CONCURSUL DE MATEMATICĂ „OLIMPIC PENTRU O ZI” EDIŢIA a...

SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU

CONCURSUL DE MATEMATICĂ

„OLIMPIC PENTRU O ZI”

EDIŢIA a XVII – a

Iaşi – 16 noiembrie 2019

Subiecte clasa a V – a

Subiectul I (30 puncte)

Fie numerele: 𝑎 = 37 × 16 𝑏 = 2019 − 1392 𝑐 = 2019 ∶ 3.

a) Aflați cu cât este mai mare o treime din numărul b , față de un sfert din numărul a.

b) Aflați numărul natural x care verifică relația:

(𝑐 − 𝑏) ∶ 𝑥 + 590 = 𝑎, unde a , b , c sunt numerele de mai sus.

Subiectul II (30 puncte)

a) Determinați cel mai mic și cel mai mare număr natural de două cifre care

împărțite la 25 dau câtul număr natural par și ca rest un număr natural pătrat perfect.

b) Determinați toate numerele naturale de două cifre care, în urma împărțirii la

25, dau un cât număr natural și ca rest un număr natural pătrat perfect.

c) Arătați că oricum am alege șase numere din cele obținute la punctul b) , există

măcar două care dau același rest la împărțirea la 25.

Subiectul III (30 puncte)

Într-o parcare, locurile sunt numerotate cu numerele 1, 2, 3, . . . , n , în parcare

fiind 25 de rânduri a câte 21 de locuri fiecare. Numerotarea pe fiecare rând este

făcută de la stânga la dreapta , iar parcarea mașinilor se face cu fața spre primul rând.

Mihai parchează mașina pe rândul din mijloc al parcării și observă că, pe rândul

său, numărul de locuri din dreapta reprezintă o treime din numărul de locuri din

stânga.

a) Aflați numărul total n al locurilor din parcare.

b) Determinați numărul locului din parcare pe care este parcată m așina lui Mihai.

c) La plecarea din parcare, Mihai observă că locurile cu numerele 9, 18, 27, 36, . . .

sunt marcate cu verde. Aflați ce numere au locurile de pe rândul din mijloc, marcate

cu verde.

Notă:

Toate subiectele sunt obligatorii.

Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

Se acordă 10 puncte din oficiu.





EDIŢIA a XIV – a


Barem clasa a V – a


Fie numerele: 𝑎 = 37 × 16 𝑏 = 2019 − 1392 𝑐 = 2019 ∶ 3.

a) Aflați cu cât este mai mare o treime din numărul b , față de un sfert din numărul a.

b) Aflați numărul natural x care verifică relația:

(𝑐 − 𝑏) ∶ 𝑥 + 590 = 𝑎, unde a , b , c sunt numerele de mai sus.

Calculează 𝑎 = 592, 𝑏 = 627, 𝑐 = 673. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15p

𝑏 ∶ 3 − 𝑎 ∶ 4 = 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9p

𝑥 = 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6p


a) Determinați cel mai mic și cel mai mare număr natural de două cifre care

împărțite la 25 dau câtul număr natural par și ca rest un număr natural pătrat perfect.

b) Determinați toate numerele naturale de două cifre care, în urma împărțirii la

25, dau un cât număr natural și ca rest un număr natural pătrat perfect.

c) Arătați că oricum am alege șase numere din cele obținute la punctul b) , există

măcar două care dau același rest la împărțirea la 25.

a) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 25 ∙ 𝑐 + 𝑛, unde 𝑐 = 0 sau 𝑐 = 2 și 𝑛 = 0, 1, 4, 9, 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p

Cel mai mic număr este 25 ∙ 0 + 16 = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

Cel mai mare număr este 25 ∙ 2 + 16 = 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p

b) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 25 ∙ 𝑐 + 𝑛, unde 𝑐 = 0, 𝑐 = 1, 𝑐 = 2 sau 𝑐 = 3 și 𝑛 = 0, 1, 4, 9, 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p

Obține numerele 16, 25, 26, 29, 34, 41, 50, 51, 54, 59, 66, 75, 76, 79, 84, 91... . . . . . . .8p

c) Sunt 5 valori posibile ale restului (pătrat perfect mai mic decât 25).. . . . . . . . . . . . . . . . . .2p

Finalizare .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p



Într-o parcare, locurile sunt numerotate cu numerele 1, 2, 3, . . . , n , în parcare

fiind 25 de rânduri a câte 21 de locuri fiecare. Numerotarea pe fiecare rând este

făcută de la stânga la dreapta , iar parcarea mașinilor se face cu fața spre primul rând.

