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Cartografie CAP.1

Date post: 18-Aug-2015
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Curs cartografie - capitolul 1
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1.1. Definiţii Pentru definirea unui punct al unei suprafeţe desfăşurate în spaţiul bidimensional sunt suficiente două coordonate. Dacă pe o suprafaţă oarecare deducem o reţea de linii dependente de doi parametri u şi v astfel încât prin fiecare punct al acesteia Fig. nr. 1 Sistem de coordonate curbilinii pe o suprafaţă oarecare să treacă câte o singură linie din fiecare familie, atunci mărimile u şi v se numesc coordonate curbilinii (fig. nr.1). Exemple de reţea de coordonate curbilinii: reţeaua de meridiane şi paralele pe elipsoid şi pe 1 0 v u
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1.1. DefiniiiPentrudefinirea unui punct alunei suprafee desfurate n spaiulbidimensional sunt suficiente doucoordonate. Dac pe o suprafaoarecare deducem o reea de liniidependente de doi parametriuivastfel nct prin fiecare punct al acesteia Fig. nr. 1Sistem de coordonate curbilinii pe o suprafa oarecares treac cte o singur linie din fiecare familie,atunci mrimileuivsenumesc coordonate curbilinii (fig. nr.1.!"empledereeadecoordonatecurbilinii# reeauademeridianeiparalele pe elipsoid i pe sfer$ reeaua de coordonate rectangulare pe planetc.1.3.Elementul liniar al suprafeeiDacseconsiderunpunctPdecoordonateuivi unpunctapropiatP%de coordonateu du + iv dv + (fig. nr. & i dac se notea' cudrcreterea (ectorului de po'iie, atunci elementul liniar este dat de relaia#& & & & & &&u u v vds dr r du r r du dv r dv + +sau, daca se introduc notaiile#

& &$ $u u v vr E r r F r G ,(1atunci#1 ) v uFig. nr.&Sistemul dedefinireaelementului liniar al suprafeei*iniile de pe suprafaa sfereicoplanare cu a"a de rotaie se numescmeridiane %( , , , n sP A E P $ cercul mareal crui plan este perpendicular pe a"ade rotaien sP P se numeteecuatorsferic, iar cercurile mici paralele cuaceasta se numesc paralele.+n punctApe suprafaa sfereicel mai adesea este dat princoordonatele sale ung,iulare#slatitudinea sferic i s longitudinea-ntre M i N e"ist relaia# & & & & & & & & & & &( cos $ coss s s s e e e er R d d r M d N d + +(./elaiile (. pot fi puse sub forma#0abelul 1 Razele de curbur i arcele de meridian N MR MN cos r N X))1 234 &56 1 226 662 1 261 412 1 234 &56 )1 1 234 &6& 1 226 63& 1 261 431 1 233 &4) 11) 631& 1 234 &31 1 226 12) 1 261 .16 1 235 246 &&1 1622 1 234 2)5 1 226 3&3 1 261 .4) 1 21. 61& 221 32&5 1 234 25. 1 226 41& 1 263 )3) 1 21& 41& 55& 21&6 1 234 5)3 1 221 )21 1 263 141 1 265 126 66& 4.61 1 234 534 1 221 &54 1 263 2&4 1 252 621 112 54&3 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4.1& &&&1.4)2 215) 1541.3.. 