Capitolul 4

Capitolul 4

ELEMENTE GENERALE ALESERVOMOTOARELOR ELECTRICE

4.1. Materiale utilizate în construcţia servomotoarelor

Îmbunătăţirea performanţelor servomotoarelor electrice se datorează în maremăsură progreselor rapide înregistrate în domeniul materialelor electrotehnice, speci-fice construcţiei de motoare electrice: magneţi permanenţi, materiale feromagneticepentru circuite magnetice, materiale conductoare pentru înfăşurări, respectiv materialeelectroizolante (care să reziste la temperaturi înalte). Una dintre etapele importante aleproiectării acestor elemente de execuţie o constituie alegerea adecvată a materialelordin care urmează să fie realizată maşina. Această alegere este fundamentată pe de-oparte de performanţele cerute de sistemul de acţionare iar pe de altă parte este limitatăde preţul final al întregului ansamblu de automatizare.

În cadrul acestui paragraf se prezintă succint principalele categorii de materialeelectrotehnice folosite în construcţia servomotoarelor electrice.

4.1.1. Materiale magnetice

4.1.1.1. Clasificare. Proprietăţi magnetice generaleDin punctul de vedere al proprietăţilor magnetice (natura permeabilităţii mag-

netice relative rµ , la rândul ei dependentă de structura de material) materialele seîmpart în :

a. Materiale diamagnetice şi paramagnetice (materiale nemagnetice) – secaracterizează printr-o magnetizaţie slabă. Materialele diamagnetice se caracterizeazăprintr-o valoare a lui rµ uşor sub valoarea 1 şi printr-o relaţie liniară între inducţiamagnetică B şi intensitatea câmpului magnetic H ,

B H= µ (4.1)

Permeabilitatea µ nu depinde de câmp. Materialele paramagnetice sunt neliniare,având valoarea permeabilităţii relative rµ uşor peste valoarea 1.

b. Materialele feromagnetice şi ferimagnetice (materiale magnetice) –corpurile feromagnetice sunt neliniare şi se caracterizează printr-o valoare ridicatăpentru susceptivitatea lor magnetică æm şi permeabilitatea relativă rµ (de ordinulsutelor, miilor, zecilor de mii sau chiar sutelor de mii). Materialele ferimagnetice sunt

Elemente generale ale servomotoarelor electrice - 4152

asemănătoare celor feromagnetice cu observaţia că au valori mai mici pentru suscepti-vitatea magnetică æm şi permeabilitatea relativă rµ .

c. Materialele antiferomagnetice – pentru anumite intervale ale temperaturiisunt asemănătoare cu corpurile paramagnetice.

În grupa materialelor magnetice se includ îndeosebi materialele feromagneticeşi ferimagnetice, caracterizate prin valori mari ale energiei magnetice înmagazinate.

Proprietatea fundamentală a materialelor feromagnetice este aceea că aumagnetizaţie spontană (magnetizaţie nenulă) chiar şi în cazul absenţei câmpurilormagnetice exterioare. Ele sunt materiale neliniare. În figura 4.1. este prezentatădependenţa dintre inducţia magnetică B şi intensitatea câmpului magnetic H princurba de primă magnetizare OP şi prin ciclul de histerezis PBrQHcP.

În figura 4.1, Bs reprezintăinducţia magnetică de saturaţie(maximă), Br este inducţia mag-netică remanentă iar Hc, câmpulcoercitiv.

Materialele ferimagneticesau feritele sunt corpuri cu pro-prietăţi semiconductoare, avândrezistivităţi mult mai mari decâtmaterialele feromagnetice, caresunt metale. Prin urmare, feritelesunt caracterizate prin pierderiprin curenţi turbionari mult maimici decât feromagneticele.

Materialele ferimagneticesunt de asemenea neliniare, pre-zentând cicluri de histerezis mag-netic.

Există un număr de pro-prietăţi magnetice generale alematerialelor magnetice care inte-

resează în studiul servomotoarelor electrice. Acestea sunt [36, 37] :a) inducţia magnetică de saturaţie (maximă) Bs – este valoarea pe care o ia

inducţia magnetică atunci când magnetizaţia corpului M ajunge la valoarea desaturaţie Ms (v. figura 4.1), Bs = 0,2 ... 2,5 [T] ;

b) inducţia magnetică remanentă Br – este valoarea inducţiei magnetice carerămâne în corpul magnetizat în prealabil la saturaţie, după anularea câmpuluimagnetizant (v. figura 4.1);

c) câmpul coercitiv Hc – este valoarea intensităţii câmpului magnetic pentrucare inducţia magnetică a unui corp magnetizat în prealabil se anulează (v. figura 4.1),Hc=0,1[A/m] ... 30[MA/m] ;

d) indicele de calitate (BH)max – reprezintă valoarea maximă a produsului dintreinducţia magnetică şi intensitatea câmpului magnetic, fiind o măsură a energieimagnetice înmagazinată de corp în cursul procesului de magnetizare. Materialele

Fig. 4.1. Curba de primă magnetizare şi ciclul de histerezis încazul unui material feromagnetic.

