8/11/2019 cexcl10s10

1/14

CENTRUL DE EXCELEN PENTRU TINERI CAPABILI DE PERFORMAN IAIAnul colar 2010 2011

Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie

Pro!" #$%or&$% Iur%

No'(un( )%or%)(c%

1"Fie A(a), B(b). Atuncid ( A, B) = |a b |.

2"Afixul unui punct obinut printr-o rotaieFie A(a), B(b). Atunci punctulC obinut prin rotaia de centru A i unghi , din B estec a = (b a ) (cos + isin ).

*" uncte coliniare! A(a), B(b), C (c) sunt coliniare " Racab

.

+" erpendicularitate! A(a), B(b), C (c), D(d ) distincte. #$e" =

cd ab

iRcd ab

CD AB .

," %ac& A(a), B(b), C (c) sunt distincte, diferite de origine, atunci!abac

C A Bm= arg)'( .

-" riunghiurile *+ A A A i *+ B B B la fel orientate sunt ase enea+

+*

+

+*

bb

bb

aa

aa

=

.

riunghiurile *+ A A A i *+ B B B in ers orientate sunt ase enea+

+*

+

+*

bbbb

aaaa

=

.

." Afixul punctului care parte un seg ent ntr-un raport dat.%aca )( AB M , A(a), B(b), #>= k

MB MA , atunci

k kba

m ++=

+.

/" Aria triunghiului ABC , direct orientat, este )/ (*+

accbbaS ABC ++= .

" riunghiul ABC echilateral)(#+,# ***** abaccbabcacabcba ==++=++++=++ , .#+* =+

10" atrulatere particulare!a ABCD paralelogra dac& i nu ai dac&a + c = b +d .

ABCD dreptunghi dac& i nu ai dac&a + c = b + d i |a c| = |b d |.c ABCD ro b dac& i nu ai dac a + c = b + d i |a b| = |c d| .

8/11/2019 cexcl10s10

2/14

8/11/2019 cexcl10s10

3/14

$eciproc,.#))()((

)())(( ****

***

=+++

=

++++=++++=++=++

accbba

Rc

Rb

Ra

Rcba Rcbacba Rcba Rcba

-" Afixele *+ ,, z z z ale 0rfurilor *+ ,, A A A ale triunghiului *+ A A A erific& +*+ === z z z i*

+*

**

*+ =+++++ z z z z z z . Ar&tai c& triunghiul *+ A A A este echilateral.

Soluie: Fie

+

**+ z z M i6locul lui ( AB). Atunci a e !

====+=+

=+++

=+++=++

==

==++=

7##)(sin))cos(cos*(#+)cos(cos8cos8

#*

+cos*)cos()cos(*

#*

*cos*cos*cos8

coscoscos

cos8)sin+(88*

88*

***

*

***

********+

**+*

C B A B A B AC B AC C

C B A B A

C B AC B A

C RC Rc

ROM z z z z

OM

." Fie ABCD un dreptunghi nscris n cerculC (O ' R ) i M un punct de pe cerc, iar *+ , ! ! ortocentrele triunghiurilor MAB, MCD . Ar&tai c& M este i6locul lui )( *+ ! ! .

Soluie: Fie reperul cu originea nO i axele paralele cu laturile dreptunghiului. Atunci A(a), B(b),

C (-a), D(-b) i M (m), ,+ bam z ! ++= *+in* ! ! bam z ! = are afixul m z z ! ! =

+*

*+ , deci

i6locul lui )( *+ ! ! este M .

/" Fie A(a), B(b), C (c) n raport cu un siste arbitrar de axe. Ar&tai c& afixul ortocentrului ! este

# = a + b + c )&. Soluie: Fie A* (a* ) si etricul lui A fa& deO. ;u B!CA* este paralelogra , a e !# = b + c a* = b + c + a )&.

"Fie O centrul p&tratului ABCD, M i6locul lui BO, i6locul luiCD . %e onstrai c& triunghiul AM este dreptunghic isoscel.

Soluie: Fie D originea siste ului de axe DC i DA. A e ! D(#), C ( ), B( + i), A(i),

*+

+ ,

+

8)+( i

M . ;u m = (a m )i, re3ult& conclu3ia.

