7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 1/135
Cuprins
1
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 2/135
2 CUPRINS
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 3/135
Prefat, a
Abordarea s,tiint, ifica actuala a fenomenelor viet, ii cotidiene tot mai com-
plexe, impune o pregatire matematica superioara s, i riguroasa a celor chemat, i
sa se ocupe de analiza acestor fenomene.
Agent, ii economici, ıntreprinzatorii, as,teapta de la analis,tii economici, ıngeneral, de la specialis, tii ın diferite domenii de activitate, sa le explice anu-
mite aspecte din demersurile lor. Analiza s,tiint, ifica considera procesul econo-
mic ca fiind un proces evolutiv. Prin urmare, economistul teoritician trebuie
sa det, ina un instrument matematic adecvat care sa-i permita sa abordeze
s,tiint, ific fenomenele proceselor economice, tehnice s, i s,tiint, ifice ın continua
evolut, ie. Analiza economica matematica reprezinta aplicarea matematicii la
problemele analizei economice cu scopul de a gasi noi metode care sa conduca
la noi solut, ii. Astfel, economistul trebuie sa adapteze metodele matematice
la nevoile sale. Analiza economica matematica neoclasica s, i-a adoptat ca
instrumente calculul diferent, ial s, i integral, ecuat, iile s, i sistemele diferent, iale
s, i mai nou elemente de teoria stabilitat, ii s, i teoria bifurcat, iei.
Prezentul volum reprezinta cont, inutul matematic de baza privind not, iunile
de teoria probabilitat, ilor s, i de statistica matematica necesar unui viitor spe-
cialist chemat sa rezolve problemele lumii moderne aflate ıntr-o evolut, ie per-
manenta. In general, not, iunile prezentate sunt ınsot, ite de probleme complet
rezolvate.
Lucrarea se adreseaza student, ilor din primul an de la facultat, ile cu pro-
fil economic, tehnic, dar o pot utiliza cu folos s, i student, ii facultat, ilor de
matematica.
3
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 4/135
4 Prefat,˘ a
Autorul mult,umes,te, ın mod deosebit, celor care s, i-au adus contribut, ia
lor cu gandul, cu vorba sau cu fapta, la aparit, ia acestei lucrari.
AutorulPites, ti decembrie 2011
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 5/135
Capitolul 1
Camp de probabilitate
1.1 Experient, a. Proba. Eveniment
1.1. Experient,a. Orice realizare a unui complex de condit, ii bine pre-
cizate se numes, te experient , ˘ a . O experient, a ın care intervine ıntamplarea
se numes, te experient , ˘ a aleatoare. Aruncarea unui zar este o experient, a
aleatoare (aleatoare vine din latinescul “alea” care ınseamna zar). In loc de
experient, a aleatoare se mai spune s, i experiment aleator . Un experiment
aleator se caracterizeaza prin aceea ca:
nu are caracter determinist (adica ın condit, ii identice de realizare, rezultatele
experimentului pot fi diferite);
are un caracter statistic (adica exista o stabilitate a frecvent, elor rezultatelor -
cu cat numarul repetarilor experimentului cres,te, frecvent, a cu care se produce
un anume rezultat, se gases,te ın jurul unei valori, valoare ce reprezinta s,ansa
de realizare a sa).
Scopul teoriei probabilitat, ilor este de a dezvolta formalismul matematic
adaptat studiului experient, elor aleatoare.
1.2. Proba. Fiecare repetare (trecuta, prezenta sau viitoare) a unui
experiment aleator se numes, te prob˘ a . Rezultatul unei probe reprezintadoar unul din rezultatele posibile ale unei experient,e, de aceea ea nu tre-
buie confundata cu experient,a ınsas, i. Mult, imea Ω a eventualitat, ilor le-
gate de o experient, a aleatoare se numes, te spat , iu de select , ie, iar elemen-
5
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 6/135
6 Capitolul 1. Camp de probabilitate
tele acestei mult, imi se numesc cazuri posibile ale experient,ei aleatoare.
Pot fi experient, e aleatoare cu un numar finit de probe sau cu o infinitate
(numarabila sau nu) de probe. De exemplu: aruncarea unui zar este o
experient, a aleatoare cu un numar finit de probe; lovirea punctelor unei t, inte
plane sau alegerea la ıntamplare a unui numar natural, sunt experient,e alea-
toare cu o infinitate nenumarabila, respectiv numarabila de probe.
1.3. Eveniment. Orice situat, ie legata de o experient, a aleatoare, despre
care se poate spune cu certitudine ca s-a realizat sau nu se numes, te eveni-
ment (sau eveniment aleator ). Un eveniment se poate realiza din una
sau mai multe probe. Probele prin care se realizeaza un eveniment se numesc
cazuri favorabile realizarii sale. Evenimentul care se poate realiza dintr-o
singura proba se numes, te eveniment elementar sau eveniment sim-
plu . Celelalte evenimente se numesc evenimente compuse . Evenimentul
elementar are un singur caz favorabil pe cand evenimentul compus are cel
put, in doua cazuri favorabile.
Mult, imea tuturor evenimentelor legate de un experiment aleator o notam
cu S Ω s, i cu A, B,C, . . . notam elementele lui S Ω.
De aici reiese ca orice eveniment A al acestui experiment aleator este
o submult, ime a lui Ω. i.e. A ∈ P (Ω). Deci S Ω ⊆ P (Ω) (egalitate fiind
doar daca Ω este cel mult numarabila). Intr-o prima etapa vom considera
experient,e aleatoare cu Ω cel mult numarabila.
Fiecarei experient,e aleatoare E , i se asociaza ıntotdeauna doua eveni-
mente: evenimentul sigur (evenimentul care se realizeaza prin fiecare
dintre probele experient, ei E ), notat cu Ω, s, i evenimentul imposibil (i.e.
evenimentul care nu se realizeaza, ori care ar fi proba experient, ei E ) notat cu
∅. Aceste evenimente se numesc s, i evenimentele extreme ale experient,ei
E .1.4. Exemplu . In cazul experient,ei aruncarii unui zar (simetric sau nu),
spat, iul rezultatelor este Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, iar mult, imea evenimentelor S Ω,
ca s, i alte not, iuni definite mai sus, sunt prezentate ın tabelul urmator:
1.5. Alte clase de evenimente legate de o experient, a aleatoare:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 7/135
1.1. Experient, a. Proba. Eveniment 7
Nr.
Crt
Evenimentele Nr.eveni-
mente
Nr.caz.pos.Nr.caz.fav.
1 1, 2, . . . . . . .., 6 C 16 6 1
2
1, 2
,
1, 3
, . . . . . . .
5, 6
C 26 6 2
3 1, 2, 3, 1, 2, 4,., 4, 5, 6 C 36 6 3
4 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 5,.,3, 4, 5, 6 C 46 6 4
5 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 2, 3, 4, 5, 6 C 56 6 5
6 1, 2, 3, 4, 5, 6 C 66 6 6
7 1 6 0
a) Evenimente contrare : Doua evenimente A, B ∈ S Ω se numesc contrare (sau
complementare) daca nerealizarea unuia implica realizarea celuilalt. Eveni-
mentul B se numes, te contrarul (complementarul) lui A (s, i invers). Contrarul
lui A se noteaza cu A (sau CA). Evenimentele A, B ∈ S Ω (cu S Ω din 1.4) cu
A = 2, 5, B = 1.3.4.6, sunt evenimente contrare.
b) Evenimente incompatibile : Doua sau mai multe evenimente se numesc
incompatibile (sau disjuncte) daca nu exista cazuri (probe) favorabile
realizarii simultane a lor.
c) Evenimente compatibile : Doua evenimente se numesc compatibile daca
exista cazuri (probe) prin care se realizeaza simultan.
1.6. Remarca. Orice doua evenimente contrare sunt incompatibile, in-
vers nu. Fie A, B,C ∈ S Ω (cu S Ω din 1.4) cu A = 1, 5, 6 , B = 2, 3, 4 s, i
C = 2, 4. Atunci: A s, i B sunt evenimente contrare; A s, i C sunt incompa-
tibile dar nu sunt contrare; B s, i C sunt compatibile.
1.7. Exemplu. Legat de experient, a aruncarii simultane a doua zaruri,
se pot da exemple pentru evenimentele definite mai sus. Propunem aceasta
ca exercit, iu.
1.2. Relat, ii ıntre evenimente
Fie E o experient, a aleatoare, Ω spat, iul de select, ie s, i S Ω = P (Ω) mult, imea
evenimentelor sale.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 8/135
8 Capitolul 1. Camp de probabilitate
1.8. Definit,ie. Intre doua evenimente A, B ∈ S Ω poate exista:
a) relat, ia ”implic˘ a ”. - Spunem ca A ”implic˘ a ” B (s, i notam A ⊆ B ) atunci
cand orice realizare a lui A atrage dupa sine realizarea lui B. Se mai spune
ca B este implicat de A. Pentru orice eveniment X
∈ S Ω avem: X
⊆ X, Ø
⊆X, X ⊆ Ω.
b) relat, ia ”echivalent ” (sau ”‘egal ”). - Spunem ca A ”echivalent ” B ( s, i
notam A = B), daca A s, i B se implica reciproc (i.e. A ⊆ B s, i B ⊆ A).
1.9. Exemplu: Fie experient, a aruncarii unui zar s, i A, B ∈ SΩ.
Evenimentul A - ,,obt, inerea unui numar impar“ (i.e. A = 1,3,5) implic˘ a
evenimentul B - ,,obt, inerea unui numar divizor al lui 30“ (i.e. B = 1, 2, 3,
5, 6).
1.3. Operat,
ii cu evenimente
1.10. Definit,ie. Fie Ω s, i SΩ cu semnificat, iile din sect, iunea 1.2.
a) Operat, ia “sau ”: SΩ × SΩ → SΩ; (A, B) → A “sau” B, ∀ A, B ∈ SΩ
(notata s, i cu ,,∪“). Evenimentul A “sau ” B (notat A ∪ B) este evenimentul
a carui realizare consta ın realizarea a cel put, in unuia dintre
evenimentele A, B.
b) Operat, ia “s, i”: SΩ × SΩ → SΩ; (A, B) → A “s, i” B, ∀ A, B ∈ SΩ
(notata ,,
∩ “). Evenimentul A “s, i” B (notat A
∩ B) este evenimentul a carui
realizare consta ın realizarea simultana a evenimentelor A s, i B.
Cele doua operat, ii de mai sus se pot extinde la cazul unei familii de
evenimente Aii∈I , I cel mult numarabila. Deci putem consideraAi
i∈I
s, iAi
i∈I
,
cu semnificat, ia:
a)
i∈I
Ai - este evenimentul care consta ın realizarea cel put, in a unuia dintre
evenimentele Ai, i ∈ I ;
b)
i∈I
Ai- este evenimentul care consta ın realizarea simultana a tuturor eve-
nimentelor Ai ∀i ∈ I .c) Operat, ia “minus ”: S Ω → S Ω; (A, B) → A“minus ”B, ∀A, B ∈ S Ω, (no-
tata “\”). Evenimentul A “minus ” B (notat A\B) este evenimentul a carui
realizare consta ın realizarea evenimentului A s, i nerealizarea evenimentului
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 9/135
1.1. Experient, a. Proba. Eveniment 9
B. d) Operat, ia “non ”: S Ω → S Ω; A → non A, ∀A ∈ S Ω Evenimentul A
notat s, i A este evenimentul realizat de orice proba a experient, ei, care nu
realizeaza evenimentul A. A se mai numes, te s, i contrarul lui A sau opusul lui
A.
Doua evenimente A s, i B cu A ∩ B = ∅ sunt incompatibile sau disjuncte,
iar daca A ∩ B = ∅ sunt compatibile.
1.11. Propriet˘ at , ile reuniunii s, i intersect , iei de evenimente: Fie
A, B , C ∈ S Ω.
1 A ∪ B = B ∪ A 1’ A ∩ B = B ∩ A
2 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 2’ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3 A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B 3’ A ⊃ A ∩ B; B ⊃ A ∩ B4 A ∪ A = A; A ∪ Ω = Ω;
A ∪∅ = A; A ∪A = Ω
4’ A ∩ A = A; A ∩ Ω = A;
A ∩∅ = ∅; A ∩ A = ∅5 A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B 5’ A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
6 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 6’ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
7 A ∪ B = A ∩ B 7’ A ∩ B = A ∪ B
1.12. Observat, ie: 1. Un eveniment poate fi identificat cu mult, imea
probelor ce ıl realizeaza.
2. Din cele prezentate mai sus rezulta ca ıntre evenimente s, i mult, imi
avem urmatoarea dualitate de limbaj s, i urmatoarele relat, ii:
3. Mult, imea S Ω a evenimentelor, satisface condit, iile:
a) ∀A ∈ S Ω ⇒ A ∈ S Ωb) ∀A, B ∈ S Ω ⇒ A ∪ B ∈ S Ω
1.13. Definit,
ie: Fie o familie cel mult numarabila Aii∈I de eveni-mente. Spunem ca evenimentele Ai, i ∈ I sunt incompatibile ın ansam-
blul lor daca sunt incompatibile doua cate doua adica Ai ∩ A j = ∅, ∀i, j ∈I, i = j.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 10/135
10 Capitolul 1. Camp de probabilitate
Limbajul evenimentelor Limbajul mult,imilor Notat
,ie
a) experient, a Mult, imea rezultatelor Ω
b) proba Element al mult, imii Ω ω ∈ Ω
c) evenimentul A A submult,ime al lui Ω A
∈ P (Ω)
d) evenimentul sigur Mult, imea totala a probelor Ω
e) evenimentul imposibil Mult, imea vida ∅f) contrarul evenimentului A Complementara mult, imii A A(CA)
g) A “implic˘ a ” B A inclus ın B A ⊂ B
h) A “sau ” B A reunit cu B A ∪ B
i) A “s, i” B A intersectat cu B A ∩ B
j) A, B incompatibile A, B disjuncte A ∩B = ∅k) A, B compatibile A, B nedisjuncte A ∩B = ∅
1.2 Camp de evenimente
1.14. Definit,ie: Perechea (Ω, S Ω), unde Ω s, i S Ω cu semnificat, iile de mai
sus, se numes, te camp de evenimente.
Daca mult, imea Ω a probelor unui experiment aleator este nenumarabila,
atunci S Ω nu se mai poate lua ca fiind P (Ω) s, i astfel definit, ia de mai sus nu
mai corespunde.
O definit, ie riguroasa a acestei not, iuni a fost data de A. Kolmogorov ın
1933 ıntr-un memoriu celebru prin care s-au pus bazele teoriei moderne a
probabilitat, ilor.
1.15. Definit,ie: Fie Ω = Ø. O colect, ie K de submult, imi ale lui
Ω(K ⊆ P (Ω)) cu:
i) (∀)A ∈ K ⇒ A ∈ K(K ınchisa la complementara)
ii) ∀(Ai)i∈I ⊂ K ⇒ i∈I
Ai ∈ K, I cel mult numarabila (K ınchisa la reuniune
cel mult numarabila) se numes, te:
corp de p˘ art , i dac˘ a I este finit˘ a s, iσ−corp de p˘ art , i sau corp borelian dac˘ a I este infinit˘ a
Perechea (Ω, K) se numes, te camp (σ - camp ) de evenimente sau
spat , iu probabilizabil dupa cum K este corp (sau σ - corp) de part, i. In
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 11/135
1.3. Not, iunea de probabilitate s, i camp de probabilitate 11
cele ce urmeaza vom folosi doar not, iunea de camp de evenimente, ınt,elegand
din context cand este finit sau infinit.
1.16. Observat,ie: 1˚. Orice σ - corp de part, i este un corp de part, i.
2˚. In orice corp de part, i avem: Ø, Ω
∈ K; A
−B
∈ K;
n
i=1 Ai
∈ K.
3˚. In orice σ - corp de part, i avem:
i∈I
Ai,
n≥1
k≥n
Ak,
n≥1
k≥n
Ak ∈ K.
1.17. Definit,ie. Un sistem de evenimente S = Ai ∈ K, i = 1, n se
numes, te sistem complet de evenimente daca S este o partit, ie a lui Ω.
Deci orice partit, ie S = Aii=1,n ⊂ K, a lui Ω se numes, te sistem com-
plet de evenimente sau desfacere a evenimentului Ω.
Din 1.17 avem ca: S este sistem complet de evenimente, daca s, i numai
daca exista unic i0 ∈ 1, 2, . . . , n astfel ıncat Ai0 se realizeaza. Deci ıntr-un
sistem complet de evenimente ıntodeauna se realizeaza unul s, i numai unuldin evenimentele sistemului.
1.3 Not, iunea de probabilitate s, i camp de
probabilitate
In acest paragraf vom cauta sa caracterizam gradul (s,ansa) de realizare
sau nerealizare a fiecarui eveniment A dintr-un camp de evenimente (Ω,
K),
printr-un numar pozitiv notat P (A) numit s, i probabilitatea evenimentului A
s, i apoi vom defini campul de probabilitate.
(a) Definit,ia statistica a probabilitat
,ii. Fie E o experient, a alea-
toare careia i se asociaza campul de evenimente (Ω, K) s, i fie A ∈ K. Daca
experient, a E se repeta de n ori, raportul:
f n(A) = numarul de realizari ale evenimentului A
n
se numes, te frecvent , a relativ˘ a a lui A, ın cele n repetari ale experimentu-lui. Frecvent,a relativa f n(A) variaza de la un set de repetari la altul (chiar
daca numarul repetarilor nu se modifica). Ea are un caracter empiric, ex-
perimental. Dar, atunci cand n cres, te f n(A) tinde sa se stabilizeze catre un
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 12/135
12 Capitolul 1. Camp de probabilitate
numar real, numit probabilitatea lui A s, i notat cu P (A).
Deci P (A) = limn→∞
f n(A). Daca (Ω, K) este camp finit de evenimente se
poate arata ca P (A ∪ B) = P (A) + P (B) daca A ∩ B = Ø s, i P (Ω) = I (se
t, ine seama de faptul ca f n(A
∪B) = f n(A) + f n(B) pentru A
∩B =
∅.
(b) Definit,ia clasica a probabilitat
,ii. Aceasta definit, ie presupune
ca evenimentele elementare sunt ın numar finit (i.e. (Ω, K) este un camp
finit de evenimente) s, i ca au s,anse egale de realizare. Atunci, P (A) =cardA
card Ω, ∀A ∈ K, altfel spus:
P (A) = numarul cazurilor favorabile evenimetului A
numarul cazurilor posibile
se numes, te probabilitatea evenimentului A.
1.18. Observat,ie: Aceasta definit, ie prezinta unele neajunsuri cum ar
fi:
- se aplica doar pentru campuri finite de evenimente;
- se aplica doar cand evenimentele elementare sunt egal posibile (de exem-
plu ın experient,a aruncarii unui zar nesimetric, fet,ele nu au s,anse egale de
aparit, ie, s, i nu se poate aplica).
(c) Definit,ia axiomatica a probabilitat
,ii.Aceasta definit, ie a fost data
de A.N.Kolmogorov ın 1933 cand s-a pus bazele axiomatice ale teoriei pro-
babilitat, ii. Aceasta axiomatizare a permis cuprinderea ıntr-o schema simpla,
atat a capitolelor clasice ale teoriei probabilitat, ilor cat s, i a capitolelor mo-
derne ale acestei teorii. Ea a legat ıntr-un mod simplu teoria probabilitat, ilor
de teoria masurii s, i de teoria funct, iilor de variabile reale, permit, and ın acest
fel folosirea metodelor moderne ale teoriei masurii ın teoria probabilitat, ilor.
1.19 Definit,ie .Fiind dat (Ω, K) un - c amp de evenimente, o funct, ie
P : K → [0, 1] cu proprietat, ile:
1˚. P (Ω) = 1;
2˚. P
i∈I
Ai
=
i∈I
P (Ai), I este cel mult numarabila s, i (Ai)i∈I ⊂ Kcu Ai ∩ A j = ∅, ∀i, j ∈ I , i = j (aditivitate cel mult numarabila) se numes, te
probabilitate pe K.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 13/135
1.3. Not, iunea de probabilitate s, i camp de probabilitate 13
1.20. Observat,ii: a) Din felul cum este definita funct, ia P , se ınt,elege
ca seriai∈I
P (Ai) este convergenta.
b) O astfel de funct, ie P , nu este altceva decat o masura finita s, i pozitiva,
de masa totala egala cu 1, definita pe spat, iul masurabil (Ω,K
).
1.21. Definit,ie. Un triplet (Ω, K, P ) ın care:
i) Ω este o mult, ime abstracta reprezentand spat, iul de select, ie al unui
experiment aleator E ;ii) K este un corp borelian pe Ω (ın general K ⊆ P (Ω) s, i nu neaparat K =
P (Ω) reprezentand mult, imea evenimentelor asociate experient,ei aleatoare E ;iii) P este o probabilitate pe K, unde P (A) reprezinta s,ansa de realizare
a evenimentului A ∈ K,
se numes, te camp (sau σ - camp ) de probabilitate , dupa cum (Ω, K) estecamp (sau σ - camp) de evenimente. In loc de camp infinit de probabilitate
se mai spune s, i σ - camp de probabilitate sau camp borelian de proba-
bilitate. Peste tot, ın cele ce urmeaza, ın loc de σ - camp de probabilitate
vom spune camp de probabilitate s, i acolo unde este cazul vom zice camp fi-
nit de probabilitate. Campul finit de probabilitate mai este denumit s, i camp
Laplace.
Deci unui experiment aleator E , pentru modelarea matematica, i se aso-
ciaza un astfel de triplet (Ω, K, P ) care este un model probabilistic.1.22 Aplicat
,ii: 1o. O societate comerciala asigura transportul ıntre
localitat, ile A s, i B, conform cu schit,a:
unde P i, i = 1, 7 sunt poduri peste ape, iar C, D, E s, i F sunt localitat, i pe
traseele ce leaga localitat, ile A s, i B. Daca Ai este evenimentul ca podul P i sa
fie funct, ional, se cere sa se exprime cu ajutorul evenimentelor Ai, :
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 14/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 15/135
1.3. Not, iunea de probabilitate s, i camp de probabilitate 15
(c) C este evenimentul ca 2 furnizori sa nu-s, i onoreze contractul;
(d) D este evenimentul ca un furnizor sa nu-s, i onoreze contractul;
(e) E este evenimentul ca nici un furnizor sa nu-s, i onoreze contractul;
(f) F este evenimentul ca cel put, in 2 furnizori sa nu-s, i onoreze contractul;
(g) G este evenimentul ca cel put, in 3 furnizori sa nu-s, i onoreze contractul;
(h) H este evenimentul ca cel put, in 1 furnizor sa nu-s, i onoreze contractul;
3o. Legat de experient,a aruncarii a doua zaruri se cere:
(a) Sa se precizeze spat, iul de select, ie;
(b) Sa se determine probabilitatea evenimentului: 1) X 1 ce consta ın
obt, inerea sumei 5; 2) X 2 ce consta ın obt, inerea sumei 7 sau a sumei 11; 3)
X 3 ce consta ın obt, inerea sumei 6 sau a sumei 13; 4) X 4 ce consta ın a obt, ine
o suma divizibila cu 3; 5) X 5 ce consta ın a obt, ine o suma divizibila cu 2 s, i
5; Rezolvare. Acestei experient,e i se asociaza campul Laplace (Ω, K, P ) unde
Ω = (1, 1) , (1, 2) , . . . , (6, 6).
(a) Se constata ca X 1 = (1, 4) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 1). Deci P (X 1) =card X 1card Ω
= 436
= 19
(b) Deaorece evenimentul X 2 = (1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)∪(5, 6) , (6, 5) = (1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1) , (5, 6) , (6, 5) . re-
zulta P (X 2) = card X 2card Ω
= 836
= 29
(c) Se obt, ine
X 3 = (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1)∪φ = (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1) .
Rezulta P (X 3) = card X 3card Ω
= 536
.
(d) La aruncarea a doua zaruri suma obt, inuta S ∈ 2, 3, 4, 5, 6, · · · , 12,
iar 3/S ⇒ S ∈ 3, 6, 9, 12. Rezulta ca X 4 este alcatuit din cazurile ce au
suma 3, suma 6, suma 9 s, i suma 12. Deci
X 4 = (1, 2) , (2, 1) , (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1) , (3, 6) , (4, 5) , (5, 4) ,
(6, 3) , (6, 6)
.
Rezulta ca P (X 4) = card X 4
card Ω =
12
36 =
1
3.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 16/135
16 Capitolul 1. Camp de probabilitate
(e) Daca suma este divizibila cu 2 s, i 5, atunci este divizibila cu 10 (10
este cel mai mic multiplu comun al lui 2 s, i 5). Rezulta ca 10 este singura
suma favorabila.
Deci X 5 =
(4, 6) , (5, 5) , (6, 4)
s, i avem P (X 5) = card X 5
card Ω = 3
36 = 112 .
4o. Se considera un zar obis,nuit z 1 s, i un zar z 2 marcat astfel: o fat, a cu
un punct, doua fet,e cu cate doua puncte s, i celelalte trei fet,e cu cate trei
puncte. Se arunca fiecare zar de cate doua ori. Pentru fiecare zar sa se afle
probabilitatea ca:
(a) cele doua rezultate sa coincida;
(b) suma punctelor la cele doua aruncari sa fie patru.
Rezolvare. Experient,ei precizate ın problema, pentru fiecare zar, i se
asociaza campul Laplace (Ω,
K, P ). In primul caz (cand se foloses,te zarul
z 1), elementele mult, imii Ω sunt precizate ın Tabelul 1 s, i ın celalalt caz (cand
se foloses, te zarul z 2) ın Tabelul 2.
f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 1,1 1,2 1, 3 1,4 1,5 1,6
f2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
f3 3, 1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
f4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
f5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6f6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 1,1 1,2 1,2 1, 3 1, 3 1, 3
f2 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,3
f3 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,3
f4 3, 1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3
f5 3, 1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3f6 3, 1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3
Tabelul 1 Tabelul 2
Fie Ai s, i Bi, i = 1, 2 evenimentele corespunzatoare punctului (a) s, i res-
pectiv (b) pentru zarul z i. A1 cont, ine cazurile(1, 1), . . . , (6, 6) luate o singura
data; A2 cont, ine cazul(1, 1) o data, (2,2) de patru ori s, i (3,3) de noua ori; B1
cont, ine cazurile (3,1), (2,2) s, i (1,3) luate cate o data; B2 cont, ine cazul (2,2)
luat de patru ori s, i (1,3) s, i (3,1) luate de cate trei ori. Atunci avem:
(a). P(A1) = 636
= 16
; P(A2) = 1436
= 718
.(b). P(B1) = 336
= 112
; P(B2) =1036 = 5
18 .
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 17/135
Capitolul 2
Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
2.1 Proprietat, i de baza ale probabilitat, ilor.Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate.
2.1.Propozit,ie (propriet˘ at
,i de baz˘ a ale probabilit˘ at
,ilor ).Fie A, B ∈ K.
1˚. P
A
= 1 − P (A).
2˚. P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B);
3˚.P (Ø) = 0.
4˚.A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B);
5˚. P (A∪
B) = P (A) + P (B)−
P (A∩
B).
Demonstrat ,ie : 1˚. 1 = P (Ω) = P
A ∪ A
= P (A) + P
A ⇒ P
A
=
1 − P (A).
2˚. Pentru ca A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) avem: P (A) = P (A − B) +
+ P (A ∩ B) s, i de aici P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B).
3˚. Se ia ın 2˚ B = A s, i avem: P (Ø) = P (A\A) = P (A)−P (A∩A) = 0.
4˚. B = A ∪ (B \ A) ⇒ P (B) = P (A) + P (B \ A). De aici, pentru ca
P (B − A) ≥ 0, rezulta ca P (B) ≥ P (A).
5˚. Evenimentul A ∪ B se descompune ın evenimente disjuncte, astfel:A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)
De aici P (A ∪ B) = P (A \ B) + P (A ∩ B) + P (B \ A) = P (A) − P (A ∩B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
17
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 18/135
18 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
2.2 Observat,ie: a)Din relat, ia 4˚ s, i implicat, ia ∅ ⊆ A ⊆ Ω, rezulta
0 ≤ P (A) ≤ 1.
b)Relat, ia de la 5˚ se mai scrie: P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
sau P (A
∩B) + P (A
∪B) = P (A) + P (B).
2.3. Lema: (a) Daca (An)n∈N ∗ este un s, ir ascendent din K, atunci
P
n∈N ∗
Bn
= lim
n→∞P (An).
(b) Daca (Bn)n∈N ∗ este un s, ir descendent din K, atunci P
n∈N ∗
Bn
=
limn→∞
P (Bn).
Demonstrat ,ie : (a) Din ipoteza avem: A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . ..
Familia de evenimente E n = An − An−1n∈N ∗, A0 := Ø, este o fa-
milie de evenimente disjuncte doua cate doua s, i n∈N ∗ An = n∈N ∗ E n ⇒
P
n∈N ∗
An
= P
n∈N ∗
E n
=
n∈N ∗P (E n). Deoarece aceasta serie este
convergenta, s, irul sumelor part, iale (S n)n, S n =n
i=1
P (E i), fiind crescator s, i
marginit, este convergent. Dar S n =n
i=1
P (Ai − Ai−1) =n
i=1
[P (Ai) − P (Ai−1)] =
= P (A1) − P (A0) + P (A2) − P (A1) + ... + P (An) − P (An−1) =
= P (An)
−P (A0) = P (An).
Deci limn→∞
P (An) = limn→∞
S n =
n∈N ∗P (E i) = P
n∈N ∗
An
.
(b). Cum (Bn)n∈N ∗ este s, ir descendent, avem B1 ⊇ B2 ⊇ . . . ⊇ Bn ⊇ . . .
Rezulta ca s, irul evenimentelor contrare
Bn
n∈N ∗
este ascendent s, i conform
cu (a) avem:
P
n∈N ∗
Bn
= lim
n→∞P
Bn
⇔ P ∩Bn
= lim
n→∞P
Bn
⇔
⇔ 1 − P
n∈N ∗
Bn
= lim
n→∞[1 − P (Bn)] ⇔ P
n∈N ∗
Bn
= lim
n→∞P (Bn) .
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 19/135
2.2. Probabilitat, i condit, ionate s, i evenimente independente. 19
2.2 Probabilitat, i condit, ionate s, i evenimente
independente.
Fie (Ω,K
, P ) un camp de probabilitate s, i A, B ∈ K
cu P (B) = 0.
2.4. Definit,ie: Numarul P B(A) (sau P (A|B)) definit prin P B(A) =
P (A∩B)/P (B) se numes, te probabilitatea evenimentului A condit , ionat˘ a
de B sau probabilitatea lui A ın ipoteza c a a avut loc B sau ınca pro-
babilitatea evenimentului A, condit , ionat˘ a de evenimentul B.
2.5. Observat,ie: a) Mult, imea KB = E ∩ B|E ∈ K este corp borelian
pe B, iar P B : KB → [0, 1], P B(A) = P (A ∩ B)/P (B) este o probabilitate
pe KB (exercit, iu).
Tripletul (B,
KB, P B) se numes, te camp de probabilitate indus pe B
de campul de probabilitate dat (sau urma campului de probabilitate
dat pe B).
b) Daca P (A) = 0, atunci P B(A) · P (B) = P A(B) · P (A)(= P (A ∩ B)).
2.6. Definit,ie: Doua evenimente A, B ∈ K se numesc independente
daca realizarea unuia nu este condit, ionata de realizarea celuilalt. (i.e. P B(A) =
P (A) daca P (B) = 0 s, i P A(B) = P (B) daca P (A) = 0)). In caz contrar ele
se numesc dependente.
2.7. Observat,ie: Doua evenimente A, B
∈ K sunt independente daca s, i
numai daca P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Aceasta observat, ie poate servi drept
definit, ie.
2.8. Definit,ie: Evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n se numesc inde-
pendente ın totalitatea lor sau pe scurt independente, daca pen-
tru orice s, ir 1 ≤ ii < i2 < . . . < ir ≤ n avem: P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Air) =
P (Ai1) · P (Ai2) · ... · P (Air). Daca r = 2 spunem ca evenimentele Ai, i = 1.n
sunt dou˘ a cate dou˘ a (sau mutual ) independente.
2.9. Observat,ie: 1˚. Evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n sunt indepen-
dente daca pentru orice s, ir 1 ≤ ii < i2 < . . . < ir ≤ n avem:
P (Bi1 ∩ Bi2 ∩ ... ∩ Bir) = P (Bi1) · P (Bi2) · ... · P (Bir),
unde Bik ∈
Aik , Aik
, k = 1, r.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 20/135
20 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
2˚. Mutual independent, a nu implica independent, a, dar independent,a
implica mutual independent, a.
