CURS 11 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2 …...admisibilăa unui material (la o anumităsolicitare)...

Dimensionarea & verificarea la solicitări statice.

Coeficienți de siguranță• Modelul de calcul

• Alegerea materialului

• Stări limită ale materialelor și reperelor

• Rezistențe admisibile și coeficienți de siguranță

• Metoda sarcinii limită

• Elemente din teoria probabilităților

Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA

CURS 11 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2

DIMENSIONARE & VERIFICARE

1. Modelul de calcul

Prima fază de decizie în proiectare unui reper este alegerea modelului decalcul. Acesta reprezintă o schemă simplificată a reperului, asupra căruiase pot aplica relațiile din mecanica corpului deformabil.

Modelarea reperului constă în:

- alegerea formei și dimensiunilor de calcul;- alegerea modului de rezemare;- alegerea mărimii și modului de distribuție a sarcinilor aplicate.

Un model greșit, care se îndepărtează mult de la fenomenul real, poatecompromite calculul, oricât de corecte ar fi relațiile ulterior folosite șioricât de corecte ar fi calculele matematice.



Când modurile de rezemare și încărcare sunt evidente, nu există pericolulde a greși la alegerea modelului de calcul.

Această evidență nu este prezentă mereu, mai ales că în anumite domenii,nici forțele aplicate nu se cunosc cu certitudine.

Un exemplu sugestiveste prezentat în parteadreaptă, unde estevorba despre alegereamodelului de calculpentru bolțul uni biele,rezemat pe umeri delungime mare, care numot fi considerațipunctiformi.

Efortul unitar𝝈

Săgeata maximă

𝒇

1 1

0.56 0.37

0.25 0.077



2. Alegerea materialului

A doua fază de decizie în proiectare unui reper este alegerea materialului.Aici trebuie luată, din nou, o decizie pe baza:

- caracteristicilor mecanice alematerialelor „clasice”;

- proprietățile materialelor „noi”;- tehnologiile moderne de

obținere a acestor materiale.

În figura alăturată, este reprodusă odiagramă comparativă a limitelor derupere ( 𝝈𝒓 ), modulele deelasticitate ( 𝑬 ) și temperaturilemaxime de utilizare (𝑻 ), pentrunouă materiale.



Liniile corespund următoarelor materiale: 1 – beton (solicitat lacompresiune), 2 – lemn (solicitat la încovoiere), 3 – aliaje de magneziu(Mg), 4 – materiale plastice, 5 – aliaje de aluminiu (Al), 6 – aliaje de titan(Ti), 7 – aliaje de cupru (Cu), 8 – aliaje de nichel (Ni), 9 – fier și oțel (Fe).

Aceste linii au lungimi destul demari, din cauză că pentru fiecaregrupă de materiale există ovarietate destul de mare decompoziții, calități, etc.



La alegerea materialelor, trebuie ținut seama de:

a) Comportarea în serviciu și durabilitatea reperului:• caracteristici mecanice ale materialului;• constantele elastice;• comportarea materialului la concentratorii de tensiuni.

b) Comportarea materialului în condiții speciale de mediu:• temperaturi joase v înalte;• mediu coroziv (salin, umed, etc.)

c) Comportarea materialului în urma proceselor tehnologice defabricație:

• turnare / forjare și sudare;• prelucrări prin așchiere;• tratamente termice;• tehnologii neconvenționale (fabricație aditivă);• tratamente de suprafață.

d) Costul materialului și al tehnologiei



3. Stări limită ale materialelor și reperelor

Activitatea de proiectare începe doar după ce conceptul de siguranță areperului poate fi exprimat cantitativ.

Spre a ajunge la acest număr, se pornește de la o valoare cunoscută –sarcina aplicată piesei - și se urmărește ce s-ar putea întâmpla dacăaceastă sarcină crește până la cedarea (distrugerea) reperului.

În funcție de modul în care cedează reperele, se poate defini starea limităconsiderată în calcule. Sarcinile corespunzătoare stărilor limită suntdenumite sarcini limită.



