3

CUVNT NAINTE

NOI TEHNOLOGII PENTRU COMUNICAII

Dezvoltarea accentuat a comunicaiilor digitale este o prioritate strategic, deosebit de important att pentru o economie modern, ct i pentru securitatea naional a unei ri [1], [38], [39].

n reelele i sistemele de comunicaii digitale, dispozitivele i circuitele liniare au avut un imens succes i continu s aib un rol important i n perioada urmtoare. Totui, tehnologiile convenionale liniare, utilizate n comunicaii, apar ca limitative. De exemplu, funcionarea n regim liniar a amplificatoarelor necesit tehnici ineficiente de polarizare, care limiteaz funcionarea dispozitivelor doar la un domeniu redus din toat gama lor dinamic. Astzi, necesitatea unor circuite i sisteme de comunicaii cu un consum mic de putere, capacitate mare de transmisie, flexibilitate i securitate sporite, la un cost de fabricaie sczut sunt deziderate tehnico-economice obinuite.

Cercetarea tiinific din ultimul deceniu a demonstrat posibilitatea realizrii sistemelor de comunicaii digitale pe baza regimului neliniar de funcionare a dispozitivelor i circuitelor electronice. Comportarea acestora a fost etichetat ca fiind haotic, deoarece se remarca o puternic senzitivitate a funcionrii lor n raport cu variaiile incrementale ale parametrilor acestora.

Avantajele dispozitivelor, circuitelor i sistemelor de comunicaii neliniare, poteniale sau care sunt deja realizate, se refer la:

Eficien sporit. Sistemele cu comportri haotice sunt caracterizate printr-o mare senzitivitate a rspunsului lor la variaiile suficient de mici ale condiiilor iniiale, rezultnd un control simplu, la un consum redus de energie pentru prelucrarea semnalelor informaionale.

Compactitate i greutate sczute. Tehnologiile convenionale necesit unul sau mai multe etaje de amplificare, care ocup loc i sunt consumatoare de energie. n tehnica neliniar, etajele de amplificare i circuitele pentru adaptarea semnalului de intrare, n game specifice, sunt eliminate, rezultnd posibilitatea integrrii etajelor de emisie i recepie pe acelai chip.

Capacitate sporit a canalelor informaionale. Deoarece semnalele neliniare sunt mai complexe dect cele liniare, rezult o posibilitate sporit de codare a informaiei. Semnalele neliniare pot avea i o dimensiune spaial, n afara celei temporale, astfel nct pot oferi o capacitate sporit pentru transmisiuni informaionale. Datorit acestor flexibiliti ale semnalelor neliniare, rezult posibilitatea realizrii unor capaciti sporite ale semnalelor informaionale.

Realizarea unui numr sporit de canale informaionale rezult i din faptul c exist o infinitate de comportri neliniare diferite, astfel nct numrul de canale utilizate n comunicaiile digitale neliniare este limitat doar de capacitatea receptoarelor de a distinge diferite tipuri de comportri haotice n condiiile reale de funcionare.

Capacitatea de a opera la niveluri sporite de putere. n cazul comunicaiilor digitale convenionale, circuitele nu pot depi un anumit nivel de putere, care s le asigure stabilitatea funcionrii n regim liniar. Dar, n cazul comunicaiilor pe distane mari, prin fibre optice sau satelii, sunt de dorit niveluri mari de putere pentru laseri sau alte dispozitive, condiie posibil n cazul funcionrii lor n regim neliniar.

4

Cost de fabricaie sczut. Multe dintre componentele folosite n comunicaiile digitale neliniare sunt curent folosite n comunicaiile convenionale, dar de aceast dat sunt utilizate i exploatate i comportrile lor neliniare. n acest fel costurile dezvoltrii de noi componente va fi redus. n plus, se ateapt ca circuitele bazate pe funciuni neliniare s conin mai puine componente.

Posibilitatea redus de interceptare rezult din faptul c semnalele transmise pot fi la un nivel sczut de putere, deoarece receptoarele sunt foarte sensibile.

Direciile de cercetare specifice accelerrii utilizrii comportrilor haotice a dispozitivelor i circuitelor pentru realizarea comunicaiilor digitale neliniare s-au referit n principal la:

- investigarea celor mai simple i robuste soluii pentru emitoarele i receptoarele electrice i/sau optice cu comportri haotice;

- investigarea proceselor dinamice ale acestor subsisteme; - investigarea spaiului strilor corespunztor comportrilor neliniare ale acestor

subsisteme;

- investigarea teoretic i experimental a proprietilor semnalelor produse de aceste subsisteme;

- investigarea tehnicilor de sincronizare i control al haosului produs de circuite i sisteme;

- dezvoltarea bazei matematice teoretice necesare pentru analiza i proiectarea sistemelor haotice destinate utilizrii n aplicaii dorite. Aceste cercetri sunt interdisciplinare i se refer deopotriv la analiza formelor de

und, a tehnicilor de control, la studiul mecanismelor microfizice fundamentale n dispozitive, la investigarea sistemelor complexe de ecuaii difereniale neliniare, la consideraii privind aspectele teoretice noi pentru prelucrarea i transmiterea semnalelor informaionale n regim neliniar. Cercetrile vor combina eforturile teoretice din domeniile fizicii i matematicii cu cele experimentale, inginereti, precum i cu cele din domeniul tehnicii i tehnologiei calculatoarelor.

La ora actual, n cadrul unor grupe de matematicieni, n laboratoarele de cercetare din universiti sau din industrie, exist deja o bun experien n cercetarea i dezvoltarea echipamentelor de comunicaii digitale, neliniare. Modul n care aceste nuclee de cercetare fundamental i experimental vor colabora n viitor va determina n mod esenial obinerea rapid a unor rezultate remarcabile. Cu alte cuvinte trebuie elaborate strategii coerente de colaborare pe termen mediu i lung, innd cont de contextul colaborrii existente i de cel preconizat pe termen scurt. n plus, trebuie stimulat un efort interdisciplinar, realizabil de

ctre echipe mixte de cercetare, formate din matematicieni, fizicieni i ingineri. Aceast coordonare complex implic o colaborare instituional din domeniile civil i cel al aprrii naionale, interesate deopotriv n dezvoltarea comunicaiilor [35].

Doresc s mulumesc studenilor i doctoranzilor mei pentru participarea lor entuziast, discuiile fructuoase i efortul lor deosebit n realizarea numeroaselor simulri, din care o parte se regsesc n cuprinsul acestei cri. Mulumirile mele se ndreapt n special ctre: Codru Irimia, Dorin Andrei, Doru Munteanu, Bogdan Cristea, Constantin Cehan, Ciprian Baston i Petric Ciotrnae.

Totodat doresc s mulumesc Colectivului de editare din A.T.M. pentru sprijinul acordat, fr de care aceast lucrare nu ar fi putut s apar.

6

CAPITOLUL 1

INTRODUCERE N SISTEME DINAMICE NELINIARE

Alexandru ERBNESCU ACADEMIA TEHNIC MILITAR, Bucureti

1.1 Generarea complexitii: de la simplu la complex Cum definim diferena dintre simplu i complex? Primul rspuns care ne vine n minte este, de fapt, rspunsul tradiional i

implic noiunea de ierarhie. De exemplu, la o extrem se afl obiectele simple, deterministe i perfect cognoscibile precum un pendul mecanic , iar la cealalt extrem, oamenii i societile lor. ntre aceste dou extreme s-ar afla enigma unui proces progresiv, ierarhic, de la simplu la complex. i totui, situaia pe care o descoperim astzi este mult mai subtil. Oriunde ne ntoarcem privirea descoperim un amestec de situaii, unde elementele simple i cele complexe sunt vecine, fr a se opune de o manier ierarhic. Apoi, la o analiz atent, suntem uimii de faptul c simplitatea aparent a pendulului mecanic poate ascunde o lume de complexitate.

Poate una dintre cele mai interesante lecii din descoperirea complexitii ar fi s nvm s descifrm lumea n care trim, fr s presupunem ideea unei diferene ierarhice ntre nivelurile ei. Un rezultat al acestei gndiri holistice l constituie studiul actual al sistemelor dinamice. Pn nu demult, pe baza unui asemenea studiu, se formulase o concluzie interesant: toate sistemele complexe care pot fi reprezentate de acelai model matematic i care sunt supuse acelorai condiii cunosc acelai destin. Pentru a explica noile raporturi dintre simplu i complex, s lum drept ghid noiunea de atractor, care, odinioar, era simbolul omogenitii, iar astzi ilustreaz diversitatea calitativ a sistemelor disipative. Pentru a reprezenta un atractor este necesar s introducem noiunea de spaiu al strilor, care va avea o dimensiune egal cu numrul de variabile necesare pentru a descrie evoluia temporal a sistemului. Strile de echilibru ale sistemelor disipative corespund atractorilor reprezentai printr-un (singur) punct n spaiul strilor. Pentru alte sisteme dinamice, care evolueaz departe de echilibru, atractorul poate fi un ciclu limit. Pn nu demult s-a crezut c singurii atractori posibili corespund unor varieti continue, cum ar fi: liniile, suprafeele sau volumele. Descoperirea atractorilor ,,stranii a modificat conceptul despre simplitatea sistemelor. Aceti atractori sunt caracterizai de dimensiuni fracionare i sunt, aa cum i-a denumit Mandelbrot, varieti fractale. S-a identificat cu uurin c numeroase obiecte din natur sunt caracterizate de dimensiuni fractale. Astfel, un fulg de nea nu este nici o suprafa, nici un volum, i este caracterizat de o dimensiune cuprins ntre 2 i 3.

7

Un atractor fractal se dovedete a fi o structur extraordinar de complex. Traiectoriile succesive ale unui sistem dinamic, care sunt irepetabile, sunt att de

dense nct, dup un timp, vor ocupa compact o poriune din spaiul strilor. Toate punctele din aceast poriune a spaiului strilor caracterizeaz o aceeai clas de sisteme dinamice. Dar, diversele sisteme din aceast clas nu vor avea destine convergente, fiind caracterizate individual de traiectorii care diverg n timp,

chiar dac iniial au plecat din puncte extrem de apropiate din spaiul strilor. Se spune c sistemele dinamice care sunt caracterizate de atractori fractali au comportri haotice. Aproape de echilibru, legile de evoluie ale sistemelor dinamice sunt (sau pot fi considerate) liniare, dar, departe de echilibru, aceste

legi de evoluie sunt puternic influenate de neliniaritile sistemului, conducnd deseori la comportri haotice ale acestor sisteme. n cursul ultimilor ani, matematicienii i fizicienii au descoperit o multitudine de sisteme haotice i au identificat un numr de ci distincte de evoluie a comportrii unui sistem ctre haos [2]. ntr-o interpretare fizic, putem spune c un sistem dinamic haotic are capacitatea de a evolua ctre comportri foarte complexe, pornind de la condiii iniiale sau parametri iniiali foarte simpli. n limbaj matematic, aceast caracteristic a sistemelor dinamice poate fi modelat sau descris de un algoritm care, de exemplu, genereaz un numr iraional, plecnd de la condiii sau parametri iniiali reali. Nu este pe deplin lmurit cum ceva complex poate fi generat din ceva foarte simplu i rmn deschise multe alte ntrebri, cum ar fi: - Care este setul de atribute prin care se distinge haosul fa de alte forme ale

complexitii? - Ocup oare haosul o poziie distinctiv n univers, n sistemele biologice ori

ntr-un domeniu al preocuprilor umane? De exemplu, este haosul motorul vieii sau motorul sistemului solar?

