culegere-fise-rec-bac.pdf

8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf

1/47

1

Prof. CORNELIA MESTECAN

Prof. RRODICA TRIC

CLUJ-NAPOCA

2009


2/47

2


3/47

3

CUPRINS

1. FIA NR. 1 NUMERE REALE Pag. 6

2. FIA NR. 2 ECUAII Pag. 8

3. FIA NR. 3 FUNCII TEORIE Pag. 10

4. FIA NR. 4 FUNCII EXERCIII Pag. 13

5. FIA NR. 5 ECUAII IRAIONALE, ECUAIIEXPONENIALE Pag. 16

6. FIA NR. 6 ECUAII LOGARITMICE Pag. 19

7. FIA NR. 7 PROGRESII Pag. 21

8. FIA NR. 8 ELEMENTE DE COMBINATORIC Pag. 24

9. FIA NR. 9 ELEMENTE DE GEOMETRIEVECTORI Pag. 29

10. FIA NR. 10 ELEMENTE DE GEOMETRIEANALITIC Pag. 32

11. FIA NR. 11 ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE Pag. 39

12. BIBLIOGRAFIE Pag. 45


4/47

4


5/47

5

RGUMENT

Culegerea se adreseaz elevilor din clasele XI-XII liceu, ruta

direct, respectiv XII-XIII liceu, ruta progresiv i constitue un sprijin

important n pregtirea de baz n domeniul matematicii, n

pregtirea pentru examenul de Bacalaureat.

Fiele conin att cunotinele teoretice necesare ct i modele

de exerciii rezolvate i explicate. Temele propuse n fiecare fi, sunt

concepute pentru fixarea cunotinelor dar i pentru a uura demersul

elevilor n pregtirea proprie pentru susinerea examenului naional.

Materialul poate fi utilizat att la clas ct i n pregtirea

individual a elevilor, acesta urmrindrecuperarea cunotinelor

lacunare dar i o pregtire temeinic, din timp, care s corespund

cerinelor programei de Bacalaureat.

Mult succes n pregtirea matematic,

Prof. Cornelia Mestecan

Prof. Rodica Tric


6/47

6

FIA NR. 1 -NUMERE REALEpropuntor: prof. CorneliaMestecan

BREVIAR TEORETIC

N=

,...,...,2,1,0 n ;Z=

,...,...2,1,0,1,2,...,..., nn ; Q=

1),(,,/

*

baNbZab

a,

RQZN .Puteri cu exponent raional

;;

;11;1;;;:,,, 0*

p

pp

ppp

ppqqpqp

q

pqpqp

b

a

b

aaaab

aaaaa

aaaaQqpRba

.1

p

p

aa

Proprietile radicalilor,,,, NknRba impare sau NknRba ,;, pare :

0;; bb

a

b

abaabaa

n

n

nnnnn n ; nkn k

nk kn aaaa ; .

Media aritmetica numerelor reale naaa ,...,, 21 esten

aaam na

...21

Media armonica numerelor reale pozitive nunule naaa ,...,, 21 este

n

arm

aaa

nm

1

...

11

21

Media geometrica numerelor reale pozitive naaa ,...,, 21 este n ng aaam ...21

Modulul( valoarea absolut ) a numrului real a, este

0,

0,

aa

aaa

Probleme rezolvate

1. S se calculeze probabilitatea ca , alegnd un numr din mulimea{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta s fie raional.

Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raionale

posibilecaznr

favorabilecaznrP

..

.. ,

numrul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulime = 10,

numrul de cazuri favorabile = nr. raionale = 2, deci5

1

10

2P

2. S se calculeze probabilitatea ca , alegnd un numr din mulimea{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta s fie iraional.

Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raionale


7/47

7

posibilecaznr

favorabilecaznrP

..

.. ,

numrul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulime = 10,

numrul de cazuri favorabile = nr. iraionale = 8, deci5

4

10

8P

3. S se ordoneze cresctor numerele :2

4

1

, 64 , 3 8 .

Rezolvare:

2

4

1

=

2

4

1

1

=

16

1

1= 16 = 42 ; 64 = 62 ; 3 8 = 2

2 < 42 < 62 3 8 0, deci soluiile sunt reale

i distincte2

2

73

2 111

xx

a

bx ; 5

2

73

2 222

xx

a

bx

Tabelul de semn este:

x - -5 2 +1032 xx + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +

Din tabel rezult c 01032 xx pentru ;25; x 4. S se determine numrul real mpentru care numrulx= -1 este soluie a ecuaiei

213 22 mmxx .Rezolvare: x= - 1 soluie, nseamn c nlocuind pe x cu -1 n ecuaie, obinem o

identitate:


9/47

9

21131 22 mm 02131 2 mm 023132 mm 032 mm ; ecuaia de gradul II are soluiile reale

3;0 21 mm .

5. S se determine valorile reale ale lui mpentru care soluiile 1x i 2x ale ecuaiei

01 22 mxmx , verific relaia: 52 2121 xxxx Rezolvare: 01 22 mxmx cu soluiile 1x i 2x

Scriem relaiile lui Vite: 11

121

m

m

a

bxx ; 2

2

211

mm

a

cxx

nlocuim n relaia 52 2121 xxxx ecuaia 0322 mm care are soluiile

reale 11 m i 32 m .

6. tiind c1

x i 2x sunt soluiile ecuaiei 0542 xx , calculai 3

1

2

2

1 x

x

x

x.

Rezolvare:1x i 2x sunt soluiile ecuaiei 054

2 xx

Scriem relaiile lui Vite: 41

421

a

bxx ; 5

1

521

a

cxx

31

2

2

1 x

x

x

x= 3

21

2

2

2

1

xx

xx=

3

2

21

21

2

21

xx

xxxx= 3

5

1016

=

5

15

5

6 =

5

9

Am folosit relaia 212

2

2

1

2

21 2 xxxxxx 212

21

2

2

2

1 2 xxxxxx

7. S se arate c mulimea { Rx / 02)1(2 22 mxmx } are dou elemente,

oricare ar fi

;

2

3m .

Rezolvare: ecuaia 02)1(2 22

mxmx are dou soluii reale dac 0 , 128844842412 2222 mmmmmm

0

;

2

30128 mm

Tem1. S se determine mulimea valorilor luixpentru care -5 < 2x+3 < 5.2. S se determine mulimea valorilor luixpentru care -2 < -2x- 9 < 1.3. S se determine valorile reale ale luixpentru care 112 xxx .4. S se determine numrul real mpentru care numrulx= 3 este soluie a ecuaiei

21 22 mmxx .

5. S se determine valorile reale ale lui mpentru care soluiile 1x i 2x ale ecuaiei01222 mxmmx , verific relaia: 12121 xxxx .

6. tiind c 1x i 2x sunt soluiile ecuaiei 0372 xx , calculai 1

1

2

2

1 x

x

x

x;

333 2121 xxxx .

7. S se arate c mulimea { Rx / 01132 2 mxmmx } are dou elemente,oricare ar fi 1Rm .8. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de

bacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!


