Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e1

Influența concentratorilor asupra stării de

tensiune din elementele de construcție

-Influența găurilor într-o placă compozită-

Materialele compozite, datorită rezistențelor specifice ridicate, rigidității și a proprietăților

anizotrope care pot fi ”croite” în funcție de cerințele oricărei aplicații, au o varietate de utilizări

în multe din domeniile ingineriei, cum ar fi: aerodinamica, industria automobilelor, ingineria

chimică, reabilitare. După cum se știe, găurile și extragerile sunt inerente în multe structuri, și

pot cauza probleme serioase în ceea ce privește concentratorii de tensiune datorită

discontinuităților geometrice ce apar. Aceste probleme sunt cu atât mai serioase în cazul

materialelor compozite, din moment ce aceste materiale au un comportament anizotrop și casant.

Astfel, o atenție deosebită s-a acordat în multe cercetări problemelor concentrărilor de tensiune la

materialelor compozite.

Prima soluție de determinare a tensiunilor dintr-un material compozit ortotrop în jurul unui

orificiu circular a fost obținută folosind ”metoda potențialului complex” i1

(Lekhnitskii, 1957;

Savin, 1961). Apoi au urmat Kosmodamianskii şi Chermc (1981) care au studiat efectul stărilor

de tensiune al unei plăci infinite prevăzută cu două goluri (situate pe axe paralele).

Metoda ESPI – interferometru 2ce are la bază un eșantion/o probă de dimensiuni mici

electronice (”electronic speckle pattern interferometer”) este o metodă nedistructivă folosită

pentru determinarea stării de tensiuni și deformații a unei plăci din material compozit în prezența

concentrărilor de tensiune datorate defectelor geometrice constând în găuri circulare. Această

metodă are la bază principiul interferometriei 3D a unei particule pentru a măsura deformațiile și

conturul câmpului de măsurat cu precizia unui micrometru.

Rezultatele sunt comparate cu metoda lui Lekhnitskii dar și cu studiile pe element finit.

1 ”Teoria Elasticității a unui corp anizotrop elastic” – S.G. Lekhnitskii

2 INTERFEROMÉTRU, interferometre, s. n. Instrument optic folosit pentru determinarea unor mărimi cu ajutorul

fenomenelor de interferență. ♦ Aparat pentru măsurarea vitezei de propagare a undelor sonore și ultrasonore, precum

și a absorbției acestora într-un anumit mediu. – Din fr. interféromètre.

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e2

Originea acestui studiu a avut ca fundament o înțelegere pe baza căreia se studia

comportamentul materialelor compozite (carbon/epoxy) utilizate în domeniul aeronautic. Pentru

a putea anticipa problemele posibile a rezistențelor mecanice și durata de viață a acestor

materiale, o serie de teste la oboseală și de element finit au fost planificate. Obiectivul este cel de

a calcula concentrările de tensiune din jurul golului circular din placa compozită supusă

eforturilor longitudinale de întindere. Utilizarea materialelor compozite în proiectarea

elementelor structurale cere o cunoaștere mai bună a comportamentului lor. Găurile din compozit

creează concentrări de tensiune sau deformații și astfel proprietățile mecanice se modifică și

ajung la valori mai reduse.

S-a folosit metoda ESPI pentru a studia concentrările deformațiilor având la bază un câmp tri-

dimensional al deplasărilor pe suprafața epruvetei. Deformația suprafeței materialului datorită

forțelor aplicate se poate observa prin modificările ce apar la martorii puși aleatoriu. Avantajele

tehnicii ESPI constau în acuratețea și posibilitatea de descompunere spațială a măsurătorilor (în

microni), în aria mare de măsurarea (mai mare decât aria de măsurare a dispozitivelor de

deformație) și în măsurarea prin metode ce nu implică contactul.

Presupunând că materialul compozit este ortotrop, tensiunile din jurul concentratorului pot fi

calculate în funcție de concentrațiile de deformație. Apoi, tensiunile astfel calculate sunt

comparate cu cele rezultând din formula lui Lekhnitskii și din studiul de element finit.

Încercări experimentale

Deformația structurii este înregistrată de sistemul ESPI. Utilizând analiza digitală și metodele de

corespondență, deplasările și deformațiile ce au loc sunt înregistrate(calculate) automat din

schimbările ce apar pe suprafața epruvetei. Informațiile vizuale rezultate prin sistemul Q-100

(ESPI) sunt îndestulătoare pentru a înțelege comportamentul unor astfel de materiale. Testele au

fost realizate cu un aparat electromecanic INSTRON de teste (Fig. 1) echipat cu un senzor al

încărcării de 100 kN. Mai mulți parametri au fost obținuți în același timp (timp, forță aplicată).