2.10. Exemple. 1o Legat de experient,a aruncarii unui zar se considera
evenimentele A =
1, 2, 3
, B =
2, 3, 4, 5, 6
, C =
1, 3
s, i D =
2, 3, 4,
5. Sa se cerceteze relat, ia de dependent, a a evenimentelor A, B, C s, i D.
Rezolvare : P (A) = 36 = 1
2 ; P (B) = 56 ; P B(A) = P (A∩B)
P (B) =26
56
= 2
5 .
Pentru ca P (A) = P B(A) ⇒ evenimentele A s, i B sunt dependente. Ana-
log P (C ) = 26
= 13
s, i P A(C ) = P (A∩C )P (A)
=26
12
= 2
3 ⇒A s, i C sunt
dependente;
P B(C ) = P (B∩C )P (B) =
16
56
= 1
5 ⇒B s, i C sunt dependente;
P (D) = 46
= 23
; P D(A) = P (A∩D)P (D)
=
26
46
= 1
2 ⇒P(A) = PD(A).
Deci A s, i D sunt independente.
2o Intr-un camp de probabilitate (Ω, K, P ) cu evenimentele elementare Ai
s, i P (Ai) = 14
, i = 1, 4 se considera evenimentele A = A1∪A2, B = A1∪A3,
C = A1∪A4. Se cere sa se studieze dependent,a evenimentelor A, B, C.
(a) a doua cate doua;
(b) ın totalitatea lor.
Rezolvare :(a)P (A) = P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) = 14 + 1
4 = 12 . Analog
P (B) = 12
= P (C ). Pentru ca A ∩ B = B ∩ C = A ∩ C = A1 rezulta
P (A ∩
B) = P (B ∩
C ) = P (A ∩
C ) = P (A1) = 1
4. Deci A,B,C sunt
independente doua cate doua.
(b) Din ipoteza avem, pe de o parte P (A ∩ B ∩ C ) = P (A1) = 14 s, i pe de
alta parte P (A) · P (B) · P (C ) = 12 · 1
2 · 1
2 = 18 . Deci P (A ∩ B ∩ C ) = P (A) ·
P (B) · P (C ), de unde rezulta ca evenimentele A, B,C nu sunt independente
ın totalitate lor.
3o Daca A, B ∈ K, atunci urmatoarele afirmat, ii sunt echivalente:
(a)A s, i B independente; (b)A s, i B independente; (c)A si B independente.
Rezolvare. ˆIntr-adevar, cum A s, i B sunt independente,s implica P B (A) =
P (A) ⇔ P B
A
= P
A
. Deci A s, i B sunt evenimente independente.
De aici avem ca P A (B) = P (B) ⇔ P A
B
= P
B
, de unde rezulta ca
A s, i B sunt evenimente independente.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 21/135
2.3. Formule clasice de probabilitate 21
2.3 Formule clasice de probabilitate
Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate s, i (Ai)i=1,n ⊂ K.
2.11. Propozit,ie (Probabilitatea reuniunii de evenimente ): P
n
i=1 Ai =
ni=1
P (Ai) − 1≤i<j≤n
P (Ai ∩ A j ) + ...+(−1)n−1 · P
ni=1
Ai
.
Demonstrat ,ie. Procedam prin induct, ie completa dupa n:
Pentru n = 2: P(A1∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1∩ A2).
Presupunem formula adevarata pentru n = m, adica:
P
m
i=1
Ai
=
mi=1
P (Ai) − 1=i<j≤m
P (Ai ∩ A j )+
1=i<j<k≤m
P (Ai
∩A j
∩Ak) + ... + (
−1)m−1
·P
m
i=1 Ai .
Trecem acum la n = m + 1 s, i gasim: P
m+1i=1
Ai
=
= P
m
i=1
Ai
∪ Am+1
= P
m
i=1
Ai
+ P (Am+1)−P
m
i=1
Ai
∩ Am+1
=
=
m
i=1
P (Ai) −m
1=i<j
P (Ai ∩ A j)(−1)m−1 · P
m
i=1
Ai
+ P (Am+1) −
− m
i=1 P (Ai ∩ Am+1)−m
1=i<j
P (Ai ∩ A j ∩ Am+1)+
m1=i<j<k
P (Ai ∩ A j ∩ Ak ∩ Am+1)+... +(−1)m−1 · P m+1
i=1
Ai
=
m+1i=1
P (Ai)−
m+11=i<j
P (Ai ∩ A j ) +m+1
1=i<j<k
P (Ai ∩ A j ∩ A1) + ... + (−1)m · P
m+1i=1
Ai
Deci egalitatea este adevarata s, i pentru n = m + 1.
Prin urmare egalitatea este adevarata pentru ∀ n ∈ N∗.
Formula de mai sus este cunoscuta sub numele de formula lui Poin-
care.
2.12. Observat,ie: Daca evenimentele sunt incompatibile, atunci for-
mula lui Poincare se scrie:
P
ni=1
Ai
=
ni=1
P (Ai)(pentru ca orice intersect, ie este ∅ s, i P(∅) = 0).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 22/135
22 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
P
ni=1
Ai
= 1 −
ni=1
[1 − P (Ai)].
2.13. Exemplu: O societate comerciala se compune din trei firme acaror probabilitate de a funct, iona fara ıntrerupere ıntr-un interval de timp
dat este egala cu 0,9, 0,8 s, i respectiv 0,7. Sa se determine:
(a) probabilitatea ca cel put, in o firma sa funct, ioneze;
(b) probabilitatea ca societatea sa funct, ioneze;
(c) probabilitatea ca doua firme sa nu funct, ioneze;
(d) probabilitatea ca societatea sa nu funct, ioneze;
(e) probabilitatea ca o firma sa nu funct, ioneze.
Rezolvare : (a) Notam Ai evenimentul ca firma i sa funct, ioneze i = 1, 3..Atunci evenimentul A la punctul (a) va fi A = A1 ∪ A2 ∪ A3. Pentru ca
evenimentul Ai i = 1, 3 sunt independente s, i compatibile rezulta:
P(A) = (A1 ∪ A2 ∪ A3 )= 1 −3
i=1
(1 − P (Ai)) =1- (1 - 0,9) · (1 − 0,8)
· (1 - 0,7) = 0,994. Analog se rezolva punctele (b), (c), (d) s, i (e). (Exercit, iu).
2.14. Propozit,ie. (probabilitatea unei intersect
,ii de evenimente )
Daca evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n sunt astfel ıncat P
ri=1
Ai
= 0, r =
1, n−
1, atunci:
P n
i=1
Ai
= P (A1) · P A1(A2) · P A1∩A2(A3)...P A1∩A2∩...∩An−1(An).
Demonstrat ,ie : Cum
ni=1
Ai ⊆k
i=1
Ai, ∀k = 1, n , rezulta P
ki=1
Ai
= 0.
Prin urmare putem scrie: P (A1) = P (A1)
P A1(A2) = P (A1∩A2)P (A1)
P A1∩A2(A3) = P (A1∩A2∩A3)P (A1∩A2 )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P A1∩A2∩...∩An−1(An) = P (A1∩A2∩...∩An)
P (A1∩A2∩...∩An)
Inmult, ind aceste egalitat, i membru cu membru, se obt, ine relat, ia:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 23/135
2.3. Formule clasice de probabilitate 23
P (A1)·P A1(A2)·P A1∩A2(A3)...P A1∩A2...∩An−1(An) = P (A1∩A2∩...∩An) care
este chiar formula anunt,ata. In mod riguros aici trebuie utilizata induct, ia.
2.15. Observat,ie: Daca evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n sunt indepen-
dente, atunci se obt, ine formula: P n
i=1 Ai = P (A1)·
P (A2)·
...·
P (An).
Formula obt, inuta la acest punct se mai numes, te formula de ınmult , ire
a probabilit˘ at , ilor .
2.16. Propozit,ie. (inegalitatea lui Boole ). Fie (Ai)i=1,n
⊂ K. Atunci
are loc inegalitatea:
P
ni=1
Ai
≥ 1 −
ni=1
P
Ai
, ∀n ∈ N∗.
Demonstrat ,ie . Procedam prin induct, ie completa.
Pentru n = 2 avem:
P(A1 ∩ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∪ A2) ≥ P(A1) + P(A2) -1= 1 − P (A1) − P (A2) (P(A1 ∪ A2) ≤ 1)
Deci inegalitatea se verifica pentru n = 2.
Presupunem ca inegalitatea este adevarata pentru n = k, i.e.
P
ki=1
A1
≥ 1 −
ki=1
P
Ai
s, i trebuie sa aratam ca ea este adevarata
pentru n = k + 1, i.e.
P
k+1i=1
A1
≥ 1 −
k+1i=1
P
Ai
Intr-adevar:
P k+1i=1
Ai = P k
i>1
Ai + P (Ak+1) − P k
i=1
Ai ∪ Ak+1
≥
≥ 1 −k
i=1
P ( Ai) + P (Ak+1) − 1 ≥ 1 −k+1i=1
P ( Ai) s, i de aici rezulta ca
inegalitatea lui Boole este adevarata.
2.17. Observat,ie. Din inegalitatea lui Boole rezulta ca
max
0, 1 −
ni=1
P
Ai
reprezinta o margine inferioara pentru P
ni=1
Ai
.
Si, pentru can
i=1Ai ⊆ Ai, ∀i = 1, n, rezulta ca P
n
i=1Ai
.
2.18. Aplicat,
ie. O firma funct, ioneaza normal daca satisface simultancondit, iile C1, C2 s, i C3. Stiind ca aceste condit, ii sunt ındeplinite cu probabi-
litat, ile 23 , 56 respectiv 8
9 , sa se precizeze ıntre ce limite se gases, te probabilitatea
ca firma sa funct, ioneze normal.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 24/135
24 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
Rezolvare . Fie Ai evenimentul ca firma sa ındeplineasca condit, ia Ci, i =
1, 3. Cum P (A1) = 23 , P (A2) = 5
6 s, i P (A3) = 89 avem: 1 −
3i=1
P
Ai
= 7
18 .
Conform cu 2.17, probabilitatea cautata se afla ın intervalul
718
, 23
.
2.19. Propozit,
ie. ( Formula probabilit˘ at ,
ii totale. Formula lui Bayes.)Daca (H i) ,i=1,n ⊂ K este un sistem complet de evenimente pe (Ω,K ), atunci
pentru ∀ A ∈ K avem:
1) P (A) =n
i=1
P (H i) · P (A/H i),( formula probabilit˘ at ,ii totale );
2) P A(H i) = P (H i)·P H i(A)ni=1
P (H i)·P H i (A); ∀ i = 1, n ( formula lui Bayes sau
probabilitatea ipotezelor ).
Demonstrat ,ie : 1) (H i) ,i=1,nfiind sistem complet de evenimente rezulta
Ω =
ni=1 H i. Atunci avem: A = A ∩ Ω = A ∩
ni=1 H i =
ni=1 (A ∩ H i).
Cum evenimentele A ∩ Hi, i = 1, n sunt incompatibile, (i.e. A ∩ Hi) ∩(A ∩ Hi) = Ø , i = j= 1, n) rezulta P (A) =
ni=1
P (A ∩ H i) =n
i=1
P (H i) · P H i (A).
2) P(A) · PA(Hi) = P(Hi) · P H i(A) (= P(A ∩ Hi)) ⇒
⇒ P A(H i) = P (H i) · P H i(A)
P (A) ⇒ P A(H i) =
P (H i) · P H i(A)n
i=1P (H i) · P H i(A)
, ∀i = 1,n..
2.20. Remarca: Egalitatea A =n
i=1
(A ∩ H i) precum s, i incompatibi-
litatea evenimentelor A ∩ Hi, i = 1, n exprima faptul ca evenimentul A se
realizeaza simultan cu unul din evenimentele Hi, i = 1, n, numite variante de
realizare sau cauze (ipoteze) de realizare ale evenimentului A.
Formula probabilitat, ii totale reduce calcularea probabilitat, ii evenimentu-
lui A la calcularea probabilitat, ii fiecarei cauze (i.e. a lui P(Hi), i = 1, n) s, i a
probabilitat, ii lui A ın fiecare varianta (i.e. a lui P(A/Hi), i = 1, n).
Probabilitat, ile P (H i), i = 1, n se numesc probabilit˘ at , i apriori .Formula lui Bayes permite gasirea probabilitat, ii lui Hi condit, ionata de
realizarea evenimentului A, i.e. a probabilitat, ii cauzei (ipotezei) ce a dus la
aparit, ia evenimentului A. Stiind ca A s-a realizat, PA(Hi) reprezinta, de ase-
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 25/135
2.3. Formule clasice de probabilitate 25
menea, probabilitatea ca evenimentul A sa fi aparut din cauza evenimentului
Hi,i = 1, n.
Probabilitat, ile PA(Hi), i = 1, n se numesc probabilit˘ at , i aposterior i.
Comparand probabilitat, ile PA(Hi) s, i P(Hi) se observa cum realizarea lui
A modifica probabilitatea lui Hi.
Relat, ia care reprezinta formula lui Bayes se mai numes, te s, i probabilita-
tea ipotezelor deoarece cu ajutorul ei se calculeaza probabilitat, ile ipoteze-
lor H1, . . . , Hn (numite s, i cauze de aparit, ie) unic posibile s, i incompatibile care
se fac asupra unui eveniment X. Aceste probabilitat, i se pot calcula ınainte
de efectuarea experient,ei.
Pe baza aparit, iei evenimentului X se poate stabili cum trebuie modifi-
cate probabilitat, ile ipotezelor P(Hi), i = 1, n. Pentru aceasta este necesara
calcularea probabilitat, ii condit, ionate P(Hi/ X) ∀ i = 1, n.
Fie Ei un experiment aleator descris de campul de probabilitate (Ωi, Ki,
Pi) s, i E experimentul aleator ce consta din efectuarea unuia din experimentele
aleatoare Ei. i = 1, m.
2.21. Propozit,ie. Tripletul (Ω,K, P) unde:
(a) Ω =m
i=1
Ωi,
(b) K = A ∈ P (Ω) | A ∩ Ωi ∈ Ki, ∀ i = 1, m,
(c) P (A) =
mi=1 αiP i (A ∩ Ωi) ,∀ A ∈ K s, i αi > 0 cu
mi=1 αi = 1,
este un camp de probabilitate ce descrie experimentul E.
Demonstrat ,ie. Deoarece Ω ∩ Ωi = Ωi ∈ Ki, ∀i = 1, m, rezulta
K = Ø . Daca A ∈ K, atunci deoarece A ∈ K, A ∩ Ωi = Ωi\(Ωi ∩ A) ∈ K,
∀i = 1, m. Pentru orice (An)n ⊂ K,
n≥1
An
∩ Ωi =
n≥1
(An ∩ Ωi) ∈ K,
∀i = 1, m s, i rezultan
An ∈ K. Prin urmare K este corp borelian pe Ω.
Acum aratam ca P este o probabilitate pe K . Intr-adevar
P(Ω) =m
i=1 αiP i(Ω ∩
Ωi) =m
i=1 αiP i(Ωi) =m
i=1 αi = 1 s, i daca (An)n
⊂K este
o familie de evenimente disjuncte doua cate doua, atunci:
P
n
An
=
mi=1
αiP i
n
An
∩ Ωi
=
mi=1
αiP i
n
(An ∩ Ωi)
=
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 26/135
26 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
=m
i=1
αi
n
P i(An ∩ Ωi) =
n
mi=1
αiP i(An ∩ Ωi) =
n
P (An).
Astfel propozit, ia este demonstrata.
2.22. Remarca. 1˚. Daca Ωi este cel mult numarabila pentru orice
i = 1, m, se poate lua K = P (Ω).2˚. Orice eveniment elementar din Ωi, ∀ i = 1, m este eveniment ele-
mentar ın Ω. Un eveniment A are loc ın experimentul E daca el are loc
ıntr-unul din experimentele Ei (i.e. ∀ A ∈ K ⇒ ∃ i ∈ 1, . . . , m astfel
ıncat (A ∈ K.i ).Ωi ∈ K , ∀ i = 1, m.
3˚. (Ωi)i=1,m este un sistem complet de evenimente ın Ω.Deci Ω j repre-
zinta evenimentul din K ce consta din efectuarea experimentului E j .
Deoarece, P(Ω j ) : =m
i=1αiP i(Ω j ∩ Ωi) =
m
i=1αiδ ij = α j
rezulta ca α j este probabilitatea de a se efectua experimentul E j.
4˚. Pentru ∀ A ∈ K j , j ∈ 1, 2,...,n arbitrar fixat, avem: P (A) =
α jP j (A)
=
mi=1
αiP i (A ∩ Ωi) , unde(A ∩ Ωi) ∩ (A ∩ Ω j ) = ∅, ∀i = j
. Rezulta
ca α jP j este restrict, ia lui P la K j s, i ca ın campul de probabilitate (Ω, K, P )
evenimentele elementare nu mai sunt egal probabile des, i ın campul de pro-
babilitate (Ω j , K j, P j), j = 1, n, evenimentele elementare sunt egal probabile.
5˚. Pentru ∀ A ∈ K, P(A | Ω j ) = P j(A ∩ Ω j), ∀ j = 1, n. Deci
relat, ia (c) din 2.21 este P(A)=n
j=1 P (Ω j)P (A
|Ω j ) ,
∀A
∈K (i.e. formula pro-
babilitat, ii totale).
2.23. Aplicat,ii. 1˚. Se considera m urne cu aspect identic s, i ımpart, ite
ın n grupe. Grupa G j cont, ine r j urne, iar ın fiecare urna a grupei se gasesc
a j bile albe s, i b j bile negre, j = 1, n.Extragand, la ıntamplare, o bila dintr-o
urna se cere:
(1) Care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba?
(2) Stiind ca bila extrasa este alba, care este probabilitatea ca ea sa
provina dintr-o urna a grupei Gi?
Rezolvare. (1) Fie E j experimentul extragerii bilei dintr-o urna a grupei
G j, j = 1, n s, i E experimentul extragerii unei bile.
Notam Ai mult, imea bilelor urnei Ui, i = 1, m s, i cu Ω j mult, imea bilelor
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 27/135
2.3. Formule clasice de probabilitate 27
grupei G j, j = 1, n. Atunci: Ω j = AS j−1+1 ∪ ... ∪ AS j , unde s j = j
i=1
ri, j =
1, n , s0 = 0 .
Consideram (Ω j , K j, P j ) campul de probabilitate Laplace atas,at experi-
mentului E j, j = 1, n. Experimentului E ıi asociem campul de probabilitate(Ω,K, P) unde Ω =
n j=1
Ω j , K = P (Ω), iar probabilitatea P se determina ca
ın 2.21, constantele α j, j = 1, n urmeaza a fi determinate.
In campul de probabilitate (Ω,K, P), Ai este evenimentul extragerii unei
bile din urna Ui, i = 1, m (i.e. Ai este evenimentul ce consta ın alegerea
urnei Ui), iar Ω j este evenimentul extragerii unei bile din grupa G j, j = 1, n.
Familiile de evenimente (Ai)i=1,m s, i (Ai)i=S j−1+1,S jsunt sisteme complete de
evenimente ın (Ω,K, P), respectiv (Ω j , K j , P j),
∀ j = 1,n.
Astfel avem:m
i=1
P (Ai) = 1 s, irj
i=1
P jAS j−1+1 = 1, j = 1, n.
Pentru ca urnele sunt identice ca aspect avem :
P(A1) = .. . = P(Am) s, i P j(AS j−1+1) = ... = P j (AS j), ∀ j = 1,n
i.e.ın fiecare camp de probabilitate precizat, urnele au aceleas, i s,anse de a
fi alese. Deci P (Ai) = 1m
, ∀ i = 1, m s, i P j(Ai) = 1rj
, ∀i = s j−1 + 1, s j s, i
j = 1, n. Conform cu 2.21, 4˚, rezulta α j = rj
m, ∀ j = 1, n. Fie X eveni-
mentul ca bila extrasa sa fie alba. Atunci: P(X) : =n
j=1α j P j(X ∩ Ω j ) =
n j=1
rjm
S ji=S j−1+1
P j(X ∩ Ai)=
=n
j=1
S ji=S j−1+1
rjm
P j(Ai)P j(X |Ai) =n
j=1
S ji=S j−1+1
rjm · 1
rj· aj
aj+bj=
n j=1
rjm · aj
aj+bj.(2)
Conform formulei lui Bayes,
P(Ω j | X) = P (Ωj)·P (X |Ωj)
P (X ) =
P (Ωj)·P j(A∩Ωj)P (X )
=
rjm· ajaj+bj
nj=1
rjm· ajaj+bj
.
Remarc˘ a. Pentru calcularea lui P(X) se poate folosi s, i formula probabi-
litat, ii totale, i.e.:
P (X ) = n j=1
P (Ω j)P (X |Ω j) .
Si pentru ca:
P (X |Ω j ) = P j(X ∩ Ω j) = ... = ajaj+bj
= P j (B j), ∀ j = 1, n avem:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 28/135
28 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
P (X ) =n
j=1
P (Ω j)P j(B j). unde B j ∈K este evenimentul de a obt, ine o bila
alba dintr-o urna a grupei G j.
Caz particular: Se considera 5 urne ımpart, ite ın grupe astfel: grupa G1
formata din doua urne, ın care fiecare urna cont, ine 3 bile albe s, i 4 bile negre;grupa G2 formata dintr-o singura urna cu 2 bile negre; grupa G3 formata din
doua urne, ın care fiecare urna cont, ine 10 bile albe s, i 2 bile negre. Se cere:
(1) Care este probabilitatea ca dintr-o urna luata la ıntamplare sa extra-
gem o bila alba?
(2) Stiind ca am extras o bila alba, care este probabilitatea ca bila sa fie
dintr-o urna a grupei G3?
Rezolvare. Fie E j experimentul extragerii bilei dintr-o urna a grupei G j,
j = 1, 3 s, i E evenimentul extragerii unei bile. Fie de asemenea Ai mult, imeabilelor urnei Ui, i = 1, 5 s, i Ω j mult, imea bilelor grupei G j , j = 1, 3. Atunci
Ω1 = A1 ∪ A2, Ω2 = A3, Ω3 = A4 ∪ A5; r1 = 2, r2 = 1, r3 =2.
Consideram (Ω j , K j, P j) campul de probabilitate Laplace atas,at experi-
mentului E j , j = 1, 3 s, i (Ω,K,P) campul Laplace asociat experi-mentului E,
unde Ω =
Ω j, s, i K = P (Ω) iar P este definita ca ın 2.21.
(1) Fie X evenimentul ca bila extrasa sa fie alba s, i B j ∈ K j, este eveni-
mentul definit ca ın 2.23. Atunci:
P (X ) =3 j=1 P (Ω j)
·P j (B j) =P(Ω1)
·P1(B1) + P(Ω2)
·P2(B2) + P(Ω3)
·P3(B3)
= 25 · 3
7 + 1
5 · 0
7 + 2
5 · 10
12 = 6
35 + 1
3 = 53
105.
(2) Se aplica formula lui Bayes s, i avem:
P(Ω3 | X) = P (H 3)·P (X |Ω3)
P (X ) =
25· 1012
53105
= 3553
.
2˚. Trei firme F1, F2, F3 aduc spre vanzare la un magazin 200, 500
s, i respectiv 300 bucat, i din acelas, i produs. Produsul respecta termenul de
garant, ie cu probabilitat, ile: 0,96, 0,95 s, i respectiv 0,98. Se cere:
(a) probabilitatea ca un cumparator sa cumpere un produs care sa sedefecteze ın termenul de garant, ie.
(b) probabilitatea ca produsul ce nu respecta termenul de garant, ie sa
provina de la firma Fi, i = 1, 3.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 29/135
2.4. Scheme clasice de probabilitate 29
Rezolvare . Fie E j experimentul cumpararii unui produs de la firma F j, j =
1, 3 s, i E experimentul cumpararii unui produs. Fie Ω j mult, imea produselor de
la firma F j. Consideram (Ω j, K j , P j ) campul Laplace atas,at experimentului
E j , j = 1, 3 s, i (Ω,K, P) campul Laplace atas,at experimentului E unde Ω =Ω j , K = P (Ω) iar P este definita ca ın 2.21.
Fie H j evenimentul ca produsul cumparat sa provina de la firma F j s, i
X evenimentul ca produsul cumparat sa nu respecte termenul de garant, ie.
(a) Pentru ca P (H 1) = 2001000
= 15
; P (H 2) = 5001000
= 12
s, i P (H 3) = 3001000
= 310
,
P (X |H 1) = 1 − 0, 96 = 0, 04; P (X |H 2) = 0, 05; P (X |H 3) = 0, 02 s, i folosind
formula probabilitat, ii totale avem:
P (X ) =3
j=1P (H j) · P (X |H j) =
1
5 · 4
100 +
1
2 · 5
100 +
3
10 · 2
100 = 0,039
(b)Folosind formula lui Bayes, se obt, in probabilitat, ile cerute :
P (H 1|X ) = P (H 1) · P (X |H 1)
P (X ) =
8
39; P (H 2|X ) =
25
39; P (H 3|X ) =
6
39;
2.4 Scheme clasice de probabilitate
Sub aceasta denumire sunt considerate unele probleme speciale din teoria
probabilitat, ilor care constituie modele de rezolvare pentru o clasa mare de
alte probleme.
2.4.1 Schema lui Poisson (sau schema binomiala gene-
ralizata)
Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate s, i evenimentele independente
Ai ∈ K, cu P(Ai) = pi,i = 1, n. Probabilitatea de a se realiza doar k
din cele n evenimente este egala cu coeficientul lui xk din polinomul:
r(x) = (p1x + q1) · (p2x + q2) · . . . · (pnx + qn); qi = 1 - pi, = P Ai,i =1, n.
Modelul matematic al schemei lui Poisson poate fi prezentat de n urne U1,
U2, . . . , Un ın fiecare gasindu-se bile albe s, i bile negre ın proport, ii cunoscute.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 30/135
30 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
Din urna Ui se extrage o bila alba cu probabilitatea pi. Atunci probabilitatea
de a obt, ine k bile albe s, i n - k bile negre, cand din fiecare urna se extrage
cate o bila este coeficientul lui xk din polinomul:
r(x) = (p1x + q1)
·(p2x + q2)
·. . .
·(pnx + qn), unde: qi = 1 - pi, i = 1, n.
2.24.Aplicat,ie: Se dau 3 urne Ui, i = 1, 3. U1 cont, ine 2 bile albe s, i 3
bile negre, U2 cont, ine 4 bile albe s, i o bila neagra iar U3 cont, ine 3 bile albe
s, i 2 bile negre. Care este probabilitatea ca extragand cate o bila din fiecare
urna sa obt, inem 2 bile albe s, i una neagra?
Rezolvare : Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate asociat experimentului
precizat ın problema s, i Ai este evenimentul ca bila extrasa din urna Ui, sa fie
alba, i=1, 3. Evident ca evenimentele (Ai)i=1,n sunt independente. Problema
cere probabilitatea realizarii a 2 din cele 3 evenimente. Suntem ın cazul
schemei lui Poison cu n = 3, k = 2.
p1 = P (A1) = 25 ; p2 = P (A2) = 4
5 ; p3 = P (A3) = 35 . Conform cu
schema lui Poisson probabilitatea cautata va fi coeficientul lui x2 din dezvol-
tarea polinomului:
r(x) =25 · x + 3
5
· 45 · x + 1
5
· 35 · x + 2
5
;raspuns 58
125 .
2.4.2 Schema lui Bernoulli (sau schema binomiala).
Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate asociat unui experiment aleatorξ s, i A ∈ K cu P(A) = p.Probabilitatea ca ın n repetari ale experimentului
ξ , evenimentul A sa se realizeze de k ori s, i de n-k ori sa nu se realizeze este
coeficientul lui xk din dezvoltarea binomului (px + q)n, q = 1 - p, adica este
egal cu C kn pkq n−k. Modelul matematic al schemei lui Bernoulli poate fi dat
de o urna ın care se gasesc bile albe s, i bile negre ın proport, ie cunoscuta.
Probabilitatea de a obt, ine k bile albe din n extrageri dintr-o urna, punand
de fiecare data bila extrasa ınapoi, este P n,k = C kn pk · q n−k, unde p este
probabilitatea obt, inerii unei bile albe la o extragere s, i q = 1 - p. Deoarecebila extrasa se pune, de fiecare data ınapoi, aceasta schema se mai numes, te
s, i schema bilei ıntoarse.
2.25. Observat , ie: 1) Cele n extrageri dintr-o urna, cu revenirea bilei,
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 31/135
2.4. Scheme clasice de probabilitate 31
sunt echivalente cu n extrageri din n urne cu acelas, i cont, inut. Prin urmare
aceasta schema este un caz particular al schemei lui Poisson (U 1 ≡ U 2 ≡. . . ≡ U n ≡ U ; p1 = p2 = . . . = pn = p; s, i q 1 = q 2 = . . . = q n = q = 1 − p).
2) Consideram probabilitat, ile ce apar ın schema lui Bernoulli ca o funct, ie
de k, adica f(k) = C kn pk · q n−k, k ∈ 0, 1, 2, . . . , n s, i reprezentand-o grafic
obt, inem o schit, a de forma:
Din calcul, ca s, i de pe acest grafic se observa ca:
−probabilitat, ile combinat, iilor (de k bile albe s, i n - k bile negre) au valorimici la ınceputul s, i sfars, itul dezvoltarii binomului.
- probabilitat, ile cresc atingand ıntr-un punct oarecare al dezvoltarii, va-
loarea maxima, care corespunde num˘ arului celui mai probabil sau combinat ,iei
celei mai probabile apoi descres ,te.
Spre exemplu o urna ın care se gasesc 2 bile albe s, i 3 negre. Se fac 7
extrageri. Probabilitat, ile de a obt, ine respectiv 0, 1, 2, ..., 7 bile albe sunt
egale cu:
C
0
7 p
0
q
7
; C
1
7 pq
6
; C
2
7 p
2
q
5
; C
3
7 p
3
q
4
; C
4
7 p
4
q
3
; C
5
7 p
5
q
2
; C
6
7 p
6
q
1
; C
7
7 p
7
q
0
unde p = 25
s, i q = 35
.
Comparand acest exemplu cu figura de mai sus (sau facand calculele)
se gases, te ca extragerea a 3 - 4 bile albe din 7 extrageri are probabilitate
maxima.
3) Se observa ca:n
k=0
P n;k =n
k=0
f(k) = 1.
2.26. Aplicat,ie: Se arunca doua zaruri de 15 ori. Care este probabili-
tatea sa apara de 4 ori suma 7.
Rezolvare : Probabilitatea ca la o aruncare sa apara suma 7 este
1
6 (sunt6 cazuri favrabile: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) s, i 36 cazuri posibile.
Deci: p = 16
s, i q = 56
, n = 15, k = 4.
r(x) =16 · x + 5
6
15,raspuns C 415
16
4 · 56
11.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 32/135
32 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
2.4.3 Schema lui Bernoulli cu mai multe stari (schema
multinomiala).
Modelul matematic al schemei multinomiale este dat de o urna U ce
cont, ine bi bile de culoare Ci. Daca pi este probabilitatea ca din urna sa fie
extrasa o bila de culoare Ci, i = 1, n, atunci probabilitatea ca din s extrageri
sa obt, inem ri bile de culoare C i, i = 1, n(s = r1 + r2 + . . . + rn) este:
P s;r1,r2,...,rn = s!
r1!r2!...,rn! pr11 , pr2
2 , ..., prnn ,
s, i se numes, te formula polinomial˘ a a probabilit˘ at , ii corespunzatoare unei
n stari. Probabilitat, ile p1, p2, . . . , pn verifica relat, ia p1 + p2 + . . . + pn = 1.
2.27. Aplicat, ie: Se arunca un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca
de 2 ori sa obt, inem fat,a cu un punct s, i de 2 ori fat,a cu 2 puncte s, i o data
nici una din aceste 2 fet,e?
Avem: s = 5; r1 = 2; r2 = 2; r3 = 1; p1 = 16
; p2 = 16
; p3 = 46
= 23
s, i
P s;r1,r2,r3 = 5!2! ·2! ·1! ·
16
2 · 16
2 · 23
1= 5
324 .
2.4.4 Schema bilei neıntoarse (schema hipergeometri-
ca)
Se considera o urna cont, inand A bile albe s, i B bile negre. Din aceasta
urna se fac n extrageri succesive, fara a se pune bilele ınapoi ın urna. Se
pune problema sa se calculeze probabilitatea P ca din cele n bile extrase, a
sa fie albe s, i b sa fie negre (a + b = n).
