95
Referent ştiinţific : Prof.dr.Viorel Arnãutu , Univ.Al.I.Cuza – Iaşi
| Date post: | 25-Jun-2015 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | biancacrut |
| View: | 262 times |
| Download: | 8 times |
Referent ştiinţific : Prof.dr.Viorel Arnãutu , Univ.Al.I.Cuza – Iaşi
2
BIANCA CRUŢ
APLICAŢII ALE POLINOAMELOR DE INTERPOLARE
3
Cuvãnt înainte
Cartea de faţã prezintã câteva tipuri de polinoame de interpolare cãt şi metode de aplicare a lor în analiza de liceu . Lucrarea conţine proiecte didactice referitoare la aplicaţii de tip numeric în materia menţionatã . De asemenea am conceput programe în Turbo Pascal pentru diverse polinoame de interpolare şi aproximãri ale funcţiilor . In ultima parte am prezentat un model de aplicare a polinoamelor de interpolare în practicã unde se poate vedea legãtura strânsã a matematicii cu alte domenii . Aş dori sã mulţumesc profesorului dr. Viorel Arnãutu de la Universitatea Al.I.Cuza Iaşi pentru îndrumare . Autoarea
4
Cuprins 1.Noţiuni generale 1.1 Diferenţe divizate şi proprietăţile lor 1.2 Diferenţe finite şi proprietăţile lor 1.3 Polinoame ortogonale 1.4Cea mai bună aproximare a unei funcţii în raport cu o seminormă 2.Interpolare polinomială 2.1 Polinomul de interpolare Lagrange 2.2 Polinomul de interpolare Newton 2.3 Alte polinoame de interpolare 2.4 Interpolare Hermite 2.5 Interpolarea funcţiilor de două variabile 3.Metodele numerice în programa şcolară de liceu . 3.1 Aplicaţii ale integralei definite – aproximare numerică a ariilor , volumelor ,lungimii graficului 3.2 Proiecte didactice 4. Programe de aplicare a metodelor numerice pe calculator
5
Capitolul 1
Noţiuni introductive
1.1 Diferenţe divizate şi proprietăţile lor
Fie f: [a,b] → R o funcţie cunoscută doar într-un sistem de noduri
{ } [ ]bax nii ,0 ∈= distincte ( pentruxx ji ,≠ i ≠ j ) numite şi noduri de interpolare .
Definiţii :
1. Se numesc diferenţe divizate de ordinul 1 mărimile :
[ ] 1,0....,
)()(, −=
−
−= nipentru
xxxfxf
xxfji
jiji
2. Se numesc diferenţe divizate de ordinul k+1 mărimile :
[ ] [ ] [ ]1
111111
,...,,,,...,,,,...,,
−+
−++−+++−+− −
−=
iki
kiiiikiiikikiii xx
xxxxfxxxfxxxxf
pentru kni −= ,1 Tabloul diferenţelor divizate se construieşte de obicei astfel :
ix
f( ix ) De ordin 1 [ ]1, +ii xxf
De ordin 2 [ ]21 ,, ++ iii xxxf
De ordin 3 [ ]321 ,,, +++ iiii xxxxf
De ordin 4 [ ]4321 ,,,, ++++ iiiii xxxxxf
0x
f( 0x )
[ ]10 , xxf 1x
f( 1x )
[ ]210 ,, xxxf [ ]21, xxf
[ ]3210 ,,, xxxxf 2x
f( 2x )
[ ]321 ,, xxxf
[ ]32 , xxf 3x
f( 3x )
4x
f( 4x )
[ ]43 , xxf
[ ]432 ,, xxxf
[ ]4321 ,,, xxxxf
[ ]43210 ,,,, xxxxxf
6
Proprietăţi ale diferenţelor divizate :
P1. [ ]kiii xxxf ++ ,...,, 1
( )( ) ( )( ) ( )∑
+
= ++− −−−−=
ki
ij kijjjjjij
j
xxxxxxxxxf
...... 11
Demonstraţie : Prin inducţie după k . Pentru k = 1 avem
[ ]1, +ii xxf = .)()()()(
1
1
1
1
ii
ii
ii
i
ji
i
xxxfxf
xxxf
xxxf
−−
=−
+− +
+
+
+
Presupunem formula adevărată pentru k = 1−l şi să arătăm pentru k = l
[ ]
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−⋅+
−−
−⋅
−=
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
−⋅
−=
==−
−=
∑∏∏∏∏
∑ ∑∏∏
−+
+=−+
≠=
+
≠+=
−+
≠=
+
≠+=
+
+
+
+
+=
−+
=−+
≠=
+
≠+=
+
+
−++++++
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1111
)(
1
)(
1)()(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(1
).(],...,,[],...,[
,...,,
l
llll
l
l
l
l l
lll
l
lll
i
iji
jmim
mj
i
jmim
mj
ji
jmim
mj
ii
jmim
mi
i
ii
i
ij
i
iji
jmim
mj
ji
jmim
mj
j
ii
ii
iiiiiiii
xxxxxf
xx
xf
xx
xfxx
xx
xf
xx
xfxx
inductivaipxx
xxxfxxfxxxf
Expresia din paranteza pătrată devine :
.)()( ∏∏
+
≠=
++
≠=
+
−
−=
−
+−−l
l
l
l
i
jmim
mj
iii
jmim
mj
ijij
xx
xx
xx
xxxx
7
Deci f[ l++ iii xxx ,...,, 1 ]=
= ∑∏
∑∏∏∏
+
=+
≠=
−+
+=+
≠=
+
≠=
+
+≠=
+ −=
−+
−+
−
+ ll
lll
l
l
l i
ijli
jmim
mj
ji
iji
jmim
mj
ji
imim
mi
ii
imim
mi xx
xf
xx
xf
xx
xf
xx
xf
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 1
1
ceea ce trebuia demonstrat . Consecinţe : i) Diferenţa divizată este simetrică în argumentele sale ii) Diferenţa divizată a unei sume de funcţii este egală cu suma diferenţelor divizate a funcţiilor iii)Diferenţa divizată a unui produs dintre un scalar şi o funcţie este egală cu produsul dintre scalar şi diferenţa divizată a funcţiei iv)Coeficientul lui kx din polinomul de interpolare construit pentru funcţia f cunoscută în nodurile nxxx ,...,, 10 este exact diferenţa divizată de ordinul n a funcţiei f. P2.Diferenţa divizată de ordinul k a lui kx pentru x < n este un polinom omogen de gradul n-k ( în argumentele sale ) cu coeficienţii egali cu 1 . Pentru k=n diferenţa divizată este 1 . Pentru k>n diferenţa divizată este 0 .
Demonstraţie :
Prin inducţie după k .
Pentru k = 1
∑−=+
++
++ ⋅=
−−
=1
11
11
10
10],[n
iiii
ni
ni
ii xxxxxx
xxfαα
αα
Presupunem adevărată relaţia pentru k, să demonstrăm pentru k+1 . Presupunem că are loc formula : [ ] kixxxxxf iki
kniikii
k
k
,0)(,0,...,...,...
110
10 =∀≥⋅⋅⋅= +−=+++
++ ∑ αα
ααα
αα
şi considerăm
8
∑
∑
∑ ∑
−−=+++++++
++
++
−=++++++
++
−=+++ −=+++++++++
++
++++++
++
++++++++
+
+⋅⋅⋅⋅=
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅⋅⋅=
=−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
==−−
=
==−−
=
1...11
1
1
...21
1
... ...111
1
111
1
1111
110
110
00
10
21
10 10
1010
...
exp___...
......
.],...,,[],...,,[
__],...[],...,[
],,...,,[
knkikiii
iki
iki
knkiii
iki
kn knkiiikiiki
iki
kiiikiiki
iki
kiikiikikiii
k
kk
k
k
k k
kk
xxxx
onentiderenotarecuxx
xxxxx
xx
xxxxxx
inductivaipxx
xxxfxxxf
ordineaconteazanuxx
xxfxxfxxxxf
ααα
αααα
αα
ααα
ααα
ααα ααα
βααααα
c.c.t.d. P3. Legătura dintre diferentele divizate şi derivatele funcţiei :
( ) [ ]ba,∈∃ ξ a.î. [ ] .!
)(,...,,)(
10 nfxxxf
n
nξ
=
Pentru demonstraţie este necesar să punem condiţii suplimentare pentru funcţie şi pentru noduri . Observaţie : Se poate folosi şi o altă notaţie pentru diferenţa divizată a unei funcţii atunci când nu există pericol de confuzie ( dacă nu apar şi alte funcţii ) : f [ kiii xxx ++ ,...,, 1 ] = [ ] [ ]kiifkii xxxx ++ = ,...,,..., P4. Diferenţa divizată a produsului a două funcţii
[ ] [ ] [ ]∑=
+⋅ ⋅=n
jgnjjfjgfn xxxxxxxxx
112121 ,...,,,...,,,...,,
Demonstraţia : Prin inducţie după n . Pentru n = 2 :
9
[ ]
[ ] [ ] .,)()(,
)()()()()()()()(
)()()()())(())((,
211221
12
1121
12
2122
12
1122
12
1221
gf
gf
xxxfxgxxxx
xgxfxgxfxx
xgxfxgxfxx
xgxfxgxfxx
xfgxfgxx
+⋅=
=−−
+−−
=
=−−
=−−
=⋅
Presupunem relaţia adevărată pentru k ( k ≥ 2 )şi demonstrăm pentru k+1 . Scriem [ ] gfkxx ⋅+12 ,..., şi [ ] gfkxx ⋅,...,1 pentru care sunt valabile formulele corespunzătoare din ipoteza inductivă , scădem termen cu termen cele două inegalităţi , împărţim prin
11 xxk −+ , grupăm termenii şi găsim relaţia de demonstrat . Exemplu de calcul al diferenţelor divizate pentru f(x)=x 3 şi nodurile 0,1,2,3,4 .
ix f( ix ) De ordin 1
[ ]1, +ii xxf
De ordin 2 [ ]21 ,, ++ iii xxxf
De ordin 3 [ ]321 ,,, +++ iiii xxxxf
De ordin 4 [ ]4321 ,,,, ++++ iiiii xxxxxf
0 0 1
1 1
3
7
1
2 8 6
19
3 27
4 64 37
9
1
0
10
1.2 Diferenţe finite şi proprietăţile lor 1.2.1 Diferenţa finită progresivă Δ .
Fie f: [a,b] → R o funcţie cunoscută în sistemul de noduri
{ } [ ]bax nii ,0 ∈= distincte , ( y i = ( )ixf ) de data aceasta noduri echidistante
niihxxi ,1,0 =+= (h>0) . Definiţii :
- Se numesc diferenţe finite progresive de ordinul 1 :
iii yyy −=Δ +1 , pentru 1,0 −= ni - Se numesc diferenţe finite progresive de ordinul 2 :
( )
iii
iiiiiiii
yyyyyyyyyyy
+−==−−−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ
++
++++
12
11212
2)()(
pentru 2,0 −= ni - Se numesc difereţe finite progresive de ordinul p+1 : ( ) i
pi
ppi
p yyyy Δ−Δ=ΔΔ=Δ ++
11 , pentru 1,0 −−= pni
Proprietăţi ale diferenţelor finite progresive.
Proprietatea (i) ∑=
+− ⋅⋅−=Δ
p
kki
kp
kpi
p yCy0
)1(
Demonstraţie : Prin inducţie după p. Pentru p = 1 , avem iiiii yyyyy −=+−=Δ ++ 11 , adevărat. Presupunem relaţia adevărată pentru p şi o demonstrăm pentru p+1 :
( ) ∑ ∑= =
+−
++−
++ −−−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ
p
k
p
kki
kp
kpki
kp
kpi
pi
ppi
p yCyCyyyy0 0
111 )1()1( =
= notăm k + 1 = j la prima sumă =
11
∑ ∑+
= =+
−+
−+− =−−−=1
1 0
11 )1()1(p
j
p
kki
kp
kpji
kp
jp yCyC
= revenim la notaţia k în prima sumă =
[ ]
∑
∑
∑
∑ ∑
+
=++
−+
++−+
=++
++
+−+++
−+
+−
=+++
−−
+
= =+
−+
−−
−=
=−+−+−=
==+=
=−−++−−=
=−−−−=
1
01
1
00
10)1(
1)1(
11
)1()1(1
)1(
11
11
1
1
1 0
1
)1(
)1()1()1(
.:_
)1()1(
)1()1(
p
kki
kp
kp
ipp
p
kpi
pp
ppki
kp
kp
kp
kp
kp
p
ki
ppiki
kp
kp
kp
p
k
p
kki
kp
kpki
kp
kp
yC
yCyCyC
deciCCCformulaavem
yyyCC
yCyC
adică formula de demonstrat pentru p + 1 Proprietatea (ii) ( ) )( i
pi
p yy ΔΔ=ΔΔ Demonstraţie :
( )
( )∑∑ ∑
∑
=+
−
= =+++
−+
−
=++
−+
Δ=Δ−=−−=−−
−−=Δ−Δ=ΔΔ
p
ki
pki
kp
kpp
k
p
kkiki
kp
kpki
kp
kp
p
kki
kp
kpi
pi
pi
p
yyCyyCyC
yCyyy
00 01
011
)()1()()1()1(
)1(
Proprietatea (iii) : Legătura dintre diferenţele divizate şi diferenţele finite progresive
[ ] pi
p
piii hpy
xxxf⋅
Δ=++ !
,...,, 1 pentru pni −= ,0
Demonstraţie : Prin inducţie după p . Pentru p = 1 , avem
12
[ ] ( ) ( )11
1
11 !1
,hy
yyxx
xfxfxxf i
iiii
iiii ⋅
Δ=−=
−−
= ++
++
Presupunem relaţia adevărată pentru p şi o demonstrăm pentru p + 1
[ ] [ ] [ ]
1
1
111
1
1
1111
)!1()!1()(
)!1()1(!!
,...,,...,,,...,,
+
+
+++
+
++
++++++++
+Δ
=+ΔΔ
=+
Δ−Δ=
+
Δ−
Δ
=
=−
−=
pi
p
pi
p
pi
pi
ppi
p
pi
p
ipi
piipiipipiii
hpy
hpy
hpyy
hphpy
hpy
xxxxfxxf
xxxxf
ceea ce trebuia demonstrat . Consecinţe :
1. Diferenţa finită progresivă a unei combinaţii liniare de funcţii este combinaţia liniară corespunzătoare a diferenţelor finite progresive a funcţiilor.
2. Diferenţa finită progresivă de ordinal n pentru nx este o constantă iar diferenţa
finită progresivă de ordin mai mare ca n este 0.
1.2.2 Diferenţa finită regresivă (∇ ) În aceleaşi ipoteze ca la Δ , dăm următoarele Definitii :
- Se numesc diferenţe finite regresive de ordinul 1 : 1−−=∇ iii yyy , pentru ni ,1= Se observă imediat că 1+Δ=∇ ii yy . Cu acestea se pot defini diferenţe finite regresive de ordinul 2 prin :
( )
21
21112
2)()(
−−
−−−+
+−==−−−=∇−∇=∇∇=∇
iii
iiiiiiii
yyyyyyyyyyy
pentru ni ,2=
13
În general , cunoscând ip y∇ , putem defini
1
1 )( −+ ∇−∇=∇∇=∇ i
pi
pi
pi
p yyyy Proprietăţi ale diferenţelor finite regresive Proprietatea (i) pi
pi
p yy −Δ=∇ Demonstraţie : Prin inducţie după p . Pentru p = 1 avem : 11
1−− Δ=−=∇ iiii yyyy , adevărat .
Presupunem relaţia adevărată pentru p şi o vom demonstra pentru p+1 . Vom avea :
)1(
1)1(
111
)(
)(
+−+
+−
−−−−+
Δ=ΔΔ=
=Δ−Δ==∇−∇=∇∇=∇
pip
pip
pip
pip
ip
ip
ip
ip
yy
yyipotezayyyy
Din proprietăţile deduse la diferenţe finite progresive avem :
∑=
−−=∇p
jji
ip
ji
p yCy0
)1( şi
[ ] ppi
p
piii hpy
xxxf⋅
∇= +
++ !,...,, 1
precum şi celelalte consecinţe deduse la diferenţe finite progresive . 1.2.3 Diferenţa finită centrată (δ ) În unele studii se defineşte diferenţa finită centrată .Pe lângă ipotezele iniţiale
anterioare se mai consideră şi un sistem de seminoduri [ ]baxn
ii
,1
021 ∈⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
=+
, în care funcţia
este cunoscută ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
++21
21 ii
xfy
14
Definim diferenţele centrate de ordinul 1 prin :
21
21
−+−=
iii yyyδ pentru 1,1 −= ni
şi în general
21
21
1 )(−+
+ −==i
p
i
pi
pi
p yyyy δδδδδ
Proprietăţi ale diferenţelor finite centrate Proprietatea (i)
2pi
pi
p yy−
Δ=δ
( presupunând că am definit diferenţa finită progresivă şi diferenţa finită regresivă pe întreg ansamblul de noduri echidistante cu pasul h/2 . Demonstraţie : Inducţie după p . Pentru p = 1 avem
21
21
21
−−+Δ=−=
iiii yyyyδ .
Presupunem relaţia adevărată pentru p şi o demonstrăm pentru p + 1 :
21
1
21
221
2
21
21
21
21
1
+−
+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−
−−−+
+
Δ=Δ−Δ=
=Δ−Δ==−=
pi
ppi
ppi
p
pi
ppi
p
i
p
i
pi
p
yyy
yyipotezayyy δδδ
adică are loc egalitatea . Din definiţiile anterioare şi din relaţiile de legătură de mai sus mai putem deduce şi următoarele relaţii :
2pi
pi
p yy+
∇=δ
[ ] p
pi
p
piii hp
yxxxf
⋅=
+
++ !,...,, 2
1
δ
∑= −+
−−=p
kpki
kp
kpi
p yCy0 2
)1(δ
15
precum şi concluziile trase la celelalte diferenţe divizate .
1.2.4 Operatorul de mediere (μ ) În aceleaşi condiţii avem :
2
1
21
ii
i
yyy
+= +
+μ
2
21
21
−++
=ii
i
yyyμ
2
21
21
−+Δ+Δ
=Δi
p
i
p
ip
yyyμ
şi toate celelalte concluzii . 1.3 . Polinoame ortogonale .
Fie H un spaţiu Hilbert ( spaţiu liniar , normat , complet , pe care avem definit un produs scalar ) . Definiţii : - Două elemente se numesc ortogonale , dacă produsul lor scalar este 0 : ( f , g ) = 0 .
- Elementul f ∈ H se numeşte normat dacă ( ) 1,,1 === fffadicaf - Sistemul este ortonormat dacă este un sistem ortogonal şi cu elementele
normate . Un sistem ortonormat este întotdeauna liniar independent deoarece are determinantul Gramm egal cu 1 . Procedeul de ortogonalizare Teoremă . Dacă nϕϕϕ ,...,, 21 este un sistem de elemente din spaţiul Hilbert H , liniar independent , atunci se poate construi un sistem ortonormat nggg ,...,, 21 astfel
16
încât elementele lui să fie combinaţii limiare de elemente ale sistemului nϕϕϕ ,...,, 21 , şi invers . 1.3.1 Sisteme de polinoame ortogonale Luăm drept H = L ( )[ ]bap ,2 , spaţiul funcţiilor reale pentru care există
( )∫b
a
dxxfxp 2)( , unde ( )xp este o funcţie fixată numită pondere care este pozitivă
pe [ ]ba, . Aici vom lua drept produs scalar
( ) ∫=b
a
dxxgxfxpgf )()()(, .
Procedeul de ortogonalizare ne permite să constrium în L ( )[ ]bap ,2 sistemul de polinoame ortogonale nQQQ ,...,, 10 unde nQ este polinom de gradul n , adica un sistem de polinoame pentru care au loc relaţiile :
lkpentrudxxQxQxpb
alk ≠=∫ _,0)()()( .
