi ecuaţia sferei impunem condiţia ca punctul M să aparţină sferei

RrrRCMSM 0R,C =−⇔=⇔∈

( ) 220 Rrr =− ecuaţia vectorială canonică a sferei

⇔ 02 2200

2=−+− Rrrrr ecuaţia vectorială generală a sferei.

Scalar ecuaţia vectorială canonică devine:

( ) ( ) ( ) 220

20

20 Rzzyyxx =−+−+− ecuaţia scalară canonică a sferei.

⇔ x2 - 2x0x + x02 + y2 - 2y0y + y0

2 + z2 - 2z0z - z02 - R2 = 0 ⇔

⇔ x2 + y2 + z2 – 2x0x – 2y0y – 2z0z + x02 + y0

2 + z02 – R2 = 0

Notăm cu:

a = -2x0 , b = -2y0 , c = -2z0

d = x02 + y0

2 + z02 – R2

x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 ecuaţia scalară generală a sferei.

3.2. PROBLEME DE INTERSECTIE

3.2.1. Intersecţia unei sfere cu o dreaptă

Fie sfera SC,R de ecuaţie ( ) 220 Rrr =− şi o dreaptă Δ ce trece prin punctul ( )11 rM şi

are vectorul director a , dată prin ecuaţia vectorial parametrică arr λ+= 1 .

79

Pentru a determina punctele de intersecţie ale dreptei Δ cu sfera SC,R trebuie să rezolvăm

sistemul

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=λ+−⇔λ+=

− 2201

1

20 Rarr

arrrr d A B

( ) ( ) 0Rrrarr2a 220101

22 =−−+λ−+λ

am obţinut o ecuaţie de gradul II în λ care poate să aibă:

a) Δ < 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii ⇒ dreapta Δ nu întâlneşte sfera, numindu-se exterioară

sau nesecantă sferei.

b) Δ = 0 ⇒ ecuaţia admite două rădăcini egale ⇒ dreapta Δ este tangentă sferei.

c) Δ > 0 ⇒ ecuaţia admite două rădăcini reale distincte ⇒ dreapta Δ taie sfera în două

puncte distincte deci este secantă sferei.

O altă metodă pentru determinarea poziţiei dreptei Δ faţă de sfera dată este să se calculeze

distanţa de la centrul sferei la dreapta Δ adică d(C, Δ).

( )( )

a

arr

a

arr,Cd

×−=

λ−−=Δ

1010

şi se compară cu raza R a sferei:

a) dacă d > R ⇒ dreapta este exterioară sferei;

b) dacă d = R ⇒ dreapta este tangentă sferei;

c) dacă d < R ⇒ dreapta este secantă sferei.

3.2.2. Intersecţia unei sfere cu un plan

Fie sfera SC,R de ecuaţie ( ) 220 Rrr =− şi un plan π de ecuaţie normală pnr = .

Pentru a determina poziţia planului faţă de sferă trebuie să rezolvăm sistemul

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅=−

pnrRrr 22

0

Notăm cu ( )11 rM proiecţia ortogonală a centrului sferei C pe planul π.

A B

80

Distanţa de la C la planul π este:

pnrCMd −== 01 , unde 1=n

ndrr ⋅+= 01

C

M1 M

π S

O

Luăm un punct ( )rM de pe cercul de intersecţie dintre sferă şi plan şi calculăm distanţa

d(M1, M)

( ) ( ) ( ) =−−=−==2

02

111 ndrrrrMMM,Md

( ) ( ) =+−−−=+−−++=2

02

000222

02 2222 ndrrndrrndrnrdrrndrr

( )( ) 22200

2 2 dRdrrpnrndR −=+−−/−=

a) Dacă R > d ⇒ planul taie sfera după un cerc şi se numeşte secant sferei.

b) Dacă R = d, planul taie sfera într-un punct deci este tangent sferei.

c) Dacă R < d ⇒ planul nu taie sfera, deci este exterior sferei

3.3. PLANUL TANGENT INTR-UN PUNCT AL SFEREI

Fie sfera SC,R şi ( ) R,CSrM ∈11 . Un plan π este tangent la sferă în M1 dacă el trece prin

M1 şi este perpendicular pe vectorul 011 rrCM −= . Ecuaţia acestui plan se obţine din ecuaţia

vectorială a planului în care luăm 01 rrN −= .

( )( ) 0011 =−− rrrr ⇔

81

0010211 =−−− rrrrrrr

Cum ( ) R,CSrM ∈11 avem

( ) 02 22010

21

2201 =−+−⇔=− RrrrrRrr

⇒+−= 22010

21 2 Rrrrr 0010

211 =−−− rrrrrrr

02 01022

0101 =+−−+− rrrrRrrrrr

( ) 0220011 =−++− Rrrrrrr sau scalar

( ) ( ) ( ) 0220

20

20010101111 =−++++−+−+−++ Rzyxzzzyyyxxxzzyyxx

0222

111111 =+

++

++

++++ dzzcyybxxazzyyxx

Observatie Ecuaţia planului tangent în M1 la sferă se obţine prin procedeul de dedublare

2

2

2

2 1

1

1

12

12

12

1

12

zzz

yyy

xxx

zzzyyyxxx

rrr

rrr

+→

+→

+→

→→→

⇒+→

→

3.4. INTERSECTIA A DOUA SFERE.

Fie sferele ( ) 21

211 Rrr:S =− şi ( ) 2

22

22 Rrr:S =−

Pentru a determina intersecţia celor două sfere rezolvăm sistemul

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+−⇔=−

=−22

222

2

21

211

2

22

22

21

21

2

2

Rrrrr

Rrrrr

Rrr

Rrr ⇔

Înlocuim a doua ecuaţie cu diferenţa celor două ecuaţii adică cu:

( ) 02 21

22

21

2212 =+−−+− RRrrrrr care reprezintă ecuaţia unui plan cu vectorul normal

12 rrN −=

adică perpendicular pe linia centrelor celor două sfere. Obţinem sistemul

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−−+−

=+−

02

221

22

21

2212

21

211

2

RRrrrrr

Rrrrr

82

ceea de reprezintă un cerc care poate să fie real, redus la un punct sau imaginar.

Presupunem R1 > R2 atunci poziţia sferelor se clasifică în modul următor:

a) 2112 RRrr +⟩− sferele sunt exterioare sau nesecante.

b) 2112 RRrr +=− sferele sunt tangente exterioare.

c) 211221 RRrrRR +⟨−⟨− sferele sunt secante şi se taie după un cerc.

d) 2112 RRrr −=− sferele sunt tangente interior.

e) 00 2112 ≠−⟨−⟨ RRrr sferele sunt interioare.

f) 012 =− rr sferele sunt concentrice.

3.5. PUTEREA UNUI PUNCT IN RAPORT CU O SFERA

3.5.1. Puterea punctului faţă de sferă

Fie SC,R o sferă şi ( )11 rM un punct din spaţiu.

TEOREMA Dacă dreapta CM1 ce trece prin M1 taie sfera in punctele ( )'r'M şi ( )"r"M , atunci produsul tconsesteMMMM tan"' 11 ⋅ oricare ar fi poziţia dreptei ce trece prin punctul M1 în spaţiu. DEFINITIE Produsul constant "MM'MM 11 ⋅ se numeşte puterea punctului M1 faţă de

sfera dată şi se notează cu ρ (M1).

PROPOZITIE ( ) 221 RdM −=ρ , unde d=d(C, M1).

Puterea punctului M1 faţă de sfera dată ia valori în intervalul [-R2 , ∞) deoarece:

1) dacă M1 este exterior sferei, atunci d > R ⇒ ρ(M1) > 0;

2) dacă M1 este pe sferă, atunci d = R ⇒ ρ(M1) = 0;

3) dacă M1 este interior sferei ⇒ d < R ⇒ ρ(M1) < 0;

4) dacă M1 = C ⇒ d = 0 ⇒ ρ(M1) = -R2.

3.5.2. Planul radical a două sfere

Fie sferele S1 şi S2 de ecuaţii

( ) ( ) 021

2111 =−−= RrrrS:S

83

( ) ( ) 022

2222 =−−= RrrrS:S

TEOREMA

Mulţimea tuturor punctelor din spaţiul E3 care au puteri egale faţă de sferele S1 şi S2

constituie un plan perpendicular pe dreapta centrelor C1 , C2 numit planul radical al celor

două sfere şi a cărei ecuaţie se obţine scăzând ecuaţiile sferelor.

( ) ( ) 021 =− rSrS

Observatie

Planul radical este planul care trece prin cercul de intersecţie al celor două sfere dacă

sferele sunt secante sau este planul tangent comun celor două sfere dacă sferele sunt tangente

exterior sau trece printre cele două sfere dacă sferele sunt exterioare.

3.5.3. Axa radicală a trei sfere

Fie sferele S1, S2, S3 de ecuaţii ( ) 3,1i,0Rrr:S 2i

2ii ==−−

TEOREMA Mulţimea tuturor punctelor din spaţiu care are puteri egale faţă de cele trei sfere

formează o dreaptă perpendiculară pe planul determinat de centrele celor trei sfere, numită axa

radicală a celor trei sfere şi aceasta are ecuaţia

⎩⎨⎧

=−=−

00

31

21

SSSS

Observatia 1 Axa radicală este determinaţă de planele radicale, ea aflându-se la intersecţia

acestora.

Observatia 2 Dacă cele trei sfere au centrele coliniare nu există axa lor radicală.

PROPOZITIE Dacă patru sfere au centrele necoplanare atunci există un singur punct care

are puteri egale faţă de cele patru sfere numit centrul radical al celor patru sfere.

84

4. GENERAREA SUPRAFEŢELOR

4.1. ECUATII ALE SUPRAFETELOR SI CURBELOR IN SPATIU.

O suprafaţă în spaţiu poate fi dată printr-o ecuaţie de forma:

1. F(x, y, z) = 0 numită ecuaţia implicită scalară.

2. F ( )r = 0 numită ecuaţia implicită vectorială.

3. ( )( )( )

( ) Dv,u,v,uzzv,uyyv,uxx

∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

, numită ecuaţie scalar parametrică

4. ( ) ( ) Dv,u,v,urr ∈= , numită ecuaţia vectorial parametrică

unde funcţiile care apar sunt continue, derivabile şi bijective.

O curbă în spaţiu poate fi privită ca fiind intersecţia a două suprafeţe. Ecuaţiile ei vor fi

de forma:

1. ( )( )⎩

⎨⎧

==

00

z,y,xGz,y,xF

, numite ecuaţiile implicite scalare

2. ( )( )⎩

⎨⎧

==

00

rGrF , numite ecuaţiile implicite vectoriale

3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

)t(zz)t(yy)t(xx t∈I , numite ecuaţiile scalar-parametrice

4. ,)t(rr = t∈I , numite ecuaţiile vectorial-parametrice

4.2. GENERAREA SUPRAFETELOR.

Fie familia de curbe ( )( )⎩

⎨⎧

=λ=λ

λ 0,z,y,xG0,z,y,xF

:G care depind de parametrul λ.

TEOREMA Mulţimea ( ){ }λ∈= GM/z,y,xMS constituie o suprafaţă a cărei ecuaţie se obţine

eliminând din sistem parametrul λ.

DEFINITIE Spunem că mulţimea de curbe Gλ generează suprafaţa S, iar Gλ se va numi

curba generatoare a suprafeţei S.

85

Fie mulţimea de curbe ( )( )⎩

⎨⎧

=μλ=μλ

λμ 00

,,z,y,xG,,z,y,xF

:G cu λ şi μ parametri. Când λ şi μ

iau valori arbitrare , Gλμ nu formează o suprafaţă. Dacă între cei doi parametri există o

legătură ϕ (λ, μ) = 0 ⇒ ( ) ( ){ }0=μλϕ∈= λμ ,,GM/z,y,xMS formează o suprafaţă a cărei

ecuaţie se obţine eliminând λ şi μ din sistem.

4.3. SUPRAFETE CILINDRICE

DEFINITIE Se numeşte suprafaţă cilindrică, suprafaţa generată de o dreaptă variabilă

numită generatoare care are direcţia fixă şi se sprijină pe o curbă dată sau este tangentă la o

suprafaţă dată.

Considerăm cazul în care generatoarea se sprijină pe o curbă dată numită curbă

directoare şi având ecuaţia

( )( )⎩

⎨⎧

==

0z,y,xG0z,y,xF

:D

a) Generatoarea (G) este paralelă cu o dreaptă fixă Δ ale cărei ecuaţii sunt:

⎩⎨⎧

=+++==+++=

00

2222

1111

DzCyBxAQDzCyBxAP

Ecuaţiile generatoarei vor fi: ( )⎩⎨⎧

μ=λ=

QP

:G

Generatoarea (G) trebuie să se sprijine pe curba directoare (D) ,adică (G) ∩ (D) ≠ φ ,situaţie

exprimată prin condiţia ca sistemul de ecuaţii

( )( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎭⎬⎫

μ=λ=⎭⎬⎫

==

)G(z,y,xQz,y,xP

)D(z,y,xGz.y.xF

00

să aibă soluţii.

Acest sistem de patru ecuaţii şi trei necunoscute va avea soluţii numai dacă între λ şi μ

mai există o relaţie de forma ϕ(λ,μ) = 0 , relaţie ce se va determina scoţând pe x,y,z din cele

mai simple trei ecuaţii în funcţie de λ şi μ şi înlocuind în a patra ecuaţie.

Ecuaţia suprafeţei cilindrice se obţine eliminând λ şi μ din relaţia ϕ(λ, μ) = 0, adică va fi

( ) ( )( ) 0=ϕ z,y,xQ,z,y,xP

86

b) Direcţia generatoarei este dată printr-un vector ( )321 a,a,aa nenul. Putem alege vectorul a

aşa încât a treia sa componentă să fie numărul 1 : a (l,m,1).

Considerăm un punct M din planul x0y arbitrar ales ⇒ M(λ, μ, 0), atunci ecuaţia generatoarei

se obţine scriind ecuaţia dreptei ce trece prin M şi are direcţia a .

( )1z

my

lx:G =

μ−=

λ−

Impunem generatoarei să întâlnească curba directoarei , adică sistemul format cu ecuaţiile lor

să aibă soluţii. La fel ca la punctul (a) scoatem x,y,z din trei ecuaţii şi înlocuim în a patra,

obţinând φ(λ,μ) = 0. Eliminăm λ şi μ şi obţinem

( ) 0=−−ϕ mzy,lzx

Exemplu

Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice care are curba directoare

⎩⎨⎧

=−=−+02

0yx

zyx:D şi este paralelă du dreapta

⎩⎨⎧

=−=−+

Δ02

0yx

zyx:)(

Soluţie Generatoarea este

⎩⎨⎧

μ=−λ=−+

yxzyx

:G2

Impunem condiţia de contact între D şi G

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

μ=−λ=−+

=−=−+

yxzyx

zyzyx

2

02022 22

5

4

4

2μ−λ

=

−λ=μ+

+μ=−λ=

=

z

zz

zxzx

zy

( )5

2 μ−λ=y

54 μ+λ

=x

( ) 05

225

45

4222

=μ−λ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ μ+λ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ μ+λ

( ) ( ) ( ) 0524 2 =μ−λ−μ−λ+μ+λ 0553418 2 =μ+λ−μ+λμ+λ

87

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0255232418 22 =−+−+−−+−−++−+ yxzyxyxyxzyxzyx

4.4. SUPRAFETE CONICE

DEFINITIE Se numeşte suprafaţă conică suprafaţa generată de o dreaptă variabilă care

trece printr-un punct fix, numită generatoarea suprafeţei şi se sprijină pe o curbă dată sau

rămâne tangentă la o suprafaţă dată.

Generatoarea suprafeţei conice poate fi dată în două moduri:

a) Considerăm punctul fix V care se numeşte vârful suprafeţei conice, dat prin intersecţia a

trei plane

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

000

3

2

1

PPP

:V unde Pi = Aix + Biy + Ciz + Di , i = 1, 2, 3 şi cu condiţia

0

333

222

111

≠CBACBACBA

(pentru ca sistemul liniar să aibă soluţie unică).

Fie (D) curba directoare de ecuaţii:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

==

00

z,y,xGz,y,xF

:D

Generatoarea este o dreaptă variabilă ce trece prin punctul V, deci se găseşte la

intersecţia a două plane variabile ce trece prin acest punct. Din acest motiv ecuaţia

generatoarei este:

⎩⎨⎧

μ=λ=

32

31

PPPP

:G

Deoarece generatoarea trebuie să se sprijine pe curba directoare, adică

( ) ( ) φ≠∩ DG

sistemul format din ecuaţiile lui (G) şi (D) trebuie să aibă soluţie. Scoatem pe x,y,z din trei

ecuaţii, cele mai simple şi le înlocuim în a patra, obţinând astfel condiţia de sprijin

( ) 0=μλϕ ,

Eliminăm λ şi μ din ecuaţiile sistemului şi obţinem ecuaţia suprafeţei conice

88

03

2

3

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

PP,

PP

b) Dacă vârful conului este dat prin coordonatele sale V(x0, y0, z0), considerăm generatoarea

ca fiind o dreaptă variabilă cu vector director ( )1,,a μλ ce trece prin V, a cărei ecuaţia este

( )1

000 zzyyxx:G −=

μ−

=λ−

Deoarece generatoarea se sprijină pe directoare, sistemul format din ecuaţiile lor are

soluţii. Scoatem x, y, z din trei ecuaţii cele mai simple şi înlocuim în a patra, obţinând astfel

condiţia ϕ (λ, μ ) = 0.

Eliminăm λ, μ din ecuaţiile sistemului şi obţinem ecuaţia suprafeţei conice.

00

0

0

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

ϕzzyy,

zzxx

Exemplu Determinaţi ecuaţia suprafeţei conice cu vârful V(4, -2, 0) şi care trece prin curba

directoare (D)

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−=+

1202

zyxyzx:D

Soluţie

Ecuaţia generatoarei este ( )1

24: zyxG =+

=−

μλ.

Condiţia de contact între (G) şi (D) este :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=−=+−

=+

zyzx

zyxyzx

μλ

24

1202

( )zzzz

zyzx

2511224

24

+−==++−+

−=+=

μλμλ

μλ

2472,

28494

25,

25

+−−+−

=+−+−

=++−

=+−

=μλμλ

μλμλ

μλλ

μλyxz

care inlocuite in prima ecuatie duc la conditia de sprijin

( )( )

( )( ) 0

28495

24722

2

=+−+−

++−−+−

μλμλ

μλμλ

89

( ) ( ) 08495472 2 =+−++− μλμλ

Dar λ =z

yz

x 2,4 +=

− μ din ecuatia generatoarei , deci ecuatia suprafetei va fi

(-2x+7y-4z+22)2 + 5(9x-4y+8z-44)z = 0

4.5. SUPRAFETE CONOIDE

DEFINITIE Se numeşte suprafaţă conoidă o suprafaţă descrisă de o dreaptă variabilă care

întâlneşte o altă dreaptă dată, este paralelă cu un plan fix numit plan director şi mai

îndeplineşte incă o condiţie geometrică cum ar fi să se sprijine pe o curbă dată sau să fie

tangentă la o suprafaţă data.

Fie 011111 =+++= DzCyBxA)z,y,x(P ecuaţia planului director, iar dreapta (Δ) se

dă ca intersecţia a două plane

( )⎩⎨⎧

=+++==+++=

Δ00

33333

22222

DzCyBxA)z,y,x(PDzCyBxA)z,y,x(P

:

Curba (C) pe care se sprijină generatoarea are ecuaţiile

⎩⎨⎧

==

00

)z,y,x(G)z,y,x(F

:)C(

Generatoarea va fi situată într-un plan mobil paralel cu planul director şi într-un plan variabil

care trece prin (Δ). Din acest motiv ecuaţia generatoarei va fi

( )⎩⎨⎧

μ=λ=

32

1

PPP

:G

Pentru ca generatoarea să întâlnească directoarea trebuie ca sistemul format din ecuaţiile lor să

aibă soluţii. Scoatem x,y,z din trei ecuaţii , cele mai simple şi le înlocuim în a patra, obţinem

condiţia ϕ (λ, μ) = 0.

Eliminând λ şi μ din sistem obţinem ecuaţia suprafeţei conoide.

03

21 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

PP,P

Exemplu

Determinaţi ecuaţia suprafeţei generate de o dreaptă variabilă care se sprijină pe dreapta (Δ) şi

pe dreapta (C).

90

( )⎩⎨⎧

=+−=−−

Δ0101

zyyx

: ( )⎩⎨⎧

=−−=+−

012012

zyzx

:C

şi este paralel cu planul xoy.

Soluţie Ecuaţia planului xoy este z = 0. Ecuaţia unui plan paralel cu xoy este z = λ. Ecuaţia

fascicolului de plane ce trece prin (Δ) este

x – y – 1 = μ (y – z + 1)

Ecuaţia generatoarei este

( ) ( )⎩⎨⎧

+−μ=−−λ=

11 zyyxz

:G

Formăm sistemul cu ecuaţiile generatoarei şi ale directoarei curbei C

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=−−=

=−−=+−

)1(1

012012

zyyxz

zyzx

μλ

Eliminând x,y,z din sistem obţinem condiţia

( )22 +λμ=−λ

eliminând λ şi μ obţinem

( ) 2211

−=++−−− zz

zyyx

obţinând ecuaţia suprafetei căutate

4.6. SUPRAFETE DE ROTATIE

DEFINITIE Se numeşte suprafaţă de rotaţie suprafaţa generată de o curbă (C) care se

roteşte în jurul unei drepte (Δ) numită axa de rotaţie a suprafeţei .

