CAPITOLUL 9. COMPENDIU

8/15/2019 CAPITOLUL 9. COMPENDIU

1/72

9. COMPENDIU

Deoarece nu este posibil ca disciplinele prevăzute pentru pregătirea şi formarea unuispecialist, indiferent de domeniul de specializare , să se predea în mod secvenţial , astfel încâttoate noţiunile şi cunoştinţele iniţiale −necesare predării unei materii– să fie deplin însuşite de lacursurile premergătoare (din „amonte”, s!a prevăzut –în înc"eiere– acest compendiu, ce cuprindeacele elemente fundamentale „din afara” #azelor electrote"nicii, care sunt absolut necesare pentruînsuşirea temeinică a teoriei câmpului electromagnetic, în viziunea sistemică şi de modelare – simulare pe care ne!am propus!o$

%stfel, cursul aşa!numit „&atematici speciale” (care cuprinde capitolele de algebrăvectorială, transformări de funcţii, ecuaţiile fizice!matematice etc$ se predă în paralel sau c"iar după „#azele electrote"nicii”$ De aceea, s!a a'uns la necesitatea includerii aici a unui compendiu

matematic, cu noţiuni strict necesare studierii teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic şianalizei circuitelor electrice$&ai mult, noţiuni de modelare şi simulare asitată de calculator (simulare numerică–discretă

nu se predau –decât ocazional– la unele discipline de automatică şi informatică, dar acestea multtimp după înc"eierea cursului „#azele electrote"nicii”$

n sfârşit, unele instrumente informatice performante (aşa cum sunt &%)*%#!ul şi %+-.&%/, deşi se găsesc implementate (sub licenţă în reţele de calculatoare din 0$1$/$, de undesunt simplu de accesat, nu fac obiectul nici unui curs, deşi sunt mult solicitate de către doctoranzişi de participanţi la cursurile postuniversitare sau la direcţiile de aprofundare$

2onsiderăm că, reunind în acest capitol, acele noţiuni fundamentale de teoria matematică acâmpului, modelare!simulare şi utilizare de produse informatice, dăm posibilitatea cititorului săurmărească mai uşor şi eficient e3punerea #azelor electrote"nicii şi să realizeze numeroaseaplicaţii practice utile consolidării pregătirii sale$

9.1. Compendiu matematic

unt prezentate aici acele noţiuni fundamentale referitoare la teoria matematică a câmpului,fie pentru reamintirea lor, fie pentru e3punerea concisă (dar riguroasă a unor cunoştinţe noi$

9.1.1. Noţiuni de algebră vectorială

Produul calar a doi vectori$ 4ie doi vectori oarecare, A şi B 5 produsul lor scalar ,care se notează cu A B⋅ , este –prin definiţie– produsul modulelor celor doi vectori înmulţit cucosinusul ung"iului 6 dintre direcţiile acestor doi vectori, adică7

A B⋅ 8 AB cos6 , 9 ≤ 6 ≤ : (;$, cos6 8:=>89$ 1rodusul scalar reprezintă produsul dintre A şi măsura proiecţiei lui B pe direcţia A , sau reciproc (fig$;$


2/72

1rodusul scalar este comutativ, adică7

A B⋅ 8 A B ⋅ , fiind şi distributiv (în

adunare adică7

⋅ A ( B A C 8 A B⋅ A C A ⋅ $n coordonate carteziene, în care A

are componentele (scalare x A , y A ,

z A şi B componentele x B , y B şi z B ,

produsul scalar rezultă7

A B⋅ 8 ( A x i A A y j A A z k ( B x i A B y j A B z k 8 A x B x A A y B y A A

z B z ,deoarece versorii a3elor ( i , j , k , între direcţiile cărora ung"iurile sunt :=> (şi deci cosinusulzero, au produsele scalare7

ii ⋅ 8 ii cos9 8 i > 8 = 8 B A × 8 ( AB sin6 n ⇐ sin6 B 9$

Cegula burg"iului drept se formulează astfel7 se roteşte primul vector al produsuluivectorial spre cel de!al doilea, pe „drumul” cel mai scurt (sin6 B95 cu acest sens de rotaţie sedetermină sensul în care avansează un burg"iu drept , care este c"iar sensul versorului n $

1rodudul vectorial poate fi nul c"iar dacă A şi B sunt diferiţi de zero, şi anume atunci când A şi B au aceeaşi direcţie, deoarece în acest caz 689 şi deci sin6 8sin9 8 9$ &odulul

produsului vectorial, adică ABsin6, reprezintă aria determinată de cei doi vectori – factori ai

produsului (fig$;$>$$1rodusul vectorial nu este comutativ , deoarece 7 B A × 8 – A B × ,

aşa cum rezultă din definiţia (;$> $ 1rodusul vectorial este distributiv în adunare , adică 7

× A ( B A C 8 B A × A C A × $n coordonate carteziene, produsul vectorial se e3primă, prin distributivitate, astfel7

B A × 8 ( A x i A A j y A A z k × ( B x i A B y j A B z k 8 8 ( A y B z -A x B y i A( A z B x ! A x B z j A( A x B y -A y B x k ,

deoarece conform definiţiei (;$> produsele ii × , j j × şi k k × sunt nule, iar 7 ji × 8 k ,k j ×

8 i , ik × 8 j şi (datorită necomutativităţiii j ×

8 – k , jk ×

8 – i şi k i × 8 – j

$%cest rezultat se poate obţine şi prin determinantul7

z y x A A A

k ji

B A ×≡

,

??

4ig$ ;$<

4ig$ ;$>


3/72

care se dezvoltă după prima linie (cu minorii formaţi din componentele celor doi vectori7 pe liniaa doua componentele vectorului de la stânga produsului vectorial şi pe cea de a douacomponentele vectorului de la dreapta$

!mpărţirea cu un vector "#$$ astfel de operaţie nu este posibilă (nu are sens E deoareceatât produsul scalar cât şi cel vectorial nu admit operaţia inversă ( cos6

> 8 FProduul mi%t a trei vectori$ 2u orice treivectori oarecari, A , B şi C , se poate definiaşa!numitul produs mi3t C B A , care este omărime scalară egală în valoare absolută cuvolumul paralelipipedului construit pe cei treivectori7 1ermutând ciclic factorii produsului mi3t,rezultatul rămâne nesc"imbat, adică7

C B A 8 AC B 8 B AC ,dar se sc"imbă doi factori între ei se sc"imbăsemnul rezultatului 7

C B A 8 – C A B etc$1rodusul mi3t a trei vectori coplanari (care

formază deci un triedru degenerat este nul$n coordonate carteziene, valoarea

produsului mi3t a trei vectori se poate calcula folosind determinantul 7

C B A 8

z y x

z y x

z y x

C C C

B B B

A A A

8 x A ( z y C B − y z C B A y A ( x z C B − z x C B A z A (

y xC B − x y C B $

Dublul produ vectorial$ .ste acel produs între trei vectori ( A , B şi C , scris sub

forma × A ( C B × prin care se obţine ca rezultat un verctor cuprins în planul determinant decei doi vectori din interiorul parantezei, conform următoarei formule de dezvoltare7

× A ( C B × 8 ( C A ⋅ B −( B A ⋅ C , (;$?din care rezultă că vectorul dublu produs vectorial este dat prin proiecţiile sale pe cei doi vectoridintre paranteze$

Derivata unui vector$ Gectorii pot fi o funcţie de unul sau mai mulţi parametrii scalari,devenind astfel vectori variabili$ De e3emplu, dacă un vector (notat la modul generic cu V iao infinitate de valori în funcţie de un parametru scalar t , atunci V este o funcţie vectorială devariabilă t , ceea ce se scrie sub forma7

V 8V ( )t $

?H

4ig$ ;$@


4/72

1rin aceleaşi proceduri din teoria funcţiilor scalare, se introduc şi în studiul funcţiilor vectoriale noţiunile de7 limită, continuitate, derivată, diferenţială, derivată parţială, integrală etc$%stfel, derivata unei funcţii vectorială de un singur parametru scalar t este prin definiţie7

V I(t 8t

V

d

d 89

lim→∆t

( ) ( )t

t V t t V

∆−∆+ , (;$H

iar diferenţiala unei funcţii vectoriale de un singur parametru scalar t este 7t V V dJd = $

Dacă vectorul este dat prin proiecţiile sale pe un triedru trirectangular (de e3emplu7

componentele vectorului reprezentat în coordonate carteziene, cu versorii i pe a3a x, j pe a3a yşi k pe a3a z , adică k V jV iV V z y x ++= , derivata lui poate fi pusă sub forma7

(;$K k t

V j

t

V i

t

V

t

V z y x

d

d

d

d

d

d

d

d++= $

2onsiderând doi vectori oarecari , u şi v , atunci regulile de derivare sunt7

( )t

v

t

uvu

t d

d

d

d

d

d+=+ ,

( )t

uu

t u

t d

d

d

d

d

dλ+

λ=λ ,

(;$L ( ) ut vvt uvut dddddd +=⋅ ,

( ) ut

vv

t

u

t

vuv

t

uvu

t ×−×=×+×=×

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d ,

( )[ ]{ }t

ut u

t d

d

d

d

d

d ϕ⋅

ϕ=ϕ ,

unde M este un parametru scalar ( )[ ]t u ϕ este o funcţie vectorială de o funcţie scalară ϕ de un parametru scalar t $

erivatele !arţiale ale vectorului k V jV iV V z y x ++= sunt7

k x

V j x

V

i x

V

x

V z y x

∂∂

+∂

∂+∂

∂=∂

∂ ,

(;$N k y

V j

y

V i

y

V

y

V x y x

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

,

k z

V j

z

V i

z

V

z

V z y x

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

$

iferenţiala vectorului V (3,z,O este7

(;$; z z

V y

y

V x

x

V V dddd

∂∂

+∂∂

+∂∂

= $

Obervaţii cu privire la mărimile vectoriale$ %şa cum s!a arătat pe larg în subcapitolul, speciile de mărimi fizice care apar în electromagnetism sunt reprezentabile în modele prinmărimi matematice ca 7 scalari, vectori, tensori$

i n ceea ce priveşte mărimile vectoriale, e3istă aşa!numiţii7 vectori legaţi (de e3emplu,vitezele unor corpuri, vectori alunecători (de e3emplu, forţele şi vectori liberi (aşa cum sunttanslaţiile$ De aceea, când se efectuează operaţii cu astfel de mărimi, trebuie să se ţină seama de proprietăţile mărimilor fizice pe care le reprezintă$ %stfel, dacă este vorba de o adunare –adică deaplicarea regulii paralelogramului− nu are sens să se adune vitezele unor puncte diferite sauforţele care acţionează asupra unor particule (corpuri diferite$ De asemenea, compunerea a două