Aspectul geometric al încărcărilor a fost întocmit corespunzător cu ISO 527ii, standard ce este

aplicat fibrelor de carbon. Standardul sugerează o epruvetă având lungimea de 250 mm și

lățimea de 16 sau 25 mm. Sistemul ESPI este așezat pe suprafața vopsită în alb a elementului

(pentru o mai bună surprindere a imaginilor - Fig. 2)

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e3

Table 1. Proprietăți 3

E11

[GPa]

E22

[GPa]

12

G12

[GPa]

Grosime

[mm]

Diametrul

găurii [mm]

51 50 0.06 3.24 2.28 5

3 E11 – modulul de elasticitate longitudinal al elementului, E11 = Em Vm + Ef Vf

E22 – modulul de elasticitate transversal al elementului, E22 = E f Em

E f Vm + Em Vf

ν12 = νLT = m Vm + f Vf - coeficientul major

G12 = GLT = Gf Gm

Gf Vm + Gm Vf , unde Ef - modulul de elasticitate al fibrei

Em - modulul de elasticitate al matricei

Vf – fracțiunea volumetrică a fibrei

Vm - fracțiunea volumetrică a matricei

Gf – modulul la forfecare (de rigiditate) al fibrei

Gm - modulul la forfecare (de rigiditate) al matricei

f - coeficientul lui Poisson (coeficient de contracţie transversală ) al fibrei

m - coeficientul lui Poisson al matricei

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e4

Rezultate

Analiza a fost făcută ținând cont de evoluția încărcărilor

corespunzătoare deformațiilor. Valorificarea datelor obținute datorită

senzorilor/martorilor au dus la următorul comportament:

În acest experiment s-au

considerat trei ipostaze ale

epruvetei: orientare la 0, 90 și

la 45.

Evoluția ține seama la rându-i

de fazele prin care trece

materialul:

pragul elastic caracterizat

prin modulul de

elasticitate E;

o porțiune unde curba își

pierde liniaritatea, intrând

în domeniul inelastic și

caracterizat prin fisurarea

elementului;

ultima faza – reprezintă

cedarea epruvetei.

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e5

Distribuția deformațiilor în materialul compozit

Pentru elementele din material compozit cu goluri, concentrările de deformații sunt generate

de o combinație de concentrări de tensiune la vârful găurii și de variația deformațiilor datorată

proprietăților diferite de-a lungul fibrei.

Fig. 4 arată diagrama deformațiilor obținută în urma unei încărcări/ forțe de 2770 N.

Tabel 2. Tensiuni reziduale

Epruvetă [0] [90] [45]

* [MPa] 318 275 170

În tabelul de mai sus sunt listate valorile tensiunilor reziduale pentru fibrele din material

compozit folosite. Formula utilizată în calculul acestor tensiuni este

* =

pult

w−d unde

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e6

pult = forța ultimă;

w = lățimea epruvetei;

d = diametrul găurii.

Metode numerice

Metoda elementului finit a fost folosită în analiza stărilor din material – codul Abaqus 6.3,

folosind proprietățile enumerate în Tabelul 1 pentu carbon/epoxy. S-a ținut seama de condițiile

pe frontieră și de cazurile de încărcare conform Fig. 5.

Metode analitice

Fie un gol circular de rază r situat într-o placă infinit anizotropă (asemeni Fig. 6). Dacă

tensiunea infinită σ∞ este aplicată pe direcția axei Y, atunci tensiunea normală σy pe direcția

axei Y în punctul de pe axa X din fața găurii poate fi aproximată ca fiind:

σy(x, 0) =σ∞

2{2 +

r

x

2

+ 3 r

x

4

− (1 + n − 3) 5 r

x

6

− 7 r

x

8 } (1)

cu x r și

n = 2 E1

E2− 2ν12 +

E1

G12

La marginea golului (x = r), ecuația de mai sus (1) devine:

Kπ

2 =

σy (r,0)

σ∞ = 1 + n (2)

Ecuația (2) dă o valoare constantă de Kπ

2 pentru același material indiferent de mărimea găurii.

