Capitolul 5_Cuadrice reduse

8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse

1/59

CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 65

CC AA PP II TT OO LL UU LL 55

CCUUAADDRRIICCEE PPEE EECCUUAAIIII RREEDDUUSSEE

Se consider n spaiu un sistem de coordonate de axe , ,Ox Oy Oz raportat la versorii

, ,i j k

.

CUADRICE NEDEGENERATE

ELIPSOIDUL

Definiia 5.1.Elipsoidul (real) este mulimea punctelor din spaiu care satisfac ecuaia

cartezian, numit ecuaia canonic (redus) a elipsoidului:

( )2 2 2

2 2 2: 1 0,x y z

Ea b c

+ + = unde , , 0a b c > . (1)

Pentru elipsoidul ( )E avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 1):

, ,a b c sunt semiaxele elipsoidului. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0 , , 0, 0 , 0, , 0 , 0, , 0 , 0, 0, , 0, 0,A a A a B b B b C c C c sunt

vrfurile elipsoidului.

( )0,0,0O este centru de simetrie numit centrul elipsoidului; Ox, Oy, Oz sunt axe desimetrie numite axele elipsoidului; , ,Oxy Oxz Oyz sunt plane de simetrie numite planele

principale pentru elipsoid.

Figura 1: Elipsoidul real


2/59

66 CAPITOLUL 5

Remarca 5.2. Cuadrica descris prin ecuaia2 2 2

2 2 21 0, , , 0

x y za b c

a b c+ + + = > se

numete elipsoid imaginar.

Remarca5.3. Elipsoidul ( )E este o mulime mrginiti nchis, deci compact, con-

inut n interiorul paralelipipedului , ,x a y b z c .

Dac dou dintre semiaxele elipsoidului sunt egale, de exemplu a b= , atunci elipsoidul

2 2 2

2 2 21 0

x y z

a a c+ + = se numete de rotaie n jurul axei Oz i se obine prin rotaia n jurul

axei Oz a elipsei

2 2

2 2 1 0

0

y za c

x

+ =

=

.

Dac semiaxele sunt egale, a b c= = , atunci elipsoidul este o sfer de raz a .

Ecuaiile parametrice ale elipsoidului:

cos sin

sin sin

cos

x a u v

y b u v

z c v

=

= =

, [ ] [ ]0, 2 , 0,u v . (2)

Intersecia unui elipsoid cu o dreapt

O dreapt intersecteaz elipsoidul n cel mult dou puncte, ale cror coordonate se

gsesc rezolvnd sistemul format din ecuaia elipsoidului i ecuaiile dreptei.

Observaia 5.4. O dreapt cu vectorul director v l i m j nk = + +

este tangent ntr-un

punct ( ) ( )0 0 0, ,M x y z E la elipsoid dac0 0 02 2 2

0lx my nz

a b c+ + = .

Intersecia unei elipsoid cu un plan

1.Planele de simetrie Oxy, Oxz, Oyz intersecteaz elipsoidul dup elipse reale.Intersecia elipsoidului cu planul Oxy este o elips situat n planul Oxy de ecuaii:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 21 0 1 0

0 0

x y z x y

a b c a b

z z

+ + = + =

= =

.

Analog se arat c intersecia elipsoidului cu planul Oxz este elipsa

2 2

2 21 0

0

x z

a cy

+ =

=

, iar


3/59


intersecia cu planul Oyz este elipsa

2 2

2 21 0

0

y z

b c

x

+ =

=

.

2.Planele paralele cu planele de coordonate intersecteaz elipsoidul dup elipse.Intersecia elipsoidului cu planul z = este o elips de ecuaii:

2 22 2 2

2 22 22 2 2

2 2

1 01 0

1 1

x yx y z

a ba b cc c

zz

+ =

+ + =

= =

.

Observaia 5.5. Dac c < , atunci elipsa este o elips real situat n planul z = ,

cu semiaxele2

1 21a a

c

= i

2

1 21b b

c

= (cea mai mare elips este cea din planul Oxy,

elipsele devenind din ce n ce mai mici pe msur ce crete); dac c= , atunci elipsa se

reduce la vrfurile ( ) ( )0, 0, , 0, 0,C c C c ; dac c > , atunci elipsa este imaginar (adic

planul nu intersecteaz elipsoidul).

Interseciile cu plane paralele cu celelalte dou plane de simetrie sunt tot elipse reale

sau imaginare i se studiaz n mod analog.

Plan tangent la elipsoid

Ecuaia planului tangent la elipsoid ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z de pe elipsoidul ( )E

(adic2 2 2

0 0 02 2 2

1 0x y z

a b c+ + = ):

0 0 02 2 2 1 0

xx yy zz

a b c+ + =

. (3)

Observaia 5.6. Ecuaia planului tangent ntr-un punct al elipsoidului se obine prin

dedublarea ecuaiei acestuia.

Ecuaiile planelor tangente la elipsoidul ( )E paralele cu un plan dat de ecuaie

( ) : 0Ax By Cz D + + + = :

2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz a A b B c C + + + + = . (4)

Plan polar. Pol


4/59

68 CAPITOLUL 5

Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine elipsoidului ( )E

(adic

2 2 20 0 0

2 2 2 1 0

x y z

a b c+ +

) n raport cu elipsoidul:

0 0 02 2 2

1 0xx yy zz

a b c+ + = . (5)

Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (5) n raport cu elipsoidul.

Observaia 5.7. Dac punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z E (adic2 2 2

0 0 02 2 2

1 0x y z

a b c+ + = ),

atunci planul polar al punctuluiM n raport cu elipsoidul este planul tangent n punctulM la

elipsoid (planul tangent este planul polar al punctului de contact cu elipsoidul).

HIPERBOLOIZI

Definiia 5.8. Hiperboloidul cu o pnz cu axa netransversal Oz este mulimea

punctelor din spaiu care satisfac ecuaia, numit ecuaia canonic (redus):

( )2 2 2

1 2 2 2: 1 0,x y z

Ha b c

+ = unde , , 0a b c > .. (6)

Pentru hiperboloidul ( )1H avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 2) :

, ,a b c sunt semiaxele hiperboloidului. ( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0 , , 0, 0 , 0, , 0 , 0, , 0A a A a B b B b sunt vrfurile hiperboloidului. ( )0,0,0O este centru de simetrie, Ox, Oy, Oz sunt axe de simetrie i planele de

coordonate , ,Oxy Oxz Oyz suntplane de simetrie pentru hiperboloid.

Axa Oz nu intersecteaz suprafaa hiperboloidului.

Figura 2: Hiperboloidul cu o pnz


5/59


Remarca5.9. Cuadricele descrise prin ecuaiile ( )2 2 2

1 2 2 2: 1 0

x y zH

a b c

+ + = , respectiv

( )2 2 2

1 2 2 2: 1 0x y z

Ha b c

+ = definesc tot un hiperboloid cu o pnz cu ax netransversalOx,

respectiv Oy.

Remarca5.10. Hiperboloidul cu o pnz ( )1H este o mulime nemrginiti nchis.

Dac dou dintre semiaxe sunt egale, de exemplu a b= , atunci hiperboliodul cu o

pnz se numete de rotaie n jurul axei Oz.

Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu o pnz:

cos chsin ch

sh

x a u v

y b u v

z c v

=

= =

, [ ]0, 2 ,u v . (7)

Intersecia unui hiperboloid cu o pnz cu o dreapt

O dreapt intersecteaz hiperboloidul cu o pnz n cel mult dou puncte, ale cror

coordonate se gsesc rezolvnd sistemul format din ecuaia hiperboloidului i ecuaiile

dreptei.

Dac o dreapt are n comun cu hiperboloidul cu o pnz mai mult de dou puncte,atunci dreapta aparine n ntregime hiperboloidului.


este tangent ntr-un

punct ( ) ( )0 0 0 1, ,M x y z H la hiperboloidul cu o pnz ( )1H dac0 0 02 2 2

0lx my nz

a b c+ = .

