+ All Categories
Home > Documents > Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este...

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este...

Date post: 21-Jan-2021
Category:
Upload: others
View: 10 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
48
Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Rm. Vâlcea Concursul Interjudeţean de matematică “Mathematica-modus vivendi” Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012 Clasa a III-a I. 1. Nenea Andrei are 5 copii şi fiecare dintre copiii săi are la rândul său câte 3 copii. Câţi nepoţi are nenea Andrei? (10 puncte) Inv. Cârstoiu Emilia, Rm. Vâlcea 2. Pentru un concurs de şah s-au înscris într-o zi 12 băieţi şi 6 fete. În zilele următoare s-au mai înscris câte 3 fete şi un băiat în fiecare zi, iar înscrierile s-au oprit în ziua în care numărul băieţilor a fost egal cu cel al fetelor. Câţi elevi s-au înscris la concurs? (10 puncte) Gazeta Matematică II. Folosind operaţiile aritmetice în locul pătratelor şi folosind eventual şi parantezele obţineţi ca rezultat numerele 0, 1, 2, ..., 9 în următorul exerciţiu: 4 4 4 4 . (20 puncte) Înv. Bolovan Victoria, Rm. Vâlcea III. Într-o librărie au intrat patru copii să cumpere caiete. Primul copil a cumpărat jumătate din caietele existente plus un caiet, al doilea a cumpărat şi el jumătate plus unul din caietele rămase şi tot aşa până la al patrulea copil. După ce a cumpărat cel de-al patrulea copil s-au terminat caietele. Puteţi calcula câte caiete au fost la început în librărie?
Transcript
Page 1: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Rm. Vâlcea

Concursul Interjudeţean de matematică “Mathematica-modus

vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Clasa a III-a

I. 1. Nenea Andrei are 5 copii şi fiecare dintre copiii săi are la rândul său câte 3 copii. Câţi nepoţi are nenea Andrei? (10 puncte) Inv. Cârstoiu Emilia, Rm. Vâlcea

2. Pentru un concurs de şah s-au înscris într-o zi 12 băieţi şi 6 fete. În zilele următoare s-au mai înscris câte 3 fete şi un băiat în fiecare zi, iar înscrierile s-au oprit în ziua în care numărul băieţilor a fost egal cu cel al fetelor. Câţi elevi s-au înscris la concurs? (10 puncte) Gazeta Matematică

II. Folosind operaţiile aritmetice în locul pătratelor şi folosind eventual şi parantezele obţineţi ca rezultat numerele 0, 1, 2, ..., 9 în următorul exerciţiu:

4 4 4 4 . (20 puncte)

Înv. Bolovan Victoria, Rm. Vâlcea

III. Într-o librărie au intrat patru copii să cumpere caiete. Primul copil a cumpărat jumătate din caietele existente plus un caiet, al doilea a cumpărat şi el jumătate plus unul din caietele rămase şi tot aşa până la al patrulea copil. După ce a cumpărat cel de-al patrulea copil s-au terminat caietele. Puteţi calcula câte caiete au fost la început în librărie? (25 puncte) Înv. Bolovan Victoria, Rm. Vâlcea

IV. Aflaţi un număr natural de patru cifre , ale cărui cifre verifică relaţiile:; ; . (25 puncte)

Înv. Bolovan Victoria, Rm. Vâlcea

Toate subiectele sunt obligatorii.Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.

Page 2: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Rm. VâlceaConcursul Interjudeţean de matematică

“Mathematica-modusvivendi”

Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Clasa a IV-a

I. 1. Suma a trei numere naturale diferite între ele este 499. Arătaţi că cel puţin unul dintre ele este mai mic decât 166. (10 puncte) Gazeta Matematică

2. Pe tablă s-a scris de douăzeci şi trei de ori numărul 13 şi de treisprezece ori numărul 23. Câte numere trebuie şterse de pe tablă pentru ca suma numerelor rămase să fie 464? (10 puncte) Înv. Cârstoiu Emilia, Rm. Vâlcea

II. Suma a patru numere este 100. Dacă îl mărim pe primul cu 4, pe al doilea îl micşorăm cu 4, pe al treilea îl mărim de 4 ori, iar pe ultimul îl micşorăm de 4 ori, numerele devin egale. Care sunt numerele? (20 puncte) Înv. Bolovan Victoria, Rm. Vâlcea

III. Un om urcă un şir de trepte ale unei scări după următoarea regulă: urcă trei trepte, apoi coboară două trepte, urcă din nou cinci trepte şi coboară o treaptă; urcă trei trepte, apoi coboară două trepte, urcă din nou cinci trepte şi coboară o treaptă şi aşa mai departe.