?K


5/72

rotaţii finite nu se poate face după regula paralelogramului, deşi rotaţiile finite pot fi descrise cuaceleaşi elemente (adică7 direcţie, sens, modul ca şi vectorii$

ii *a sc"imbarea sistemului de referinţă trebuie să se ţină seama de faptul că mai e3istă şialte tipuri de vectori aşa cum sunt7 vectorii !olari (ca de e3emplu, vectorii de poziţie şi vectoriiaxiali (ca de e3emplu, produsul vectorial$ 1rimii sunt invarianţi faţă de sc"imbarea orientăriisistemului de referinţă, pe când la trecerea de la un triedru drept la unul stâng, componentelevectorilor a3iali (cum este produsul vectorial îşi sc"imbă semnul$

iii &ărimile scalare (prin care se reprezintă în modele mărimile fizice ca timp, masă,sarcină electrică, intensitate a curentului electric de conducţie, temperatură etc$ sunt invariantefaţă de orice sc"imbare a triedului de referinţă (scalarii propriu!zişi, pe când produsul mi3t a treivectori (deşi este un scalar îşi sc"imbă semnul la trecerea de la sistemul drept la cel stâng (deaceea se numeşte, mai precis, !"eudo"calar $

iu /rupul aditiv al translaţiilor din plan (vectori liberi este izomorf cu grupul aditiv alnumerelor comple3e (dar numai pentru adunare$ De aceea, înmulţirea a două numere comple3eeste definită cu totul altfel decât înmulţirea vectorilor (v$ paragraful ;$$$


6/72

scalar ϕ va fi diferit de ϕ ( # o şi de aceea este important de ştiut cum variază ϕ ( # în puncte # imediat vecine lui # o, sub forma direcţiei şi sensului în care variaţia lui ϕ , ϕ ( # – ϕ ( # o, estecea mai mare5 deci ma3imul acestei variaţii, considerată din punctul # o$ 1entru aceasta seîncon'oară punctul # o cu o suprafaţa înc"isă Σ , ce cuprinde volumul v (fig$;$?, şi se calculeazălimita (;$


7/72

în punctul # o$ 4ie " versorul acestei tangente, sensul său arătând sensul pozitiv de parcurgere pecurba Γ (fig$ ;$H$ +otând cu # # ol abscisa curbilinie a punctului # faţă de # o, rezultă căvaloarea absolută Q # # ol Q este lungimea arcului # o # , iar semnul arată dacă deplasarea pe curbaΓ de la # o la # se face în sensul pozitiv sau în sensulopus$ 1unctul # o fiind presupus fi3, iar # oricare pecurba Γ , diferenţa ϕ ( # – ϕ ( # o este o funcţienumai de # # ol $

Caportul R ϕ ( # – ϕ ( # oS = # # ol reprezintă

variaţia medie a funcţiei ϕ ( # pe unitatea dedeplasare, în deplasarea de la # o la # pe curba Γ $%tunci, prin definiţie, limita acestui raport pentru

# # ol → 9 (în cazul în care e3istă se numeştederivata funcţiei scalare ϕ ( # după direcţia " −sauderivata câmpului scalar ϕ sau supa o direcţie " − şi

se notează "∂

ϕ∂7

( ) ( )Γ ∈

ϕ−ϕ=

∂

ϕ∂→

# l

# #

" # #

o

l

o #o#

,lim9

$ (;$


8/72

.3presiile (;$


9/72

Zcosd

d

d

d

" "

ϕ=

ϕ sau ( ) ( ) Zcosgradgrad

99⋅ϕ=ϕ⋅

# # n " $

De aici rezultă ca derivate lui W după o direcţie normală la suprafaţa ec"iscalară, în sensulcrescător al câmpului scalar W este c"iar Qgrad WQ, în timp ce după o direcţie tangenta la suprafaţă Xderivata este nulă$

1rin urmare, gradientul unei funcţii scalare W, într!un punct oarecare Ω∈9 # , este unvector care arată după ce direcţie şi în ce sens funcţia scală W(1 este ma3imă, aceasta fiindîntotdeauna normală la suprafaţa Σ∈9 # $

C'mpul vectorial. Dacă intr!un domeniu \, fiecărui punct # îi corespunde o mărimevectoriala / (o notaţie generică, funcţia vectorială de punct, / (1, definită astfel se numeştecâmp vectorial$ 1rin câmp vectorial se mai înţelege şi mulţimea tuturor vectorilor / din \,determinaţi de / (17

/ 8] / (1Q Ω∈∀ # P$-ată numai câteva e3emple de câmpuri vectoriale7 câmpul vitezelor unui corp în mişcare,

câmpul vitezelor unui fluid în mişcare, câmpul gradientului unui câmp scalar, câmpul densităţii desuprafaţă a curentului de conducţie, câmpul inducţiei magnetice etc$

,lu%ul unui vector. .ste o mărime scalară (să o notam cu ^ care –pentru un vector notatcu / − se defineşte, printr!o suprafaţă X, de7

A /

d⋅=Ψ ∫ Σ , (;$


10/72

la limita, către zero, punctul # rămânând mereu –în timpul acestei treceri vX[9– în interiorul luiX ( )Σ∈ v # 9 $ 4ăcându!se această limită, flu3ul vectorului / descrie local, în Ω∈∀ # , aceastăstare de a fi conservativ sau nu$ n acest fel s!a a'uns la noţiunea de divergentă$

*imita raportului dintre flu3ul pe suprafaţa înc"isă X şi volumul mărginit de aceastăsuprafaţă (vX, când volumul tinde către zero (conţinând tot timpul punctul # , se numeştedivergenta câmpului vectorial în acel punct, ceea ce se scrie astfel7

(;$9 că _transformă ointegrala de suprafaţă (dublă într!una de volum (triplă şi invers”$

4ormula (;$>9 arată că un câmp de divergenţa zero are flu3ul total printr!o suprafaţăînc"isă tot zero (flu3ul care _intră” în suprafaţa X este egal cu cel ce _iese” din X şi –înconformitate cu definiţia liniilor de câmp (prezentată anterior– reiese că orice câmp de divergenţănulă are liniile de câmp înc"ise (curbe înc"ise, paralele între ele$ Dacă ( 9div ≠⇒Ω∈∃ # / # ,atunci câmpul vectorial / din domeniul \ are liniile de câmp concurente în punctul # (undee3ista, deci, o sursa de câmp5 pentru

( ) # / div `9, în # este un _puţ” de câmp şi liniile de câmp

converg (se _întâlnesc” în # $Derivata unui vector după o direcţie dată$ 4ie un câmp vectorial Ω∈∀ # # B ,( , şi "

versorul tangentei la o curbă Ω∈Γ Γ , , într!un punct al ei 99 Γ ∈ # $ Derivata lui B dupădirecţia " , descrisă de cosinusurile ei directoare k ji " VU6 7VU,6,( ++= , se defineşte prin7

Γ ∈−

=→ 9

9

9, ,

((lim

d

d

99

9

# # l

# B # B

"

B

# # l

# # #

(;$>


11/72

în care # # l 9 este „deplasarea” pe Γ din 9 # într!un punct imediat vecin # , în sensul pozitiv alversorului " $

n coordonatele carteziene, ,,(( z y x B # B = şi ,,(( 9999 z y x B # B = astfel că, încondiţii de e3istenţă şi continuitate a derivatelor parţiale ale lui B în vecinătatea lui

,,( 999 z y x se poate scrie7

(((,,(,,((( 9999999 z z z

B y y

y

B x x

x

B z y x B z y x B # B # B −

∂∂

+−∂∂

+−∂∂

=−=−

şi trecând la limită7,limlimlim

,,(,,(lim

99

99

99

99

9

9

9

9

9

9

999

9 # #

l # #

l # #

l # #

l l

z z

z

B

l

y y

y

B

l

x x

x

B

l

z y x B z y x B

# # # # # # # #

−∂∂

+−

∂∂

+−

∂∂

=−

→→→→

în care limitele din membrul drept sunt cosinusurile directoare VU,6,( ale vectorului unitar "

tangent la Γ în 9 # 7

Vlim ,Ulim ,6lim

99

99

99

9

9

9

9

9

9=

−=

−=

−→→→

# # l

# # l

# # l l

z z

l

y y

l

x x

# # # # # #

2u aceşti cosinuşi directori (deoarece k ji " VU6 ++= , definiţia (;$>@

Celaţia (;$>>, ca şi (;$>@, arată ca derivata unui vector după o direcţie dată, tangentă lalinia de câmp în punctul considerat, are drept componente derivatele componentelor vectoruluidupă acea direcţie$

Circulaţia unui vector. 4ie 3 un câmp vectorial într!un domeniu Ω şi Γ o curbă înΩ ( Ω⊂Γ , pe care considerăm două puncte A şi B (fig$ ;$L$

e numeşte integrală curbilinie a vectorului 3 , din punctul A până în punctul B, integrala7

∫ →Γ

⋅ B A

l 3 7

d , (;$>?

în care7 indicele semnului integrală 7( B A →Γ precizează curba Ω⊂Γ din câmp de!a lungulcăreia se face integrala şi între ce puncte (cu sensul pozitiv de la primul punct indicat, A, la cel deal doilea, B5 3 este vectorul câmp considerat în punctele Γ ∈ # , între e3tremele A şi B iar l deste aşa!numitul ele1ent de curbă orientat $ ub semnul integralei, între vectorii 3 şi l d seface produsul scalar 6cosd( l 3 ⋅ , cu

$,(6∧

= t 3

.lementul de curbă orientat, l d (v$ fig$;$L este un vector elementar, ce se determină pentru orice punct Γ ∈ # , tangent la curbă în punctul # , cu modulul elementar dl (un elementde curbă în 'urul punctului # , atât de micîncât de!a lungul lui vectorul = 3 const$,

H@

4ig$ ;$L


12/72

orientat după versorul t (al tangentei la curba şi cu sensul acestuia (pozitiv pentru sensul B A → $ Deci7 t l l dd = $n coordonate carteziene, integrala curbilinie (;$>? se scrie sub forma7

$ddd(ddd((d777

z 3 y 3 x 3 k z j yi xk 3 j 3 i 3 l 3 z y B A

x z y

B A

x

B A

++=++⋅++=⋅ ∫ ∫ ∫ →Γ →Γ →Γ

.3emple7 lucrul mecanic ( ) 41 se calculează prin integrala curbilinie a unei forţel 5 41 d( ⋅= ∫ , tensiunea electrică în lungul firului (u f este definită prin integrala curbilinie

l / u B A

c

f d7

⋅= ∫ →Γ a intensităţii câmpului electric coulombian ( c / dintr!un conductor etc$1e baza celor prezentate anterior, circulaţia unui vector se defineşte foarte simplu ca fiind

integrala curbilinie a vectorului de!a lungul oricărei curbe +nc2i"e din domeniul de e3istenţă alcâmpului vectorial7

