Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida

8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida

http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 1/64



Artur

Biliuci

C()NCURSURINTENJUDETEN

I

tsf50

B0TO$aNENE

CI-ASELE

V

-

VIII

DIMITMEPOMPEIU

RIIATENAU

A$

- EOTOqANI

MICilTATflUATIEIEM

Editura

TAIDA

-

rA$I

*

eds

bp



@ Editua

TAIDA

Societatea

e

Stiinle

Matematice-

Filiala

Botosani

EDITARA

TAIDA

l.,ti

Sjr:.yasil Lapu,nr. 70-74, Lp3,sc.3,et. 3, dp.12,Idri_ 700309

TeVlax.

0232.270250;

sm.

0744.320323

www.editurataida.ro;

[email protected];

nw.eduzone.ro

criefea

CIP a

BibUotecii

rriotrale

a Romeniei

Con.rrsuri

nt€rjudelen€

oto nrene

Ia$i,

AIDA.2006

p.64;

:1x

20cnr

(Didadica)

tsBN:

973-7980-74,3

1.

Artur Bttnucn

371.218:373

5

www.editurataida.ro

www.eduzone,ro

Bdlducd

Artut,

Sr'. Aleea

Noud,

nr, 2,

se.

D, ap,12,

Cod.

710080,

oto$ani

T

evfax.

023

1.5

8272 ;

CSM.:

0745.

S1

2S3S



PREFATA

Am apucal vremecendse nscAunase

inspreRaserit

o

vorba

de fal-a:

Noi muncim,nu gAndim

Md tem

ce o sa

apuc

alte vorbe falnice

dinspre

Apus: try'oi

cAgfigdtu,

nu

gArrdirh

Sd, ie

pe

la

casele or

gAndurile

astea

Unii aveau

putere4

atii

au banul

(ceea

ce e cam

acelagi ucru),

noi ne mai

apdfim

(ceteodatl)

sdrdcia

Si

nevoile

Si

neamul.

Avem copii sinitosi, cumitrli $i de$tepli.Mai bdntuiepe

la

unii

gandul

cAor trececa

gdsca

prin

apd

i

or ajunge

a ceidi

cu

colaci n coad6.

Chiar

dacdor fi acuma

nulqi

de aceqtia,nu

ei

sunt mportanli

ti

nu de den$ii

atemedevenirea

oastE.

Cei buni,cu aplecare

predreapta

tiirlfd

matematicii,

s-au

depdns sAse

tot inteheasca

n concursuri:

Noi nu

tocim,

ci

gAndiw

Binuind cAd.eptatea stedepa.rteaor, colegii au strel1s

sclipiri de prin

conclrsuri

Boto$dnene

e s-au

invrednicit

de

Irumele

matematicianului

imitrie Pompeiu.

Poatenu vor

fi

prea

multe

pagini

se cade

greupeste

picioare,

dar este

aici

pilde

tijudecald

care

sa

priiasc6

min ilor

scodiroare.

MA

bucw cd am

a\,'ut bund

ocazie se

fiu

si

eu

pe

la

in ru.nrarile cesrea. asfoindacumacartea mj revin in fala

ochiloreroii

or: copii

nddrjiti

si.spargA nigme,

A e a$ezen

cugetare

impede,

i

binemerite

iplome

Si

p.emii,

s, inchege

drepteprietenii.

Poate,

exemplul or va

lndreptiti

shedanii.

Cu respect

alade

caice

gdndesc,

Proj,

univ. dn

Dan Bfinzei



ARGUMENT

in luna

lui CireEar, pe

meleagudle

Lucea{brului poeziei

romenesti,

elevii

claselor

V

,

VItr

qi-au

verificat

cuDo$tintele,

talentul,

pasiutrea

muncii

dar

Si

creativitatea

Si

odginalitatca

a editia

a V-a

a Crmursului

inteiude @[

de

matematici,,

Dimitrie

porrlpeia,,,

numede refeintb pentru

Scoala

ornatreascd

e

matemadce.

Concur$rl

este

ezultatul tilativei

Filialei Societdlii

de

gtiinte

Matematice

diD Boto|ad,

iar

numnnl

participanlilor

a clescut

de la

aD a an. La

edifa a VI-a

din 12

-

14 mai 2006,

au

participat

260

de

elevi ditr: Aryeg, Baciu, BistriFNAsaud, Br5ila, Buziu, Bucure5ti.

CoNtanta,

a$i, Neam',

Suceava,

aslui,

Vrancea,

Mffamure$.

Conqn$i

,pimitde

Ponpeiir''gi

Concurslrl

,I4icii

matematicieni.,

iniliat

de

$coala

Nr. 7 Boto$anipe

ru

elevii dir

clasaa IV-a,

aflat la

a lv-a

edilie, au

menireadescoperirii

de olimpici prin

valorificarea

capacitetilor

deatoarc

ale

viitorilor

perfome

. Ele reprczinii

un

omagiu

adus

$colii

boto :inene

de matematice

are s-a

afimat an de

an prin rczultatede excepiie a concusurilemfonale

ti

intematonale

de matematicd.

Reugita

$i

valoarea

concursului

au

fost

gaEntate

de

prezenla

rctrumitului profesor

uiv. dr-

Dan BrAraei

de la

Universitatea

,,A1.

. Cuza"

din Ia$i, pretedhtele

co[cursului-

La aceasta

e

adausi

FezenF

autodtetibr

municipiuluj

$i

judehnui

Botopru.

rcprezentan.ti

i

hspectomtelor

$colare din

judetete

participadte $i ai Comisiei

Centralea

Olimpiadei

Nationale

de Matemadce.

Orice conctr$ presupune

efort, incitare

a

spiritului,

emotie

Si

nelini$te,bucwia

reutitei

9i,

uneori

necazul

neimplinirii,

lndiferent

de

rezultat,

,,valorile'',

fie elevi

sau colegi

au intrat

in dialog,

oamenii

s-aucunoscut,

-au

apreciat

$i

s-au niripat prietenii

durabile.

4

A ur Bilducd



OAMENI

CARE

AUFOST

DIMITRIE

PoMPEIU

Cerc€mnd

oq ]Fntele de a$iv[

ale Liceului

de

Datemarica-fizic5

din

Do$hoi, am

constatat ,n,

rintre

absolventii

imDaziului

orohoian

din anul

1889

se numell

$i

Dimihie

Pompeiu;

prin

fala ochilor

mi-a

hecut

clddirca

modeste, hsa

h carea lNdlat

copilul

pompeiu:

,,M a

ap6$t i

falA u copil vioi, potrivit

de

stah{e,

smead,

u

ochii

negri, foarte

inieligent,

lnzestrat

cu o

vie

imaginalie,

care s-a

renralcatde la inceputca cel mai brur elev al gomotiei sale. L-am

rcvezrt, apoi

adolescent,

u o voi4[

darz5, cercetAnd

ceea ce

li

satisfdcea

spiritul

$i-i

incita sufl€nrl,,.,,

a5a

oum il

catuc,teilzea?d

profesorul

urfveNitar

M. Botez

$i

el fost

elev

al

girmaziului

din

Dorohoi.

Dimitrie

Pompeiu

s-a ntrscut a 22

sept€mbrie

1873

n comuoa

Broscluti,

la 4 km

de Dorohoi.A unnat

$coala

primad

Ia Dirnlcheni,

iar girmaziul la Dorchoi,undes-a remarcata matefiEticad€venindn

clasa

a &eia ezolvito

de

probleme

a revista

,Recreaiii

Stiinfifice,,

din

Ia5i. Problema

ou nr. 279

a fost

prima

rezolvattr

de el

fi

lncepend

u

aceastanumele

s6u va

fi lntelnit foarte

des ln

paginile

revistei,

ca

rezolvitor

de

Fobleme,

a c6ror dificultate

d€p5$ea regetifta

unui clev

de

giffiuziu.

Ii plicea

deopokivd

fizjca dpllaalA,

desenul,

$tiintele

naturii,

muzica

gi

arteleplastico,

itea nult,

descoperinduterea

tirii

interioarea lecturilor,

Dupe

absolvirea

Soolii

normale din

Bucure$ti,

utrqioneaze

ca

institutor

a Calafi,

Ploie$ti,und€ a

desfdsurt

o vje activitate

didacticA.

A lucrat

mult cu copiii

de clasa , aFopiindu-se

de ei

cu cdldur[

,i

duio$ie,

Prin cdtua,

amabilitatea

i

Feocuparca

ettru

lumea

celor

mici,

c4tiga

repede

stirna

i

rcspectulcolegilor

sei. Se

hotir4te

in acelasi

dmp sastudiezematematicilen loataplenitudineaor.

De altfel,

lntre timp devine membru

activ

al

Societ4ii

,,Amicii

Siiirtei

matematice".



In anul

189^8

leacA

h

Paris furpreunl

cu solia

sa,

pentnr

a-t

coniinuastudiile.

d

ciuda

greutAlibr

materiaie

datorig

darzeni€i

saie,

datodti

afecFunii

sotiei

sal€,Pompeiu

rece

examenul e

bacalaureat

i

urm€aza cuisurile

clasei

speciale

de natematici

ii

filozofie,

c€

corespundeaechiinoaste$colimedii,cu ultimileclaseale ic€ului real.

Devine

stude la

Sorbom n

anul 1900,

cand obtine

concediu

pentru

studii. iar

Sp u Haret

care

era ministrul

invaEln,inrului

si care-l

cuno$lea

ncade a

Frimele

alccomwricam

ecurea,.societatea

micii

$tii4olor

mai,ernatice",

i acorde

o bursA.

Arc ca

DrofesoriDe cei mai

ilustrimaterradcieniai

emii

ca:Poincad.

oeniga.

rcard.

6ours

...

In 1903

a licents,

ar la

3l martie 1905

doctoratuln

mat€maiici

cu lucrarea

Asupm

continuiti,tii

fimqiilor dc variabiEcomplexa'.,n

care

demoDsheazi

ontrariul

opiniei g€ncmle,

e existd imcii

analitice

miformq

continuepe

mullim€a singularitallor

1or.

Ac€st rezultat

a

surprins

umea Etematice

de ahmci

i

noutatearind

in contrazic€re

u

vechile idei

ldmane

uD timp

nerecunoscut;.

i

io tarb,

rezultatele

cercetirilor

lui Pompeiu,

sunt privite

cu

oarccare ezer\i.

Da tem

poarti girul

lui Poincarc cel

mai mare

datematicianl fimpului)

$i

este

gleu

se fie c,ombetut;.

Abia

in 1909.

marelesevant

rancezAnnand

Denjoy,Ia carese alAhrldPainlev€,aI?tA mportanF,corcctitudinea

i

eleganta u care

tenAnrl

matanatician

onan

rczolmse

prcbleme.

De

ajci

descoperirea

ase

mpuneniregji

umi.Acea,l6

emarcabilaucrare

a matematicianului

ornen

ructiicat5

de matematicienii

imoului.

a adus

glorie.

alal lui-

cdr

$i

poporului

osrru

care lcea asrlelp;imj pati

in

cucerirea

iintifi

cd ntemaf

onali.

Into$ in

lard

dupl

suslnerea ezei

d€ doctoEt

a fost numit

conferenFara Faqrltaleade gtiinledin la;i, undew predaun cws de

mecamc?i

enhlr

studenlii

de la

fizicorchimie

$i

un cws de calcul

diferenFal

i

integr4 pentru

shrdenliide a matematicA.

lo

1906,ocupi pdn

concurscatedra

de m€canica e

h secgia e

matematicA

Universitdli

din

Ia$i, undea finctionat

panA

n l9l

l. in

aceasu erioada

sre

Si

prolesor

upliniror

a LiceulNalional

lm laqi,

lmde n 1907

publcn

din insircinarea

Ministerului rstructiunii

publice

- monografiaiceului.

Dm 1911

l

gesim

a Bucureqti,

nde

ocupi catedra e mecaaica,

panl

h 1930,apoi a

catedra

e teoria lmctiilor;

ntxe imp a firnctionat

Ia catedra

e

g€ometri€

naliticd

de a

$coala

politehnicd

din Bucuregi.

6



In tifipul

primului rSdoi mondial a.e

pade

din

gtupul

celorl2o

de

profesod

mmani, riiEi$i

a Par4

pentru

a discuta reforlrt tladonale

a ov5falrl,antului.

Dupi Unirea

Transilvaniei cu Patria se ridice p'.oblerna

organizirii

nvdfernem.duiniversitar

Si

u ac€astA na a

Frii.

fnpreunb

cu rm glup de tineri rnatematicieniondeazi lrvdlimintul Inaten]atic l

Unive$itiJii

din Cluj.

REnEneceti, a ani la ClEj,

penn

cand

fcoala

matenaticA

e aici s-a fcut

cutroscotiin tarn

9i

peste

hotare.Conthue

apoi 15 ani se

pred€a

unar, cel

pulin

cete o lecFe a CIuj, av6nd

activitatcade baza la Udversitatea

dir Buct|Ieqti.Tot la

Clluj

pune

bazeleunei

publica$iperiodice

Matematica"

de circulaFemondiali la

carecolaboreazsa €n[r

din finnte

Fn

ale umii.

Anul 19 2 anunFo alte descoperiremportanda lui D. Pollpeiq

carc a trezit curiozitatea

umii

$tiinFfice $i

a

dat loc

la

numeroase

cerc€tari

dedv?rta reolad

-

(o

opera.tie

oui

cu caracter inEional).

De data aceash,

$coala

matematic5 omireascd a fost aceeacare a

adancit,a dezvoltat,

pus

n \Eloareno$uneanhodusade D. Pompeiq

lncepend u anul 1928

prin

M. Niculescq G.

Cnhgireanu,Gr.

Moisil,

E.

Ghermanescu

tc. tllteior

mul$ datemaricieni

stiini au extitrs

cercetirileui D. Ponqleiu.

