+ All Categories
Home > Documents > CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii...

CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii...

Date post: 27-Jun-2020
Category:
Upload: others
View: 16 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
35
CURS 4 Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri A. Arusoaie e-mail: [email protected] Web: http://profs.info.uaic.ro/ ~ andreea.arusoaie/mate.html Facultatea de Informatic˘ a, Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Ia¸ si 22 Octombrie, 2019
Transcript
Page 1: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

CURS 4Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri

A. Arusoaiee-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

22 Octombrie, 2019

Page 2: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Structura cursului

1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor

2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 35

Page 3: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Structura cursului

1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor

2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 35

Page 4: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii cu termeni oarecare

I Spunem ca seria∞∑n=1

xn este o serie cu termeni oarecare, daca termenul

general al seriei, xn, nu are acelasi semn pentru orice n ∈ N∗.

I Un caz particular de serii cu termeni oarecare ıl reprezinta seriile alternate de

forma∞∑n=1

(−1)nyn.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 35

Page 5: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii cu termeni oarecare

Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1

(−1)n+1 1

neste convergenta.

Solutie: Notam xn = (−1)n+1 1

n, n ∈ N∗. Pentru orice n, p ∈ N∗, avem:

|xn+1 + . . .+ xn+p| =∣∣∣∣(−1)n+2 1

n+ 1+ . . .+ (−1)n+p+1 1

n+ p

∣∣∣∣≤ 1

n+ 2− 1

n+ 3+ . . .+ (−1)p−1 1

n+ p≤ 1

n+ 1.

Cum limn→∞

1

n+ 1= 0, rezulta ca,

∀ε > 0,∃nε ∈ N∗, n ≥ nε, p ∈ N∗ : |xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,

Conform testului de convergenta al lui Cauchy, rezulta ca∞∑n=1

(−1)n+1 1

n(C).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 35

Page 6: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii cu termeni oarecare

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 35

Page 7: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn = x1 + . . .+ xn, n ∈ N∗.Daca

1 sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;

2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton descrescator cu limn→∞

yn = 0,

atunci seria∞∑n=1

xnyn este convergenta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 35

Page 8: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Criteriul lui Dirichlet

Demonstratie: Cum (Sn)n∈N∗ este marginit, exista M > 0 : |Sn| ≤M , ∀n ∈ N∗. Pede alta parte, cum sirul (yn)n∈N∗ este convergent la 0, avem:

∀ ε > 0, ∃nε ∈ N∗, : |yn| <ε

2M, ∀n ≥ nε.

Mai mult, cum (yn)n∈N∗ este descrescator, avem yn > 0, ∀n ∈ N∗.Aplicand criteriul general al lui Cauchy de convergenta pentru seria cu termenul generalxnyn, obtinem ca, ∀ε > 0, ∃nε ∈ N∗(de mai sus), : ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N∗, avem:

|xn+1 yn+1 + . . .+ xn+pyn+p|= |(Sn+1 − Sn) yn+1 + (Sn+2 − Sn+1) yn+2 + . . .+ (Sn+p − Sn+p−1) yn+p|

= |−Snyn+1 + Sn+1(yn+1 − yn+2) + . . .+ Sn+p−1(yn+p−1 − yn+p) + Sn+pyn+p|

≤Myn+1 +M(yn+1 − yn+2) + . . .+M(yn+p−1 − yn+p) +Myn+p.

Asadar, vom obtine

|xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| ≤ 2Myn+1 < ε.

Prin urmare, seria∑n∈N∗

xnyn este convergenta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 8 / 35

Page 9: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Exemplu

Exemplu: Seria∞∑n=1

cosn√n

este convergenta.

Solutie: Fie xn = cosn si yn =1√n

, Sn := cos 1 + cos 2 + . . .+ cosn. Avem:

2 sin1

2· Sn = 2 sin

1

2· cos 1 + 2 sin

1

2· cos 2 + . . .+ 2 sin

1

2· cosn

=

[sin

(1 +

1

2

)− sin

(1− 1

2

)]+ ...+

[sin

(n+

1

2

)− sin

(n− 1

2

)]= sin

(n+

1

2

)− sin

1

2= 2 sin

n

2· cos n+ 1

2, n ∈ N∗.

Deci |Sn| ≤1∣∣∣∣sin 1

2

∣∣∣∣ =1

sin1

2

, ∀n ∈ N∗, adica (Sn)n∈N∗ este marginit.

Pe de alta parte, sirul (yn)n∈N∗ este descrescator si convergent la 0.

