Ce am invatat in cursul trecut ?

Ce puteri intalnim in regim nesinusoidal.

Cum se comporta elementele ideale de circuit in regim deformant.

Cum se rezolva circuitele in regim deformant.

Ce este regimul tranzitoriu si cum poate fi descris matematic.

5. Circuite electrice in regim tranzitoriu

5.1. Definitii, ecuatii si conditii initiale. Marimi de stare. (Continuare)

5.2. Rezolvarea circuitelor de ordinul I (RL, RC) prin metoda elementara (analiza in domeniul timp).

5.3. Rezolvarea circuitelor de ordin superior prin metoda operationala (a transformatei Laplace).

5.4. Functii de transfer si stabilitatea circuitelor liniare.

Rezolvare matematica

Ecuatie diferentiala neomogena de ord. (n):

anx(n) + an-1x(n-1) + ….. + a1x’ + a0 = b(t)

Solutia generala:x(t) = xt(t) + xp(t)

Componenta tranzitorie, libera

Componenta permanenta, fortata

Solutia generala a ecuatiei diferentiale omogene (b(t)=0)

O solutie particulara a ecuatiei diferentiale neomogene

datorata conditiilor initiale (CI)(valorile lui x, x’,…x(n-1) la t=0)

datorata surselor b(t)

Numarul elementelor reactive de circuit (bobine si condensatoare)

Cum se calculeaza cele 2 componente ?Componenta permanenta xp(t) = solutia de regim permanent ulterior (c.c., c.a.) a circuitului.

Componenta tranzitorie xt(t) = solutia generala a ecuatiei diferentiale omogene:

anx(n) + an-1x(n-1) + ….. + a1x’ + a0 = 0

Algoritm:

1. Se construieste ecuatia caracteristica: anrn + an-1rn-1 + ….. + a1r+ a0 = 0

2. Se rezolva ecuatia caracteristica → radacinile caracteristice: r1, r2,…, rn.

3. Solutia generala a ecuatiei diferentiale omogene este:

unde Ak sunt constante de integrare ce urmeaza a fi calculate pe baza (CI)

Observatii

1. Rezolvarea ecuatiei diferentiale este posibila pentru functii x(t) continue in t=0. In teoria circuitelor, aceste marimi se numesc marimi de stare.

2. Pentru cazul general (circuite neliniare), marimile de stare sunt:

- fluxul magnetic al bobinelor Φ;

- sarcina electrica a condensatoarelor q.3. Pentru circuite liniare, marimile de stare devin:

- intensitatea curentului electric prin bobine iL;

- tensiunea la bornele condensatoarelor uC.

4. Solutia ecuatiei diferentiale neomogene constituie solutia circuitului in orice fel de regim (inclusiv permanent), dar metoda integrarii directe este prohibitiva pentru circuite complexe cu numar mai mare de 2 elemente reactive (circuite de ordinul 2).

5. Daca xt este comparabila cu xp, atunci circuitul se gaseste in regim tranzitoriu.

6. Daca xt<<xp, atunci circuitul se gaseste in regim permanent.

Φ=L·iLq=C·uC

5. Circuite electrice in regim tranzitoriu

5.1. Definitii, ecuatii si conditii initiale. Marimi de stare.

5.2. Rezolvarea circuitelor de ordinul I (RL, RC) prin metoda elementara (analiza in domeniul timp).

5.3. Rezolvarea circuitelor de ordin superior prin metoda operationala (a transformatei Laplace).

5.4. Functii de transfer si stabilitatea circuitelor liniare.

Circuitul RL in regim tranzitoriu

Pozitia comutatorului:(a)Regim permanent (c.c.) anterior (t<0)(b)Regim tranzitoriu (t≥0), urmat de regim permanent ulterior (t→∞)

Ecuatia diferentiala neomogena de ordinul 1:(cf. K2 in bucla din dreapta)

(necunoscuta iL = marimea de stare)Componenta tranzitorie:-Ecuatia caracteristica: R+Lr=0-Radacina caracteristica: r=-R/L

Constanta de timp:

Componenta permanenta:- Din regimul permanent ulterior (c.c.)