(;$>H Ω⊂Γ ∀⋅∫ Γ

,dl 3 $

.3emple de circulaţie a unui vector7 tensiunea electromotoare t$e$m$ ( e definită prin

circulaţia intensităţii câpului electric / , adică l / e

d⋅= ∫ Γ

5 tensiunea magnetomotoare t$m$m$

(u1 sau solenaţia (θ care se defineşte prin circulaţia intensităţii câmpului magnetic 3 , adică

Zd =⋅= ∫ Γ

l 3 u

1 $

otorul vectorului c'mp. .3istă câmpuri în care circulaţia unor vectori este nulă, ca −dee3emplu− lucrul mecanic al forţei din câmpul gravitaţional, tensiunea în câmp electrostatic etc$Dar sunt şi situaţii în care circulaţia vectorului câmp este diferită de zero, ca −de e3emplu−circulaţia vitezei unui corp pe un contur în 'urul a3ului de rotaţie, tensiunea electromotoare deinducţie (adică circulaţia intensităţii câmpului electric solenoidal, solenaţia (adică circulaţia

vectorului intensităţii câmpului magnetic etc$1entru a caracteriza local câmpul vectorial din acest punct de vedere (în Ω∈∀ # ,fără să mai fie necesară definirea conturului Ω⊂Γ pe care se face circulaţia, se introducenoţiunea de rotor al vectorului care −în fapt− printr!o trecere la limită reduce conturul Γ la uncontur infinitezimal în 'urul unui punct Ω∈ # $ n acest scop, se consideră o suprafaţă desc"isă AΓ care se spri'ină pe conturul înc"is Ω⊂Γ (domeniu în care este definit vectorul, fie acesta

3 ce conţine punctul Γ ∈ A # 9 şi în care rotorul, notat cu rot 3 , se defineşte prin e3presia7

(;$>K ,d

limrot

9

9 9Γ

Γ

→→∫ ⋅=

Γ

A

l 3 u 3

A #

A

#

unde direcţia versorului u reprezintă orientarea elementului de arie 9→Γ A (în 'urul punctului # 9 pentru care valoarea absolută 3 rot este ma3imă$

H?


13/72

2uvântul „rotor” a fost utilizat în scopul de a sugera un fapt fizic (din mecanica fluidelor,acela al „liniilor de vârte'”$ Dacă într!un câmp vectorial Ω∈∃ # pentru care rotorul vectoruluieste diferit de zero, atunci câmpul se numeşte „rotaţional” (acesta este cazul câmpului magnetic,ale cărui mărimi de stare −intensitatea câmpului magnetic 3 , inducţia magnetică B − suntcâmpuri rotaţionale7 9rot = 3 şi 9rot = B $

e poate arăta că e3presia de definire a rotorului (;$>K este ec"ivalentă cu7

Σ

Σ

∈→∫ ×=

Σ

Σ v

3 A

3

v #

v #

d

limrot

9

9 9

,

în care Σ este o suprafaţă înc"isă care încon'oară punctul 9 # , vΣ este volumul mărginit deaceastă suprafaţă, iar Ad este elementul de arie orientat al lui Σ$

n coordonate carteziene rotorul are e3presia7

k y

3

x

3 j

x

3

z

3 i

z

3

y

3 3 x

y z x y z

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂

=rot ,

ceea ce permite utilizarea tabelului7

z y x 3 3 3

z y x

k ji

3

∂

∂

∂

∂

∂

∂=rot , (;$>L

care se dezvoltă ca un determinant, după prima linie$n scriere simbolică7

( )k 3 j 3 i 3 k z

j y

i x

3 3 z y x ++×

∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇=rot , (;$>N

ceea ce permite aplicarea formală a regulilor de calcul din algebra vectorială$/eorema lui (to0e. 1e baza definiţiei (;$>K se poate enunţa următoarea teoremă7 ciculaţia

câmpului vectorial 3 este egal cu flu3ul rotorului acestui vector prin orice suprafaţă (oarecare AΓ mărginită de curba înc"isă Γ, adică7

∫ ∫ Γ

⋅=⋅Γ A

A 3 l 3 drotd (;$>N

2a semnificaţie fizică, teoremă lui toes (;$>N arată că în cazul câmpului rotaţional9rot( ≠ 3 , circulaţia vectorului câmp este diferită de zero şi invers$

Din punctul de vedere al teoriei matematice, se spune că teorema lui toes (;$>Ntransformă o integrală simplă într!una dublă (de suprafaţă sau invers$

HH


14/72

Operatorul di)erenţialvectorial. %cest operator se notează cu ∇ („nabla” şi este unoperator liniar, ce se supune, formal, regulilor algebrei vectoriale şi calculului diferenţial$ Dee3emplu, dacă ∇ se aplică produsului ϕ⋅ψ dintre două mărimi scalare, se va scrie7

ϕ∇+∇ϕ=⋅ϕ∇ ( , (;$@9iar dacă se aplică, prin produs scalar, produsului dintre un scalar W şi un vector / va rezulta7

...( ⋅∇ϕ+ϕ∇⋅=ϕ⋅∇ , (;$@9Iceea ce înseamnă7(;$@9II / / / divgraddiv( ϕ+ϕ=ϕ ,

care, în ambii membrii ai egalităţii, conţine mărimi scalare$%lte cazuri, des întâlnite în teoria câmpului electromagnetic, sunt7

(;$@

−=×

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

rotrotdiv(

sau (((

vuuvvu

vuuvvu

(;$@@ vuuvuvvuvu ((((( ∇−∇+∇−∇=××∇ 5(;$@? vuuvvuuvvu ((((( ∇+∇+×∇+×∇×=∇

în care u şi v sunt nişte funcţii vectoriale, iar parantezele fi3ează priorotăţile în e3ecutarea

operaţiilor în cadrul produsului a trei vectori ( u,∆ şi v $1rin urmare7! operatorul ∇ aplicat unui scalar determină vectorul numit gradient / =ϕ=ϕ∇ grad! operatorul ∇ aplicat prin produs scalar uni vector determină scalarul numit divergenţă

div( ==⋅∇ / / ! operatorul ∇ aplicat prin produs vectorial unui vector determină vectorul numit rotor

6 3 3 ==×∇ rot( n propoziţiile acestea, ϕ şi ψ sunt câmpuri scalare (funcţii scalare de punct dintr!un anumit

domeniu de e3istenţă a câmpului, iar 3 / , şi 6 sunt câmpuri vectoriale (funcţii vectoriale de punct$

Operatori di)erenţiali de ordinul II. n analiza câmpurilor apar adesea e3presii în careoperatorul ∇ se repetă, ca de e3emplu7

' graddiv ( ) ,>

>

>

>

>

>>

z y x ∂ϕ∂

+∂

ϕ∂+

∂ϕ∂

=ϕ∇=ϕ∇⋅∇=ϕ (;$@H

în care operatorul >>

>

>

>

>

>

z y x

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=∆ se numeşte „laplacean” şi este un operator

diferenţial de ordinul doi, liniar, ce a fost dedus prin regulile formale ale operatorului ∇7

(;$@K ∆=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅∇

z y xk

z j

yi

xk

z j

yi

x>

>

>

>

>

>

5

'' 9(sau9gradrot =ϕ∇×∇=ϕ (;$@Lcăci7

( ) ,9=

ϕ

∂∂

+∂∂

+∂∂

×

∂∂

+∂∂

+∂∂

=ϕ∇×∇ k z

j y

i x

k z

j y

i x

HK


15/72

deoarece7 9,i i j j k k × = × = × = i j k × = − şi , j i k × = i k j× = − şi ,k i j× =

j k i× = şi 5k j i⋅ = − ''' 9(rotdiv =×∇⋅∇= / / , (;$@N pentru că7

(

x y z

i j k

/ i j k i j k x y z x y z x y z

/ / /

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇× = + + ⋅ = + + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

y y x x z z / / / / / /

i j k y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⋅ − + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

9>>>>

=

∂∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂∂

+

∂∂

∂−

∂∂∂

= y z

/

x z

/

x y

/

z y

/

z x

/

y x

/ x y z x y z

deoarece7> > >

> > >

, x y y x x z z x

∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ şi

> >

y z z y

∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂ (datorită comutativităţii operatorilor ∂ , care suntliniari5 'v A A A ∆−= grad(divrotrot , (;$@;ceea ce rezultă din7

A A A A A A ∆−∇∇=∇−∇∇=×∇×∇= (((rotrot > ,

unde ( A∇ × ∇ × este un dublu produs vectorial, care −conform formulei de dezvoltare (;$?−sescrie7

>( ( ( ( $ A A A A A∇× ∇× = ∇⋅ ∇ − ∇⋅∇ = ∇ ∇ −∇Derivata ubtanţială 2n raport cu timpul. ă presupunem că un câmp scalar de punct

( # ϕ , variază şi în timp (t , caz deseori întâlnit în natură$ %tunci, funcţia scalară se scrie7( )t # ,ϕ=ϕ , iar dacă −într!un sistem de referinţă cartezian− fiecărui punct # îi ataşăm un vector de poziţie r se va putea scrie7

,(,( t r t # ϕ=ϕ=ϕ=ϕ unde ( ( ( ,r x t i y t j z t k = + + ceea ce înseamnă că însuşi punctul # îşi modifică locul în timp$

2onform definiţiei, derivata lui ϕ în raport cu timpul va fi derivata totală7

t

z

z t

y

yt

x

xt t

"

d

d

d

d

d

d

d

d⋅

∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+⋅∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ϕ , (;$?9

în care derivatele d x=dt , d y=dt şi d z=dt sunt componentele (proiecţiile unei viteze, 7 după triedrul

, , 7i j k

k t

z j

t

yi

t

x7

d

d

d

d

d

d++=

viteză cu care se deplasează punctul # $ 2um punctul # este „legat” (asociat unui suport material(un corp solid, un fluid, o particulă etc$, derivata a căpătat numele de „substanţială” (de lamaterialul sau substanţa în care se ia punctul # şi i s!a atribuit indicele " (de la substanţială$