DEFINITIE Secţiunile suprafeţei de rotaţie cu plane care trec prin axa de rotaţie se numesc

curbe meridiane.

91

Suprafaţa de rotaţie poate fi privită ca fiind generată de rotirea unei curbe meridiane în

jurul axei de rotaţie. Secţiunile suprafeţei de rotaţie cu plane perpendiculare pe axa de rotaţie

sunt cercuri cu centrele situate pe axa de rotaţie.

DEFINITIE Cercurile astfel obţinute se numesc cercuri paralele ale suprafeţei de rotaţie.

Suprafeţele de rotaţie pot fi privite ca fiind generate de un cerc variabil care se află într-

un plan perpendicular pe axa de rotaţie, are centrul pe axa de rotaţie şi se sprijină pe curba (C).

C Δ

Curba (C) are ecuaţia

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

==

00

z,y,xGz,y,xF

:C

iar axa de rotaţie are ecuaţia

( )n

zzm

yylxx: 000 −

=−

=−

Δ

Cercul generator se găseşte la intersecţia dintre un plan variabil perpendicular pe axa de

rotaţie şi o sferă cu centul pe axa de rotaţie şi raza variabilă. Ecuaţiile cercului generator vor fi

( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

μ=−+−+−λ=++

20

20

20 zzyyxx

nzmylx:G

Impunem condiţia ca cercul generator să întâlnească curba (C) deci sistemul format din

ecuaţiile lor să fie compatibil. Eliminând x,y,z din ecuaţiile sistemului obţinem ϕ (λ, μ)=0.

Eleminând λ, μ din ecuaţiile sistemului obţinem ecuaţia suprafeţei de rotaţie

92

( ) ( ) ( )( )20

20

20 zzyyxx,nzmylx −+−+−++ϕ

5. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE

DEFINITIE Se numeşte cuadrică mulţimea tuturor punctelor din E3 ale căror coordonate

verifică o ecuaţie de gradul doi de forma

(Σ) : a11x2 + a22y2 + a33y2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0

În ecuaţia unei cuadrice intervin 10 coeficienţi dintre care cel puţin unul din

coeficienţii termenilor de grad 2 este nenul. Dacă împărţim ecuaţia prin acest coeficient nenul

mai rîmân 9 coeficienţi nedeterminaţi ceea ce ne arată că o cuadrică este determinată dacă se

cunosc 9 puncte ale ei.

Există sisteme de referinţă în raport cu care cuadrica are o formă mai simplă, putând

admite simetrii faţă de planele de coordonate, axele de coordonate, sau originea axelor. Aceste

forme simple ale ecuaţiei unei cuadrice se vor numi ecuaţiile canonice sau ecuaţiile reduse

ale cuadricii.

5.1. CUADRICE CU CENTRU DE SIMETRIE

Ecuaţiile reduse ale cuadricelor cu centru de simetrie au forma :

∑ =ε−ε++ 02

2

2

2

2

2'

cz

by

ax: unde

11±=ε±=ε

'

Studiem mai întâi simetriile acestei suprafeţe. Dacă M(x,y,z) ∈Σ, atunci şi punctele

M1 (-x, y, z) ∈ Σ , M2 (x, -y, z) ∈Σ , M3 (x, y, -z) ∈ Σ

ceea ce ne arată că planele y0z, x0z, x0y sunt plane de simetrie ale suprafaţei.

Mai mult M4 (-x, -y, z) ∈Σ, M5 (-x, y, -z) ∈Σ, M6(x, -y, -z) ∈Σ ceea ce ne arată că axele 0z,

0y şi 0x sunt axe de simetrie ale suprafeţei.

Cum M7 (-x, -y, -z) ∈Σ originea axelor este centrul de simetrie al suprafeţei, motiv

pentru care suprafeţele considerate se numesc cu centru.

Avem următoarele cuadrice cu centru:

1. 0111 2

2

2

2

2

2=−++⇒=ε=ε

cz

by

ax', - elipsoid real

2. 01cz

by

ax1',1 2

2

2

2

2

2

=+++⇒−=ε=ε - elipsoid imaginar

93

3. 0111 2

2

2

2

2

2=−−+⇒=ε−=ε

cz

by

ax', - hiperboloid cu o pânză

4. 01cz

by

ax1',1 2

2

2

2

2

2

=+−+⇒−=ε−=ε - hiperboloid cu doua pânze

5.1.1. ELIPSOIDUL REAL

Este cuadrica de ecuaţie 012

2

2

2

2

2=−++

cz

by

ax

Pentru a determina forma acestei suprafeţe stabilim intersecţiile dintre suprafaţă şi

axele de coordonate , planele de coordonate şi planele paralele cu cele de coordonate.

a) Intersecţia suprafeţei cu axele de coordonate

1ax

0z0y

01cz

by

ax

:x0 2

22

2

2

2

2

2

=⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−++

∩Σ axax ±=⇒= 22 ⇒ Σ∈−

Σ∈)0,0,a('A

)0,0,a(A

byby0z0x

01cz

by

ax

:y0 22

2

2

2

2

2

2

±==⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−++

∩Σ Σ∈−

Σ∈)0,b,0('B

)0,b,0(B

czcz0y0x

01cz

by

ax

:z0 22

2

2

2

2

2

2

±==⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−++

∩Σ Σ∈−

Σ∈)c,0,0('C

)c,0,0(C

DEFINITIE Punctele de intersecţie ale suprafeţei Σ cu axele de coordonate se numesc

vârfurile suprafeţei.

Observatie Elipsoidul real are 6 vârfuri, câte 2 pe fiecare axă , simetrice faţă de origine.

94

b) Intersecţia suprafeţei cu planele de coordonate

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−++∩Σ

0z

01cz

by

ax

:)y0x( 2

2

2

2

2

2

⇒ 01by

ax

2

2

2

2

=−+ elipsă reală

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−++∩Σ

0y

01cz

by

ax

:)z0x( 2

2

2

2

2

2

⇒ 01cz

ax

2

2

2

2

=−+ elipsă reală

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−++∩Σ

0x

01cz

by

ax

:)y0x( 2

2

2

2

2

2

⇒ 01cz

by

2

2

2

2

=−+ elipsă reală

c) Intersecţia suprafeţei cu plane paralele cu cele de coordonate

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

=−++π∩Σ

z

01cz

by

ax

:)y0x//( 2

2

2

2

2

2

⇒ 2

2

2

2

2

2

2

2

c1:

c1

by

ax λ

−λ

−=+

01

c1b

y

c1a

x

2

22

2

2

22

2

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

1) Dacă 0c

1 2

2

>λ

− ⇒ 22 c<λ ⇒ 0c22 <−λ ⇔ ( )c,c−∈λ , atunci intersecţia este o

elipsă reală.

2) Dacă 01 2

2<

λ−

c 22 c>λ ⇒ 022 >−λ c ⇔ ( ) ( )∞∪−∞−∈λ ,cc, , atunci ecuaţia de

mai sus nu are nici o soluţie, deci intersecţia cu suprafaţa dată este vidă.

3) Dacă 01 2

2=

λ−

c c±=λ ⇒ 02

2

2

2=+

by

ax ⇒

⎩⎨⎧

==

00

yx

⇒ C(0,0,c) şi C′(0,0,-c).

( )∑⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

=−++π∩

y

01cz

by

ax

z0x// 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b1

cz

ax λ

−=+

01

b1c

z

b1a

x

2

22

2

2

22

2

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

95

Dacă 01 2

2>

λ−

b ⇔ ( ) ⇒−∈λ b,b elipsă reală.

Dacă 01 2

2<

λ−

b ⇔ ( ) ( )∞∪−∞−∈λ ,bb, ⇒ intersecţie vidă.

Dacă 01 2

2=

λ−

b ⇔ b±∈λ ⇒

⎩⎨⎧

−==

),b,('B),b,(B00

00

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

=−++π∩Σx

01cz

by

ax

z0y// 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a1

cz

by λ

−=+

01

a1c

z

a1b

y

2

22

2

2

22

2

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

Dacă 0a

1 2

2

>λ

− ⇔ ( ) ⇒−∈λ a,a elipsă reală.

Dacă 0a

1 2

2

<λ

− ⇔ ( ) ( )∞∪−∞−∈λ ,aa, ⇒ intersecţie vidă.

Dacă 0a

1 2

2

=λ

− ⇔ a±∈λ ⇒ ⎩⎨⎧

−==

)0,a,0('B)0,a,0(B

C

A’

B’ O B

A

C’

Observatie

Dacă a = b sau a = c sau b = c elipsoidul se numeşte de rotaţie cu axa de rotatie 0z sau 0y

sau 0x.

Dacă a = b = c obţinem sfera de centru origine şi raza a.

96

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului real

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

usinczvcosucosbyvsinucosax

u∈[0 , π] , v∈[0 , 2π]

5.1.2. HIPERBOLOIZI

a) HIPERBOLOIDUL CU O PINZA are ecuaţia

Σ : 01cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−−+ sau

Σ′ : 012

2

2

2

2

2=−+−

cz

by

ax sau Σ″ : 012

2

2

2

2

2=−++−

cz

by

ax

a) Intersecţia suprafeţei cu axele de coordonate

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−−+

∩Σ00

01

0

2

2

2

2

2

2

zy

cz

by

ax

:x ⇒ ax

axax

±===−

22

2

201

( )( )00

00,,a'A

,,aA−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−−+

∩Σ00

01

0

2

2

2

2

2

2

zx

cz

by

ax

:y ⇒ by

byby

±===−

22

2

201

( )( )00

00,b,'B

,b,B−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−−+

∩Σ00

01

0

2

2

2

2

2

2

yx

cz

by

ax

:z ⇒ nu are soluţii ⇒ Σ ∩ 0z = φ

97

Observatie Hiperboloidul cu o pânză are patru vârfuri, simetrice faţă de origine, două pe

axa 0x şi două pe 0y.

b) Intersecţia suprafeţei cu planele de coordonate

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−−+∩Σ

0

010 2

2

2

2

2

2

zcz

by

ax

:)yx( 01by

ax

2

2

2

2

=−+ elipsă reală

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−−+∩Σ

0

010 2

2

2

2

2

2

ycz

by

ax

:)zx( 012

2

2

2=−−

cz

ax

hiperbolă cu axa netransversala 0z

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−−+∩Σ

0

010 2

2

2

2

2

2

xcz

by

ax

:)zy( 012

2

2

2=−−

cz

by

hiperbolă cu axa netransversala

0z

c) Intersecţia suprafeţei cu plane paralele cu planele de coordonate

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=

=−−+π∩Σ

zcz

by

ax

:)yx//( 010 2

2

2

2

2

2

12

2

2

2

2

2+

λ=+

cby

ax

0111 2

22

2

2

22

2=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ

cb

y

ca

x elipsă reală

Observatie

Toate elipsele astfel obţinute sunt asemenea între ele şi sunt din ce în ce mai mari pe măsură

ce λ se îndepărtează de origine.

98

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=

=−−+π∩Σ

ycz

by

ax

:)zx//( 010 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

bcz

ax λ

−=−

0111 2

22

2

2

22

2=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

bc

z

ba

x

Dacă ( )b,bbb

−∈λ<−λ⇒>λ

− 001 222

2

intersecţia este o hiperbolă cu axa netransversală paralelă cu 0z.

Dacă ( ) ( )∞∪−∞−∈λ>−λ⇒<λ

− .bb,bb

001 222

2

intersecţia este o hiperbolă cu axa care nu o taie paralela cu 0x.

Dacă

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−=−⇒=

λ−

0

0001 2

2

2

2

2

2

cz

ax

cz

ax

cz

ax

b două drepte.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=

=−−+π∩Σ

xcz

by

ax

:)zxy//( 010 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

acz

by λ

−=−

0111 2

22

2

2

22

2=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−

ac

z

ab

y

Dacă ( )a,aaa

−∈λ<−λ⇒>λ

− 001 222

2

intersecţia este o hiperbolă cu axa ce nu o taie paralelă cu 0z.

Dacă ( ) ( )∞+∪−∞−∈λ>−λ⇒<λ

− ,aa,aa

001 222

2

intersecţia este o hiperbolă cu axa care nu o taie paralelă cu 0y.

99

Dacă 001 2

2

2

222

2

2=−±=λ=λ⇒=

λ−

cz

byaa

a 0=−

cz

by sau 0=+

cz

by

⇒ două drepte.

DEFINITIE

Elipsa din planul x0y după care acest plan taie suprafaţa se numeşte elipsă de gâtuire.

Observatie

Dacă a = b se obţine hiperboloidul de rotaţie.

b)HIPERBOLOIDUL CU DOUA PINZE are ecuaţia

Σ : 012

2

2

2

2

2=+−+

cz

by

ax

sau

Σ′ : 012

2

2

2

2

2=++−

cz

by

ax sau Σ″ : 012

2

2

2

2

2=+++−

cz

by

ax

100

a) Intersecţia suprafeţei cu axele de coordonate

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=+−+

∩Σ0z0y

01cz

by

ax

:x0

2

2

2

2

2

2

012

2=+

ax nu are soluţii Σ ∩ 0x = φ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=+−+

∩Σ0z0x

01cz

by

ax

:y0

2

2

2

2

2

2

012

2=+

by nu are soluţii Σ ∩ 0y = φ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=+−+

∩Σ0y0x

01cz

by

ax

:z0

2

2

2

2

2

2

01cz

2

2

=+− ( )( )c,,'C

c,,Cczcz

−

±==

0000

22

Observatie

Suprafaţa are două vârfuri situate pe axa 0z şi simetrice faţă de origine.

b) Intersecţia suprafeţei cu planele de coordonate

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−+∩Σ

0z

01cz

by

ax

:)y0x( 2

2

2

2

2

2

012

2

2

2=++

by

ax nu are soluţii

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−+∩Σ

0y

01cz

by

ax

:)z0x( 2

2

2

2

2

2

012

2

2

2=+−

cz

ax 01

cz

ax

2

2

2

2

=−+−

hiperbolă cu axa de simetrie 0x

101

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−+∩Σ

0x

01cz

by

ax

:)z0y( 2

2

2

2

2

2

012

2

2

2=+−

cz

by 012

2

2

2=−+−

cz

by

hiperbolă cu axa care nu o taie 0y.

c) Intersecţia cu plane paralele cu planele de coordonate

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

=+−+π∩Σ

z

01cz

by

ax

:)y0x//( 2

2

2

2

2

2

12

2

2

2

2

2−

λ=+

cby

ax

0111 2

22

2

2

22

2=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λ

cb

y

ca

x

- Dacă ( ) ( )∞∪∞−∈λ>−λ⇒>λ ,cc,0c1c

222

2

intersecţia este o elipsă.

- Dacă ( )c,c0c1c

222

2

−∈λ<−λ⇒<λ

ecuaţia nu are soluţii ⇒ Σ ∩ π = φ

- Dacă ( )( )c,0,0'C

c,0,0C0y0x

0by

axc1

c 2

2

2

2

2

2

−⎩⎨⎧

==

=+±=λ⇒=λ

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

=+−+π∩Σ

y

01cz

by

ax

:)z0x//( 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

bcz

ax λ

−−=−

01

b1c

z

b1a

x

2

22

2

2

22

2

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ+

− ⇒ hiperbolă cu axa ce nu o taie paralela cu 0x.

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

=+−+π∩Σ

x

01cz

by

ax

:)z0y//( 2

2

2

2

2

2

12

2

2

2

2

2−

λ−=−

acz

by

102

0111 2

22

2

2

22

2=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ−

ac

z

ab

y ⇒ hiperbolă cu axa ce nu o taie paralela cu 0y.

Observatie

Dacă a = b hiperboloidul se numeşte de rotaţie.

5.2. CUADRICE FARA CENTRU

Ecuaţia redusă a cuadricilor fără centru este :

2

2

2

22

by'

axz ε+=ε cu { }11,', −∈εε

Studiem mai întâi simetriile suprafeţei. Dacă M(x, y, z) ∈ Σ atunci ( )( ) Σ∈−

Σ∈−z,y,xMz,y,xM

2

1

ceea ce ne arată că planele y0z şi x0z sunt plane de simetrie ale suprafeţei.

Cum ( ) Σ∈−− z,y,xM3 axa 0z este axă de simetrie pentru Σ.

5.2.1 PARABOLOIDUL HIPERBOLIC

Ecuaţia generală este

( )Σ+−= 2

2

2

22

by

axz

103

Intersecţia cu axele Deoarece, dacă două dintre variabilele x,y şi z sunt zero şi a treia este egală cu zero ,

rezultă că paraboloidul hiperbolic taie axele numai în origine. Rezultă că Σ are un singur vârf ,

anume originea.

Intersecţia cu planele de coordonate ( ) 2

2

22

2

2

2

20

00 x

aby

by

ax

z:yx ==+−⎩⎨⎧

=Σ

∩Σ xaby ±= sunt două drepte concurente

în origine.

( )2

22

00

axz

y:zx −=⎩⎨⎧

=Σ

∩Σ este o parabolă cu axa de simetrie zz′ şi cu deschiderea în

jos, adică spre semiaxa negatvă 0z′.

( )2

22

00

byz

x:zy =⎩⎨⎧

=Σ

∩Σ adică o parabolă cu axa de simetrie zz′ şi cu deschiderea în

sus, spre semiaxa pozitivă 0z.

Intersecţia cu plane paralele cu cele de coordonate

( ) ( )2

2

2

220

by

ax

z:yx// +−=λ⎩⎨⎧

λ=Σ

π∩Σ

122 2

2

2

2=

λ−

λ ax

by o hiperbolă care are axa netransversală paralelă cu xx′ dacă λ > 0 sau

paralelă cu yy′ dacă λ < 0.

( ) ( )2

2

2

220

by

axz

y:zx// +−=⎩⎨⎧

λ=Σ

π∩Σ este o parabolă cu axa de simetrie paralelă cu zz′

şi cu deschiderea în jos.

( ) ( )2

2

2

220

by

az

x:zy// +

λ−=

⎩⎨⎧

λ=Σ

π∩Σ

2

2

2

2

abyz2 λ

−= este o parabolă cu axa de simetrie paralelă cu zz′ şi deschiderea în sus.

104

5.2.2 PARABOLOIDUL ELIPTIC

Are ecuaţia 2

2

2

22

by

axz += (Σ)

Intersecţia cu axele de coordonate Deoarece, dacă două din cele trei variabile sunt zero şi a treia este zero, rezultă că suprafaţa

taie axele numai în originea lor, deci Σ are un singur vârf, anume originea.

Intersecţia cu planele de coordonate

( ) ( )⎩⎨⎧

==

=+⎩⎨⎧

=Σ

∩Σ00

00

0 2

2

2

2

yx

by

ax

z:yx

( ) { }00 =∩Σ yx

( ) ( )⎩⎨⎧

=Σ

∩Σ0

0y

:zx 2

22

axz = o parabolă cu axa de simetrie zz′ şi cu deschiderea în sus.

Intersecţia cu plane paralele cu planele de coordonate.

( ) ( )⎩⎨⎧

λ=Σ

π∩Σz

:yx// 0 122

2 2

2

2

2

2

2

2

2=

λ+

λ+=λ

by

ax

by

ax care este o elipsă reală

pentru λ > 0 si multimea vida pentru λ < 0.

( ) ( )⎩⎨⎧

λ=Σ

π∩Σy

:zx// 0 2

2

2

22

baxz λ

+= parabolă cu axa de simetrie paralelă cu zz′ şi

deschiderea în sus.

105

( ) ( )⎩⎨⎧

λ=Σ

π∩Σx

:zy// 0 2

2

2

22

bbyz λ

+= parabolă cu axa de simetrie paralelă cu zz′ si

deschiderea în sus.

Generarea suprafetelor

Exercitiul 3 Sa se scrie ecuatia suprafetei cilindrice care are ca directoare curba

2 22x y 2z 0y 2z 0

⎧ + − =⎪Γ⎨− =⎪⎩

, stiind ca generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei directoare.

Solutie Vectorul normal la planul curbei directoare : y 2z 0π − = , este vectorul

director al generatoarei adica este N(0,1, 2)− . Generatoarea trecand prin punctul arbitrar

M0 (λ, μ, 0) va avea ecuatia

x y zG :0 1 2− λ −μ

= =−

Pentru ca generatoarea sa intalneasca curba directoare trebuie ca sistemul format cu

ecuatiile lor sa fie compatibil.

106

2 22x y 2z 0y 2z 0xz 2y 2

⎧ + − =⎪

− =⎪⎨

= λ⎪⎪ = − + μ⎩

Scotand x, y, z din ultimele trei ecuatii obtinem:

x4y52z5

⎧⎪ = λ⎪⎪ = μ⎨⎪⎪ = μ⎪⎩

Inlocuind x, y, z in prima ecuatie rezulta conditia de sprijin 2 216 42 025 5

λ + μ − μ =

2 225 8 10 0⇔ λ + μ − μ = . Inlocuind λ se μ din ecuatiile lui G obtinem ecuatia suprafetei

cautate 25x2+2(2y+z)2-5(2y+z)=0.