Mihai parchează mașina pe rândul din mijloc al parcării și observă că, pe rândul

său, numărul de locuri din dreapta reprezintă o treime din numărul de locuri din

stânga.

a) Aflați numărul total n al locurilor din parcare.

b) Determinați numărul locului din parcare pe care este parcată mașina lui Mihai.

c) La plecarea din parcare, Mihai observă că locurile cu numerele 9, 18, 27, 36, . . .

sunt marcate cu verde. Aflați ce numere au locurile de pe rândul din mijloc, marcate

cu verde.

a) Numărul total de locuri este 𝑛 = 25 ∙ 21 = 525............................................................................5p

b) Observă că Mihai parchează pe rândul 13 .................................................................................... 3p

La dreapta sunt (21 − 1) ∶ 4 = 5 locuri, iar la stânga sunt 5 ∙ 3 = 15 locuri ..................................... 8p

Numărul locului pe care parchează Mihai este 12 ∙ 21 + 15 + 1 = 268..............................................4p

c) Pe rândul 13 locurile sunt numerotate cu 253, 254, ..., 273.............................................................5p

Sunt marcate cu verde locurile cu numerele 261, 270 ...........................................................................5p


A B E

G F

D C

M N

P Q





Subiecte clasa a VI – a

SUBIECTUL I (30p)

1. Determinați numerele naturale de forma știind că sunt îndeplinite simultan condițiile:

și .

2. Calculați pătratul numărului , unde .

Subiectul II (30p)

1. Comparați numerele: și

.

2. Fie numerele și .

Calculați .

Subiectul III (30p)

1. Fie A, B și C puncte coliniare în această ordine, astfel încât . Dacă

, iar M și N sunt mijloacele segmentelor AB și respectiv BC, determinați lungimea

segmentului MN.

2. Un gospodar are un teren în formă de dreptunghi conform figurii alăturate, cu dimensiunile de , respectiv . Pătratul ABCD cu latura de reprezintă

casa, iar dreptunghiul MNPQ o alee de acces lată de și restul

suprafeței terenului este acoperit cu gazon. Știind că rulou de gazon

costă , aflați cât îl va costa pe gospodar acoperirea suprafeței cu

gazon, conform schiței. Notă:



Timp de lucru 2 ore.





Barem clasa a VI – a

Subiectul I (30 puncte) Rezolvare

1. 3 puncte

2 puncte

1 punct

6 puncte

Finalizare: numerele sunt 256, 536 și 816. 3 puncte

TOTAL 15 puncte

2. 6 puncte

3 puncte

2 puncte

1 punct

Finalizare: 3 puncte

TOTAL 15 puncte

Subiectul II (30 puncte) Rezolvare

1. 3 puncte

2 puncte

3 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte

Finalizare: 1 punct

TOTAL 15 puncte

ȘȘccooaallaa GGiimmnnaazziiaallăă „„TTiittuu

MMaaiioorreessccuu”” IIaașșii

2. 5 puncte

3 puncte

1 punct

1 punct

1 punct

1 punct


TOTAL 15 puncte

Subiectul III (30 puncte) Rezolvare

1. Realizarea configuraţiei 2 puncte

2 puncte

2 puncte

2 puncte


TOTAL 10 puncte

2. 3 puncte

3 puncte

2 puncte

3 puncte

3 puncte

3 puncte

Finalizare: preț gazon = 3 puncte

TOTAL 20 puncte


CONCURSUL JUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

“OLIMPIC PENTRU O ZI”

EDIŢIA a XVII-a – 16.11.2019

Subiect clasa a VII – a

Subiectul I (30p)

1. Fie numerele raţionale:

a=

b=[(-n)0+84n+1:163n+6 2710:(-3)28]63

c=( )54, unde n este un număr natural nenul.

a) Calculaţi a,b,c.

b) Arătaţi că numărul raţional este negativ.

2. Rezolvaţi ecuaţia:

4 -(-1)n+1=5 (-1)n+2-(-3)2 (-2)3, unde n este număr natural.

Subiectul II (30p)

1. Din staţia “Orizont” pleacă în acelaşi timp trei microbuze. Unul revine în staţie din 30 în 30 minute, al doilea

din 45 în 45 minute, iar al treilea din 72 în 72 minute. După cât timp se întâlnesc din nou în staţie cele trei

microbuze?

2. Un pachet de bomboane a fost împărţit în părţi invers proporţionale cu numerele 20, 10, respectiv 12. Unul

dintre copii observă că a primit mai puţin cu 90 de bomboane decât ar fi primit dacă acelaşi pachet de

bomboane s-ar împărţi în părţi direct proporţionale cu numerele 0,1, 0,2, respectiv 0,(3). Câte bomboane au

fost în pachet?