2613 .1) 1.4)5 356) 4&1.4)1 .11) &541.4)2 22)6 1161.3.4 ).16 1)11 1.4)5 3651 .11.4)1 .522 &321.4)2 2543 14&1.3.1 3))3 111& 1.4)5 315) ..1.4)1 .32) &.31.4)2 2646 1.41.3.6 1145 1&12 1.4)5 3354 1)41.4)& ))6& 2&&1.4)2 2.)) &161.3.2 5.43 1215 1.4)5 3412 1161.4)& )2.4 2511.4)2 512) &2)1.3.1 1.)5 15516 1.4)5 3.41 1&21.4)& )313 &1.1.4)2 5231 &511.34. 35&5 1611 1.4)5 4113 1211.4)& 116. 2.&1.4)2 5124 &1&1.343 1622 1113 1.4)5 4&66 1241.4)& 1632 5151.4)2 5.15 &311.346 5&14 1314 1.4)5 45)) 1561.4)& &)1) 5231.4)2 6&)6 &.11.342 )515 141. 1.4)5 4662 1621.4)& &514 5641.4)2 6611 2)11.34) 6&65 1.&) 1.4)5 4312 11)1.4)& &.54 54)1.4)2 642) 21.1.333 4631 &)&1 1.4)5 443. 1111.4)& 2553 5..1.4)2 1112 2221.336 )2.3 &1&& 1.4)5 .)6& 1321.4)& 2.13 6&)1.4)2 161) 2531.33& )311 &&&2 1.4)5 .&2& 14)1.4)& 56)1 62.1.4)2 141. 26.1.314 .5.2 &2&5 1.4)5 .514 1411.4)& 6)12 6631.4)2 3&5) 2311.316 131. &5&6 1.4)5 .11) 1.&1.4)& 6124 6361.4)2 31&5 2451.31& &213 &6&1 1.4)5 .4)3 1.31.4)& 1&2) 6.&1.4)2 4)14 2.51.364 15). &1&3 1.4)6 ))1) &)21.4)& 1242 1)41.4)2 45&5 5)11.365 4414 &3&4 1.4)6 )&14 &)41.4)& 3512 1&61.4)2 445) 5111.36) .613 &4&. 1.4)6 )521 &121.4)& 41)& 12.1.4)2 .&11 5&11.351 41&2 &.2) 1.4)6 )15. &141.4)& 4366 1621.4)2 .3)& 5211.35& 6.66 2)21 1.4)6 )431 &&&1.4)& .5&& 1131.4)5 )151 5551.324 16&3 212& 1.4)6 1).3 &&11.4)2 )1)1 13.1.4)5 )6.. 5621.322 62)& 2&22 1.4)6 12&4 &211.4)2 )3.& 1.11.4)5 1)1) 5111.3&4 3&5& 2225 1.4)6 161& &251.4)2 15.5 3)&1.4)5 16&4 5141.3&2 32)5 2526 1.4)6 13.. &231.4)2 &&)1 31&1.4)5 &))& 5351.314 6555 2621 1.4)6 &)2. &5)1.4)2 &.&3 3&11.4)5 &542 5411.312 1111 2123 1.4)6 &&4& &521.4)2 2163 32)1.4)5 &.3) 5431.3)3 631. 2324 1.4)6 &6&4 &511.4)2 52.5 3231.4)5 2511 5.11.3)1 346) 242. 1.4)6 &331 &541.4)2 6123 3521.4)5 2.61 5.61.1.6 34)& 2.5) 1.4)6 2)&1 &6)1.4)2 6441 35.1.4)5 5561 6))1.14. 6616 5)51 1.4)6 2&33 &611.4)2 115) 3651.4)5 5.64 6)&1.142 1)36 515& 1.4)6 26&. &6&1.4)2 32.3 3631.4)5 6512 6)61.131 5&15 5&52 1.4)6 2342 &651.4)2 .164 3111.4)5 6.3) 6)31.11. 6)63 5255 1.4)6 5)23 &651.4)2 4.&) 31&1.4)5 153. 6).1.11& 2234 55 lg N lg M lg lg R MN lg lg cos r N 56 1.4)6 5&.1 &651.4)2 .145 3151.4)5 1.43 6)41.165 .151 5651 1.4)6 5651 &661.4)5 )553 3121.4)5 35.1 6).1.153 &&6. 5153 1.4)6 54)) &651.4)5 1&1) 3121.4)5 4))6 6).1.12. &122 5354 1.4)6 6)65 &651.4)5 1.3) 31)1.4)5 461& 6)31.121 )112 545. 1.4)6 62)1 &6&1.4)5 &3&. 36.1.4)5 .)14 6)11.1&& 5321 5.6) 1.4)6 6664 &6&1.4)5 2542 3651.4)5 .6&1 6)21.112 1&22 6)61 1.4)6 64)4 &6)1.4)5 5&22 36)1.4)6 ))&1 6))1.1)5 56&1 616& 1.4)6 1)61 &641.4)5 5.34 3561.4)6 )613 5.11.6.5 .531 6&62 1.4)6 12)& &511.4)5 6311 3241.4)6 1)). 5.&1.646 ).2& 6265 1.4)6 1651 &551.4)5 1553 3211.4)6 15.1 5431.635 4322 6566 1.4)6 1343 &511.4)5 313) 3&21.4)6 1.34 54&1.615 &3)) 6661 1.4)6 3)&6 &241.4)5 3442 3121.4)6 &565 5311.662 &151 6163 1.4)6 3&6. &251.4)5 4643 3)51.4)6 &.