+ All Categories
Home > Documents > Cifre Semnificative

Cifre Semnificative

Date post: 22-Jul-2015
Category:
Upload: feli-apple
View: 378 times
Download: 3 times
Share this document with a friend
6
Cifre semnificative i calcularea ș erorilor Se numesc cifre semnificative toate cifrele "exacte" şi "îndoielnice" ale unui num r, f r a ă ă ă socoti îns zerourile din fa a num rului care nu ă ţ ă indic decât ordinul cifrelor urm toare şi pot fi ă ă totdeauna eliminate folosind un factor adecvat 1 k – întreg, adic mutând virgula convenabil la ă dreapta. Cifrele semnificative rezultate în urma unei m sur tori reale indic de ă ă ă obicei acurate ea acelei m surtori ţ ă ă . De exemplu, dac ă spunem c o maşincântreşte 1.000 kg, probabil c nu dorim s fim foarte exac i ă ă ă ă ă ţ referitor la greutatea acesteia, ci am f cut o rotunjire aproximativ şi comod . ă ă ă Aceastvaloare con ine doar o cifr semnificativ , şi anume, ă ţ ă ă „1”-ul din fa a, ţ zerourile fiind folosite în acest caz doar pentru a indica un multiplu al primei cifre , şi nu „posed ” nici o valoare propriu-zis . Totuşi, dac am spune c ă ă ă ă maşina cânt reşte 1.005 kg, atunci valoarea ar avea ă 4 cifre semnificative , şi anume „1.005”, iar în acest caz, zerourile sunt parte component a m rimii ă ă m surate. ă Valoriaproximative , erori de m a surare Practic toate marimile si constantele fizice cu care operam nu pot fi exactitate din diferite motive: a) rezultatul oricarei masuratori este afectat de erori sistematice sa b) de multe ori intervin constante exprimate prin numere transcendenta care nu se pot lua în considerare toate zecimalele: π = 3,14159... c) rezultatele calculelor pot conduce la numere cu multe zecimale care luate toate în considerare d) constantele fizice sunt determinate aproximativ, ca de exemplu: g = m/s². Marimi aproximative In fizic , pe lânga indicarea valorii numerice a unei marimi, trebu ă eroarea cu care aceasta marime a fost determinata sau masurata. De exemp 356 ± 2 m arata ca valoarea adevarata a lungimii l este cuprinsa între 3 Totusi de multe ori valorile numerice sunt date în forma l = 356 m. In a considera ca eroarea este egala cu o unitate a ultimei cifre semnificati nostru eroarea este de 1 m). Cornescu Andrei Pagina 1
Transcript

Cifre semnificative i calcularea erorilorSe numesc cifre semnificative toate cifrele "exacte" i "ndoielnice" ale unui numr, fr a socoti ns zerourile din faa numrului care nu indic dect ordinul cifrelor urmtoare i pot fi totdeauna eliminate folosind un factor adecvat 10k, k ntreg, adic mutnd virgula convenabil la dreapta. Cifrele semnificative rezultate n urma unei msurtori reale indic de obicei acurateea acelei msurtori. De exemplu, dac spunem c o main cntrete 1.000 kg, probabil c nu dorim s fim foarte exaci referitor la greutatea acesteia, ci am fcut o rotunjire aproximativ i comod. Aceast valoare conine doar o cifr semnificativ, i anume, 1-ul din faa, zerourile fiind folosite n acest caz doar pentru a indica un multiplu al primei cifre, i nu posed nici o valoare propriu-zis. Totui, dac am spune c maina cntrete 1.005 kg, atunci valoarea ar avea 4 cifre semnificative, i anume 1.005, iar n acest caz, zerourile sunt parte component a mrimii msurate.

Valori aproximative , erori de m a surarePractic toate marimile si constantele fizice cu care operam nu pot fi cunoscute cu exactitate din diferite motive: a) rezultatul oricarei masuratori este afectat de erori sistematice sau accidentale b) de multe ori intervin constante exprimate prin numere transcendentale pentru care nu se pot lua n considerare toate zecimalele: = 3,14159... c) rezultatele calculelor pot conduce la numere cu multe zecimale care nu pot fi luate toate n considerare d) constantele fizice sunt determinate aproximativ, ca de exemplu: g = 9,806... m/s.

Marimi aproximativeIn fizic, pe lnga indicarea valorii numerice a unei marimi, trebuie indicata si eroarea cu care aceasta marime a fost determinata sau masurata. De exemplu, l = 356 2 m arata ca valoarea adevarata a lungimii l este cuprinsa ntre 354 si 358 m. Totusi de multe ori valorile numerice sunt date n forma l = 356 m. In acest caz se considera ca eroarea este egala cu o unitate a ultimei cifre semnificative (n exemplul nostru eroarea este de 1 m). Cornescu Andrei Pagina 1

