CODURI DE LINIE 23 CAPITOLUL II CODURI DE LINIE II.1 Introducere Pentru transmisie se foloseşte cel mai adesea forma de undă rectangulară a impulsului s(t) de amplitudine A şi durată T, durata fiind cunoscută ca interval de bit. Avantajul principal al impulsului rectangular este uşurinţa de generare la viteze ridicate, folosind dispozitive ce lucrează în comutaţie. În telecomunicaţii se specifică puterea livrată de un semnal unui rezistor cu valoarea de 1 ohm prin u 2 , pătratul tensiunii semnalului. Evident, 2 / P U R = (2.1) şi pentru R = 1 ohm, rezultă P = U 2 . Energia de bit este definită ca T A E b ⋅ = 2 (2.2) Informaţia ce urmează a fi transmisă, denumită pe scurt date se notează cu {a k }, {a k } = {…, a -2 , a -1 , a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , …, a k , …}, a k ε {0, 1} simbolurile a k sunt binare şi iau valorile 0 şi 1. În transmisie lor li se asociază fie valorile 0 şi A, variantă denumită simplu curent sau unipolară, fie valorile -A and +A , variantă denumită dublu curent sau polară. Varianta polară este cunoscută şi sub denumirea de antipodală deoarece foloseşte valori în opoziţie (+A şi -A sau +1 şi -1). Transmisia folosind impulsuri rectangulare de durată T este cunoscută sub numele de codare NRZ- L (Non-Return to Zero Level). Pe durata bitului semnalul nu prezintă treceri prin zero iar informaţia este asociată cu nivelele semnalului şi transmisă la intervale de durată T, folosind forma de undă s(t). Figura 2.1 Forme de undă ce ilustrează transmisia binară cu codare NRZ-L
Transcript
CODURI DE LINIE
23
CAPITOLUL II
CODURI DE LINIE
II.1 Introducere
Pentru transmisie se foloseşte cel mai adesea forma de undă rectangulară a impulsului s(t) de amplitudine A şi durată T, durata fiind cunoscută ca interval de bit. Avantajul principal al impulsului rectangular este uşurinţa de generare la viteze ridicate, folosind dispozitive ce lucrează în comutaţie.
În telecomunicaţii se specifică puterea livrată de un semnal unui rezistor cu valoarea de 1 ohm prin u2 , pătratul tensiunii semnalului. Evident, 2 /P U R= (2.1) şi pentru R = 1 ohm, rezultă P = U2. Energia de bit este definită ca TAEb ⋅= 2 (2.2)
Informaţia ce urmează a fi transmisă, denumită pe scurt date se notează cu {ak}, {ak} = {…, a-2, a-1, a0, a1, a2, a3, …, ak, …}, ak ε {0, 1} simbolurile ak sunt binare şi iau valorile 0 şi 1.
În transmisie lor li se asociază fie valorile 0 şi A, variantă denumită simplu curent sau unipolară, fie valorile -A and +A , variantă denumită dublu curent sau polară. Varianta polară este cunoscută şi sub denumirea de antipodală deoarece foloseşte valori în opoziţie (+A şi -A sau +1 şi -1).
Transmisia folosind impulsuri rectangulare de durată T este cunoscută sub numele de codare NRZ-L (Non-Return to Zero Level). Pe durata bitului semnalul nu prezintă treceri prin zero iar informaţia este asociată cu nivelele semnalului şi transmisă la intervale de durată T, folosind forma de undă s(t).
Figura 2.1 Forme de undă ce ilustrează transmisia binară cu codare NRZ-L
Capitolul II
24
)()( kTtsatx −= ∑+∞
∞−k (2.3)
Procesul de emisie este ilustrat in Fig. 2.1 unde se evidenţiază prezenţa impulsurilor rectangulare emise la momente de timp multiplu de T.
Relaţia (2.3) mai poate fi scrisă ca
)(*)()( kTtatstx k −= ∑+∞
∞−
δ (2.4)
Primul factor al convoluţiei reprezintă răspunsul la impuls al unui filtru liniar fix ilustrat în figura 2.2, iar cel de al doilea poate fi notat ca
)()( kTtaty k −= ∑+∞
∞−
δ
şi reprezintă un proces aleator. El constituie factorul ce transportă informaţia.
Prin aplicarea transformatei Fourier relaţiei (2.4) şi folosind teorema întârzierii se obţine:
tjkk eafSfX π2*)()( −
+∞
∞−∑= (2.5)
Aici S(f) reprezintă factorul de formă al spectrului semnalulului şi este dat de transformata Fourier a formei de undă s(t) utilizată pentru semnalizare. Cel de al doilea factor se numeşte factor de discriminare şi depinde de biţii de date ce urmează a fi transmişi.
Densitatea spectrală de putere a semnalului NRZ-L în varianta polară şi echiprobabilă este dată de
2)(1)( fS
TfWx = (2.6)
şi are forma reprezentată în figura 2.3. Se observă prezenţa unor componente de curent continuu şi de joasă frecvenţă importante, deşi
codul este polar, ceea ce face imposibilă transmisia acestui semnal pe un canal de tipul celui telefonic sau pe o linie metalică ce implică cuplaje prin condensator sau transformator, ce blochează componenta de c.c. Semnalul astfel transmis va prezenta distorsiuni foarte puternice.
Se impune deci modificarea spectrului semnalului pentru a-l adapta la canalul de transmisie. În acest scop se poate transla liniar sau neliniar banda semnalulului în jurul unei frecvenţe purtătoare, operaţie cunoscută sub denumirea de modulaţie sau se poate interveni prin modificarea factorului de discriminare sau a factorului de formă, operaţie cunoscută sub denumirea de codare de linie.
Figura 2.2 Convoluţie ce implică un filtru liniar fix şi un proces aleator
bRf /
)( fWx
Figura 2.3 D.s.p. a codului NRZ
CODURI DE LINIE
25
Necesitatea de a putea extrage din spectrul semnalului de date frecvenţa de bit folosită în receptor pentru detecţia informaţiei a condus de asemenea la înlocuirea pentru transmisie a codului NRZ-L cu alte coduri, denumite coduri de linie sau coduri de modulaţie. Acestea trebuie să satisfacă, parţial sau în totalitate, următoarele condiţii
Componentă de c.c. nulă, pentru a nu încărca inutil linia şi repetoarele; Valoare mică a variaţiei sumei digitale (DSV) pentru atenuarea componentelor de joasă
frecvenţă; Să fie de tip RLL (lungime de fugă limitată) pentru o sincronizare fără probleme; Să prezinte un număr suficient de tranziţii pe durata simbolurilor de ieşire pentru uşurarea
sincronizării de tact; Să poată fi folosite în reţele tip inel sau de alte tipuri; Să asigure o propagare limitată a erorilor; Să permitonitorizarea şi detecţia unor tipuri de erori; Să prezinte complexitate şi eficienţă rezonabile; Să poată fi implementat cu circuite simple, fiabile şi la un preţ de cost redus. Să prezinte nuluri spectrale la anumite frecvenţe
Câteva coduri binare, de interes larg, folosite în sistemele moderne de telecomunicaţii sunt prezentate în continuare şi sunt ilustrate în figura 2.4.
II.1.1 Codul RZ În codarea RZ (Return to Zero) bitul 1 este reprezentat prin HL (nivelul logic H pe prima jumătate a
intervalului de bit şi nivelul logic L pe cea de a doua jumătate) iar bitul 0 este reprezentat prin nivelul logic L pe tot intervalul de bit. Această reprezentare dezechilibrată, cu valoarea medie a semnalului diferită de zero pentru o transmisie echiprobabilă conduce la crearea în spectrul semnalului de componente discrete (linii) pe armonicele frecvenţei de bit. În acest caz se poate extrage semnalul de tact necesar la recepţie cu un circuit PLL calat pe frecvenţa de bit.
II.1.2 Codurile NRZ-M şi S În codarea NRZ_M (Non Return to Zero - Mark) bitul 1 este reprezentat alternativ prin nivelele
logice H şi L iar bitul 0 este reprezentat prin nivelul logic utilizat pentru reprezentarea ultimului bit 1, sau cu alte cuvinte bitul 1 este reprezentat printr-o tranziţie la începutul sau mijlocul intervalului de bit iat bitul 0 prin absenţa tranziţiei.
Această codare diferenţială sau prin tranziţii rezolvă problema ambiguităţii de fază care poate apare prin inversarea firelor unei linii de transmisie, ceea ce conduce la obţinerea informaţiei negate, în cazul utilizării codului NRZ-L. Aceeaşi situaţie apare la transmisiile de tip MA cu purtătoare suprimată, inclusiv PSK, unde sincronizarea se face pe un multiplu al frecvenţei purtătoare. În codarea NRZ_S (Non Return to Zero - Space), accepţia este inversă, biţii 1 şi 0 schimbându-şi rolurile.
II.1.3 Codurile bifazice În codarea bifazică (BP) L (L - Level) bitul 1 este reprezentat prin elementele HL iar bitul 0 este
reprezentat prin elementele LH.
Capitolul II
26
Codarea bifazică M provine din asocirea codării bifazice L cu o precodare NRZ-S. Astfel, bitul 1 este reprezentat prin elementele HL şi LH iar bitul 0 este reprezentat alternativ prin nivelele logice L şi H . În codarea bifazică S convenţia este inversă.
II.1.4 Codul CMI În codarea CMI (Coded Mark Inversion) bitul 1 este reprezentat alternativ prin nivelele logice L şi
H iar bitul 0 este reprezentat prin elementele LH. Această codare asigură prezenţa unei componente discrete pe frecvenţa de bit în spectrul semnalului, facilitând procesul de sincronizare.
II.1.5 Codul Miller În codarea Miller sau DM (Delay Modulation) bitul 1 este reprezentat alternativ prin elementele HL
şi LH iar bitul 0 este reprezentat ca absenţa unei tranziţii, repetând ultimul nivel logic din reprezentarea bitului 1 anterior, dacă apare ca zero unic, între doi biţi 1. Pentru mai mulţi biţi zero suc-
Figura 2.4 Câteva coduri de linie de interes general
Figura 2.5 Densitatea spectrală de putere a unor coduri binare
CODURI DE LINIE
27
cesivi, toate zerourile, cu excepţia ultimului sunt codate printr-o tranziţie la sfârşitul intervalului de bit. Codarea Miller provine dintr-un precodor bifazic L urmat de un bistabil tip T care înjumătăţeşte
tranziţiile semnalului bifazic. Prezenţa bistabilului tip T, care în general se foloseşte pentru divizarea cu 2 a frecvenţei, determină o micşorarea a lăţimii spectrului semnalului codat şi deplasarea componentelor spectrale spre frecvenţe joase.
În figura 2.4 sunt exemplificate toate aceste tipuri de coduri de linie. În figura 2.5 sunt ilustrate spectrele de putere ale codurilor NRZ-L, RZ, Bifazic L, CMI şi Miller pentru cazul echiprobabil. În figura 2.6 sunt reprezentaţi factorii de codare C(f) pentru aceste coduri, tot în cazul echiprobabil p =0.5, p reprezentând aici probabilitatea de apariţie a unui bit 1.
II.2 Codarea diferenţială Să considerăm cazul unei transmisii polare, reprezentată în figura 2.7 şi că linia a fost ruptă, iar
conexiunea a fost restabilită, dar nu în forma originală, conductoarele liniei fiind inversate între ele.