1. Pe ce treaptă se află omul după 736 de paşi? (10 puncte)2. După câţi paşi ajunge omul pe treapta 736? (15 puncte)(un pas înseamnă urcarea sau coborârea unei trepte)

Înv. Cârstoiu Emilia, Rm. VâlceaIV. În fiecare din cele 9 căsuţe ale unui pătrat este înscrisă cifra 0 (zero), ca în figura de

mai jos. Se ia la întâmplare un pătrat al pătratului mare, pătrat alcătuit din 4 căsuţe alăturate şi se măreşte fiecare număr din pătratul ales cu câte o unitate. Se repetă operaţia cu alt pătrat alcătuit din 4 căsuţe alăturate sau cu acelaşi pătrat. După 30 de paşi (alegerea unui pătrat şi mărirea fiecărui număr din el cu câte o unitate este un pas) se obţine pătratul din ultima figură. Aflaţi numerele x, y, z, u, v, w. Justificaţi răspunsul! (25 puncte) Înv. Bolovan Victoria, Rm. Vâlcea

0 0 0

0 0 0

......

9 x 11

0 0 0 0 0 0 y z u

0 0 0 0 0 0 3 v w

Toate subiectele sunt obligatorii.Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.

Page 3: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

CLASA a V-a

1. Un număr de patru cifre scris pe o tablă poate fi înlocuit cu altul obţinut după următoarea regulă: la numărul de pe tablă se adaugă câte o unitate la două cifre vecine, dacă acestea sunt diferite de 9 sau se scade câte o unitate din două cifre vecine, dacă ambele sunt diferite de 0. Plecând de la numărul 4321, după un număr finit de astfel de operaţii, se poate ajunge la numărul 2012? Justificaţi!

Prof.Florin Smeureanu, Râmnicu-Vâlcea

2. a. Încadraţi un număr natural cu 2012 cifre, scris în baza 10, între două puteri consecutive ale lui 10. b. Numerele şi sunt scrise unul după altul în baza 10. Câte cifre are numărul obţinut?

Gazeta matematică

3. Fie 5 numere naturale consecutive. Daca suma a patru numere dintre ele este , arătaţi că produsul celor patru numere este divizibil cu 4, oricare ar fi n numar natural mai mare sau egal cu 2.

Prof. Nicolae Stănică, Braila

4. Se consideră şirul: 0,15,30, 45, 60, 75, .... Dacă la fiecare termen al acestui şir efectuăm suma cifrelor obţinem termenii unui al doilea şir: 0, 6, 3, 9, 6, 12, ….a. Care este al 2012 lea termen din al doilea şir?b. Numărul 2012 se găseşte în al doilea şir? Justificaţi!c. Care este cel mai mic număr din primul şir din care obţinem 2013 în al doilea şir?

Prof. Constantin Bărăscu, Râmnicu-Vâlcea

Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte

Page 4: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

CLASA a VI-a

1. Să se determine cel mai mic număr natural de trei cifre ştiind că împărţindu-l pe rând la trei numere naturale consecutive obţinem câturi tot numere naturale consecutive, iar suma celor trei resturi 23.

Prof. Nicolae Stănică, Brăila

2. Se consideră un tabel cu 2012 linii şi 2011 coloane. Este posibil ca în fiecare celulă a tabelului să fie scris câte un număr natural nenul astfel încât suma numerelor de pe orice linie sau coloană să fie număr prim? Justificaţi!

Prof.Elena Drăgan, Râmnicu-Vâlcea

3. Pe o tablă sunt scrise numerele naturale 1, 2, 3, 4,...,2012. La un „ pas” ştergem două numere oarecare a şi b iar apoi scriem numărul . Repetăm procedeul până când pe tablă rămâne un singur număr.a. Ce număr scriem pe tablă dacă stergem numerele 10 şi 11?b. După câţi „ paşi” rămâne scris pe tablă un singur număr?c. Demonstraţi că ultimul număr rămas scris pe tablă este număr prim.

Prof.Constantin Bărăscu, Râmnicu-Vâlcea

4. Se dau unghiurile drepte şi astfel încât şi

. Dacă este bisectoarea şi este bisectoarea , demonstraţi că:a. ;b. bisectoarele unghiurilor AOD şi BOC coincid;c. bisectoarele unghiurilor AOC şi BOD sunt perpendiculare;d. unghiul format de bisectoarele unghiurilor AOD şi AOC are măsura de 450.

Prof. Cornel Moroti, Râmnicu-Vâlcea

Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte.

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Page 5: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

CLASA a VII-a

1. Numerele naturale nenule x,y,z verifică relaţia: .

a. Aflaţi valorile lui x,y,z, ştiind că 8x─2y+9z=2010;

b. Aflaţi cele mai mici valori ale lui x,y,z, ştiind că .

Prof. Leon Genoiu, Râmnicu-Vâlcea

2. Fie numerele reale şi , unde , cu .

a. Determinaţi valoarea numărului întreg m pentru care a + 3b +mc = 6.b. Dacă şi , arătaţi că .c. Demonstraţi că cel puţin unul dintre numerele a, b, c este mai mic decât .