10" e laturile BC, CA ale triunghiului ABC construi n exterior p&tratele BC- i ACM . Fie P i6locul lui -M. Ar&tai c& ABCP i ABCP

*+= .

Soluie: Fa& de un reper oarecare,m c = (a c ) (-i), k c = (b c )i, iabc p*+= .

%in ABCP iRiba pc

=

"*+ i .

*+

ABCP =

8/11/2019 cexcl10s10

4/14

8/11/2019 cexcl10s10

5/14

1-" ;onsider& n plan triunghiurile echilateraleOAB, OCD i OEF la fel orientate. 2& se arate c&triunghiul ACE este echilateral dac& i nu ai dac& triunghiul BDF este echilateral.

Soluie: ;onsider& triunghiurile orientate po3iti . %eci A(a), B(a ), C (c), D(c ), E (e), F (e ),sincos

i+= .

riunghiul ACE este echilateral dac& i nu ai dac&e a = (c a ) , iar triunghiul BDF este echilateraldac& i nu ai dac& e - a = (c - a ) .

1." Fie triunghiul ABC. :n se iplanul &rginit de AC care conine B, construi triunghiuriledreptunghice isoscele DAB, BCE, AFC cu unghiurile drepte n A, C, F . 2& se arate c& D, F, E suntcoliniare.

Soluie:

Fa& de un reper arbitrar, consider& A(a), B(b), C (c).Atuncid a = (b a )(-i)4e c = (b c )i4a $ = (c $ )i )(

*+

cciaia $ ++= .

%in = +

$ e $ d

D, E, F coliniare i F i6locul lui ( DE ).

1/" Fie C B A z z z ,, afixele 0rfurilor triunghiului ABC nscris n cercul unitate.%ac& #)()()( =+++++ ba z z ca z z cb z z A B AC C B , atunci triunghiul ABC este echilateral.

Soluie: ;on6ug0nd relaia dat&, a e !( )( ) ==++=++++=++=++ 4 ! z z cz bz az cba z z z cb z

z z

cb 4 ! C B AC B A AC B

#...)(#...triunghiul

ABC echilateral.

1 . Fie *+ ,, z z z trei nu ere co plexe de acelai odul R. 2& se de onstre3e c&!*

*+*+*+*+ 1 R z z z z z z z z z z z z ++ . Soluie: Fie A, B, C de afixe *+ ,, z z z i reperul 1O2, O centrul cercului circu scris triunghiuluiA?;. Atunci punctele A, B, C aparin cercului i inegalitatea de ine *1 Rcabcab ++ , care esteade arat& deoarece **** 1 Rcbabcacab ++++ (din #1 ***** = cba RO! ).

@

8/11/2019 cexcl10s10

6/14

20"Fie *+ A A A un triunghi, M un punct pe cerculC (O, R ) circu scris triunghiului i *+ , ! ! ! ortocentrele triunghiurilor *++* ,, A MA A MA A MA . 2& se arate c& **++ ,, ! A ! A ! A suntconcurente.

Soluie: FieO originea siste ului de axe i )( ii a A . Atunci *+ aam# ++= , m afixul lui M , de unde

re3ult& c& i6locul lui ++ ! A este )(*+

*+ aaam +++ , afixul lui M!, ! ortocentrul triunghiului

*+ A A A , deci **++ ,, ! A ! A ! A sunt concurente.

21"2& se arate c& nu exist& trei nu ere co plexe*+ ,, z z z cu odulele egale cu , care s& erifice!( )*+*+ ** z z z i z z z ++=++ .

Soluie: Fie sincos,sincos,sincos *+ i z i z i z +=+=+= . %up& calcule, obine !)coscos(cos7coscoscos ++=++ i

)sinsin(sin7sinsinsin +++=++ , de unde*

sinsinsin =++ 4

*coscoscos =++ .