Pentru rezolvare se aplica definit, ia clasica a probabilitat, ii. Deoarece
numarul cazurilor posibile va fi C a+bA+Bs, i numarul cazurilor favorabile este
C aA ·
C bB
avem ca : P = C aA·C bB
C a+bA+B. In general se considera o urna ın care
sunt Ni bile de culoarea Ci, i = 1, k. Atunci probabilitatea ca ın n extrageri
succesive, sa obt, inem ni bile de culoare Ci, i = 1, k(n1 + n2 + ... + nk = n),
fara sa se puna bila ınapoi este:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 33/135
2.4. Scheme clasice de probabilitate 33
P =C n1
N 1 · C n2
N 2 · ... · C nkN k
C n1+n2+...+nkN 1+N 2+...+N k
.
2.28. Aplicat,ie: 1˚. La un magazin au fost aduse spre vanzare 10
mas, ini din care 4 nu funct, ioneaza. Care este probabilitatea ca din 5 mas, ini,luate la ıntamplare, 2 sa fie defecte?
Suntem ın cadrul schemei bilei neıntoarse A = 4; B = 6; a = 2; b = 3,
n=5. Probabilitatea cautata este: C 24 ·C 36
C 410= 10
21.
2˚. Dintr-un lot de 100 de mas, ini, 7 s-au vandut ın prima zi. Stiind ca
45 provin de la firma F1, 37 de la firma F2 s, i restul de la firma F3, se cere:
(a) probabilitatea ca din cele 7 mas, ini 4 sa fie de la firma F1;
(b) probabilitatea ca cel put, in 3 sa nu fie de la firma F3;
(c)probabilitatea ca 3 mas, ini sa fie de la firma F1, o mas, ina de la firmaF2 s, i 2 mas, ini de la firma F3.
Rezolvare . (a) Fie (Ω,K, P) campul Laplace asociat experimentului pre-
cizat ın problema. Daca A este evenimentul ca din cele 7 mas, ini vandute ın
prima zi, 4 sa fie de la firma F1, atunci P(A) se calculeaza cu schema bilei
nerevenite unde A = 45, B = 55, a = 4 s, i b = 3. Deci: P (A) = C aAC BB
C a+bA+B=
C 445C 355C 7100
.
(b) Fie B evenimentul ca cel put, in 4 mas, ini sa fie de la firma F3. In
acest caz este mai us,or sa se calculeze probabilitatea evenimentului B (care
este evenimentul ca cel mult 3 mas, ini sa fie de la firma F3). Daca Con-sideram Ai evenimentul ca de la firma F3 sa fie i mas, ini, i = 1, 3, atunci
B= A1 ∪ A2 ∪ A3 s, i Ai, i = 1, 3 disjuncte doua cate doua. Rezulta,
conform cu schema bilei nerevenite (A = 45, B = 55, a = i, b = 7 - i) c a:
P (B) =3
i=1
P (Ai) =3
i=1
C i45C 7−i55
C 7100, P (B) = 1−P (B) . (c) Se aplica schema bilei
nerevenite cu trei culori (n1 = 3, n2 = 1, n2 = 2, N1 = 45, N2 = 37 s, i N3 =
18) s, i avem ca probabilitatea avuta este: p = C 345·C 137·C 218
C 7100.
2.4.5 Schema lui Pascal (geometrica)
Modelul matematic al acestei scheme este dat de o urna U ın care se
gasesc bile albe s, i bile negre (ın proport, ii cunoscute) din care se fac extrageri
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 34/135
34 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.
ıntamplatoare, cu revenirea bilei, pana cand se obt, ine o bila alba. Probabili-
tatea ca la extragerea k (k ≥ 1) sa se obt, ina prima bila alba este p · qk−1(p este
probabilitatea obt, inerii bilei albe s, i q = 1 - p). Intr-adevar, fie A evenimentul
ca la extragerea k sa apara prima bila alba s, i Bi evenimentul ca la extragerea
i, i = 1, k − 1sa se obt, ina o bila neagra. Deoarece structura urnei este aceeas, i
ınaintea oricarei extrageri, evenimentele Bi, i = 1, k − 1sunt independente.
P(A) = P(B1 ∩ . . . ∩ Bk−1 ∩ Bk) = P(B1) . . .P(Bk−1 · P (Bk) = p ·qk−1.
2.28. Aplicat,ie. Din cele 15 firme ale unei societat, i comerciale, 5
sunt banuite de evaziune fiscala. Stiind ca la fiecare intervent, ie a garzii
financiare se controleaza doar o firma, sa se gaseasca probabilitatea ca la a
s,asea intervent, ie sa se depisteze o firma ın culpa.
Rezolvare . Fie A evenimentul ca la a s,asea intervent, ie sa se gaseasca o
firma cu evaziune fiscala s, i Bi evenimentul ca la intervent, ia i,i = 1, 6 sa se
gaseasca o firma ce funct, ioneaza legal. Atunci avem: A = B1 ∩ B2 ∩B3 ∩ B4 ∩ B5 ∩B6.
Si cum q = P (Bi) = 1015
= 23
s, i p = 1 − q = 13
rezulta: P (A) = 13
23
6−1=
13
23
5.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 35/135
Capitolul 3
Variabile aleatoare
3.1 Definit, ia variabilei aleatoare
In viat,a de toate zilele ıntalnim frecvent marimi care iau valori ce se
schimba sub influent,a unor factori ıntamplatori. As,a sunt, de exemplu,
numarul zilelor dintr-un an ın care cade ploaia ıntr-o anumita regiune, timpul
de funct, ionare al unui dispozitiv fara defect, iuni, masa unui anumit fruct luat
dintr-o anumita recolta etc.
Marimile care iau valori ıntamplatoare sunt legate de anumite experient, e
aleatoare, iar fiecare valoare pe care o iau este ın funct, ie de rezultatul experient,ei.
Pentru modelarea matematica a conceptului de marime aleatoare consi-deram un camp de evenimente (Ω, K ).
3.1. Definit,ie: O aplicat, ie X : Ω →R cu proprietatea ca
∀t ∈ R, At = ω ∈ Ω|X (ω) < t ∈ K (3.1)
se numes, te variabil˘ a aleatoare (unidimensional˘ a). Mult, imea At se mai
noteaza cu (X < t). X (ω) se numes, te valoare a variabilei aleatoare X.
3.2 Observat,ii. (1) Deoarece pentru ∀t ∈ R, X (ω) < t ⇔ X (ω) ∈
(−∞, t) ⇔ ω ∈ X −1(−∞, t), rezulta ca At = X −1((−∞, t)), ∀t ∈ R s, i astfel
relat, ia ?? se poate scrie s, i sub forma :
∀t ∈ R X −1((−∞, t)) ∈ K (3.2)
35
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 36/135
36 Capitolul 3. Variabile aleatoare
(2) Variabila aleatoare este o marime legata de o experient, a aleatoare,
care ia valori ıntamplatoare ın funct, ie de rezultatul experient, ei. Prin urmare
o variabila aleatoare este o corespondent, a ıntre mult, imea rezultatelor posibile
Ω ale experient, ei aleatoare s, i mult, imea numerelor reale.
(3) Fiecarei variabile aleatoare X i se asociaza familia de evenimente
(At)t∈R, cu At definit mai sus. Deci X → (At)t∈R.
3.3.Exemple. (1) Se considera experimentul ce consta din aruncarea
unui zar, caruia i se asociaza campul de evenimente (Ω, K), Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6s, i K = P (Ω). Sa se arate ca funct, ia X : Ω → R, X (i) = i, i = 1, 6 este o
variabila aleatoare. Intr-adevar pentru ∀ t ∈ R avem:
At = ω ∈ Ω/X (ω) < t =
Ø ∈ K , t ≤ 1
1
∈ K , 1 < t
≤ 2
1, 2 ∈ K, 2 < t ≤ 3
1, 2, 3 ∈ K, 3 < t ≤ 4
1, 2, 3, 4 ∈ K, 4 < t ≤ 5
1, 2, 3, 4, 5 ∈ K, 5 < t ≤ 6
Ω ∈ K, 6 < t
.
(2) Legat de acelas, i experiment s, i acelas, i camp de evenimente(Ω, K) ca
ın exemplul (1), funct, ia Y : Ω → R, Y (i) = 7 − i, i = 1, 6 este o variabila
aleatoare. Intr-adevar pentru ∀t ∈ R avem:
Bt = ω ∈ Ω/Y (ω) < t =
Ø ∈ K, t ≤ 1
6 ∈ K, 1 < t ≤ 2
5, 6 ∈ K, 2 < t ≤ 3
4, 5, 6 ∈ K, 3 < t ≤ 4
3, 4, 5, 6 ∈ K, 4 < t ≤ 5
2, 3, 4, 5, 6 ∈ K, 5 < t ≤ 6
Ω ∈ K, 6 < t
.
(3) (Ω, K ) un camp de evenimente s, i a ∈ R. Funct, ia X : Ω → R, X (ω) =
a, ∀ω ∈ Ω este variabila aleatoare.
Intr-adevar At = ω ∈ Ω jX (ω) < t =
∅ ∈ K, t ≤ a
Ω ∈ K, a < t.
Funct, ia X definita mai sus este o variabila aleatoare constanta. Mult, imea
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 37/135
3.1. Definit, ia variabilei aleatoare 37
acestor variabile aleatoare este izomorfa cu R.
Deci orice constanta ”a” poate fi considerata ca o variabila aleatoare.
(4) Fiind dat un camp de probabilitate (Ω, K), oricarui eveniment E ∈ Kıi corespunde o variabila aleatoare X E : Ω
→R, X (ω) = χE (ω),
∀ω ∈ Ω. Intr-adevar, pentru ca At =
Ø, t ≤ 0
E, 0 < t ≤ 1
Ω, 1 < t
rezulta ca At ∈
K, ∀t ∈ R.
3.4.Exercit,iu. Acelas, i enunt, ca ın Exemplul 3.3, 1 pentru: (a)X (i) =
2i − 1, (b)X (i) = 2i+13
, (c)X (i) = 5i2−2i+13
.
3.5.Propozit,ie. Fie (Ω, K) un cˆ amp de evenimente s
,i aplicat
,ia X : Ω →
R. Atunci urm˘ atoarele afirmat ,ii sunt echivalente :
(1)X este variabil˘ a aleatoare ;
(2)∀a ∈ R, A2 = ω | X (ω) ≤ a ∈ K;
(3)∀b ∈ R, A3 = ω | X (ω) > b ∈ K;
(4)∀b ∈ R, A4 = ω | X (ω) ≥ b ∈ K(5)∀I interval finit ın R. A5 = ω | X (ω) ∈ I ∈ K ;
Demonstrat ,ie : (1)⇒(2). Din (1) rezulta ca: ∀a ∈ R,
Bn =
ω|X(ω) < a + 1n
∈ K, ∀n ∈ N*. De aici s, i din A2 = ω/x(ω) ≤a
= n
≥1 ω
|X(ω)
< a + 1
n rezulta A2
∈ K, adica (2).
(2)⇒(1). Din (2) avem ca ∀a ∈ R avem
ω|X(ω) < a − 1n
∈ K, ∀n ∈N*. s, i pentru ca A1 = ω/x(ω) < a =
n≥1
ω|X(ω) < a − 1
n
rezulta ca
A1 ∈ K. Deci X este variabila aleatoare pe (Ω, K).
(2)⇒(3). evident, caci A3 = A2 ∈ K pentru a = b.
(3)⇒(4). evident, caci A4 = A1 ∈ KFie I = (a, b). Atunci A5 = ω | X (ω) ≤ bnω | X (ω) ≥ a = A1 \ A3 ∈
K.
Daca I ∈
[a, b), (a, b], [a, b]
se procedeaza analog. Deci
(1)⇒(5).
In general, pe acelas, i camp de evenimente (Ω, K) se pot defini mai multe
variabile aleatoare care se raporteaza ıntre ele conform cu urmatoarea propozit, ie.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 38/135
38 Capitolul 3. Variabile aleatoare
3.6. Propozit,ie: Pentru orice doua variabile aleatoare X, Y pe campul
de evenimente (Ω, K ) avem:
(1) ω | X (ω) < Y (ω) ∈ K;
(2)
ω
| X (ω)
≤ Y (ω)
∈ K;
(3) ω | X (ω) = Y (ω) ∈ K.
Demonstrat ,ie : (1) Daca rnn ≥ 1 este s, irul numerelor rat, ionale atunci,
pentru ca mult, imea Q este densa ın R (adica, ıntre orice doua numere reale
se afla un numar rat, ional) avem:
ω | X (ω) < Y (ω) =
n≥1 (ω|X(ω) < rn < Y(ω))
Dar ω | X (ω) < rn < Y (ω) = ω | X (ω) < rn ∩ ω | rn < Y (ω).
X este variabila aleatoare s, i ω | rn < Y (ω) = ω|Y (ω) ≤ rn ∈ K rezulta
(1).
(2) ω | X (ω) ≤ Y (ω) = ω|X(ω) > Y(ω) ∈ K.
(3) ω | X (ω) = Y (ω) = ωjX (ω) ≤ Y (ω)nω | X (ω) < Y (ω) ∈ K.
3.7. Remarca. Daca se ia ın 3.6. (3), Y (ω) = a, a ∈ R, arbitrar fixat
se obt, ine ca X : Ω → R, X (ω) = a, ∀ω ∈ Ω este variabila aleatoare, i.e.
ω | X (ω) = a ∈ K (rezultatul din 3.4. (3)).
Fie (Ω, K) un camp de evenimente s, i variabilele aleatoare X i : Ω → R, i =
1, n.
3.8. Definit,ie. O aplicat, ie X : Ω → Rn, unde X (ω) = (X 1(ω), . . . ,
X n(ω)), ∀ ω ∈ Ω, se numes, te variabil˘ a aleatoare n dimensional˘ a sau
vector aleator n dimensional . Variabilele aleatoare X 1, X n se numesc,
ın acest caz, variabile aleatoare marginale .
In acest curs vom considera n = 2. Atunci X 1 s, i X 2 sunt variabilele
aleatoare marginale.
In cele ce urmeaza vom nota V (Ω, K) = X : Ω → R | X variabila
aleatoare .
3.2 Tipuri de variabile aleatoare
Fie X o variabila aleatoare (nu conteaza dimensiunea) pe campul de eve-
nimente (Ω, K).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 39/135
3.2. Tipuri de variabile aleatoare 39
3.9. Definit,ie: Spunem ca X este variabil˘ a aleatoare discret˘ a daca
ImX este cel mult numarabila. Daca ImX este finita, lui X i se mai spune
variabil˘ a aleatoare simpl˘ a . Spunem ca X este variabil˘ a aleatoare
continu˘ a daca ImX este un interval din R finit sau infinit.
Remarc˘ a: Aceasta definit, ie a variabilei aleatoare continue cat s, i definit, ia
3.27 este data pentru X ca vairabila aleatoare s, i nu ca funct, ie (unde domeniul
de definit, ie Ω trebuie sa fie ınzestrat cu o topologie, ceea ce aici nu este
cazul). Ment, ionam, de asemenea, ca mult, imea variabilelor aleatoare discrete
s, i continue nu epuizeaza toate variabilele aleatoare definite pe un camp de
probabilitate.
In general la o variabila aleatoare discreta ne intereseaza sa cunoas,tem
probabilitatea ca variabila aleatoare sa ia o valoare bine determinata, pe
cand la o variabila aleatoare continua intereseaza cunoas, terea probabilitat, ii
ca variabila sa ia valori cuprinse ıntr-un interval.
3.10. Lema. Fie (Ω, K) un cˆ amp de evenimente. Atunci orice X ∈V (Ω, K) discret˘ a determin˘ a pe Ω un sisten complet de evenimente evenimente
din K.
Demonstrat ,ie. Fie I o mult, ime cel mult numarabila s, i X ∈ V (Ω, K)
discreta cu X (Ω) = xi ∈ R | i ∈ I .
Daca notam Ωi = X −1(
xi
), i
∈ I , atunci :
(a) ∀i ∈ I , Ωi ∈ K ,
(b) Ωi ∩ Ω j = ∅, i , j ∈ I cu i = j ,
(c)
i∈I Ωi = Ω.
Intr-adevar, conform 3.7, Ωi ∈ K, ∀i ∈ I , i.e. (a). Daca pentru i = j∃ω ∈Ωi ∩ Ω j , atunci X (ω) = xi = x j = X (ω). Rezulta contradict, ie s, i deci (b).
Evident ca
i∈I Ωi ⊆ Ω. Daca ω ∈ Ω, ∃ j ∈ I astfel ıncat X (ω) = x j i.e.
ω ∈ X −1(x j) ⊂ Ω j ⊂
i∈I Ωi .Rezulta Ω ⊆
i∈I Ωi. Deci (c)
Repartit,
ia unei variabile aleatoare discrete. Fie (Ω, K, P ) un campde probabilitate. Pentru a da o variabila aleatoare discreta nu este suficient
a enumera toate valorile sale posibile, deoarece mai multe variabile aleatoare
pot lua o aceeas, i valoare ınsa probabilitat, ile de a lua o aceeas, i valoare sunt
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 40/135
40 Capitolul 3. Variabile aleatoare
diferite de la o variabila la alta. De aceea o variabila aleatoare discreta X,
se da prezentand valorile sale xi, xi ∈ I, s, i odata cu acestea probabilitat, ile
pi, i ∈ I, corespunzatoare (pi este probabilitatea ca variabila aleatoare X sa
ia valori xi, adica pi = P(X = xi), i
∈ I). Mult, imea ale carei elemente sunt
perechile ordonate (xi, pi), i ∈ I, defines, te repartit ,ia variabilei aleatore X.
De obicei repartit, ia lui X se scrie sub forma unui tablou cu doua linii, ın
care prima linie cont, ine toate valorile posibile iar a doua linie probabilitat, ile
corespunzatoare, astfel:
X :
x1 x2 ... xn ...
p1 p2 ... pn ...
pe scurt X :
xi
pi
i ∈ I
Tinand seama de 3.10 gasim ca X =
i∈I xiχΩi, unde (Ωi)i∈I este un
sistem complet de evenimente al lui Ω, s, i ca S = (X = xi)/i ∈ I este
un sistem complet de evenimente. Prin urmare i∈I pi = 1. Deci ıntr-unexperiment, o variabila aleatoare ia una s, i numai una din valorile sale posibile.
In cazul unei variabile aleatoare discrete X, relat, ia ?? devine: ∀i ∈ I, Ai =
ω ∈ Ω/X (ω) = xi ∈ K (1′′)
Uneori pentru o varaibila aleatoare discreta, ın loc de Ai dat de (1′′) vom
scrie pe scurt (X = xi), i ∈ I .
Observat ,ii : (1). Pentru ∀a ∈ R, vom nota a :
a
1
. De aice rezulta ca
∀a ∈ R se poate identifica cu variabila aleatoare a : a
1
.
(2). Oricarui eveniment A ∈ K, P (A) = p, i se poate asocia variabila
aleatoare X , care ia valorile 0 s, i 1, atunci cand A este un es,ec, respectiv un
succes. Deci se poate scrie: A −→ X :
0 1
q p
, unde q = 1 − p.
3.3 Variabile aleatoare independente
Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate. Deoarece variabilele aleatoare
se definesc folosind evenimentele, are sens conceptul de independent, a folosit
pentru acestea. Fie X → (Ax)x∈R s, i Y → (By)y∈R.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 41/135
3.3. Variabile aleatoare independente 41
3.11. Definit,ie. Spunem ca variabilele aleatoare X, Y : Ω → R sunt
independente daca ∀x, y ∈ R, evenimentele Ax, By sunt independente.
Din 2.7 rezulta ca variabilele aleatoare X s, i Y sunt independente daca
P ((X < x) ∩ (Y < y)) = P (X < x). P (Y < y), ∀x, y ∈ R. (3.3)
In loc de P ((X < x)∩(Y < y)) se scrie pe scurt P (X < x, Y < y). Astfel
putem spune ca variabilele aleatoare
X :
xi
pi
i = 1, m
s, i Y :
y j
q j
j = 1, n
sunt independente daca
P (X = xi, Y = y j) = P (X = xi).P (Y = yj), ∀i = 1, m, ∀ j = 1, n(3′)
(i.e. daca evenimentele (X = xi) s, i (Y = y j) sunt independente, ∀i =1, m, j = 1, n).
Not, iunea de independent, a a doua variabile aleatoare se extinde la o fa-
milie F = (X i)i∈I cel mult numarabila de variabile aleatoare pe (Ω, K, P ).
3.12. Definit,ie. Daca mult, imea I = 1, 2, .. . , r (i.e. este finita), spu-
nem ca variabilele aleatoare ale familiei F sunt independente daca P (X 1 <
x1, . . . , X r < xr) = P (X 1 < x1) . . . P (X r < xr), ∀xi ∈ R, i = 1, r.
Daca I este numarabila spunem ca familia de variabile aleatoare F este
o familie de variabile aleatoare independente r cate r daca oricare r variabilealeatoare din F sunt independente.
De regula mult, imea familiilor de variabile aleatoare independente r cate r
se noteaza cu (SK ) dupa init, ialele matematicienilor H. Steinhaus s, i M. Kac
care au introdus acest tip de independent, a.
Spunem ca variabilele aleatoare (X i)i∈I sunt mutual independente
daca variabilele aleatoare X i s, i X j sunt independente, ∀i = j, i, j ∈ I .
Observat ,ie. (SK ) - independente implica mutual independente. Reci-
proca nu este adevarata.Exemplu. Legat de un experiment aleator E se considera un camp de
probabilitate (Ω, K, P ) s, i A ∈ K. Se repeta experimentul E de n ori. La
repetarea j, j = 1, n, evenimentului A i se asociaza variabila aleatoare Y j :
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 42/135
42 Capitolul 3. Variabile aleatoare
0 1
q p
, q = 1 − p. Aratat, i ca variabilele aleatoare Y 1, Y 2, · · · , Y n sunt
mutual independente.
3.4 Variabile aleatoare bidimensionale
Fie Z : Ω → R2, Z = (X, Y ) o variabila aleatoare bidimensionala discreta
definita pe campul de probabilitate (Ω, K , P ) ale carei componente X s, i Y
au repartit, iile X :
xi
pi
i ∈ I
s, i Y :
y j
q j
j ∈ J
.
3.13.Lema. Daca (Ω′i)i∈I s, i (Ω′′
j ) j∈J sunt partit, iile evenimentului sigur
corespunzator lui X s, i respectiv Y , atunci (Ωij = Ω′i∩Ω′′
j )(i,j)∈I ×J este partit, ia
lui Ω corespunzatoare lui Z .Demonstrt
,ie. Conform cu 3.10. Ω′
i = ω ∈ Ω | X (ω) = xi, i ∈ I s, i
Ω′′ j = ω ∈ Ω | Y (ω) = y j, j ∈ J . Se observa ca Ωij = ω ∈ Ω | X (ω) = xi
s, i Y (ω) = y j, s, i pentru ca Ω′i, Ω′′
j ∈ K rezulta Ωij ∈ K, ∀(i, j) ∈ I × J .
Deci trebuie sa aratam ca: (a) Ωij ∩ Ωkℓ = ∅, daca i = k sau j = ℓ.
Tinand seama ca pentru i = k, Ω’i ∩ Ω’k = ∅, avem: Ωij ∩ Ωkℓ =
(Ω′i ∩ Ω′′ j ) ∩ (Ω′k ∩ Ω′′
ℓ ) = (Ω′i ∩ Ω′
k) ∩ (Ω′′ j ∩ Ω′′
ℓ ) = ∅ ∩ (Ω′′ j ∩ Ω′′
ℓ ) = ∅
(b) i,j
Ωij = Ω. Intr-adevar i,j
Ωij = i,j
(Ω′i Ω′′
j ) = i j (Ω′i Ω′′
j ) =
i
Ω′
i
j
Ω′′ j
=
i
(Ω′i
Ω) =
i
Ω′i = Ω
3.14. Lema. Daca pi. = P (Ω′i), p.j = P (Ω′′ j) s, i pij = P (Ωij), ∀(i, j) ∈I × J, atunci avem:
(a) j
pij = pi., ∀i ∈ I ;
(b)
i
pij = p. j, ∀ j ∈ J ;
(c) i,j
pij = 1.
Demonstrat ,ie . (a) Pentru ca Ω′
i = Ω′i ∩ Ω = Ω′
i ∩∪ jΩ′′
j
= ∪ j(Ω′
i ∩ Ω′′ j ) =
∪ j Ωij rezulta pi. = P (Ω′i) = P (∪ j Ωij) =
j
P (Ωij) = j
pij.
Analog se obt, ine (b).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 43/135
3.4. Variabile aleatoare bidimensionale 43
(c) 1 =
i
pi. =
i
j
pij.
Deoarece X s, i Y sunt variabile aleatoare discrete, rezulta ca Z (Ω) =
z ij = (xi, y j) | (i, j) ∈ I × J este o mult, ime cel mult numarabila, i.e. Z
este o variabila aleatoare discreta s, i avem:
Z :
z ij
pij
(i,j)∈I ×J
sau Z :
(xi, y j)
pij
(i,j)∈I ×J
Aceasta este o repartit, ie bidimensionala. Repartit, ia lui Z este repartit, ia
comuna a lui X s, i Y.
Daca X s, i Y sunt variabile aleatoare independente, pij = pi.qj, ∀(i, j) ∈I × J s, i repartit, ia lui Z are forma
Z : (xi, y j)
pi · q j
(i, j) ∈ I × J .
In cazul cand I = 1, . . . , m s, i J = 1, . . . , n (i.e. X, Y sunt variabile
aleatoare simple) repartit, ia lui Z se poate scrie sub forma urmatorului tabel:
X \Y y1 y2 . . . y j . . . yn P (X = xi)
x1 p11 p12 . . . . . . . . . p1n p1.
x2 p21 p22 . . . . . . . . . p2n p2.
... ...
... ...
... ...
... ...
xi pi1 pi2 . . . pij . . . pin pn. = j pij
... ...
... ...
... ...
... ...
xm pm1 pm2 . . . . . . . . . pmn pm.
P (Y = y j) p.1 p.2 . p.j = j
pij . pn
Repartit , ii marginale. Evenimentele
Ω′i
i=1,m
,
Ω′′ j
j=1,n
se numesc
evenimente marginale ale lui Z; probabilitat, ile ( pi.)i=1,m , ( p. j ) j=1,n
se nu-
mesc probabilit˘ at ,i marginale ale lui Z; repartit, iile componentelor vectorului
bidimensional Z se scriu:
X :
x1 x2 ..... xm
p1. p2. ..... pm.
, Y :
y1 y2 ..... yn
p.1 p.2 ..... p.n
(3.4)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 44/135
44 Capitolul 3. Variabile aleatoare
s, i se numesc repartit ,ii marginale ale lui Z corespunzatoare lui X, respectiv
Y.
Deci daca se cunoas,te repartit, ia vectorului aleator Z = (X, Y ), atunci
se pot determina repartit, iile marginale ale lui Z corespunzatoare fiecariei
componente. Reciproca nu este adevarata decat daca variabilele aleatoare X
s, i Y sunt independente.
In acest ultim caz avem: pij = P (X = xi, Y = y j ) = P (X = xi) · P (Y =
y j) = pi.p. j , i = 1, m; j = 1, n.
Repartit , ii condit , ionate. Fie j ∈ J astfel ıncat P (Y = y j) = 0. Atunci
P (X = xi |Y = y j ) = P (X =xi,Y =yj)
P (Y =yj) = pij
p.j, ∀ i = 1, m
Probabilitat, iele p(xi |y j ) = P (X = xi |Y = y j ), i = 1, m , j = 1, n se numesc
probabilitat, i condit, ionate. Deoarecem
i=1
P (X = xi
|Y = y j ) = 1, se poate
considera v.a. notata X |Y = y j cu repartit, ia
X |Y = y j :
x1 x2
p1j p.j
p2j p.j
... xm
... pmj p.j
textsau X |Y = y j :
xi
pij p.j
i=1,m
(3.5)
Aceasta repartit, ie se numes, te repartit ,ia lui X condit
,ionat˘ a de Y = yj . Analog
se defines, te v.a. Y
|X = xi (daca P (X = xi)
= 0 cu repartit, ia: Y
|X = xi y1 y2
P i1 pi.
P i2 pi.
... yn
... P in pi.
sau Y |X = xi :
yi
pij pi.
i=1,n
(5’) numita reprtit ,ia
luiY condit ,ionat˘ a de X = xi.
3.15. Exemple. (1) Pe campul de probabilitate (Ω, K, P ) se considera
variabilele aleatoare simple s, i independente:
X :
−1 0
13
23
, Y :
0 1 316
13
12
.
Sa se scrie repartit, ia variabilei aleatoare bidimensionale Z = (X, Y ).
Rezolvare. Din cele prezentate mai sus rezulta ca Z are repartit, ia:
Z :
(−1, 0) (−1, 1) (−1, 3) (0, 0) (0, 1) (0, 3)
118
19
16
19
29
13
sau sub forma de tabel:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 45/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 46/135
46 Capitolul 3. Variabile aleatoare
3.5 Operat, ii cu variabile aleatoare
In general operat, iile cu variabile aleatoare provin din operat, iile cu funct, ii.
Aceste operat, ii conduc la variabile aleatoare noi.
3.16. Teorema. Daca X, Y sunt variabile aleatoare pe campul de pro-babilitate (Ω, K, P ), atunci avem:
(1.)a + X, a · X, ∀a ∈ R;
(2.)|X |, X n, n ≥ 2, 1X
, 0 /∈ I mX ;
(3.)X ∗ Y, ∗ ∈ +, −, ·, :
(4.) max(X, Y ), min(X, Y );
sunt variabile aleatoare pe campul de probabilitate (Ω, K, P ).
Demonstrat ,ie . (1) Daca a = 0, atunci Z = aX este o variabila aleatoare
(Z = 0 este variabila aleatoare constanta).Fie acum a = 0 s, i m ∈ R. Atunci:
ω/(a·X )(ω) < m = ω/a·X (ω) < m =
w/X (w) < m
a ∈ K, a > 0;
ω/X (ω) > ma ∈ K, a < 0.
Rezulta ω|(aX )(ω) < m ∈ K, ∀m ∈ R.
Deci a · X este variabila aleatoare, ∀a ∈ R.
(2) w/(X + a)(w) < m = w/X (w) < m − a ∈ K, (∀)m ∈ R.
Deoarece
ω
|(X + a)(ω) < m
∈ K,
∀m
∈ R, rezulta ca X + a este
variabila aleatoare.
(3) ω/|X |(ω) < m = ω/|X (ω)| < m = ω ∈ K, m ≤ 0;
ω| − n√ m < X (ω) < n
√ m ∈ K, m > 0.
(3.5 sau ω/ − m < X (ω) < m = ω/X (ω) ≥ −m ∩ ω/X (ω) < m ∈K).
Deci pentru ∀ m ∈ R ω | |X|(ω) < m ∈ K. Rezulta ca |X| aste variabila
aleatoare.
(4) Daca n este par, atunci
ω | X n(ω) < m =
∅ ∈ K, m ≤ 0
ω |− n√ m < X (ω) < n
√ m ∈ K, m > 0
s, i daca n
este impar, atunci ω | X n(ω) < m = ω | X (ω) < n√
m ∈ K.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 47/135
3.5. Operat, ii cu variabile aleatoare 47
In ambele cazuri ω|X n(ω) < m ∈ K, ∀m ∈ R. Rezulta ca X n este
variabila aleatoare, ∀n ≥ 2, n ∈ N.
(5)
ω| 1X
(ω) < m
=
=
ω|X (ω)ω|X (ω) > 1m ∈ K, m < 0
ω|X (ω) < 0 ∈ K, m = 0
ω|X (ω) < 0ω|X (ω) > 0ω|X (ω) > 1
m
∈ K, m > 0
.
Rezulta ca ω 1
X
(ω)< m ∈ K, ∀ m ∈ R. Deci 1
X este variabila alea-
toare.
(6) Pentru orice m ∈ R ω / (X − Y) (ω) < m = ω / X(ω) < Y(ω)
+ m ∈ K (se aplica punctul (2) s, i apoi teorema 3.6.). Deci X − Y este
variabila aleatoare.
Din X + Y = X − (−Y ) s, i respectiv X · Y = 14 [(X + Y )2 − (X − Y )2]
rezulta ca X + Y s, i respectiv X · Y sunt variabile aleatoare;
(7) Deoarece X Y
= 1Y ·X , rezulta X
Y este variabila aleatoare, daca 0 /∈ ImY.
(8) Pentru ∀ m ∈ R avem ω / max (X, Y)( ω) < m = ω / X(ω) <
m ∩ ∩ ω / Y(ω) < m ∈ K.