Prof. Dumitru Dobre, Rm. Vâlcea Prof. Cecilia Deaconescu, Piteşti

3. Fie patrulaterul convex în care , ,

şi . Arătaţi că:a. Paralela prin A la diagonala BD este bisectoarea şi reciproc, bisectoarea

este paralelă cu diagonala BD.b. Dacă I este centrul cercului înscris în şi punctele M, I, E sunt coliniare atunci patrulaterul AEBI este romb.

Prof. Ion Preda, Râmnicu-Vâlcea4. Fie triunghiul ABC şi punctele astfel încât

. Dacă punctul E este mijlocul , iar punctul F este mijlocul , demonstraţi că:

.

Prof.Constanti Bărăscu, Râmnicu-Vâlcea

Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncteColegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Page 6: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

CLASA a VIII-a

1. a. Dacă , demonstraţi că şi .

Prof.Elena Drăgan, Râmnicu-Vâlcea

b. Dacă a,b,c sunt numere reale şi , atunci .

Precizaţi în ce caz are loc egalitatea.Prof. dr. univ. Dumitru Acu, Sibiu

2. Fie o rearanjare arbitrară a numerelor 1,2,...,20.a. Să se arate că există trei termeni consecutivi cu astfel încât

.b. Să se arate că există trei termeni consecutivi cu astfel încât

.Prof. univ. Vasile Pop, Cluj

3. a. Se consideră un . Dacă cercul înscris în el este tangent la latura AB în punctul D, exprimati lungimea segmentului în funcţie de lungimile laturilor triunghiului ABC. b. Laturile AB, AC şi BC ale triunghiului ABC au lungimile 2010, 2011 şi respectiv 2012. Dacă D este piciorul înălţimii din A şi cercurile înscrise în triunghiurile ADB şi ADC sunt tangente la AD în punctele E şi respectiv F, calculaţi lungimea segmentului EF.

Prof.Elena Drăgan ,Râmnicu-Vâlcea

4. Se consideră prisma cu baza patrulaterul convex , punctele M şi N mijloacele segmentelor respectiv , punctele şi mijloacele

segmentelor respectiv . Demonstraţi că:

este paralelipiped.

Prof.Constantin Bărăscu,Râmnicu-Vâlcea

Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte

Colegiul Na ţional „Mircea cel Bătrân”, Rm. Vâlcea Concursul Interjudeţean

” Mathematica - modus vivendi” Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Page 7: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Clasa a IX-a

1) Fie x,y,z numere reale astfel încât x,y,z ≥ 1 şi x + y + z = 2012. Să se demonstreze :

+ + ≤ 2015.

profesor Lucian Tuţescu, Craiova, profesor Cătălin Pană, Rm.Vâlcea

2) Prin mijlocul M al înălţimii [AD] a triunghiului ABC se duce o dreaptă care intersecteaza laturile [AB] şi [AC] în F, respectiv E. Să se arate că:

a) Dacă EF este paralela cu BC atunci

profesor Simona Pozinărea , Rm.Vâlcea.

b) 2(tg B + tgC ) = .

profesor Irinel Dafincescu, Rm. Vâlcea.3) Fie a ∈ (0, ∞ ) un numar real dat. Rezolvaţi R2

+ sistemul :

profesor Dumitru Acu, Sibiu4) Se consideră mulţimea { 1,2,3,…,4024 } şi două submulţimi disjuncte ale acestei mulţimi, {a1,a2,…,a2012 }si {b1,b2,…,b2012} astfel încât a1>a2>…>a2012 şi b1 < b2 < …<b2 012 .Pentru orice k∊ { 1,2,…,2012 },considerăm numerele

ck = Arătati că ∊ N.

profesor Manuela Prajea, profesor Constantin Buse Timişoara.Notă: Timp de lucru 3 ore Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte

Colegiul National “MirceacelBatran”, Ramnicu-Valcea Concursul Interjudetean“Mathematica - modus vivendi”Editia a IX – a 25 februarie 2012Clasa a X-a

1. Demonstrati că dacă a,b,c sau a,b,c atunci :

Page 8: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

+

Prof. dr. Cătălin Pană, Valcea

2. Fie număr impar şi număr real. Să se rezolve sistemul:

Ion Gh. Preda, Rm. Vâlcea

3.Fie o funcţie astfel încât :

(i) ;

(ii) există astfel încât .

a) Să se arate că .

b) Dovediţi că există între şi astfel încât

Nicolae Bourbacut, Andrei Eckstein

4.Fie un poligon convex cu laturi . Notăm cu mulţimea segmentelor ce

. unesc mijloacele a două laturi ale poligonului.