Deocamdat nici una dintre noiunile pe care le cunoatem: dimensiunea fractal, entropia, exponenii Liapunov etc. nu este capabil s ne permit localizarea cu exactitate a haosului n spectrul complexitii i s-l disting fa de alte forme ale complexitii.

1.2 Noiunea de sistem dinamic (neliniar) Sistemele fizice, biologice, sociale, economice i chiar cele politice

evolueaz n timp, adic sunt procese caracterizate de stri care se schimb n timp. Aceast observaie a dus la conceptul de sistem dinamic, care se modific n timp sau, cu alte cuvinte, i modific starea cu timpul [3], [4].

Teoria sistemelor dinamice se ocup cu evoluia unui sistem, adic cu schimbarea strii sale n timp. Dezvoltarea teoriei sistemelor dinamice a evideniat existena unor sisteme la care nu se putea prevedea comportarea lor n timp, dei erau cunoscute legile ce guvernau fenomenele respective, precum i condiiile iniiale ale evoluiei lor. De exemplu, este cunoscut imposibilitatea

8

precizrii evoluiei parametrilor meteorologici pentru intervale mari de timp, cu toate c aerul, norii, temperatura etc. evolueaz dup legi cunoscute ale mecanicii fluidelor i termodinamicii i se dispune de ecuaiile ce descriu fenomenele respective, precum i de mijloace de calcul puternice [5], [6].

Din punct de vedere matematic, un sistem dinamic const dintr-un spaiu al strilor, numit i spaiu al fazelor, i o regul (sau o lege), numit uneori dinamic, ce va preciza starea care va corespunde, n viitor, unei stri prezente a sistemului.

Este adevrat c elaborarea unui model teoretic duce, n general, la o ndeprtare de sistemul real, ceea ce poate explica, n anumite situaii, insuccesul descrierii unor fenomene. Un model poate descrie un fenomen natural, complex,

caracterizat de un numr foarte mare de parametri, numai dac modelul este bine ales, i anume dac cuprinde parametrii eseniali n evoluia sistemului dinamic.

Un sistem dinamic determinist este complet caracterizat de starea sa

iniial i de dinamica sa. Un astfel de sistem poate avea spaiul strilor continuu sau discret i o dinamic definit n timp continuu sau discret.

Un sistem dinamic n timp continuu este modelat de un sistem de ecuaii difereniale, iar evoluia unui sistem dinamic n timp discret este descris de un sistem de ecuaii iterative [4], [15], [18].

Unui sistem dinamic n timp continuu i se poate asocia sistemul de ecuaii difereniale ordinare de forma:

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

, ,..., ;

, ,..., ;

, ,..., ;

n

n

n n n

x f x x x t

x f x x x t

x f x x x t

, (1.1)

care are soluie unic i care poate fi rescris sub forma:

,tx f x , (1.2)

unde

1 2, ,...,n

nt x t x t x t x (1.3)

reprezint vectorul de stare al sistemului n timp continuu la momentul t ,

astfel nct 0 0t x x caracterizeaz starea iniial a sistemului i:

1 2d d d d, ,...,

d d d d

t t t tt

t t t t

nx x x xx (1.4)

reprezint vectorul derivate pariale, iar

1 2, ,..., nf f ff (1.5)

reprezint un cmp vectorial ce definete dinamica sistemului:

9

: n n f (1.6)

i care este continuu n n . n condiiile de valabilitate a teoremei de existen i unicitate a soluiei

problemei (1.2), pentru fiecare pereche 0 0,nt x exist o unic funcie

continu:

0 0; , :nt x , (1.7)

astfel nct:

0 0 0 0; ,t t x x , (1.8) iar

0 0 0 0; , ; , ,t t t t t x f x (1.9)

este numit, n aplicaiile inginereti, flux sau sistem dinamic. Cmpul vectorial f al unui sistem dinamic, caracterizat de un sistem de

ecuaii difereniale ordinare, genereaz un flux , astfel nct unei stri

iniiale 0x i va corespunde n spaiul strilor, dup timpul t imaginea sa

0t x , aa cum se ilustreaz n fig. 1.1.

Fig. 1.1 Cmpul generat de un sistem dinamic

Cnd cmpul vectorial f, asociat sistemului dinamic n timp continuu,

depinde doar de vectorul variabilei de stare tx i nu depinde explicit de t (ca n relaia (1.2)), se spune c sistemul dinamic n timp continuu este (de tip) autonom, caz n care este caracterizat de sistemul de ecuaii difereniale de forma:

t tx f x . (1.10)

Circuitul neliniar din fig. 1.2 poate fi considerat ca ilustrativ pentru un

sistem dinamic n timp continuu.

10

Fig. 1.2 Circuitul (simplificat) neliniar de tip Chua

Alegnd drept variabile de stare curentul 3i t i tensiunea 2v t , circuitul RLC din fig. 1.2 a) poate fi descris de sistemul de ecuaii difereniale:

32

23 2

2 2

d 1

d

d 1 1

dR

i tv t

t L

v ti t i v

t C C

(1.11)

cu soluiile iniiale 3 300i i i 2 200v v . Pornind de la o soluie iniial 30 20,i v , care este un punct n spaiul

fazelor 2 , curba descris n spaiul strilor 3 2,i v de soluia sistemului (1.11)

este locul geometric al punctelor de coordonate 3 2,i t v t , corespunztoare evoluiei n timp a sistemului dinamic din fig. 1.2 a). Aceast evoluie poate fi convergent ctre un punct fix (fig. 1.2 b)) sau poate converge ctre un ciclu limit (fig. 1.2 c)).

Un sistem dinamic n timp discret poate fi caracterizat de sistemul de

ecuaii cu diferene (finite) sau de tip iterativ de forma:

11

1 ,k k k x g x , (1.12)

unde

1 2, ,...,n

nk x k x k x k x (1.13)

reprezint vectorul de stare pentru sistemul dinamic la momentul de timp discret

k , astfel nct 0 0k x x caracterizeaz starea iniial a sistemului, iar:

1 2, ,..., ng g gg (1.14)

reprezint o aplicaie care definete dinamica sistemului (n timp) discret:

: n n g . (1.15)

Pentru fiecare pereche 0 0,nk x exist o unic funcie continu n

timp discret din n :

0 0; , :nk x , (1.16)

care definete traiectoria sistemului dinamic prin 0 0,kx , astfel nct:

0 0 0 0; ,k k x x , (1.17)

iar

0 0 0 01; , ; , ,k k k k k x g x . (1.18)

n acest caz, aplicaia se numete sistem dinamic n timp discret generat

de g. Dac ns aplicaia g depinde doar de variabila kx i nu depinde explicit de k, se spune c sistemul dinamic n timp discret este autonom, caz n care acesta este caracterizat de sistemul de ecuaii iterative de forma:

1k k x g x (1.19)

sau

1k k x g x . (1.20)

Un exemplu tipic de sistem dinamic n timp discret este cel generat de

ecuaia logistic:

1 1k k kx ax x . (1.21)

Pentru a descrie procesul iterativ caracterizat de relaia (1.21), vom reprezenta

grafic parabola 1y ax x i prima bisectoare y x , ca n fig. 1.3.

12

Fig. 1.3 Procesul iterativ caracteristic ecuaiei logistice

ncepnd cu o soluie iniial 0x , vom determina grafic valoarea lui

0 0 01y ax x , care, prin reflectare fa de prima bisectoare, va determina valoarea 1 0x y , cu care se continu procesul, aa cum este prezentat n fig. 1.3.

Fig. 1.4 Variaia n timp (a) i spectrul (b) unui semnal haotic

n fig. 1.4 a) se d reprezentarea grafic (continu) a evoluiei

semnalului kx , corespunztor relaiei (1.21), pentru 4a i 1,256k , iar n

fig. 1.4 b) este reprezentat modulul spectrului acestui semnal, evaluat cu ajutorul

transformatei Fourier discrete. i forma semnalului (fig. 1.4 a)) i spectrul acestuia (fig. 1.4 b)) indic o evoluie de tip aleator a sistemului caracterizat de

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Reprezentarea temporala a semnalului haotic

0 100 200 300 400 500 6000

10

20

30

40

50

60Reprezentarea spectrului semnalului haotic

13

relaia (1.21), pentru 4a . Menionm c aceast constant este notat foarte

divers n literatura de specialitate, uneori cu r, alteori cu k, etc. Un alt exemplu tipic de sistem dinamic este descris de ecuaia liniar pe

poriuni de tip cort:

11

1 22

k kx x . (1.22)

Pentru 1/ 2kx , ecuaia de mai sus se reduce la 1 2k kx x . n acest caz,

soluiile (iniiale) care sunt negative rmn negative, tind spre i i dubleaz distana fa de origine la fiecare iteraie.

Pentru 1/ 2kx , ecuaia de tip cort se reduce la: 1 2 1k kx x . n acest caz, dac 0 1,x rezult c 1 0x i, n consecin, punctele orbitei tind din nou

ctre .

Pentru kx n intervalul 0,1 , va rezulta c: 0 1 2 1/ 2 1nx , astfel nct valorile succesive ale iteraiilor ulterioare vor rmne n intervalul 0,1 . n fig. 1.5 sunt reprezentate cteva iteraii pentru un sistem dinamic de tip cort.

n aplicaii, funcia de tip cort descris mai sus este folosit i ntr-o manier compus, aa cum este sugerat n fig. 1.5 b).

a) b)

Fig. 1.5 Sistem dinamic descris de ecuaia iterativ de tip cort a) cteva iteraii pentru funcia cort simpl; b) cteva iteraii pentru funcia cort dubl

O alt funcie neliniar simpl, liniar pe poriuni i nrudit cu cea de tip cort este descris de relaia: 1 2 modulo1k kx x . (1.23)

n fig. 1.6 este prezentat graficul ei i iteraia de ordinul m, aa cum este deseori utilizat n aplicaii.

14

Fig. 1.6 Un (alt) exemplu de funcie liniar pe poriuni

Un alt exemplu de sistem dinamic (n timp) discret este sistemul (de

ecuaii iterative) Hnon, caracterizat de relaiile:

21 1 2

1

2 1

1

k k k

k k

x a x bx

x x

. (1.24)

n fig. 1.7 este reprezentat atractorul Hnon pentru 1,4a i 0,3b i 410 iteraii. Pe figur sunt marcate cu asterisc iteraiile 13, 14 i 15, plecnd de

la soluia iniial 0;0 i aceleai iteraii, 13, 14 i 15, plecnd de la soluia iniial 0,001;0,001 , sugerndu-se puternica dependen de soluia iniial a acestui sistem dinamic.

Fig. 1.7 Atractorul sistemului dinamic Hnon

1.3 Spaiul strilor (fazelor) asociat unui sistem dinamic

Sistemele dinamice n timp continuu i n timp discret, caracterizate de relaiile (1.2), respectiv (1.12), pot fi descrise de soluiile (1.7), respectiv (1.16), care pot fi reprezentate unitar de familia infinit de funcii:

, cu :t t M M , (1.25)

parametrizat dup timpul notat cu t sau n, cu valori t sau n .

15

Mulimea M din relaia (1.23) se numete spaiul strilor i este alctuit din mulimea tuturor strilor (sau fazelor) posibile ale sistemului dinamic. O faz sau o stare la un moment dat t este un punct Mx i reprezint totalitatea caracteristicilor procesului la acel moment.

