109
UNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS”GALAȚI
Cristian MUNTENIȚĂCarmelia Mariana DRAGOMIR BĂLĂNICĂ
Geanina Marcela PODARU
EDITURA FUNDAȚIEI UNIVERSITARE„Dunărea de Jos” Galați - 2019ISBN 978-973-627-626-2
ELEMENTE DEINGINERIE MECANICĂ
NOTE DE CURS
UNIVERSITATEA DUNĂREA DE JOS GALAȚI
Editura Fundaţiei Universitare „Dunărea de Jos”
din Galaţi
este acreditată de CNCSIS
Referent științific: Conf. dr. ing. Sorin CIORTAN
©Editura Fundaţiei Universitare www.editura.ugal.ro
“Dunărea de Jos”, Galaţi, 2019 [email protected]
Director, prof. dr. emerit Cosma Tudose
ISBN 978-973-627-626-2
http://www.editura.ugal.ro/mailto:[email protected]
Cuvânt înainte
Autorii au încercat să elaboreze o lucrare, în care să fie prezentate noțiunile elementare,
dar fundamentale din domeniul ingineriei mecanice, pentru deschiderea și formarea orizontului
tehnic interdisciplinar al viitorului specialist în domeniul mecanicii.
Tratarea noțiunilor permite înțelegerea funcționării oricărei mașini sau agregat,
analizându-se structura acestora, solicitările și fenomenele care apar în elementele și cuplele
cinematice care formează ansamblul.
De asemenea sunt prezentate noțiuni privind funcționarea mașinilor și agregatelor în
cadrul unui anumit proces tehnologic care implică probleme de conducere și automatizare a
acestuia.
Prin conținutul său, cursul se adresează studenților de la specializarea inginerie
mecanică și inginerie industrială, însă poate fi utilizat cu succes și de către alți studenți de la
alte specializări.
Autorii,
CUPRINS
Capitolul 1 ELEMENTE INTRODUCTIVE 5
1.1. Noțiuni generale 5
1.2. Element cinematic, cuplă cinematică 5
1.3. Condiții generale de lucru a organelor de mașini 7
Capitolul 2 PRINCIPII DE CALCUL ALE INGINERIEI MECANICE 9
2.1. Sarcini exterioare 9
2.2. Eforturi interioare 9
2.3. Eforturi în secțiunile transversale ale barelor 12
2.4. Deformații 13
2.5. Solicitări simple 15
2.5.1. Întindere și compresiune 15
2.5.1.1. Încercarea materialelor șa întindere – compresiune. Curba caracteristică 16
2.5.1.2. Rezistența admisibilă. Coeficient de siguranță 19
2.5.2. Solicitarea la încovoiere 21
2.5.2.1. Deformația barelor solicitate la încovoiere 23
2.5.3. Solicitări care provoacă tensiuni tangențiale 24
2.5.3.1. Forfecarea 24
2.5.3.2. Răsucirea 25
2.5.4. Relații de calcul la deformații 27
2.5.5. Solicitarea de contact 28
2.5.6. Solicitări variabile 31
2.5.6.1. Curbe de oboseală 33
2.5.6.1.1. Rezistența la durabilitate limitată 34
2.5.6.1.2. Diagramele rezistențelor la oboseală 34
2.5.6.1.3. Factori care influențează rezistența la oboseală 37
2.5.6.1.4. Calculul de rezistență la oboseală 38
2.5.6.1.5. Metodica de calcul la oboseală 40
2.6. Solicitări compuse 41
2.6.1. Cazuri de solicitări compuse 41
2.6.1.1. relații de calcul pentru tensiunea echivalentă 42
2.6.2. Solicitări cu tensiuni normale și tangențiale 43
Capitolul 3 FORȚE CARE ACȚIONEAZĂ ASUPRA ELEMENTELOR
MAȘINILOR ȘI ORGANELOR DE MAȘINI 49
Capitolul 4 FRECAREA ÎN CUPLE CINEMATICE 51
4.1. Fenomenul frecării 51
4.2. Frecarea în cuple de translație 52
4.3. Frecarea ăn cadrul contactului fix 54
4.3.1. Frecarea de pivotare în cazul suplafețelor plane 58
4.4. Frecarea în lagăre și articulații 59
4.5. Frecarea în cuple de translație pe suprafața cilindrică 61
4.6. Îmbinări cu strîngere elastică care transmite forțe și momente prin frecarea
realizată între suprafețele de contact 61
4.7. Frecarea în cuple cinematice cu element flexibile 64
4.7.1. Transmisii prin curele 64
4.7.2. Frâne 67
4.8. Frecarea în cupla superioară de rostogolire 68
4.8.1. Clasificarea rulmenților 69
4.8.2. Momentul de frecare în rulmenți 70
4.8.3. Distribuția încărcării pe corpurile de rostogolire 70
4.8.4. Tensiuni în rulmenți 72
4.8.5. Calculul de alegere a rulmenților 72
4.9. Frecarea în cuple superioare care formează angrenaje cu roți dințate 76
4.9.1. Elementele geometrice a roții cilindrice cu dinți drepți 77
4.9.2. Legea fundamentală a angrenării 78
4.9.3. Curbe folosite pentru profilul roților dințate 79
4.9.4. Frecarea și alunecarea profilelor în cazul roților dințate 80
4.10. Starea de ungere și uzura în cuplele cinematice 81
4.10.1. Etape de uzură 82
4.10.2. Aspecte de uzură 83
4.10.3. Căile de reducere a uzurii 83
4.10.4. Ungerea. Modalități de formare a peliculei de lubrifiant 85
4.10.5. Condiții de bază ale formării regimului de ungere fluidă 86
Capitolul 5 DINAMICA MAȘINILOR 89
5.1. Bilanțul energetic al mecanismelor și mașinilor 89
5.2. Modele dinamice 90
5.3. Fazele mișcării mașinilor 91
5.4. Ecuația de mișcare a mașinii 93
5.4.1. Stabilitatea mișcării 97
5.5. Reglarea mișcării mecanismelor și a mașinilor 100
5.5.1. Variațiile periodice ale vitezei unghiulare 100
BIBLIOGRAFIE 107
5
CAPITOLUL 1
ELEMENTE INTRODUCTIVE
1.1. Noțiunile generale Noțiunile generale care stau la baza disciplinei Elemente de inginerie mecanică sunt
legate de definiții oferite mașinii, mecanismului, aparatului și elementelor din care sunt
construite, precum:
- mașina reprezintă un sistem tehnic ale cărui elemente execută mișcări determinate în scopul realizării unui lucru mecanic util sau a transformării energiei dintr-o formă în
alta; mașinile de pot clasifica astfel: mașini motoare, mașini transformatoare și mașini
de lucru.
Mașinile motoare se clasifică la rândul lor în mașini primare, care transformă o formă
de energie primară (ex: turbine, motoare eoliene, etc.), în lucru mecanic și mașini motoare
secundare, care transformă o formă de energie prelucrată (ex: motoare electrice, motoare
hidraulice, etc.), în lucru mecanic.
Mașini transformatoare numite și mașini generatoare, transformă energia mecanică într-
un alt fel de energie (ex: generatoare electrice pneumatice, etc.).
Mașini de lucru utilizează energia mecanică de mișcare pentru efectuarea unui lucru
mecanic util, legat de procesul de producție. Aceste mașini se clasifică astfel:
- mașini prelucrătoare, care execută lucru mecanic util de schimbare a formei, dimensiunilor și aspectul corpurilor (calandre, concasoare, mașini unelte, prese, etc.)
- mașini transportoare care execută lucrul mecanic util de schimbare a poziției corpurilor solide, lichide sau gazoase (transportoare cu bandă, transportoare elicoidale, elevatoare,
pompe cu piston, etc.)
Agregatul reprezintă un grup format prin cuplarea unei mașini motoare cu una sau mai
multe mașini de lucru. Legăturile cinematice dintre diferite mașini se realizează cu ajutorul
transmisiilor mecanice sau a altor tipuri de transmisii electrice (hidraulice, pneumatice), în
vederea determinării caracteristicilor exterioare mecanice ale mașinii motoare și trecerea la
mașina de lucru.
Mecanismul reprezintă o parte componentă a mașinii ale cărui elemente au mișcări
determinate și periodice, care spre deosebire de mașină, nu transformă energia, ci transmite și
transformă mișcarea.
Aparatul are o bobinaj de mecanisme care are scop să efectueze relații funcționale
determinate între diferite mărimi fizice.
Atât mașina cât și mecanismul sau aparatul se deosebesc printr-un scop, toate fiind
alcătuite din elemente care pot fi calculate și proiectate separat, care sunt numite în continuare
organe de mașini. Organele de mașini pot fi simple (dacă sunt alcătuite dintr-o singură piesă)
sau compuse (care din motive constructive de montare, întreținere, transport, economic, sunt
constituite din elemente care, asamblate între ele formează o unitate funcțională).
1.2. Element cinematic, cuplă cinematică Mecanismul este alcătuit din mai multe părți componente care pot fi formare dintr-o
piesă sau din mai multe piese legate rigid între ele. Elementul cinematic reprezintă corpul solid
cu deformații neglijabile care, legat în continuare cu alte elemente prin intermediul cuplelor
cinematice care permit transmiterea mișcării și a forței. Noțiunea de element cinematic nu este
6
similară cu cea de organ de mașină, care se referă la studiul pieselor de mașini și mecanisme
din punct de vedere al rezistenței, formei constructive și tehnologice. Elementul cinematic nu
coincide totdeauna cu organul de mașină. Astfel, roata dințată împreună cu pana de arbore
(organe de mașini distincte, constituie un singur element cinematic). Uneori chiar cupla poartă
numele de pereche de corpuri. O singură zonă de contact nu poate forma o cuplă (legătură) dar
poate fi numită prin extindere, semi-cuplă sau cuplă posibilă, cuplă potențială, care devine cuplă
propriu-zisă la adăugarea celeilalte zone de contact.
Se numesc cuple superioare cuplele cu contact punctual sau liniar deoarece
mecanismele cu astfel de cuple pot realiza orice legi de mișcare cu formele zonelor de contact.
Au însă o presiune de contact teoretic infinită. Practic corpurile se deformează, realizează o
suprafață de contact mică, iar presiunea devine finită, dar rămâne cu valori foarte mari. Uzura
zonei de contact este mare. Realizarea zonelor de contact este costisitoare.
Pe de altă parte se numesc cuple inferioare acele cuple care au contact pe o suprafață.