Cifrele semnificative sunt toate cifrele unui numar cu exceptia zerourilor de la nceput. De exemplu n cazul numarului 0,03204040 primele doua zerouri nu sunt cifre semnificative ele indicnd ordinul de marime. Celelalte cifre zero sunt semnificative. Se recomanda folosire notatiei stiintifice (cu ajutorul puterilor lui 10). De exemplu ncazul numarului 1.250.000 daca precizia este de patru cifre atunci se recomanda forma 1,250106. Eventual se poate scrie: 0,1250 * . Pentru a se retine numai cifrele semnificative se recurge la operaia de rotunjire. Aceasta se face n conformitate cu anumite reguli: a) daca prima cifra neglijata este mai mica dect 5, ultima cifra semnificativa ramne neschimbata b) daca prima cifra neglijata este mai mare dect 5 sau este 5 urmat de alta cifra diferita de 0, ultima cifra pastrata se ma-reste cu o unitate; c) daca prima cifra neglijata este 5 urmat numai de zerouri, ultima cifra pastrata se modifica n asa fel nct sa se obtina cel mai apropiat numar par. Exemplu: rotunjirea la patru cifre semnificative: 12,6257 12,6213 12,6278 12,6250 12,6350 12,63 12,62 12,63 12,62 12,64

Scrierea numerelor folosind nota ia tiin ific Folosind notaia tiinific, un numr poate fi scris prin intermediul cifrelor semnificative ca i o valoare ntre 1 i 10 (sau -1 i -10 pentru numerele negative), iar zerourile sunt reprezentate ca i puteri ale lui 10. De exemplu: 1 Amper = 6.250.000.000.000.000.000 electroni pe secund poate fi scris sub forma 1 Amper = 6,25 x 1018 electroni pe secund Avantajele notaiei tiinifice sunt evidente: numrul nu mai este att de imposibil de scris iar cifrele semnificative sunt foarte uor de identificat. La fel se poate proceda cu numerele foarte mici:

Cornescu Andrei

Pagina 2

masa protonului = 0,00000000000000000000000167 grame poate fi scris sub forma masa protonului = 1,67 x 10-24 grame

Adunarea si sc derea cifrelor semnificativeAtunci cnd numerele semnificative se adun sau scad, numrul de zecimale, n rspuns este egal cu numrul de zecimale, n numarul cu cel mai mic numr de zecimale. 12.47 + 7 = 19.47 19 (numarul trebuie sa aibe 0 cifre semnificative dupa virgul i este rotunjit la 19 fiindc cifra de dupa ultima cifr semnificativ este mai mica decat 5). 32.56 4.9 = 27.66 27.7(numarul obtinut trebuie sa aibe 1 cifra semnificativ dupa virgul i este rotunjit la 27.7 fiindc cifra de dupa ultima cifra semnificativa este mai mare ca 5) 3.76 + 14.83 + 2.1 = 20.69 27.7 (cifra cu numrul minim de cifre semnificative dupa virgula este 2.1)

Inmul irea si mp rtirea cifrele semnificativeAtunci cnd numerele se nmulesc sau divid, numrul de cifre semnificative n rspuns este egal cu numrul de cifre semnificative n numrul cu cel mai mic numr de cifre semnificative. 1.473 / 2.6 = 0.5665 0.57 (rotunjit la 2 numere semnificative deoarece numarul cu cele mai putine numere semnificative este 2.6)( 8.33 * 9.116 ) / 0.004500 = 1674.7288 1670 (3 cifre semnificative) Ca regul, este bine s pstrm una sau 2 cifre semnificative n plus de-a lungul calculului, i DOAR la final s renunm la ele i s prezentm rezultatul cu numrul corect de cifre semnificative!

Erorile marimilor aproximativn realitate nici o marime nu este cunoscuta cu o precizie orict de mare dar putem stabili intervale n are sigur se afla valoarea exacta a marimii aproximative. Aici nu ne intereseaza metode de estimare a valorii adevarate si nici metodele de reducere a erorilor. Consideram ca valoarea adevarata este A iar valoarea aproximativa este a. Eroarea absoluta a marimii a este definita ca: Eroarea relativa a marimii a este definita ca:

Cornescu Andrei

Pagina 3

Eroarea relativa fiind o marime adimensionala poate fi folosita pentru a compara eroarea cu care au fost determinate marimi diferite: lungime, timp, temperatura etc. Rezultatul final se exprima n forma: .

Erorile rezultatului final vor fi determinate n principal de erorile marimilor determinate cu precizie mai mica. De aceea marimile care intervin se iau n considerare cu o precizie comparabila cu precizia cea mai mica. Numarul cifrelor semnificative va fi determinat de precizia finala, da se considera de obicei cu una doua cifre semnificative, iar ultima cifra semnificativa a marimii a este de acelasi ordin de marime cu ultima cifra a erorii relative.

Probleme Rezolvate1) Dandu-se un dreptunghi de lungime L = 6 cm si lime l = 3 cm s se calculeze erorile pentru lungime, lime i arie tiind ca eroarea maxima este de 0.1 cm. L=6

l=3

=6% 2) Dandu-se un paralelipiped de lungime L = 6 cm, latime l = 4.5 cm i nalime h = 1 cm sa se calculeze erorile pentru Arie si Volum, tiind ca eroarea maxim este de 0.1cm.

Cornescu Andrei

Pagina 4

Cornescu Andrei

Pagina 5


Recommended