Dacă conexiunea este de tipul AB şi CD se recepţionează o tensiune UMN = +E sau –E, conform poziţiei manipulatorului telegrafic I sau respectiv II. Dacă se reconectează ca AD şi CB atunci UMN = -E şi respectiv +E, pentru aceleaşi poziţii I şi II ale manipulatorului telegrafic, adică situaţia opusă.
Figura 2.6 Factori de codare C(f)
Figura 2.7 Conectarea directă sau inversă a conductoarelor liniei de transmisie
Figura 2.8 Forme de undă codate diferenţial
Capitolul II
28
În cazul reprezentării informaţiei prin nivele codare NRZ-L situaţia descrisă mai sus conduce la obţinerea informaţiei negate (bitul 0 devine 1 şi invers). O situaţie similară apare la transmisiile cu modulare-demodulare cu purtătoare suprimată, denumită problema ambiguităţii de fază.
Pentru a rezolva aceste probleme se foloseşte codarea diferenţială (NRZ-M sau S) sau prin tranziţii. În codarea diferenţială NRZ-M (Non-Return-to-Zero Mark) un bit 1 este reprezentat de o tranziţie (nivel opus celui transmis în intervalul de bit anterior) iar un bit 0 este codat prin absenţa tranziţiei (acelaşi nivel cu cel transmis în intervalul de bit anterior). În codarea NRZ-S (Non-Return-to-Zero Space) convenţia este inversă. Formele de undă asociate sunt prezentate în figura 2.8.
Se observă existenţa a două forme de undă posibile a şi b (b este forma de undă a negată logic) pentru semnalele codate NRZ-M sau S. Semnalul codat NRZ-M yk poate fi scris ca 1−⊕= kkk yxy (2.7)
unde xk reprezintă semnalul codat NRZ-L iar ⊕ operaţia logică SAU EXCLUSIV (sumare modulo-2). Dacă 10 −=→= kkk yyx şi nu apare tranziţie, în timp ce pentru
11,k k kx y y −= → = şi există tranziţie. Coderul diferenţial sau NRZ-M este
reprezentat în figura 2.9a.
Pentru decodarea unui semnal codat NRZ-M ec. (2.7) poate fi rescrisă ca
111 −−− ⊕⊕=⊕ kkkkk yyxyy
sau 1−⊕= kkk yyx (2.8)
ţinând cont că 011 =⊕ −− kk yy . Decodorul diferenţial este reprezentat în figura 2.9b.
Un codor NRZ-M este prezentat în figura 2.10. În acest caz tranziţia apare pe mijlocul intervalului
de bit, adică se produce o întârziere cu T/2 a semnalului codat faţă de situaţia prezentată în figura 2.4, iar codul este cunoscut sub denumirea de NRZI (Non-Return-to-Zero Inverted).
Figura 2.9 Circuite de codare şi decodare diferenţială
Figura 2.10 Codor NRZ-M
CODURI DE LINIE
29
II.3 Funcţia de autocorelaţie
Funcţia de autocorelaţie (AKF) a unui semnal x(t) este definită ca
∫−
∞→+=
2/
2/
)()(1lim)(T
TT
dttxtxT
R ττ (2.9)
Dacă semnalul x(t) este un semnal de energie şi poate lua valori complexe,
∫+∞
∞−
∗ −= dttxtxR )()()( ττ
prin * înţelegând conjugata complexă. Timpul de întârziere τ are rolul de parametru de baleiaj iar timpul fizic t este o variabilă de integrare ce dispare în procesul de integrare. Funcţia AKF e scrisă ca
∫+∞
∞−
∗+= dttxtxR )()()( ττ (2.10)
Ecuaţiile (2.9) şi (2.10) integrează produsul lui x(t) cu o replică a sa decalată, fie întârziată cu τ şi notată cu x(t - τ) sau în avans cu τ şi notată cu x(t + τ) . Dacă semnalul x(t) ia valori complexe, funcţia AKF rezultantă este şi ea cu valori complexe. Pe baza celor două relaţii de mai sus rezultă că funcţia AKF va prezenta simetrie de tipul:
)()( ττ −= ∗RR (2.11)
partea reală a lui R(τ) având simetrie pară iar cea imaginară prezentând simetrie impară. Funcţia AKF va avea două componente:
o componentă neperiodică Rc(τ) ce determină o densitate spectrală de putere (d.s.p.) cu un caracter continuu;
o componentă periodică Rd(τ) ce determină o densitate spectrală de putere discretă (spectru de linii).
Spectrul de energie al semnalului x(t) se compune dintr-o distribuţie continuă Wc(f),
∫+∞
∞−
= ττπτ dfRfW cc 2cos)()( (2.12)
şi un spectru discret (o serie de linii spectrale)
∑∞
−∞=
+=k
kkd fktafW )2cos()( ϕπ (2.13)
când ∑∞
−∞=
=k
kd fktaR πτ 2cos)( 2 (2.14)
Pentru calculul d.s.p. a semnalului codat se pleacă de la funcţia de autocorelaţie R(τ) a semnalului codat x(t) produs de un semnal aleator de date şi se foloseşte teorema Wiener-Hincin, care spune că funcţia de autocorelaţie R(τ) şi densitatea spectrală de putere formează o pereche Fourier.
∫+∞
∞−
−= ττ τπ deRfW fj2)()( (2.15)
şi reciproc ∫+∞
∞−
= dfefWR ftj πτ 2)()( (2.16)
Capitolul II
30
Teorema este valabilă atât pentru semnale deterministe cât şi aleatoare.
II.4 Componenta de curent continuu Sistemele de comunicaţii necesită semnale care să prezinte nuluri spectrale la frecvenţa zero
(absenţa componentei de c.c.) sau frecvenţa Nyquist din motive de eficienţă şi uşurinţa sincronizării. Considerând semnalul codat NRZ-L polar produs de secvenţa de date {ak} reprezentat în figura
2.11, valoarea sa medie poate fi calculată ca ApApApm ⋅−=−⋅−++⋅= )12()()1()(1 (2.17) unde p este probabilitatea de apariţie a unui bit 1 în secvenţa de date {ak}.
Densitatea spectrală de putere a unui proces ciclostaţionar presupus ergodic este dată de formula lui Bennett,
[ ] [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−+−= ∑∑∞
=
∞
−∞=
fkTmkRmRfST
TkfT
mfWkk
x πδ 2cos)(2)0()(1)/()(1
21
21
22
1 (2.18)
unde )(tδ este un impuls Dirac, 1m este valoarea medie a procesului, )( fS este transformata Fourier a
formei de undă s(t) folosită pentru semnalizare, )(kR este valoarea funcţiei de autocorelaţie evaluată la
momentele kT iar T este durata bitului. Primul termen reprezintă un spectru discret sau de linii iar al doilea unul continuu. Dacă diferenţa
dintre R(0) şi valoarea medie 1m a procesului este nulă, aceasta determină faptul că nu vor exista componente discrete sau linii la frecvenţa 0 (c.c.). Vom nota
[ ] [ ] fkTmkRmRfCk
π2cos)(2)0()(1
21
21 ∑
∞
=
−+−= (2.19)
şi îl vom denumi factorul de codare (densitatea spectrală de putere pentru impulsuri Dirac aplicate la intrarea circuitului codor). El mai este cunoscut şi ca factor de discriminare.
Factorul2)(1 fS
Treprezintă factorul de formă.
Pentru codul NRZ polar şi cazul echiprobabil p = 1 - p = 0.5, valoarea sa medie dată de rel. (2.17) este zero. Această condiţie asigură numai inexistenţa unei componente discrete la frecvenţa zero (c.c.) dar nu asigură şi un nul la frecvenţa zero pentru partea continuă. Având în vedere posibilitatea apariţiei de secvenţe lungi de biţi 1 sau zero consecutivi, componenta de c.c. nu poate fi zero.
Exemplul I!.1 Fie codul AMI sau bipolar nr.1 definit astfel: bitul 1 este reprezentat alternativ prin nivelele +A şi –A, iar bitul 0 prin nivelul 0.
Valoarea lui R(0) este p întrucât numai biţii 1 contribuie la energia semnalulului, biţii zero fiind reprezentaţi prin nivelul zero. Valoarea medie este evident nulă, biţii 1 fiind reprezentaţi alternativ prin nivelele +A şi –A, care se compensează.
Dacă 01 =m codul este denumit cunoscut ca echilibrat, dar aceasta nu antrenează după sine şi o componentă de c.c. nulă.
Figura 2.11 Semnal codat NRZ-L
CODURI DE LINIE
31
II.5 Suma digitală curentă Componenta de c.c. a semnalului de date codat într-un cod de linie depinde de disparitatea
semnalului (acumulările produse de ka într-un interval de lungime finită) sau suma digitală curentă
RDS (Running Digital Sum) (acumulările produse de ka într-un interval de lungime finită oarecare).
Ea determină existenţa componentei de c.c. Vom considera o secvenţă de date polară {ak} = {…, a-2, a-1, a0, a1, a2, a3, …, ak, …}, ak ε {-1, 1}
Suma digitală curentă este definită ca
)i(RDSarari
ki1iki =+== ∑
∞−=− (2.20)
şi este ilustrată în figura 2.12. În codarea NRZ-L polară suma digitală curentă a semnalului creşte odată cu apariţia unei serii de
biţi 1 consecutivi ce produce o componentă de c.c. pozitivă şi scade la apariţia unei serii de biţi 0 consecutivi care vor introduce o componentă de c.c. negativă. Suma digitală curentă a semnalului poate fi definită pe un interval de timp finit oarecare [IT, JT] ca
∑=
Δ
=J
Ikkk xJIr ],[ (2.21)
Exemplul II.2 Să presupunem un semnal ternar având nivelele A± şi 0 şi să asociem o unitate de sarcină pozitivă sau negativă nivelelor A+ şi respectiv A− . Nivelul 0 nu are sarcină asociată. Dacă RDS este limitată şi disparitatea va fi limitată. În acest caz disparitatea este definită ca diferenţa dintre numerele celor două simboluri diferite de zero. Sarcina ce se poate acumula în linia cuplată în c.a. este şi ea limitată la aceeaşi valoare.
Dacă RDS sau sarcina acumulată este mai mică decât o valoare finită, componentă de c.c. este nulă iar codul este cunoscut ca un cod făra componentă de c.c. sau cu nul spectral la frecvenţa 0 (D.C.-free). Condiţia necesară şi suficientă pentru a obţine un nul spectral la frecvenţa 0 este ca suma digitală curentă (RDS) să fie uniform mărginită pentru toate valorile lui i. Demonstraţia [Immink, 1989] este următoarea. Semnalul codat produs de secvenţă de date { }ka este
∑∞
−∞=
−=k
k kTtsatx )()( (2.22)
Figura 2.12. Suma digitală curentă pentru o codare NRZ-L
Capitolul II
32
iar ∑+∞
−∞=
−⋅=k
fTjkk eafSfX π2)()( (2.23)
Densitatea spectrală de putere W(f) asociată codorului ce produce semnalul de date }{ ka are
valoarea medie
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ∑
=
−
∞→
2
0
/21lim)(N
k
ffkjkN
seaN
EfW π (2.24)
în care Tf s /1= este frecvenţa de bit sau simbol iar E (expected value) este operatorul speranţă
matematică şi se aplică mulţimii de secvenţe 0},{ ≥iai generate de căile prin diagrama de tranziţie
cu stări finite G asociată codului, iar limita este interpretată în sensul distribuţiei. Evident, dacă 0)(
0=
=ffW , vom avea un nul în c.c. Dacă RDS este mai mică decât o valoare
finită B, atunci d.s.p. tinde la zero pentru f tinzând la zero ( c.c.). Să presupunem
∞<≤∑=
BBaN
kk ,
0 (2.25)
Atunci NBa
N
N
kk
22
0
1≤∑
=
şi 01lim2
0=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∑
=∞→
N
kkN
aN
E q.e.d. (2.26)
Codul NRZ-L polar ilustrat în figurile 2.4 şi 2.8 nu are RDS mărginită şi deci prezintă componentă de c.c, deşi valoarea sa medie este zero pentru cazul echiprobabil, rel.(2.17). Această condiţie asigură numai inexistenţa unei componente discrete la frecvenţa zero (c.c.).