.3plicitând viteza 7 relaţia (;$?9 devine7

7t

k t

x j

t

xi

t

xk

z j

yi

xt t

" ⋅ϕ∇+∂ϕ∂

=

++⋅

∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ϕ

d

d

d

d

d

d

d

d

HL


16/72

adică, derivata substanţială în raport cu timpul a câmpului scalar ϕ este7

ϕ+ϕ∇+∂ϕ∂

=ϕ

gradd

d77

t t

" $ (;$? $(d

d / 7

t

/

t

/ " ∇+∂

∂=

Derivata ubtanţială "materială$ a )lu%ului in raport cu timpul$ 4ie Ω∈ B un câmpvectorial în care B este o funcţie de punct şi variază în timp ( t 7 ( ) ( )t z y x Bt ! B B ,,,, == , încare x$ y$ z sunt coordonatele unui punct # ∈Ω într!un sistem de referinţă cartezian, şi fie Γ∈Ω ocurbă înc"isă (un contur material, realizat –de pildă– sub forma unei spire a unei bobineelectrice, care se deplasează în câmp cu o viteză k 7 j7i77 z y x ++= , componentele acesteiviteze, în coordonatele carteziene, fiind8 7 x= d x9 dt$ 7 y = d y9 dt şi 7 z = d z9 dt $ 4lu3ul vectorului B

prin orice suprafaţă ΣΓ, mărginită pe conturul Γ, ϕ 8 ∫ Γ Σ

⋅ A B d va fi variabil în timp deoarece

atât B cât şi Γ (deci şi ΣΓ se modifică în timp7 ϕ 8ϕ(t $n multe situaţii este necesar să se calculeze derivata în raport cu timpul a acestui flu3,

adică7

∫ Γ Σ

⋅−=ϕ

A Bt t

" " dd

d

d

d,

care se numeşte derivata materială (substanţială a flu3ului în raport cu timpul, ceea ce a impusindicele "*

Ga rezulta7(;$?@

( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ

Γ Γ Γ

Σ Σ Σ Σ Σ

Σ Σ

ΣΣ Σ

⋅××∇+⋅⋅∇+⋅∂

∂=⋅∇⋅+⋅

∂∂

=

=⋅

∂

∂

+∂

∂

+∂

∂

⋅+++⋅∂

∂

=

= ⋅

∂∂

+⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂

∂=⋅=

ϕ

A7 B A B7 At

B A B7 A

t

B

Ak z

B

j y

B

i x

B

k 7 j7i7 At

B

Adt

z

z

B

dt

dy

y

B

t

x

x

B A

t

B At z y x B

t t

z y x

t

" "

ddddd

dd

dd

d

ddd,,,(

d

d

d

d

(

ceea ce se mai poate scrie şi în forma7

(;$?? ( ) A7 B A B7 At

B A

t

B

t

f " drotddivddd

d

d

d⋅×+⋅+⋅

∂∂

=⋅=ϕ

∫ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Γ Γ ΣΣ Σ Σ

,

în care d f B=dt se numeşte derivata de flu3 în raport cu timpul (de unde şi indicele f al derivatei d$2um elementul de arie d A este unul oarecare, din a doua egalitate a e3presiei (;$?? rezultă7

(;$?H ( )7 B B7t

B

t

B f ×++

∂= rotdiv

dd

d *

Derivata de integrală de volum 2n raport cu timpul. %par cazuri practice în care estenecesar să se calculeze e3presia7

(;$?K ∫ ∫ =v v vt vV

vV t

dd

dd

d

d ,

în care termenul dvV =dt se numeşte derivata de volum în raport cu timpul a câmpului scalar variabil în timp, V $ 1rin urmare, V este o funcţie scalară de punct # v∈ şi timp, V=V:#$t;$

HN


17/72

sistemul de puncte # v⊂ fiind în mişcare prin raport cu sistemul de referinţă, cu viteza sistemuluide puncte dată de $d=dd=dd=d t z k t y jt xik 7 j7i77 z y x ++=++= %tunci7

( )

( ) ( ),div

d

d

d

d

d

d

d

dd

d

d,,,

d

d

d

d

7V

t

V 7V

t

V

k t

z j

t

yi

t

xk

z

V j

y

V i

x

V

t

V

t

z

z

V

dt

y

y

V

t

x

x

V

t

V t z y xV

t t

V vv

+∂

∂=∇+

∂

∂=

=

++⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂=

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

==

(;$?L

astfel că derivata de integrală de volum în raport cu timpul (;$?K devine7

( )∫ ∫ ∫ +∂∂

=v v v

v7V vt

V vV

t $ddivdd

d

d (;$?N

%plicându!se formula (;$>9, a lui /auss!strogradsi, potrivit căreia integrala de volum adivergenţei unui vector (deci a densităţii de volum a flu3ului vectorului este egală cu integrala prin suprafaţă înc"isă a flu3ului elementar al vectorului, dacă volumul v este mărginit de osuprafaţă înc"isă Σ(Σv, atunci ultimul termen al e3presiei (;$?N se poate scrie7

( )∫ ∫ Σ Σ

⋅=v v

A7V v7V dddiv

şi atunci derivata de integrală de volum (;$?N mai are şi forma7∫ ∫ ∫ Σ ⋅+∂

∂=

v v v

A7V vt

V vV

t ddd

d

d*

De e3emplu, în mecanica fluidelor funcţia scalară poate fi densitatea de volum a unui fluid

(v≡ρ, caz în care ∫ Σ ⋅ A7 de este debitul masei prin Σ (în g=s, iar dacă se elimină ρ,

∫ Σ ⋅ A7 d reprezintă debitul volumic al fluidului prin Σ (în m@=s$

9.1.3. epre4entarea 2n planul comple% a mărimilor armonice "inuoidale$

n studiul circuitelor electrice (aşa cum s!a văzut în capitolele L şi N, mărimile electrice decircuit (t$e$m$, curenţii electrici din laturile circuitelor, tensiunile la borne, puterile instantaneeetc$ se reprezintă prin mărimi matematice (modele care sunt funcţii sinusoidale de forma7

( )ϕ+= t X x fsin> ,în care7 x este valoarea instantanee a mărimii electrice de circuit considerate (t$e$m$= e$i$u$! etc,deci o funcţie reală de variabilă reală în timp x:t;=x:t%kπ f este pulsaţia(frecvenţa ung"iulară5 f – frecvenţa de repetiţie a lui x :f=)9>=:sin>>= ==π , şi argumentul ϕ+t f , iar

la pulsaţie constantă funcţia este univoc determinată prin valoarea efectivă X şi faza iniţială ϕ(ceea ce, simbolic se scrie 3 ϕ $%vându!se în vedere acest fapt precum şi acela că operaţiile cu funcţii de timp

trigonometrice sunt greoaie şi laborioase (ceea ce s!a văzut în capitolul N, în analiza circuitelor electrice de curent alternativ, în care intervin frecvent operaţii de adunare, înmulţire şi împărţire,s!a generalizat utilizarea unor reprezentaţii în planul comple3 a mărimilor sinusoidale, ceea cesimplifică mult calculele$ !a plecat de la observaţia că în planul comple3


18/72

astfel că orice funcţie sinusoidală este partea imaginară a dreptei origine – afi3 din planulcomple37 $-msin @ @ =α

n ultimele două e3presii s!au folosit notaţiile7 < – unitatea reală5 ' – unitatea imaginară

(definit prin f-m $ Deci, funcţia de

timp sinusoidale x i s!a asociat un aşa numit vector X (ω în planul comple3, un vector învârtitor care seroteşte în sens trigonometric cu viteza ω (vezi fig$;$N,b şi are modulul X egal cu valoarea efectivă afuncţiei sinusoidale (deoarece în regim armonic, înorice situaţie X X >

ma3 = , subânţelegându!se, astfel,

că în planul timpului valoarea ma3imală a mărimii

sinusoidale va fi modulul reprezentării în planulcomple3 multiplicat cu > $

1rin această corespondenţă biunivocă, operaţieide adunare a funcţiilor trigonometrice îi corespundeoperaţia de adunare a numerelor comple3e$ Dee3emplu (v$ subcap$ N$H, dacă într!un nod al unei

reţele de curent alternativ sinusoidal sunt conectate trei laturi ce au curenţii i) $ i& şi i', se va puteascrie7

( ) ( ) ( )

ϕ+=ϕ++ϕ+

=+

@@>><

fsin>fsin>fsin> t > t > t >

iii

5

K9

4ig$ ;$N


19/72

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

⇒∈=∈+ϕ+∈

=∈=ϕ++ϕ+=

=∈=ϕ++ϕ+=

=∈=ϕ++ϕ+=

ϕ+ϕ+

ϕ+

ϕ+

ϕ+

@>

@

>

<

f '

@

f '

>>>>>>

<

f '

< > > > > > > t t t =+∈=∈+∈⇒ ϕ+ϕ+ϕ+ ,

datorită corespondenţei biunivoce7

( ) ( ) ( )@>< f '@@

f '

>>

f '

i > i > i $

%ceastă dublă corespondenţă a elementelor şi a operaţiilor se numeşte izo1orfi"1 şi ea dă posibilitatea să se opereze cu numere comple3e în calculul circuitelor electrice liniare în regimarmonic permanent, ceea ce acoperă un număr foarte mare de aplicaţii practice$

)rebuie reţinut faptul că izomorfismul are loc numai pentru operaţia de adunare$ +umerele comple3e astfel obţinute pot fi reprezentate şi ca vectori în planul comple3 (vezi fig$;$N,b, deoarece se adună după regula paralelogramului (aşa cum rezultă din modul în care suntdefinite operaţiile cu numere comple3e, însă în ceea ce priveşte produsele, ele nu pot ficonsiderate ca vectori$

,a4ori$ Gectorul X (ω din figura ;$N,b, care se ataşează unei funcţii de timp sinusoidale x,ce rezultă din corespondenţa biunivocă x8 X (ω prin7

( ) ( )f-mfsin> X t X x =ϕ+=( ) ( )ϕ+∈= t X X f 'f ,

se mai poate scrie şi în forma7

( ) ( ) t t t X X X X 'f 'f 'f 'f ∈=∈⋅∈=∈= ϕϕ+ ,în care (fig$ ;$N,c7

, 'ϕ∈= X X

se numeşte fazorul lui x şi reprezintă acea parte a lui X (ω ce conţine numai faza iniţială ϕ, carenu este o funcţie de timp$ 2a urmare fazorul este un număr comple3 reprezentabil în planul

comple3 printr!un vector fi3, aşa ca in fig$ ;$N,c, ce are modulul X egal cu valoarea efectivă amărimii x: t ; reprezentată şi ung"iul faţă de a3a reală dată de faza iniţială a lui x$

Dacă pentru sistemul analizat (de e3emplu un circuit electric, pulsaţia ω este constantă întimp şi nu se fac operaţii de integrare sau=şi derivare, atunci mărimile }{ uie x ,,∈ se pot înlocuinumai cu fazorul X care, în funcţie de operaţiile în care este implicat se pot scrie formulele7

X b X aba X -m şi Cecu ' ==+= sau >> ba X X +== ,ϕ+ϕ= sin 'cos X X X ,

a

b X X X X arctgcu,sau

' =ϕϕ=∈= ϕ $

K


20/72

Operaţii cu numere comple%e$ e definesc următoarele operaţii7- adunarea8

( ) ( ) ( ) ( )d bcad cba +++=+++ ' ' ' 5- +n1ulţirea7

( ) ( ) ( ) ( )bcad bd acd cba ++−=+⋅+ ' ' ' sau7

( )>< '><

'

>

'

<

ϕ+ϕϕϕ ∈=∈⋅∈ X X X X 5- +1!ărţirea7

( ) ( )>>>>>>

' ' '

'

'

d c

ad bc

d c

bd ac

d c

d cba

d c

ba

+−

+++

=+

−+=

++

,

( )><>

<

'

>

<

'

>

'

< ϕ−ϕϕ

ϕ

∈=∈∈

X

X

X

X 5

! e3tragerea rădăcinii7

,:>

sin ':>

cos

+

ϕ+

+

ϕ=

nk

nnk

n X X nn 89, ,F,n!