Spaiul strilor (sau fazelor) unui sistem dinamic este un spaiu matematic, cu axe de coordonate ortogonale pentru fiecare variabil necesar pentru a caracteriza starea instantanee a sistemului. De exemplu, starea unei

particule materiale n micare unidimensional este caracterizat prin poziia

sa (x) i viteza v x . n consecin spaiul fazelor este un plan: 2M . Pe de alt parte, o particul n micare, ntr-un spaiu tridimensional, va fi caracterizat

de un spaiu al fazelor cu ase dimensiuni , , , , ,x y z x y z , adic, n acest caz, 6M .

Spaiul n , n care se consider i o ax a timpului (care este ortogonal n raport cu toate axele variabilelor de stare), se numete spaiul strilor (sau fazelor) extins [3], [4].

Imaginea timpului ( t sau n ) prin t se numete traiectorie de

faz sau, simplu, traiectoria sistemului dinamic. Traiectoria se obine prin eliminarea timpului t ntre variabilele de stare x, ceea ce revine la proiecia curbei integrale, notat cu ABCD n fig. 1.5, pe spaiul fazelor M (planul 1 2,x x

n acest caz), care este ortogonal pe axa timpului.

Fig. 1.8 Traiectorii de faz ale unui sistem dinamic

Prin fiecare punct 0 Mx din spaiul fazelor trece o singur traiectorie de

faz, iar prin fiecare punct 0t, M x trece o singur curb integral (fig. 1.8). Totalitatea traiectoriilor de faz ale unui sistem dinamic (care evolueaz

n timp) se numete portret de faz. Obiectul teoriei sistemelor dinamice l constituie studiul portretelor de faz ataate acestora [3], [4], [11], [12], [14].

16

Din punct de vedere matematic, un sistem dinamic este o funcie

: sau ,M tM t , unde, pentru orice t fixat, :t M M este un homeomorfism i: (1) 0 Mid (aplicaia identic a lui M);

(2) , , sau .t s t s t s Sistemul dinamic este o familie uniparametric saut de aplicaii,

structurat ca grup uniparametric de transformri ale lui M, parametrul t fiind numit timp (continuu sau discret).

Mulimea M se numete spaiul fazelor sistemului dinamic, iar punctele x M se numesc stri sau faze [3], [4].

Aa cum am precizat, dac domeniul de variaie al parametrului t este , sistemul dinamic este (denumit n timp) continuu, iar dac parametrul timp este discret (i notat adesea cu , , , etc.n k j i ), iar de exemplu n , atunci sistemul

dinamic este (denumit n timp) discret.

Dimensiunea spaiului fazelor M determin i dimensiunea sistemului

dinamic. Astfel, dac dim M , sistemul dinamic corespunztor este finit dimensional, iar dac dim M , sistemul dinamic este infinit dimensional.

Un sistem dinamic, finit dimensional, asociat sistemului de ecuaii

difereniale , n x f x x i 1 2, ,..., nf f ff este conservativ dac

divergena cmpului f este nul, adic 1

div 0

n

i i

i

f x

f . De exemplu, sistemul

dinamic asociat sistemului de ecuaii difereniale (1.26) este conservativ

1 2

22 1 1

x x

x x

(1.26)

Dac funciile if sunt continuu difereniabile pe 2D , adic 1if ,

iar divergena cmpului de vectori f nu este nul i pstreaz un semn constant pe D, atunci nu exist nici o traiectorie de faz nchis, complet coninut n D. Aceast formulare este criteriul lui Bendixson, care reprezint o condiie suficient ca, ntr-o anumit regiune din planul fazelor, s nu existe soluii periodice ale sistemului dinamic, adic s nu existe cicluri limit. De exemplu,

sistemul dinamic neliniar: 31 2 1 2 1 1; 1x x x x x x nu are soluii periodice

n 2 , deoarece divergena 3 22 1 1 1 1 2 11 3x x x x x x x nu este identic egal cu zero n 2 i pstreaz un semn constant. O mulime conex din spaiul fazelor (finit sau infinit dimensional) este un domeniu absorbant dac pe frontiera sa cmpul de vectori este orientat spre interiorul domeniului. Sistemele dinamice care posed domenii absorbante se numesc sisteme disipative.

17

Sistemul dinamic (finit dimensional) pentru care cmpul vectorial f

provine dintr-un gradient se numete sistem dinamic-gradient. n acest caz,

exist : n F , astfel nct 1 2

grad , ,...,n

F F F

x x x

f F . De exemplu,

sistemul dinamic asociat sistemului de ecuaii difereniale:

1 1 2 2 1 2

22 1 1 1 2

2 sin

2 sin

x x x x x x

x x x x x

(1.27)

este un sistem-gradient, unde 21 2 1 2 1 2, cosx x x x x x F .

1.4 Clasificarea comportrilor sistemelor dinamice n spaiul strilor, n cele din urm, dup un regim tranzitoriu, traiectoria

unui sistem dinamic ce pleac din starea iniial 0x se instaleaz pe o mulime

limit de puncte. Aceast mulime limit de puncte notat n continuare cu corespunde comportrii asimptotice a sistemului dinamic pentru t i definete regimul permanent al sistemului dinamic.

Un punct x este un punct limit a lui 0x dac i numai dac exist irul

kt k , astfel nct pentru kt rezult: 0lim ktk x x .

Mulimea 0L x a punctelor limit formeaz o mulime limit corespunztoare lui 0x .

O mulime limit A este atractiv pentru o mulime B din spaiul fazelor

dac 0L Ax , pentru toate punctele 0 Bx . n consecin mulimea traiectoriilor vecine converge, pentru t , ctre o mulime atractoare A.

O mulime atractiv A este atractor dac este atractiv pentru o ntreag vecintate a sa. De exemplu, o mulime limit A care conine cel puin o orbit i care se apropie orict de mult de fiecare punct din A se numete atractor.

n general, un atractor este format dintr-o infinitate de orbite, parial atractive, parial repulsive. Din aceast cauz evoluia sistemului dinamic din spaiul fazelor, de lng atractor, este att de complicat i de neregulat nct este greu de urmrit, dei ea este complet determinist!

Un punct din spaiul fazelor rtcete aparent haotic din apropierea unei orbite a atractorului spre alta, micndu-se pe traiectorii att de contorsionate nct reprezentarea la o scar orict de mare nu le poate evidenia cu claritate.

Un atractor se numete global dac capteaz toate traiectoriile de faz. Un astfel de atractor poate fi format dintr-o singur orbit, mai multe sau dintr-un numr infinit de orbite din spaiul fazelor.

Deoarece un atractor determin comportarea final pentru t a traiectoriilor de faz, spunem c atractorii guverneaz portretul de faz al unui sistem dinamic.

18

Pentru un sistem liniar care este asimptotic stabil, mulimea limit este independent de condiia iniial, 0x , i este unic, astfel nct are sens s se

vorbeasc despre o singur comportare de regim permanent. Dimpotriv, n cazul sistemelor dinamice neliniare, pot exista o varietate de regimuri

permanente, n funcie de diferite condiii iniiale. Mulimea tuturor punctelor din spaiul strilor care converge ctre o

mulime limit particular L se numete bazinul de atracie B(L) al mulimii L. Orice traiectorie care pornete din B(L) tinde ctre L, pentru t .

Studiul sau simularea sistemelor fizice (inclusiv cele electrice) arat c, n regim permanent, sistemele sunt caracterizate doar de mulimi limit atractoare.

Noiunea de mulime limit atractoare servete pentru clasificarea comportrilor clasice, de regim permanent, ale sistemelor dinamice, cum ar fi: punctele de echilibru i ciclurile limit.

Se pot face urmtoarele observaii: a) cu toate c aceste definiii au fost date pentru sisteme dinamice n timp

continuu, autonome, ele se aplic att sistemelor dinamice n timp continuu neautonome, ct i celor n timp discret;

b) se pot defini i comportri asimptotice limit ale sistemului dinamic, pentru t , care au fost denumite n literatura de specialitate mulimi limit de tip sau mulimi limit, n opoziie fa de comportrile asimptotice ctre t , care au fost denumite mulimi limit de tip sau mulimi limit.

Pentru un sistem dinamic liniar i asimptotic stabil exist o singur mulime limit, iar bazinul ei de atracie este ntregul spaiu al strilor. n acest caz, regimul permanent este independent de condiia iniial aleas.

ns, un sistem dinamic neliniar poate avea mai multe mulimi limit, fiecare cu diferite bazine de atracie. n acest caz, alegerea condiiei iniiale va determina, ntr-un mod foarte senzitiv, care mulime limit va fi atins de sistemul dinamic.

1.4.1 Punctul de echilibru

Cea mai simpl comportare a unui sistem dinamic, n regim permanent, este cea corespunztoare unei stri numite punct de echilibru sau un punct staionar, notat cu Qx i care, n spaiul strilor, satisface condiiile:

Qf 0x (1.28a)

i

t Q Q x x . (1.28b)

Relaia (1.28b) arat c traiectoria care pleac dintr-un punct de echilibru rmne mereu n acel punct.

19

Cum un punct are dimensiunea topologic zero, nseamn c un punct de echilibru are dimensiunea topologic zero.

n domeniul timp, un punct de echilibru al unui circuit electronic este

soluia de curent continuu sau punctul de funcionare al acelui circuit. Un exemplu simplu al unui sistem dinamic neliniar, care are mai multe

puncte de echilibru este descris de sistemul de ecuaii:

1 2

2 2 10,4 sin

x x

x x x

(1.29)

Acest sistem dinamic de ordinul doi are ca puncte de echilibru valorile

1 2, ,0x x k , pentru 0, 1, 2,...k Punctele de echilibru de ordin k par sunt atractoare.

Pentru un sistem dinamic (n timp) discret, un punct de echilibru sau un

punct fix este un punct Qx din spaiul strilor, care satisface relaia:

Q Qg x x , (1.30)

deci este un punct fix al aplicaiei g care genereaz acel sistem.

1.4.2 Regimul permanent periodic

O stare x a unui sistem dinamic se numete periodic dac exist o valoare 0T , astfel nct:

T x x . (1.31)

O orbit periodic ce nu este un punct staionar se numete ciclu limit. Restricia 0T previne clasificarea unui punct de echilibru ca o soluie periodic. Mai exact, un ciclu limit este o orbit periodic izolat a unui sistem dinamic. Traiectoria ciclului limit viziteaz fiecare punct al unei curbe nchise , cu o perioad T, astfel c:

t t T x x x . (1.32)

n consecin fiecare punct al unui ciclu limit este un punct nonhaotic. Se spune c un ciclu limit are dimensiunea topologic unu, deoarece fiecare poriune din el arat ca un obiect de dimensiunea topologic unu, deci ca o curb.

Cele n componente ix t ale ciclului limit:

1 2, ,...,T

nt x t x t x tx , (1.33)

din n , sunt funcii periodice, cu perioada T.

Dac tx este periodic, cu perioada T, rezult c spectrul su de putere este concentrat ntr-o component de curent continuu, una de frecven fundamental 1/T, i armonice ale acesteia.

20

Un exemplu clasic de ciclu limit poate fi remarcat n comportarea sistemului dinamic Van der Pol, descris de ecuaiile:

1 2

22 1 2 11

x x

x x x x

(1.34)

n figurile de mai jos sunt reprezentate: ciclul limit din planul fazelor

1 2,x x pentru sistemul dinamic de mai sus (fig. 1.9 a)) i forma de und a variabilei 1x t (fig. 1.9 b)).