Gradul de suprimare al componentei de c.c. este indicat de variaţia sumei digitale curente DSV (Running Digital Sum Variation) minmax RDSRDSDSV −= (2.27)
care reprezintă şi numărul total de valori pe care îl poate lua suma digitală curentă asociată secvenţei codate. Pentru un interval de timp finit oarecare, DSV este definită ca ]Jr[I,DSV
J,Imax= (2.28)
Variaţia sumei digitale curente DSV a unui cod este diferenţa dintre valorile minime şi maxime ale sarcinii acumulate, presupunând cuplaj în c.a. pentru circuitul de codare, echivalent cu variaţia maxi-mă a integralei curente din semnalul codat, cunoscută sub denumirea RSV (Running Sum Variation).
Parametrul DSV este determinat de lungimea seriilor de simboluri codate prin acelaşi nivel (run length). O valoare finită a lui DSV se obţine prin impunerea unei constrângeri asupra lungimii seriei de simboluri consecutive 0 sau 1, ceea ce determină o componentă de c.c. nulă. Cu cât valoarea DSV este mai mică, cu atât gradul de suprimare al componentei de c.c. este mai bun.
II.6 Un indicator al suprimării componentei de c.c.
Din formula lui Bennett factorul de codare sau d.s.p normalizată pentru impulsuri Dirac în domeniul de frecvenţă normalizat este dat de
CODURI DE LINIE
33
∑∞
=
+=1
2cos)0()(21)(ˆ
kx kf
RkRfW π (2.29)
unde )(kR sunt valorile funcţiei de autocorelaţie (AKF) evaluate la momentele de eşantionare kT .
Pentru a investiga comportarea d.s.p. la joasă frecvenţă şi în c.c. ( 0=f ), vom dezvolta în serie
Mac Laurin )(ˆ fWx limitându-ne la termenul pătratic
2"' )0(ˆ21)0(ˆ)0(ˆ)(ˆ fWfWWfW xxxx ++= (2.30)
Pentru un cod echilibrat şi făra componentă de c.c. 0)0( =xW (2.31)
∑∞
=
−=1
' 2sin)0()(4)(
kx kf
RkRkfW ππ (2.32)
Rezultă 0)0(' =xW (2.33)
iar ∑∞
=
−=1
222" 2cos)0()(4)(ˆ
21
kx kf
RkRkffW ππ (2.34)
∑∞
=
−=1
222"
)0()(4)0(ˆ
21
kx R
kRkfW π
şi ∑∞
=
−=1
222
)0()(4)(ˆ
kx R
kRkffW π (2.35)
Deci putem folosi mărimea
∑∞
=
Δ
−=Δ1
2
)0()(
k RkRk (2.36)
ca un indicator al suprimării componentei de c.c. sau ca un criteriu de proiectare al codurilor [Dieuliis şi Preparata, 1978].
Exemplul II.3 Fie codul bipolar nr.1 cunoscut şi sub denumirea de AMI (Alternate Mark Inversion) şi să calculăm valoarea lui Δ . Valorile funcţiei de autocorelaţie (AKF) sunt [Alexandru, 1998]:
2 1( ) ( 1) (2 1) 1 (0)k kR k p p k R p−= − − ≥ = (2.37)
Atunci ∑∑∞
=
−∞
=
−
−=−−
−=Δ1
12
1
212
)21()12()1(k
k
k
kk
pkpkp
pp
Ţinând cont că
2 1 0 2 3 4 5
10 2 3 4 5
2 3 4 5
2 3 4 5
3 4 5
4 5
4 9 16 25 36
3( )5( )
7( )9( )
k
kk x x x x x x x
x x x x x xx x x x x
x x x xx x x
x x
∞−
=
= + + + + + +
= + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + +
+ + + +
+ + + +
∑
…
Capitolul II
34
0 2 3 42 1
1
2 3 4 5
2 3 4 5
2 3 3
3 5 7 91 1 1 1 1
1 (1 )1
2 ( 2 3 4 5 )1
1 2 1(1 ) (1 ) (1 )
k
k
x x x x xk xx x x x x
x x x x xx
x x x x xx
x xx x x
∞−
=
= + + + + +− − − − −
= + + + + + + +−
+ + + + + +−
+= + =
− − −
∑ …
şi px 21−= avem
231
12
41
)211(211)21()(
pp
ppppkpp
k
k −=
+−−+
=−=Δ ∑∞
=
− (2.38)
Pentru 5.0=p avem 2/1=Δ .
În figura 2.13 este ilustrată dependenţa lui )( pΔ în funcţie de p, pentru p variind în intervalul 0.05 şi
0.95 în cazul codului bipolar nr. 1 sau AMI.
La valori mici ale lui p sunt mai multe zerouri care sunt reprezentate prin nivelul ternar zero, iar suprimarea componentei de c.c. este mai puternică. La valori mari ale lui p suprimarea componentei de c.c. este mai slabă.
II.7 Descrierea unui cod
Conform IEEE (Institute of Electric and Electronic Engineers) un cod este definit ca “un plan de reprezentare a unui număr finit de valori sau simboluri sau a unui aranjament particular sau secvenţă de condiţii discrete sau evenimente”. Codul poate fi definit în multe moduri: prin legea de codare, grafuri de fluenţă, matrici, diagrama de tranziţii de stare, diagrama trelis, etc.
Un exemplu de lege de codare pentru codul diferenţial NRZ-M este următorul: un bit 1 este reprezentat de o tranziţie (nivel opus celui transmis în intervalul de bit anterior) iar un bit 0 este codat prin absenţa tranziţiei.
Dacă maparea secvenţei de date {ak} pe formele de undă analogice de ieşire sau simboluri se face fără constrângeri referitoare la simbolurile transmise anterior, atunci circuitele de codare şi decodare sunt fără memorie (memoryless).
Codul mai poate fi definit de un graf de
Figura 2.13 Variaţia lui Δ cu p
Figura 2.14 Diagrama de stări de tranziţie a codului NRZ-L
CODURI DE LINIE
35
fluenţă denumit diagramă de tranziţie a stărilor (lanţ Markov). De exemplu, codul NRZ-L este specificat complet de diagrama de tranziţie a stărilor reprezentată în figura 2.14.
Aceste diagrame de tranziţie a stărilor sunt de tipul Moore. Într-un automat Moore sau maşină cu stări finite FSM (finite-state machine) cuvântul codat de ieşire este o funcţie doar de stare şi nu depinde de simbolurile digitale de la intrare sau cuvintele sursă. O altă reprezentare este cea de tip Mealy-type FSSM (finite-state sequential machine) ce implică existenţă unor stări interne.
Fiecare cerc din figura 2.14 reprezintă o stare a automatului Moore. Numerele asociate la exterior etichetează starea, iar cele din interior, la numărătorul fracţiei reprezintă bitul sau simbolul de intrare. La numitor se reprezintă simbolurile de ieşire emisie în starea respectivă.
Tranziţiile dintr-o stare în alta sunt reprezentate prin săgeţi şi sunt etichetate cu probabilităţile de tranziţie din starea curentă în cea de destinaţie. Codul NRZ-M code este descris de diagrama de tranziţii reprezentată in figura 2.15. Numărul stării este înscris într-un cerc. Modelul Moore este mai direct şi mai uşor de construit.
Modelul Mealy este de complexitate mai mică şi mai uşor de tratat. Pentru a-l construi se pleacă de la o ordonare a stărilor, aşa cum se arată în tabelul II.1. Deoarece stările 1 şi 2 sunt identice vor fi reetichetate ca 1, iar stările 3 şi 4 vor fi notate cu 2. Se obţine reprezentarea din tabelul II.2 cu 2 stări, căreia îi corespunde diagrama Mealy din figura 2.16. Prima stare corespunde situaţiei în care un bit 1 sau 0 este reprezentat prin nivelul logic H (+), iar cea de a doua reprezentării prin nivelul logic L (-). Trecerea dintr-o stare în alta este posibilă doar la apariţia unui bit 1. În multe cazuri modelul Mealy este mai simplu decât modelul Moore.
Aici apare constrângerea că semnalul de ieşire particular transmis depinde de semnalul transmis anterior, deci codorul este de tip secvenţial sau cu memorie, deoarece trebuie să ţină minte starea anterioară. În figura 2.9 memoria este reprezentată de circuitul de întârziere.
Figura 2.15 Diagrama FSM a codului NRZ-M
Tabelul II.1 Trecerea de la Moore la Mealy Stare 0 1 Re-etichetare a
stărilor 1 2/+ 3/- 2 2/+ 3/- 1
3 4/- 1/+ 4 4/- 1/+ 2
Figura 2.16 Model Mealy pentru codul NRZ-M
Tabelul II.2 Stări State 0 1
1 1/+ 2/- 2 2/- 1/+
Figura 2.17 FSM a codului bifazic
Capitolul II
36
Exemplul II.3 Să considerăm codul bifazic L sau Manchester, în care bitul 1 este reprezentat de o tranziţie negativă sau descendentă pe mijlocul intervalului de bit iar bitul 0 de o tranziţie ascendentă Atunci un bit 1 este reprezentat prin nivelul H urmat de L, pe scurt HL iar bitul 0 prin LH. Diagrama de tranziţie este reprzsentată în figura 2.17 (modelul Moore). Acest codor nu are memorie.
Un alt mod de descriere face apel la 2 matrici. O primă matrice este cea de tranziţie, notată cu T:
nnn1
iniji1
1n11
t......tt...t...tt......t
T = (2.39)
Elementul tij aflat la intersecţia liniei i cu coloana j semnifică probabilitatea de tranziţie din starea i în starea j. Pentru codul NRZ-L , matricea T este
p1pp1p
T−−
=
Exemplul II.4 Fie codul NRZ-M descris de diagrama din figura 2.15. Matricea de tranziţie asociată codului NRZ-M este:
p100pp100p
0pp100pp10
T
−−
−−
= (2.40)
Pentru a specifica complet codul se foloseşte o a doua matrice E, denumită matrice de ieşire. În general,
1, 2, TE E En=E (2.41)
unde Ei este semnalul emis în starea i.
Exemplul II.5 Fie codul bifazic L sau Manchester descris de diagrama din figura 2.17. Matricea de ieşire este dată de
=H L
EL H
sau 11,11,
E+−−+
= în cazul polar şi =1 0
E0 1
în cazul unipolar.
Pentru calculele privind densitatea spectrală de putere matricile de ieşire E pot fi scrise sub forma mai multor vectori iA , câte unul pentru fiecare simbol de ieşire.