Intersecia unei hiperboloid cu o pnz cu un plan

1.Planele de simetrie Oxy, Oxz, Oyz intersecteaz hiperboloidul cu o pnz dup oelips reali dou hiperbole.

Intersecia hiperboloidului cu o pnz cu planul Oxy este o elips real, numitelipsa

colier, de ecuaii

2 2 2 2 2

2 2 2 2 21 0 1 0

0 0

x y z x y

a b c a b

z z

+ = + =

= =

.

Hiperbolele

2 2

2 21 0

0

x z

a c

y

=

=

i

2 2

2 21 0

0

y z

b c

x

=

=

reprezint interseciile hiperboloidului

cu o pnz cu planele Oxz, respectiv Oyz.


6/59

70 CAPITOLUL 5

2.Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz hiperboloidul cu opnz dup elipse reale situate n planul z = , de ecuaii:

( )

2 22 2 22 2

2 22 2 22 2

1 01 0

,1 1

x yx y z

a ba b cc c

zz

+ = + =

+ + =

=

.

Cea mai mic elips este situat n planul Oxy (elipsa colier), elipsele devenind din ce

n ce mai mari pe msur ce crete.

3.Planele x = paralele cu planul de coordonate Oyz intersecteaz hiperboloidul cu

o pnz dup hiperbole nedegenerate sau degenerate de ecuaii:2 2 2

2 2 21 0

x y z

a b c

x

+ =

=

.

Observaia 5.12. Dac a < , atunci hiperbola este

2 2

2 22 2

2 2

1 0

1 1

y z

b ca a

x

=

=

, cu

axa transversOy, situat n planul x = ; dac a = , atunci intersecia se reduce la dou

drepte concurente n punctul ( ), 0 , 0 , de ecuaii0

y z

b c

x

=

=

i0

y z

b c

x

+ =

=

, situate n planul

x = ; dac a > , atunci intersecia este hiperbola

2 2

2 22 2

2 2

1 0

1 1

y z

b ca a

x

+ =

=

, cu

axa transversOz, situat n planul x = .

Interseciile cu planele ,y = paralele cu planul de coordonate Oxz sunt tot

hiperbole nedegenerate sau degenerate i se trateaz n mod analog.

Plan tangent la hiperboloidul cu o pnz

Ecuaia planului tangent la hiperboloidul cu o pnz ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z de

pe hiperboloidul ( )1H (adic

2 2 2

0 0 02 2 2 1 0x y z

a b c+ = ):


7/59


0 0 02 2 2

1 0xx yy zz

a b c+ = . (8)

Ecuaiile planelor tangente la hiperboloidul cu o pnz ( )1H paralele cu un plan de

ecuaie ( ) : 0Ax By Cz D + + + = :

2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz a A b B c C + + + = . (9)

Plan polar. Pol

Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine hiperboloidului

( )1H (adic

2 2 20 0 0

2 2 2 1 0

x y z

a b c+

) n raport cu hiperboloidul:

0 0 02 2 2

1 0xx yy zz

a b c+ = . (10)

Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (10) n raport cu hiperboloidul ( )1H .

Observaia 5.13. Planul polar al unui punct de pe hiperboloidul cu o pnz n raport

cu hiperboloidul este chiar planul tangent la hiperboloid n punctul respectv.

Con asimptotic

Definiia 5.14. Suprafaa2 2 2

2 2 20

x y z

a b c+ = , , , 0a b c > este un con numit conul

asimptotic al hiperboloidului cu o pnz ( )1H (se afl n interiorul hiperboloidului ( )1H ).

Definiia 5.15. Hiperboloidul cu dou pnze cu axa transversal Oz este mulimea

punctelor din spaiu care satisfac ecuaia, numit ecuaia canonic (redus):

( )2 2 2

2 2 2 2: 1 0,

x y zH

a b c

+ = unde , , 0a b c > . (11)

Pentru hiperboloidul ( )2H avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 3) :

, ,a b c sunt semiaxele hiperboliodului. ( ) ( )0, 0, , 0, 0,C c C c sunt vrfurile hiperboloidului. ( )0,0,0O este centru de simetrie, axele Ox, Oy, Oz sunt axe de simetriei planele

de coordonate , ,Oxy Oxz Oyz suntplane de simetrie pentru hiperboloid.

Axa Oz intersecteaz suprafaa hiperboloidului, axele Ox i Oy nu intersecteazhiperboloidul.


8/59

72 CAPITOLUL 5

Figura 3: Hiperboloidul cu dou pnze

Remarca5.16. Ecuaiile

( )2 2 2

2 2 2 2: 1 0x y z

Ha b c

= i ( )2 2 2

2 2 2 2: 1 0

x y zH

a b c

+ =

definesc tot cte un hiperboloid cu dou pnze cu axele transversale Ox, respectiv Oy.Remarca 5.17. Hiperboloidul cu dou pnze ( )2H este o mulime nemrginit i

nchis.

Dac dou dintre semiaxe sunt egale, de exemplu a b= , atunci hiperboliodul cu dou

pnze se numete de rotaie n jurul axei Oz.

Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu dou pnze:

cos sh

sin shch

x a u v

y b u v

z c v

=

= =

, [ ]0, 2 ,u v . (12)

Intersecia unui hiperboloid cu dou pnze cu o dreapt

O dreapt intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze n cel mult dou puncte, ale cror

coordonate sunt soluiile sistemul format din ecuaia hiperboloidului i ecuaiile dreptei.


este tangent ntr-un

punct ( ) ( )0 0 0 2, ,M x y z H

la hiperboloidul cu dou pnze ( )2H dac0 0 0

2 2 2 0

lx my nz

a b c+ =

.


9/59


Intersecia unei hiperboloid cu dou pnze cu un plan

1.Planele de simetrie Oxy, Oxz, Oyz intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze dup oelips imaginari dou hiperbole.

Intersecia hiperboloidului cu dou pnze cu planul Oxy este o elips imaginar de

ecuaii

2 2 2 2 2

2 2 2 2 21 0 1 0

0 0

x y z x y

a b c a b

z z

+ = + + =

= =

, deci nu se intersecteaz.

Ecuaiile

2 2

2 21 0

0

x z

a c

y

+ =

=

i

2 2

2 21 0

0

y z

b c

x

+ =

=

reprezint hiperbolele de intersecie

dintre hiperboloidul cu dou pnze i planele Oxz, respectiv Oyz.

2 Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz hiperboloidul cudou pnze dup curba de ecuaii:

( )

2 22 2 2

2 22 22 2 2

2 2

1 01 0

,1 1

x yx y z

a ba b cc c

zz

+ =

+ =

= =

.

Observaia 5.19. Dac c > , atunci intersecia este elipsa real de semiaxe 1a =

2

21a

c

= i

2

1 21b b

c

= situat n planul z = ; dac c = , atunci intersecia se reduce

la vrfurile ( ) ( )0, 0, , 0, 0,C c C c ; dac c < , planul z = nu intersecteaz hiperboloidul.

3.Planele ,x = paralele cu planul de coordonate Oyz intersecteazhiperboloidul cu dou pnze dup hiperbole cu axa transversOz de ecuaii:

( )

2 22 2 22 2

2 22 2 22 2

1 01 0

,1 1

y zx y z

b ca b ca a

xx

+ = + =

+ + =

=

.

Interseciile hiperboloidului cu planele ,y = , paralele cu planul de coordonate

Oxz, sunt hiperbole cu axa transversOz de ecuaii ( )

2 2

2 22 2

2 2

1 0

,1 1

x z

a c

b by

+ =

+ +

=

.