10/47

10

FIA NR. 3FUNCII- TEORIEpropuntor: prof. Cornelia MestecanBREVIAR TEORETIC

Fie mulimile RBA , i o funcie BAf : .

f se numete funcie strict cresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult)()( 21 xfxf

f se numete funcie cresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult )()( 21 xfxf f se numete funcie strict descresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult

)()( 21 xfxf

f se numete funcie descresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult)()( 21 xfxf

f este cresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem 0)()(

21

21

xx

xfxf

f este strict cresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem

0)()(

21

21

xx

xfxf

f este descresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem

0)()(

21

21

xx

xfxf

f este strict descresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem

0)()(

21

21

xx

xfxf

f este injectiv dac ,, 21 Axx 21 xx avem )()( 21 xfxf f este injectiv dac ,, 21 Axx cu 2121 )()( xxxfxf f este surjectiv dac AxBy , astfel nct y = f(x) f este bijectiv dac f este injectiv i surjectiv f este inversabil dac exist funcia ABg : cu Afg 1 i Bgf 1 (vezi

definiia compusei a dou funcii) f este inversabil dac i numai dac f este bijectiv

Operaii cu funciiFie RDgf :, , RD

,: RDgf (f+g)(x) = f(x) + g(x) se numetefuncia suma lui f i g ,: RDgf fg(x) = f(x)g(x) se numetefuncia produsa lui f i g

,,0)(,: DxxgRDg

f

)(

)())((

xg

xfx

g

f se numetefuncie ct

Fie CBgBAf :,: . Funcia CAfg : definit prin ))(())(( xfgxfg senumete compusa lui g cu f. Fie funcia BAf : , y = f(x). Funcia ABg : cu

proprietatea Axxxfg ,))(( i Byyygf ,))(( , se numete inversa funciei fise noteaz cu 1f .


11/47

11

Funcia afinFuncia RbabaxxfRRf ,,)(,: , se numetefuncie afin. Funcia f este constantdac 0a . Funcia f estestrict cresctoaredac 0a istrict descresctoaredac 0a .Funcia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , se numetefuncie de gradul nti.Funcia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , este bijectiv deci inversabil.

Semnul funciei de gradul nti:x

a

b

f(x) Semnul opus lui a 0 Semnul lui a

Funcia de gradul IIFuncia 0,,,,)(,: 2 aRcbacbxaxxfRRf se numetefuncie de gradul II.

)

4

;

2

(

aa

bV

este vrful parabolei(= reprezentarea geometric a graficului funciei de

gradul II) i acesta reprezintpunct de maximal funciei f dac a0.

Valoareaaa

bf

4)

2(

este valoarea maxima funciei dac a0.Forma canonica funciei de gradul II este:aa

bxaxf

42)(

2

.

Monotonia funciei de gradul IICazul a>0

x a

b2

f(x)f strict descresctoare

a4

f strict cresctoare

min

Cazul a


12/47

12

Cazul 042 acb , Rxx 21 , ( 21 ,xx sunt soluiile ecuaiei f(x)=0 )x

f(x) semnul lui a

Funcia exponenialeste f : ;0R , f (x) = ax, a >0 , a 1.-Funcia exponenial este strict cresctoare pentru a>1i strict descresctoare pentru

01i strict descresctoare pentru

0


13/47

13

FIA NR. 4FUNCII- EXERCIIIpropuntor: prof. Cornelia Mestecan

Probleme rezolvate

1. Fie funciile 12)(,: xxfRRf i 5)(,: xxgRRg . Determinai

soluiile reale ale ecuaiei .4)(3)(2 xgxf Rezolvare: 4)(3)(2 xgxf

nlocuim )(xf i )(xg cu expresiile lor: 4)5(3)12(2 xx

415324 xx ; 15247 x ; 97 x / : 7 7

9x R

2. Fie funciile 12)(,: xxfRRf i 5)(,: xxgRRg . Determinai))2(())0(( fggf .

Rezolvare: I. 5)0(,50)0( gg ; 152)5())0(( fgf ; 9))0(( gf

5)2(,1)2(2)2( ff ; ;55))2(( fg 10))2(( fg ;1109))2(())0(( fggf II. 921)5(21)(2))(())((,: xxxgxgfxgfRRgf

9902))0(( gf ;625125)())(())((,: xxxfxfgxfgRRfg

106)2(2))2(( fg ; 1109))2(())0(( fggf .

3. Fie funcia 12)(,2;1: xxfRf . Determinai mulimea valorilor funcieif.Rezolvare: Funciaf este strict descresctoare avnd a=-2 3122)2( f , deci 3;3)( xf =Im f

4. Fie funcia 20)(,: 2 xxxfRRf . Calculai distana dintre punctele deintersecie ale reprezentrii grafice a funciei cu axa Ox.

Rezolvare: 0200)(: 2 xxxfOxGf ; acb 42 , 81)20(41

42

91

21

a

bx , 5

2

91

22

a

bx

)0;5();0;4( BAOxGf

9810)45()()();( 222 ABAB yyxxBAd .

5. Fie funcia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinai valorile reale ale lui m

pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este2

3 .

Rezolvare: fG admite un punct de maxim dac 0a , deci 0;0 mm

Punctul de maxim este

aa

bV

4;

2, abscisa este

m

m

m

m

a

bx

2

1

2

)1(

2

Din ipotez2

3x

2

3

2

1

m

m 0

4

1m .


14/47

14


pentru care valoarea maxim a funcieif este8

25.

Rezolvare: fG admite un punct de maxim dac 0a , deci 0;0 mm

Punctul de maxim este

aabV

4;

2iar valoarea maxim a funcieifeste

a4

m

mm

m

mm

a 4

110

4

34))1((

4

22

. Din ipotez

8

25

4

adeci

8

25

4

1102

m

mm 0252

2 mm care are soluiile reale2

11

m i 22 m ,

ambele negative, deci soluii ale problemei.

7. Fie funcia 3)1()(,: 22 xmxmxfRRf .S se arate c Rmf ,0)1( .

Rezolvare: I. 2)1( 2

mmf , dac folosim forma canonicRmmf

,0

4

7

2

1)1(

2

;

II. putem folosi i semnul funciei de gradul II:02

2 mm , Rmm 21,07

m 2)1( 2 mmf + + + + + + + + + + + + + + + + +

( semnul lui a )

Din tabel observm c Rmf ,0)1( .

8. Fie funcia 20)(,: 2 xxxfRRf .Calculai )5()4()3()2()1()0( ffffff

Rezolvare: )5)(4()( xxxf , 4i -5sunt soluiile ecuaieif(x)=0 0)4(f 0)5()4()3()2()1()0( ffffff

9. S se determine punctele de intersecie ale graficelor funciilor RRgf :, ,43)( 2 xxxf , 1)( xxg .

Rezolvare: I. 143)()( 2 xxxxgxf 0342 xx

41216 , 12 241

x , 32

242

x

4)3(,2)1( gg , deci )4;3(),2;1( BAGG gf

II.

)(

)(

xgy

xfy

1

432

xy

xxy

431

1

2xxx

xy

2

1

1

1

y

x i

4

3

2

2

y

x deci )4;3(),2;1( BAGG gf .

10.

S se determine domeniul maxim de definiie al funciei RDf : ,)53(log)( 3 xxf .


15/47

15

Rezolvare: C:

;

3

5

3

553053 xxxx deci

;

3

5D

11. Fie funcia Rf ;0: , xxf x 2log5)( . S se calculeze )2()1(5 ff .Rezolvare: 5051log5)1( 2 f , 241252log5)2( 2

2 f

12425)2()1(5 ff .

12. Calculai 15log5log3log 777 .Rezolvare: folosim proprietile logaritmului yxxy aaa logloglog ,

yxy

xaaa logloglog , 01log a ; 01log

15

53log15log5log3log 77777

.

Tem

1.Fie funciile 23)(,: xxfRRf i 32)(,: xxgRRg . Determinaisoluiile reale ale ecuaiei 2)(4)(3 xgxf .2. Fie funciile 3)(,: xxfRRf i 52)(,: xxgRRg . Determinai

))3(())1(( fggf .