Figura 2.18 Forme de undă codate diferenţial şi bifazic S
CODURI DE LINIE
37
Un alt mod de specificare a unui cod face apel la diagrame de tip trelis, care oferă aceleaşi informaţii despre evoluţia semnalului ca şi diagramele de tranziţii. În plus ele indică şi câteva evoluţii posibile în timp ale semnalului.
Fie codul bifazic S definit anterior, care reprezintă asocierea unei precodări diferenţiale NRZ-M cu o codare bifazică L. El este ilustrat de formele de undă din figura 2.18 şi diagrama de tranziţii din figura 2.19.
Diagrama trelis pentru codul bifazic S este reprezentată în figura 2.20.
Cele două stări interne sunt notate cu S1 şi S2, în una din ele bitul 1 este codat prin HH iar bitul 0 prin LH, în cealaltă bitul 1 este codat prin LL, iar 0 prin HL.
Din cele 4 forme de undă de ieşire două sunt complementele celorlalte (HH cu LL şi HL cu LH), bitul 1 este codat prin )(1 ts sau )(1 ts− iar bitul 0 prin )(0 ts sau )(0 ts− .
II.8 Calculul d.s.p. a codurilor de linie
Semnalul de date ce urmează a fi transmis nu este cunoscut a priori, şi nu are caracter determinist. Spunem că are un caracter stohastic sau aleator. Ceea ce se cunoaşte a priori este că semnalele transmise aparţin unei anumite mulţimi sau ansamblu.
Exemplul II.6 Să considerăm codul Miller sau DM (Delay Modulation) descris de diagrama de tranzitii din figura 2.21. În figura 2.22 sunt prezentate formele de undă aferente şi suma digitală curentă RDS.
Ansamblul semnalelor binare transmise ika este prezentat în
figura 2.23. Indicele inferior k este un indice de timp iar cel superior i este un indice de poziţie în cadrul ansamblului de ieşire. Secvenţele binare de ieşire de la numitorul fracţiilor din
Figura 2.20 Diagrama trelis pentru codul bifazic S
Figura 2.19 Diagrame de tranziţii asociate codului bifazic S
Figura 2.21 Diagramă de tranziţii
Capitolul II
38
figura 2.10 sunt cunoscute ca funcţii eşantion sau membri ai unui ansamblu de secvenţe binare de lungime L (L=2 în situaţia considerată aici).
În general, totalitatea semnalelor de ieşire posibile ika este denumită ansamblu, în acest caz
ansamblul este { }++−−+−−+ ,,, .
În cel mai simplu caz, cel al semnalului NRZ-L polar, L = 1 şi ansamblul este { }1,1 −+ sau pe
scurt { }−+, . Analiza spectrală directă a semnalului de date este dificilă. Datele fiind aleatoare, semnalul codat nu este repetitiv şi nu se poate dezvolta într-o serie Fourier. Semnalul are o putere finită dar prezintă componente finite într-un interval de timp infinit, iar integralele Fourier implicate nu sunt convergente.
Densitatea spectrală de energie a semnalului de date W(f) poate fi definită la limită ca puterea medie a semnalului transportată într-o bandă fΔ , ce devine infinitezimală ( 0→Δf )
2
0
( , )( ) limf
E f fW ffΔ →
Δ=
Δ (2.42)
),( ffE Δ este valoarea medie pătratică a tensiunii ce ar
apare la ieşirea unui filtru cu frecvenţa centrală f şi bandă fΔ .
Densitatea spectrală de putere poate fi exprimată ca W(θ), frecvenţa fiind considerată ca fθ ⋅ , unde f este frecvenţa de
simbol. Ea exprimă atunci puterea conţinută la frecvenţa fθ ⋅ .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
= ∑−=
−
∞→
m
mk
kjkmea
mEW θπθ 2
121lim)( (2.43)
Aici E este operatorul speranţă matematică iar {ak} este ansamblul cuvintelor de cod la ieşirea codorului. Procesul aleator cu parametri discreţi asociat secvenţei de simboluri codate{ak} are funcţia de autocorelaţie }{)( nkk aaEnR +⋅= (2.44)
presupusă staţionară în sens larg. Ea poate fi considerată ca rezultatul corelaţiei încrucişate pe ansamblul secvenţelor{xk} de simboluri codate într-un cod de linie.
( , ) ( ) ( ) ( )xk l
R t t R k l s t k s t lTτ τ+∞ +∞
=−∞ =−∞
+ = − + − −∑ ∑ (2.45)
ce este o funcţie atât de t cât şi de τ. Deoarece ( , )xR t tτ+ depinde de t, semnalul codat x(t) nu este
staţionar în sens larg. Bennett a arătat în 1958 că ( , )xR t tτ+ fiind periodică în t, cu perioada T,
semnalul codat este un proces ciclostaţionar cu d.s.p. având distribuţia continuă dată de (2.46),
Figura 2.22 Exemplu de codare Miller
Figura 2.23 Ansamblu de ieşire
+
-
ak1
ak
2
ak
3
+
- - -
+ +
ak4
CODURI DE LINIE
39
[ ] [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−= ∑∞
=1
21
21
2 2cos)(2)0()(1)(k
x fkTmkRmRfST
fW π (2.46)
Funcţia de autocorelaţie prezintă simetrie pară, )()( kRkR −= şi putem nota simplificat
kRkR =)( (2.47)
Aplicând transformata z relaţiei (2.46) pentru 01 =m avem
∑∑−∞
−=
−∞
=++=
110)(
k
kk
k
kk zRzRRzC (2.48)
unde fTjez π2= , sau pe scurt θjez = cu πθπθ ≤= fT2 (2.49)
Se obţine )()()( 10
−++= zfzfRzC (2.50)
unde ∑∞
==
1)(
k
kk zRzf (2.51)
II.9 Calculul funcţiei de autocorelaţie pentru semnale cu structură bloc În cazul general un cod bloc este o mapare a m biţi de intrare în n simboluri de ieşire şi este
desemnat ca mI-nO (m Input n Output). În majoritatea cazurilor avem de a face cu semnale digitale compuse din impulsuri rectangulare şi
suntem interesaţi doar de valorile funcţiei AKF R(τ) evaluate la valori întregi multipli ai intervalului de semnalizare Ts, de tipul R(kTs) . Simbolurile de ieşire pot fi binare, { } { }1,11,0 +−∈∈ ii xsaux ,
ternare – {-1, 0, +1}, cuaternare – { }3,1 ±± , etc. Cazul cel mai simplu este definit de m = 1 şi n= 1; codorul mapând un bit de intrare într-un
simbol de ieşire. Câteva exemple sunt codurile NRZ-L, NRZ-M şi –S în cazul 1B-1B (1 Binar – 1 Binar), codul bipolar nr. 1 sau AMI (Alternate Mark Inversion) şi MLT3 and MLT3-n de tip 1B-1T (1 Binar 1 - Ternar). În aceste cazuri, intervalul de semnalizare şi viteza de simbol la ieşirea coderului sunt egale cu cele de la intrare.Deoarece în acest caz simplu codul de line este fără redundanţă, semnalul codat va fi staţionar şi aleatoriu cu digiţi independenţi şi proprietăţi statistice simple. De exemplu, dacă p=0.5 R(k) va fi zero dacă n>1. Pentru cazul 1B-1B, Ts = T, unde T este durata bitului.
Dacă {x} este un semnal digital aleator ,,,, 21 uxxx , compus din elemente de durată T
codate conform unui cod de linie, funcţia R(kT) , pe scurt R(k), este dată de (2.9) care în varianta discretă devine
∑−=
+∞→⋅
+=
n
mnknnm
xxm
kR12
1lim)( (2.52)
şi notăm )()( kRkTRnot= (2.53)
Deoarece semnalizarea se face cu impulsuri rectangulare, Atx ±=)( , funcţia AKF va prezenta o variaţie liniară între două valori succesive discrete, având în vedere că funcţia de autocorelaţie a impulsului rectangular are o formă triunghiulară. Dacă τ = 0, atunci
Capitolul II
40
∫−
∞→=
2/
2/
)()(1lim)0(T
TT
dttxtxT
R (2.54)
sau ∫∞
∞−
= dttxR 2)()0( (2.55)
iar pentru un semnal de energie R(0) este egală cu energia semnalului. Pentru un impuls rectangular Atx ±=)( ,
22 )()0( AtxR == (2.56) Semnalul digital de date este de forma
∑∞
∞−
−= )()( kTtsatx k (2.57)
s(t) fiind un impuls rectangular iar ak datele de intrare.Calculul funcţiei AKF R(k) pentru diverse valori întregi ale lui k este exemplificat pentru codul NRZ-L. Cazul k = 0 este ilustrat în figura 2.24.
Aici p şi 1-p sunt probabilităţile de apariţie a biţilor 1 şi respectiv 0. Pe baza fig. 2.24 putem scrie
222 )1()0( AApApR =⋅−+⋅= (2.58)
Pentru cazul transmisiei unipolare, },0{)( Atx ∈ avem
22 0)1()0( AppApR ⋅=⋅−+⋅= (2.59) Calculul funcţiei de autocorelaţie pentru k =1, R(1) este illustrată în figura 2.25. Vom presupune
A = 1. Se identifică patru contribuţii distincte ce corespund celor patru valori ale dibitului ak ak-1, prezentate în tabelul II.3. Valoarea lui R(1) rezultă ca
222 )21()1(2)1()1( pppppR −=−−−++= (2.60) Pentru calculul lui R(2) vom considera toate combinaţiile posibile de doi biţi separate de un bit, de
tipul 0X0, 0X1, 1X0, 1X1 unde X este 0 sau 1. Valoarea lui R(2) rezultă din suma a 8 contribuţii
3 2 2 2 2
2 2 3 2
(2) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 2 )
R p p p p p p p p pp p p p p p
= − − − + − − − − − +
− − − + = − (2.61)
Pentru calculul lui R(3) vom considera toate combinaţiile posibile de doi biţi separate de doi biţi, de tipul 0XY0, 0XY1, 1XY0 şi 1XY1, unde XY poate lua valorile 00, 01, 10 şi 11 . Valoarea lui R(3) rezultă din suma a 16 contribuţii. Efectuând calculele se obţine,
Figura 2.24 Ilustrarea calculării funcţiei de autocorelaţie pentru k = 0
x(t) t
x(t) t
x2(t) + + + + + + + + + + + + t
p p p (1-p) p (1-p) (1-p) p p (1-p) (1-p) (1-p)
CODURI DE LINIE
41
2)21()3( pR −= (2.62)
II.10 Mecanizarea calculării funcţiei de autocorelaţie Calculele pot fi mecanizate şi scrise într-o formă elegantă folosind matrici. Astfel, putem scrie
Z)Π(dR(k) k ⋅⋅= Tr (2.63) unde d este o matrice diagonală ce conţine probabilităţile staţionare { })(),2(),.1( Ipppdiag=d (2.64)
sau ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
I
2
1
P00
0P000P
Pd
unde I este numărul stărilor în diagrama de tranziţie a stărilor,
Π este matricea probabilităţilor de tranziţie a stărilor, Z este o matrice de corelaţie iar Tr semnifică urma matricii (trace), adică suma elementelor de pe diagonala principală.
Dacă simbolurile de ieşire asociate celor I stări sunt Iiai ,2,1, = , atunci elementul zij al
matricii Z este dat de aiaj. jiij aaz ⋅= (2.65)
Exemplul II.7 Să considerăm codarea NRZ-L, cu diagrama de stări de tranziţie având 2 stări (I=2) prezentată în figura.2.26.