10/59

74 CAPITOLUL 5

Plan tangent la hiperboloidul cu dou pnze

Ecuaia planului tangent la hiperboloidul cu dou pnze ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z

de pe hiperboloidul ( )2H (adic2 2 2

0 0 02 2 2

1 0x y z

a b c+ + = ):

0 0 02 2 2

1 0xx yy zz

a b c+ + = . (13)

Ecuaiile planelor tangente la hiperboloidul cu dou pnze ( )2H paralele cu un plan

de ecuaie ( ) : 0Ax By Cz D + + + = :

2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz a A b B c C + + + = . (14)

Plan polar. Pol

Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine hiperboloidului

( )2H (adic2 2 2

0 0 02 2 2

1 0x y z

a b c+ + ) n raport cu hiperboloidul:

0 0 02 2 2

1 0xx yy zz

a b c+ + = . (15)

Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (15) n raport cu hiperboloidul ( )2H .

Con asimptotic

Definiia 5.20. Conul2 2 2

2 2 20

x y z

a b c+ = , , , 0a b c > este conul asimptotic al hiperbo-

loidului cu dou pnze ( )2H (hiperboloidul ( )2H se afl n interiorul conului).

Observaia 5.21. Hiperboloidul cu o pnz ( )1H i hiperboloidul cu dou pnze ( )2H

au acelai con asimptotic.

Hiperboloidul cu dou pnze nu are generatoare rectilinii.

PARABOLOIZI

Definiia 5.22.Paraboloidul elipticcu axa de simetrie Oz este mulimea punctelor din

spaiu care satisfac ecuaia canonic (redus):

( )2 2

2 2

: 2 ,x y

PE z

a b

+ = unde , 0a b > . (16)


11/59


Pentru paraboloidul eliptic ( )PE avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 4) :

,a b sunt semiaxele paraboloidului. ( )0,0,0O este vrful paraboloidului. Oz este ax de simetrie; planele de coordonate ,Oxz Oyz sunt plane de simetrie

pentru paraboloid; paraboloidul nu are puncte sub planul Oxy .

Figura 4: Parabolidul eliptic

Remarca5.23. Cuadricele

( )2 2

2 2: 2y z

PE xb c

+ = i ( )2 2

2 2: 2x z

PE ya c

+ = , , , 0a b c >

sunt tot paraboloizi eliptici cu axele de simetrie Ox, respectiv Oy.

Remarca5.24. Paraboloidul eliptic este o mulime nemrginiti nchis.

Dac a b= , atunci paraboloidul eliptic se numete de rotaie n jurul axei Oz.

Ecuaiile parametrice ale paraboloidului eliptic:

2

cos

sin

2

x av u

y bv u

vz

=

=

=

, [ ]0, 2 ,u v . (17)

Intersecia unui paraboloid eliptic cu o dreapt

O dreapt intersecteaz paraboloidul eliptic n cel mult dou puncte, ale cror

coordonate sunt soluiile sistemul format din ecuaia paraboloidului i ecuaiile dreptei.

Intersecia unei paraboloidul eliptic cu un plan

1.Planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul eliptic n vrful ( )0,0,0O .2.Planele de simetrie Oxz, Oyz intersecteaz paraboloidul eliptic dup parabole:


12/59

76 CAPITOLUL 5

2 22

0

x a z

y

=

=i

2 22

0

y b z

x

=

=.

3.Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul elipticdup curbe de ecuaii: ( )

2 2 2 2

2 2 2 22 1 0

,2 2

x y x yz

a b a b

z z

+ = + =

= =

.

Observaia 5.25. Dac 0> , atunci intersecia este elipsa real de semiaxe 1a =

2a = i 1 2b b = situat n planul z = ; dac 0= , atunci intersecia este vrful ( )0, 0, 0O ;

dac 0< , planul z = nu intersecteaz paraboloidul (intersecia este o elips imaginar).

4.Planele ,x = paralele cu planul de simetrie Oyz intersecteaz paraboloiduleliptic dup parabole cu axa de simetrie paralel cu axa Oz de ecuaii:

22 22 2

22 222

,2

x yy b zz

aa b

x x

= + =

= =

.

Parabolele au acelai parametru 2b i vrfurile de coordonate2

2, 0,

2V

a

.

Interseciile paraboloidului eliptic cu planele ,y = paralele cu planul de simetrie

Oxz sunt parabole cu axa de simetrie paralel cu axa Ozi se determin n mod analog.

Plan tangent la paraboloidul eliptic

Ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z aparinnd

paraboloidulului ( )PE (adic2 2

0 002 2

2 0x y

za b

+ = ):

0 00

2 2

xx yyz z

a b

+ = + . (18)

Ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic ( )PE paralel cu un plan de ecuaie

( ) : 0Ax By Cz D + + + = :

( ) 2 2 2 22 0C Ax By Cz a A b B+ + + + = . (19)

Plan polar. Pol

Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine paraboloidului

( )PE (adic 2 20 0 02 2 2 0x y za b

+ ) n raport cu paraboloidul:


13/59


0 002 2

xx yyz z

a b+ = + . (20)

Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (20) n raport cu paraboloidul ( )PE .Definiia 5.26.Paraboloidul hiperboliccu axa de simetrie Oz este mulimea punctelor

din spaiu care satisfac ecuaia canonic (redus):

( )2 2

2 2: 2 ,x y

PH za b

= unde , 0a b > . (21)

Pentru paraboloidul hiperbolic ( )PH avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 5) :

,a b sunt semiaxele paraboloidului. ( )0,0,0O este vrful paraboloidului. Oz este ax de simetrie i planele de coordonate ,Oxz Oyz sunt plane de simetrie

pentru paraboloid.

Figura 5: Paraboloidul hiperbolic

Remarca5.27. Ecuaiile

( )2 2

2 2: 2y zPH xb c

= i ( )2 2

2 2: 2x zPH ya c

= , , , 0a b c > (sau schimbnd semnul)

definesc tot paraboloizi hiperbolici cu axele de simetrie Ox, respectiv Oy.

Remarca5.28. Paraboloidul hiperbolic este o mulime nemrginiti nchis.

Ecuaiile parametrice ale paraboloidului hiperbolic:

2

ch

sh

2

x av u

y bv u

v

z

=

=

=

, ,u v . (22)


14/59

78 CAPITOLUL 5

Intersecia unui paraboloid hiperbolic cu o dreapt

O dreapt intersecteaz paraboloidul hiperbolic n cel mult dou puncte, ale cror

coordonate sunt soluiile sistemul format din ecuaia paraboloidului i ecuaiile dreptei.Dac o dreapt are n comun cu paraboloidul hiperbolic mai mult de dou puncte,

atunci dreapta aparine n ntregime paraboloidului.

Intersecia unei paraboloidul hiperbolic cu un plan

1.Planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup dou drepteconcurente n punctul ( )0,0,0O , de ecuaii

0

0

x y

a b

z

=

=

i0

0

x y

a b

z

+ =

=

.

2.Planele de simetrie Oxz, Oyz intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup parabole:2 22

0

x a z

y

=

=i

2 22

0

y b z

x

=

=,

cu axa de simetrie Oz, prima n sensul pozitiv al axei, iar a doua n sensul negativ al axei.

4.Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul

hiperbolic dup hiperbole de ecuaii: ( ) { }

2 2 2 2

2 2 2 22 1 0, \ 02 2

x y x y

za b a b

z z

= =

= =

,

cu axa transvers paralel cu Ox sau cu Oy, dup cum 0 > sau 0< .

Observaia 5.29. Dac 0 = , atunci intersecia sunt dreptele concurente descrise la

punctul 1.

5.Planele x = paralele cu planul de coordonate Oyz intersecteaz paraboloidulhiperbolic dup parabole cu axa de simetrie paralel cu axa Oz de ecuaii:

22 22 2

22 222

2

x yy b zz

aa b

x x

= + =

= =

.