Subiectul III (30p)

În triunghiul isoscel ABC cu AB=AC, [BE] este înălţimea corespunzătoare laturii [AC].Se prelungeşte segmentul [BE] cu

segmentul [EF] [BE]. Fie [AD bisectoarea unghiului , D [BC] şi {P}=AD CF. Demonstraţi că:

a) Triunghiul ACF este isoscel;

b) Triunghiurile ABC şi AFC sunt congruente;

c)

d) Dacă , aflaţi .

NOTĂ








Barem clasa a VII – a


Rezolvare

1.a)

b)

𝑎 =1

1 ∙ 2+

1

2 ∙ 3+

1

3 ∙ 4+. . . +

1

2019 ∙ 2020 2 puncte

𝑎 =1

1−

1

2+

1

2−

1

3+

1

3−

1

4+ ⋯ +

1

2019−

1

2020 2 puncte

Finalizare: 𝑎 =2019

2020 1 punct

𝑏 = [1 + 212𝑛+3: 212𝑛 + 6 ∙ 330: 328]63 2 puncte

𝑏 = [1 + 23 + 6 ∙ 32]63 2 puncte

Finalizare: 𝑏 = 6363 1 punct

𝑐 = (232: 225 + 1)54 3 puncte

Finalizare: 𝑐 = (27 + 1)54 2 puncte

6363 < 6463 = (26)63=(27)54 < (27 + 1)54 3 puncte

𝑏 < 𝑐 ⇒ 𝑏 − 𝑐 < 0 și 𝑎 > 0 ⇒ 𝑏−𝑐

𝑎< 0 2 puncte

TOTAL 20 puncte

2. 4𝑥 − (−1)𝑛 ∙ (−1)1 = 5(−1)𝑛 ∙ (−1)2 − 9 ∙ (−8) ∙ 1 2 puncte

4𝑥 + (−1)𝑛 = 5(−1)𝑛 + 72 2 puncte

4𝑥 = 4(−1)𝑛 + 72 2 puncte

Dacă n par atunci 𝑥 = 19 iar dacă n impar atunci 𝑥 = 17 4 puncte

TOTAL 10 puncte


Rezolvare

1. Descopune numerele în produs de factori primi 3 puncte

Observă că microbuzele se întâlnesc din nou după un număr de minute egal cu 3 puncte

c.m.m.m.c. al numerelor date

Calculează c.m.m.m.c. 4 puncte

TOTAL 10 puncte

2. Notează numărul de bomboane din pachet (ex. S) și numărul de bomboane primite

de fiecare copil în ambele cazuri (ex. a,b,c în primul caz și x,y,z în al doilea caz) 2 puncte

Scrie relația: 𝑎1

20

=𝑏1

10

=𝑐1

12

=𝑆

14

60

3 puncte

Obține: 𝑎 =3𝑆

14, 𝑏 =

6𝑆

14, 𝑐 =

5𝑆

14 3 puncte

Scrie relația: 𝑥1

10

=𝑦1

5

=𝑧1

3

=𝑆

19

30

3 puncte

Obține: 𝑥 =3𝑆

19, 𝑦 =

6𝑆

19, 𝑧 =

10𝑆

19 3 puncte

Compară și obține 𝑎 > 𝑥, 𝑏 > 𝑦 și𝑐 < 𝑧 și 𝑧 − 𝑐 = 90 3 puncte 10𝑆

19−

5𝑆

14= 90 2 puncte

Finalizare: 𝑆 = 532 1 punct

TOTAL 20 puncte


Rezolvare

a) Realizarea configuraţiei 4 puncte

Demonstrează că triunghiul ABF este isoscel (AE înălțime și mediană), AB=AF 4 puncte

AB=AF, AB=AC ⇒ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐹 ⇒ ∆𝐴𝐶𝐹 isoscel 2 puncte

b) Î𝑛 ∆𝐴𝐵𝐹 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙, [𝐴𝐸 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒 ⇒ 𝑚(∢𝐵𝐴𝐸) = 𝑚(∢𝐸𝐴𝐹) 3 puncte

∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴𝐹𝐶 (𝐿. 𝑈. 𝐿. ) 3 puncte

c) Î𝑛 ∆𝐵𝐶𝐹: 𝐷𝐸 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑖𝑗𝑙𝑜𝑐𝑖𝑒 4 puncte

𝐷𝐸 =𝐹𝐶

2 3 puncte

d) 𝑚(∢𝐷𝐴𝐶) = 20°, 𝑚(∢𝐶𝐴𝐹) = 40°, 𝑚(∢𝐴𝐹𝐵) = 50°, 𝑚(∢𝐸𝐹𝐶) = 20° 4 puncte

𝑚(∢𝐴𝑃𝐶) = 50° 3 puncte

TOTAL 30 puncte


A B

C

D

E

F

M

N





Subiecte clasa a VIII – a

SUBIECTUL I (30p)

1. Dacă x+1

x=4, , calculaţi

2

2

1x

x ,

4

4

1x

x și

1x

x .