Deci max(X, Y ) este variabila aleatoare. Acest lucru, rezulta mai direct
din relat, ia max(X, Y ) = X +Y + |X −Y |2
. Pentru ca min (X, Y ) = −max(−X, −Y )
rezulta min(X, Y ) este variabila aleatoare (la fel s, i folosind relat, ia min(X, Y ) =
12 [X + Y − |X − Y |].
3.17. Observat,ie. Fie X, Y variabile aleatoare pe (Ω, K , P ) astfel
ıncat:
X :
xi
pi
i ∈ I
s, i Y :
y j
q j
j ∈ J
.
Atunci repartit ,iile variabilelor aleatoare a + X, a · X, X k, 1
X , X ± Y , X · Y
s, i X
Y sunt: a · X :
a · xi
pi
i ∈ I
; X + a :
a + xi
pi
i ∈ I
; X k :
x
k
i
pi
i ∈ I
; 1X : 1
xi
pi
i ∈ I
, cu 0 /∈ ImX, ∀i ∈ I ; X ±Y : xi ± y jpij
(i, j) ∈ I x J
;
X .Y :
xiy j
pij
(i, j) ∈ I xJ
; X Y
:
xiy j
pij
(i, j) ∈ I x J
0 /∈ I mY unde:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 48/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 49/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 49
⇒ Z3 :
−3 −1 0 2 6
435
135
2535
135
435
.
(d) X Y
= 1Y · X . Deoarece 0 ∈ ImY = 0, 1, 3, rezulta ca nu se poate
calcula 1Y
s, i deci nici X Y
.
2. Cu notat, iile din Exemplul din pag.42, sa se arate ca Y =n
j=1 Y j : k
pk
k = 0, n
, unde pk = pkq n−k.
3.6 Funct, ia de repartit, ie.
Densitate de repartit, ie
3.6.1 Definit,ii s
,i proprietat
,i imediate
Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitat, i s, i X o variabila aleatoare pe acest
camp.
3.19. Definit,ie. Funct, ia F : R → [0, 1] definita prin relat, ia
F (t) = P (X < t), ∀t ∈ R
se numes, te funct , ie de repartit , ie a variabilei aleatoare X .
Se observa ca valoarea funct, iei de repartit, iei ın t este probabilitatea eve-
nimentului At = ω ∈ Ω | X(ω) < t notat pe scurt (X < t). DeoareceAt ∈ K s, i funct, ia F se defines, te cu ajutorul unei probabilitat, i, rezulta ca
funct, ia F este bine definita.
3.20. Observat,ie. Din definit, ia de mai sus avem ca:
(a)P (X ≤ t) = F (t) + P (X = t); (b)P (X ≥ t) = 1 − F (t).
Intr-adevar: (a)P (X ≤ t) = P ((X < t) ∪ (X = t)) = P (X < t) + P (X =
t) = F (t) + P (X = t). (b)P (X ≥ t) = P (X < t) = 1 − P (X < t) = 1 − F (t).
3.21. Propozit,ie . Daca X este o variabila absoluta pe (Ω, K, P ) cu
funct, ia de repartit, ie F , atunci ∀a, b ∈ R, a < b avem:1.P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a)
2.P (a < X < b) = F (b) − F (a) − P (X = a)
3.P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) + P (X = b) − P (X = a)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 50/135
50 Capitolul 3. Variabile aleatoare
4.P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) + P (X = b). Demonstrat ,ie .1. (a ≤
X < b) = (X < b) − (X < a) s, i cum (X < a) ⊂ (X < b) avem: P (a ≤X < b) = P [(X < b) − (X − a)] = P (X < b) − P ((X < b) ∩ (X < a)) =
P (X < b)
−P (X < a) = F (b)
−F (a). 2
. (a < X < b) = (X < b)
− (X
≤ a) s, i (X ≤ a) ⊂ (X < b). De aici ca mai sus avem: P(a < X < b) =
P(X < b) − P(X ≤ a) = P(X < b) − P(X < a)− P(X = a) = = F (b) −F (a) − P(X = a). 3. (a < X ≤ b) = (X ≤ b) − (X ≤ a) s, i (X ≤ a) ⊂(X ≤ b). De aici P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = P(X < b) +
P(X = b) − P(X < a)− P(X = a) = F (b) − F (a) + P(X = b) − P(X =
a). 4. (a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) s, i (X < a) ⊂ (X ≤ b). De
aici P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = F (b) + P(X = b) − F (a)
3.22. Lema. Daca a ≤
X ≤
b, atunci F(t) = 0, t ≤ a
1, t > b. Demonstrat
,ie .
Daca t ≤ a, atunci evenimentul (X < t) = ∅ (deoarece (X < t) ⊂ (X <
a) = ∅). Deci pentru t ≤ a, F (t) = P(X < t) = P(∅) = 0. Daca t > b,
atunci evenimentul (X < t) = Ω (deoarece Ω = (X ≤ b) ⊂ (X < t)). Deci
pentru t > b, F (t) = P(X < t) = P(Ω) = 1. 3.23. Observat,ie. O alta
demonstrat, ie pentru lema de mai sus este urmatoarea: F (t) = P(X < t) =
1 − P(X ≥ t) = 1 − P[(X > t) ∪ (X = t)] = = 1 − P(X > t) − P(X = t) =
1 − 1 − 0, t ≤ a
1 − 0 − 0, t > b
= 0, t ≤ a
1, t > b
. 3.24. Consecint,a. Fie X variabila
aleatoare pe campul de probabilitate (Ω,K, P) s, i F funct, ia sa de repartit, ie.
Cum X (ω) ∈ R, ∀ ω ∈ Ω, ∃ a, b ∈ R astfel ancat a < X < b. Conform 3.22
deoarece F(t )=0, ∀ t ≤ 0 ⇒ limx→−∞
F(x) = 0 s, i analog rezulta limx→∞
F(x) = 1.
3.25. Propozit,ie. (propriet˘ at
,i de caracterizare a funct
,iei de repartit
,ie ).
Funct, ia de repartit, ie a oricarei variabile aleatoare X are proprietat, ile:
(a)∀t1, t2 ∈ R, t1 < t2 ⇒ F (t1) ≤ F (t2)(F este crescatoare);
(b)F (+∞) := limt→∞
F(t) = 1; F (−∞) = limt→−∞
F(t) = 0;
(c)F (t−
0) = F (t)(F este o funct, ie continua la stanga).
Demonstrat ,ie .(a) t1< t2 ⇒(X < t1)⊂(X < t2) ⇒ P(X < t1) ≤ P(X <
t2) ⇔ ⇔ F (t1) ≤ F (t2)
(b) F (+∞): = limt→∞
F(t) = 1; F (−∞): = limt→−∞
F(t) = 0 (vezi 3.24)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 51/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 51
(c) F (t -0) : = limn→∞
F(tn), oricare ar fi s, irul (tn)n ⊂ R convergent
crescator catre t. (i.e. tn ↑ t). Fiind dat un astfel de s, ir consideram s, irul
de evenimente (Bn)n, Bn = ω | tn ≤ X(ω) < t ∀ n ≥ 0. Evident ca
(Bn)n
⊂ K s, i P (Bn) = F (t)
−F (tn),
∀n
≥ 0 (vezi 3.21). pentru ca
∩Bn =
∅s, i s, irul (Bn)n este descendent avem (vezi 2.3):
0 = P
n≥0 Bn
= lim
n→∞P (B) = F (t) − lim
n→∞F (tn) = F(t) - F(t-0).
Deci F (t - 0) = F (t) ∀ t ∈ R i.e. Funct, ia F este continua la stanga ın ∀t ∈ R.
3.26. Remarca. Orice funct, ie cu proprietat, ile (a), (b) s, i (c) este o
funct, ie de repartit, ie a unei variabile aleatoare definita pe un anumit camp de
probabilitate. Altfel spus daca o funct, ie F : R → R+ verifica proprietat, ile
(a), (b) s, i (c), atunci exista un camp de probabilitate (Ω,K, P) s, i o variabila
aleatoare X : Ω → R a carei funct, ie de repartit, ie este F (de aceea le spunem
proprietat, i de caracterizare a funct, iilor de repartit, ie).
Deci proprietat, ile (a), (b) s, i (c) sunt necesare s, i suficiente pentru ca o
funct, ie f sa fie funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare definita pe un
anumit camp de probabilitate.
Doua variabile aleatoare distincte pot avea aceeas, i funct, ie de repartit, ie.
Deci din punct de vedere statistic ele pot fi considerate identice.
Acum vom da o definit, ie mai precisa a variabilei aleatoare continue.
3.27. Definit,ie. O variabila aleatoare se numes, te continu˘ a daca
funct, ia sa de repartit, ie este continua.
3.28. Lema. Fie F funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare X.
Daca X este variabila aleatoare continua atunci:
(1) ∀ t0 ∈ R arbitrar fixat P(X = t0) = 0
(2) P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) =
F (b) − F (a).
Demonstrat ,ie . (1) Variabila aleatoare X fiind continua, funct, ia sa de
repartit, ie este continua s, i avem:
P(X = t0) = limt→t0
P(t0 ≤ X < t) = limt→t0
(F (t) − F (t0)) = 0.
(2) Se t, ine seama ın 3.21 de punctul (1) de mai sus s, i se obt, ine relat, ia de
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 52/135
52 Capitolul 3. Variabile aleatoare
la (2).
Din 3.28 se observa ca pentru o variabila aleatoare continua nu prezinta
interes probabilitatea ca ea sa ia o valoare data, dar are sens sa se puna
problema determinarii probabilitat, ii ca variabila aleatoare sa ia valori ıntr-
un interval dat. De asemenea trebuie sa ret, inem ca daca P (X = t0) = 0
nu ınseamna ca evenimentul X = t0 este imposibil, deoarece ın urma unei
experient,e, variabila aleatoare ia una dintre valorile sale posibile s, i printre
acestea se afla s, i t0.
3.29. Observat,ie. Daca F este funct, ia de repartit, ie a unei varibile
aleatoare X pe (Ω, K , P ) atunci
F (t + 0) = F (t) + P(X = t), (∀) t ∈ R.
Proprietat, ile demonstrate mai sus ne permit sa descriem graficul funct, iei
de repartit, ie.
Graficul este cont, inut ın fas, ia din plan marginita de dreptele y = 0 s, i y =
1. Are discontinuitat, i de spet,a I-a s, i mult, imea lor este cel mult numarabila.
Graficul are o alura crescatoare, ca ın schit,ele:
Graficul funct, iei de repartit, ie a unei variabile aleatoare discreta este for-
mat din segmente paralele cu Ox (fig.1). Graficul din fig. 2 este al unei
funct, ii de repartit, ie discontinua doar ın x0. Daca o variabila aleatoare este
continua atunci graficul funct, iei sale de repartit, ie este continuu (fig. 3).
3.30. Exercit,ii. 1 Sa se scrie funct, ia de repartit, ie pentru variabila
aleatoare
X :
2 3 5
0, 2 0, 3 0, 5
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 53/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 53
s, i sa se reprezinte grafic.
Rezolvare . Daca X:
t1 t2 ... tn
p1 p2 ... pn
atunci F (t) := P (X < t) =
ti<t P (X = ti).
Deci funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare discrete, calculata ın
punctul t0 este egala cu suma probabilitat, ilor cu care variabila aleatoare ia
valorile mai mici decat t0.
Astfel avem:
F(t) =
0 t ≤ t1
p1 t1 < t ≤ t2
p1 + p2 t2 < t ≤ t3
p1 + p2 + p3 t3 < t ≤ t4...
...
p1 + p2 + ... + pn−1 tn−1 < t ≤ tn
1 t > tn
De aici avem:
F(t) =
0 t ≤ 2
0, 2 2 < t ≤ 30, 5 3 < t ≤ 5
1 5 < t
Fig.4
2. Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate unde Ω = a, b, c, K = P(Ω)
iar P : K → [0, 1] prin P(a) = 27 , P(b) = 1
7 s, i P(c) = 47 s, i aplicat, ia X :
Ω → R prin X(a) = -2, X(b) = 5, X(c) = 2. Se cere:
(1) sa se arate ca X este o variabila aleatoare;
(2) sa se scrie repartit, ia variabilei aleatoare X;
(3) sa se determine F (t), ∀ t ∈ R;
(4) sa se calculeze F (-5), F (-1), F (2), F (3) s, i F (7).
Rezolvare . (1) Pentru orice t ∈ R
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 54/135
54 Capitolul 3. Variabile aleatoare
At = ω | X(ω) < t =
∅, dac t ≤ −2
a , dac −2 < t ≤ 2
a, c ,
Ω,
dac
dac
2 < t ≤ 5
5 < t
Rezulta ca At ∈ K, ∀t ∈ R, i.e. X este variabila aleatoare .
(2 Consideram evenimentele:
Ω1 = ω | X(ω) = −2 = aΩ2 = ω | X(ω) = 2 = cΩ3 = ω | X(ω) = 5 = b
Aceste evenimente constituie un sistem complet de evenimente pe Ω. Si
cum P(Ω1) = 27 , P(Ω2) = 4
7 s, i P(Ω3) = 17 rezulta ca tabloul de repartit, ie al
variabilei aleatoare X este X : −2 2 5
27
47
17
(3) F (t) =
0, dac t ≤ −227
, dac − 2 < t ≤ 227 + 1
7 , dac 2 < t ≤ 5
1, dac 5 < t
(4) Pentru ca: −5 ∈ (−∞, −2], F (−5) = 0; −1,2 ∈ (−2, 2], F (−1) =
F (2) = 27
; 3 ∈ (2, 5], F (3) = 37
; 7 ∈ (5, +∞), F (7) = 1.
3.31.Definit,ie. Fie X o variabila aleatoare cu funct, ia de repartit, ie F .
Spunem ca X are densitate de repartit , ie daca exista o aplicat, ie f : R →[0, +∞) integrabila, astfel ıncat:
F(t) =
t
−∞f(x) dx
Funct, ia f se numes, te densitatea de repartit , ie a variabilei aleatoare
X. Propriet˘ at , i ale densit˘ at , ii de repartit , ie.
1. f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R;
2. +∞−∞ f(x)dx = 13.Daca F este derivabila pe R, atunci f = F’ (i.e. F este o primitiva a
lui f ).
4.Daca f este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare continue X
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 55/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 55
∈ (a, b), atunci
P (a ≤ X < b) = b
a f(x) dx (= F (b) − F (a))
Aceste proprietat, i rezulta din definit, ia densitat, ii de repartit, ie s, i din pro-
prietat, ile funct, iei de repartit, ie. Proprietat, ile 3
s, i 4
caracterizeaza o den-
sitate de repartit, ie, ın sensul ca daca o funct, ie f satisface relat, iile 3 s, i 4,
atunci exista variabile aleatoare care au pe f drept densitate de repartit, ie.
In loc de densitate de repartit, ie se mai spune densitate de probabili-
tate.
3.32. Observat,ii. 1. Din cele de mai sus se poate spune ca pentru x0
fixat F (x0) este aria subgraficului funct, iei f de la −∞ la x0. Si la fel P(a ≤X < b) este tot o arie.
2. Daca variabila aleatoare continua X are densitate de repartit, ie f , se
va scrie: X :
x
f(x)
x∈
R
.
3. Daca F este funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare cu densi-
tatea de repartit, ie funct, ie para, atunci
F(t) + F(-t) = 1, ∀ t ∈R (7)
Exercit,ii. 1 Funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare continue
X este:
F(x) =
2a + 5, x ≤ 0
bx2 + 23x, 0 < x
≤ 1
3c − 1, x > 1
unde a, b, c ∈ R. Se cere sa se determine constantele a, b, c s, i P(0,25 ≤ X
≤ 0,5).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 56/135
56 Capitolul 3. Variabile aleatoare
Rezolvare . Deoarece limx→−∞
F(x) = 0 s, i limx→∞
F(x) = 1,rezulta a = − 52
s, i
respectiv c = 23
. Iar F continua conduce la b = 13
.
P(0,25≤X≤0,5) = F (0,5)−F (0,25) =13 ·
12
2
+ 23 · 1
2 − 1
3 ·
14
2 − 2
3 · 1
4 = 17144
2
. Fie funct, ia f : R →
R,
f(x) =
k sin x, x ∈ [0, π]
0, x ∈ R\ [0, π]
a) Sa se determine k ∈ R astfel ıncat f sa fie densitatea de repartit, ie a
unei variabile aleatoare continue X.
b) Sa se calculeze F
π4
, F−π
4
, F5π4
unde F este funct, ia de repartit, ie
a lui X.
c) Sa se calculeze
P
0 ≤ X < π4
, P
0 ≤ X < π
4
x > π6
, P(X < 0) s, i P
X > π
2
π4 ≤ X ≤ 5π
4
.
Rezolvare . a) Se s,tie ca f este densitate de repartit, ie daca:
(1) f (x) ≥ 0 (∀) x ∈ R ⇒ k sin x ≥ 0 (∀) x ∈ [0, π ] ⇒ k ≥ 0.
(2)
+∞−∞
f(x)dx = 1 ⇒ π
0
k sin xdx = 1 ⇒ −k cos x
π
0= 1 ⇒ 2k = 1 ⇒ k =
1
2.
Astfel rezulta
f(x) =
12 sin x, x ∈ [0, π]
0, x ∈ R\ [0, π]
este densitatea de repartit, ie a unei variabile aleatoare continue X.
b) F(x) = x−∞ f(t)dt =
0−∞ f(t)dt +
x0
f(t)dt = x0
f(t)dt = x0
12 sin t dt =
= 12
(1 − cos x).Daca x > π, atunci
F (x) = 1 (f(x) = 0 pentru x > π s, i
x
−∞ f(x)dx =
+∞−∞ f(x)dx = 1
.
Daca x ≤ 0, atunci F (x) = 0, x ≤ 0 ( f (x) = 0 pentru x ≤ 0).
Deci F(x) =
12
(1 − cos x), x ∈ (0, π]
1, π < x.F (x) =
0, x ≤ 012
(1 − cos x), x ∈ (0, π]
1, π < x
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 57/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 58/135
58 Capitolul 3. Variabile aleatoare
=
0, t−23 ≤ 0
t−23
2
, 0 < t−23 ≤ 1
1, 1 <
t
−2
3
⇒ F1(t) =
0, t ≤ 2
t−23
2
, 2 < t ≤ 5
1, t > 5
.
Fie F 2 funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X2. Atunci:
F 2(t) = P(X2 < t) =
P (∅), t ≤ 0
P −√
t < X <√
t
, t > 0
=
0, t ≤ 0
t − 0, 0 < t ≤ 1
1 − 0, 1 < t
⇒ F2(t) =
0, t ≤ 0
t, 0 < t ≤ 1
1, 1 < t
.
Fie F 3 funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X3. Atunci:
F 3(t) = P (X 3 < t) =P
X < 3√
t
=
0, 3√ t ≤ 03√
t2, 0 < 3√
t ≤ 1
1, 1 < 3√
t
=
0, t ≤ 0
t23 , 0 < t ≤ 1
1, 1, < t
.
Fie F 4 funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare eX . Atunci:
F 4(t) = P (eX < t) =
P (∅), t ≤ 0
P (X < ln t), t > 0=
0, t ≤ 0
F(ln t), t > 0=
=
0, t ≤ 0, t ≤ 1
0, ln t ≤ 0, t ≤ 1
(ln t)2, 0 < ln t ≤ 11, 1 < ln t
=
0, t ≤ 1
ln2 t, 1 < t ≤
e
1, e < t
.
3.6.2 Cvantile s,i mode ale unei variabile aleatoare
Fie (Ω, K, P) un camp de probabilitate s, i X o variabila aleatoare cu
funct, ia de repartit, ie F .
3.34. Definit,ie. Fie q ∈ N cu q ≥ 2. Numerele finite ci(X ), i = 1, q − 1
cu : 1)P (X ≤ ci(X )) ≥ i
q
2)P (ci(X ) ≤ X ) ≥ 1 − iq
(8) se numesc q - cvantile ale variabilei aleatoare X.
3.35. Lema. Condit, iile (8) sunt echivalente cu:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 59/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 59
F (ci(X )) ≤ iq
s, i F (ci(X ) + 0) ≥ iq
(9)
Demonstrat ,ie. Pe de o parte P(X ≥ ci(X)) = 1 − P(ci(X)) = 1 − F (ci(X))
s, i atunci: P (X ≥ ci(X )) ≥ q−iq ⇔ 1 − F (ci(X )) ≥ q−i
q ⇔ F (ci(X )) ≤ i
q
Pe de alta parte
P(X ≤ ci(X)) = P(X < ci(X)) + P(X = ci(X)) = F (ci(X) + 0)
s, i atunci: P (X ≤ ci(X )) ≥ iq ⇔ F (ci(X ) + 0) ≥ i
q, ceea ce trebuia demon-
strat.
In general q − cvantilele nu sunt unic determinate. Daca ınsa funct, ia
de repartit, ie este continua s, i strict crescatoare, atunci q − cvantilele sunt
determinate ın mod unic ca solut, ii ale ecuat, iilor
F (x) = iq
, 1 ≤ i ≤ q − 1. (10)
3.36. Observat,ii. Daca F este continua atunci condit, iile (9) devin
F (ci(X))= iq
(11)
adica q − cvantilele sunt solut, ii ale ecuat, iilor (10).
3.37. Cazuri particulare de q − cavantile: 1. Mediana : Orice
2 − cvantila unei variabilei aleatoare X se numes, te median˘ a a variabilei
aleatoare X. Altfel spus, orice numar finit µ(X) = ci(X), i = 1, 2 − 1 pentru
care
P(X ≥ µ(X)) ≥ 12 ≤ P(X ≤ µ(X)) (8’)
sau sub forma echivalentaF (µ(X)) ≤ 1
2 s, i F (µ(X) + 0) ≥ 12 (9’)
Mediana unei variabile aleatoare este unic determinata daca funct, ia sa
de repartit, ie F este continua s, i strict crescatoare. In acest caz mediana este
solut, ia ecuat, iei F(x) = 12
(are solut, ie unica F fiind injectiva).
2. 4 − cvantilele se numesc cvartile (i.e. q = 4)
3. 10 − cvantilele se numesc decile (i.e. q = 10)
4. 100 − cvantilele se numesc centile (i.e. q = 100)
3.38. Exemple. Sa se determine mediana variabilei aleatoare X curepartit, ia:
X :
x
f(x)
x∈R
, f(x) =
112
(2x + 1) , x ∈ [0, 3]
0 , x /∈ [0, 3]
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 60/135
60 Capitolul 3. Variabile aleatoare
Rezolvare . Se rezolva ecuat, ia F (µ) = 12
. Si cum:
F(µ) = µ
−∞
f(x)dx = µ
0
1
12(2x + 1)dx =
1
12 µ2 + µ , µ ∈ [0, 3]
avem: µ2 + µ − 6 = 0, cu solut, ia µ = 2 ∈ [0, 3].
3.39. Definit,ie. Fie X o variabila aleatoarea cu densitatea de repartit, ie
f . Orice punct de maxim al funct, iei f se numes, te mod sau modal˘ a a
variabilei aleatoare X. O variabila aleatoare continua X poate avea una sau
mai multe modale s, i se numes, te unimodal˘ a, bimodal˘ a sau multimodal˘ a ,
dupa cum admite un mod , doua moduri, respectiv mai multe moduri.
Daca X este variabila aleatoare de tip discret, atunci punctul sau modal
se numes, te valoarea cea mai probabil˘ a .3.40. Exemplu. Daca
X :
−1 0 3 4 5
18
28
38
18
18
atunci modul lui X este m0 = 3.
3.6.3 Funct,ii de repartit
,ie bidimensionale
Fie X, Y variabile aleatoare unidimensionale pe campul de probabilitate
(Ω, K, P).3.41. Definit
,ie. Funct, ia F : R2→ [0, 1] definita prin
F (s, t) = P(X < s, Y < t), ∀ (s, t) ∈ R2 (12) se numes, te funct , ia de
repartit , ie a variabilei aleatoare bidimensionale Z = (X, Y).
3.42. Observat,ie. 1. Valoarea funct, iei de repartit, ie a variabilei alea-
toare bidimensionala Z = (X, Y), ıntr-un punct (s, t) ∈ R, este probabilitatea
evenimentului Ast = ω ∈ Ω | X(ω) < s s, i Y(ω) < t (notat s, i (X < s, Y <
t)). Evident ca Ast ∈ K s, i rezulta ca F este bine definita de relat, ia (12).
2. Daca t = ∞, (Y < t) = Ω s, i (X < s, Y < t) = (X < s). deci F (s,∞) este funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X ın punctul s s, i o notam
F x(s). Funct, ia F x : R → [0, 1] se numes, te funct , ie de repartit , ie mar-
ginal˘ a a lui Z corespunz˘ atoare lui X . Analog F y : R → [0, 1], F y(t)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 61/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 61
= F (∞, t) este funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare Y ın punctul t s, i
se numes, te funct , ia de repartit , ie marginal˘ a a lui Z corespunz˘ atoare
lui Y .
3
. Geometric egalitatea (12) se poate interpreta astfel: F (s, t) este
probabilitatea ca punctul de coordonate X s, i Y sa se gaseasca ın domeniul
has,urat din figura de mai jos:
3.43. Propozit,ie. Funct, ia de repartit, ie F (s, t) a unei variabile aleatoare
bidimensionale Z=(X,Y) are urmatoa- rele proprietat, i caracteristice:
1. (a) F este crescatoare ın raport cu fiecare argument;
2. (b) F (s, t) = 0 ⇔ s = −∞ sau t = −∞F (s, t) = 1 ⇔ s = t = +∞;
(c) F este continua la stanga ın raport cu fiecare argument;
(d) F (t1, t2) − F (s1, t2) − F (t1, s2) + F (s1, s2) ≥ 0
∀(s1, s2), (t1, t2) ∈ R2 cu si < ti, i = 1, 2
(e) P (s1 < X < s2, Y < t) = F (s2, t) − F (s1, t)P (X < s, t1 < Y < t2) =F (s, t2) − F (s, t1)
3.44. Remarca. 1. Orice funct, ie de repartit, ie 2 - dimensionala verifica
proprietat, ile (a), (b), (c) s, i (d) s, i o funct, ie G : R2 → [0, 1] care verifica
proprietat, ile (a), (b), (c) s, i (d) este funct, ia de repartit, ie a unei variabile
aleatoare bidimensionale.
2. Funct, ia F X : R → [0, 1], FX j(s) = F (t1, ..., tn) unde tj = s s, i ti
= ∞, ∀ i = 1, n, i = j (i.e. FX j(s) = (∞, ∞, . . . , ∞, s, ∞, . . . , ∞), s
fiind pe locul j) se numes, te funct , ie de repartit , ie marginal˘ a a lui Z ,corespunzatoare variabilei aleatoare Xj.
3. Folosind 3.42, 3 se poate spune ca expresia din membrul stang al
proprietat, ii (d) reprezinta probabilitatea ca punctul de coordonate X s, i Y sa
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 62/135
62 Capitolul 3. Variabile aleatoare
se gaseasca ın dreptunghiul has,urat din fig. 6.
3.45. Definit,ie. Se numes, te densitate de repartit , ie (densitate de
probabilitate) a variabilei aleatoare bidimensionale continue Z = (X, Y) cu
funct, ia de repartit, ie F (s, t), o funct, ie ρ :R2
→ [0, +
∞) astfel ıncat F (s, t)
= s−∞
t−∞ ρ(x, y)dxdy (13)
3.46. Propozit,ie. Densitatea de repartit, ie ρ are urmatoarele pro-
prietat, i:
(1) ρ(x,y) ≥ 0, ∀ (x,y) ∈ R2;
(2)
+∞−∞
+∞−∞
ρ(x, y)dxdy = 1;
ρ(x, y) =
∂ 2F(x, y)
∂ x∂ y . (3.6)
Demonstrat ,ie. (1) rezulta din definit, ia lui ρ.
(2) Rezulta din 3.43 punctul (b).
(3) Se deriveaza expresia lui F din (13).
Proprietat, ile (1) s, i (2) sunt proprietat, i de caracterizare a densitat, ii de
repartit, ie bidimensionala.
Daca variabila aleatoare bidimensionala Z = (X,Y) este continua s, i are
densitatea de repartit, ie ρ(x,y),atunci corespondent,a (x, y)
ρ(x, y) (x, y) ∈ R2
se numes, te repartit , ia (continu˘ a) a lui Z.
Precizam fara demonstrat, ie urmatorul rezultat.
3.47. Teorema. Probabilitatea ca punctul de coordonate X s, i Y sa se
gaseasca ın domaniul plan M este:
P[(X,Y) ∈ M] = M
ρ(x, y)dxdy. (14)
3.48. Densitat,i de repartit
,ie marginale. Daca se cunoas,te densi-
tatea de probabilitate ρ(x,y) a vectorului aleator Z = (X,Y) se pot deter-
mina densitat, ile de repartit, ie ale componentelor lui Z numite densit˘ at , i derepartit , ie marginale ale lui Z .
Intr-adevar, conform cu (13) avem:
F (s, t) = s−∞
t−∞ ρ(x, y)dxdy
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 63/135
3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 63
de unde, obt, inem repartit, iile marginale
FX(s) = F(s, + ∞) =
x−∞
+∞−∞
ρ(x, y)dxdy (3.7)
FY(t) = F( + ∞, t) =
y−∞
+∞−∞
ρ(x, y)dxdy
Mai departe avem:
f (s) = F X(s) ⇒ f (x)= +∞−∞ ρ(x, y)dy
= lim
y→+∞∂ F∂x
(16)
g (t) = F Y(t) ⇒ g (y)= +∞−∞ ρ(x, y)dx
= lim
y→+∞∂ F∂y
.
Deoarece
+∞−∞ f(x)dx =
+∞−∞
+∞−∞ ρ(x, y)dxdy = 1 s, i f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R,
rezulta ca f este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Analog searata g (y) este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare Y.
Din (14) s, i (13) rezulta ca:
F x(s) =
s
−∞f (u)d u i F y(t) =
t
−∞f (v)dv(15′)
3.49. Densitat,i de repartit
,ie condit
,ionate. Notat, iile fiind cele de
mai sus, spunem ca raportul notat ϕ(x|y), dintre densitatea de repartit, ie a lui
Z = (X,Y) s, i densitatea de repartit, ie a componentei Y se numes, te densitatea
de repartit , ie a componentei X condit , ionat˘ a de evenimentul Y = y
notata X|Y=y. Deci: φ(x |y) = ρ(x,y)g(y)
sau φ(x |y) = ρ(x,y) +∞−∞ ρ(x,y)dx
. Analog
ψ(y|x) = ρ(x,y)f(x)
sau ψ(y|x)= ρ(x,y) +∞−∞ ρ(x,y)dy
.
se numes, te densitatea de repartit , ie a componentei Y condit , ionat˘ a
de evenimentul X = x, notata Y|X=x.
Deoarece ϕ(x|y) ≥ 0, +∞−∞ φ(x |y)dx = 1 s, i ψ(y|x) ≥ 0,
+∞−∞ ψ(y |x)dy = 1
rezulta ca cele doua funct, ii sunt densitat, i de repartit, ie pentru vriabila alea-
toare X|Y= y s, i respectiv Y|X = x.Remarc˘ a . ϕ(x|y) s, i f (x) sunt densitat, i de repartit, ie ale lui X, dar prima
este condit, ionata de evenimentul (Y = y) pe cand cea de a doua este inde-
pendenta de valoarea pe care o ia Y.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 64/135
64 Capitolul 3. Variabile aleatoare
3.50. Teorema. Fie Z = (X,Y) vriabila aleatoare bidimensionala. urmatoarele
afirmat, ii:
1) Variabilele aleatoare X s, i Y sunt independente,
2) Funct, ia de repartit, ie a lui Z este egala cu produsul funct, iilor de repartit, ii
marginale (i.e. F Z = F X · F Y ),
3) Densitatea de repartit, ie a lui Z este egala cu produsul densitat, ilor de
repartit, ie marginale ( i.e. ρ(x, y) = f (x) · g(y)),
sunt echivalente.
3.7 Caracteristici numerice ale variabilelor alea-
toare
3.7.1 Momente
Fie (Ω, K , P ) un camp de probabilitate, X ∈ V (Ω, K ) s, i F funct, ia
sa de repartit, ie. Daca variabila aleatoare X este discreta consideram X : xi
pi
i ∈ I
, iar daca X este continua cu densitatea de repartit, ie f consi-
deram X :
x
f(x)
x ∈ R
.
3.52. Definit,ie. Spunem ca numarul Mk(X ) = +∞−∞
xkdF(x) daca
integrala Rieman-Stieltjes care-l defines, te este convergenta) se numes, te mo-
mentul (init , ial) de ordin k , k ∈ N* al variabilei aleatoare X.