Aceasta are loc pentru că funcţiile ,...,...,,,1 21 nxxx sunt liniar independente pe [ ]ba, , iar combinaţiile liniare ale lor formează polinoame . Se arată că până la înmulţirea cu un scalar acest sistem este unic . Dacă introducem condiţii suplimentare asupra polinoamelor ortogonale , de exemplu ca să avem coeficientul dominant 1 , sau ca acest coeficient să fie pozitiv şi norma polinomului să fie 1 , atunci sistemul de polinoame ortogonale pe intervalul [ ]ba, dat şi cu ponderea ( )xp dată , va fi unic cu această proprietate . Este clar că dacă schimbăm ponderea ( )xp sau intervalul [ ]ba, vom obţine diferite sisteme de polinoame ortogonale . Pentru polinoamele ortogonale se stabilesc relaţii de recurentă utile de forma : ( ) ( ) ( ) 0)( 1111 =⋅+⋅−+⋅ −−++ xQxQxxQ nnnnnn ααα
unde ( ) ( )
( ) ( )∫
∫
−
−
−
⋅
⋅⋅⋅= b
an
b
ann
n
dxxQxp
dxxQxQxxp
21
1
1
)(α
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
⋅
⋅⋅= b
an
b
an
n
dxxQxp
dxxQxxp
2
2
α
17
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
+
+
+
⋅
⋅⋅⋅= b
an
b
ann
n
dxxQxp
dxxQxQxxp
21
1
1
)(α
Dacă )(xQi este ortonormat , adică ,...2,1,0_,1)()( 2 ==∫ ipentrudxxQxpb
ai
expresiile 11 ,, +− nnn ααα se simplifică , dispare numitorul , şi notând cu
=ki,α ∫ ⋅⋅⋅b
aki dxxQxQxxp )()()( ,
formula de recurenţă pentru polinoame ortonormate devine ( ) ( ) ( ) 0)( ,11,11, =⋅+⋅−+⋅ −−++ xQxQxxQ nnnnnnnnn ααα , pentru 1≥n , iar dacă punem prin convenţie că 0)(1 ≡− xQ , relaţia de recurenţă are loc şi pentru 0=n , deci pentru orice 0≥n . 1.3.2 Proprietatea rădăcinilor polinoamelor ortogonale . )(xQn are pe intervalul [ ]ba, exact n rădăcini distincte . Dacă )()(
2)(
1 ... nn
nn xxx <<< sunt rădăcinile polinomului )(xQn şi )1(
1)1(
2)1(
1 ... ++
++ <<< nn
nn xxx sunt rădăcinile polinomului )(1 xQn+ atunci )1(
1)(
21
2)(
1)1(
1 ... ++
++ <<<<<< nn
nn
nnnn xxxxxx 1.3.3.Ecuaţia diferenţială pe care o verifică polinoamele ortogonale Presupunem că ponderea ( )xp satisface următoarea ecuaţie diferenţ ială :
2)()('
exdxcbxa
xpxp
+++
= astfel încât )()( 2exdxcxp ++⋅ să se anuleze în
capetele intervalului [ ]ba, (limitarea este puternică dar este satisfăcută pentru principalele polinoame ortogonale ).
18
Ecuaţia diferenţială pe care o verifică este atunci ( ) ( )[ ] 0)()(2)()( '"2 =−++++++ xQxQebdaxQexdxc nnnn α ( nα se determină prin egalarea cu 0 a coeficientului lui nx ) . Pentru prezentarea cazurilor particulare de sisteme de polinoame ortogonale avem nevoie de funcţiile ( )pΓ şi ( )qpB ,
( ) ∫∞
−− −=⋅=Γ0
1 )!1( pdxexp xp
şi ( ) ∫ +ΓΓ⋅Γ
=−⋅= −−1
0
11
)()()()1(,
qpqpdxxxqpB qp
1.3.4. Cazuri particulare de polinoame ortogonale (i)Polinoamele lui Jacobi – ortogonale pe [ ]1,1− cu ponderea ( ) βα )1()1( xxxp +−= sunt :
( )[ ] 1,,)1(1)1()1(2!)1()(),( −>+⋅−⋅+⋅−⋅⋅−
= ++−− βαβαβαβα cuxxdxdxx
nxP nn
n
n
n
n
n
. Nu insistăm asupra lor decât într-un caz particular şi anume : (ii) Polinoamele lui Legendre sunt cazuri particulare ale polinoamelor lui Jacobi şi anume când 0== βα rezultând ponderea ( ) 1≡xp . Deci polinoamele lui Legendre sunt :
[ ]nn
n
nn xdxd
nxL )1(
2!1)( 2 −⋅⋅
= pentru n= 0,1,2,3 …
19
Avem : ∫− ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+Γ⋅+⋅+Γ⋅+Γ⋅
≠=⋅⋅
1
1,
122
)1()12(!)1()1(2
,........................................0)()(1 nm
nnnnnn
nmdxxLxL mn
Facem observaţia că polinoamele de grad par conţin numai puteri pare ale lui x , iar cele de grad impar conţin numai puteri impare ale lui x . Formula de recurenţă este : 0)()()12()()1( 11 =+⋅⋅+−+ −+ xnLxLxnxLn nnn Ecuaţia diferenţială pe care o satisfac este :
( ) 0)()1()(
1 2 =⋅++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ − xLnn
dxxdL
xdxd
nn .
Pentru ele are loc formula lui Laplace :
θθπ
π
dxxxL nn )cos1(1)(
0
2 ⋅−−= ∫ .
Dând lui n valorile 0 şi 1 , şi apoi folosind formula de recurenţă obţinem cazurile particulare :
),...157063(81
),33035(81)(),35(
21)(),13(
21)(,)(,1)(
355
244
33
2210
xxxL
xxxLxxxLxxLxxLxL
+−=
+−=−=−===
(iii) Polinoamele lui Cebâşev de specia întâi – ortogonale pe , cu ponderea
211)(
xxp
−= sunt :
pentruxnTn ),arccoscos( ⋅= n= 0,1,2,3…, deci cu 1<x . Avem relaţia :
∫ ∫− ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
≠
≠=
==
=⋅===−
⋅1
1 02
,.......0
0,2
0,
coscos)cos(1
)()( π ππ
nm
mn
nm
mtdtnttxdxx
xTxT mn
20
Formula de recurenţă este : )()(2)( 11 xTxxTxT nnn −+ −= , pentru n=1,2,3,… Se obţine relaţia θθθθ )1cos(coscos2)1cos( −−⋅=+ nnn , făcând substituţia
xarccos=θ . Ecuaţia diferenţială pe care o satisfac este :
121)(arccoscos)arccos2cos()(
)(,1)(0)()()()1(
222
10
2'"2
−=−==
===+−−
xxxxT
xxTxTxTnxxTxTx nnn
celelalte obţinându-se prin relaţia de recurenţă . Se observă deci că )(xTn este un polinom de grad n , cu coeficientul dominant
n2 .
Au fost studiate şi polinoamele ,2
)()( 1−= n
nn
xTxT deci cu coeficientul dominant 1 ,
care se numesc şi polnoamele cele mai apropiate de zero (deci care se abat cel mai puţin de la 0 ). Pentru aflarea rădăcinii facem 0)( =xTn adică
n
mxmxnxn m 2)12(cos
2)12(arccos0)arccoscos( ππ +
=⇒⋅+=⇒=⋅ , pentru
1,0 −= nm , ele sunt distincte şi din intervalul [ ]1,1− (iv) Polinamele lui Cebâşev de specia a doua , ortogonale pe [ ]1,1− şi cu ponderea
21)( xxp −= , sunt :
[ ]21
arccos)1(sin)(x
xnxU n−
+= , n=0,1,2,…
Avem :
∫ ∫− ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠=+⋅+===⋅⋅−
1
1 0
2
,2
,0)1sin()1sin()cos()()(1
π
π ik
iktdtitktxdxxUxUx ik
Făcând derivata lui )(1 xTn+ obţinem :
21
[ ] )(1
1)()()1(1
1arccos)1(sin)1()( '12
'1 xT
nxUxUn
xxnnxT nnnn ++ +
=⇒+=−
⋅+==
Formula de recurenţă pentru specia a doua este : pentru n=1,2,3… Ecuaţia diferenţială pe care o satisfac este : 0)()4()(3)()1( 2'"2 =−+−− xUnnxxUxUx nnn cu : ,....48)(,14)(,2)(,1)( 2
32
21 xxxUxxUxxUxU o −=−=== (v) Polinoamele lui Laguerre –ortogonale pe [ ]∞,0 cu ponderea xexxp −⋅= α)( , cu
.1−>α Sunt date de relaţia :
)()1()()( xnn
nx
n exdxdexxL −+− ⋅⋅⋅−= αααα , pentru n=0,1,2,3,…
Formula de recurenţă este : 0)()()()12()( )(
1)()(
1 =++−−−− −+ xLnnxLnxxL nnnααα αα , pentru n=1,2,3,…
Ecuaţia diferenţială pe care o satisfac este : [ ] [ ] 0)()()1()( )(')(")( =+⋅−++ xnLxLxxLx nnn
ααα α Tot polinoame Laguerre se numesc uneori şi cazurile particulare când 0=α şi deci xexp −=)( , pe intervalul [ ]∞,0 , care sunt : ,...24)(,1)(,1)( 2
210 +−=−== xxxLxxLxL (vi) Polinoamele lui Hermite –ortogonale pe [ ]∞∞− , , cu ponderea
2
)( xexp −=
Sunt date de : )()1()(22 x
n
nxn
n edxdexH −⋅−= , pentru n=0,1,2,3,…
Avem :
⎩⎨⎧
=⋅⋅≠
=⋅⋅∫∞
∞−
−
nmnnm
dxxHxHe nnmx
,!2....,.........0
)()(2
π
Formula de recurenţă este : 0)(2)(2)( 11 =+− −+ xnHxxHxH nnn , pentru n=1,2,3,…
22
Ecuaţia diferenţială pe care o satisfac este : 0)(2)(2)( '" =+− xnHxxHxH nnn Cazuri particulare : ,...128)(,24)(,2)(,1)( 3
32
210 xxxHxxHxxHxH −=−=== Aplicaţii Primele şase polinoame Cebâşev de specia întâi sunt :
.1184832)(,52016)(
,188)(,34)(,12)(,)(,1)(246
635
5
244
33
2210
−+−=+−=
+−=−=−===
xxxxTxxxxT
xxxTxxxTxxTxxTxT
Din aceste relaţii se pot scoate uşor puterile lui x în funcţie de aceste polinoame ale lui Cebâşev .
).61510(
321),510(
161
),43(81),3(
41),(
21,,1
64206
5305
4204
313
202
10
TTTTxTTTx
TTTxTTxTTxTxT
+++=++=
++=+=+===
Se demonstrează că dacă f(x) este continuă pe [ ]ba, , există un polinom
)(xPn unic, de grad n (numit şi polinom de minimax ), astfel încât abaterea )()(maxmin xPxf n−=Δ , să fie minimă . De exemplu , luăm funcţia [ ] xxfRbaf cos)(,,: =→ , pe care dorim să o aproximăm printr-un polinom de minimax de gradul 2 . Pentru cosx avem dezvoltarea
Rxn
xxxxxn
n ∈+⋅−++−+−= ....,)!2(
)1(...!6!4!2
1cos2642
şi folosind puterile lui x scrise cu polinoamele lui Cebâşev de specia întâi , avem :
cosx ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−≈ 420200 43(
81
!41)(
21
!21 TTTTTT
Neglijând acum pe 4T care contribuie în mai mică măsură la formarea sumei (şi pentru că dorim un polinom de gradul doi ), avem :
cosx 20 19244
192144 TT −≈ , sau 2
19288
192191cos xx −≈
23
o aproximare destul de bună a funcţiei cos printr-un polinom de gradul doi .
Pentru x = 0 , aproximaţia este 99479,0192191
≈ , deci avem o eroare de 0,00521 .
Observaţii : Dacă funcţia este definită pe [ ]ba, ,ar trebui făcute mai întâi transformări care să ducă intervalul [ ]ba, în [ ]1,1− , şi invers . Aceste transformări sunt :
[ ],)()(21 abxabx ++−= duce [ ]ba, în [ ]1,1−
)2(1 abxab
z −−−
= , duce [ ]1,1− în [ ]ba, .
De exemplu : Să se aproximeze funcţia 2)( yyF = , cu un polinom de minimax de gradul unu pe [0,1] . Rezolvare : Se face transformarea x = 2y-1 , care duce [ ]1,0 în [ ]1,1− , iar
)(yF definită pe [ ]1,0 , se transformă în
)12(41)( 2 ++= xxxf definită pe [ ]1,1−
Înlocuim din nou 1 , 2, xx cu polinoamele Cebâşev şi avem :
2100120 81
84
83
2)(21
41
)( TTTTTTTxf ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++=
Renunţând la 2T (pentru că dorim aproximarea cu un polinom de gradul unu ) avem :
xTTxf84
83
84
83)( 10 +=+≈
Revenind la intervalul [ ]1,0 , avem :
81)12(
84
83)( −=−+≈ yyxF care este aproximarea cerută .
1.4. Cea mai bună aproximare a unei funcţii în raport cu o seminormă Obiectivul acestei lucrări este de a expune o serie de tehnici de aproximare a unei funcţii oarecare prin funcţii simple , uşor de implementat în calculator , cu proprietăţi
24
bune de regularitate : polinoame algebrice , polinoame trigonometrice , funcţii polinomiale pe subintervale , etc. Mulţimea funcţiilor reale este un spaţiu liniar infinit dimensional , în timp ce mulţimile de funcţii în care se caută aproximarea - polinoame algebrice de grad limitat, polinoame trigonometrice de ordin limitat – sunt subspaţii finit dimensionale . Astfel problema abstractă care stă la baza acestor tehnici este aceea a aproximării elementelor unui spaţiu infinit dimensional prin reprezentanţi ai unui subspatiu finit dimensional . Pentru a preciza însă noţiunea de aproximare şi a putea aprecia eroarea care apare dacă înlocuim obiectul aproximării prin elementul aproximant , este necesar să presupunem că , în spaţiul de funcţii infinit dimensional este definită o normă sau măcar o seminormă . 1.4.1 Spaţii liniare normate şi seminormate . Se defineşte norma pe un spaţiu liniar real X , ca fiind o funcţie RX →:. , care satisface axiomele : (1) Xff ∈∀≥ ,0
(2) 00 =⇒= ff
(3) XfRff ∈∀∈∀⋅=⋅ ,, ααα
(4) Xgfgfgf ∈∀+≤+ ,, Dacă pe spaţiul X este definită o normă , X este un spaţiu liniar normat .Norma induce o convergenţă în spaţiul X : un şir { } ,...2,1, =kfk este convergent în norma . , la Xf ∈ dacă 0lim =−
∞→ff kk
.
Este cunoscut faptul că , într-un spaţiu finit dimensional , convergenţa în raport cu o normă implică convergenţa în raport cu orice altă normă , toate fiind echivalente cu convergenţa pe componente . Acest rezultat este însă specific spaţiilor finit dimensionale, în cazul infinit dimensional convergenţa în raport cu o normă nu induce neapărat convergenţa în raport cu altă normă . În continuare vom enumera principalele spaţii liniar normate care ne vor fi utile . 1) Spaţiul funcţiilor continue pe o mulţime compactă nRD ⊂
Se notează cu C(D) şi este înzestrat cu norma lui Cebâşev :
)(,)(sup DCfxff
Dx∈∀=
∈
Axiomele normei sunt uşor de verificat în acest caz şi convergenţa în raport cu această normă este convergenţa uniformă a şirurilor de funcţii . Dacă n = 1 şi [ ]baD ,= , este un interval închis şi mărginit pe axa reală , vom nota spaţiul funcţiilor continue pe un compact cu C[a,b].
25
2)Spaţiul funcţiilor de m ori derivabile cu derivatele continue pe o mulţime compactă nRD ⊂ , se notează cu )(DC m , şi este înzestrat cu norma :
∑=
=
=∂∂∂
∂=
∈=
n
kk
niii
i
i
mi
m
i
iixxx
ffD
DCffDf
n121
0
,...
)(,max
21
în care normele derivatelor sunt cele ale lui Cebâşev , iar .0 ffD = Convergenţa şirurilor faţă de această este echivalentă cu convergenţa uniformă a funcţiilor şi a derivatelor lor până la ordinul n . Dacă n = 1 şi [ ]baD ,= , notăm cu [ ]baC m , acest spaţiu . 3) Spaţiul [ ] ∞<≤ pbaLp 1,, , al funcţiilor f de variabilă reală definite aproape peste tot în
[a,b] măsurabile şi cu puterile pf , integrabile ( în sens Lebesque ) pe intervalul [a,b] , care poate fi şi nemărginit , se poate înzestra cu norma :
.)(1
∫=b
a
pp
pdxff
Pentru a dovedi axioma triunghiulară (iv) din definiţia normei , vom dovedi mai întâi inegalitatea :
111,0,, =+>∀+≤qp
cubaq
bp
aabqp
Luând minimul funcţiei ,0,1)( ≥−+= ccqp
ccp
ϕ care este 0 pentru c = 1 , şi
punând )1(1
−−
= pabc , obţinem inegalitatea de mai sus , care devine egalitate pentru )1(
1−= pba .
Fie acum funcţiile [ ]baLf p ,∈ şi [ ]baLg q ,∈ .Luând în inegalitatea de mai sus :
p
fxf
a)(
= , q
gxg
b)(
= şi integrând ambii membri de la a la b obţinem inegalitatea
lui Hölder :
qb
a
qpb
a
b
a
p dxxgdxxfdxxgxf11
)()()()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤ ∫∫ ∫ .
Cu ajutorul acestei inegalităţi se poate obţine acum , pentru orice două funcţii [ ]baLff p ,, 21 ∈ , ţinând seama că (p-1)q =p ,
26
qb
a
pqpb
a
pqpqb
a
pb
a
p
pb
a
pb
a
b
a
p
dxxfxfdxxfdxxfxfdxxf
dxxfxfxfdxxfxfxfdxxfxf
1
)1(21
1
2
1)1(
21
1
1
1
212
1
21121
)()()()()()(
)()()()()()()()(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤
≤+⋅++⋅≤+
∫∫∫∫
∫∫ ∫
−−
−−
de unde urmează inegalitatea lui Minkovski :
pppffff 2121 +≤+
Convergenţa unui şir de funcţii în raprot cu norma din [ ]baLp , se numeşte convergenţă în medie de ordin p . În cazul p = 2 este vorba de convergenţă în medie pătratică . Este uşor de văzut că un şir de funcţii uniform convergent este şi convergent în medie de orice ordin , dar reciproca nu este adevărată . O clasă importantă de spaţii liniare o formează cele cu produs interior . Într-un spaţiu liniar X se spune că s-a definit un produs interior dacă există o aplicaţie care duce fiecare pereche de elemente Xgf ∈, într-un număr real notat ( )gf , cu proprietăţile : (a) ( ) ( ) Xgffggf ∈∀= ,,,, (b) ( ) ( ) ( ) XffRgfgfgff ∈∀∈∀+=+ 212122112211 ,,,,,,, αααααα (c) ( ) Xfff ∈∀≥ ,0, (d) ( ) 00, =⇒= fff Produsul scalar vectorial din nR , ( ) nn gfgfgfgf +++= ..., 2211 ,este un exemplu de produs interior. Dacă ( ) 0, =gf ,se spune , ca şî în spaţiul nR , că cele două elemente sunt ortogonale . Din axiomele produsului interior rezultă că , pentru orice Xgf ∈, şi R∈α avem relaţia : (*) ( ) ( ) ( ) ( )gggfffgfgf ,,2,,0 2αααα ++=++≤ de unde
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2
12
1
2
,,,
,0,,,
ggffgf
sauggffgf
⋅≤
≤−
care este inegalitatea lui Schwarz. Aceasta permite să dovedim că : ( ) Xffff ∈∀= ,, 2
1 este o normă pe X.
Într-adevăr axiomele (1),(2),(3) ale normei rezultă din cele ale produsului scalar cu uşurintă , iar inegalitatea triunghiulară rezultă cu ajutorul inegalităţii lui Schwarz :
( ) ( ) ( )222222 2,2, gfggffggffgfgfgf +=+⋅+≤++=++=+ Deci am definit o normă , care se numeşte norma indusă de produsul interior . Dacă în inegalitatea triunghiulară de mai sus are loc egalitatea pentru anumiţi
0,, ≠∈ gXgf ,atunci din relaţia (*) găsim :
27
( )22 gfgf αα +=+
şi luând gf−
=α , obţinem 0=+ gf α adică 0=+ gf α
În general se spune că o normă este strictă dacă are loc implicaţia :
.0,0,,,, 212121 =+≠+∈∃⇒+=+∈ gfRgfgfXgf αααααα Din cele arătate mai sus rezultă că norma indusă de produsul interior este strictă .
Într-adevăr , dacă 0≠g putem lua gf−
=== ααα 21 ,1 iar când 0=g luăm
1,0 21 == αα . Un exemplu de spaţiu cu produs interior este spaţiul [ ]baL ,2 definit mai sus . Produsul interior se poate defini în acest caz prin
( ) ∫=b
a
dxxgxfgf )()(,
Axiomele (a),(b),(c),(d) sunt uşor de verificat , cu observătia că funcţia nulă este aici funcţia egală cu zero a.p.t.(aproape peste tot – adică este nenulă pentu o mulţime numărabilă sau finită de elemente ). Norma definită mai sus în [ ]baL ,2 este evident norma indusă de acest produs interior . O generalizare naturală a acestui produs este
( ) ∫=b
axp dxxgxfxpgf )()()(, )( , unde p(x) este o funcţie fixată numită
pondere cu proprietăţile : [ ] ∫ >∈∀≥b
a
dxxpbaxxp 0)(;,,0)( .