Figura 2.25 Ilustrarea calculării funcţiei de autocorelaţie pentru k= 1
Capitolul II
42
2 2 2(1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 2 )R p p p p p p p= − − − − + − = −
Rezultul este identic cu cel dat de rel.(2.60).
Să considerăm un alt exemplu de cod 1B1T, de tip AMI, bitul 1 este codat alternativ ca +1, -1 în timp ce 0 este reprezentat prin nivelul ternar zero, cu diagrama de tranziţii reprezentată în figura 2.27.
Exemplul II.8 Să determinăm matricile d, Π, Z şi valorile funcţiei AKF R(1) pentru codul AMI . Avem,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
p)2(10000p/20000p)/2(10000p/2
d
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
00p1pp100pp1p00
0pp10
Π
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000101-000001-01
Z
222 2/2/
0
)()1(
2/
2/
ppp
Tr
TrR
−=−−=
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=⋅⋅=
−−
−
−−
00000101-000001-01
Zd
00/22p)(1p)/2p(1
p)/2p(1002p
/22p)(1p)/2p(10
02pp)/2-p(10
Π
Funcţia AKF poate fi calculată plecând de la kernelul kΠ⋅d şi matricea A a simbolurilor de
ieşire. În cazul codării NRZ-L, matricea de ieşire A este un vector coloană [ ]11AT −= , unde indicele superior T semnifică operaţia de transpunere a matricii.
Putem înlocui matricea Z in ec.(2.63) prin multiplicarea kernelului kΠ⋅d la stânga cu A* şi la dreapta cu A, unde A* reprezintă conjugata transpusă (hermitică).
( ) A (d ) AkR k ∗= ⋅ ⋅Π ⋅ (2.66)
Exemplul II.9 Pentru codul NRZ-L să calculăm R(1) folosind rel.(2.66)
O altă abordare de calcul al coeficienţilor R(k) ai funcţiei AKF se bazează pe utilizarea vectorilor de intrare e şi plecare d care sunt I-dimensionali. În acest caz,
'1k dΠe ⋅⋅= −)(kR (2.68) Componenta i a vectorului de intrare e este suma ponderată a simbolurilor ce pot fi transmise la
intrarea în starea i.
∑=
⋅⋅=I
kkikiki atpe
1 (2.69)
unde pk este probabilitatea staţionară asociată stării k, tki este probabilitatea de tranziţie din starea k în starea i iar aki este simbolul ce se transmite la trecerea din starea k în starea i.
Componentele vectorului d sunt sume ponderate de simboluri ce pot fi transmise la plecarea din starea curentă i. Componenta i a vectorului d este dată de:
∑=
=I
kikiki atd
1 (2.70)
Exemplul II.10 Să considerăm codul AMI descris de diagrama de tranziţii din figura 2.27 şi să calculăm valorile funcţiei AKF folosind (2.68). Avem
[ p/2, 0, -p/2, 0]=e
[ p, p, p, p]= − −d
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
00p1pp100pp1p00
0pp10
Π
121
222
2
2
)21()()21()3()21()2(
)1(
−− +−=⋅⋅=+−=⋅⋅=+−=⋅⋅=
−=⋅=
nn ppnRppRppR
pR
'
'
'
'
dΠedΠedΠe
de
II.11 Calculul funcţiei de autocorelaţie pentru semnale cu structură bloc 1B2B Vom considera un caz simplu
de codare mB-nB (m Binar n Binar) cu m=1 şi n=2, care mapează un bit de intrare în două simboluri de ieşire. Aceasta conduce la înjumătăţirea intervalului de semnalizare şi dublarea vitezei la ieşire. În consecintă, vom evalua funcţia nu numai pentru valori întregi ale lui T, ci şi la momente de timp multiplu de T/2, 2/TkT + sau Tk )2/1( + , aşa cum se arată în figura 2.28. Pot apare două situaţii, având în vedere că întârzierea este un multiplu de T/2:
Figura 2.28 Evaluarea lui R(k+1/2)
Capitolul II
44
1. Se corelează forme de undă aparţinând intervalelor de bit n şi n+k (a doua jumătate a lui xn+k notată ca aj2 şi prima jumătate a lui xn denumită ai1);
2. Formele de undă implicate aparţin intervalelor de bit n şi n+k+1 (prima jumătate a lui xn+k+1 denumită ap1 şi a doua jumătate a lui xn denumită ai2).
Procedând ca mai sus, funcţia de autocorelaţie evaluată la momente de timp multiplu de T este
)()( Zd ⋅⋅= kTrkR Π (2.71) unde, Z este o matrice de corelaţie pe intervalul de bit T. Elementul zij, aflat la intersecţia liniei i cu coloana j este dat de
2
2211 jijiij
aaaaz
⋅+⋅= (2.72)
unde ai1 şi ai2 reprezintă primul şi cel de al doilea simbol de ieşire transmise în starea i. Pentru codul 1B-1B studiat mai sus sau orice cod 1I-1O (1 Input 1 Output),
jjjiii aaaandaaa ==== 2121 (2.73)
şi zij este dat de rel.(2.72). Calculul lui R(k+1/2) decurge într-un mod similar şi avem
)((
)1()()21(TkTr
kTrkTrkR
XXd
YdXd
⋅+⋅⋅=
=⋅+⋅+⋅⋅=+
ΠΠ
ΠΠ (2.74)
sau )()21( SkdTrkR ⋅⋅=+ Π (2.75)
unde Tnot
XXS ⋅Π+= (2.76) Matricile X şi Y (transpusa lui X) sunt matrici de corelaţie pe jumătate de interval de bit.
Elementul xij, care se află la intersecţia liniei i şi coloanei j este dat de 2/12 jiij aax ⋅= , 2/12 ijij aay ⋅= (2.77)
Evident, jiij xy = şi TXY = (2.78)
Exemplul II.11 Să considerăm codul DM sau Miller descris de diagrama de tranziţii din figura 2.21 şi să calculăm R(1/2). Acest caz particular implică corelaţii între elemente aparţinând aceluiaşi interval de bit (k = 0) sau la două intervale succesive de bit (k = 1), aşa cum se arată în figura 2.29. Rezulatele corelaţiei sunt indicate cu + şi –, formele de undă implicate fiind rectangulare, iar dedesubt este indicată
Figura 2.29 Ilustrarea calculului lui R(1/2) pentru codul Miller
CODURI DE LINIE
45
probabilitatea de apariţie a evenimentului. Valoarea lui R(1/2) rezultă din suma tuturor contribuţiilor posibile ponderate cu probabilităţile lor de apariţie
Dacă scriem două matrici de ieşire A1 şi A2 ce conţin primul şi respectiv al doilea simbol de ieşire pentru fiecare stare de la 1 la I (I fiind numărul stărilor din diagrama de tranziţie), putem calcula pe R(k+1/2) conform figurii 2.30 şi ca,
1Ad*2A2Ad*
1A ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+ 15.05.0)21( kkkR ΠΠ (2.80)
iar 2*21
*1 AdAAdA ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= kkkR ΠΠ 5.05.0)(
unde * semnifică conjugata transpusă.. În cazul general al codurilor 1I-2O cu I stări, matricile A1 şi A2
sunt de forma: TI222122
TI121111 ]a,,a,[aA]a,,a,[aA ==
În mod similar, relaţia (2.68) poate fi generalizată pentru cazul 1I-2O sub formele:
TkTk dTedTekR 21
211
1 5.05.0)( ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −− (2.81) Pentru a calcula pe R(k) plecăm de la relaţia (2.66) scrisă pentru cazul 1I-1O şi obţinem,
TkTk dTedTekR 2111
2 5.05.0)2/1( ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+ − (2.82)
Exemplul II.12 Să considerăm iar codul DM sau Miller şi să calculăm R(3/2) folosind ec. (2.80). Avem
( ) 1*22
*1 AdAAdA ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 25.05.023 ΠΠR
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
−
=
++
−
=
+
+
=
00/22p)(1p)/2p(1p)/2p(100/22p
/22p)(1p)/2p(1000/22pp)/2p(10
d.Π
111-1
2A
11-1-1
1A
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−−
−−
=Π⋅
/23p)(1p)/2p(1/22p)p(100/23pp)/2p(1p)/2(12p
/22p)p(10/23p)(1p)/2p(1p)/2p(1p)/2(12p0/23p
2d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Z
- 1 + 1 + 1 - 1- 1 + 1 + 1 - 1
+ 1 - 1 - 1 + 1+ 1 - 1 - 1 + 1
Figura 2.30 Ilustrarea corelaţiei pentru coduri 1B-2B
Capitolul II
46
şi în final ( ) 32 25323 pppR −+−=
Pe baza relaţiilor găsite până acum se obţin următoarele valori pentru funcţia de autocorelaţie a codului Miller:
(2.83)
Funcţia de autocorelaţie R(n) a codului Miller este ilustrată în figura 2.31 pentru p=0.25, p=0.5 şi p=0.75, p fiind probabilitatea de apariţie a unui bit 1 la intrarea codorului. Înlocuind nm 2= (2.84) vom considera valorile funcţiei AKF eşantionate pe frecvenţa de simbol de ieşire, caz în care funcţia de autocorelaţie este definită prin eşantioanele R(m).