Stipanea

arta de a

gdsi

r

problene

elementarc e aritmetici

ti

geometde

zvorul rmorcercetfticu carEcternall

Din dorinlade

a sadi tr sufl€fut ineretului

$coiar

diagostea

€trhu

rnaternaticb,

mpreune cu a$i maternaticieni,editeaza n

perioada

1929

1935utr numir de 8 rnaouale

olarc

de algebrS" riheticd

ti

geometdg

n mai multeedidi.

D. Pompeiu, n afam celor 129 de Demorii

ti

note Datematice

publicate,a a\,ut ,14de lucrbri cu caracterdidactic, de istoriografie

matematici

.a.

Lucrfile lui unanimcunosqrie

n

Fre

$i

peste

hotare, l impun

sawnt de rc[ume

mondial,

ti

ir1 1934, a 6l de ani, dupe apmape3

decenii de activitate

giioJfic5,

devirc mernbru

activ al Academiei

Ronrene,

in 1948

patri

la dec€s, a 7 octombrie1954a fo6t membru

titular

al Academiei Republicii PopulareRomane.Buc{randu-sede

prestigiupestehotare, tr 1934a fost numit ,,Doctorhonoriscausa"al

Universithtiidh

Va$ovia



,,^"^.4.p:dql,

al

doilea

Congres

ntenlalional

l

maEmaricrmilor

{rr.'6,

gr

ar

re,tea

congres

l

rnaternaticienilor

o(l.ed

1946)

ambele

linute

a

Bucuresti.

La

8 ianuarie

946.

and

-a nfiiEFt

nsdturul

e malemadca

l

Acaderruei

onxine,

ompeiu

a fostDumitdirector l acestuinstitut.

A^lost

sarbitorit

la 60

qi

Ia

80

de ani

cu care prilej

a fost

decorat

cu

,,Odinul

Muncii

clasa

..

qi

cu

,,Steaua

eoubliciii..

$coala

matenaticd

romaneasctr

i

datoreaz;,

io

mare patte

exrstenF

li

continuihtea.

eoarece

la

$iut

saarag6-

sasuslina

moralul

multor

lnen

maEmaticieni,

n

epoci

grele.

nlluenla

exeTcitalii

e

acesl

mar€

clesctlzdlor

de

drumuri

asupra

tinerilor

matemaricieoi

fost

:"""t$]ly"..

H

a atras

h

jurui

sau

pe

cei mai domjci s6 cercereze,ltrcuraJalou-t

tr

sustroandu-i

rin

caldura

imtirii

saie.

..

f

seminagl,

ne.

are

-a condus

imp

de

25 de

ani, a

Bucureqti,

reuflt

sa_

neasci

rBjoritatea

tinerilor

materuticieri

din

Bucuregti.

In

dmpul

conversaditor

qi

dezviluiapreocuptuile

e

moment,

ar

oosenan

e

salensemrjau

ezvoltari

eoretice

enE

ascullatorii

ai.

.

Ca

prof€sor,

D.

pompeiu

reldrsa

cu

un farmec

deosebit

$i

cu o

eleganF

uceritoare.

umina

adl de

origina,A.

ideilor

sals,asupn uturornolru lm

ii

metodelor.pe

care Ie

inf,liga

-mcdt

cursurile

sale

emu

lolcleauna

mtrrile

a

doua

$i

a Feia

oamde

rnarernaticieni

eja

onnai.

-

F-armecul

ecliilor

sale

se datoreazi qi

elegangei

expunerii,

qr^Ie+uIIil

i'arei

Si9lgrnalitadi

jcriunii.

ar

majates.

ogalei

de dei,

aoaDclml

lnletegeru

bpte]or

matemalice,

ncadr5rii

lor in

largi

idei

generale.

Fo4a

lui

de

pehundere,

abilitat€4

inspilalia,

originalitatea

deconcepFe prez€ntaree mbinaucu o

caldAdmgoste

ali de od,

cei ce

\,eneau

pre

l

sa-iceara

n

sfat.

A

Stiut,

animeni

altul,

sA reeze

ntre

toll

maiernarrcienii

in rara

Doastrd-

cel

spirit

de tovjr.tie.

inlelegere

adancA.a

peranlelor

triinlifice.

espectul

atd

demunca tiingifica

tc.

Lui Dimitrie

pompeiu

hebuie

sd-i aducem

un

omigiu

unaninr,

penbu

rcputalia

sa,

de

mult

consacmti

n lumea

qtiinlifrci

inversali qi

p€n&u

pozitia

pe

carc

o ocupl prinhe

cei

care

au adus

qtiinlei

noaste

bogbtii eale.

Prolesor

MIH4I

WERILT

Dorohoi



CONCURSUL

INTERJUDETEAN

,,DIMITRIE

POMPEIU"

EDIIIAI-2iunie2001

CLASA a V-a

l. La o

impdrtire

de numere

naturale,

suma

dintre

impirfitor,

cat

$i

rest

este egal6

cu

deimpdrfitul.

SI

se arate

ca mpexFtorul

este

egal

cu c6tu1.

2.

Sd se determine

un

numir impar

de numere

naturale

consecutive

clror

sumeeste

2001

3. Fie numerele aturale gi6 astfel ncdta < b. Sd

se

arute d.

a'*' + b"

3 a' +

b*t

,

oicate

ar fi.

n e N'

.

CLASA

a VI-a

4.

Fie triunghiul

AABC

crt

mEsurile

unehiurilor

ilirect propo4ionale

Cu numerele

2, 4

si

6

(m(<A)>m(<A\>m(<C)). ace

M

estesimetricul

v6rfului

I

fati de

dreapta

8C, iar

bisectoarea

unghiului.

*Bil.4C intersecteazi

dreapta

B

in N,

s6

se demonstreze

d

(AM)=(AN) qi

sd se calculeze

misutile

unghiurilor

triunghiului

i0r'C.

5. a) Rezolvali in mulqimea umerelor

ntregi

ecualia:

3xy+2x-5yt

L

b)

Sd se

aratece

pentru

orice numar

natural

nenul

n

are oc

negal i tatea,

*

1

*. . . *

1t5.

-

n+l

n+2

3n

6

6. kAtali cd nu existd trei numere naturale prime

astfel nc6.t

dun-4ndu-le

ou.i

catedoua

sa

se blind

sume

eau2.3 gi,

espectiv,5

ivizori

aturali.



CLASAaVII-a

7, Se se determine

e Z,

y,z

e Z' ce

verificd ela{ia:

t l

x+-:+:=2001.

yz

&SisearatecE:

#

b)3*:*

*

,lz*Ji ,la*,la

'

5

>:.

-6 '

2n,neN.

n\n+l)+ n\n+1)

(Niculai

Solomonj

9. Fie

ABCD un patrulater

onvex,

M e(AB)

e(CD)

astfel ncdr

4=*=0.

Constnrim

,fl ilAc,

AB CD

ir'eBC eiMQIIBD, eAD.

a) Demonstrati

i ,l4r'Pq

este

paralelogran.

b) Aflali valoarea

raporhrlui

ariilor

patrulaterefor

MNPQ

qi

ABCDin

tunclie

de t.

c) Afla1i t astfel

ncdt

raportul

ariilor

patrulaterelor

sI

aibi

valoarea

maximd.

CLASAaVII I -a

10. Si se ezolve

n lR:

1

a).r+

r l=

2.r ' i

|

+:

' "

2

b):r+[-r]>x[;rl, unde

i"]

reprezinti partea

inireagd numirului

real r.

l0



11.

Fie uncl ia l Ia,b)-+R;a

b,

. f

(x)

=

- ' ,

*

" '

m,n

eR,m 0.

a) ArAtaU e valoaxea

aximi a functieilfeste:

maxUb\flb)).

b)Dac'x,

y,

z,

a

b,c

e

[0,1],

demonshali

negalitatea:

ax

-l

by

*

cz - abxy-

acn

-

bcyz 130

.

l2.Fie

4

B, C, D

patrupuncte

necoplanare

stfel

ncdt

AC BD,ADJ-BC. Dac1t C

=

3

clr.,CD=3'fi

cm,

BD = 6 cm 9i distanla de la punctul I la planul

,^,6i

,

lu zr

(6rL

I

este de - cm.

7

Se

cere:

a) ArAtali ci

proiec{ia

ui I

pe

planul (BCD)

este

ortocentrulriunghiuluiMCD .

b)Determinali mdsura unghiului

diedru dintre

planele ,4

CD)

9i

(BCD.;.

c)

Sdsedetermine istanla e a B

la

planul

,4DQ.

EDIIIA a II-a, 18

mai 2002

CLASA a V-a

13.Dac|z'+l= pq,n2l,

ardtali

ip-1

9i

q-l

sedivid

cu aceeagi

utere

ui 2.

14. Pentni

vopsireaunui cub cu latura

de

6 dm se

folosrisc 80

g

vopsea.

a) Dacd

nainte de vopsire s-ar

inldtura

c6te un

cubulel cu latura de I dm, din fiecarecolt al

cubului,

cdti vopseaar fi necesard entru

vopsirea

corpului

[mas.



b) Daci

s-ar

6ia

cubul

vopsit in

cubulete

cu latura

de 2

dm, cdtd

vopsea

ar

mai fi

necesara entru

vopsirea

upmfelelor

oi apdrute.

15.

Si se

giseasci

toate

ripletele

de numereprime

4

b, c, care

satisfac

negalitatea:

bc

<

ab

+

bc

.l

ca,

unde a

esteun

numir prim gi

par.

CLASA

a

VI-a

l6.Fie

x,y,z

e

N', astfel

nc6t

numerele

;-3y,

3z,z +1, si fie directpropo4ionale u numerele

2,2x+3y,19.

a)

SAsedetermine

umerele;r,

z.

b) Sd

se arate

c6,

o+

yT

+

z-

-2

estedivizibil

cu

4

oicare

ar

fip,t,m

e N", umde

,

y,

z au fost

determinateapunctula).

17.a)

Calculal i

uma

+ 20+2'

+Z'+. . .2,0o' .

b)Fie

s=(-r)'

(1+

)+(-1)'

(1+z+t)+...+(-r)*.

. ( t+2+z'

+. . .+2,* , ) .

Sdse ezolve

n Z

ecua{ia:(2,

l)

.

^t

=

x,

-

4 .

18.Fie

riunghiul

4aC

scufhmshic

u[lB]

=leCl+lACl

Pe

latnrile

AB

9i

AC

se consideripunctele

]1

$i,

respectiv,

N

astfel

ncat

IBM)=ICNI.

picioarele

perpendicularelor

in

punctul

I

pe

dreptele

CM

gi

Bly'senoteazduD gi, espectiv,. Adtali c6:

a)

AI I DE,unde

E

a CO

=

{t\;

b) Triunghiul

Eleste

soscel,

ulde

l\

=AnetCA:

12



c) Punctele

, 1,

/ suntcoliniare.

d\DEIIBC

CLASA a \rII-a

19.

Sdse ezolve cualia:

2x'

*(2y

+l)x.+

y

=

2003, ,y

eZ .

20.

Se

se

arate A riunghiul,

vand

a aturi

diagonala,

inillimea

gi

linia mijlocie

a unui

trapez

soscel,

estedreptunghic.

21. n triLnrghiulsoscel BC, r:ulABl=llc], mnsidemm

D€(AB), E€(AC)

astfel

ncr i t

[er l=fno]

si

OU.;. Fie

F mijlocul

egmenrului

E. Not6m

Paaac={H}

eiAF.Bc={G}

Arrtati e:

^)

AFl=lFGl

b) HB

.

GC

=

HG

.

BG. (Sorin

Petigrad,

pite$ti)

CLASAa

\fIII-a

22. Sedd fraclia

7n3

8nz

3n+

4

neN

7n'+6n'

-5n-4'

" ' -"

a) Sd se

arate ce

daci n>-2

atttnci

fracfa

se

simplificf,

printr-un

numir

natural

mai

mare sau

egalut22.

b) Si se demonstrezeci existi o infinitate de

numere

aturale n

pentru

care

fractia

se simplificd

orin2002.

l3



23.

a) SI

sedetermine

elR astfelncdt

-L<x+a,

+x+l

pentru

orice

numdr,r

e R .

b) Aratati

cApentru

orice rl € N' avem:

.

8

27

n'

.n(3n+l)

+ - +

-

+....

+

__;______-:

J

I

n' -n+l

6

24.

1. 36 se

arate

cd daci

un tetraedru xe

oate elele

de

aceeaSi

rie,

atunci

aremuchiile

opuse ongruente_

2.

Se di

tehaedrul

ABCD

cu muchiile

opuse

congruente doud cate doua gi M

e(AB).

Considerim

Pe(AD)

astlel

rrcatsl'nna

MP

+

pC

sd fie

minimd

qi

Q

e BD

astfelca s;'rma

MQ

+

eC

s6 ie

minim6.

Secere:

a) Aretad E

W

+MQ =t.

PC

QC

bl Dacd

Re

AC astfel

ca,,l.1R nD

sA ie

minime

iar S € BC

astfel

ca M,S+,SD

i fie minimd

sd

se

arate

cd

punctele

@

g

R, P

sunt coplanare.

c) Determinafi pozilia

Ms

a

punctului

M

pe (AB)

astfel ncat patrulaterulQ,SRP i fre paralelogram

$i

demonstra|

e

(M.CD)

-L(Sep).

Editia

a III-a, 17 mai

2003

CLASA

a VI-a

25. Seconsideri umerele:

^123n

a+bt a+2b,

a+34

a+nb,

l4



a+bt

a+zbz a +3bj

a+ nb"

unde a,

b1 b2, bj,

pozitiven N'.

Dacd_:

=:

.

iar

n

B a'

cdB€N"

...,

,, sunt

numere

ationale

este numar par,

demonstrali

(Ioan

Ticalo,

Bota$an\)

26.

Gdsili elmai

micnum6x

ahralnenul

care

atisface

conditia:

aci

r? se divide

cu

p-l qi

p

estenurnIrnahual rim,

ahrnci se

divide up,

oricaxef

fip.

27.Fiehirmghiul

BC

si

EFllBC,

e(n),

r e(,tc)

.