2. Se consideră numerele reale nenule x și y , unde

3 27 405 3 63

80 2 28 48x

și

1 1 1 1...

1 18 2 27 3 36 24 225y

a) Calculați x și y ;

b) Aflați media geometrică a numerelor x și 2y .

Subiectul II (30p)

1. Calculați valoarea expresiei: 24433169 22 xyyxE ştiind că x-y-5=0 si -3<y<2.

2. În trapezul isoscel ABCD , , și .

a) Aflați perimetrul trapezului ABCD;

b) Dacă , calculați aria triunghiului .

Subiectul III (30p)

În ABC cu construim AD BC , DE AB și

DF AC ( [ ], [ ], [ ])D BC E AB F AC și considerǎm M și N

mijloacele laturilor [ ]AB , respectiv [ ]AC .

Demonstraţi cǎ:

a) ( ) ( )AD EF ;

b) MD ND ;

c) DF AB DE AC .

Notă:








Barem clasa a VIII – a


Rezolvare

1. Calculează (𝑥 +

1

𝑥)

2

=16 3 puncte

Deduce 2

2

1x

x =14 2 punct

Calculează

212

1962x

x

1 punct

Deduce 4

4

1x

x =194 1 punct

Calculează 2

16x

x 1 punct

Deduce 1

xx

= 6 2 punct

TOTAL 10 puncte

2. 𝑥 =

9√3 + 9√5 − 9√7

4√5 − 4√7 + 4√3 5 puncte

𝑥 =9(√3 + √5 − √7)

4(√5 − √7 + √3) 4 punct

𝑥 =9

4 1 puncte

1

1 ∙ 18+

1

2 ∙ 27+

1

3 ∙ 36+. . . +

1

24 ∙ 225=

1

9∙ (

1

1 ∙ 2+

1

2 ∙ 3+

1

3 ∙ 4+. . . +

1

24 ∙ 25) 2 puncte

1

1 ∙ 2+

1

2 ∙ 3+

1

3 ∙ 4+. . . +

1

24 ∙ 25= 1 −

1

25=

24

25 2 punct

𝑦 = √1

9∙

24

25= √

8

75=

2√6

15 1 puncte

𝑚𝑔(𝑥, 𝑦2) = √9

4∙

8

75= √

6

25=

√6

5 5 puncte

TOTAL 20 puncte


Rezolvare

1. Înlocuiește y=x-5 în expresiile celor doi radicali 3 puncte

Obține E= 3 1 3 7x x 5 puncte

Deduce că 2 < 𝑥 < 7 3 puncte

Finalizare E=22 4 puncte

TOTAL 15 puncte

2.a)

b)

Figura geometrică 2 puncte

Calculează 𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚 3 puncte

Calculează 𝐶𝐷 = 8 𝑐𝑚 3 puncte

Calculează perimetrul trapezului 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷 = 40 𝑐𝑚 3 puncte

Demonstrează că ∆𝐴𝐵𝑀 este echilateral 2 puncte

Calculează aria triunghiului 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = 64√3 𝑐𝑚2 2 puncte

TOTAL 15 puncte


Rezolvare

a) Demonstrează că AEDF este dreptunghi 5 puncte


b) 𝑚(∢𝑁𝐷𝑀) = 𝑚(∢𝑁𝐷𝐴) + 𝑚(∢𝐴𝐷𝑀) 2 puncte

DN mediană în triunghiul ADC, DN=AN, ∢𝑁𝐴𝐷 ≡ ∢𝑁𝐷𝐴 3 puncte

DM mediană în triunghiul ADB, DM=AM, ∢𝐴𝐷𝑀 ≡ ∢𝐷𝐴𝑀 3 puncte

Finalizare: 𝑚(∢𝑀𝐷𝑁) = 𝑚(∢𝑁𝐴𝐸) = 90° ⟹ 2 puncte

c) Aplică teorema catetei în triunghiurile ADB și ADC 4 puncte

𝐴𝐷2 = 𝐴𝐸 ∙ 𝐴𝐵 = 𝐷𝐹 ∙ 𝐴𝐵

𝐴𝐷2 = 𝐴𝐹 ∙ 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸 ∙ 𝐴𝐶 4 puncte


TOTAL 30 puncte

( ) ( )AD EF

MD ND

DF AB DE AC

Date post:	24-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

CONCURSUL DE MATEMATICĂ „OLIMPIC PENTRU O ZI” EDIŢIA a...

Documents