Pe măsură ce diametrul golului descrește, factorii concentratori de tensiune scad și ajung să tindă

către unitate (adică spre o placă fără goluri). În lucrările și cercetările efectuate de-a lungul

anilor, autori ca Whitney și Nuismer (”Stress fracture criteria for laminated composites

containing stress concentrations”, J Compos Mater 1974) au propus două criterii ale tensiunilor

pentru a studia golurile circulare și fisurile drepte, și anume criteriul ”tensiune punctuală”(”point

stress”) și ”tensiune medie” (”average stress”).

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e7

Criteriul tensiune punctuală / Point stress criterion (PSC)

Acest criteriu are la bază presupunerea conform căreia cedarea va avea loc atunci când tensiunea

σy(x, 0) - la o distanță anume fixată d0 după conturul golului – atinge σf , rezistența la întindere a

materialului (sau rezistența plăcii la întindere fără găuri) – Fig. 6.

Astfel, σy(x) x=r+d0

= σf (3)

Folosind ecuațiile (1) și (3), factorul concentrator de tensiune Kπ

2 poate fi scris ca

Kπ/2PSC =

σy (x)

σ∞ =

1

2{2 + ξ1

2 + 3ξ14 − (1 + n − 3) 5ξ1

6 − 7ξ18 } unde ξ1 =

r

r+d0 (4)

Criteriul tensiune medie / Average stress criterion (ASC)

Acest criteriu are la bază presupunerea conform căreia cedarea va avea loc atunci când valoarea

medie a tensiunii σy(x, 0) - la o distanță anume fixată a0 după conturul golului – atinge σf ,

rezistența la întindere a materialului (sau rezistența plăcii la întindere fără găuri) – Fig. 6.

Astfel, 1

a0 σy (x, 0)

r+ a0

r dx = σf (5)

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e8

Folosind ecuațiile (1) și (5), factorul concentrator de tensiune Kπ

2 poate fi scris ca

Kπ/2ASC =

σy (x)

σ∞ =

1

2(1−ξ2){2 − ξ2

2 − ξ24 − (1 + n − 3) ξ2

6 − 7ξ28 } unde ξ2 =

r

r+a0 (6)

Concentrări de tensiune calculate în funcție de măsurători ale deformațiilor

Valorile distanțelor caracteristice d0 și a0 sunt determinate prin măsurători experimentale din

teste pe epruvete dreptunghiulare cu goluri de diferite dimensiuni supuse la întindere. Astfel, se

va utiliza pentru d0 și a0 valorile din literatura de specialitate:

0.1 mm d0 0.2 mm și a0 = 0.3 mm

Pe baza experimentelor Kπ/2EXP =

σS

∗ unde σS =

FS

SS

∗ = FS

S∗ cu precizarea că S – suprafața fără goluri

T – suprafața cu goluri

Din ecuațiile (4), (6) și din rezultatele factorului de concentrare experimental, pentru diferitele

orientări se obține Tabelul 3.

Tabel 3. Coeficienți ai concentrărilor de tensiune

Coeficienți [0] [90] [45]

Kπ/2PSC 1.31 K 1.40 1.31 K 1.40 1.56 K 1.70

Kπ/2ASC ≈ 1.62 ≈ 1.62 ≈ 1.62

Kπ/2EXP 1.38 1.5 1.23

Ținând cont de cele două criterii expuse anterior, dimensiunile caracteristice elementelor din

material compozit pe direcția principală (0) sunt mai mici decât cele de pe direcție

perpendiculară (90). Este totodată evident că influența golurilor asupra rezistenței, și în general

a proprietăților mecanice, pe direcția principală este mai pronunțată decât pe direcția ortogonală.

Dacă variațiile locale a proprietăților sunt neglijate, rezultând per total caracteristici mecanice

ortotropice ale produsului compozit pe direcția încărcării, tensiunile axiale din jurul golului sau

fisurii pot fi calculate în funcție de câmpul deformațiilor (𝜀11; 𝜀22) astfel:

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e9

𝜎11 = 𝐸11 𝜀11

1−𝜈122 (

𝐸22𝐸11 )

+ 𝜈12𝐸22 𝜀22

1−𝜈122 (

𝐸22𝐸11 )

(7)

O comparație a tensiunilor obținute teoretic conform ecuațiilor lui Lekhnistkii – ecuația (1) cu

cele calculate din măsurarea deformațiilor –ecuația (7) dar și cu metoda elementului finit

(Abaqus) au fost schematizate în Fig. 7. Au fost aplicate trei tipuri de încărcări: 2770 N pentru

[0], 2120 N pentru [90] și 810 N pentru [45].