Exercitiul 4 Sa se scrie ecuatia suprafetei cilindrice circumscrisa sferei S : x2 + y2 + z2 = 4

stiind ca generatoarele sunt paralele cu dreapta

x y z 0d :

2x z 0+ + =⎧

⎨ + =⎩

Solutie Generatoarea fiind paralela cu dreapta d, ecuatiile ei vor fi

x y zG :

2x z+ + = λ⎧

⎨ + = μ⎩

Impunem conditia ca generatoarea sa intalneasca sfera data, adica sistemul format din ecuatiile

lor sa fie compatibil. Conditia de tangenta a generatoarei fata de sfera se realizeaza prin

unicitatea solutiei sistemului obtinut

2 2 2

2 2 2

x y z 4 z 2xx y z y x2x z x ( x) ( 2x) 4

⎧ ⎧+ + = = μ −⎪ ⎪

+ + = λ ⇒ = λ −μ +⎨ ⎨⎪ ⎪+ = μ + λ − μ + + μ − =⎩⎩

⇔ 2 2 26x (2 6 )x 2 2 4 0+ λ − μ + λ − λμ + μ − =

Pentru unicitatea solutiei impunem conditia 0Δ = ⇔

2 2 24( 3 ) 24( 2 2 4) 0 : 4λ − μ − λ − λμ + μ − =

107

2 2 2 26 9 6 12 12 24 0λ − λμ + μ − λ + λμ − μ + =

2 24 6 3 24 0 ( 1)− λ + λμ − μ + = −

2 24 6 3 24 0λ − λμ + μ − =

care reprezinta ecuatia de sprijin.

Inlocuind x y zλ = + + si 2x zμ = + obtinem ecuatia suprafetei cilindrice

2 24x 4y z 4xy 2xz 2yz 24 0+ + − + + − =

Exercitiul 5 Sa se scrie ecuatia suprafetei conice, care are varful dat de intersectia planelor

1P : x y z 1− + = , 2P : x y z 0+ − = , 3P : x z 0− = , iar curba directoare are ecuatiile

2 2x y 2x 2y 2 0D :z 1

+ − − − ==

Solutie Rezolvand sistemul

x y z 1 x 1x y z 0 y 0 V(1,0,0)x z 0 z 0

− + = =+ − = ⇒ = ⇒

− = =

Ecuatia generatoarei va fi

x 1 y zG :1

−= =

λ μ

Impunem conditia de contact dintre G si D, adica

2 2

2 2

x y 2x 2y 2 0 x 1z 1 yx z 1

( 1) 2( 1) 2 2 0y z

⎧ + − − − = = λ +⎪=⎪ = μ⎨= λ +⎪

λ + + μ − λ + − μ − =⎪ = μ⎩

2 2 2 3 0λ + μ − μ − =

Dar x 1z−

λ = si yz

μ = ⇒

2 2 2(x 1) y 2yz 3z 0− + − − =

Exercitiul 6 Sa se scrie ecuatia suprafetei conoide generata de o dreapta paralela cu planul

XOY, care se sprijina pe axa OX si pe dreapta

108

x 1 y 2 zd :2 1 1− −

= =−

Sotutie Ecuatia planului xOy este z = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOy este z = λ .

Ecuatia axei Ox este y 0z 0=⎧

⎨ =⎩ , iar ecuatia fascicolului de plane ce trec prin axa Ox este z = μy.

Ecuatia generatoarei va fi data de intersectia planului paralel cu xOy cu fascicolul de plane ce

trece prin axa Ox, adica va fi z

zG : G :

yz y

= λ= λ

⇔ λ== μμ

Impunem conditia de contact dintre G si d :

x 1 2z x 2 1y 2 z y 2z z

y 2

− = = λ +⎧⎪ − = − = −λ +⎪⎪

= λ = λ⎨⎪ λ λ⎪ = −λ + =

μ μ⎪⎩

2 0λμ + λ − =

Dar zλ = si 2z z z 2 0

y yμ = ⇒ + − = 2z zy 2y 0⇔ + − =

Exercitiul 7 Sa se scrie ecuatia suprafetei obtinuta prin rotirea curbei 2 2

x 0:

z y 1 0

=⎧⎪Γ ⎨− + =⎪⎩

in

jurul axei Oz.

Solutie Ecuatia axei Oz este x 0y 0==

sau sub forma canonica x y z0 0 1= =

Cercul variabil ce va genera suprafata este

2 2 2 2x y zC :z+ + = λ= μ

Impunem conditia de sprijin pe curba Γ :

2 2

2 22 2 2 2

2 2

x 0 x 0zz y 1 0y 1x y z

z 2 1

= == λ− + == μ ++ + = λ

= λ μ + = λ

109

Dar μ = z

2 2 2 2x y zλ = + + si

2 2 2 22z 1 x y z+ = + +

2 2 2x y z 1 0+ − − =

Exercitiul 8 Sa se scrie ecuatia suprafetei obtinuta prin rotirea dreptei 1x y z 1d1 1 2

−= = =

−

in jurul dreptei 2x 1 y 1 z 3d :

1 1 1− + −

= =

Solutie Ecuatia cercului generator va fi

2 2 2 2(x 1) (y 1) (z 3)C :x y z− + + + − = λ+ + = μ

Impunem conditia de contact :

2 2 2 2(x 1) (y 1) (z 3)x y zy xz 2x 1

⎧ − + + + − = λ⎪

+ + = μ⎪⎨

= −⎪⎪ = +⎩

2 22 2

1x2

1y2

z

3 3 ( 3)2 2

μ −⎧ =⎪⎪

μ −⎪ = −⎪⎨

= μ⎪⎪μ − − μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + μ − = λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

2 2 2 23 ( 3) 3( 3) 2 02μ − = λ μ − − λ =

2 2 23(x y z 3) 2 (x 1) (y 1) (z 3) 0⎡ ⎤+ + − − − + + + − =⎣ ⎦

110

GEOMETRIE ANALITICA SI IN SPATIU

Produse cu vectori

1. Produs scalar : 3322113 babababa:Eb,a ++=⋅∈

2. Produs vectorial :

321

3213

bbbaaakji

ba:Eb,a =×∈

3. Produs mixt : ( )321

321

321

3

cccbbbaaa

c,b,a:Ec,b,a =∈

4. Dublu produs vectorial : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )acbbcacba

cbabcacba

−=××

−=××

Exercitiul 1. Să se determine α si β astfel încât vectorii ( ) ( )a 2i j 2 k= + α +β + α −β şi

b i 2 j 3k= + + sa fie coliniari.

Soluţie a si b sunt coliniari ⇔ coordonatele lor sunt proporţionale:

2 21 2 3

α +β α −β= = ⇔

103

α = si 23

β = .

Exercitiul 2 Sa se determine λ astfel incat vectorii a 2 j k= + , b i 2 j= − + , c i j 2k= + λ +

sa fie coplanari.

Soluţie a, b, c coplanari ⇔ produsul lor mixt ( a, b, c ) sa fie nul ⇔ 0 2 11 2 0 0

1 2− =

λ

⇔ 2 4 0 2−λ − + = ⇔ λ =

Exercitiul 3 Sa se determine λ astfel incat unghiul dintre vectorii a i 2 j= − si

b 3i j k= − + λ sa fie 4π .

Soluţie Din expresia analitica a produsului scalar avem

111

=++⋅++

++=

23

22

21

23

22

21

332211),cos(bbbaaa

babababa2

1 3 ( 2)( 1) 0

1 4 0 9 1

⋅ + − − + ⋅λ=

+ + ⋅ + + λ 2

5

5 10=

+ λ

25

10=

+ λ

1cos4 2π= ⇔ 2

5 1210

=+ λ

2 10 10 , 0λ + = λ =

Exercitiul 4 Sa se determine vectorul v stiind ca este perpendicular pe vectorii

a 3i 2 j 4k= + − , b 3i j= + , are norma egala cu 26 si face un unghi optuz cu j.

Soluţie v a

vv b

⎫⊥ ⎪⇒⎬⊥ ⎪⎭

coliniar cu ( )a b v a b× ⇒ = λ ×

i j ka b 3 2 4 4i 12j 3k

3 1 0× = − = − − v 26 a b 26= ⇔ λ ⋅ × =

16 144 9 26 2⇔ λ ⋅ + + = ⇔ λ = ⇔ 2λ = ±

( ) ( )v, j v j 0 2 v 2 4i 12j 3k2π

> ⇒ ⋅ < ⇒ λ = ⇒ = − − .

Exercitiul 5 Sa se afle înălţimea paralelipipedului construit pe reprezentanţii vectorilor

a i 2j k= + − , b 2i 3j k= + + , c i 2k= − , duşi in acelaşi punct al spaţiului, luând ca baza

paralelogramul determinat de b si c .

Soluţie ( )1 2 1

a, b,c 2 3 1 7 V1 0 2

−= = =

−, unde V este volumul paralelipipedului

considerat. Dar V = A . h unde A este aria paralelogramului determinat de b si c adică

A b c= × .

i j kb c 2 3 1 6i 5j 3k

1 0 2× = = − + −

−

b c 36 25 9 70 A× = + + = =

V 70 7hA 1070

= = =

112

Exercitiul 6 Ce unghi formează intre ei versorii p si g daca vectorii a 2p g= + si

b 4p 5g= − + sunt perpendiculari ?

Soluţie a b a b 0+ ⇔ ⋅ =

( )( ) 2 2a b 2p g 4p 5g 8p 10p g 4g p 5g⋅ = + − + = − + − + = 8 6p g 5 6p g 3 0− + + = − = ⇒

1p g2

= .

Dar ( ) ( ) 1p g p g cos p,g cos p,g2

⋅ = ⋅ = = ⇒ ( )p,g3π

=

Exercitiul 7 Sa se determine vectorul V care sa fie perpendicular pe vectorii a i 2 j k= − − si

b 2i j k= − + + iar c v 8⋅ = − , unde c 3i j 4k= − − .

Soluţie Fie V xi y j zk= + +

V a 0 x 2y z 0 x 1y xV a2x y z 0 y 1z 3xV V b 0

3x y 4z 8 z 3x 1c V 8

⋅ = − − = == −⎧ ⎧⊥ ⇔⎪ ⎪⇒ − + + = = −=⊥ ⇔ ⋅ = ⎨ ⎨⎪ ⎪− − = − ⇒ ==⎩ ⎩⋅ = −

⇒ V i j 3k= − +

Exercitiul 8 Sa se arate ca punctele A(5, -1, -1), B(4, 2, 2), C(5, 3, 1), D(8, 0, -5) se afla in

acelasi plan.

Soluţie Avem vectorii

B AAB r r i 3j 3k= − = − + +

C AAC r r 0i 4 j 2= − = + + π

D AAD r r 3i j 4k= − = + −

A, B, C, D coplanare ⇔ AB, AC, AD coplanare ⇔ ( )1 3 3

AB, AC, AD 0 0 4 2 03 1 4

−= ⇔ =

−

16 18 36 2 0 0 0+ − + = ⇔ = .

Exercitiul 9

bV ⊥

113

Aratati ca ( ) ( )( ) ( )c,b,a

bac,cb,ba

cbba=

××××××

Solutie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

( )bc,b,a

c,b,bbc,b,aacbbbcba

ambbmambacbbaE1

=

=−⋅=×⋅−×⋅=

=⋅−⋅=××=×××=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

2

c,b,aa,c,bc,b,a

acbc,b,aaccbbaac,cb,baE

=⋅=

=×⋅=×⋅×××=×××=

( )( ) ( )c,b,a

bc,b,a

bc,b,aM 21 ==

Exercitiul 10 Aratati ca

( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )dcbabd,c,adacbcadbdcba ×⋅−=×⋅−×⋅=×××

Solutie

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )dacbcadbdcbcdbadcba ×−×=−×=×××

( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )dcbabd,c,adcbabdca

mbabmambadcba

×⋅−=×⋅−×⋅=

=⋅−⋅=××=×××

PLANUL SI DREAPTA IN SPATIU

- ECUATII PLAN : α=⋅ Nr

Ax + By + Cz + D = 0 , A, B, C fiind coordonatele vectorului normal N =(A,B,C)

- ECUATII DREAPTA : bar =×

nzz

myy

lxx 000 −

=−

=− , x0 , y0 , z0 – coordonatele punctului M0∈d , M0(x0,y0,z0),

l, m, n - coordonatele lui a (l, m, n)

114

Exercitiul 11 Fie planul π :2x - 3y + z – 5 = 0. Determinati vectorul

normal la plan gasiti un punct al sau si scrieti celelalte ecuatii ale

planului . Solutie Coordonatele unui vector normal la plan sunt coeficientii lui x,y,z din ecuatia

generala scalara aplanului , adica este N (2,-3,1) .Pentru a gasi un punct al planului dam valori

particulare la doua variabile si o determinam pe a treia din ecuatia planului :x=2 , y=3 ⇒z=10

, deci avem punctual M0(2,3,10) ∈π . Deoarece k10j3i2r0 ++= si kj3i2N +−= ecuatia

vectoriala a planului este ( ) 0Nrr 0 =− adica ( )( )( ) 0kj3i2k10j3i2r =+−++− ⇔

( ) 5k10j3i2r =++−

Exercitiul 12 Determinati ecuatia planului ce trece prin punctual M0(1,2,3) si este

coplanar cu vectorii kj3i2a +−= si kj2ib ++−=

Solutie Consideram un punct oarecare M si impunem conditia ca vectorul MM0 sa

fie coplanar cu a si b , adica ( MM0 , a , b ) = 0 , sau

0121132

321=

−−

−−− zyx ⇔ -5(x-1)-3(y-2)+z-3 = 0 ⇔ 5x+3y-z-8 = 0

Exercitiul 13 Determinati ecuatia planului ce trece prin punctele M0(1,-1,1) ,

M1(2,3,-1) si este coplanar cu k3j4i a ++=

Solutie Consideram un punct oarecare M si impunem conditia ca vectorul MM0 sa

fie coplanar cu a si k2j4irrMM 0110 −+=−= , adica ( ) 0a,MM,MM 100 = ⇔

( ) ( ) 05yx401y51x2003412411z1y1x

=−−⇔=+−−⇔=−−+−

115

Exercitiul 14 Determinati ecuatia planului ce trece prin M0 (1,2,3) , M1(2,-1,4) si M2(3,1,-2)

Solutie onsideram un punct oarecare M si impunem conditia ca vectorul MM0 sa fie

coplanar cu kj3irrMM 0110 +−=−= si k5ji2rrMM 0220 −−=−= adica

( ) ⇔= 0MM,MM,MM 20100

045z5y7x160)3z(5)2y(7)1x(160512

1313z2y1x

=−++⇔=−+−+−⇔=−−

−−−−

Exercitiul 16 Determinati ecuatia dreptei ce trece prin A(2,1,3) si se sprijina pe preptele :

11z

43y

21x:d1 −

+=

−=

−

⎩⎨⎧

=−+−=−+

06z2yx0zyx

:d2

Solutie :

Pentru a determina ecuatia unei drepte trebuie sa stim ori un punct si vectorul director

al dreptei, ori doua plane care trec prin acea dreapta.

Consideram planele α determinat de A si d1 si β determinat de A si d2 si observam ca

α∩β = d.

Din ipoteza d1 este data prin punct si vector director:

)1,4,2(a

)1,3,1(A

1

1

−

−

d2 este data ca intersectie de plane. Un punct al dreptei d2 se poate determina dand lui z o

valoare particulara si rezolvand sistemul ramas.

3y3x6x2

6yx0yx

0z

−==⇒=

⎩⎨⎧

=−=+

=

A2(3,-3,0)

directia dreptei d2 este data de produsul vectorial al vectorilor normali la planele ce determina

dreapta.

116

)2,3,1(k2j3i211111

kjiNxNa

)2,1,1(N)1,1,1(N

2122

1 −−=−−=−

−==−−

Pentru a determina ecuatiile planelor α si β este suficient sa cunoastem in fiecare din

ele cate un punct si doi vectori. Punem vectorul M0M arbitrar in plan si punem conditia ca

produsul mixt al celor doi vectori cunoscuti impreuna cu acesta sa fie nul.

In planul α avem punctul A si vectorii a1 si AA1 = AA rr1−

k4j2ik)31(j)13(i)21(rrAA AA1 1−+−=−−+−+−=−=

)4,2,1(AA1 −− .

Duc vectorul AM(x-2, y-1, z-3)

( ) )3z(8)1y(9)2x(1401424213z1y2x

0a,AA,AM: 11 −−−−−⇔=−−−−−−

⇒=α =0

14x – 9y –8z +5 = 0.

In planul β avem punctul A2 si vectorii 2a si AA2

)3,4,1(AAk3j4irrAA 2AA2 2 −⇒++−=−=

Duc vectorul A2M si impun conditia ca produsul mixt sa fie nul:

( )

( ) ( ) 0zyx:0z3y3x

0231

341z3y3x

0a,AA,MA 222

=−+β⇒=−++−⇔

⇔=−−

−+−

⇒=

⎩⎨⎧

=−+=+−−

0zyx05z8y9x14

:d

Exercitiul 17 Fie A(1,2,3), dreapta 1

3z1

y2

1x: −=

−=

+Δ si planul π : x + 2y – 2 = 0. Sa

se determine dreapta d ce trece prin A , intersecteaza Δ si este paralel cu planul π .

Solutie : Pentru Δ avem

A1(-1,0,3) , a1(2,-1,1)

Pentru π avem : N (1,2,-1) : A2(1,1,3) ∈ π

117

Ducem planul α paralel cu π prin A. α ∩ Δ = {B} ⇒ d = AB

Ecuatia fascicolului de plane paralele cu π este λπ : x + 2y – z + λ = 0 cu λ ∈ R.

Pentru a determina ecuatia planului din fascicol ce trece prin A, obligam coordonatele

lui A sa verifice ecuatia planului.

1 + 2 ⋅ 2 – 3 + λ = 0 ⇒ λ = -2

α : x + 2y –z –2 = 0

Putem determina dreapta d ca intersectia a doua plane anume planul α si planul β

determinat de A si Δ.

In planul β cunoastem punctul A1 si vectorii 1a , 1AA1 rrAA −=

)0,2,2(j2i2rrAA 1AA1 =+=−= .

Duc vectorul MA1 si impun conditia ( ) 0a,AA,MA 111 = ⇔

⇔ 2:0)3z(6y2)1x(20112022

3z,y,1x=−−−+⇔=

−

−+

⎩⎨⎧

=+−−=−−+

=+−−β

010z3yx02zy2x

:d

010z3yx:

Exercitiul 18 Scrieti ecuatia dreptei d1 care trece prin punctul M1 de intersectie al dreptei

⎩⎨⎧

=−+−=+++−

03zyx02zyx2

:d cu planul π : 2x + y +3z –4 =0 este continuta in planul π si este

paralela cu planul 1π : 2x +3y + z –8 =0.

Solutie :

Pentru d un punct al dreptei se determina particularizand z si rezolvand sistemul ramas

z = 0

⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−−=+−

4y1x

1/x

3yx2yx2

M0(-1,-4,0)∈d

118

Vectorul director pentru d este

)1,3,2(kj3i2111112kji

NNa 21 =++=−

−=×=

Ecuatia canonica a lui d : 1z

34y

21x

=+

=+

Pentru )3,1,2(N:π

)1,3,2(N: 11π sunt vectorii normali la plan.

Pentru a determina M1 rezolv sistemul format din ecuatiile dreptei d si ale planului π :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=−λ=−=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++

λ==+

=+

z43y1x2x

04z3yx21z

34y

21x

2(2λ -1) + 3λ -4 + 3λ -4 = 0 ⇒ 10λ -10 = 0 ⇒ λ = 1 )1,1,1(M1z

1y1x

1

1

1

1

−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

Pentru a determina vectorul director 1a al dreptei d1 observam ca

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

⊥⇒π

⊥⇒π⊂

1111

11

Ndd

Ndd Alegem 1a ca fiind produsul vectorial

)4,4,8(k4j4i8132312kji

NN 1 −=++−==×

Ecuatia canonica a dreptei d1 este :

41z

41y

81x:d1

−=

+=

−−

Exerciţiul 19 Determinaţi ecuaţia proiecţiei dreptei d : ⎩⎨⎧

=−+=−+−

0z2yx01z4y2x

pe planul

π : 2x+2y+z-4 = 0

119

Soluţie:

Etapa 1. Desen şi determinarea parametrilor

π1

M N

M0

a

N (Δ)

π

Pentru d1:

Vectorul director este 21 NN a ×=

unde k4j2iN1 +−=

k2jiN2 −+=

k3j6i0211

421kji

NxNa 21 ++=−

−==

Putem lua a = 2j +k

Punctul M0 se determină luând z = 0 în sistem ⎩⎨⎧

=+=−

⇒0yx1y2x⇒ 3y = -1 ⇒ y = -

31 , x=

31⇒ M0 ( 3

1 , -31 , 0)

Pentru planul π: kj2i2N ++=

Etapa 2. Deoarece direcţia dreptei Δ nu poate fi definită de vectorii N şi a, vom determina Δ

ca intersecţie de plane. Considerăm planul π1, perpendicular pe π, care trece prin M0 şi conţine

dreapta d. Atunci Δ = π ∩ π1

Etapa 3. Pentru a obţine ecuaţia planului π1, observăm că ştim deja un punct M0 al planului şi

doi vectori N şi a, coplanari cu π1.ducem vectorul M0M cu M arbitrar şi impunem condiţia ca

produsul mixt al celor trei vectori să fie nul (condiţia de coplanaritate)

(M0M, N, a) = 0

120

N

N

C

A

M0

π1

π

120122

z31y

31x +−

= 0 ⇔ -2 (y+31 )+ 4z = 0 ⇔ π1 = 3y-6y+1= 0

Ecuaţia dreptei Δ va fi Δ: ⎩⎨⎧

=+−=−++

01z6y304zy2x2

Exercitiul 20. Fie planul π : x+2y-2z-3=0 şi A (2,-1,3). Să se determine:

a) distanţa de la punctul A la planul π

b) simetricul lui A faţă de planul π •

c) simetricul planului π faţă de punctul A.