Să se arate că există în mulţimea segmente astfel încât vectorul determinat de

.mijloacele lor să fie coliniar cu o latura a poligonului.Prof. Ciobotaru Petre, Vâlcea

Timp de lucru 3 ore.Fiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte.

Colegiul Na ţional „Mircea cel Bătrân”, Rm. Vâlcea Concursul Interjudeţean” Mathematica - modus vivendi” Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Page 9: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Clasa a XI a

1) Să se determine numărul matricelor inversabile în Mn ( Z) care au exact n minori nenuli de ordin (n-1).

profesor Vasile Pop, Cluj- Napoca

2) Fie (an ) un şir de numere reale convergent la zero. Considerăm sirul ( bn ),definit prin

bn = , n∊N.

Arătaţi că:a) Şirul ( bn ) este mărginit.b) Şirul ( bn ) este convergent la zero. profesor Manuela Prajea, profesor Constantin Buşe, Timişoara.

3) Calculaţi { ln2n }.

profesor Aron Roxana, Rm.Vâlcea

4) Fie A∊M2 (C) astfel încât det(A)≠0 , şi det( A) +1 =Tr(A) demonstraţi că :

(A2- I2 )( ( )2 - I2) = O2 ( este adjuncta matricei A) .

profesor Simona Pozinărea, Rm. Vâlcea.

Notă: Timp de lucru 3 ore Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte

Colegiul National “Mircea cel Batran”, Ramnicu-ValceaConcursul Interjudetean

“Mathematica - modus vivendi”

Page 10: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Editia a IX – a 25februarie 2012

Clasa a XII-a

1. i) Aratati că legea de compoziţie determină pe intervalul (2,4) o

structură de grup comutativ.

ii) Să se determine m astefel încât funcţia să fie un

izomorfism de la grupul ((0, ), ) la grupul ((2,4), ).

Prof. dr. Dumitru Acu,

Sibiu

2. Să se calculeze integrala , n

Prof. dr. Cătălin Pană, Rm.Vâlcea

3. Fie . Calculaţi:

Prof. dr. Dumitru Acu ,Sibiu

4. Fie un inel cu elemente care are elemente inversabile.

a) Să se dea exemplu de un astfel de inel.

b) Să se determine .

c) Să se determine toate inelele cu această proprietate.Prof. Ciobotaru Petre, Vâlcea

Timp de lucru 3 ore.Fiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte

Page 11: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Rm. Vâlcea

Concursul Interjudeţean de matematică“Mathematica-modus

vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Clasa a III-a SOLUTII

I. 1. Nenea Andrei are, din partea fiecărui copil, câte trei nepoţi, deci în total nepoţi.

R: 15 nepoţi

2. Numărul de băieţi este .

Numărul de fete este .

Verificăm pentru o zi: 12 + 1 = 6 + 3

13 = 9 (fals) Verificăm pentru două zile: 12 + 1 + 1 = 6 + 3 + 3 14 = 12 (fals) Verificăm pentru trei zile: 12 + 1 + 1 + 1 = 6 + 3 + 3 + 3 15 = 15 (adevărat) Deci sunt 3 zile.

II. 4 – 4 + 4 – 4 = 0 (4 · 4 + 4) : 4 = 5 4 : 4 + 4 – 4 = 1 4 + (4 + 4) : 4 = 6

4 : 4 + 4 : 4 = 2 4 + 4 – 4 : 4 = 7 (4 + 4 + 4) : 4 = 3 4 · 4 – 4 – 4 = 8 4 + (4 – 4) : 4 = 4 4 + 4 + 4 : 4 = 9

III.

Page 12: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Al patrulea copil cumpără jumătate + 1 şi caietele se termină, deci jumătate = 1, adică el găseşte 2 caiete pe care le cumpără.

Al treilea copil cumpărase jumătate + 1, dar rămân 2 caiete, deci jumătate din ce găseşte el este 2 + 1 = 3, deci el găseşte în librărie 6 caiete.

Al doilea copil cumpără si el jumătate + 1 din ce găseşte şi răman 6, deci el găseşte în librărie 6 + 1 + 6 + 1 = 14 caiete.

Primul copil cumpărase jumătate + 1 şi rămăsăseră 14 caiete, deci 14 + 1 = 15 = jumătate din ce a găsit, deci în librărie au fost 15 + 1 5 = 30 caiete.