Există următoarele stări limită:

• În cazul deformațiilor elastice mari:

a) atingerea deformațiilor limită impuse pentru a nu fi compromisă bunafuncționare a reperului;

b) atingerea sarcinii critice de flambaj în regim elastic;c) funcționarea în regim de vibrații elastice peste limita admisibila

• În cazul deformațiilor plastice mari:

a) atingerea locală a limitelor de curgere;b) generalizarea curgerii (apariția articulației plastice);

• În cazul ruperii:

a) atingerea limitei de rupere statice, 𝝈𝒓;b) depășirea rezistenței la oboseală




4. Rezistențe admisibile și coeficienți de siguranțăÎn practica obișnuită a calcului de rezistență se definește rezistențaadmisibilă a unui material (la o anumită solicitare)

𝝈𝒂 =𝝈𝒄𝒄

∨ 𝜎𝑎 =𝜎0.2𝑐

𝝈𝒂 =𝝈𝒓𝒄

unde 𝒄 este coeficientul de siguranță.

Proiectarea corectă a unui reper presupune că în secțiunea periculoasătensiunea este egală cu rezistența admisibilă 𝝈 = 𝝈𝒂. Utilizând notațiagenerală 𝝈𝑳 pentru tensiunea la starea limită (𝜎𝑐, 𝜎0.2 ∨ 𝜎𝑟 ) și 𝝈 pentrutensiunea de lucru în secțiunea periculoasă a reperului, coeficientul desiguranță este:

𝒄 =𝝈𝑳𝝈


COEFICIENȚI DE SIGURANȚĂ

zonă periculoasă

𝜎𝑐 = 220 𝑀𝑃𝑎, 𝑐 = 1.5

𝜎𝑎 =220

1.25= 146.7 𝑀𝑃𝑎



Dacă un reper are 𝒄 = 𝟐, aceasta înseamnă că tensiunea la starea limităeste dublă față de cea reală din reper.

Inversul coeficientului de siguranță𝟏

𝒄, poate fi denumit și factor de

utilizare a materialului. În cazul prezentat mai sus, înseamnă că seutilizează 50% din capacitatea de rezistență a materialului.

De fapt, coeficientul de siguranță (𝒄), trebuie definit ca raport între sarcinala starea limită (𝑷𝑳) și sarcina reală din reper (𝑷).

𝒄′ =𝑷𝑳𝑷

A aplica una dintre formulele lui 𝒄 înseamnă a aplica metoda rezistențeloradmisibile. Relația corespunzătoare lui 𝒄′ , definește coeficientul desiguranță determinat prin metoda sarcinii limită.


5. Metoda sarcinii limită

Metodele anterioare de determinare a coeficientului de siguranță 𝒄 sau 𝒄′,considerau că între sarcina 𝑷 și tensiunea 𝝈 există o relație liniară care semenține până la starea limită.

Există, totuși, câteva cazuri în care relația liniară între sarcini și tensiunidispare. Deci, coeficienții 𝒄 și 𝒄′ nu mai sunt identici.

a) Exponentul sarcinii este diferit de unitate

Dacă 𝜎 = 𝑘 ∙ 𝑃𝑚 în care 𝑘 este o constantă și 𝑚 ≠ 1, atunci coeficientulde siguranță obținut prin metoda sarcinii limită este:

𝒄′ =𝑃𝐿𝑃=

𝑚 𝜎𝐿𝜎= 𝒎 𝒄

Pentru 𝒎 > 𝟏 rezultă 𝒄′ < 𝒄, pentru 𝒎 < 𝟏 se obține 𝒄′ > 𝒄, iar la 𝒎 =𝟏, atunci 𝒄′ = 𝒄.




b) Flambajul barelor drepte

Se consideră bara comprimată printr-o forță cu excentricitatea 𝒆 .Momentul încovoietor 𝑴 = 𝑷 ∙ 𝒆 produce o deformație de încovoiere abarei oricât ar fi forța de mică.

În secțiunea mijlocie, unde săgeata este 𝒇, momentul încovoietor este maxim

𝑴 = 𝑷 𝒆 + 𝒇

Ca urmare, tensiunea maximă în această secțiune este:

𝝈 =𝑷

𝑨+𝑷 𝒆 + 𝒇

𝑾

unde săgeata 𝒇 este și ea în funcție de forța 𝑷.