Fig. 1.9 Comportri ale sistemului dinamic Van der Pol

a) ciclul limit n planul fazelor; b) forma de und a variabilei 1( )x t

n fig. 1.10 i 1.11 sunt reprezentate ciclurile limit (fundamental i de ordinul trei) i formele de und corespunztoare pentru diferite valori ale parametrilor unui sistem de tip Duffing, care este descris de ecuaiile:

1 2

32 1 1 2 cos

x x

x x x x t

(1.35)

Fig. 1.10 Soluia sistemului Duffing pentru 0,15; 0,3 i 1

21

Fig. 1.11 Soluia sistemului Duffing pentru 0,22; 0,3 i 1

a) o traiectorie de perioad T=3; b) forma de und a variabilei 1( )x t

S analizm micarea unui pendul mecanic, la amplitudini mici ale unghiului de deplasare , descris de ecuaia de micare liniarizat n jurul echilibrului su [14]:

2

2

d0

d t

. (1.36)

Ecuaia diferenial ordinar de ordinul II poate fi transformat ntr-un sistem de dou ecuaii difereniale de ordinul I dac se introduce variabila vitez unghiular d dt , astfel nct rezult sistemul echivalent:

d

d

d

d

t

t

(1.37)

Sistemul (1.37) are soluiile:

sin

cos

i

i

a t

a t

(1.38)

care sunt reprezentate n planul fazelor , prin cercuri concentrice, de raze

1 2 3, , ,...ia a a a . Pentru orice valoare ia real rezult o traiectorie a sistemului dinamic sub forma unei orbite circulare (fig. 1.12 a)).

O caracteristic important a traiectoriilor din fig. 1.12 a) este c acestea nu se intersecteaz niciodat pentru valori distincte ia , orict de apropiate ar fi.

Cercurile corespunztoare fiecrei valori ia corespund unor comportamente

periodice ale sistemului dinamic descris de ecuaiile (1.37).

22

a) 2

2

d

d d0

dd

d

t

t

t

sin

cos

i

i

a t

a t

b) 2

2

d d0

dd tt

c) 2

2

dsin 0

d t

d) 2

2

d dsin 0

dd tt

d

d

dsin

d

t

t

Fig. 1.12 Analiza comportrilor (neliniare) ale unui pendul mecanic

23

Sistemul dinamic liniar amortizat (i pentru 1) poate fi descris de ecuaia diferenial ordinar de ordinul II:

2

2

d d0

dd tt

(1.39)

sau de sistemul de ecuaii difereniale ordinare de ordinul I:

d

d

d

d

t

t

(1.40)

Aa cum este ilustrat n fig. 1.12 b), pentru acest caz, n spaiul fazelor

, exist un singur atractor de coordonate 0 . n realitate, micarea unui pendul mecanic este descris de o ecuaie

neliniar, care n form neamortizat poate fi scris sub forma:

2

2

dsin 0

d t

. (1.41)

Pentru acest caz, aa cum se observ n fig. 1.12 c), pentru valori mici ale lui i d d t , traiectoriile de faz sunt similare celor din cazul liniarizat

(fig. 1.12 a)), dar, pe msur ce se apropie de , traiectoriile se deformeaz, iar pentru valorile panta traiectoriilor are o discontinuitate. i n acest caz traiectoriile de faz sunt periodice, cu perioada 2 i trec prin ( , ) ( ,0) .

S considerm acum cazul pendulului real, descris de ecuaia diferenial neliniar amortizat de ordinul II:

2

2

d dsin 0

dd tt

(1.42)

sau de sistemul echivalent de ecuaii difereniale ordinare de ordinul I:

d

d

dsin

d

t

t

(1.43)

Traiectoriile de faz tipice pentru acest caz sunt reprezentate n fig. 1.12 d). Aa cum se observ n figur, pe lng atractorul din origine

0 , care este datorat termenului de amortizare d d t , exist i atractorii

situai la n i 0 . Exemplul de mai sus ilustreaz bogia de atractori din spaiul fazelor, care pot fi observai chiar pentru un simplu pendul mecanic!

24

1.4.3 Un regim permanent periodic de tip subarmonic

O orbit k-periodic a unui sistem dinamic n timp discret este

caracterizat de mulimea de k puncte 1 2, ,... ,kx x x , care satisfac relaiile recurente:

2 1 3 2 1, ,..., k k x g x x g x x g x , (1.44)

iar

1 kx g x (1.45)

sau, mai compact:

i i kk

x g x ; (1.46)

... ...k g g g g , (1.47)

unde funcia g a fost aplicat iterativ de k ori argumentului su. Soluiile periodice de tip subarmonic apar n cazul sistemelor dinamice care conin mai multe frecvene competitive, cum ar fi oscilatoarele forate. Soluii de tip subarmonic pot aprea ca urmare a bifurcaiilor [3], [4].

1.4.4 Regimul permanent cvasiperiodic

Aceast comportare a unui sistem dinamic este ilustrat n spaiul strilor

de un tor. Deoarece o poriune mic dintr-un tor, n 3 , este homeomorf cu o suprafa plan, se spune c acest tor are dimensiunea topologic doi.

O stare cvasiperiodic poate fi exprimat printr-o sum finit de funcii periodice, cu frecvene ale cror rapoarte nu sunt numere raionale, cum ar fi

starea sin sin 2x t t t . n domeniul timp, forma de und a unui semnal cvasiperiodic arat ca un

semnal modulat n amplitudine sau n faz. n domeniul frecven, spectrul unui semnal cvasiperiodic este format tot

dintr-o infinitate de componente spectrale, care ns nu sunt localizate la multiplii (ntregi) doar ai unei frecvene fundamentale. Iat dou exemple.

Un semnal modulat n amplitudine (MA) are expresia:

cos 2 cx t m t f t , unde m t este funcia mesajului, pe care o presupunem periodic, cu frecvena mf . Este bine cunoscut c spectrul de amplitudini al

semnalului x t const n componente la frecvenele c mf kf , unde 0,1,2,...k Dac mf i cf sunt n raport iraional, atunci x t este dublu

periodic n raport cu baza de frecvene ,c mf f .

25

Un semnal modulat n faz are expresia: cos 2 cx t f t m t . Dac m t este periodic, cu frecvena mf , atunci spectrul de amplitudini al

semnalului x t are componente spectrale la aceleai frecvene ca i spectrul semnalului MA. Dac raportul /c mf f este un numr iraional, atunci x t este dublu periodic n raport cu baza de frecvene ,c mf f .

Dei nici unul dintre exemplele de mai sus nu a fost prezentat ca o soluie a unui sistem dinamic, ele ilustreaz un lucru important, i anume: regimul cvasiperiodic poate fi generat cnd dou sau mai multe funcii periodice cu rapoarte de frecvene numere iraionale interacioneaz n mod neliniar. ntr-adevr, n cazul modulaiei MA, neliniaritatea este de tip produs:

,f u v u v , iar n cazul modulaiei n faz neliniaritatea este ilustrat de funcia: , cos 2 cf u t f t u .

Aa cum s-a prezentat anterior, n spaiul strilor 3 , regimul cvasiperiodic de ordin 2 al unui sistem dinamic are aspectul unui tor de ordin 2.

Regimul cvasiperiodic de ordin k este caracterizat n spaiul strilor de un tor de ordin k, ce este greu de vizualizat n acest spaiu, ns componentele sale spectrale sunt caracteristice acestui regim i sunt localizate discret n domeniul frecven, fiind dispuse la frecvene ale cror rapoarte nu sunt numere raionale.

Pentru a ilustra modul n care poate aprea un regim permanent cvasiperiodic n comportarea unui sistem dinamic, considerm sistemul (dinamic) de tip Van der Pol, descris de ecuaiile:

1 2

22 1 2 1 21 cos 2 /

x x

x x x x A t T

(1.48)

Se observ c n ecuaia a doua a fost introdus un termen cosinusoidal de comand (sau de control) al sistemului dinamic. n absena acestui termen, sistemul dinamic are un ciclu limit cu perioada (natural) 1T . Soluia (limit) a

sistemului dinamic cu termenul cosinusoidal de comand va tinde s sincronizeze cele dou oscilaii caracterizate de perioadele 1T i 2T . Este posibil

ca din acest conflict dintre perioadele 1T i 2T s nu ctige nici una i, n

consecin, din aceast competiie s se instaleze un regim de tip cvasiperiodic. O astfel de situaie este ilustrat n fig. 1.13, n care s-au ales valorile: 20,5; 2 /1,1A T , ilustrndu-se att traiectoria sistemului n spaiul

fazelor, ct i variaia n timp a variabilei 1x t .

26

Fig. 1.13 Comportri ale sistemului Van der Pol

a) Traiectoria sistemului n spaiul fazelor; b) Variaia variabilei 1( )x t

1.4.5 Regimul (permanent) haotic

Din punct de vedere experimental, comportarea haotic a unui sistem dinamic poate fi definit ca o comportare limit, care nu este staionar, i.e. corespunztoare unui punct de echilibru, nu este periodic i nici cvasiperiodic.

n spaiul strilor, dou traiectorii ale unui regim haotic care ncep aproape din acelai punct diverg i devin necorelate, ilustrnd sensibilitatea mare fa de condiiile iniiale i imposibilitatea de a face o predicie pe termen lung a strii sistemului.

n domeniul timp, o traiectorie haotic nu este nici periodic, nici cvasiperiodic, rezultnd c variaia sa are un aspect aleator. n domeniul frecven, comportarea haotic este caracterizat de un spectru de putere de tip zgomot de band larg.

Trecerea de la un portret de faz simplu la unul complicat are loc, n majoritatea cazurilor, o dat cu modificarea parametrilor de control ai unui

27

sistem dinamic. Drept consecin, de la micri regulate n spaiul fazelor se ajunge la cele neregulate de tip haotic, care tind ctre un atractor straniu, format dintr-o infinitate de orbite, dar care formeaz un obiect matematic distinct.

Comportamentul de faz guvernat de atractorii complicai posed anumite proprieti statistice care, pe msur ce parametrul de control crete, devin tot mai importante, apoi preponderente, ca n final, la o anumit valoare a parametrului de control, atractorii stranii s fie formai din mulimi de orbite care pot fi caracterizate relevant doar probabilistic.

Un punct limit, un ciclu limit sau chiar un k-tor din spaiul strilor au o dimensiune topologic (ntreag), pe cnd regimul haotic este descris de o mulime care are o dimensiune Hausdorff fracionar, ce este specific unui fractal. Acest lucru este rezumat n tabelul 1.1.

Tabelul 1.1

Regim

Mulime limit Spectrul (de putere) Dimensiunea

curent

continuu punct fix

o singur component spectral la 0

0

periodic curb nchis o frecven fundamental 0f

plus armonice la 0nf 1

cvasiperiodic un tor

(k-tor)

un numr incomensurabil de frecvene, ale cror rapoarte

sunt numere iraionale k

haotic fractal spectru larg

(de tip zgomot) fracionar

De exemplu, un sistem dinamic de tip Chua este descris de ecuaiile:

1 2 1

2 1 2 3

3 2

x x h x

x x x x

x x

(1.49a)

unde h este o funcie neliniar, dar liniar pe poriuni, descris de relaia:

1 1 0 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1 1

, 1

, 1

, 1

m x m m x

h x m x x

m x m m x

(1.49b)

28

n fig. 1.14 sunt ilustrate calitativ cteva regimuri de funcionare ale circuitului RLC neliniar de tip Chua, unde 1 1 2 2 3 3( ), ( ), iar ( )x v t x v t x i t .

n mod similar, pentru un sistem dinamic Duffing, n fig. 1.15 se

reprezint: a) comportarea haotic n spaiul fazelor, b) variaia n timp a

variabilei 1x t . Rezultatele sunt evaluate pentru 0,25; 0,3 i 1 .