IV. a + c = 1414 = 5 + 9 = 6 + 8 = 7 + 7 = 8 + 6 =9 + 5

a · b = 1818 = 2 · 9 = 3 · 6 = 6 · 3 = 9 · 2Deci a = 6 sau a = 9.Cazul 1: a = 6, atunci b = 3, iar c = 8a · b ∙ c = 144, dar a · b ∙ c ∙ d = 450, de unde se observă (ultima cifră a lui 450 este 0) că

d = 5. Însă 144 · 5 = 720 > 450. Rezultă că Cazul 2: a = 9, deci b = 2, iar c = 5, rezultă a · b ∙ c = 90 şi a · b ∙ c ∙ d = 450, deci d = 5.R: a = 9, b = 2, c = 5, d = 5 şi

Page 13: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Rm. VâlceaConcursul Interjudeţean de matematică

“Mathematica-modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

Clasa a IV-a SOLUTII

I. 1. Presupunem că cele trei numere sunt mai mari sau egale cu 166.166 + 167 + 168 = 501 > 499.Deci cel putin unul este mai mic decât 166.2. Dacă se şterg a numere de 23 şi b numere de 13, atunci 23a + 13b = 2 · 13 · 23 – 464 =

134, deci a este mai mic sau egal cu 5. Analizând cazurile posibile, rezultă că a = 5, b = 3, deci a + b = 8.

II. Pentru a organiza suma în 100 de părţi egale, luăm ca unitate cel mai mic număr. Se observă că îndeplineşte această condiţie al treilea număr.

Fie al treilea număr:

III I II IV

6 · 4p + 1p = 10025p = 100p = 100 : 25p = 4Deci al treilea număr este 4.Primul număr este 4 ∙ 4 – 4 = 12.Al doilea număr este 4 · 4 + 4 = 20.Al patrulea număr este 16 ∙ 4 = 64.

III. 1. Se observă că după 11 paşi omul urcă 5 trepte. Deoarece 736 = 66 ∙ 11 + 10 rezultă că, după 736 de paşi au fost urcate 5 · 66 + 3 – 2 + 5 = 336 trepte.

2. Avem 736 = 5 ∙ 147 + 1.

p

p

44

Page 14: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

După 146 · 11 = 1606 paşi omul este pe treapta 730, apoi după încă 5 paşi ajunge pe treapta 731 şi după alţi 5 paşi este pe treapta 736. Deci numărul total de paşi este de 1606 + 5 + 5 = 1616.

IV. La fiecare alegere numărul din centru se măreşte cu 1, deci z = 30.Pătratul 9, x, y, z e luat de 9 ori, iar pătratul x, 11, z, u e luat de 11 ori, deci x = 9 + 11,

adică x = 20.Pătratul 9, x, y, z e luat de 9 ori, iar pătratul y, z, 3, v e luat de 3 ori, deci y = 9 + 3, adică

y = 12.În pătratele considerate mai sus z s-a luat de (9 + 11 + 3 = 23) de 23 de ori.Cum z = 30 rezultă că pătratul z, u, v, w se va lua de 7 ori (30 – 23 = 7).Pătratul y, z, 3, v e luat de 3 ori, iar pătratul z, u, v, w e luat de 7 ori, deci v= 3 + 7, adică

v = 10 şi w=7Pătratul x, 11, z, u e luat de 11 ori, iar pătratul z, u, v, w e luat de 7 ori, deci u = 7 + 11,

adică u = 18.

Page 15: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-VâlceaConcursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”

Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

BAREM CLASA a V-a1. Dacă unui număr îi aplicăm operaţiile din enunţ atunci el devine unu

dintre numerele sau unul dintre

numerele ......................................2p

Notăm şi observăm că

, ,...,

....................................................................3p

Din 4321 se poate obţine 2012 doar dacă ..............................1p

şi , deci nu se poate........................................................1p Total = 7 puncte2. a. Dacă A este un număr natural cu 2012 cifre atunci ....................3pb. Dacă are n cifre atunci ...........................................................1p Dacă are m cifre atunci ..........................................................1p Înmulţin cele două duble inegalităţi şi obţinem .....................1p Numărul obţinut are cifre, adică 2013 cifre........................................................1p

---------------------------- Total = 7 puncte

3. …………………………………………………………..2p Daca numerele sunt x, x+1, x+2, x+3 si x+4, singura varianta de a aduna 4 dintre ele si a obtine un numar divizibil cu 4 este x, x+1, x+3 si x+4………………………………….3p Numerele x si x+1 sunt consecutive x(x+1) ………………………………………1p Numerele x+3 si x+4 sunt consecutive (x+3)(x+4) 2……………………………….1p

---------------------------- Total = 7 puncte4. a. Al 2012 lea termen din primul şir este al 2012 lea termen din al doilea şir este 15.................................................................................................................2pb. Termenii primului şir sunt divizibili cu3 suma cifrelor lor este divizibilă cu 3. Cum 2012 nu e divizibil cu 3 nu este în al doilea şir..............................................................2p

Page 16: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

c. este numărul căutat, el face parte din primul şir

deoarece este multiplu al lui 15.........................................................................................3p ----------------------------

Total = 7 puncteColegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”

Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012BAREM CLASA a VI-a

1. ...........................................................................................................2pAdunând cele trei relatii obtinem ...................................1p

....................................................................1p

Dacă s .