Mecanismele care au astfel de cuple nu pot realiza orice lege de mișcare ci numai în mod
aproximativ. Desigur există și legi compatibile acestor cuple pe care le realizează exact. Se
poate proiecta suprafața de contact a acestor cuple, astfel încât presiunea dintre corpuri să
rămână la valori inferioare presiuni admisibile. Uzura zonelor de contact este mai redusă iar
confecționarea lor este mai simplă.
Forma geometrică a zonei de contact (suprafață, linie, punct) determină felul mișcării
relative care poate fi rotație, translație compusă. În general numărul de restricții notat în
continuare cu ”k” sau numărul condițiilor de legătură este egal cu numărul gradelor de libertate
suprimate și depinde de natura cuplei cinematice în care se leagă elementele respective.
Acest număr poate fi mai mare decât cinci și mai mic decât unu. Din punct de vedere
cinematic cuplele pot fi plane, mișcările relative ale elementelor componente au loc în plan sau
în plane paralele și spațiale, dacă permit elementelor componente mișcării în spațiu.
După criteriul constructiv, cuplele pot fi închise, când contactul dintre elemente se
realizează printr-o ghidare permanentă și deschide când contactul dintre elemente trebuie
asigurat printr-o forță exterioară. Relația dintre numărul de mișcări și numărul de restricții
f + k = 6, pentru cuplele spațiale admite următoarele soluții în numere întregi, pozitive: f=0,
k=6; f=1, k=5; f=2, k=4; f=3, k=3; f=4, k=2; f=5, k=1; f=6, k=0. Prima soluție reprezintă o
legătură rigidă sau o îmbinare, ceea ce din punct de vedere cinematic formează un singur
element .
Îmbinarea este o legătură între două piese care excluse libertatea de mișcare relativă
între ele, realizată în scopul transmiterii forțelor și momentelor. Ea poate fi nedemontabilă și
nu permite desfacerea pieselor îmbinate decât prin distrugerea îmbinării realizându-se prin
sudare, lipire, nituire, etc. și demontabile, care permite desfacerea pieselor îmbinate,
realizându-se prin caneluri, pene, șuruburi, etc.
Ultima soluție arată că cele două corpuri nu au nici o legătură între ele și se mișcă
independent. În plan soluțiile în numere întregi pozitive ale relației f +k = 3 sunt f=0, k=3; f=2,
k=2; f=2, k=1; f=3, k=0.
Soluție f=1, k=2 are drept corespondențe fizice cupla de rotație sau articulația cilindrică
și cupla de translație (prismatică). Cele două cuple sunt inferioare închise (figura 1.1.).
7
Figura 1.1.
Un caz particular al acestei soluții îl reprezintă cupla șurub piuliță (cuplă spațială) între
mișcarea de translație și cea de rotație existând o dependență (figura 1.2.). Astfel spus și supla
șurub piuliță suprimă cinci grade de libertate. Elementele cuplei de translație poartă denumiri
specifice și anume glisieră (elementul fix) și patină (elementul mobil, realizându-se sub formă
de ghidaje).
Figura 1.2.
De cele mai multe ori cuplele cinematice de rotație se realizează sub formă de lagăre cu
alunecare și lagăre cu rostogolire (rulmenți). Soluția f=2, k=1 este redată geometric prin
contactul profilelor a două plăci plane (figura 1.3.).
Figura 1.3.
Există o posibilitate de translație în lungul tangentei comune și o posibilitate de rotație
R în jurul axei perpendiculare pe planul mișcării. Se întâlnește în cazul mecanismelor cu came
și în cele cu roți dințate (angrenaje).
1.3. Condiții generale de lucru a organelor de mașini Fiind elemente constitutive ale mașinilor și mecanismelor elementelor constitutive ale
8
mașinilor, mecanismelor și aparatelor le sunt cerute aceleași condiții ca și acestora însăși.
Factorii principali care conferă produselor în general calități superioare îi reprezintă fiabilitatea
și economicitatea.
Prin fiabilitatea, se înțelege capacitatea unui produs de a funcționa potrivit destinației
pentru care a fost realizat și în condițiile specifice de utilizare o perioadă de timp bine
determinată. Acesta se referă atât la un element singular din ansamblu cât și la întreg sistemul
din care face parte elementul analizat. Aceasta fiind definită probabilistic este necesar de
subliniat următoarele:
- fiabilitatea sistemului este întotdeauna mai mică decât cea a elementelor luate separat; - cu cât numărul de elemente din sistem este mai mare, cu atât fiabilitatea lui este mai
mică;
Căile principale de ridicare a fiabilității unui sistem sunt:
- realizarea produsului pe cât este posibil cu un număr cât mai mic de elemente simple din punct de vedere constructiv;
- folosirea rațională a materialelor de înaltă rezistență, legat de micșorarea greutății și a gabaritului;
- adaptarea unor sisteme de ungere cât mai eficiente; - folosirea unor elemente de siguranță în sistem care să protejeze celelalte piese în cazul
apariției suprasarcinilor;
- folosirea pe scară largă a elementelor de standardizare. Fiabilitatea este în strânsă legătură cu procesul de mentenanță (reparație), care constă în
capacitatea produsului de a fi în stare de funcționare într-un timp cât mai scurt. Fiabilitatea și
mentenanța, pot fi calculate, servesc și stabilirea parcului optim de echipamente, necesar
programului de producție precum și evaluarea necesarului de piese de schimb.
Criteriul de economicitate este asigurat de scăderea cheltuielilor necesare realizării și
exploatării produsului respectiv. Condițiile generale cerute organelor de mașini sunt legate de
următoarele aspecte:
- îndeplinirea rolului funcțional; - asigurarea siguranței în exploatare; - realizarea fiabilității prescrise; - asigurarea tehnologicității produsului; - asigurarea eficienței economice; - respectarea standardelor în vigoare; - protecția și igiena muncii; - ușurința transportului; - estetica construcției mașinii.
9
CAPITOLUL 2
PRINCIPII DE CALCUL ALE INGINERIEI MECANICE
2.1. Sarcini exterioare
Prin sarcină sau încărcare se înțelege o forță sau un sistem de forțe care acționează
asupra unei piese când aceasta își îndeplinește rolul său funcțional.
După mărimea suprafeței pe care ele se aplică sarcinile pot fi:
- sarcini concentrate; - sarcini repartizare, uniform sau cu intensitate variabilă.
După modul de acțiune în timp (figura 2.1.) se împart în:
- sarcini statice care se aplică lent și rămân constante (figura 2.1.a): - sarcini dinamice, care se aplică cu viteză relativ mare, ele împărțindu-se în: - sarcini aplicate brusc, prin șoc (figura 2.1.b); - sarcini variabile periodic între o valoare maximă și una minimă (Fmax, Fmin) (figura
2.1.c.).
a) b) c)
Figura 2.1.
2.2. Eforturi interioare
Sub acțiunea forțelor și cuplurilor exterioare ce sunt aplicate unui corp solid, în volumul
acestuia se produc eforturi eforturi interioare, care au de obicei diferite intensități în diverse
puncte a corpului solid (elementului) solicitat. Eforturile interioare se determină prin metoda
secțiunilor, care constă în:
- secționarea imaginară a elementului solicitat în locul unde urmează să fie determinate eforturile interioare;
- reprezentarea pe porțiunile de element obținute prin secționare a forțelor exterioare și a eforturilor interioare aferente;
- aplicarea ecuațiilor de echilibru la sarcinile exterioare și eforturile interioare reprezentate pe câte o porțiune a solidului secționat.
Pentru determinarea eforturilor interioare dintr-un punct M într-o secțiune oarecare A, se
secționează corpul solid cu un plan P care trece prin punctul M împărțindu-l în două părți I și
II (figura 2.2.). Pentru echilibrarea forțelor exterioare din zona I sau II a elementului este
necesar ca în secțiunea A să existe eforturi interioare, repartizate pe secțiunea A.
Unei suprafețe elementare dA îi revine o forță elementară dF de o anumită valoare și
direcție. Prin definiție se numește tensiune, efort unitar sar rezistență, raportul dintre valoarea
forței elementare dF și cea a ariei elementare dA.
10
𝑝 = 𝑑𝐹
𝑑𝐴 [𝑁/𝑚2]
Aceasta poate fi descompusă în două componente (figura 2.2.b):
- o componentă normală σ numită tensiunea normală care poate fi pozitivă sau negativă după cum are efect de întindere sau de compresiune;
- o componentă tangențială, tensiune tangențială τ care are un efort de forfecare în punctul considerat. Legătura dintre acestea tensiuni este:
a) b)
Figura 2.2.
Elementul de suprafață dA poate constitui fața unui element de volum. Sub acțiunea
sarcinilor exterioare se vor dezvolta tensiuni normale și tangențiale pe fiecare suprafață a
elementului de volum (figura 2.3.). Ansamblul acestor tensiuni determină starea de tensiune de
dreptul punctului considerat. Indicii atribuiți tensiunilor normale (dacă laturile elementului sunt
orientate în lungul axelor unui sistem tri-ortogonal) arată axa cu care tensiunea este paralelă. În
cazul tensiunilor tangențiale primul indice se referă la orientarea normalei (τyx este o tensiune
tangențială paralelă cu axa Ox situată pe suprafața care are normala paralelă cu Oy).
Figura 2.3.
Starea de tensiuni în cazul general de solicitare se caracterizează după cum se vede prin
trei tensiuni normale: σx, σy, σz și șase tensiuni tangențiale: τxy, τxz, τyz, τyx, τzx, τzy. Tensiunile
tangențiale, conform principiului dualității tensiunilor tangențiale, sunt egale două câte două
11
τxy = τyz, τyz = τzy, τzx = τxz,. În consecință starea de tensiuni este definită prin tensiunile σx, σy, σz și τxy, τyz, τxz. Concomitent cu starea de tensiuni, în corp apare și o stare de deformații
caracterizate prin deformații specifice longitudinale εx, εy, εz și lunecările specifice γxy = γyz, γyz
= γzy, γzx = γxz.
Stare de tensiune poate fi spațială caz în care apar tensiuni pe toate fețele elementului,
plană, în care apar tensiuni numai pe patru fețe a elementului și mono-axială (figura 2.4.)
definită prin existența unei singure normale, dirijată după una din axe.
Figura 2.4.
Eforturile elementare dF distribuite pe suprafața secțiunii se reduc de obicei în centrul
de greutate G al secțiunii, la un torsor format dintr-o rezultantă R și un cuplu rezultant M.
Componentele acestui torsor se numesc eforturi secționale. Eforturile secționale se dezvoltă
efectiv în secțiunea considerată și mențin echilibrul forțelor existente pe porțiunea I și II a
corpului secționat.