Parabolele au acelai parametru 2b i vrfurile de coordonate2

2, 0,

2V

a

.

Interseciile paraboloidului hiperbolic cu planele y = paralele cu planul de coordona-

te Oxz sunt parabole cu axa de simetrie paralel cu Oz ce se determin n mod analog.


15/59


Plan tangent la paraboloidul hiperbolic

Ecuaia planului tangent la paraboloidul hiperbolic ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z de pe

paraboloidul ( )PH (adic2 2

0 002 2

2 0x y

za b

= ):

0 002 2

xx yyz z

a b = + . (23)

Ecuaia planului tangent la paraboloidul hiperbolic ( )PH paralel cu un plan de ecuaie

( ) : 0Ax By Cz D + + + = :

( ) 2 2 2 22 0C Ax By Cz a A b B+ + + = . (24)

Plan polar. Pol

Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine paraboloidului

( )PH (adic2 2

0 002 2

2 0x y

za b

) n raport cu paraboloidul:

0 0 02 2xx yy z za b

= + . (25)

Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (25) n raport cu paraboloidul ( )PH .

CUADRICE DEGENERATE

Definiia 5.30.

a)Conulcu vrful n origine este cuadrica dat prin ecuaia canonic:2 2 2

2 2 20

x y z

a b c+ = , unde , , 0a b c > sunt semiaxele conului. (26)

Pentru conul cu vrful n origine avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 6) :

, ,a b c sunt semiaxele conului. ( )0, 0, 0O este vrful conului. ( )0, 0, 0O este centru de simetrie, Ox, Oy, Oz sunt axe de simetriei planele de

coordonate , ,Oxy Oxz Oyz suntplane de simetrie pentru con.


16/59

80 CAPITOLUL 5

Remarc 5.31. Punctul ( )0, 0, 0O este intersecia conului cu axele de coordonate icu planul de coordonate Oxy; interseciile cu planele de coordonate Oxzi Oyz sunt perechi dedrepte concurente n origine; interseciile cu plane paralele cu Oxy sunt elipse; interseciile cuplane paralele cu Oxz, Oyz sunt hiperbole.

Ecuaiile parametrice ale conului:

cos

sin

x av u

y bv u

z cv

=

= =

, [ ]0, 2 ,u v . (27)

b)Cilindrul circularcu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:

2 2 2x y a+ = , unde 0a > este raza cilindrului. (28)

Ecuaiile parametrice ale cilindrului circular:

cos

sin

x a u

y a u

z v

=

= =

, [ ]0, 2 ,u v . (29)

c)Cilindrul elipticrealcu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:

2 2

2 21 0

x y

a b+ = , unde , 0a b > sunt semiaxele cilindrului. (30)


17/59


Observaia 5.32. Cuadrica degenerat descris prin ecuaia2 2

2 21 0, , 0

x ya b

a b+ + = >

reprezint un cilindru eliptic imaginar.

Ecuaiile parametrice ale cilindrului eliptic:

cos

sin

x a u

y b u

z v

=

= =

, [ ]0, 2 ,u v . (31)

d)Cilindrul hiperboliccu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:

2 2

2 21 0

x y

a b = , unde , 0a b > sunt semiaxele cilindrului. (32)

Ecuaiile parametrice ale cilindrului hiperbolic:

ch

sh

x a u

y b u

z v

=

= =

, ,u v . (33)

e)Cilindrul parabolic cu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:

2 2y px= , unde *p . (34)

Ecuaiile parametrice ale cilindrului parabolic:

22

2

x pu

y pu

z v

=

=

=

, ,u v . (35)


18/59

82 CAPITOLUL 5

Observaia 5.33. Ecuaiile2 2 2 2

22 2 2 2

1 0, 1 0, 2y z y z

z pxb c b c

+ = = = , etc. (adic pentru

care lipsete o variabil) reprezint tot cilindrii cu generatoarele paralele cu axele decoordonate date de variabila care lipsete.

Alte tipuri de cuadrice (majoritatea degenerate) sunt:

Pereche de plane concurente: 2 22 2

0x y

a b =

Pereche de plane paralele: 22

1 0x

a =

Pereche de plane confundate: 22

0x

a=

Pereche de plane imaginare: 22

1 0x

a+ =

Dreapt dubl: 2 22 2

0x y

a b+ =

Punct dublu:

2 2 2

2 2 2 0

x y z

a b c+ + =

, adic ( )0, 0, 0O .

CUADRICE RIGLATE

Exist cuadrice al cror plan tangent ntr-un punct al acestora conine cel puin o

dreapt inclus n cuadric. Exemple remarcabile sunt: hiperboloidul cu o pnz, paraboloidul

hiperbolic, conul, cilindrii (circular, eliptic, hiperbolic, parabolic).

Definiia 5.33. O suprafa care poate fi generat prin micarea unei drepte, numit

generatoare rectilinie, care se sprijin pe o curb dat n spaiu, numitcurb directoare, se


19/59


numete suprafa riglat. Dac prin orice punct al unei suprafee riglate trec dou drepte

distincte coninute n suprafa, atunci suprafaa se numete dublu riglat.

Hiperboloidul cu o pnz i paraboloidul hiperbolic sunt suprafee dublu riglategenerate de cte dou familii de drepte numite generatoare rectilinii.

Ecuaia hiperboloidului cu o pnz ( )1H se scrie i sub forma:

1 1x z x z y y

a c a c b b

+ = +

.

Familiile de drepte ( ) ( )G G i ( ) ( )G G

, unde

( )1

: ,1

1

x z ya c b

Gx z y

a c b

=

+ = +

, ( ) : 1 0x z y

Ga c b

+ = = i

( )1

: ,1

1

x z y

a c bG

x z y

a c b

= +

+ =

, ( ) : 1 0x z y

Ga c b

+ = + =

(36)

definesc generatoarele rectilinii pe suprafaa ( )1H .

Ecuaia paraboloidului hiperbolic ( )PH se scrie i sub forma:

2x y x y

za b a b

+ =

.

i se obin familiile de generatoare rectilinii ( ) ( )G G i ( ) ( )G G

, unde

( ) : ,2

x y

a bGx y

za b

=

+ =

, ( ) : 0x yG za b

= = i

( ) : ,2

x y

a bG

x yz

a b

+ =

=

, ( ) : 0x y

G za b

+ = = .

(37)

Observaia5.34.

1)Translatnd n origine oricare din cele dou familii de generatoare ale hiperboloidu-


20/59

84 CAPITOLUL 5

lui cu o pnz se obine o singur familie de generatoare rectilinii ale conului asimptotic al

acestuia (adic paralelele duse prin origine la generatoarele din oricare din cele dou familii

sunt situate pe conul asimptotic), deci conul este o suprafa simplu riglat.2)Orice dreapt aezat pe hiperboloidul cu o pnz sau pe paraboloidul hiperbolic

face parte din una din cele dou familii de generatoare rectilinii.

3)Prin fiecare punct al hiperboloidului cu o pnzi al paraboloidului hiperbolic treceo unic generatoare rectilinie din fiecare din familiile ( )G i ( )G .

4)Oricare dou generatoare rectilinii din aceeai familie nu se intersecteaz (sunt chiarnecoplanare), dar oricare dou generatoare rectilinii ce aparin la familii diferite sunt

coplanare (n cazul hiperboloidului cu o pnz sunt concurente, excceptnd cazul cnd trec

prin puncte simetrice ale elipsei colier; n cazul paraboloidului hiperbolic sunt ntotdeauna

concurente).

5)Dou generatoare rectilinii concurente din familii diferite determin planul tangentla hiperboloidul cu o pnz sau paraboloidul hiperbolic n punctul lor de intersecie.

6)n cazul hiperboloidului cu o pnz, trei generatoare din aceeai familie nu pot fiparalele cu un acelai plan; n cazul paraboloidului hiperbolic, toate generatoarele din aceeai

familie sunt paralele cu un acelai plan fix (numit plan director).7)n cazul hiperboloidului cu o pnz, trei generatoare nu pot fi coplanare.