Dacă .

Dacă .

Dacă şi cum

..........................................................................................................2pNumarul cautat este 103....................................................................................................1p

---------------------------- Total = 7 puncte

2. Orice sumă de pe linie sau coloană este un număr prim mai mare ca 2, deci impar.....1pAdunând numerele de pe fiecare linie obţinem 2012 numere prime.................................1pSuma celor 2012 numere prime este număr par şi reprezintă suma tuturor numerelor din tabel....................................................................................................................................2pAdunând numerele de pe fiecare coloană obţinem 2011 numere prime............................1pSuma acestor 2011 numere prime este număr impar şi reprezintă suma tuturor numerelor din tabel, contradicţie.........................................................................................................2p

---------------------------- Total = 7 puncte

3. a. ..................................................................................2pb. După primul “pas” rămân pe tablă 2012-1 numere, după al doilea “pas” rămân pe tablă 2012-2 numere,..., după al 2011 lea “pas” rămân pe tablă 2012-2011=1 numere...2p

Page 17: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

c. Dacă ştergem numerele 2 şi b, atunci scriem numărul , adică numărul prim 2 rămâne mereu scris pe tablă.....................................................................3p

---------------------------- Total = 7 puncte

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea Concursul Interjudeţean

„Mathematica – modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

BAREM CLASA a VI-a

4. a. ……………………………………....2p b. Notăm

Dacă este bisectoarea

bisectoarea ………………………………………………………………………2p c.

Dar din ……………………2p

d. ……………………………1p

---------------------------- Total = 7 puncte

Page 18: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-VâlceaConcursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”

Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012BAREM CLASA a VII-a

1. = ..................................................1p

2x=3y=4z......................................................................................................................1pCum x, y, z sunt numere naturale atunci valoarea comună a produselor egale este

x=180, y=120 şi z=90..................................................................................1p

b) . ....................................1p

Cum x, y, z sunt cele mai mici deducem că valoarea lui k trebuie să fie cea mai mică....1p .k=3∙11=33. .......................................................................................................................1p x=198, y=132 şi z=99.......................................................................................................1p

---------------------------- Total = 7 puncte

2. a. m = 5 …………………………………………………………………………….. 1p b. Pentruobţinem ……..………..……………..…….. 1p

Cum …………….……….…… …1p

Finalizare  , , şi ………………………….. 1p c. Demonstrăm că cel puţin unul dintre numerele a, b, c este mai mic decât .

Apelăm la metoda reducerii la absurd: Presupunem că ………………..........…… 1pConform subpunctului a. …………………... ...1p

Se obţine şi , fapt ce contrazice ipoteza presupunerea făcută este falsă

cel puţin unul dintre numerele a, b, c este mai mic decât ……….. 1p

---------------------------- Total = 7 puncte

Page 19: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-VâlceaConcursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”

Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012BAREM CLASA a VII-a

3. a. / şi .........1p

/ AN bisectoare …………………………….2p

b. I centrul cercului înscris bisectoare paralelogram.....................................................................................................................1p

.......................................................................................2p

isoscel mediatoarea romb.................................................1p ----------------------------

Total = 7 puncte

4. Construim paralelogram, isoscel şi ........................................................................................................3p

F mijlocul lui şi al lui linie mijlocie în ...........2p

/ echilateral

………………………………………………………………2p

/ echilateral, dar ………1p

---------------------------- Total = 7 puncte

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-VâlceaConcursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”

Page 20: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012BAREM CLASA a VIII-a

1. a. a, b, c sunt numere naturale consercutive şi ....................1p

, dar ..............................................1p

b. .............2p

Utilizăm inegalitatea şi avem

.......................................2p

Egalitate avem dacă .............................................................................1p

---------------------------- Total = 7 puncte

2. Considerăm sumele

...................................1p

.......................................................1p

.................................................................1pexistă cel puţin un .................................2p

există cel puţin un ..................................2p----------------------------

Total = 7 puncte3. a. Fie cu lungimile laturilor a, b, c şi x lungimea tangentei dusă din punctul A

la cercul înscris în , atunci

...............................................................................................................2p

b. ..................................................1p

..................................................................................1p

..............................................................2p

.......................................................................................................................1p

---------------------------- Total = 7 puncte

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Page 21: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”Ediţia a IX-a, 25 februarie 2012

BAREM CLASA a VIII-a

4. / Dacă este paralelipiped paralelogram. Înmulţind această relaţie cu

.................................................................................4p

/ Dacă , prin împărţirea cu

Construim trapez .....................................1pDar

coliniare (F)E coincide cu B ..............................................................................................1pAnalog ................................................................................1pDin şi paralelogram paralelipiped