Conform criteriului lui Dirichlet, rezulta ca seria∞∑n=1

cosn√n

este convergenta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 9 / 35

Page 10: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ doua siruri de numere reale. Daca

1 seria∞∑n=1

xn este convergenta;

2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,

atunci seria∞∑n=1

xnyn este convergenta.

Demonstratie: Cum sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit, atunci el esteconvergent; fie ` = lim

n→∞yn. Presupunem ca (yn)n∈N∗ este descrescator.

Notam yn = yn − `, n ∈ N∗. Atunci (yn)n∈N∗ este descrescator, cu limn→∞

yn = 0.

Din criteriul lui Dirichlet, obtinem ca seria∞∑n=1

xnyn(C). Mai mult, avem

∞∑n=1

`xn(C). Astfel, obtinem ca seria∞∑n=1

xn(yn + `)(C), adica seria∞∑n=1

xnyn(C).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 10 / 35

Page 11: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Exemplu

Exemplu: Seria∞∑n=1

(sinn

n· cos 1

n

)este convergenta.

Solutie: Este usor de demonstrat ca seria∞∑n=1

sinn

neste convergenta.

Cum sirul

(1

n

)n∈N∗

este monoton descrescator si convergent la 0, luand valori

ıntre 0 si 1, iar functia cosinus este descrescatoare pe[0,π

2

], rezulta ca sirul

(yn)n∈N∗ , yn = cos1

neste crescator.

Pe de alta parte, (yn) este marginit, deoarece functia cosinus este marginita.

Asadar, conform criteriului lui Abel, rezulta ca seria∞∑n=1

(sinn

n· cos 1

n

)(C).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 11 / 35

Page 12: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii alternate. Criteriul lui Leibniz

Spunem ca seria∞∑n=1

xn este alternata, daca xn · xn+1 ≤ 0,∀n ∈ N∗.

Orice serie alternata poate fi scrisa astfel:∞∑n=1

(−1)nyn, unde yn ≥ 0,∀n ∈ N∗.

Teorema (Criteriul lui Leibniz)

Daca (yn)n∈N∗ este un sir de numere reale pozitive, descrescator si convergent la

0, atunci seria∞∑n=1

(−1)nyn este convergenta.

Demostratie: Folosim criteriul lui Dirichlet.

Exemplu: Seria∞∑n=1

(−1)n 1n

este convergenta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 12 / 35

Page 13: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii absolut convergente

Definitie

Spunem ca seria de numere reale∞∑n=1

xn este

i) absolut convergenta, daca∞∑n=1

|xn| este convergenta - notam∞∑n=1

xn(AC);

ii) semiconvergenta, daca∞∑n=1

xn este convergenta iar∞∑n=1

|xn| este divergenta -

notam∞∑n=1

xn(SC).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 35

Page 14: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii absolut convergente

Observatie: Pentru serii cu termeni pozitivi, absoluta convergenta esteechivalenta cu convergenta.

Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1

(−1)n+1 1

neste semiconvergenta deoarece

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n(C), ınsa

∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n+1 1

n

∣∣∣∣ = ∞∑n=1

1

n(D) (seria armonica simpla).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 14 / 35

Page 15: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii absolut convergente

Propozitie

Daca o serie de numere reale este absolut convergenta, atunci ea este convergenta.

Demonstratie: Fie∞∑n=1

xn o serie absolut convergenta.

Fie ε > 0; deoarece∞∑n=1

|xn|(C), exista nε ∈ N∗ astfel ıncat

|xn+1|+ . . .+ |xn+p| < ε,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗.

Insa cum |xn+1 + . . .+ xn+p| ≤ |xn+1|+ . . .+ |xn+p|, obtinem

|xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,∀n ≥ ne,∀p ∈ N∗.

Conform teoremei lui Cauchy, seria∞∑n=1

xn este convergenta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 35

Page 16: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Produsul Cauchy al doua serii

Definitie

Fie∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn doua serii de numere reale.

Se numeste produs Cauchy al seriilor∞∑n=1

xn si∞∑n=1

xn, seria∞∑n=1

zn, unde

zn = x1yn + x2yn−1 + . . .+ xny1 =

n∑k=1

xkyn−k+1.

Teorema lui Mertens

Fie∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn doua serii de numere reale. Daca∞∑n=1

xn(AC) si∞∑n=1

yn(C),

atunci produsul Cauchy al seriilor∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn este convergent. Mai mult,

suma acestuia este egala cu produsul sumelor celor doua serii.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 35

Page 17: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Produsul Cauchy al doua serii

Propozitie

Produsul Cauchy al doua serii absolut convergente este o serie absolutconvergenta.

Observatie: Produsul Cauchy al doua serii convergente nu este ın mod necesarconvergent.