Sdse

demonsheze

6,AB

=

BC

,

daci

gi

numaidac6

BE+

EF

=BC,

(gtefqn

nmandache,Buo\esti\

CLASAa VII-a

28, a) Determinali erechile

de

numerentregi (x, y)

astfel

ncAt

x' +3.

yn

=2n63'

b)

futtati

ce exista rei

numere

naturale

patrate

perfecte

ciror sume ste 003;

c) Determinali

umlrul real

x astfel ncdt:

rcJ +

u + sJas

-

x +

:

=

2003.

(C

o

ns ant n Gurtfi

Boto

a\i\

29. Pe aturile

rmui

tiunghi echllatet.al

BC,

AB=l cm,

sedeplaseazdoui puncteM qiN astfelncdtdrumul

lntre M

qi

N, misurat pe

triunghi,

si aibi lungimea

constantE

,5 cm.

S[ searaiecb

mijlocul segmentului

l5



[Aaf]

se

gds€$te

ntotdeauna

pe

laturile

unui

hexagon

i

sdse

calculeze erimetrul

acestuia.

1E"r;"

pdiil

,

n;,curegtrl

30. Se di triunghiul echllatffu,lABC delzt]Jlfia.

L) Dasd

M e(BC),

Ba

=

ac

qi

,Ve

(,aC),

calculafi

minimulperimetrului

riunghiului

B,4.dV.

b)Dacd

e

(Bq.

:-+

,

p

e

UD.

e

e (AC),

MC 7'

calculaliminimulperimetruluiriunghiuluinfp.

(C4nst

n k

Gu i

d,

Boto4

)

CLASA

a YIII-a

31.

Seconsideri

uncliile/

g

: R

,--

R

/

(x):

ax

+

S,

g (x):

cx

+

d,

a, b, c,

d e Z.

Secere:

a) Sd se determineo condilienecesard i suficienti

astfel incdt

intersecSa

graficului

funcliei

/

cu axa

O,Y

este

putrctul

P

de abscisd

xo. k

<

xo

<

<k+l,keZ

(tecdnd

de a puncte

ituate

sub

axa

OXla

puncte

situate

deasupra

xei O,l,).

b) Sbsedetermine b, c, d e Z, astfelncatGf Gs,

Grn Gs:

ft),

unde (1,0)

9i

snse

raseze

ele

doui

grafice

n

acelaqi

sistem

de axe,

XOZ

c)

gtimd

cd OM

L Gr

qi

OQ L

G* afla[i

d.aye.

,

(Mihai

Tatcd,

Vaha Dornei)

32. a) Calculagi

-.-------

cu

| 80 de

zecimale

xacre.

1.00.. .01

setait

t6







Clasa

a

VII-a

40.

a) Ar6tali ce, oricaie ar fi .r e

R, numdrul

a

:

"r2

+

+

x

+.1

este

pihatl

unui numdr real.

b) &6ta i c5,

daci -r $i I sunt numere reale astfel ilrtcet c< y,

atunci .f

<

/'.

c) Determinati

cel mai

mare num6r

natural 2

9i

multime1A=

la;

a2;...;

4,1

c

R

itiind

ca :

{ai ;d, ; . . . ;Q}.

(lufi

cea F anu,

Bu(i.]IeStt)

41. 1.

Un dreptunghiare dimensiunile

=

m

.

n

gi

b - m * n- unde z gin sun(numere afurale enule.

In interiorul dreptunghiului

fixim

la intimplare

N

puncte (N

€ lN*).

Ardtali

c6: a) Daci

N

=

m

.

n(m

+

n)

+

l, atunci

cel

pufn

doui dintre

cele N

puncte

se afli in interiorul

unui cerc cu raza

egali cu 1; 42t b, D^cA

N

:

nr

+

/,

+

l, atuncicel

putin

doui dintreceleN

puncie

e alld la

o

distantii

mai mici sauegal6crt

J

-'

+ n'

,

t:rrr.:i

ati de celdlall

2. Rezolvalin N

x

[,,] cualia:

-b=

Jt'

-u.

(Mircea

F ianu,

Cristian

Mangra, Burl.tlre$ti)

42. ln niunghiul lAC, bisectoarele

nnghiulitor

<BAC, <ABC

9i

<BCA interswtazd

aturile

[BQ,

pQ

qi,

espectiv,

Bl ]in

D|fi]K,(ele

', B', C'. uetaS *

a)Dacd (<BAC\

=

l2f. anrnci

(+B' A'C)=9V;

b) Dacdm(<B'A'C')

:

9tr, t' € BC

ii

Fe BCastfel

incet

AE

ll

A'C'

qi

AF

ll

A'B',

*'Jtrlci:) A'E:

A'n

ii)n(<BAC)=12U.

19



Clasa

VIII-a

43.1.

uatali

ce,

oricare

ar fi numerele

aturale

r

qi

z,numereleM = 28m+

2

9i

N

=

28n

+

3

nu

sunt

p6trate

perfecte.

.

Ardtali

cA existep e

[r,l*

astfel

incit

numdrul

P

:28p2

+

1

sd ie

pdtrat

perfect.

(Mircea

Fianu,

Cristian

Mangra,

Btaregti)

44.

Un

paralelipiped

reptunghic

BCDA'B,C'D,

are

AD = a, AB = 2a

,i

AA'=

34.

punctele

M

si

ly'

apa4in

segmenrelor

IBB']

gi,

respectiv.

[DD']

astfel

incat

perimetrele

riun ghit:ilor

A'MC

gi

A

NC sd

ie

minime.

a)

CalculaJi

ungimea

egment.:/rttt

M;

b) Ar5tali

cA

punct

ele

A'

,

M,

C

gi

N sunt

coplanare;

c) DacAP estemijloculsegmentuluitBl, demonstrali

ci

planele

PCC

)

qi

(l

,MQ

sunt

peryendiculare.

(Mirc

ea Fi

anu, Bncwesti)

45.

Numerele gi

y

sunt

ralionale

gi

pozitive,

ar

I

este

ralional.

ie

X

=

l*t ; ;... SiY

=

| yt ; ; ...\.

$tiind

cA

X

fl Y)

fl

Q

+O

aratali

cd:

a) Multimea

X fl Y are

o infinitate

de

elemente;

b) Existd

d €

llrl*

{1}

astfel nc

aIxd

+

yd

e

e;

c) DacE

xistip €

N,

num6r

prir4

astfel

?ncdt./ e

e,

atunci o€

lR

Q, oricare r

i neN,n<p.

(Mircea F anu,B\ax egti)

20



diagonale i

fie egale.

47. a) Comparali racliile:

Editia

a

V-a,

12-14mai 2005

CLASA

a

V-a

46, Scrieli n cdsulele oaledinpitrahrl

alAturat ete

un numir naturalmai

mic sau egal cu 24

(in pttrdlele

diferite

se

vor

scrie numerediferite)

astfel incit suma numerelor de

pe

fiecare linie

gi

fiecare coloand si

fie aceeagi, ar

produsele

numerelorscrise n pitriJelele de pe cele doud

(Artur

Bdlduco

5aso

-"

2750

b) Scrieli

n ordinecrescatoareracliile:

s 6 7 2005

_ . .- . .

-

ustrtrcalrdspunsul.

6 8-10 4006

48,a) Aratal i a:

-

+i r- i+. . .+: l<6.

2', 3', 4' 64'

(Alewnd'u

Negrescu)

b)

Se

pot

alege inci numere aturale stfel ncat oate

numerele ormate din sumaa cate doui s[ fie zece

numerenaturaleconsecutive? ustificali

rispunsul.

CLASA

a VI-a

49. Fie

unghiulxOy

cu m6surade l5o. Se consideri

punctele

istincte, C, E

pe (O*

9i

R D

F

pe (Oy

astfelincet OA= AB

-

BC : CD: DE : EF.

a) Demonstrali A riunghiul

ABCDeste&eptunghic.

b) DemonstraJi n

[BD]

=

[CF].

a b

2a

e d:

6

f

t2

2l



c) Demonstraf

ct

punctul

B este

mijlocul

segmentului

IOF\ (Cohstantin

Gurild)

50. Fie

, B,

C

trei puncte

distincte

n

plan.

Lungimile

BC

:

a, CA

=

b, AB

=

c sunt

numere

naturale

distincte doud c6te dou6. $tim ci oricare dintre

numerele

q,

b, c

divide

suma

celorlalte

doui.

56 se

arate

cd punctele

, B,

C sunt

coliniare.

| |

'(Alexandru

Neqrex

u)

51.

a) fu51r1;

c6 ecualia

'

F

'

+

:

_

^';

are

soluria

n

)(yzJ-

mul,timea

numerel

ot

nafirale,

x

+

y

+

z.

b)

uaraF

+.

=

--|.(v)n

eN'.

k(k+r)

/r

k+1" '

c)fuEtat icdecual ia

*

l -*

I

* . . .* '

=,1,,

ur"

xt xz x, xr"*

solulie

in

mullimea

numerelor

nat.nale,

xi +

xi,

(V) i j

e{r ,2,3,

. . . ,2000}

u

<j.

(enunl

modificat,

c.M.

9/1999)

CLASA

a

VII-a

52. in

dreptunghiul

ABCD,

M este

mijlocul

lui

(lD).

Fie DX

I MC,

X

e

(MQ

gi

I

mijlocul

segmentului

[XQ.

Arntali

ci:

a)

LDXA

-

LCyD;b)

AX r

Dy.

53.Sd

e ne

oate

^rt"nt"

o"

",# 7{i 3 f{7,91

areverificd,simultan,urmetoareleelatii:

t \xz-2j

3y+6,8i4> : i

/>y+

tizly+

t

=0.

(gtefan

Smarandache)

22



54.

Trinnghiurile

-BC

Si

BCD

al

(AC)

n

(fD)

:

{0}.

DacdABC

=

BCD

=

AOD

Si

AB

+

BC

:

CD,

si se

' -

.cD J i+t

arate a:a) '* ' =u' :hr-=-.AB

CD BC'

BC 2

($tefan

Smaran&rche\

CLASA

a

VIII-a

55.

Si searate

6:

aI b* c+ ab(l -a)+ac(l

,c)+bc(l

-b)<3,

undea,

,c e IR' ,

ia.b.c:1.

56.Fie

A:

{ l ;2;3; . . . ;2005}

i

B

=

{2006;2007;...;4010}.

6 se arate

d

existi

a e

A, b e B,

astfel ncat

orice

imc1ie

:

A---+ B,

flx)

=

nx

+

n,

meR-,n e

R,si

indeplineasc

fle: b.

(Crislian

Lazdr\

57. Felele

cnbuluiABCDA'B CD'

sunt

numerotate

(ca

a

zar): ala

ABB'A'

cu l,

fatp, CC'B'

w 2, fala

A'B'C'D'cu

3

9i

suma

umerelor

e

pe

doua ege

opuse

este7. In

fiecare

col al

cubului

se

taie

un

triunghi. Se scrie in interiorul fiecarui triunshi o

cifrd astfel

ncat oricum

am privi

zarul

vazdid

un

triunghi gi

trei fele

ale cubului,

adiacente

ui,

suma

cifrelor

vdzute

sE ie constartd.

a)

Sd se axate

cd existi

o numerota.re

triunshiurilor

cu cifre.

b) Sb se aratecepenmtoriceastfelde numerotareuma

ci&elorde pe

hiunghiLfi

diagonal

puse ste

onstatrtil

c)

Sd se

spuni dacese poate

ace

numerotared

u cifie

nenule.



EDIIIA

a VI-a,

l2-t4

mfi 2006

CLASA

a

V-a

58. a) Numdrul

natural

r

d6 restul

5 la impirfirea prin

7

9i

restul

4la

imp64ireaprin

1i.

Ce rest

de

numirul

n la mp64irea

dn

77?

(c.M.

2

2000)

b) Fie

S

suma

cifrelor

unui

numir natural

A

gi

p

produsul

cifrelor

numirului

A. Si

se determine

numdrul gtiind IA +

g

+p:196. (***)

59.Fie

numerele:

a: 2

4

+

4.

6

+6.

8

+

.. .

+

2004.

006

i

b=| 'z-22

+3'

+. . .+

0022.

Afla,ti

cdftrl

$i

restul

lmp64irii

numirului

a la

numirul

b.

(Ioan

iealo)

60. ArAtaUci oricarear fi numirul nahlal nenul ,r,

printre

elementele

ullimii

{n,

n

+

1.

n

+

2, ..-,2n\

existi

cel

pulin

o putere

lui 2.

.

CLASA a

VI-a

61. Intr-o gospoddrie

G sunt un

num[r natural

de

gdini,curci,cdiniqi vi1ei.Cheltuielile ilnicepentru

hrana

nimalelor

untdate n

tabelul:

gama

cutca

catne

vitel

I

2

4

8

Dac6

nu

se

di mdncare

a

gdini,

chelhriala

ilnicd

este

de 22 lei,

iar

daci

nu se di mAncare

a vileichelnriala

ilnica

estede

24 lei.

Careeste umArul

total

al

picioarelor

ietuitoarelor

in G?(Dan

rdkze,

24



62. Fie dreptunghirlABCD cu

AB

:

18

9i

BC

=

8.

Pentruun

punct

-g

pe

latura

[cl]

(cu

DE <

CE),

BE

9i

D

prelungite

e aie n 1L

Fie F e

[BE],

astfel

incdt lBFl = [Etl]. Paralelaprin F la BC taie AB in

G, iar

paralelaprin

H la AB tale

FG in K.

a)

SA e

a.rateAIG

AH= AB.AD.

b) Se

poate

alegeE

pe

[CD],

astfel nc6t

lAGl=lAril?

(Dan

Bninzei)

l l l l

63,FieA(r?)- :+:+-+. . .+- . oentru>2.

tzJn

a) Ar6tali ci existdnumerele

aturale enule

a, 6

9i

c,

cu a impar,

astfel ncdt A(S1

=

-

j-.