---------------------------- Total = 7 puncte

Solutii clasa a IX-a

Page 22: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

1) Scrierea inegalitatii : ( ∀) x,y ≥ 1..........................2p

Demonstrarea inegalitatii: (1+x ) (1+y ) ≤ ( 1+ ) ( 1+ )……………..1p

2x +2y +2xy +2 ≤ 2+ 2 +x + y + x + y ……...............................1p ( x + y - 2 )- ( x+ y - ) ≥ 0 …………………………….1p ( - ( ≥ 0 ……………………………………………………...1p Finalizare ………………………………………………………………………......1p

2) a) Se arata ......1p, finalizare..................................................................1p

b) tg B = ...........................................................2p

......................................1p

Notam: , ...........................2p

...........................................................................1p

F,M,E coliniare , atunci au coeficientii proportionali,finalizare...........1p

3 ) Sistemul are solutii daca x>0 si y>0 .Atunci exista m >0 asa incat y=mx................2p

Sistemul devine: ...........................................................1p

Inmultind cele doua ecuatii obtinem: ......................................1p

Gasim ecuatia m2+a(4-a)m- =0 => m=a2 convine =>y=a2x. ...................................1p

Inlocuim in a doua ecuatie a sistemului.Obtinem si y=(a+1)2...................2p

4) Fie A= { 1,2,3...,2012}, B=2013,2014,...,4024}……………………………………..1p

Pentru fiecare pereche (ak , bk ) avem fie ak∈ A,bk∈B sau invers..................................1p.

Page 23: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Intr-adevar, daca prin absurd am avea ak∈A,bk ∈A(analog daca amandoua sunt dinB) atunci tinand cont de modul de definire al multimilor A,B si de monotonia scventelor din ipoteza , am avea in A si elementele ak-1,ak-2,...,a1,bk+1,bk+2,...,b2012 , deci A ar contine 2+k-1+2012-k=2013 elemente –contradictie...................................................................2p

Din modul de definire al numerelor ck ,avem :

c1c2...c2012 = .................................................................................1p

Demonstram prin inductie ca : este numar natural..........................2p

SOLUTIE PROBLEMA 1 clasa a X a

Demonstrati că dacă a,b,c saua,b,c atunci

+

Prof. dr. Cătălin Pană, Rm. Vâlcea

Page 24: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Soluţie

Demonstrăm că x+ ..................................................................1p

Notăm ...........................................................1p

2 ...................................................................1p

................................................................1p

+

1p

Aplicăm inegalitatea mediilor

.....................1p

Finalizare .................................................................................................................1p

SOLUTIE PROBLEMA 2 clasa a X a

Fie număr impar şi număr real. Să se rezolve sistemul:

Ion Gh. Preda, Rm. Vâlcea

Soluţie :

Observăm că este soluţie a sistemului. 1p

Page 25: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Sistemul poate fi scris: 2p

Fie o soluţie a sistemului. Presupunem că există cu .

Putem presupune . Daca impar . Cum

Dacă impar . Cum .

Analog şi cum impar . Din ultima ecuaţie rezultă . Contradicţie cu

presupunerea făcută, .

Analog, dacă ajungem la contradicţie. 3p Deci soluţia este unică.1p

SOLUTIE PROBLEMA 3 clasa a X a

Fie o funcţie astfel încât:

(i) ;

(ii) există astfel încât .

a) Să se arate că .

b) Dovediţi că există între şi astfel încât

Nicolae Bourbacut, Andrei Eckstein

Soluţie:

a) Admitem că şi , atunci şi de unde

Page 26: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

3p

b) Admitem că . Fie cel mai mare număr din astfel ca şi

cel mai mic număr din astfel ca . 2p Atunci între şi există

conform cu a) cel puţin un număr întreg. Fie un astfel de număr. Dacă

contrazice maximalitatea lui , iar dacă contrazice minimalitatea lui b şi în

concluzie . 2p

SOLUTIE PROBLEMA 4 clasa a X a

Fie un poligon convex cu laturi . Notăm cu mulţimea segmentelor

ce unesc mijloacele a două laturi ale poligonului.

Să se arate că există în mulţimea segmente astfel încât vectorul determinat de

mijloacele lor să fie coliniar cu o latura a poligonului.Prof. Ciobotaru Petre, Vâlcea

Solu ţie :

1) evident 1p

2) vectorul nul e coliniar cu orice vector 2p

3) Fie un pentagon convex cu afixele

Fie mijloacele segmentelor . Avem:

1p

1p

Page 27: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

coliniar cu este real

2p

SOLUTII CLASA A XI-A

1) Daca A este o matrice cu proprietatea data atunci inversa eiare exact n elemente nenule,fie acestea d1,d2,…,dn ∈ Z ………………………………………………….1pDeoarece A este inversabila ,ele sunt asezate cate unul pe fiecare linie si pe fiecare coloana iar detA-1 ∈ {-1;1 },deci d1,d2,…,dn ∈ {-1;1 }……………………………..3p.Alegerea pozitiilor elementelor d1,d2,…,dn de pe liniile matriceiA-1 se poate face in n! moduri…………………………………………………………………………1p Pentru fiecare astfel de alegere sumele 1 pot fi alese in 2n moduri ……………..1p.Numarul cautat este 2n n! moduri…………………………………………………....1p