<

<

@

>

<

a

a

a

,

cărora li se dă interpretarea unor operatori de rotaţie cu 9 o, cele trei rădăcini determinândvârfurile unui triung"i ec"ilateral$ De e3emplu7

o

X X a

X X X a

9 '

>

'9

<

−

∈=

∈==,

este un fazor egal în modul cu X , dar rotit în sens invers sensului trigonometric cu 9 o (sau însens trigonometric cu –9o5

o

X X a>?9 '

@

−∈=este un vector egal in modul cu X , dar rotit în sens invers sensului trigonometric cu >?9o (saurotit în sens trigonometric cu –>?9o$

Derivarea 6i integrarea. Dacă x 8 > X sin( t f A ϕ este originalul şi f( X 8 X ∈ '(t

A W este imaginea lui x , x =g f( X , corespondenţa în cazul derivării este următoarea7K>


21/72

t d

d> X sin( t f A ϕ 8 > X f cos( t f A ϕ 8 > X f sin( t f A ϕ A

>

:,

dar7 X sin( t f A ϕ 8 -m R X ∈ '(t A W S 8 -m f( X ,

iar7

f X sin( t f A ϕ A>

: 8 -m R f X '(f( ϕ+∈ S 8 -m R f X ∈ '(t A W >

: '⋅

∈ S,

însă X>

: '⋅

∈ 8 ' X 5 prin urmare derivatei originalului îi corespunde derivata imaginii$ e observăcă, f( X prin derivare, îşi multiplică modulul cu f şi se roteşte cu

>

: în sens trigonometric$

Deci, derivarea unei reprezentări în planul comple3, f( X , se efectuează conformregulilor din analiza matematică7

t d

df( X 8

t d

d X ∈ '(t A W 8

t d

d X ∈ ' W h ∈ 't 8

t d

d X ∈ 't 8

8 ' f X ∈ 't 8 ' ω X ∈ '(t A W 8 ' f f( X $1rin integrare rezultă operaţia inversă, adică se împarte modulul lui f( X cu f şi se

roteşte invers sensului trigonometric cu >:

(negli'ând constanta de integrare$ %stfel, integraleioriginalului x(t îi corespunde integrala imaginii f( X $ ntr!adevăr7

∫ t

9

x(t dt 8 ∫ t

9

> X sin( t f A ϕ 8ω

X > t 9 – cos( t f A ϕ t

9 8

8f

> Χ

sin( t f A ϕ –>

:

şi

∫ t

t X

9

( dt 8 ∫ t

9

X ∈ '(t A W dt 8 ∫ t

9

X ∈ ' W h ∈ 't dt 8 ∫ t

9

X ∈ 't dt 8

8f

Χ ∈ 't t

9 8

f '

'>

X ∈ 't 8 –'

f

Χ ∈ 't 8 –'

f

<f( X $

9.1.7. Noţiuni de calcul operaţional ba4at pe tran)ormata -aplace

e numeşte original o funcţie reală sau comple3ă de variabilă reală t care satisfaceurmătoarele condiţii7

! f (t 8 9 , pentru t ` 95! f:t; şi f (t sunt continue pe porţiuni, adică admit un număr finit de discontinuităţi de prima

speţă5 ! f (t nu creşte mai repede decât o e3ponenţială, adiă e3istă două numere @ B 9 şi 6 9 aşaîncât să e3iste condiţia7(;$?; f (t ` @ ∈6t , în care ∈ reprezintă baza logaritmilor naturali (numărul _e”$

)ensiunile electrice la borne şi intensitatea curentului electric de conducţie din laturile unuicircuit, precum şi multe alte mărimi fizice din teoria câmpului electromagnetic, satisfacîntotdeauna aceste condiţii$

e numeşte i1aginea funcţiei f (t , transformata *aplace notată cu operatorul L şi definită prin7

K@


22/72

5 ( "

= ∫ ∞

9

f (t ∈! "t dt 8 L R f (t S , (;$H9

în care " este variabila comple3ă7 " 8 6 A ' , (;$Hntegrarea i1aginii este ec"ivalentă cu împărţirea originalului la t 7

=∫ ∞

"

" " 5 d( LRt

< f (t S$

#roble1a aflării originalului când este cunoscută imaginea, aşa!zisa problemă inversă L!j,se rezolvă –în general– cu a'utorul transformării inverse cu formula &ellin – 4ourier 7

f (t 8 ∫ ∞+

∞−

∈ '

'

std4(s

:'>

< α

α

" 8 L !


23/72

în care "k sunt rădăcinile ecuaţiei ( " 8 9 şi J( "k 8 "d

d( " Q " 8 "k *

Dacă în fracţia (;$H? polinomul de la numitor admite o rădăcină "9 8 9, atunci polinomul( " se scrie în forma ( " 8 " D( " şi teorema de dezvoltare (;$HH capătă forma 7

(;$HK f (t 8 L ! ( " 8 ( ", deci o e3presie algebrică în " $

1entru aplicaţiile practice curente, trecerea de la original la imaginea *aplace, şi invers, se poate face prin subrutine de calcul care conţin fişiere de tip dicţionar sau (pentru aplicaţiile foartesimple utilizând tabelul ;$< (limitat la 6(

<

+ "

∈!6 t sin t ω >>f6(

f

++ "

KH


24/72

∈!6 t cos t ω >>f6(

6s

+++

"

9.1.8. Noţiuni de ba4ă din teoria ditribuţiilor

(paţii )undamentale 2n ditribuţii . e consideră nişte funcţii reale ϕ de o variabilă reală t ,care au următoarele proprietăţi 7

!(t ϕ

are suport compact ,! (t ϕ este indefinit derivabilă$e notează spaţiul acestor funcţii cu D, astfel încât orice funcţie cu proprietăţile de mai susaparţine lui D7 ϕ ∈ D$ 0n e3emplu de astfel de funcţie este 7

−−=ϕ

9

((e3p

,5( bt at

ab

bat S$,R

S,R

bat

bat

∉=>

∈=>

e observă că suportul acestei funcţii este intervalul mărginit şi înc"is Ra , bS , prin urmareaceastă funcţie are suport compact $ 4aptul că este indefinit derivabilă se verifică fără dificultate 5ordinul de derivare poate fi oricât de mare, dar finit$ n plus se mai observă că orice derivată a luiϕ are de asemenea suport compact, deci şi ϕ k ∈ D, unde k ∈ . $

paţiul D al funcţiilor indefinit derivabile şi cu suport compact se organizează ca spaţiuvectorial, normat şi complet, deci este un spaţiu #anac" liniare şi continue definite pe D şi cu valori numerereale sau comple3e$ De e3emplu, aplicaţia care fiecărei funcţii ϕ ∈ D face să îi corespundănumărul ϕ (9 este o funcţională liniară şi continuă pe D$ %ceastă funcţională se numeştedi"tribuţia lui irac şi se notează cu δ (t7 (;$HL ϕ (t → δ ϕ (9 $

0n alt e3emplu de distribuţii este clasa distribuţiilor generate de funcţii local! integrabile ,adică de funcţii care sunt absolut integrabile pe orice interval mărginit (a , b de pe a3a reală $4uncţia treaptă keaviside este o funcţie local–integrabilă, deoarece este absolut integrabilă peorice interval (a, b$ %stfel, di"tribuţia keaviside este dată de funcţionala7

(;$HN ∫ D

2(t ϕ (t dt 8 ∫ ∞

9

ϕ (t dt $

%ceastă funcţională are ca valoare întotdeauna un număr finit, deoarece ϕ are suport compact şi –prin urmare– integrala are întotdeauna limite finite, oricare ar fi ϕ ∈D$ %şadar, orice funcţielocal!integrabilă f (t generează o distribuţie prin funcţionala7 ∫

D2(t ϕ (t dt , valoarea acestei

integrale este întotdeauna un număr finit$ %ceste distribuţii se numesc di"tribuţii de ti! funcţie$


25/72

pre deosebire de distribuţia keaviside, distribuţia Dirac, δ (t , nu este o distribuţie de tipfuncţie$ ntr!adevăr, să presupunem că ar e3ista o funcţie local integrabilă x(t care ar generadistribuţia lui Dirac5 atunci ar fi necesar ca oricare ar fi ϕ ∈ D să e3iste7

∫ D

x(t ϕ (t dt 8 ϕ (9 $

n particular fie funcţia7

−−=ϕ9

=<

=<

e3p(( >>

>

t n

n

t ,

<

,<

nt

. nn

t

≥=>

∈∀

pentru care rezultă7

e

<9( =ϕ ,

(unde e este baza logaritmilor naturali precum şi7

∫

+

−=−−

n

n

t t n

n

t x

<

<>>

>

e

<

d=<

=<

e3p(( ,

Cezultă, după cum se vede, o contradicţie7 membrul stâng tinde către zero când n creşte indefinit,iar membrul drept este mereu o constantă$ %şadar, distribuţia Dirac δ (t nu este de tip funcţie$

2a notaţie pentru distribuţii se utilizează scrierea7ϕ,f sau f ( ϕ ,

ceea ce conduce la7

$(,(

,9((,(

9

∫ ∞

ϕ=ϕ

ϕ=ϕδ

t t 2

t t

2ând argumentul integralei este cunoscut şi nu e3istă ambiguităţi, integrala se scrie înmodul cel mai simplu7

∫ ∫ ϕ=ϕ t t d( $4uncţionalele care definesc distribuţiile sunt aplicaţii5 se ştie că mulţimea aplicaţiilor

definite pe D cu valori în C este mulţimea _duală”$ +otăm această mulţime cu DI (spaţiul dual allui D5 orice distribuţie f este un element al lui DI$ n continuare, distribuţiile f şi g vor fi notate prin f , g ∈DI$

Egalitatea a două ditribuţii. Două distribuţii sunt egale pe un interval ) de pe a3a reală

dacă pentru ∈ϕ∀ D pe


26/72

(

t 2

∉∩>=>

∈∩=

. t t

. t t

<

99

(numită şi funcţia treaptă unitate, care ia valoarea zero pentru orice t număr natural, genereazădistribuţia7

