24
Denitia si legatura cu morsmele aneExemple
Grupul izometriilor si subgrupurile sale importanteDescompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale fata de hiperplane
Curs 4
Izometrii
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 4
1 Denitia si legatura cu morsmele ane
2 Exemple
3 Grupul izometriilor si subgrupurile sale importante
4 Descompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale
fata de hiperplane
Denitia izometriilor
Denition
Fie E1 =(E1,−→E1,Φ1
)si E2 =
(E2,−→E2,Φ2
)doua spatii ane
euclidiene si d1 : E1 × E1 → R, d2 : E2 × E2 → R functiile distante
corespunzatoare. O aplicatie f : E1 → E2 se numeste izometrie
daca
d1 (A,B) = d2 (f (A), f (B)) , ∀A,B ∈ E1.
Exercitiu Demonstrati, folosind denitia, ca orice translatie a unui
spatiu an euclidian este o izometrie.
Consecinta1 Orice izometrie intre doua spatii ane euclidiene este
o aplicatie injectiva.
Consecinta2 Urma−→f :−→E1 →
−→E2 a oricarei izometrii pastreaza
normele vectorilor: ‖ −→u ‖1=‖−→f (u) ‖2, ∀u ∈
−→E1.
Ultima consecinta ne sugereaza sa studiem legatura intre izometrii
si morsmele ane cu aplicatia liniara asociata ortogonala.
Theorem
O aplicatie f : E1 → E2 intre doua spatii ane euclidiene este
izometrie daca si numai daca f este morsm an cu aplicatia liniara
asociata−→f :−→E1 →
−→E2 ortogonala.
Proposition
Orice izometrie intre doua spatii ane eulidiene de dimensiune nita
transforma subspatii ane in subspatii ane de aceeasi dimensiune.
Corolar O izometrie pastreaza relatia a intre si raportul simplu a trei
puncte. Prin urmare orice izometrie transforma drepte ane in drepte
ane, semidrepte in semidrepte, segmente in segmente, plane in plane,
semiplane in semiplane, semispatii in semispatii.
Denition
Numim gura a unui spatiu an orice submultime nevida F ⊂ E . Doua
guri F1,F2 ⊂ E se numesc congruente daca exista o izometrie
f : E → E cu proprietatea f (F1) = F2. Notam F1 ≡ F2.
Relatia de congruenta pe multimea gurilor unui spatiu an este o relatie
de echivalenta.
Exemple
Teorema de caracterizare a izometriilor ne ofera o serie de exemple,
pornind de la aplicatiile ortogonale cunoscute.
Orice translatie tu : E → E este o izometrie, deoarece este
morsm an cu urma aplicatia identitate Id−→E
care evident este
aplicatie ortogonala. Translatiile nu au puncte xe.
Exemple
Denition
Fie En =(E ,−→E ,Φ
)un spatiu an euclidian si
E1 =(E1,−→E1,Φ|E1×E1
)un subspatiu a.e. al sau. Simetria lui E
fata de E1, paralela cu(−→E1
)⊥se numeste simetria ortogonala a lui
E fata de E1.
Simetria ortogonala a lui En fata de E1 are ca urma simetria
ortogonala a spatiului liniar−→E fata de
−→E1. Stim ca S−→
E1:−→E1 →
−→E1
este o aplicatie ortogonala, deci obtinem o izometrie.
Simetria ortogonala
Simetria ortogonala
Notam simetria ortogonala a spatiului a.e. E fata de E1 prin
SE1 : E → E . Ea asociaza ecarui punct P ∈ E punctul P ′,simetricul lui P fata de E1, obtinut astfel. Se considera E2subspatiul an normal prin P la E1 si Q = E2 ∩ E1. (Am
demonstrat in primul curs ca intersectia a doua subspatii a.e.
normale e formata dintr-un singur punct). Q se numeste proiectia
ortogonala a lui P pe E1.
Punctul P ′ ∈ E2 este unic determinat de conditia ca punctul Q sa
e mijlocul segmentului [PP ′].In cazul in care E1 este un hiperplan observam ca E1 este
hiperplanul mediator al segmentului [PP ′].
Aplicatia PrE1 : E → E1 ⊂ E ce asociaza ecarui P proiectia sa
ortogonala pe E1 se numeste proiectia ortogonala a lui E pe E1.Observam ca SE1 = 2PrE1 − IdE si ca toate punctele lui E1 sunt
xe pentru SE1 .Fie A ∈ E1 xat arbitrar. Atunci
SE1(P) = A+S−→E1
(−→AP), ∀P ∈ E ⇔
−−−−−−−−−→SE1(P)SE1(R) = S−→
E1(−→PR), ∀P,R ∈ E .
Simetria ortogonala
Rotatia in plan
Fie planul an euclidian orientat E2, Ω un punct din E si
α ∈ (−π, π].
Denition
Se numeste rotatie de centru Ω si unghi α aplicatia RΩ,α : E → E
denita astfel: RΩ,α(Ω) = Ω si pentru orice punct P ∈ E , P 6= Ω,
RΩ,α(P) = P ′, unde P ′ este unic determinat de conditiiled(Ω,P) = d(Ω,P ′),
]o
(−→ΩP,−−→ΩP ′
)= α.