Norma indusă de acest produs interior este : 212
)())()((∫=
b
axp
dxxfxpf , iar
pentru 1)( ≡xp găsim 2
f . În teoria aproximării funcţiilor este sufucientă în multe cazuri o ipoteză mai slabă decât cea a existenţei unei norme pe spaţiul X. Vom spune că pe spaţiul X s-a definit o seminormă , dacă există o funcţie RX →:. care satisface axiomele (1),(3),(4) ale normei .Evident că o normă este în acelaşi timp şi seminormă , dar dacă efectiv axioma (2) nu este satisfăcută pentru anumiţi Xx∈ ,vom spune că . este o seminormă proprie.
Pentru o seminormă proprie , deşi 00 = ,după axioma (3) , există şi elemente 0≠x
care au 0=x .Dacă pe spaţiul X este definită o seminormă , se spune că spaţiul X este un spaţiu liniar seminormat . Exemple de spaţii seminormate vom întâlni în paragrafele următoare . O clasă de seminorme o formează cele induse de semi-produs interior , adică o aplicaţie pe X×X → R , care satisface numai axiomele (a),(b),(c) ale unui produs interior.
28
Inegalitatea lui Schwarz rămâne valabilă şi în acest caz , ceea ce permite demonstrarea inegalităţii triunghiulare . De asemenea , pe aceeaşi cale se arată că o seminormă indusă de un semi-produs interior este strictă , ceea ce înseamnă că are loc implicaţia puţin modificată : .0,0,,,, 212121 =+≠+∈∃⇒+=+∈∃ gfRgfgfXgf αααααα Din axiomele seminormei urmează imediat inegalitatea : (**) Xyxyxyx ∈∀−≤− ,, Dacă XY ⊂ este un subspaţiu al spaţiului liniar seminormat X, Y la rândul lui este seminormat cu seminorma definită ca restricţie la Y a seminormei date pe X . 1.4.2 Definiţia celei mai bune aproximări Fie acum pe spaţiul de funcţii infinit dimensionale X , definită o seminormă , . şi fie mX un subspaţiu liniar al lui X , finit dimensional , cu mX m =dim .Să precizăm noţiunea de aproximare a unei funcţii Xf ∈ prin funcţii din mX . Pentru fiecare funcţie 0, ≥−∈ mmm gfXg este o măsură a erorii care s-ar face
dacă în locul funcţiei f am folosi funcţia mg .Este natural atunci să spunem că mg este o cea mai bună aproximaţie în mX a lui f , în raport cu seminorma dată , dacă are loc egalitatea : (***) mmXgm dgfgf
mm
=−=−∈
inf
Din definiţia aceasta nu rezultă că există totdeauna cea mai bună aproximaţie în raport cu o seminormă şi nici că este unică . De aceea existenţa şi unicitatea trebuie studiate pentru fiecare caz în parte . De asemenea o problemă deosebită este şi calculul efectiv al celei mai bune aproximaţii în cazul în care există şi este unică . În anumite situaţii această problemă este ea însăşi o chestiune dificilă care necesită la rândul ei aproximaţii. De importanţă deosebită este şi evaluarea erorii . Dacă seminorma este proprie , marginea inferioară md din (***) poate fi şi zero , ceea ce înseamnă că
mgf − nu este o evaluare potrivită a erorii . Mai adecvată este estimarea erorii
punctuale sau restului )()()( xgxfxR m−= ,adică a erorii într-un punct fixat x.Uneori
se pot obţine evaluări într-o normă mai puternică decât seminorma dată . O altă problemă se referă la convergenta aproximării , adică la cercetarea condiţiilor în care , lăsând dimensiunea m a subspaţiului mX să crească la infinit , şirul
celor mai bune aproximaţii mg converge la funcţia f pe care o aproximăm , în sensul unei norme pe X . Dacă are loc această convergenţă , de va justifica în practică determinarea unor aproximări mg din ce în ce mai bune odată cu creşterea lui m şi oprirea calculelor atunci când diferenţa a a două aproximări succesive este neglijabilă . Vom lua un exemplu . Fie X spaţiul funcţiilor de n ori diferenţiabile într-o vecinătate a unui punct 0x , pe care definim seminorma :
29
Xfxffn
j
j ∈∀= ∑=
,)(0
0)( ,
în care ff =)0( iar ceilalţi termeni sunt derivatele lui f . Aceasta este o seminormă proprie pentru că 0=f implică
0)(...)()( 0)(
0'
0 ==== xfxfxf n , adică poate avea loc şi pentru funcţii neidentic nule , care au pe 0x ca rădăcină de multiplicitate cel puţin n+1 . Să luăm drept spaţiu finit dimensional mX , spaţiul polinoamelor de grad cel mult n , cu dimensiunea m=n+1 . Restricţia seminormei de mai sus la acest subspaţiu este o normă , căci singurul polinom de grad cel mult n , care are pe 0x ca rădăcină de multiplicitate n+1 este polinomul identic nul . Luând în particular polinomul lui Taylor :
)()!1(
)(...))(()()( 0
)1(
00'
0 xxn
fxxxfxfxgn
m −+
++−+=+ ξ ,
avem njxfxgxfxg jj
mm ,...,3,2,1),()(),()( 0)(
0
)(
0 ===
adică : 1,0 +∈∀−≤=− nmmm Xggfgf .
Deci md = 0 şi cea mai bună aproximaţie în sensul acestei seminorme este
polinomul lui Taylor mg . Este ştiut că evaluarea restului într-un punct fixat x poate fi făcută de exemplu , dacă presupunem în plus diferenţiabilitatea încă o dată a funcţiei şi continuitatea în 0x a derivatei de ordinul n+1 . În această ipoteză :
),(),()!1(
)()()()( 00
)1(
xxcuxxn
fxgxfxRn
m ξξξ=−
+=−=
+
în vecinătatea lui 0x .
Convergenţa aproximării lui Taylor când ∞→n are loc pentru funcţii analitice. 1.4.3 Teoreme generale de existenţă şi unicitate Vom prezenta aici două rezultate generale de existentă şi unicitate a celei mai bune aproximaţii care acoperă majoritatea situaţiilor concrete . Teorema 1 Fie seminorma RX →:. definită pe spaţiul X , cu proprietatea că restricţia ei la subspaţiul mXcuXX mm =⊆ dim, , este o normă . Atunci , pentru fiecare Xf ∈ există măcar o cea mai bună aproximaţie în mX , în raport cu seminorma dată . Dacă în plus
md = 0 (pentru o seminormă proprie ), cea mai bună aproximaţie este unică . Demonstraţie :
30
Pentru a dovedi existenţa vom căuta să aplicăm teorema lui Weierstrass care arată că o funcţie continuă pe o mulţime compactă îşi atinge infimumul . Fie meee ,...,, 21 funcţii care formeză o bază în mX . Notând cu )()2()1( ,...,, m
mmm ggg coordonatele în acestă bază a unei funcţii mm Xg ∈ ,să considerăm funcţia de m variabile :
∑=
−=−=n
ii
imm
mmmm egfgfggg
1
)()()2()1( ),...,,(ϕ , cu Xf ∈ fixată .
Avem , din (**) :
∑∑∑∑====
≤≤−−+−=
=−+++
m
i
im
ii
im
ii
im
n
ii
iim
mmmm
nmmmm
eeegfegf
gggggg
1
)(
1
)(
1
)(
1
)()(
)()2()1()()()2()2()1()1(
)(
),...,,(),...,,(
εεε
ϕεεεϕ
unde am notat cu e=max{ }meee ,...,, 21 .Aceasta arată că funcţia ϕ este continuă . In particular , pentru 0≡f ,obţinem şi continuitatea normei din X . Să notăm acum cu mS mulţimea din mX dată de :
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==∈= ∑ ∑= =
m
i
m
i
imi
immmmm hehhXhS
1 1
2)()( 1,/
care este evident mărginită şi închisă , deci compactă în spaţiul finit dimensional mX . Norma ,ca funcţie continuă , este mărginită pe mS şi îşi atinge marginile . Avem atunci : { } 0,inf ≥∈= mmmm Shhρ De fapt 0>mρ , căci dacă ar fi nulă , cum există mm Sh ∈ , cu mm h=ρ , ar rezulta
mm Sh ∈= 0 (pentru că în mX restricţia seminormei este normă ) ceea ce este absurd după definitia lui mS de mai sus .
Fie acum mm Xg ∈ oarecare ( 0≠mg ) şi să notăm 2
1
1
2)()( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
m
i
imm ggσ .
Atunci avem , evident mm
m Sg
g∈
)(σ şi deci :
fgfg
ggfggf mm
m
mmnm −≥−=−≥− ρσ
σσ )(
0()( .
31
De aici rezultă că pentru toate funcţiile mm Xg ∈ cu m
mm
dfRg
ρσ
+=>)( are loc
inegalitatea : mm
mmmm gfgggd −=< ),...,,( )()2()1(ϕ . Notând cu { }RgXg mmmn ≤∈=Σ )(/σ , avem atunci : ),...,,(inf),...,,(inf )()2()1()()2()1( m
mmmg
mmmmXgm ggggggd
mmmm
ϕϕΣ∈∈
== .
Teorema lui Weierstass se poate aplica atunci funcţiei continue ϕ pe mulţimea compactă nΣ şi aceasta asigură existenţa celei mai bune aproximaţii . Dacă 0=md , să demonstrăm unicitatea prin reducere la absurd.
Presupunem că ar exista două funcţii mmm Xgg ∈, , distincte , care verifică
condiţia : 0==−=− mmm dgfgf .
Atunci inegalitătile :
020 ==−+−≤−≤ mmmmm dgfgfgg ,
demonstrează că 0=− mm gg şi cum pe mX seminorma este o normă , avem că
0=− mm gg , contrar presupunerii făcute . Deci cea mai bună aproximaţie este unică . Cu aceasta teorema este complet demonstrată . Existenţa celei mai bune aproximaţii are loc şi în condiţii mai generale decât cele din teorema 1 , dar în toate cazurile concrete pe care le vom studia , ipotezele de existentă din această teoremă sunt îndeplinite . Ipoteza 0=md care asigură unicitatea nu este însă întotdeauna îndeplinită în cazuruile concrete care vor urma . O altă condiţie care asigură unicitatea celei mai bune aproximaţii se referă la un anumit tip de seminormă – seminorma strictă . Teorema 2 Fie pe spaţiul liniar X definită o seminormă strictă . , astfel încât restricţia ei la subspaţiul finit dimensional mXcuXX mm =⊆ dim, , să fie o normă . Atunci cea mai bună aproximaţie a oricărie funcţii Xf ∈ , în mX , în raport cu seminorma dată , există şi este unică .
32
Demonstraţie : Existenţa rezultă din teorema precedentă . Pentru a demonstra unicitatea presupunem că ar exista mmm Xgg ∈, distincte ,
astfel încât : mmm dgfgf =−=− .
Atunci din inegalităţile :
mmmmm
mmmm
m
dddgfgf
ggfgg
fd
=+=−+−≤
≤−−=+
−≤
21
21
21
21
)(221
2
vom avea : mmmm gfgfggf −+−=+− )(2 .
Cum seminorma este strictă , rezultă existenta numerelor reale 21 ,αα care nu sunt ambele nule astfel ca :
(****) 0)()( 21 =−+− mm gfgf αα .
Vom considera două cazuri posibile .
Dacă 021 =+αα , din (****) rezultă că 0=− mm gg , deci mm gg = , contrazice
presupunerea . Dacă 021 ≠+αα , împărţind la 21 αα + în inegalitatea (****), obţinem :
0021
21 =++
−≤≤αααα mm
mgg
fd deci 0=md ,
ceea ce conduce , dupa demonstraţia de la teorema 1 la unicitate , deci din nou se contrazice presupunerea făcută . Deci în ambele cazuri este contrazisă presupunerea existenţei a două cel mai bune aproximaţii , deci avem unicitate . În cazuri concrete este posibil ca nici una din cele două ipoteze de unicitate prezentate de noi să fie verificate şi să fie necesar să demonstrăm direct unicitatea .
33
Capitolul 2
Interpolare polinomială Considerăm o funcţie [ ] Rbaf →,: , continuă , iar pe intervalul [ ]ba, , luăm un sistem de n + 1 noduri { }n
iix 0= distincte , în care cunoaştem valorile funcţiei )( ii xfy = ,
pentru ni ,0= adică avem tabelul :
ix 0x =a 1x 2x … 1−nx bxn =
)( ixf 0y 1y 2y … 1−ny ny Se dă un punct [ ] ixxbax ≠∈ ,, , pentru ni ,0= şi se pune problema aproximării funcţiei f în acest punct x , în funcţie de valorile cunoscute din tabel . Problema interpolării polinomiale constă în aproximarea funcţiei f în acest punct x printr-un polinom :
∑=
⋅=k
j
jjk xaxp
0)(
unde k să fie maxim , )(xpk unic determinat astfel încât )()( ikii xpxfy == , ni ,0= . Aceasta înseamnă că avem :
i
k
j
jj yxa =⋅∑
=0 , ni ,0=
adică un sistem liniar neomogen de n+1 ecuaţii cu k+1 necunoscute ),...,,( 10 kaaa . Dacă n<k sistemul poate fi : compatibil ( dar nu cu soluţie unică ) sau incompatibil ; ambele cazuri sunt neinteresante . Rămâne cazul kn ≥ şi cum noi dorim să avem k maxim , alegem k=n .
Atunci sistemul devine : i
n
j
jj yxa =⋅∑
=0 , ni ,0=
Adică un sistem liniar neomogen de n+1 ecuaţii cu n+1 necunoscute ),...,,( 10 naaa cu determinantul sistemului :
( ) 0
...1............
...1
...1
01
111
010
≠−= ∏≥>≥ jin
ji
nnn
n
n
xx
xx
xxxx
, pentru că nodurile sunt distincte ( este un
determinant Vandermonde ) . Deci acest sistem are soluţie unică şi deci polinomul de interpolare este unic şi de grad n ( dacă 0=na va fi de grad < n )
34
Notaţia folosită este );,...,,;( 10 xxxxfp nn iar dacă nodurile sunt fixate , notaţia poate fi şi );( xfpn .
Notăm cu : ∏=
+ −=−−−=n
iinn xxxxxxxxx
0101 )())...()(()(ω , un polinom de
grad n+1 şi convenim 1)(0 ≡xω ( se numeşte polinom fundamental Newton). 2.1.Polinomul de interpolare Lagrange
Fie o funcţie [ ] Rbaf →,: , continuă , iar pe intervalul [ ]ba, , luăm un sistem de n + 1 noduri { }n
iix 0= distincte oarecare , în care cunoaştem valorile funcţiei
)( ii xfy = , pentru ni ,0= . Teoremă de existenţă şi unicitate Există un polinom unic P de grad cel mult n şi care satisface )()( ii xfxP = ,
pentru ni ,0= . Demonstraţie : Vom demonstra mai întâi că , pentru orice ni ,0= , există un polinom )(xli , de
grad cel mult n , care satisface ecuaţia ijji xl δ=)( pentru nj ,0= , unde :
⎩⎨⎧
≠=
==jiji
xl ijji ,0,1
)( δ
Cu aceste notaţii rezultă că nodurile nii xxxxx ,...,,,...,, 1110 +− sunt rădăcini ale lui )(xli , deci avem relaţia :
∏≠=
+− −=−−−−−=n
ikk
kniiii xxxxxxxxxxxxcxl0
1110 )()()...())...()(()(
Pentru a determina şi constanta ic , punem condiţia 1)( ≡ii xl , deci vom obţine :
⇒−−−−−
=
⇒−=−−−−−=
+−
≠=
+− ∏
))...(())...()((1
)()()...())...()((1
1110
01110
niiiiiiii
n
ikk
kiniiiiiiii
xxxxxxxxxxc
xxxxxxxxxxxxc
))...(())...()(())...(())...()((
)(1110
1110
niiiiiii
niii xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxl
−−−−−
−−−−−=
+−
+−
Acest polinom este polinomul fundamental Lagrange .
35
Existenţa unui polinom de grad cel mult n şi care în noduri verifică condiţia )()( ii xfxP = , este uşor de demonstrat deoarece luăm
)()()( xlxfxP i
n
oiiin ⋅= ∑
=
.
Pentru a dovedi unicitatea acestui polinom , presupunem că ar exista două polinoame P,Q de grad cel mult n şi care în noduri satisfac condiţiile de mai sus . Atunci R=P-Q este , de asemenea , de grad cel mult n şi se anulează în nodurile
nii xxxxx ,...,,,...,, 1110 +− . Deoarece cele n+1 zerouri ale lui R au fost presupuse diferite , rezultă că : QPxR ≡⇒≡ 0)( . Acest unic polinom este polinomul de interpolare Lagrange :
∏∑∑≠=== −
−⋅=
−−
−−=
n
ijj ji
jn
ii
n
i nii
ninn xx
xxxf
xxxxxxxx
xfxxxxfL000 0
010 )(
)...()...()...()...(
)();,...,,;(
Considerând acum polinoamele fundamentale Newton
∏=
+ −=−−−=n
iinn xxxxxxxxx
0101 )())...()(()(ω , avem că :
)(...)...)(()( 10'
1 niiiin xxxxxxx −−−=+ω
deci ∑= +
+
−=
n
i ini
ninn xxx
xxfxxxxfL
0'
1
110 )()(
)()();,...,,;(
ωω
.
Observaţii : Dacă nu impunem condiţia ca gradul polinomului să fie cel mult n se poate găsi o infinitate de polinoame care au valorile cerute în nodurile date , de exemplu polinomul : )()();( 1 xQxxfL nn ⋅+ +ω , oricare ar fi polinomul Q(x) , dar se obţine atunci un polinom de grad cel puţin n+1 , adică mai mare ca n. 2.1.2 Eroarea în interpolarea Lagrange Eroarea cu care este aproximată funcţia f(x) prin polinomul de interpolare este : );,...,,;()()( 10 xxxxfLxfxR nnn −= Teoremă : Dacă ]),([12 baCf n+∈ şi ],[ bax∈ , atunci există un punct ξ situat în cel mai mic interval care conţine punctele nxxxx ,...,,, 10 , astfel încât :
4444 34444 21
)(
10
)1(
1
))...()(()!1(
)()(x
n
n
n
n
xxxxxxn
fxR+
−−−+
=+
ω
ξ
36
Demonstraţie : Definim funcţia ajutătoare [ ] Rba →,:ϕ prin
)()())...()(();()()( 110 zkzRxzxzxzkzfLxfz nnnn +⋅−=−−−−−= ωϕ , unde k este o constantă ce va trebui determinată . Este evident că 0)(...)()( 10 ==== nxxx ϕϕϕ şi că este de clasă ]),([1 baC n+ . Să determinăm k astfel încât 0)( =xϕ , x fiind punctul în care facem aproximarea. .
Rezultă că : ),1_,(,))...()((
);()(
10
nipentruxxxxxxxx
xfLxfk i
n
n =≠−−−
−= deci
numitorul este diferit de 0 . Inseamnă că funcţia ajutătoare )(zϕ se anuleaza de n+2 ori pe [a,b] în punctele
nxxxx ,...,,, 10 . Conform teoremei lui Rolle , )(' zϕ se anulează de n+1 ori pe [a,b] . Aplicăm succesiv aceeaşi teoremă funcţiilor )(),...,(),( )("' zzz nϕϕϕ , rezultă că
)()1( zn+ϕ se anulează o dată pe [a,b] , deci există un punct 0)(..],,[ )1( =∈ + ξϕξ niaba . Din expresia lui )(zϕ avem : )!1()()( )1()1( +⋅−= ++ nkzfz nnϕ
Luăm aici ξ=z pentru k : )!1(
)()1(
+=
+
nfk
n ξ
Deci :
)()!1(
)()())...()(()!1(
)();()()( 1
)1(
10
)1(
xn
fxRxxxxxxn
fzfLxfz n
n
nn
n
n +
++
⋅+
=⇒−−−+
−−= ωξξϕ
c.c.t.d. Observaţii : 1. Dacă )()1( xf n+ este mărginită pe [a,b] şi notăm cu
[ ]( )xfM n
baxn
)1(
,1 sup +
∈+ = , atunci
obţinem : ( ) ( ) ( ) ( )xnM
xfLxf nn
n 11
!1; +
+ ⋅+
≤− ω .
Utilizarea practică a acestei relaţii este foarte restrânsă , deoarece funcţia este cunoscută doar pe câteva noduri , deci nu se ştie nimic de funcţie şi mai ales de derivatele ei . 2. Dacă vrem ca diferenţa ( ) ( )xfLxf n ;− să fie minimă , ne putem ocupa de
( )xn 1+ω , iar ca aceste să fie minim ar trebui ca nodurile nxxx ,...,, 10 să fie alese ca zerourile polinoamelor Cebâşev .
3. În practică se pot calcula valorile diverselor polinoame Lagrange în mod iterativ ,
până se obţine o aproximare convenabilă în punctul x dat , prin procedeul Aitken-Neville.