2b.c '

b) Ar[tali cAA(2006) nu este

numarnatural.

(Cristian

LazAr)

CLASA a VII-a

64.

a) Ardtati

ce 3x3 llx

-

4

:

(x

-

2)Q;

+

6x

+

2),

Vx e lR.

( i

t3\ . t

b)Demonstral ia3 ;+i >:*:+4.V a,b>0.

\b-

a ' )

b a

65.Fien

=2.4.6. . . . .50

1.3.5. . . . .49.

a) Determinali

ultima cifrd a

num6ruluir.

b) Determinali

penultima

cifrl a numdrului

n.

c) Determinali

antepenultima ifri

a numdruluin.

(Cristian Lazdr)

66.Fie triunghiulAIBC

cu m(<l):150",

-(*A)::O'.

e considerd DE mediatoarea

segmentului

[BQ,



D

e BC,

E

e AB,

fCF

bisectonrea

nghiului

<BCd

F

e AB,

iat

{I}

:

CF r-,

DE,

{G}

=

CE

n Ar.

SAse

arate

cd triunghiul

ADFG

este

echilateral.

(GabrielMdrqanu)

CLASA

a \{III-a

67.a)

Fie ntervalul

:

(a;b).

Dacd

n Z

:

{2001;

2002},

sdse

calculeze:

la zooolt- zoullb

"1.

(Daniel

Stretcu,

G.

M. 5_6/2002)

b) Demonshali

d:

4xa

x2

3x

+

120,

Vx

e lR.

(Ioan

Safta,

G.

M. 9_10/2a01)

68.a) Rezolvali n Z x Z ecua\ia: 3 - 5y= ) .

b)

Deteminali

numerele

naturale

fi,

in

baza

qapte,

tiind

cd:

o'

=

6'

=

{.

uoo"

, .

lN.

c

a h'

6e. ie uburirelCDAB{a1,,u,;:;ff,3ytfl,

A2B2C2D2A3B3C3D3

uprapuse,

nde

lB

=

a

$i

p\nctele

M, N,

P astfel

nc6t:

M e

(Be,

N

e

(DD),

P e (Afi)

9i

MB

=

ND

= pA:

x.

Aflali:

a)

mdsura

unghiului

format

de

dreptel

ABt gi

CD,;

b) distanta

dintre

dreptele

Bp2 qi

AC;

c) mdsuraunghiului

format

de planele

(,4.4r'p)

qi

(ACC)'

(Artur

Balduca)

26



BILATDRALA IA$I

_

BOTO$ANI

CLASA

a \{II-a, BOTOSANI, 07. 02.

2004

70, Fie x e lR qi mullimea 4: 1x +./1, x +{2,

,

+Ji , . . . ,+J6,

x

+Joo,

- ,11,-J i ,

. . . ,

'

-Js9.

"

-

i loo .

a) Daci .r

:

2", cdte numere negative sunt in

mullimea M? Disculie dupl n € [..l.

b) Daci.r :J01 calculali : (l-2.3...99), ndep

este

rodusul

lementelor

ullimii

M-

c) Daci x

:J44rJ,

calculali suma

pdtratelor

elementelor ullimii M.

71.

TriunghiulAIBC

(BC:

a, AC: b,AB:

c)

9i

hiungfuiul

LMNP NP:25, MN:24, MP - 4 z e [rl*) srmt

asemenea(BC

-

LM

trP).

a) P€ntru

ate

urnereatralen trirmghiul ilAP exis6?

b)DaYin:7,c6ne

gnde

are

mghiul

l ?

c) Pentru atenumere ahrale triunghiulLMNP

de

obtuzunghic

d)

Dacd

rr, 6,

c e lN*

pi perimetrul

triunghiului

LABC este165,determinali

.

72. Fie E e

(AD),

lahxn a rombului ABCD

gi

F

intersecJia dreptelor BE

gi

CD. Bisectoarele

unghiurilor aABE

gi

aCBE intersecteaz1

e

AC in

Mgi, respectiv, . DacdME fi NF: {P}, arbtzli L:

patrulaterul

BMPN nu este dreptunghi, nu

este

romb, dar este

paralelogram.

27



73,

Ln

lercul

9(O;

?)

se

&rc

diametrele

erp€ndiculare

tA.el

i

BBl.

Cercuri le

r(B:

t) gie,rg,;3,1

"

lntersecteazd

n punctele

C

si

D.

Adtali

ci punctete

A,B,C,D

sunt

cottniarc.

(Subiecteelectatee prof.

Corneliu

Saw,Focqani)

IASI,28.02.2004

74.Fiex

Z.E&t=

2

'

" A ' , .

a) S6.se alculezeE' - ), t (0), A t).

b)

Sd

se

arate

ci pentru

oiice

x

din

Z

are

loc

E(x)+E(1-x)=1.

c)

Si

se

calculeze

uma

__s^:

r

(-

2003)+

E (_

2002)+

...+

E (2004).

75.

Se

qtie

cd

are

oc2' +

Zb

=2c

+

2d.

a) Cate dintre numerelenaturale

a,

b,

c,

d

pot

fr

distincte

-.'

_b)

Cevalori oate

ua

numirul

ntreg

=a+

b_c*d.

76. Fie

,I

centrul

cercului

nscris

n

iriunghiul

lBC,

iar

M

N,-P_-r.ttritoacete

aturitor

Wq,

fbel,

Vnl.ii

qtie

6 M.

BC

+

rN

.

CA+ 1p A-B 1S,

",ij.

S

este

aria

hiunghiului

lBC.

Sd

se

arate

c6 triunghiul

IBC

este

echilateral.

77

Folosim

temenul

de

placd

triunghiutard

penhu

un

mrngtu

consideratp/ir.

eci

mprer.rnd

u

nterioml

siu.

a,

ba

se

arate

cA

orice

placd

triunghiulard

obtuzungh.icaepoatempd4i n placiriunlhiulare

ascugtunghlce.

28



b)

Si se arate c6

num6rul

minim de

triunghiuri

asculitunghice

e la a) este7.

c)

Si se examinezecererile a)

qi

b) cAnd?nlocuim

terme

asculitunghic at cel d.eneobtuzunghic.

(Subiecteelectateeprof.Gabtiel opa,laSl)

CONCURSULNTERJUDETEAN

"MICII

MATEMATICIENI"

CLASAa IV-a

Editia I, 7 iunie

2003

1. a) CalculaJi

=

3

+

5

+

7

+

9

+

...

+

2003 2,

4

-

- 6- 8 - . . . -2000 2002.

b)Unvasplin cu apecanGxeite3 kg.Vasulumplutcu

api

doar

pe

umdtatea

a,cantire$te

8kg.

Cat centiregteapadin vas

?

c)

Determinali

oate

perechile

de numere

naturale

de

forma

ab)

care erificdelaliile:

<3+2q+3b<10.

(Ldcrdmioara

D oina Nechifur,

aSi')

2.a)Af la{ i d inegal i tatea[( ,x:3):2) :4] :5=25.

b)

Mihai, Ardrei

qi

Ioana

au impreund

360

de

timbre.Dac6Mihai i-ar da lui

Andrei

15 timbre

9i

loanei 35 de timbre, atunci Mihai

ar avea

de 3 ori

mai

puline

timbre decdt Ioana gi

de doud ori mai

putine

decatAndrei. Cdte imbre

a ar.'ut iecare

?

29



3.

a)

Enumerali toate

triunghiurile

care

pot

fi

identificate n

fisura al6turate:

b)

Scriitorul on

Creangia

publicat

povesieaCapra

cu

trei ezf in

1875.Se

spmecd

pe

atrmci apra

r fi atut o

vdrsti

egald cu dublul

sumei v6rstelor ezigorilor

ei,

varsieleacestoraiind exprimate rin numerenairale

consecutive.

este

m ar c6nds-aabAtut

ecazul suFa

caprei,upul avea

6nta

egal6 u dublulsumei

drstelor

de atmci

ale ezilor, ar

lupul,capra

qi

cei rei iezi

aveau

imprem6

40 de ani.

Ce v6rsti avea fiecare

n anul

publiciriiacesteipovegti?

(Rectealii

latenatice,2(n2)

E

dilia, a ll-a,,

24.04.2004

Etapa

udefeanl

4.

Completeaze

paliile

punctate

u rdspunsuri orecte:

a) Dupdefectuareaalculelor: 0+ 20 : 20 . 20 . 0 se

obline

...

b) Numdrul

ce trebuie

scdzutdin 56

pentru

a obline

triplul

ui 9 esteegal

cu ...

.

c) Numerele

naturale

de 3 cifre care au

suma

ciffelor

egal6 u

3 sunt .. .

(ir,.

Vasile

vindrei)

5. a) Determinalivaloarea ui a din egalitatea:

{s

-2: l (6+a):3

-2l} .7

+3:24.

30



b)

Sumaa

trei

nurnere

naturaleeste 560.

Al doilea

numdr

estede

2 ori mai

rnaredecdtal

treilea

gi

cu 60

mai

mic decdt

rirnul-

Care

suntcele

rei numere?

c) Cdhrla.doui

numere

naturaleeste

4, iar reshrl

0.

$tiind

cd suma intre

deimparrL

mpe4ibr

$i

cat

est€

49. si se

afle celedoui

numere.

(inv.

Yasile firvdrei)

6. a)

Determinaii

numArul

uturor numerelor

naturale

care

se scriu

numai cu

cifre imparedistincte:

t)

de doud ifrel

2) de rei

cifre.

b) Aflati suma uturor numerelorde trei cifre care

au

cifte impare

gi

distincte

cu cifra sutelor

1.

(Wof.

Anur Bdlducd)

7. Reconstituili

adunarea:

PARALELE

ARALELE

RALELE

ALELE

LELE

ELE

LE

tl

l *5 5* *2 6

(Wf -Artur Bdlducd)

dh

TH{EhI

e{oad€d

usfefSo

3t



ETAPA

INTERJUDETEANA

22 mai

2004

8. a)

Se dn

num5rul

8016784395.

lirninali

cinci

cifre.

astfelncit cu cifiele Emase,dstrdnduJerdinean care

se

glsesc,

i

se ormeze

el

maimic

numir

oosibil.

b)

Scrieli

numerele

pare

de 3

cifre care

au

propn€tatea

E

sumacifrelor

lor

este

esald

cu

g.

c)

Exact

patru

numere

din

girul

43;

62; 1+;

f; Ze

respecta

regula

de alcituire

a

Sirului.

Caxe este

,,intrusul"?

9.

a) in

pntratul

alAturat

suma

numerelor

de

pe

fiecare

inie,

de

pe

fiecare

oloand

gi

de

pe

fiecare

dintre

cele

dou6

diagonale

este

aceea$i.

Determinafi

numercIe

a, b,

c, d

gi

e.

b) Pe o tabl6 sunt desenateriunghiuri qi

{replu1glriu1

are

nu

seating.

Daca

n totil

sunt

2'i

o€

varrun,

ate

reptunghiuri

unt e

abla?

c)

Daci

lmptrr;im e

m la

n

se bbfne

c6tul

2

si

restul

6, iar

dace

adunam e

50

la

dublul

ui

n

oblinem

riplul

ui

z.

Si seafle

numerele

si

n.

10,a)Tatdlare48deani. arceidoifii aisli au20

de

ani

gi,

respectiv,

8 ani.

Peste

dfi

ani

virsta

tatilui

va fi

c6tsuma

drstelor

opiilor

s6i?

b) Intr-o

camerd

ntunecoase

unt

30

de

minei

de

aceeEi

form.d,

dar colorate

diferit:

g

gaibene,

8.rogii,.3

albe,

ar

din celelalte

6, unele

suntlerzi 9ialtclealbastre.Caf,eestenumarul

minim

de minei

oe

care rebuie

A e

scoatem entru

a fi

siguri

ca

pi'ntre

celescoase

vem

cel

pulin

4

de

aceeaOi

uloari?



c)

Daca

se

a$azA

ete

o cioari pe

cate

un

sralp

dman

doue

ciori,

iar

daci

se

a$aza

ate

doua

ciori pe

un

stdlp,

bmdne

un

stilp

fbr6

nici

o

cioare.

Cefl

st;lpi

Si

cate

ciori

sunt?

(Subiecteleufost elaboratedeprof. Artur

Bdlducd,

ihv.

Ilasile

Avit

vdrei

;i

elewl

Alexandru

Negrescu)

EDIIIA

a

III-a,

27

mai

2005

11.

a)

Calculali e

x

din:

3

+

{30

+

2

.[(2

+

6

+

x) : 3l - t7l

=

24.

b)

Vdrsta

mamei

esre

de

l0

ori

mai

mare

decdt

a

fiului.

Peste

6 ani

v6rsta

mamei

devine

de

4 ori

mai

mare

decdt

a fiului.

Ce va.rste

re

flecaxe

n

Drezent?

12.

l)

Realizari

egalitdtile

de

mai

jos,

pundnd

paranteze

i

semnele

operatiilor

aritmetici

intre

clfele date:

a)

6

6

6

6:1

b) 6

6

6

6:2

c)

6

6

6 6=3

d) 6

6

6

6=4

2)

Completali

tabelul

ahturat

astfel

incat

suma

numerelor in oricare ei cisu aldhratesA ie 18.

lJ. a)

lntr-o

cutie

sunt

16 bile

albe,

13 verzi qi

15

ro$ii.

Careeste

numdrul

minim

de

bile

extrase

br6

a

ne

uita la

ele,

pentru

a fi siguri

cd

prinhe

ele

avem:

1)

cel

puJin

o

bil6 albd;

2) celpuJino bil6rogie;

3)

cel

pulin

cdte

o bili

de iecare

uloare.

33



b) Pe un lac apar intr-o zi 8 nuferi, in ziua

urm6loare par 16 nuferi, apoi 32 de

nuferi

9i

tot

aga

mai departe; nuferii igi dubleazd numdrul in

fiecarezi, fa 6 de ziua

precedentA.acA

supmfala

lacului se umple cu nuferi in 8 zile, arAtali n cate

zile va fi acoperitdcu nuferi o optime din suprafala

lacului?Darun sfertdin ea?