21/59


EXERCIII I PROBLEME REZOLVATE

5.1. S se determine curbele de intersecie ale urmtoarelor cuadrice cu planele de coordonate:

a)2 2 2

1 025 4 100

x y z+ + =

b) 2 2 24 25 100 0x y z+ =

c)2 2 2

4 25 100 0x y z+ + =

d) 2 24 25 200 0x y z+ =

e) 2 225 4 200 0x y z =

f) 2 2 225 4 0x y z+ = .

Pentru fiecare cuadric, s se determine ecuaiile parametrice i s se reprezinte grafic.

Soluie. a) Cuadrica2 2 2

1 025 4 100

x y z+ + = este un elipsoid real de semiaxe 5, 2, 10a b c= = =

i vrfuri ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5, 0, 0 , 5, 0, 0 , 0, 2, 0 , 0, 2, 0 , 0, 0, 10 , 0, 0, 10A A B B C C .

Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz elipsoidul dup elipsa real

2 21 0

25 40

x y

z

+ =

=

. Similar, planele Oxz, de ecuaie 0y = , respectiv Oyz, de ecuaie 0x = taie

cuadrica dup elipsele reale

2 21 0

25 1000

x z

y

+ = =

, respectiv

2 21 0

4 1000

y z

x

+ = =

.

Ecuiile parametrice ale elipsoidului sunt:

5 cos sin

2 sin sin

10 cos

x u v

y u v

z v

=

= =

, [ ] [ ]0, 2 , 0,u v (conform formulei (2)).

b) Cuadrica2 2 2

2 2 24 25 100 0 1 0100 25 4

x y zx y z+ = + = este un hiperboloid cu o pnz

cu axa netransversalOz de semiaxe 10, 5, 2a b c= = = i vrfuri ( ) ( )10, 0, 0 , 10, 0, 0A A ,


22/59

86 CAPITOLUL 5

( ) ( )0, 5, 0 , 0, 5, 0B B .

Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz hiperboloidul cu o pnz

dup elipsa real

2 21 0

100 250

x y

z

+ =

=

(elipsa colier).

Planele de coordonate Oxz, respectiv Oyz intersecteaz hiperboloidul cu o pnz dup

hiperbola cu axa transversOx:

2 21 0

100 40

x z

y

=

=

, respectiv hiperbola cu axa transversOy:

2 21 0

25 40

y z

x

=

=

.

Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu o pnz sunt:

10 cos ch

5 sin ch

2 sh

x u v

y u v

z v

=

= =

, [ ]0, 2 ,u v (conform formulei (7)).

c) Cuadrica2 2 2

2 2 24 25 100 0 1 025 100 4

x y zx y z+ + = + = este un hiperboloid cu dou

pnze cu axa transversalOz de semiaxe 5, 10, 2a b c= = = i vrfuri ( ) ( )0, 0, 2 , 0, 0, 2C C .

Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze

dup elipsa imaginar

2 21 0

25 1000

x y

z

+ + =

=

(deci planul i hiperboloidul nu se intersecteaz).

Ecuaiile

2 21 0

25 40

x z

y

+ =

=

i

2 21 0

100 40

y z

x

+ =

=

reprezint hiperbolele cu axa

transversOz de intersecie dintre hiperboloidul cu dou pnze i planele Oxz, respectiv Oyz.

Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu dou pnze sunt:

5 cos sh

10 sin sh

2 ch

x u v

y u v

z v

=

= =



23/59


d) Cuadrica2 2

2 24 25 200 0 225 4

x yx y z z+ = + = este un paraboloid eliptic cu axa de simetrie

Oz de semiaxe 5, 2a b= = i vrful ( )0,0,0O .

Planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul eliptic n vrful ( )0,0,0O .

Planele de coordonate Oxz, respectiv Oyz intersecteaz paraboloidul eliptic dup

parabolele2 50

0

x z

y

=

=, respectiv

2 8

0

y z

x

=

=, cu axa de simetrie Oz, n sensul pozitiv al axei.

Ecuaiile parametrice ale paraboloidului eliptic sunt:

2

5 cos2 sin

2

x v uy v u

vz

=

=

=


e) Cuadrica2 2

2 225 4 200 0 24 25

x yx y z z = = este un paraboloid hiperbolic cu axa de

simetrie Oz de semiaxe 2, 5a b= = i vrful ( )0, 0, 0O .

Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup

dou drepte concurente n punctul ( )0,0,0O , de ecuaii0

2 50

x y

z

=

=

i0

2 50

x y

z

+ =

=

.

Planele de coordonate Oxz, Oyz intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup parabolele

2 8

0

x z

y

=

=i

2 50

0

y z

x

=

=, cu axa de simetrie Oz, prima n sensul pozitiv al axei, iar a doua n

sensul negativ al axei.

Ecuaiile parametrice ale paraboloidului hiperbolic sunt:

2

2 ch

5 sh

2

x v u

y v u

vz

=

=

=

, ,u v (conform formulei (22)).

f) Cuadrica2 2 2

2 2 225 4 0 04 25 100

x y zx y z+ = + = este un con de semiaxe 2, 5,a b= =

10c = i vrful ( )0,0,0O .


24/59

88 CAPITOLUL 5

Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz conul n vrful ( )0,0,0O .

Planul de coordonate Oxz intersecteaz conul dup dou drepte concurente n punctul

( )0,0,0O , de ecuaii0

2 100

x z

y

=

=

i0

2 100

x z

y

+ =

=

.

Planul de coordonate Oyz intersecteaz conul dup dou drepte concurente n punctul

( )0,0,0O , de ecuaii2 0

0

y z

x

=

=i

2 0

0

y z

x

+ =

=.

Ecuaiile parametrice ale conului sunt:

2 cos5 sin

10

x v u

y v u

z v

= =

=


5.2. a) S se determine semiaxele i coordonatele vrfurilor elipsei obinut prin intersecia

planului 6 0x = cu elipsoidul2 2 2

1 045 20 5

x y z+ + = .

b) S se determine semiaxele i coordonatele vrfurilor hiperbolei obinut prin intersecia

planului 2 0y = cu hiperboloidul cu o pnz2 2 2

1 027 6 48

x y z+ = .

c) S se determine coordonatele centrului i raza cercului spaial obinut prin intersecia

planului 3 0z = cu hiperboloidul cu dou pnze2 2 2

1 02 2 3

x y z+ + = .

d) S se determine parametrul i coordonatele vrfului parabolei obinut prin intersecia

planului 12 0y + = cu paraboloidul hiperbolic

2 2

63 8

x yz = .

Soluie. a) Planul 6 0x = intersecteaz elipsoidul2 2 2

1 045 20 5

x y z+ + = dup o elips real de

ecuaii:

2 2 2 210 1 0

20 5 5 4 166

y z y z

xx

+ = + =

==

(situat n planul 6x = , cu axele de simetrie Oyi

Oz). Semiaxele elipsei sunt 2b = i 1c = , iar vrfurile sunt punctele ( ) ( )6, 2, 0 , 6, 2, 0 ,B B

( ) ( )6, 0, 1 , 6, 0, 1C C .