Observam ca urma lui RΩ,α este rotatia geometrica de unghi α in
planul vectorial−→E , Rα :
−→E →
−→E si aceasta este o aplicatie
ortogonala.Singurul punct x al unei rotatii este centrul sau (atunci candα 6= 0).
RΩ,α(P) = Ω+Rα(−→ΩP), ∀P ∈ E ⇔
−−−−−−−−−−−→RΩ,α(P)RΩ,α(S) = Rα(
−→PS), ∀P,S ∈ E .
Rotatia in plan
Rotatia in spatiu
Intr-un spatiu a.e. trei dimensional orientat E3 se considera o
dreapta ana orientata d si α ∈ (−π, π]. Consideram a ∈−→d
orientat pozitiv, nenul. Denim rotatia in jurul dreptei d de
unghi α aplicatia Rd ,α : E → E denita prin
Rd ,α(A) = A, ∀A ∈ d , Rd ,α(P) = P ′, P /∈ d ,
unde P ′ e unic determinat astfel: se considera π planul prin P
normal dreptei d si Ω = d ∩ π; e b =−→ΩP ∈ −→π si
c = a × b ∈ −→π ; se orienteaza planul π astfel incat b, c este o
baza pozitiva in −→π ; in π se aplica lui P rotatia de centru Ω si unghi
orientat α, obtinandu-se astfel punctul P ′.
Urma rotatiei Rd ,α este rotatia geometrica a lui−→E in jurul lui a, de
unghi orientat α, studiata in primul semestru Ra,α :−→E →
−→E .
Pentru A ∈ d oarecare, avem
Rd,α(P) = A+Ra,α(−→AP), ∀P ∈ E ⇔
−−−−−−−−−−−→Rd,α(P)Rd,α(S) = Ra,α(
−→PS), ∀P, S ∈ E .
Se observa ca toate punctele xe ale acestei izometrii sunt punctele
dreptei d , numita si axa de rotatie.
Rotatia in spatiu
Grupul izometriilor
Propozitie
O izometrie intre doua spatii ane de aceeasi dimensiune nita este
o bijectie.
Deoarece multimea morsmelor ane bijective ale unui spatiu an
are structura de grup, numit grupul an GA(E ), si multimea
aplicatiilor ortogonale ale spatiului liniar director−→E are tot
structura de grup, O(−→E ), se obtine:
Theorem
Multimea izometriilor unui spatiu an euclidian nit dimensional Enare structura de grup in raport cu compunerea functiilor. Notam
acest grup cu GI(En) sau Izo(En).
Reformuland, am obtinut ca multimea izometriilor unui spatiu an
euclidian nit dimensional En este un subgrup al grupului an GA(En).Putem enunta un rezultat mai general, cand nu impunem ca dimensiunea
spatiului an sa e nita. Multimea izometriilor bijective ale unui spatiu
an este un subgrup al grupului an.
Grupul ortogonal
Amintim ca multimea aplicatiilor liniare ortogonale ale unui spatiu
liniar de dimensiune n, de exemplu−→E , formeaza un grup in raport
cu compunerea functiilor, grup pe care il vom nota O(−→E ).
Acest grup este izomorf cu grupul matricilor ortogonale de ordin n,
cu elemente reale, numit grupul ortogonal de ordin n.
O(n) =A ∈Mn(R) | AAt = AtA = In
.
Izomorsmul este functia ce asociaza ecarei aplicatii ortogonale
matricea sa in raport cu o baza ortonormata xata in−→E .
Grupul O(−→E ) are ca subgrup multimea rotatiilor SO(
−→E ) (a
aplicatiilor ortogonale de specia I), subgrup izomorf cu grupul
ortogonal special SO(n), unde
SO(n) = A ∈ O(n) | detA = 1 .
Denition
O izometrie f : E → E ce admite un punct x Ω ∈ E ( f (Ω) = Ω)
se numeste centro-izometrie de centru Ω. Mutimea
centro-izometriilor cu centrul Ω se noteaza cu GI(En,Ω).
De exemplu rotatia in plan este o centro-izometrie.
Proposition
Multimea centro-izometriilor GI(En,Ω) este un subgrup al lui
GI(En), grup izomorf cu O(n).
Izomorsmul cautat este ξ : GI(En,Ω)→ O(−→E ), ξ(f ) =
−→f , deci
functia ce asociaza ecarei izometrii urma sa.
Aceasta functie ne ofera un morsm de grupuri intre GI(En) si
O(−→E ), mai exact, pentru orice izometrii f , g are loc
−−→f g =
−→f −→g . In plus compunerea a doua aplicatii ortogonale
este ortogonala. Daca dorim sa obtinem un izomorsm de grupuri,
avem nevoie de conditia suplimentara f (Ω) = Ω.
Sa demonstram ca aplicatia ξ : GI(En,Ω)→ O(−→E ) , ξ(f ) =
−→f
este bijectie.
