Curs 09 Variabile Aleatoare

7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare

1/25

Variabile aleatoare

Tudor Drugan


2/25

Definiie

Se numete variabil aleatoare pe un spaiufundamental E i se noteaz prin X, o funcie

definit pe E cu valori n mulimea numerelor

reale. Unei variabile aleatoare X i se pot asocia diferite

probabiliti cu care aceast variabil aleatoare

poate lua anumite valori, ca de exemplu:

Pr( X a) - probabilitatea ca X s ia valoarea a;

Pr( a X b ) - probabilitatea ca X s ia o valoare nintervalul a,b.


3/25

Definiie

O variabil aleatoare se numete discretdac ea poate lua un numr finit sau cel

mult numrabil de valori


4/25

Exemple

Numrul de internri ntr-un spital ntr-un interval

de timp dat X0,1,2,...,n,.... variabil aleatoare discret infinit.

Numrul de bacterii ntr-un mililitru de apX0,1,2,...,n,....

variabil aleatoare discret infinit.

Numrul de indivizi cu RH-negativ dintr-un grup den persoane luate la ntmplare X0,1,2,...,n.

variabil aleatoare discret finit Numrul de prezentari la medic pentru otita in

primii doi ani de viata.

variabil aleatoare discret infinit care poate avea

valorile 0,1,2,...


5/25

Definiie

O variabil aleatoare este continuatuncicnd variaz n mod continuu ntr-uninterval i poate lua o mulime

nenumrabil de valori.


6/25

Exemple


7/25

LEGEA DE PROBABILITATE A UNEI

VARIABILE ALEATOARE FINITE

Fie X o variabil aleatoare pe un spaiu

fundamental E finit, adic

X x1 , x2, ..., xi, ..., xn.

Mulimea de probabilitip(x1 ), p(x2 ), ..., p(xi), ..., p(xn)

asociate valorilor:

x1 , x2, ..., xi, ..., xn se numete distribuia sau legea de probabilitate

a variabilei aleatoare X.


8/25

LEGEA DE PROBABILITATE A UNEI

VARIABILE ALEATOARE FINITE

Distribuia unei variabile aleatoare finite X se mai

noteaz prin urmtorul tabel:

Probabilitile care apar n distribuia unei variabilealeatoare finite X verific urmtoarea condiie:

)xnp(...)xp()xp(

x...xx:

21

n21X

.1)(

1

n

i

ixp


9/25

Exemple

Probabilitatea de apariie a uneia dintre feele

{1,2,3,4,5,6} ale unui zar este 1/6. In acest cazavem variabila aleatoare:

Pentru c probabilitatea p(x) este constant oricare

ar fi x se spune c distribuia lui X1 este uniform.

.

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

654321

:X1


10/25


11/25

Exemplu

Intr-un studiu s-a urmarit frecventa cu care un

tratament antihipertensiv aduce sub control unnumar de pacienti din 4 pentru 100 de medici.


12/25

Media sau sperana matematic

Valoarea M(X) se mai numete i valoarea

ateptat a variabilei aleatoare X.

Observaii:

Dac legea de probabilitate a lui X este uniform,

adic p(xi) 1/n , pentru orice i 1,2,...,n, atunci M(X)este media aritmetic a numerelor x1 , x2, ..., xi, ...,

xn.

)xp(xM(X) i

n

1i

i


13/25

Exemplu

Care este media estimata a valorilor obtinute prinaruncarea unui zar?

M(X)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6

M(X)=(1+2+3+4+5+6)/6 M(X)=21/6

M(X)=3,5

)xp(xM(X) i

n

1ii


14/25

Exemplu

M(X)=0x0,008+1x0,076+2x0,265+3x0,411+4x0,240

M(X)=2,8

Ne vom astepta la o medie de 2,8 din cei 4hipertensivi a caror afectiune sa poata fi controlata


15/25

Exemplu

Numarul de episoade de otita in primii doi ani de

viata:

M(X)=0x0,129+1x0,264+2x0,271+3x0,185+4x0,

095+5x0,039+6x0,017 M(X)=2,038

Ne vom astepta la o medie de 2,038 episoade deotita la un copil in primii doi ani de viata


16/25

Variaia i abaterea standard

Variaia variabilei aleatoare X se definete prin

V(X) M( X- M(X)2)

Sau

Prin definiie abaterea standard este:

)p(xiM(X)]n

1i

[xiV(X)2

V(X)(X)


17/25

Exemplu

Numarul de episoade de otita in primii doi ani de

viata:

V(X)=1,96

=1,402

Aproximativ 95% din distributia de probabilitate estecuprinsa in medie +/- 2 (1,96 )

Numarul de episoade de otita in primii doi ani deviata: 2,038 2,8 (corectat 0-4)


18/25


19/25

Distributia cumulata


20/25

Variabile aleatoare centrate reduse

Unei variabile aleatoare X cu media M(X) iabaterea standard (X) i se poate asocia o variabilaleatoare Y numit variabil aleatoare centrat

redusdefinit prin:

In baza proprietilor mediei i abaterii standard, se

poate arta uor c variabila aleatoare centratredus are media M(Y)0 i abaterea standard

(Y)1.

)X(

M(X)XY


21/25

VARIABILE ALEATOARE DEFINITE

PE UN SPAIU FUNDAMENTALINFINIT


22/25

Cazul discret Cazul continuu

Noiunile i proprietile prezentate anterior pentru

variabilele aleatoare finite se pot introduce n modanalog pentru cazul variabilelor aleatoare discreteavnd o mulime infinit de valori, prin nlocuirea

sumei finite cu una infinit

n

i 1

1i


23/25

Cazul discret Cazul continuu

n

i 1

1i


24/25

Cazul continuu

In cazul unei variabile aleatoare continue X, se

consider o funcie f:RR numit densitate deprobabilitate, care are proprietile:

f(x) 0, xR

b

af(x)dxb)XPr(a

1f(x)dx


25/25

Cazul continuu

In acest caz funcia de repartiie F asociat

variabilei aleatoare X este definit prin:

De asemenea, media lui X este definit prin :

iar variaia lui X

x

-

f(t)dtx)Pr(X=F(x)

( ) xf(x)dxM X

2( ) [x-M(X)] f(x)dxV X

Date post:	05-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	zxcvnbvn
View:	239 times
Download:	0 times

Curs 09 Variabile Aleatoare

Documents