25/59


b) Planul 2y = intersecteaz hiperboloidul cu o pnz2 2 2

1 027 6 48

x y z+ = dup o hiperbol

nedegenerat de ecuaii:2 2 2 21 0 1 0

27 48 3 9 162 2

x z x z

y y

= =

= =

(situat n planul 2y = , cu axa

transversal Ox). Semiaxele hiperbolei sunt 3a = i 4c = , iar vrfurile sunt punctele

( )3, 2, 0A i ( )3, 2, 0A .

c) Planul 3z = intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze2 2 2

1 02 2 3

x y z+ + = dup un cerc

spaial de ecuaii:2 2 2 2 4 02 0

2 23

3

x yx y

zz

+ =+ =

= =

(situat n planul 3z = ). Centrul cercului

este punctul ( )0, 0, 3C , iar raza este 2R = .

d) Planul 12y = intersecteaz paraboloidul hiperbolic2 2

63 8

x yz = dup o parabol de

ecuaii( )

222 18 318 5418 6

3 12 1212

xx zx zz

y yy

= + = + =

= = = (situat n planul 12y = , cu axa de

simetrie 3z = , paralel cu Oz). Parametrul parabolei este 9p = i vrful este ( )0, 12, 3V .

5.3. Se dau elipsoidul 2 2 24 9 36 324 0x y z+ + = , dreapta ( )3 4 2

:3 6 4

x y zd

+= =

, planele

( ) : 2 3 3 1 0x y z + + = i ( ) : 3 6 27 0x y z + = i punctul ( )6, 4, 2M . Se cere:

a) ecuaiile planelor tangente la elipsoid n punctele de intersecie cu dreapta ( )d b) ecuaiile normalelor la elipsoid n punctele de intersecie cu dreapta ( )d

c) coordonatele punctelor de pe elipsoid n care normalele la suprafa sunt paralele cu

dreapta ( )d

d) ecuaiile planelor tangente la elipsoid paralele cu planul ( ) i coordonatele punctelor

de tangen, precum i distana dintre aceste plane tangente

e) s se arate c elipsoidul i planul( ) au un punct comun i s se determine coordonatele

acestuia


26/59


27/59


c) Obsevaie. Dac ( , , ) 0F x y z = este ecuaia unei cuadrice i punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z este pe

cuadric, atunci ecuaiile normalei la cuadric n punctul 0M sunt:

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,

x x y y z z

F F Fx y z x y z x y z

x y z

= =

Notm cu 2 2 2( , , ) 4 9 36 324 0F x y z x y z= + + = ecuaia elipsoidului.

Prin derivare parial se obine ( ) ( ) ( ), , 8 , , , 18 , , , 72F F F

x y z x x y z y x y z zx y z

= = =

.

Dac ( ), , , 3, 4i i i iM x y z i = sunt punctele cutate de pe elipsoid, atunci normala la

suprafa n iM are ecuaiile

( ) ( ) ( ) 8 18 72, , , , , ,

i i i i i i

i i ii i i i i i i i i

x x y y z z x x y y z z

F F F x y zx y z x y z x y z

x y z

= = = =

i vectorul su director este 8 18 72 , 3,4i i i iv x i y j z k i= + + =

.

Condiia de paralelism a normalei cu dreapta ( )d , deci a vectorului director iv

al

normalei cu vectorul director 3 6 4v i j k = +

al dreptei ( )d implic, conform formulei (18),

Capitolul 1, egalitatea8 18 72

3 6 4i i ix y z

= =

, adic27

4i ix z= i 6i iy z= .

Deoarece punctele ( ), , , 3, 4i i i iM x y z i = aparin elipsoidului, atunci coordonatele lor

verific ecuaia elipsoidului:2 2 2

21 0 241 144 081 36 9i i i

ix y z

z+ + = = , deci12

241iz = .

Rezult27 12 81

4 241 241ix

= = i12 72

6 , 3,4241 241iy i

= = = , deci se

gsesc punctele 381 72 12

, ,241 241 241

M

i 481 72 12

, ,241 241 241

M

.

d)Metoda 1. Ecuaiile planelor tangente la elipsoid paralele cu planul ( ) : 2 3 3 1 0x y z + + = ,

conform formulei (4), sunt:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

22 21 1

22 2 22

: 2 3 3 81 2 36 3 9 3 0 : 2 3 3 27 0

: 2 3 3 27 0: 2 3 3 81 2 36 3 9 3 0

x y z x y z

x y zx y z

+ + + = + =

+ + = + + + + =

.


28/59

92 CAPITOLUL 5

Metoda 2. Orice plan paralel cu planul ( ) : 2 3 3 1 0x y z + + = are ecuaia 2 3 3 0x y z + + = ,

, deci i planele tangente la elipsoid paralele cu ( ) au ecuaiile de aceast form.

Notm cu 0 0 0, ,x y z coordonatele punctului de contact 0M dintre elipsoid i planul

tangent paralel cu planul ( ) . Conform formulei (3), ecuaia planului tangent la elipsoid n

punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z este0 0 0

0 0 01 0 4 9 36 324 081 36 9

xx yy zzx x y y z z+ + = + + = .

Identificnd cele dou ecuaii ale planului tangent la elipsoid n punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z

rezult (conform formulei (23), Capitolul 1) egalitatea de rapoarte:

0 0 04 9 36 3242 3 3x y z

= = =

, deci 0 0 0162 108 27, ,x y z

= = = .

ntruct punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z aparine elipsoidului, atunci se verific ecuaia acestuia:

2 2 22 2 20 0 0

22 2 2

1 162 1 108 1 271 0 1 0

81 36 9 81 36 9

324 324 811 0 729,

x y z

+ + = + + =

+ + = =

deci 27 = .

Planele tangente la elipsoid paralele cu planul ( ) au ecuaiile:

( )1 : 2 3 3 27 0x y z + = i ( )2 : 2 3 3 27 0x y z + + = .

Pentru 27 = , rezult 01 01 016, 4, 1x y z= = = , deci ( )01 6, 4,1M este punctul de

tangen dintre elipsoid i planul tangent ( )1 .

Pentru 27 = , se obin 02 02 026, 4, 1x y z= = = , deci ( )02 6,4, 1M este punctul

de tangen dintre elipsoid i planul tangent ( )2 .Planele tangente ( )1 i ( )2 sunt paralele, deci distana dintre ele reprezint distana

de la un punct arbitrar al unuia dintre cele dou plane la cellalt plan.

Fie ( ), ,E un punct arbitrar al planului ( )1 , deci coordonatele sale verific

ecuaia planului ( )1 : 2 3 3 27 0 2 3 3 27 + = + = .

Folosind aceast relaie i formula (28), Capitolul 1 rezult:

( ) ( )( ) ( )( )( )

1 2 2 22 2

2 3 3 27 27 27 54dist , dist , 22 222 3 3

E

+ + +

= = = =+ +

.


29/59


30/59

94 CAPITOLUL 5

( )3, 4, 0P (coordonata z a punctului P s-a determinat nlocuind 3x = i 4y = n relaia

1 1 9

6 2 2z x y= + ).

Planul ( ) i elipsoidul sunt tangente n punctul ( )3, 4, 2P .

Observaie. Coordonatele punctului de intersecie P dintre elipsoid i planul ( ) se pot gsi i

dac se determin proiecia curbei de intersecie a celor dou suprafee pe planul Oxz sau pe

planul Oyz.

Metoda 2. Deoarece planul tangent la o cuadric are ca pol n raport cu cuadrica punctul de

contact (conform Observaia 5.7.), atunci se determin coordonatele polului planului ( ) n

raport cu elipsoidul.

Fie ( ), ,P P PP x y z punctul de contact al planului ( ) cu elipsoidul. Atunci P este polul

planului ( ) : 3 6 27 0x y z + = n raport cu elipsoidul.

Conform formulei (5), planul polar al punctului Pn raport cu elipsoidul are ecuaia:

31 0 3 27 0

81 36 9 3 4P P P P P

Px x y y z z x y

x y z z+ + = + + = .

Identificnd ecuaia planului polar i ecuaia planului ( ) , rezult egalitile:

33 273 4

1 3 6 27

P P

P

x y

z = = =

, deci 3, 4, 2P P Px y z= = = .