Subiectele u

ost

elaborale

de

prof.

Artur Bdlduc.i

i

inv.

l/osile

Avil vdrci

EDIIIA a IV-a, 2 iunie 2006

14. a) Afla1i

numerele

ahrale

care imp6rlite la 6, dau

acela$i at

$i

acela$iest.

b) Cate

triunghiud

$mt in

desenul lSh[at?

(inv.

VasileAvdndre)

15.a) Sdseaflenumerele

enule , ,, c

$tiind

cA:

a' l l l+2

(5 'b+3

c) l :77;

(Ptof.

Artur Bdlducd)

b) Caresunturmetoarele

numeredin

girul:

l; 4;

13;40; I21; ... . (Prof. rturBdlducd)

c) Cu cat este mai mare

800 dec6tcel mai

mic

numer natural

scris cu trei cifre

diferite care

are

suma ifreloregald

u I 1?

(:

* *)

16. Un

gup

de bdieli

s-audus a r6u si se scalde.

0

dintre ei au trecut not

pe

ceblalt mal

al dului, apoi

au mai trecut umitate din cei rimaqi gi atunci pe

malul celdlalt au fost

de doui ori mai multi bdieii

decdt ei imaqi.

Cati beief

s-audussi sescalde?

l **+)

34



t .

SOLUTII,

INDICATII,

RASPUNSURI

CONCURSUL

NTERJUDETEAN

.DIMITRIE

POMPEIU"

Fie I, C, R, D impi4itorul, catul, restul

$i,

rsspectiv,

deimpn4itul.

in relatiile

D

=

1. C

+

R, R

<

1

si

1

+

C

+

i

=

=

D

rezulta-

C

-

/.C.

deunde (C-t)

=

C,adica

C-l/

C

sau

C-ll

(C-l) +

1,C-ll l

+ C

=

2

si

=

2.

Fie

+1,

,

+2,

...,

n

+

(2f +

l)

numerele

onsecutive.

Avem:

, +

1)

+

(z+2)+.. .+(h+2k+l)=2OOl>

+,

+h

-...+ nrt'-

z-...12k+rp12* rtF\2k

-l)(2tr 2)

-

2k+1tu z

=

(2k+

l) (n+

k+ l )

=

2001

=3.23.29+

=2k

+

le{1,323,29,69,87,66t,20011.

e

oblirc

solulie

enku

2k

+le

{3,23,29J.

umerele

untr

66,

6j,668

siu.76,

77,. . , ,98

au 5,56,

. . ,83.

3. a'"t + b' s a'

-

b^-te d (a-I)s bi (D-l)la = 0 si6 = t:+

=

a,+b,tt.Dac6

= O

i

D

>

l+

D,(r_t) 0

i

d(a-L)

=

I etc.

Daci a

=

I atunci,

> 2

9i

b,

(6-t)>

0, iar

al(a-l)

=

0

etc.Dacea >

l, cum

d

>

a

rczllt|

b,

>

an

$i

b.I >

a-l etc.

4. m(+A)

=

900,

n(+r)

=

600,

m(<e

=

300. n triunghiul

AAW, m(aAl'llt\= n(4ANM = 15..Triunghiultr'c este

drcptunghic

soscel,m(*tr'Mc)

=

45., tn(+nAr'C)

30.,

n(+MCl,)

=

150o.

5. a)

3

ry

-

2x

=

5y

+

|

o-r(3y-

2)

=

5),+1

e 3x

3y

-

2)

=

=

5

.3t

+

3 <>3x

3y+2)=

5

(3y+

Z)

7.Dacj3y+2

j ,

deunde

/

+

2 e

1- '1;- l ; l . ,7 l ,eta.

b) l- | . . . . - ' r1.-1

'* l*

* l ) -

nt l n-2

3n

6

\

n+l

n+2

2n)

(

t r

r ) s

\2n+l

2n+2

3n

-

e'



- l

,

l - - . . . - l ra=I . i

I

-

I

- . . . .

l .

n-1 n-2

2n- 2n

2'2n,| 2n.2 3n-

21=

1

"1".n3

6. Presupunemi existi numerele4 b, c (a < b) cupropietatea

din enunt.DacA

+

b are2 dj:vizoi,atutrci

+,

este

prim

gi

a

=

2, ar

, estempar.

l.

Dacd,

+

c are

3 divizori

gi

6+c are 5 divizori,

atunci

a

+

c=

q",4 prim qi

b

+

c=f,p

p

m, de unde czultd

c

=

2,

contradictie

entru

Ac

>

2.

II.

DacA ,+ c are

5 divizoi

gi

b

^+

c are3 divizori,atunci

a

r

c

=

m'" n

prim gi

D

+

c

=

n', n

prim,

de undec

:

2,

contadicliepe[tru

cdc > 2.

7.

"

*1*1= 2661o

* =zoot-r .z;

yz

y.z

z*,+,zl>rsi l t t

' l

-*

<

r i*

< -

)z) lvl

=_2<1

r

|

.

,

r i

r_

. ,

v--

_L.q_2.._1,g1,2y.

Y

z

Y

z

Y

z-t- '

' " " - t '

10.

,

11--2-r--- i

e z*

-->

=

z

-

- t

, i

x

-

2oo3

t l

,o

-+:-

=-1=>

=;11.2*.+

y

=

"

=

-2

9i

=2002.

30.

I

+

1

=

0 *

/=

- z

eZ* >

y

=

17,7

-a,x

=20oI,x

eZ*.

yz

4o.

-

1

-12,

=

-L eZ*

:>

z eZ*

:>

y

=

z

=2,x =

2000.

y

z

'

z-I

50. +l

=2+

y=:"

:eZ*:>y=l,z=1,x=1999.y z 2z- l

36



nlh+l)+

8.

Observlm

i:

n+I

n+l

n+l

h+1

-

-i_;

=

------:

=

1. Pentru

Duncful

h+-+-

- '

22

a)darn

ui' valorile

$iz

"U.,i."",

--

*A rl-]

=j.

\12+'12

6+'16

z

3

b

9. a) Folosind teorema

ui

Thales

in

AlgC gi

reciproca

in

MCD

se

oline

,VrllBD

9i

deci

MellNp.

Analog

se

demonstreaza

d

MN

llpe,

etc.

b) Din

teorema

undamentale

aseminirii

aplicatFtln

MBD

;i

LABC

se oblit\e

Me

=

k.BD qi,

respectiv,

ifl

=

(l_k).

AC.

a4p,1ps=

ro'{Me . sina(Ac;BD)),<**=). rc

.

ao .

'

sin(*(,4Q

BD))

9i

deci

aportul

riilor

este

.

k.

(l

-

k).

c) lc

(l

-

e) <

lll1-x ]

=1,

decivatoarea

aximd

\2)4

acestul

aport

ste ,5

$i

seobline entru

-

0,5.

10.a)x- [r] = 2x.1x1+l<+r-z [x]) zr- l)- 0<+"2

l

<tr

=

:

pentu

ci l-2btl

+

0.

b)

Dac6r<

0,arunci

[r]

<

O,

qi.t+

1.x1

O, ar.x.[x]

0.

r

=

0 nu este

solutie,

e

[

2,

+

a),

implicn

x]

> 2

qi

Llinecuatiaevine

.r]

< l

-

11 a

2 . Decj

e

(0.

2).

J

rr. a)

m> O>f (x)<f (b),

n <0

=f

(x)

<f(a).

b) Considerdm

tunc,tial

0,

l]-,

lR,/(r)

=

tc

a

- aby acz)

+

by

+

cz- bq,z

-1.

n+l

n+l

.E\ , -

-

42

37



Din

a)

rezultAlk)

< max

f (0),

(1)).

r),/(0)

=

by

+

cz

-

bc1.z = by( l -cz|- \1-cz)

l -cz)(by-

)s0.(2)

;{l)

-

y (b

ab

-

bcz) acz

+

cz

+

a

-

|

=

g (y).

Aplic6nda) se

obfmeg(v)< max {g(0), g()).

(3),

d0)

=

cz

(l-a)

-

(l-a)

=

=

(1-a) cz 1)<0. (4)

Ejl)

=

h(z) z(c

_

ac

-

bc)

+

a

+

b

_

ab

_

t. Aptcend a) se

obline&(z)< nax

(h(0),

(1).

(s),

,(0)

=

a(I-b) -

(I-b)

:

=

(a

lXl -

b)<0.

O,

h(r) :a(r-c-b)+b+c-bc-r=sr(a) .

Din a\ reaiti

g1Q)

< mta

G(0),

g(l)).

Din

g(t)

=

b

+

L- bc l:

=6(1

-c)-(1

-c)=(b-

1)( t

-c)(0or icarearf i

a e[0,1] .

(7).

Din

(1), (2), (3), (4), (s),

(6)

$i

(7)

rezultdlr)

< 0, dacn

x,

y,

z, a, b, c e

10,

l.

12.

a) Fle AH L

(BCD),

H e

(BCr).

Se .tratdBDL

(ACI4

9i

BCL

@Dn,

de undeBD

-L

CH

9i

BC L HD etc.b) 45'.

" t ;

'14

13.

p pi

4

sunt mpare.

:

2'

.

d

+

l,

4

=

2b

P

+t,

unde

ct'

$i

p

sunt mpare

i

4

D e lN.2"

=

2*b a

P+2".o+2b.F.

Dacd,

<

b atttnci n-

=

2b

tF

+

o

+

2b'"

g,

imposibil.

Dace

a

>

b, aralog. Deci

a

=

b.

14.a)

Seconsumiaceeafi

antitate evopsea.

b) Se

obtin27 de cubulete

areau n total

162de

e1e. 4 de

fele

suntvopsite,

eci rirndn de vopsit

108 ele

$i

mai sunt

necesare60g devopsea.

15.

=

2.

2 bc

<

2b

+

2c

+

bc<+ bc

<

2b

+

2c<>

+ > .

bc 2

Dace> bzs ,"^t ,a

<l

r i

l<1. "uo4"

*-132.1.

D)C)b.t2

imposibil.Dace

=

3, atuncic e

{3,

5}. Deci

(a,

b, c) e

e \(2, 2,n), (2,3, 3), (2,3, 5)l , n\dec e lN*,c prim.

rc.a'14-1 =

-

32-

=1 -.>12'-ty)(rt+3y)=64=

y

2

2x+3y 19

'

38



este

par

::>y

=

2t

(*

e ll't;

=

(i(

-

3&Xr

+

3k)

=

16

-.>

:>

r-3k=2 gir+3&=8.

Seobt ine.)r=

,f2,2=37.

D

x

+f+ +

t

-2=

g

+.22+

3't^

2,|mdep,

k, m e N*.

4/5e

l

qi

4/31^

I, etc.

1

/J

-r

t ra7J,

-rrcru.

11.

a12'402.

. )S.

(- t ) (2 ' : -

l )+(- t )?.

2r -

l )

+. . . .

( -

l )2002

. i . )2@1 r,

_

r, i . l ;2 / 1\2 rJ , \2002

^2odl

,

+

[(-l) '

+

(-

/.2@3

2

*.-

D

=

JGr)'

2'

. ( - l ) '+

(-

I

+. . .+

-

I

12002 t2001 \

_. :

l -

z

1t

.2'z+

1-

t'|'1.2t

+.

.+

(-

l)2002 2206r

.+

(-

1)2002. t- l \

=

t-22+ 23- 4+ )5-

-

2'

\-

1)' .2'

. .-

(-

lYW'z 24u{

I

F

-(-

l ) toot

.

( -

D

-

(22 +

24- 4 2 ' - . - . .

=

22

+

2o ))oo2 rt2

-

tr.s

=

I)

-

(-2'+

2'- 2"+2'

...

-

,..

2'oot (2'

- l)s

=

+

=

2^:.

-26+-.-.-.. '

?,ooo

)

(22 +

2a+...'rrzooz',

_

a2cn4 12 a2M4 .2 J .2

^

J_.2@4 .

-_

.162 ,

22co4

27.22M4-2' i -22

-+

i=27w

-

x 2t@2 i

91

, _ .1002

r8. a)

LMBC

=

ANCB

L.u.L)

+

[Mq

=

[NB] $i

4MCB

=

4NBC,

c,;,lit

4ABC

=

4ACB.>

4ABE

=

4ACD.

MBE

=

AACD

(tU.) =+

lADl

=

tAEl

->

AADr

=

AAEI

(C.r.)

=

-

(,1/

bisectoareaDAE--->AI

-DL

b) se arati

c6a BDC

=

A

CtB

(L.L.L),

deunde

4DBC= +ECB, etc.

c)

Mediatoarea

egmentului

BO

conSne unctele,.l,

$i 1

d)

l este isectoarea

DAE

9i

a 4BAC

etc.

19. 2x2 (2y

+

1) )'+,'

=

2003

<?

(.r

-

y)(2x

-

I)

-

2003

.1

=

=

1.2003 (-

l)C 2003)

G

2003)

C

1),

etc.

20.

Se aratd ca proieclia

D.

diagonalei

rapezuluipe

baza

mare

axe ungimea

egalA cu

linia

mijlocie

a tapezului,

etc.

fig.

1)

2r.

a)FieDMllBC,

M

€ (lO

i

.4---l;;---t-".8

ENIBC.

N e

{,{B).

Seararlca puncrul

apa4ineioiei

mijlocii a hapezulu:L

soscel DMEN

gi

liniei

mijlocii a

triunghiului BC, de unde czulta cApunctulF estemijlocul

segrnentului lG). (lig.

2)

39



b) Din .)

rezultb

ci

patrulaterut

AEGD

este

paralelogam,

de unde

JlB

BD.^

jtu

|vE st

-=-

tt.La.t st cum

HG GE

Gn=GD)=: :a=: :1. I \ -

HG AD

RD RG

DGIIAC

+

^==

=:-

(Thales).2)

AU UL

Din

(1)

$i

(2)

ezultdiA

.