$e3ult&!( ) ( ) ( ) cossincossincossin =+++++ B .;u +cossincossin ** =++ 5 5 5 5 (egalit&ile pentru sin 5 = #, cos 5 = sau sin 5 = , cos 5 = #),re3ult&

*sinsinsinA+4#B,...cos,cos,...,sin,sin =++ , fals.

22" Fie nu erele co plexea, b, c distincte dou& c0te dou&, astfel nc0t|a| = |b| = |c| = iC

*** >++ accbba . 2& se arate c& |(a + b )(b + c )(c + a )| + . Soluie:

8/11/2019 cexcl10s10

7/14

8/11/2019 cexcl10s10

8/14

Soluie: Fa& de un reper oarecare, not& 5, afixul punctului 1 .

k m

k cbk

ak kamcb

a ++=++=+=

*))(+(

+* **

+ .

;&ut& un punct * AA" astfel nc0t afixul s&u,% s& se expri e si etric n funcie dea, b, c.

;u

++

+=+= k m

k cbk

5 5aa 5 5a% *))(+(

)+()+( * , alege 5 astfel nc0t ( ) k k

5 5 *+

+ +

= , deci

k k 5*

++= . entru acest 5, ( )cbak

k % +++

+=+

+ . $e3ult& c& dreptele date sunt concurente n".

2/" Fie ABC un triunghi cu unghiul A ascuit. :n exteriorul triunghiului ABC se consider& D i E, DA = DB, EA = EC i )'(*)'()'( AmC E Am B D Am == . %e onstrai c& si etricul lui A fa& de i6locul lui DE este centrul cercului circu scris triunghiului ABC. Soluie: Fa& de un reper arbitrar, not& 5, afixul punctului 1 . ot& =+ Ai A *sin*cos . $e3ult&!

)(4)( d bd aeaec == , deci+

4+

==

ab

d ca

e . $e3ult&! aed &&b&c +== ),(

Astfel, triunghiurileOBC i ABC au aceeai orientare,OB = OC i )'

(*)'

( AmC O Bm =

. $e3ult& c&Oeste centrul cercului circu scris triunghiului ABC.

2 "Fie ABCDE un pentagon con ex i M, , P, ", 1, 2 i6loacele seg entelor BC, CD, DE, EA, MP, " . Ar&tai c& 12 || AB.

Soluie: ot& t afixul punctului7 fa& de un reper oarecare. %educe !8+=

ba 8 5 , deci 12 || AB .

*0"2e construiesc p&trate n exteriorul unui patrulater. %ac& centrele p&tratelor sunt 1, 2, 9, :, atuncidreptele 19 i 2: sunt perpendiculare i 19 = 2: .

Soluie: Fiea, b, c, d afixele 0rfurilor patrulaterului i 5, 8, z, ; afixele punctelor 1, 2, 9, : . Atunci!

iad ad ;id cd c z icbcb 8ibaba 5 **4**4**4** ++=++=++=++= .

$e3ult& 2: 19 i 5 z 8;

= i 19 = 2: .

*1" 2e consider& triunghiurile echilaterale ABC i BDE la fel orientate. Fie M i i6loacele laturilor AC i respecti DE . Ar&tai c& triunghiurile MB i CBD sunt ase enea. Soluie: Alege un reper cu originea n B. ot& cu 5 afixul punctului 1 .A e ! sincos4

*4

*44444#

iaa 5bbmb z b z a z a z z AC E D B +=+=+====== .

riunghiurile MB i CBD sunt ase enea dac&cd cb

m,mb

=

, care se erific& uor.

*2" Fie OAB i OA*B* dou& triunghiuri echilaterale cu aceeai orientare,S centrul de greutate altriunghiuluiOAB i M, i6loacele laturilor A*B, respecti AB* . 2& se arate c& triunghiurileSMB* iS A* sunt ase enea.

Soluie: Alege reperul cu originea nO. A e ! O(&), A(a), B(a ), A* (b), B* (b ),

+

+

+ ,

*,

* aa

S ba

+ ab

M . riunghiurileSMB* i S A* sunt in ers orientate i sunt ase enea

dac&

=

8/11/2019 cexcl10s10

9/14

%ar

*+

)(***

H=

+=+

++=

aabaab

aab

aaab

8/11/2019 cexcl10s10

10/14

Soluie: %in )(4)( +*++*+ bbbbaaaa == (a considerat triunghiul *+ A A A orientattrigono etric), sincos i+= )( +*+ cccc = , deci triunghiul *+ C C C este echilateral.