29

Fig. 1.14 Comportri neliniare ale circuitului de tip Chua

Fig. 1.15 Comportarea sistemului dinamic Duffing pentru 0,25; 0,3 i 1

a) comportarea haotic n spaiul fazelor; b) variaia n timp a variabilei 1( )x t

30

1.5 Metode n studiul comportrilor sistemelor dinamice (electrice)

1.5.1 Liniarizarea modelelor matematice ale sistemelor

dinamice (neliniare)

Sistemele dinamice electrice reale sunt caracterizate de sisteme de ecuaii difereniale neliniare. Multe dintre comportrile lor caracteristice, cum ar fi: stabilitatea, atractivitatea sau bifurcaia, pot fi studiate, mai simplu, ca proprieti locale, n vecintatea unui punct din spaiul fazelor, prin liniarizarea sistemului de ecuaii difereniale. Trebuie menionat ns c nu ntotdeauna prin liniarizare se obine o comportare echivalent cu cea a sistemului iniial neliniar [3] [6].

S considerm un sistem dinamic n timp continuu, caracterizat de sistemul de ecuaii difereniale, scris sub form vectorial:

t tx f x , (1.50)

ceea ce este echivalent cu:

1 1 21

2 1 22

1 2

, ,...,d d

, ,...,d d

, ,...,d d

n

n

n nn

f x x xx t

f x x xx t

f x x xx t

. (1.51)

Liniarizarea sistemului de ecuaii (1.50) sau (1.51) poate fi fcut prin dezvoltarea (parial) n serie Taylor, n jurul unui punct 0x din spaiul fazelor i

reinerea primilor doi termeni.

Fie un punct 0x din spaiul fazelor, n jurul cruia se va face liniarizarea

sistemului de ecuaii x f x , care, pentru 0=x x , devine 0 0x f x . S considerm x variaiile incrementale ale variabilelor de stare, astfel

nct n jurul punctului 0x putem scrie

0 x x x . (1.52)

Cum x f x , iar 0 x x x , rezult c:

0 0 x x f x x . (1.53)

Dezvoltnd n serie Taylor funcia f x , n jurul punctului 0x , i reinnd doar primii doi termeni rezult c:

0 0 0xD x x f x f x x , (1.54)

30

unde cu xD s-a notat matricea Jacobi (sau Jacobianul) funciei f x , adic:

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

nx

n n n

n

f f f

x x x

f f f

x x xD

f f f

x x x

f x . (1.55)

Cum 0 0x f x , din relaia (1.54) rezult c:

0 0 0xD f x x f x f x x (1.56)

sau

0xD x f x x . (1.57)

Ecuaia (1.57) este liniar n raport cu coordonatele locale

1 2, ,..., nx x x x = , n jurul punctului 0 01 02 0, ,..., ,nx x xx , adic n raport cu un nou sistem local de coordonate, cu originea n punctul 0x din spaiul

fazelor. Considernd 0x = x - x , conform relaiei (1.52), atunci x = x

(deoarece 0x este constant n raport cu timpul), astfel nct relaia (1.57) devine:

0 0xD - x f x x x . (1.58)

Exist numeroase alte metode, descrise n literatura de specialitate 5, 6, care permit liniarizarea unui sistem de ecuaii difereniale ce poate fi scris sub forma:

x = Ax + b . (1.59)

1.5.2 Stabilitatea mulimilor limit

Stabilitatea unui sistem dinamic caracterizeaz portretul de faz n vecintatea unei mulimi invariante M, la perturbaii mici ale unora sau ale tuturor parametrilor sistemului de care depinde funcia de sistem (n afara variabilei independente timp) [3], [4], [10].

Dac Qx este un punct (limit) de echilibru, stabilitatea sistemului

dinamic este dat de valorile proprii ale liniarizrii sistemului de ecuaii n jurul punctului Qx , adic de rdcinile i ale ecuaiei caracteristice:

det x QD 0I f x . (1.60)

31

Dac prile reale ale tuturor valorilor proprii sunt strict negative, atunci punctul de echilibru Qx este asimptotic stabil, astfel nct toate traiectoriile (din

vecintatea sa) vor converge ctre el. Dac una dintre valorile proprii are partea real pozitiv, punctul de

echilibru Qx este instabil, iar dac toate valorile proprii au partea real pozitiv,

atunci punctul Qx este un punct de tip surs. S reformulm aceste afirmaii.

Fie 0x un punct de echilibru pentru sistemul dinamic asociat sistemului

de ecuaii difereniale 1 2, , , ,...,n

nf f f x f x x f .

Spunem c punctul de echilibru 0x este Liapunov-stabil dac

0, 0 , astfel nct orice x care verific condiia 0 x x

implic 0 , 0.t t x Spunem c punctul de echilibru este atractiv dac exist o vecintate U a

lui 0x i un 0T cu proprietatea c U x i t T rezult: t U x i

0lim 0tt

x x . Dac 0lim 0tt

x x , spunem c punctul de echilibru

este repulsiv.

Un punct de echilibru, 0x , care este stabil i atractiv se numete

asimptotic stabil 40. Definiia unui punct de echilibru stabil poate fi reformulat, n termeni de

dinamic de faz, astfel: 0x este Liapunov stabil dac 0, 0 , astfel nct orice orbit din spaiul fazelor care pornete din regiunea 0;B x va rmne n regiunea 0;B x , la orice moment ulterior 0t (fig. 1.16).

n mod asemntor cu stabilitatea punctului de echilibru se poate defini stabilitatea ciclului limit i a altor mulimi invariante.

Stabilitatea punctelor de echilibru ale unui sistem dinamic liniar este

complet caracterizat pe baza teoremei de mai jos 40. Fie sistemul dinamic liniar asociat ecuaiei vectoriale n-dimensionale:

Ax x . a) Dac toate valorile proprii k ale matricei A au partea real negativ,

Re 0, 1,k k n , atunci exist constantele C, 0 , astfel nct

pentru orice 0nx au loc relaiile: 0 0; C e , 0

tx t t x i

0lim ; 0t

x t x

, ceea ce nseamn c originea este un punct asimptotic stabil

pentru sistemul dinamic liniar.

b) Dac exist o valoare proprie j a matricei A cu partea real pozitiv, adic

Re 0j , atunci 00, x , cu 0x , astfel nct 0lim ;t

x t

x ,

adic originea este un punct de echilibru instabil.

32

Teoremele din cazul sistemelor dinamice liniare au stat la baza formulrii i demonstrrii principiului de liniarizare Liapunov-Peron [40]

Fie sistemul dinamic neliniar asociat ecuaiei difereniale: ,x f x cu nx i 1 2, ,..., nf f ff , cu f cel puin de clas

1 i fie 0x un punct de

echilibru al sistemului, pentru care 0 0f x i 0J f x matricea Jacobi a lui f n 0x , care definete sistemul liniarizat Jy .

- Dac toate valorile proprii k ale lui J au Re 0k , atunci 0x este un punct de echilibru neliniar asimptotic stabil;

- Dac cel puin o valoare proprie j a matricei J are Re 0j , atunci 0x este un punct de echilibru neliniar instabil.

S considerm, de exemplu, sistemul dinamic descris de ecuaiile:

1 2 1 1 2

31 1 2 2 1 2

,

,

x x f x x

x x x x f x x

2. (1.61)

Punctele de echilibru rezult din sistemul algebric:

1 1 2 2, 0f x x x ; (1.62a)

32 1 2 1 1 2, 0f x x x x x . (1.62b)

Din rezolvarea sistemului (1.62) rezult punctele singulare (0,0), (1,0), (1,0). Matricea Jacobi ataat sistemului (1.62) este:

1 1

1 2

22 2 1

1 2

0 1

1 3 1

f f

x x

f f x

x x

J . (1.63)

Pentru punctele singulare 1,0 rezult c:

1 2, 1,00 1

2 1x x

J , (1.64)

astfel nct se deduce ecuaia caracteristic:

21

2 02 1

, (1.65)

cu rdcinile:

1,21

j 7 2, iar 7 02

. (1.66)

33

Aadar, punctele singulare 1,0 sunt (asimptotic) stabile, deoarece

1,2Re 0 . Punctele singulare 1,0 sunt atractori. Pentru punctul de echilibru 0,0 , matricea Jacobi devine:

1 2, 0,00 1

1 1x x

J , (1.67)

iar ecuaia caracteristic:

21

1 02 1

, (1.68)

cu rdcinile:

3,41 5

, cu 5 02 2

. (1.69)

Punctul de echilibru 0,0 are 3,4Re 0 , dar 0 , astfel c este un punct de tip a. Portretul de faz pentru sistemul (1.61) este reprezentat n fig. 1.16.

Fig. 1.16 Portretul de faz pentru sistemul caracterizat de relaia (1.61)

n timp ce stabilitatea unui punct de echilibru poate fi determinat considernd valorile proprii ale liniarizrii cmpului vectorial al sistemului dinamic, cum putem studia stabilitatea unei mulimi limit de tip ciclu limit, tor sau traiectorie haotic? Ideea de baz pentru acest studiu a fost introdus de Poincar i const n conversia sistemului dinamic n timp continuu ntr-un sistem echivalent, n timp discret, considernd o seciune transversal fa de liniile de cmp ale sistemului dinamic continuu. Interseciile traiectoriilor cu aceast seciune numit seciune Poincar definesc o hart de tip Poincar. i cum un ciclu limit va determina un punct fix Qx pe seciunea Poincar,

34

rezult c stabilitatea ciclului limit poate fi judecat ca stabilitatea punctului limit Qx .

Fig. 1.17 Definiia seciunii Poincar

1.5.3 Seciunea Poincar

O seciune Poincar a unui sistem dinamic autonom n-dimensional este un

hiperplan , de dimensiune 1n n spaiul strilor, care este intersectat transversal de fluxul cmpului vectorial f determinat de evoluia sistemului dinamic, aa cum este ilustrat n fig. 1.17.

Fie o orbit nchis n spaiul strilor unui cmp vectorial f, iar Qx

punctul de intersecie al orbitei cu planul (fig. 1.17). Dac T este perioada de repetiie a lui i x este suficient de apropiat de Qx , atunci traiectoria

t x prin x va intersecta planul , dup un timp T x , n punctul

x x , aa cum se arat n fig. 1.17. n consecin funcia sau corespondena

de tip Poincar este descris de aplicaia:

: g U , (1.70)

astfel c

xg x x , (1.71)

unde U este o vecintate a lui Qx , iar g caracterizeaz sistemul n timp discret:

1k k x g x . (1.72)

35

n acest sens se spune c aplicaia Poincar asociaz sistemelor dinamice continue i finit dimensionale sisteme dinamice discrete, care au aceleai mulimi limit ca i cele continue.

Stabilitatea ciclului limit este determinat de valorile proprii ale

liniarizrii funciei g x n jurul punctului Qx . Dac toate valorile proprii i

ale lui x QD g x au modulul mai mic dect unitatea, atunci ciclul limit este asimptotic stabil, iar dac un modul este mai mare dect unitatea, atunci ciclul

limit va fi instabil. Dac ns exist i , cu 1i , iar toi ceilali

multiplicatori verific relaia 1,k k i , atunci nu se poate preciza doar din

aceast analiz tipul ciclului limit, fiind necesare diferenialele de ordin superior ale aplicaiei Poincar. De notat c stabilitatea ciclului limit este independent de poziia i orientarea seciunii Poincar, cu condiia ca fluxul sistemului dinamic s intersecteze seciunea Poincar.