Soluţie: •

a) d (A, π) = =++

+++

222000

CBA

DCzByAx •

= 339

441

36212==

++

−−−⋅

b) Fie M0 proiecţia ortogonală a lui A pe planul π şi B simetricul lui A faţă de planul π.

Pentru a găsi pe B este suficient să determinăm punctul M0. Pentru aceasta considerăm

dreapta d ce trece prin A şi este perpendiculară pe π, a cărei direcţie este dată de vectorul

normal la planul π.

d : λ=−−

=+

=−

23z

21y

12x deoarece a = N (1, 2, -2) ⇒

⇒ ∈λ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ−=λ+−=

λ+=

23z21y

2xR, adică ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei. Înlocuind în

ecuaţia planului π obţinem: 2+λ+2(-1+2λ)-2(3-2λ)-3 = 0 ⇒ 9λ - 9 = 0 ⇔ λ = 1.

Înlocuind în expresiile lui x, y, z pe λ cu 1 obţinem coordonatele punctului de

intersecţie ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

1z1y3x

0

0

0M0 (3,1,1)

121

Cum vectorul de poziţie al mijlocului unui segment este media aritmetică a vectorilor de

poziţie ai capetelor adică

AMBBA

M rr2r2

rrr 00 −=⇒+

= sau pe coordonate

xB = 2x0 –xA = 4

yB = 2y0 –yA = 3 ⇒ B (4,3,-1)

zB = 2z0 –zA = -1

c) Să determinăm punctul C, simetricul lui M faţă de A

)5,3,1(Ck5j3irr2r2rr

r 00 MAC

MCA −⇒+−=−=⇒

+=

Simetricul lui π faţă de A este planul π1 paralel cu π dus prin C. Ecuaţia unui plan

oarecare paralel cu π este πλ : x +2y –2z +λ = 0. π1 face parte din acest fascicol de plane

paralele cu π şi se obţine impunând condiţia C ∈ πλ, adică coordonatele lui C să verifice

ecuaţia lui πλ: 1+2 (-3)-2⋅5 +λ = 0 ⇒ λ = 15 ⇒ π1 = x + 2y - 2z + 15 = 0

Exercitiul 21. Fie dreapta d = 0

2z41y

31x +

=−+

=− şi A(-6,0,1). Să se determine:

a) distanţa de la A la dreapta d

b) simetricul lui A faţă de d

c) simetrica dreptei d faţă de A

Soluţie. C d1

Etapa 1. Elementele definitorii

ale dreptei d sunt: • A

vectorul director a = 3i –4j M1 M0 d

punctul M1 (1,-1,-2) a

Etapa 2. Fie B simetricul lui A faţă •

de dreapta d şi M0 proiecţia ortogonală

a lui A pe d. Pentru a găsi punctul B este

suficient să determinăm pe M0. Pentru aceasta

considerăm planul π ce trece prin A şi este perpendicular pe d, al cărui vector normal poate fi

luat chiar vectorul director al dreptei d. Atunci d ∩ π = {M0}.

122

Etapa 3. Ecuaţia planului π este: (r - rA) ⋅a = 0 ⇔

⇔ (x-xA)a1+(y-yA)a2+(z-zA)a3 = 0

⇔ (x+6) ⋅ 3+(y-0)(-4)+(z-1)-0 = 0

⇔ π : 3x - 4y+18= 0

Pentru a găsi punctul M0, scriem ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei d:

02z

41y

31x +

=−+

=− = λ ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=λ−−=

λ+=

2z41y

31x

şi înlocuim x,y,z în ecuaţia planului π:

3(1+3λ) - 4(-1 - 4λ) +18 = 0 ⇔25λ + 25 = 0 ⇔ λ= -1

Înlocuind λ= -1 în expresiile lui x, y, z obţinem:

)2,3,2(M2z

3y2x

0

0

0

0−−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

−=

Pentru punctul B avem: ⇒−+=−=⇒+

= k5j6i2rr2r2

rrr AMBBA

M 00 B(2,6,-5)

c) Ducem C simetricul lui M0 faţă de A şi dreapta d1 ce trece prin C şi este paralelă cu d.

Pentru a găsi ecuaţia lui d1, care are aceeaşi direcţie ca şi d, este suficient să găsim punctul C:

⇒+−−=−= k4j3i10rr2r 0MAC C(-10, -3, 4)

ecuaţia dreptei d1 este:

d1 : 04z

43y

310x −

=−+

=+

1. SPAŢII VECTORIALE :

V este spaţiu vectorial dacă :

1) (∀, +) grup comutativ;

2) a) α(βx) = (αβ)x, (∀) α, β ∈ K

b) α(x+y) = αx + αy, (∀) α∈K, (∀) x,y∈V

c) (α+β)x = αx+βx, (∀) α, β∈K, (∀) x∈V

d) 1 ⋅ x = x , (∀) x∈V

123

Exercitiul 1. Arătaţi că V = (0,∞) este spaţiu vectorial real cu operaţiile

⊕ : V x V → V; X ⊕ y = xy

⊗ : R x V → V ; α ⊗ x = xα

Soluţie

1) (V, ⊕) este evident grup comutativ

2) a) α ⊗ (β ⊗ x) = (αβ) ⊗ x ⇔ α ⊗(xβ) = xαβ ⇔ (xβ)α = xαβ (adevarat)

b) α ⊗ (x ⊕ y) = (α ⊗ x) ⊕ (α ⊗ y) ⇔ α ⊗ xy = (xα) ⊕ (yα) ⇔ (xy)α = xα ⋅

yα(adevarat)

c) (α + β) ⊗ x = (α ⊗ x) ⊕ (β ⊗ x) ⇔ xα+β = xα ⋅ xβ (adevarat)

d) 1 ⊗ x = x ⇔ x1 = x (adevarat)

2. SUBSPAŢII VECTORIALE

Fie V/K spaţiu vectorial şi V’ ⊂ V, V’ ≠ φ, este subspaţiu în V ⇔

1) a) (∀) x,y ∈ V’ ⇒ x + y ∈ V’

b) (∀) α ∈ K; x ∈ V’ ⇒ α x ∈ V’

2) (∀) α, β ∈ K; (∀) x,y ∈ V ⇒ αx + βy ∈ V.

Exercitiul 2 Verificaţi care din urmatoarele submulţimi sunt subspaţii în spaţiile indicate în dreptul

lor.

1) V1 = {(x1, x2, x3) / x1 + 2x2 – x3 = 0} în R3/R

2) V2 = {(x1, x2, x3)/ x1 + 2x2 – x3 = 2} în R3/R

3) V3 = ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛Ry,x,yxz/

z00y0x

în M 3,2 (R)/R.

Soluţie

1) Fie α, β ∈ R si x,y ∈ V ⇒ 0yy2ycu)y,y,y(y0xx2xcu)x,x,x(x

321321

321321

=−+==−+=

αx + βy = α(x1, x2, x3) + β(y1,y2,y3) = (αx1, αx2, αx3) + (βy1 + βy2 + βy3)=

= (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , αx3 + βy3).

124

(αx1 + βy1) + 2(αx2 + βy2) – (αx3 + βy3) = 0yy2yxx2x0

3210

321 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+β+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+α

==

αx + βy ∈ V1 ⇒ V1 este subspaţiu.

2) Fie α1β∈R, x,y∈V2 ⇒ ( )( ) 2yy2ycuy,y,yy

2xx2xcux,x,xx

321321

321321

=−+==−+=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) generalinyyyxxx

yxyxyxAtunciyxyxyxyx2222

2,,

2321

2321

332211332221

≠+=−++−+==+−++++++=+

==βαβα

βαβαβαβαβαβαβα

αx + βy ∉ V1 în general ⇒ V2 nu este subspaţiu vectorial în R3/R .

Observatie V2 este varietate liniară în R3/R .

( ){ }Rx,x/x2x,x,xV 2121211 ∈+=

( ){ }Rx,xx2x2,x,xV 2121212 ∈++−=

V2 - x0 = V1, unde x0 (0,0,-2).

3) Fie α1β∈R şi A,B ∈ V3 ⇒ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

yx00y0x

B;ba0

0b0a

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

β+β+α+αβ+αβ+α

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+β+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+α=β+α

yxba00yb0xa

xy00y0x

ba00b0a

BA ⇒ V3 subspaţiu

3. OPERAŢII CU SUBSPAŢII

Exercitiul 3 In R3/R fie subspaţiile

( ){ }( ){ }0yy2y3/y,y,yV

0xxx/x,xxV

3213212

3213211

=−+==−+=

Determinaţi V1 ∩ V2

Soluţie Fie x∈ V1∩V2 ⇒ x = (x1, x2, x1+x2) = (y1, y2, 3y1+2y2 )

125

( ){ }( ){ }21212

21211

y2y3,y,yVxx,x,xV+=+=

Identificăm cele două reprezentări ale lui x şi exprimăm xi funcţie de yi sau yi funcţie

de xi, obţinând astfel forma elementelor commune.

122121212121

12

11

22

11

2;02;23232

yyyyyyyyyyxxyx

yxyxyx

−==++=+⇒+=+⎩⎨⎧

−==

==

V1 ∩ V2 = ( ){ }Ry/y,y2,y 1111 ∈− .

4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ

Fie V/k spaţiu vectorial şi { } VuuuS n ⊂= ...21

a) S este liniar independent : dacă din α1u1 + α2u2 + …+ αnun = θ ⇒

b) α1 = α2 = … = αn = 0.

b) S este liniar dependent : dacă (∃) αi ∈ K ; n,1i = nu toţi nuli aşa încât

α1u1 + α2u2 +…+ αnun = θ.

Exercitiul 4 Studiaţi dependenţa sau independenţa liniară a urmatoarelor sisteme de vectori în spaţiile

indicate în dreptul lor.

1) ( ) ( ) ( ) R3

uuu

1 /Rin3,2,1,2,0,1,1,2,1S321

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

2) ( ) ( ) ( ) R3

vvv

2 /Rin1,1,5,0,1,2,1,1,1S321

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

3) R2

MM2MM

3 )R(Min1111

;0111

;0011

;0001

S

431

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

PRACTIC: Pornim de la combinaţia liniară nulă α1u1+…+αnun = θ, efectuăm calculele

şi obţinem un sistem liniar omogen de n ecuaţii cu n necunoscute.

a) Dacă sistemul omogen admite numai soluţia banală (Δ ≠0) ⇒ S este liniar independent

b) Daca sistemul admite soluţii nebanale (Δ = 0) ⇒ S este liniar dependent.

126

Soluţie :

1) α1u1 + α2u2 + α3u3 = θ ⇔ α1(1,2,1) + α2(-1,0,2) + α(1,2,3) = θ

⇔ 044642321202111

032022

321

31

321

≠=−++−=−

=Δ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α++α=α+αα+α+α

⇒ α1 = α2 = α3 =0 ⇒ S1 este liniar independent.

2) α1v1 + α2v2 + α3v3 = θ ⇔ α1 ( 1,1,1 ) + α2( 2,-1,0 ) + α3(5,-1,1)

⇒=−−=Δ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α+α=α−α−α=αα+α

⇔ 0101111

521

00052

31

321

321

⇒ exista soluţii nebanale ⇒ S2 este sistem liniar dependent.

Observatie : Relaţia de dependenţă dintre vectorii unui sistem S se obţine rezolvând

sistemul omogen şi înlocuind soluţiile găsite în combinaţia liniară nulă de la care am

pornit.

R,2

113

12 ∈α⎩⎨⎧

α−=αα=α

α1v1 + 2α1v2 - α1v3 = θ / α1 ⇒ v1 + 2v2 – v3 = θ.

3) α1M1 + α2M2 + α3M3 + α4M4 = θ ⇔

⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

0000

1111

0111

0011

0001

4321

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=++=++=+++

0000

0000

4

3

2

1

4

43

432

4321

αααα

αααααααααα

S3 liniar independent

127

5. SISTEME DE GENERATORI

Fie V/k spaţiu vectorial şi S = { u1, u2, …, un } ⊂ V.

S este sistem de generatori pentru V/K dacă (∀) x ∈ V, (∃) αi ∈ K , n,1i = aşa încât

x = α1u1 + α2u2 + … + αnun .

Exercitiul 5 Verificaţi care din sistemele de vectori de la exercitiul 4 sunt sisteme de

generatori, pentru spaţiile indicate în dreptul lor.

PRACTIC : Se alege un element arbitrar, x ∈V şi se egalează cu combinaţia liniară a

vectorilor din S (α1u1 + α2u2 + … + αnun = x) . Efectuăm calculele şi obţinem un sistem liniar

neomogen de n ecuaţii cu n necunoscute α1, α2, … , αn şi cu termenii liberi arbitrari.

a) Dacă sistemul admite mereu soluţii (Δ ≠0) atunci S este sistem de generatori.

b) Dacă există cazuri în care sistemul neomogen nu are soluţii (Δ=0), atunci S nu este

sistem de generatori.

Soluţie :

1) Fie x ∈ R3, x = (a,b,c) arbitrar

α1u1 + α2u2 + α3u3 = x ⇔ α1(1,2,1) + α2 (-1,0,2) + α3 (1,2,3) = (a,b,c)

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α+α+α=α+α=α+α−α

c32b22a

311

31

311

; Δ = 4 ≠ 0 ⇒ S sistem de generatori

2) Fie x ∈R3, x = (a,b,c) arbitrar.

α1v1 + α2v2 + α3v3 = x ⇒ α1 (1,1,1) + α2 (2,-1,0) + α3 (5,-1,1) = (a,b,c)

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α+α=α−αα=α+α+α

cba52

31

321

321

; Δ = 0 ⇒ S nu este sistem de generatori

6. BAZA ÎN SPAŢII VECTORIALE

Fie V/K spaţiu vectorial şi B = {u1 , u2 … un } ⊂ V.

B este baza în V ⇔ 1) B este liniar independent

2) B este sistem de generatori

128

Exercitiul 1 Verificaţi dacă urmatoarele sisteme de vectori sunt baze în spaţiile indicate în

dreptul lor:

1) ( ) ( ) ( ) R3

uuu

1 /Rin2,3,10,1,2,1,2,1B321

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −⋅−=

2) R2

MMMM

2 /)R(Min11

12,

0011

,0111

,1111

B

4321

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3) R2

v2

vv

3 /]x[Pin1x,1x,1B321

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=

Soluţie : 1) Independenţa liniară :

α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0 ⇔ α1(1,21) + α2(-2,110) + α3(-1,3,2) = (0,0,0) ⇔

⇒≠=++−=−−

=Δ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=αα=α+α+α=α−α−α

058162201312121

020202

31

321

311

α1= α2= α3= 0 ⇒

⇒ B1 este liniar independent.

2) Sisteme de generatori : Fie x = (a,b,c) ∈ R arbitrar. Să determinăm

α1, α2, α3 ∈ R asa incat α1u1 + α2u2 + α3u3 = x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α+α=α+α+α=α−α−α

c2b32a2

31

321

321

Δ = S ≠ 0 ⇒ Sistemul are soluţie unică ⇒

B1 este sistem de generatori ⇒ B1 este baza

2) liniar independentă :

α1M1 + α2M2 + α3M3 + α4M4 = θ ⇔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

α+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α⇔

0000

1112

0011

0111

1111

4321 ⇔

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=Δ

=α+α=α+α+α=α+α+α+α=α+α+α+α

⇔

0001201121113111

1001101111112111

00002

41

421

4321

4321

129

= ( ) ⇒≠=−−+−=− + 01)2322(201211311

1 14 unica soluţie α1= α2 = α3 = α4 = 0 ⇒

B2 liniar independent.

Sistem de generatori : Fie )R(Mdcba

M 2∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= . Să determinăm α1, α2 , α3 , α4 aşa încât

α1M1 + α2M2 + α3M3 + α4M4 = M.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=α−α=α+α+α=α+α+α+α=α+α+α+α

dcba2

41

421

4321

4321

⇒ Δ = +1 ≠ 0 ⇔ soluţie unică (∀) a,b,c,d

⇒ B2 este sistem de generatori

⇒B2 este baza.

4) Liniar independenta : α1v1 + α2v2 + α3v3 = θ ⇔

5) α1 ⋅ 1 + α2 (x-1) + α3 (x2+1) =0 ⇔

α3x2 + α2x + (α1 - α2 + α3) = 0 ⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α=α=α

000

1

2

3

⇒ B liniar independent

Sistem de generatori : Fie P ∈ P2 [x] , P = ax2 + bx + c . Să determinăm α1, α2, α3 aşa încât

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α=α

+−=α⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α−α−α=α=α

⇒=α+α+αab

cab

cba

Pvvv

3

2

1

321

2

3

332211

P = (b – a + c) + b(x-1) + a(x2+1).

⇒B3 este bază.

Exercitiul 2

În R3/R fie ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−−=

54321 uuuuu

1,1,2,2,5,1,1,3,0,0,1,1,1,2,1S

1) Studiaţi independenţa sau dependenţa liniară a lui S;

2) Determinaţi L(S) specificând bazele ce se pot extrage din S ale lui L(S);

130

3) Fie S1 = { u1, u2, u3 } , S2 = {u4, u6 }. Determinaţi L(S1), ∩ L(S2).

Soluţie :

1) α1u1 + α2u2 + α3u3 + α4u4 + α5u5 = θ ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α+α−α+α=α+α+α+α+α=α+α+α−α

02053202

5431

54321

5421

Sistemul omogen are o infinitate de soluţii deoarece exista mai multe necunoscute

decât numărul de ecuaţii.

⇒S este liniar dependent.

Observatie Cum dimR R3 = 3 , ⇒ orice sistem liniar independent are cel mult 3 vectori ⇒ S

liniar dependent.

2) L(S) = { }S,1i,R/uuuuu 15544332211 =∈αα+α+α+α+α .

Observatii 1) Pentru a determina L(S) trebuie să găsim o baza în L(S) adică, un cel mai bogat

subsistem independent al lui S. Atunci L(S) = L(B), B ⊂ S.

B – se determină în modul urmator: se scrie matricea cu coordonatele vectorilor din S şi se

determină rangul acestei matrici. Dacă rang A = r, în B vor fi r vectori, anume vectorii ce

constituie minorul care dă rangul.

vectoriareBArang

A

33

0452201

512111

0101312011

031211

'

;121011531221011

21

⇒=

≠−−−=−

−=Δ=

−=Δ

≠=−

=Δ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

B = {u1, u2, u4 } baza in L(S) ⇒ dimR L(S) = 3

L(S) = {α1u1 + α2u2 + α4u4 / α1, α2, α4 ∈ R}

L(S) = R3 pentru că are aceiaşi dimensiune ca şi R3.

131

2) Există atâtea baze în S câţi minori de ordin 3 nenuli conţine matricea A, formată din

coordonatele vectorilor.

3) L(S1) = L(u1, u2, u3) = L(u1, u2) = {α1u1 + α2u2 / α1, α2 ∈ R} =

{(α1 - α2, 2α1 + α2 , α1 )/ α1, α2 ∈R

L(S2) = L(u4 , u5 ) = {α4u4 + α5u5 / α4 , α5 ∈R } = {α4 (1,5,-2) + α5 (2,1,1)/α4 ,α5 ∈R}=

={(α4 + 2α5 , 5α4 + α5 , -2α4 + α5)/ α4 , α5 ∈R }

x ∈ L(S1) ∩ L(S2) ⇒ x = (α1 - α2 , 2α1 + α2 , α1) = (α4 + 2α5 , 5α4 + α5 , 2α4 + α5) ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒+=+−⎩⎨⎧

==

⇒−−=+−=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+=+

+=−

05732

252

2

45454

52

51

542

541

541

5421

5421

ααααααααα

αααααα

ααααααααααα

L(S1)∩ L(S2) = {(2α5 , α5 , α5 )/ α5 ∈ R}

6. MATRICEA DE TRECERE DE LA O BAZA LA ALTA. MODIFICAREA

COORDONATELOR UNUI VECTOR LA O SCHIMBARE DE BAZA

Matricea de trecere de la B1 la B2 este matricea de coeficienţi luată răspuns din

exprimarea vectorilor bazei B2 în baza B1, iar formula de modificare a coordonatelor

este 12 B

1B XCX −=

Exercitiul 1 In R3/R fie BC = {e1=(1,0,0); e2 =(0,1,0); e3 =(0,0,1) } baza canonica si

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

321 uuu

1 2,1,3;0,1,1;1,2,1B o alta baza in R3.

a) determinaţi matricea de trecere de la BC la B1

b) determinaţi coordonatele vectorului x =(2,3,-5) in baza B1

Soluţie

a) u1 = (1,2,1) = (1,0,0) + (0,2,0) + (0,0,1) = e1 + 2e2 + e3

u2 = (1,-1,0) = (1,0,0) + (0,-1,0) + (0,0,0) = e1 – e2 + 0e3

u3 = (3,1,-2) = (3,0,0) + (0,1,0) + (0,0,-2) = 3e1 +e2 –2e3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

201112311

C

Observatii:

132

1) Numai în baza canonică componentele unui vector coincid cu coordonatele sale:

x=(a,b,c) = ae1 + be2 + ce3.

2) Matricea de trecere de la baza canonică la o baza B1 este formată din coodonatele

vectorilor bazei B1 ,scrise pe coloane.

b) C1C B

1BB XCX

532

X −=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

Soluţia 1 : Calculam C-1 ; det 104312201

112311

C =+++=−

−= *1 CCdet

1C ⋅=−

C*= (Aji) unde Aij = (-1)i+j Δij , Δij fiind minorul matricii A obţinut prin eliminarea liniei i şi

a coloane j.