Pentru cazul când n este multiplu de 0.5, putem găsi o relaţie de recurenţă între 3 valori succesive ale funcţiei de autocorelaţie evaluate pentru multipli consecutivi pari sau impari ai lui T/2, aflate în coloana din stânga sau dreapta din relaţia. (2.83), notate cu R(n+2), R(n+1) şi R(n), de forma: )()1(2)1()2( nRppnRnR −−+−=+ (2.85)
II.12 Deducerea d.s.p. pentru diverse coduri
II.12.1 Codul NRZ-L Pentru codul NRZ-L avem
2(0) 1, ( ) (1 2 ) 0, intregR R k p k= = − ≠
645204423422193)29(
41232422081)4(
544163222133)27(
443821061)3(
4236273)25(
2)21()2(
32253)23(
2221)1()1()21(
1)0(
ppppppRppppR
pppppRppppR
ppppRpR
pppRppR
ppRR
−+−+−=+−+−=
−−+−+−=−+−+−=
−+−=−=
−+−=−+−=
−==
Figura 2.31 Funcţia de autocorelaţie a codului Miller
CODURI DE LINIE
47
În cazul unei transmisii cu simboluri independente şi echiprobabile, p=0.5 şi avem (0) 1, ( ) 0 0, intregR R k k= = ≠
Pe baza formulei lui Bennett (2.46) obţinem
1)( =fC , 2)(1)( fST
fW = (2.86)
Densitatea spectrală de putere a codului NRZ-L poate fi de asemenea dedusă plecând de la observaţia că semnalul s(t) este zero în afara intervalului de semnalizare ]2/,2/[ TT− , iar transformata sa Fourier poate fi scrisă ca
∫∫+
−
−+∞
∞−
− ==2/
2/
22 )()()(T
T
tftjtftj dtetsdtetsfS ππ (2.87)
Puterea medie a semnalului în intervalul ]2/,2/[ TT− rezultă aplicând teorema lui Parseval
∫∫+∞
∞−
+
−
== dffST
dttsT
PT
T
)(1)(1 22/
2/
2 (2.88)
Deoarece ∫+∞
∞−
= dffWP )( (2.89)
obţinem 2)(1)( fST
fW = (2.90)
II.12.2 Codul Miller
Funcţia de autocorelaţie a codului Miller are valorile date de (2.83). În cazul echiprobabil p=0.5 şi relaţia (2.83) devine
16/1)29(4/1)4(8/1)27(4/1)3(
8/3)25(0)2(2/1)23(2/1)1(
4/1)21(1)0(
−=−=−==
==−=−=
==
RRRRRRRRRR
(2.91)
Bazându-ne pe relaţia (2.85) pentru p=0.5 şi introducând notaţia R(k)=R(2n), obţinem următoarea relaţie de recurenţă ce leagă valorile funcţiei de autocorelaţie a codului Miller
1( 8) ( )4
R k R k+ = − (2.92)
Funcţia de autocorelaţie a codului Miller pentru p=0.5 este reprezentată în figura 2.32. Pe baza ei, plecând de la formula lui Bennet (2.46), obţinem
( ) ( ) ( )
( ) ( )k
l l
l
l k
lkk
l k
lkk
k
zzlRzlRS
zlRxkkRS
∑ ∑∑∑
∑∑∑
= ==
∞
=
+
=
∞
=
+∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=+⋅+=
8
1
8
1
88
1 0
81
8
1 0
8
0
41
41
41Re1cos1
unde xjez ⋅= . Ultima relaţie mai poate fi scrisă ca
Capitolul II
48
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅−⋅−⋅⋅
+=
⋅+⋅⋅= ∑
=
8765328
8
1 81 4
181
41
83
21
21
41
44
411
1 zzzzzzzzz
zlRSl
l
sau 4
5.05.1228
876532
1 +−⋅−+⋅+⋅−⋅−
=z
zzzzzzzS
14
5.05.12248
76532
1 −+
⋅−+⋅+⋅−⋅−+=
zzzzzzzS
Cum,
( ) ( )xneezz xjnxnjnn ⋅=+=+ ⋅−⋅∗ cos2 (2.93)
45.05.1224
45.05.12242
8
765321
8
76532*
11
+⋅−+⋅+⋅−⋅−+
+
+⋅−+⋅+⋅−⋅−+
+−=+
−−−−−−
zzzzzzz
zzzzzzzSS
( ) ( )( )
( ) ( )( )8888
7653218
8888
765328*
11
4165.05.12244
4165.05.122442
−−
−−−−−−
−−
−
−⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅−⋅−+⋅+
+
+−⋅+⋅+
⋅−+⋅+⋅−⋅−+⋅++−=+
zzzzzzzzzzz
zzzzzzzzzzzSS
Figura 2.32 Ilustrarea periodicităţii funcţiei AKF a codului Miller
CODURI DE LINIE
49
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2817
357
2817
5.6424322
88
122
88
3355667788*
11
−
−−
−
−−−−−
−⋅+
−⋅+−⋅−+
+−
⋅+
−⋅−−⋅+−⋅+−−−⋅++−=+
zzzzzz
zzzzzzzzzzzzSS
Din ultima relaţie
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⋅+
+⋅−⋅−+
⎜⎜⎝
⎛+
⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+
+−⋅=
xxxx
xxxxxxC
8cos817cos72cos144cos13
8cos8175cos86cos47cos28cos8322
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⋅+
+⋅−⋅−+
⎜⎜⎝
⎛+
⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−−
⋅=
xxxx
xxxxxxC
8cos817cos72cos144cos13
8cos8175cos86cos47cos28cos82
21
(2.94)
unde fTx π= Factorul de codare al
codului DM sau Miller este reprezentat în figura 2.33 împreună cu d.s.p. (semnalizare cu impulsuri rectangulare) pentru cazul echiprobabil p=0.5, în funcţie de frecvenţa normalizată fn
Tffffn bit ⋅== /
II.13 Energia de bit
Să considerăm o semnalizare digitală folosind impulsuri rectangulare s(t) cum ar fi codul NRZ-L polar. Energia transportată de semnal într-un interval de bit va fi denumită energie de bit şi este dată de
TAdttsET
Tb
22/
2/
2 )(∫−
== (2.95)
unde A este amplitudinea impulsului rectangular iar T este durata bitului. Ne reamintim că puterea
semnalului este dată de )(2 ts şi se măsoară în [ ]2V . Dacă pentru transmisie se foloseşte o altă formă de undă cu aceeaşi amplitude A, cum ar fi lobul de
cosinus reprezentat în figura 2.34 descris de
Figura 2.33 D.s.p şi factorul de codare al codului Miller
Capitolul II
50
cos( / 2 ) / 2
( )0
A t T t Tg t
in restπ⎧ ≤
= ⎨⎩
(2.96)
energia sa de bit este
/ 2 / 2
2 2 2 2
/ 2 / 2
( ) cos ( / 2 ) / 2T T
bT T
E g t dt A t T dt A Tπ− −
= = =∫ ∫ (2.97)
Pe măsură ce forma de undă g(t) folosită pentru semnalizare se abate de la cea rectangulară s(t), comportarea sa în palier nu mai are loc pe tot intervalul de bit. În consecinţă porţiunile haşurate din figura 2.34 ce reprezintă diferenţa dintre impulsul rectangular s(t) şi cel de tip lob de cosinus g(t) nu vor mai contribui la energia semnalului.
Energia de bit va descreşte şi pentru a avea aceleaşi performanţe va trebui să utilizăm aceeaşi energie de bit. Aceata face necesară introducerea unei constante de normalizare notată cu k pentru amplitudinea semnalului.
Ea este definită ca:
∫
∫
−
−= 2/
2/
2
2/
2/
2
)(
)(
T
T
T
T
dttg
dttsk (2.98)
Pentru exemplul considerat aici se obţine o valoare a constantei de normalizare
2=k . În general, cu cât este mai mare diferenţa dintre impulsul g(t) folosit pentru semnalizare şi cel rectangular s(t), cu atât se obţine o valoare mai mare a constantei de normalizare k.
Exemplul II.13 Să calculăm constanta de normalizare a amplitudinii pentru o transmisie digitală ce utilizează impulsuri de tip cosinus ridicat definite de
2
(1 cos )( ) 2 2
0
A t Tt
g t Tin rest
π+ ≤
=⎧⎪⎨⎪⎩
(2.99)
322
)2cos(1(2
2/
2/
2 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
∫−
T
T
dtT
tATAk
π
Se observă că este necesară o creştere a amplitudinii de 3/8 ori, 63,13/8 ≈=k ,
aşa cum se observă din figura 2.35.
Figura 2.34 Impuls rectangular şi lob de cosinus
Figura 2.35 Comparaţie între impulsuri
CODURI DE LINIE
51
II.14 Forme de undă folosite pentru semnalizare
Cea mai utilizată formă de undă utilizată în comunicaţiile digitale este o aproximaţie a impulsului rectangular ideal, având în vedere uşurinţa generării sale. În transmisie se foloseşte o variantă filtrată a sa. Transformata Fourier a impulsului rectangular are o viteză de scădere relativ lentă, proporţională
cu 1/f datorită caracterului discontinuu al formei de undă, iar d.s.p. descreşte proporţional cu 2−f . Teoremă: dacă forma de undă s(t) folosită pentru semnalizare este continuă şi egală cu zero la
capetele intervalului de definiţie ( )2/T± şi are un număr k-1 de derivate care sunt continue şi egale
cu zero la capetele intervalului, atunci transformata Fourier va avea o viteză de scădere )1( +− kf . În
consecinţă, d.s.p. va avea o viteză de scădere a componentelor spectrale cu frevenţa de tipul )1(2 +− kf .
Exemplul II.14 Să considerăm un impuls de tip cosinus ridicat ilustrat în figura 2.35, descris de relaţia
( ){ / 21 cos2 / 2( )
0t t T
g tin rest
π+ ≤= (2.100)
El satisface condiţiile
0)(2/
=±= Tt
tg (2.101)
02sin)(2/
' =−=±= Tt
tttg ππ (2.102)
iar 0)(2/
" ≠±= Tt
tg
Impulsul g(t) are 11 =−k derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de
definiţie ( )2/T± . Rezultă
2=k , iar d.s.p. va scădea
proporţional cu 6−f , aşa cum
se observă în figura 2.36, comparativ cu spectrul de putere al unui impuls rectangular ce descreşte cu
2−f .
Transformata Fourier a lui g(t) este dată de
)1(
sin21)( 22Tff
fTfG−
=π
π (2.103)
Există numeroase forme de undă care prezintă viteza de scădere (roll-off rate) mai rapidă a componentelor spectrale cu frecvenţa în comparaţie cu impulsul rectangular, de exemplu impulsul triunghiular, lob de cosinus, impuls exponenţial sau în formă de trapez.
Pentru generarea lor se pot folosi tehnici numerice (la viteze mai mici) sau analogice (la viteze ridicate). Impulsul de tip lob de cosinus, de lătime dublă faţă de cel descris de rel. (2.96) este întâlnit în comunicaţiile cu modulaţie digitală tip FSK sau MSK.
Figura 2.36 D.s.p pentru impuls rectangular şi cosinus ridicat
Capitolul II
52
II.15 O metodă simplă de calcul a d.s.p. Metoda a fost introdusă de Bilardi ş.a. [1983] pentru coduri descrise de automate de tip Moore.
Factorul de codare C(f) este dat de:
)()()( 10
−++= zfzfRzC (2.104)
unde ∑∞
==
1)(
k
kk zRzf (2.105)
iar AdAkRR kk ⋅Π⋅⋅== ∗ )()( (2.106)
Vom introduce notaţia
kdkr Π⋅=)( (2.107)
unde Π este matricea probabilităţilor de tranziţie asociată unui lanţ Markov ergodic. Ea este o matrice stohastică ireductibilă având următoarele proprietăţi:
Toate valorile proprii sunt în modul mai mici sau egale cu unitatea; Una din valorile proprii este întodeauna simplă şi egală cu 1, 10 =λ ;
Dacă Π are şi alte valori proprii cu modulul egal cu 1, fie acestea 11 ,, −rλλ , ele sunt
simple şi sunt date de soluţiile ecuaţiei 1,1 ≠= λλr , caz în care Π este o matrice ciclică
de ordinul r )1( >r .
Dacă r = 1, lanţul Markov este denumit aciclic. Suma ∑∞
=0k
kk zM , ţinând cont că
IMMMMMMI
MMMMI
=+−+−−
+++++=
=+++++−
−−−
−−−
−−−−
……………
……
nn
nn
nn
zzzzzz
zzzz
221
221
2211 )1)(( (2.108)
unde I este matricea unitate, devine:
( ) 111
0
−−−
∞
=
−=−
=∑ zz
zk
kk MIMIIM (2.109)
şi
( ) IMIM −−=−−
∞
=∑ 11
1zz
k
kk (2.110)
Având în vedere că matricea Π are toate valorile proprii în interiorul cercului de rază egală cu 1, putem exprima factorul de codare ca:
ddΠIΠId ' −⋅−+−⋅= −−− 111 )()()( zzzc (2.111) deoarece progresiile geometrice de matrici implicate sunt infinit descrescătoare cu raţie mai mică decât 1 şi au sumă finită, iar matricele inverse există. Factorul de codare c(z) poate fi scris sub forma simetrică:
11'1 )ΠI()ΠI()( −−− −⋅⋅−= zCzzc (2.112) iar
ΠdΠdC ' ⋅⋅−= (2.113) unde polii correspunzători valorilor proprii ale lui Π de modul 1 sunt anulaţi în mod automat.