37
2.1.3.Procedeul Aitken-Neville Se calculează polinomul de interpolare Lagrange în mod iterativ . Notăm cu )(...21
xykiii polinomul de interpolare Lagrange pentru funcţia f , construit
pe nodurile ).(,...,,21
nkxxxkiii ≤
Polinoamele de gradul I şi anume nixyi
,1),(0 = se calculează uşor cu :
nixx
xfxxxfxx
xyi
iii
,...,3,2,1,)()(
)(0
00
0 =−
−−
=
Evident ( ) nixfxy
xfxy
iii
i
,1,)(
)()(
0
00
==
=
Pornind de la aceste polinoame )(0 xy i se pot construi : .),3(),(
),,2(),(
012
01
etcnixy
nixy
i
i
=
= cu
ajutorul formulei de recurenţă :
(1) nkixx
xyxxxyxx
xyki
kki
kkk
ki ,1,)()(
)( ),1...(012
),1...(012
...012 +=−
−−
=−
−
Presupunând că )(),1...(012 xy kk− , deja calculate sunt polinoame de interpolare de grad k în x , rezultă din formula de mai sus că )(...012 xy ki este polinom de grad k+1 .
In plus , avem că , pentru 1,0 −= kj
( )( )
)(
11
)()()(
)()1...(012
jki
ijkjj
ki
ij
kjj
ki
jij
jkj
jkik
xfxx
xxxxxfxx
xxxx
xf
xx
xfxxxfxx
xy
=−
+−−=
=−
−−
⋅
=−
−−
=−
De asemenea : nkixf
xxxfxx
xy
xfxx
xfxxxy
iki
ikiki
kki
kikkki
.1,)(
)()()(
)()()(
)(
...012
...012
+=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
−+=
=−
−−=
Din cauza unicităţii polinomului lui Lagrange de interpolare rezultă că )(...012 xy ki dat de formula (1) este chiar polinomul de interpolare Lagrange pe nodurile
ik xxxxx ,,...,,, 10 .
38
Deci formula de recurenţă (1) ne permite calculul polinoamelor )(...012 xy ki cu
1,1,,1 −=+= nknki , ob obţinând în final )()( ...012 xyxL knn = . La programarea pe calculator , pentru un x fixat ( fx ) se rezervă în memorie locaţii
doar pentru nodurile ix şi valorile funcţiei niyi ,0, = , deci doar vectori , nu matrici .
În prima etapă a algoritmului se calculează niy i ,1,0 = , astfel :
( ) ( )( )
nixx
yxxyxxy
i
iii ,1,
0
00 =−
−−−=
Înaintea etapei k , în locaţiile nkiyi ,, = se află )()1...(012 xy ik− .
Cu formula (1) se calculează nkixy ki ,1),(...012 += care se păstrează tot în vectorul y. Deci la etapa k se pune :
( ) ( )( )
nkixx
yxxyxxy
ki
kiiki ,1, +=
−−−−
=
Astfel , în urma celor n etape , în locaţiile niyi ,0, = vom avea : nyyyy ..012012010 ,...,,, care reprezintă de fapt aproximări ale funcţiei f în punctul fx dat , din ce în ce mai bune. Calculul se poate chiar opri înainte de a ajunge la n , dacă diferenţa dintre două aproximări succesive în modul este mai mică decât un ε fixat de noi . Grafic avem :
ix 0x 1x 2x 3x 4x … nx
)( ixf 0y 1y 2y 3y 4y … ny 01y 02y 03y 04y … ny0 012y 013y 014y … ny01 0123y 0124y … ny012 01234y … ny0123 M ny ...0123
Observaţie : Procedeul este şi mai bun dacă nodurile sunt aranjate în ordinea depărtării lor faţă de fx în care se face aproximarea . Exemplu : Dacă nodurile ar fi 1 ; 3 ; 3,1 ; 4 ; 6 ; 7 ; iar aproximarea s-ar cere în 3,1 , ordinea nodurilor ar fi : 7,6,1,4,3 43210 ===== xxxxx
Construim astfel polinomul de interpolare Lagrange . Să se afle polinomul de cel mai mic grad care trece prin punctele :
)147,5(),12,2(),3,1(),2,0( 4321 xxxx
39
ix 0 1 2 5 )( ixf 2 3 12 147
Iar polinomul este :
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) 2212049
5125243321
51
251505210
147
521202510
12512101520
3502010521
2);5,2,1,0;(
23
3
+−+=−−+
+−−−−−+−−−−=−−−
−−−⋅+
+−−−
−−−⋅+
−−−
−−−⋅+
−−−
−−−⋅=
xxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxfL
2.2 Polinomul de interpolare Newton Îl vom prezenta în trei variante . 2.2.1.Cu ajutorul diferenţelor divizate Presupunem că avem de aproximat în punctul x din intervalul [a,b] o funcţie
[ ] Rbaf →,: , continuă , cunoscută doar în sistemul de noduri oarecare şi distincte { } [ ]bax n
ii ,0 ∈= . Construim diferenţele divizate în aceste puncte nxxxx ,...,,, 10 din intervalul [a,b] .
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]nnnn
n
nnn
xxxxfxxxxxfxxxxfxx
xxxfxxxxfxxxxf
xxxxfxxxxxfxxxfxx
xxxfxxxfxxxxf
xxxfxxxxfxxfxx
xxfxxfxxxf
xfxxxxfxfxx
xfxfxxf
,...,,,)(,...,,,...,,,
,...,,...,,,,...,,,
,,,)(,,,,,,,,
,,,
,,)(,,,,
,,
)()(,)()()(
,
1010110
1011010
2102210102
21010210
1011001
10010
0000
00
−+=
⇒−
−=
−+=⇒−−
=
−+=⇒−−
=
+−−=⇒−−
=
−
−
M
40
Am obţinut deci :
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]nnnn xxxxfxxxxxfxxxxf
xxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxf
xxxxfxfxf
,...,,,)(,...,,,...,,,
,,,)(,,,,,,)(,,
)(,)()(
1010110
210221010
101100
000
−+=
−+=−+=−+=
−
M
Înmulţim a doua egalitate cu )( 0xx − , a treia cu ))(( 10 xxxx −− , … , ultima cu
))...()(( 110 −−−− nxxxxxx şi adunăm . După reduceri găsim :
[ ] [ ]
[ ] [ ] )(,...,,,))...((,...,,...))((,,)(,)()(
1101010
102100100
xxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf
nnnn +− ⋅+−−+++−−+−+=
ω
Ultima egalitate obţinută este de forma : )()()( xRxPxf n+= unde P(x) este un polinom de grad cel mult n . Vom arăta că acest P(x) obţinut este tocmai polinomul de interpolare care ne interesează în nodurile nxxx ,...,, 10 .
Trebuie să verificăm dacă nixfxP ii ,0),()( == . Evident că )()( 00 xfxP = .
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ]=
−−+−−
+−+=
=−
−−−−+
−−−
+=
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−−
+−
−−+=
=−−+−−−
+=
=−−−−
+−−−
+=
=−−+−+==−+=
=−−−
+=−+=
01
210201120
01
120112
01
02010
1201
01
12
12
01
02010
1210210201
010
120202
102102
01
010
1202210021002
1010
0101
010011001
)()()()()()(
)()()()()(
)()()()(
)()()()()()()()(
)(
)(,,)()()(
)(
))((,,
)()()(
)(
))((,,)(,)()()()()()(
)()()(
)()(,)()(
xxxxxxxfxf
xfxfxf
xxxxxfxf
xfxfxx
xxxfxfxf
xxxx
xfxfxx
xfxfxx
xxxfxfxf
xxxxfxxfxxxx
xfxfxf
xxxxxx
xxfxxfxx
xxxfxf
xf
xxxxxxxfxxxxfxfxPxfxfxfxf
xxxx
xfxfxfxxxxfxfxP
41
[ ]
.),()()()()()(
)()()()()()(
201120
0101120
etcxfxfxfxfxfxfxx
xxxfxfxfxfxf
=−+−+=
=−
−−+−+=
Deci relaţia scrisă anterior este o formulă de interpolare şi anume formula de interpolare Newton.
[ ] [ ][ ] ))...()((,,...,,
...))((,,)(,)();,...,,,;(
110110
102100100210
−− −−−+++−−+−+=
nnn
nn
xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxxfP
Relaţia devine : [ ] )(,,...,,,);,...,,,;()( 1110210 xxxxxxfxxxxxfPxf nnnnn +− ⋅+= ω , şi cum polinomul de interpolare Newton coincide cu polinomul de interpolare Lagrange , înseamnă că ultimul termen este restul la aproximarea funcţiei cu polinomul de interpolare Newton , dar şi resturile coincid , deci :
[ ] ,)!1(
)()(,,...,,,)1(
1110 +=⋅
+
+− nfxxxxxxf
n
nnnξω
dacă am impune condiţia f să fie de clasă ]),([1 baC n+ . Renunţând la x s-ar obţine că există un punct η în cel mai mic interval ce coţine nodurile aşa că :
[ ]!
)(,...,,)(
10 nfxxxf
n
nη
=
(aşa cum am văzut anterior la legătura dintre diferenţele divizate şi derivatele funcţiei ). Cu ultima relaţie scrisă anterior se poate da un înţeles şi diferenţelor divizate în cazul în care două sau mai multe argumente coincid . Astfel [ ] )(, 0
'00 xfxxf = , lucru care se poate demonstra şi altfel :
[ ] [ ]
[ ] [ ]!
)(,...,,,...,
!2)(
,,
)()()(
lim,lim,
0)(
1
0000
"
000
0'00
000000
kxf
xxxfxf
xxxf
xfh
xfhxfhxxfxxf
k
orik
hh
==
=−+
=+=
+
→→
4434421
Cu ajutorul polinomului de interpolare Newton putem da acum o altă definiţie diferenţie divizate de ordin n , ca fiind coeficientul lui nx din polinomul de interpolare .
42
În acest caz , relaţia de recurenţă pe care am dat-o la definiţia diferenţelor divizate (în capitolul anterior ) rezultă din relaţia de recurenţă pe care o satisfac polinoamele de interpolare şi pe care o vom da în continuare . Teoremă Polinoamele de interpolare şi diferenţele divizate relative la o funcţie f satisfac relaţia de recurenţă :
[ ] )(,,...,,);,,...,,;();,,...,,,;( 11011011210 xxxxxfxxxxxfpxxxxxxfp kkkkkkkkk ω−−−− += Demonstraţie : Ne interesează diferenţa :
(1) )();,,...,,;();,,...,,,;( 11011210 xRxxxxxfpxxxxxxfp k
not
kkkkkk =− −−− ,
)(xRk este un polinom de grad k≤ , şi satisface condiţiile : 1,0,0)( −=∀= kjxR jk Deci : ))...()(()( 110 −−−−= kkk xxxxxxaxR , unde ka este o constantă pe care trebuie să o determinăm . Derivăm relaţia precedentă de k ori şi găsim : !)()( kaxR k
kk ⋅=
Derivăm acum şi în (1) şi avem :
[ ]kkk
k
k
kgradul
kkkkk
k
xxxfkxxxxfp
xxxxfpxxxxfpxR
,...,,!0);,...,,;(
);,...,,;();,...,,;()(
1010)(
)(
1..
10110)(
⋅=−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
−
− 444 3444 21
deoarece coeficientul lui kx din );( xfpk este [ ]kxxxf ,...,, 10 . Din cele două relaţii pentru )()( xR k
k deducem că [ ]kk xxxfa ,...,, 10= , adică avem relaţia de recurenţă enunţată în teoremă .
43
2.2.2 Cu ajutorul relaţiei de recurentă pe care o satisfac polinoamele de interpolare şi diferenţele divizate relative la o funcţie f
Scriem relaţia din aproape în aproape : nk ,1=
[ ] )(,,...,,);,,...,,;();,,...,,,;( 11011011210 xxxxxfxxxxxfpxxxxxxfp kkkkkkkkk ω−−−− +=[ ] )(,);;();,;( 010
)(
00101
0
xxxxfxxfpxxxfpxf
−+=43421
[ ][ ] [ ]
...........................................................................................................))((,,)(,)(
))((,,);,;();,,;(
102100100
102101012102
xxxxxxxfxxxxfxfxxxxxxxfxxxfpxxxxfp
−−+−+==−−+=
[ ] [ ][ ] ))...()((,...,,...
))((,,)(,)();,...,,,;(
11010
102100100210
−−−−+++−−+−+=
nn
nn
xxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxxfp
care este formula Newton a polinomului de interpolare . 2.2.3 Cu polinomele fundamentale Newton La polinomul de interpolare Newton se poate ajunge cum am făcut la polinomul de interpolare Lagrange , pornind de la polinoamele fundamentale Newton , care sunt :
)(,1)(
,0,),()(
0
01
conventiex
nkxxxn
jjk
≡
=−=∏=
+
ω
ω
Aceste polinoame formează un sistem liniar independent şi orice polinom de grad n se va putea scrie ca :
∑=
⋅=n
iiin zazp
0)()( ω
Rămâne să găsim constantele ia astfel încât nixpxf ini .0),()( ==
44
[ ] [ ]
⇒−−
+−−
+−−
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+−−
−−−
−−−
=
=−−
−−
−−−
=
⇒−−+−−−
+=
⇒−−+−+=⇒=
=⇒=−−
=⇒
⇒−+=−+==⇒==⇒==⇒=
))(()(
))(()(
))(()(
))((1
))((1)(
))(()(
))(()(
))(()()(
))(()()(
))(()()()(
)()(
))(()()(
,,)()(
)()()()()()()()(
2010
0
2101
1
1202
2
120101020
1201
1
1202
2
1201
01
1202
022
121220201
0102
10201022
1011001
011
01100110111
000000
xxxxxf
xxxxxf
xxxxxf
xxxxxxxxxf
xxxxxf
xxxxxf
xxxxxfxf
xxxxxfxf
a
xxxxaxxxx
xfxfxfxf
xxxxaxxaaxpxz
xxfaxxfxx
xfxfa
xxaxfxxaaxfxpxzxfaaxfxpxz
n
n
n
conform primei proprietăţi de la diferenţe divizate avem : [ ] .,,, 2102 etcxxxfa = Deci , vom avea : [ ].,...,,, 210 nn xxxxfa = Adică :
[ ]∑=
⋅=n
iiin zxxxfzp
010 )(,...,,)( ω ,
care este chiar polinomul de interpolare Newton
[ ] )(,...,,);,...,,,;(0
10210 xxxxfxxxxxfP i
n
iinn ω∑
=
=
Exemplu : Să se aproximeze funcţia xxf πsin)( = pe [0,1] printr-un polinom de gradul trei .
ix 061
21 1
)( ixf 021 1 0
Facem tabloul diferenţelor divizate :
45
ix )( ixf Ord1 Ord2 Ord3
0 0
3
-3 1/6 1/2
3/2 1/2 1
1 0 -2
-21/5
-6/5
Avem :
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxfP
517
511
56
1054
563
27)1812(
103
27
60)12)(16(63
27
212
516
56
233
21
61)0(
56
61)0(3)0(30);(
2323222
22
3
+−−=−+−−=+−−−=
=−−
+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−+=
care este polinomul dorit . 2.2.4. Polinomul de interpolare Newton progresiv sau ascendent Considerăm nodurile echidistante pasulhniihxxi 0;,1,0 >=+= .
[ ] [ ]
[ ] ))...()((,...,,...))((,,)(,)();(
11010
102100100
−−−−+++−−+−+=
nn
n
xxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfP
În relaţia [ ] pi
p
piii hpy
xxxf⋅
Δ=++ !
,..., 1 găsită în capitolul anterior luăm i = 0 , şi avem :
[ ] p
p
p hpy
xxxf⋅
Δ=
!,..., 0
10
iar cu schimbarea de variabilă thxx += 0 avem :
46
002
000 !)1)...(1(...
!2)1(
!1);( y
nntttyttytythxfP n
n Δ+−−
++Δ−
+Δ+=+ ,
care este polinomul de interpolare Newton progresiv ( pentru că se iau nodurile în ordinea nxxxx ,...,,, 210 ) utilizabil pentru 0 < t <1 , adică dacă x în care se face aproximarea este mai aproape de 0x deci hxx <− 0 . 2.2.5. Polinomul de interpolare Newton regresiv sau descendent Se iau nodurile echidistante în ordinea :
niihxxadica
xxhxxhxxx
nin
nnnnn
,0,
,,...,2,, 0121
=−=→
−=−=
−
−−
Scriem polinomul astfel :
[ ] [ ][ ] ))...()((,...,,...
))((,,)(,);(
1101
1211
xxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfyxfP
nnnn
nnnnnnnnnn
−−−+++−−+−+=
−−
−−−−
Dar [ ] [ ] 11
11 !1,,
hy
xxfxxf nnnnn ⋅
Δ== −
−− , nu contează ordinea la diferenţe divizate :
[ ] [ ]
[ ] [ ] n
n
nnn
nnnnnnn
hny
xxxfxxxf
hy
xxxfxxxf
⋅Δ
==
⋅Δ
==
−
−−−−−
!,...,,,...,,
,...,!2
,,,,
01001
22
2
1221
Cu schimbarea de variabilă thxx n += , avem :
022
1 !)1)...(1(...
!2)1(
!1);( y
nntttyttytythxfP n
nnnnn Δ−++
++Δ+
+Δ+=+ −−
care este polinomul de interpolare Newton regresiv , utilizabil pentru -1 < t <0 , adică dacă x în care se face aproximarea este mai aproape de nx , deci hxxn <− . Deoarece între diferenţele finite ∇Δ, au loc relaţiile : nkyy n
kkn
k ,0, =∇=Δ − este mai uşor de scris formula polinomului de intrepolare Newton regresiv cu ∇ Si avem :
47
nn
nnnnn yn
ntttyttytythxfP ∇−++
++∇+
+∇+=+!
)1)...(1(...!2
)1(!1
);( 2
Evident dacă am considera nodurile echidistante :
niihxxadica
xxxx
i
n
,1,
,...,,
0
210
=−=→ −
−−−
polinomul de interpolare Newton regresiv este :
[ ] [ ][ ] ))...()((,...,,...
))((,,)(,)();,...,,,;(
11010
102100100210
+−−−−
−−−−−−−
−−−+++−−+−+=
nn
nn
xxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxxfP
Tinând cont de faptul că : [ ] [ ] pp
p
ppp hpy
xxxfxxxf⋅
Δ== −
+−−−− !,...,,,...,, 0110 şi făcând
schimbarea de variabilă thxx += 0 , obţinem :
nn
n yn
ntttyttytythxfP −−− Δ−++
++Δ+
+Δ+=+!
)1)...(1(...!2
)1(!1
);( 22
100
2.3 Alte tipuri de polinoame de interpolare 2.3.1 Polinomul de interpolare Gauss progresiv Fie [ ] Rbaf →,: , iar pe intervalul [a,b] sistemul de noduri echidistante
,,0,0 niihxx i =±=± h>0 pasul şi ii yxf ±± =)( . Luăm nodurile în ordinea nn xxxxxxx −−− ,,...,,,,, 22110 .Scriem polinomul Newton de interpolare pe aceste noduri (în număr de 2n+1 ) , adică
[ ] [ ]
[ ][ ] ))...()()((,,...,,,,
...))()((,,,))((,,)(,);(
1102110
1102110
1011001002
nnn
n
xxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfyxfP
−−−−+++−−−+
+−−+−+=
−−−
−−
−
48
Dar ordinea nodurilor nu contează , deci :
=−−− ],,...,,,,,[ 22110 kk xxxxxxxf =−−+−− ],,...,,,,...,,[ 11011 kkkk xxxxxxxf k
k
hky
20
2
)!2( ⋅δ
Iar :
[ ] 122
112
210121122110 )!12(,...,,,,,...,,],,...,,,,,[ −
−
−+−+−+−−− ⋅−== k
k
kkkkk hk
yxxxxxxxfxxxxxxxf
δ
(am introdus formal şi
21
21 , yx ).