GC

=

HG. BG.

22.a\ 7n3 8n2

3n

+

4

=

7n3 i nz *

+

n

-

4n

+

4

=

:

(n

-

l)(7n2

-

n-4\.

nl - ei -sn = -ir? - n2- -4n-4=(n+l)erl/.-4).

7n2n-4= n(' ln

-l)-

4,n^>2

=n(7n-l)-4>2:,eitc.

b) 7rl

-

n-4

=

2002

Tnz -n

-2006

=

g,6=2372

9ir,=17.

DacAn=2002k+

7,&e N,atunci

22-n-4=Mzooz.

23. a) Deoarcce +r+

I

>

0, V

"t

e

lR ezultl ci:

-t:---11-.

< x + a,v x elR<+a + 1).r? (l+a)x+a ) 0,

v

x elR<+a+t)

x':

*..-3-12

o,vx erR<+

'

'L

a+I)

. l ( rY r- - r I

€(a+l) .

I

r ' :

a; i

l>

0,V etR.

L\

z/ 4(d +

r j

a

<

-l

truconvine;

eex€mplu,enfu

=

0 seobline +l >0,

o.

[-t,1].

ou

"onuine;

urem

onsidera

=-1.

\

J./

2

Tr \

Pentru

a e

|

-.+co

]

inegaliratea

ste

verifi

cata.

LJ )

b)Pentrua=+

i '

e

\-l

,

-2,

. .

-nI

ircgalitatoa

e a

puctul

a) este tricl.a enhu

ce

x +

-l

- l r

I

. Avem

----:.-1*-.

' - l+1 3 '

40





a) FieP

e MCr,

C

€

MC?.DesfxlurarcaIig.

4b)

W AM

AM

IA

BM BM

V*@_.ltvtoW _,

rc ' -a-

ntr=

@= AB-E-

N-- iE-='

- ,

AP AM

AM^

-

")

pD-

A

-. Desla$urarealig.4c)

AR

AM

AM AP

AR

E-

a=;t ;=-:-+PRllcD'

^_^,^-

Bg

BM

BS

^natoe. ;-;

=:::=+

sQllcD.PRltSQ.>

= O,E R,P coplanare.

c) PnlllB

deci

@sRp

aralelogram

ppllRs

€,

pellA.B.

4 _BQ

^

Ap

1(

--- , - - -Ap

BQ

,\

AM^

r

..

n=

OD-

pD=rloeo

.e-+-=t

)-d=to,o

mUlocul

segmentului

l,B).

DacnN este

mijlocul

segmeltului

(cD)=>

WL.D.

MN)-RP;MNUB

-

MN

pedD.(fuki)

25.

o.6=-L*

2o

*

3o

.

-

'o

a+b.

a+2bt

a

+3b,

a+nb, ,

o.6+9=a-b,,

*2o+4b,

*3a+9b,

* . . .*

na+

n2 ,

a+b,

a+2b,

a+3b,

a+nb,

aA+B

l+2+3+.. .+

n

=

n\" l )

.

" r " .

26.

| / n

:)

Q-l)

I n, 2 pim

:>

2 |

n .

(t)

2 / n

-

(3-I)

/

n,

3

pnm

+3

/n.Q)Din (t)

$i

2)

=6 /r. (3)

6 /

n=

(7-t)

n,

7

pim =+7

/ n.

(4)

Dit

(3)

ti

(4)

+ 42

/ n.

(S)

42 /

n

.+

=(43

-l)

I n,4 pnm-+43

z.

(Q

Din

(5)

9i

(Q

+ 42

.

43 / n+

-+

1806

h. 1806

=

1807 I

qi

cum, 1807

nu

este

prirn,

avem

=

1806,

27.

,,c="

Fie M e (EF,

astfel

incet Fe

(EM

9i

(Ft

O

=

(BE).

BCW

pa'alelograjm.+

MC)

=

(BE)

$1,

c.um

FM

=

@E

)

=>

(FM

=

(Mq

= n(4MFC)

:

tu(4MCF)

=

a. ABIIMC=

42



>

rn(4BAC).

m(4Aclt't

=

c

;i

cum

n(4AFD

=

:

rn(4 MFC)

=

a

-

n(a BAC)

-

m(aAFE)

=

d.

EM

llBC::>

n

(4

B CA)

=

m

(4

CFtv|

=

d etc.

28.atl - 3ya 2003 /' .l?903 - 66i=vo =62s )

L3l

?.y4€

{0,

, 16,

81,256, 25}.

Seoblin

soluti i umai

aci

1f

=

625, adl:cd

e

{-5,

5}9i

"r'

=

64, de uode

€

{-8:

8}.

Deci . (x,y) .e

(-^8,5),

-8,5):

8r

5):

8:5)} .

b) 3'

+

25'

+

37'

=

2003.

c) Din

inegalitatea

ediiloravem:

26 r+ 64)<128+r$i

2s'z,(62s-x)<

?

<1.(ezs.z-

l+rsJx u

*t

sJdl i i

- l

<

zoo:.

22

Egalitatevem

aci.x

64=64

Si

625

x=

625, dicd

=

0.

29.Cazul

L Mgi N

sunt ituate

e

aceea$iaturb

triunghiului

ABC.

Fie M,

N

e

(AC).

Locul

geometric

l mijlocului

segmentului.] ?]este egmentulPQl,unde C= 0,25cm

fi

AQ

=

0,25

ami,P,

Q

e

ftQ,

iar locul

geometric

l

mijlocului

segmentului

Ir'^,]

cdndM

$i

,|f

sunt situate

pe

segmentele

,4.B] i

kq

este

RS],

ndeRl

=

BS

=

0,25 m;

R,S €

kBj

ii.

respectiv,

?'1.1.

nde 8

=

yC

=0,25

cm.

Cazul I. Fie

Mc

tABl,

N

e

Vq

$i

Re

n MN

=

{trr.

Din

Menelaosblinem-af

=

U,lddecimijlocul ui [,1.1 estesituar

pe

[R0].

Analogmijlocul

ui

[,1.4]

se afl6

pe

[Sfl,

respectiv

[PIl.

Conchidern

i mijlocul

egmennrlui

,1 1

este ituar

e

un

t ls

hexagon

u

perimetrul

galcut 3':3=I=2,25cm.

424

30. Daci

B' este simetricul punctului

,B fale

de &eapta AC,

apUcend

roblema

biliardului

se obline ci BN

+

NM >

lt4B,

o.icarear fl punctulN pe latiu'a(AC).Din teorcmamediarei

43



- t ;

in MCB' se

oblineW

=

f

ri

nerimerrul

inim al

.

"(^ll

+r)

triungiul

AB,'l-tVsre galcu

-.

b) Fie M

li

M' simetricelepunctului

M fa{e de &eptele

lB,

respectivC

qi

M M'n AB

=

{P\;

MM'1AC

=

{0}.

Se

arati ci

perimetrul

minim al A MPQ esteega,l

u lungimea

segmentului

MM'

=

2.

''4

unde

{r}

=

M'M'1AB

Fi

oJ:g

{FJ

=

MM'IAC.

Seobtirre 'M'=

31.a)/(@ 0

ei/(/c+

)

>

0;

/(t)./(*+

1)

<

0

9i

/ (&+l)- f ( t )>0+a>0.

b\

Glncs=

{l

(1,

0)}<} a

+

D

=

0

$i

c

+d=

0.

G1

G"=+

ac

=

-l

,

deci

d

=

-l

eta.

t l

c)

Aurn=7,A*". l,rvo

=:

unitlti dearie

32.a)Fiea=0.00.. .01

I

=1.99,. .900.. .01-

-6F

a-r

'ifrifr

t+o

I

=

0.99,. .900.. .0. . .

codh tnefte

b)FieB*A

l0m3de nde

B]=

33.J

9i,4=.33r.1,33,..1.

4an6dlrt

za0].i.tre

za,tcil

33. n(4BMC)

=

n({AMD)

=

90a. (M,

BC)

=

d(M,

AD)

=

'-8

s."^=o' -o 'w

eMD=2a AD=aJi . AB=4o' l i .

2

*

2

' -

--

5

A'BI (B'MC))

A'BLB'E,]]xlde

EI

=

prE

M .

4AEQ=4BRE,

unde

Q

estemijlocul

ui

IAA'1.

QAE

LEBB'

=)

.

^ , -o, l to

- .

^- .

2al to ta 'z(eJi' to)

: :>AA=- i rAB =

5

A

44



34'.1.a1+

2+

a3+ao+as=M (2p\at+a2+a3

+

aa

=

It

(lp);

Finalizare (lp);

2. Oricare

doui uumere

sunt

multiDt dt

6

sauoricare

dout

DumerE au r€s'hll

3 la bpa4irea

cu 6.

(lp);

multipli

de

6 sunt 16

nuEere

(lp);

muttipli

de

6

plus

3 sunt

17numere.1p)

35. 1.

Sumacelorlalte

trei

cite este25 (lp);

una din

celelalte

trei cifre

este

9

(lp);

celelalte

doutrcifre

srrnt

7

ti

9 sau

g

$i

g

(1p)

-

finalizare

24 de numere 1p);

2. N

=

l00la

+

+

I l0D

+

llOc+

l00ld (lp);N

=

27(37a 4b+

4c

+

3jd

+

+

2(a

-

b

+

c

+

d)

(lp);

filalizare. lp)

36. a) Fiecirui

numAr0"aDc-i corespundeumIrul

q{9-4Xe-rX9-c)

l

p);o,abc

c\(9

a)(e

6)(r-c)

=r;

1

101

(r

r(,r)-)

(r

qlil)]r

-rxr

--4

=

z

r

=

1rp;

Finalizare

.

499

+

0,5

-

499,5.

lp)

b)

Conditia

eEdstenta

perechi

e forma0,aDc

i

q(9-4)(9-r)(9-c)

(tp);

Cazulelmainefavonbil01;0@;0,03;..; 0,49;0,500.tp)

Finalizarc

principiul

utiei).

lp)

37. a)

Solulia

este

4;

5)

(2p);

b) Orice

soluli€

esteds

forma

(23k

4,29k

-

3)

(1p);

verificarea

olufiei

lp);

c) Solulia

(-4;

-

3)

(2p);

unicitatea

olutiei.

lp)

38.

a) Suma

maximtr numerelor

nscrise

e

bilole

din

umaA

- I -a?\

esre1 -2+.. .+r)+n=' \"- ' ' t . ( lp) ;Dac6, ' 60, tuDci

z

n(n+3\

-..-<

1830

2004.

lp);

b)' '

=

62

0ustif icare)

3p);

c) Suma numerclor

de

pe

bilele transferate

este 102 (lp);

numarul

maxim

de bile traNferate

este 13. (lp)

39. s) Fie

AE n

DC:

{O}.

CO fiind

bisectoarei itriltime n

AACE

implic,

AACE este soscel,

de unde

Ol

=

Ot

si

cum

'

Probelemeie

4

-

35 contin baremele e

corectar€-



DO este naryme

t AD/E rcznh' AD

=

DE.

(2 p);

l) in

triunghiul IDC,

m(+DAq

-

rcO',m(aACD)

=

20',

deunde

m(+,4Dq

=

60". n tiunghiul soscel CD4 m(4DCn

=

2O',

de unde n({FDO

=

80".Decim(4EDn

=

Iri/{FDC)

-

- n(aEDq = 20",m(aDFD = 80"

si

m(+DtF) = 180"

m(aEDF) m(aDFq

=

80".m(+rtF)

:

t\(aDFD

implceADEFestesoscel.2p)

c) m(+FBD) m(qFDB)

=

4(},

deunde.BF FD. Dat

FD

=

DE

=

AD irnpl:LcAF

:

.4D.

Q

:

BC=CF+BF=CD+DA.(rp)

/ t \2 1

40.a)a *

.

i L +

>

0. V

y

€ lR 1lp)r inat izare- l ,

t 2/ 4

reR.(p)b).f

|=1x-y11f

+ry

+

1?1(1p);

inalizare

1p);

c)a;= a/

(1p);

cuagax=l

are oluli i le:1;0;1(1p);Decin

:3

9i

A:

{-

1;

0; 1}.

41. a) Acoperim

dreptunghiul

u a ,

pitrefelele

cu latu? I

(1p);

existi iconformprinctpiului

ui Dirichlet

doua

puncle

n

interiorulsaupe aturileurui piftAtelcu diagonahnA (tp);

z dreptunghiuri

Fig. 5

b) Acoperim

dreptunghiul

u dreptunghiuri e

au dimensiunile

z

gi

r dispuse a

in fig. 5 ahturatd

1p)

Existe

Dirichlet)

doud

puqcte

situate

in interiorul unui dreptunghi sau

pe

lahui. cu diagonala

e lungirne

,Fl

*fi

1tp1,

c) Ecuaia esre

echivalenticu

a

,

(a

-

2b

+

2)

=

0

(lp);

Ecualia are solulia

(0,0) (lp); finalizareta,b) e l(o,o),Qhk+1),1> ).0p)

42.u144'

4-r*A

= 1

15au

hales u

reoremalsectoarei)

b+c 2 b+c

46



BA'

c

".

,

^, ,

ac

, , -

ab

A,C=r.

oe

unoeEA

=

b+crtA

C

=r_.

(1p)

Deci

AA' AB'

.

AA'

AC'

A,C' -

B,Ci t A:B- C,B.

de unde

tezul la

cd

\A

B'.

respectiv l'C' sunt bisectoarele nghiurilor IAA'C Si

4AA

B. adicdmt4}/

C

)=90' .

61qi1

' r= 9= ,

deunde,4

=

- "

,

c4."=cn

=".6.un6" a =77.;

b'c

A'F B'A

c h+r

prin

umare, A'E

:

A'F.

(2

p)

ii)

n(aFAE)

-

9go

gi,4A'

medlandin EAF rczuhA A' = A'F 9tAA' = A'8. AA' = A,F

impllci 4A'.4F

=

+A'FA

Si

otm

AF

ll

A'B' rc

jJtl.