3. Fie funcia 3)(,1;2: xxfRf . Determinai mulimea valorilor funcieif.4. Fie funcia 273)(,: 2 xxxfRRf . Calculai distana dintre punctele deintersecie ale reprezentrii grafice a funciei cu axa Ox.5. Fie funcia 2)3()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinai valorile reale ale lui m

pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este (-2).


pentru care valoarea maxim a funciei este4

29.

7. Fie funcia 5)3()(,: 22 xmxmxfRRf .S se arate c Rmf ,0)1( .8. Fie funcia 295)(,: 2 xxxfRRf .

Calculai )2()1()0()1()2()3( ffffff .9. S se determine punctele de intersecie ale graficelor funciilor RRgf :, ,

52)( 2 xxxf , 26)( xxg .

10. S se determine domeniul maxim de definiie al funciei RDf : ,)3(log)(

21

xxf .

11. Fie funcia Rf ;0: , xxf x 4log3)( . S se calculeze )4()1(7 ff .12. Calculai 27log2log6log

3

2

3

2

3

2 .

13. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni nvariantele debacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!


16/47

16

FIA NR. 5ECUAII IRAIONALE; ECUAII EXPONENIALEpropuntor: prof. Cornelia Mestecan

NDRUMAR PENTRU REZOLVAREECUAII IRAIONALE

-Se numesc ecuaii iraionale, ecuaiile care conin necunoscuta sub semnul radical.

-Metoda obinuit de rezolvare a ecuaiilor iraionale const n eliminarea radicalilorprin diferite transformri, reducndu-le la ecuaii raionale echivalente; acest lucru se faceprin ridicri la putere asfel nct s dispar radicalii. nainte de a trece la rezolvareaefectiv a ecuaiei, se pun condiii de existen a radicalilor pentru a obine D mulimea /domeniul de existen a ecuaiei, respectiv a soluiilor; radicalii de ordin par au sens numai

pentru numere pozitive. Se izoleaz radicalii (dac este posibil) pentru a se putea ridica laputere i a se obine o ecuaie mai simpl. Se ine cont de faptul c cei doi membrii ai uneiecuaii trebuie s aib acelai semn ( la ecuaiile cu radicali de ordin par).Se rezolv ecuaia obunut, se verific dac numrul / numerele gsite aparin domeniuluide existen a soluiilor D, dup care se scrie S- soluia ecuaiei.ECUAII EXPONENIALE

-Se numesc ecuaii exponeniale, ecuaiile care conin necunoscuta la exponent.-Metode de rezolvare: n rezolvarea ecuaiilor exponeniale se utilizeaz proprietatea

de injectivitate a funciei exponeniale : , 1x ya a x y a - ecuaia de forma ( ) , 0, 1f xa b a a

-dac 0b , ecuaia nu are soluii-dac ( )0, ( )r f x r b b a a a f x r S -dac ( )0, ( ) logr f x ab b a a b f x b S

- ecuaia de forma ( ) ( ) , 0, 1f x g xa a a a - se utilizeaz proprietatea de injectivitate a funciei exponeniale :

( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x S - ecuaia de forma 2 ( ) ( ) 0, 0, 1f x f xa a a a

-se noteaz ( )f xa t i se ine seama de faptul c t > 0.

Probleme rezolvate

1) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 153 xx .

Rezolvare: Condiii:

01

053

x

x

1

3

5

x

x

;1

;3

5

x

x Dx

;

3

5

153 xx / 2 2153 xx 0652 xx 3,2 21 xx 3;23;2 SD .

2) S se determine soluiile reale ale ecuaiei xxx 3 3 52 .

Rezolvare: xxx 3 3 52 / 3 33 52 xxx 2

5052 xx

3) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2191 xx .

Rezolvare: Condiii:

019

01

x

x

19

1

x

x

;19

1;

x

x Dx 1;19

2191 xx /2

41919121 xxxx 2041912 xx


17/47


18/47

18

052252 22 xxxx / : 22x 012

5

2

52

2

xx

012

5

2

52

2

xx

, notm tx

2

5

012 2 tt ; 1,1,2 cba , 942 acb

14

3111

tt ,2

1

4

3122

tt

02

5

2

51

2

51 1

0

1

xt

xx

2

1

2

5

2

12

x

t nu are soluie

Deci 0S . Am folosit pqqp

aa i

p

p

p

b

a

b

a

i proprietatea de injectivitate afunciei exponeniale.

Tem

1. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor xx 53 ; 342 xxx .

2. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor xxx 3 3 82 ; 113 x .

3.

S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 031 xx ; 471 xx ;1310 xx .

4.

S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 93

1

x

; 19555 12 xxx ;

03343 122 xx ; xxx 673225 22 ; 0915345 12 xxx ;

403333 112 xxxx ; 23153 xx .5. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de



19/47

19

FIA NR. 6ECUAII LOGARITMICEpropuntor: prof. Cornelia Mestecan

NDRUMAR PENTRU REZOLVARE-Se numesc ecuaii logaritmice, ecuaiile care conin necunoscuta la baza sauargumentul unor logaritmi.

-Metode de rezolvare: se utilizeaz proprietatea de injectivitate a funciei logaritmicelog loga ax y x y

-ecuaii de forma log ( ) , 0, 1a f x b a a -se pune condiia de existen a logaritmului ( ) 0f x , pe care o

rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : log ( ) ( ) ba f x b f x a ( conform definiiei

logaritmului )

-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-se astfel soluia ecuaiei S.

-ecuaii de forma log ( ) log ( ), 0, 1a af x g x a a

-se pun condiiile de existen a logaritmilor( ) 0

( ) 0

f x

g x

, sistem pe care

l rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x ( conform

proprietii de injectivitate a funciei logaritmice)-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-

se astfel soluia ecuaiei S.-ecuaii de forma 2log ( ) log ( ) 0, 0, 1a af x f x a a

-se pun condiiile de existen a logaritmilor ( ) 0f x , pe care o

rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : 2log ( ) log ( ) 0a af x f x utiliznd

substituia log ( )a f x t ( se obine o ecuaie de gradul II, care va avea soluiile 1 2,t t dac 0 i nu va avea soluii reale dac 0 ; n cazul cnd exist soluiile 1 2,t t ,mergem mai departe astfel:

1 2

1 2log ( ) ( ) ;log ( ) ( )t t

a af x t f x a x f x t f x a x

-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-se astfel soluia ecuaiei S.

-ecuaii de forma ( )log ( ) , 0, 1g x f x b a a

-se pun condiiile de existen a logaritmului( ) 0

( ) 0

( ) 1

f x

g x

g x

, sistem pe care

l rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : ( )log ( ) ( ) ( )

b

g x f x b f x g x ( conform

definiiei logaritmului )-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-

se astfel soluia ecuaiei S.


20/47

20

Probleme rezolvate

1. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3log1log 22 x Rezolvare : 3log1log 22 x Condiie: ;1101 xxx D

3log1log 22 x 431 xx 4 SD Am aplicat proprietatea de injectivitate a funciei logaritmice(funcia logaritmic este injectiv deci ,, 21 Dxx cu 2121 )log()log( xxxx )

2. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 03log8log3 3

2

3 xx

Rezolvare : 03log8log3 32

3 xx

Condiie: Dxx ;00 Notm tx3log 0383

2 tt ecuaie de gradul II

,3,8,3 cba 100366442

acb

36

108

2 111

tt

a

bt ;

3

1

6

108

2 222

tt

a

bt

2733loglog3log3 13

1

3

3331 xxxxt

323

1

23

1

33323

133loglog

3

1log

3

1

xxxxt

27;3

127,

3

133

SD

3.