Facem schimbarea de variabilă thxx += 0 şi polinomul devine :
( ) ( )0
2222
21
12222
21
32
02
21002
)!2()()1()...1(
)!12()1()...1(
...!3
)1(!2
)1(!1
);(
yn
ntntttyn
nttt
yttyttytythxfP
nn
n
δδ
δδδ
−−−−+
−−−−
+
++−
+−
++=+
−
Ţinând cont de legătura dintre δ şi Δ :
2pk
pk
p yy−
Δ=δ avem :
( ) ( )n
nn
n
n
yn
ntntttyn
nttt
yttyttytythxfP
−+−−
−−
Δ−−−−
+Δ−
−−−+
++Δ−
+Δ−
+Δ+=+
2222
112
222
13
2
12
0002
)!2()()1()...1(
)!12()1()...1(
...!3
)1(!2
)1(!1
);(
care este polinomul de interpolare Gauss progresiv. 2.3.2.Polinomul de interpolare Gauss regresiv În aceleaşi ipoteze luăm acum nodurile în ordinea : nn xxxxxxx ,,...,,,,, 22110 −−− ( 2n+1 noduri ) . Deci vom avea polinomul :
[ ] [ ]
[ ][ ] ))...()()((,,...,,,,
...))()((,,,))((,,)(,);(
1102110
1102110
1011001002
nnn
n
xxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfyxfP
−−−−−
−−−
−−−
−−−−+++−−−+
+−−+−+=
49
Acum avem :
=−−− ],,...,,,,,[ 22110 kk xxxxxxxf k
k
kkkk hky
xxxxxxxf 20
2
11011 )!2(],,...,,,,...,,[
⋅=−−+−−
δ
Iar :
=−−− ],,...,,,,,[ 122110 kk xxxxxxxf 1221
12
11011 )!12(],...,,,,...,,[ −
−
−
−−+−− ⋅−= k
k
kkk hk
yxxxxxxf
δ
Facem schimbarea de variabilă thxx += 0 şi avem :
( ) ( )0
2222
21
12222
21
32
02
21002
)!2()()1()...1(
)!12()1()...1(
...!3
)1(!2
)1(!1
);(
yn
ntntttyn
nttt
yttyttytythxfP
nn
n
δδ
δδδ
+−−−+
−−−−
+
++−
++
++=+
−
−
−−
Schimbând δ cu Δ găsim :
( ) ( )n
nn
n
n
yn
ntntttyn
nttt
yttyttytythxfP
−−−
−−−
Δ−−−−
+Δ−
−−−+
++Δ−
+Δ+
+Δ+=+
2222
12222
23
2
12
1002
)!2()()1()...1(
)!12()1()...1(
...!3
)1(!2
)1(!1
);(
care estse polinomul de interpolare Gauss regresiv . 2.3.3. Polinomul de interpolare Stirling Este semisuma dintre polinomul de interpolare Gauss progresiv şi polinomul de interpolare Gauss regresiv .
( ) ( )0
2222
21
12
21
12222
21
3
21
32
022
121
002
2)!2()()1()...1(
2)!12()1()...1(
...2!3
)1(2!2
)1()1(2!1
);(
yn
ntntntttyy
nnttt
yyttytttttythxfP
n
nn
n
δδδ
δδδ
δδ
⋅++−−−−
++
⋅−
−−−+
+++
⋅−
+⋅
++−+
+⋅+=+
−
−−
−−
50
sau :
( ) ( )0
2222
012
222
03
2
02
2
0002
)!2()1()...1(
)!12()1()...1(
...!3
)1(!2!1
);(
yn
ntttyn
nttt
yttytytythxfP
nn
n
δμδ
μδδμδ
−−−+⋅
−−−−
+
++⋅−
++⋅+=+
−
sau :
( ) ( )n
n
n
n
n
yn
ntttyn
nttt
yttytytythxfP
−+−
−
−−
−
Δ−−−
+Δ⋅−
−−−+
++Δ⋅−
+Δ+Δ⋅+=+
2222
21
12222
23
32
12
2
21002
)!2()1()...1(
)!12()1()...1(
...!3
)1(!2!1
);(
μ
μμ
2.3.4. Polinomul de interpolare Bessel Este semisuma dintre polinomul de interpolare Gauss progresiv care începe cu
0x (cel dat anterior ) şi polinomul Gauss regresiv începând cu 1x , pe care va trebui să-l deducem
( ) ( )1
2222
21
12222
21
32
12
21112
)!2()'()1(')...1'('
)!12()1(')...1'('
...!3
)1'('!2
)1'('!1')';(
yn
ntntttyn
nttt
yttyttytyhtxfP
nn
n
δδ
δδδ
+−−−+
−−−−
+
++−
++
++=+
−
Am făcut transformarea : htxx '1 += .
Deci : 1'11)(
' 0001 −=⇒−=−−
=−−
=+−
=−
= ttth
xxh
hxxh
hxxh
xxt şi îl
înlocuim în nP2 :
( ) ( )1
2222
21
12222
21
31
2
21102
)!2()()1()...1(
)!12()))(1(()2()...1(
...!3
)2)(1(!2
)1(!11);(
yn
ntntttyn
ntntnttt
ytttyttytythxfP
nn
n
δδ
δδδ
−−−−+
−−−−−−−
+
++−−
+−
+−
+=+
−
Facem semisuma dintre această formulă şi formula polinomului de interpolare Gauss progresiv de mai înainte şi avem :
51
( ) ( )21
2222
21
12
222
21
3
21
2
21
2102
)!2()()1()...1(
)!12(
)21))(1(()2()...1(
...!3
)21)(1(
!2)1(
!121
);(
yn
ntntttyn
tntnttt
yttt
yttyt
ythxfP
nn
n
μδδ
δμδδμ
−−−−+
−
−−−−−−+
++−−
+−
+−
+=+
−
care este polinomul de interpolare Bessel , sau , altfel scris :
( ) ( )21
2222
112
222
13
21
20
2102
)!2()()1()...1(
)!12(
)21))(1(()2()...1(
...!3
)21)(1(
!2)1(
!121
);(
+−+−
−
−−
Δ−−−−
+Δ−
−−−−−−+
++Δ−−
+Δ−
+Δ−
+=+
n
nn
n
n
yn
ntntttyn
tntnttt
yttt
yttyt
ythxfP
μ
μμ
2.3.5. Diagrama lui Fraser Este un tablou construit cu ajutorul diferenţelor finite .
M
M
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
yyyyyyyyyyy
−
−
−
−
−
M
M
M
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
yyyyyyyyyy
ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ
−
−
−
−
−
M
M
M
32
22
12
02
12
22
32
42
52
y
y
y
y
yy
y
y
y
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
−
−
−
−
−
M
M
M
23
13
03
13
23
33
43
53
y
y
y
y
y
y
y
y
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
−
−
−
−
−
M
M
M
14
04
14
24
34
44
54
y
y
y
y
y
y
y
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
−
−
−
−
−
M
M
M
05
15
25
35
45
55
yy
y
y
y
y
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
−
−
−
−
−
M
M
M
16
26
36
46
56
−
−
−
−
−
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
y
y
yy
y
52
Incepând de la 0y în jos se obţine polinomul de interpolare Newton ascendent sau progresiv :
002
00 !)1)...(1(...
!2)1(
!1y
nntttyttyty nΔ+−−
++Δ−
+Δ+
Începând de la 0y în sus se obţine polinomul Newton regresiv :
nn y
nntttyttyty −−− Δ−++
++Δ+
+Δ+!
)1)...(1(...!2
)1(!1 2
210
Incepând de la 0y şi mergând în zig-zag pe laturile romburilor în sus şi în jos , dar la plecare în sus , se obţine polinomul de interpolare Gauss descendent :
...!3
)1(!2
)1(!1 2
32
12
10 +Δ−
+Δ+
+Δ+ −−− yttyttyty
Dacă plecarea este în jos mai întâi şi apoi în zig-zag se obţine polinomul de interpolare Gauss ascendent :
...!3
)1(!2
)1(!1 1
32
12
00 +Δ−
+Δ−
+Δ+ −− yttyttyty
Dacă plecarea este din 0y şi se merge pe diagonală se obţine polinomul de interpolare Stirling :
...!3
)1(!2!1 2
33
2
12
2
210 +Δ⋅
−+Δ+Δ⋅+
−−
−yttytyty μμ
Dacă plecarea este dintre 0y şi 1y şi se merge pe diagonală se obţine polinomul de interpolare Bessel (la plecarea dintre 2 elemente de pe prima coloană , valoarea iniţială este semisuma elementelor dintre care se pleacă )
...!3
)21)(1(
!2)1(
!121
13
21
20
21 +Δ
−−+Δ
−+Δ
−+ −
−y
tttytty
ty μμ
53
Deci orice drum în această diagramă Fraser care începe de pe prima coloană este polinom de interpolare construit cu valorile care au stat la baza diagramei . 2.3.6.Convergenţa aproximării prin interpolare La aplicarea practică a interpolării Lagrange ca mijloc de aproximare a funcţiilor , este important să ştim cum se comportă polinoamele Lagrange atunci când numărul de noduri tinde la infinit . Dacă pentru orice şir de noduri )()(
2)(
1)(
0 ,...,,, nn
nnn xxxx din intervalul [a , b] , polinoamele Lagrange );( xfLn pe aceste noduri satisfac )();(lim xfxfLnn
=∞→
atunci se spune că aproximarea prin interpolare este convergentă . Problema convergenţei aproximării prin interpolare este mult studiată , dar cel mai cunoscut rezultat se referă la funcţiile analitice . O funcţie reală f(x) este analitică dacă se poate dezvolta în serie Taylor în jurul oricărui punct 0x : ...)(...)()()( 0
202010 +−++−+−+= n
n xxaxxaxxaaxf serie uniform şi absolut convergentă , cu convergenţa uniformă pe intervalul [a,b] . Restul la interpolare este minim atunci când x se află în vecinătatea mijlocului celui mai mic interval care conţine toate nodurile de interpolare şi creşte odată cu depărtarea de acea vecinătate . Creşterea erorii devine foarte rapidă când ieşim în afara celui mai mic interval care conţine toate nodurile , acest caz se numeşte caz de extrapolare , care trebuie evitat. Evident , eroarea este mai mică dacă punctul în care se vrea aproximarea este foarte aproape de unul dintre nodurile de interpolare dar nu în afara celui mai mic interval care conţine toate nodurile , chiar dacă se află în vecinătatea nodului extrem .
54
2.4 Interpolare Hermite 2.4.1 Construirea polinomului Hermite de interpolare Fie o funcţie [ ] Rbaf →,: , continuă şi derivabilă , iar pe intervalul [ ]ba, , luăm un sistem de n + 1 noduri { }n
iix 0= distincte oarecare , în care cunoaştem valorile funcţiei
)( ixf şi valorile derivatei )(' ixf , pentru ni ,0= . Căutăm polinomul H(x) de grad minim care să satisfacă condiţiile de interpolare Hermite :
)(')('
)()(
ii
ii
xfxHxfxH
==
pentru ni ,0=
Fiind 2n+1 condiţii , vom putea determina în mod unic un polinom de grad 2n+1 cu această proprietate. Luăm : )(~)()()( 1 xHxxLxH nn ⋅+= +ω cu ))...()(()( 101 nn xxxxxxx −−−=+ω polinoamele fundamentale Newton , )(xLn
polimomul de interpolare Lagrange , iar )(~ xH un polinom de gradul n care va trebui determinat . Cu această alegere H(x) satisface condiţiile de interpolare impuse până acum : )()( ii xfxH = pentru ni ,0= , iar )(~ xH îl vom determina din relaţia
)(')(' ii xfxH = , ni ,0= . Avem : )('~)()(~)(')(')(' 11 xHxxHxxLxH nnn ⋅+⋅+= ++ ωω
Iau ixx = , ni ,0= , punem )(')(' ii xfxH = şi rezultă :
nix
xLxfxH
xHxxL
xHxxHxxLxf
in
inii
iinin
iiniinini
,0,)('
)(')(')(~
0)(~)(')('
)('~)()(~)(')(')('
1
1
11
=−
=
⇒+⋅+=
=⋅+⋅+=
+
+
++
ω
ω
ωω
Cunoscând cele n+1 valori )(~ixH , putm construi pe )(~ xH ca polinom de grad n , unic
determinat , construind polinomul de interpolare Lagrange cu valorile )(~ixH obţinute .
Având polinoamele fundamentale Lagrange ∏≠= −
−=
n
ijj ji
ji xx
xxx
0
)(l , construim
polinoamele :
∑=
⋅=n
iiin xxfxL
0)()()( l şi
)()('
)(')(')(~
0 1
xx
xLxfxH i
n
i in
ini l⋅−
= ∑= +ω
55
Deci polinomul de interpolare Hermite va fi : (1) =⋅+= + )(~)()()( 1 xHxxLxH nn ω
= +⋅∑=
n
iii xxf
0
)()( l )()('
)(')(')(
0 11 x
xxLxf
x i
n
i in
inin l⋅
−∑= +
+ ωω
În condiţii mai puternice de regularitate a funcţiei f(x) se poate da un rezultat privind evaluarea restului (fără demonstraţie ) şi anume : Teoremă : Dacă [ ]( )baCf n ,22 +∈ , atunci pentru fiecare [ ]bax ,∈ diferit de nodurile de interpolare , există un bax <<= ξξξ ),( , astfel încâ să avem :
221
20
)22(
)...()()()!22(
)()()( n
n
xxxxxxn
fxHxf −−−+
=−+ ξ
Calculul polinomului de interpolare Hermite după formula (1) nu este aşa de convenabil în practică . Se poate da o schemă mai convenabilă , aşa cum vom vedea în continuare . 2.4.2 Diferenţe divizate pe noduri nedistincte Teoremă : Fie { }n
iix 0= sistemul de noduri distincte din intervalul [ ]ba, şi fie [ ]( )baCf n ,∈ . Atunci diferenţa divizată pe aceste noduri pentru funcţia f se poate exprima şi prin :
(2) [ ] [ ]∫∫ ∫−
+−++−= −
11
000111
)(1
0 021210 )(...)(...,...,,,
nt
nnnnn
t
n dtxxxtxxtfdtdtxxxxf
Demonstraţie : Inducţie după n . Pentru n = 1 , facem substituţia 1010011 )()( dtxxdyxxxty −=⇒+−= şi avem
[ ]1001
01
0110011
1
0
,)()(
)('1))(('1
0
xxfxx
xfxfdyyf
xxdtxxxtf
x
x
=−−
=⋅−
=+− ∫∫ ceea ce trebuia.
Presupunem formula adevărată pentru oricare n noduri şi o demonstrăm pentru n+1 noduri . Facem substituţia : nnnnnnn dtxxdyxxxtxxty )()(...)( 100111 −− −=⇒+−++−= şi notăm : 00112110 )(...)( xxxtxxty nnn +−++−= −−− şi 0011111 )(...)( xxxtxxty nnn +−++−= −−
56
Atunci avem :
1
0)1(
1)1(
)(
1
001110
)(
)()()(1
))(...)((
1
0
1
−
−−
−
−
−−
=⋅−
=
=+−++−
∫
∫−
nn
nny
y
n
nn
nnnn
tn
xxyfyf
dyyfxx
dtxxxtxxtfn
Deci intergrala din teoremă (din (2) ) devine :
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅
−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
− −
−−
−−
−
1
0 0 0
1
0 0 010
)1(2110
)1(21
1
1 1 1 2
)(...)(...1 t t t t
nn
nn
nn
n n
dtyfdtdtdtyfdtdtxx
=
= conform ipotezei inductive =
= [ ] [ ]{ }12102101
,,...,,,,...,,1−−−
−
−⋅− nnnn
nn
xxxxfxxxxfxx
=
= nu contează ordinea nodurilor =
[ ] [ ] [ ]
[ ] ....,,,...,,
,,...,,,,,...,,,...,,,
110
12101
1210210
dtccxxxxf
xxxxxfxx
xxxxfxxxxf
nn
nnnnn
nnnn
−
−−−
−−−
=
==−−
=
Ţinând cont de faptul că integralele care apar în formula (2) au sens şi pentru noduri nedistincte , putem extinde , în cazul când [ ]( )baCf n ,∈ , diferenţa divizată şi la astfel de noduri , nedistincte , definind-o ca în (2). Proprietăţile diferenţelor divizate pe noduri distincte se pot extinde şi la această diferenţă divizată generalizată . Teoremă : Pentru diferenţa divizată pe noduri nedistincte definită prin (2) , există ba ≤≤ ξξ ,
astfel încât : [ ]!
)(,...,,)(
10 nfxxxf
n
nξ
=
Demonstraţie :
Cum [ ]( )baCf n ,∈ fie [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∈
∈
)(max
)(min)(
,
)(
,
xfM
xfmn
baxn
n
baxn.
Atunci din (2) avem :
≤⋅ ∫∫ ∫−11
0
1
0 021 ...
nt
n
t
n dtdtdtm [ ] ≤nxxxf ,...,, 10 ∫∫ ∫−
⋅11
0
1
0 021 ...
nt
n
t
n dtdtdtM
57
şi cum !
1...11
0
1
0 021 n
dtdtdtnt
n
t
=∫∫ ∫−
, atunci obţinem :
≤nm [ ] ≤⋅ nxxxfn ,...,,! 10 nM . Folosind proprietatea lui Darboux pentru [ ]baxf n ,)()( ∈∃⇒ ξ astfel încât :
[ ] [ ] dtccn
xfxxxfxxxfnfn
nnn ...,
!)(,...,,,...,,!)(
)(
1010)( =⇒⋅=ξ
Dacă în particular , luăm aici xxxx n ==== ...10 , rezultă că :
(3) [ ]!
)(,...,,)(
nxfxxxf
n
=
Se constată că toate proprietăţile de la diferenţe divizate pe noduri distincte se extind şi la diferenţe divizate pe noduri nedistincte şi , în plus, din (2) rezultă şi continuitatea lor ca funcţii de noduri . 2.4.3 Formule Newton-Hermite
Să considerăm [ ]( )baCf n ,22 +∈ şi dăm o nouă expresie pentru polinomul lui Hermite (1) . Pentru aceasta considerăm pe lângă nodurile { }n
iix 0= şi nodurile 'ix în vecinătatea nodurilor ix şi distincte de acestea .
Formula polinomului de interpolare Newton pentru cele 2n+2 noduri ne dă
împreună cu restul :
[ ] [ ][ ][ ][ ][ ] )')()...(')((,',,...,',,',
))(')...(')((',,',...,',,',)')()...(')((,',,...,',,',
...))(')((',,',)')((,',)(',)()(
001100
10011100
1100111100
1001100
001000000
nnnn
nnnnn
nnnnn
xxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf
−−−−++−−−−++−−−−+
++−−−++−−+−+=
−−
−−−−
În ipoteza în care în care lucrăm au loc formule de tip (2) pentru toate diferenţele
divizate implicate . Din continuitatea diferenţelor divizate generalizate ca funcţii de noduri , rezultă că pentru ii xx →' , ni ,0= , se obţin diferenţe divizate cu noduri nedistincte în sensul dat mai sus . Astfel , la limită găsim :
58
[ ] [ ][ ][ ][ ][ ] 22
01100
21
2011100
12
12
0111100
12
01100
201000000
)...()(,,,...,,,,
)()...()(,,,...,,,,
)...()()(,,,...,,,,
...)()(,,,
)(,,)(,)()(
nnn
nnnnn
nnnnn
xxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxf
xxxxxfxxxxfxfxf
−−+
+−−−+
+−−−+
++−−+
+−+−+=
−−
−−−
care este formula Newton – Hermite . Ultimul termen îl reprezintă restul , adică : [ ] 22
01100 )...()(,,,...,,,,)()( nnn xxxxxxxxxxxfxHxf −−=− Prin compararea cu formula restului dată anterior se obţine o evaluare a diferenţelor divizate generalizate , şi anume :
[ ])!22(
)(,,,...,,,,)22(
1100 +=
+
nfxxxxxxxf
n
nnξ
Pentru calculul diferenţelor divizate care intervin în formula Newton-Hermite se face un tabel asemănător cu cel făcut la diferenţe divizate pe noduri distincte , în care repetăm de câte două ori fiecare nod şi fiecare valoare a funcţiei . Pe prima coloană a diferenţelor divizate de fiecare dată când sunt nodurile egale , diferenţa divizată de forma [ ]00 , xxf se ia după formula (3) , iar când sunt noduri distincte diferenţa divizată [ ]1, +ii xxf se calculează după formula obişnuită . Pe coloanele următoare a diferenţelor
divizate se foloseşte formula de recurenţă obişnuită de la diferente divizate care a fost extinsă şi în cazul în care nodurile se repetă . Avem :
ix f( ix ) De ordin 1 [ ]1, +ii xxf De ordin 2 [ ]21 ,, ++ iii xxxf 0x
f( 0x )
[ ]!1
)(', 0
00xf
xxf = 0x
f( 0x )
[ ]100 ,, xxxf
[ ]01
0110
)()(,
xxxfxf
xxf−−
= 1x
f( 1x )
[ ]110 ,, xxxf
[ ]!1
)(', 111
xfxxf = 1x
f( 1x )
2x
f( 2x )
[ ]12
1221
)()(,xx
xfxfxxf−−
=
[ ]221 ,, xxxf
59
Coeficienţii din formula Newton – Hermite sunt cei de pe primele două locuri în fiecare coloană . Exemplul : Să se construiască polinomul de interpolare Newton –Hermite pentru tabloul : Avem : Scriem polinomul :
2232
)3()2()1()2()1(7
)2()1(12)1(5)1(42)(
234567
222222
222227
−+++−+−=
=−−−+−−+
+−−+−+−−+−=
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxp
ix 0 1 2 3 f( ix ) -2 -1 4 793 f’( ix ) 1 -3 77 2329
ix f( ix ) Ord 1 Ord 2 Ord 3 Ord 4 Ord 5 Ord 6 Ord 7 0 0 1 1 2 2 3 3
-2 -2 -1 -1 4 4 793 793
1 1 -3 5 77 789 2329
0 -4 8 72 712 1540
-4 6 64 320 828
5 29 128 254
12 33 63
7 10
1
60
2.4.1.Interpolare Hermite generală Interpolarea Hermite se poate defini pentru oricâte derivate cunoscute în fiecare nod . Condiţiile de interpolare , în general , se pot da sub forma tabelului următor : ),()( 00 xfxH = ),(')(' 00 xfxH = …, )()( 0
)1(0
)1( 00 xfxH −− = αα ),()( 11 xfxH = ),(')(' 11 xfxH = …, )()( 1
)1(1
)1( 11 xfxH −− = αα ……………………………………………………………………… ),()( nn xfxH = ),(')(' nn xfxH = …, )()( )1()1(
nn xfxH nn −− = αα Numărul acestor condiţii este nαααα ++++ ...210 , şi atunci pentru unicitate polinomul Hermite corespunzător va avea gradul m= nαααα ++++ ...210 -1 . Vom nota atunci polinomul de interpolare Hermite cu )(xH m şi îl vom căuta sub forma : )()();()( 11 xHxxfLxH nmnnm −−+ ⋅+= ω
unde );( xfLn este polinomul de interpolare Lagrange pe nodurile ),0(, nixi = ,
)(1 xn+ω este polinomul fundamental Newton care are rădăcinile ),0(, nixi = , iar )(1 xH nm −− este un polinom de gradul m-n-1 . In acest mod am impus condiţiile de
interpolare de pe prima coloană a tabelului anterior . Prin derivarea succesivă a relaţiei pentru )(xH m în nodurile ),0(, nixi = găsim :
)()(')(')(')(' 11 xHxxLxHxf nmninimi −−+ ⋅+== ω)(')('2)()(")(")(")(" 1111 xHxxHxxLxHxf nminnmninimi −−+−−+ ⋅+⋅+== ωω , …etc.
adică vom şti valorile polinomului )(1 xH nm −− şi ale derivatelor sale până la ordinul
2−iα în ),0(, nixi = . Astfel , polinomul )(1 xH nm −− este polinomul de interpolare Hermite pentru tabelul de forma : ,)( 001 zxH nm =−− ,')(' 001 zxH nm =−− …, )2(
00)2(
100 )( −−
−− = αα zxH nm
,)( 111 zxH nm =−− ,')(' 111 zxH nm =−− …, )2(11
)2(1
11 )( −−−− = αα zxH nm
……………………………………………………………………… ,)(1 nnnm zxH =−− ,')('1 nnnm zxH =−− …, )2()2(
1 )( −−−− = nn
nnnm zxH αα unde valorile )( j
iz sunt cele găsite mai sus . Lui )(1 xH nm −− îi aplicăm acum acelaşi procedeu . În final , tabelul de valori care rămâne este de tip Lagrange , nu mai conţine nici o derivată şi aici calculul se încheie .
