Calcul Numeric

Cursul 2

2015

Anca Ignat

1

Propoziie Fie , ,m n n mA x y x atunci:

, , .m nHAx y x A y Pentru cazul real avem:

, , ,m nm n n m TA x y Ax y x A y x Demonstraie

(Ax , y) = yH (Ax) = yH A x = yH (AH)H x =

= (AH y)H x = (x , AHy).

2

Tipuri de matrici

Definiii

O matrice n nA se numete simetric dac A = AT . O matrice n nA se numete autoadjunct dac A = AH. O matrice n nA se numete unitar dac AHA = A AH = In. O matrice n nA se numete ortogonal dac

ATA = A AT = In.

3

O matrice n nA , A=(ai j ) se numete matrice triunghiular inferior (sau inferior triunghiular) dac

ai j = 0 pentru j > i

11

21 22

1 2

0 .....................0..................0

n n nn

aa a

A

a a a

4

O matrice n nA , A=(ai j ) se numete matrice triunghiular superior (sau superior triunghiular) dac

ai j = 0 pentru j < i

11 12 13 1

22 23 2

33 3

. . . . . . . . . .00 0

0 0 0 ...........

n

n

n

nn

a a a aa a a

A a a

a

5

Notm cu In matricea unitate:

1 0 0 0 00 1 0 0 0

,0 0 0 1 00 0 0 0 1

n nn nI I

6

Matrice diagonal D=diag[d1, d2,,dn]

1

2

1

0 0 0 00 0 0 0

,0 0 0 00 0 0 0

n n

n

n

dd

D Dd

d

7

Norme

Definiie Fie X un spaiu vectorial real. Se numete norm aplicaia:

. : X care ndeplinete condiiile:

(1) 0; 0 0;(2) , , ;(3) , , .

x x xx y x y x y X

x x x X

Vom numi norme vectoriale normele definite pe spaiile

saun nX .

8

Exemple Fie spaiile vectoriale saun n . Pe aceste spaii urmtoarele aplicaii sunt norme vectoriale:

11

22

1

;

;

max{ 1.. }.

n

ii

n

ii

i

x x

x x

x x i n

9

Dac v este o norm vectorial i n nP este o matrice nesingular atunci aplicaia

: ,nP P vx Px este de asemenea o norm vectorial.

10

Definiie

Se numete produs scalar n spaiul vectorial X aplicaia:

, : X X K care satisface condiiile :

( ) , 0 , , , 0 0;

( ) ( , ) , , , ,( ) , , , , ,( ) , , , , , .

a x x x X x x x

b x y y x x y Xc x y x y x y X Kd x y z x z y z x y z X

11

Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz:

, , , ,x y x x y y x y X ntr-un spaiu vectorial dotat cu produs scalar se poate induce

o norm numit euclidian:

2 | | : ,x x x x .

12

Reaminitm definiia produselor scalare pe n i pe n

introduse anterior:

1 1

, , ,n nn n

i i i ii i

x y x y x y x y

Obinem norma euclidian (valabil n ambele spaii n i n ):

22

1| |

n

ii

x x x

.

13

Norme matriciale

Definiie

Aplicaia : n n se numete norm matricial dac: (1) 0 ; 0 0.

(2) .

(3) , , .

(4) * , , .

n n

n n

n n

n n

A A A A

A A A

A B A B A B

A B A B A B

14

Exemple

Norma Frobenius definit de relaia 2

1 1

n n

i jFi j

A a

este o norm matricial.

Aplicaia max

, ,max{ ; 1, , 1, }ij

A a i n j n NU este o norm matricial.

15

Pentru n = 2 fie:

3 4 3 45 5 5 5,4 3 4 35 5 5 5

TA B A

2 max max

max max max

4* ,5

16* 1 .25

A B I A B

A B A B

16

Norme matriciale naturale

- : nv o norm vectorial || || : n ni norm matricial natural sau indus.

vi

v

max ; , 0nAx

A x xx

Definiii echivalente :

i v v

v v

max ; , 1

max ; , 1

n

n

A Ax x x

Ax x x

17

iA se numete norm matricial natural sau norm

indus de norma vectorial v Avem urmtoarea relaie:

v i v , ,n n nAx A x A x .

Norma Frobenius F nu este o norm natural. v

iiv

max ; 0 1, || ||nnI x

I xx

,

12(1 1 1) 1 pentru 2.n FI n n

18

Pentru 11

n

ii

x x

norma matricial indus este: 1

1max ; 1,2, ,

n

iji

A a j n

Pentru max{ 1, , }ix x i n norma matricial indus este:

1max ; 1,2, ,

n

ijj

A a i n

.

19

- v i v,P - norme vectoriale i i respectiv i,P normele matriciale induse

1

v,P v i,P ix Px A PAP

20

Valori i vectori proprii Definiii

Fie n nA . Se numete valoare proprie (autovaloare) a matricii A un numr complex pentru care exist un vector nenul , 0nx x a..:

Ax x . Vectorul x se numete vector propriu (autovector) asociat

val. proprii . ( ) 0, 0 det( ) 0n nAx x I A x x I A

21

Matricea nI A este singular. Polinomul:

1 21 1( ) det( ) ...

n n nA n n np I A a a a a

se numete polinom caracteristic asociat matricii A.

grad pA = n are n rdcini care sunt valorile proprii ale matricii A.

Se numete raz spectral a matricii A:

max{ , 1, , , valorile proprii ale matriciii iA i n

22

22

1

n

ii

x x

norma indus este 2 | | ( )

TAA A A se numete norma spectral.

Propoziia 1

Fie o norm matricial natural. Atunci: ( ) , n nA A A .

23

Fie , { }un ir de matrici.n n kA A 0 , 0 ,k kn nA k A k .

Propoziia 2

Fie n nA . Atunci: 0 , ( )kA k A

Dac exist o norm matricial natural pentru care ||A|| < 1

atunci:

0 pentru .kA k ( 1 0 pentru 1.kn a a k a )

24

Propoziia 3

Fie n nA . Seria 0

k

kA

converge dac i numai dac raza

spectral a matricii A este subunitar:

1.n kk

A S A

Dac exist o norm a matricii A astfel nct ||A|| < 1 atunci

seria converge. n cazul convergenei avem :

1

0( ) .k

kA S I A

25

Propoziia 4

Fie n nA pentru care exist o norm matricial natural astfel ca 1A . Atunci exist matricile 1( )nI A i avem evalurile:

11 1( ) .1 1

I AA A