Spre exemplu, pentru xn = (−1)n 1√n+1

si yn := xn, seriile∞∑n=1

xn si∞∑n=1

yn sunt

convergente, ınsa produsul Cauchy al lor nu este o serie convergenta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 35

Page 18: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Criteriul radacinii

Corolar

Fie∞∑n=1

xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.

Daca exista limita limn→∞

n√|xn| = ` ∈ R, atunci:

i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

xn(AC);

ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

|xn|(D);

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 35

Page 19: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Criteriul raportului -D’Alembert

Corolar

Fie∞∑n=1

xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.

Daca exista limita limn→∞

|xn+1||xn|

= ` ∈ R, atunci:

i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

xn(AC);

ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

|xn|(D).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 35

Page 20: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Criteriul lui Raabe-Duhamel

Corolar

Fie∞∑n=1

xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.

Daca exista limita limn→∞

n

(|xn||xn+1|

− 1

)= ` ∈ R, atunci:

i) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

xn(AC);

ii) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

xn(D).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 35

Page 21: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Reprezentarea p-adica a numerelor reale

Teorema

Fie p ∈ N∗ \ {1}. Daca (an)n∈N∗ este un sir de numere naturale, asa ıncat

0 ≤ an < p, ∀n ∈ N∗, atunci seria∞∑n=1

anpn

este convergenta, iar suma sa este un

numar real ıntre 0 si 1.

Teorema

Fie p ∈ N∗ \ {1} si a ∈ (0, 1]. Atunci exista un unic sir de numere naturale(an)n∈N∗ , ce satisfac 0 ≤ an ≤ p− 1, ∀n ∈ N∗ si multimea{n ∈ N∗ | an 6= p− 1} este infinita astfel ıncat

∞∑n=1

anpn

= a (1)

Relatia (1) se numeste reprezentarea p−adica a numarului real a.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 35

Page 22: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Aproximarea seriilor

Teorema de aproximare a sumei unei serii alternate

Fie seria∞∑n=1

(−1)nxn, cu (xn)n∈N∗ descrescator si convergent la 0, si fie S suma

acestei serii iar (Sn)n∈N∗ sirul corespunzator al sumelor partiale. Atunci:

|S − Sn| < xn+1,∀n ∈ N∗.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 35

Page 23: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Aproximarea seriilor

Teorema de aproximare a sumei unei serii absolut convergente

Fie∞∑n=1

xn o serie de numere reale, S suma sa si (Sn)n∈N∗ sirul sumelor partiale.

Atunci,

i) daca exista λ < 1 si n0 ∈ N∗ astfel ıncat n√|xn| ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci

∞∑n=1

xn(AC) si avem:

|S − Sn| ≤λn+1

1− λ,∀n ∈ N∗;

ii) daca exista λ < 1 si n0 ∈ N∗ astfel ıncat

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci

∞∑n=1

xn(AC) si avem:

|S − Sn| <|xn+1|1− λ

,∀n ∈ N∗.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 35

Page 24: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Structura cursului

1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor

2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 35

Page 25: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii de puteri

Definitie

Fie (an)n∈N un sir de numere reale.Se numeste serie de puteri centrata ın y0 ∈ R o serie de forma

a0 + a1(y − y0) + . . .+ an(y − y0)n + . . . =

∞∑n=0

an(y − y0)n, y ∈ R. (2)

Termenii an se numesc coeficienti ai seriei.Daca facem schimbarea de variabila x = y − y0, seria (2) se poate scrie ın forma

a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n + . . . =

∞∑n=0

anxn. (3)

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 35

Page 26: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii de puteri

Teorema (Abel)

Pentru orice serie de puteri∞∑n=0

anxn, exista un numar R, 0 ≤ R ≤ +∞, numit

raza de convergenta a seriei de puteri∞∑n=0

anxn, astfel ıncat:

i. Seria∞∑n=0

anxn(AC) pentru orice x ∈ (−R,R);

ii. Seria∞∑n=0

anxn(D) pentru orice x ∈ R \ [−R,R].

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 35

Page 27: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii de puteri

Putem rescrie teorema lui Abel si astfel:

Pentru orice serie de puteri∞∑n=0

anxn, exista R, 0 ≤ R ≤ +∞ asa ıncat:

i) daca R = 0, atunci unicul punct de (absoluta) convergenta pentru seria∞∑n=0

anxn este x = 0;

ii) daca R > 0, atunci seria∞∑n=0

anxn(AC) pe intervalul (−R,R);

iii) daca 0 < R < +∞, atunci seria∞∑n=0

anxn(D) pe (−∞,−R) ∪ (R,+∞);

iv) daca R = +∞, atunci seria∞∑n=0

anxn(C) pe R;

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 35

Page 28: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Serii de puteri

Daca notam

Dc - domeniul de convergenta -{x ∈ R |

∞∑n=0

anxn(C)

},

Dac - domeniul de absoluta convergenta -{x ∈ R |

∞∑n=0

anxn(AC)

},

atunci, pentru orice serie de puteri∞∑n=0

anxn au loc urmatoarele incluziuni:

(−R,R) ⊆ Dac ⊆ Dc ⊆ [−R,R].

