Conice. Secţiuni în suprafaţa conicăcercul, elipsa, hiperbola, parabola

Conice. Secţiuni în suprafaţa conicăcercul, elipsa, hiperbola, parabola

Cercul

ElipsaElipsa

² ² ² ² ² ²c²=a²‐b², dacă a>b, sau c²=b²‐a², dacă b>a

Construcția elipseiConstrucția elipsei

• Legile de mișcare ale planetelor în jurul Soarelui au fost stabilite de Johannes Kepler dupăau fost stabilite de Johannes Kepler după calcule de aproape două decenii și ele au următorul enunț:următorul enunț:

1. Planetele se miscă în jurul soarelui pe traiectorii eliptice, soarele fiind situat într‐unul dintre focarele p ,elipselor astfel descrise.

2. Cu cât o planeta este mai aproape de soarele său cu atat se mişcămai repede.

3. Pătratul perioadei de revoluţie a planetei în jurul soarelui este proporţional cu disţanta medie dintre planetă şi soare la puterea a treia. 

Proprietatea opticăProprietatea opticăProprietate importantă a elipsei: reflectă lumina şi undele sonore.Orice rază de lumină sau semnal care porneşte dintr-un focar este p şreflectată în celălalt focar. Este principiul pe care se bazează litotripsia, un procedeu medical de a sparge pietrele formate la rinichi. Pacientul este plasat în focarul unui elipse, deschisă pe jumătate, spre pacient. Din celălalt focar sunt trimise impulsuri acustice, la început mai slabe, apoi mai puternice care au rolul de a pulveriza pietrele.

Proprietatea optică a elipseiProprietatea optică a elipsei

Principiul de construcţie a galeriei şoaptelor din catedrala Sf. Paul din Londra.  Dacă o persoană şopteşte intr‐un focar al elipsei, ea p ş p ş p ,poate fi auzită numai în celălalt focar, în restul locurilor din galerie nu se aude nimic.

HIPERBOLAHIPERBOLA

Hiperbola, hiperbola conjugatăHiperbola, hiperbola conjugată

Hiperbola echilaterăHiperbola echilateră

Hiperbola echilaterăHiperbola echilateră

Proprietatea optica a hiperboleiProprietatea optica a hiperbolei

Radare subacvaticeRadare subacvatice

PARABOLAPARABOLA

Proprietatea optică a parabolei

Traiectoria proiectilelor este o porţiune de parabolă. Frecarea şi it t d i ă ifi tigravitatea o deviază nesemnificativ.

R l fl î fRazele sunt reflectate în focar

ExempleExemple

Podul Golden Gate din San Francisco, SUA este d d t C l d bl i dun pod suspendat. Cele doua cabluri de 

sustinere au forma de parabola.

Podul Rainbow (Curcubeu) peste râul Niagara care desparte SUA de Canada este susţinut pe un arc din beton armat sub forma de para‐bola Spre deosebire de podurile suspendate unde forţa de gravitabola. Spre deosebire de podurile suspendate,unde forţa de gravita‐ţie actioneaza prin întinderea cablurilor, la  acest pod ea aţtionează prin compresia arcului de susţinere. În afara de schimbarea orien‐tării, calculele forţelor, făcute în pentru celelalte tipuri de poduri, cu arcul de susţinere în sus, se aplica identic şi acestui tip de poduri.

Arce parabolice sunt adesea folosite in arhitectura si ingineria constructiilor pentru ca asigura echilibrulingineria constructiilor pentru ca asigura echilibrul fortelor si prin urmare constructiile sunt mult mai 

stabilestabile

Gateway Arch din St. Louis, Missouri, SUA, 192 metri a fost proiectată să aibă forma cea mai stabilă: arc p

parabolic

Barcelona Sagrada FamiliaBarcelona Sagrada Familia

Conice nedegenerateConice nedegenerate

Conice degenerateConice degenerate

SferaSfera

SferaSfera

ElipsoidElipsoid

Hiperboloid cu o pânzăHiperboloid cu o pânză

Hiperboloid cu o pânzăHiperboloid cu o pânză

St. Louis Science Center

Hiperboloidul cu o pânza este un exemplu de suprafataHiperboloidul cu o pânza este un exemplu de suprafata riglata: prin price punctal suprafetei trec doua drepte situate integral pe suprafata. Acest tip de constructie poate fi folosit pentru sutinerea unor greutati la inaltimi foarte mari. In imagine este Turnul Portului Kobe din Japonia, de 90 metri inaltime, avand forma unui hiperboloid cu panza, p p

Hiperboloid cu două pânzeHiperboloid cu două pânze

Paraboloid elipticParaboloid eliptic

Antena parabolica de la Erdfunkstelle Raisting din Bavaria, Germania este cea maim are antenadin Bavaria, Germania este cea maim are antena 

de comunicare cu satelitii.

Fierbator solar cu reflector parabolic. LuminaFierbator solar cu reflector parabolic. Lumina soarelui este reflectata in focar, incalzind vasul

Paraboloid hiperbolicParaboloid hiperbolic

Paraboloid hiperbolic ‐ suprafaţă riglată

Acoperisul arenei sportive (hochei pe gheata si patinaj artistic) Saddledome din Calgary,Canadapatinaj artistic) Saddledome din Calgary,Canada 

are forma unui paraboloid hiperbolic

Dulles Airport ∙ Chantilly, VirginiaDulles Airport   Chantilly, Virginia

ElipsoiziBarcelona Sagrada Familia

Barcelona Sagrada FamiliaBarcelona Sagrada Familia

Barcelona Sagrada FamiliaBarcelona Sagrada Familia

Barcelona Sagrada FamiliaBarcelona Sagrada Familia

Hiperboloid cu o pânzăBarcelona Sagrada Familia

Barcelona Sagrada Familiahiperboloizi cu o pânză

Paraboloizi hiperboliciBarcelona Sagrada Familia

Cilindrii pătraticiCilindrii pătratici

ConCon

Suprafaţă conicăSuprafaţă conică