Fie g ∈ O(−→E ) arbitrara. Vom demonstra ca exista o unica izometrie
f ∈ GI(En,Ω) ce are ca aplicatie liniara asociata functia g .
Denim
f (A) = Ω + g(−→ΩA) ⇔
−−−−→Ωf (A) = g(
−→ΩA), ∀A ∈ E . (1)
Rezulta ca ∀A,B ∈ E are loc−−−−−−→f (A)f (B) =
−−−−→f (A)Ω +
−−−−→Ωf (B) = −g(
−→ΩA) + g(
−→ΩB) = g(
−→AB),
deoarece g e aplicatie liniara. Deci urma lui f este aplicatia liniara
g , de unde rezulta ca f e morsm an. Deoarece g e ortogonala
rezulta ca f este izometrie si, din modul in care a fost denita,
deducem ca f (Ω) = Ω.
Unicitatea: e h : E → E o alta aplicatie ana cu Ω punct x si
aplicatie liniara asociata g . Fie P ∈ E arbitrar. Din−−−−−−→h(Ω)h(P) = g(
−→ΩP) si h(Ω) = Ω rezulta ca
h(P) = h(Ω +−→ΩP) = Ω + g(
−→ΩP) = f (P) din (1).
Proposition
Pentru ecare Ω ∈ E , orice izometrie a lui E se descompune in mod
unic in produsul dintre o centro-izometrie de centru Ω si o
translatie.
Prin produsul a doua izometrii intelegem de fapt compunerea lor.
Fie f ∈ GI(En). Stim ca orice morsm an se poate scrie ca si
compunerea dintre o aplicatie ana cu punctul x Ω si o translatie.
Mai exact
f = t−−−−→Ωf (Ω)
g , unde g = t−−−−→f (Ω)Ω
f , g(Ω) = Ω.
Deoarece f e izometrie si orice translatie este o izometrie, rezulta
ca g este izometrie.
Unicitate: presupunem ca ∃u, v ∈−→E si ∃g , h ∈ GI(En,Ω) astfel
incat f = tu g = tv h. Rezulta ca−−−−→Ωf (Ω) =
−−−−−−−→Ω(tu(g(Ω)) =
−−−−−−→Ω(tu(Ω)) = u. Analog
−−−−→Ωf (Ω) = v , deci
u = v . Rezulta imediat ca g = h.
Deplasari
Un alt subgrup important al grupului izometriilor este grupul
deplasarilor.
Denition
Se numeste deplasare (miscare) o izometrie cu aplicatia liniara
asociata o aplicatie ortogonala de specia I:−→f ∈ SO(
−→E ).
Se numeste antideplasare o izometrie cu aplicatia liniara asociata o
aplicatie ortogonala de specia a II-a.
Notam multimea deplasarilor cu D(En).
Translatiile si rotatiile (in planul E2 si spatiul E3) sunt deplasari, catsi simetria ortogonala fata de o dreapta ana in E3. Simetria
ortogonala fata de un hiperplan este o antideplasare.
Proposition
Multimea deplasarilor unui spatiu an este un subgrup al grupului
izometriilor.
Multimea deplasarilor cu un punct x este un subgrup al lui D(En),
izomorf cu SO(−→E ).
Reamintim ca geometria euclidiana se ocupa de studiul
proprietatilor gurilor spatiilor ane euclidiene invariante la actiunea
grupului izometriilor.
Ecuatiile unei izometrii
Theorem
Fie En un spatiu an euclidian n dimensional si o aplicatie
f : E → E. O conditie necesara si sucienta pentru ca f sa e o
izometrie este existenta unui reper ortonormat
R = O; e1, e2, · · · , en astfel incat pentru un punct P cu
coordonatele (x1, x2, · · · , xn) in reperul R, coordonatele(y1, y2, · · · , yn) ale lui f (P) in acelasi reper sa e de forma:
y i =n∑
j=1
aijxj + bi , i ∈ 1, n, si
n∑k=1
aki akj = δij . (2)
Reformulam (2) in scriere matriciala:
Y = AX + B, A ∈ O(n),
unde
X =
x1
x2
· · ·xn
, Y =
y1
y2
· · ·yn
, B =
b1
b2
· · ·bn
, A =(aij
)∈ O(n).
Descompunerea unei izometrii in produs de simetrii
Theorem
Orice izometrie a unui spatiu an euclidian n-dimensional se poate
descompune in produs de cel mult n + 1 simetrii ortogonale fata de
hiperplane.
De exemplu, orice translatie tu : E → E se poate scrie ca produsul
a doua simetrii ortogonale fata de doua hiperplane paralele
H1 ‖ H2, cu u ∈(−→H1
)⊥si reciproc.
Particularizam acest rezultat pentru o translatie in plan.
tu = Sd2 Sd1 , u ⊥−→d , ‖ u ‖= 2d(d1, d2).
Orice rotatie de centru Ω si unghi α in plan este produsul dintre
doua simetrii ortogonale fata de doua drepte concurente in Ω si
reciproc.
RΩ,α = Sd2 Sd1 , d1 ∩ d2 = Ω , α = 2]o (d1, d2) .