S se determine soluiile reale ale ecuaiei 11loglog 22 xx Rezolvare : 11loglog 22 xx

Condiii:

01

0

x

x

1

0

x

x

;1

;0

x

x Dx ;1

11loglog 22 xx 2)1(2log)1(log11log 222 xxxxxx 02

2 xx acbcba 4,2,1,1 2 9

22

3111

xx ; 1

2

3122

xx

D2 deci este soluie a ecuaieiD1 deci nu este soluie a ecuaiei 2S .

Am folosit : xyyx aaa logloglog i proprietatea de injectivitate a funcieilogaritmice.

4. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 12log2 x Rezolvare : 12log 2 x Condiie: Dxxx ;2202

12log

2 x

2

3

2

12222log2log 11

22 xxxx D


21/47

21

Deci

2

3S . Am folosit proprietatea de injectivitate a funciei logaritmice.

5. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 05lg6lg2 xx

Rezolvare : 05lg6lg2

xx Condiie: Dxx ;00 Notm txlg 0562 tt

16,5,6,1 cba 52

4611

tt , 1

2

4622

tt

Dxxxt 515

1 1010lglg5lg5

Dxxxt 1010lglg1lg1 22

Deci 510;10S Am folosit proprietatea de injectivitate a funciei logaritmice.

Tem

1. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 332log2 x ; 21log 2

3 x .

2. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor xx 4log32log 55 ;

52log245log 525 xxx .

3.

S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 01log21log 2

2

22

2 xx ;

173log2log 33 xx ; xxx 3lg2lg2lg .

4. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 11log4 x ; 3log2log 2323 xxx .

5. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 02ln3ln2 xx ;01lg5lg6 2 xx

6. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de



22/47

22

FIA NR. 7- PROGRESIIpropuntor: prof. Cornelia MestecanBREVIAR TEORETIC

Progresii aritmetice Progresii geometrice

irul 1nna se numete progresie

aritmeticde raie r, dac.1,1 nraa nn

Formula termenului general

1aan + (n-1)r, n 1 .

Suma primilor n termeni

2

... 121naa

aaaS nnn

Proprietate

1nna progresie aritmetic

.2,2

11

naa

a nnn

irul 1nnb se numeteprogresie geometric

de raie q 0 , dac .1,1 nqbb nn

Formula termenului general1

1

nn qbb , 1n .

Suma primilor n termeni

1,

1,1

1

...

1

1

21

qnb

qq

qb

bbbS

n

nn

Proprietate

1nnb progresie geometric 2

1 1, 2

n n nb b b n

Probleme rezolvate

1) S se determine al optulea termen al irului 1, 5, 9, 13, ... .Rezolvare : se observ c irul este o progresie aritmetic pentru c

,1349,945,541 etc. Deci 11a ( primul termen) i raia 4r . tim formulatermenului general : rnaan )1(1 4)18(18 a , 298 a .

2) S se caluleze suma primilor 7 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna n care 31a i2r .

Rezolvare: tim c

2... 121

naaaaaS nnn

i rnaan )1(1

n cazul nostru 7n , 31a i 2r , nlocuim n formule i obinem:

)2(637 a 97 a , 7(3 ( 9)) 7

2

S

7 21S .

3) S se demonstreze c pentru orice Rx , numerele 52 x , 12 x i 523 x sunttermenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare: tim c 1nna progresie aritmetic 2,

2

11

naa

a nnn

Prin urmare, cele trei numere fiind n progresie aritmetic, se afl n relaia

xxx

xxx

x 22222

2422

2

523522 1

(A)


23/47

23

4) S se determine al zecelea termen al unei progresii geometrice n care raia este5

1i

primul termen este 3125.

Rezolvare: ntr-o progresie geometric 11 nn qbb , 1n

tim c 31251 b i raia este51q , prin urmare

9110 qbb

9

10513125

b ,

4109

5

105

1

5

15 bb , deci

625

110 b .

5) S se calculeze suma : 44...852 .Rezolvare: observm c termenii sumei se afl n progresie aritmetic n care 21a i raia

3r . Pentru suma termenilor progresiei aritmetice tim

2... 121

naaaaaS nnn

iar

pentru termenul general rnaan )1(1

n exerciiul nostru tim c 44na , deci 31244 n 15 n , acum putem calcula

suma termenilor : 34515232

15)442(151515

SSS .

6) S se calculeze suma732 7

1...

7

1

7

1

7

11 .

Rezolvare: observm c termenii sumei se afl n progresie geometric n care 11b i raia

este7

1; pentru suma termenilor progresiei geometrice tim

1,

1,1

1

...

1

1

21

qnb

qq

qb

bbbS

n

nn iar pentru termenul general 11

nn qbb , 1n

n cazul nostru1

7 7

11

7

1

n

17

7

1

7

1

n

deci 71 n rezult c 8n

atunci

1

7

1

17

1

1

8

8

S

8

87

11

6

7S .

7) n progresia aritmetic 1nna se cunosc: 206 a , 12026 a s se gaseasc 10a .

Rezolvare: tim c 206 a , 12026 a , ceea ce se poate scrie i

12025

205

120

20

1

1

26

6

ra

ra

a

a

10020

2051

r

raam nmulit prima ecuaie cu (-1) i am

adunat la a doua ecuaie;

5

5

1a

r; 405959 1010110 aaraa .

Am folosit formula termenului general : rnaan )1(1


24/47

24

8)n progresia geometric 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 21b i 544 b . S se

calculeze6b .

Rezolvare: tim c 11 nn qbb , 1n ,

atunci 314 qbb 3254 q 3327 333 qqq

aplicnd iar formula termenului general, avem 516 qbb , deci 48632 656 bb

Tem

1. S se determine al noulea termen al irului -1, 5, 11, 17, ... .

2. S se caluleze suma primilor 8 termeni ai progresiei aritmetice1)( nna n care 21a i

5r .3. S se demonstreze c pentru orice Rx , numerele 15 x , 15 x i 159 x sunt termeniiconsecutivi ai unei progresii aritmetice.

4. S se determine al optuleatermen al unei progresii geometrice n care raia este7

1i

primul termen este 16807.

5. S se calculeze suma : 41...951 .

6. S se calculeze suma832 5

1...

5

1

5

1

5

11

7. n progresia aritmetic 1nna se cunosc: 175 a , 9721a s se gaseasc 15a .

8.

n progresia geometric 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 3

1

b i

123

b. S secalculeze 7b .

9. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele debacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!


25/47

25

FIA NR. 8 - ELEMENTE DE COMBINATORICpropuntor: prof. Cornelia Mestecan

BREVIAR TEORETIC

Fie E i F dou mulimi nevide. Dac card E = ki card F = n, (card E = numrul deelemente ale mulimii E), atunci numrul de funcii definite pe E cu valori n F este kn .Fie E o mulime nevid cu nelemente.Mulimea finit E se numete mulime ordonat, dac elementele sale sunt aezate

ntr-o ordine bine determinat. Se numete permutarea mulimii neordonate E, orice mulime ordonat de nelemente

din E.

Numrul permutrilor de nelemente din E estePn = n!,unde n! = ...321 n,n 1,0!=1(prin convenie).

Se numesc aranjamente de n elemente luate cte k, 0


26/47

26

Deci 263

55 ACP =120-10-30=80

Obs. Am folosit faptul c un factorial mai mare se poate exprima n funcie de un factorialmai mic

Exemplu: 65!4654321!6 sau 6!5!6 sau 654!3!6 etc.

2.