312

11)1(A1

0111

)1(A10112

)1(A

51231

)1(A521

31)1(A5

2112

)1(A

41151

)1(A220

31)1(A2

2011

)1(A

3333

3223

3113

2332

2222

2112

1331

1221

1111

−=−

⋅−==⋅−==−

⋅−=

=⋅−=−=−

⋅−==−

⋅−=

=−

⋅−==−

⋅−==−

−⋅−=

+++

+++

+++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=−

311555422

101C 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⋅= −

231

203010

101

532

311555422

101XCX BC

1B1

( )11 BB 2,3,1X −−=

133

Soluţia 2

XBC = C XB1 ⇔

⇒−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=

=+=+−=++

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

5/x5

10x4x25x2x

5x4x33xxx22x2xx

xxx

201112311

332

1

3131

31321

321

3

2

1

3x2x1x

2

3

1

−==−=

⇒ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=231

x1B

Exercitiul 2

În R3/R fie ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

321 vvv

1 1,1,0,1,0,1,0,1,1B si ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

321 uuu

2 2,1,3,0,1,1,1,2,1B , baze in R3.

a) determinăm matricea de trecere de la B1 la B2;

b) determinăm coordonatele vectorului X în baza B2 dacă )5,3,2(X1B −= în B1 .

Soluţie :

a) pentru a determina matricea de trecere de la B1 la B2 exprimăm vectorii bazei B2 în

baza B1

u1 = C11V1 + C21V2 + C31V3 (1)

u2 = C12V1 + C22V2 + C32V3 (2)

u3 = C13V1 + C23V2 + C33V3 (3)

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒=+=+=+

⇔++=⇔1C0C1C

1CC2CC1CC

)1,1,0(C)1,0,1(C)0,1,1(C)1,2,1(

31

21

11

3121

3111

2111

312111

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

=+−=+=+

⇔++=−⇔0CC1CC

1CC)1,1,0(C)1,0,1(C)0,1,1(C)0,1,1(

3222

3212

2212

322212

134

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

⇒1C

1C0C

23

22

21

(3) ( ) ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=+

⇔++=−⇔0CC1CC

1CC)1,1,0(C)1,0,1(C)0,1,1(C2,1,3

3323

3313

2313

332313

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

⇒1C

1C0C

33

23

13

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

111010001

C

b) ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−==++

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⇔=

5x2xx3x2x3xx

xxx

211010301

532

CXX

321

2

321

3

2

1

BB 21

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=

⇒5/4

35/2

3

2

1

xx

x

( )22 BB 5/4,3,5/2X −=

135

SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Exercitiul 3 Fie sistemul de ecuatii liniare

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−+−=++++=++−+=−++−

7x5x3x4x4x13xx5x2x2x310x3x4xx3x

3x2xx3xx2

54321

54321

54321

54321

a) Determinaţi rang A;

b) rezolvaţi sistemul omogen asociat;

c) rezolvaţi sistemul neomogen utilizând soluţia celui omogen.

Soluţie :

a) ~

875708757087570

34131

~

534411522321312

34131

~

53441152233413121312

A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−−

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

=

2Arang

00000000000001000001

~

~

00000000001111000001

~

11110111101111000001

~

875708757087570

00001

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−−

b) undaresecenecunoscutx,x,x,undaresec4,3ecuatiile

principaleenecunoscutxx,principale2,1ecuatiile07

3112

p543

21⇒≠=−

=Δ

Notăm x3 = α, x4 = β, x5 = ϒ ⇒

136

γ−γ+β+α−=−γ+β−α−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

γ−β−α=+γ+β−α−=−

75x7378/x7

334x3x23xx2

2

1

21

21

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ=β=α=

γ−β−α=

γ+β−α−=

543

2

1

x;x;x7

875x

7378x

α,β,ϒ∈R

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈γβα⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γβαγ−β−αγ+β−α−= R,,/,,,

78

73,

73

78S0 dimR S0 = 3

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈γβα⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γγ−γ+ββ−β−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ααα−= R,,,,0,0,

78,

730,,0,,0,0,,

75,

78S0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈γβα⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−γ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−β+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−α= R,,,1,0,0,

78,

730,1,0,1,10,0,1,

75,

78S

31

1 uu

u

0

B={u1, u2, u3} este bază în S0.

c) neom.SpartomSgenneomSgen +=

Δ car 1 = Δ car 2 = 0 sistem compatibil.

O soluţie particulară a sistemului neomogen se obţine dând variabilelor secundare

valori particulare în sistemul neomogen şi rezolvând ceea ce a ramas.

Luăm : x3 = x4 = x5 = 1

1x1x

4x3x1xx2

2

1

21

21

==

⇒⎩⎨⎧

=+=−

137

7. APLICAŢII LINIARE ÎNTRE SPAŢII VECTORIALE

(T) f : V → W este aplicaţie liniară ⇔

I) a) (∀) x,y ∈V f(x) + f(y) = f(x+y)

b) (∀) α ∈K, (∀) x∈V f( αx) = αf(x),

II) (∀) α, β ∈K, (∀) x,y ∈V ⇒ f(αx + βy) = α f(x) + β f(y)

Kerf = {x∈V / f(x) = θ}

Imf = {f(x) / x∈V}

Exercitiul 1 Fie f : R3 → R3 , f(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1+ x3, x1+ x2 ).

1) arătaţi ca f este liniară

2) determinaţi Ker f şi Imf

3) determinaţi matricea asociată lui f în Bc şi în baza

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=321 uuu

1 2,3,1;1,1,2;1,2,1B

Soluţie

1) f liniară ⇔ f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) (∀) α, β ∈ R , (∀) x,y ∈R3.

Fie α, β ∈ R si x,y∈R3 ⇒ x = (x1, x2, x3) , y = (y1, y2, y3 )

αx + βy = α( x1, x2, x3) + β( y1, y2, y3) = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3 )

f(αx + βy) = ((αx2 + βy2)+( αx3 + βy3), (αx1 + βy1)+( αx3 + βy3), (αx1 + βy1)+ (αx2 + βy2))=

= (αx2 + αx3 , αx1 + αx3, αx1 + αx2) + (βy2 + βy3, βy1 + βy3, βy1 + βy2) =

= α(x2 + x3 , x1 + x3 , x1 + x2) + β(y2 + y3 , y1 + y3 , y1 + y2) = α f(x) + β f(y) ⇒ f este liniara

2) Ker f = { x∈R3/ f(x) = θ }

f(x) = θ ⇔ (x2 + x3 , x1 + x3 , x1 + x2) = (0,0,0) ⇔

0x0x0x

0xx0xx0xx

3

2

1

21

31

32

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=++

Ker f = {θ} ⇒ f injectivă

Pentru a determina Imf utilizăm teorema dimensiunii pentru nucleu şi imagine adică:

138

3)f(Imdim0)Kerf(dim

3)f(Imdim)Kerf(dimR

R

RR =⇒⎭⎬⎫

==+

Observatie:

Dacă un subpaţiu are aceeaşi dimensiune ca şi spaţiul în care se află , el coincide cu

acest spaţiu.

Imf = R3 ⇒ f este surjecţie ⇒ f este bijecţie. Fiind morfism ⇒ f = izomorfism şi deoarece

f : R3 → R3 ⇒ f este automorfism.

3) Matricea lui f în BC este matricea de coeficienţi luată transpus din exprimarea imaginii

vectorilor bazei BC în raport cu această bază,

f(e1) = f(1,0,0) = (0,1,1) = 0e1 + 1e2 + 1e3

f(e2) = f(0,1,0) = (1,0,1) = 1e1 + 0e2 + 1e3

f(e3) = f(0,0,1) = (1,1,0) = 1e1 + 1e2 + 0e3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

ABc

Observatie : Matricea asociată unei aplicaţii liniare în baza canonică este formată din

coeficienţii componentelor aplicaţiei scrisi pe linie

In baza B1

f(u1) = f(1,2,1) = (3,2,3) = a11u1 + a21u2 + a31u3 (1)

f(u2) = f(2,-1,1) = (0,3,1) = a12u1 + a22u2 + a32u3 (2)

f(u3) = f(1,-3,2) = (-1,3,-2) = a13u1 + a23u2 + a23u3 (3)

(1) ⇔ f(1,2,1) = (3,2,3) = a11(1,2,1) + a21(2,-1,1) + a31(1,-3,2) ⇔

5/2a5/2a5/9a

3a2aa2a3aa23aa2a

31

21

11

312111

312111

312111

==−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−=++

(2) ⇔ f(2,-1,1) = (0,3,1) = a12(1,2,1) + a22(2,-1,1) + a32(1,-3,2) ⇔

139

16/3a16/9a16/21a

1a2aa3a3aa20aa2a

32

22

12

322212

322212

322212

−=−=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−=++

(3) ⇔ f(1,-3,2) = (-1,3,-2) = a13(1,2,1) + a23(2,-1,1) + a33(1,-3,2) ⇔

5/11a5/24a

5/12a

2a2aa3a3aa21aa2a

33

23

13

332313

332313

332313

=−==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=−−−=++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

5/1116/35/25/2416/95/2

5/1216/215/9A

1B

Observatie: Dacă notăm cu T matricea de trecere de la BC la B1 matricea lui f în baza B1 se

obţine din matricea lui f în baza BC prin relaţia TATAC1 B

1B ⋅= −

Exercitiul.2 Fie f : R3 → R3 data prin f(x1 , x2 , x3) = (x1 + 2xx – x3, 2x1 + x3, 3x1 + 2x2)

1) arătaţi că f este liniară

2) determinaţi Ker f şi Imf

3) determinaţi matricea lui f în baza canonică şi baza ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

321 uuu

1 1,1,0,1,0,1,0,1,1B

Soluţie b) Ker f = {x ∈ R3 / f(x) = θ }

f(x) = θ ⇔ (x1 + 2x2 –x3 , 2x1 + x3 , 5x1 + 2x2 ) = (0,0,0)

R4x3x2x

x2/3xx2x

0x2x30xx20xx2x

3

2

1

12

13

21

31

321

∈α⎪⎩

⎪⎨

⎧

α−=α−=α=

−=−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=−+

Ker f = {(2α, -3α, -4α)/ α∈R } = {α(2,-3,-4)/ α ∈ R}

O bază în Ker va fi B2 = {(2,-3,-4)} ⇒ dimR (Ker f) = 1

Din teorema dimensiunii pentru nucleu şi imagine avem

2)f(Imdim1)fKer(dim

3)f(Imdim)fKer(dimR

R

RR =⇒⎭⎬⎫

==+

140

Pentru a determina Imf trebuie să găsim o baza în Imf adică doi vectori liniari

independenţi. Pentru aceasta luăm doi vectori x, y din domeniu aplicaţiei, calculam f(x), f(y)

şi studiem independenţa acestor vectori. Dacă sunt dependenţi luăm altă pereche de vectori din

domeniu până găsim perechea de vectori cu imagini independente.

În cazul nostru luăm vectorii:

e1 = (1,0,0) f(e1) = f(1,0,0) = (1,2,3) = u

e2 = (0,1,0) f(e2) = f(0,1,0) = (2,0,2) = v

Studiem independenţa vectorilor u şi v.

αu + βv = α(1,2,3) + β(2,0,2) = (α + 2β , 2α1 , 3α + 2β) = (0,0,0)

{ }⇒===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+==+

tindependenliniarestevuB },00

0230202

3βα

βαα

βα B3 este baza în Imf

Imf = {αu + βv / α,β ∈R} = {(α+2β, 2α, 3α + 2β) / α,β ∈R}

3) În baza BC = {e1, e2, e3} avem

f(e1) = f(1,0,0) = (1,2,3) = 1e1 + 2e2 = 3e3

f(e2) = f(0,1,0) = (2,0,2) = 2e1 + 0e2 = 2e3

f(e3) = f(0,0,1) = (-1,1,0) = -1e1 + 1e2 + 0e3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

023102121

ABc

Observatie Matricea lui f în baza canonică este matricea de coeficienţi ai componentelor lui

f scrişi pe linie.

În baza B1 avem

f(u1) = f(1,1,0) = (3,2,5) = a11u1 + a21u2 + a31u3 (1)

f(u2) = f(1,0,1) = (0,5,3) = a12u2 + a22u2 + a32u3 (2)

f(u3) = f(0,1,1) = (1,1,2) = a13u1 = a23u2 + a33u3 (3)

(1) ⇔ (3,2,5) = a11(1,1,0) + a21(1,0,1) + a31(0,1,1) ⇔

2a3a0a

5aa2aa3aa

31

21

11

3121

3111

2111

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+=+

⇔

(2) ⇔ (0,3,3) = a12(1,1,0) + a22(1,0,1) + a32(0,1,1) ⇔

141

3a0a0a

3aa3aa0aa

32

22

12

3222

3212

2212

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+=+

⇔

(3) ⇔ (1,1,2) = a13(1,1,0) + a23(1,0,1) + a33(0,1,1) ⇔

1a1a0a

2aa1aa1aa

33

23

13

3323

3313

2313

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+=+

⇔

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

132103000

A1B

Observatie : Dacă T este matricea de trecere de la BC la B1 adică ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

110101011

T atunci

TATAC1 B

1B

−=

Exercitiul.3 Se da f : R3 → R3 , f(x1, x2, x3) = (2x1 – x2, x1 + x2 –x3, 3x2 – 2x3)

a) arătaţi că f este liniară

b) determinaţi Ker f şi Imf

c) determinaţi matricea lui f în baza canomică.

Soluţie b) Ker f = { x∈R3/ f(x) = θ }

f(x) = θ ⇒ (2x1 – x2, x1 + x2 – x3, 3x2 – 2x3) = (0,0,0) ⇔

R,3x2x

x

00x3xx2x

0x2x30xxx0xx2

3

2

1

13

12

32

321

21

∈α⎪⎩

⎪⎨

⎧

α=α=α=

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=−

( ){ } ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈αα=∈αααα= R/3,2,1R/3,2,fKer1u321

B1 = {(1,2,3)} este baza in Ker f ⇒ dimR (Ker f) = 1

Conform teoremei dimensiunii pentru nucleu şi imagine

142

2)f(Imdim1)fKer(dim

3)f(Imdim)fKer(dimR

R

RR =⇒⎭⎬⎫

==+

Fie vectorii

e1 =(1,0,0) ⇒ f(e1) = (2,1,0) = u

e2 = (0,1,0) ⇒ f(e2) = (-1,1,3) = v

αu + βv = α(2,1,0) + β(-1,1,3) = (2α-β, α + β, 3β)

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=β=α

=β=β+α

=β−α

00

03002 { }

⎭⎬⎫

=

=

2fImdim

t independenliniar estev,uB

R

2 ⇒ B2 baza în Imf.

Imf = {αu+ βv / α,β∈R } = {(2α - β, α+β, 5β) / α,β∈R }

c) f(e1) = f(1,0,0) = (2,1,0) = 2e1 + 1e2 + 0e3

f(e2) = f(0,1,0) = (-1,1,3) = -1e1 + 1e2 + 5e3

f(e3) = f(0,0,1) = (0,-1,-2) = 0e1, -1e2 + 2e3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

230111

012ABc

VALORI SI VECTORI PROPRII . DIAGONALIZAREA UNUI ENDOMORFISM

Pentru diagonalizarea unui endomorfism folosim valorile si vectorii proprii asociati lui f.

Daca A este matricea asociata lui f intr-o baza oarecare atunci valorile proprii sunt

solutiile ecuatiei det (A - λ In) = 0 numita ecuatia caracteristica iar pentru λ fixat,

vectorii proprii corespunzatori sunt solutiile sistemului omogen (A -λIn)X = θ

f este diagonalizabila ⇔

1) λi ∈ K , ∀ I= n,1

2) dimk Vf (λi) = θ(λi), ∀i = n,1

iar forma diagonala are matricea asociata cu valorile proprii pe diagonala principala si

zero in rest, baza in care exista aceasta forma fiind reuniunea bazelor subspatiilor

proprii.

143

Exercitiul 1 Se da transformarea f : R3 → R3 , f(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 ).

Verificati daca f este diagonalizabila si in caz afirmativ determinam expresia sa diagonala si

baza in care f are aceasta expresie

Solutie :

Valorile proprii sunt solutiile ecuatiei det(A - λI3) = 0 unde A este matricea lui f

in BC

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

ACB ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−λ−

λ−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛λ−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=λ−

111111

100010001

111101110

IA 3

( )( ) 21012101011001

)2(

1111111

)2(11

11222

111111

det)IAdet(

3212

3

=λ−=λ=λ=+λλ−=λ−−

λ−−λ−=

=λ−

λ−λ−=λ−

λ−λ−λ−λ−

=λ−

λ−λ−

=λ−

spec (f) = {-1,2}

Vectorii proprii asociati valorii proprii λ sunt solutii nebanale ale sistemului liniar

omogen (A - λIn)X = θ

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−λ−

λ−⇔θ=λ−

000

xxx

111111

XIA

3

2

1

3

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ−+=+λ−+=++λ−

0xxx0xxx0xxx

321

321

321

λ = -1

144

Rxx

x

xxxxxxxxx

∈==

−−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

βαβα

βα,

000

2

1

1

221

321

321

Vf (-1) = {(-α -β, α, β) / α,β∈R} = {(-α, α, 0) + (-β, 0, β) / α,β∈R} =

( ) ( ) ( ) ( )}1,0,1,0,1,1{B}R,/1,0,10,1,1{21

21

uu

1

uu

876876

321321 −−=⇒∈βα−β+−α= baza in Vf (-1)

dimR Vf (-1) = 2

λ = 2

Rxxx

xxxxxxxxx

∈===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++−

γγγγ

3

2

1

321

321

321

020202

Vf (2) = } )}2()1,1,1({}/)1,1,1({}/),,{(3

3

2 f

u

u

VinbazaBRR321

876=⇒∈=∈ γγγγγγ

DimR Vf (2) = 1

3) f este diagonalizabila deoarece :

a) –1, 2 ∈ R

b) dimR Vf (-1) = 2 = θ(-1) , dimR Vf (2) = 1 = θ(2)

Matricea asociata lui f in forma sa diagonala este ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λ=

200010001

000000

A

3

2

1

Expresia canonica a lui f este:

145

f(x1, x1, x3) = (λ1x1, λ2x3, λ3x3) = (-x1, -x2, 2x3)

Baza in care f admite expresia canonica este reuniunea bazelor subspatiilor proprii, adica:

B = B1 ∪ B2 = {(-1,1,0), (-1,0,1), (1,1,1)}

Exercitiul 2

Fie f : R3 → R3 cu matricea asociata in baza canonica

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

113151311

ACB

a) determinati expresia analitica a lui f

b) este f diagonalizabila ? Daca da specificati forma diagonala si stabiliti baza in care f

are aceasta forma.

Solutie:

a) Transformarea asociata matricei A este Y = AX.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=

++=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇔=

3213

3212

3211

3

2

1

3

2

1

xxx3yxx5xyx3xxy

xxx

113151311

yyy

AXY

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + 3x3, x1 + 5x2 + x3, 3x1 + x2 + x3)

b) 1) valorile proprii sunt solutiile ecuatiei

0)IAdet( 3 =λ−

det(A-λI3) = =λ−

λ−λ−

113151311

(1-λ)2 (5-λ) + 6 – 9(5-λ)– 2(1-λ) = (λ-1)2 (5-λ) +11λ - 41 =

= (λ-1)2 (5-λ) + 11λ - 41 = (λ2 - 2λ + 1) (5 - λ) + 11λ - 41 =

= 5λ2 - 10λ + 5 - λ3 + 2λ2 - λ + 11λ - 41 =

146

= -λ3 + 7λ2 – 36 = 0

λ3 - 7λ2 + 36 = 0 → λ = -2

(λ + 2) (λ2 - 9λ + 18) = 0

(λ + 2) (λ - 3) (λ - 6) = 0 , λ1 = -2 , λ2 = 3 , λ3 = 6

Spec f = {-2, 5, 6}

2) vectorii proprii sunt solutiile nebanale ale sistemului

(A - λI3) X = θ ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ−++=+λ−+=++λ−

⇔⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−λ−

λ−

0x)1(xx30xx)5(x0x3xx)1(

000

xxx

113151311

321

321

321

3

2

1

λ = 3

Rxxx

00xxxx

0x2xx30xx2x0x3xx2

3

2

1

12

13

321

321

321

∈α⎪⎩

⎪⎨

⎧

α=α−=

α=

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++=++−

Vf (3) = {(α, -α, α) / α∈R } = }R/)1,1,1({1u

∈α−α321

cu baza B1 = {(1,-1,1)}

DimR Vf (3) = 1

λ = 6

Rx

2xx

00x2x

xx

0x5xx30xxx0x3xx5

3

2

1

12

31

321

321

321

∈β⎪⎩

⎪⎨

⎧

β=β=

β=

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++−

Vf (6) = {(β, 2β, β) / β∈R } = {β(1,2,1) / β∈R} cu baza B2 = {(1,2,1)}

dimR Vf (6) = 1

147

λ = -2

Rx

0xx

00xx

0x

0x3xx30xx7x0x3xx3

3

2

1

13

2

321

321

321

∈γ⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ−==γ=

=−=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

Vf (-2) = {(γ, 0, -γ) / γ∈R } = {γ(1,0,-1) / γ∈R} cu baza B3 ={(1,0,-1)}

dimR Vf (-2) = 1

f diogonalizabila ⇔ 1) 3, 6, -2 ∈ R

2) dimR Vf (3) = 1 ∈ θ (3)

dimR Vf (6) = 1 = θ (6)

dimR (-2) = 1 = θ (-2)

Matricea asociata lui f in forma sa doagonala este

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

200060003

A

Expresia canonica a lui f este:

f(x1, x2, x3) = (3x1, 6x2, -2x3)

Baza in care f admite expresia canonica este reuniunea bazelor subspatiilor proprii

B = B1 ∪ B2 ∪ B3 = {(1,-1 ,1), (1, 2, 1), (1, 0, -1)}

Exercitiul 3 Este diagonalizabila transformarea

f : R3 → R3 f(x1, x2, x3) = (2x1 – x2, x1 + x2 – x3, 3x2 – 2x3) ?