Figura prezintă forme de

distribuție a tensiunilor în

secțiunea centrală a epruvetei.

Deși ritmul general este bun, se

pot observa diferențe între

măsurători și rezultate. La

marginile găurii, mărimile reale

sunt mai mici. Forma analitică

sugerată în ecuația (1) este

prima aproximare. Urmează

apoi modelul elementului finit

care poate duce la o apreciere a

ritmului real mai exactă decât

cea prin metoda ESPI.

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e10

Concluzii

Concentrările de tensiune au fost analizate pe un element compozit carbon/epoxy. Precizia

măsurătorilor experimentale influențează rezultatele și acest lucru explică diferența dintre valori.

În apropierea golului, tensiunile obținute prin metode experimentale sunt cu mult mai mici în

comparație cu cele analitice sau cele din modelele numerice. Concentrările de deformații din

produsul compozit cu goluri sunt influențate de direcția încărcărilor; există o buna conlucrare

între acele tensiuni și fibrele de compozit pe direcția axei principale (0), pe când pentru

unghiurile de 90 și 45 nu este valabilă acea dependență.

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e11

Bibliografie

- ”Teoria Elasticității a unui corp anizotrop elastic”, S.G. Lekhnitskii

- ”Cele două metode ale deplasărilor pentru deformațiile în plan ale materialelor

ortotropice elastic lineare”, Gao, Xin Lin

- ”Dezvoltarea distribuției tensiunilor folosind metoda Lekhnitskiiț a funcțiilor de tensiuni

complexe”, Henry Phillips

- ”Concentrările de tensiune într-o gaură circulară a unei plăci compozite”, Lotfi Toubal,

Moussa Karama, Bernard Lorrain

- ” Concentrările de tensiune într-un țesut de produs compozit cu găuri”, Pandit SD,

Nishiyabu K, Verpoest I, Compos Struct 2003; 59: 361-8

- ”Through-the-thickness displacements measurement in laminated composites using

electronic speckle photography”, Icardi U, Mech Mater 2002; 35:35-51

- ”Evaluation des deplacements et deformations d’un composite par photogrammetrie”,

Toubal L, Lorrain B, Karama M, Congresul Francez de Mecanică ediția a XVI-a, Nice 1-

5 Septembrie 2003

- ”Concentrările de tensiune pe un element laminat compozit finit slăbit de multiple găuri

eliptice”, Xu Xiwu, Sun Liangxin, Fan Xuqi, Departamentul aviatic al Universității

Nanjing de Aeronautică și Astronautică China, 1994

i Materialele compozite au o largă utilizare în cele mai multe aplicaţii curente datorate raportului dintre rezistentă și

greutate. Datorită creșterii utilizării lor, o înţelegere mai bună a comportării materialului a devenit necesară în

domeniul compozitelor. O înţelegere detaliată a distribuţiei tensiunilor în elementele compozite prevăzute cu găuri şi

elemente de fixare este necesară pentru a avansa şi mai mult în utilizarea acestor materiale . Compozitele sunt cu

atât mai eficiente și fiabile cu cât rezistențele lor sunt corect anticipate. Lekhnitskii a dezvoltat o metoda matematică

folosind funcţii complexe ale tensiunilor care satisfac ecuaţiile de echilibru şi compatibilitate necesare pentru a

rezolva problema distribuției tensiunilor în material pe domeniul de interes (vizat). Distribuţiile arată efectul

diferitelor tensiuni (σrr , σӨӨ , τrӨ) în materialul dorit (de exemplu, o placă infinit de lungă). Tensiunile ce acţionează

asupra unui obiect pot fi definite prin funcţiile tensiunilor date de Lehknitskii.

Două metode de formulare a deplasărilor sunt prezentate pentru problemele plane de tensiuni și deformații ale

unui material linear elastic ortotrop având trei planuri de simetrie la x1 = 0, x2 = 0 şi x3 = 0. Prima metodă începe cu

rezolvarea celor două ecuații cu derivate parțiale simultan, în timp ce a doua metodă începe cu rezolvarea unei

ecuaţii şi se termină cu aplicarea celeilalte. Cele două metode de deplasare conduc la aceeași ecuaţie caracteristică,

identică cu cea obţinută de Lekhnitskii utilizând o metodă de formulare a tensiunilor. Soluţiile generale care rezultă

din cele două metode ale determinării deplasărilor pot fi folosite pentru a rezolva probleme plane ale elasticității

pentru materiale ortotrope cu condiţii la limită de deplasare sau mixte.