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 35

Page 29: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Determinarea razei de convergenta

Propozitie

Fie∞∑n=0

anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.

Daca exista ρ = limn→∞

n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei

∞∑n=0

anxn este

R =

0, cand ρ = +∞;

1

ρ, cand 0 < ρ < +∞;

∞, cand ρ = 0.

Daca nu exista limn→∞

n√|an|, vom calcula R similar, doar ca de data asta,

ρ = lim supn→∞

n√|an|.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 29 / 35

Page 30: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Exemplu

Sa se studieze convergenta seriei∞∑n=0

3nxn.

Pentru a determina raza de convergenta, calculam

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞n√3n = 3.

Rezulta ca, R =1

limn→∞

n√|an|

=1

3.

Asadar, seria∞∑n=0

3nxn este convergenta (absolut) pe

(−1

3,1

3

).

Daca x =1

3, atunci lim

n→∞an = 1, deci seria este divergenta.

Daca x = −1

3, se aplica acelasi rationament.

In concluzie, seria este convergenta pentru x ∈(−1

3,1

3

)si divergenta pentru

x ∈(−∞,−1

3

]∪[1

3,+∞

).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 30 / 35

Page 31: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Determinarea razei de convergenta

Propozitie

Fie∞∑n=0

anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.

Daca exista ` = limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ ∈ R, atunci raza de convergenta este data de

R =

0, cand ` = +∞;

1

`, cand 0 < ` < +∞;

∞, cand ` = 0.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 31 / 35

Page 32: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Exemplu

Sa se studieze convergenta seriei de puteri∞∑n=1

1

n(n+ 1)xn.

Daca notam cu an = 1n(n+1) , atunci avem

` = limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

1(n+1)(n+2)

1n(n+1)

= limn→∞

n

n+ 2= 1 > 0.

Prin urmare, raza de convergenta este R = 1.

Pentru x = 1, avem∞∑n=1

1

n(n+ 1)(C) (criteriul Raabe-Duhamel / CCIII utilizand

ca termen de comparatie∞∑n=1

1

n2).

Pentru x = −1, seria devine∞∑n=1

(−1)n

n(n+ 1)(C) (criteriul lui Leibniz).

Prin urmare, multimea de convergenta a seriei de puteri este [−1, 1].

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 32 / 35

Page 33: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Exemple de serii de puteri

1. Seria nula: an = 0, n ∈ N. In acest caz, R =∞, Dac = Dc = R.

2. Seria geometrica,∞∑n=0

xn. Avem R = 1, Dac = Dc = (−1, 1).

3. Seria∞∑n=0

n!xn: R = 0, Dac = Dc = {0}.

4. Seria∞∑n=1

1

nαxn, cu α ∈ R. Avem R = 1 si Dac =

{(−1, 1), α ≤ 1;[−1, 1] , α > 1;

,

Dc =

(−1, 1), α ≤ 0;[−1, 1), α ∈ (0, 1] ;[−1, 1] , α > 1;

.

5. Seria exponentiala,∞∑n=0

xn

n!. Avem R = +∞, Dac = Dc = R. Mai mult

∞∑n=0

xn

n!= ex.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 33 / 35

Page 34: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Exemple de serii de puteri

6. Seriile trigonometrice,∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 si

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n.

Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem

sinx =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1, ∀x ∈ R;

cosx =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n, ∀x ∈ R;

7. Seriile hiperbolice,∞∑n=0

1

(2n+ 1)!x2n+1 si

∞∑n=0

1

(2n)!x2n.

Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem

shx =

∞∑n=0

1

(2n + 1)!x2n+1 :=

ex − e−x

2, ∀x ∈ R;

chx =

∞∑n=0

1

(2n)!x2n :=

ex + e−x

2, ∀x ∈ R;

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 34 / 35

Page 35: CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,

Bibliografie

Anca Precupanu - Bazele analizei matematice, Editura Polirom, Iasi, 1998.

V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica,Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom,Bucuresti, 2006.

M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”FairPartners”, Bucuresti, 2011.

Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLADepartment of Mathematics, Los Angeles, 2015.

M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:PowerSeries), Imperial College London, Department of Computing, 2016.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 35 / 35


Recommended