Rezulta:
M k(X ) =
i∈I x
ki pi, ın cazul discret +∞
−∞ xkf(x)dx, ın cazul continuu. (3.8)
3.53. Definit,ie. Momentul (init, ial) de ordin 1 al variabilei aleatoare X,
se numes, te media variabilei aleatoare X s, i se noteaza M(X).
Deci pentru orice variabilei aleatoare X avem:
M (X ) =
i∈I xipi, ın cazul discret +∞
−∞ xf(x)dx, ın cazul continuu. (3.9)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 65/135
3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 65
3.54. Definit,ie. Se numes, te momentul (init , ial) absolut de ordin
r numarul M r(X ) = +∞−∞ |x|r dF(x) (daca integrala din membrul doi este
convergenta), r ∈ R∗+.Rezulta:
M r(X ) = i∈I |xi|
r
pi, ın cazul discret +∞−∞ |xr| f(x)dx, ın cazul continuu
. (3.10)
3.55. Definit,ie. Variabila aleatoare ξ : Ω → R, ξ (ω) = X(ω) − M(X),
∀ω ∈ Ω se numes, te abaterea lui X fat , ˘ a de medie .
Numarul M C k (X )= Mk(X − M(X)) se numes,te momentul centrat de
ordin k , k ∈ N*.
Pentru momentul centrat de ordin k, k ∈ N*, al unei variabile aleatoare
X,avem relat, iile:
M ck(X ) =
i∈I (xi−M (X ))k pi, ın cazul discret +∞
−∞ (x − M (X ))k f(x)dx, ın cazul continuu. (3.11)
3.56. Definit,ie. Se numes,te dispersia unei variabile aleatoare X,
s, i se noteaza D2(X) (sau cu X2) numarul D2(X) = M C 2 (X ) (i.e. D2(X) =
M2[(X − M(X))2]). Numarul D(X) (notat s, i cu X) se numes, te abaterea
medie p˘ atratic˘ a a lui X.
Rezulta ca, pentru calculul dispersiei variabilei aleatoare X, avem relat, iile:
D2(X) = i∈I (xi − M (X ))
2
pi, ın cazul discret +∞−∞ (x − M (X ))2 f (x) dx, ın cazul continuu
(22)
Vom nota σX =
D2 (X ) (= D (X )) .
Dispersia sau abaterea mediei patratica este o caracteristica importanta
a unei variabile aleatoare, indicand intensitatea ımpras,tierii valorilor sale ın
jurul mediei.
Cu ajutorul momentelor centrate de ordin 2, 3 s, i 4 (cand acestea exista)
se definesc asimetria s, i excesul unei variabile aleatoare X prin
γ 1(X ) = M C 3 (X )
(M C 2 (X ))3 (23)
s, i respectiv
γ 2(X ) = M C 4 (X )
(M C 2 (X ))2 − 3. (24)
Seriile care apar ın formulele de mai sus se presupun convergente.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 66/135
66 Capitolul 3. Variabile aleatoare
3.57. Observat,ii. Pentru o variabila aleatoare X avem:
1. Mn(X) = M(Xn).
2. D2(X) = M([X − M(X)]2) (i.e. dispersia unei variabile aleatoare este
media patratelor abaterilor).
3. Intre momentele init, iale s, i cele centrate au loc relat, iile:
M C n (X ) =
ni=0(−1)iC 0nM n−1(X )M i1(X ), n ∈ N∗ s, i
M n(X ) =n
i=0
C inM n−i(X )M i1(X ), n ∈ N∗. (3.12)
3.7.2 Proprietat,i ale mediei unei variabile aleatoare
Fie (Ω, K , P ) un camp de probabilitate.
3.58. Propozit,ie.
(m1) M(a) = a, ∀ a ∈ R
(m2) M(aX + b) = aM(X) + b, a, b ∈ R, ∀ X ∈ V (Ω,K)
(m3) (a) M(X + Y) = M(X) + M(Y), ∀ X, Y ∈ V (Ω,K) (b) M (n
k=1 akX k) =nk=1 akM (X k), ∀ ak ∈ R s, i Xk ∈ V (Ω,K), k = 1, n.
(m4) (a) Daca X s, i Y ∈ V (Ω,K) sunt variabile aleatoare independente,
atunci M(X . Y) = M(X) . M(Y)
(b) Daca Xi
∈ V (Ω,K), i = 1, n sunt variabile aleatoare independente
atunci M (ni=1 X i) = n
i=1 M (X i).
(m5) M(X . Y) ≤ M (X 2) · M (Y 2), ∀ X, Y ∈ V (Ω,K) (Inegalitatea lui
Schwartz).
Demonstrat ,ie . Vom prezenta demonstrat, iile pentru variabilele aleatoare
discrete.
(m1) a :
a
1
⇒ M(a) : = a . 1 = a.
(m2) Fie X : xi
pi i ∈ I
. Atunci aX + b : axi + b
pi i ∈ I ⇒⇒ M(aX + b) =
i∈I (axi + b) pi = a
i∈I xi pi + b
i∈I pi = aM (X ) + b.
(m3) (a) Fie Y :
y j
q j
s, i X ca la (m2). Atunci X +Y :
xi + y j
pij
(i, j) ∈ I × J
.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 67/135
3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 67
Folosind 3.14 avem: M (X + Y ) =
i∈I
j∈J (xi+y j) pij =
i∈I xi
j∈J pij+
j∈J y j
i∈I pij =
=
i∈I xi pi. +
j∈J y j p. j = M(X) + M(Y).
(b) Se foloses,te (a) s, i metoda induct, iei.
(m4) (a) X . Y :
xiy j
pij
(i, j) ∈ I × J
, unde pij = piqj (X s, i Y fiind
independente).
M(X,.,Y)=
i∈I
j∈J xiy j pij =
i∈I
j∈J xiy j piq j =
i∈I xi pi
j∈J y jq j=
M(X) . M(Y).
(b) Se foloses, te (a) s, i metoda induct, iei.
(m5) Consideram variabila aleatoare T = (X − αY)2 unde α ∈ R s, i
deoarece T ≥ 0, ∀ α ∈ R ⇒ M(T) ≥ 0, ∀ α ∈ R.
Deci M[(X − αY)2] ≥ 0, ∀ α ∈ R ⇔ M(X2) − 2αM(XY) + α2M(Y2) ≥0, ∀ α ∈ R ⇔ [M(X . Y)]2 ≤ M(X2) . M(Y2) ⇒ c. c .t. d.
3.7.3 Covariat,ia s
,i coeficientul de corelat
,ie a doua va-
riabile aleatoare
Fie X, Y ∈ V (Ω, K ).
3.59. Definit,ie. Se numes, te covariant , ˘ a (sau corelat , ie) a variabilelor
aleatoare X s, i Y, valoarea:
cov(X, Y) = M[(X − M(X)) . (Y − M(Y)]. (26)
3.60. Lema. (proprietat, i ale covariant,ei).
(c1) cov(X, Y) = cov(Y, X)
(c2) cov(αX, β Y) = αβ cov(X,Y)
(c3) cov(X, Y) = M(XY) − M(X) . M(Y)
Demonstrat ,ie. (c1) Rezulta din (26).
(c2) cov(αX, β Y) = M[(αX − M(αX))(β Y − M(β Y))] == M[(αX − αM(X)) (β Y − β M(Y))] = αβ M[(X − M(X)) .
. (Y − M(Y))] = αβ cov(X, Y).
(c3) cov(X, Y) : = M[(X − M(X)) . (Y − M(Y))] =
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 68/135
68 Capitolul 3. Variabile aleatoare
= M[XY − X . M(Y) − M(X)Y + M(X) . M(Y)] =
= M(XY) −M
X · M (Y )
∈R
− M
M (X )
∈R
·Y
+ M
M (X )
∈R
· M (Y )
∈R
=
= M(XY) − M(X) . M(Y) − M(X) . M(Y) + M(X) . M(Y) =
= M(XY) − M(X) . M(Y).
3.61. Definit,ie. Se numes, te coeficient de corelat , ie al variabilelor
aleatoare X s, i Y raportul:
r(X, Y) : = cov(X,Y )D(X )·D(Y )
= cov(X,Y )
σ(X )·σ(Y )
. (27)
3.62. Observat,ie. Daca X :
xi
pi
i = 1, n
, Y :
yi
q j
j = 1, n
atunci
r(X, Y ) =
i
j (xi − M (X )) · (y j − M (Y )) pij
D(X )D(Y ) (27′)
unde pij are semnificat, ia din 3.17.
3.63. Lema. Daca r(X,Y) este coeficientul de corelat, ie al variabilelor
aleatoare X s, i Y, atunci avem:
1) |r(X, Y)|≤ 1
2) |r(X, Y)|= 1 ⇔ ıntre X s, i Y exista o relat, ie liniara.
Demonstrat ,ie. 1) cov(X,Y) = M[(X
− M(X)) . (Y
− M(Y))
(m5)≤ M [Y − M (Y ))2] =
D2(X ) · D2(Y )= σ(X) . σ(Y) s, i de aici
|r(X, Y)|≤ 1.
2. Presupunem Y = αX + β . Atunci
r(X, Y ) = M [(X − M (X )) (Y − M (Y ))]
σ(X ) · σ(Y ) =
= M [(X − M (X )) (αX + β − M (αX + β ))]
σ(X ) · σ(αX + β ) =
= M [(X − M (X )) (αX + β − αM (X ) − β )]
σ(X ) · |σ| σ(X ) =
= α|α|
M [(X −M (X ))2]σ2(X )
= α|α|
σ2(X )σ2(X )
= α|α| ⇒ |r(X< Y)| = 1.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 69/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 70/135
70 Capitolul 3. Variabile aleatoare
(b) Se procedeaza prin induct, ie s, i se foloses, te (a).
3.67. Aplicat,ie Sa se calculeze media s, i dispersia variabilei aleatoare Z
= 3X + 2Y, s,tiind ca X s, i Y sunt variabile aleatoare independente s, i
X : −1 0 3 5
213
113
513
513, Y : 1 5 9
17
27
47.
Rezolvare. Se calculeaza mai ıntai mediile s, i dispersiile lui X s, i Y.
M (X ) = −1 · 2
13 + 0 · 1
13 + 3 · 5
13 + 5 · 5
13 =
1
13(−2 + 15 + 25) =
38
13
M (Y ) = 1 · 1
7 + 5 · 2
7 + 9 · 4
7 =
1
7(1 + 10 + 36) =
47
7 .
Pentru ca X2 : 0 1 9 25113
213
513
513
s, i Y2 : 1 25 8117
27
47
avem:
M(X2)=...= 17213 s, i M(Y2)=. . . =375
7 .
Rezulta: D2(X) = M(X2) − M2(X) = 17213
− 382
132 = 792
169;
D2(Y ) = 375
7 − 472
72 =
416
49 .
Acum:
M(Z) = M(3X + 2Y) = 3M(X) + 2M(Y) = 3 · 3813 + 2 · 47
7 = 22, 1978
D2(Z) = D2(3X + 2Y) = 32D2(X) + 22 D2 (Y) = 76,1365
3.7.5 Inegalitatea lui Cebas,ev
Media unei variabile aleatoare este acea valoare ın jurul careia se grupeaza
valorile sale. Inegalitatea lui Cebas,ev da informat, ii asupra probabilitat, ii cu
care valorile se grupeaza ın jurul mediei.
3.68. Teorema.Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate s, i X ∈ V (Ω,K)
cu media s, i dispersia finite. Atunci pentru ∀ a > 0, avem:
sP(|X − M(X)| < a) ≥ 1 − D2(X )
a2 (inegalitatea lui Cebas,ev). (28)Demonstrat
,ie. a) Cazul 1: X variabila aleatoare discreta. Deci
X :
xi
pi
i ∈ I
.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 71/135
3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 71
Pentru ca valorile lui X se gasesc ın jurul mediei M(X), (∃) i ∈ I astfel
ıncat |xi − M(X)| ≥ a s, i/sau |xi − M(X)| < a. De aceea vom nota I1 = i
∈ I | |xi − M(X)| ≥ a s, i I2 = i ∈ I | |xi − M(X)| < a. Evident ca I1 ∪I2 = I s, i I1
∩ I2 =
∅. Atunci:
P(|X − M(X)| < a) =
i∈I 2 pi (*) D2(X )=
i∈I (xi − M (X ))2 pi =
i∈I 1(xi − M (X ))2 pi+
i∈I 2
(xi − M (X ))2 pi ≥ ≥ i∈I 1
(xi − M (X ))2 pi ≥i∈I 1
a2 pi = a2
i∈I 1 pi.
Si pentru ca
i∈I pi = 1 ⇔ i∈I 1
pi +
i∈I 2 pi = 1 ⇒
i∈I pi = 1 −i∈I 2
pi.
Rezulta D2(X ) = a2
1 −i∈I 2
pi
. Deci, D2(x)
a2 ≥ 1 −
i∈I 2 pi (**)
Din (*) s, i (**) avem ca D2(X )a2
≥ 1 − P(|X − M(X)|<a) ⇒ c. c. t. d.
b) Cazul 2. X variabila aleatoare continua. Deci X : x
f(x)
x ∈ R
s, i notam (pentru simplificarea scrierii) m = M(X). Rezulta:
D2(X ) =
+∞−∞
(x−m)2f(x)dx =
m−a
−∞(x−a)2f(x)dx+
m+a
m−a
(x−a)2f(x)dx+
+
+∞m+a
(x − a)2f(x)dx ≥ m−a
−∞(x − m)2f(x)dx +
+∞m+a
(x − m)2f(x)dx ≥
≥ m−a
−∞ a2f(x)dx+ −∞m+a
a2f(x) = a2 m−a
−∞ f(x)dx + +∞m+a
f(x)dx =(pentru
ca X este variabila aleatoare continua m−a
−∞ f(x)dx =P(X < m − a) = P(X ≤m − a)) = a2(P(X ≤ m − a) + P(X ≥ m + a)) = a2[P(X − m ≤ −a) +
P(X − m ≥ a)] = = a2P[(X − m ≤ −a) ∪(X − m ≥ a)] = a2P( |X − m| ≥a) ⇒
⇒ D2(X )a2
≥ P( |X − m| ≥ a).
Deci P(|X − M(X)| ≥ a) ≤ D2(X )a2
, ∀ a ≥ 0 (28’)
Deoarece P( | X − M (X)| ≥ a) =P
|X − M (X )| < a
=1−P(|X −
M(X)|<a) rezulta c. c. t. d.Inegalitatea (28’) este alta forma a inegalitat, ii lui Cebas,ev.
3.69. Observat,ie. Inegalitatea lui Cebas, ev sub forma (28) ((28’)) da
o margine inferioar˘ a (superioar˘ a) a probabilit˘ at , ii ca abaterile ın
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 72/135
72 Capitolul 3. Variabile aleatoare
modul, ale variabilei aleatoare X de la medie, sa fie mai mici (mari) decat
un numar dat.
3.70. Aplicat,ii. 1. O variabila aleatoare X are M(X) = 80 s, i M2(X) =
6416. Sa se scrie o limita inferioara a probabilitat, ii: P(40 < X < 120).
Rezolvare. Scazand media M(X) ın 40 < X < 120 se obt, ine 40 − 80
< X−M(X) < 120 − 80 ⇔ −40 < X − M(X) < 40 ⇔ |X − M(X)| < 40.
Conform cu inegalitatea lui Cebas,ev
P(|X − M(X)| < 40) ≥ 1 − D2(X )402
.
Dar D2(X) = M2(X) − M2(X) = 6416 − 802 = 16. Deci
P(|X − M(X) < 40) ≥ 1 − 1642·102 = 1 − 1
100 = 0, 99. Rezulta 0,99 este
marginea inferioara cautata.
2. Fie X o variabila aleatoare astfel ıncat
X : −2 1 5
314
514
37
.
Sa se determine o margine inferioara pentru probabilitatea ca abaterea
lui X de la media sa (i.e. X − M(X)), sa ia valori ın intervalul (−5, 5).
Rezolvare. Se aplica inegalitatea lui Cebas,ev
P(|X − M(X)|< a) ≥ 1 − D2(X )a2
.
Din ipoteza avem X − M(X) ∈ (−5, 5). De unde −5 < X − M(X) < 5
⇔ |X − M(X)| < 5. Rezulta a = 5.
Tot din ipoteza avem: M (X ) = −2 · 314 + 1 · 514 + 5 · 37 = 2914 s, i pentru ca
X2 :
1 4 25514
314
614
, rezulta M (X 2) = 5
14 + 1214 + 25·6
14 = 16714 .
D2(X) = M(X2) − M2(X) = 16714
− 292
142 = 1497196 = 7, 637.
Marginea inferioara este 1 − D2(X )a2
= 1 − 125
· 1497196
= 34034900
= 0, 694.
3.7.6 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoarebidimensionale
Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate s, i Z = (X, Y) o variabila aleatoare
bidimensionala, unde X s, i Y sunt variabile aleatoare unidimensionale.
Consideram ca repartit, ia variabilei aleatoare Z este:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 73/135
3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 73
(1) Z :
(xi, y j
pij
(i, j) ∈ I × J
,daca Z este variabila aleatoare discreta s, i
(2) Z :
(x, y)
ρ (x, y)
(x, y)
∈ R2
, daca Z este variabila aleatoare continua
cu densitatea de repartit, ie ρ(x,y).
3.71. Definit,ie. Media variabilei aleatoare produs Xs . Yt se numes, te
momentul (init , ial) de ordinul s ın raport cu prima component˘ a
s, i de ordinul t ın raport cu a doua component˘ a (sau pe scurt, mo-
mentul init , ial de ordinul s + t ) al lui Z s, i se noteaza Mst(Z), s, t ∈N.
Deci avem:
M st(Z ) =i∈I j∈J
xtiyt
j pij, dac˘ a Z este v.a. discret
+∞ −∞
+∞ −∞
xsytρ(x, y)dxdy, dac˘ a Z este v.a. continu. (3.13)
Cazuri particulare. Pentru s ∈ N* s, i t = 0 obt, inem:
M so(Z ) =
i∈I
j∈J
xsi pij =
i∈I
xsi
j∈J
pij =i∈I
xsi pio = M (X s)
+∞ −∞
+∞ −∞
xsyρ(x, y)dxdy =+∞ −∞
xs
+∞ −∞
ρ(x, y)dy
dx =
+∞ −∞
xsf(x)dx = M (X s).
(3.14)
Analog pentru s = 0 s, i t ∈ N* se obt, ine Mot= M(Yt).3.72. Definit
,ie. Media variabilei aleatoare (X − M1o)s (Y − Mo1)t
se numes, te momentul centrat de ordinul s ın raport cu X s, i de
ordinul t ın raport cu Y (pe scurt, momentul centrat de ordinul
s+t ) al lui Z s, i ıl notam M C st (Z ).
Prin urmare putem scrie:
M C st (Z ) =
i∈I
j∈J
(xi − M 1o)s(y j − M o1)t pij, daca Z este v.a. discret,
+∞
−∞
+∞
−∞(x
−M 1o)s(y
−M o1)tρ(x, y)dxdy, daca Z este v.a. continu.
(3.15)
Cazuri particulare. Sa consideram acum toate momentele centrate de
ordin s + t = 2.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 74/135
74 Capitolul 3. Variabile aleatoare
Pentru s = 2 s, i t = 0 se obt, ine:
M c2o(Z ) =
i∈I
j∈J
(xi − M 1o)2 pij =i∈I
(xi − M 1o)2 j∈J
pij
+∞
−∞
+∞
−∞
(x − M 1o)2ρ(x, y)dxdy =+∞
−∞
(x − M 1o)2
+∞
−∞
ρ(x, y)dy
dx
rezulta
M c20 (Z ) =
i∈I
(xi − M 1o)2 pi· = D(X )
+∞ −∞
(x − M 1o)2f(x)dx = D(X )(3.16)
Deci, pentru varibila aleatoare Z fie ca este discreta, fie ca este Z continua
se obt, ine M C 20(Z) = D(X).
Pentru s = 0 s, i t = 2 se obt, ine analog M C 20(Z) = D(Y).
Pentru s = 1 s, i t = 1 gasim:
M C 11(Z ) =
i∈I
j∈J
(xi − M 10)(y j − M 01) pij = M [(X − M 10) (Y − M 01)]
+∞ −∞
+∞ −∞
(x − M 10)(y − M 01)ρ(x, y)dxdy = M [(X − M 10) (Y − M 01)]
(3.17)
Rezulta ca pentru variabila aleatoare Z = (X, Y), discreta sau continua,
avem M c11(Z) = Cov(X, Y).
Tinand seama de repartit, ia condit, ionata a unei variabile aleatoare de o
alta variabila aleatoare (vezi 3.15’ s, i 3.49) se pot defini, pentru componentele
X s, i Y ale lui Z, medii condit, ionate, momente init, iale condit, ionate, dispersii
condit, ionate.
3.73. Definit,ie. Daca pentru variabila aleatoare discreta Z, exista p(xi |
y j), atunci numarul
M s (X |Y = y j) =i∈I
xsi p (xi|y j)
= 1
p· j
i∈I xsi pij
(3.18)
se numes, te momentul init , ial de ordin r al lui X condit , ionat de (Y =
y j), ∀ j ∈ J De aici se obt, ine:
(1) M(X | Y = yj) = M1(X | Y = yj) - media lui X condit, ionata de (Y
= yj), ∀ j ∈ J.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 75/135
3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 75
(2) D2(X | Y = yj) = M2(X | Y = yj) − M2(X | Y = yj) - dispersia lui
X condit, ionata de (Y = yj), ∀ j ∈ J.
Analog, daca ∃ p(yj | xi) se defines, te momentul init , ial de ordinul s
al lui Y condit , ionat de (X = xi).
Ms(Y | X = xi) =
j∈J
ys j p (y j |xi )
= 1
pi•
j∈J
ys j pij
(35)
s, i apoi media lui Y condit , ionat˘ a de (X = xi)
M(Y | X = xi) = M1(Y | X = xi) (36)
s, i dispersia lui Y condit , ionat˘ a de (X = xi)
D2(Y | X = xi) = M2(Y | X = xi) − M2(Y | X = xi) ∀ i ∈ I. (37)
Daca Z este variabila aleatoare continua atunci momentul de ordinul s al
lui X condit, ionat de (Y = y) este:
Ms(X|Y = y) = +∞ −∞
xsφ(x |y)dx
= 1g(y)
+∞ −∞
xrρ(x, y)dx
, ∀ y ∈ R, (34’)
cand exista ϕ(x|y) s, i momentul de ordinul s al lui Y condit, ionat de (X = x)
Ms(Y|X =x) = +∞−∞ ysψ(x |y)dx
= 1
f(x)
+∞−∞ ysρ(x, y)dy
, ∀ x ∈ R, (35’)
cand exista ψ(y|x).
Mediile s, i depresiile condit, ionate se definesc dupa aceleas, i formule ca ın
cazul discret.
3.74. Definit,ie. Variabila aleatoare notata M(X|Y) cu repartit, ia
M(X|Y) : M (X |Y = y j)
p· j
j ∈ I ın cazul discret
s, i (38)
M(X|Y) :
M (X |Y = y)
g(y)
y ∈ R
ın cazul continuu
se numes, te media lui X condit , ionat˘ a de Y .
Analog avem ca variabila aleatoare notata M(Y|X) cu repartit, ia
M(Y|X) :
M (Y |X = xi)
pi·
i ∈ I
ın cazul discret
s, i (38’)
M(Y|X) :
M (Y |X = x)
f(x)
x ∈ R
ın cazul continuu
se numes, te media lui Y condit , ionat˘ a de X .
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 76/135
76 Capitolul 3. Variabile aleatoare
3.75. Propozit,ie. Cu notat, iile de mai sus, avem:
1. (1) ()M(M(X|Y)) = M(X) s, i M(M(Y|X)) = M(Y)
2. (2) ()M(X . Y) = M(X . M(Y|X)) = M(Y . M(X
|Y)).
Demonstrat ,ie. (1) Vom considera cazul continuu. Tinand seama de (34’)
avem:
M(M(X|Y))= +∞−∞ M (X |Y = y) · g(y)dy =
+∞−∞
1g(y)
+∞−∞ xρ(x, y)dx
·
g(y) =
=
+∞−∞
x
+∞−∞
ρ(x, y)dy
dx =
+∞−∞
xf(x)dx = M (X ).
Analog se arata cealalta egalitate de la (1).
M(XY)= +∞−∞
+∞−∞ xyρ(x, y)dxdy =
+∞−∞ x
1f(x)
+∞−∞ yρ(x, y)dy
f(x)dx =
=
+∞−∞
xM (Y |X = x)f(x)dx = M (X · M (Y |X )).
Se gases, te analog M(XY) = M(Y . M(X|Y))
3.76. Definit,ie. Variabila aleatoare M(X|Y) se numes, te regresia va-
riabilei aleatoare X ın raport cu variabila aleatoare Y .
Variabila aleatoare M(Y|X) se numes, te regresia variabilei aleatoare
Y ın raport cu variabila X .Din 3.74. rezulta ca variabila aleatoare M (X | Y ) este aplicat, ia
y −→ M (X | Y = y), ∀y ∈ R.
Daca notam RX aceasta aplicat, ie, se poate spune ca regresia variabilei
aleatoare X ın raport cu variabila aleatoare Y este funct, ie RX : R → R cu
RX(y) = M(X|Y = y), ∀ y ∈ R. (39)
Analog spunem ca funct, ia RY : R → R cu
RY(x) = M(Y|X = x), ∀ x ∈ R (39’)
se numes, te regresia lui Y ın raport cu X.Graficul lui RX(y) se numes, te curba de regresie a lui X ın raport
cu Y , iar graficul funct, iei RY(x) se numes,te curba de regresie a lui Y
ın raport cu X .
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 77/135
3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 77
3.77. Definit,ie. Daca RX (y) s, i RY (x) are forma:
(1) RX (y) = ay + b, ∀y ∈ R
(2) RY (x) = αx + β, ∈ x ∈ R Spunem ca regresia dintre X s, i Y este
liniar˘ a .
3.78. Observat,ie. (1) RX (y) = ay + b, ∀ y∈R ⇔ M(X|Y) = aY + b,
(??) RY (x) = αx + β , ∀ x ∈ R ⇔ M(Y|X) αX + β
Intr-adevar, (1) ⇔ M(X|Y = y) = ay + b,∀ y∈R ⇔ M(X|Y) = aY + b
Pentru (2) se procedeaza ca la (1).
3.79. Propozit,ie. Daca regresia dintre X s, i Y este liniara, atunci:
(1) RX(y) = r(X, Y ) σX σY
(y − M o1) + M 1o, ∀ y ∈ R
(2) RY(x) = r(X, Y ) σY σX
(x − M 1o) + M o1, ∀ x ∈ R.
Demonstrat ,ie . (1) Regresia fiind liniara, conform cu 3.78, avem:
M(X|Y) = aY + b. (40)
Aplicand operatorul de medie s, i t, inand seama de 3.75, obt, inem:
M(X) = aM(Y) + b (41)
Din scaderea ultimelor doua relat, ii gasim:
M(X|Y) − M(X) = α(Y − M(Y)) (*)
Dupa ce se ınmult,es, te cu Y aceasta relat, ie, se aplica operatorului de medie
s, i avem:
M(Y . M(X|Y))
− M(X) . M(Y)=α(M(Y2)
− M2(Y)).
Tinand seama de 3.75 obt, inem:
M(XY) − M(X) . M(Y) = α(M(Y2) − M2(Y)).
Rezulta: α = cov(X,Y )
σ2Y
= r(X,Y )·σX ·σY σ2Y
= r(X, Y ) σXσY
Relat, ia (*) se mai scrie (vezi 3,78):
M(X|Y = y) − M1o = α(y − Mo1), ∀ y ∈ R.
(2) Se procedeaza ca la punctul (1).
3.80. Observat,ii. 1. Punctul de coordonate (M1o, Mo1) ∈ R2 se
gases,te pe fiecare din dreptele de regresie.2 Daca variabilele aleatoare sunt necorelate (i.e. r (X,Y) = 0), dreptele
de regresie (i.e. RX(y) = M1o s, i RY(x) = Mo1) sunt paralele cu axele de
coordonate (prima cu axa ordonatelor s, i a doua cu axa absciselor).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 78/135
78 Capitolul 3. Variabile aleatoare
3.8 Funct, ia caracteristicaa unei variabile aleatoare
3.8.1 Definit,ia funct
,iei caracteristice
Not, iunea de funct, ie caracteristica asociata unei variabile aleatoare este un
instrument de studiu us,or de folosit deoarece conduce la calcule mai simple
fat, a de cele obis,nuite prin metoda momentelor s, i are aplicat, ii ın studiul
proceselor stochastice.
Fie (Ω, K , P ) un camp de probabilitate s, i X, Y doua variabile aleatoare
reale, C mult, imea numerelor complexe s, i i2 = −1.
3.82. Definit, ie. Aplicat, ia ξ : Ω → C, de forma ξ = X + iY se numes, te
variabil˘ a aleatoare complex˘ a .
3.83. Exemplu. Fie t ∈ R s, i variabilele aleatoare cos (tX) s, i sin (tX).
Atunci ξ = costX + isintX (= eitX ) este o variabila aleatoare complexa.
De aici rezulta ca oricarei variabile aleatoare reale X ıi corespunde o
variabila aleatoare complexa eitX .
3.84. Definit,ie. Fie F funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X.
Funct, ia F ϕX : R → C, definita prin
ϕX (t) = M (eitX ) = R eitxdF(x) (42)
se numes, te funct , ia caracteristic˘ a a variabilei aleatoare X .
Daca X este variabila aleatoare discreta , X :
x j
p j
j ∈ I
, atunci
e itX :
eitxj
p j
j ∈ I
. De aici conform definit, iei φX (t) =
j∈I eitxj p j este
funct, ia caracteristica asociata lui X.
Daca X este variabila aleatoare continua cu densitatea de repartit, ie ρ(x),
X : x
ρ(x)
x ∈ R
, atunci eitX : e
itx
ρ(x)
x ∈ R
.
De aici conform definit, iei, funct, ia caracteristica a variabilei aleatoare va
fi:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 79/135
3.8. Funct, ia caracteristica a unei variabile aleatoare 79
ϕX (t) =
+∞−∞
eitxρ(x)dx.
Deci, daca X este variabila aleatoare reala, atunci:
ϕX (t) =
j∈I
eitxj p j, daca X este v.a. discret+∞ −∞
eitxρ(x)dx, daca X este v.a. continu.(43)
3.8.2 Proprietat,i imediate ale funct
,iilor caracteristice
3.85. Propozit,ie. Fie X o variabila aleatoare, Mn(X) momentul init, ial
de ordin n al lui X s, i ϕX funct, ia caracteristica a lui X. Atunci avem:
(1) ϕX(0) = 1
(2) |ϕX(t)| ≤ 1
(3) ϕaX+b(t) = e itbϕX(at), a, b ∈ R
(4) ϕX(−t) =ϕX (t)
(5) Daca (∃) Mn(X), (∀) n ∈ N, atunci :
(a) ϕX(t) =
n≥0in
n!M n(X )tn s, i
(b) ϕ(n)X (0) = inM n(X ) sau M n(X ) = 1
inϕ(n)X (0)
(6) Daca (X j ) j=1,n
sunt variabile aleatoare independente, atunci:
ϕnj=1 X j(t) =
n j=1
ϕX j(t).
Demonstrat ,ie.(1) Daca X:
x j
p j
j ∈ I
,
ϕX (0) =
j∈I
ei·0xj p j =
j∈I
p j = 1.
Daca X este variabila aleatoare continua cu densitatea de repartit, ie ρ(x),
atunci:
ϕX (0) =+∞ −∞
ei·0·xρ(x)dx+∞ −∞
ρ(x)dx = 1
(2) |ϕX (t)| =+∞ −∞
eitxρ(x)dx
≤+∞ −∞
|eitxρ(x)| dx =+∞ −∞
|eitx| ρ(x)dx =
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 80/135
80 Capitolul 3. Variabile aleatoare
=+∞ −∞
ρ(x)dx = 1
ϕaX +b(t) =
+∞
−∞
eit(ax+b)ρ(x)dx = eitb
+∞
−∞
ei(at)xρ(x)dx = eitb
·ϕX (at) (3.19)
ϕX (−t) =
+∞ −∞
ei(−t)xρ(x)dx =
+∞ −∞
ei(t)xρ(x)dx =
+∞ −∞
eitxρ(x)dx = ρx(t)
(3.20)
(5) (a) Cum e z =
n≥0zn
n!, pentru z = itx avem:
e itx =
n≥0(itx)n
n! =
n≥0
intnxn
n! .
De aici rezulta ca:
ϕX (t) = +∞ −∞
n≥0
intnxn
n!