În cazul barelor, interes prezintă eforturile în secțiunile transversale (secțiuni
perpendiculare pe axa longitudinală a barei). În bara din figura 2.5. torsorul format din
rezultante R și cuplul M se poate descompune în componente dirijate în lungul barei și în
componente situate în planul secțiunii transversale.
Figura 2.5.
Componentele forței R se numesc:
- forță axială N, dirijată în lungul barei; - forță tăietoare T, situată în planul transversal.
Componentele cuplului M sunt:
- moment de torsiune Mt;
12
- moment de încovoiere Mi situat în planul secțiunii. Starea de solicitare a unei bare depinde de natura și direcția componentelor eforturilor
secționale. Astfel solicitările barei pot fi:
- solicitări simple, dacă în secțiune se dezvoltă o singură componentă a efortului secțional, dirijată în lungul normalei la secțiune sau situată în planul secțiunii;
- solicitări compuse, dacă efortul secțional are mai multe componente. Există cinci solicitări simple și anume: tracțiune, compresiune, încovoiere, forfecare și
torsiune. În secțiunile pieselor apar solicitate la tracțiune, compresiune sau la încovoiere se
dezvoltă tensiuni normale notate cu σt, σe și σi iar în cele solicitate forfecare și răsucire se
dezvoltă tensiuni tangențiale notate cu τf și τt. Tensiunile normale și tangențiale se măsoară în
[N/m2] sau MPa=106 [N/m2].
2.3. Eforturi în secțiunile transversale ale barelor
În aplicațiile tehnice se întâlnește frecvent cazul particular al barelor solicitate de forțe
coplanare. În acest caz torsorul dintr-o secțiune oarecare (A) are numai trei componente:
- forța axială 𝑁 = ∑ 𝑥 = − ∑ 𝑥; - forța tăietoare 𝑇 = ∑ 𝑦 = − ∑ 𝑦; - moment încovoietor 𝑀𝑖 = ∑ 𝑀𝑧 = − ∑ 𝑀𝑧.
Deoarece forțele exterioare sunt cuprinse în planul ce trece prin axa barei, momentul de
torsiune este nul, forța tăietoare are o singură componentă dirijată după axa Oy, iar momentul
încovoietor are de asemenea tot o singură componentă dirijată după normal la planul forțelor.
Considerând bara din figura 2.6.a), secționată figura 2.6.b) eforturile secționale vor fi:
a) b)
Figura 2.6.
- pentru segmentul segmentul I (din partea stângă):
𝑁 = 𝐹1𝑐𝑜𝑠𝛼1 − 𝐹2𝑐𝑜𝑠𝛼2
𝑇 = −𝐹1𝑠𝑖𝑛𝛼1 + 𝐹2𝑠𝑖𝑛𝛼2
𝑀𝑖 = −𝐹1(𝑎 + 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝛼1 + 𝐹2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼2
- pentru segmentul II (din dreapta secțiunii):
𝑁 = 𝐹3𝑐𝑜𝑠𝛼3 𝑇 = 𝑝𝑑 − 𝐹3𝑠𝑖𝑛𝛼3
13
𝑀𝑖 = −𝑝𝑑 (𝑐 +𝑑
2) + 𝐹3(𝑐 + 𝑑 + 𝑒) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼3
Pe baza relațiilor de mai sus se pot da următoarele reguli pentru determinarea eforturilor
N, T și M dintr-o secțiune a unei bare solicitate în plan:
- forța axială (N) este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe axa barei a forțelor (sarcini și recțiuni), din stânga secțiunii luate cu semn + dacă are sens invers axei Ox,
(spre stânga) sau a forțelor din dreapta secțiunii luate cu semn + dacă au sensul axei Ox
(spre dreapta) sau: forța N este considerată pozitivă (+) când produce o solicitare de
întindere în secțiunea considerată sau negativă (-) când produce o solicitare de
compresiune;
- forța tăietoare (T) este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe normala la axa barei Oy a forțelor din stânga secțiunii luate cu semn + dacă are sensul inversa axei Oy (în sus)
sau a forțelor din dreapta secțiunii luate cu semnul + dacă au sensul axei Oy (în jos).
- momentul încovoietor (Mi) este egal cu suma algebrică a momentelor în raport cu centrul de greutate al secțiunii ale forțelor din stânga secțiunii luate cu + în sens orar, sau ale
forțelor din dreapta secțiunii luate cu semn + în sens anti-orar (figura 2.7.).
-
Figura 2.7.
2.4. Deformații
Corpurile concepute ca solide deformabile supuse acțiunii forțelor exterioare își
modifică forma și dimensiunile. Se consideră un cub cu latura l0 asupra căruia acționează o forță
în lungul axei Ox. Corespunzător cubul se lungește în direcția axei Ox și se scurtează pe direcțiile
Oy și Oz. Cantitatea cu care se mărește latura cubului se numește lungire iar cantitățile cu care
se contractă pe direcțiile Oy și Oz se numesc scurtări (figura 2.8.)
Figura 2.8.
Deformațiile vor fi:
- lx = l1 – l0; - ly = l2 – l0; - lz = l3 – l0.
14
Din câte se poate observa deformația unității de lungime În lungul axei Ox, poartă
numele de alungire (lungire specifică) și se determină cu relația:
𝜀𝑥 = ∆𝑙𝑥𝑙0
Deformația unității de lungime pe celelalte două direcții poartă numele de scurtare
specifică și se determină cu relația:
𝜀𝑦 = ∆𝑙𝑦
𝑙0
𝜀𝑧 = ∆𝑙𝑧𝑙0
Experimental s-a stabilit că în cazul solicitării după o singură direcție între cele trei
deformații există următoarea relație:
𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −𝜀𝑥
Deformația specifică de volum este egală cu suma lungirilor specifice măsurate pe
direcția axei de coordonate:
𝜀𝑣 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = 𝜀𝑥 ∙ (1 − 2𝜐)
unde: 𝜐 se numește coeficient de contracție transversală (coeficientul lui Poisson).
Pentru 𝜐 = 0,3 prin solicitarea de întindere se produce o creștere de volum 𝜀𝑣 = 0,4 ∙ 𝜀𝑥, iar prin compresiune se produce o mișcare a volumului barei.
Deformația barei nu conduce la o modificare de volum dacă 𝜐 = 0,5 (material perfect elastic). Întrucât în cazul solicitării de întindere, volumul barei se poate micșora, este necesar
ca:
𝜀𝑣 = 𝜀𝑥 ∙ (1 − 2𝜐) > 0 sau 𝜐 < 0,5
În cazul general, odată cu modificarea lungimii laturilor, are loc și o modificare a
unghiurilor drepte dintre muchiile cubului. Valorile cu care se modifică unghiurile drepte în
cele trei plane se notează cu γxy, γyz, γyz și poartă denumirea de deformații unghiulare specifice
sau lunecări (figura 2.9.).
Figura 2.9.
Lungirile specifice sunt cauzate de tensiuni normale σ, pe când lunecările specifice sunt
produse de tensiuni tangențiale τ ce lucrează pe fețele cubului. Deformația într-un punct dintr-
15
un corp este caracterizează printr-o deformație liniară și una unghiulară. Experimental s=a
stabilit ca în cazul unei bare solicitate axial, atât timp cât forțele nu depășesc o anumită limită,
tensiunile din bară sunt proporționale cu deformațiile specifice. Această relație este cunoscută
sub denumirea de legea lui Hooke.
σ = E · ε
τ = G · γ
unde: E reprezintă modulul de elasticitate longitudinali și G reprezintă modulul de elasticitate
transversal.
Modulul de elasticitate E și G sunt constante ale materialelor care se determină
experimental și se exprimă în 𝑁/𝑚2.
2.5. Solicitări simple
2.5.1. Întindere și compresiune
O bară este solicitată la întindere sau compresiune, dacă în secțiunile ei transversale se
dezvoltă forțe axiale N. Forța axială poate fi constantă sau variabilă în lungul barei. Valoarea
ei în dreptul unei secțiuni este dată de suma proiecțiilor pe axa longitudinală a tuturor forțelor
la stânga sau la dreapta secțiunii considerate.
Forța axială constituie rezultanta tuturor tensiunilor care se dezvoltă într-o anumită
secțiune transversală. Pentru determinarea tensiunilor se consideră o bară dreaptă de lungime l,
confecționată dintr-un material omogen și izotrop. Secțiunea transversală este constantă în
lungul barei și are aria A.
Figura 2.10.
Fie BC o secțiune transversală oarecare, situată la distanța x de un capăt al barei (figura
2.10.). Prin aplicarea unei forțe axiale N bara se deformează. Secțiunea transversală oarecare se
deplasează dar rămâne plană și perpendiculară pe axa longitudinală și după deformație. Toate
punctele secțiunii se vor deplasa axial cu aceeași cantitate ∆x iar lungimea specifică are aceeași
valoare în dreptul fiecărui punct din secțiune ε =∆x
x= const.
Lungirii specifice constante îi corespund tensiuni normale σ = constant repartizare
uniform pe secțiunea transversală. Pentru determinarea tensiunilor se aplică metoda secționării.
Se izolează porțiunea de bară de lungime x, solicitată de o parte de forța aplicată N și de cealaltă
parte de tensiunile normale existente în secțiunea transversală (figura 2.10.).
16
2.5.1.1. Încercarea materialelor la întindere – compresiune. Curba caracteristică
Pentru rezolvarea problemelor de dimensionare și de verificare la rezistență sau la
rigiditate este necesar să se cunoască proprietățile mecanice ale materialelor utilizate. Modul
de comportare a materialelor sub acțiunea forțelor aplicate poate fi caracterizat cu ajutorul unor
constante fizice numite caracteristici mecanice, care pot fi statice sau dinamice.
Încercarea mecanică de bază prin care se determină cele mai importante caracteristici
mecanice ale materialelor este încercarea la întindere. Cu ajutorul ei se stabilește experimental
relația fizică existentă șa solicitarea de tracțiune între eforturi și deformații.
Epruvetele pentru încercarea la tracțiune se compun dintr-o porțiune centrală de
încercare, de secțiune constantă și două porțiuni marginale de prindere (figura 2.11.). La cele
două margini ale porțiunii centrale se fixează două repere situate la distanța 𝑙0. Această distanță se alege de 5 – 15 ori mai mare decât dimensiunea transversală a epruvetei.
a) b)
Figura 2.11.
Pentru încercarea de compresiune se folosesc epruvete cilindrice a căror înălțime este
de cel mai multe ori mai mare decât dimensiunea transversală. La încercarea de tracțiune mașina
de tracțiune aplică epruvetei o forță axială care crește prin deplasarea continuă a cadrului mobil.