∫

∞

〉ϕ〈=ϕ=〉ϕ〈9

$,, 22

n acest e3emplu, cele două distribuţii, 〉ϕ〈 ,2 şi 〉ϕ〈 ,

2 , sunt egale, dar funcţiile ce

le!au generat, 2 şi

2 , nu sunt egale decât în sensul _aproape peste tot”$

uma şi produsul cu o constantă, în distribuţii, rezultă imediat, deoarece funcţionala esteliniară7

〉ϕ+〈=〉ϕ〈+〉ϕ〈 ,,, g f g f şi

$const(,,, =∈=>〉ϕ〈=〉ϕ〈=〉ϕ〈 Da f aa f f a/ranlaţia ditribuţiilor. uportul unei distribuţii f este complementara mulţimii desc"ise

pe care distribuţia f se anulează5 aşadar, suportul unei distribuţii f este o mulţime înc"isă$ Dee3emplu, distribuţia Dirac δ (t are ca suport punctul t 8 9, deoarece δ se anulează pe toată a3areală, cu e3cepţia punctului t 8 9, iar distribuţia keaviside 2(t are ca suport semia3a pozitivă C % ,deoarece 2 se anulează pentru t ` 9$

)ranslaţia unei distribuţii cu un interval τ pe a3a reală se scrie convenţional astfel7(( +→ t f t f $

1rin definiţie, translaţia distribuţiei f (t cu τ este dată de7〉τ−ϕ〈=〉ϕτ+〈 (,(,( t t f t f

$

1entru distribuţia de tip funcţie, aplicaţia acestei formule duce imediat la7

∫ ϕτ+=〉ϕτ+〈 D t t t f t f d((,( $ +otându!se nm =+t , de unde mn −=t , rezultă7

∫ ∫ στ−σϕσ=ϕτ+ D D

f t t t f d((d(( ,

ceea ce verifică formula dată pentru translaţie$n particular, translaţia distribuţiei Dirac este7

〉τ−ϕ=〉τ−ϕδ〈=〉ϕτ+δ〈 ((,((,( t t t t 5de asemenea7

((,( τϕ=〉ϕτ−δ〈 t t ,ceea ce arată că suportul distribuţiei t( τ−δ este punctul τ $Derivata ditribuţiilor. 1rin definiţie, derivata unei distribuţii f se calculează cu formula7

〉ϕ−〈=〉ϕ〈 D,,D f f

,

adică se derivă t(ϕ şi i se sc"imbă semnul în funcţională$ De e3emplu, derivata distribuţieikeaviside este7

9(DD,","D9

ϕ=ϕ−=〉ϕ−〈=〉ϕ〈 ∫ ∞

,

dar –pe de altă parte–7

KN


27/72

〉ϕδ〈=ϕ ,9( ,astfel că7

〉ϕδ〈=〉ϕ〈 ,,"D ,adică derivata distribuţiei keaviside este distribuţia Dirac$ Dacă saltul în origine ( t 8 9 estevaloarea / , atunci rezultă7

Y,D,D,D / 2 / 2 / 2 / =〉ϕ〈=〉ϕ〈=〉ϕ〈 ,1rin urmare derivata, în sensul distribuţiilor, conţine şi valoarea saltului$2u titlu de e3emplu, se va calcula –în continuare– derivata (în sensul distribuţiilor a unei

funcţii derivabile f(t , cu e3cepţia unui punct t 9 în care funcţia f are un salt egal cu σ $ Ga rezulta7∫ ∞+

∞−ϕ=〉ϕ〈 f f , ,

∫ −

∞−−ϕ−=〉ϕ−〈=〉ϕ〈

99

DD,,Dt

f f f

∫ ∫ ∞+

∞−

∞++

−∞−

∞+

+ϕ+ϕ−ϕ−=ϕ− f f f f t

t

t DD

9

9

9 9

9

9

$

După cum se vede, s!a integrat prin părţi şi s!a ţinut seama de faptul că ϕ este continuă$Deoarece ϕ are suport compact, la infinit se anulează, iar 9(9( 99 −ϕ=+ϕ t t şi atunci 7

[ ] (n(9(9( 999999 99 t t t f t f f f t t ϕ=ϕ−−+=ϕ−ϕ− +∞+

−∞− ,

unde ( 9t ϕ reprezintă însă distribuţia Dirac translatată în punctul t9 , ceea ce se scrie astfel7((,( 99 t t t t ϕ=〉ϕ−δ〈 ,

aşa că se mai poate scrie7〉ϕ〈+〉ϕ−〈=〉ϕ〈 ,D(,(Y,D f t t t f o ,

sau 7〉ϕ+〈=〉ϕ〈 ,YD,D

9t f f ,

adică, prescurtat (subîntelegând funcţionalele7

9YnD

t f f +′= , (;$H;

care se citeşte astfel7 derivata distribuţiei de tip funcţie f este egală cu distribuţia generată dederivata _clasică” ( fE a funcţiei f , cu e3cepţia punctului de salt unde apare distribuţia Dirac cusuport în acel punct, înmulţită cu valoarea saltului$

1entru aplicaţiile practice (v$ N$N$


28/72

remarcabile$ 1entru sistemele fizice, cauzalitatea conduce adesea la reprezentări prin distribuţii cusuport pozitiv (cazul transformatelor *aplace a distribuţiilor, din analiza circuitelor electrice$%ceste distribuţii sunt elemente ale spaţiului notat cu DAI$

Produul de convoluţie$ 1entru două distribuţii f şi g se defineşte aşa!numitul produs deconvoluţie (notat cu 7

` f g , W B ` f (t , ̀g (τ, W(t Aτ BB,care este o funcţională compusă$ %stfel, se calculează mai întâi funcţionala7

` g (τ,W(t Aτ B87 (t ,după care se determină funcţionala7`f(t , (t B, ⇐ (t ∈D

adică produsul de convoluţie, cu condiţia însă ca (t să aparţină lui D, ceea ce se întâmplă numaiîn anumite condiţii5 deci produsul de convoluţie nu e3istă întotdeauna$

2ondiţiile de e3istenţă a produsului de convoluţie sunt7 f 6i g să aibă suportul mărginit de aceeaşi parte$1rin urmare în D’A produsul de convoluţie e3istă întotdeauna şi −în plus– în D’A el este

comutativ şi asociativ$

Derivata produsului de convoluţie se obţine derivând numai unul din factorii produsului,indiferent care5 deci7D ̀f g B 8 (D f g 8 f (D g $


29/72

/ran)ormata -aplace a ditribuţiilor "2nD’A $. )ransformata *aplace a unei funcţii f (t – v$ (;$H9$– şi condiţiile de e3istenţă ale transformatei – v$(;$?;, au fost prezentate în subcapitolul;$


30/72

( " I – $, )GH'aflat la congruenţa matematicii, teoriei sistemelor şi informaticii, cu o metodologie proprie(bazată pe identificarea proceselor, modelarea sistemelor şi teoria algoritmilor şi cu mi'loacespecifice (oferite de ec"ipamentele de calcul automat şi de aparatura electronică de măsurat, preluare a datelor, reţele de comunicaţii şi valorificare a rezultatelor$

&odelarea şi simularea îşi au originea în studiul sistemelor$ (itemul, într!o accepţiune maicuprinzătoare, poate fi definit ca o colecţie de elemente diferite, în interacţiune, cuprinzând

L>


31/72

oameni şi maşini, integrate pentru îndeplinireaunui obiectiv dorit, prin manipularea şicontrolul materialelor, informaţiei, energiei şiactivităţii umane$ n această definiţie esteesenţială ideea de scop, sistem fiind numai aceacolecţie de elemente capabile de interacţiuneîntr!un astfel de mod încât să fie realizat un program dat$ 1entru studierea sistemului se pleacă de la tarea lui la un moment dat, serealizează o _descriere” a stării sistemului înfuncţie de starea tuturor componentelor şi sestabilesc succesiunile de stări trecute alesistemului, adică _istoricul” sistemului$ &etodade studiu cea mai indicată este aceea bazată pee3eperimentările efectuate direct pe sistem(dacă ele sunt posibile$ +u orice sistem poatesuporta sau admite încercările directe5 dacăe3perimentările de acest fel pot _vătăma”ireversibil sistemul (cazul în care nu este posibilă aşa!zisa procedură _cut!and!trO”, adică _taie şi

încearcă”, îi modifică starea reală, sunt de durată şi nu dau rezultatele în timp util, nu au preciziainformaţională necesară ş$a$m$d$, atunci singura cale mai eficientă de studiu şi analiză a sistemuluieste imularea$ n prezent –la nivelul anului >99>−, simularea este o fază iniţială care seutilizează întotdeauna pentru oricare sistem, c"iar dacă acesta admite orice fel de e3perimentaredirectă, deoarece simularea interactivă, realizată cu produse informatice specializate (de mare precizie şi viteză, permit analiza unui mare număr de variante şi stări pe care sistemul real –deşile poate avea− nu este capabil să le îndeplinească efectiv în timpul e3perimentului$ %lteori, ca încazul unor activităţi de concepţie!proiectare, sistemul nici nu e3istă în mod fizic (E$ 1entrurealizarea unei simulări concludente trebuie ca în prealabil să se stabilească un model alsistemului, ceea ce se poate obţine (eventual E prin te"nica identificării proceselor din sistemulanalizat (prin aşa!numita modelare$ Modelarea se defineşte ca o procedură a analizei de sistem prin idealizarea matematică a întregului sistem sau a unor părţi din sistem$ Cezultatul ei esteelaborarea modelului sistemului, sub forma unor reprezentări matematice a relaţiilor din sistem$1rin urmare –în accepţiunea din teoria sistemelor (accepţiune ce a fost adoptată în cadrul acestuimanual– prin model se înţelege numai reprezentările matematice (care pot descrie, în senssemiotic, stările reale ale unui sistem fizic$

n procesul de modelare şi simulare, odată modelul stabilit, acesta reprezintă sistemul, oricesuccesiune de stări a modelului fiind interpretată ca o succesiune de stări a sistemului, aşa cum searată în figura ;$;$

%desea, acelaşi sistem poate fi reprezentat prin mai multe modele diferite5 de e3emplu procesul electrocinetic, al conducţiee electrice, dintr!un conductor masiv poate fi descris printr!un

model format din ecuaţii cu derivate parţiale (cazul ecuaţiilor lui kelm"oltz – a se revedeasubcapitolul L$> sau uneori –mai bine (atunci când conductorul are forme geometriceneregulate– printr!un model discret, format din ecuaţii cu diferenţe finite sau ecuaţii matriceale(v$ subcap$ H$K şi subcap$ L$?$ &ăsura în care modelul este _complet” şi _fidel” depinde de problemele la care se caută răspuns, de stadiul cunoaşterii sistemului şi a legăturilor salee3terioare$

copul simulării constă în determinarea stării reale a sistemului analizat prin rezolvareamodelului ce!l reprezintă$ .3istând –în principiu– două căi distincte de rezolvare a ecuaţiilor unuimodel (prin dispozitive analogice sau prin calcule analitice!numerice, e3istă şi două procedee desimulare diferite7