&2 51.1.651 4253 6364 1.4)6 35.) 2211.4)5 .&4) 1.21.4)6 2246 51&1.6&. .643 646. 1.4)6 3313 &&31.4)5 ..11 1411.4)6 242. 5651.613 1111 6.1) 1.4)6 3.5) &&21.4)6 )12) 11.1.4)6 5&46 5511.6)5 315) 1)11 1.4)6 416. &1.1.4)6 1&41 1611.4)6 53&& 5231.5.1 2431 1161& 1.4)6 4232 &151.4)6 1.&3 1511.4)6 616) 5&41.533 5511 1&12 1.4)6 464& &).1.4)6 &665 1&31.4)6 6614 5141.51& .)5. 1215 1.4)6 4346 &)21.4)6 2116 1111.4)6 6.36 5)31.553 3&)6 1516 1.4)6 4.45 1..1.4)6 231) 6.61.4)6 123& 2.31.521 4511 1611 1.4)6 .131 1.&1.4)6 5223 6331.4)6 1363 2461.516 &2). 1113 1.4)6 .212 1431.4)6 54.3 61)1.4)6 312) 2321.2.3 4152 1314 1.4)6 .652 14)1.4)6 6524 6511.4)6 35.1 2111.23. 6&.3 141. 1.4)6 .313 1351.4)6 6.1) 66&1.4)6 342. 2541.21) 2)). 1.3) 1.4)6 .445 1131.4)6 151) 6)&1.4)6 4132 2251.25) )5)1 3)31 1.4)1 ))56 1111.4)6 1.55 54&1.4)6 45.6 2&&1.214 1515 313& 1.4)1 )1.. 1651.4)6 35)6 5111.4)6 44)& 2)31.&.1 ))&& 3&32 1.4)1 )256 1511.4)6 3455 52.1.4)6 .).5 &.&1.&31 .1.4 3235 1.4)1 )545 12.1.4)6 4&11 5131.4)6 .23& &341.&51 2416 3536 1.4)1 )116 1211.4)6 4161 2.61.4)6 .126 &121.&1. )634 3631 1.4)1 )32. 1&51.4)6 .)&3 2311.4)6 .442 &541.14. 35.1 3133 1.4)1 )466 1111.4)6 .235 2531.4)1 )116 &2&1.164 1326 3334 1.4)1 ).12 1)41.4)6 .1.4 2&51.4)1 )221 &111.1&2 .36& 343. 1.4)1 1)12 1))1.4)6 ...3 &..1.4)1 )62) 1..1.)41 3)61 3.4) 1.4)1 1165 .11.4)1 )&3& &361.4)1 )312 1421.)56 3461 4)41 1.4)1 1&23 421.4)1 )6&1 &5.1.4)1 )43. 1111.))) 561& 414& 1.4)1 121& 361.4)1 )356 &&51.4)1 1)&. 16)6..5. 1416 4&42 1.4)1 1234 111.4)1 ).52 1.41.4)1 1111 12&6.4.& )2&2 4245 1.4)1 1521 641.4)1 1111 1321.4)1 1&31 1166.4&6 2341 4546 1.4)1 1545 541.4)1 1&1& 1511.4)1 1232 .36.351 5555 4641 1.4)1 16&5 5)1.4)1 124& 1&)1.4)1 1562 4)6.15. 321. 4143 1.4)1 1666 211.4)1 1536 .21.4)1 1616 1&6.6&5 .663 4344 1.4)1 1634 &21.4)1 165& 131.4)1 161) 566.254 .31. 444. 1.4)1 16.1 121.4)1 164& 5)1.4)1 1641 &16.)54 )155 4..) 1.4)1 16.6 51.4)1 16.6 121.4)1 16.6 .7 .)cos $ coss s s e e eE G R E G N .2.1. Deformri. Clasificarea proieciilor dupcaracterul deformrilor% % %$ $ f f f s ds ds ,2.2. Deformri liniare ung!iulare i areolarePrin scar se nelege raportul dintre elementul de distan dinproiecie i elementul de distan de pe suprafaa de repre'entat, adic#%dsds (121{ }{ }& & & && & & &1& sin & sin&1& sin & sin&a m n mn m n mnb m n mn m n mn + + + + ' + + + a /epre'entarea sferei n plan# 1$ coscosss s s s sx y x y (&1b /epre'entarea elipsoidului n plan#% %(u iv f u iv + + ,sin 1 p mn .0rebuieartat cnuneleca'uri estemai comod s se foloseasc un sistemdecoordonatepolareacrui originenu corespunde cu origineacoordonatelor rectangulare. -n acestsistem de obicei se adopt#1 & 2( $ ( $ ( ,f f f (&4Deci coordonatele rectangulare suntdate de#cos x $ sin y (&.coscosmM $ cosnN $1. Definiii. "eneraliti8artografia matematic, n sens general, este disciplina care se ocupcu studiul repre'entrilor de pe o suprafa pe alta, dup legi bine stabilite.