Solutie

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

230111

012A

CB

Valori proprii

148

0)208)(1(230

111012

)IAdet( 23 =+λ−λλ−=

λ−−−λ−

−λ−=λ−

λ1 = 1, λ2,3 ∈ C ⇒ λI ∈ R → f nu este diagonalizabila.

Exercitiul 4 Fie transformarea f : R3 → R3 pentru care f(1,1,1) = (2,2,0)

f(0,1,1) = (1,1,-1) , f(0,0,1) = (2,1,1)

a) determinati matricea lui f in baza canonica si expresia sa analitica

b) determinati Ker f si Imf

c) este f diagonalizabila ?

Solutie

a) })1,0,0(,)1,1,0(,)1,1,1({B321 uuu 876876876

= este baza in R3/ R

f(u1) = (2,2,0) = a11u1 + a21u2 + a31u3 (1)

f(u2) = (1,1,-1) = a12u1 + a22u2 + a32u3 (2)

f(u3) = (2,1,1) = a13u1 + a23u2+a33u3 (3)

(1) a11(1,1,1) + a21(0,1,1) + a31(0,0,1) = (2,2,0)

⇔ 2a

0a2a

0aaa2aa

2a

31

21

11

312111

2111

11

−===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+

=

(2) ⇔ (1,1,-1) = a12(1,1,1) + a22(0,1,1) + a32(0,0,1)

1a0a1a

1aaa1aa

1a

31

21

11

322212

2212

12

−===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=+

=

(3) ⇔ 0a

1a2a

1aaa1aa

2a

33

23

13

332313

2313

13

=−=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+

=

149

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=012100

212AB

TATA B1

BC

−=

Matricea de trecere T de la baza B la baza BC va fi matricea de coeficienti luata transpus din

sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

)6(ucucuce)5(ucucuce)4(ucucuce

3333231133

3322221122

3312211111

(4) ⇔ 0c

1c1c

0ccc0cc

1c

23

21

11

232111

2111

11

=−=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+

=

(5) ⇔1

10

01

0

32

22

12

322212

2212

12

−===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+

=

ccc

ccccc

c

(6) ⇔ 1c0c0c

1ccc0cc

0c

33

23

13

332313

2313

13

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

110011001

T det T = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

110011001

=1

11101

)1(A 1111 =

−−= + , 1

1001

)1(A 2112 =

−−= + , 1

1011

)1(A 3113 =

−−= +

01100

)1(A 1221 =

−−= + , 1

1001

)1(A 2222 =−= + , 1

1011

)1(A 3223 =

−−= +

150

00100

)1(A 1331 =−= + , 0

0101

)1(A 2332 =

−−= + , 1

1101

)1(A 3333 =

−−= +

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

111011001

T 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅= −

121101211

110011001

110112212

110011001

022100

212

111011001

TATA 1BC

f(x1, x2, x3) = (x1- x2 + 2x3 , x1 + x3 , x1 – 2x2 + x3)

Procedeul de ortonormare

Daca B = {u1, u2, …, un}este o baza, atunci prin procedeul de ortonormare ii

corespund doua baze:

a. B1 = {v1, v2, …, vn } baza ortogonala , unde

v1 = u1 ,

v2 = u2 - αv1 , 11

12

,,vvvu

=α

v3 = u3 - β1v1 - β2v2 ,cu ,v,uv,u

11

131 =β

22

232 v,v

v,u=β

vn = un - γ1v1-…-γn-1vn-1 ,cu 1,1,,

−== nivvvu

ii

innγ

2) B2 = {e1, e2, … , en} este baza ortonormata , unde n,1ivve

i

ii ==

151

Exercitiul 1 Fie })2,1,0(,)1,2,1(,)1,1,1({B321 uuu 876876876

−= o baza in R3/R

Ortonormati baza B in raport cu produsul scalar standard pe R3.

Solutie :

1) Etapa de ortogonalizare. Asociem bazei B o noua baza ortogonala B1 = {v1, v2, v3} unde

⎪⎩

⎪⎨

⎧

β−β−=α−=

=

221133

122

11

vvuvvuv

uv

v1 = u1 = (1,1,1)

v2 = u2 - αv1 cu 32

111111111211

)1,1,1(),1,1,1()1,1,1(),1,1,1(

u,vv,u

11

12 =⋅+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅

=−

==α

v2 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−−

35,

34,

31)1,1,1(

32)1,2,1(

v3 = u3 - β1v1 - β2v2

1111111121110

)1,1,1(),1,1,1()1,1,1(),2,1,0(

v,vv,u

11

131 =

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

===β

73

925

916

91

352

341

310

35,

34,

31,

35,

34,

31

35,

34,

31),2,1,0(

v,vu,u

22

232

−=

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅+⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==β

v3 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

72,

74,

76

35,

34,

31

73)1,1,1()2,1,0(

2) Etapa de normare . Asociem bazei B1 o noua baza B2 ortonormata.

B2 = {e1, e2, e3 } cu ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==<

==3

1,3

1,3

13

)1,1,1()1,1,1(),1,1,1(

)1,1,1(vve

1

11

152

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==425,

424,

421

942

35,

54,

31

35,

34,

31

35,

34,

31

35,

54,

31

vve

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

==562,

564,

566

4956

72,

74,

76

4941636

72,

74,

76

3

33 v

ve

FORME BILINIARE

Exercitiul 2 Fie g : R3 x R3 → R g(x,y) = -x1y1 + x2y2 – 5x3y3 + 3x1y3 + 3x3y1 + 2x2y3 +

2x3y2

a) aratati ca g este forma biliniara simetrica;

b) determinati matricea lui g in BC si in baza B1 = {(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)}

c) determinati forma patratica h asociata lui g;

d) determinati expresia canonica a lui h si baza in care h are aceasta expresie.

Solutie a) g(x,y) = g(y,x) ∀ x,y ∈R3 evident

b) expresia analitica a formei biliniare g este g(x,y) = ∑∑= =

n

1i

n

1jijji ayx unde aij= g(ui , uj)

In Bc = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−==================

523210301

5),(a2 )e ,g(e a3 )e ,g(e a2 )e ,g(e a1 )e ,g(e a0 )e ,g(e a3 )e ,g(e a0 )e ,g(e a1- )e ,g(e a

3333

2332

1331

3223

2222

1221

31 13

2112

1111

CBA

eeg

Observatie Matricea formei patratice g in baza canonica se obtine direct punand pe pozitia

(i,j) in matricea A coeficientul lui xiyj din expresia lui g.

153

In baza B1 :

0),(0),(6),(

0),(0),(

4)(

6),(4),(0),(

3333

2332

1331

3223

2222

1221

3113

2112

1111

======

====

==

======

uugauugauuga

uugauuga

uuga

uugauugauuga

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

006004640

1BA

c) 323123

22

21

3 xx4xx6x5xx)x,x(g)x(h,RR:h ++−+−==→

d) Aplicam metoda Gauss de alcatuire de patrate perfecte :

( ) ( )( ) 32

23

22

231

3223

21

23

2331

2132

23

2231

21

xx4x4xx3x

xx4x5xx9x9xx6xxx4x5xxx6x)x(h

+++−−=

=+−+++−−=+−++−=

( )23221

2332

22

21

33

22

311

y2yyy4yy4yy)x(hxyxy

x3xu1.V.S ++−=+++−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−==

22

21

33

322

11

zz)x(hyz

y2yzyz

2.V.S +−=⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

==

Observatie Pentru a determina baza in care h are expresia canonica compunem schimbarile

de variabila si exprimam variabilele initiale x1, x2, x3 in raport cu cele finale z1, z2, z3 ,

matricea de coeficienti din sistemul astfel obtinut reprezentand matricea de trecere de la baza

canonica la baza in care h admite reprezentarea canonica. Daca notam cu C aceasta matrice

atuci baza cautata va fi B = CT BC

33

22

311

yxyx

y3yx1.V.S

==

+=⇒

154

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+=

⇒

3

2

1

3

2

1

33

322

311

zzz

100210

301

xxx

zxz2zx

z3zx2.V.S

matricea de trecere este

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=100210

301C

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⋅=

123010001

ee2e3ee

eee

123010001

BCB

321

2

1

3

2

1

CT

adica baza este

B = {(1,0,0), (0,1,0), (3,-2,1)}

ADUCEREA LA FORMA CANONICA A FORMELOR PATRATICE

Metoda Gauss :

Exercitiul 1 fie h : R3 → R, h(x) = 3x1x2 –6x1x3 + 2x22 + 10x3

2. Determinati expresia canonica a lui h. Solutie :

( )

2331

21

2

12

2331

21

2121

22

233121

2

x10xx6x89x

23x2

21

x10xx6x89x

49xx6x4

21x10xx6xx3x2)x(h

+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+−+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+=

=

33

222

11

xy

x23x2y

xy

.1.V.S

( ) ( ) 23

231

22

23

23

2331

21

22

2331

21

22

2331

21

22

y18y8y381y

21y10y8y64yy48y9

81y

21

y10yy6y89y

21y10yy6y

89y

21)x(h

++−=++++−=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+−−=

155

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

+=

33

22

311

yzyz

y8y3z2.V.S

23

21

22 z18z

81z

21)x(h +−=

Exercitiul 2 Fie h : R3 → R cu matricea asociata in BC ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

320222

021A

a) determinati expresia analitica a lui h si polara sa

b) determinati canonica lui h si baza corespunzatoare

Solutie :

( ) ( )3232121

3

2

1

321T x3x2,xx2x2,x2x

xxx

320222

021x,x,xAXX h(x) +−−+−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−==

( ) ( ) ( )

322123

22

21

233232

222121

213322321121

3

2

1

xx4xx4x3x2xx3xx2xx2

2xx2xx2xxx3x2xx2x2x2xx2xxxx

+−++=+−−

−+−−=+−+−+−+−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

23321221332211 yx2yx2yy2yx2yx3yx2yx)y,x(g −−−−++= obtinuta din forma patratica h

prin dedublare :

2yxyx

yx

yxx

ijjiii

ii2i

+→

→

b) ( ) 3223

22

22132

23

22

2221

21 xx4x3x2x2xxx4x3x2x4xx4x)x(h −+−−=−+−+−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=

33

22

211

xyxy

x2xy.1.V.S

156

( ) )( 23

232

21

23

2332

22

2132

23

22

21 52522432)( yyyyyyyyyyyyyyyxh ++−=+++−=−+−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=

33

322

11

.2..yz

yyzyz

VS

23

22

21 z5z2z)x(h +−=

33

322

3211

33

322

211 2222..1..

zxzzx

zzzx

xzxxzxxz

VSVS=

−=−+=

⇔=

+=−=

⇒o

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

3

2

1

zzz

100110221

xxx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⋅=

)1,1,2()0,1,2()0,0,1(

eee2ee2

e

eee

112012001

BCB

321

21

1

3

2

1

CT

final

Bfinal = {(1,0,0), (2,1,0), (-2,-1,1)}

METODA VALORILOR PROPRII

Exercitiul 3 Fie h : R3 → R, h(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 . Determinati expresia

canonica a lui h utilizand metoda valorilor proprii si gasiti baza in care h admite aceasta

expresie.

Solutie :

a) matricea asociata lui h in BC este ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

A

b) determinam valorile proprii care sunt solutiile ecuatiei :

157

0)1)(2(011

1111

0)IAdet( 23 =+λλ−⇔=

λ−λ−

λ−⇔=λ−

λ1 = λ2 = -1, λ3 = 2 ⇒ spec (h) = {-1, 2}

c) expresia canonica a lui h este : 23

22

21

233

222

211 x2xxxxx)x(h +−−=λ+λ+λ=

d) determinam vectorii proprii corespunzatori care sunt solutiile nebanale ale sistemului

(A - λ I3) X = θ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++−

⇔000

321

321

321

xxxxxxxxx

λλ

λ

λ=1

Rxxx

xxxxxxxxx

∈−−=

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

βαβα

βα

,000

3

2

1

321

321

321

( ){ } ( ) ( ) ⇒∈βα−β+−α=∈βαβ−α−βα=− }R,/1,1,01,0,1{R,/,,)1(V21 uu

f 321321

⇒ B1 = {u1, u2} baza in Vf(-1)

γγγ

λ===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++−

=

3

2

1

321

321

321

020202

2xxx

xxxxxxxxx

γ ∈ R

Vf(2) = {(γ, γ, γ ) / γ ∈ R} = {γ (1,1,1) , γ ∈ R}

B2 = {u3 } baza in Vf (2)

e) baza in care h admite axpresia canonica este obtinuta reunind bazele subspatiilor proprii si

ortonormand sistemul obtinut,

( ) ( ) })1,1,1(,1,1,0,1,0,1{BBB321 uuu

213 321321321 −−=∪= . Ortonormam B3:

Etapa de ortogonalizare. Determinam B4 ={v1, v2, v3} ortogonala , unde v1 = u1 ,

v2 = u2 - αu1 ,

158

v3 = u3 - β1v1 - β2v2

v1 = (1,0,-1)

v2 = u2 - αv1 cu 21

)1,0,1(),1,0,1()1,0,1(),1,1,0(

v,uv,u

11

12 =−−−−

==α

v2 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−−−

21,1,

21)1,0,1(

21)1,1,0(

v3 = u3 - β1v1 - β2v2

0)1,0,1(),1,0,1(

)1,0,1(),1,1,1(v,vv,u

B21

131 =

−−−

==

0)

21,1,

21(),

21,1,

21(

)21,1,

21(),1,1,1(

v,vv,u

B221

232 =

−−−−

−−==

v3 = u3 = (1,1,1)

( ) })1,1,1(,21,1,

21,1,0,1{B

3

2

1 vv

v

4 32143421

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

Etapa de normare

Determinam baza B5 = {f1, f2, f3 }unde fi = i

i

vv

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−

=−−

−==

21,0,

21

2)1,0,1(

)1,0,1)(1,0,1()1,0,1(

vvf

1

11

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=−−

=++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

==6

1,6

2,6

16

)1,2,1(

411

41

21,1,

21

vvf

2

22

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===3

1,3

1,3

13

)1,1,1(vvf

3

33

159

GEOMETRIE ANALITICA SI IN SPATIU

Produse cu vectori

5. Produs scalar : 3322113 babababa:Eb,a ++=⋅∈

6. Produs vectorial :

321

3213

bbbaaakji

ba:Eb,a =×∈

7. Produs mixt : ( )321

321

321

3

cccbbbaaa

c,b,a:Ec,b,a =∈

8. Dublu produs vectorial : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )acbbcacba

cbabcacba

−=××

−=××

Exercitiul 1. Să se determine α si β astfel încât vectorii ( ) ( )a 2i j 2 k= + α +β + α −β şi

b i 2 j 3k= + + sa fie coliniari.

Soluţie a si b sunt coliniari ⇔ coordonatele lor sunt proporţionale:

2 21 2 3

α + β α −β= = ⇔

103

α = si 23

β = .

Exercitiul 2 Sa se determine λ astfel incat vectorii a 2 j k= + , b i 2 j= − + , c i j 2k= + λ +

sa fie coplanari.

Soluţie a, b, c coplanari ⇔ produsul lor mixt ( a, b, c ) sa fie nul ⇔ 0 2 11 2 0 0

1 2− =

λ

⇔ 2 4 0 2−λ − + = ⇔ λ =

Exercitiul 3 Sa se determine λ astfel incat unghiul dintre vectorii a i 2 j= − si

b 3i j k= − + λ sa fie 4π .

Soluţie Din expresia analitica a produsului scalar avem

160

=++⋅++

++=

23

22

21

23

22

21

332211),cos(bbbaaa

babababa2

1 3 ( 2)( 1) 0

1 4 0 9 1

⋅ + − − + ⋅λ=

+ + ⋅ + + λ 2

5

5 10=

+ λ

25

10=

+ λ

1cos4 2π= ⇔ 2

5 1210

=+ λ

2 10 10 , 0λ + = λ =

Exercitiul 4 Sa se determine vectorul v stiind ca este perpendicular pe vectorii

a 3i 2 j 4k= + − , b 3i j= + , are norma egala cu 26 si face un unghi optuz cu j.

Soluţie v a

vv b

⎫⊥ ⎪⇒⎬⊥ ⎪⎭

coliniar cu ( )a b v a b× ⇒ = λ ×

i j ka b 3 2 4 4i 12j 3k

3 1 0× = − = − − v 26 a b 26= ⇔ λ ⋅ × =

16 144 9 26 2⇔ λ ⋅ + + = ⇔ λ = ⇔ 2λ = ±

( ) ( )v, j v j 0 2 v 2 4i 12j 3k2π

> ⇒ ⋅ < ⇒ λ = ⇒ = − − .

Exercitiul 5 Sa se afle înălţimea paralelipipedului construit pe reprezentanţii vectorilor

a i 2 j k= + − , b 2i 3j k= + + , c i 2k= − , duşi in acelaşi punct al spaţiului, luând ca baza

paralelogramul determinat de b si c .

Soluţie ( )1 2 1

a, b,c 2 3 1 7 V1 0 2

−= = =

−, unde V este volumul paralelipipedului

considerat. Dar V = A . h unde A este aria paralelogramului determinat de b si c adică

A b c= × .

i j kb c 2 3 1 6i 5j 3k

1 0 2× = = − + −

−

b c 36 25 9 70 A× = + + = =

V 70 7hA 1070

= = =

161

Exercitiul 6 Ce unghi formează intre ei versorii p si g daca vectorii a 2p g= + si

b 4p 5g= − + sunt perpendiculari ?

Soluţie a b a b 0+ ⇔ ⋅ =

( )( ) 2 2a b 2p g 4p 5g 8p 10p g 4g p 5g⋅ = + − + = − + − + = 8 6p g 5 6p g 3 0− + + = − = ⇒

1p g2

= .

Dar ( ) ( ) 1p g p g cos p,g cos p,g2

⋅ = ⋅ = = ⇒ ( )p,g3π

=

Exercitiul 7 Sa se determine vectorul V care sa fie perpendicular pe vectorii a i 2 j k= − − si

b 2i j k= − + + iar c v 8⋅ = − , unde c 3i j 4k= − − .

Soluţie Fie V xi y j zk= + +

V a 0 x 2y z 0 x 1y xV a2x y z 0 y 1z 3xV V b 0

3x y 4z 8 z 3x 1c V 8

⋅ = − − = == −⎧ ⎧⊥ ⇔⎪ ⎪⇒ − + + = = −=⊥ ⇔ ⋅ = ⎨ ⎨⎪ ⎪− − = − ⇒ ==⎩ ⎩⋅ = −

⇒ V i j 3k= − +

Exercitiul 8 Sa se arate ca punctele A(5, -1, -1), B(4, 2, 2), C(5, 3, 1), D(8, 0, -5) se afla in

acelasi plan.

Soluţie Avem vectorii

B AAB r r i 3j 3k= − = − + +

C AAC r r 0i 4 j 2= − = + + π

D AAD r r 3i j 4k= − = + −

A, B, C, D coplanare ⇔ AB, AC, AD coplanari ⇔ ( )1 3 3

AB, AC, AD 0 0 4 2 03 1 4

−= ⇔ =

−

16 18 36 2 0 0 0+ − + = ⇔ = .

Exercitiul 9

Aratati ca ( ) ( )( ) ( )c,b,a

bac,cb,ba

cbba=

××××××

bV ⊥

162

Solutie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

( )bc,b,a

c,b,bbc,b,aacbbbcba

ambbmambacbbaE1

=

=−⋅=×⋅−×⋅=

=⋅−⋅=××=×××=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

2

c,b,aa,c,bc,b,a

acbc,b,aaccbbaac,cb,baE

=⋅=

=×⋅=×⋅×××=×××=

( )( ) ( )c,b,a

bc,b,a

bc,b,aM 21 ==

Exercitiul 10

Aratati ca

( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )dcbabd,c,adacbcadbdcba ×⋅−=×⋅−×⋅=×××

Solutie

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )dacbcadbdcbcdbadcba ×−×=−×=×××

( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )dcbabd,c,adcbabdca

mbabmambadcba

×⋅−=×⋅−×⋅=

=⋅−⋅=××=×××

PLANUL SI DREAPTA IN SPATIU

- ECUATII PLAN : α=⋅ Nr

Ax + By + Cz + D = 0 , A, B, C fiind coordonatele vectorului normal N =(A,B,C)

- ECUATII DREAPTA : bar =×

nzz

myy

lxx 000 −

=−

=− , x0 , y0 , z0 – coordonatele punctului M0∈d , M0(x0,y0,z0),

l, m, n - coordonatele lui a (l, m, n)

Exercitiul 11 Fie planul π :2x - 3y + z – 5 = 0. Determinati vectorul normal la plan gasiti un

punct al sau si scrieti celelalte ecuatii ale planului .