Cât timp forța 𝑷 este mică și săgeata 𝒇 este neglijabilă în raport cuexcentricitatea 𝒆, relația între 𝝈 și 𝑷 este liniară, practic.

Când 𝑷 se apropie de valoarea forței critice 𝑷𝒄𝒓, săgeata 𝒇 crește foartemult, iar 𝝈 crește mult mai repede față de 𝑷 . În coordonateadimensionale, această dependență se poate reprezenta grafic astfel:

Dacă se ia un coeficient desiguranță 𝒄 = 𝟐 și se aplicămetoda rezist. admisibile,tensiunea în bară estereprezentată în punctul 𝒂𝟏 ,iar forța reală 𝑷 în punctul 𝒂𝟐.



Se vede că această forță este foarte aproape de cea critică 𝑷𝑳, deci reperulnu are siguranță suficientă.

Aplicând metoda sarcinii limită, forța din reper este reprezentată depunctul 𝒃𝟏, având valoarea

𝑷 =𝟏

𝟐𝑷𝒍,

iar tensiunea unitară, mult maimică decât 𝟎. 𝟓 𝝈𝑳 , ceea cecorespunde punctului 𝒃𝟐.

Acest model de calcul este multmai corect.



c) Piese pretensionate

Fie un reper în care există o tensiune inițială de mărime 𝑲𝟏. Dupăaplicarea forței 𝑷, tensiunile unitare cresc liniar cu sarcina

𝝈 = 𝝈𝟎 +𝑲𝑷, care la starea limită devine 𝝈𝑳 = 𝝈𝟎 +𝑲𝑷𝑳

Coeficientul de siguranță obținut prin metoda sarcinii la limită este

𝒄′ =𝑃𝐿𝑃=𝝈𝑳 − 𝝈𝟎𝝈 − 𝝈𝟎

,

fiind diferit de cel obținut prin metoda rezistențelor admisibile

𝑐 =𝜎𝐿𝜎

Se poate arăta că pentru 𝜎0 > 0 rezultă 𝑐′ > 𝑐, iar pentru 𝜎0 < 0 seobține 𝑐′ < 𝑐.


6. Elemente din teoria probabilităților

Mărimile care intervin în calculul de rezistență – caracteristici mecanice;sarcini limită; sarcini reale; caracteristici geometrice ale secțiunilor – au,de multe ori, un caracter aleator, ele putând varia la întâmplare, întreanumite limite.

În astfel de cazuri, calculul coeficientului de siguranță trebuie făcut cuajutorul relațiilor din teoria probabilităților.

În continuare sunt prezentate câteva elemente din teoria probabilităților,cu caracter de generalitate:- Variabile aleatoare;- Probabilități;- Media;- Dispersia rezultatelor;- Distribuția normale (Gaussiană);- Determinarea probabilistică a siguranței în funcționare.

TEORIA PROBABILITĂȚILOR


a) Variabile aleatoare

Practic, toate procesele fizice, supuse măsurătorii, au un caracter aleator.

Când efectul factorilor aleatori este neglijabil, în comparație cu cel dat deanumite relații analitice, se spune că procesul fizic este determinist, adicăse poate estima ce se poate întâmpla la un moment dat.

Din contră, dacă acest lucru nu este posibil, fenomenul respectiv estealeator. Modelul matematic al unui proces aleator este funcția aleatoare,care poate conține una sau mai multe variabile aleatoare:

- discrete – pot lua numai valori întregi – numărul ruperilor din 100 depiese încercate, etc.;

- continue – pot lua orice valoare între două limite date – rezistența larupere sau limita de curgere, etc.



b) Probabilități

Conform STAS-urilor în vigoare, probabilitatea 𝑷 este măsura șanselor derealizare a unui eveniment. Într-un experiment cu rezultate egal posibile,probabilitatea unui eveniment este raportul între nr. de rezultatefavorabile evenimentului și nr. total de rezultate posibile.