ρ(x)dx =(seria de funct, ii de sub semnul integra-
lei, fiind uniform convergenta pe R, ınsumarea comuta cu integrala)
=n≥0
intn
n!
+∞ −∞
xnρ(x)dx =n≥0
in
n!M n(X )tn
(b) Daca notam an =
n≥0in
n!M n(X ), atunci funct, ia caracteristica va fi:
ϕX (t) = n≥0
antn
de unde se obt, ine ca an = 1n!
ϕ(n)(0),(∀) n ≥ 0.
Atunci rezulta: M n(X ) = n!in
an = n!in · 1
n!ϕ(n)(0) ⇒ c. c. t. d.
(6) ϕ nj=1
X j(t)=M
e
itn1
X j
= M
n j=1 eitX j
ind. v.a.
=n
j=1 M
eitX j
=n j=1 φX j(t).
3.86. Aplicat,ii: 1. Fie X o variabila aleatoare cu repartit, ia:
X : −2 0 213
13
13
.
Folosind funct, ia caracteristica sa se determine M (X ) s, i D2(X ).
Rezolvare. Conform definit, iei
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 81/135
3.8. Funct, ia caracteristica a unei variabile aleatoare 81
ϕ(t) = M (eitx) = e−i2t · 1
3 + ei·0·t · 1
3 + ei2t · 1
3 =
= 13(cos 2t − i sin 2t + 1 + cos 2t + i sin 2t) = 1
3(2 cos 2t +1).
De aici: ϕ’ (t) = −4
3 sin 2t s, i ϕ”(t) = −8
3 cos 2t. Acum rezulta:M(X) = 1
iϕ’ (0); M (X 2) = M 2(X ) = 1
i2ϕ”(0) = −1 · −8
3 · 1 = 8
3 s, i
D2(X ) = M (X 2) − M 2(X ) = 83 − 02 = 8
3.
2. Densitatea de repartit, ie a unei variabile aleatoare continua X este:
ρ(x) =
0 ,dac |x| > 2
12
1 − |x|
2
,dac |x| ≤ 2
.
Sa se determine funct, ia caracteristica a lui X.
Rezolvare. Din definit, ie avem: ϕ(t) = M(e itX) =
+∞−∞ eitx · ρ(x)dx =
1
2 2−2 1 − |x|2 e
itx
dx =
1
2 0−2 1 +
x
2 e
itx
dx+
1
2 20 1 − x
2 e
itx
dx=(ın prima integrala facem schimbarea x = −y s, i obt, inem)
= 1
2
2 0
1 − x
2
e−itxdx+
1
2
2 0
1 − x
2
eitxdx =
1
2
2 0
1 − x
2
e−itx + e−itx
dx =
= 12
2 0
1 − x
2
. 2 cos tx dx = (folosim integrarea prin part, i; u = 1 − x
2 ⇒
u′ = −12
dx; v’ = cos tx ⇒ v = 1t sin tx).
=
1 − x
2
1
t sin tx
2
0+
1
2t
20
sin txdx = 1
2t
−1
t cos tx
2
0=
1
2t2(1−cos2t).
Rezulta ϕ(t) = sin2 tt2
.
3.87. Propozit,ie. Funct, ia caracteristica ϕ a oricarei variabile aleatoare
X este uniform continua pe R.
Demonstrat ,ie. Din (43) rezulta ca ϕX (t) =
R
eitxdF(x), unde F (x) este
funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Pentru ∀ t1, t2 ∈ R, avem:|ϕ(t2) − ϕ(t1)| =
R(eit2x − eit1x)dF(x)
≤ R
|(eit2x −eit1x)| dF(x) =
dar |eit2x − eit1x| ≤ |eit1x| · ei(t2−t1)x − 1 = 2
sin (t2−t1)x
2
=2
|x|<a
sin t2−t12
x dF(x) + 2
|x|≥a
sin t2−t12
x dF(x),∀ a ∈ (0, ∞)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 82/135
82 Capitolul 3. Variabile aleatoare
Majorand pe sin t2−t12 xın doua moduri
cu |t2−t1|
2 |x| i cu 1
obt, inem:
| ϕ(t2) − ϕ(t1) |≤| t2 − t1 | |x|<a
|x| dF(x) + 2 |x|≥a
dF(x) ≤| t2 − t1 |.a
|x|<a
dF(x) + 2
|x|≥a
dF(x)=
=
| t2
−t1
| a . P (
|X
| < a) + 2 P(
|X
| ≥ a)
≤≤ | t2 − t1 | a . 1 + 2P(|X| ≥ a), ∀ a ∈ (0, +∞).
Fie ǫ > 0 s, i alegem pe a astfel ıncat P(|X|) ≥ a) < ε4 .
De ındata ce | t2 − t1 |< ε2a
, avem: | ϕ(t2) − ϕ(t1) |< ǫ.
Am vazut (ın 3.84) ca fiind data funct, ia de repartit, ie F a unei variabile
aleatoare se poate construi funct, ia caracteristica corespunzatoare.
Teorema care urmeaza prezinta rezultatul reciproc.
Prezentam fara demonstrat, ie teorema:
3.88. Teorema (de inversiune). Fie ϕ s, i F funct, ia caracteristica s, i
respectiv funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Atunci daca a, b(a < b)
sunt puncte de continuitate ale lui F , avem:
F (b) − F (a) = limr→∞
1
2π
r
−r
e−ita − e−itb
it ϕ(t)dt
Pentru funct, ia de repartit, ie normalizata aceasta relat, ie are loc pentru
orice puncte a, b ∈ R, cu a < b.
3.89. Teorema (unicitate). Fie funct, ia de repartit, ie F a variabilei
aleatoare X este ın mod unic determinata de funct, ia sa caracteristica ϕ(t).Demonstrat
,ie . Fie x s, i a, cu x > a puncte de continuitate ale lui F .
Conform cu 3.88 avem:
F (x) = F (a) + limr→∞
1
2π
r
−r
e−ita − e−itx
it ϕ(t)dt
Deoarece lima→−∞
F (a) = 0, rezulta:
F (x) = lima→−∞
limr→∞
12π
r−r
e−ita−e−itx
it · φ(t)dtsau
F (x) = lima→−∞
12π ∞−∞ e−ita−e−itx
it
· φ(t)dt
(a → −∞ pe mult, imea punctelor de continuitate ale lui F ).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 83/135
Capitolul 4
Legi de probabilitate clasice
O lege de probabilitate se caracterizeaza prin faptul ca oricarei valori pe
care o ia a variabila aleatoare i se asociaza o probabilitate corespunzatoare
s, i numai una.
Pentru considerente practice, ın teoria probabilitat, ilor se studiaza cateva
legi de probabilitate clasice, ıntalnite mai frecvent ın rezolvarea diferitelor
probleme.
4.1 Repartit, ii discrete
4.1.1 Repartit,ia binomiala
Repartit, ia binomiala (numita s, i legea lui Bernoulli ) serves, te la studiul
multor fenomene statistice. Aceasta repartit, ie intervine ın cazul fenomenelor
ce constau din repetarea independenta a unui experiment aleator. Legat de
acest experiment se considera un eveniment A care se produce cu probabilita-
tea p (prin convent, ie numit succes, iar A es, ec) s, i se cere pk, probabilitatea
ca evenimentul A sa se produca doar de k ori ın cele n repetari ale experi-
mentului.
Astfel evenimentului A i se asociaza variabila aleatoare
83
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 84/135
84 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
X :
k
pk
k = 0, n
. (1)
Daca pentru fiecare j, j = 1, n, definim variabila aleatoare Y j care ia
valorile 1 sau 0 ( i.e. Y j :
1 0
p q
, q = 1 − p), dupa cum la repetarea de
rang j se realizeaza evenimentul A sau evenimentul A, atunci:
X = Y 1 + Y 2 + ... + Y n, (2)
Y 1, Y 2,...,Y n fiind variabile aleatoare independente.
In definirea acestei repartit, ii avem ın vedere schema lui Bernoulli. Aceasta
schema este realizata de o succesiune de extrageri independente dintr-o urna
care cont, ine bile albe s, i bile negre ın cantitat, i cunoscute.Conform schemei
lui Bernoulli se cunoas, te ca pk = C kn pkq n−k.
4.1. Definit,ie. Spunem ca variabila aleatoare X are repartit , ia bi-
nomial˘ a (sau ca X este o variabila aleatoare binomiala) de parametri n s, i
p(n ∈ N∗, 0 < p < 1) daca P (X = k) = P n(k), unde
P n(k) = pk, k = 0, n , q = 1 − p. (3)
Vom nota cu B(n, p) mult, imea variabilelor aleatoare binomiale sau ber-
nuliene de parametrii n s, i p.
Din 4.1. rezulta ca X ∼ B(n, p) daca s, i numai daca X are repartit, ia (1)
unde pk este dat de (3).Folosind relat, ia (1) gasim ca funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare
X ∼ B(n, p) este: F (x) = 0 daca x ≤ 0, F (x) = 1 daca x > n s, i
F (x) =m
k=0
C kn pkq n−k, x ∈ (m, m + 1] , m = 0, n − 1 (4.1)
4.2. Teorema. Daca X ∼ B(n, p) (i.e este o variabila aleatoare bino-
miala de parametrii n s, i p), atunci:
1˚. ϕ(t) = ( peit
+ q )n
, t ∈ R este funct, ia caracteristica a lui X ;2˚. M (X ) = np;
3˚. D2(X ) = npq ;
4˚. (n + 1) p − 1 ≤ k0 ≤ (n + 1) p, k0 fiind dominanta.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 85/135
4.1. Repartit, ii discrete 85
Demonstrat ,ie. 1˚. Pentru ca X ∼ B(n, p),
X :
k
pk
k = 0, n
.
eitX
: eitk
pk
k = 0, n .
ϕ(t) = M (eitX ) =n
k=0
eikt · pk =n
k=0
eiktC kn pkq n−k =
=n
k=0
C kn(eit p)kq n−k = ( peit + q )n;
2˚. Se calculeaza ϕ′(t) = npieit( peit + q )n−1 s, i ϕ′′(t) = npi2eit( peit +
q )n−1 + n(n − 1) p2i2e2it( peit + q )n−2. De aici se gases,te mai ıntai ϕ′(0) = npi
s, i ϕ′′(0) = np(np + q )i2. Apoi folosind formula momentelor avem M (X ) =1iϕ′(0) = np s, i
3˚.D2(X ) = M (X 2)−M 2(X ) = 1i2 ϕ′′(0)−n2 p2 = np(np+q )−n2 p2 = npq.
4˚. k0 fiind dominanta, avem: P (k0 − 1) ≤ P (k0) ≥ P (k0 + 1) ⇔
⇔ C k0−1n pk0−1q n−k0+1 ≤ C k0n pk0q n−k0 ≥ C k0+1n pk0+1q n−k0−1 ⇔
⇔ n!
(k0 − 1)!(n − k0 + 1) pk0−1q n−k0+1 ≤ n!
k!(n − k0)! pk0q n−k0 ≥
≥ n!
(k0 + 1)!(n − k0 − 1)! pk0+1q n−k0−1 ⇔ q 2
(n − k0 + 1)(n − k0) ≤
≤ pq
(n − k0)k0≥ p2
k0(k0 + 1) ⇔
q
n−k0+1 ≤ p
k0 p
k0+1 ≤ q
n−k0
⇔
⇔
k0q ≤ np − k0 p + p
pn − pk0 ≤ k0q + q ⇔
k0 ≤ (n + 1) p
(n + 1) p − 1 ≤ k0
⇒ c. c. t. d.
Observat ,
ie. (p + q)k
= Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k); k = 1, n.Pentru ca p + q = 1 ⇒ Pn(k) = 1 - [Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k - 1).
Aceasta ultima relat, ie permite calcularea iterativa a probabilitat, ii Pn(k),
de aparit, ie a unui eveniment de cel put, in k ori, k = 0,n.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 86/135
86 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
4.3. Remarca. Daca X este o variabila aleatoare cu funct, ia caracteris-
tica ϕ(t) =( pe it + q)n, atunci X ∼ B(n, p).
4.4. Propozit,ie. Fie X i ∼ B(ni, p), i = 1, r, variabila aleatoare inde-
pendenta. Atunci:r
i=1 X i ∼
B r
i=1 ni, p.
Demonstrat ,ie. Deoarece variabilele aleatoare (X i)
i = 1, nsunt inde-
pendente, atunci funct, ia caracteristica a variabilei aleatoarer
i=1
X i este: ϕX i(t) =
ri=1
ϕX i(t). Si pentru ca ϕX i(t) = ( peit + q )ni, ∀ i = 1, r, rezulta ca: ϕ r
i=1X i
(t) =
( peit + q )
ri=1
ni.Conform cu 4.3. avem ca
n
i=1X i ∼ B
r
i=1ni, p
.
4.5. Observat,ie. Pentru variabilele aleatoare Y
j, ment, ionate la ınceputul
acestei sect, iuni avem Y j ∼ B (1, p), j = 1, n s, i conform 4.4. Y ∼ B (n, p) cu
Y dat de (2).
4.1.2 Repartit,ia Poisson
In cazul repartit, iei binomiale de parametri n s, i p, daca numarul ,,n“ al
probelor este foarte mare iar p este mic, p fiind probabilitatea de realizare
a unui eveniment A, atunci evenimentul A este un eveniment rar , iar
legea de repartit, ie a variabilei aleatoare ce caracterizeaza evenimentul A, se
numes, te legea evenimentelor rare (sau legea lui Poisson ). In aceasta
situat, ie formula (3) este incomoda ın calcule. De aceea pentru Pn(k) se alege
o aproximare. Pentru aceasta notam np = λ (= constanta) s, i avem:
P n(k) = n(n − 1)...(n − k + 1)
k! · pk(1 − p)n−k
p=λn=
=
n(n
−1)...(n
−k + 1)
k! · λ
nk
· 1 − λ
nn−k
=
= λk
k! · n(n − 1)...(n − k + 1)
nk ·
1 − λ
n
n−k
→ λk
k!e−λ.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 87/135
4.1. Repartit, ii discrete 87
4.6. Definit,ie. 1˚. Repartit, ia determinata de probabilitat, ile
P k = λk
k!e−λ, k ∈ N (5)
se numes, te repartit , ia Poisson de parametru λ > 0.
2˚. O variabila aleatoare X cu repartit, ia
X :
k
pk
k∈N
, pk
= λk
k!e−λ, k ∈ N (6)
se numes, te variabil˘ a aleatoare Poisson sau variabil˘ a aleatoare poa-
ssonian˘ a .
Se observa ca P k > 0s, i P k = e−k λk
k!
−e−λ
·eλ = 1. Deci repartit, ia
lui X este bine definita.
Repartit, ia lui Poisson, ın afara de faptul ca este strans legata de distribut, ia
binomiala, joaca un rol important ın studiul fenomenelor.
4.7. Teorema. Daca X este o variabila aleatoare Poisson de parametru
λ, atunci avem:
1) ϕX (t) = eλ(eit−1), ∀ t ∈ R;
2) M(X) = λ;
3) D2(X) = λ.
Demonstrat ,ie. 1) ϕX (t) = M(eitX ) =
∞k=0
eikt · pk =∞
k=0
eikt · e−λ · λk
k! =
= e−λ∞
k=0
(λ·eit)k
k! = e−λ · eλℓit = eλ(eit−1),c. c. t. d.
2) M (X ) = 1iφ′X (0) = 1
i
λieiteλ(eit−1)
t = 0
= 1i · λi = λ.
3) M (X 2) = 1i2
ϕ′′X (0) = 1
i2
λi2eit · eλ(eit−1) + λ2i2eit2eλ(eit−1)
t=0
= λ + λ2
D2(X) = M(X2) - M2(X) = λ + λ2 − λ2 = λ.
Legea lui Poisson poate fi considerata ca limita catre care tinde legea bino-miala, cand probabilitatea p este foarte mica s, i numarul de probe (repetit, ii)
n este foarte mare.In general legea lui Piosson se aplica daca sunt satisfacute
condit, iile n ≤ 50 s, i p ≥ 0,1.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 88/135
88 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
Vom nota p0(λ) mult, imea variabilelor aleatoare cu repartit, ie Poisson de
parametru λ.
4.8. Propozit,ie. Daca X j ∈ p0(λ j ), j = 1, n sunt variabile aleatoare
independente atunci
n j=1 X j ∼ p0
n j=1λ j.
Demonstrat ,ie. Notam S n =
n j=1
X j s, i determinam funct, ia caracteristica a
variabilei aleatoare S n. Deci: φS n(t) =n
j=1
eλj(eit−1) = e(eit−1)n
j=1
λ j.
Astfel propozit, ia este demonstrata.
4.1.3 Distribut,ia geometrica
4.9. Definit,
ie. 1˚. Fie A un eveniment legat de experimentul aleatorE s, i k numarul de repetari ale experimentului considerat, pana la prima
realizare a lui A. Daca p este probabilitatea de realizare a lui A s, i q = 1 − p,
atunci repartit, ia determinata de probabilitat, ile
Pk = pq k−1, k ∈N
se numes, te repartit , ie geometric˘ a .
2˚. O variabila aleatoare
X :
k
pk
k ∈ N
, pk = pq k−1 (7)
se numes, te variabil˘ a aleatoare repartizat˘ a geometric.
4.10. Aplicat,ie. Daca X este o variabila aleatoare repartizata geome-
tric, atunci sa se calculeze:
a) ϕX funct, ia caracteristica a lui X ;
b) M (X ) s, i D2(X ).
Rezolvare.a)ϕX (t) := M (eitX ) = ∞k=0
eikt pk = ∞k=0
eikt pq k−1 = pq
∞k=0
(eitq )k =
(|eitq | = |q | = q < 1 ⇒∞
k=0
(eitq )k este o serie convergenta )
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 89/135
4.2. Repartit, ii continue 89
= p
q · 1
1−eitq,deci ϕX (t) = p
q · 1
1−qeit, t ∈ R.
b) φ′X =
pq · −(−qeit)‘
(1−qeit)2 = p
q · qieit
(1−qeit)2 = ipeit
(1−qeit)2 ⇒ (φ)′X (0) = ip
(1−q)2 = i
p
φ′′X (t) = i2 peit(1 − qeit)2 − 2(−iqeit)(1 − qeit) · ipeit
(1 − qeit)4 =
= i2 peit − i2 pqe2it + 2ipqe2it
(1 − qeit)3 =
i2 peit(1 + qeit)
(1 − qeit)3 ⇒
⇒ φ′′f (0) = i2 p(1+q)
(1−q)3 = i2(2− p)
p2 . De aici avem :
M (X ) = 1
i · φ′X (0) =
1
i · ip
(1 − q )2 =
p
p2 =
1
p;
M (X 2) = 1i2 · φ′′X (0) = 1
i2 · i2(2 − p)
p2 = 2 − p
p2
D2(X ) = M (X 2) − M 2(X ) = 2 − p
p2 − 1
p2 =
2 − p − 1
p2 =
1 − p
p2 =
q
p2
4.2 Repartit, ii continue
4.2.1 Distribut, ia (repartit, ia) uniforma continua
Este una din cele mai simple legi de probabilitate continue.
4.11. Definit,ie. Se spune ca o variabila aleatoare X este uniform
repartizat˘ a pe [a, b] (X este uniform˘ a pe [a, b]) daca admite densitatea
de probabilitate:
ρ(x) =
1b−a
,
0,
daca x ∈ [a, b]
daca x
∈ R
\[a, b]
(8)
4.12. Observat,ie. 1˚. X ia valori, ın intervalul [a, b], cu probabilitat, i
egale s, i nu poate lua valori ın afara intervalului.
2˚. Valoarea A = 1b−a
, rezulta din condit, ia de normare:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 90/135
90 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
+∞ −∞
ρ(x)dx = 1 ⇔a
−∞
ρ(x)dx+
b a
ρ(x)dx+
+∞ b
ρ(x)dx = 1 ⇔b
a
ρ(x)dx = 1 ⇒
ρ(x)=A⇒b
a
Adx = 1 ⇒ A = 1
b − a.
4.13. Problema. Daca X este o variabila aleatoare uniform repartizata
atunci:
1˚. F (t) =
0 , daca t ≤ at−ab−a
, daca a < t ≤ b
1 , daca t > b
; 2˚. M (X ) = a+b2
;
3˚. D2(X ) = b−a2√ 32 = (a−
b)2
12 ; 4˚. φ(t) = 1it(b−a) · (eibt − eiat).
Rezolvare. 1˚. F(t)def =
t −∞
ρ(x)dx =
0, t ≤ at
a
ρ (x) dx, a < t ≤ b
b a
ρ (x) dx +t
b
ρ (x) dx, b < t
=
t a
ρ(x)dx = 1
b − a · x
t
a=
t − a
b − a
s, i de aici avem ca:
F(t) =
0 , daca t ≤ at−ab−a
, daca a < t ≤ b
1 , daca t > b
2˚. M (X ) =+∞ −∞
xρ(x)dx =b
a
x · 1b−a
· dx = 1b−a
· x2
2
b
a= b2−a2
2(b−a) = a+b
2
3˚. D2(X ) = M (X 2) − M 2(X ) =+∞
−∞
x2ρ(x)dx − a+b2
2=
=
b a
x2 · 1
b − adx −
a + b
2
2
= 1
b − a
x3
3
b
a−
a + b
2
2
=
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 91/135
4.2. Repartit, ii continue 91
= b3 − a3
b − a
1
3 − (a + b)2
4 =
4(a2 + ab + b2) − 3(a2 + 2ab + b2)
12 =
(a − b)2
12
Aceasta lege de probabilitate este ıntalnita mai des ın teoria erorilor s, i acompunerii acestora.
4.2.2 Repartit,ia exponent
,iala
4.14.Definit,ie. Se spune ca o variabila aleatoare X este repartizat˘ a
exponent , ial de parametru λ > 0 daca densitatea de probabilitate a sa
este:
ρ(x) =
0 , x ≤ 0
λe−λx , x > 0(4.2)
Vom nota e (λ)mult, imea variabilelor aleatoare repartizate exponent, ial de
parametru λ.
4.15. Propozit,ie. Daca X ∈ e (λ), atunci avem:
1˚. ϕ(t)= λλ−it
; 2˚. M(f) = 1λ
; 3˚. D2(f) = 1λ2 .
Demonstrat ,ie : 1˚. ϕ(t) = M(eiXt) =
+∞
−∞
eixtρ(x)dx =+∞
−∞
eixt · λe−λxdx =
= λ∞ 0
eixt−λxdx = λit−λ
e−(λ−it)x)
∞0
= λ
it−λ(e−∞ − e0) = λ
λ−it.
2˚.M (X ) = 1iφ′(0) = 1
iiλ
(λ−it)2
t = 0= 1
λ
φ′(t) = iλ
(λ−it)2
.
3˚. D2 (X ) = M (X 2)−M 2 (X ) = 1i2·φ′′(0)− 1
λ2 = 1i2·−iλ2(−2)
(λ−it3
t = 0− 1
λ2 =
= 1
λ2 − 1
λ2 =
1
λ2.
4.2.3 Repartit,ia gama
4.16. Definit,ie. Repartit, ia definita prin densitatea de probabilitate
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 92/135
92 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
ρ(x) =
0 , x ≤ 0
1Γ(α)
xα−1e−x , x > 0(4.3)
se numes, te repartit , ia gama, de parametru α, unde x ¿ 0, α ¿ 0.
Vom nota γ (α) mult, imea tuturor variabilelor aleatoare a caror densitate
de probabilitate este data de (??).
4.17. Propozit,ie. Daca X ∈ γ (α), atunci:
(1) ϕX (t) = (1 - it)−α; (2) M(X) = α; (3) D2(X) = α.
Demonstrat ,ie . (1) ϕX (t) = M(eitX ) = 1
Γ(α)
∞ 0
eitxxα−1e−xdx =
= 1
Γ(α)
∞
0∞
n=0(itx)n
n!
xα−1e−xdx = 1
Γ(α)
∞
n=0(it)n
n!
∞
0 xn+α−1e−xdx =
= 1
Γ(α)
∞n=0
(it)n
n! Γ(n + α) = 1 +
1
Γ(α)
∞n=1
(it)n
n! α(α + 1)...(α + n − 1)Γ(α) =
= 1 +∞
n=1
α(α + 1)...(α + n − 1)
n! (it)n = (1 − it)−α.
(2) M (X ) = 1iφ′(0) = 1
i(−α)(−i) = α.
(3) M (X 2) = 1i2 φ′(0) = α(α + 1)Rezulta: D2(X) = M(X2) - M2(X) = α(α + 1) - α2 = α.
4.18. Remarca. In loc ρ(x) dat de (??) se pate considera
ρ(x) =
0 , x ≤ 0
1Γ(α)βα
xα−1e−xβ , x > 0
(4.4)
In acest caz se gases, te: 1˚. ϕX (t) = (1 - iβ t)−α; 2˚. M(X) = αβ ;
3˚. D2(X) = αβ 2 s, i ın loc de γ (α), vom avea γ (α,β ) i.e repartit, ia gama
data de (10,
) are doi parametri.4.19. Propozit
,ie. Daca variabilele aleatoare X j ∈ γ (α j), j = 1, n s, i
sunt independente, atunci S n =n
j=1
X j ∈ γ
n
j=1
α j
.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 93/135
4.2. Repartit, ii continue 93
Demonstrat ,ie . Notam S n =
n j=1
X j. Din independent,a variabilelor alea-
toare X j , j = 1, n obt, inem: φS n(t) =n
j=1
φX j(t) =n
j=1
(1 − it)−αj = (1 −
it)−
n
j=1
αj
.
Rezultan
j=1
X j ∈ γ
n
j=1
α j
.
4.2.4 Repartit,ia normala
Este legea de repartit, ie cea mai importanta din teoria probabilitat, ilor,
fiind denumita s, i legea Gauss .
4.20. Definit,ie. Repartit, ia definita prin densitatea de probabilitate
ρ(x) = 1
σ√
2πe−
(x−m)22σ2 , ∀x ∈ R (11)
se numes, te repartit , ia normal˘ a de parametri , m s, i σ, (σ > 0).
Vom nota N(m,σ) mult, imea variabilelor aleatoare cu densitatea de pro-
babilitate data de (11).
4.21. Propozit,ie. Daca X ∼ N (m, σ), atunci:
(1) M (X ) = m;
(2) D2(X ) = σ2.
Demonstrat ,ie. (1) M (X ) =
+∞ −∞
xρ(x)dx = 1σ√ 2π
+∞ −∞
xe−12(x−mσ )
2
dx.
Facand schimbarea de variabila t = x−mσ
se obt, ine:
M (X ) = 1√ 2π
+∞ −∞
(m + tσ)e−12
t2dt = σ√ 2π
+∞ −∞
te−t2
2 dt + m√ 2π
+∞ −∞
e−t2
2 dt.
Prima integrala este zero, iar a doua se cunoas, te ca este egala cu√
2π.
Deci M (X ) = m.
(2) Pentru calcularea dispersiei folosim definit, ia. Deci:
D
2
(X ) =
+∞ −∞ (x − m)
2
ρ(x)dx =
1
σ√ 2π
+∞ −∞ (x − m)
2
e
− (x−m)22σ2
dx =
= 2σ√ 2π
+∞ 0
(x − m)2e−(x−m)2
2σ2 dx.
Prin schimbarea de variabila t = (x−m)2
2σ2 se gases, te:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 94/135
94 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
D2(X ) = 2σ2
√ π
∞ 0
t12 e−tdt =
2σ2
√ π · Γ
3
2
=
2σ2
√ π · 1
2Γ
1
2
= σ2.
4.22. Remarca. Graficul funct, iei ρ(x), x ∈ R are forma unui clopot
(uneori numit ,,clopotul lui Gauss“ ) s, i este simetric fat, a de dreapta x =
m. Punctul x0 = m este punctul de maxim
ρ(m) = 1σ√ 2π
, iar punctele
x1 = m − σ s, i x2 = m + σ sunt puncte de inflexiune pentru graficul funct, iei
ρ(x). Pentru σ mic graficul este t,uguiat, iar pentru σ mare graficul este
aplatizat.
Pentru x ∋ (m − 3σ, m + 3σ) funct, ia ρ(x) are valori neglijabile. De aceea
intereseaza doar cazul x ∈ (m−3σ, m+3σ). Aceasta convent, ie este cunoscuta
sub numele de regula celor 3σ.
4.23. Definit,ie. Pentru m = 0 s, i σ = 1 se obt, ine o forma particu-
lara a repartit, iei normale numita repartit , ia normal˘ a normat˘ a . Daca
X ∼ N (0, 1), atunci X se numes, te normal distribuit˘ a s, i normat˘ a (sauvariabila aleatoare normal˘ a standard ). Densitatea de repartit, ie a unei
variabile aleatoare X ∼ N (0, 1) este ρ(x) = 1√ 2π
e−12
x2, ∀x ∈ R
4.24. Exercit,iu. Sa se arate ca
∀X ∈ N(m,σ) ⇒ X −mσ
∈ N (0, 1) .
Rezolvare. M ( X −mσ
) = 1σ
(M (X ) − m) = 1σ
(M (X ) − m) = 1σ
m − m = 0
D2(X − m
σ ) =
1
σ
2
D2(x − m) = 1
σ
2
D2(X ) = 1
σ
2
σ2 = 1.
4.25. Propozit,ie. Fie X ∼ N (0, 1) s, i Y ∼ N (m, σ). Atunci:
(a) M n(X ) =
(2k − 1)M 2k−2(X ) , n = 2k,
0 , n = 2k − 1, ∀k ∈ N∗, ∀n ∈ N,
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 95/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 96/135
96 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
(b) P (a ≤ X < b) = Φ
b−mσ
− Φ
a−mσ
.
Valorile funct, iei lui Laplace sunt prezentate ın tabele.
4.27. Aplicat,ie. Daca X ∼ N (3, 2), sa se afle P (1 < X < 5).
Rezolvare. P (1 < X < 5) = Φ 5−32 −Φ 1−32 = 2
·Φ(1).
4.28. Propozit,ie. Daca variabilele aleatoare X j ∼ N (m j , σ j), j = 1, n
sunt independente, atunci variabilele aleatoare S n =n
j=1
X j ∈ N
n
j=1
m j ,n
j=1
σ j
.
Demonstrat ,ie. Variabilele aleatoare X j , j = 1, n fiind independente avem
ca φS n(t) =n
j=1
φX j(t) =n
j=1
eimjt− 12
t2σ2j = e
itnj=1
mj− 12
t2nj=1
σj
.
Astfel rezulta ca S n =n
j=1
X j ∈ N
n
j=1
m j ,n
j=1
σ j
.
4.2.5 Repartit,ia hi - patrat (χ2)
Aceasta repartit, ie este un caz particular al repartit, iei gama cu doi para-
metri (γ (α, β )). Se obt, ine din aceasta pentru α = n2
s, i β = 12σ2 .
4.29. Definit,ie. Spunem ca o variabila aleatoare X este reparti-
zat˘ a χ2 (sau are repartit , ia χ2) de parametrii n s, i σ¨ (s, i scriem X
∈ χ2(n,σ)) daca:
ρ(t) = 0 , t < 0
1
2n2 σΓ(n2 )
· tn2−1 · e−
t2σ2 , t ≥ 0, σ > 0, n ∈ N ∗
(4.5)
Daca X ∈ χ2(n,σ), prin particularizari din γ (α,β ), se obt, inem:
M(X) = nσ2; D2(X) = 2nσ2; σ(X) = σ2√
2n; ϕX (t) = (1 − 2itσ2)−n2 .
Generarea de variabile aleatoare cu repartit,ia χ2
4.30. Teorema. Daca X ∈ N(0, 1), atunci ξ = X2 ∈ χ2(1, 1).
Demonstrat ,ie. Vom arata ca densitatea de repartit, ie a lui ξ este:
ρξ(t) = 0 , t ≤ 0
1√ 2Γ( 1
2)t−
12 e−t2 , t > 0
.
Din ξ = X 2, rezulta ca F ξ(t) = P (ξ < t) = P (X 2 < t) = P −√
t < X <√
t
=
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 97/135
4.2. Repartit, ii continue 97
= F X
√ t − F X
−√ t
. De aici avem ca densitatea de probabilitate a
lui ξ este:
ρξ(t) = F ′ξ(t) = 12√
tF ′X
√ t
+ 12√
tF ′X
−√ t
= 12√
t
ρX
√ t
+ ρX
−√ t
=
= 1
2√ t 1
√ 2π
e−t2 + 1
√ 2π
e−t2 = 1
2√ 2πt
2e−t2 = 1
√ 2√ πt−12 e−t2 .