La fiecare moment în timpul încercării se poate citi lungirea produsă ∆l corespunzătoare forței
aplicate (N). Perechile de valori obținute permit astfel calculul tensiunilor normale și lungirilor
specifice corespunzătoare:
σ =N
S respectiv ε=
∆L
𝐿0
Într-o secțiune transversală a epruvetei tensiunea este constantă calculându-se cu relația
anterioară σ =N
S unde S – reprezintă aria secțiunii transversale în timpul încercării. Deoarece
măsurarea secțiunii epruvetei este dificil de realizat pe toată lungimea și pe toată durata
încercării, pensiunea σ se înlocuiește prin raportul convențional R =N
S0 unde 𝑆0 reprezintă
valoarea secțiunii inițiale a epruvetei.
Pe de altă parte, deformația specifică ε nu este constantă pe lungimea epruvetei pe tot
parcursul testului. De aceea mărimea adimensională ε se înlocuiește printr-o mărime
adimensională numită alungire totală A𝑡 definită prin relația:
At = 100Lu−L0
L0= 100
∆L
L0 [%]
17
unde: L0 reprezintă lungimea între repere iar Lu reprezintă lungimea ultimă măsurată între repere la aplicarea unei sarcini, sau după rupere. Dacă lungirea totală At se evaluează după rupere atunci aceasta se numește alungire la rupere.
Prin reprezentarea grafică a perechilor de valori obținute la încercare se poate trasa curba
caracteristică σ = f(ε) a materialului la tracțiune. Curba caracteristică trasată astfel este convențională căci în timpul încercării la
tracțiune, secțiunea tranversală a epruvetei se micșorează devenind mai mică decât cea inițială
S0 utilizată în calcul. Curba caracteristică reală se obține prin raportarea forței de tracțiune la aria S a secțiunii corespunzătoare a fiecărei valori de întindere.
Pentru oțeluri cu conținut redus de carbon, curba caracteristică în general are forma din
figura 2.11. pe care se precizează o serie de puncte care defines următoarele mărimi:
- limita de proporționalitate 𝑅𝑝 (punctul P) căruia îi corespunde tensiunea limită de proporționalitate până la care lungimile sunt proporționale cu tensiunile. Ecuația acestei
porțiuni este descrisă de legea lui Hooke : 𝜎 = 𝐸 · 𝜀. În acest caz modulul de elasticitate este egal cu panta curbei caracteristice: 𝐸 = 𝑡𝑔β
Figura 2.12.
Abaterea (de 10 %) se calculează în funcție de valorile modulului de elasticitate E cu
relația:
∆=E0 − Eu
E0· 100
- limita de elasticitate 𝜎𝑒 (punctul E) care reprezintă valoarea tensiunii până la care materialul se comportă perfect elastic adică după descărcare epruveta revine l lungimea
inițială 𝑙0 . În realitate nici un material nu se comportă perfect elastic, astfel că prezintă deformații
remanente după descărcare completă, indiferent de mărimea sarcinii la care a fost supus. Ca
urmare se definește limita de elasticitate tehnică σr ca valoarea tensiunii, căruia la descărcare îi corespunde o deformație remanentă de 0,01%.
- limita de curgere 𝑅𝑐 (punctul C) corespunzătoare tensiunii 𝜎𝑐 este valoarea la care epruveta continuă să se deformeze fără ca tensiunea să mai crească.
18
După atingerea limitei de curgere, curba caracteristică prezintă o zonă CD aproximativ
orizontală numită palier de curgere. La unele materiale palierul de curgere lipsește, ceea ce face
ca limita de curgere aparentă să nu poată fi stabilită. În asemenea cazuri se definește limita de
curgere remanentă 𝜎𝑟 ca valoare a tensiunii căruia îi corespund, după descărcarea epruvetei, o deformație remanentă de 0,2%. Solicitat peste limita de curgere, materialul prezintă proprietăți
plastice, adică poate fi modelat ușor și adus la forme dorite.
- rezistența la rupere 𝑅𝑟 respectiv tensiunea de rupere 𝜎𝑟 (punctul M) fiind ordonata maximă a unui traseu ascendent, numit zonă de întărire. Ca urmare a micșorării secțiunii
epruvetei, tensiunea scade iar alungirea crește, până când epruveta se rupe (zona MR).
Tensiunea maximă numită și rezistență la rupere se calculează cu relația σr =Nmax
S0,
unde: Nmax reprezintă forța în momentul ruperi iar 𝑆0 este aria secțiunii inițiale a epruvetei. Punctului R de pe curba caracteristică, îi corespunde lungirea la rupere (𝐴𝑟). Dacă se
pun cap la cap cele două bucăți ale epruvetei rupte, atunci se poate măsura lungimea după rupere
𝐿𝑟. Astfel, se poate calcula lungirea specifică de rupere 𝜀𝑟 exprimată de obicei în procente:
δ = εr · 100 =Lr−L0
L0= 100 [%]
În momentul ruperii se constată o micșorare importantă a secțiunii epruvetei în zona de
rupere. Ea se numește gâtuire la rupere și se exprimă în procente în funcție de aria inițială 𝑆0 și cea de rupere 𝑆𝑟:
Z =S0 − r
S0· 100
Diagrama caracteristică descrisă mai sus corespunde unui oțel moale (cu conținut redus
de carbon). În cazul oțelurilor casante (oțeluri aliate sau cu conținut mai mare de carbon)
palierul de curgere lipsește sau are o lungime mică, iar ruperea se produce imediat după
depășirea acesteia. În cazul unui oțel având curba caracteristică din figura 2.13., dacă solicitarea
încetează pe zona de întărire, înainte de rupere în dreptul punctului N se constată că revenirea
materialului la starea nesolicitată se produce după dreapta NN’ paralelă cu dreapta OP care
exprimă legea lui Hooke, lungirea remanentă fiind 𝜀𝑝. La o nouă încărcare la întindere, tensiunea, după curba caracteristică N’NM cu modulul de elasticitate E al materialului,
deformațiile fiind proporționale cu tensiunile până în punctul N.
Figura 2.13.
19
Se realizează astfel o ridicare a limitei de proporționalitate, ca și cum materialul s-ar
întări, în dauna micșorării lungirii specifice de rupere 𝜀𝑟. Acest fenomen se numește ecruisaj. El este utilizat drept procedeu tehnic pentru a obține un material care să prezinte o limită de
proporționalitate cât mai ridicată.
Curba caracteristică oțelului arată că, până la limita de proporționalitate, oțelul satisface
legea lui Hooke, adică el este materialul liniar-elastic. Există materiale care nu respectă legea
lui Hooke (fontă, alamă, beton, fibre textile) curba caracteristică având forma de mai jos (figura
2.14.).
Figura 2.14.
Legătura fizică dintre tensiuni și lungirile specifice se poate exprima cu ajutorul unei
relații de forma: ε =σn
E0 în care n și E0 sunt constante dependente de natura materialului. Prin
crearea altor stări de solicitare (de exemplu printr-o solicitare de torsiune), se poate stabili
relația dintre tensiunile tangențiale τ și lunecările specifice γ. Pentru materialele care satisfac
legea lui Hooke această relație este liniară: τ = G · γ. Odată cu încercarea la tracțiune sau la compresiune simplă, prin măsurarea variației
dimensiunilor transversale ale epruvetei, se poate stabili și valoarea coeficientului de contracție
transversală υ. Deformația solid liniar-elastic depinde de valoarea celor trei constante elastice;
modulele de elasticitate E, G și υ.
Pe baza proprietățile mecanice, materialele se pot clasifica în funcție de diferite criterii,
după cum urmează:
a. După mărimea deformațiilor produse până la rupere se disting: - materiale tenace, care suferă deformații mari până la rupere; - materiale casante (fragile care se deformează foarte puțin până la rupere);
b. În funcție de starea materialelor după îndepărtarea sarcinii există: - materiale elastice, care se deformează elastic și revin la starea inițială după îndepărtarea
sarcinii;
- materiale plastice care prezintă direct deformații permanente. c. În funcție de valoarea constantelor E, G și υ măsurate pe diverse direcții se disting:
- materiale izotrope care au aceleași constante elastice în lungul tuturor direcțiilor; - materiale anizotrope, care prezintă stratificații (fibre, etc.) ceea ce le face să se comporte
diferit după diferite direcții.
Dacă materialul are totuși trei place de simetrie, în ceea ce privește proprietățile sale
elastice, atunci el se numește ortotrop.
2.5.1.2. Rezistența admisibilă. Coeficient de siguranță
Dimensionarea unei piese de mașini trebuie astfel făcută, încât deformația pe care o
capătă în timpul exploatării, sub acțiunea forțelor exterioare, să nu depășească anumite limite,
sau să nu afecteze funcționarea normală a elementelor vecine. De aceea, în proiectare se caută
ca solicitarea maximă din piesă să nu depășească limita de elasticitate a materialului.
20
Din punct de vedere economic este bine ca starea de tensiuni din piesă să fie cât mai
apropiată de limita de elasticitate, deoarece se realizează un consum minim de material. Trebuie
avut însă în vedere că în acest caz orice creștere a sarcinilor exterioare, duce la depășirea limitei
de elasticitate, piesele căpătând deformații mari și siguranța lor în exploatare scăzând
considerabil. De asemenea forțele exterioare nu pot fi determinate suficient de precis,
caracteristicile mecanice reale ale materialelor, diferă uneori de cele determinate în laborator,
iar schemele de calcul folosite în proiectare sunt aproximative datorită ipotezelor
simplificatoare.
De aceea, în calculele de proiectare s-a introdus noțiunea de rezistență admisibilă, care
reprezintă valoarea limită a tensiunilor până la care poate fi solicitat un material, valoare situată
sub limita de elasticitate a materialului.
Rezistența admisibilă se definește astfel:
σa =σ0
C0 pentru materiale tenace;
σa =σr
Cr pentru materiale fragile
unde: C0 și Cr poartă denumirea de coeficienți de siguranță.
Ca urmare, în calculele inginerești se pune totdeauna condiția ca, tensiunile efective
maxime ce rezultă din calcule să fie egale sau inferioare limitei numită tensiune admisibilă
În practică se folosesc două metode:
- metoda tabelară, care are la bază alegerea tensiunilor admisibile din tabele de valori; dezavantajul acestei metode este acela că nu poate asigura un număr suficient de cazuri
pentru situații din practică;
- metoda potenței, bazată pe alegerea tensiunii admisibile în raport cu o stare limită, fiind cea mai simplă. Prin această metodă, la general tensiunile admisibile σa și τa se aleg ca
o tracțiune a unei tensiuni limită și poate fi:
σa =σlim
C; τa =
τlim
C;
unde: σlim și τlim pot fi: limita de rupere, limita de curgere, rezistența la oboseală în cazul
solicitărilor variabile, limita de fluaj, etc.