CODURI DE LINIE
53
Densitatea spectrală de putere este dată de:
AzcAzw ⋅⋅= )()( * (2.114)
Exemplul II.15 Să calculăm d.s.p. a codului NRZ-L folosind această abordare. Plecând de la diagrama de tranziţii din figura 2.26 putem scrie:
)1(4)( ppzw −= este factorul de codare al codului NRZ-L.
Principalul dezavantaj al acestei metode simple este dat de dificulatea calculării inverselor
matricilor )( ΠI −z şi )( 1 'ΠI −−z în cazul codurilor descrise de matrici de dimensiuni mari. În plus, lucrând cu automate de tip Moore, numărul de stări implicat va fi mai mare în comparaţie cu cel al automatului Mealy echivalent.
Exemplul II.16 Să calculăm d.s.p. a codului Miller sau DM, care este un cod de tip 1B-2B descris de diagrama de tranziţii din figura 2.21.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
p)2(10000p/20000p)/2(10000p/2
d
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
00p1pp100pp1p00
0pp10
Π
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−−−
−−
−−−
−−
−−
−
=
2p)p(1
2
2p)p(102
p)(12p2
2p)p(12
p)p(12
p)(12p0
02
p)(12p2
p)p(12
2p)p(12
p)(12p0
2
2p)p(12
p)p(1
C
Capitolul II
54
iar vectorii de ieşire sunt daţi de [ ]z1z1z)(1z1A ++−+−−=
][ -1-1-1-1* z1z1)z(1z1A ++−+−−=
Se obţine
)4224221)(42222/(()32(6)32242(5
)4234221(4)322442(3)4234221(2)32242(32(4)(
zppzzzzppppzpppz
ppppzpppz
ppppzpppzpppzzw
+−−−−−+−−++−
++−++−+−+−
++−++−++−+−=
Înlocuind fjfez fj πππ sincos +== în relaţia precedentă şi simplificând obţinem
( )x) p p - (z ) p p - ( p p - p
x) pp - (x ) p p (-x ) p p (p - p - p ) p (- (p - f,pc4cos2222cos22214234221
3cos22212cos222cos32242114
⋅+⋅++++
⋅++⋅++⋅+++=
unde Tfx π= . Pentru cazul echiprobabil, p=0,5, rezultatul este echivalent cu cel dat de (2.94).
II.16 Conversia Mealy-Moore
În cele mai multe cazuri codul este definit de un automat de tip Mealy, având în vedere simplitatea acestuia (număr mai mic de stări). Unele metode de calcul a densităţii spectrale de putere fac apel la descrierea codului ca automat Moore. Pentru codurile descrise de matrici de tranziţie de dimensiuni mici (I = 2 sau 4) trecerea este destul de directă, operaţia putându-se efectua manual. În cazul codurilor complexe, descrise de matrici de tranziţie de dimensiuni mari (I >10), operaţia este mai complicată şi se preferă a se efectua mecanizat.
Vom descrie conversia automatului de tip Mealy într-un automat Moore echivalent pe baza unui exemplu. Să considerăm codul bipolar nr.2 descris de diagrama de tranziţie de tip Mealy reprezentată în figura 2.37. Acest cod este un cod fără componentă de c.c. fiind descris ca o codare cu răspuns parţial descrisă de polinomul 21 D− şi precodare de tip diferenţial de ordinul 2. Acesta poate fi considerat ca fiind obţinut din intercalarea a două coduri de tip bipolar nr. 1 sau AMI. Inexistenţa componentei de c.c. este confirmată de faptul că suma simbolurilor emise este nulă pe orice contur închis (buclă) din diagrama de tranziţie, ceea ce face ca suma digitală curentă să fie mărginită.
Matricea de tranziţie asociată codului rezultă din figura 2.37 ca
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000000
00
qppqqp
pq
T
Având în vedere că transmisia se face binar, utilizând alfabetul de intrare binar compus din 2 simboluri (0 şi 1), vom deduce din matricea T două matrici, notate cu E1 şi E2, asociate celor două simboluri de informaţie prezente la intrare (0 şi 1) care conţin numai elementele 0 şi 1, în modul următor: prezenţa lui 1 marchează existenţa unei tranziţii iar cu 0 se marchează absenţa tranziţiei. În consecinţă,
Figura 2.37 Cod bipolar nr.2
CODURI DE LINIE
55
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0001100001000010
0010010010000001
21 EE
Avem astfel pentru bitul 0 tranziţii din stările 2 în 4 şi invers precum şi din 1 în 1 şi din 3 în 3. Bitul 1 prezent la intrarea circuitului de codare bipolară nr.1 determină tranziţii din starea 1 în 2, din 2 în 3, din 3 în 4 şi din 4 în 1.
Vom construi apoi matricea de tranziţie asociată automatului Moore sub forma:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
EpEpEpEp
Π
unde p1 şi p2 reprezintă probabilităţile de apariţie ale celor două simboluri de date (0 şi 1). pppp −== 121
1 1
2 2
(1 )(1 )
p E p Ep E p E
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Π
şi detaliat
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
00000010001000
00001000000010
00000100000100
00010000000001
pppp
pppp
pppp
pppp
Π
Automatul Moore echivalent descris de matricea de tranziţie de mai sus este cel reprezentat în figura 2.38. S-a notat pq −= 1 pentru concizia exprimării.
Figura 2.38 Automat Moore echivalent
Capitolul II
56
Pentru asignarea simbolurilor de ieşire trebuie să mai luăm în consideraţie şi legea de codare. Întrucât codul provine din intercalarea a 2 coduri bipolare nr.1, în care bitul 1 este reprezentat alternativ prin simbolurile +1 şi –1, rezultă că două stări asociate biţilor 1 ce sunt separate de un număr impar de stări asociate biţilor 0, trebuie să producă simboluri de ieşire de semn contrar, de exemplu stările 5 şi 8, care sunt separate prin secvenţe de zerouri de lungime impară (5-2-8, 5-2-4-2-8, etc.).
II.17 Coduri utilizate în reţelele de calculatoare O dată cu apariţia ISDN-ului (Integrated Services Digital Network) au apărut coduri pentru
comunicaţii digitale full-duplex între centrala digitală şi abonat, folosind în acest scop perechile torsadate din cablul simetric.
Folosind tehnologia FDDI (Fiber Distributed Data Interface) se pot realiza viteze de 100 Mbit/s. Codul de linie utilizat trebuie să aibă următoarele proprietăţi:
să aibe componenta de c.c. nulă; spectrul său sa fie limitat astfel ca radiaţia la frecvenţe înalte şi interferenţa în canalele
alăturate (perechile torsadate din imediata proximitate) să fie reduse ca intensitate; componentele spectrale peste 30 MHz trebuie să fie sub un anumit nivel impus în SUA de FCC (Federal Communications Comission)
să fie adecvat caracteristicilor canalului pentru a minimiza interferenţele intersimbol. Primele tipuri de reţele LAN (Ethernet LAN) au fost gândite pentru comunicaţii de date şi foloseau
un cod bifazic L (Manchester). O dată cu apariţia aplicaţiilor multi-media, s-au introdus două noi variante ce lucrează la 100 Mbps,
Fast Ethernet, reglementat de standardul IEEE 802.3u şi 100VG-AnyLAN definit de IEEE 802.12. VG-AnyLAN nu mai utilizează protocolul CSMA/CD ci un protocol nou (Demand Priority media
access method), utilizând aceeaşi interfaţă de servicu pentru MAC (Medium Access Control).
II.17.1 Codul MLT-3 Unul din primele coduri adoptate este ternar şi poartă denumirea de MLT3 (Minimum Logical
Threshold). El este descris de diagrama de tranziţii din figura 2.39. Un exemplu de codare este prezentat în figura 2.40.
Ţinând cont de relaţia de inversă proporţionalite între timpul de creştere şi bandă, tranziţiile au fost îndulcite, iar panta cea mai abruptă şi frecvenţa fundamentală maximă corespunde unei secvenţe codate de tipul +0-0+0- . Această valoare e de două ori mai mică decât frecvenţa maximă întâlnită în codarea NRZ, ce corespunde unei secvenţe repetitive de tip 0101… Ca urmare, pentru semnalizarea cu impulsuri rectangulare, majoritatea energiei spectrale a semnalului este transferată în domeniul
Figura 2.39 DT pentru MLT-3 Figura 2.40 Un exemplu de codare MLT3
CODURI DE LINIE
57
frecvenţelor joase, sub 0,3 din frecvenţa de bit. Astfel, 84 % din energia spectrală se află într-o bandă mai mică decât 0.3 fbit, 90 % sub 0.5 fbit, şi 99 % sub 4.8 fbit,.
Codul MLT –3 a fost standardizat de ANSI (American National Standards Institute) pentru transmisiile cu viteza de 125 Mbit/s în reţelele LAN (Local Area Network) pe perechi torsadate în interiorul clădirilor..
Din păcate MLT-3 nu are componenta de c.c. nulă, aşa cum se poate observa din figura 2.41.
II.17.2 Codul 5B6B Standardul 100VL-AnyLAN folo-
seşte ca mediu de transmise fibra optică sau perechi torsadate, categoria 3 sau 4 (4 perechi sau 2 perechi). Reducerea emisiunilor electromagnetice de înaltă frecvenţă şi satisfacerea reglementărilor FCC privind nivelul radiaţiilor electro-magnetice la frecvenţe peste 30 MHz este realizată de standardul 100VG-AnyLAN (AnyNet) prin tehnica Quartet Signalling, ce foloseşte 4 fluxuri de 25 Mbps transmise pe 4 perechi torsadate şi o codare 5B6B, definită în tabelul II.4.
Tabelul II.4 Reguli de codare 5B6B Output data Output data Input
Prin aceasta, viteza de transmisie a datelor pe fiecare pereche creşte de la 25 la 30 Mbps. Ca avantaje se pot menţiona suprimarea componentei de c.c. şi radiaţia redusă la frecvenţe înalte.
Codul 5B6B are 20 de cuvinte cu disparitate zero şi 12 cu disparitate 2± , (doi de 0 and patru biţi 1 sau viceversa). Factorul de codare este reprezentat în figura.2.42 pentru 3 valori ale probabilităţii p.
II.17.3 Codul 4B5B În standardul 100 BASE FX se utilizează două fibre
optice pentru emisie şi respectiv recepţie. Transmisia face apel la codarea 4B5B, cu o eficienţă de 80%, întâlnită şi în FDDI (Fiber Distributed Data Interface). Ea este descrisă de regulile din tabelul II.5. Simbolurile de ieşire sunt de 5 biţi, şi sunt codate apoi NRZI. Cuvintele de ieşire sunt alese pentru a asigura maximum 3 zerouri consecutive. Secvenţa ‘11111’ este folosită pentru a semnaliza inactivitatea transmisiei (IDLE).
În standardul 100BASE-TX se recurge la aleatorizarea cuvintelor de cod 4B5B şi codarea lor MLT-3, aşa cum se arată în figura 2.43, ceea ce conduce la reducerea la jumătate a benzii necesare.
II.17.4 Codul 8B6T În standardul 100BASE-T4 pentru transmisii cu 100 Mbps se folosesc 4 perechi torsadate categoria
3 şi o frecvenţă de clock maximă corespunzătoare lui 30 Mbps. Codul utilizat este cunoscut ca 8B6T. Cuvintele de cod sunt echilibrate şi au cel puţin 2 tranziţii pentru o sincronizare uşoară .