L@

4ig$ ;$;


32/72

! "i1ularea analogică sau "i1ularea !e "i"te1 care constă în reprezentarea relaţiilor dinsistemul studiat printr!un analog sau simil fizic denumit "i1ulator 5

! "i1ularea !e 1odel care constă în efectuarea calculelor de rezolvare analitică a ecuaţiilor modelului, după ce acesta a fost adus (dacă este posibil într!o formă, numită 1odel de "i1ulare,care să îndeplinească condiţia de solvabilitate$

imulatorul este şi el tot un sistem, care _înlocuieşte” în scopul studiului (analizei sistemuldat5 de aceea se obişnuieşte (pentru o mai netă distincţie ca sistemul dat iniţial (de studiat să fienumit "i"te1-obiect sau original $ Dacă simulatorul este de aceeaşi natură fizică cu originalul,simularea este de tipul unei similitudini, iar dacă sunt de naturi fizice diferite simularea este de tipanalogic$

0n caz particular (deşi, în prezent, generalizat al simulării pe model îl constituieimularea numerică, în care un sistem de calcul automat – numeric universal (ca, de e3emplu,calculatoarele aşa!zise personale, de tip -#& –12 este utilizat la prelucrarea datelor originaluluireprezentate într!o formă simbolică (elemente finite, diferenţe finite, matrice, calcul variaţionaletc$, caz asupra căruia vom reveni$

0n alt caz particular al simulării, îl constituie simularea "ibridă, care combină avanta'elesimulării analogice cu acelea ale simulării numerice$

1rin urmare, simularea constă în utilizarea analogiilor fizice (cu a'utorul simulatoarelor saude calcul (cu a'utorul modelelor de simulare, ca mi'loace de e3plorare a comportării unui sistem!

obiect (original, pe baza faptului că între elementele simulatorului = modelului de simulare şi aleoriginalului poate fi stabilită (e3istă o corespondenţă biunivocă$I4omor)imul. .senţa corespondenţei biunivoce7 original ↔ simulator o constituie

izomorfismul, prin care de altfel sunt fundamentate modelarea şi simularea$ După cum se ştie, înteoria grupurilor din topologie izoformismul se defineşte precum urmează7

fiind date două grupuri F şi 3 , se numeşte izomorfism al lui F în 3 o aplicaţie f careasociază fiecărui element a ∈ F un element f (a ∈ 3 , astfel că pentru Fba ∈∀ ,( să e3iste7

(i f (a b8 f (a f (b5(ii f (F 8 3 , aşa!numita proprietate de epimorfism5(iii f (a8 f (b → a8b, proprietatea de monomorfism, unde ab este un element din F asociat

perec"ii (a,b de elemente din F printr!o operaţie binară, asociativă, cu element unitate la dreaptaşi inversibilă la dreapta$

1e baza acestei definiţii şi a teoremelor de izomorfism, reiese că asociind unul din grupurileizomorfe sistemului!obiect, celălalt se asociază simulatorului5 în acest fel, originalul şi simulatorulalcătuiesc, pe planul modelării, două grupuri izomorfe, ceea ce constituie de fapt condiţiasimulării$

1rin utilizarea noţiunilor din teoria grupurilor se poate stabili un model, bazat peizomorfism, a simulării sistemelor, precum urmează$

4ie C" aşa!numita _categorie a sistemelor” care constă7(' dintr!o clasă de obiecte, notată bC" şi denumită clasa sistemelor5('' pentru orice perec"e ordonată de obiecte ( > , / este dată o mulţime C" ( > , / 8 8] f , g ,FP

ale cărei elemente f , g ,F se numesc 1orfi"1ele cu intrarea > şi ieşirea / $ 1entru un f ∈C"( > , / sescrie f 7 > → / , care se citeşte _ f este un morfism de intrare (sursă > şi ieşire (adresă / ”5(''' pentru două perec"i oarecare distincte ( > , / ş i ( >I , /I se admite că C"( > , /

9J,J( /= / > C" 5(v pentru orice tripletă ordonată de obiecte ( > , / , X ale clasei bC" este definită o aplicaţie

de mulţimi7,,(,(,(7,,(Z X > C" X / C" / > C" X / > →×

numită compunerea morfismelor, care se mai poate scrie şi în forma7,,(,,(Z f g g f X / > = ,( X / C" g ∈∀ şi ,( / / C" g ∈∀ 5

compunerea morfismelor este asociativă, adică7

L?


33/72

5(( f g 2 f g 2 =(v' pentru 5bC" > ∈∀ mulţimea C"( > , > conţine cel puţin un element notat , / $2azuri particulare de sisteme sunt7! "i"te1ul "eg1ent care este o categorie formată din două obiecte ( > , / şi trei morfisme

] , f , / , ( >I , fI , / I∈b@C", atunci @C"R( > , f , / ,( > I, f I, / IS este mulţimea tuturor perec"ilor de morfisme ]( f f / / > > U6J,J7U,J76QU65 =→→P$

imularea este, în esenţă, o activitate de investigare strict e3perimentală$ n numeroasecazuri, studiul e3perimental al comportării sistemului–obiect, direct pe original, nu este posibil$ nlegătură cu aceasta, să presupunem că sistemul S format din tripleta de obiecte ( > , f , / nu admiteobservări e3perimentale, în timp ce un alt sistem SI format din obiectele ( >I , f I, / I permite un

studiu e3perimental direct$%vem de!a face în acest caz cu "i1ularea !e "i"te1 :"i1ulator;$ care poate fi concepută castudiul e3perimentat al morfismelor f prin intermediul morfismului fI , conform diagrameicomutative din figura ;$I , /I $ n acest fel,diagrama comutativă din figura ;$


34/72

Deci simularea pe model are ca obiect studiul e3perimental al morfismelor tipului uneiclase de sisteme$ Diagrama din figura ;$


35/72

iniţiale (în timp, astfel încât –în termenii matematici– modelul (;$K@ devine o problemediferenţială sau cu derivate parţiale cu condiţii la limită şi iniţiale de tip7

! problema Diric"let interioară relativă la \7

(;$K@D i

=

Ω=

Σ ,

în*

cu

f u

unde f şi c sunt funcţii reale, definite, f w 2

9

( Ω şi c w 2

9

(X5! problema Diric"let e3terioară relativă la \7

(;$K@D e

=

Ω−=

Σ ,

în*

cu

/ f u n

unde funcţia u este continuă în (.n!\∪X, de clasă 2> în .n!\, 9(lim →∞→

# u #

uniform în orice

punct # , iar c w29(X5! problema lui +eumann interioară relativă la domeniul \7

(;$K@+ i

=Ω=

Σ , D

în*

cu

f u

n

unde Dnu X reprezintă derivata parţială a funcţiei u după normala la X, c w29(X, funcţia u fiind declasă 2 în \7

! problema lui +eumann e3terioară relativă la \7

(;$K@+ e

=

Ω−=

Σ , D

în*

cu

/ f u

n

n

unde derivata Dnu X se calculează după normala e3terioară la X, iar c w 29(X, funcţia u fiind de

clasă 2 în .n – \ şi satisfăcând condiţia 9(lim →∞→

# u #

uniform5

! problema mi3tă (4ourier interioară relativă la \7

(;$K@ 4 i

=+

Ω=

Σ

,

în*

c gu

f u

n

unde f , c şi g sunt funcţii reale, definite, f w 29 (\ şi c , g w 29(X5! problema mi3tă (4ourier e3terioară relativă lui \7

=+

Ω−=

Σ , D

în*

cu g u

/ f u

n

n

(;$K@ 4 e

LL


36/72

unde c , g w 29(X, derivata Dn u se calculează după normala e3terioară la X, uw 2(.n –\, cu satisfacerea condiţiei 9(lim →∞→ # u # uniform$1entru rezolvarea unei probleme de câmp, având modelul original de forma (;$K@, prin

te"nici de simulare trebuie să se determine modelul de simulare sau=şi simulatorul corespunzător problemei original dată de (;$K@$ n cazul simulării numerice, mode!lul de simulare este unmodel discret care apro3imează prin puncte problemele analitice cu funcţii continue (;$K@, prinrezolvarea lui cu un sistem de calcul automat obţinându!se valori numerice u( @ ale funcţiei destare u în diversele puncte @ ale modelului discret$

0n model numeric trebuie să satisfacă cel puţin urmatoarele două condiţii7! să asigure convergenţa soluţiei apro3imative către soluţia e3actă a problemei, utilizând un

număr cât mai mic de puncte (noduri @ , în care se determină valorile funcţiei necunoscute7u( @ [ u( # , @ w\2 şi # w\, unde \2 este un domeniu discret (o reţea de noduri prin care seinlocuieşte domenuil compact \5

! să fie adaptabil lucrului pe calculatoare numerice$n modelarea şi simularea numerică a sistemelor de ecuaţii cu derivate parţiale de tipul

(;$K@, modelele numerice de apro3imare a soluţiei se pot impărţi în două mari clase7! una este aceea in care se caută apro3imarea operatorilor diferenţiali de domeniu şi de

frontieră prin operatori mai simpli şi atunci se caută soluţia care să satisfacă aceşti operatori de

apro3imare$ Din această clasă fac parte metodele cu diferenţe finite (v$ ;$>$@, prin careoperatorii diferenţiali * se apro3imează prin operatori diferenţă finită * 2 (2 simbolizând, generic, pasul 2 de discretizare a lui \⊂ .n, pe cele n direcţii de referinţă5

! o a doua clasă de metode păstrează forma operatorilor diferenţiali şi apro3imează câmpulnecunoscut u prin ua şi se caută algoritmul care să dea cea mai bună apro3imare posibilă$ naceastă clasă se află metodele variationale, iar din metodele variaţionale, metoda elementului finit(v$ ;$>$? reprezintă una din metodele cu cea mai largă utilizare$

Metodele variaţionale de rezolvare a ecuaţiilor cu derivate parţiale, de tip (;$K@, inplicagasirea unei functionale al carei e3trem este ec"ivalent cu rezolvarea ecuaţiei date$

)eoria modelării numerice prin calcul variaţional (numit în trecut şi calculul varia!ţiunilorare două lucrări de referintă7 C$ /*x-+y-, $ *$ *-+, C$ )C.&*-.C., A!!lication de"

1et2ode" dI o!ti1i"ation$ de defference" et dI KlK1ent fini" aux inKLuation" variationnelle" ,Dunod, 1aris,