4FA,4'

=

=

48 A A

ti

48 A C

=

<4FA.

& wv:le

8 A

A

=

48 A C

Si

-:_

=: =:a

-

adicaAA'

A'C B'C A

2bc A

$1

urn,{ l

:

r*" .or t

+c

,e^lta

"o.{

=

].

Oecin(aBAC:=

t20".

22

43.

1. M estede forma

4f

+

2, k e

lN,

deci M ru

e

pitrat

pefect. (2p)

N estede fofma

4[

+

3,

*

€

lN,

deci N nu e

pntrat erfect.

Q

2.

p2

=

t.

('7

+

t),r €

lN+

(1p)

r,

7/

+

l)

=

l

implici

=

s'?

i

7r

+

I

=

/2,mde s, / €

hl*.

(1p).

De exemplu:

t=9implic6,p=24.(lp)

44. a) PerimetrulAA'MC estemiDjm implic:aA'M + MC este

mioim. (1 p)

Prin

desfigurare ez,r.ltiL

M

=

a.

(tp)

b)

prin

analogie

cu a) rezultd D

1y'

=

a.

(lp)

A'MCN paxalelogrurl

impliciL ',

M

C, a/ oplanare1p)

c)

A'M n AB

=

\El.

(tp);

EC I

PC.

(lp);

'C

r

CC' implicd

EC

I

(PCC),

adiczt

tA

MC)L\PCC).

tlp)

45.d n

n

I

Q r O implicd:

l. / c

lN+

ll,

astfelncet

yr = y' e

o.

(2p)

a) lo

=

y'u,

V

d

e

lN*. Deoarece

x

e

{0,

l} rc

tltd, AX n

y

are

o inlinitate

de elemente.lp)

47



b1 t te.e:ya

e

e

9i

k1=d>

I impticarde

;yde e. de

lrJ],de

-f

e

O.

flp)

c)

presupunem

e,r,€

O,pprim

gi

z €

N*

ctr h

<

p,

de unde

(r, p)

=

1

(lp).

(r, p)

=

I implicn

u,veZ

astfelncet u

+

vp

=

1.

(lp)

(sauaplicareauccesivl teoremeimpi4irii curest). lp)

Deci

=

x,,.

up

0f),

.

(/), €

e,

contradiclie.lp)

46.C]JJm6+f+

2=

b

+

4+f

rczrltd.ab

=

14.Din

3a

+

14

=

=

e+d*4

=

18

+/

=

q+

e+6=2a

+d+

12obfinem:

f=

3a-

4,d

=

a

+

2,e= 2 d

+

8,Deo4recea*4

e N atunci

a

>

2,

+ d aturLci

* 3, e

=

24 at\x\ci2a

+

8

S

24

qi

a

S

8,

f*bann\eia*6. Se bline e {5,8}.

47.a)27

53 mpliod\zt{o

5500,eunde

#r#

,,5

1 5 6

| 6

7 | 7 2005 I

2005

o,

-=-.- :

-=-.- :

-=-. - . . . . . -=- .

-

6 2 3

8 2 4'10

2 5"4006 2 2003'

5

,26

27

.2

2005 2

-

=' -J;4

='+a;,

=' - ; . ; . . , ; rb6J

f

- .

^222

2

L'ar

>->->., .>-

etc.

345

2003

I I ' ' ' 41 47

4E.a)

i<:,

3r

; , , . . ,#. ; ;a

r i

'npl ice

r 2

63 I

r1 r) r l l \

v*v*

*eF'1*l.] ' ; ,J

' l t . - tJ.

(1

r t \ r r

. . .+

-,

- : - : - , . .+

j -

l<

-2,--4. :+. . .+:Z.I

=

Sf

.0.

\J4 35

64)

2 2 4

32 2

'

b)

Presupunem

A exist5 o alegere

ca in enunf

gi

fie n cel

mai mic

dintrccele

zecenumere. tunci'?

+

(r?

+

l)

+... +

+

(,

+

9)

=

5(2,

+

9). Cum fiecare numir

considemt

ace

parte

din

patru

perechi

de

numere iar suma

hrturor

numerelorse divide cu4 rezulti 4 / 5(22+ 9), absurd.

48



49.

/ Fig.6

a) n(<ABO)

=

15",

n(<BAC)

=

m(<BCA)

=

30' de unde

m(<ABq

=120"

^t

n(<CBD)

=

n(<CDB)

=

180'-

120'-

-

15'

=

4s'.

(fig.

6)

b) ACDE fiind

echilateral,avern

m(<CED)

=

60'

9r

CE

=

CD

n(<DEF)

:

30"

de unde m(<Ct4

=

90'.

Cum MCD

=

=

ACEF

ezult,concluzia.

c) MoB = ACEB L.U.L.)>

[OB]

=

[rr]

:+ n(4.BEF)

'15"

=

=

n(<BFE).

Tiunghiul

AOEF fiind

dreptunghic ezulti

cA

BO

_

BF.

50. Considerdm,

iri a restrange

eneralitatea

roblemei,

i

a

<

b

<

c. Ipoteza este:a/b

+

c, bla

+

c,

c/a

+

6, de unde

b

+

c

-

ax,a

+

c

=

by,a

+

b

=

cz, ,y,

z e N' iara+

b

+c-

- a(x + 1) = b(j + l) = c(z + l). Oblinem ecuafia:

l t t

-+-

, l --- : ;=1.,>y>z

Dinul l ima

ondi l ie

lem

x+r

y+t

z+\

-1111113

x+l

y+l

z+l r+l

y+l

z+l z+l '

vrdez

<2,darz

e

N', rezultdndiz= I adicd,

+

b= c.

51.a).x

9 10,t=

10. l1,z= 11.

L,

I

(*+1)- t

I I

k lk +t)

k(k+l)

k k+l

c) Luam

r

-

,(r+1),

12

=

(n+l)(n+2),

.., xleee

(n +

1998)(r

+

+

1999),

xzooo n

+

1999.Ecualiadevine,conform

,):

11111111

n n-l

n

11

n-2 n 11998

n -1999 r-1999 J'*'

oeunoer=J etc.

49



52.^) Clttt

ADMC

*

LXDC rezlltx

DM

DC

DA

2DM

xD

=

xc

'*

DC-= DC

'

. ,^

XC..

DA

DX

IL =- obFrem

E=

yC .q@4Dn -

/

=

90' - m(<Dnd)

=

m(<DCM

->

LDAX

LCYD.

rig,7)

b) Din asemanarearccedentt

vem

({XAD)

-

rn(<CDl).

n(<AHD)

=

l80o

-

lm(<IIDI)

+

m(<IllD)l

=

90., de

undeAX I DY.

53.

Numerotem

elaliile

n ordinean

care unt cdse.

in

(1)

$i

Q) rcmltd 8x"- 4 J y iar cu relaJia 2) glsimy = 3l - 4.

Folosind

patra

elalie41-

l)'?s

0 or.

{-1.1}

|

2

2)

Obl inem

=-2

t i

z2

>

2.Du

|

-""

) I

- 2 deunde

AA

, ,=1iu.

I_s.."sJ"".

| 2 2)

54.

a) Deoarece

MBC

-

ABCD

^

rez;JtlBC=AB

CD,dat

C

=

=

(CD

AB)2de,rnde

SC

=

Cd

+,48

= SAC

=

UB

+

CD\z

sauBCr6=

AB

+

CD

9i

cum

BC

=

AB

CD reztlta

AB

CD

Ji

=

BC(AB

CD)

9r

cottcluzia

stemediat6.Iig.

8)

u l - l=_L,a.

L+

I

- \6 6"un4"1=

AB CD BC'

AB

CD RC

"--

CD

- , .

cD

2

.,6_l

lar

pnn

mllonallzare.

BC

.ls

_t

2

55. Cu substituli i le

=L,6=Z,s=1,

r,

J.,,

>

0, se obline

yzx

:+1-+1-1-L_2:_t_

"1_1

<3

sau, echivalent,

yzxzzy)czxyxy

50

Fig.7

{ )

- l

:



03xt + y3

+23+3ry2-*z-fy-yrz-zrx-zry

care

se

reduce

a

cunoscuta

negalitate:

(x +

y

- z)(x

-

y

+

zr(-x

+

y

+

z)

S.lrz

{'),

in a

cirei

d€monstalie

seutilizeaze

negalitat€a

mediilor.

Observalie Inegalitat€a (*) reprezint?iproblema 266g din

Matematika

v

Skole,

prry]us'

de Selibenov.

56.

Daci

m

>

0 atunci

ftncfia

f

este

sAict

crescatoare:

flr)

=

2006,

^2)

=

2007,

-.,^20os)

4o1o,J{,

'

+

2005,

In

condi$a

rt

<

0, frrnclia.;f

este

strict

descrescitoare

cu

nD-

4010,^2)

40f8.,...,fi2005)

2Cfl6,flx)=

;c

+

40l t_

n

ambele

azuri/(1003)

3008.

Alegem

a:

1003,

=

3008.57.a) Triunghiurile

din

vtufitrrle

A, B,

C, D,

A',

8,,

C', D'

pot

fi numerotate

u: 5;

8; 3; 0; 6;

9; 4

Si

rcspectiv,

.

b)

Suma

este

9.

c) Nu.

Numerotarea

steuDiceqi

contine

cifra

0.

58. a)

Conform

eoremei

mpir.tirii

cu rcst

avem:

a

=

7c

+

5, n

=

llq

+4,

c,

qeN

$i

c= ltd+r,

unde

re

Nl,

r< l l. Seobline = 7.(l ld + r'1+ :71417r + 5. deurde

77d

+

7r

+

5

:

I lq

+

4.

Ultima

relatie

arc

loc

daci r

=

3

si

restul

ciutat

este

26.

b) Cazul

.

A:abc

conduce

a relalB

tola +

llb

+

2c

+

+

arc

=

I

06, care

ru di solulie.

Cazul

tr. A

=;;,

conduce

a

ee]u4ia

la

+

2b

+

ab

=

106<+

<ta(r+ 1l) +2(b+ ll)= 128<t (a + 2)(b+ 1l) = 128.

Cum,

+

1l

> l l, avem

D=5

9i

a=

6,deunde

=

65.

Cazul^Ifl.

=

a,

a cifr,

trudi solufii.

59.a=2' ( l

.2+2.3+3.4+.. .+

1002.

003)

-

=2' .11 . (1

+

t-)+2-(2

+

l)+ 3.(3

+

l)+. . .

+

1002

'

(1002

l) l - -2 ' .11'+2'+3"+. . .

+

1002,)

( l

r

2+3

F

+

...

+

lD02)

=

4b

+

4. 501

1003.

cum b > I + 2 + 3 + ...+ 1002 ezultii catuleste

egal cu

4

ri

lestuleste

010012.

60.

Presupunem

i

existi f

€ N astfel

ocet:

5l



2k< n < n

I

I

<

n

+

2 <

. . .

<2n

< 2k*

.

( l )

Dl I-2n

<2t*

|

reztt1t6, <

2k

qi

oum2' <

r, contradicLrer

61.

Notam cu a, ,, c,

d numerul

geinilor,

curcilor,cainilor

$i

vileilor din

gospoderie.

vem

relatiile: ,

+

4c

+

8d

=

22

(l)

tr a + 2b + 4c - 24. (2) Scdzandelaliile 1) Si(2)partecu

parte

se obline

a 8d

=

2.

Din

(2)

rezulted < 2.

d

=

|

conducelab

2c=1>ia

|0 iar

b

=

I

c

=

3 sau 3;c 2

sau

:

5;

c

=

I. Dacd

d

=

2, at|tncl : c: I

$i

a

=

18etc.

62.

^)

AHDE

=

LFGB

Si

LHKF

=

=AECB

I.

U.), de unde

DH

=

FG

Si <F=CB.Dreptunghitj/jleAHKG

lr

ADCB

a1)aceeagi

rie, deci

AG

.

AH

=

AB

AD

(fre,g)

b) DacF,

G

=

AII attxtci

AH'

:

144

=

:

122,de.r\de

AH

=

12. Afitati

cADE=6.

63. )etst=1+f- . . -

=

2281

-

22 1.6"

*6" o

=

22g3.

| 2 8 840 2 ' .105

b

=

3

li

c

-

105.

Altd abordare onsti

n a arAta d ultima

flaclie din A(8)

este

ingura areseamplificecu un num[r

par.

2ffi61

2ffi61 zUXt.

20061 20061

-+-+-+. ' '++

b)A=

3 2ffi5 2QM

,

unde

2ffi6

nl :1 2 3' . . . .n .

Numfudtorul

racfiei nu

se divide cu 2003, iar numitoml se

divide cu 2003,

deci A

esteo fraclie

periodici pentru

cA2003

este

dm.

AIe

abordaxeonste

n ideea e a

punctul

a).

4(2006)

gj]t g

e

rN,

par

64.b) Daca

ordm

- -" . r"urur i "1

ot bt

b a

l -+--r=x

-Jx

l l

.jr> 2, apoi

seaplica

a).

52

Fig.9





este inie mijlocie

h AIBC

9i

(GF)

linie mijlocie n MBF.

GF

ll

BI implicA

(<:AFG): l5', decim(.<GFD)

60'.

^^

BI CI AC

._

vl l :

_=_=_=

DF etc

222

67. a) | a

Z

=

{2001

2002}

mplicd:a

>

2000,, < 2003.

Dar

a <

D conducea

la

- 20001

lb

-z0o3l -

lb

- o1

=

=

(a

.

2000)

+ (2003

b)

-

(b

-

a)

=

2a

-

2b

+

3.

b) 4xa

+

?

-

3.r

+

I ) 0 e l6ra

+

4;

-

tbc

+

4 > 0 €>

<)gi

D2

3ex-t

f

> 0.Dar

41-

t)'> 0;

zr

t)'z> etc.