Se poate formula i urmtoarea teorem: Valorile proprii i ale matricei

Jacobi a aplicaiei Poincar asociat ciclului limit sunt independente de punctul Qx de pe i , de seciunea transversal i de coordonatele locale alese

pe aceasta.

ntr-o seciune Poincar, un ciclu limit arat ca un punct fix. Seciunea Poincar a unui atractor cvasiperiodic va arta, n final, ca o curb nchis (fig. 1.18). Seciunea Poincar a unui atractor haotic va avea o structur fractal (de puncte).

Fig. 1.18 Seciunea Poincar a unui atractor cvasiperiodic

1.5.4 Exponenii Liapunov

Exponenii Liapunov pot fi considerai ca o generalizare a valorilor proprii pentru un punct de echilibru. Ei sunt utilizai pentru a determina stabilitatea oricrui tip de comportare de regim permanent, inclusiv pentru comportrile cvasiperiodice i de tip haotic [11].

S considerm un sistem dinamic n timp discret, descris de setul de ecuaii (neliniare):

1k k x g x , (1.73)

36

unde kx reprezint vectorul de stare n-dimensional.

Fie kx perturbaia incremental a unui vector de stare kx , astfel nct

k k k x x x . Rezult c:

1k x k kD x g x x , (1.74)

unde xD x g este o matrice Jacobi, de dimensiune n n , avnd drept

componente derivatele pariale ale funciilor g x n raport cu cele n componente ale vectorului 1 2, ,..., nx x xx .

Fie 0k k y x x vectorul tangent, care determin un spaiu tangent.

Ecuaia de evoluie a sistemului dinamic n acest spaiu va fi:

1k x k kD y g x y . (1.75)

Evident, evoluia vectorului tangent ky depinde de orbita kx care, la rndul ei, este determinat de soluia iniial 0x i de orientarea iniial a

vectorului tangent 0y . Suntem interesai de rata exponenial, n care

amplitudinea lui y crete sau scade o dat cu fiecare iteraie. n acest scop vom defini mrimile:

0 0 0 0, lim , ,k

k

x y x y , (1.76)

unde

not

0 0

1, , ln= k kk

k x y y . (1.77)

Mrimea 0 0, x y se numete exponent (de tip) Liapunov, iar

not

0 0, , = kk x y se numete exponent Liapunov n timp discret.

n mod echivalent, putem vorbi despre numrul Liapunov L, care poate

fi definit n funcie de exponentul Liapunov prin relaia eL . Numrul Liapunov L reprezint factorul mediu n care amplitudinea vectorului perturbaie incremental kx este multiplicat la fiecare iteraie.

Din ecuaiile (1.75) i (1.76) rezult c:

0 0 0 0

1 0 0

1, , ln

1ln ... ,

kx

x k- x

k Dk

D Dk

x y g x y

g x g x y

(1.78)

unde am notat prin 0k

g x iterarea de k ori a funciei g , adic:

37

de ori

...k

k

g x g g g g x , (1.79)

iar kxD g x este matricea Jacobi de ordinul n n , relativ la transformarea

k g . Produsul dintre matricea 0k

xD g x i vectorul tangent unitar 0y

poate fi interpretat, n spaiul strilor, ca un elipsoid ale crui n raze principale

sunt chiar numerele Liapunov 0,iL kx , definite n timp discret pentru 1,2,...,i n . Direciile principale ale elipsoidului sunt cei n vectori proprii

perpendiculari ai matricei simetrice reale: 0 0T

k kx xD D

g x g x .

Razele principale ale elipsoidului sunt rdcinile ptratice ale celor n valori

proprii, care, uneori, sunt denumite valori singulare ale lui 0k

xD g x .

Pentru k , ecuaia (1.76) poate avea n valori posibile ale exponenilor

0i x , care depind de orientarea vectorului 0y . Fie ordonarea lor astfel nct:

1 0 2 0 0... n x x x . (1.80)

Mulimea valorilor 0 , 1,2,...,i i n x formeaz spectrul Liapunov. Pentru a rezuma introducerea teoretic a exponenilor Liapunov, s ne

imaginm n spaiul n-dimensional o sfer cu centrul n 0x care evolueaz o

dat cu sistemul dinamic. Dup k iteraii, sfera poate evolua ntr-un elipsoid, caracterizat de n raze principale, aa cum este ilustrat n fig. 1.19, pentru cazul particular 2n .

Raportul razelor principale (fig. 1.19) este de ordinul ek i , adic exponenii Liapunov i calific rata de tip exponenial a traiectoriilor sistemului dinamic n

evoluia sa. n vecintatea unei traiectorii asimptotic stabile, fluxul se contract, astfel c exponentul Liapunov va fi zero sau negativ.

Fig. 1.19 Interpretarea geometric a exponenilor Liapunov

38

Calculul exponentului Liapunov pentru ecuaia (neliniar) 1n nx f x Dup cum s-a artat, exponenii Liapunov caracterizeaz senzitivitatea

evoluiei unui sistem dinamic n timp, la variaia incremental a condiiilor iniiale. Dac analizm evoluia sistemului dinamic din punctul 0x n locul

evoluiei acestuia din punctul 0x , dup n iteraii abaterea dintre cele dou

evoluii poate fi caracterizat de ecuaia:

e nn , (1.81)

unde exponentul Liapunov caracterizeaz rata medie a convergenei sau divergenei procesului. Dac este negativ, procesul converge, iar dac este pozitiv, procesul diverge. Dac sistemul dinamic este caracterizat de ecuaia:

1n nx f x , (1.82)

rezult c diferena dintre evoluiile fa de o soluie iniial 0x i o alta

(perturbat) 0x , dup n iteraii, va fi:

0 0 en n nf x f x (1.83)

sau

0 0ln

n nf x f xn

. (1.84)

Pentru mic, aceast expresie devine:

1 d

lnd

nf

n x

(1.85)

sau

1

0

1lim ln

n

in

i

f xn

. (1.86)

De exemplu, n [12] se arat c pentru ecuaia logistic:

1 1n n nx x x (1.87)

valoarea exponentului Liapunov , n funcie de parametrul , este reprezentat

grafic ca n fig. 1.20.

Semnul (negativ sau pozitiv) al coeficientului Liapunov coincide cu

momentele de bifurcaie ale ecuaiei logistice. De exemplu, peste valoarea de 3,56 , regiunile de comportare periodic coincid cu intervalele n care

0 .

39

Fig. 1.20 Variaia coeficientului Liapunov pentru ecuaia logistic

n tabelul 1.2 se prezint o clasificare a comportrilor de regim permanent ale unui sistem dinamic, n funcie de mulimile lor limit i de valorile exponenilor Liapunov [14]. Aa cum este prezentat i n tabelul 1.2, toate

valorile proprii , 1,i i n , specifice unui punct de echilibru stabil, au partea real negativ, iar cel mai mare exponent al unui punct atractor este negativ.

Traiectoriile vecine unui ciclu limit converg ctre ciclul limit dac cel mai mare exponent Liapunov corespunztor ciclului limit este zero, iar ceilali exponeni sunt negativi.

Tabelul 1.2

Regim de funcionare Valori specifice pentru coeficienii

Liapunov

curent continuu 1 20 ... n

periodic 1 0,

2 30 ... n

cvasiperiodic

(k-tor) 1 2 ... 0k

1 20 ...k k n

haotic 1 0 , dar 1

0

n

i

i

40

Un k-tor este caracterizat de k exponeni Liapunov nuli, deoarece fluxul

local nu este nici contractiv, nici expansiv. Restul de n k exponeni Liapunov sunt negativi.

n medie, o traiectorie haotic este instabil i, n consecin, are un exponent Liapunov pozitiv. Aceasta conduce la o dependen senzitiv de condiiile iniiale. Cu toate acestea, un atractor haotic este caracterizat de o mulime limit atractoare spre care converg toate traiectoriile, astfel c suma exponenilor Liapunov este negativ.

n acest paragraf, pn acum, ne-am referit n mod particular la definirea exponenilor Liapunov doar pentru sistemele dinamice n timp discret. Pentru sistemele dinamice n timp continuu, aceste noiuni se definesc n mod similar. De exemplu, pentru un sistem dinamic n dimensional, n timp continuu,

caracterizat de sistemul de ecuaii:

x f x , (1.88)

vom considera o orbit tx deplasat infinitezimal n spaiul fazelor cu tx , astfel nct:

t t t x x x , (1.89)

i c vectorul tangent la aceast orbit este definit de:

t t t y x x . (1.90)

n spaiul vectorial tangent, sistemul dinamic este caracterizat de:

xD t y f x y . (1.91)

n acest caz, exponenii Liapunov sunt definii de:

1

0 , 0 lim lnt

tt

x y y (1.92)

i conduc, similar ca n relaia (1.80), la obinerea a n exponeni Liapunov

pentru valoarea iniial 0x din bazinul atractorului sistemului dinamic descris de relaia (1.88).

1.5.5 Entropia

S considerm c un experiment poate avea n valori posibile, cu probabilitile 1 2, ,..., np p p . Shannon a introdus noiunea de entropie, care

descrie incertidunea experimentului prin relaia:

41

1

1ln

n

s iii

H pp

. (1.93)

De exemplu, n cazul n care ip este egal cu unu, iar restul sunt nule,

rezult c 0sH , confirmnd faptul c nu exist nici o incertitudine n

realizarea experimentului. Pe de alt parte, incertitudinea are o valoare maxim cnd toate valorile experimentului au probabilitile egale. n acest caz

1 2

1... np p p

n i entropia va avea valoarea maxim posibil egal cu

ln n . Kolmogorov a aplicat noiunea introdus de Shannon n cadrul teoriei ergodice. Fie o msur invariant de probabilitate ergotic, ataat unui

sistem dinamic, caracterizat de funcia f. n cazul cel mai interesant pentru studiul nostru poate fi interpretat ca msura natural a unui atractor haotic

corespunztor sistemului. Fie R o regiune nchis din spaiul fazelor sistemului dinamic, care conine msura . S mprim regiunea R ntr-un numr finit de

subregiuni iR , astfel nct 1 2 ... nR R R R .

n acest caz, putem defini funcia de entropie corespunztoare unei partiii

iR prin relaia:

1

1

ln

n

i i i

i

H R R R

, (1.94)

care ne d informaia medie dobndit cnd tim c o orbit se afl ntr-una

dintre partiiile iR . n continuare, Kolmogorov consider valorile 1

if R

corespunztoare partiiilor iR i examineaz cele 2n intersecii:

1i jR f R (1.95)

pentru fiecare pereche ,i j , cu 1 ,i j n . Alegnd toate interseciile nenule, se realizeaz un nou set de partiii

(2)iR , cu 21 i n , unde 2n reprezint numrul de intersecii nenule. n continuare, procedeul se repet pentru cel de-al treilea set de partiii 3iR format din cele 3n intersecii nenule de tipul:

1 2 , pentru , , 1,2,...,i i kR f R f R i j k n (1.96)

n mod similar se formeaz partiiile de ordin superior. Mrimea:

11, lim limn n ni i i in n

h R R H R H Rn

(1.97)

42

poate fi interpretat ca fiind informaia medie ctigat trecnd de la partiia de ordin n la partiia mai fin de ordin 1n , cnd n . Entropia metric a msurii , denumit i entropia Kolmogorov-Sinai,

este, prin definiie:

sup ,i

iR

h h R . (1.98)

Exist i alte definiii ale entropiei ataate unui sistem dinamic. De exemplu, entropia topologic a unui sistem dinamic, definit de cmpul vectorial f, conduce la o caracterizare a complexitii dinamicii sistemului independent de

msura invariant sau de msurile pe care acest cmp le poate admite 41. Entropiile metrice i topologice permit moduri diferite de a caracteriza haosul. De exemplu, se afirm c dinamica pe o mulime invariant, care admite o msur invariant este haotic pentru orice condiie iniial n raport cu

msura dac 0h . Pe de alt parte, se spune c dinamica unui sistem neliniar, caracterizat de funcia f , admite orbite haotice dac 0Th .