În adoptarea rezistențelor admisibile sau a coeficienților de siguranță trebuie să se țină
seama de o serie de factori:
- natura materialului; cu cât materialul este mai neomogen, cu atât coeficientul de siguranță trebuie să fie mai mare;
- precizia cu care se evaluează sarcinile care acționează; În multe cazuri, sarcinile exterioare se cunosc numai aproximativ, necesitând valori mai mare pentru coeficienții
de siguranță;
- diferențele între formele geometrice ale pieselor și scheme teoretice de calcul; - precizia cu care au fost determinate proprietățile mecanice ale materialelor folosite de
cele mai multe ori acestea sunt luate din tabele și nu determinate;
- modul de acțiune a sarcinilor în timp; - durata de utilizare a construcției; - măsura în care ipotezele de calcul corespund situației reale; în general există nepotriviri
inevitabile între ipotezele de calcul și situația reală.
Tensiunile limită de la care se pleacă în calcul trebuie să țină seama de felul solicitării,
21
de materialul din care este confecționat, de temperatura la care va lucra piesa, de mediul în care
lucrează, etc.
În cazul solicitărilor statice, organele de mașini se calculează din condiția neadmiterii
deformației plastice sau remanente, coeficientul de siguranță luându-se în raport cu limita de
curgere. Pentru materialele fragile, coeficientul de siguranță se adoptă în funcție de rezistența
la rupere.
2.5.2. Solicitarea de încovoiere
O bară este solicitată la încovoiere dacă în secțiunile ei iau naștere momente de
încovoiere și forțe tăietoare. În cazul în care în secțiunile barei iau naștere numai momente de
încovoietoare, se spune că bara este solicitată la încovoiere simplă.
Se consideră o grindă simplu rezemată (figura 2.15.) acționată la capete de cupluri Mi
egale. Diagrama de momente este constantă iar în secțiunea transversală cu axa y de simetrie,
momentul încovoietor are vectorul moment încovoietor dirijat după axa Oz. Momentele
încovoietoare se dezvoltă în secțiunile transversale ale grinzii prin tensiuni normale σ.
Din grinda considerată se detașează un element de grindă cu lungimea dx, situată la o
distanță oarecare x de un capăt al grinzii.
Figura 2.15.
În figura 2.15. se prezintă elementul de grindă raportat la un sistem de referință Oxyz,
axa Ox fiind orientată în lungul grinzii, iar Oy constituie axa principală centrală de inerție. Prin
solicitarea de încovoiere atât grinda cât și elementul de grindă se deformează. Secțiunile
transversale se rotesc. Unghiul dφ format de două secțiuni situate la distanța dx una de alta se
numește rotire elementară. Dacă se raportează unghiul dφ la distanța dintre secțiuni se obține
rotirea specifică.
θ =dφ
dx
22
Fibrele longitudinale își schimbă lungimea, unele se lungesc, altele se scurtează.
Originea sistemului de referință Oxyz se alege în dreptul fibrei care-și păstrează lungimea prin
deformația de încovoiere. Poziția acestei fibre denumită fibră medie deformată trebuie
determinată.
O fibră oarecare situată la distanța y de planul xOz, se lungește cu cantitatea ∆dx. Pe
baza ipotezei lui Bernoulli la secțiunea plană și perpendiculară pe axa longitudinală a grinzii,
înainte de deformație rămâne plană și perpendiculară pe axa longitudinală și după deformație,
secțiunile transversale fiind plane și în starea deformată a elementului se poate exprima lungirea
fibrei oarecare:
σ = E · ε =E · y
ρ
Relația arată că tensiunea are o variație liniară în secțiune. În dreptul fibrelor care-și
păstrează lungimea y = 0, rezultă că tensiunea normală este egală cu zero. Aceste fibre se află
în planul xOz a grinzii, care se numește plen neutru. Axa Oz, prin care planul neutru
intersectează secțiunea transversală a grinzii poartă denumirea de axă neutră. Ea constituie locul
geometric al tuturor punctelor din secțiunea transversală, în dreptul cărora tensiunea normală
este egală cu zero.
Planul neutru împarte grinda în două părți. Dacă momentul încovoietor are o valoare
pozitivă ca în cazul de față, atunci fibrele situate sub planul neutru sunt solicitate la întindere
(σ>0), iar cele deasupra, la compresiune (σ
23
Wz =π · d3
32· (1 − 𝛽4)
Pentru secțiunea dreptunghiulară, al cărei centru de greutate coincide cu originea O a
sistemului de referință Oayz se obține:
Iz =b · h3
12
Wz =b · h2
6
unde: b reprezintă dimensiunea paralelă cu axa neutră Z-Z, iar h reprezintă dimensiunea
perpendiculară pe această axă.
2.5.2.1. Deformația barelor solicitate la încovoiere
Se consideră o bară dreaptă simplu rezemată șa capete solicitată la încovoiere de forțe
F1 și F2 (figura 2.16.). După aplicarea forțelor axa grinzii devine o curbă ale cărui elemente
caracteristice, într-un punct situat la distanța x față de origine sunt: raza de curbură ρ, săgeata
(deplasarea verticală) f și rotirea φ (unghiul format de normală a barei cu normala la axa
nedeformată a barei cu normala la axa deformată a barei). Axa deformată se numește fibră
medie deformată.
Figura 2.16.
Fibra medie deformată reprezintă în sistemul de axe considerat xof o curbă determinată
de funcția 𝑓 = 𝐻(𝑥). Curbura într-un punct a barei solicitată la încovoiere este dată de relația 1
ρ=
Mi
E·Iz, relație în care EIz reprezintă modulul de rigiditate șa încovoiere al barei. Față de
sistemul de axe considerat, momentul încovoietor este pozitiv iar curba este negativă, încât
relația de mai sus trebuie scrisă sub forma: 1
ρ= −
Mi
E·Iz.
Raza de curbură într-un punct al fibrei medii este dată de relația:
ρ =(1 + f 12) · 3/2
f ′′
Ținând seama că unghiul cu care se rotește secțiunea este mic f ′ = tgφ ≈ φ este se asemenea mic și f ′2 devine neglijabil față de 1; astfel se poate scrie: ρ = 1/f′′, deci:
24
f ′′ = −MiEIz
Relația poartă numele de ecuația diferențială a fibrei medii deformate.
Dacă termenul Mi
EIz nu are aceeași lege de variație pe toată lungimea grinzii, atunci se va
împărți grinda în intervale, pe fiecare interval integrându-se separat ecuația fibrei medii
deformate. Determinarea constantelor de integrare se face prin condiții la limită care pot fi de
rezemare (în reazemul simplu f = 0; de încastrare f = 0 și φ = 0) și de continuitate ( în secțiunea de trecere de la un interval la altul săgețile și rotirile cu aceleași valori).
2.5.3. Solicitări care provoacă tensiuni tangențiale
2.5.3.1. Forfecarea
Forfecarea reprezintă solicitarea produsă de forța tăietoare. În practică solicitarea de
forfecare este însoțită și de alte solicitări în special de încovoiere. Forțele din cuțitele care
solicită bara la forfecare sunt egale cu forța tăietoare care apare în secțiunea de bară determinată
de planul cuțitelor. Cele două cuțite tind să îndepărteze unul față de celălalt (segmentele I și II)
al barei, forfecându-o (figura 2.17.).
Figura 2.17.
În planul secțiunii de forfecare apar tensiuni tangențiale care caută să mențină în contact
cele două segmente. Se poate considera astfel că tensiunea de forfecare:
τ =F
A
unde: A reprezintă aria secțiunii de forfecar.
Problema de verificare reprezintă determinarea tangențială maximă care se compară cu
tensiunea admisibilă sau ce cea de rupere:
𝜏𝑎𝑓 =𝐹
𝐴≦ 𝜏𝑎
Problema forței tăietoare capabile sau a celei de rupere la forfecare:
𝐹𝑐𝑎𝑝 = 𝐴 · 𝜏𝑎
25
2.5.3.2. Răsucirea
Răsucirea reprezintă solicitarea produsă de un moment Mt (moment de torsiune) a cărui
vector este dirijat după axa barei. Când momentul de torsiune este de un cuplu de forțe, forțele
nu întâlnesc axa barei și nici nu sunt paralele cu acestea (figura 2.18.).
Figura 2.18.
Pentru determinarea tensiunii între un punct al secțiunii se consideră o secțiune
transversală de ari A executată într-o bară circulară de diametru d solicitată la răsucire de un
moment Mt (figura 2.18.). În planul secțiunii considerăm un element de arie dA, situat la
distanța r față de centru. Forța elementară ce acționează pe această suprafață va da naștere unui
moment elementar τ · dA · r. Suma momentelor forțelor elementare τ · dA, din secțiune, în raport cu axa barei este egală cu momentul de torsiune din secțiunea M.
Pentru determinarea tensiunii tangențiale la răsucire este necesar să se studieze
deformația barei. Pentru această bară considerată se secționează la distanța x față de capătul
liber cu două plane perpendiculare pe axă, la distanța dx unul față de celălalt (figura 2.19.).
Izolând elementul de bară de grosime dr, prin aplicarea momentului exterior Mt
generatoarea BB1 se va transforma într-o elice rotindu-se cu unghiul γ.
Figura 2.19.
Din figura 2.19. se poate scrie:
BB′ = BB1̅̅ ̅̅ ̅ · γ = dx · tgγ ≈ γ · dx
Secțiunile transversale se rotesc. Se numește unghi de torsiune unghiul cu care se rotește
o secțiune transversală față de alta. Dacă distanța dintre secțiuni este infinit mică dx unghiul de
26
torsiune este elementar dφ, iar dacă distanța este egală cu unitatea, atunci unghiul de torsiune
se numește specific θ.
În cazul general unghiul cu care se rotește o secțiune marginală față de alta situată la
distanța l constituie unghiul de torsiune total φ.
𝜃 =𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝜑 = ∫ 𝑑𝜑 =1
0
∫ 𝜃 · 𝑑𝑥1
0
Conform legii lui Hooke: τ = G · γ. Înlocuind, se obține: G · r ·dφ
dx
Relația arată că tensiunea tangențială τ variază liniar cu raza fiind maximă la exterior
r =d
2 și nula în centrul secțiunii r = 0. Rezultă valoarea momentului de torsiune Mt =
Gdφ
dx∫ r2 · dA
1
A, această expresie reprezintă caracteristica geometrică a secțiunii numită modul
de inerție polar Ip al secțiunii barei astfel că Mt = G ·dφ
dx· Ip.
