4/28/2015

1

CORELAII SI REGRESII

LEGTURA NTRE MAI MULTE VARIABILE

dou sau mai multe variabile cantitative

dou variabile de ordine

dou variabile calitative

o variabil cantitativ cu o variabil

calitativ

2

Tipuri de relaii

4/28/2015

2

Variabile cantitative

Varsta X: X1, X2,..., Xn

TAS Y: Y1, Y2,..., Yn.

1. S se stabileasc dac exist o legtur ntre variabilele X i Y (cantitative continue) i s se determine o modalitate de a msura intensitatea acestei legturi.

Coeficientul de corelaie

2. S se stabileasc dac Y depinde de X i dac da, n ce form se realizeaz aceast dependen.

Funcia de regresie

3

Statistici descriptive in dou dimensiuni. Diagrama de dispersie

4

4/28/2015

3

Statistici descriptive in dou dimensiuni. Diagrama de dispersie

X

Y

*

*

* *

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

* *

*

*

* *

*

*

*

5

Statistici descriptive in dou dimensiuni. Diagrama de dispersie

X

Y

*

*

* *

*

*

*

*

*

*

*

*

III IV

*

*

*

*

II I

* *

*

*

* *

*

*

*

6

4/28/2015

4

Statistici descriptive in dou dimensiuni. Diagrama de dispersie

X

Y

*

*

*

III IV

*

II I

**

* *

*

**

*

*

*

**

*

*

*

*

*

*

*

**

*

7

Statistici descriptive in dou dimensiuni. Diagrama de dispersie

X

Y

*

**

*

*

*

*

*

*

*

III IV

*

II I

**

*

**

*

*

*

*

*

*

**

*

*

*

*

**

*

*

8

4/28/2015

5

Descrierea "intensitatii" relaiei dintre variabilele X i Y:

(Xi,Yi) -n cadranele I sau III: 0

(Xi,Yi) -n cadranele II sau IV: 0

9

))((1

YYXXSPE i

n

i

i

))(( YYXX ii

))(( YYXX ii

SPE va fi cu att mai mare n valoare

absolut cu ct norul de puncte este mai apropiat de o alur general cresctoare (SPE > 0 ) sau descresctoare (SPE < 0).

Dezavantaje: depinde de numrul de puncte din seria statistic i de unitile de msur ale variabilelor

Indici de corelaie. Suma produselor ecart

Indici de corelaie. Covariana

10

Avantaje: mrime independent fa de volumul seriei statistice.

))((1

),(1

YYXXn

YXCOV i

n

i

i

4/28/2015

6

Indici de corelaie. Coeficientul de corelaie

11

Pentru a obine un indicator independent i de unitile de msur ale celor dou variabile se utilizeaz coeficientul de corelaie sau coeficientul Bravais-Pearson:

SySx

YXCOVr

),(

SX i SY reprezint abaterile standard pentru seriile X i respectiv Y:

n

XX

s

n

i

i

1

2

2

)(2S s

r [-1, 1]

msoar intensitatea relaiei dintre variabilele X i Y

Dac r=1 punctele sunt situate pe o dreapt de pant pozitiv (cresctoare).

Dac 0 < r < 1, norul de puncte poate fi nlocuit (ajustat) printr-o dreapt de pant pozitiv .

Dac -1 < r < 0 atunci norul de puncte poate fi aproximat cu o dreapt de pant negativ.

Dac r=-1 atunci toate punctele sunt situate pe o dreapt de pant negativ.

12

4/28/2015

7

13

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6

r=0 r=1

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6

r=-1

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6

r>0 r0.75 sau < -0.75 O foarte bun asociere sau

corelaie

4/28/2015

8

r >0

O cretere a lui X determin o cretere a lui Y (direct proporionale).

r < 0

O cretere a lui X determin o diminuare a lui Y (invers proporionale)

15

Coeficientul de corelaie-interpretare Alura norului de puncte

Indici de corelaie. Coeficientul de determinare

d = r2 Reprezint partea din variaia total a lui Y explicat prin relaia

liniar existent ntre X i Y.

Cazuri particulare:

d=1: Dac toate punctele se afl pe o dreapt care nu e paralel cu axa OX, orice variaie a lui Y este exprimat prin relaia liniar.

d=0: X i Y sunt independente, adic ntre cele dou variabile nu exist o relaie liniar

Dac d este exprimat n procente: reprezint procentul n care variaia lui Y este dat prin relaia liniar ntre cele dou variabile.