*/" Fie ABC un triunghi oarecare i )(),(),( AC F BC E AB D astfel nc0t FC

FA

EB

EC

DA

DB == . 2&se arate c& dreapta AE este paralel& cu dreapta deter inat& de i6loacele seg entelor ( BC ) i ( DF ).

Soluie: %ac& k FA FC

EC EB

DB AD === , atunci

k kac

$ k kcb

ek kba

d ++=+

+=++=

+,

+,

+, iar M i6locul lui BC ,

i6locul lui DF , a e AE M+ Rm,ea

||* = (i )

*+

EA M+ = .

* " e laturile unui paralelogra se construiesc n exterior p&trate. %e onstrai c& centrele a p&trate sunt 0rfurile unui p&trat. Soluie:

#

8/11/2019 cexcl10s10

11/14

Fiea, b, c, d afixele punctelor A, B, C, D, a + c = b + d . %educe a = (d a )i, deci

*)(

+iad d a

& ++= . Ja fel,

*)(

,*

)(,

*)(

8*id cd c

&icbcb

&ibaba

& ++=++=++= .

%educe ! 8*+ &&&& +=+ , deci 8*+ OOOO este paralelogra .

%in 8+*+8+*++8

+* , OOOOOOOOi&&&&

==

. ;onclu3ia se i pune.

+0" e laturile AB i AC ale triunghiului ABC se consider& punctele D i E astfel nc0t k EC AE

DB AD == .

2e prelungesc seg entele BE i CD dincolo de E i D cu EE* = kEB, DD* = kDC . 2& se arate c&!a) punctele D*, A, E*sunt coliniare4 b) 2eg entele AD*i AE* sunt congruente.

Soluie: Fa& de un reper arbitrar,e* = a + k (c b ), d* = a + k (b c ). %in +HH =

ad ae re3ult&

conclu3ia.

+1" Fie ABCD un patrulater, )(),( BC + AD M astfel nc0t +=+ BC B+

AD AM . 2& se arate c& i6locul

lui ( M ) aparine seg entului deter inat de i6loacele diagonalelor.

Soluie: ot& k BC B+

k AD AM == +4 .

$e3ult&!m = a (

8/11/2019 cexcl10s10

12/14

(Olimpiada Judeean, 2006)

Soluie: Fie +AC+

MC BM

PB AP == k = , alege reperul n M i s& aiba afixul . $e3ult& ),( P

sincos

i+= . %educe ! .++

4#4+

=++=+=+

+k kac

kcbk kba

%e aici! ***

*

*

++4

+4

+ k k k c

k k k k b

k k k a

+=+ =+ += .

2e erific& uor c& )( bcba = , deci triunghiul ABC este echilateral.

+*" Fie ;, >, ? trei nu ere co plexe de odul . Ar&tai c& exista o alegere a se nelor + i < anc0t + ?>; .

(Olimpiada Judeean, 2007) Soluie: Fie ;, >, ? afixele 0rfurilor triunghiului:@ . Atunci; + > + ? este afixul ortocentrului(raportat la un siste cu origineaO < centrul cercului circu scris triunghiului:@ ).%ac& triunghiul:@ este ascuitunghic, alege toate se nele + ( ! interior triunghiului:@ ). %ac&un unghi este obtu3, de exe plu , atunci pentru?* = ? , obine triunghiul:@ * ascuitunghic iortocentrul !*, #* = ; + > ?.

++"Fie triunghiul ABC i )(),(),( AB F CA E BC D astfel nc0t FB AF

EACE

DC BD == . %e onstrai

c&, dac& centrele cercurilor circu scrise triunghiurilor DEF i ABC coincid, atunci triunghiul ABC esteechilateral.