S se compare numerele 4515 CCa i

44

34

24

14

04 CCCCCb .

Rezolvare: tim formula de calcul pentru combinri:)!(!

!

knk

nC

k

n

i formula pentru

combinri complementare : knnk

n CC

5!41

5!4

!4!1

!5 15

1

5

1

5

CCC , 545

1

5

4

5

45

5

4

5

CCCCC

Avem de calculat 451

5 CCa rezult c 10a 4

4

3

4

2

4

1

4

0

4 CCCCCb , tim cnn

n

k

nnnn CCCCC 2......210

rezult c 1624

bb ; comparnd acu bobservm c ba .

3. S se rezolve ecuaia: 202 nA .

Rezolvare: tim formula de calcul pentru aranjamente:)!(

!

kn

nA

k

n , 0 k n,pe care o

aplicm n cazul nostru

!21!2

!2

! 22

n

nnnA

n

nA nn dup simplificare avem nnAn 1

2 ,

Nnn ,2

Ecuaia noastr 202 nA devine: 020201

2 nnnn ecuaie de gradul IIcare are soluiile 51n i 42 n ; cum Nnn ,2 , rezult c soluia ecuaiei este

n=5.

4. S se determine numrul tuturor submulimilor de 3 elemente ce se pot forma cuelemente din mulimea {1,2,3,4,5,6,7}.

Rezolvare: Cunoatem definiia combinrilor:se numesccombinri de n elemente luatecte k,0


27/47

27

Cum avem de calculat numrul total de submulimi avnd un numr par de elemente,adunm rezultatele obinute: 15+15+1=31.

6. Se consider 8 puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin cel puin 2 punctedin cele 8 ?

Rezolvare : trebuie s aflm cte submulimi de cte 2 puncte se pot forma din cele 8existente, deci utilizm formula combinrilor

)!(!

!

knk

nCkn

, 0 k n, i obinem

2828 C drepte.

7. S se rezolve ecuaia:

210!6

!4

n

n.

Rezolvare : condiii: NnnNnn

Nnn

,6

,6

,4

Apoi folosim faptul c un factorial mai mare se poate exprima n funcie de un factorial

mai micDe exmplu

,1!2123!4123...321! nnnnnnnnnnnnn

etc. ; prin urmare 45!6!4 nnnn , nlocuind n ecuaie obinem:

210!6

!4

n

n

0190921045210!6

45!6 2

nnnn

n

nnn, ecuaie de

gradul II, care are soluiile19

1n

i10

2 n , dar Nnn ,6

, deci soluia ecuaieieste 191n .

8. S se determine cte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulimii{1,2,3,4,5}.

Rezolvare: n numere conteaz i ordinea cifrelor, aste nseamn c vom formasubmulimi ordonate de cte 3 cifre, folosind elementele mulimii {1,2,3,4,5}; tim c :senumescaranjamente de n elemente luate cte k, 0


28/47

28

posibilecaznr

favorabilecaznrP

..

.. , nr. cazuri posibile = 6, nr. cazuri favorabile = 3, rezult c

2

1

6

3P .

10.S se calculeze 200620093

2009 CC .

Rezolvare: cunotem formula combinrilor complementare: knnk

n CC i observm c

2006

2009

3

2009

32009

2009

3

2009 CCCC , prin urmare 20062009

3

2009 CC =0

11.S se calculeze 419775

1977

5

1978 CCC .

Rezolvare: tim formula de descompunere a combinrilor: 111

k

n

k

n

k

n CCC ,

aplicnd-o n cazul nostru : 419775

1977

5

1978 CCC deci4

1977

5

1977

5

1978 CCC =0

12.

S se rezolve inecuaia 183 nAn , 3, nNn .

Rezolvare: tim)!(

!

kn

nA

k

n ,0 kn, aplicnd n cazul nostru, avem

18!3

12!318

!3

!

n

n

nnnnn

n

n; simplificm cu !3n

respectiv cu 1n , putem face asta deoarece 3, nNn . Rezult inecuaia 08282 2 nnnn Atam ecuaia de gradul II : 0822 nn care are soluiile 41 n i 22 n ; pentru aafla soluia inecuaiei, realizm tabelul de semn:

n -2 4

822 nn + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + ++ +

Din tabel, rezult c 0822 nn , 3, nNn , pentru 4;2;3 Nn 4;3 n .

13.S se rezolve inecuaia 21515 xx CC , 2, xNx .

Rezolvare: condiii

Nxxx

x

,2152

15

Dx 15;...;4;3;2

2

1515

xx CC xxxxxxxx 1716!15!2!15!21 Simplificnd, inecuaia devine : xxxx 17161

22 33272 xxxx 27232 x 5,8x ;5,8x , prin urmare soluia problemei este

15;14;13;12;11;10;9;5,8 D .


29/47

29

Tem1. S se calculeze 35

5

74 ACP .

2. S se compare numerele 462

6 CCa i5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5 CCCCCCb .

3. S se rezolve ecuaia: 22 nCn .

4.

S se determine numrul tuturor submulimilor de 4 elemente ce se pot forma cuelemente din mulimea {1,2,3,4,5,6,7}.5. Se consider 11puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin celpuin 2

puncte din cele 11 ?

6. S se rezolve ecuaia:

.6

!2

!

n

n

7. S se determine cte cuvinte din 4 litere distincte se pot forma cu un alfabet de 8litere.

8. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {1,2,3,4,5},

acesta s verifice inegalitatea !32 nnn .

9.

S se calculeze 12001

2005

4

2005 CC .10.S se calculeze 51989

6

1989

6

1990 CCC .

11.S se rezolve inecuaia 23 nCn , 3, nNn .

12.S se rezolve inecuaia 21111 xx CC , 2, xNx .

13.Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele debacalaureat irezolvai-le. Ai ntmpinat greuti? Notai-le i discutai-le la ora de matematic!


30/47

30

FIA NR. 9ELEMENTE DE GEOMETRIE- VECTORIpropuntor prof. Rodica TricBREVIAR TEORETIC

Regula paralelogramului

Regula triunghiului

Vectori coliniari

Fie u un vector nenul i v un vector oarecare.1. Dac u i v sunt coliniari, atunci exist un numr real , unic, astfel nct v = u .2.

Dac exist R astfel nct v = u , atunci u i v sunt coliniari.

Probleme rezolvate

1. Se consider triunghiul echilateralABC,Meste mijlocul laturiiBC, Oeste centrultriunghiului. S se determine areal , astfel nct AOaAM .

2. S se demonstreze c n hexagonul regulatABCDEF,are loc relaia ADAFAB 21 .

ADACABvu

vACuAB

;


31/47

31

3. Se consider patrulaterulABCDn care BDADCD .S se demonstreze c ABCDesteparalelogram.

4.Se consider rombulABCD. S se calculeze ODOCOBOA .

5. n dreptunghiulABCDs se calculeze CBAD .

ADAFAB

ADAFAB

DABAFAADAFAB

DACBEF

FADC

BADE

EFDEADAF

CBDCADAB

2

1

2

2


32/47

32

6. S se demonstreze c n hexagonul regulatABCDEF, COCDCB .Rezolvare: O este intersecia diagonalelor, respectiv centrul cercului circumscris hexagonuluiregulat;BCDO este paralelogram pentru c toate cele patru laturi au lungimi egale ( laturahexagonului este egal cu raza cercului circumscris); prin urmare, conform regulii

paralelogramului COCDCB .