-n practic, ca'urile cele mai des ntlnite sunt#3 ) x y P A1 Ay xFig. 9::.5 Sistemul de definire a coordonatelor polare7 reprezentarea sferei n plan$ n aceast situaie dac Pmntul esteconsiderat drept sfer, atunci repre'entarea acestuia n plan permite obinerea,rilor ntr7un sistem dat.;ceste repre'entri poart numele de proiecii cartografice$7reprezentareaelipsoidului nplan$ dacPmntul esteconsideratdrept elipsoid, atunci prin repre'entarea acestuia n plan se obin aa7numiteleproiecii geodezice. -n aceste proiecii se e"ecut prelucrareatriangulaiilorisefacridicrilepentru,artarii. -naranoastrdreptoasemenea proiecie este adoptat proie!ia Gauss.7reprezentarea elipsoidului pe sfer", aceste proiecii se folosesc nanumite deduceri teoretice atunci cnd re'ol(area acestora pe elipsoid estegreoaie.1.2. Coordonate curbilinii pe o suprafa oarecare & & && ds Edu F du dv Gdv + +(&Din relaia (1, re'ult#$ cos$tguvFds E duEGds G dv df EG du dvG dv#E du ' (24%( ,P u du v dv + + )d r dsv dsu r P(u,v v un care df este elementul arie, iar # < a'imutul (ectorului de po'iie.Pentru ca reeaua de coordonate curbilinii s fie ortogonaladic& _ , este suficient ca) F .Din relaia (1 re'ult c)$ ) E G > >, iar din e"presia (&&) EG F > . /elaiile (1 < (2 au un rol important n deducerea ecuaiilorproieciilor ortografice.1.#. $uprafee de rotaieSe numesc suprafee de rotaie acele suprafee care se formea' prinrotirea unei curbe plane n =urul unei a"e, numit a" de rotaie.Dintre suprafeele de rotaie n cartografia matematic i gsesc mareaplicare suprafaa sferei i suprafaa elipsoidului de rotaie.Suprafaasferei seobineprinrotireaunui cercn=urul unuiadindiametrele sale (fig. nr. 2.sferic definit ca fiind ung,iul diedru dintre planul meridianului origine iplanul meridianului punctului considerat.Suprafaa elipsoidului de rotaie se obine prin rotirea unei elipse n=urul a"ei de rotaie. 0oate noiunile introduse mai nainte i menin(alabilitatea fcnd ns specificarea c se refer la elipsoid.-n acest ca', meridianele (or fi nite elipse, paralelele rmnnd nstot cercuri.Pentruca'ul elipsoidului, pentruae(ita confu'ia sedefinescelatitudinea elipsoidal i e longitudinea elipsoidal.Pentru sfer, ra'a de curbur a cercurilor mari este egal cu ra'a decurbur a sferei R. Pentru elipsoid re'ult# ra'a de curbur a meridianului Mi ra'a de curbur a primului (ertical N..8ele dou mrimisunt dependente de latitudine i se e"prim prinrelaiile#

&& & 2% & & & 1% &(1 $(1 sin(1 sin a e aM Ne e ,(5sau, dac se introduce funcia#& % & & &1 cos 1 $ e + + ,(6atunci#

2$ M N$ $ ,(1n care#7 a < prima e"centricitate$7 e/


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