1.6 Stabilitatea structural i bifurcaii

Stabilitatea structural se refer la senzitivitatea unui sistem dinamic la modificri mici ale parametrilor si. n consecin un cmp vectorial f structural stabil este acela pentru care un cmp vectorial f', foarte aproape de f, va avea o

dinamic echivalent n spaiul fazelor [3], [4], [10]. Noiunea matematic de stabilitate structural este foarte important i pentru sistemele dinamice electrice. De exemplu, un circuit fizic depinde, n

general, de un set de parametri, dintre care unul sau mai muli trebuie modificai pentru a optimiza un criteriu de performan. n acest sens este necesar s tim dac comportrile n spaiul fazelor vor fi echivalente sau (mult) diferite o dat cu modificarea acestor parametri.

S considerm un sistem dinamic cu un singur parametru , descris de

setul de ecuaii:

t tx f x , (1.99)

pentru care cmpul vectorial este parametrizat de valoarea lui . O valoare

particular 0 , pentru care fluxul cmpului vectorial corespunztor ecuaiei

(1.99) nu este structural stabil, adic este puternic senzitiv la mici variaii ale parametrului 0 , constituie un punct de bifurcaie.

S considerm exemplul comportrii n spaiul fazelor a unei diode Chua, pentru diferite valori ale neliniaritii rezistenei negative aG , aa cum este

ilustrat n fig. 1.21. Aa cum rezult din fig. 1.21, sistemul Chua evolueaz de la

43

regimul periodic stabil, caracterizat printr-o singur curb n spaiul fazelor

1 3 2, ,v i v , prin bifurcaii succesive, la un regim periodic cu dou, patru dublri de perioad, pn la o mulime caracterizat de o spiral atractoare [14].

Un alt exemplu l poate constitui comportarea sistemului dinamic n timp

discret, caracterizat de ecuaia logistic:

1 1k k kx x x . (1.100)

Aceast relaie poate fi considerat ca fiind discretizarea ecuaiei logistice n timp continuu:

1f x x x , x . (1.101)

Pentru sistemul dinamic descris de ecuaia iterativ ptratic (1.100), valoarea de echilibru sau valoarea punctului atractor qx satisface condiia:

q qf x x , (1.102a)

adic

1q q qx x x . (1.102b) Rezult:

1 2

10 i 1q qx x

. (1.103)

Valorile de echilibru 1 2

i q qx x vor satisface i condiia:

1 2f x x , (1.104) adic

1

0qf x f (1.105)

i

2

11 2qf x f

. (1.106)

44

Fig. 1.21 Regimuri specifice unui sistem dinamic

45

n consecin condiia de stabilitate pentru 1

0qx devine 1 , iar

condiia de stabilitate pentru 2

11qx

este 2 1 , adic 1 3 . Aceste

rezultate sunt ilustrate n fig. 1.22.

Fig. 1.22 Descrierea stabilitii/instabilitii atractorilor specifici ecuaiei logistice

Deci sistemul dinamic caracterizat de funcia logistic (de gradul doi) (1.100) are urmtoarea comportare n raport cu :

- dac 0 1 , rezult 1

0qx este stabil, iar 21

1qx

este instabil;

- dac 1 3 , rezult 1

0qx este instabil, iar 21

1qx

este stabil;

- dac 3 , att 1q

x , ct i 2q

x sunt instabile.

S considerm, n continuare, un al doilea ciclu al comportrii sistemului dinamic, caracterizat de operatorul:

not 2

22 3 2

1 1 1

1 1 .

=f f x f x x x x x

x x x x

(1.107)

n acest caz, condiia de echilibru 2 q qf x x devine:

22 3 21 1q q q q qx x x x x (1.108a)

sau

3 4 3 3 2 2 22 1 1 0q q q qx x x x . (1.108b)

Rdcinile sunt: 1

0qx i 21

1qx

, iar din ecuaia

46

2 2 1 1 0q qx x

rezult i

3,4

1 1 3

2qx

, care sunt reale doar dac 3 .

n continuare, pentru compoziia de ordinul trei a funciei iterative logistice:

not 3 f f f x f x , (1.109)

soluiile de echilibru se obin din ecuaia 3 q qf x x , care vor fi n numr de opt, evideniind apariia n spaiul strilor a 38 2 puncte fixe, dintre care patru vor fi stabile i patru vor fi instabile. Aceste bifurcaii apar pentru

3 6 3,449490... .

Similar se poate constata c, pentru compoziia de ordinul patru a funciei logistice, soluiile de echilibru ale ecuaiei:

not 4 q q qf f f f x f x x

(1.110)

pun n eviden o nou bifurcaie pentru 4 3,5440... , rezultnd 16 puncte

fixe, dintre care opt stabile i opt nestabile .a.m.d.

Valorile n pentru care au loc bifurcri, cu 2n puncte fixe, dintre care

12n sunt stabile i 12n sunt nestabile, sunt date mai jos:

1 6

2 7

3 8

4 9

5

1 3,568759...

3 3,569296...

3,449490... 3,569891...

3,545090... 3,569934...

3,564407...

...

Feigenbaum [12] a artat c aceste puncte de bifurcaie pot fi obinute din ecuaia:

1n

n c F

, (1.111)

unde 3,5699456... , 2,6327...c , iar 4,6692...F , care se numete

constanta (universal) Feigenbaum, deoarece caracterizeaz punctele de bifurcaie ale oricrei funcii iterative (neliniare) de ordinul doi.

Ecuaia unui sistem dinamic parametrizat poate fi rescris sub forma:

, , : n n x f x f , (1.112)

47

avnd ca soluie perechea de valori , S x , unde mulimea soluiilor S este

definit de , 0S R x f x , cel puin pentru o valoare . Din exemplele precedente s-a vzut c, pentru anumite valori ale

parametrului se pot obine diverse comportri ale sistemului dinamic n

spaiul fazelor.

Un punct 0 0, S x se numete punct regulat al ecuaiei , 0 f x dac:

0

0

0

x xf

x (1.113)

i punct singular dac:

0

0

0

x xf

x. (1.114)

Dintre punctele singulare, o importan deosebit o au punctele de bifurcaie, definite ca acele puncte n vecintatea crora ecuaia (1.114) are, cel puin pentru un dat, mai multe soluii.

Teoria bifurcaiei este o disciplin matematic care studiaz schimbrile topologice i difereniale, numite bifurcaii, ale aplicaiilor neliniare n anumite

puncte singulare, numite puncte de bifurcaie 4. Obiectul teoriei bifurcaiei depinde de context, adic de spaiile n care se

consider aplicaiile. Astfel, cnd aplicaia definete o ecuaie neliniar, staionar, ce depinde de un parametru, studiul de bifurcaie revine la determinarea anumitor caracteristici geometrice i algebrice ale varietilor ce alctuiesc mulimea soluiilor acelei ecuaii. n acest caz, teoria bifurcaiei se ocup, n principal, de gsirea punctelor de bifurcaie, a numrului varietilor ce trec prin aceste puncte, a sensului lor de apariie n aceste puncte, a stabilitii punctelor varietilor, ca soluii ale unor ecuaii de evoluie ataate unor familii de cmpuri vectoriale.

Dac aplicaia definete un sistem dinamic, atunci teoria bifurcaiei se refer la schimbrile topologice neechivalente ale spaiului fazelor.

n cadrul sistemelor dinamice, teoria bifurcaiei se numete teoria bifurcaiei dinamice (i aparine topologiei difereniale). n cazul problemelor staionare, definite de cmpuri vectoriale, ea se numete teoria bifurcaiei statice (i aparine analizei funcionale neliniare). Datorit legturii dintre ecuaiile difereniale, sistemele dinamice i cmpurile vectoriale, bifurcaia dinamic i cea static a ecuaiilor sunt legate corespunztor [3], [4].

Ca i stabilitatea, bifurcaia este o proprietate a soluiei unei ecuaii ce depinde de un parametru, legat de variaia acestei soluii cu acel parametru. Cum, n general, ecuaia este neliniar, n cazul staionar aceast variaie nu este

48

descris de o funcie, ci de o funcie multiform. De aceea teoria bifurcaiei apare ca un studiu al multiformitii funciilor. Fiind un studiu de natur calitativ, investigarea bifurcaiei trebuie efectuat naintea abordrii numerice sau a celei cantitativ teoretice a unei ecuaii, deoarece, n funcie de numrul i de natura soluiilor, trebuie alese metodele analitice i numerice specifice pentru determinarea acelor soluii.

De altfel teoria bifurcaiei s-a impus n urma constatrii c, datorit neliniaritii modelelor matematice ale tiinelor particulare, prezena bifurcaiei este regula i nu excepia! Pe de alt parte, existena mai multor atractori pentru o aceeai valoare a parametrului a dus la explicarea multor paradoxuri ale tiinelor particulare, impunnd un alt sens noiunilor de rezolvare i de soluie a unei ecuaii [4].

1.6.1 Diagrame de bifurcaie

Portretele de faz, seciunile Poincar, seriile de timp sau spectrele de putere evideniaz informaii asupra dinamicii unui sistem. ns dinamica unui sistem poate fi evideniat i ntr-o manier global, n raport cu variaia valorilor parametrilor si, permindu-ne compararea simultan a comportrilor periodice i haotice.

S considerm, din nou, sistemul dinamic n timp continuu de ordinul n,

descris de ecuaia: , x f x , cu parametrul . Pe msur ce parametrul se modific, mulimile limit ale sistemului dinamic se vor schimba. n mod tipic, o variaie mic a parametrului va produce o variaie cantitativ mic a mulimilor limit ale sistemului. Dar exist i posibilitatea ca o variaie mic a parametrului , n jurul anumitor valori, s produc schimbri calitative importante ale sistemului dinamic. Aceste schimbri calitative se numesc bifurcaii, iar valorile parametrului la care apar se numesc valori ale bifurcaiilor. Trebuie menionat c o schimbare calitativ a mulimii limit poate s apar numai dac sistemul dinamic este structural instabil. Astfel, mulimea valorilor de bifurcaie este mulimea valorilor parametrului pentru care sistemul dinamic este structural instabil. n acest sens se spune c o diagram de bifurcaie este o reprezentare a mulimilor atractoare ale unui sistem dinamic n raport cu valorile unui parametru de control [12], [13], [14]. n mod tipic, se

reprezint fie spaiul strilor, fie se alege o variabil de stare a sistemului dinamic, care se reprezint grafic n raport cu variaia parametrului de control.

Diagrama de bifurcaie este forma sintetic, geometric de prezentare a rezultatelor unui studiu de bifurcaie. Exemple de bifurcaii sunt: dispariia sau apariia unor mulimi limit sau o modificare n tipul de stabilitate a unei mulimi limit.

S considerm, pentru nceput, exemplul unui sistem dinamic de ordinul unu, descris de ecuaia:

2,x x x . (1.115)

49

Punctele critice sunt date de ecuaia: 2 0x . Rezult 1,2x .