Tensiunea de răsucire într-un punct din secțiune situată la distanța r față de centru va fi
dată de relație:
τ =MtIp
· r
Figura 2.20.
Expresia: θ =φ
l=
Mt
G·Ip reprezintă expresia unghiului de torsiune specific
(radiani/unitate de lungime). Produsul G · Ip poartă denumirea de modul de rigiditate la torsiune
al barei cu secțiune circulară. Pentru secțiune inelară de diametrul exterior d și diametrul interior
d0 notând cu β raportul dintre d0/d rezultă: 𝑊𝑝 =𝜋𝑑3
𝑙·𝑏· (𝑙 − 𝛽4).
Cu ajutorul relației pentru tensiune se determină trei categorii de probleme:
- problema de dimensionare, când se determină modulul de rezistență necesar:
27
𝑊𝑝𝑛𝑒𝑐. =𝑀𝑡𝜏𝑎
- problema de verificare, când se verifică dacă tensiunea efectivă este mai mică decât cea admisibilă:
𝜏𝑎𝑓 =𝑀𝑡𝑊𝑝
≦ 𝜏𝑎
- problema de calcul al momentului de torsiune capabil:
𝑀𝑡 = 𝜏𝑎 · 𝑊𝑝
Uneori dimensionarea barelor se face pe baza condiției de rigiditate. Dacă se impune
unghiul de torsiune specific sau admisibil θa, dimensionarea se face cu relația:
Ipnec. =Mt
G · Ip≦ θa
2.5.4. Relații de calcul la deformații
Proprietatea pieselor se a se opune deformațiilor sub acțiunea sarcinilor se numește
rigiditate. Inversul rigidității este elasticitatea. Pentru funcționarea corectă a unor piese
deformațiile elastice ale pieselor nu trebuie să depășească anumite limite. În aceste condiții
materialul, forma și dimensiunile pieselor nu se aleg pe baza condițiilor de rezistență, ci din
condițiile de rigiditate.
Astfel în cazul solicitării de tracțiune, limitarea condițiilor de deformații a unei piese
este ca:
δ = ε · l =σ
E· l =
F · l
E · A≦ δa
În această relație s-a notat cu δ = ∆l valoarea lungirii totale iar cu δa valoarea lungirii admisibile (deformație admisibilă). Aria secțiunii transversale va deveni:
Anec =F · l
E · δa
Dacă aria secțiunii transversale variază în trepte de lungime li și de arie Ai atunci
deformația totală a barei sub acțiunea forței F va fi δ = ∑ δi = F · ∑li
Ai·Ei unde expresia
li
Ai·Ei se
numește elasticitatea barei la forțe axiale (sau coeficientul de elasticitate al barei) care
reprezintă lungirea barei sub acțiunea unei forțe axiale egală cu unitatea (se exprimă în [m/N];
în cazul în care bara este solicitată de un cuplu, coeficientul de elasticitate este deformația
unghiulară provocată de un cuplu egal cu unitatea (se măsoară în [rad/N·m]).
Inversul coeficientului de elasticitate ki= E·Ai
li poară numele de rigiditate sau coeficient
de rigiditate, sau constantă elastică a barei exprimându-se atunci când bara este solicitată de
forțe axiale sau cupluri în N/m respectiv N·m/rad. Din punct de vedere fizic, constanta elastică
reprezintă forța elastică care produce o deformație egală cu unitatea sau în cazul răsucirii, cuplul
care produce o deformație unghiulară egală cu unitatea. Cu cât ki este mai mare și respectiv
elasticitatea mai mică cu atât piesa se deformează mai puțin (este mai rigidă).
28
Așa cum s-a arătat mai sus în cazul pieselor elastice solicitate la încovoiere, bara va fi
mai rigidă cu cât modulul de rigiditate la încovoiere EIz care valoare mai mare.
Condițiile de limitare a deformațiilor se referă la săgețile f și rotirile în reazeme, astfel:
fmax ≦ fa și φmax ≦ φa
unde: fa și φa reprezintă respectiv săgeata și rotirea în reazem admisibilă.
În cazul pieselor elastice la torsiune, acestea vor fi cu atât mai rigide cu cât modulul de
rigiditate la răsucire GIp este mai mare. Condiția de limitare a deformațiilor se referă în acest
caz la limitarea unghiului de torsiune specific.
θ ≦ θa
unde: θa este unghiul de torsiune specific admisibil
2.5.5. Solicitarea de contact
Solicitarea de contact apare în urma acțiunii unei forțe aplicate pe o suprafață, care va
provoca tensiuni și deformații. Valoarea acestora depinde de mărimea suprafețelor de contact.
Dacă suprafețele de contact sunt mai mari pe acestea vor apare presiuni de contact care pot fi
considerate tensiuni normale. Deformațiile și tensiunile nu se resimt la o adâncime mare și scad
repede pe măsura îndepărtării de suprafața de contact.
Dacă aceste presiuni ating valori prea mari, suprafețele se distrug prin strivire, presiunile
respective purtând denumirea de presiuni de strivire. Dacă forța se transmite între două piese
confecționate din materiale diferite atunci în calcul trebuie considerată presiunea admisibilă a
materialului mai slab.
Relația de calcul a relației de contact depinde de forma suprafeței de contact (după cum
acestea este plană, cilindrică punctiformă, etc) și legea de distribuție a presiunii pe suprafața de
contact.
Suprafață plană de contact, în acest caz se admite ca fiind o distribuție uniformă a
presiunii de contact, condiția de rezistență la strivire fiind:
p =F
A≦ pa = σa,c
unde: presiunea admisibilă pa se ia egală cu tensiunea admisibilă la compresiune a materialului
mai slab.
Suprafața cilindrică de contact, se consideră o piesă de formă cilindrică de diametru d
care se sprijină pe o suprafață cilindrică de același diametru pe o lungime l (figura 2.21.) atunci
în dreptul unui element de suprafață de contact, presiunea p dă o forță elementară dN,
perpendiculară pe suprafața de contact:
dN = p · l ·d
2·ɑ
29
Figura 2.21.
Aceste forțe elementare echilibrează acțiunea forței aplicate. Deci valoarea presiunii de
contact este dată de raportul dintre forța aplicată și proiecția suprafeței de contact pe planul
longitudinal de simetrie al piesei cilindrice dacă:
- punctul în punctul B se dezvoltă presiune mai mare pmax și se admite o distribuție cosinusoidală a presiunilor:
p = pmax · cosɑ
pmax =𝜋
4· dl · pmax
În ceea ce privește presiunea admisibilă de contact, dacă piesele sunt în repaus, se
recomandă (figura 2.22.a) și figura 2.22.b) ), utilizarea de calcule a unui presiuni cu cca. 50%
mai mare decât tensiunea admisibilă de la compresiune a materialului mai slab: 𝑝𝑎 ≈ 1,5𝜎𝑎𝑐.
a) b)
30
c) d)
Figura 2.22.
În cazul existenței unei mișcări relative între piesele 1 și 2, presiunea admisibilă se
adoptă cu valori mult mai mici decât tensiunile admisibile la compresiune statică, deoarece forța
de frecare creează efecte suplimentare care nu au fost luate în considerare.
Dacă suprafețele de contact sunt mici ca în cazul cuplelor superioare (rulmenți cu bile
sau role, roți dințate, etc.)(figura 2.22.c)) forțele de compresiune produc presiuni de contact
foarte mari, dând naștere pe aceste suprafețe și în imediata lor vecinătatea la o stare de tensiuni
spațială.
Tensiunile de contact σH au o distribuție neuniformă pe suprafața de contact și prezintă
un maxim pe direcția forței de apăsare, dacă piesele în contact se află în repaus sau se
rostogolesc fără alunecare. Dacă suprafețele au o mișcare relativă între ele (rostogolire cu
alunecare) în prezența unei pelicule de lubrifiant. Solicitarea de contact are un caracter variabil
și se produce în prezența forțelor de frecare și a tensiunilor tangențiale. Astfel distrugerea
suprafețelor în contact va fi cauzată de o serie de factori cum ar fi: încălzirea, uzura abrazivă,
oboseală superficială poate fi apreciată cantitativ din condiții de rezistență.
Oboseala stratului superficial produsă în prezența lubrifiantului, cunoscută și sub
numele de pitting este principala cauză de distrugere a cuplelor superioare. Ea se manifestă prin
apariția în stratul superficial a unor micro-fisuri, în care, pătrunde uleiul de ungere. În urma
mișcării celor două suprafețe, uleiul este împiedicat să iasă din micro-fisuri și datorită
solicitărilor de contact, în ulei vor apare presiuni hidrodinamice foarte mari care duc la excavări
de material, producând o serie de gropițe (ciupituri) pe suprafața în contact.
Teoria lui Hertz stabilește relațiile de calcul pentru tensiunea de contact. Verificarea
tensiunii de contact se face cu relația: σH ≦ σaH, unde: σaH reprezintă tensiunea admisibilă de contact.
Determinarea tensiunilor de contact se face pe baza următoarelor ipoteze:
- corpurile sunt fine, omogene, izotrope, iar deformațiile în zona de contact sunt elastice; - sarcina este constantă și normală pe suprafața de contact; - contactul între suprafețe este direct, neexistând între ele peliculă de lubrifiant; -
31
Figura 2.23.
În realitate, suprafețele în contact au mișcări relative, suprafețele sunt unse, apar forțe
de frecare. Chiar și în aceste condiții, relațiile lui hertz au dus la rezultate satisfăcătoare. Dacă
se consideră două suprafețe cilindrice (figura 2.23.) cu axe paralele de raze ρ1 și ρ2 confecționate
din materiale cu module de elasticitate E1 și E2.Contactul dintre cei doi cilindri se face prin
deformarea lor după o suprafață dreptunghiulară.
2.5.6. Solicitări variabile
Experiența a arătat că, piesele supuse unor solicitări variabile și repetate se distrug după
un anumit timp de funcționare, deși tensiunea din piesă este sub limita de rupere sau chiar sub
rezistența admisibilă de la solicitarea statică. Acest fenomen este cunoscut sub denumirea de
oboseala materialelor. Oboseala se manifestă la arbori și osii, șine de cale ferată, biele, dinții
roților dințate, etc.
Organele de mașini la care apare fenomenul de oboseală trebuie dimensionate astfel
încât să nu se distrugă, indiferent de timpul de funcționare. Atunci când se impune o durabilitate
limitată, dimensionarea trebuie făcută încât organul de mașină să prezinte garanție pentru durata
impusă de funcționare.