7.Se considerpuncteleA,B,C,D nu toate coliniare. Dac 0 CBAD , s se demonstreze cpatrulaterulABCDeste paralelogram.Rezolvare: dacA,B,C,D sunt puncte, nu toate coliniare, atunci din 0 CBAD rezult cAD i CB sunt vectori opui ( au aceeai direcie- dreptele suport sunt paralele , au lungimiegale i sensuri opuse);deci ADBCiAD=BC, adicABCDeste paralelogram.

8. Dac 03 CBAB , s se calculeze raportulBC

AB.

Rezolvare: 03 CBAB adic CBAB 3 , dar CBBC deci BCAB 3

3

3

BC

BC

BC

AB

9. Fie triunghiul echilateralABC nscris ntr-un cerc de centru O ; s se calculezeBOBABC 3 .

Rezolvare:

Tem1.Gsii probleme de acelai tip n variante, rezolvai-le i discutai-le n clas cu profesorul icolegii dvs.


33/47

33

FIA NR. 10ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITIC IX-X-XIpropuntor prof. Rodica TricBREVIAR TEORETIC

1. Un reper cartezian XOY determin n plan o mprire a planului n patru cadrane:

I = {M(x,y)/ x>0, y>0}, II = {M(x,y)/ x0},III = {M(x,y)/ x


34/47

34

-aria triunghiuluiABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2

1unde

1

1

1

C

B

A

C

B

A

y

y

y

x

x

x

.

Probleme rezolvate

1. Fie punctele 2;3 A i 3;5B . S se determine numerele reale ai bastfel nct

jbiaAB .

Rezolvare: tim c dacM1 11;yx ,M2 22 ;yx sunt puncte nsistemul XOY atunci

121221 ; yyxxMM , deci 5;823;35 ABAB

Mai tim c dac yxv ; atunci jyixv , deci jiAB 58 , dar jbiaAB , rezult5,8 ba .

2. n reperul cartezian xOy se consider punctele 0;1A i 4;5B . S se determine

coordonatele vectorului ABOBOA .Rezolvare: tim c dacM1 11;yx ,M2 22 ;yx sunt puncte nsistemul XOY atunci

121221 ; yyxxMM , iar 0;0O ; prin urmare: 0;1OA , 4;5OB , 4;6AB

Mai tim c dac ,;,; 222111 yxvyxv atunci ;; 212121 yyxxvv deci

ABOBOA 440;651 , adic ABOBOA 0;2

3. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele 3;4A i 3;2B .Rezolvare: cunoatem c ecuaia dreptei care trece prin punctele M1(x1; y1) i M2(x2; y2) este

M1M2: 212112

1

12

1 ,, yyxxyy

yyxx

xx

, deci 33

3424:

yxAB

6

3

6

4:

yxAB

3646: yxAB , simplificm ecuaia cu 6 i 34: yxAB ,1: xyAB

sau 01: yxAB .

4. n reperul cartezian (O, i , j ) se consider vectorii jiu 25 i jiv 4 . S se

determine coordonatele vectorului vu 26 .Rezolvare: tim c dac ,;,; 222111 yxvyxv R , atunci

;;;; 212121111 yyxxvvyxv

i dac v ( x;y) v x i + y j ;

prin urmare vu 26 = (6 ji 25 ) + 2( ji 4 ) jijiji 1438281230 .

5. n reperul cartezian(O, i , j ) se consider vectorii jiu 25 i jiav 43 . S sedetermine numrul real apentru care cei doi vectori sunt coliniari.


35/47

35

Rezolvare: tim c 1v coliniar cu Rav 2 a.. 21 vav sau ay

y

x

x

2

1

2

1 cu alte cuvinte

cei doi vectori sunt coliniari dac coordonatele lor sunt proporionale.

Deci u i v sunt coliniari dac

4

2

3

5

a

a2620 ( am folosit : produsul

extremilor=produsul mezilor ); 13 a .

6. S se determine numrul real a pentru care dreptele 063 yx i 022 ayx suntparalele.

Rezolvare: cunoatem c2

1

2

1

2

121

c

c

b

b

a

add deci

a

1

2

3

ceea ce nseamn c

3

223 aa .

7. S se determine distana dintre punctele )5;4(A i )1;2( B .Rezolvare: cunoatem c dacM1 11;yx ,M2 22 ;yx distana dintre cele dou puncte este

2122

1221 );( yyxxMMd , deci 22

5142);( BAd

26);(3636);( BAdBAd .

8. S se determine ecuaia dreptei care trece prinA(-5;4) i este paralel cu dreapta de ecuaie2x-3y+6=0.

Rezolvare: tim c 2121 mmdd i 21 nn unde 1m i 2m sunt pantele celor dou

drepte. Mai tim cecuaia dreptei de pant m care trece prin punctulMo(xo; yo) este d: y-yo= m(x-xo), mR;ecuaia dreptei cerute este AdA xxmyyd : adic 54: xmyd d . Dreapta d este

paralel cu dreapta

0632: yxd 23

2:623: xydxyd

3

2 dm . Cum

dd mmdd

rezult c3

2dm , prin urmare ecuaia dreptei dcerute este 5

3

24: xyd

3

22

3

2:43

10

3

2: xydxyd sau 02232: yxd .

9. S se determine coordonatele punctului C simetricul punctuluiA(1;5) fa de punctulB(-3;0).

Rezolvare: punctul C este simetricul punctuluiA(1;5) fa de punctulB(-3;0), ceea censeamn cAB=BC,adic d(A;B)=d(B;C)i A,B,C coliniare,deci B este mijlocul segmentului AC .Cunoatem :

MM yxM ; mijlocul segmentului AB ,

;

2

,

2

;,; BAMBA

MBBAA

yyy

xxxyxByxA


36/47


37/47

37

Rezolvare: cunoatem : coordonatele punctului de intersecie al dreptelor0: 1111 cybxad ; 0: 2222 cybxad se determin ca soluie a sistemului

0

0

222

111

cybxa

cybxa.

Fie 0543:1 yxd i 032:2 yxd

Add 21 , coordonatele luiAse afl rezolvnd sistemul

0

0

222

111

cybxa

cybxaadic

2 83 4 5 0 3 5

3 4 5 0 3 4 5 0 3 4 5 0 5 5

2 3 0 3 6 9 0 10 4 0 24 2

510 5

33

15

2

5

x xx y x y x y

x y x y yyy

x

y

deci

5

2;

15

33A . Distana de la OlaAeste

59

45

225

1125

25

4

225

1089

5

2

15

33);(

22

22

OAOA yyxxAOd

13. S sedetermine numrul real mpentru care punctul )1;5(

A se afl pe dreapta02 myx .Rezolvare: un punct aparine unei drepte dac coordonatele sale verific ecuaia dreptei:

7070)1(25 mmm .

14. S se determine numrul real mpentru care punctele )7;(),5;2(),2;1( mCBA suntcoliniare.

Rezolvare: punctele A, B, C sunt coliniare dac se afl pe aceeai dreapt, deci ABC Folosind problema anterioar, rezult : coordonatele lui Ctrebuie s verifice ecuaia dreptei

AB

03:3

23

1:252

121::

yxAByxAByxAB

yyyy

xxxxAB

AB

A

AB

A

ABC 4037 mm .

15. S se determine ecuaia dreptei ce trece prin punctulA(2;-3) i are panta m=2.Rezolvare: ecuaia dreptei de pant mcare trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo= m(x-

xo).

Deci AA xxmyyd : 223: xyd 0423: xyd 072: yxd

16. n reperul cartezian xOy se consider punctele );5(),1;2(),4;3( mCBA . S se determinenumrul real mpentru care triunghiulABCeste dreptunghic nA.


