11/13/2013
1
Metoda Elementului Finitcurs
As. Dr. Ing. Crian Andreidep. de Construcii Civile i Mecanica Construciilor
Universitatea POLITEHNICA [email protected]
2013 - 2014 Curs 2Matematic i mecanic
Matematic: Matrice
Operaii cu matrice
Mecanic: Eforturi unitare
Deformaii specifice
Relaii ntre eforturi i deformaii
Forma matricial a ecuaiilor folosite n mecanic
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice Ce este o matrice?
o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice
matrice cu m linii i n coloane (sau de tip m x n)
elementele matricei: ai,j
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice cazuri particulare
Matrice linie
Matrice coloana
Matrice ptratic
Matrice nul (toate elementele sunt 0)
Matricea unitate
Transpusa
11/13/2013
2
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice nmulirea cu un scalar
Adunarea matricelor
2 matrici se pot aduna doar dac au acelai numr de linii i de coloane
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Transpusa unei matrice
Dac A = tA atunci matricea A este simetric
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice nmulirea matricelor
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Determinantul unei matrice
Matricea trebuie s fie ptratic
Matricea ptratic de 2 x 2
Matricea ptratic de 3 x 3
11/13/2013
3
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Determinantul unei matrice
Matricea trebuie s fie ptratic
Matricea ptratic de 2 x 2
Matricea ptratic de 3 x 3
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Matricea ptratic de 4 x 4 ?
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Matricea singular
Det(A) = 0
Matricea nesingular
Det(A) 0
Inversa unei matrice
A A-1 = A-1 A = I
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Opiuni de calcul a inversei unei matrice
Folosind adjuncta unei matrice
Folosind matricea extins
transformnd [ A | I ] n [ I | A-1 ]
11/13/2013
4
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Opiuni de calcul a inversei unei matrice
Folosind adjuncta unei matrice
Adjuncta unei matrice
transpusa
adjuncta
(-1)i+j
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice Opiuni de calcul a inversei unei matrice
Folosind matricea extins
Curs 2Matematic i mecanic
Matrice operaii cu matrice La ce folosesc matricele i operaiile cu matrice?
Rezolvarea sistemelor de ecuaii
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Efort unitar normal
Efor unitar tangenial
unde (i i j = 1, 2, 3)
11/13/2013
5
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Efort unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic
unde (i i j = 1, 2, 3)
11/13/2013
6
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
=1
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
= =
= =
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar
11/13/2013
7
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Deformaie unitar (Legea lui Hook n 3D)
Efort axial pe axa X
Efort axial pe axa Y
Efort axial pe axa Z
Efort tangenial
=1
=
1
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
11/13/2013
8
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial ntre deformaie specific i efortul unitar
=
Curs 2Matematic i mecanic
Mecanic Relaia matricial for i deplsare
=
Deformaii (, )
Efort unitar (, )
Flexibilitatea (1/E, 1/G)
Curs 2Matematic i mecanic
MEF Relaia matricial for i deplasare
=
Deplasare nodal
Fora nodal
Flexibilitatea elementului
=
Rigiditatea elementului
Deplasare nodal
Fora nodal
Curs 2Matematic i mecanic
MEF Relaia matricial for i deplasare Exemplu
11/13/2013
9
Curs 2Matematic i mecanic
MEF Relaia matricial for i deplasare Exemplu