Variabila aleatoare ξ ∈ χ2 (1.1). Rezulta ca funct, ia caracteristica a lui ξ
este ϕξ(t) = (1 − 2it)−12 . (ın expresia lui ϕX (t), se σ = n = 1).
4.31. Teorema. Daca X j ∼ N (0, 1), j = 1, n sunt variabile aleatoare
independente, atunci variabila aleatoare ξ = X 21 + X 22 + ... + X 2n ∈ χ2(n, 1).
Demonstrat ,ie. Conform cu 4.30, funct, ia caracteristica a luiX 2 j va fi ϕ j(t)
=(1 − 2it)− 12 , ∀ j = 1, n. Atunci funct, ia caracteristica a lui ξ va fi ϕξ(t) =
ϕ1(t) · ϕ2(t) · ... · ϕn(t) = (1 − 2it)−n2 , adica funct, ia caracteristica a unei
variabile aleatoare χ2(n, 1).
4.32. Definit,ie. Numarul ,,n“ de variabile aleatoare independente care
genereaza pe ξ se numes, te num˘ arul gradelor de libertate ale lui ξ . In
acest caz scriem ξ ∈ χ2n, adica ξ urmeaza legea χ2 cu n grade de libertate.
h2α,nDaca α este aria has,urata din figura alaturata, atunci numarul h2
α,ncu
proprietatea P
χ2n > h2
α,n
= α se numes, te α − cuantila superioara a unei
variabile aleatoare repartizata χ2n. Valorile lui α se gasesc ın tabele.
4.2.6 Repartit,ia student cu n grade de libertate S(n)
4.33. Definit,ie. Spunem ca variabila aleatoare urmeaza repartit , ia
student cu n grade de liberate (n ∈ N∗) daca are densitatea de repartit, ie.
ρ(t) = 1
√ nBn2
, 12
·1 + t2
n−n+1
2
, t ∈ R. (13)
Vom nota cu S (n) mult, imea variabilelor aleatoare a caror densitate de
probabilitate este data de (??) (i.e. S (n) este mult, imea variabilelor aleatoare
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 98/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 99/135
4.2. Repartit, ii continue 99
port, iunii has,urate din figura alaturata. Valorile lui α se gasesc in tabelele
calculate pentru diferite grade de libertate.
4.2.7 Repartit,ia Snedecor si repartit
,ia Fisher
4.38. Definit,ie. Spunem ca variabila aleatoare X urmeaza repartit , ia
Snedecor daca are densitatea de repartit, ie
ρ (t) = n1
n2
n12 · 1B
n1
2 , n2
2
· tn12 −1 ·1 + n1
n2t−n1+n2
2 , t ≥ 0 (4.7)
unde n1, n2 ∈ N s, i fiecare reprezinta numarul gradelor de libertate ale lui
X.
4.39. Exercit,iu. Sa se verifice ca funct, ia data de (??) este densitatea
de repartit, ie a unei variabile aleatoare.
Vom nota cu F(n1,n2) mult, imea variabilelor aleatoare a caror densitate
de repartit, ie este data de (??).
4.40. Propozit, ie. Daca X ∈F(n1,n2), atunciM(X ) = n2
n2−2 , n2 > 2; (b) M(X 2) = n2
2
n1· n1+2(n2−2)(n2−4) , n2 > 4
Demonstrat , ie. Vom calcula mai ıntai M(X r), r¿0.
M(X r) =
n1
n2
n12 · 1
B(n12 ,n22 )
·+∞ 0
xrxn 12 −1
1 + n1
n2x−n 1+n2
2dx
In integrala de mai sus se face schimbarea de variabila y = n1
n2x s, i obt, inem
∞
0 xr+n12 −1
1 + n1
n2x
−n 1+n22
dx =∞
0 n2
n1r+n 12 −1
· yr+n12 −1 (1 + y)r+
n12 −1 · n2
n1dy =
=
n2
n1
r+n 12
·∞ 0
yr+n 12 −1 (1 + y)−
n 1+n22 dy =
n2
n1
r+n 12
· B
r + n1
2 , −r +
n2
2
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 100/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 101/135
4.2. Repartit, ii continue 101
Si astfel rezulta (??).
4.43. Definit,ie. Repartit, ia cu densitatea de repartit, ie data de (??) se
numes, te repartit , ia z a lui Fisher, F α;n1,n2.
4.44. Remarca. Daca X
∈ F (n1, n2), variabila aleatoare X se mai
noteaza s, i prin F n1,n2, iar α-cuantila superioara a lui X se noteaza F α;n1,n2s, i
se determina din condit, ia P (X > F α;n1,n2) = α.
Numarul α reprezinta aria port, iunii has,urate din figura alaturata. Valo-
rile lui α corespunzatoare diferitelor grade de libertate se gasesc in tabele.4.45. Aplicat
,ii. 1o. Profitul unei firme se realizeaza ca urmare a act, iunii
factorilor U = 2X − 5Y s, i V = 3X + Y , cu X ∼ N (4, 1) s, i Y ∼ B(5;0, 2)
factori independent, i. Sa se determine: a) D2(U ) s, i D2(V ); b) r(U, V ); c)
P (2 < X < 6); d) o limita inferioara pentru P (−3 < Y < 5).
Rezolvare:
a) D2(U ) = D2(2X-5Y)=2 2D2(X ) + 25D2(Y )=4·1+25·5·0,2·0,8=24
D2(V)=9 ·D 2(X ) + D2(Y ) =9·1+0,8=9,8.
Pentru dispersia lui Y s-a folosit formula D2
(Y)=npq ;b) Deoarece r(U, V ) = M (UV )−M (U )·M (V )
σ(U )·σ(V ) s, i pentru ca
U ·V =(2X -5Y )(3X + Y )=6X 2-13XY -5Y 2, M (Y )=np=5·0,2=1,
M (U, V ) =M(6X 2-13XY -5Y 2)= 6M (X2)-13M (XY)-5M(Y2),
M (X 2) = M 2(X )+D2(X )=16+1=17,
M (Y 2) =1+0,8=1,8 s, i M(XY)=M(X)·M(Y)=4·1=4 rezulta
M(UV)= 6•17-13·4-5·1,8=102-52-9,
M (U ) =2M (X )-5M (Y )=2·4-5=3,
M (V )=3M (X ) + M (Y )=13 s, i ın final r(U, V ) = 12√ 14,7 .
c) Conform cu 4.25 avem
P (2 < X < 6) = Φ6−41
− Φ2−41
= 2Φ(2) = 2 · 0, 47725 = 0, 95450;
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 102/135
102 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
d) Folosind inegalitatea lui Cebas,ev obt, inem
P (−3 < Y < 5) = P (|Y − 1| < 4) ≥ 1 − D2(Y )42
= 1 − 0,816
= 0, 95
4.2.8 Repartit, ia normala bidimensionalaAceasta repartit, ie are aplicat, ii importante ın analiza regresiei s, i corelat, iei.
4.46. Definit,ie. O variabila aleatoare bidimensionala X = (X 1, X 2)
urmeaza repartit , ia normal˘ a bidimensional˘ a de parametri m1, m2, σ1, σ2
s, i r, daca:
ρ (x1, x2) = 12πσ1σ2
√ 1−r2
e− 1
2(1−r2)
x1−m1σ1
2−2r(x1−m1)(x2−m2)σ1σ2
+x2−m2σ2
2,(17)
∀(x1, x2)
∈R2 ,unde m1, m2
∈R, σ1 > 0, σ2 > 0 s, i r
∈ (
−1, 1).
4.47. Exercit,iu. (1) Sa se arate ca ρ (x1, x2) este o densitate de
repartit, ie;
(2) Sa se calculeze densitat, ile de repartit, ie marginala ale lui X s, i cav(X 1, X 2).
Rezolvare: (1) Deoarece ρ (x1, x2) ≥0 ∀ (x1, x2) ∈ R2, ramane sa aratam
ca R2
ρ (x1, x2)dx1dx2 = 1. Dar
I = R2
ρ (x1, x2)dx1dx2 =
= 1
2πσ
1σ2
√ 1−
r2
+∞
−∞
+∞
−∞e− 1
2(1−r2)
x1−m1σ1
2−2r(x1−m1)(x2−m2)σ1σ2
+x2−m2σ2
2
Se face schimbarea de variabile
xi = σiti + mi, i = 1, 2 (4.9)
cu iacobianul
D(x1,x2)D(t1,t2)
=
∂x1
∂t1
∂x1
∂t2∂x2
∂t1
∂x2
∂t2
=
σ1 0
0 σ2
= σ1σ2 > 0 s, i astfel se obt, ine
I = 12π√ 1−r2
+∞ −∞
+∞ −∞
e− 1
2(1−r2)(t21−2rt1t2+t22)dt1dt2 = (t21 − 2rt1t2 + t22) =
= (t1 − rt2)2 + (1 − r2) t22 = 12π
+∞
−∞ 1√
1−r2
+∞
−∞e−
1
2 t1−rt2√ 1−r2
2
−t222 dt1
dt2 =
= 12π
+∞ −∞
e−t222
1√ 1−r2
+∞ −∞
e− 1
2
t1−rt2√ 1−r2
2
dt1
dt2
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 103/135
4.2. Repartit, ii continue 103
In integrala interioara se face schimbarea de variabila z = t1−rt2√ 1−r2
(19)
s, i gasim I = 12π
+∞ −∞
e−t222
+∞ −∞
e−12
z2dz
dt2 = 1
2π
+∞ −∞
e−t222 · √
2πdt2 = 1
(2) Cele doua densitat, i marginale sunt date de relat, iile
f (s) =+
∞ −∞
g (s, x2)dx2 s, i g (t) =+
∞ −∞
g (x1, t) dx1
Astfel avem:
f (s) = 1
2πσ1σ2
√ 1 − r2
+∞ −∞
e− 1
2(1−r2)
s−m1σ1
2−2r(s−m1)(x2−m1)σ1σ2
+x2−m2σ2
2dx2 =
= 1
2πσ1σ2√ 1 − r2e− 1
2s−m1σ1
2+∞
−∞
e− 1
2(1−r2)rs−m1σ1
−x2−m2σ2
2
dx2
Se face schimbarea de variabila z = 1√ 1−r2
r s−m
σ1− x2−m2
σ2
s, i obt, inem
f (s) = −1
2πσ1
e− 1
2
s−m1σ1
2 +∞ −∞
e−z2
2 dz = 1
σ1
√ 2π
e− 1
2
s−m1σ1
2
Analog se obt, ine g (t) = 1σ2
√ 2π
e− 1
2
t−m2σ2
2
Rezulta ca repartit, iile marginale ale lui X sunt repartit, ii normale s, i deciX i ∈ N (mi, σi) , i = 1, 2.
Sa calculam acum pe cov (X 1, X 2) .
cov (X 1, X 2) = M [(X 1 − m1) (X 2 − m2)] =
+∞ −∞
+∞ −∞
(x1 − m1) (x2 − m2) ρ (x1, x2) dx1dx2
Se face schimbarea de variabila (??) s, i gasim
cov (X 1, X 2) = 1
2πσ1σ2
√ 1 − r2
+∞ −∞
+∞ −∞
σ1σ2t1t2 · e− 1
2(1−r2)(t21−2rt1t2+t22)·σ1σ2dt1dt2 =
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 104/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 105/135
4.2. Repartit, ii continue 105
Daca notam mx2,x1 = M (X 2|X 1 = x1) avem relat, ia
mx2,x1 − m2 = ρσ2
σ1(x1 − m1) (4.10)
numita ecuat , ia dreptei de regresie a lui X 2 ın raport cu X 1.
Analog se gases, te relat, ia
mx1,x2 − m1 = ρσ1
σ2(x2 − m1) (4.11)
numita ecuat , ia dreptei de regresie a luiX 1 ın raport cu X 2.
Din cele de mai sus rezulta ca regresia dintre X 1 s, i X 2 este liniara.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 106/135
106 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 107/135
Capitolul 5
Siruri de variabile aleatoare
Deoarece variabila aleatoare este o funct, ie, rezulta ca s, irurile de v.a. sunt
s, iruri de funct, ii. Modelarea unor experimente aleatoare influent,ate de un
numar mare de factori impune folosirea s, irurilor de v.a. definite pe acelas, i
camp de probabilitate.
5.1 Tipuri de convergent, a pentru s, iruri de
variabile aleatoare
Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate s, i fie (X n)n ⊂ V (Ω, K),
X ∈ V (Ω, K), F n (t) = P (X n < t) , ∀n ∈ N s, i F (t) = P (X < t).
5.1. Definit,ie. Spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)n converge
aproape sigur catre v.a. X (s, i scriem X na.s.
n→∞X ) daca P (w |X n (w) −→ X (w)) =
1 sau P
w lim
n→∞X n (w) = X (w)
= 1 (1)
5.2. Definit,ie. Spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)n converge
ın probabilitate (sau converge slab ) catre v.a. X (s, i scriem X nP
n→∞X )
daca ∀ε > 0 avem
limn→∞
P (w ||X n (ω) − X (w) |> ε ) = 0 (5.1)
sau echivalent
107
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 108/135
108 Capitolul 5. Siruri de variabile aleatoare
limn→∞
P (w ||X n (w) ≤ ε ) = 1 (5.2)
5.3. Definit,ie. Spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)n converge
tare ın probabilitate catre v.a. X (s, i scriem X nt.p
n→∞X ) daca ∀ε > 0 s, i∀η > 0, ∃n0 = n (ε, η) ∈ N. astfel ıncat
P
∪n≥n0
w ||X n (w) − X (w) |≥ ε
< η (5.3)
sau echivalent
P
∩n≥n0
w ||X n (w) − X (w) |< ε
> η. (5.4)
5.4. Definit,ie. Spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)
n
converge
ın medie de ordin r catre variabila aleatoare X (s, i scriem X nM
n→εX ) daca
exista M r (X n) , ∀n ∈ N s, i M r(X ). astfel ıncat limn→∞
M r(|X n − X |) = 0 (4).
5.5. Definit,ie. Spunem ca s, irul de v.a. (X n)n converge ın repartit , ie
(sau ın sens Bernoulli ) catre X (s, i scriem X nr
n→∞X daca limn→∞
F n (t) =
F (t) (5) ∀t ∈ R, punct de continuitate al lui F .
Prezentam fara demonstrat, ie urmatorul rezultat.
5.6. Teorema. Cu notat, iile de mai sus avem:
(1) X na.s.
n→∞
X
⇔ X n
t.pn→∞
X ; X nP
n→∞
X
⇒ X n
rn→∞
X x=t X nP
n→∞
X
(??) X nt.P
n→∞X ⇒ X nP
n→∞X ; X nM
n→∞X ⇒ X nP
n→∞X
De aici se observa ca cel mai slab tip de convergent, a este convergent,a ın
repartit, ie s, i ca aceasta convergent, a implica doar convergent, a ın probabilitate
atunci cand limita s, irului este o constanta.
5.2 Legea numerelor mari.
Fie (Ω,
K, P ) un camp de probabilitate s, i (X n)n
⊂ v (Ω,
K) , un s, ir de
v.a. Legea numerelor mari se refera la o colect, ie de teoreme ce prives, te
convergent,a aproape sigura s, i convergent,a ın probabilitate a s, irului de v.a.
(Y n)n ⊂ v (Ω, K) asociat s, irului (X n)n ⊂ v (Ω, K), cu Y n = 1bn
nk=1
X k − an(6),
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 109/135
5.2. Legea numerelor mari. 109
unde (an)n ⊂ R s, i (bn)n ⊂ R∗+, cu bn → +∞. Cel mai adesea se ia bn = n s, i
an = 1n
nk=1
M (X n).
In general, ın loc de relat, ia (6) se ia Y n = f n (X 1, X 2, · · · , X n) → an (6’)
unde f n : Rn
→ R este o aplicat, ie masurabila Borel s, i simetrica ın variabilelesale.
Daca f n (x1, · · · , xn) = 1bn
ni=1
xi se obt, ine (6).
5.7. Definit,ie. Daca exista un s, ir (an)n ⊂ R astfel ıncat 10. Y n
P 0
(20. Y na.s 0), atunci spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)n urmeaza
legea slab˘ a a numerelor mari (legea tare a numerelor mari).
5.8. Observat,ii. Daca ın (6) se ia bn = n s, i an = 1
n
nk=1
M (X k) atunci
Definit, ia 5.7 devine: 10 s, irul de v.a. (X n) urmeaza legea slaba a numerelor
mari daca:
Y n = 1
n
nk=1
[X k − M (X k)] P −→ 0 (5.5)
20. s, irul de v.a. (X n) urmeaza legea tare a numerelor mari daca: Y n =n
k=1
[X k − M (X k)] a.s−→ 0 (7’)
40. Din (??) s, i (7’) rezulta ca legea numerelor mari spune ca s, irul
mediilor aritmetice a abaterilor de la medie a unui s, ir de variabile aleatoaretinde la zero ın probabilitate respectiv aproape sigur.
Teoremele ce au ın vedere legea numerelor mari sunt clasificate ın:
- teoreme slabe, daca privesc convergent, a ın probabilitate;
- teoreme tari, daca privesc convergent, a aproape sigura.
In definit, iile de mai sus s-a presupus ca M (X k) ∈ R, ∀k ≥ 0.
5.9 Teorema (Markov). Fie (X n)n ⊂ v (Ω, K)) un s, ir de v.a. pentru
care limn→∞
1n2 D2
n
k=1X k = 0 (8), atunci s, irul (X n)n urmeaza legea slaba a
numerelor mari.
Demonstrat ,ie . Aplicand inegalitatea lui Cebas,ev variabilei aleatoare Y n =
1n
nk=1
[X k − M (X k)] rezulta ca pentru ∀ε > 0 avem:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 110/135
110 Capitolul 5. Siruri de variabile aleatoare
P (|Y n − M (Y n)| ≥ ε) ≤ D2 (Y n)
ε2 =
1
ε2n2D2
nk=1
X k
cum M (Y n) = 0, obt, inem ca limn→∞P (|Y n − 0| ≥ ε) = 0.Conform cu 5.2 s, i 5.7 rezulta afirmat, ia teoremei.
5.10 Corolar. Fie (X n)n≥1 un s, ir de v.a mutual independente astfel
ıncat limn→∞
1n2
nk=1
D2 (X k) = 0 (9), atunci s, irul (X n)n≥1 urmeaza legea slaba a
numerelor mari. Intr-adevar din cauza independent, ei, condit, ia (9) se trans-
forma ın condit, ia (8) s, i apoi se t, ine seama de 5.9.
5.11. Corolar (Cebas, ev). Fie (X n)n≥1 un s, ir de variabile aleatoare
mutual independente pentru care D2X n este finita, ∀n ≥ 1. s, irul (X n)n≥1
urmeaza legea slaba a numerelor mari.
Demonstrat ,ie . Deoarece dispersiile termenilor s, irului sunt finite, ∃A ∈ R
astfel ıncat avem D2 (X n) ≤ A < ∞ ∀n ≥ 1. Atunci 1n2
nk=1
D2 (X k) ≤ 1n2
nk=1
A = An
rezulta (9) s, i apoi folosind corolarul 5.10, obt, inem ceea ce trebuia demonstrat.
5.12. Teorema (Poisson). Fie S n numarul succeselor unui eveniment
A ın n probe independente ale unui experiment aleator s, i pk probabilitatea
lui A ın proba de ordin k, k ∈ N∗.
Atunci pentru ∀
ε > 0 avem limn→∞
P S n
n − 1
n
n
k=1 pk < ε = 1 (10)
Demonstrat ,ie . Fie X k :
1 0
pk 1 − pk
variabila aleatoare asociata eve-
nimentului A ın proba k. Atunci S n =n
k=1
X k (deoarece, X k ia valoarea
1 sau 0 dupa cum A este succes sau es,ec), M (X k) = pk s, i D2 (X k) =
pk (1 − pk) (pentru ca X k ∈ B (1, pk)).
Deoarece variabilele aleatoare X k, k = 1, n, sunt independente (probele
fiind independente) s, i cu dispersiile egal marginite pk (1
− pk)
≤ 14 ,
∀k =
1, n rezulta, ın baza lui 5.11 ca t, irul de v.a. (X k)k∈|N∗ urmeaza legea slaba a
numerelor mari. Deci S nn − 1
n
pk = 1
n
nk=1
[X k − M (X k)] P −→ 0 ceea ce este
echivalent cu (10), ın baza lui 5.1.2.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 111/135
5.3. Teoreme limita centrala 111
5.13 Teorema (Bernoulli). Frecvent,a relativa de realizare a unui
eveniment A, echiprobabil ın fiecare din cele n probe independente ale unui
experiment aleator, converge ın probabilitate catre probabilitatea lui A.
Demonstrat ,ie . Fie p = P (A). Observam ca ın fiecare proba a ex-
perimentului, probabilitatea lui A este aceeas, i. Deci daca luam ın (10)
pk = p, ∀k = 1, n obt, inem S nn − p
p−→ 0, cnd n → ∞.
Tinand seama ca S nn
reprezinta frecvent, a de realizare a lui A ın cele n
experimente rezulta imediat concluzia dorita.
5.14. Remarca. 1o. Teorema 5.13 se putea formula pe scurt astfel:
Frecvent,a relativa converge ın probabilitate catre probabilitate-
2o. In aceste formulari ce t, in de teorema lui Bernoulli, cuvantul probabi-
litate a fost folosit cu doua sensuri complet diferite.
3o. Teoremele prezentate ın aceasta sect, iune sunt legi slabe al numerelor
mari, fiecare dintre ele pun ın evident, a convergent, a ın probabilitate a unui
t, ir de forma (6). Pentru teorema (5.9) exista o varianta care reprezinta o
lege tare a numerelor mari. Folosind aceasta varianta a teoremei lui Markov
se demonstreaza, pentru teorema lui Poisson, o concluzie mai tare t, i anume:
P
lim
n→∞
S nn − 1
n
nk=1
pk
= 0
= 1
iar pentru teorema lui Bernoulli se demonstreaza ca P
limn→∞
S nn − p 1
n
= 0
=
1 i.e. frecvent,a relativa converge aproape sigur catre probabilitate. Acest re-
zultat este datorat lui E. Borel.
Rezulta ca aceste variante ale teoremei din Sect, iunea 5.2. se numesc legi
tari ale numerelor mari.
5.3 Teoreme limita centrala
Multe procese din s,tiint,ele naturii, tehnologie s, i economie sunt descrise ın
ipoteza ca sunt influent,ate de un numar mare de factori aleatori independent, i,
care fiecare ın parte modifica foarte put, in procesul. In general, numai suma
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 112/135
112 Capitolul 5. Siruri de variabile aleatoare
efectelor lor este observata.
Teoria probabilitat, ilor a stabilit teoreme limita ce cont, in reguli care des-
criu comportarea acestor sume.
Teoremele care stabilesc condit, ii ın care o variabila aleatoare, obt, inuta ca
suma a unui numar de variabile aleatoare care au o influent, a mica, sa aibe
o funct, ie de repartit, ie foarte apropiata de cea normala, sunt cunoscute sub
denumirea de teoreme limit˘ a central˘ a .
Prin urmare teoremele limita centrala, sunt forme calitative ale legilor
numerelor mari, ele conducand direct la funct, ia de repartit, ie normala. De
aceea repartit, ia normala are o important, a deosebita ın teoria probabilitat, ilor.
Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate s, i (X n)n ⊂ v (Ω, K) un s, ir de
variabile aleatoare independente cu M (X k) == mk s, i D2(X k) = σ2k, X k
∼N (mk, σ2k), mk, σk ∈ R, ∀k ∈ N∗ s, i M (X k) = mk s, i D2(X k) = σ2
k, mk, σk ∈R, ∀k ∈ N∗ . Consideram S n =
nk=1
X k, ∀n ∈ |NN ∗. Atunci
M (S n) = M
nk=1
X k
=
nk=1
M (X k) =n
k=1
mnotk = m∗
n,
D2 (S n) = D2
nk=1
X k
=
nk=1
D2 (X k) =n
k=1
σ2k not
=σ∗2n
Pentru s, irul de variabile aleatoare normate (Y n)n , Y n = S n−mnσ∗n ∀n ∈ |NN∗,
consideram F n (t) = P (Y n < t), funct, ia de reparttit, ie a v.a. Y n, n ∈ N∗ s, i
v.a.Y ∼ N (0, 1) cu F (x) = P (y < t) = 1√ 2π
x −∞
e−12
t2dt.
Teoremele limita centrala stabilesc condit, iile ın care s, irul (Y n)n converge
ın repartit, ie catre Y (i.e. ın ce condit, ii limn→∞
F n(x) = F (x), ∀x ∈ R, x punct
de continuitate a lui F . Prezentam fara demonstrat, ie doua teoreme limita
centrala.
5.15 Teorema (Leapunov ). Daca pentru s, irul de variabile aleatoare
(X k)k independente, exista M |X k − mk|3 , k ∈ N s, i daca
limn→∞
nk=1
M (|X k−mk|3)1/3
nk=1
σ2k
1/2 = 0 atunci, limn→∞
F (x) = F (x) , ∀x ∈ R.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 113/135
5.3. Teoreme limita centrala 113
5.16 Teorema (Moivre - Laplace). Daca (X k)k, este un s, ir de v.a.
independente s, i identic repartizate cu repartit, ia.
X k : 0 1
q p , p + q = 1, p ≥
0, q ≥
0
atunci s, irul (Y n)n , corespunzator s, irului (X k)k converge ın repartit, ie catre
Y.
In esent, a Teorema 5.16 afirma ca repartit, ia limita a lui Y n este repartit, ia
normal normata.
5.17. Remarca. 10. Deoarece S n ∼ B (n, p), rezulta ca repartit, ia limita
a repartit, iei binomiale este repartit, ia normala de parametrii np s, i √
npq .
20. Pentru n suficient de mare n ≥ 100 are loc aproximarea:
P (a ≤ S n ≤ b) ≈ θ
b − np√
npq − θ
a − np√
npq
unde Φ este funct, ia integrala a lui Laplace.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 114/135
114 Capitolul 5. Siruri de variabile aleatoare
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 115/135
Capitolul 6
Elemente de statistica
matematica
Statistica matematica este una dintre ramurile moderne ale matematicii s, i
se ocupa ın principal cu gruparea s, i prelucrarea datelor observate asupra unor
fenomene din lumea reala, (e.g. date economice, sociale, tehnice) precum
s, i cu interpretarea rezultatelor s, i eventual cu specificarea unor previziuni
asupra fenomenelor observate. Statistica matematica foloses, te not, iunile s, i
rezultatele teoriei probalitat, ilor. In cadrul teoriei probalitat, ilor variabilele
aleatoare se presupun definite, ın cadrul statisticii acestea nu se cunosc.
6.1 Concepte fundamentale ale statisticii
Orice cercetare statistica are drept punct de plecare o colectivitate sau
populat, ie (de exemplu : populat, ia student, ilor dintr-o universitate, populat, ia
umana a unei regiuni, mult, imea elementelor ce caracterizeaza un fenomen
economic etc.) alcatuita din elemente sau indivizi ce au caracteristici comune
s, i care se diferent, iaza doar prin valori sau atribute pe care aceste caracte-ristici le iau. Caracteristicile unei populat, ii pot fi cantitative daca se pot
masura (de exemplu: greutatea, ınalt, imea etc.) s, i/sau calitative daca nu
se pot masura (de exemplu: starea civila, culoarea pielii etc.), dar li se poat
115
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 116/135
116 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
atribuii anumite calificative. Vom nota populat, ia sau colectivitatea prin Ω
iar prin ω vom desemna un individ (element) al populat, iei Ω numit unitate
statistic˘ a .
Pentru studierea unei populat, ii se considera un model matematic caruia
i se asociaza un camp de probabilitate (Ω, K, P ) unde Ω este mult, imea indi-
vizilor acelei populat, ii, K un corp borelian pe Ω s, i P o probabilitate pe K .
Cuplul (Ω, K ) se numes,te populat , ie statistic˘ a . O caracteristica (fie canti-
tativa, fie calitativa) a unei populat, ii statistice se asimileaza cu o variabila
aleatoare X definita pe campul de probabilitate (Ω, K, P ). Aceasta variabila
aleatoare poarta numele de variabil˘ a aleatoare asociat˘ a populat , iei (sau
caracteristic˘ a sub cercetare sau ınca variabil˘ a teoretic˘ a ). Legea de
repartit, ie a variabilei aleatoare X poate fi data fie prin funct, ia de frecvent, a,
fie prin funct, ia de repartit, ie F (x) sau ınca prin densitatea de repartit, ie f (x).
Aceste funct, ii descriu repartit, ia valorilor lui X ın populat, ie. Atat f (x) cat s, i
F (x) se numesc legi de repartit , ie teoretice .De regula legile de repartit, ie
teoretice cont, in unul sau mai mult, i parametri cu diferite interpretari proba-
bilistice cum ar fi media, dispersia etc. Astfel ın loc de f (x) s, i F (x) vom
avea f (x; θ1, θ2, . . . , θn) respectiv F (x; θ1, θ2, . . . , θn).
Alte not, iuni specifice statisticii le vom defini ın sect, iunile urmatoare.
6.2 Elemente de teoria select, iei
6.2.1 Not,iuni de baza legate de teoria select
,iei
Fie (Ω, K) o populat, ie statistica. In practica se poate examina numai un
numar finit de indivizi din populat, ia supusa cercetarii.
O submult, ime Ω1 ⊂ Ω se numes, te select , ie sau sondaj . Daca select, ia
are un numar finit de elemente se numes, te es, antion . Cardinalul mult, imiielementelor unui es,antion (sau unei select, ii) se numes, te volumul es, antionului
( sau select , iei ).
O select, ie trebuie sa ındeplineasca urmatoarele condit, ii de baza :
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 117/135
6.2. Elemente de teoria select, iei 117
(a) sa fie independent˘ a , adica selectarea unui individ din populat, ie sa
nu fie legata de alegerea unui alt individ;
(b) sa fie ıntampl˘ atoare ( aleatoare), adica fiecare individ sa aiba aceeas, i
s,ansa de a fi selectat;
(c) sa fie reprezentativ˘ a , adica select, ia sa reprezinte populat, ia ( altfel
spus, populat, ia sa se regaseasca ın select, ie ).
Select, ia poate fi repetata (cu ıntoarcere sau bernoulian˘ a ) sau nerepe-
tata ( f˘ ar˘ a ıntoarcere ). O select, ie se numes, te repetat˘ a daca individul se-
lectat este reintrodus ın colectivitatea generala s, i participa la o noua select, ie,
s, i nerepetat˘ a (fara ıntoarcere), daca individul nu mai este reintrodus ın co-
lectivitatea generala.
O select, ie bernouliana de volum n din populat, ia Ω poate fi definita caun element ω1,ω2, . . . , ωn al produsului cartezian Ω × Ω × . . . × Ω
(
notat= Ω(n)
iar cuplul (Ω(n), K(n)) se numes,te spat , iul select , iilor berno-
uliene de volum n . Cand n este infinit, atunci perechea (Ω(∞),K(∞)) se
numes, te spat , iul select , iilor bernouliene de volum infinit .
Fie es,antionul E=ω1, ω2, . . . , ωn obt, inut prin select, ie bernouliana din
populat, ia Ω. De aici pentru variabila aleatoare X, corespunzatoare unei ca-
racteristici C, se obt, in valorile (de observat, ie) x1, x2, . . . , xn. Consideram
acum populat, ia Ω∗ a es,antioanelor de volum n, care se pot forma cu elemen-tele populat, iei Ω s, i fie E∗= ω∗
1, ω∗2, . . . , ω∗
n un es,antion de volum n obt, inut
din populat, ia Ω∗ prin select, ie bernouliana. Caracteristica C a populat, iei Ω
se ment, ine s, i ın populat, ia Ω∗, unde este descrisa de vectorul aleator (X1, X2,
. . . , Xn) ın care X j, j = 1, n (ca s, i X ) este valoarea caracteristicii C a ele-
mentului ce apare pe locul j ın es,antionul considerat. Deci X1, X2, . . . , Xnapare ca o select, ie asupra caracteristicii C sau ca o select, ie asupra variabilei
aleatoare X.
6.1. Definit,ie. Spunem ca
X1, X
2, . . . , X
n este o select
,
ie berno-
ulian˘ a de volum n asupra variabilei aleatoare X daca X1, X2, . . . , Xnsunt
independente s, i identic repartizate ca s, i X.