38/47

38

Rezolvare: conform teoremei lui Pitagora, dac ABC este dreptunghic nAatunci222

BCACAB

Adic 2

222

222

22 134835

mm

22

19464925 mm ;1051281216889 22 mmmmmm

3

52

6

1041046

mm

17. S se determine numerele reale a, bpentru care puncteleA(a;b) iB(3;b-2) aparin dreptei0252 yx .

Rezolvare: un punct aparine unei drepte dac coordonatele sale verific ecuaia dreptei,dA i dB

5

18

8

5

18

162

518

518

025

1852

0185

0252

022532

0252

b

a

b

a

b

a

b

ba

b

ba

18. S se calculeze aria triunghiuluiABCunde )1;5(),4;0(),2;3( CBA .Rezolvare:

aria triunghiuluiABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2

1unde

1

1

1

C

B

A

C

B

A

y

y

y

x

x

x

n cazul nostru 453020100121

1

1

1

4

2

5

0

3

, aria = 21 =

245 .

19. n reperul cartezian xOy se consider punctulA(4;1) i puncteleB,Csimetricele punctuluiAfa de axa Ox respectiv Oy. S se calculeze distana dintre puncteleBi C.Rezolvare:Bsimetricul luiAfa de Ox, atunciB(4;-1); Ceste simetricul luiAfa de Oy,atunci C(-4;1)

172684641144);( 2222 BCBC yyxxCBd .

Tem

1.Fie punctele 4;5A i 3;2B . S se determine numerele reale ai bastfel nct

jbiaAB .

2.n reperul cartezian xOy se consider punctele 1;2A i 4;0B . S se determine

coordonatele vectorului ABOBOA 2 .3. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele 3;5 A i 4;3B .


39/47

39

4. n reperul cartezian (O, i , j ) se consider vectorii jiu 34 i jiv 25 . S se

determine coordonatele vectorului vu 43 .

5. n reperul cartezian(O, i , j ) se consider vectorii jiu 35 i jaiv )2(6 . S sedetermine numrul real apentru care cei doi vectori sunt coliniari.6. S se determine numrul real a pentru care dreptele 0732 yx i 0114 ayx sunt paralele.

7. S se determine distana dintre punctele )5;6( A i )1;2( B .8. S se determine ecuaia dreptei care trece prinA(-4;2) i esteparalel cu dreapta de ecuaie-3x+2y+6=0.

9. S se determine coordonatele punctului C simetricul punctuluiA(-2;4) fa de punctulB(2;3).10. n sistemul cartezian xOy se consider puncteleA(-1;2),B(-5;-4), C(0;6). Se cer:a) ecuaia medianei duse din C;

b) perimetrul triunghiuluiABC.

11. S se determine punctulDastfel nct patrulaterulABCDs fie paralelogram. Se cunoscA(-2;0),B(4;3) i C(6;1).12. S se calculeze distana de laB(2;0) la punctul de intersecie al dreptelor 0352 yx i 034 yx .13. S se determine numrul real mpentru care punctul )2;4( A se afl pe dreapta

023 myx .

14. S se determine numrul real mpentru care punctele )4;3(),1;2(),2;( CBmA suntcoliniare.

15. S se determine ecuaia dreptei ce trece prin punctulA(-4;1) i are panta m=-3.16. n reperul cartezian xOy se consider punctele )0;5(),;3(),4;1( CmBA . S se determine

numrul real mpentru care triunghiulABCeste dreptunghic nA.17. S se determine numerele reale a, bpentru care puncteleA(a;b) iB(a+1;-2) aparindreptei 023 yx .

18. S se calculeze aria triunghiuluiABCunde )1;3(),4;5(),2;0( CBA .19. n reperul cartezian xOy se consider punctulA(-3;2) i puncteleB,Csimetricele punctului

Afa de axa Ox respectiv Oy. S se calculeze distana dintre puncteleBi C.20. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de

bacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti? Notai-le i discutai-le la ora dematematic!


40/47

40

FIA NR. 11ELEMENTE DE TRIGONOMETRIEpropuntor prof. Rodica TricBREVIAR TEORETIC

-relaia dintre msura n radiani, t, i msura n grade a unghiurior, , este

180

t.

-dac este msura n grade a unui unghi atunci2 2

sin cos 1, R - identitatea fundamental a trigonometriei sin)180sin( , cos)180cos(

sin 90 cos , cos 90 sin

cos

sintg ,

sin

cosctg

0=0rad

30=6

rad

45=4

rad

60=3

rad

90=2

rad

180= rad

sin 0

2

1

2

2

2

3

1 0

cos 1

2

3

2

2

2

1

0 -1

tg 0

3

3

1 3 / 0

ctg / 3 1

3

3

0 /

Relaii metrice n plan:Fie ABC cu laturileBC=a, AC=b, AB=ci nlimea ah cobort din vrful A pe laturaa, A, B, Cmsurile unghiurilor triunghiului, R raza cercului circumscris triunghiului, r

raza cercului nscris triunghiului.

-teorema sinusurilor: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

-teorema cosinusului: Abccba cos2222 -aria triunghiului:

))()(( cpbpappS unde2

cbap ;

rpR

abcCabahS a

42

sin

2

-dac ABC este dreptunghic cuA=90, b,c- catete, aipotenuz

Ca

bB cossin , C

a

cB sincos , ctgC

c

btgB , tgC

b

cctgB

22

bcahS a ,

a

bcha ,

222acb (teorema lui Pitagora)

-dac ABC este echilateral a=b=c,p=3a,2

3aha ,4

32

aS


41/47

41

Exerciii rezolvate

1. Se consider triunghiulABC cu 5, 2 2, 3AB AC BC . S se calculeze cosB .Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222 care mai poate fi scris i

2 2 2 2 cosb a c ac B ; noi cunoatem 5 , 2 2 , 3AB c AC b BC a

deci 2

2 2 26 132 2 3 5 2 3 5 cos 8 9 25 30cos cos cos30 15

B B B B

2. S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 3, 5, 30AB AC m A

Rezolvare: cunoatem c aria triunghiului este rpR

abcCabahS a

42

sin

2, n problema

noastr alegemsin sin sin

2 2 2

ac B ab C bc AS . tim c

3 , 5 , 30AB c AC b m A

prin urmare

1153 5 sin 30 152

2 2 4S

.

3. S se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, tiind c

5, 60AC m B .

Rezolvare: cunoatem teorema sinusurilor: RC

cB

bA

a 2sinsinsin

, n problema noastr

putem folosi

5 5 5 5 5 32 2

sin sin 60 2 sin 60 33 32

2

bR R R R R R

B

.

4. Fie triunghiul dreptunghicABC iDmijlocul cateteiAC. S se calculeze lungimeaipotenuzeiBC, tiind c 6, 5AD AB .

Rezolvare: cunoatem 222 acb (teorema lui Pitagora), n problema noastr2 2 6 12AC AD AC AC

iAB=5

5. Se consider triunghiulABC cu aria egal cu 7, cu 5AC i 6BC . S secalculeze sin C.

Rezolvare: cunoatem c aria triunghiului estesin sin sin

2 2 2

ac B ab C bc AS

n cazul nostru, tim 5AC b i 6BC a , decisin

2

ab CS

5 6 sin 2 7 77 sin sin

2 5 6 15

CC C

6.

S se calculeze perimetrul triunghiuluiABC,tiind c 4, 7, 60AB AC m A

.