Solicitările variabile pot avea variații semnificative în timp, care pot fi descrise cantitativ
printr-o funcție matematică explicită, periodică sau neperiodică, astfel încât în orice moment al
istoriei solicitării să poată fi specificată univoc intensitatea acesteia. Solicitările variabile care
prezintă în mod esențial această caracteristică se numesc solicitări variabile deterministe.
Cazul cel mai general este acela în care variația tensiunilor este aleatorie adică nu poate
fi stabilită anticipat prin relații deterministe. Solicitările aleatorii prezente în diverse domenii
ale tehnicii se întâlnesc de obicei la vehicule, fie la avioane, automobile sau nave.
Dacă pe toată durata de aplicare a solicitării variabile, tensiunile variază între aceste
valori (σmax și σmin), atunci se zice că ciclurile sunt staționare. În majoritatea cazurilor în dreptul
unui punct dintr-un organ de mașină, în cazul ciclurilor staționare, tensiunile au o variație
periodică. Această variație poate fi asimilată cu o sinusoidă având ecuația:
𝜎 = 𝜎𝑚 ≠ 𝜎𝑣 · 𝑠𝑖𝑛𝜔 · 𝑡
unde: ω constituie pulsația variației periodice.
32
Totalitatea valorilor pe care le ia tensiunea în timpul unei perioade T a solicitării
periodice, formează un ciclu de tensiune. Elementele caracteristice ale ciclului de tensiune sunt
prezentate în figura 2.24.:
- tensiunea maximă: 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚 + 𝜎𝑣 - tensiunea minimă: 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑚 − 𝜎𝑣
- tensiunea medie: 𝜎𝑚 =1
2(𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛)
- amplitudinea tensiunilor: 𝜎𝑚 =1
2(𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛)
- coeficientul de asimetrie: 𝑅 = 𝜎𝑚𝑖𝑛/𝜎𝑚𝑎𝑥
Figura 2.24.
Mărimea coeficientului de asimetrie definește natura unui ciclu de tensiuni. Ciclurile cu
același coeficient de asimetrie se numesc cicluri asemenea. Se disting următoarele cicluri de
solicitare în funcție de valoarea coeficientului de asimetrie (figura 2.25.).
Figura 2.25.
- solicitare statică, dacă tensiunea își menține valoarea constantă:
σmin = σmax = σm;
33
- solicitare oscilantă, dacă când tensiunea în timpul solicitării își păstrează semnul:
σmin/σmax > 0; - solicitare pulsantă, dacă una dintre tensiunile limită este egală cu zero:
σmin = 0; σm = σv =1
2;
- solicitare alternantă, dacă tensiunea își schimbă semnul în timpul solicitării:
σmin/σmax < 0 - solicitare alternant simetrică, dacă tensiunile limită au aceeași valoare, dar sensul
contrar:
σmin = − σmax; σm=0; σv = σmax
Solicitarea statică, oscilantă și pulsantă pot fi pozitive sau negative, după cum tensiunea
medie (σm) este de întindere sau compresiune. Stările de solicitare variabilă cu tensiuni
tangențiale sunt caracterizate prin aceleași elemente ca și stările cu tensiuni normale.
Din relațiile indicate mai sus rezultă că orice ciclu de tensiune poate fi considerat
rezultatul suprapunerii unui ciclu simetric de amplitudine σv, peste o tensiune statică, care este
tensiune medie σm.
2.5.6.1. Curbe de oboseală
Pentru determinarea rezistenței la oboseală a unui material se fac încercări pe mașini
construite în acest scop trasându-se curba de durabilitate (curba Wöhler) care reprezintă variația
tensiunii în funcție de numărul ciclurilor de solicitare N. În general încercările la oboseală
urmăresc două feluri de mărimi:
- valoarea tensiunii maxime a ciclului, la care epruveta nu se mai rupe după un număr dar de cicluri (numită bază la încovoiere), mărimea căreia i s-a dar denumirea de rezistență
la oboseală sau limită de oboseală;
- numărul de cicluri la care epruveta supusă unor solicitări superioare rezistenței la oboseală se rupe. În primul caz materialul se studiază în zona durabilității nelimitate, în
al doilea caz se studiază durabilitatea limitată.
În urma încercărilor se determină perechile de valori σ, N la care epruvetele se rup
(figura 2.26.). Micșorând continuu tensiunea din epruvetă nu se mai rupe chiar la un număr
foarte mare de cicluri curba Wöhler tinzând către o asimptotă orizontală. Această valoare a
tensiunii σmax măsoară rezistența la oboseală a materialului la solicitarea la care a fost supus.
Practic, încercarea epruvetelor, care nu se rup este întreruptă pentru oțel la număr de cicli N0 =NB = 10
7 care se mai numește durabilitate la oboseală sau bază pentru determinarea rezistenței
la oboseală. Pentru aliaje neferoase numărul de cicli de bază este 108.
Figura 2.26.
34
În vederea liniarizării curbei Wöhler se folosește reprezentarea acesteia în coordonate
semilogaritmice (σ, log, N). Spre deosebire de caracteristicile mecanice de rezistență la
solicitările statice, orice material are o infinitate de rezistențe la oboseală, după valoarea
coeficientului de asimetrie și după felul solicitării. Ca urmare , simbolurile σ și τ pentru
rezistența la oboseală vor fi însoțite în general de indicele R (gradul de asimetrie) având o
anumită valoare numerică, în particular -1 pentru solicitările alternant simetrice sau 0 pentru
ciclurile pulsatorii.
Deoarece încercarea la oboseală necesită un consum mare de timp și un număr mare de
epruvete, iar valoarea rezistenței la oboseală depinde de material, de natura solicitării variabile
și de coeficientul de asimetrie R, literatura tehnică nu prezintă rezistența la oboseală pentru
toate materialele și solicitările. De aceea, pentru calculul rezistenței la oboseală se pot folosi
unele relații empirice si anume:
- pentru oțel: 𝜎−1 = (0,4 − 0,5)𝜎𝑟; - pentru materiale neferoase: 𝜎−1 = (0,25 − 0,5)𝜎𝑟;
2.5.6.1.1. Rezistența la durabilitate limitată
Tensiunea maximă a ciclului care poate fi suportată la o durabilitate de N cicluri se
numește rezistența la durabilitate limitată (σN, τN). Aceasta se exprimă cu ajutorul curbei
Wöhler exprimată prin relația: N · σNm = constant.
unde: N și σN sunt coordonatele unui punct curent al curbei de oboseală. Pentru oțeluri
coeficientul m = 6 − 9, unde valorile minime sunt valabile pentru oțeluri cu proprietăți plastice ridicate (normalizate și îmbunătățite) iar valorile maxime se aplică oțelurilor călite:
σNm · N = σN
m · NB de unde: σN = σR· √NBm /N sau
σN = C · σR de unde: C = √NBm /N
Pentru N > NB, 𝜎 = 0. Calculul de rezistență la oboseală făcut în zona 0 < N < NB (în zona durabilității limitate a curbei Wöhler), se numește calcul la durabilitate. Pentru piesele din
oțel calculul la durabilitate. Pentru piesele din oțel calculul la durabilitate se face în domeniul
N = 104 − 2 · 106 cicluri de solicitare.
2.5.6.1.2. Diagramele rezistențelor la oboseală
Variația rezistenței la oboseală în funcție de ciclul de solicitare se reprezintă grafic prin
diagramele rezistențelor la oboseală numite și diagramelor ciclurilor limită. Cea mai largă
utilizarea o au diagramele rezistențelor la oboseală în coordonate σv și σm cunoscute sub denumirea de diagrame tip Haigh (figura 2.27.). în cazul ciclului limită alternant simetric σm =0 iar σv = σmax = σ−1. Pentru ciclul limită static σv = 0 și σm = σmax = Fm(σr). În diagrama Haigh ciclurile limită alternant simetric și static sunt reprezentate prin punctele A și B. Ciclul
pulsator σv = σm = σ0/2 = σmax/2 este reprezentat de punctul C situat pe bisectoarea axelor de coordonate. Curba ABC reprezintă curba ciclurilor limită. Punctul A corespunde ciclului
limită pulsator. Între punctele C și B sunt cuprinse ciclurile limită oscilante, punctul B
corespunzând ciclului limită static.
Rezistența la oboseală corespunzătoare unui ciclu limită reprezentat în diagramă de
punctul L este:
σR = σmax·L = σmL + σVL = OM + ML
Locul geometric al ciclurilor cu același coeficient de asimetrie (R=constant), numite
cicluri asemenea, este dreapta care trece prin originea sistemului de coordonate (OL).
35
Coeficientul de asimetrie are valoarea: R =σminL
σmaxL=
σmL−σVL
σmL+σVL=
OM− ML
OM+ ML. Dacă se cunoaște
coeficientul de asimetrie punctul L se determină intersectând curba AB cu o dreaptă dusă din
origine sub unghiul ɑ: tgɑ =σVL
σmL=
σmax−σmin
σmax+σmin=
1−σminσmax
1+σminσmax
=1−R
1+R unde se poate obține ecuația
dreptei respective (figura 2.27.):
Figura 2.27.
de unde se poate obține ecuația: 𝜎𝑉𝐿 =1−𝑅
1+𝑅· 𝜎𝑚. Ținând cont că σR = σmL + σVL rezultă:
𝜎𝑚𝐿 =1+𝑅
2· 𝜎𝑅 și 𝜎𝑉𝐿 =
1−𝑅
2· 𝜎𝑅,
unde: 𝜎𝑅 și R rezultă de pe diagrama Wöhler.
Pentru materialele fără limită de curgere pronunțată rezistența la solicitarea statică este
rezistența la rupere 𝜎𝑅. În cazul materialelor tenace, cu palier de curgere, domeniul tensiunilor admisibile se limitează până la tensiunea de curgere, pe baza condiției σmax = σm + σV = σC, ceea ce conduce la o dreaptă înclinată cu 135o față de axa absciselor (figura 2.28.).
Figura 2.28.
În reprezentare σV și σm din figura 2.28., locul geometric al ciclurilor cu aceeași tensiune
medie (σm=constant), constituie o dreaptă verticală pe când locul geometric al ciclurilor cu
36
aceeași amplitudine (σV=constant) o dreaptă orizontală. Ciclurile cu aceeași tensiune minimă
(σmin= σm – σV = constant) se află pe o dreaptă paralelă cu prima bisectoare a sistemului de
referință, deci înclinată cu 45o iar ciclurile cu aceeași tensiune maximă (σmax= σm + σV =
constant) pe o dreaptă paralelă cu cea a două bisectoare înclinată cu 135o.
Trasarea unor diagrame de acest tip este dificilă deoarece necesită un număr foarte mare
de determinări experimentale. Pentru acest motiv se recurge la diagrame schematizate ce pot fi
trasate dacă sunt cunoscute (determinate) două sau trei din rezistențele la oboseală (σ-1, σc, σr).