(Olimpiada aional, 200!) Soluie: ;onsider& un reper cu originea nO < centrul cercului circu scris triunghiului ABC. %ac&

k DC BD = , atunci

k kcb

d ++=

+ i analoagele. riunghiul DEF are acelai centru cu triunghiul ABC dac&

|d| = |e| = |$|, deci $ $ eed d == . ;u ccbbaa == , obine cbcbcacababa +=+=+ , de undere3ult& c& *** accbba == .

+,"Fiea, b, c trei nu ere co plexe, astfel nc0t #=++ abccabbca . %e onstrai c&abcaccbba ))()(( .

(Olimpiada aional, 200!) Soluie: %ac& unul dintre nu ere este nul, conclu3ia este e ident&.:n ca3 contrar, fie c

cbb

aa === 44 , deci #=++ i +=== . :n acest ca3,

diferenele dintre argu entele nu erelor ,, sunt egale cu* . $e3ult&, din teore a cosinusului,

c& ababbaba *** ++= i analoagele. rin n ulirea acestor relaii, re3ult& conclu3ia.+-"Fie a, b, c nu ere co plexe. %e onstrai c&! +++ ** +++ babaab

(Olimpiada Judeean, 200!) Soluie: ,)+)(+(++ babaabbaab ++=++++++ iar

)+)(+(++ babaabbaab =++++ . rin n ulire, re3ult& conclu3ia.

+." Fie un nu &r ntreg, , i,

i,

z *

sin*

cos += . ;onsider& uli ile{ }+* ,...,,,+ = , z z z A i

*

8/11/2019 cexcl10s10

13/14

+* ...+,...,+,+,+ ++++++= , z z z z z B . 2& se deter ine B A .(Olimpiada Judeean, 200!)

Soluie: A e ! B A+ .Fie +, ? B A? . Kxist& ++, ,k + k astfel nc0t

z z

z z z ?k

k

=++++=

+

++

...++

* . ;u

z z z ?

,k ,,

k ,,

k z z ? A? k

++

++

,*)+(sin)+(sin+++ +

=

=

==+=+== +

%in += ,? A? , deci este par. Astfel, pentru i par, B A =B , iar pentru par B A=

z +

,+ .

+/" 2& se deter ine *+ ,, z z z de acelai odul, dac& +*+*+ ==++ z z z z z z .

(Olimpiada Judeean, 200") Soluie: %in +*+ =++ z z z , ++ +**+*+ =++=== z z z z z z z z z . %eci *+ ,, z z z sunt r&d&cinileecuaiei { } { }ii z z z z z z ==+ ,,+,,#+ *+* .

+ " a Fie *+ ,, z z z nu ere co plexe nenule de acelai odul astfel nc0t #*+ =++ z z z . 2& se aratec& )(),(),( *+ z C z B z A sunt 0rfurile unui triunghi echilateral.

Fie un nu &r natural i { }+| == ,, z C z : . 2& se deter ine nu &rul axi de ele ente aleunei uli i ,: A cu proprietatea #*+ ++ z z z , pentru orice A z z z *+ ,, .

(Olimpiada Judeean, 200") Soluie: a O = ! , de unde re3ult& c& triunghiul este echilateral.

%ac& nu este ultiplu de , nu exist& triunghiuri echilaterale, axi ul cerut este.%ac& = k , atunci exist&k triunghiuri echilaterale cu 0rfurile n,: 4 pute alege cel ult c0te dou&

0rfuri din fiecare, adic& cel ult *k ele ente.

,0" :n exteriorul triunghiului neechilateral ABC se consider& triunghiurile ase enea ABM, BC i CAP astfel nc0t M P s& fie echilateral. 2& se deter ine &surile unghiurilor triunghiurilor ABM, BC iCAP.

(Olimpiada aional, 20#0)

Soluie: Fie triunghiul ABC direct orientat. %in ipote3&, a e ! k aca p

cbc,

babm =

==

.$e3ult&!m = ka + (

8/11/2019 cexcl10s10

14/14

=++ ++

#* k cba , iar dinm = ka + ( < k )b, re3ult& )( bmam = , de unde triunghiul AMB

este isoscel cu un unghi de &sur&* . ;elelalte dou& unghiuri au7 .

8