De exemplu, la aruncarea unei monede, probabilitatea ca să apară oanumită față este ½ sau 50%, pe când la aruncarea unui zar, probabilitateaapariției unui anumit nr. este 1/6, adică 16.6(6)%


Pe abscisă se măsoară o mărimealeatoare continuă (ex. 𝜎𝑟 pt. o șarjă de𝑂𝐿). Dacă se ia o probă din șarjă și seîncearcă, este practic imposibil ca 𝜎𝑟 săfie egală cu o valoare dată 𝑥 = 𝑋.


Produsul 𝑝 𝑥 𝑑𝑥, egal cu aria dreptunghiului elementar de laturi 𝑝 𝑥 și𝑑𝑥, reprezintă probabilitatea ca mărimea observată să aibă valori cuprinseîntre limitele 𝑥 și 𝑥 + 𝑑𝑥.

Probabilitatea ca mărimea observată să aibă valori 𝑋 cuprinse între 𝑥1 și𝑥2 va fi dată de integrala densității de probabilitate între aceste douălimite.

𝑷 𝒙𝟏 ≤ 𝑿 < 𝒙𝟐 = න𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒑 𝒙 𝒅𝒙


𝑃 𝑥 = 𝑃 −∞ < 𝑋 < 𝑥2 = න−∞

𝑥

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

Funcțiile de repartiție saudistribuție a probabilității pot fi:

𝑃 𝑥 = 𝑃 −∞ < 𝑋 <+ +∞ = න−∞

+∞

𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1


c) Media

Dacă grupul de sondaj este format din 𝒏 elemente, valoarea medie este

ഥ𝒙 =𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒙𝒊

respectiv, dacă s-ar încerca totalul 𝒏𝒕 al grupului statistic

ത𝑋 =1

𝑛𝑡

𝑖=1

𝑛𝑡

𝑥𝑖

unde ഥ𝒙 - media grupului de sondaj, ഥ𝑿 - media întregului grup. Cu cât 𝒏este mai mare și tinde spre 𝒏𝒕, ഥ𝒙 se apropie de ഥ𝑿.

Pentru variabila aleatoare continuă ഥ𝑿 = ∞−+∞

𝒙 ∙ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙. Mărimile ഥ𝒙, ഥ𝑿

măsoară tendința de grupare centrală a variabilei aleatoare.



d) Dispersia rezultatelor

Amplitudinea repartiției este diferența între cea mai mare și cea mai micăvaloare a variabilei aleatoare:

𝑹 = 𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒙𝒎𝒊𝒏

Dispersia de sondaj este dată de relația:

𝒔𝟐 =𝟏

𝒏 − 𝟏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝟐

Pentru întregul grup statistic, având un număr 𝒏𝒕 de valori ale variabileialeatoare, dispersia este

𝝈𝟐 =𝟏

𝒏𝒕 − 𝟏

𝒊=𝟏

𝒏𝒕

𝒙𝒊 − ഥ𝑿 𝟐

Pentru variabila aleatoare continuă 𝝈𝟐 = ∞−+∞

𝒙 − ഥ𝑿 𝟐𝒑 𝒙 𝒅𝒙

Rădăcina pătrată a dispersiei 𝒔, respectiv 𝝈 se numește abatere mediepătratică sau abatere standard.



e) Distribuția normală (Gaussiană)

Este una dintre cele mai cunoscute legi de distribuție a probabilitățiipentru multe fenomene aleatoare.

Este o distribuție continuă, fiind aplicată variabilelor aleatoare continue.

Repartiția normală, de parametri 𝑋 și 𝜎2 are densitatea de probabilitate

𝒑 𝒙 =𝟏

𝝈 𝟐𝝅𝒆− 𝒙−𝑿 𝟐

𝟐𝝈𝟐

și funcția de distribuție a probabilității

𝑷 𝒙 =𝟏

𝝈 𝟐𝝅න−∞

𝒙𝟏

𝒆− 𝒙−𝑿 𝟐

𝟐𝝈𝟐 𝒅𝒙



În curba lui Gauss, de mai jos, s-a reprezentat valoarea medie cu ഥ𝑿 și s-aunotat abscisele între ഥ𝑿 − 𝟑𝝈 și ഥ𝑿 + 𝟑𝝈. Astfel:- în intervalul ത𝑋 − 𝜎: ത𝑋 + 𝜎 sunt cuprinse 68.26% dintre rezultate;- în intervalul ത𝑋 − 2𝜎: ത𝑋 + 2𝜎 sunt cuprinse 95.46% dintre rezultate;- în intervalul ത𝑋 − 3𝜎: ത𝑋 + 3𝜎 sunt cuprinse 99.74% dintre rezultatele