Astfel, diagrama Haigh se poate reprezenta schematic printr-o linie dreaptă AB(AB’)
purtând denumirea de schematizare de tip Goodman sau Soderberg (figura 2.29.) după cum
materialele sunt fragile (σr) sau tenace (σc), (figura 2.29.a)) de ecuația: 𝜎𝑚𝐿
𝜎𝑟(𝜎0)+
𝜎𝑉𝐿
𝜎𝑟−1= 1
a) b)
c)
Figura 2.29.
Pentru cazul materialelor tenace se folosesc diagrame schematizate prin linii drepte.
Astfel diagrama din figura 2.29.b) este schematizată prin două segmente de dreaptă AD și DB’,
punctul D cu o dreaptă dusă prin B’ sun un unghi de 45ofață de axa Oσm.
Orice punct de pe dreapta B’D reprezintă un ciclu limită având σmax= σm + σV = σC.
Punctele de pe dreapta AD reprezintă ciclurile limită a căror rezistență la oboseală este cuprinsă
între σ-1 – σC. Comparativ cu schematizarea Goodman, zona hașurată prezintă câștigul de
capacitate portantă pentru piesă. Diagrama din figura 2.29.c) reprezintă o schematizare tip
Serensen la care punctul E pune în evidență și rezistența la oboseală pentru ciclul pulsator.
37
2.5.6.1.3. Factori care influențează rezistența la oboseală
Rezistența la oboseală este influența de un complex de factori care pot fi împărțiți în:
factori tehnologice, factori constructive și factori de exploatare.
- factori tehnologici – materialul și tehnologia de fabricație. Rezistența la oboseală diferă de la un material la altul. O structură uniformă a materialului granulația fină, realizarea
unui fibraj longitudinal prin laminare și forjare, tratamente termice, tratamente termice,
tratamente termochimice sau tratamente mecanice superficiale măresc rezistența la
oboseală. O influența hotărâtoare în creșterea rezistenței la oboseală o are ridicarea
purității oțelului.
Influența stării suprafeței piesei și prelucrarea ei este datorată următoarelor aspecte: pe
suprafața piesei se produc tensiuni maxime în cazul solicitărilor de încovoiere și răsucire, pe
suprafață apar zgârieturi datorită prelucrările, care constituie amorse de fisuri, prin prelucrare
mecanică, grăunții cristalini sunt în parte distruși, constituind puncte slabe, în apropierea
suprafeței se produce tensiuni interne care pot avea efect favorabil sau defavorabil, la suprafața
piesei se manifestă acțiunea corozivă a mediului.
Calitatea suprafeței este pusă în evidență în cazul rezistenței la oboseală prin
intermediul coeficientului de calitate a suprafețelor: 𝛾 =𝜎𝑅,𝑝
𝜎𝑅 în particular pentru ciclul
alternant simetric: 𝛾 =𝜎−1𝑝
𝜎−1
unde: σR,p reprezintă rezistența la oboseală a unei epruvete cu o suprafață oarecare;
σR reprezintă rezistența la oboseală a epruvetei cu suprafața șlefuită.
a. factori constructivi cercetări teoretice și experimentale au arătat că în locurile de variație bruscă a secțiunilor transversale (în dreptul găurilor, gâtuirilor, canale de pană,
filete, etc.) și în zona contactelor dintre corpurile solide se produc concentrări de
tensiune. Tensiunile au valori atât mai mari cu cât schimbarea de secțiune este mai
bruscă iar raza de racordare este mai mică. Astfel pentru diverși concentratori, tensiunile
cresc de la valoarea nominală calculată cu formule uzuale (σn) la o valoare maximă σM (figura 2.30.).
Figura 2.30.
Concentrarea tensiunilor este pusă în evidență prin coeficientul de concentrare al
tensiunilor, definit ca raport între rezistența la oboseală a epruvetei netede și rezistența la
oboseală a piesei cu concentrator:
𝐾𝜎 =𝜎𝑅
𝜎𝑅𝑥; 𝐾𝜏 =
𝜏𝑅
𝜏𝑅𝑥; 𝐾𝜎 =
𝜎−1
𝜎−1𝐾; 𝐾 =
𝜎−1
𝜎−1𝐾;
38
De obicei acest coeficient este determinat pentru solicitări alternant simetrice. La
ciclurile asimetrice, coeficientul se va aplica numai părții variabile a ciclului. Cercetările au
arătat că acest coeficient depinde de tipul concentratorului și de deprinde de material. În lipsa
datelor experimentale coeficientul teoretic de concentrare ɑk de la solicitări statice. Coeficientul
de concentrare în cazul solicitărilor variabile are o valoare mai mică decât în cazul solicitărilor
statice:
Kσ = 1 + ηK(ɑK-1)
unde: ηk reprezintă coeficientul de sensibilitate la crestături
Pentru oțeluri de mare rezistență acest coeficient are valoare apropiată de unitate.
Practica a arătat că pentru piese similare din punct de vedere geometric, cu aceeași stare a
suprafeței și confecționate din același material, rezistența la oboseală se definește ca fiind ca
fiind factorul dimensional ε ca raport dintre rezistența la oboseală σRd a unei piese sau epruvete
de diametru oarecare d și rezistența la oboseală σR a unei epruvete cu diametrul d0 standard 𝜀 =𝜎𝑅𝑑
𝜎𝑅, de obicei: 𝜀 =
𝜎−1𝑑
𝜎−1.
Din cele arătate mai sus se poate observa că factorul concentrării tensiunilor este
supraunitar, ceilalți factori (ε, γ) fiind subunitari.
b. factori de exploatare: - rezistența la oboseală are valoarea minimă în cazul ciclurilor alternant simetrice. La
solicitarea de încovoiere, rezistența la oboseală are valoare mai mare decât în cazul
solicitărilor axiale, cea mai mică rezistență la oboseală obținându-se la solicitările de
răsucire;
- suprasolicitările sunt favorabile, adică duc la creșterea rezistenței la oboseală atunci când depășesc limita de oboseală li au durată scurtă de aplicare. Pe durată lungă, efectul
suprasolicitării este defavorabil;
- temperatura, creșterea temperaturii conduce la scăderea rezistenței la oboseală; - frecvența solicitării, până la 1000Hz, la încercările în aer, rezistența la oboseală este
practic independentă de frecvența solicitării, prezentând însă creșteri în domeniul
frecvențelor foarte ridicate;
- coroziunea chimică, rezistența la oboseală se micșorează considerabil dacă piesele lucrează în mediu coroziv.
Din cele arătate mai sus, rezultă că există mijloace pentru creșterea rezistenței la
oboseală a organelor de mașini. Acestea pot fi împărțite în mijloace constructive, tehnologice
și de exploatare. Ca mijloace constructive pot fi enumerate: prelucrarea cu raze de racordare
mari a trecerilor de la o secțiune la alta, existența canalelor de descărcare în zona de trecere de
la butuc la arbore presat, etc. ținând cont că amorsele de fisuri pornesc de la suprafața piesei,
ca mijloace tehnologice se recomandă: rularea cu role, ecruisarea cu jet de alice, aplicarea unor
tratamente termice sau termochimice, etc.
Mijloacele de exploatare constau în: evitarea loviturilor și zgârieturilor care pot deveni
amorse de fisuri, protecția contra coroziunii, preîntâmpinarea supraîncărcărilor, montarea
îngrijită, ungerea pieselor în frecare, etc.
2.5.6.1.4. Calculul de rezistență la oboseală Calculul la oboseală este un calcul de verificare, deoarece rezistența la oboseală depinde
de o serie de factori care implică cunoașterea formei și a dimensiunilor piesei, a tehnologiei de
fabricație. Verificarea la solicitarea variabilă constă în calculul coeficientului de siguranță al
solicitării produse în secțiunile periculoase ale piesei. Calculați, coeficienții de siguranță trebuie
comparați cu valorile din practică. Cu cât elementele de calcul sunt mai certe se pot folosi valori
mici ale coeficientului de siguranță (de ordinul c = 1,25 – 1,3). Cu cât incertitudinea asupra
39
calității materialului și supra stării de solicitare este mai mare, coeficientul de siguranță trebuie
să fie mai mare, putându-se adopta ca limită superioară, c = 3.
Se definește drept coeficient de siguranță la o solicitare variabilă raportul dintre
rezistența la oboseală a piesei și tensiunea maximă produsă de piesă:
C =σR piesă
σmax, respectiv C =
τR piesă
τmax
Rezistența la oboseală la oboseală a piesei se poate exprima în funcție de cea a epruvetei
prin intermediul coeficientului de concentrare Kσ, factorul dimensional ε și coeficientul de
calitate a suprafeței γ:
σR piesă =ε·γ
Kσ· σR; τR piesă =
ε·γ
Kτ· τR;
Astfel coeficientul de siguranță al solicitării variabile devine:
C =ε·γ
Kσ·
σR
σmax; respectiv C =
ε·γ
Kτ·
τR
τmax
unde: σR și τR reprezintă rezistența la oboseală determinată pe epruvete pentru ciclul cu gradul
de asimetrie R.
În cazul ciclurilor asimetrice, în afară de componenta variabilă σV, există și o
componentă statică σm, ceea ce face posibil cedări ale pieselor, caracteristicile solicitărilor
statice. Ca urmare după caz, la solicitările variabile se vor calcula și coeficienți de siguranță
față de limita de curgere sau față de rezistența la rupere:
C0 =σC
σmax; respectiv C0 =
σr
σmax
În cazul particular al solicitărilor prin cicluri simetrice, când solicitarea variabilă este
caracterizată de un singur parametru σV = σmax = |σmin| coeficientul de siguranță la oboseală este:
C =σR piesă
σv; respectiv C =
τR piesă
τv
În cazul ciclurilor asimetrice, expresia coeficientului de siguranță depinde de două
elemente și anume:
- modul de schematizare a diagramelor rezistențelor la oboseală; - criteriul de alegere a rezistenței la oboseală utilizată în calcule.
Calculul coeficientului de siguranță este o raportare a solicitării reprezentate prin
punctul M la o solicitare limită corespunzătoare unui punct L de pe curba ciclurilor limită.
Expresia coeficientului de siguranță depinde de poziția punctului L, adică rezistența la oboseală
aleasă pentru calcul (figura 2.31.).
40
Figura 2.31.
Pentru determinarea rezistenței la oboseală este recomandabil să se stabilească dacă este posibil,
modul cum ar putea crește solicitarea variabilă dată. Prin reprezentarea legii de creștere a
solicitării variabile se intersectează curba ciclurilor limită