Transmisia are loc la o viteză de 25 MHz, prin demultiplexarea pe 3 căi a semnalului codat, aşa cum se arată în figura 2.43 şi conform relaţiei de mai jos.
MHz2531
86100 =
Din cele 72936 = cuvinte de cod posibile au fost selecţionate 267 ce prezintă disparitate zero sau 1. Anularea componentei de c.c. se realizează prin inversarea alternativă a cuvintelor cu disparitate 1. Cele 256 de cuvinte corespunzatoare octeţilor de intrare au rezultat prin eliminarea a 5 cuvinte din cele 267 care prezentau mai puţin de 2 tranziţii şi a 6 cuvinte ce începeau sau se terminau cu 4 zerouri, evident pentru a nu avea probleme cu sincronizarea. Codul 8B6T este descris de tabelul II.6.
Codul 8B6T este descris de diagrama de tranziţii din figura
2.44, cuvintele de cod cu disparitate diferită de zero determinând tranziţii dintr-o stare în alta pentru a limita suma digitală curentă şi a anula componenta de c.c.
În figura 2.45 se prezintă factorul de codare al codului 8B6T pentru 3 valori ale probabilităţii p.
II.18 Probleme II.1 Fie forma de impuls parabolic reprezentată în figura 2.46, definită de
2[1 (2 / ) ] / 2
( )0
A t T t Tg t
in rest⎧ − ≤
= ⎨⎩
Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k. II.2 Se consideră forma de impuls reprezentată în figura 2.47.
. 2 2 / 2
( )0
at b t Tg t
in rest⎧− + ≤
= ⎨⎩
a. Determinaţi valorile lui a şi b. b. Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k.
Figura 2.44 FSTD pentru 8B6T
Figura 2.45 Factori de codare ai codului 8B6T
CODURI DE LINIE
61
II.3 Fie forma de impuls reprezentată în figura 2.48.
0)(2
>= − αα tettg
a. Determinaţi valoarea lui α astfel încât ATg ⋅= 001.0)2/( b. Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k în acest caz.
II.4 Se dă forma de impuls definită de
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=restin
TtT
tAtg0
2/2sin)(
2π
Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k.
II.5 Fie forma de impuls definită de
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
restin
TtetTtg
Tt
0
2/4)(
22
şi reprezentată în figura 2.49. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k.
II.6 Fie impulsul triunghiular definit de
⎩⎨⎧ ≤−
=restin
TtTtAtg
02/)/21(
)(
şi reprezentat în figura 2.50. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k.
II.7 Fie impulsul triunghiular generalizat definit de
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤⋅+−=restin
TtT
taTtAtg
0
2/4
sin)/21()(π
a. Determinaţi constanta a astfel încât forma de undă g(t) să prezinte un număr de derivate cât mai mare continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie
b. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k pentru a = 0.25.
Figura 2.46 Impuls parabolic Figura 2.47 Alt impuls parabolic Figura 2.48 Alt impuls
Figura 2.49 Alt impuls
Figura 2.50 Impuls triunghiular
Capitolul II
62
II.8 Fie forma de impuls definită de
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤⋅+⋅=
restin
TtT
taT
tAtg0
2/)sincos()(ππ
a. Determinaţi constanta a astfel încât forma de undă g(t) să prezinte un număr de derivate cât mai mare continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie.
b. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k pentru a = - 0.25.
II.9 Fie forma de impuls definită de
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤⋅+⋅+⋅=
restin
TtT
tbT
taT
tAtg0
2/)2sinsincos()(πππ
a. Determinaţi constantele a şi b astfel încât forma de undă g(t) să prezinte un număr cât mai mare de derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie.
b. Ce relaţie satisfac a şi b pentru a obţine o viteză de scădere a componentelor spectrale cu frecvenţa de tip f- - 4.
c. Care este numărul maxim de derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie şi care va fi viteza de scădere a componentelor spectrale cu frecvenţa pentru d.s.p.?
d. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k pentru valorile determinate la punctul a.
II.10 Fie semnalele g(t) de tip lob de cosinus şi h(t) de tip impuls rectangular, definite mai jos.
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤=
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤=
restin
TtAthrestin
TtTtAtg
02)(
022
cos)(π
a. Determinaţi şi reprezentaţi semnalul )(*)()( thtgts = , unde * reprezintă operaţia de convoluţie a celor două semnale.
b. Care este transformata Fourier a semnalului s(t)? c. Ce formă de undă cunoscută reprezintă semnalul s(t)? d. Determinaţi şi reprezentaţi d.s.p. a semnalizării antipodale echiprobabile cu impulsuri de tip s(t). Indicaţie: dualitatea timp-frecvenţă conduce la înlocuirea produsului de convoluţie dintr-un
domeniu cu produsul transformatelor Fourier în celălalt domeniu.
II.11 Fie forma de undă s(t) rezultată din convoluţia a două impulsuri g(t) de tip cosinus ridicat cu durata T, definite de rel.(2.99).
a. Care este durata impulsului )(*)()( tgtgts = b. Care este numărul maxim de derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de
definiţie şi care va fi viteza de scădere a componentelor spectrale cu frecvenţa pentru d.s.p. a semnalizării antipodale echiprobabile cu impulsuri de tip s(t).
c. Determinaţi expresia analitică a semnalului s(t), transformata sa Fourier S(f) şi constanta de normalizare a amplitudinii k.
II.12 Scrieţi matricea de tranziţie E a codurilor RZ şi PPM definite de diagramele de tranziţie din figura 2.51 recurgând la transformata z .
CODURI DE LINIE
63
II.13 Calculaţi constanta de normalizare pentru impulsul triunghiular generalizat descris de
( )( )1 [ ,0]
( ) 1 [0, ]
0
//
mt T
mg t t Tm
in rest
t Tt T
+ ∈ −
= − ∈
⎧⎪⎨⎪⎩
pentru m =1 şi m =2. II.14 Fie impulsul cu simetrie pară care este egal cu zero în afara intervalului de definiţie, descris de
( )[ ]
[ ]⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∈−
∈+−
=
TTtT
tT
TtT
t
T
tT
tg
2;3
26
;03
2
12
3
2
a. Scrieţi expresiile lui g(t) pe intervalele [-T, 0} şi {-2T, T]; b. Verificaţi continuitatea la momentele t = T şi t = 2T pentru semnalul g(t) şi derivatele sale; c. Determinaţi numărul de derivate care sunt continue şi egale cu zero la capetele intervalului de
definiţie; d. Determinaţi viteza de scădere a componentelor spectrale pentru transformata Fourier a lui g(t) şi
d.s.p a semnalizării binare polare echiprobabile antipodale folosind forma de undă g(t). e. Redefiniţi forma de undă astfel încât ea să fie definită pe intervalul [ ]2/,2/ TT− .
II.15 Fie forma de undă s(t) definită pe [-T, T],
T
tatgts ⋅⋅+=
πcos)()(
unde
( )( )1 / [ ,0]
( ) 1 / [0, ]0
t T t Tg t t T t T
in rest
⎧ + ∈ −⎪= − ∈⎨⎪⎩
Determinaţi valoarea constantei a astfel ca semnalul s(t) să aibă o transformată Fourier care descreşte proporţional cu f –3. Este posibil acest lucru? II.16 Scrieţi matricea de tranziţie E a codului NRZ-M definit de diagrama de tranziţie din figura 2.15 făcând apel la transformata z . II.17 Reprezentaţi grafic forma de undă g(t) definită anterior în problema IV.14 şi calculaţi constanta sa de normalizare a amplitudinii.
a. Codul RZ b. Codul PPM
Figura 2.51 Diagramele de tranziţie pentru codurile RZ şi PPM
Capitolul II
64
II.18 Fie forma de undă g(t) definită de
/ 2( ) sin( / ) / 2
0
A t Tg t A t T T t T
in restπ
⎧ ≤⎪= ≤ ≤⎨⎪⎩
a. Reprezentaţi grafic forma de undă şi determinaţi energia sa de bit. b. Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k. c. Determinaţi continuitatea lui g(t) şi a primei sale derivate în T/2 şi T. Care este viteza maximă de
scădere spectrală ce poate fi realizată folosind acest tip de impuls ? II.19 Fie circuitul din figura 2.52.
a. Daca la intrare se aplică secvenţa {ak} = .....1 1 1 0. 0 0 1 0. 1 0 1 0.1 0 0 0...... reprezentaţi
secvenţele {mk},{bk}şi {yk};
b. Reprezentaţi diagrama de tranziţii pentru codorul având intrarea {ak} şi ieşirea {yk};
c.Calculaţi covarianţele R(0), R(1), R(2) pentru secvenţa codată {yk}( notăm p = p(1)).
II.20 Fie semnalul cu răspuns parţial descris de polinomul:
F(D) = A0 + A1 D + A2 D2 + A3 D3
a. Determinaţi coeficienţii A0 , A1 , A2 , A3 astfel incât F(D) să aibă un zerou dublu la frecvenţa
1/T şi unul simplu la frecvenţa 1/2T (T - perioada de bit); b. Desenaţi circuitul; c. Reprezentaţi grafic |F(f)| în banda [-1/T, 1/T].
II.21 Fie codul descris de schema din figura 2.53. a. Dacă ak = {1110100110100110 ...},
reprezentaţi formele de undă bk , ck , yk .
b. Desenaţi diagrama de tranziţie pentru codul definit de intrarea ak şi ieşirea yk;
c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2), pentru p(1) = p.
II.22 Fie codul ternar descris de diagrama de tranziţie din figura 2.54.
a. Scrieţi matricile probabilităţilor stationare şi de tranziţie; b. Determinaţi matricea de ieşire A; c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi
R(2); d. Calculaţi d.sp. a codului cu formula (2.114).
Figura 2.52 Coder de linie
Figura 2.53 Alt circuit de codare
Figura 2.54 Cod ternar
Surse de semnal
65
II.23 Se dă circuitul codor reprezentat în figura 2.55, unde {ak} este o secvenţă de date codată NRZ-L,
probabilitatea de apariţie a bitului 1 în secvenţa de date de intrare fiind p. Sa se deducă sau calculeze: a. Valoarea medie m1 a semnalului codat {bk};
b. Covarianţele R(0), R(1) şi R(2);
c. Factorul de codificare C(f) dacă 2,)( 21 ≥= nmnR ;
d. Ce secvenţe particulare de date poate pune în evidenţă acest cod ? II.24 Fie circuitul codor reprezentat în figura 2.56.
a. Dacă ak = {11101011001000110 ...},
reprezentaţi formele de undă bk şi yk .
b. Desenaţi diagrama de tranziţie pentru codul definit de intrarea ak şi ieşirea yk;
c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2);
II.25 Fie circuitul codor reprezentat în figura 2.57. a. Dacă ak = {11101011001000110 ...}, reprezentaţi
formele de undă kb şi ky .
b. Desenaţi diagrama de tranziţie pentru codul definit de intrarea ka şi ieşirea ky ;
c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2);
II.26 Fie codul binar de tip 1B-4B reprezentat în figura 2.58. a. Determinaţi matricea de tranziţie asociată automatului
de tip Moore. b. Reprezentaţi grafic diagrama de tranziţie. c. Determinaţi d.s.p. a codului şi reprezentaţi-o grafic.