Egalitateare oc cetrd-r l.-2

68. a) 13

5y

=

2 <> S

=

5,

+

2-

(t)

DacA

esturile mpa{irii lui

r la 5 sunt 0, l, 2

sau

4

atunci rcsturile mper,tirii

ui

"/

la 5

sunf 0, 1,3 sau

4 Daci x- 5k+3

(k

e

4,

aimci

l

=

I,Ij

+

2.

(2)

Relatiile

(1)

9i

(2)

implicl

(x,

l)

e

16k

+

3,

25t?

+

+

458

+2'7k

+

5)j,nnde e Z-

b) Dacda

=

D sau,

:

c saua

-

c, atuncia

=

D

=

c,

pentru

cd.

, b, c e [.,1. i"

4:4=+

rezrltd,

n't

=

b".c.(l);

cab

b"+t cn

.

".Q);

{*t

=

{

-

b.

Q).

Relal i i le

a

<

D

<

c

ai

a <

c

<

D contazic relafia

(1)-

Rela,tiile, <

d

<

c

Si

b < c <

a

contrazic

relafia

(2).

Relalille c < a <

b

;i

c

<

b < a conttzic

relat ia

3).

Deci

a=b=c

Si

arc €

{ l1l ;222;333444;

555;666).

69. ,)

Frc D'2

qi

Di simetricele

punctelor

D2

$i,

rcspectiv,D3

fale

de dreapta CC3. Din

paralelogr^n'ale

ADCtBj

9i

DCD'|Cy

rcztltA A\

,

CD'. deci

<(A&,

CDz)

=

<DzCD'y

AD3D2D',1

ADCD|

(C-C.)

= m(<CDrDi)

=

90"

fi

D2C: D2D'3, ewtd.e

D2CDidreptunghicsoscel

$i

m(<DzCD'r)

=

45"

(fig.

lta)

b) PieAC o BD

=

{O}

cu reciproca

eoremeiui Pitagora

n

LOB

Pz

se

2Jat1,

6,OBt L BtDz-

(l)

54



Flg. I I

IInlcl

(tDrr)

ti

oh

c

(BDB)

carhe.c rohQ)

Din

(l>ii

(2)

rezultl

d(lc, BDz)

=

OBt.

Din AOBB: e

^-t7

blioeOrr = ::: .

z

c) Fie

Or, M', N', P'astfel

ncat:

Olj

=

A1Q

n Bp;

MM I(ACC);

NItlL(ACC):PP' @CC)

(M,N',P'

(,4CC))

$i lNt\

-

P'^,t

^

OOr

tig,

11b).

Se

allttrci: .41

€ OC;N' e

(OO)

Si

P' e

(OtA).

O1P' O1A1- lP '= " l ' -^ l '=5 t"- '1 ,

222

t: t; r:

oM

=

oC

-

14'6

z

- 1o-

1

= 4.

222

LN,otp'

^N

ov

lr.t.u.s

-

9 -

-

o:

.

'/--{

6..urdq

OV' ulr

99. -n oV

'.ceuiNl

u ' )rMe(, ' r lPl .

oN, \'

55



Proiec9a

,44lPpe

planul lCC)

esteun

segmentnclus

tr

drcapta

P', deunde

MND

L

(ACC).

70, a) Numerele

+.,/7

sunt

pozitive,

Pentru

=

20,

-

.lL

-

0,

celelalte

9 fiind

negative.

entru.x

2', se

oblin

96 de

numere

egativer

-1f,..., r

-

Jii6'1.

pentru,r

22.

e

oblin84 de

nurnere

egative

r

-Jj7,...,

r-Jio0).

p"nt-

r

=

23,

eobtin

36denumere

egative

.r

- J63

,.

.,r

- Jf

OO

.

DacA

> 4, oate

umerele

inM

sunr

oarrve.

b)

x+JF

Xx

-v[

)

=

I0r

-

e =p

=

I00.99.. . . . .

.1.

poi

p: (1.2.3. . . . .98.99)100,

c)

' +Jtl +

r

-J;

)2=

*

+

D

= s

=

zoo

+2

0

+2+

+

3

+...+99

100)

89900

10100=

00000.

71.a)lW-

Iq<

MP<

MN+NPel<n<4gsunt

47denumere;

b1252 242

72

+ tn(+t,t1'=

00

+ m@))'=

900.

c) Deoarece

52 242

+ nz

un singur

(r

= j)

fiimu:eazl-

triunghi reptunghic.

en'trJ

<h<'1,n2

241

ZS2.yorr

5,

valo

perltJu

riunghiul

obruzunghic,

enru

z ) 8,

n'

+

24'

>

25'

5i

n'

+

25"

>

24'.

pentru

a obline

riunshi

obtu^zunghic.l

rrebuie

t sarisfaca

negalitatea

2

>

24t.

+

25'o h>

^ll20l

=34,6...

+35 z < 48.

Se $in

rc514 alori.

a)* = : = ; : = ' "i; . Deoarece49i25sunr rimentre

l ) h

24 n+49

ele valoarea

omun[

a rapoartelor

este nunirul

nafural

gi

,?

+

49

este n

divizor l lui

165

=

3.5.11.

Av6nd

9i

50

<

k

+

49

<

98,

se

obl ine,?

49

=

55,apoi

?=6.

72.Da@ WN:90u, anrlilciABC= '

=

1800,

eea eeste

bsurd.

Iig

12)

DacdBMPN

ar

fi romb,

atunci

56



BPIAC;

cee^d

e at

contmzice

unicitatea

peryendicularei

i[

B

p

AC.

in

triunghiul

4rt

bisectoarele

in

,4

9i

B

suni

concuente

iII

M.

(EM

ta

fi

cea

de

a

teia

tisectoarg;

4WB -

;

4AEB.AE Il BC =.> 4AEB = 4CBE :+

?. 1YB

=

+EBN

>

w

llrlv

Analoe,

pllBM.

Deci,

,,141y'

este

un

paralelogram

73.

AC

=

3, A'B

=

2Ji qi

BC

=

|

-,q,C

=,4,8

+

aC

=>

=+

+A'BC

=

90'.

Analog

4A'BD

=

9f .

ABM:B,

CBJA,B

i

DH-4'B

d'AB=

drBC

=

.&BD=rA.B.Cfl Dcoliniare.fu r3j

A

Fig.

13

74.

)E

(- t )

=-8;

0r

] :

r t r r

=.1

b)

611-x1=Jl

.1".

9

3

J

2t4.-" '

c) Sumaare 4008rermeni.Din b) rezuhaca sumaa doi

__

ermeni

galdepanalr

ecapete

ste

DeciS

2004.

/J.

a)

Numarut

steldacaa=b.c.d. \umarul

poale

i

2

pentru4=c;

b=

dsa:oa=

d;b

=

c.

Numirul

nu poate

i

3

sau 4,

deoarece

up6

o eventuald

simplificare

am

obline

ca

_ ,

un

numit par

ar

fi egal

cu un

numir

impar.

76._Fie

D,

E, F proiecliile

punctului

1 pe

laturile

triunghiului.

Rearltecn,D. BC - IE. CA /F. lj : 25.Urilizdnd

;sah;;

intreperpendiculare

tioblice

$irelafia

in

poteza

vem:

D

=

M

E

=

N, F

:

P

<> I

=

O

<.>A

ABC

echjtatei.l.

57



77. b) Ditr virful

unghiului obtuz trebuie se

plece

o lihie

$i

aceastanu

poate

ajunge

a latua opuse

pentru

ce ar da un

nou biunghi

obtuzunghic de imp64iL

Se

va

opri

intr-un

punct

nterior

phcii.

Din

acest

punct

trebuiesi mai

plece

rninim 4 linii pentru a nu avea unghi obtuz. Acesteapot

aJunge

cate una

pe

fiecare lature,

dar

pe

una doui.

Patrulaterele

e

vor

taia Ininimal n triunghiuridupe

diagonale,

eci 7 linii. c) Este

suficiento

iniltime petrtru

impariir

doue

laci

reprungbice.

CONCURSUL NTERJUDETEAN"Micii matematicieni"

l . a)n=

12'1+I)+(2

2+ l )+(2.3+ 1)+(2.4+ l )

+. . .+

+

(2

1000

1)

+ (2

.

1001 1) 2

-

4

-

6

-

8

-...-

2000 2002

-(2+4+6+8+.. .+2002)+

I

+ l .+. . .+l

-2-4

6-8-

-.

.

-

2002

=

1001. ) Jumdtateir apdcantereqte5kg etc.

c) 0,0); 1,0) ; 1,

1) ;

0,

1) ;

0,2) ; 2,

o) .

2. r

=

3000.b) Mihai a a\ait 110 irnbre;Andrei 105 imbre

$i

Ioana145de imbre.

3.^) ABH,

ABE, ABF,

ACD, ADE, AFG,

AGH, ACE, ABC,

BFC.BGD.BHE.

ABG.ABD.AFH

-

l5 triunghiufl.

b) Iezii aveau

1 an, 2 ani,

qi

,

respectiv,3 a.11i.

Lapra vea l ant$t upul / anl.

4,^)

20.b) 29.c) i20,

111, 02,2r0,201,300.II.a).b)

primul

nurnir este260,

al ll-lea ste200

pi

al III-lea esle

1

00. c) 36

$i

9.

5.a)1) 20 de numere; )

60 denumere. )

1992.

6.8. f

%.

deunde

=

2sau

"

1.E=7imp1tca1L-5=i.

de

unde

=

I

9i

4

.

I areultimacifd 5, mposibil.E

:

2 implcn

7 1,+1:E,deunde

L-3.4 A+L=5s t4 ,4+1=5sau

4' A + | = 25sa]d. A+ I = 35,deundel : I sau,4 6.

A= 6 impllcd2A

>

10, mposibil

pentm

ci P

>

0.

T.DeclA: I$i3 R

=

5 sau

.

R

=

4

,

de

unde

R

=

5

Si

P

=

1.

58



Avem:

11513232

t513232

513232

t3232

3232

232

32

2

13556426

BAREM DE CoRECTARE

8. a) 14395.

3p);

b) 108, 26, 144,

162, 80,216,234, s2,

270,306,324,342,60, t4, 432,450,

504, 22,540,612,

630,102,720,

810.

3p);

c) Produsul

ifrelornumerelor 3,

62, 34

tr

26 este12.

ip);

Produsulifielor

ui 15 este .(1p);

Ttrrru.ul{e 15.

lp):

I punct

inoficiu

9.a)a+ l0+ 5: a+ c

+

8,deunde

=

7.

(0,50p)

Suma umerelor ediagonalieste 1. (0,50p)

a+'7

+

d:2l ,d,eDnde

6.

(0,50p)

10

+

7

+

d= 21,

deunde = 4.

0,50p)

5+z+9:)r . lc , ,n/F ,

=

R rOsonr

Finalizare

0,50p)

b) 3 dreptunghiuri

i

5 triunghiuri

1,50p)

6 dreptunghiud

i

un hiunghi

(1,50p)

c)

6

lt

l----],

so

2r+50l--#

6,

+

I 8 r-r-----r----r----+--+--{--Tl-r

1r= (50 18) 4, z: 8;

m:8.2+6.

1 punct

din oficiu.

(0,50p)

(1p)

(

1p)

(tp)

59





a+ b= 12$i +

b

+

c

-

l8 conduce

a c

-

6. . , . . . . . . . . . . . . . . . .0,50)

6+9+d=18

,+6+3=18

6+a+9=18

3+9+e=18

9+6+/-18

6+3+g=18

conduce

a d= 3 ...................0,50)

conduceab = 9................-..0,50)

conduceaa=

3...................

0,50)

conduce

a e:6 ...................0,50)

conduceajr=

3 ....................0,50)

conduceag

=

9 ...................0,50)

din

supmfatd................p

dinsuprafald

................p.

Tabelul omDlet

ste

sae:

6 3 9

6

3 9

o 3

9

(0,50 )

I

punct

inoficiu

13. ) 1. 13

+

15

+

l=29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

.

2. 16

+

13

+

1- 30.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

.

3. 16

+

l5

+

1= 32.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

.

b) in ziuaa7-aeste coperite din supralaF........... p.^2

- in ziuaa

6-aeste coperittr

-

in ziua

a 5-aeste coperita

14.a)0 6+0:. . . . (1p)

1.6+l=7.. . . ( tp)

2.6+2=14.. . (o,sp)

3.6+3=21

..

o,sp)

4.6+4:28.. . (0,5p)

5'6+5-35.. . (0,5P)

h) ABC,

ABD,

ABO, ABE, ACD, AOD,

BCO, BEO,

BCD,

BHD, BCH,BCE, BGI, COD, CEH,(15 triunghiuri) ... (5p)

Din

oficiu 1p.

l

4

I

8

I

punct

di

oficiu

6l



15.a) l l

+2-(5.b+

3c)>

11

conducea a

<7,

deci

a= t . (1p)

2'(5b

+

3c)= 66 cottducea 5,

+

3c

=

33.

(1p)

b=3,c=6 b-6,c- l . ( tp)

b)3. I + I =4;3.4+ I : 13;3 13+ =40;

3

.40

+

1= 121.

3' l2 l+ l=364.

3 364+l=1093.

( lp)

(1p)

(1p)

3.1093+1=3280. (1p)

c) Cel mai mic num& naturalscriscu trei cifre

diferite

care

(

1p)

(1p)

Din oficiu

p.

16.

Numdf,ul aielilor 5mati dupi ce au trecut eul cei 20 de

bnieti.........................-......

-r-+.....................(2p)

NunAruliietilordin

nrp.-.+

-'''0".......,..

ZO)

Numirul blielilor rimaf dupi a

II-a

traversare

. p)

r

- -?9

+-t....reprezinti.. .

t*--t...............(2p)

t..-....r

reprezinti 20 de btrie1i.

(1p)

Lascaldatu

plecat:

0

+

20

2

=

60

oiieti)

o,noar"r.l1oJ,

sh

aresuma ifrelor 1 este128.

Numirul cdutat ste 72.

62

TE{E{

tploaded

ustefso



Date post:	02-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	sorina-matei
View:	255 times
Download:	2 times

Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida

Documents