37/72

+u dispunem de volumul necesar pentru a putea trata ec"ivalenţa modelelor variaţionale cumodelele diferenţiale corespunzătoare, care −de fapt− în fiecare caz concret trebuie precizatăconform situaţiei sistemului original$ )otuşi −în principiu− dacă sistemul dat este reprezentat deun model de forma (;$K@, în care * este un operator pozitiv, adică7

∫ Ω

u *u d| } 9,

atunci soluţia problemei diferenţiale cu condiţii pe frontiră omogene, de forma (;,K@ D -, esteunică şi minimizează funcţionala patratică7

~(u 8 ∫ Ω u *u d| – > ∫ Ω u f d| ,unde f 8 *u din (;$K@$

2azul condiţiilor pe frontieră neomogene se poate reduce la cazul cu condiţii omo!gene printr!o transformare a funcţionalei ~(u, încât să includă operatori diferenţiali care acţionează pefrontiera domeniului spaţial$ De e3emplu, în cazul unei probleme mi3te (;$K@ 4i, în . @cu (;$K@ oecuaţie 1oisson, într!un sistem de referiţă cartezian se scrie7

=+∂∂

=⊂Ω∈∀=∆

Σ

Σ

,,,(

,,(

,,(în,,(

>

<

@

z y x g aun

u

z y x g u

/ y z x z y x f u

unde f , g , şi a sunt funcţii cunoscute, n este direcţia normalei la X 84r\ în punctul ( x$y$z∈Ω⊂.@ iar • este operatorul laplacean, funcţionala ec"ivalentă în calculul variaţional fiind7

€(u 8 ∫ Ω

( ∇u> d| ! > ∫ Ω

f ud| A ∫

Σ

( au> – > g >udX ,

(v$ paragrafele7 >$K$@, ?$ şi H$K$


38/72

discretizare a derivatelor parţiale (operatorul discret *2, modul de apro3imare a condiţiilor pefrontieră şi te"nicile de calcul (procedee şi ec"ipamente utilizate$

Metoda reţelelor de dicreti4are a ecuaţiilor cu derivate parţiale$ 1entru aplicareametodei reţelelor, se aleg în domeniul Ω −de definiţie a funcţiei u – mărginit de frontiera Σ, unsistem de puncte @ , denumite noduri, situate discret în Ω 8 Ω ∪ Σ, care formează o mulţime D(astfel că @ ∈ D, denumită reţea de di"cretizare (întotdeauna D ⊂Ω $ 1ractic nodurile @ alereţelei D se obţin ca puncte de intersecţie ale unui sistem de drepte ce se translatează cu paşii2 x $2 y $2 z după direcţiile paralele cu a3ele unui sistem de reprezentare a punctelor # ∈Ω ⊂ / @$

1entru a se da o imagine sugestivă a acestui mod de alegere a nodurilor @ ∈ D, se reprezintă înfigura ;$ şi a unui sistem cartezian ortogonal x y dereprezentare a punctelor$

%legându!se, după cele două direcţii x şi y, paşii 2 x şi respectiv 2 y, care au valori _mici”(însă sunt e3primate de numere strict pozitive şi ducându!se două familii de drepte (unele paralele cu a3a x şi distanţate între ele cu 2 x, iar altele paralele cu a3a y şi distante între ele cu pasul 2 y, se obţin, la intersecţia acestor drepte, o mulţime de puncte5 acele dintre aceste punctecare sunt cuprinse în Ω 8 Ω∪Σ şi care se noteazăcu @ , denumindu!se şi noduri, formează reţeaua dediscretizare D$

Deoarece fiecare nod al reţelei poate fireprezentat prin coordonatele sale faţă de sistemulde referinţă ales (de e3emplu, în cazul din figura;$9P$Ceţelele pot fi, după modul cum sunt aran'ate nodurile în funcţie de sistemul de coordonate

ales, cu !a,i egali sau cu !a,i neegali (cazul precedent al lui D$ *a reţele cu paşi egali72 x=2 y=2 z=2 şi ele pot fi e3primate prin mulţimea7

D 8 ] @ @ 8(1 x2$1 y2$1 z2;5 1 x $1 y $1 z ∈ . 5 $2>9P,unde . este mulţimea numerelor naturale$

Ceţelele cu paşi neegali, care au _oc"iurile” de formă dreptung"iulară, sunt utilizate înspecial în cazul domenilor Ω a căror frontieră Σ este _foarte” neregulată (de e3emplu în formă de_deget”, pentru a se putea _acoperi” mai bine porţiunile domeniului Ω din apropierea frontierei$.3istă, aşa cum se va arăta mai încolo, şi reţele cu oc"iuri triung"iulare sau cu oc"iuri"e3agonale, precum şi reţele în coordonate cilindrice, în coordonate polare, în coordonate sferice(în general, în coordonate curbilinii$

1entru discretizarea derivatelor parţiale pe aceste reţele D se aleg (aproape în e3clusivitateacazurilor numai noduri vecine nodului în care se face discretizarea$ n legătură cu acest fapt, seintroduce o nouă noţiune şi anume aceea de tructură caracteritică a reţelei, care se defineşteîn modul următor7 dacă @ i este un nod _curent”, adică un nod care _mătură” întreaga reţea D (decii8,F,n, unde n este numărul nodurilor @ ∈ D ⊂Ω , atunci se numesc noduri vecine mulţimeade noduri DL⊂ D definite prin7

DL 8 ] @ @ 8R(1 x%k;2 x $(1 y%k;2 y $(1 z%k;2 zS5 1 x $1 y $1 z ∈ . 5 k 8!,L8? sau N, iar în / @, L8K sau K noduri vecine$

N9

4ig$ ;$


39/72

%ceastă mulţime DL⊂ D, de LA< noduri vecine între ele pe D (incluzând şi nodul centraleste denumită structură caracteristică$ Deci, o structură caracteristică într!o reţea cu oc"iuri pătratesau dreptung"iulare poate avea @, H, ;, L, L noduri$ ntr!o reţea triung"iulară DL are Lnoduri (în / >, iar într!o reţea "e3agonală ? noduri (în / >$

dată aleasă reţeaua D şi structura caracteristică DL, discretizarea ecuaţiilor cu derivate parţiale se face apro3imându!se operatorul * al derivatelor parţiale (adică D x, D y, D z, D> x>, D> y>,D> z>, D> xy, D> yz, D> zx, D? x?, D? y?, D? z?, D? x> y>, D? y> z>, D? z> x>, F prin o!eratorii diferenţă finită *2$

Operatorii : di)erenţă$ n practica prelucrării numerice a datelor u( @ 8 ui, pe reţele de

discretizare ( @ ∈ D, i∈ . se utilizează următorii operatori – diferenţă (definiţi în continuare dupăuna din oricare a3ă de referinţă pentru @ în / @7! diferenţa la dreapta sau diferenţa înainte7

ui 8 uiA


40/72

reţelei D ⊂Ω se obţine un sistem de n ecuaţii algebrice cu n necunoscute ( @ $ 1rin rezolvareaacestui sistem –de e3emplu prin utilizarea produsului &%)*%# (v$ ;$@$ sau / @$ De e3emplu pentru

u∈Ω⊂ /

<2D $

Din primele două formule de mai sus reiese72D8ln.8ln(

−∆

+∆

−∆

+∆

−∆=2

(;$KKd

sau

$?@>

(<

D?@>

+∇

+∇

+∇

+∇=2

(;$KKs

Din relaţiile (;$KK rezultă operatorul!diferenţă finită pentru apro3imarea operatorului dederivare *≡D7

,H

<

?

<

@

<

>

<(

<D H?@> −∆+∆−∆+∆−∆= iiiiii uuuuu

2u (;$KK

cu diferenţe la dreapta sau7

,H

<

?

<

@

<

>

<(

<D

H?@>+∇+∇+∇+∇+∇= iiiiii uuuuu

2u (;$KK∇

cu diferenţe la stânga ∇$

N>


41/72

1rin ridicarea la pătrat a formulelor (;$KK se obţine operatorul!diferenţă finită pentruapro3imarea operatorului *≡D>8d>=d x> al derivatei de ordinul doi pe a3a x$ De e3emplu,utilizându!se formula (;$KK, cu diferenţe la dreapta , rezultă7

(;$KL $K

H

>

>+∆−∆+∆−∆= iiiii uuuu

2u

&ult mai utilizat în practică decât formulele (;$KK sunt relaţiile care folosesc diferenţasimetrică δ$ %stfel, plecând de la e3presia (;$KH a lui δ rezultă7

2D8> arg s" >δ

,din care –prin dezvoltare în serie– se obţine7

S,>H

<

?

@

>

<

>@

<

>

<

>

<R>D

H@

−

δ⋅⋅+

δ⋅−δ=2

sau7

$EH>

@<

E@>

<D> H

?

>>

@

>

>

−δ⋅

⋅+δ

⋅−δ=2

nmulţindu!se această ultimă egalitate cu < sub forma identităţii7

,<?

Y

<

>

=

+

−

care rezultă din relaţiile (;$K?, se deduce7

,YK?9

@Y

>?

<Y

?

Y H@

><

>

−+−⋅

+=

−

2

de unde –după efectuarea operaţiilor din membrul drept– rezultă formula cu diferenţe simetrice pentru calculul numeric al derivatelor de ordinul < şi anume7

(;$KN $Y?99

<Y

@9

<Y

K

<Yu

>

<D

LH@

+−+−= iiiii uuuu

2u

Cidicându!se la puterea k (k 8>,@,?,F relaţia (;$KN se obţin formulele cu diferenţă

simetrică pentru calculul numeric al derivatelor de ordin superior7(;$K; ,Y

HK9

<Y

;9

<Y

<Y

<D NK?>

>

>

+−+−= iiiii

uuuu2

u

,Y9

LY

?

<Yu

>

<D LH@

@

@

−+−= iiii uuu

2u

,Y>?9

LY

K

<Y

<D NK?

?

?

−+−= iiii

uuu2

u

toate aceste formule ale operatorilor!diferenţă finită apro3imând operatorii de derivare cu oanumită eroare, ordinul acestei erori –notat cu (2k – depinzând, evident, de numărul de termeni

omişi în şirul seriei de dezvoltare şi de mărimea pasului 2 al reţelei de discretizare D alese pe Ω $1rin acest procedeu se poate determina uşor operatorul – diferenţƒ finitƒ pe reţele de noduri pentru orice fel de operator * cu derivate parţiale$ %stfel, în cazul tridimensional ( @ / ⊂Ω şi oreţea de discretizare D rectangularƒ cu paşi neegali$ +otând nodul central al structuriicaracteristice DL (care este nodul curent prin care se baleiază întreaga reţea D, adică

,,( z z y y x x

212121 @ ⋅⋅⋅= , într!o formƒ care sƒ s

Date post:	05-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	maronnam
View:	253 times
Download:	0 times

CAPITOLUL 9. COMPENDIU

Documents