2) a) Sirul am este convergent,deci marginit Notam M=sup{modul de am ,m∈N}…………………………………………….1p Se arata modul de bn ≤ M, pentru orice n∈ N………………………………...1p b) Fie ℇ>0 si N∈N astfel incat < ℇ pentru orice numar natural n cu n ≥ N Consideram sirul (cn ) dat de cn = an pentru n∈ {0,1,…,N} si zero in rest............1p Pentru fiecare m∈ N avem :

..................................2p

Acum primul termen este mai mic sau egaldecat modulul lui am pentru orice n≥N,

Page 28: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

in timp ce al doilea termen este dominat de , unde b =max{ }

bn este convergent la zero…………………………………………………………2p

3) ………

2p+4p

Se aplica : arctg a – arctg b = arctg

……………………………………………………1p

4) Se arata usor ca A =detA I2................................................................................1p Prin calcul direct se arata A + = Tr ( A ) I2........................................................2p (A + I2) ( + I 2 ) = I2 (a + b + 1)...........................................................................1p ( A – I2 ) ( - I2 )= I2 (a- b + 1 )............................................................................1p ( A2 – I2 ) ( ) = O2 .....................................................................................1p Finalizare ................................................................................................................1p

SOLUTIE PROBLEMA 1 clasa a XII a

i) Aratati că legea de compoziţie determină pe intervalul (2,4) o

structură de grup comutativ.

ii) Să se determine m astefel încât funcţia să fie un

izomorfism de la grupul ((0, ), ) la grupul ((2,4), ).

Prof. dr. Dumitru Acu ,Sibiu

Solu ţie

i) Să arătăm că legea de compoziţie este internă. Avem:

Page 29: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

1p

Şi

1p

ceea ce demonstrează că „ ” este o operaţie internă pe (2,4).

ii) Cum , ar trebui ca f(x)=m=4 2p. Pentru avem:

. Rezultă că este strict descrescătoare pe (0, )

şi deci este injectivă.1p Din continuă pe (2,4) rezultă că f(0, ) = (2,4), adică este

surjectivă 1p, deci bijectivă.

Se verifică imediat că . 1p

Prin urmare f este un izomorfism de la ((0, ), ) la ((2,4), ). Cum ((0, ), ) este un

grup comutativ, deducem că si ((2,4), ).este grup comutativ cu elementul neutru

.

SOLUTIE PROBLEMA 2 clasa a XII a

Să se calculeze integrala , n

Prof. dr. Cătălin Pană, Rm. Vâlcea

Soluţie

sinx+cosx= .....................................................................................1p

I = +2012 .............................................1p

Page 30: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Facem schimbare de variabilă:

-dx=dt;...............................................1p

I = ............................................................1p

I =

..........................................................................................1p

Finalizare I = 2012 ...................................................................1p

SOLUTIE PROBLEMA 3 clasa a XII a

Fie . Calculaţi:

Prof. dr. Dumitru Acu ,Sibiu

Soluţie :

2p

Fie:

x t

0

Page 31: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

şi integrăm prin părţi, punând

Obţinem formula de recurenţă:

(1) 2p

Dăm lui n valori de la 1 la n şi găsim:

Eliminăm în egalităţile precedente pe , prin înmulţirea lui cu ,

cu , …, cu şi cu

Adunăm egalităţile şi găsim:

2p

Înlocuim pe în , obţinem:

Page 32: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

, de unde

Finalizare 1p

SOLUTIE PROBLEMA 4 clasa a XII a

Fie un inel cu elemente care are elemente inversabile.

a) Să se dea exemplu de un astfel de inel.

b) Să se determine .

c) Să se determine toate inelele cu această proprietate.Prof. Ciobotaru Petre, Vâlcea

Solu ţie :

a) este un astfel de inel 2p

b) Fie unde este neinversabil şi inversabile

1p

Fie

1) dacă înmulţind cu obţinem , absurd.

2) dacă înmulţind cu obţinem , absurd.

3) dacă rezultă că inversabil, absurd.

Deci: deci neinversabil.

Deci: , absurd.

Sau deci .

Page 33: Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea · Web viewFiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”

Deci are două elemente inversabile.

În concluzie . 1p

c) grupşi el este izomorf cu sau cu grupul lui Klein.

1. este izomorf cu 1p

2. Dacă este grupul lui Klein, atunci , avem 1+1=0,

a+a=2a=0

este inversabil deci , , deci ;


Recommended