studiului.Ca urmare, numai 0.26% dintre valorile variabilei aleatoare ar putea să fieîn afara intervalului citat.



Dacă se analizează comportamentulunor repere, se construieștediagrama cu scară probabilistică,măsurând pe abscisă nr. 𝒌𝝈 deabateri standard (𝑚𝑎𝑥.±4), iar peordonată probabilitatea de ruperesau de supraviețuire.

Pentru abscisa 𝟎 , cele douăprobabilități sunt de 𝟓𝟎%.

Pentru o abatere dată 𝒌𝝈, se citescpe grafic probabilitățile 𝑷𝒓 și 𝑷𝒔.




f) Determinarea probabilistică a siguranței în funcționare

• Metoda durabilității garantateCondiția durabilității garantate este ca sarcina de lucru cea mai mare să fiemai mică decât sarcina limită cea mai mică.

𝑷𝒎𝒆𝒅 + ∆𝑷 ≤ 𝑷𝑳𝒎𝒆𝒅− ∆𝑷𝑳 𝑃 = sarcină

𝑃𝑚𝑒𝑑 = sarcină medie𝑃𝐿 = sarcină limită𝑃𝐿𝑚𝑒𝑑

= sarcină limită medie

±∆𝑃 = variații extreme𝑃𝑚𝑒𝑑 = ത𝑋𝑠𝑝 = 𝜎



Astfel, coeficientul de siguranță probabilistic se definește prin relațiile

𝒄∗ =𝑷𝑳𝒎𝒆𝒅

𝑷𝒎𝒆𝒅∨ 𝒄∗ =

𝟏 +∆𝑷𝑷𝒎𝒆𝒅

𝟏 −∆𝑷𝑳𝑷𝑳𝒎𝒆𝒅 𝑃 = sarcină

𝑃𝑚𝑒𝑑 = sarcină medie𝑃𝐿 = sarcină limită𝑃𝐿𝑚𝑒𝑑


±∆𝑃 = variații extreme𝑃𝑚𝑒𝑑 = ത𝑋𝑠𝑝 = 𝜎



f) Determinarea probabilistică a siguranței în funcționare

• Metoda degradării controlateConform acestei metode, cele două grafice sunt ∩ ceea ce permite ca unnr. de repere să cedeze. Diferența 𝑷𝑳𝒎𝒆𝒅

− 𝑷𝒎𝒆𝒅 este mai mică decât la

metoda precedentă, deci materialul este mai bine utilizat.

Zona hașurată măsoară intervalul pe care se pot produce cedarea.

𝑃 = sarcină𝑃𝑚𝑒𝑑 = sarcină medie𝑃𝐿 = sarcină limită𝑃𝐿𝑚𝑒𝑑


±∆𝑃 = variații extreme



Densitatea de probabilitate a diferenței 𝑃𝐿 − 𝑃 se reprezintă ca în figurade mai jos.

Zona în care 𝑷𝑳 − 𝑷 ≥ 𝟎 corespunde reperelor care nu cedează, iar zonaîn care diferența este negativă, pe cele care cedează.

Prin intermediul ecuației 𝒄∗ = 𝑷 𝑷𝑳 − 𝑷 se poate calcula coeficientul desiguranță probabilistic, respectiv procentul de repere care ar putea ceda.

𝑃 = sarcină𝑃𝑚𝑒𝑑 = sarcină medie𝑃𝐿 = sarcină limită𝑃𝐿𝑚𝑒𝑑


Date post:	07-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

CURS 11 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2 …...admisibilăa unui material (la o anumităsolicitare)...

Documents