(K2 in c.c., in bucla din dreapta)

Circuitul RL in regim tranzitoriu

Impunerea conditiilor initiale (t<0) (cf. regimului permanent anterior)

Solutia de regim tranzitoriu: ?

(K2 in c.c., in bucla din stanga)

(constanta de integrare)

Solutia finala:

Circuitul RC in regim tranzitoriu

Pozitia comutatorului:(a)Regim permanent (c.c.) anterior (t<0)(b)Regim tranzitoriu (t≥0), urmat de regim permanent ulterior (t→∞)

Ecuatia diferentiala neomogena de ordinul 1:(cf. K2 in bucla din dreapta)

(necunoscuta uC = marimea de stare)Componenta tranzitorie:-Ecuatia caracteristica: RCr+1=0-Radacina caracteristica: r=-1/(RC)

Constanta de timp:

Componenta permanenta:- Din regimul permanent ulterior (c.c.)

(K2 in c.c., in bucla din dreapta)

Circuitul RC in regim tranzitoriu

Impunerea conditiilor initiale (t<0) (cf. regimului permanent anterior)

Solutia de regim tranzitoriu: ?

(K2 in c.c., in bucla din stanga)

(constanta de integrare)

Solutia finala:

Semnificatia constantei de timp τ

Dupa t=τ, componenta tranzitorie scade de e ori (≈2.71 ori)

Dupa t=(5· τ), componenta tranzitorie scade de (5·2.71)=13.55 ori, putandu-se considera incheiat regimul tranzitoriu.

Cateva exemple:

R=1kΩ, L=1mH → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 microsecunde

R=1MΩ, L=1mH → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 nanosecunde

R=1Ω, L=1H → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 secunde

R=1kΩ, C=1μF → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 milisecunde

R=1kΩ, C=1nF → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 microsecunde

R=1kΩ, C=1pF → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 nanosecunde

R=1MΩ, C=1pF → regimul tranzitoriu se considera incheiat dupa 5 microsecunde

Solutia de regim tranzitoriu pentru circuite de ordinul 1 (o bobina SAU un condensator)

(circuit RL)

(circuit RC)

iL(0-) iL(∞)

uC(0-) uC(∞)

Valorile marimilor de stare in regimurile permanente anterior, respectiv ulterior

GENERALIZARE:

- Pentru circuite cu o bobina: x(t)=iL(t), τ=L/Rechiv

- Pentru circuite cu un condensator: x(t)=uC(t), τ=CRechiv

Rechiv = rezistenta echivalenta in raport cu bornele bobinei sau condensatorului, la t>0

Algoritm de rezolvare

1. Se rezolva circuitul de c.c. corespunzator regimului permanent anterior (t<0). Obs.: Bobina se inlocuieste cu un fir ideal, iar condensatorul cu o intrerupere.

Rezulta x(0)

2. Se rezolva circuitul de c.c. corespunzator regimului permanent ulterior (t>0).Rezulta x(∞)

3. Se pasivizeaza circuitul pentru t>0 si se calculeaza rezistenta echivalenta in raport cu bornele bobinei sau condensatorului.Rezulta Rechiv

4. Se calculeaza constanta de timp a circuitului: τ=L/Rechiv sau τ=CRechiv

Rezulta τ

5. Se aplica formula pentru x = iL sau uC:

6. Se calculeaza celelalte marimi, conform relatiilor Kirchhoff si/sau legaturii (u-i).

Sa exersam !

)(2C ti

A][24 J

V][81 E

21R

33R

mF22 C

)(2C tu

(inclusiv graficele)

A][41 J

V][44 E

12R

24R

mH23 L

)(3L ti

)(3L tu

(inclusiv graficele)