Solutie Coordonatele unui vector normal la plan sunt coeficientii lui x,y,z din ecuatia

generala scalara aplanului , adica este N (2,-3,1) .Pentru a gasi un punct al planului dam valori

particulare la doua variabile si o determinam pe a treia din ecuatia planului :x=2 , y=3 ⇒z=10

163

, deci avem punctual M0(2,3,10) ∈π . Deoarece k10j3i2r0 ++= si kj3i2N +−= ecuatia

vectoriala a planului este ( ) 0Nrr 0 =− adica ( )( )( ) 0kj3i2k10j3i2r =+−++− ⇔

( ) 5k10j3i2r =++−

Exercitiul 12 Determinati ecuatia planului ce trece prin punctual M0(1,2,3) si este

coplanar cu vectorii kj3i2a +−= si kj2ib ++−=

Solutie Consideram un punct oarecare M si impunem conditia ca vectorul MM0 sa

fie coplanar cu a si b , adica ( MM0 , a , b ) = 0 , sau

0121132

321=

−−

−−− zyx ⇔ -5(x-1)-3(y-2)+z-3 = 0 ⇔ 5x+3y-z-8 = 0

Exercitiul 13 Determinati ecuatia planului ce trece prin punctele M0(1,-1,1) ,

M1(2,3,-1) si este coplanar cu k3j4i a ++=

Solutie Consideram un punct oarecare M si impunem conditia ca vectorul MM0 sa

fie coplanar cu a si k2j4irrMM 0110 −+=−= , adica ( ) 0a,MM,MM 100 = ⇔

( ) ( ) 05yx401y51x2003412411z1y1x

=−−⇔=+−−⇔=−−+−

Exercitiul 14 Determinati ecuatia planului ce trece prin M0 (1,2,3) , M1(2,-1,4) si M2(3,1,-2)

Solutie onsideram un punct oarecare M si impunem conditia ca vectorul MM0 sa

fie coplanar cu kj3irrMM 0110 +−=−= si k5ji2rrMM 0220 −−=−= adica

( ) ⇔= 0MM,MM,MM 20100

045z5y7x160)3z(5)2y(7)1x(160512

1313z2y1x

=−++⇔=−+−+−⇔=−−

−−−−

Exercitiul 15 Determinati ecuatia dreptei ce trece prin A(2,1,3) si se sprijina pe preptele :

11z

43y

21x:d1 −

+=

−=

−

164

⎩⎨⎧

=−+−=−+

06z2yx0zyx

:d2

Solutie :

Pentru a determina ecuatia unei drepte trebuie sa stim ori un punct si vectorul director

al dreptei, ori doua plane care trec prin acea dreapta.

Consideram planele α determinat de A si d1 si β determinat de A si d2 si observam ca

α∩β = d.

Din ipoteza d1 este data prin punct si vector director:

)1,4,2(a

)1,3,1(A

1

1

−

−

d2 este data ca intersectie de plane. Un punct al dreptei d2 se poate determina dand lui z o

valoare particulara si rezolvand sistemul ramas.

3y3x6x2

6yx0yx

0z

−==⇒=

⎩⎨⎧

=−=+

=

A2(3,-3,0)

directia dreptei d2 este data de produsul vectorial al vectorilor normali la planele ce determina

dreapta.

)2,3,1(k2j3i211111

kjiNxNa

)2,1,1(N)1,1,1(N

2122

1 −−=−−=−

−==−−

Pentru a determina ecuatiile planelor α si β este suficient sa cunoastem in fiecare din

ele cate un punct si doi vectori. Punem vectorul M0M arbitrar in plan si punem conditia ca

produsul mixt al celor doi vectori cunoscuti impreuna cu acesta sa fie nul.

In planul α avem punctul A si vectorii a1 si AA1 = AA rr1−

k4j2ik)31(j)13(i)21(rrAA AA1 1−+−=−−+−+−=−=

)4,2,1(AA1 −− .

Duc vectorul AM(x-2, y-1, z-3)

165

( ) )3z(8)1y(9)2x(1401424213z1y2x

0a,AA,AM: 11 −−−−−⇔=−−−−−−

⇒=α =0

14x – 9y –8z +5 = 0.

In planul β avem punctul A2 si vectorii 2a si AA2

)3,4,1(AAk3j4irrAA 2AA2 2 −⇒++−=−=

Duc vectorul A2M si impun conditia ca produsul mixt sa fie nul:

( )

( ) ( ) 0zyx:0z3y3x

0231

341z3y3x

0a,AA,MA 222

=−+β⇒=−++−⇔

⇔=−−

−+−

⇒=

⎩⎨⎧

=−+=+−−

0zyx05z8y9x14

:d

Exercitiul 16 Fie A(1,2,3), dreapta 1

3z1

y2

1x: −=

−=

+Δ si planul π : x + 2y – 2 = 0. Sa

se determine dreapta d ce trece prin A , intersecteaza Δ si este paralel cu planul π .

Solutie : Pentru Δ avem

A1(-1,0,3) , a1(2,-1,1)

Pentru π avem : N (1,2,-1) : A2(1,1,3) ∈ π

Ducem planul α paralel cu π prin A. α ∩ Δ = {B} ⇒ d = AB

Ecuatia fascicolului de plane paralele cu π este λπ : x + 2y – z + λ = 0 cu λ ∈ R.

Pentru a determina ecuatia planului din fascicol ce trece prin A, obligam coordonatele

lui A sa verifice ecuatia planului.

1 + 2 ⋅ 2 – 3 + λ = 0 ⇒ λ = -2

α : x + 2y –z –2 = 0

Putem determina dreapta d ca intersectia a doua plane anume planul α si planul β

determinat de A si Δ.

In planul β cunoastem punctul A1 si vectorii 1a , 1AA1 rrAA −=

)0,2,2(j2i2rrAA 1AA1 =+=−= .

166

Duc vectorul MA1 si impun conditia ( ) 0a,AA,MA 111 = ⇔

⇔ 2:0)3z(6y2)1x(20112022

3z,y,1x=−−−+⇔=

−

−+

⎩⎨⎧

=+−−=−−+

=+−−β

010z3yx02zy2x

:d

010z3yx:

Exercitiul 17 Scrieti ecuatia dreptei d1 care trece prin punctul M1 de intersectie al dreptei

⎩⎨⎧

=−+−=+++−

03zyx02zyx2

:d cu planul π : 2x + y +3z –4 =0 este continuta in planul π si este

paralela cu planul 1π : 2x +3y + z –8 =0.

Solutie :

Pentru d un punct al dreptei se determina particularizand z si rezolvand sistemul ramas

z = 0

⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−−=+−

4y1x

1/x

3yx2yx2

M0(-1,-4,0)∈d

Vectorul director pentru d este

)1,3,2(kj3i2111112kji

NNa 21 =++=−

−=×=

Ecuatia canonica a lui d : 1z

34y

21x

=+

=+

Pentru )3,1,2(N:π

)1,3,2(N: 11π sunt vectorii normali la plan.

Pentru a determina M1 rezolv sistemul format din ecuatiile dreptei d si ale planului π :

167

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=−λ=−=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++

λ==+

=+

z43y1x2x

04z3yx21z

34y

21x

2(2λ -1) + 3λ -4 + 3λ -4 = 0 ⇒ 10λ -10 = 0 ⇒ λ = 1 )1,1,1(M1z

1y1x

1

1

1

1

−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

Pentru a determina vectorul director 1a al dreptei d1 observam ca

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

⊥⇒π

⊥⇒π⊂

1111

11

Ndd

Ndd Alegem 1a ca fiind produsul vectorial

)4,4,8(k4j4i8132312kji

NN 1 −=++−==×

Ecuatia canonica a dreptei d1 este :

41z

41y

81x:d1

−=

+=

−−

Exerciţiul 18 Determinaţi ecuaţia proiecţiei dreptei d : ⎩⎨⎧

=−+=−+−

0z2yx01z4y2x

pe planul

π : 2x+2y+z-4 = 0

Soluţie: Etapa 1. Desen şi determinarea parametrilor

π1

M N

M0

a

N (Δ)

π

Pentru d1:

Vectorul director este 21 NN a ×=

unde k4j2iN1 +−=

168

N

N

C

A

M0

π1

π

k2jiN2 −+=

k3j6i0211

421kji

NxNa 21 ++=−

−== . Putem lua a = 2j +k.

Punctul M0 se determină luând z = 0 în sistem ⎩⎨⎧

=+=−

⇒0yx1y2x⇒ 3y = -1 ⇒ y = -

31 , x=

31⇒ M0 ( 3

1 , -31 , 0). Pentru planul π: kj2i2N ++= .

Etapa 2. Deoarece direcţia dreptei Δ nu poate fi definită de vectorii N şi a, vom

determina Δ ca intersecţie de plane. Considerăm planul π1, perpendicular pe π, care trece prin

M0 şi conţine dreapta d. Atunci Δ = π ∩ π1

Etapa 3. Pentru a obţine ecuaţia planului π1, observăm că ştim deja un punct M0 al

planului şi doi vectori N şi a, coplanari cu π1.ducem vectorul M0M cu M arbitrar şi impunem

condiţia ca produsul mixt al celor trei vectori să fie nul (condiţia de coplanaritate)

(M0M, N, a) = 0

120122

z31y

31x +−

= 0 ⇔ -2 (y+31 )+ 4z = 0 ⇔ π1 = 3y-6y+1= 0

Ecuaţia dreptei Δ va fi Δ: ⎩⎨⎧

=+−=−++

01z6y304zy2x2

Exercitiul 19 Fie planul π : x+2y-2z-3=0 şi A (2,-1,3). Să se determine:

d) distanţa de la punctul A la planul π

e) simetricul lui A faţă de planul π •

f) simetricul planului π faţă de punctul A.

Soluţie: •

d) d (A, π) = =++

+++

222000

CBA

DCzByAx •

= 339

44136212

==++

−−−⋅

169

e) Fie M0 proiecţia ortogonală a lui A pe planul π şi B simetricul lui A faţă de planul π.

Pentru a găsi pe B este suficient să determinăm punctul M0. Pentru aceasta considerăm

dreapta d ce trece prin A şi este perpendiculară pe π, a cărei direcţie este dată de vectorul

normal la planul π.

d : λ=−−

=+

=−

23z

21y

12x deoarece a = N (1, 2, -2) ⇒

⇒ ∈λ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ−=λ+−=

λ+=

23z21y

2xR, adică ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei. Înlocuind în

ecuaţia planului π obţinem: 2+λ+2(-1+2λ)-2(3-2λ)-3 = 0 ⇒ 9λ - 9 = 0 ⇔ λ = 1.

Înlocuind în expresiile lui x, y, z pe λ cu 1 obţinem coordonatele punctului de

intersecţie ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

1z1y3x

0

0

0M0 (3,1,1)

Cum vectorul de poziţie al mijlocului unui segment este media aritmetică a vectorilor de

poziţie ai capetelor adică

AMBBA

M rr2r2

rrr 00 −=⇒+

= sau pe coordonate

xB = 2x0 –xA = 4

yB = 2y0 –yA = 3 ⇒ B (4,3,-1)

zB = 2z0 –zA = -1

f) Să determinăm punctul C, simetricul lui M faţă de A

)5,3,1(Ck5j3irr2r2rr

r 00 MAC

MCA −⇒+−=−=⇒

+=

Simetricul lui π faţă de A este planul π1 paralel cu π dus prin C. Ecuaţia unui plan

oarecare paralel cu π este πλ : x +2y –2z +λ = 0. π1 face parte din acest fascicol de plane

paralele cu π şi se obţine impunând condiţia C ∈ πλ, adică coordonatele lui C să verifice

ecuaţia lui πλ: 1+2 (-3)-2⋅5 +λ = 0 ⇒ λ = 15 ⇒ π1 = x + 2y - 2z + 15 = 0

Exercitiul 20 Fie dreapta d = 0

2z41y

31x +

=−+

=− şi A(-6,0,1). Să se determine:

d) distanţa de la A la dreapta d

170

e) simetricul lui A faţă de d

f) simetrica dreptei d faţă de A

Soluţie. C d1

Etapa 1. Elementele definitorii

ale dreptei d sunt: • A

vectorul director a = 3i –4j M1 M0 d

punctul M1 (1,-1,-2) a

Etapa 2. Fie B simetricul lui A faţă •

de dreapta d şi M0 proiecţia ortogonală

a lui A pe d. Pentru a găsi punctul B este

suficient să determinăm pe M0. Pentru aceasta

considerăm planul π ce trece prin A şi este perpendicular pe d, al cărui vector normal poate fi

luat chiar vectorul director al dreptei d. Atunci d ∩ π = {M0}.

Etapa 3. Ecuaţia planului π este: (r - rA) ⋅a = 0 ⇔

⇔ (x-xA)a1+(y-yA)a2+(z-zA)a3 = 0

⇔ (x+6) ⋅ 3+(y-0)(-4)+(z-1)-0 = 0

⇔ π : 3x - 4y+18= 0

Pentru a găsi punctul M0, scriem ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei d:

02z

41y

31x +

=−+

=− = λ ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=λ−−=

λ+=

2z41y

31x

şi înlocuim x,y,z în ecuaţia planului π:

3(1+3λ) - 4(-1 - 4λ) +18 = 0 ⇔25λ + 25 = 0 ⇔ λ= -1

Înlocuind λ= -1 în expresiile lui x, y, z obţinem:

)2,3,2(M2z

3y2x

0

0

0

0−−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

−=

Pentru punctul B avem: ⇒−+=−=⇒+

= k5j6i2rr2r2

rrr AMBBA

M 00 B(2,6,-5)

171

c) Ducem C simetricul lui M0 faţă de A şi dreapta d1 ce trece prin C şi este paralelă cu d.

Pentru a găsi ecuaţia lui d1, care are aceeaşi direcţie ca şi d, este suficient să găsim punctul C:

⇒+−−=−= k4j3i10rr2r 0MAC C(-10, -3, 4)

ecuaţia dreptei d1 este:

d1 : 04z

43y

310x −

=−+

=+

Exercitiul 21 Sa se scrie ecuatiile perpendiculare commune dreptelor

1x 1 y 2 zd :

1 4 1− +

= =−

si 2x y z 1d :3 1 2

−= =

si sa secalculeze distanta dintre ele.

Solutie Pentru d1 = M1 (1, -2, 0) , 1a i 4 j k= − + +

Pentru d2 = M2 (0, 0, 1) , 2a 3i j 2k= + +

1 2

i j ka a 1 4 1 7i 5j 13k

3 1 2× = − = + −

Perpendiculara comuna d se va determina ca intersectia a doua plane determinate de

cele doua drepte :

( )1 1 2: M,M, a , a a 0α × = ⇔ x 1 y 2 z

1 4 1 07 5 13

− +− =

− ⇔ 57(x 1) 6(y 2) 33z 0− − − + − = ⇔

57x + 6y + 33z – 45 = 0

( )2 1 22: M M , a , a a 0β × = ⇔ x y z 13 1 2 07 5 13

−=

−

23x 53y 8(z 1) 0⇔ − + + − =

23x 53y 8z 8 0⇔ − − + =

57x 6y 33z 45 0d

23x 53y 8z 8 0+ + − =⎧

⎨ − − + =⎩

172

( ) 1 2 2 1

1 2

1 2a b a b

d d ,da a

+=

×

S F E R A Exercitiul 1. Să se determine ecuaţiile planelor tangente la sfera

S: x2+y2+z2-2x+2y-2z-22 = 0, în punctele de intersecţie cu dreapta

d: 12z

43y

31x

−+

=−−

=−

Soluţie.

Etapa 1. Pentru a obţine centrul şi raza grupăm pătrate perfecte cu x, y, z:

S: (x-1)2+(y+1)2 +(z-1)2 = 25

⇒ C(1, -1, 1) , R = 5. Pentru dreapta d avem: πA

punctul M0 (1, 3, -2) A

vectorul director a(3, -4, -1)

B

Etapa 2. Determinăm punctele de intersecţie πB

ale dreptei d cu sfera S: egalăm cu λ şirul de rapoarte d

din ecuaţia dreptei, scoatem pe x, y, z de aici, obţinând astfel ecuaţiile, scalar parammetrice ale

dreptei, înlocuim pe x, y, z astfel obţinute în ecuaţia sferei şi obţinem o ecuaţie de gradul 2 în

λ cu soluţiile λ1 şi λ2. Înlocuind λ cu λ1 şi λ2 în x, y, z obţinem coordonatele punctelor A şi B

de intersecţie ale dreptei cu sfera. Ecuaţia planelor tangente în A şi B la sferă, se obţine prin

dedublare:

x2 → xx0, x → 2xx 0+

, etc

Etapa 3. ∈λ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−λ−=+λ−=

+λ=⇒λ=

−+

=−−

=− ,

2z34y

13x

12z

43y

31x R

Înlocuind în ecuaţia sferei avem:

9λ2+(-4λ+4)2+(-λ-3)2 = 25

173

9λ2+16λ2-32λ +16+λ2+6λ+9 = 25

26λ2-26λ = 0 ⇒ λ2-λ = 0 ⇒ λ (λ -1)= 0 ⇒ ⎩⎨⎧

=λ=λ

10

Pentru λ = 0 )2,3,1(A2z

3y1x

−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

Pentru λ = 1 )3,1,4(B3z1y

4x−−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

=

Ecuaţiile planelor tangente sunt:

πA: x ⋅1+y ⋅3 + z (-2) – 2 ⋅ 0222

2z22

3y22

1x=−

−−

+⋅+

+⇒ 4y –3z-18 = 0 planul

tangent la sferă în A.

πB: x ⋅4+y(–1) + z (-3) – 2 0222

3z22

1y22

4x=−

−−

−⋅+

+⇒ 3x – 4y -24 = 0 planul

tangent la sferă în B.

Exercitiul 2. Găsiţi ecuaţiile planelor tangente la sfera S:

X2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z - 22 = 0, paralele cu planul π: x + 2y –2z +9 = 0

Soluţie.

Etapa 1. Grupăm în ecuaţia π1 A

sferei pătrate perfecte în

x, y, z pentru a obţine centrul şi raza sferei: • C

(x -1)2 + (y+2)2 +(z - 3)2 = 36

⇒ C (1, -2, 3) şi R = 6 π2 B

Pentru planul π avem: N (1, 2, -2)

Etapa 2.Ducem dreapta d ce trece prin N

centrul C al sferei şi este perpendiculară π

pe planul π (vectorul director al dreptei poate fi

vectorul N normal la plan). Dreapta d taie sfera S în punctele A şi B. Planele tangente la S în

A şi B constituie soluţia problemei.

Etapa 3.

174

d= λ=−−

=+

=−

23z

22y

11x

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+λ−=−λ=

+λ=

32z22y

1x

Înlocuim în ecuaţia sferei S : λ2+4λ2+4λ2 = 36 9λ2 = 36 λ2 = 4 λ = ±2

Pentru λ = 2 ⇒ ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

1z2y3x

A (3, 2, -1)

Pentru λ =- 2 ⇒ ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=

7z6y1x

B ( -1, -6, 7)

Ecuaţiile planelor πA şi πB tangente la sferă în A şi B respectiv se pot obţine în două moduri:

a) prin dedublare

b) considerăm fascicolul de plane paralele cu π:

πα : x +2y –2z + α = 0 şi le determinăm pe acelea care trec prin A şi B, obligând

coordonatele acestor puncte să verifice ecuaţia planelor din fascicol.

πA: 3 + 4 + 2 + α = 0 ⇒ α -9 ⇒πA: x +2y – 9 = 0

πB: -1 –12 –14 + α = 0 ⇒ α = 27 ⇒ πB: x + 2y - 2z + 27 = 0

Exercitiul 3. Să se determine ecuaţiile sferelor cu centrelor pe dreapta d:1

2z11y

1x +

=−−

= ,

având raza R = 5 şi trecând prin punctul A(0, 2, -1).

Determinaţi planul radical al celor două sfere şi punctul de intersecţie al acestui plan

cu dreapta dată.

Soluţie.

175

Etapa 1. Pentru dreapta d avem:

Punctul M0 (0, 1, -2) vectorul director

a(1, -1, 1).

Etapa 2. Considerăm sfera de C2 C1 d

centru A şi rază 5 , care va

intersecta dreapta d în punctele

C1 şi C2, centre ale sferelor căutate. S2 A S1

Ecuaţia acestei sfere este S:

x2 +(y-2)2+(z+1)2 = 5 S

Pentru a determina intersecţia dreptei d cu sfera de mai sus S egalăm cu λ şirul de rapoarte

din ecuaţia dreptei d şi scoatem x, y, z funcţie de λ, obţinând astfel ecuaţiile scalar

parametrice ale dreptei. Înlocuim x, y, z astfel determinaţi în ecuaţia sferei şi obţinem o

ecuaţie de gradul II în λ:

12z

11y

1x +

=−−

= = λ ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−λ=+λ−=

λ=

2z1y

x

⇒ λ2 +(-λ -1)2 + (λ -1)2 = 5 ⇔ 3λ2 = 3 ⇔ λ2 = 1 ⇔ λ = ±1

Înlocuim λ1 şi λ2 în sistemul în care x, y, z sunt funcţii de λ şi obţinem coordonatele

celor două puncte de intersecţie C1 şi C2:

λ = 1 ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

1z0y1x

⇒ C1 (1, 0, -1)

λ = -1 ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==−=

3z2y

1x ⇒ C2 (-1, 2, -3)

Ecuaţiile sferelor de centre C1, C2 şi raza 5 vor fi respectiv S1 : (x-1)2+y2+(z+1)2 = 5

S2 : (x+1)2+(y-2)2+(z+3)2 = 5

b) Ecuaţia planului radical al celor două sfere se obţine scăzând ecuaţiile sferelor termen cu

termen, deci este:

πr : (x+1)2- (x-1)2 +(y-2)2 –y2 +(z+3)2-(z+1)2 = 0

176

4x – 4y + 4 + 4z + 8 = 0 : 4

πr : x –y +z +3 = 0

Intersecţia dreptei d cu planul πr se obţine înlocuind pe x, y, z din ecuaţiile scalar parametrice

ale dreptei, în ecuaţia planului πr şi scoţând pe λ de aici, adică

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−λ=+λ−=

λ=

2z1y

xλ +λ -1 +λ -2 +3 = 0 ⇔ 3λ = 0 ⇔ λ = 0 ⇒ x = 0, y = 1, z = -2

⇒ M1 (0,1,-2)

Exercitiul 4. Să se determine ecuaţia sferei care trece prin cercurile

γ1 = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−+

02z09yx 22

şi γ2 = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−+

04z025yx 22

Găsiţi suprafaţa conică cu centrul în V(0,0,1) care are pe γ2 ca directoare.