61
Teorema referitoare la rest se extinde şi aici , obţinem evaluarea restului :
nn
m
xxxxxxm
fxHxf αααξ )...()()()!1(
)()()( 1010
)1(
−−−+
=−+
unde trebuie făcută
ipoteza că [ ]( )baCf m ,1+∈ , iar bxa <=< )(ξξ . Ca mai înainte găsim şi formula Newton-Hermite generală :
[ ] [ ]
[ ]
+−−−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡++
+−−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+−+
++−+−+=
−
−
1101100
0110001001
0000
200000000
)...()()(,...,,.......,,,...,,,...,...
)()(,,,...,)(,,...,)(,...,,
...)(,,)(,)()(
10
10
0
0
0
0
0
0
n
n
n
ori
nn
oriori
orioriori
xxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxfxxxxxfxxxxxf
xxxxxfxxxxfxfxf
ααα
ααα
α
α
α
α
α
α
434214342143421
43421434214434421
+ n
n
n
ori
nn
oriori
xxxxxxxxxxxxxf ααα
ααα
)...()()(,,...,,.......,,,...,,,..., 10
10
101100 −−−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
434214342143421
Calculul diferenţelor divizate pe noduri nedistincte care intervin se fac ţinând cont de
formulele : !
)(,...,,)(
1n
xfxxxfn
orin
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+43421 şi de formulele de recurenţă prezentate anterior .
Exemplu : Să se construiască polinomul de interpolare Hermite pentru : Construim tabelul diferenţelor divizate .
ix 0 1 3 f( ix ) 3 -3 741 f’( ix ) -3 -16 1980f’’( ix ) 4 -32 -
62
Scriem polinomul :
.332363)2()1(0)1(3)1(3)1(25233)(
23456
333323332
+−+−+−=
=−−⋅+−+−+−−−+−=
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxH
2.5. Interpolarea funcţiilor de două variabile Ideea interpolării se poate extinde şi la funcţii de două sau mai multe variabile . Astfel vom putea numi polinom de interpolare pentru funcţia ),( yxf , un polinom de x şi y care are aceleaşi valori cu funcţia f într-un număr dat de puncte de interpolare din plan . În general este greu de scris expresia polinomului de interpolare pentru o dispunere oarecare a punctelor de interpolare .Vom considera două dispuneri particulare a acestor puncte care apar deseori în problemele practice . Să presupunem mai întâi că sunt date valorile funcţiei ),( yxf în punctele unei reţele dreptunghiulare de coordonate njmiyx ji ,1,,0),,( == . Vom găsi un polinom de interpolare ),( yxL de gradul m în x şi de gradul n în y , care are (m+1)(n+1) coeficienţi , adică un număr egal cu cel al condiţiilor de interpolare . Prin analogie cu formulele de la interpolare Lagrange pentru o variabilă acest polinom va fi de forma :
(1) ∑∑= =
=m
i
n
jjiji yxfyYxXyxL
0 0),()()(),(
ix f( ix ) Ord 1 Ord 2 Ord 3 Ord 4 Ord 5 Ord 6 Ord 7 0 0 0 1 1 1 3 3
3 3 3 -3 -3 -3 741 741
-3 -3 -6 -16 -16 -372 1980
2 -3 -10 -16 194 804
-5 -7 -6 105 305
-2 1 37 100
3 12 21
3 3
0
63
unde mixX i ,0),( = este un polinom de gradul m în x , cu proprietatea că
mixX ikki ,0,)( == δ , şi njyY j ,0),( = este un polinom de grad n în y cu
proprietatea că njyY jllj ,0,)( == δ . Aşadar :
(2) ∏≠= −
−=
m
ikk ki
ki xx
xxxX
0
)( şi ∏≠= −
−=
n
jlol lj
lj yy
yyyY )(
O formă mai avantajoasă a polinomului ),( yxL şi de asemenea o evaluare a restului se pot obţine folosind formula polinomului de interpolare Newton. Pentru y fixat , această formulă ne conduce la :
[ ] [ ][ ] ))...()((;,,...,,
...))((;,,)(;,),(),(
10110
102100100
mnn xxxxxxyxxxxfxxxxyxxxfxxyxxfyxfyxf
−−−+++−−+−+=
−
în care am notat [ ]yxxxxf kk ;,,...,, 110 − diferenţele divizate ale funcţiei ),( yxf după x pentru y fixat . Cu notaţiile : ))...()(()( 110 −−−−= kk xxxxxxxv , k = 1,2,…,m+1 , 1)(0 =xv , vom scrie pe scurt :
(3) [ ] [ ]yxxxxfxvyxxxfxvyxf mm
m
kkk ;,,...,,)(;,...,,)(),( 101
010 ⋅+⋅= +
=∑ în care
[ ] ),(; 00 yxfyxf = . Lăsând acum să varieze pe y , diferenţele divizate [ ]yxxxxf kk ;,,...,, 110 − sunt funcţii de cărora formula de interpolare Newton li se poate aplica pe nodurile
nyyy ,...,, 10 , obţinând :
[ ] [ ]
[ ]yyyxxfyw
yyyxxxfywyxxxxf
nkn
n
jjkjkk
,,...,;,...,)(
,...,,;,...,,)(;,,...,,
001
01010110
⋅+
+⋅=
+
=− ∑
în care ,1,...2,1),)...()(()( 110 +=−−−= − njyyyyyyyw jj 1)(0 =yw , iar diferenţele divizate [ ]jkk yyyxxxxf ,...,,;,,...,, 10110 − se obţine prin calculul diferenţelor pe nodurile
jyyy ,...,, 10 ale funcţiei de y [ ]yxxxxf kk ;,,...,, 110 − , Înlocuind în (3) obţinem : (4)
[ ]
[ ] [ ]
),(),(
;;,...,,)(,,...,,;,...,,)()(
,...,,;,...,,)()(),(
1010
10101
0 01010
yxRyxL
yxxxxfxvyyyyxxxfxvyw
yyyxxxfywxvyxf
mm
m
knkkn
m
k
n
jjkjk
+=
=⋅+⋅+
+⋅⋅=
+=
+
= =
∑
∑∑
64
cu (5) :
[ ] [ ]yxxxxfxvyyyyxxxfxvywyxR mm
m
knkkn ;;,...,,)(,,...,,;,...,,)()(),( 101
010101 ⋅+⋅= +
=+ ∑
Restul ),( yxR se poate scrie şi altfel dacă folosim formula de interpolare Newton pentru funcţia de x dată de [ ]yyyyxf nn ;,,...,; 10 − pe nodurile mxxx ,...,, 10 :
[ ] [ ]
[ ]yyyyxxxxfxv
yyyyxxxfxvyyyyxf
nmm
m
knkknn
,,...,,;,,...,,)(
;,...,;,...,,)(;,,...,;
10101
0101010
⋅+
+⋅=
+
=− ∑
Înmulţind-o cu )(1 ywn+ şi scăzând-o din (5) obţinem pentru rest formula :
(6) [ ] [ ][ ]yyyyxxxxfywxv
yyyyxfxvyxxxxfywyxR
nmnm
nmmn
,,...,,;,,...,,)()(;,...,,,)(;,,...,,)(),(
101011
101101
++
++
−−⋅+=
Dacă există derivatele corespunzătoare , folosind formule cu derivate pentru diferenţele divizate , se poate exprima restul sub forma :
(7)
11
211
1
11
1
11
),()!1()(
)!1()(
),()!1()(),(
)!1()(
),(
++
++++
+
++
+
++
∂∂∂
+⋅
+−
−∂
∂⋅
++
∂∂
+=
nm
nmnm
m
mm
n
nn
yxf
nyw
mxv
xxf
mxv
yxf
nyw
yxR
ηξ
ξη
O altă dispunere a punctelor de interpolare se cere dacă polinomul de intepolare
),( yxL este de grad n în cele două variabile simultan :
∑∑=
−
=
=m
k
km
j
jkkj yxbyxL
0 0),(
Pentru a determina în mod unic coeficienţii kjb în număr de
2)1)(1()1(...21 ++
=++++nmm , vom alege punctele de interpolare ),( ji yx cu
.,...2,1,0 mji =+ Pentru y fixat formula lui Newton ne dă ca mai înainte expresia (3) , dar diferenţele [ ]yxxxxf kk ;,,...,, 110 − , ca funcţii de y , vor fi interpolate de data aceasta numai pe nodurile kmyyy −,...,, 10 :
[ ] [ ]
[ ]yyyxxfyw
yyyxxxfywyxxxxf
kmkkm
km
jjkjkk
,,...,;,...,)(
,...,,;,...,,)(;,,...,,
001
01010110
−+−
−
=−
⋅+
+⋅= ∑
65
Înlocuind în (3) şi (4) obţinem : (8)
[ ]
[ ] [ ]yxxxxfxvyyyyxxxfywxv
yyyxxxfywxvyxf
mm
m
kkmkkmk
m
k
km
jjkjk
;;,...,,)(,,...,,;,...,,)()(
,...,,;,...,,)()(),(
1010
10101
0 01010
⋅+⋅+
+⋅⋅=
+=
−+−
=
−
=
∑
∑∑
Prima sumă (dublă ) din (8) este polinomul de interpolare , iar celelalte sunt termenii restului , care se pot exprima prin derivate , în caz că există , ca mai sus . Dacă
ix , i=0,1,…m şi respectiv jy , j= 0,1,…,n, sunt în ordine crescătoare , punctele de interpolare sunt dispuse în punctele reţelei dreptunghiulare situate sub diagonală (triunghiul inferior ).Dar cum ordinea nu este esenţială la interpolare , se pot obţine orice alte dispuneri ale punctelor .
66
Capitolul 3
Metodele numerice întâlnite în programa şcolară de liceu . Considerente metodice
3.1 Aplicaţii ale integralei definite – aproximare numerică a ariilor ,
volumelor , lungimii graficului În cazul analizei matematice se recurge adeseori la metode de aproximare pentru diverse mǎrimi . In liceu sunt câteva aplicaţii asemǎnǎtoare metodelor numerice şi anume la aproximarea ariei determinate de graficul unor funcţii , la calculul volumelor unor corpuri de rotaţie , la calcularea lungimii graficului unei funcţii . Aceste aplicaţii sunt date în clasa a XII –a ca fiind aplicaţii ale integralei definite , dar , de fapt , ele utilizeazǎ metode specific analizei numerice precum aproximarea graficului (deci a funcţiei ) cu ajutorul reuniunii de segmente (deci prin funcţii de gradul întâi ) , împǎrţirea intervalului în mai multe subintervale , iteraţia etc. 3.1.1 Calculul ariei unei suprafeţe plane Definiţii :
1) O mulţime RRE ×⊂ se numeşte elementarǎ , dacǎ i
n
i
DE U1=
= , unde iD
sunt dreptunghiuri cu laturile respectiv paralele cu axele de coordonate , iar oricare douǎ dreptunghiuri au în comun cel mult o laturǎ . În acest caz,
aria este : ∑=
=n
iiDariaEaria
1)()( .
2) Fie A o mulţime mǎrginitǎ din plan . Spunem cǎ mulţimea A are arie dacǎ : a) existǎ douǎ şiruri de mulţimi elementare )( nE şi )( nF astfel încât : NnFAE nn ∈∀⊂⊂ , b) şirurile de numere reale pozitive (aria )( nE ) şi (aria )( nF ) sunt convergente şi au aceeaşi limitǎ .
In acest caz : aria(A) )(lim)(lim nnnn
def
FariaEaria∞→∞→
== .
Cu aceste elemente pregǎtitoare vom descrie o metodǎ numericǎ de determinare a ariei unei suprafeţe plane folosind calculul integral . Teoremǎ : Fie Rbaf →],[: o funcţie continuǎ şi pozitivǎ . Atunci :
67
a) Mulţimea { })(0,/),( xfybxayxf ≤≤≤≤=Γ are arie ;
b) Aria este datǎ de : ∫=Γb
af dxxfaria )()(
Demonstraţie : Fie )( nΔ , )...( )()(
1)(
1)(
0 bxxxxa nk
nk
nnn nn
=<<<<==Δ − un şir de diviziuni ale
intervalului [a,b] cu 0lim =Δ∞→ nn
.
Funcţia f fiind continuǎ pe [a,b] , este continuǎ pe fiecare subinterval ],[ )()(1
ni
ni xx − .
Conform teoremei lui Weierstrass , f este mǎrginitǎ şi îşi atinge marginile pe fiecare interval ],[ )()(
1n
in
i xx − . În consecinţǎ , existǎ ∈)()( , n
in
i vu ],[ )()(1
ni
ni xx − astfel încât :
]},[/)(inf{)( )()(1
)()( ni
ni
ni
ni xxxxfmuf −∈==
]},[/)(sup{)( )()(1
)()( ni
ni
ni
ni xxxxfMvf −∈==
Se considerǎ dreptunghiurile cu baza )(
1)( n
in
i xx −− şi înǎlţimea )(nim respectiv )(n
iM .
Avem : ],0[],[ )()()(
1)( n
in
in
in
i mxxD ×= − ],0[],[ )()()(
1)( n
in
in
in
i MxxG ×= − .
Se constituie mulţimile elementare : )(
1
ni
k
i
def
n DEn
U=
= , respectiv )(
1
ni
k
i
def
n GFn
U=
= , care
verificǎ relaţiile : nfn FE ⊂Γ⊂ (1). Se mai iau :
∑ ∑= =
Δ−− =−=−=n n
n
k
i
k
i
ni
ni
ni
ni
ni
ni
nin ufxxufxxmEaria
1 1
)()(1
)()()(1
)()( ),())(()()( σ , respectiv
68
∑ ∑= =
Δ−− =−=−=n n
n
k
i
k
i
ni
ni
ni
ni
ni
ni
nin vfxxvfxxMFaria
1 1
)()(1
)()()(1
)()( ),())(()()( σ .
Fiind continuǎ pe [a,b] , f este integrabilǎ pe [a,b] şi astfel :
== Δ∞→∫ ),(lim)( )(nin
b
a
ufdxxfn
σ )()(),(lim )(nn
nin
FariaEariavfn
==Δ∞→σ (2).
Din relaţiile (1) şi (2) şi aplicând definitia mulţimii care are arie , se obţine cǎ mulţimea
fΓ are arie şi ∫=Γb
af dxxfaria )()( .
Exemplul 1 : Fie funcţia 1)(,]3,0[: +=→ xxfRf . Sǎ se arate cǎ mulţimea fΓ are arie şi sǎ se calculeze aceastǎ arie . Rezolvare : Funcţia f este continuǎ şi pozitivǎ pe intervalul [0,3] . Rezultǎ cǎ subgraficul fΓ are arie şi :
.3
14)1(32)'1()1(1)()(
3
0
3
0
233
0
213
0∫ ∫∫ =+=+⋅+=+==Γ xdxxxdxxdxxfaria f
Exemplul 2 : Sǎ se determine aria mulţimii fΓ pentru .)(,]2,1[: 2 xxxfRf −=→− Rezolvare : Dupǎ explicitarea modulului avem :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−∈−−∈−
=]2,1[,)1,0(,]0,1[,
)(2
2
2
xxxxxx
xxxxf . Funcţia este continuǎ şî pozitivǎ pe intervalul dat , deci
mulţimea fΓ are arie şi :
∫ ∫∫∫− −−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−+−+−==Γ
0
1
2
1
0
1
232
1
0
222
1 23)()()()()( xxdxxxdxxxdxxxdxxfaria f
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
1
0
32
32xx
611
23
2
1
23
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
xx .
Consecinţǎ la teoremǎ : Fie Rbagf →],[:, , funcţii continue , astfel încât
( ) ].,[),()( baxxgxf ∈∀≤ Atunci mulţimea { })()(,/),(, xgyxfbxayxgf ≤≤≤≤=Γ cuprinsǎ între graficele funcţiilor f,g, şi dreptele x = a , x = b , are arie şi :
69
∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )]()([)( , .
Observaţie : 1)dacǎ nu ştim ordinea funcţiilor , putem uşor generaliza formula folosind
modulul : ∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )()()( , , iar apoi explicitǎm modulul , desfacem în sumǎ
de integrale (aditivitatea la interval a integralei definite ) şi calculǎm fiecare integralǎ în parte . 2)dacǎ ( ) ],[),()(0 baxxgxf ∈∀≤≤ atunci )()()( , fggf ariaariaaria Γ−Γ=Γ . Exemplul 1 : Sǎ se determine aria gf ,Γ , dacǎ 3)(,1)(,]1,2[:, 2 +−=+=→− xxgxxfRgf . Rezolvare : Reprezentǎm geometric graficele celor douǎ funcţii pe acelaşi sistem de axe de coordonate şi obţinem mulţimea gf ,Γ (zona haşuratǎ ).
Se observǎ cǎ ( ) ]1,2[),()(0 −∈∀≤≤ xxgxf , iar f şi g sunt continue pe [-2,1]. Rezultǎ cǎ :
292
23)2()]()([)(
1
2
231
2
21
2, =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−=+−−=−=Γ
−−−∫∫ xxxdxxxdxxfxgaria gf .
Exemplul 2 : Sǎ se calculeze aria mulţimii cuprinse între curbele de ecuaţie 23xy = şi 12 += xy . Rezolvare :
70
Se determinǎ întâi punctele de intersecţie ale celor doua curbe rezolvând sistemul
format din cele douǎ ecuaţii ale lor . Se obţin soluţiile ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
31,
31,3,1 .
Se considerǎ funcţiile 12)(,3)(,]1,31[:, 2 +==→− xxgxxfRgf cu reprezentǎrile
geometrice de mai jos .
Se observǎ cǎ ( ) ]1,
31[),()( −∈∀≤ xxgxf . Rezulta cǎ :
( )2732)123()]()([)(
1
31
321
31
21
31
, =−+=−+−=−=Γ−
−−
∫∫ xxxdxxxdxxfxgaria gf .