(”Teoria Elasticității a unui corp anizotrop elastic” – S.G. Lekhnitskii)

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e12

ii Standardul ISO 527 face referire la proprietățile rezultate sub forțele de întindere a plasticelor extrudate și

fasonate. Proprietățile includ valoarea tensiunii ultime și deformației ultime la cedare și modulii de elasticitate și

rigiditate.

Următoarele grupe de materiale pot fi supuse încercărilor la întindere:

- Termoplastice rigide şi semirigide extrudate, fasonate şi turnate. Acestea includ acele materiale armate cu fibre

scurte, toroane scurte, plăcuţe metalice şi exclud fibrele textile

- Materiale termorigide şi semirigide fasonate şi turnate. Acestea includ acele materiale armate cu umplutură

(agregate) şi compuşi de armare, şi exclud fibrele textile

- Polimeri termoplastici cu cristale lichide

Toate epruvetele ar trebui confecţionate la dimensiunile specificate în standard, şi să fie lipsite de neregularităţi

sau zgârieturi.

Ca şi în cazul altor materiale, este necesară existenţa unui extensometru*)

pentru măsurarea cu acurateţe a

deformaţiilor. Curba de tensiuni - deformaţii în plastic de cele mai multe ori conţine atât o regiune linear elastică cât

şi una nelinear plastică. Foarte puţine deformaţii apar în zona linear elastică, şi pentru că modulul de elasticitate este

măsurat pe această porţiune, extensometre cu o rezoluţie înaltă sunt necesare.

O metodă corectă de a testa epruvetele este de a folosi un INSTRON – aparat electromecanic pentru teste cu pană

de fixare mecanică.

Încercările la tracţiune sunt efectuate prin alungirea epruvetelor şi măsurarea încărcărilor. Cunoscând datele

elementului, putem alcătui curba tensiunilor şi a deformaţiilor. O varietate de date pot fi extrase din aceste curbe.

Diaconu Raluca

RCSC

Pag

e13

Proprietăți Definiție

Deformația de întindere

la rupere

Deformația de întindere corespunzătoare punctului de rupere

Deformația de întindere

nominală la rupere

Deformația de întindere corespunzătoare tensiunii de întindere la rupere

Deformația de întindere

la curgere

Deformația de întindere corespunzătoare punctului de curgere (o creștere în deformații nu

rezultă cu o creștere a tensiunilor)

Tensiunea de întindere

la rupere

Tensiunea de întindere corespunzătoare punctului de rupere

Tensiunea de întindere

la 50% deformație

Tensiunea de întindere înregistrată atunci când deformația atinge 50% din valoarea sa

Tensiunea de întindere

la curgere

Tensiunea de întindere corespunzătoare punctului de curgere (o creștere în deformații nu

rezultă cu o creștere a tensiunilor)

Modulul la întindere Numit și modulul lui Young sau modul de elasticitate, este definit ca panta unei secante

ce unește valorile 0.05% și 0.25% ale deformațiilor, din curba caracteristică. Modulul

este calculat folosind următoarea formulă:

Et=(σ2-σ1)/(ε2-ε1), unde ε1 = deformația de 0.0005

ε2 = deformația de 0.0025

σ1 = tensiunea obținută pentru deformația ε1

σ2 = tensiunea obținută pentru deformația ε2

Pentru aceste teste doar anumite elemente pot fi analizate:

Epruvetă Note Grosime mm

Tip 1A Preferat pentru elementele fasonate direct cu scop multi-funcțional 4

Tip 1B Preferat pentru elementele testate pe aparate 4

Tip 1BA Varianta nominală a lui 1B. Toate dimensiunile (excepție făcând

grosimea) sunt divizate la 1.2 2

Tip 1BB Varianta nominală a lui 1B. Toate dimensiunile (excepție făcând

grosimea) sunt divizate la 1.5 2

Tip 5A Elemente de dimensiuni mici 2

Tip 5B Elemente de dimensiuni mici 1

*)

EXTENSOMÉTRU s. n. 1. instrument folosit în extensometrie. 2. dinamometru pentru măsurarea extensiunii în

kilograme. 3. aparat electric pentru măsurarea variației dimensiunilor unor solide. (< fr. extensomètre)