Soluţie.

Etapa 1. Elementele definitorii ale cercurilor sunt O1 (0,0,2), R1 = 3 O2 (0,0,4), R2 = 5

Deoarece cercurile sunt în plane paralele şi centrele

lor sunt pe axa ZZ’, atunci şi centrul sferei cerute

S este tot pe ZZ’ ⇒ C (0,0,α) este centrul sferei cerute.

Notăm cu R raza sferei S.

O2 A

O1 B

Etapa 2. Calculăm R2 cu teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri puse în evidenţă

ΔCO1B, ΔCO2A şi egalăm cele două reprezentări ale lui R2.

C

177

În ΔCO2A : R2 = (4 -α)2 +52

În ΔCO1B: R2 = (α-2)2 +32

⇒ (α-4)2 +25 = (α-2)2 +9 ⇔ 16 - 8α + α2 + 25 = α2 - 4α + 4 + 9 ⇒ 4α = 28

α = 7 ⇒ C(0,0,7)

R2 = (7- 4)2 +25 = 9+25 = 34 ⇒ R = 34

Ecuaţia sferei este:

S: x2+y2 + (z-7)2 = 34

Exercitiul 5. Fie sfera S0 : x2 + y2 + z2 -10x - 4y + 4z + 17 = 0 şi planul π: 2x-2y+z-3=0 şi

punctul M0 (1,1,3) din plan. Determinaţi ecuaţia sferelor tangente în M0 la planul π şi care sunt

tangente şi la sfera S0. Determinaţi axa radicală a celor trei sfere.

Soluţie.

Etapa 1. Pentru S0 avem:

(x-5)2 +(y-2)2 + (z+2)2 = 16

⇒ C0 (5,2,-2) şi R0 = 4 C0 S0

Pentru planul π:

M0 (1,1,3) ∈ π şi S2 • C2

N (2,-2, 1)

Etapa 2. Sferele tangente în M0 • C1 S1

la planul π au centrele pe o dreaptă d

perpendiculară pe planul π,

care trece prin M0. π N M0

Vectorul director al dreptei d poate fi chiar N d Iar M0∈d ⇒ ecuaţia dreptei d este:

R,3z

12y12x

13z

21y

21x

∈λ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+λ=+λ−=

+λ=⇒λ=

−=

−−

=− ecuaţiile scalar parametrice ale dreptei d.

Pentru a determina centrul C1, calculăm R1 = d(C, M0) şi d(C1, C0) = R1+R0 , unde

coordonatele centrului C1 sunt x, y, z din ecuaţiile scalare parametrice ale dreptei.

Obţinem o ecuaţie în λ, din care scoatem pe λ şi găsim astfel C1 şi R1.

178

Pentru a determina centrul C2 impunem condiţia

d(C2, C0) = d(C2, M0) – R0 şi procedăm ca la C1.

Etapa 3. Din ecuaţiile sclare parametrice ale dreptei d avem:

C1(2λ +1,-2λ+1,λ+3)

R1 = d(C1M0) = λ=λ=−+λ+−+λ−+−+λ 39)33()112()112( 2222

d(C1,C0)= 222 )23()212()512( ++λ+−+λ−+−+λ =

= 222 )5()12()42( +λ+−λ−+−λ

condiţia d(C1, C0) = R1+R0 I2

(2λ -4)2 +(-2λ -1)2+(λ+5)2 = (3λ +4)2

9λ2-2λ+42 = 9λ2+24λ +16 ⇒ 26λ = 26 ⇒ λ = 1

⇒ C1 (3,-1,4), R1 = 3

⇒ S1 : (x-3)2+ (y+1)2+(z-4)2 = 9

Pentru C2 avem d(C2, C0) = R1 –R0 I2

(2λ -4)2 +(-2λ -1)2+(λ+5)2 = (3λ -4)2

9λ2 - 2λ + 42 = 9λ2 - 24λ +16 ⇒ 22λ = - 26 ⇒ λ = -1113

⇒ C2(- 1120,

1137,

1115 ) şi R2 =

1139

S2: 2222

1139

1120z

1137y

1115x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

GENERAREA SUPRAFETELOR

Orice problemă se rezolvă făcând sistem cu ecuaţiile directoarei şi ale generatoarei,

scoţând x,y,z funcţie de λ şi μ din cele mai simple 3 ecuaţii şi înlocuindu-le în a patra.

Obţinem condiţia ϕ (λ, μ) = 0, în care dacă înlocuim pe λ şi μ cu expresiile lor din ecuaţia

generatoarei, obţinem ecuaţia suprafeţei căutate.

Pentru probleme de tangenţă în care generatoarea trebuie să fie tangentă la o suprafaţă,

facem sistem cu ecuaţia suprafeţei şi ecuaţiile generatoarei (3 ecuaţii), scoatem două variabile

în raport cu a treia, le introducem în ecuaţia suprafeţei date şi impunem condiţia de tangenţă,

adică ecuaţia de gradul II obţinută să aibă Δ = 0.

179

Exercitiul 1. Determinaţi ecuaţia suprafeţei conice cu vârful V(4,4,0) circumscris sferei

S: x2 + y2 + z2 –16 = 0

Soluţie. Ecuaţia generatoarei, adică a unei drepte variabile ca direcţie, care trece prin

V(4,4,0) este:

1z4y4x

=μ−

=λ−

condiţia de contact între generatoare şi sferă este ca sistemul:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++

=μ−

=λ−

016zyx

1z4y4x

222 să aibă soluţii

Soluţiile sistemului sunt: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++μ++λ

+μ=+λ=

016z)4z()4z(

4zy4zx

222

(λ2 + μ2 + 1)z2 + 8(λ + μ)z + 16 = 0

Condiţia de tangenţă înseamnă unicitatea soluţiei ecuaţiei de gradul 2 în z obţinuta: Δ=0

Δ = b2 - 4ac = 64(λ + μ)2 –64 (λ2 + μ2 + 1) = 0 I:64 ⇒ 2λμ +1 = 0

Cum λ = z

4x − şi μ= z

4y − din ecuaţiile generatoarei ⇒ 01z

4yz

)4x(2=+

−⋅

−⇒

⇒2 (x - 4)(y - 4) +z2 = 0 este ecuaţia suprafeţei conice căutate.

Exercitiul 6 Determinaţi ecuaţia suprafeţei cilindrice circumscrise sferelor

S1: x2 +y2+z2 – 4 = 0

S2: x2 +y2+z2 – 2x +2z -2 = 0

Soluţie.

d

C1 C2

Etapa 1.

Pentru S1: C1(0,0,0), R1 = 2

180

Pentru S2: C1(1,0,-1), R2 = 2 deoarece S2: (x-1)2+y2+(z+1)2 = 4

Determinăm ecuaţia liniei centrelor C1C2 = d. Vectorul director al dreptei d va fi

aCCa 21 == (1,0,-1), iar un punct al dreptei este C1(0,0,0) ⇒ d = ⇔−

==1

z0y

1x

⇔ ⎩⎨⎧

=+=

0zx0y

Ecuaţia generatoarei (a unei drepte variabile dar cu direcţia lui d) va fi G : ⎩⎨⎧

μ=+λ=zx

y

Determinăm familia de generatoare tangente la sfera S1, adică impunem

sistemului⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++

μ=+λ=

04zyx

zxy

222 să admită soluţie unică

⎩⎨⎧

−μ=λ=

xzy

⇒ x2+λ2 + (μ -x)2 – 4 = 0 ⇒ 2x2 - 2μx + λ2 + μ2 – 4 = 0

Δx = 0 Δx = 4μ2 – 8(λ2 +μ2 - 4) = 0 I :4

μ2 –2(λ2 +μ2 - 4) = 0 I (-1)

2λ2 + μ2 – 8 = 0

Cum λ = y şi μ = x+z ecuaţia suprafeţei va fi

2y2 + (x + z)2 – 8 = 0

Exercitiul 7 Sa se scrie ecuatia suprafetei cilindrice care are ca directoare curba

2 22x y 2z 0y 2z 0

⎧ + − =⎪Γ⎨− =⎪⎩

, stiind ca generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei directoare.

Solutie Vectorul normal la planul curbei directoare : y 2z 0π − = , este vectorul

director al generatoarei adica este N(0,1, 2)− . Generatoarea trecand prin punctul arbitrar

M0 (λ, μ, 0) va avea ecuatia

x y zG :0 1 2− λ − μ

= =−

Pentru ca generatoarea sa intalneasca curba directoare trebuie ca sistemul format cu

ecuatiile lor sa fie compatibil.

181

2 22x y 2z 0y 2z 0xz 2y 2

⎧ + − =⎪

− =⎪⎨

= λ⎪⎪ = − + μ⎩

Scotand x, y, z din ultimele trei ecuatii obtinem:

x4y52z5

⎧⎪ = λ⎪⎪ = μ⎨⎪⎪ = μ⎪⎩

Inlocuind x, y, z in prima ecuatie rezulta conditia de sprijin 2 216 42 025 5

λ + μ − μ =

2 225 8 10 0⇔ λ + μ − μ = . Inlocuind λ se μ din ecuatiile lui G obtinem ecuatia suprafetei

cautate 25x2+2(2y+z)2-5(2y+z)=0.

Exercitiul 8 Sa se scrie ecuatia suprafetei cilindrice circumscrisa sferei S : x2 + y2 + z2 = 4

stiind ca generatoarele sunt paralele cu dreapta

x y z 0d :

2x z 0+ + =⎧

⎨ + =⎩

Solutie Generatoarea fiind paralela cu dreapta d, ecuatiile ei vor fi

x y zG :

2x z+ + = λ⎧

⎨ + = μ⎩

Impunem conditia ca generatoarea sa intalneasca sfera data, adica sistemul format din ecuatiile

lor sa fie compatibil. Conditia de tangenta a generatoarei fata de sfera se realizeaza prin

unicitatea solutiei sistemului obtinut

2 2 2

2 2 2

x y z 4 z 2xx y z y x2x z x ( x) ( 2x) 4

⎧ ⎧+ + = = μ −⎪ ⎪

+ + = λ ⇒ = λ −μ +⎨ ⎨⎪ ⎪+ = μ + λ − μ + + μ − =⎩⎩

⇔ 2 2 26x (2 6 )x 2 2 4 0+ λ − μ + λ − λμ + μ − =

Pentru unicitatea solutiei impunem conditia 0Δ = ⇔

2 2 24( 3 ) 24( 2 2 4) 0 : 4λ − μ − λ − λμ + μ − =

182

2 2 2 26 9 6 12 12 24 0λ − λμ + μ − λ + λμ − μ + =

2 24 6 3 24 0 ( 1)− λ + λμ − μ + = −

2 24 6 3 24 0λ − λμ + μ − =

care reprezinta ecuatia de sprijin.

Inlocuind x y zλ = + + si 2x zμ = + obtinem ecuatia suprafetei cilindrice

2 24x 4y z 4xy 2xz 2yz 24 0+ + − + + − =

Exercitiul 9 Sa se scrie ecuatia suprafetei conice, care are varful dat de intersectia planelor

1P : x y z 1− + = , 2P : x y z 0+ − = , 3P : x z 0− = , iar curba directoare are ecuatiile

2 2x y 2x 2y 2 0D :z 1

+ − − − ==

Solutie Rezolvand sistemul

x y z 1 x 1x y z 0 y 0 V(1,0,0)x z 0 z 0

− + = =+ − = ⇒ = ⇒

− = =

Ecuatia generatoarei va fi

x 1 y zG :1

−= =

λ μ

Impunem conditia de contact dintre G si D, adica

2 2

2 2

x y 2x 2y 2 0 x 1z 1 yx z 1

( 1) 2( 1) 2 2 0y z

⎧ + − − − = = λ +⎪=⎪ = μ⎨= λ +⎪

λ + + μ − λ + − μ − =⎪ = μ⎩

2 2 2 3 0λ + μ − μ − =

Dar x 1z−

λ = si yz

μ = ⇒

2 2 2(x 1) y 2yz 3z 0− + − − =

Exercitiul 10 Sa se scrie ecuatia suprafetei conoide generata de o dreapta paralela cu planul

xOy, care se sprijina pe axa Ox si pe dreapta

183

x 1 y 2 zd :2 1 1− −

= =−

Sotutie Ecuatia planului xOy este z = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOy este z = λ .

Ecuatia axei Ox este y 0z 0=⎧

⎨ =⎩ , iar ecuatia fascicolului de plane ce trec prin axa Ox este z = μy.

Ecuatia generatoarei va fi data de intersectia planului paralel cu xOy cu fascicolul de plane ce

trece prin axa Ox, adica va fi z

zG : G :

yz y

= λ= λ

⇔ λ== μμ

Impunem conditia de contact dintre G si d :

x 1 2z x 2 1y 2 z y 2z z

y 2

− = = λ +⎧⎪ − = − = −λ +⎪⎪

= λ = λ⎨⎪ λ λ⎪ = −λ + =

μ μ⎪⎩

2 0λμ + λ − =

Dar zλ = si 2z z z 2 0

y yμ = ⇒ + − = 2z zy 2y 0⇔ + − =

Exercitiul 11 Sa se scrie ecuatia suprafetei obtinuta prin rotirea curbei 2 2

x 0:

z y 1 0

=⎧⎪Γ ⎨− + =⎪⎩

in

jurul axei Oz.

Solutie Ecuatia axei Oz este x 0y 0==

sau sub forma canonica x y z0 0 1= =

Cercul variabil ce va genera suprafata este

2 2 2 2x y zC :z+ + = λ= μ

Impunem conditia de sprijin pe curba Γ :

2 2

2 22 2 2 2

2 2

x 0 x 0zz y 1 0y 1x y z

z 2 1

= == λ− + == μ ++ + = λ

= λ μ + = λ

184

Dar μ = z

2 2 2 2x y zλ = + + si

2 2 2 22z 1 x y z+ = + +

2 2 2x y z 1 0+ − − =

Exercitiul 12 Sa se scrie ecuatia suprafetei obtinuta prin rotirea dreptei 1x y z 1d1 1 2

−= = =

−

in jurul dreptei 2x 1 y 1 z 3d :

1 1 1− + −

= =

Solutie Ecuatia cercului generator va fi

2 2 2 2(x 1) (y 1) (z 3)C :x y z− + + + − = λ+ + = μ

Impunem conditia de contact :

2 2 2 2(x 1) (y 1) (z 3)x y zy xz 2x 1

⎧ − + + + − = λ⎪

+ + = μ⎪⎨

= −⎪⎪ = +⎩

2 22 2

1x2

1y2

z

3 3 ( 3)2 2

μ −⎧ =⎪⎪

μ −⎪ = −⎪⎨

= μ⎪⎪μ − − μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + μ − = λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

2 2 2 23 ( 3) 3( 3) 2 02μ − = λ μ − − λ =

2 2 23(x y z 3) 2 (x 1) (y 1) (z 3) 0⎡ ⎤+ + − − − + + + − =⎣ ⎦

Produse cu vectori

Exercitiul 1. Să se determine α si β astfel încât vectorii ( ) ( )a 2i j 2 k= + α +β + α −β şi

b i 2 j 3k= + + sa fie coliniari.

185

Soluţie a si b sunt coliniari ⇔ coordonatele lor sunt proporţionale:

2 21 2 3

α + β α −β= = ⇔

103

α = si 23

β = .

Exercitiul 2 Sa se determine λ astfel incat vectorii a 2 j k= + , b i 2 j= − + , c i j 2k= + λ +

sa fie coplanari.

Soluţie a, b, c coplanari ⇔ produsul lor mixt ( a, b, c ) sa fie nul ⇔ 0 2 11 2 0 0

1 2− =

λ

⇔ 2 4 0 2−λ − + = ⇔ λ =

Exercitiul 3 Sa se determine λ astfel incat unghiul dintre vectorii a i 2 j= − si

b 3i j k= − + λ sa fie 4π .

Soluţie Din expresia analitica a produsului scalar avem

=++⋅++

++=

23

22

21

23

22

21

332211),cos(bbbaaa

babababa2

1 3 ( 2)( 1) 0

1 4 0 9 1

⋅ + − − + ⋅λ=

+ + ⋅ + + λ 2

5

5 10=

+ λ

25

10=

+ λ

1cos4 2π= ⇔ 2

5 1210

=+ λ

2 10 10 , 0λ + = λ =

Exercitiul 4 Sa se determine vectorul v stiind ca este perpendicular pe vectorii

a 3i 2 j 4k= + − , b 3i j= + , are norma egala cu 26 si face un unghi optuz cu j.

Soluţie v a

vv b

⎫⊥ ⎪⇒⎬⊥ ⎪⎭

coliniar cu ( )a b v a b× ⇒ = λ ×

i j ka b 3 2 4 4i 12j 3k

3 1 0× = − = − − v 26 a b 26= ⇔ λ ⋅ × =

16 144 9 26 2⇔ λ ⋅ + + = ⇔ λ = ⇔ 2λ = ±

( ) ( )v, j v j 0 2 v 2 4i 12j 3k2π

> ⇒ ⋅ < ⇒ λ = ⇒ = − − .

186

Exercitiul 5 Sa se afle înălţimea paralelipipedului construit pe reprezentanţii vectorilor

a i 2 j k= + − , b 2i 3j k= + + , c i 2k= − , duşi in acelaşi punct al spaţiului, luând ca baza

paralelogramul determinat de b si c .

Soluţie ( )1 2 1

a, b,c 2 3 1 7 V1 0 2

−= = =

−, unde V este volumul paralelipipedului

considerat. Dar V = A . h unde A este aria paralelogramului determinat de b si c adică

A b c= × .

i j kb c 2 3 1 6i 5j 3k

1 0 2× = = − + −

−

b c 36 25 9 70 A× = + + = =

V 70 7hA 1070

= = =

Exercitiul 6 Ce unghi formează intre ei versorii p si g daca vectorii a 2p g= + si

b 4p 5g= − + sunt perpendiculari ?

Soluţie a b a b 0+ ⇔ ⋅ =

( )( ) 2 2a b 2p g 4p 5g 8p 10p g 4g p 5g⋅ = + − + = − + − + = 8 6p g 5 6p g 3 0− + + = − = ⇒

1p g2

= .

Dar ( ) ( ) 1p g p g cos p,g cos p,g2

⋅ = ⋅ = = ⇒ ( )p,g3π

=

Exercitiul 7 Sa se determine vectorul V care sa fie perpendicular pe vectorii a i 2 j k= − − si

b 2i j k= − + + iar c v 8⋅ = − , unde c 3i j 4k= − − .

Soluţie Fie V xi y j zk= + +

187

V a 0 x 2y z 0 x 1y xV a2x y z 0 y 1z 3xV V b 0

3x y 4z 8 z 3x 1c V 8

⋅ = − − = == −⎧ ⎧⊥ ⇔⎪ ⎪⇒ − + + = = −=⊥ ⇔ ⋅ = ⎨ ⎨⎪ ⎪− − = − ⇒ ==⎩ ⎩⋅ = −

⇒ V i j 3k= − +

Exercitiul 8 Sa se arate ca punctele A(5, -1, -1), B(4, 2, 2), C(5, 3, 1), D(8, 0, -5) se afla in

acelasi plan.

Soluţie Avem vectorii

B AAB r r i 3j 3k= − = − + +

C AAC r r 0i 4 j 2= − = + + π

D AAD r r 3i j 4k= − = + −

A, B, C, D coplanare ⇔ AB, AC, AD coplanare ⇔ ( )1 3 3

AB, AC, AD 0 0 4 2 03 1 4

−= ⇔ =

−

16 18 36 2 0 0 0+ − + = ⇔ = .

Exercitiul 12 Sa se scrie ecuatiile perpendiculare commune dreptelor

1x 1 y 2 zd :

1 4 1− +

= =−

si 2x y z 1d :3 1 2

−= =

si sa secalculeze distanta dintre ele.

Solutie Pentru d1 = M1 (1, -2, 0) , 1a i 4 j k= − + +

Pentru d2 = M2 (0, 0, 1) , 2a 3i j 2k= + +

1 2

i j ka a 1 4 1 7i 5j 13k

3 1 2× = − = + −

Perpendiculara comuna d se va determina ca intersectia a doua plane determinate de

cele doua drepte :

( )1 1 2: M,M, a , a a 0α × = ⇔ x 1 y 2 z

1 4 1 07 5 13

− +− =

− ⇔ 57(x 1) 6(y 2) 33z 0− − − + − = ⇔

bV ⊥

188

57x + 6y + 33z – 45 = 0

( )2 1 22: M M , a , a a 0β × = ⇔ x y z 13 1 2 07 5 13

−=

−

23x 53y 8(z 1) 0⇔ − + + − =

23x 53y 8z 8 0⇔ − − + =

57x 6y 33z 45 0d

23x 53y 8z 8 0+ + − =⎧

⎨ − − + =⎩

( ) 1 2 2 1

1 2

1 2a b a b

d d ,da a

+=

×