42/47

42

Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222

2 2 2

2 2 2

4, 7, 60 2 cos

116 49 56cos 60 65 56 37 37

2

11 37ABC ABC

c AB b AC m A BC AB AC AB AC A

BC BC BC BC

Perimetrul AB AC BC Perimetrul

7. S se calculeze lungimea nlimii din A n triunghiuluiABC,tiind c12, 5, 13AB AC BC .

Rezolvare: 2 2 2144, 25, 169AB AC BC . Observm c 2 2 2BC AC AB , atunciconform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiuluiABCeste dreptunghic nA. Prin urmare

, cuma

bcha

5 12 60

13 13a a a

AC ABh h h

BC

8.

S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 10, 13, 150AB BC m B .

Rezolvare: cunoatem c aria triunghiului estesin

2

ac BS , 13, 10a BC c AB

1

sin sin150 sin 180 30 sin 302

B , rezult c

113 10

13 5 652

2 2 2S

.

9. S se demonstreze c n orice triunghi dreptunghicABCde arie Si ipotenuz delungime aeste adevrat identitatea 2 cos cos 2a B C S .

Rezolvare: -

dac ABC este dreptunghic cuA=

90,b,c- catete, a

ipotenuz

Ca

bB cossin , C

a

cB sincos i

2

bcS . nlocuim n identitate i obinem:

2 22

c b b ca cb bc A

a a

.

10.S se calculeze sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 .Rezolvare: tim c sin 0 0 deci sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 0

11.

S se calculeze cos 70 cos110

.Rezolvare: cos110 cos 180 70 cos 70 , decicos 70 cos110 cos 70 cos 70 0

12.S se calculeze sin 45 cos60 sin30 .

Rezolvare:2 1 1 2

sin 45 cos60 sin302 2 2 2

13.S se calculeze 2 2sin 75 sin 15 .

Rezolvare: sin 90 cos

, deci sin15 sin 90 75 cos 75

,


43/47

43

2 2 2 2sin 75 sin 15 sin 75 cos 75 1 ( conform identitii fundamentale atrigonometriei).

14.S se calculeze cos1 cos11 ... cos169 cos179 .

Rezolvare: tim c cos)180cos( , adic cos 180 cos 0

cos1 cos11 ... cos169 cos179 cos1 cos179 cos11 cos169 .... 0

15.S se calculeze sinx , tiind c4

cos5

x i 0 ; 90x .

Rezolvare: tim identitii fundamentale a trigonometriei2 2sin cos 1,x x x R , 2 2

16 16 9 3sin 1 sin 1 sin

25 25 25 5x x x

Cum 0 ; 90x

, rezult c

3

sin 5x (pozitiv).

16.S se calculeze aria triunghiului echilateralABCtiind c are lungimea nlimii egalcu 5 3 .

Rezolvare: timc2

3aha i

4

32

aS , deci

35 3 10

2

aa i

210 3 100 3

25 34 4

S

17.

S se calculeze lungimea laturiiABa triunghiuluiABCtiind c 3, 45 , 60BC m BCA m BAC

Rezolvare: putem folosi teorema sinusurilor:sin sin

a c

A C

unde 3, 45 , 60a BC C m BCA A m BAC , deci2

33 3 2 22 2

sin 60 sin 45 23 3

2

cc

18.TriunghiulABCeste dreptunghic nB, iar raza cercului circumscris triunghiului esteR=5. S se calculeze lungimea laturiiAC.

Rezolvare: triunghiulABCeste dreptunghic nBdeciACeste ipotenuza, raza cerculuicircumscris este jumtate din ipotenuz, rezult c 2 2 5 10AC R .

19.S se determine sin BCD n hexagonul regulatABCDEF.Rezolvare: dac Oeste centrul cercului circumscris hexagonului, respectiv punctul deintersecie al diagonalelor, atunci OBCeste echilateral, 60m OCB , analog OCD-


44/47

44

echilateral i 60m OCD rezult c 120m BCD i

3sin sin120 sin 180 60 sin 602

BCD

20.S se calculeze

lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54tg tg tg tg tg .

Rezolvare: 45 1 lg 45 lg1 0tg tg rezult

lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54 0tg tg tg tg tg

21.S se calculeze cos10 cos20 cos11 cos19 ... cos20 cos10 .Rezolvare: printre paranteze se afl i cos15 cos15 0 rezult c

cos10 cos 20 cos11 cos19 ... cos 20 cos10 0 22.tiind c sin 40 cos40 a , s se calculeze sin140 sin140 a .

Rezolvare: sin140 sin 180 40 sin 40 ; cos140 cos 180 40 cos 40 sin140 sin140 sin 40 cos 40 0a a a a

Tem

1. Se consider triunghiulABC cu 5, 5 2, 4AB AC BC . S se calculezecosC.

2. S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 3, 5, 60BC AC m C .3. S se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, tiind c

4, 45AB m C .4. Fie triunghiul dreptunghicABC iDmijlocul cateteiAB. S se calculeze

lungimea ipotenuzeiBC, tiind c 3, 8AD AC .5. Se consider triunghiulABC cu aria egal cu 9, cu 5AB i 6BC . S se

calculeze sinB .

6. S se calculeze perimetrul triunghiuluiABC,tiind c

5, 8, 60AB BC m B .7. S se calculeze lungimea nlimii din A n triunghiuluiABC,tiind c

8, 6, 10AB AC BC .8. S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 10 2, 12, 135AB BC m B .9. S se demonstreze c n orice triunghi dreptunghicABCde arie Si ipotenuz de

lungime aeste

adevrat identitatea2

a

Sh tgB tgC

a .

10.S se calculeze sin 11 sin 10 ... sin 10 sin 11 .11.S se calculeze cos50 cos130 .12.S se calculeze cos 45 sin 60 30tg .13.

S se calculeze 2 2sin 65 sin 25 .


45/47

45

14.S se calculeze cos2 cos12 ... cos168 cos178 .

15.S se calculeze cosx , tiind c4

sin5

x i 90 ;180x .

16.S se calculeze aria triunghiului echilateralABCtiind c are lungimea nlimii

egal cu7 3 .

17.

S se calculeze lungimea laturiiABa triunghiuluiABCtiind c

6, 60 , 45BC m BCA m BAC 18.TriunghiulABCeste dreptunghic n C, iar raza cercului circumscris triunghiului

esteR=7. S se calculeze lungimea laturiiAB.19.S se determine sin CDE n hexagonul regulatABCDEF.

20.S se calculeze ln 40 ln 41 ln 42 ln 43 ...ln 60tg tg tg tg tg .21.S se calculeze cos5 cos15 cos6 cos14 ... cos15 cos5 .22.

tiind csin 60 cos60 a

, s se calculeze

sin120 sin120 a .

23.Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele debacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti? Notai-le i discutai-le la ora dematematic!


46/47

46

BIBLIOGR FIE

Alexandru Blaga, Gheorghe Miclu, Mircea Farca, Ovidiu T. Pop- Matematic-clasa a X-a ( TC + CD)Editura DACIA, 2005;

Marius Burtea, Georgeta Burtea Matematic manual clasa a IX-a (TC + CD) Editura CARMINIS, 2004;

Mircea Ganga Matematic manual clasa a X-a ( algebr M1) EdituraMATHPRESS, 2001

C. Nstsescu, M. Brandiburu, C. Ni, D. Joi Exerciii i probleme de algebr-pentru clasele IX-XIIEditura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981

Variantele pentru examenul de Bacalaureat, propuse de SNEE, 2007, 2008

Grup de autori Ghid de pregtire pentru examenul de bacalaureat la matematic2007Editura SIGMA, 2006


47/47

Date post:	02-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	serban-elena
View:	282 times
Download:	1 times

culegere-fise-rec-bac.pdf

Documents