Pentru 0 , sistemul dinamic nu are nici un punct de echilibru; pentru 0 ,

exist un punct de echilibru n origine 0x , cu valoarea proprie egal cu

zero, iar pentru 0 , exist un punct de echilibru stabil, la x , cu

valoarea proprie 2 , i un punct de echilibru instabil, la x , cu

valoarea proprie 2 . Deoarece la trecerea prin zero a parametrului se

creeaz dou puncte de echilibru pentru sistemul dinamic, se spune c 0 este o valoare de bifurcaie pentru acest sistem. Portretul de faz pentru acest tip de bifurcaie este dat n fig. 1.23.

Fig. 1.23 Portretul de faz pentru bifurcaia de tip a: a) 0 ; b) 0

Diagrama de bifurcaie pentru acest sistem este ilustrat n fig. 1.24, unde sunt indicate i mulimile limit stabile (linie continu) i instabile (linie punctat).

Fig. 1.24 Diagrama de bifurcaie pentru sistemul dinamic (1.115)

S considerm exemplul unui sistem dinamic de ordinul unu, descris de ecuaia:

3,x x x x (1.116)

Pentru orice valoare a lui , exist un punct de echilibru n origine. Valoarea proprie corespunztoare lui este egal cu , astfel c acest punct de echilibru este stabil dac 0 i instabil pentru 0 . Pentru 0 , exist, n

50

plus, nc dou puncte de echilibru, la . Ambele puncte de echilibru au

valorile proprii corespunztoare egale cu 2 , astfel c acestea sunt stabile. Poziia i stabilitatea punctelor de echilibru sunt reprezentate n fig. 1.25

Fig. 1.25 Portretele de faz ale bifurcaiei de tip pitchfork a) cazul 0 ; b) cazul 0

O bifurcaie apare la 0 , deoarece la aceast valoare punctul de echilibru din origine i schimb tipul de stabilitate i, n plus, sunt create dou noi puncte de echilibru. Diagrama de bifurcaie este reprezentat n fig. 1.26.

Fig. 1.26 Diagrama de bifurcaie pentru sistemul dinamic (1.116)

n cele dou exemple precedente, o bifurcaie a creat o pereche de puncte de echilibru i, n plus, n cazul exemplului precedent, a modificat i stabilitatea unui punct de echilibru existent. n urmtorul exemplu, bifurcaia va crea un ciclu limit. S considerm sistemul dinamic de ordinul doi, descris de ecuaiile:

2 21 2 1 1 2

2 22 1 2 1 2

x x x x x

x x x x x

(1.117)

Acest sistem dinamic are un punct de echilibru n origine, cu valoarea

proprie j , unde j 1 . Pentru 0 , punctul de echilibru este stabil. Cnd

este mrit ctre valoarea 0 , punctul de echilibru devine nonhiperbolic (avnd valori pur imaginare pentru valorile proprii corespunztoare), iar pentru

51

0 , punctul de echilibru devine instabil. Mai mult, pentru 0 , exist un

ciclu limit stabil, dat de soluia ecuaiei 2 21 2x x . Deoarece punctul de

echilibru al sistemului dinamic i schimb stabilitatea la 0 i este creat o nou mulime limit, vom concluziona c 0 este o valoare de bifurcaie pentru sistemul dinamic considerat. Aceast bifurcaie este denumit bifurcaie de tip Hopf.

Diagrama de bifurcaie pentru exemplul de mai sus, reprezentat n spaiul de coordonate 1 2( , , )x x , este dat n fig. 1.27.

Fig. 1.27 Diagrama de bifurcaie pentru sistemul dinamic (1.117)

n fig. 1.28 se prezint diagrama de bifurcaie corespunztoare unui sistem dinamic, n timp discret, caracterizat de ecuaia logistic: 1 (1 )k k kx x x . Aa

cum rezult din fig. 1.28, pentru valorile 1 2, ,... ale parametrului de control

rezult apariia dublrii de perioad.

Fig. 1.28 Diagrama de bifurcaie corespunztoare ecuaiei logistice

52

1.6.2 Tipuri de bifurcaii

Teoria matematic a bifurcaiei a studiat aproape complet tipurile de bifurcaii pentru sistemele dinamice dependente de un singur parametru sau, cel mult, de civa parametri. Se admite faptul c un studiu general, pentru un numr de n parametri, este imposibil (i poate nici nu este interesant din punctul de vedere al aplicaiilor practice) [3], [4]. n continuare ne vom referi succint la trei tipuri de bifurcaii.

1. Bifurcaia de tip Hopf apare n cazul sistemelor dinamice n timp continuu, cnd o pereche complex-conjugat de valori proprii ale liniarizrii

x QD f x a cmpului vectorial n jurul unui punct de echilibru Qx , traverseaz axa imaginar. n mod tipic, punctul de echilibru stabil devine instabil i se nate un ciclu limit stabil. Similar, cnd un ciclu limit traverseaz

o bifurcaie de tip Hopf, va rezulta o micare pe un tor 2 n spaiul fazelor sistemului dinamic.

2. O bifurcaie de tip a (saddle-nod) apare cnd un punct de echilibru stabil i unul instabil fuzioneaz i apoi dispar brusc dintr-un atractor. Un exemplu tipic de bifurcaie de tip a n circuitele electronice o constituie comutarea ntre cele dou stri ale unui circuit trigger Schmitt: la un anumit prag de comutare, punctul de echilibru, care corespunde strii de saturaie high, se unete cu punctul de echilibru de tip a din regiunea instabil de ctig mare i dispare. Dup un regim tranzitoriu, traiectoria se ndreapt ctre un alt punct de echilibru, care corespunde strii low. O bifurcaie de tip a se poate manifesta i ca un comutator ntre atractori de diferite dimensiuni, ntre atractori periodici i atractori haotici sau de la un ciclu limit de o anumit perioad ctre un ciclu limit de o alt perioad (de repetiie).

3. Bifurcaia de tip dublare de perioad este tipic pentru sistemele n timp discret i apare atunci cnd o valoare proprie real a liniarizrii

x QD f x a cmpului vectorial f n jurul unui punct de echilibru Qx traverseaz cercul unitate n punctul 1. n cazul sistemului dinamic n timp continuu, bifurcaia de tip dublare de perioad apare doar pentru comportri de tip ciclu limit, cnd durata unei perioade T se schimb ntr-una de durata 2T etc., aa cum a fost ilustrat n fig. 1.12.

Fiecare dintre cele trei bifurcaii descrise mai sus poate da natere unei evoluii distincte ctre haos i toate trei au fost regsite n studiul circuitelor electronice neliniare. De exemplu, evoluia ctre haos prin dublarea perioadei este caracterizat printr-o cascad de bifurcaii, n care un ciclu limit se transform n altul cu perioad de repetiie njumtit. Un astfel de scenariu de evoluie ctre haos s-a pus n eviden la circuitul Chua.

Evoluia ctre haos datorat bifurcaiilor de tip a cunoate diferite strategii. Cea mai comun este aa-numita evoluie intermitent, care rezult datorit unei singure bifurcaii de tip a. Caracteristic acestei strategii este

53

faptul c imediat dup o bifurcaie traiectoria din spaiul strilor este caracterizat de intervale (relativ) lungi de micri aproape regulate, urmate de scurte ruperi de micri neregulate. La o anumit valoare critic a parametrului (de control) a sistemului dinamic, fazele regulate devin din ce n ce

mai scurte, iar ruperile de micri neregulate devin din ce n ce mai frecvente, pn cnd intervalele regulate dispar, lsnd locul unei evoluii haotice (a traiectoriei unui sistem dinamic).

Evoluia ctre haos, datorat unei secvene de bifurcaii de tip Hopf, d natere unei ci ctre haos denumite cale cvasiperiodic. De exemplu, un sistem dinamic care pleac dintr-un punct fix va genera n evoluia sa, dup trei bifurcaii Hopf, trei toruri istabile i la cea mai mic perturbaie n sistem evoluia sistemului se va ndrepta ctre haos.

1.6.3 Drumurile ctre haos

De regul, sistemele dinamice neliniare, ce pot avea un comportament haotic, realizeaz trecerea dintr-un regim nonhaotic n regimul haotic printr-un anumit regim tranzitoriu sau scenariu. Aa cum am spus, exist mai multe modaliti sau drumuri prin care un sistem periodic sau pseudoperiodic realizeaz tranziia ctre regimul haotic. Cele trei mari scenarii de tranziie ctre haos sunt:

- dublarea perioadei sau drumul lui Feigenbaum, caracterizat printr-o serie de bifurcaii;

- de la intermitena haosului ctre haos, ce apare n imediata vecintate a ferestrelor n care regimul haotic nu este prezent, dei n afara acestor ferestre sistemul are un comportament haotic;

- cvasiperiodicitatea, ce se traduce prin bifurcaii Hopf repetate. Scenariile: dublarea perioadei, ca i intermitena haosului ctre haos se

gsesc adesea n cazul sistemelor monodimensionale. Astfel, pentru a ilustra aceste dou drumuri ctre haos, vom considera sistemul dinamic bazat pe funcia logistic definit astfel:

1

1

n nx f x

f x k x x

(1.118)

unde xn[0, 1] i k[0, 4].

a) Dublarea perioadei sau drumul lui Feingenbaum

Drumul lui Feigenbaum se traduce prin dublri de perioad succesive, pe msur ce unul dintre parametrii sistemului dinamic se modific. n cazul funciei logistice, parametrul ce se modific este k, iar pe msur ce k crete gradual, apar din ce n ce mai multe dublri de perioad, pn cnd sistemul intr n regimul haotic. Pentru a explica fenomenul dublrii de perioad, caracterizat printr-o bifurcaie de tip furc, vom considera mai multe intervale de valori pentru parametrul k.

54

Cazul 1 : 1k Traiectoria {xn} converge ctre punctul x=0, ce se numete punct fix

stabil al funciei logistice (pentru 1k ). Definiie: x* este un punct fix al sistemului descris de funcia F dac

F(x*)=x

*. n plus, x

* este un punct fix stabil dac

*d1

d

F x

x i se numete

instabil dac *d

1d

F x

x .

0 0 .2 0. 4 0 .6 0 .8 10

0. 1

0. 2

0. 3

0. 4

0. 5

0. 6

0. 7

0. 8

0. 9

1

xn

x n+

1

Fig. 1.29 Evoluia traiectoriei {xn} pentru k=0.9 i x0=0.6

n cazul exemplului considerat, definiia stabilitii unui punct fix se poate traduce i geometric folosind prima bisectoare xn+1=xn. Dac panta funciei logistice f(x) n x

* este mai mic de 45, punctul fix x* este stabil, iar n caz

contrar punctul fix este instabil.

Cazul 2 : 1 < k < 3

Funcia logistic are, n acest caz, dou puncte fixe *0 0x i *1 1 1x k

, obinute prin rezolvarea ecuaiei: 1k x x x . Punctul *0x este instabil pentru

c 0 1f k , iar punctul *1x este stabil, deoarece 1

1 2 1f kk

,

pentru k

55

Pentru acest domeniu de valori ale parametrului k, punctul fix *1x devine

i el instabil. Traiectoria cu condiia iniial x0 converge la nceput n vecintatea

lui *1x , iar apoi se ndeprteaz, pentru a oscila ntre dou valori *2x i

*2x

(fig. 1.30). Aceast oscilaie se numete ciclu de ordinul 2 sau atractor de perioad 2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+

1

x*

2- x*

2+x*

1

Fig. 1.30 Dublarea perioadei (k=3.14, x0=0.04)

Trecerea de la un ciclu de ordinul 1 la un ciclu de ordinul 2 corespunde

unei bifurcaii furc (fig. 1.31), punctul de bifurcaie fiind obinut pentru k = 3. *2x

*2x

*1x

Fig. 1.31 Bifurcaia furc

Punctele fixe *2x i *2x sunt