16

4/28/2015

9

Dou variabile ordinale (sau o variabil ordinal i una cantitativ) Coeficientul de corelaie al lui Spearman

Se procedeaz astfel:

i. Se nlocuiete seria bivariat (x1,,xn;y1,,yn) cu seria rangurilor (Rx1,Rxn;Ry1,,Ryn), valorilor xi i yi dup ordonarea lor n ordine cresctoare (pentru valorile egale se ia media aritmetica a rangurilor).

ii. Pentru determinarea coeficientului rs al lui Spearman se calculeaza coeficientul de corelatie (Pearson) pentru seria rangurilor.

17

Coeficientul de corelaie al lui Spearman

Coeficientul rs se mai poate calcula folosind formula:

18

ii yxi

n

i

i

s RRdnn

d

r

,

)1(

6

1 1

2

4/28/2015

10

Drepte de regresie pentru variabile

cantitative continue

Dreapta de regresie Y(X):

y = a + b x

Dreapta de regresie X(Y):

x = c +dy

Dreapta de regresie a celor mai mici dreptunghiuri

y=e+fx.

19

Statistici descriptive in dou dimensiuni. Drepte de regresie

Dreapta de regresie Y(X)

min ( ),a b R

i

i

n

ia bX Y

1

2

Valorile lui a i b pentru care este atins minimul sumei sunt date prin formulele:

bCOV X Y

SX

( , ).

a Y b X

20

4/28/2015

11

Drepte de regresie

Dreapta de regresie X(Y)

2

1

)(min,

i

n

i

iRdc

XYdc

dCOV X Y

SY

( , )

c Y d X

21

Utilizarea funciilor de regresie

Extrapolare i interpolare

Cnd se determin valoarea funciei (adic a lui Y), pentru un X cuprins intervalul [Xmin, Xmax], atunci se

efectueaz o operaie de interpolare, iar cnd X se afl

n afara intervalului se spune c este vorba de o

extrapolare.

Prezicerea lui Y pentru un X dat

Simulari

22

4/28/2015

12

Regresii multidimensionale

Fiind date variabilele:Xi: Xi1,...,Xin , i=1,2,...,m

Y: Y1,..., Yn

se caut o relaie de forma:

Y = a + b1X1+...+bmXm,

unde coeficienii a si bi (i=1,...,m) se determin astfel

nct s minimizeze expresia:

( ( ... ))Y a b X b Xii

n

i m mi

1

1 1

2

.

23

Coeficientul de corelaie dintre greutate i vrst este 0,8. Care dintre urmtoarele afirmaii sunt adevrate:

ntre greutate i vrst exist o relaie de direct proporionalitate

ntre greutate i vrst exist o relaie de invers proporionallitate

ntre greutate i vrst exist o corelaie negativa

ntre greutate i vrst exist o corelaie pozitiv

ntre greutate i vrst exist o corelaie foarte bun

ntre greutate i vrst exist o corelaie slab

Nu am destule date / Eroare de studiu

24

4/28/2015

13

Coeficientul de determinare dintre vrst i IMC este 0,49. Care dintre urmtoarele afirmaii sunt adevrate:

Corelaia dintre vrst i IMC este suficient

Variabilele vrst i IMC sunt direct proporionale

Variabilele vrst i IMC sunt invers proporionale

Corelaia dintre vrst i IMC este bun

Nu am destule date / Eroare de studiu

25

Coeficientul de corelaie dintre greutate (kg) i temperatura de afara (grade Celsius) este 0,8. Care dintre urmtoarele afirmaii sunt adevrate:

ntre greutate i vrst exist o relaie de direct proporionalitate

ntre greutate i vrst exist o relaie de invers proporionallitate

ntre greutate i vrst exist o corelaie negativa

ntre greutate i vrst exist o corelaie pozitiv

ntre greutate i vrst exist o corelaie foarte bun

ntre greutate i vrst exist o corelaie slab

Nu am destule date / Eroare de studiu

26

4/28/2015

14

Coeficientul de corelaie Pearson dintre greutate (kg) i sex (F/M) este 0,67. Care dintre urmtoarele afirmaii sunt adevrate:

ntre greutate i vrst exist o relaie de direct proporionalitate

ntre greutate i vrst exist o relaie de invers proporionallitate

ntre greutate i vrst exist o corelaie negativa

ntre greutate i vrst exist o corelaie pozitiv

ntre greutate i vrst exist o corelaie foarte bun

ntre greutate i vrst exist o corelaie slab

Nu am destule date / Eroare de studiu

27