Variabilele aleatoare X1, X2, . . . , Xn se numesc variabilele aleatoare
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 118/135
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 119/135
6.2. Elemente de teoria select, iei 119
O select, ie realizata asupra variabilei X conduce la frecvent,ele absolute ni
, i = 1, k corespunzatoare respectiv intervalelor [αi−1 , αi), i = 1, k − 1, [αk−1, αk ]. Astfel se obt, ine o variabila aleatoare de select, ie X∗ a carei repartit, ie
, ın cazul unei select, ii de volum n ,
X∗ : [α0, α1) [α1, α2) · · · [αk−1, αk]
f 1 f 2 · · · f k
(3)
unde f j are aceeas, i semnificat, ie ca mai sus.Repartit, ia lui X se mai numes, te
s, i repartit , ie empiric˘ a sau repartit , ie statistic˘ a a lui X
Consideram graficele :
Graficul din fig.1 reprezinta repartit, ia empirica a lui X∗ data de (2) s, i este
construit din perechile de puncte (x j ,f j), j = 1, k. In fig.2 graficul reprezinta
repartit, ia lui X∗data de (3). Acest grafic este construit din dreptunghiuri
avand ca baza intervalele partit, iei lui [a , b] s, i ınalt, imea f jh
, h este lungimea
intervalului. Frecvent,a relativa a unui interval reprezinta aria dreptunghiului
respectiv. Graficul din fig.2 se numes, te histograma select , iei . Daca f (x)este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare X atunci :
f j ≈ p j = P (αi−1 ≤ X < αi) =
αi αi−1
f(x)dx (6.1)
Cand n → ∞ , f ja.s−→ p j s, i curba y = f (x) va acoperii ın ıntregime
histograma repartit, iei variabilei de select, ie X∗. Rezulta ca pentru un volum
mare al select, iei, conturul superior al histogramei da o imagine statisticasuficient de exacta a graficului densitat, ii de repartit, ie.
Fie acum F funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Aceasta este o
funct, ie de repartit, ie teoretica.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 120/135
120 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
6.3.Definit,ie. Funct, ia F n*: R → [0 , 1] , definita prin :
F n*(x) = nxn
, ∀ x ∈ R (5)
se numes, te funct , ia empiric˘ a (statistic˘ a ) de repartit , ie a variabilei alea-
toare X , obt, inuta prin valorile de select, ie x1, . . . , xn , unde nx este frecvent,a
absoluta a valorilor x j strict mai mici ca x.
Rezulta ca funct, ia empirica de repartit, ie a variabilei aleatoare X este
funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare statistice X∗.Daca X∗ are repartit, ia
(2), atunci F ∗n (x) = P(X∗¡ x). Deci,
F ∗n (x) =
xj<x
f j (5′)
sau, scris desfas,urat, F ∗n (x) este :
F ∗n (x) =
0 x ≤ x1
f 1 x1 < x ≤ x2
f 1 + f 2 x2 < x ≤ x3
... ...
f 1 + f 2 + ... + f k xk−1 < x ≤ xk
1 xk
< x
(6.2)
s, i are graficul:
Daca X∗ are repartit, ia (3) , atunci funct, ia de repartit, ie a select, iei F ∗n (x)
se defines, te prin:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 121/135
6.2. Elemente de teoria select, iei 121
F∗n(x) =
0 , x ≤ α0 = a
f 1x−α0
h , α0 < x ≤ α1
f 1 + f 2x−α1
h , α1 < x
≤ α2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·k−1 j=1
f j + f kx−αk−1
h , αk−1 < x ≤ αk
k j=1
f j = 1 , b = αk < x
(6.3)
Funct, ia de repartit, ie empirica se bucura de toate proprietat, ile unei funct, ii
de repartit, ie.
6.5.Teorema. Cu notat, iile de mai sus avem:
P
limn→∞
supx∈R
|F ∗n (x) − F (x)| = 0
= 1 (7)
Aceasta teorema , considerata de unii teorema fundamentala a statisticii
matematice, furnizeaza justificarea teoretica a folosirii metodei select, iei.
6.2.3 Momente de select,ie
Pentru repartit, ia unei select, ii se pot calcula toate valorile tipice specifice
repartit, iei teoretice. Aceste valori tipice se numesc valori tipice de select, ie
sau valori tipice empirice.
F ieX 1, X 2, . . . , X n o select, ie aleatoare (bernouliana) de volum n asu-
pra variabilei aleatoare X .
6.6. Definit,ie. Orice funct, ie de argumentele aleatoare X1, X2, . . . , Xn
se numes, te statistic˘ a. Se noteaza prin tn = tn (X1, X2, . . . , Xn).
Orice statistica tn este o variabila aleatoare. Cele mai cunoscute statistici
sunt momentele de select , ie.
6.7.Definit, ie. Variabilele aleatoare
M ∗r = 1n
n j=1
X r j , M c∗r = 1n
n j=1
(X j − M ∗1 )r (6.4)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 122/135
122 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
se numesc momentul de select , ie de ordin r s, i respectiv momentul
centrat de select , ie de ordin r ale caracteristicii X.
M ∗1 (notat uneori X se numes,te media de selct , ie iar M c∗2 se numes, te
dispersia de select , ie.
6.8. Remarca. Daca se foloses, te repartit, ia empirica a lui X data de (2)
avem :
M ∗r = M r(X ∗) s, i M c∗r = M cr (X ∗) (9)
6.9. Teorema. Cu notat, iile de mai sus avem
M (M ∗r ) = M (X r);
D2(M ∗r
) = 1
nD2(X r). (6.5)
Demonstrat ,ie. (a)M (M ∗r ) = M ( 1
n
n j=1
X r j ) = 1n
n j=1
M (X r j ) = 1n · nM (X r) =
M (X r)
(b.)D2(M ∗r ) = D2( 1n
n j=1
X r j ) = 1n2
n j=1
D2(X r j ) =
= 1
n2
n j=1
[M 2(X r j ) − M 2(X r j )] = 1
n2n[M 2(X r) − M 2(X r)] =
=
1
n D2
(X r
)
6.10. Observat,ii. 1) Relat, iile (??) se pot scrie s, i sub forma :
M (M ∗r ) = M r(X ); D2(M ∗r ) = 1
n[M 2r(X ) − M 2(X )] (6.6)
2)M ( X ) = M (X );D2x( X ) = 1n
D2(X ) (10′′)(se obt, in din (10′) pentru r = 1).
3) Se poate arata ca
M (D2( X )) = n − 1n
D2(X ) ;
D2(D2( X )) = (n − 1)2
n3 M 4(X ) − (n − 1)(n − 3)
n3 σ4 ;
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 123/135
6.2. Elemente de teoria select, iei 123
M (S 2n) = σ2 s, i D2(S 2n) = 1n
[M 4(X ) − n−3n−1σ4]
unde S 2n este dispersia modificat˘ a de select , ie.
S 2n = 1
n−1n
j=1
X j − X 2
.
6.2.4 Select,ii dintr-o populat
,ie normala
Fie ( Ω, K) o populat, ie statistica s, i o select, ie X1, . . . , Xn asupra unei
caracteristici X a acestei populat, ii . Dispersia σ2 ( =D2(X )) se poate evalua
prin dispersia de select, ie S 2n. Pentru S 2n se folosesc formulele:
S 2n = 1
n
n
j=1(X j − M (X ))2;
S 2n = 1
n
j=1n
X j − X 2
; (6.7)
S 2n = 1
n − 1
j=1n
X j − X 2
;
6.11. Teorema. Daca X 1, . . . , X n este o select, ie aleatoare de volum n
asupra unei caracteristici X ∈ N (m, σ) a unei populat, ii Ω, atunci X ∈N (m, σ
√ n).
Demonstrat ,ie. Din ipoteza rezulta ca X1, . . . , Xn sunt independente s, i
X j ∈ N (m, σ) , ∀ j =1, . . . , n.
Atunci:
ϕX (t) = ϕ 1n
j=1n
X j(t) =
j=1n
ϕX j(1n
t) =
j=1nei tn
m−t2 σ2
2n2 = eitm−t2 σ2
2n
Conform teoremei 4.25, aceasta este funct, ia caracteristica a unei variabile
aleatoare normale N (m, σ√ n
).
6.12. Consecint,a. Cu notat, iile de mai sus avem ca statistica
Z =X − M (X )
σ√ n
∼ N (0, 1) (12)
Demonstrat ,ie. Pe baza lui 6.11. s, i 3.85 avem :
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 124/135
124 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
ϕZ (t) = ϕ√ nσ
X n−√ nσ
M (X )(t) = e−it
√ nσ
M (X )ϕX n(√
n
σ t) = e−it
√ nσ
M (X )
ei(
√ n
σ t)M (X )− n
σ2 t
2 σ2
2n = e−t2
2 . Deci Z ∼ N (0, 1).6.13. Teorema. Fie Ω1 s, i Ω2 doua populat, ii s, i X o caracteristica a lor.
Daca X i1, . . . , X ini este o select, ie aleatoare de volum ni asupra caracteristicii
X ∈ N (mi, σi) a populat, iei Ωi, i= 1, 2 , atunci pentru statistica X 1− X 2
avem .
Am notat X i = 1ni
j=1ni
X ij
Demonstrat ,ie . Folosind proprietat, ile funct, iei caracteristice avem:
ϕX 1n1
−X 2n2
(t) = ϕX 1n1(t)
·ϕ(
−1) X 2n2
(t) = eitm1−t2
σ212n1
·e−itm2−t2
σ222n2 =
= eit(m1−m2)− t22
σ21n1
+σ22n2
2
. Deci X 1n1 − X 2n2 ∈ N
(m1 − m2) ,
σ21
n1+
σ22
n2
6.3 Elemente de teoria estimat, iei
6.3.1 Not,iuni fundamentale
In toate aplicat, iile statisticii matematice (din economie, tehnica, etc.)
este necesar sa cunoas,tem legea care modeleaza matematic evolut, ia fenome-nului studiat, adica legea de repartit, ie a variabilei aleatoare care cuantifica
caracteristica X, a fenomenului, luata spre cercetare. In acest sens exista
doua posibilitat, i:
(a) fie se cunoas, te forma generala a repartit, iei teoretice s, i urmeaza deter-
minarea parametrilor repartit, iei; aceasta operat, ie se face pe baza unei select, ii
aleatoare X1, X2, ..., Xn, s, i se numes, te estimarea parametrilor ;
(b) fie nu se cunoas, te repartit, ia teoretica s, i se verifica diverse ipoteze asu-
pra parametrilor acestei repartit, ii (numite ipoteze parametrice) sau asupraformei funct, iei (ipoteze de concordant, a sau neparametrica).
Estimarea parametrilor se realizeaza cu ajutorul unor statistici tn (X1,
X2, ..., Xn). Daca f (xi,θ) este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 125/135
6.3. Elemente de teoria estimat, iei 125
X trebuie sa estimam parametrul θ. Pentru aceasta vom utiliza o statistica
tn construita special pentru a gasi un estimator θ∗ al lui θ. Daca populat, ia
Ω este infinita atunci exista o infinitate de estimatori θ∗ pentru parametrul
teoretic θ (deoarece exista o infinitate de statistici care se pot construi din
populat, ia Ω). Urmeaza sa fie ales cel mai ,,potrivit“ dintre estimatori.
6.14. Definit,ie. Fie θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn) o estimat, ie a parametrului
teoretic θ. Diferent,a θ∗ − θ se numes,te eroare de estimat,ie (s, i este o
variabila aleatoare) iar diferent,a h(n) = M (θ∗) − θ este o funct, ie numerica
de volumul de select, ie s, i eventual de θ s, i se numes, te deplasare a estimat, iei
s, i h(n)−→n→∞
0. Funct, ia h(n) reprezinta o eroare sistematica a procesului de
estimare.
Estimat, ia θ∗ a lui θ se numes, te estimat , ie nedeplasat˘ a daca h(n) =
0 (i.e. M(θ∗) = θ), iar daca h(n) = 0 (i.e. M(θ∗) = θ), θ∗ se numes, te
estimat , ie deplasat˘ a a parametrului teoretic θ. In plus, daca h(n) ¡ 0 (h(n)
¿ 0) spunem ca estimat, ia θ∗ este negativ deplasat a (respectiv pozitiv
deplasat˘ a ).
6.15. Exemple. 1˚. Cu notat, iile de mai sus sa se arate ca statistica
X ∗ = 1n
j=1n
X j(= tn(X 1, X 2,...,X n)) este o estimat, ie nedeplasata pentru
media variabilei aleatoare X .
Rezolvare . Se arata ca M (X ∗n) = M (X )(= m). Intr-adevar:
M ( X ) = 1n
j=1n
M (X j )) = 1n
j=1n
M (X ) = 1n
n · M (X ) = M(X).
2 . Sa se arate ca frecvent, a relativa knn
este o estimat, ie nedeplasata a
probabilitat, ii p, de aparit, ie a unui eveniment ın cazul repartit, iei binomiale.
Rezolvare . Pentru ∀ n, kn ∈ B(n,p) (kn :
j
p j
k=0,n
este variabila
aleatoare numita frecvent, a absoluta a succeselor unui eveniment s, i 1
nkn :
1n j
p j
k=0,n
este variabila aleatoare numita frecvent, a relativa a succeselor
unui eveniment), atunci:
M
kn
n
=
1
nM (kn) =
1
n · n · p = p.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 126/135
126 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
6.16. Definit,ie. Spunem ca θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn) este o estimat , ie
absolut corect˘ a a parametrului teoretic θ daca:
M (θ∗) = θs, i limn→∞
D∗(θ∗) = 0 (15)
Spunem ca θ∗ este o estimat , ie corect˘ a pentru θ daca
M(θ∗) = θ + h(n), h(n)−→n→∞
0s, i
limn→∞
D2(θ∗) = 0 (6.8)
6.17. Exemple. 1˚. Momentul de select, ie de ordin r, M ∗r este o
estimat, ie absolut corecta pentru momentul teoretic de ordin r, Mr(X). Intr-
adevar:
M (M ∗r ) = M r(X )
D2(M ∗r ) = M r(X 2) − M 2r (X )
nn→∞−→ 0 (6.9)
Pentru r = 1 ın (??) gasim ca X este o estimat, ie absolut corecta pentru
M (X ), oricare ar fi repartit, ia variabilei aleatoare X, pentru care exista M (X )
s, i D2(X .
2˚. Dispersia de select, ie corectata s2
n este o estimat, ie absolut corectapentru dispersia σ2. Intr-adevar
M (s2n) = σ2s, iD2(s2n) =
2
n − 1σ4 −→
n→∞0 (18)
3˚. In select, ii dintr-o populat, ie normala, N(m,σ) dispersia de select, ie
necorectata tn = 1n
j=1n
X j − X ∗2 este o estimat, ie corecta pentru σ2. Intr-
adevar:
M (tn) = σ2 − σ2
n s, iD
2(tn) = 2(n − 1)n2
· σ4 −→n→∞
0 (19)
Dintre mai multe estimat, ii nedeplasate pentru acelas, i parametru θ se
alege cea cu dispersia cea mai mica, deoarece valorile estimatorului θ∗ =
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 127/135
6.3. Elemente de teoria estimat, iei 127
tn(X1, X2, ..., Xn) se vor grupa mai bine ın jurul valorii θ (= M(θ∗)). Deci
se pune problema unei estimat, ii nedeplasate de dispersie minima.
6.18. Definit,ie. Estimatorul nedeplasat θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn), al
parametrului θ, este estimator de dispersie minim˘ a daca oricare ar fi
θ∗∗ estimator al lui θ avem
D2(θ∗) ≤ D2(θ∗∗).
In general, gasirea unui estimator nedeplasat de minima dispersie se
construies, te folosind inegalitatea lui Rao-Cramer cunoscuta s, i sub numele
de teorema dispersiei pe care o prezentam fara demonstrat, ie.
6.19. Teorema (Rao-Cramer). Daca θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn) este
estimat, ie absolut corecta a lui θ din repartit, ia teoretica f (x; θ), a variabilei
aleatoare X (discreta sau continua) atunci:
D2(θ∗) ≥ 1
nA(θ) (6.10)
unde
A(θ) = M
∂ ln f(X ; θ)
∂θ
2
= −M
∂ 2 lnf(X ; θ)
∂θ2
(6.11)
s, i reprezinta cantitatea de informat, ie pe o observat, ie.
6.20. Definit,ie. Raportul en(θ∗) =
1nA(θ)
D2(θ∗) se numes, te eficient , a esti-
matorului θ∗ al lui θ s, i en(θ∗) ∈ [0, 1]. Un estimator θ∗ pentru care
(a) en(θ∗) = 1 se numes, te estimat , ie eficient˘ a ;
(b) limn→∞
en(θ∗) = 1 se numes, te estimat , ie asimptotic eficient˘ a .
6.21. Observat,ii. 1˚. Orice estimator eficient transforma inegalitatea
(??) ın egalitate.
2˚. Inegalitatea Rao-Cramer arata ca 1nA(θ)
este o margine inferioara
a dispersiei D2(θ∗). Aceasta margine este atinsa daca θ∗ este un estimator
eficient al lui θ.
6.22. Aplicat,ie. 1˚. Sa se arate ca statistica tn(X 1,...,X n) = 1
n
n j=1
X j (= X ∗)
este o estimat, ie eficienta pentru parametrul m al repartit, iei normale N (m, σ).
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 128/135
128 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
Rezolvare . Facand calculele se gases, te M (X ∗n) = m s, i D2(X ∗n) = σ2
n . Din
densitatea de repartit, ie normala f (X ; m, σ) = 1σ√ 2π
e−(X−m)2
2σ2 , m ∈ R, σ ∈ (0,
+∞) se obt, ine prin logaritmare succesiv:
ln f (X ; m, σ) = − ln
σ√ 2π− (X − m)2
2σ2
∂ ln f (X ;m,σ)∂m
= X −mσ2 s, i A(m) = M
∂lnf (X ;m,σ)
∂m
2 = M
X −m
σ2
2 =
1σ4 M
(X − m)2
=
= 1
σ4M (X 2 − 2mX + m2) =
1
σ4
M (X 2) − m2
=
1
σ4 · σ2 =
1
σ2.
Pentru ca D2
(X ∗n) = σ2
n = 1
nA(m) , rezulta ca X ∗n este un estimator eficientpentru parametrul m.
2˚. Sa se arate ca estimatorul θ∗, dat de statistica tn(X1, X2, ..., Xn) ==1n
n j=1
X j (= X ∗n) este estimat, ie eficienta pentru parametrul θ al repartit, iei
Poisson data prin
P (X = x; θ) = e−θ · θx
x!,x ∈ N.
Rezolvare . Pentru o repartit, ie Poisson D2(θ∗) = D2(X )n
= θn
.
Dupa logaritmarea densitat, ii de repartit, ie se obt, ine:
ln P(X = x; θ) = -θ + x ln θ − ln (x!)
∂ ln P (X = x; θ)
∂θ = −1 + x · 1
θ
A(θ) = M
X
θ − 1
2
= 1
θM (X 2) − 2
θM (X ) + 1
Pentru ca M(X) = θ = D2(X), rezulta M(X2) = D2(X) + M2(X), avem:
A(θ) = 1θ2
(θ + θ2) − 1θ · θ + 1 = 1 + θ
θ − 2 + 1 = 1
θ.
Deoarece D2(θ∗) = θn
= 1nA(θ)
, rezulta ca θ∗ este o estimat, ie eficienta
pentru θ.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 129/135
6.3. Elemente de teoria estimat, iei 129
6.3.2 Metode de estimare a parametrilor
In sect, iunea anterioara s-au prezentat diferite tipuri de estimatori pentru
parametrii teoretici. Deci daca avem un estimator putem preciza, conform
clasificarii date, ca este sau nu potrivit sa fie folosit ca estimator. Ramaneacum sa punem ın evident, a metode de obt, inere a unor estimatori. In cele ce
urmeaza vom prezenta doua astfel de metode: metoda momentelor s, i metoda
verosimilitat, ii maxime.
6.3.2.1. Metoda momentelor
Din 6.17, 1˚, rezulta ca momentele de select, ie de ordinul r sunt estimat, ii
absolut corecte ale momentelor teoretice de ordin r. Deci momentul teoretic
poate fi ınlocuit de momentul de select, ie.
Fie X1, X2, ..., Xn select, ie aleatoare de volum n asupra unei caracteristici
unidimensionale X a unei populat, ii. Fie, de asemenea, legea de repartit, ie a
lui X data de densitatea de repartit, ie f (x, θ1, ..., θk) (daca aceasta exista)
sau de probabilitatea P(X = x, θ1, θ2, ..., θk) daca X este variabila aleatoare
discreta.
Daca exista Mr(X | θ1, θ2, ..., θk) cu r ≥ k consideram sistemul de
ecuat, ii:
Mr(X | θ1, θ2, ..., θk) = M∗r, r = 1, k (22)unde parametrii θ1, θ2, ..., θk sunt necunoscutele, iar M∗
r este dat de (??).
Slut, ia sistemului (22), daca exista, are forma:
θ∗r = θ∗r (M∗1, ..., M∗
k), r = 1, k (23)
s, i reprezinta estimat, iile parametrilor θ1, ..., θk.
Din (23) se observa ca ın locul primelor k momente de select, ie pot fi
oricare alte k momente, care sa permita rezolvarea cat mai simpla a sistemului
(22).
6.23. Aplicat,
ie. Caracteristica X a unei populat, ii Ω are o repartit, ie:(a)uniforma
f (x; θ1, θ2) =
1
–01− –02 , x ∈ (–01, –02)
0 , ın rest
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 130/135
130 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
(b)beta
f (x; θ1, θ2) =
1
B( –01, –02) · x –01−1(1 − x) –02−1, x ∈ (0, 1), –01 > 0, –02 > 0
0, ın rest
(c) normala
f (x; m, σ) = 1σ√ 2π
e− (x−m)2
2σ2 , x ∈ R.
Folosind metoda momentelor sa se estimeze parametrii θ1, θ2.
Rezolvare. Consideram X1, X2, ..., Xn o select, ie aleatoare asupra carac-
teristicii X s, i calculam M∗r , r = 1, 2.
(a) Deoarece M 1 (X | –01, –02) = –01+ –022 s, i M 2 ( X | –01, –02) =
–021+ –01 –02+ –0223
sistemul (22) are forma:
–01 + –02 = 2M ∗1
–021 + –01 –02 + –022 = 3M ∗2 (6.12)
Solut, ia acestui sistem este:
–0∗1 = M 21 −
3 (M ∗2 − M ∗21 )
–0∗2 = M 21 +
3 (M ∗2 − M ∗21 )
s, i pentru ca (vezi (??) s, i (??)M∗
2 − M∗21 = D2(X∗) = 1
n
n j=1
X j − X n
2= n−1
n s2
rezulta:
–0∗1 = X n − s
3(n − 1)
n
–0∗2 = X n − s 3(n − 1)
n
In (??) ecuat, ia a doua se poate ınlocui cu:
D2(X ∗) = 112(–01 − –02)2(= M∗
2 − M∗21 )
Astfel sistemul (??) se poate ınlocui cu unul mai simplu:
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 131/135
6.3. Elemente de teoria estimat, iei 131
–01 + –02 = 2M ∗1 –01 − –02 = 2
3 (M ∗2 − M ∗21 )
(6.13)
(b) Vom folosi M∗1 s, i D2(X∗) (=M∗
2 - M∗21 ) care se exprima cu M∗
1 s, i M∗2.
Pentru ca M ( X | p, q ) = p p+q
s, i D2 ( X | p, q ) = pq( p+q)2( p+q+1)
sistemul (22)
are forma:
–01
–01+ –02 = M ∗1 –01 –02
( –01+ –02)2( –01+ –02+1) = M ∗2 − M ∗21
Daca s2 este dispersia de select, ie necorectata avem:
–01 –01+ –02 = M ∗1
–01 –02θ21
M ∗2
1 · θ1M ∗1+1
= s2 s, i apoi
–02
–01 = M ∗1 − 1
(–01 + M ∗1 ) –01 –02 =
M ∗21s2
de unde se obt, ine: –01 =
M ∗21 (M ∗1−1)s2
− M ∗1 –02 = 1
s2M ∗1 (M ∗1 − 1) (M ∗21 − M ∗1 − s2)
(c) Se cunoas, te ca:
M1(X|m ,σ) = m s, i
M2(X|m ,σ) = m2 + σ2
Deoarece primele doua momente au expresii simple consideram sistemul: m = M ∗1
m2 + σ2 = M ∗2Si se obt, ine imediat solut, ia m = M∗
1 s, i σ =
M ∗2 − M ∗21 .
6.3.2.2. Metoda verosimilitat,ii maxime
Aceasta metoda este una dintre cele mai vechi s, i totodata una dintre cele
mai importante metode de estimare.
6.24. Definit,ie. Daca X1, X2, ..., Xn este o select, ie aleatoare asupra
unei variabile aleatoare X cu densitatea de repartit, ie f (x; θ), θ ∈ I ⊂ R s, i
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn este o valoare de select, ie, atunci funct, ia
V : Rn× I → R, V(x; θ) = V(x1, x2, ..., xn; θ) =n
i=1
f(xi; –0) (25)
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 132/135
132 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
se numes, te:
- funct , ia de verosimilitate, atunci cand este considerata ca funct, ie
de θ ;
- probabilitate de select , ie, atunci cand este considerata funct, ie de x1,
x2, ..., xn cu θ fixat.
6.25. Definit,ie. Estimatorul θ∗ = θ∗(x1, x2, ..., xn) se numes, te estimat , ie
de verosimilitate maxim˘ a pentru θ, daca θ∗ este un punct de maxim pen-
tru funct, ia de verosimilitate.
Deoarece funct, ia V(x; θ) s, i ln V(x; θ) sunt simultan crescatoare sau des-
crescatoare, vom folosi ın locul lui V(x,θ) pe ln V(x,θ) care conduce la calcule
mai simple. Funct, ia ln V(x,θ) se numes, te funct , ie de log-verosimilitate
sau simplu funct , ie de verosimilitate.
Prin urmare vom determina estimatorul θ∗ ca solut, ie a ecuat, iei
∂ ln V (x1,...,xn; –0)
∂ –0 = 0 (6.14)
numita ecuat , ie de verosimilitate maxim˘ a .
Daca repartit, ia unidimensionala are forma f (x;θ1, ..., θk) (i.e. depinde de
mai mult, i parametri) atunci estimat , iile de verosimilitate maxim˘ a θ∗1,
..., θ∗k se obt, in ca solut, ii ale sistemului
∂ ln V (x1,...,xn; –01,... –0k)∂ –0i
= 0, i = 1, k (6.15)
6.26. Remarca. 1˚. In general o solut, ie θ∗ a ecuat, ie (??) depinde de
x1, x2, ..., xn, i.e. θ∗ = θ∗(x1, ..., xn). Vom elimina valorile θ care nu depind
de x1, ..., xn s, i vom considera ca estimat, ii ale lui θ numai pe cele care depind
de x1, x2, ..., xn.
2˚. Funct, ia V(x;θ) se presupune ca este pozitiva s, i diferent, iabila.
3˚. Deoarece θ∗ = (θ∗1, ..., θ∗k) este punct de maxim rezulta ca matricea
hesiana ∂ 2 ln V ∂ –0i∂ –0j
i, j = 1, k
estre negativ definita.
4˚. In cazul unui singur parametru θ, estimat, ia de verosimilitate maxima
este consistenta s, i asimptotic normala s, i eficienta.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 133/135
6.3. Elemente de teoria estimat, iei 133
M(θ∗) = 0 s, i D2(θ∗) = 1
nM
∂l ln f (x; –0∂ –0
2
Orice estimat, ie eficienta se obt, ine ca solut, ie a ecuat, iei de verosimilitate.
5˚. Metoda verosimilitat, i maxime consta ın aceea ca pentru o valoare
de select, ie x1, x2, ..., xn data cea mai buna estimat, ie pentru parametrulθ corespunde acelei valori a lui θ pentru care funct, ia de verosimilitate este
maxima. In esent, a prin metoda verosimilitat, ii maxime se determina acea
estimat, ie a lui θ pentru care valoarea select, iei x1, x2, ..., xn de care dispunem,
este cea mai probabila, adica pentru orice alte valori ale parametrului θ
probabilitatea de a obt, ine o valoare de select, ie care sa coincida cu cea de
care dispunem, ar fi mai mica.
6.27. Aplicat,ii. Sa se estimeze prin metoda verosimilitat, ii maxime,
parametrul θ al repartit, iilor:(a) f (x;θ) = θ(1 - θ)x, θ ∈ (0, 1) s, i x ∈ N.
(b) f (x;θ) = x –0e−x2
2 –0 , x ¿ 0, θ ¿ 0.
(c) f (x;p,q) = 1B( p,q)
x p−1(1 − x)q−1, θ = (p,q), p, q ¿ 0 s, i x ∈ (0, 1).
(d) f (x; m,σ) = 1σ√ 2π
e−12(x−m)2σ2 , θ = (m, σ) ∈ R × R∗
+, x ∈ R.
Rezolvare . Fiind repartit, ii unidimensionale consideram ca sunt atribu-
ite unei caracteristici X a unei populat, ii statistice, asupra carei s-a facut
select, ia aleatoare X1, X2, ..., Xn s, i fie x1, x2, ..., xn o valoare de select, ie
corespunzatoare.
(a) Funct, ia de verosimilitate se scrie:
V(x1, ..., xn; θ) =n
i=1
f (xi; –0) = –0n · (1 − –0)
ni=1
xi
Notam cu y =n
i=1
xis, i avem ecuat, ia de verosimilitate
∂ ln(–0n(1 − –0)y)
∂ –0 = 0.
Rezulta: ∂ ∂ –0 (n ln –0 + y ln(1
− –0)) = 0
⇔ n –0 −
y1
− –0 = 0
⇔ n(1 - θ) - yθ = 0
⇔ –0 = n
n + y =
1
1 + x.
Deci,
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 134/135
134 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica
–0∗ = 1
1 + X n, X n =
1
n
n j=1
X j.
(b) Funct, ia de verosimilitate este:
V(x1, ..., xn; θ) =n
i=1
f (xi; –0) = x1x2...xn –0n ℓ
− 12 –0ni=1
x2i.
Notam y = x1, ..., xn s, i z =n
i=1
x2i s, i ecuat, ia de verosimilitate este:
∂ ln
y –0n · e−
12 –0z
∂ –0 = 0.
De aici avem:
∂ ∂ –0
ln y − n ln –0 − 12–0
z = 0 ⇔ −n –0
+ 12–02
z = 0 ⇒ –0 = z 2n
= 12n
ni=1
x2i .
Rezulta ca un estimator θ∗ al lui θ are forma:
–0∗ = 1
2n
ni=1
X 2i .
(c) Consideram ecuat, ia de verosimilitate: V (x1, . . . , xn; θ1, θ2) =
ni=1
f(xi; –01, –02) = 1Bn(–01, –02)
· (x1 · ... · xn) –01−1 · [(1 − x1)...(1 − xn)] –02−1
Notand A = 1Bn( –01, –02) , y = x1 · x2 · ... xn s, i z = (1 - x1) .... (1 - xn),
avem sistemul de verosimilitate maxima:
∂ ln(Ay –01−1·z –02−1)∂ –01 = 0
∂ ln(Ay –01−1·z –02−1)∂ –02 = 0
.
De aici se obt, ine succesiv:
∂ ∂ –01 [ln A + (–01 − 1)ln y + (–02 − 1)ln z ] = 0
∂ ∂ –02 [ln A + (–01 − 1)ln y + (–02 − 1)ln z ] = 0
⇔
–01 = 1
–02 = 1.
7/18/2019 Carte Prob Mar 2015
http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 135/135
6.3. Elemente de teoria estimat, iei 135
Deoarece solut, iile nu depinde de x1, x2, ..., xn, rezulta ca solut, ia gasita
nu poate fi considerata estimator pentru cei doi parametri.
(d) Funct, ia de verosimilitate este:
V(x1, ..., xn; θ1,θ2) =
ni=1 f(xi; –01, –02) = A ·
1
–0n2 · ℓ
− 12 –022
·n
i=1(xi− –01)2
,
unde A =
1√ 2π
n
.
Consideram sistemul de verosimilitate:
∂ ∂ –01 ln
A 1
–0n2· ℓ
− 1
2 –022·ni=1
(xi− –01)2
= 0
∂ ∂ –02 ln
A 1
–0n2· ℓ
− 1
2 –022·ni=1
(xi− –01)2
= 0
s, i avem:
(xi − –01)2 = 0
−n + 1 –022
ni=1
(xi − –01)2 = 0 ⇔
–01 = 1n
ni=1
xi (= x)
–02 = 1n
ni=1
(xi − x)2.
Aratam ca (θ1, θ2) realizeaza un maxim pentru funct, ia L (x; θ1, θ2) =
ln V (x; θ1, θ2). Se calculeaza hesiana ın (θ1, θ2) s, i gasim:
H (–01, –02) =∂ 2L∂ –021
∂ 2L∂ –01∂ –02
∂L ∂2
L
.