Punctul ( )3, 4, 2P este polul planului ( ) n raport cu elipsoidul, deci planul ( ) i

elipsoidul sunt tangente n punctul ( )3, 4, 2P .

f) Notm cu 2 2 2( , , ) 4 9 36 324 0F x y z x y z= + + = ecuaia elipsoidului.

Prin derivare parial se gsete ( ) ( ) ( ), , 8 , , , 18 , , , 72F F F

x y z x x y z y x y z zx y z

= = =

.

Dac ( ), , , 5,6i i i iM x y z i = sunt punctele cutate de pe elipsoid, atunci normala la

suprafa n iM are ecuaiile

( ) ( ) ( ) 8 18 72, , , , , ,

i i i i i i

i i ii i i i i i i i i

x x y y z z x x y y z z

F F F x y zx y z x y z x y z

x y z

= = = =

i vectorul director 8 18 72 , 5,6i i i iv x i y j z k i= + + =

.


31/59


32/59


33/59


Deoarece punctul ( )0 0 0, ,x y z aparine paraboloidului eliptic, atunci ecuaia acestuia

se verific: 2 2

0 0 02 4 1 2y z x + = + = , deci

5

2 = .

Planul tangent la paraboloidul eliptic paralel cu planul ( ) are ecuaia:

52 0 2 4 2 5 0

2x y z x y z + + = + + = .

e) Ecuaia unui plan arbitrar care are vectorul normal 2 3n i j k = +

este de forma

2 3 0,x y z + + = . Acest plan este tangent paraboloidului eliptic dac intersecia celor

dou suprafee este o conic degenerat format din dou drepte concurente imaginare (adic

intersecia este un punct).

Pentru aflarea ecuaiei planului tangent la paraboloidul eliptic perpendicular pe

vectorul n

se determin proiecia curbei de intersecie a celor dou suprafee pe planul Oxz.

Ecuaiile proieciei pe planul Oxz a curbei de intersecie a paraboloidului cu planul dat

se obin intersectnd curba2 2 2

2 3 0

y z x

x y z

+ =

+ + =

cu planul Oxz:

( )2 22 2 2 2 2 3 2 02 2 .2 3 0 2 3 0

x z z xy z x y z x

x y z y x z y

+ + =+ = + =

+ + = = + =

Aadar proiecia curbei de intersecie pe planul Oxz este o conic de ecuaii:

( )2 2 24 12 10 2 2 1 6 0,

0

x xz z x z

y

+ + + = =

ai crei invarianii sunt:

2

4 6 2 14 64 0, 14, 6 10 3 4 10

6 102 1 3

I

= = > = = =

.

Aceast conic este de gen eliptic i va reprezenta dou drepte concurente imaginare

dac 0 4 10 0 = = , deci dac5

2 = .

Ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic perpendicular pe vectorul n

se gsete

nlocuind 52

= , adic de obine: 52 3 0 4 2 6 5 02

x y z x y z+ + = + + = .


34/59

98 CAPITOLUL 5

Observaie. n mod similar se gsete ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic

perpendicular pe vectorul n

dac se face proiecia curbei de intersecie a celor dou suprafee

pe planul Oxy sau pe planul Oyz.

f) Ecuaiile proieciei pe planul Oxy a curbei de intersecie a paraboloidului cu planul ( ) se

obin intersectnd curba ( )2 2 2

:2 0

y z x

x y z

+ =

+ =

cu planul Oxy:

( )222 2 2 2 2 2 02 2

.2 0 2 0

y x y xy z x y z x

x y z z x y z

+ + =+ = + =

+ = = + =

Ecuaiile proieciei curbei de intersecie ( ) pe planul Oxy sunt:

( ) 2 2, 4 5 2 0,

0

f x y x xy y x

z

= + = =

deci curba proiectat este o conic cu invarianii:

1 1 1 1 1

1 2 11 2

1 0, 6, 2 5 0 5 0, 02 5

1 0 0

I I

= = > = = = = = = = = =

; ( )20, 0,C , 2R = ; e)

2 21 0

9 121

2

y z

x

=

=

; 3,b =

2 3c = ;1 1 1 1

, 3, 0 , , 3, 0 , , 0, 2 3 , , 0, 2 32 2 2 2

B B C C

;

f)2 36

4

1

y z

x

=

=

; 3p = ;3

1, 0,4

V

.

3. S se precizeze natura urmtoarelor curbe:

a) 2 2 2 53

x y z

z

+ + =

=; b) 2 2 2 7

3

x y z

y

+ =

=; c)

2 2

4 90

x z y

y

=

=

.

Rspuns: a)2 2 4 0

3

x y

z

+ + =

=elips imaginar; b)

2 2 16 0

3

x z

y

+ =

=cerc spaial;

c)0

2 30

x y

z

=

=

i0

2 30

x y

z

+ =

=

drepte concurente n origine.

4. S se determine punctele de intersecie ale cuadricelor urmtoare cu dreptele date:

a) ( )2 2 2

: 1 015 5 20

x y zE + + = i ( )

3 3 6:

3 1 4

x y zd

+= =

b) ( )2 2 2

1 : 1 07 21 14

x y zH + + = i ( )

2 3 4:

1 3 8

x y zd

+ += =

c) ( )

2 22

2 : 1 04 9

x z

H y+ + =

i ( )

3

: 1,3 6

x t

d y t t z t

= +

= + = +


52/59

116 CAPITOLUL 5

d) ( )2 2

:5 3

x yPE z+ = i ( )

1 2 3:

2 1 2

x y zd

+ += =

e) ( ) 2 2:16 4x y

PH z = i ( ) 2 2 0:2 8 0

x y zd

x y

+ = =

.

Rspuns: a) Dreapta este secant elipsoidului n ( ) ( )1 23, 1, 2 , 0, 2, 2M M ; c) Dreapta este

secant hiperboloidului cu o pnz n ( ) ( )1 21, 0, 4 , 2, 3, 4M M ; c) Dreapta este tangent

hiperboloidului cu dou pnze n ( )4, 2, 9M ; d) Dreapta este exterioar paraboloidului eliptic;

e) Dreapta este inclus n paraboloidul hiperbolic.

5. Se dau elipsoidul 2 2 236 16 9 144 0x y z+ + = i punctele ( )12, ,1 , 2,3,62M N . S

se arate

c dreaptaMNeste tangent la elipsoid i s se determine coordonatele punctului de tangen.

Rspuns: Punctul de tangen este vrful ( )2,0,0A .

6. S se gseasc ecuaiile proieciilor pe planele de coordonate a curbelor de intersecie dintre

hiperboloidul cu dou pnze ( )2 2

22 : 1 04 2

x yH z + + = i planul ( ) : 2 3 0x y z + + = i

centrele lor de simetrie.

Rspuns: Pe Oxy:2 25 16 14 24 48 40 0

0

x xy y x y

z

+ + + + + =

=

elips real cu centrul ( )1 4, 4, 0C ;

Pe Oxz:2 22 7 6 6 1 0

0

x xz z x z

y

+ + + =

=

hiperbol cu centrul ( )2 4, 0, 1C ;

Pe Oyz:2 22 4 5 12 6 13 0

0

y yz z y z

x

+ + + =

=

elips real cu centrul ( )3 0, 4, 1C .

Conica din planul de seciune are centrul n punctul ( )4, 4, 1C .

7. S se determine ecuaiile proieciei pe planul Oyz a curbei de intersecie a paraboloidului

hiperbolic2 2

9 4

y zx = cu planul ( ) : 3 4 3 9 0x y z + = .

Rspuns:2 24 9 48 36 108 0

0

y z y z

x

+ =

=

hiperbol degenerat n dou drepte secante reale de

ecuaii 2 3 18 00

y zx

==

i 2 3 6 00

y zx

+ ==

.


53/59


54/59


55/59


56/59

120 CAPITOLUL 5

d) S se determine ecuaiile planelor tangente la paraboloidul hiperbolic care trec prin

dreapta ( )d .