3.1.2 Volumul corpurilor de rotaţie Din studiul geometriei în spaţiu sunt cunoscute o serie de corpuri geometrice pentru care se ştie formula de calcul pentru volum : prisma , piramida , cilindrul , conul etc. În acest paragraf se va indica o cale de a determina volumul acelor corpuri obţinute prin rotirea subgraficului unei funcţii pozitive în jurul axei Ox folosind calculul integral , care pentru funcţii corespunzǎtor alese sǎ conducǎ la formulele cunoscute deja . Fie ),0[],[: +∞→baf o funcţie pozitivǎ. Definiţie : Se numeşte corp de rotaţie determinat de funcţia f , corpul obţinut prin rotirea subgraficului acesteia in jurul axei Ox . Corpul de rotaţie determinat de funcţia f se noteazǎ fC şi este mulţimea }.),(/),,{( 223 bxaxfzyRzyxC f ≤≤≤+∈=
71
Cel mai simplu corp de rotaţie se pbţine prin rotirea subgraficului funcţiei constante pozitive ],[,)( baxrxf ∈= în jurul axei Ox . (figura de mai sus din stânga ) Acest corp reprezintǎ un cilindru cu raza bazei r , şi generatoarea (înǎlţimea b-a ). Se noteazǎ }.,/),,{( 223 bxarzyRzyxCr ≤≤≤+∈= Se ştie cǎ volumul cilindrului este : )()( 2 abrCVol r −= π . Fie acum funcţia Rbaf →],[: şi )...( 110 bxxxxa nn =<<<<==Δ − o diviziune a intervalului [a,b] , astfel încât f este constantǎ pe fiecare subinterval ],[ 1 ii xx − adicǎ
( ) nixxcxf iii ,...,2,1],,[,)( 1 =∀= − . Se spune cǎ funcţia este constantǎ pe porţiuni . Definiţie : Se numeşte mulţime cilindricǎ elementarǎ , orice mulţime care se obţine prin rotirea subgraficului unei funcţii constante pe porţiuni în jurul axei Ox.
Volumul acestei mulţimi elementare este dat de formula : )()( 11
2−
=
−= ∑ ii
n
iif xxcCVol π
Cu ajutorul mulţimilor cilindrice elementare se va define volumul unui corp de rotatie determinat de o funcţie pozitivǎ pe un interval [a,b] .
72
Definiţie : Fie ),0[],[: +∞→baf şi fC corpul de rotaţie determinat de funcţia f . Corpul fC are volum dacǎ existǎ douǎ şiruri )( nG şi )( nH de mulţimi cilindrice elementare , asociate funcţiilor constante pe porţiuni Rbahg nn →],[:, , astfel încât : a) ( ) NnHCG nfn ∈∀⊂⊂ ,
b) lHvolGvol nnnn==
∞→∞→)(lim)(lim . În acest caz volumul corpului fC este : lCvol
def
f =)( .
Cu aceste elemente pregǎtitoare , vom descrie o metodǎ oferitǎ de calculul integral şî de metodele numerice iterative pentru determinarea volumului unui corp de rotatie . Teoremǎ : Fie ),0[],[: +∞→baf o funcţie continuǎ şi fC corpul de rotaţie determinat de f . Atunci : a) fC are volum
b) ∫=b
af dxxfCvol )()( 2π .
Demonstraţie : Fie )...(),( )()(
1)(
1)(
0 bxxxxa nk
nk
nnnn nn
=<<<<==ΔΔ − un şir de diviziuni ale
intervalului [a,b] , cu 0lim =Δ∞→ nn
.
Funcţia f fiind continuǎ pe [a,b] , este continuǎ pe fiecare subinterval ],[ )()(1
ni
ni xx − .
Conform teoremei lui Weierstrass , f este mǎrginitǎ şi îşi atinge marginile pe fiecare interval ],[ )()(
1n
in
i xx − . În consecinţǎ , existǎ ∈)()( , n
in
i vu ],[ )()(1
ni
ni xx − astfel încât :
]},[/)(inf{)( )()(1
)()( ni
ni
ni
ni xxxxfmuf −∈==
]},[/)(sup{)( )()(1
)()( ni
ni
ni
ni xxxxfMvf −∈== .
Pentru fiecare Nn∈ se definesc funcţiile constante pe porţiuni :
( )⎩
⎨⎧
≤≤=∀≤≤∈=
= −
nn
ii
nn
in
in
in
in kixxxf
kixxxufmxg
0,..........),........(1),,(),(
)( )(
)()(1
)()(
( )⎩
⎨⎧
≤≤=∀≤≤∈=
= −
nn
ii
nn
in
in
in
in kixxxf
kixxxvfMxh
0,..........),........(1),,(),(
)( )(
)()(1
)()(
73
Corpurile de rotaţie )( nG şi )( nH generate de cele douǎ funcţii de mai sus sunt mulţimi cilindrice elementare cu proprietǎţile : (1) ( ) NnHCG nfn ∈∀⊂⊂ ,
(2) ),())(()( )(2)(1
1
)()(2 ni
ni
k
i
ni
nin ufxxufGvol
n
πσπ =−= −=∑
),())(()( )(2)(1
1
)()(2 ni
ni
k
i
ni
nin vfxxvfHvol
n
πσπ =−= −=∑ .
Funcţia f fiind continuǎ , rezultǎ cǎ şi 2fπ este continuǎ , deci integrabilǎ pe [a , b] şi prin urmare :
===∫ ∞→)(),(lim)( )(22
nn
i
b
an
Gvolufdxxf πσπ )(),(lim )(2n
nin
Hvolvf =∞→
πσ (3).
Din (1),(2),(3) şî definitia corpurilor care au volum , rezultǎ cǎ fC are volum şi
∫=b
af dxxfCvol )()( 2π .
Exemplul 1 Sǎ se calculeze volumul corpului de rotaţie deteriminat de funcţia
32)(,]3,2[: −=→ xxfRf .
3139
212
34)9124()32()()(
3
2
233
2
23
2
3
2
22 πππππ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+−=−== ∫∫ ∫ xxxdxxxdxxdxxfCvol f
3.1.3. Lungimea graficului unei funcţii derivabile cu derivata continuǎ Fie funcţia Rbaf →],[: o funcţie continuǎ , )...( 110 bxxxxa nn =<<<<==Δ − o diviziune a intervalului [a,b] şi punctele nixfxA iii ,...,2,1)),(,( = . Definiţii :
1)Funcţia Rbaf →Δ ],[: ],[),()()(
)()( 111
11 iii
ii
iii xxxxx
xxxfxf
xfxf −−−
−−Δ ∈−
−−
+= ,
ni ,...,2,1= se numeşte funcţia poligonalǎ asociatǎ funcţiei f şi diviziunii Δ .
74
2)Numǎrul pozitiv ∑=
−Δ =n
iii AAdfl
11 ),()( se numeşte lungimea graficului funcţiei Δf .
3)Graficul funcţiei continue Rbaf →],[: are lungime finitǎ dacǎ existǎ o constantǎ 0≥M astfel încât Mfl ≤Δ )( . În acest caz , numǎrul real pozitiv
{ }],[./)(sup)( badiviziuneflfl Δ= Δ , se numeşte lungimea graficului funcţiei f . Calculul lungimii graficului unei funcţii derivabile , cu derivata continuǎ , cu ajutorul integralei definite este dat de urmǎtorul rezultat . Teoremǎ : Fie Rbaf →],[: o funcţie derivabilǎ , cu derivata continuǎ . Atunci : a)graficul funcţiei are lungime finitǎ
b) dxxfflb
a∫ += 2)]('[1)( .
Exemplul 1 :Sǎ se calculeze lungimea graficului funcţiei 3
2)(,]8,3[: xxxfRf =→ .
Rezolvare : Funcţia este derivabilǎ pe intervalul de definiţie , şi derivata sa xxf =)(' este continuǎ pe acelaşi interval .
În aceste condiţii avem : 3
381)1(321)]('[1)(
8
3
8
3
8
3
2 =++=+=+= ∫∫ xxdxxdxxffl
75
3.2. Proiecte didactice Acum voi prezenta un proiect al unitǎţii de învǎţare « Aplicaţii ale integralei definite ». Grup Şcolar Stefan Procopiu ,Iasi Disciplina: Matematică _ Elemente de Analizǎ Matematică Profesor: Cruţ Bianca Clasa XII, M1-2, 3h/ sapt.
Proiectul unitǎţii de învăţare: INTEGRALA DEFINITĂ
Competenţe specifice vizate
C.1. Identificarea cu ajutorul tabelelor de derivate a unor primitive uzuale. C.2. Stabilirea unor proprietǎţi ale calculului integral prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial. C.3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului integral în rezolvarea de probleme practice. C.4. Exprimarea calitativă sau cantitativă a variaţiei ariei subgraficului unei funcţii prin determinarea primitivei sau a integralei funcţiei. C.5. Determinarea ariei unui domeniu sau a volumului unui corp, folosind calculul integral şi compararea cu rezultatele obţinute prin aplicarea unor formule geometrice cunoscute anterior. C.6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practice sau specifice unor domenii applicative. Nr. alocate: 8 ore Conţinuturi ale unităţii de învăţare
Competenţe specifice
vizate
Activitǎţi de învăţare Resurse Evaluare
1) Integrala unei funcţii continue. Formula lui Leibniz-Newton. Proprietăţi ale integralei definite. Aplicaţii.
C.1.
C.2., C.3.
Definiţie. Fie [ ] Rbaf →,: , o funcţie care admite primitive pe [ ]ba, şi F o primitivă a lui f . Numim integrala definitǎ de la a la b a lui f, expresia F(b)-F(a) şi notǎm
∫ −=b
a
aFbFdxxf )()()(
(formula lui Leibniz-Newton). Notaţia: b
axFaFbF )()()( =−
(citim:”F(x)luat între a şi b). Reamintim că : Orice funcţie continuǎ admite primitive. Proprietăţi ale integralei definite.
1) Proprietatea de liniaritate.
Manual Teora, culegere de M. Ganga, PII Metode utilizate: explicaţia, conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematiza-rea, descoperirea, activitǎţi frontale şi individuale. Tema pentru acasă: manual pag.164, ex. 5-10, culegere pag. 15, ex. 1-7.
Observarea sistematicǎ a elevilor, aprecierea verbală a activitǎţii lor la clasă. Verificarea elevilor în ora următoare prin tema pentru acasa.
76
Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt funcţii continue şi R∈λ , atunci:
a) [ ] ∫ ∫∫ +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b) ∫ ∫=b
a
b
a
dxxfdxxf )()( λλ .
2) Dacǎ Rbaf →],[: , este o funcţie pozitivă şi continuǎ, atunci
∫ ≥b
a
dxxf 0)( .
3) Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt funcţii continue cu proprietatea: [ ]baxxgxf ,),()( ∈∀≤ ,
atunci ∫∫ ≤b
a
b
a
dxxgdxxf )()( .
(proprietatea de monotonie a integralei). 4) Fie Rbaf →],[: şi ( )bac ,∈ . Dacǎ restricţiile lui f sunt continue pe [a,c] şi [c,b], atunci
∫ ∫ ∫+=b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()( .
(proprietatea de aditivitate la interval). Definiţie. Dacă ba ≤ şi
[ ] Rbaf →,: este o funcţie continuǎ, atunci punem prin definiţie:
∫ =a
a
dxxf 0)( ; ∫ ∫−=b
a
a
b
dxxfdxxf )()( .
Aplicaţii calcul de integrale ex. 1-4, pag. 164, man.
2)Metode de calcul a integralelor definite. •Integrarea prin părţi -Formula de integrare prin părţi; -Aplicaţii.
C.1.
C.2.,C.3,C.6.
Teoremă. Dacă [ ] Rbagf →,:, , sunt două funcţii derivabile cu derivate continue, atunci
∫ ∫−=b
a
b
a
b
adxxgxffgdxxgxf )()()()( ''
(formula de integrare prin părţi) Aplicaţii: calcul de integrale definite utilizând formula de integrare prin părţi
Manual, culegere Metode utilizate: explicaţia, conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, descoperirea, activitǎţi frontale şi
Verificarea temei pentru acasǎ prin sondaj;corectarea temei la tabla (dacă sunt ex. neabordate sau ex. abordate greşit) Aprecierea răspunsurilor primate de la
77
ex. 1,2,5,7,8/165 man. Teora individuale. Tema, pag. 165,ex.3,4,6,man. Teora Culegere Ganga, pag. 43, ex. 2,4,5.
elevi.
3)••Schimbarea de variabilă. -Formula de schimbare de variabilă; - Aplicaţii.
C.1.
C.2.,C.3.,C.6.
Teoremă. Fie [ ] )(,:,,: RIRIfIba ⊆→→ϕ , I
interval, două funcţii cu proprietăţile: 1) f continuă pe I, 2) ϕ este derivabilă, cu derivate
continuă pe [ ]ba, , Atunci
∫∫ =⋅)(
)(
' )()())((b
a
b
a
dxxfdtttfϕ
ϕ
ϕϕ
(formula de schimbare de variabilă) Aplicaţii: calcul de integrale definite utilizând formula de schimbare de variabilă. Ex. 2,6,7,10/pag. 168, man. Teora Ex. 1-4/pag. 48, culegere Ganga
explicaţia, conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, descoperirea, activitǎţi frontale şi individuale. Temă pentru acasă. man. pag. 168, ex.1,3,4 culegere pag.48, ex.5,6.
Verificarea temei pentru acasǎ prin sondaj;corectarea temei la tabla (dacă sunt ex. neabordate sau ex. abordate greşit) Aprecierea răspunsurilor primate de la elevi.
4)Integrale definite. Aplicaţii.
Calcul de integrale definite. Fise de lucru.
Fişe de lucru (4 modele). Metode utilizate: explicaţia, conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, descoperirea, activitǎţi frontale şi individuale si pe grupe.
Aprecierea rǎspunsurilor primite de la elevi si analiza comparativă a lor.
5) Aplicaţii ale integralelor in geometria planǎ.Calculul ariilor unor suprafeţe plane.
C.1.-C.6.
Teoremă.Dacă [ ] Rbaf →,: este o funcţie continuă , pozitivă
[ ]),,0)(( baxxf ∈∀≥ ,iar ( ){ })(0,, 2 xfybxaRyxf ≤≤≤≤∈=Γ
este subgraficul lui f, atunci mulţimea fΓ are arie şi
∫=Γb
af dxxfaria )()( .
Observaţii: 1) Dacă 0)( ≥xf , graficul
Manual , culegeri. Metode utilizate: explicaţia, conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, descoperirea, activitǎţi frontale şi individuale. Tema pentru acasǎ
Verificarea temei pentru acasǎ prin sondaj, rezolvarea la tablǎ a exerciţiilor care n-au fost abordate sau rezolvate correct; aprecierea răspunsurilor primate de la elevi.
78
lui f este situate deasupra axei Ox 0)( ≥Γ⇒ faria ;
2)Dacă 0)( ≤xf , graficul lui f este situate sub axa
Ox ∫−=Γ⇒b
af dxxfaria )()( ;
2) Dacă [ ] Rbagf →,:, sunt funcţii continue astfel încât
[ ]baxxgxf ,),()( ∈∀≤ , atunci mulţimea
( ){ ((,, 2, xgyxfbxaRyxgf ≤≤≤≤∈=Γ
are arie şi [ ]∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )()()( , .
Aplicaţii. Ex. 1,2,3/pag. 171, man. Teora Ex. 2.a),b)/pag.86, culegere Ganga
ex.1,2,3/169;5/169,man.
6) Ariile suprafeţelor plane. Lecţie în AEL.
C.1.-C.6.
1) Aria subgraficului unei funcţii. 2) Aria determinatǎ de graficul a două funcţii. 3) Aplicaţii. 4) Test grilǎ.
Calculatorul si softul educaţional cu continutul ştinţifiic şi practic aferent temei abordate. Metode:problematizarea,conversaţia, conversaţia euristicǎ, explicaţia, exerciţiul.
Observarea sistematicǎ a elevilor, aprecierea capacitaţii elevilor de a parcurge paşii lecţiei.
7) Calcul de arii C.1.-C.6.
Calculul ariilor unor suprafeţe plane. Fişe de lucru.
Fişe de lucru. Metode utilizate: explicaţia, conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, descoperirea, activitǎţi frontale şi individuale si pe grupe.
Observarea activitǎţii elevilor ,analiza comparativǎ a rezultatelor primate de la elevi şi aprecierea lor calitativǎ
8) Integrala definitǎ.Test de evaluare sumativǎ.
C.1.-C.6.
Evaluarea sumativǎ a unitǎţii de învaţare. Activitatea individuală.
Test de evaluare sumativă, pe două variante de subiect.
79
Aşa cum se poate observa în proiectul unitǎţii de învǎţare , pentru consolidarea cunoştintelor se poate apela cu succes la calculator . Existǎ în pachetul de lecţii AEL , una pentru aplicaţii ale integralelor definite , şi anume , ariile suprafeţelor plane . Voi arǎta mai jos un plan de lecţie AEL cu aceastǎ temǎ . GRUP SCOLAR Stefan Procopiu -Iasi Profesor: Cruţ Bianca PROIECT DIDACTIC DATA : 22 – III 2007 OBIECTUL: Matematica, Elemente de analizǎ matematicǎ CLASA a XIIa C, M1-2 ( 3h/sǎpt.) UNITATEA DE ÎNVATARE: Aplicatii ale integralei definite. TITLUL LECTIEI: Arii suprafete plane DURATA: 50 min. TIPUL LECTIEI: Fixare de cunostinte, prin parcurgere de soft educational. LOCUL DESFASURARII: Cabinetul de Informatica. COMPETENTE GENERALE CG1 Identificarea corecta a unor date matematice si interpretarea în functie de contextul în care au fost definite. CG2 Descoperirea ( alegerea ) algoritmilor optimi care permit prelucrarea datelor matematice. CG3 Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice. CG4 Exprimarea cu ajutorul datelor matematice a unor situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora. CG5 Interpretarea rezultatelor unor actiuni concrete exprimabile matematice. CG6 Modelarea matematica a unor situatii concrete, prin integrarea cunostintelor din diferite domenii. COMPETENTE SPECIFICE CS1 Identificarea cu ajutorul tabelelor de derivate a unor primitive uzuale. CS2 Stabilirea unor proprietati ale calculului integral prin analogie cu proprietati ale calculului diferential. CS3 Aplicarea unor algoritmi specifici calculului integral în rezolvarea de probleme practice. CS4 Exprimarea calitativa sau cantitativa a variatiei ariei subgraficului unei functii prin determinarea primitivei sau a integralei functiei.
80
CS5 Determinarea ariei unui domeniu, folosind calculul integral si compararea cu rezultatele obtinute prin aplicarea unor formule geometrice, cunoscute anterior. CS6 Aplicarea calculului diferential dau integral în probleme practice sau specifice unor domenii aplicative. Stilul vizual de învatare va fi favorizat de vederea informatiilor în forma tiparita, privirea formelor cuvintelor, folosirea culorilor, efectelor de animatie, în vederea informatiilor în programul A. E. L. Stilul auditiv de învatare va fi favorizat de ascultarea altor persoane care redau sau explica informatiile. Stilul practic de învatare va fi favorizat de scrierea informatiilor în programul A. E. L. în ordinea în care au fost predate, convertirea informatiilor în benzi desenate, folosirea simtului tactil în toate actiunile ce deruleaza informatiile cuprinse în programe de calculator. EXPRIMAREA PROPRIILOR CONCLUZII – generarea de idei si concluzii privind continutul soft – ului educational. TRANSFERUL CONCLUZIILOR – realizarea de conexiuni, generalizari, întrebari. STRATEGII DIDACTICE 1)Principii didactice - Principiul participarii si învatarii active. - Principiul asigurarii progresului gradat al performantei. - Principiul conexiunii inverse. 2)Metode de învatamânt: - Conversatia - Conversatia euristica - Explicatia - Exercitiul - Problematizarea - Descoperirea dirijata prin studiu de caz 3)Forme de organizare - Frontala - Individuala - Pe grupe/perechi. 4)Forme de evaluare: - Observatia - Aprecierea 5)Resurse materiale : - calculatorul si soft – ul educational cu continut stiintific specific temei abordate; - testul grila cu o singura varianta de raspuns correct; - Fise de lucru. 6)Resurse procedurale: - Investigatia stiintifica. - Problematizarea
81
- Observarea sistematica a elevului - Rezolvarea de probleme/situatii problema. ETAPELE LECTIEI I. Reactualizarea Parcurgerea soft – ului educational în sistemul A. E. L. cu continut stiintific, la tema: “Arii suprafete plane” II. Prezentarea situatiei/problema si formularea temei de lucru: Profesorul informeaza elevii asupra continutului soft – ului. o Aria subgraficului functiei f(x) = x(10 min) o Sume de arii(10 min) o Integrala functiei impare f(x) = sinx(10 min) o Integrala functiei f(x) = sinx, cu diviziuni(10 min) o Aria determinata de graficul a doua functii(10 min) o Aplicatie(10 min) o Test final(10 min) III Rezolvarea problemei. 1) Aria subgraficului functiei f(x) = x. Se dau: Functia f:R→R, continua si pozitiva; Reperul cartezian xOy; Punctele: A(a,0), B(b,0) variabile ca pozitie, pe axa xx’( a<b). Punctele C si D,variabile ca pozitie pe dreapta: y = x( C si D sunt punctele în care paralele prin A si B, intersecteaza dreapta: y = x) Se va arata ca subgraficul functiei, f , notat cu )}(0,/),{( xfybxayxf ≤≤≤≤=Γ , are
arie, adica: ∫=Γb
af dxxfaria )()(
Se studiaza mai multe cazuri: Punctul A variabil pe axa xx’ si B fix. Punctul A fix si B variabil pe xx’. Punctul A se confunda cu originea O a sistemului de axe. Punctul A se confunda cu punctul B. Comentarii:
a) ∫∫ −===b
a
b
a
b
a
abxxdxdxxf222
)(222
(conform formulei Leibnitz – Newton)
b) Mutând pozitiile punctelor A, B pe axa xx’ , se constata ca aria trapezului ABDC, este egala cu aria subgraficului functiei f: b c) Fise de lucru.