Rspuns: a) ( )2, 3, 0M ; b) 3 2 6 0x y z + = ; c)

658 27 2

2 3 1

zx y

++

= = ; d) 3 2 0x y = i

2 4 4 0x y z + = .

20. S se determine valoarea parametrului real pentru care planul 0x z + = este tangent

paraboloidului eliptic2

2 29

xy z+ = i s se gseasc coordonatele punctului de tangen.

Rspuns: 92 = ; 99,0,

2M

.

21. S se determine valorile parametrului real pentru care planul 4 5 0x y z + + = este

tangent hiperboloidul cu dou pnze2 2 2

1 05 20 8

x y z+ + = i s se gseasc coordonatele

punctelor de tangen.

Rspuns: 10 = ; ( ) ( )1 22, 2, 4 , 2, 2, 4M M .

22. S se determine locul geometric generat de familiile de drepte:

a)2 3 6 6 0

2 3 6 6 0

x y z

x y z

+ =

+ =; b)

3 9 0

3 3 0

x z

x y z

=

+ =, .

Rspuns: a) Hiperboloidul cu o pnz2 2

2 1 09 4

x yz+ = ;

b) Paraboloidul hiperbolic2

2 39

xz y = .

23. S se arate c punctul ( )2, 1, 2M aparine hiperboloidului cu o pnz2 2 2 1 0

36 9 4x y z

+ =

is se scrie ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului ce trec prin acest punct.

Rspuns:2 2 0 10 4

2 9 18 0 8 5 2

x y z x y z

x y z

+ = = =

+ =,

2 0 2 1 2

2 0 0 2 1

x y x y z

z

= = =

=.

24. S se determine generatoarele rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz2 2

2 1 04 9

x zy + =

coninute n planul ( ) : 6 2 2 0x y z + = .


57/59


Rspuns:3 6 2 6 0

3 6 2 6 0

x y z

x y z

+ =

+ =,

3 6 4 12 0

3 6 3 0

x y z

x y z

+ =

+ =,

3 6 4 12 0

3 6 3 0

x y z

x y z

+ + =

+ + =i

3 6 2 6 03 6 2 6 0x y z

x y z + + =+ + =

.

25. Se dau paraboloidul hiperbolic2 2

9 4

x zy = i punctul ( )3, 1, 0M . Se cere:

a) ecuaiile generatoarelor rectilinii ale paraboloidului hiperbolic ce trec prin punctulM

b) unghiul ascuit format de generatoarele rectilinii determinate la punctul a)

c) ecuaia planului tangent la paraboloidul hiperbolic ce trece prin punctulM.

Rspuns: a) 2 3 6 0 3 12 6 3 0 3 2 2x z x y zx y z

=

= = + =

; 2 6 3 0 3 12 3 6 0 3 2 2x y z x y zx z

=

= =+ =

b)9

arccos17

; c) 2 3 3 0x y = .

26. Se dau hiperboloidului cu o pnz2

2 2 1 04

xy z+ = i punctul ( )2,1,1M . Se cere:

a) ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz ce trec prin punctulM

b) unghiul ascuit format de generatoarele rectilinii determinate la punctul a)

c) ecuaiile normalei la hiperboloidul cu o pnz n punctulM.

Rspuns: a)2 2 2 0 2 1 1

2 2 2 0 0 1 1

x y z x y z

x y z

+ = = =

+ =;

2 0 2 1 1

1 0 2 0 1

x z x y z

y

= = =

=;

b)1

arccos10

; c)2 1 1

1 2 2

x y z = =

.

27. S se determine ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz

2 22 1 0

9 4

x yz+ = ce trec prin punctul ( )6, 2, 2M i unghiul ascuit format de aceste

generatoare.

Rspuns:3 0 6 2 2

2 0 3 0 1

x z x y z

y

= + = =

+ =;

4 3 13 6 0 6 2 2

3 3 6 0 9 8 5

x y z x y z

x y z

= + = =

+ + = ;

16arccos

5 17

.

28. S se determine ecuaiile generatoarelor rectilinii ale paraboloidului hiperbolic2 2

16 4

x yz =

care sunt paralele cu planul 3 2 4 3 0x y z+ + = .


58/59

122 CAPITOLUL 5

Rspuns:2 8 0 4 4

2 2 0 2 1 2

x y x y z

x y z

= + + = =

+ =,

2 4 0 2 1

2 4 0 2 1 1

x y x y z

x y z

+ = + = =

= .

29. S se determine ecuaiile celor dou drepte de intersecie dintre paraboloidul hiperbolic2 2 3x y z = cu planul tangent n punctul ( )2,1,1M la suprafa.

Rspuns:1 0 2 1 1

3 0 3 3 2

x y x y z

x y z

= = =

+ =i

3 0 2 1 1

0 1 1 2

x y x y z

x y z

+ = = =

= .

30. S se arate c planul ( ) : 4 5 10 20 0x y z = intersecteaz hiperboloidul cu o pnz

2 2 21 0

25 16 4

x y z+ = dup dou generatoare rectilinii ale cror ecuaii se cer.

Rspuns:2 5 0 5 4 2

4 0 5 0 2

x z x y z

y

= + = =

+ =i

2 0 5 2 1

5 0 0 2 1

y z x y z

x

+ = + = =

= .

31. S se determine ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz

2 2 21 0

9 4 16

x y z+ + = care sunt paralele cu planul 4 12 3 2 0x y z+ + = .

Rspuns:4 3 3 6 0 6 2 8

4 12 3 24 0 9 8 20

x y z x y z

x y z

+ = + + = =

+ + + = ,

4 3 3 6 0 6 2 8

4 12 3 24 0 9 8 20

x y z x y z

x y z

= + = =

+ + = .

32. S se determine ecuaiile planelor paralele cu planul de coordonate Oxy care intersecteaz

elipsoidul2 2 2

1 025 9 4

x y z+ + = dup o elips cu distana focal egal cu 6.

Rspuns:7

2z = .

33. Pe elipsoidul2 2 2

2 2 21 0, , , 0

x y za b c

a b c+ + = > se iau dou puncte arbitrare ( )1 1 1 1, ,M x y z

i ( )2 2 2 2, ,M x y z , iar planele tangente la elipsoid n aceste puncte se intersecteaz dup o

dreapt ( )d . S se arate c planul determinat de dreapta ( )d i de mijloculNal segmentului

1 2M M trece prin centrul elipsoidului.

Indicaie: Planele tangente la elipsoid n punctele ( )1 1 1 1, ,M x y z , respectiv ( )2 2 2 2, ,M x y z au

ecuaiile:


59/59


1 1 12 2 2

1 0x x y y z z

a b c+ + = i 2 2 2

2 2 21 0

x x y y z z

a b c+ + = ,

iar dreapta lor de intersecie ( )d are ecuaiile

1 1 12 2 2

2 2 22 2 2

1 0

1 0

x x y y z z

a b c

x x y y z z

a b c

+ + = + + =

.

Planul cutat face parte din fasciculul de plane determinat de dreapta ( )d , a crui ecuaie

este: 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 0,x x y y z z x x y y z z

a b c a b c

+ + + + + =

.

Punem condiia ca acest plan s treac prin punctul 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z zN + + +

, mijlocul

segmentului 1 2M M , i innd seama i de relaiile2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2

1x y z x y z

a b c a b c+ + = + + =

(deoarece punctele 1M i 2M aparin elipsoidului) se gsete 1 = .

Ecuaia planului ce trece prin dreapta ( )d i prin punctulNeste:

1 2 1 2 1 2

2 2 20

x x y y z zx y z

a b c

+ + = ,

iar acest plan trece prin centrul de simetrie ( )0,0,0O .

Date post:	08-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	olivia-bianca-savan
View:	225 times
Download:	0 times

Capitolul 5_Cuadrice reduse

Documents