82
2) Sume de arii. Se dau: Functia f: [a,c] →R, continua si pozitiva; Reperul cartezian xOy; Punctele: A(a,0), B(b,0) si C(c,0) variabile ca pozitie pe axa xOx’; Punctele: D, E si F variabile ca pozitie pe dreapta: y = x(sunt punctele, în care paralelele la axa Oy, prin A, B, C, intersecteaza dreapta: y = x); Se va arata ca subgraficul functiei f are arie, adica:
∫∫∫ +==Γc
b
b
a
c
af dxxfdxxfdxxfaria )()()()(
Se vor studia mai multe cazuri: Punctul A variabil pe axa xx’ si B si C fixe. Punctele A si B fixe, C variabil pe axa xx’. Punctele A si C fixe, B variabil pe axa xx’. Punctul A se confunda cu originea O a sistemului de axe. Punctul A se confunda cu punctul B. Comentarii:
a) ∫∫∫ +=c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
b) Mutând pozitiile punctelor A, B, C pe axa xx’, se constata ca aria trapezului ACDF este egala cu suma ariilor subgraficelor trapezelor: ABEF si BCDE. c) Fise de lucru. 3) Integrala functiei impare f(x) = sinx. Se dau: Functia f: [- a , a ] →R, o functie continua; Reperul cartezian xOy; Punctele: A( a , 0), A ’ ( a, 0) si B( a, sin a), B ’ ( a, sin(a)) fixe. Punctele: D, E si F variabile ca pozitie pe dreapta: y = x.
Se va arata ca: ∫ ∫−
−+=a
a
a
dxxfxfdxxf0
)]()([)(
Adica: 0sin =∫−
a
a
xdx (deoarece funcţia sinx este imparǎ = 0)]sin([sin0
=−+∫ dxxxa
)
Verificare: 0)cos(cos))cos((coscossin =−−=−−−=−=−
−∫ aaaaxxdx a
a
a
a
(funcţia cos
este parǎ) 4) Integrala functiei: f(x) = sinx cu diviziuni. Se dau: Functia f:R→R, continua si pozitiva; Reperul cartezian xOy; Punctele: A1(a1,0), A2(a2,0), A3(a3,0), A4(a4,0) si A5(a5,0) fixe pe axa xx’ , care determina numarul de diviziuni ale intervalului: [0, p ] . Diviziunea 4 evidentiata.
83
Se va arata ca: ∫π
a
dxxf )( este aproximativ egala cu suma ariilor celor 5 trapeze, din
figura:
∫ ∫ ∫ ∫+++=π π
0 0
1 2
1 4
)(...)()()(a a
a a
dxxfdxxfdxxfdxxf , şi reprezinta aria suprafetei hasurate .
5) Aria determinata de graficul a doua functii. Se dau: Functia f:R→R, 1)( 2 += xxf functie continua. Functia f:R→R, 2)( 2 += xxf functie continua.Reperul cartezian xOy; Se cauta aria multimii cuprinsa între graficele functiilor f si g si dreptele paralele la Oy, care taie axa Ox în punctele de coordonate: ( 1, 0) si ( 1, 0). Comentarii: a) Vom aplica Consecinta: daca f,g:[a,b] →R sunt functii continue, astfel încât: f(x) ≤ g(x),
],[ bax∈∀ atunci multimea: )}()(,/),{(, xgyxfbxayxgf ≤≤≤≤=Γ are arie si avem cǎ :
∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )]()([)( ,
b) Asadar: 2)1(1)12()]()([)( 1
1
1
1
22, =−−==−−+=−=Γ
−−∫∫ xdxxxdxxfxgaria
b
agf
c) Sau: ∫∫∫−−
==−=−=−=Γ1
1
1
1, 2
36
38
314)()()]()([)( dxxfdxxgdxxfxgaria
b
agf -
6) Aplicatii: Sa se calculeze ∫1
0
dxe x f olosind metoda aproximarilor.
Se dau: Functia f:R→R, f(x) = xe ; Reperul cartezian xOy; Se cauta numarul minim de patrate ce trebuie adaugate la grafic, astfel încât aria subgraficului functiei f, sa fie aproximativ egala cu valoarea exacta a integralei:
∫ =−=−=1
0
01 .7374,117374,2eedxe x
7) TEST INTERACTIV. 1) Daca f:[a,b] →R este o functie integrabila negativa, atunci:
a) ∫ ≥a
a
dxxf 0)(
84
b) ∫ =a
a
dxxf 0)(
c) ∫ ≤a
a
dxxf 0)( .
2)Se dǎ Raaf →− ],[: continuǎ . Atunci :
a) ∫ ∫−
=a
a
a
dxxfdxxf0
)(2)( , dacǎ f este imparǎ.
b) ∫−
=a
a
dxxf 0)( , dacǎ f este imparǎ
3) fΓ subgraficul lui f are arie şi aria sa este egalǎ cu integral lui f pe intervalul [a,b] ,
∫=Γb
af dxxfaria )()( dacǎ :
a)f continuǎ b)f crescǎtoare
4)Funcţia f(x0=cos x , îndeplineşte condiţia ∫ −=b
a
abxdx sinsincos dacǎ :
a)nu este integrabilǎ pentru orice x b)este integrabilǎ pe orice interval Rba ⊂],[ . 5)Aria mulţimii cuprinse între graficele a douǎ funcţii continue este datǎ de :
a) ∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )]()([)( , , dacǎ ( ) ],[),()( baxxgxf ∈∀>
b) ∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )]()([)( , ,dacǎ ( ) ],[),()( baxxgxf ∈∀<
c) ∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )]()([)( , , dacǎ ( ) ],[),()( baxxgxf ∈∀≤
d) ∫ −=Γb
agf dxxfxgaria )]()([)( , , dacǎ ( ) ],[),()( baxxgxf ∈∀≥
(elevii trebuie sǎ aleagǎ un singur rǎspuns – în funcţie de corectitudine , vor primi punctaj)
85
IV Evaluarea rezultatelor si stabilirea concluziilor:
- Se evalueaza capacitatile elevilor de a determina subgraficul unei functii continue, pozitive.
- Se evalueaza capacitatile elevilor de a calcula o integrala definita. - Se evalueaza capacitatile elevilor de a calcula aria subgraficului unei functii. - Se evalueaza capacitatile elevilor de a calcula aria unei suprafete plane cu
ajutorul integralei definite si a compara rezultatul obtinut, geometric( cu aria triunghiului, a trapezului dreptunghic).
- Se evalueaza capacitatile elevilor de a aplica proprietatile integralei definite. - Se evalueaza capacitatile elevilor de a calcula aria unei suprafete plane, cu
ajutorul integralei definite, prin/cu diviziuni. - Se evalueaza capacitatile elevilor de a calcula aria unei suprafete plane, de forma
fΓ , în conditii date.
- Se evalueaza abilitatile elevilor în a calcula ∫1
0
dxe x , folosind metoda
aproximarilor.
Momentele de evaluare faciliteaza munca profesorului, în realizarea unui feed – back continuu, permanent, corectiv. OBIECTIVELE TESTELOR OP1 Daca elevul recunoaste ca integrala unei functii pozitive este un numar pozitiv. OP2 Daca elevul recunoaste ca aria unei suprafete plane, este un numar pozitiv. OP3 Modul în care elevul aplica proprietatile integralei definite. OP4 Când subgraficul unei functii are arie si formula de calcul a ariei subgraficului. OP5 Daca elevul stie formula pentru calcularea ariei unei multimi de forma fΓ , în conditii precizate. CONCLUZII 1) Se vor face aprecieri individuale si collective asupra activitatii elevilor. 2) Tema pentru acasa.
86
Fisa de lucru – 1 Aria subgraficului functei f(x) = x Determinati aria subgraficului functiei: xxfRbaf =→ )(,],[: în cazurile urmǎtoare şi verificaţi geometric rezultatul . 1) A se confunda cu originea: a = 0, b = 20. ( A( 0, 0); B( 20, 0) ). 2) A se confunda cu B: a = b = 10. ( A( 10, 0 ); B( 10 , 0)). 3) A fix , iar B variabil: a’)a=40 , b=60 (A(40,0),B(60,0)) a”)a=40 , b=80 (A(40,0,B(80,0)) 4) A variabil si B fix: · a = 20, b = 40 ( A( 20, 0); B( 40, 0)). · a = 40, b = 40 ( A( 40, 0); B( 40, 0)) · a = 60, b = 40 ( A( 60, 0); B( 40, 0)); ce se constata? Prof. Cruţ Bianca Fisa de lucru – 2 Sume de arii Fie f: [ a , c ] →R si b ∈( a , c ) . Daca restrictiile lui f sunt continue pe: [ a , b ] , [ b , c ]
avem formula : ∫∫∫ +=c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Aplicati formula de mai sus, în cazurile: 1) a = 0, b = 20 , c = 40 ( A se confunda cu originea: A( 0,0 ),B( 20,0),C( 40,0)). 2) a = b = 10, c = 50 ( A se confunda cu B: A (10,0), B ( 10,0), C( 50,0)). 3) a = 0 , b = 50 , c = 100( A, C fixe, B variabil: A(0,0), B( 50,0), C( 100,0)). 4) a = 10, b = c = 30( A fix, C coincide cu B: A(10,0), B(30,0), C(30,0)). 5) a =20, b= 60, c= 80( A variabil pe axa xx ’ , B, C fixe: A(20,0),B(60,0),C(80,0))
Prof. Cruţ Bianca
87
Capitolul 8 Programe de aplicare a metodelor numerice pe
calculator
Program Interpolare_Newton ; uses crt ; type matrice=array[1..10,1..9] of real ; var i , j ,n : integer ; xint,yint,factor :real ; DD :matrice ; begin clrscr ; write(‘Introduceţi nr. de puncte de interpolare n=’) ;readln(n) ; writeln(‘Introduceţi tabelul’) ; for i :=1 to n do begin write(‘x[‘,i,’]=’) ;readln(DD[i,1]) ; write(‘y[‘,i,’]=’) ;readln(DD[i,2]) ; end ; writeln(‘Punctul în care vrem aproximarea =’) ;readln(xint) ; for j : = 3 to n + 1 do for i : = j - 1 to n do DD[i , j] :=(DD[i , j-1]-DD[i – 1 , j - 1])/(DD[i , 1]-DD[ i – j +2 , 1]) ; yint :=DD[1 , 2] for i :=2 to n do begin factor : = 1.0 ; for j : = i – 1 downto 1 do factor : = factor *(xint – DD[j , 1]) ; yint : = yint +DD[i , i + 1] *factor ; end ; writeln(‘Valoarea în punctul ‘,xint :8 :4,’ este ’,yint :9 :5) ; readln ; end.
88
Program Interpolare_Lagr ; uses crt ; type vector=array[1..10] of real ; var i , j ,n : integer ; xint,yint,factor :real ; x,y :vector ; begin clrscr ; write(‘Introduceţi nr. de puncte de interpolare n=’) ;readln(n) ; writeln(‘Introduceţi tabelul’) ; for i :=1 to n do begin write(‘x[‘,i,’]=’) ;readln(x[i]) ; write(‘y[‘,i,’]=’) ;readln(y[i]) ; end ; writeln(‘Punctul în care vrem aproximarea =’) ;readln(xint) ; yint : = 0.0 ; for i : = 1 to n do begin factor : = 1.0 ; j : = 1 to n do begin if (i<>j) then factor : = factor*(xint – x [j])/(x[i] - x[j]) ; end ; yint : = yint + y [i]*factor ; end ; writeln(‘Valoarea în punctul ‘,xint :8 :4,’ este ’,yint :9 :5) ; readln ; end.
89
Program Integrare-Trapez ; Type vector = array[1..100] of real ; Var x : vector ; a,b,c,h,t : real ; i,n : integer ; function f(x :real) : real ; begin f : = 4*x*x*x+3*x*x+2*x+5 ; end ; begin write(‘Daţi limitele de integrare a =’) ; readln(a) ; write(‘Daţi limitele de integrare b =’) ; readln(b) ; write(‘Daţi numǎrul de intervale n =’) ; readln(n) h = (b - a) / n ; for i : = 0 to n do x [i] : = a + i*h ; t : = 0 for i :=0 to n do begin if (i = 0 ) or (i = n ) then c : = h else c : = h ; t : = t + c*f(x[i]); end; write (‘Rezultatul este ‘ , t:10:5); readln ;
end.
90
Program Integrare-Simpson ; Type vector = array[1..100] of real ; Var x : vector ; a,b,c,h,s : real ; k,n,m : integer ; function f(x :real) : real ; begin f : = 1/(1 + x ) ; end ; begin write(‘Daţi limitele de integrare a =’) ; readln(a) ; write(‘Daţi limitele de integrare b =’) ; readln(b) ; write(‘Daţi nr. de intervale de discretizare (par) n =’) ; readln(n) h = (b - a) / n ; for k : = 0 to n do x [k] : = a + k*h ; s : = 0 ; m := n /2 ; for k : = 1 to m do begin s : = s+(h/3)*(f (x[2*k-2]+4*f(x[2*k-1])+f(x[2*k])) ; end ; write(‘Rezultatul este I(f)=’,s : 10 :5) ;readln ; end.
Cum se poate observa mai sus , primele două programe prezintă modul de utilizare al polinoamelor de interpolare Lagrange şi Newton pentru funcţii oarecare când cunoaştem valorile funcţiei într-un număr de puncte precizate . Al treilea şi al patrulea program prezintă metodele trapezului de integrare şi metoda Simpson , pentru funcţii care se pot schimba în program datorită creării unui subprogram care se poate modifica după necesităţi .
91
Teoria interpolării poate fi utilizată în rezolvarea unor probleme practice interesante .
Exemplu : În studiul proceselor de polimerizare induse prin radiaţii se utilizează o sursă de raze γ pentru a produce doze prescrise de radiaţii . Totuşi doza variază după poziţia în aparat ( distanţa faţă de punctul de bază ) . S-au obţinut următoarele valori :
x = distanţa faţă de punctul de bază ( în inci , 1 inci = 2,54 cm)
y = doza de radiaţii ( 510 razi / oră )
Cum se observă în tabel , ne interesează y în x = 2.5 .Bineînţeles că se poate calcula y în orice altă valoare intermediară a lui x dorită .Motivul acestei cerinţe este faptul că , de exemplu , în timpul experimentului unii din senzorii care măsoară radiaţia se pot defecta iar repetarea experimentului ar putea fi costisitoare .
Vom folosi următoarea problemă de interpolare :
Fie Rbaf →].[: şi punctele distincte { } ],[, bax noii ∈= . Cunoaştem valorile
nixfy ii ,0),( == . Să se determine o funcţie p cu proprietatea că interpolează pe f în
punctele ix , adică nixfxp ii ,0),()( == .
Folosind polinomul de interpolare Lagrange se găseşte p(2.5)=3.29071 , rezultat care dovedeşte motivul unei eventuale defecţiuni ale senzorului ( este valoarea maximă care poate să determine « prăjirea » acestuia ) . (vezi bibl.[13] , pag 223).
În continuare voi prezenta programul de calcul care foloseşte polinomul lui Lagrange pentru rezolvarea problemei de mai sus .
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4 y 1.90 2.39 2,71 2.98 3.20 ? 3.20 2.98 2.74
92
Program LAGRANGE ; {Interpolare Lagrange .pas}
Const nmax = 40 ; Var x, y : array[0..nmax] of real ; n, m, i, j : integer ; z, P, l : real ; dn : char ; Label READZ ; BEGIN Write(‘nr. de noduri : ‘) ; Readln (m) ; n := m-1 ; Writeln(‘Funizaţi datele’) ; For i :=0 to n do begin Write ( ‘ ‘ : 3 , i : 2 , ‘ : ‘ ) ; Readln(x[i] , y[i] ) End ; READZ : Write ( ‘ z : ‘ ) ; Readln(z); { Calculăm P = L(z) } P := 0.0 ; For i : = 0 to n do begin l := 1.0 ; For j := 0 to n do begin if j <> i then l := l * ( z- x[j]) / (x[i] – x[j]) ; End ; P := P+ l* y[i] End ; Writeln ( ‘ L(z) = ‘ , P ); Writeln ; Write ( ‘ Mai doriţi un calcul (d/n) ? : ‘ ) ; Readln (dn) ; If ( dn = ‘d’) or ( dn = ‘D’ ) then goto READZ ; END .
93
Pentru creşterea vitezei de calcul putem modifica programul după următoarele observaţii : numitorii polinomului il nu se modifică deci pot fi calculaţi o singură dată . Putem introduce astfel , înainte de READZ , calculul produsului de la numitor :
iw = ∏≠=
−n
ijj
ji xx0
)( , i = 0…n
În program vom introduce urmtoarea porţiune : For i := 0 to n do begin l := 1.0 ; For j := 0 to n do If j <> i Then l := l *(x[i] – x[j]): w[i] : = l End ; Calculul lui P se modifică : P := 0.0 ; For i := o to n do begin l : = 1.0 ; For j := 0 to n do if j <> i then l := I * ( z- x[j] ); P := P + l * y[i]/w[i] End ; Vom avea astfel următorul program modificat :
94
Program LAGRANGE ; {Interpolare Lagrange }
Const nmax = 40 ; Var x, y : array[0..nmax] of real ; W : array[0 .. nmax] of real ; n, m, i, j : integer ; z, P, l : real ; dn : char ; Label READZ ; BEGIN Write(‘nr. de noduri : ‘) ; Readln (m) ; n := m-1 ; Writeln(‘Funizaţi datele’) ; For i :=0 to n do begin Write ( ‘ ‘ : 3 , i : 2 , ‘ : ‘ ) ; Readln(x[i] , y[i] ) End ; For i := 0 to n do begin l := 1.0 ; For j := 0 to n do if j <> i then l := l *(x[i] – x[j]): w[i] : = l End ; READZ : Write ( ‘ z : ‘ ) ; Readln(z); { Calculăm P = L(z) } P := 0.0 ; For i : = 0 to n do begin l := 1.0 ; For j := 0 to n do begin if j <> i then l := l * ( z- x[j]); End ; P := P+ l* y[i]/w[i] End ; Writeln ( ‘ L(z) = ‘ , P ); Writeln ; Write ( ‘ Mai doriţi un calcul (d/n) ? : ‘ ) ; Readln (dn) ; If ( dn = ‘d’) or ( dn = ‘D’ ) then goto READZ ; END .
95
Bibliografie : 1.Bîrsan,T;Burdujan,I;Vrabie,I.: Metode numerice .Multiplicat Inst.Politehnic Iasi, 1989, 351p.
2.Beu,Titus:Calcul numeric în Turbo Pascal. Ed.Microinformatica,Cluj,1992,201p.
3.Chiruţǎ,C.: Analizǎ numericǎ şi programe .Ed.Univ.Al. I. Cuza – Iasi,1999,266 p.
4.Ignat,C;Ilioi,C;Jucan,T.:Elemente de informaticǎ şi calcul numeric , Vol I-II , Multiplicat Univ.Iaşi, 1989, 413-163 p.
5.Ilioi,C.:Analizǎ numericǎ .Partea I. Multiplicat Univ.Iaşi , 1982 , 340 p .
6.Ilioi,C.:Analizǎ numericǎ .Partea II. Multiplicat Univ.Iaşi , 1983 , 240 p .
7.Marinescu,Ghe.:Analizǎ numericǎ.Editura academiei, Bucureşti , 1974, 302p.
8.Iorgulescu , A .:Metode numerice şi programe Pascal . Ed.Infotec,Bucureşti , 1996.
9.Gerald , Curtis F ;Wheatley , Patrik O - Applied Numerical Analysis , Addison-Wesley , Reading , Mass , 1984