4.1 - Materiale utilizate în construcţia servomotoarelor 153

caracterizate de valori mari pentru (BH)max sunt utilizate la fabricarea magneţilorpermanenţi.

e) permeabilitatea magnetică relativă statică rµ - se defineşte prin raportul :

r0

1 BH

µ = ⋅µ

. (4.2)

f) permeabilitatea magnetică relativă dife-renţială rdifµ , definită pentru un punct P de pecurba de primă magnetizare (v. figura 4.2) derelaţia:

rdif H 0o H 0

1 BH

lim∆ →∆ ⟩

∆⎛ ⎞µ = ⋅ ⎜ ⎟µ ∆⎝ ⎠ (4.3)

g) permeabilitatea magnetică relativăreversibilă rrevµ - se defineşte pentru un punct depe curba de primă magnetizare din care dacă semicşorează câmpul magnetic cu H∆ până în

iniţ

şi putilcar

supma

Fig. 4.2. Explicativă lapermeabilitatea magnetică

relativă statică.
punctul R iar apoi se măreşte revenind în punctul
ial P descriindu-se un mic ciclu de histerezică ca în figura 4.3, ca limită :

rrev H 0o H 0

1 BH

lim∆ →∆ ⟨

∆⎛ ⎞µ = ⋅ ⎜ ⎟µ ∆⎝ ⎠ (4.4)

Valoarea maximă a lui µrrev este notatăobişnuit cu µrmax. În origine:

µrdef = µrrev = µriniţial . (4.5)Materialele magnetice se împart, după

cum îşi păstrează sau nu într-o măsură suficientăstarea de magnetizare la anularea câmpuluimagnetizant, în materiale magnetice moi şimateriale magnetice dure.

Materialele magnetice moi se caracte-rizează printr-un ciclu de histerezis îngust, câmp

Fig. 4.3. Explicativă lapermeabilitatea magnetică relativă

reversibilă µrrev.
coercitiv Hcmic respectiv inducţie de saturaţie Bsermeabilitate magnetică mare. La servomotoarele electrice, aceste materiale se
izează pentru confecţionarea circuitelor magnetice (oţel şi fontă turnate, oţel-bon sub formă de foi, tablă silicioasă etc.).

Materialele magnetice dure sunt caracterizate printr-un ciclu de histerezis derafaţă mare, inducţie remanentă Br şi câmp coercitiv mari. Se folosesc la fabricareagneţilor permanenţi.


4.1.1.2. Pierderile în materialele magneticeRandamentul servomotoarelor electrice depinde esenţial de pierderile de energie

în materialele magnetice utilizate în construcţia acestora. Pierderile în materialelemagnetice, numite tradiţional pierderi în fier, se divid în două componente : pierderileprin histerezis Ph şi pierderile prin curenţi turbionari Pw .

a. Pierderile prin histerezis magnetic – sunt proporţionale cu suprafaţa cicluluide histerezis Sh (v. figura 4.1). La parcurgerea unui ciclu de histerezis, în unitatea devolum se dezvoltă energia:

hmh hW H dB S

Γ= ⋅ =∫ . (4.6)

În unitatea de timp se dezvoltă în unitatea de volum de material puterea:

hh hp f H dB f S

Γ= ⋅ ⋅ = ⋅∫ , (4.7)

adică pierderile prin histereză magnetică din unitatea de volum sunt proporţionale cusuprafaţa buclei de histereză, cu frecvenţa şi nu depind de grosimea tolei. Obişnuit înpractică se scoate în evidenţă valoarea acestor pierderi în unitatea de masă. Steinmetza stabilit cel dintâi, încă de la sfârşitul secolului XIX, după mai multe experienţe,prima formulă a pierderilor prin histerezis pe unitatea de masă [38]:

1 6hp f B ,= η⋅ ⋅ , (4.8)

unde coeficientul η variază în oarecare limite după tipul materialului magneticîntrebuinţat, f este frecvenţa iar B inducţia magnetică maximală. Mai multe experienţefăcute ulterior au arătat că această formulă nu este valabilă decât pentru valori aleinducţiei mai mici ca 1 [T]. În miezurile maşinilor electrice au loc inducţii magneticeîn general mai mari decât 1 [T]. În conformitate cu propunerea lui Richter, seconsideră că pierderile prin histerezis în unitatea de masă se exprimă sub forma [39]:

2h hp f B= σ ⋅ ⋅ , (4.9)

unde hσ este o constantă de material.Dacă m este masa materialului, pierderile prin histerezis în corp au expresia:

2h h hP p m f B m= ⋅ = σ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.10)

b. Pierderile prin curenţi turbionari - sunt produse de curenţi electrici induşiîn corpurile feromagnetice, conform legii inducţiei electromagnetice, de câmpurilemagnetice variabile. Pentru frecvenţele care intervin curent la funcţionarea maşinilorelectrice, pierderile în unitatea de masă se exprimă sub forma [40]:

2w wp f B( )= σ ∆ ⋅ ⋅ , (4.11)

unde ∆ este grosimea tolei, f este frecvenţa iar B inducţia maximală, iar σw are expresia:

2 9

w10

6

−π ⋅σ =

ρ , (4.12)

în care ρ este rezistivitatea materialului.


Dacă m este masa materialului atunci pierderile prin curenţi turbionari în corpse calculează cu expresia:

2w w wP p m f B m( )= ⋅ = σ ∆ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.13)

În aceste condiţii, pierderile specifice totale în fier, pFe sunt date de relaţia:2 2

Fe w wh hp p p f B fB( )= + = σ ⋅ ⋅ + σ ∆ . (4.14)

În relaţiile (4.9), (4.10), (4.11), (4.13) şi (4.14) se neglijează influenţa efectuluide refulare. Aceste relaţii se pot aplica pentru frecvenţe de lucru obişnuite, în jur de50 [Hz]. La frecvenţe de lucru mai mari sau pentru grosimi ale tablei mai mari de 0,5[mm] trebuie să se ţină seama şi de efectul de refulare. În această situaţie, ph şi pw secalculează cu relaţiile [41]:

2h h hp f B k= σ ⋅ ⋅ ⋅ , (4.15)

2w w wp f B k( )= σ ∆ ⋅ ⋅ ⋅ , (4.16)

în care:

hshk

2 chsincos

ξ ξ + ξ= ⋅

ξ − ξ , (4.17)

w3 shk

chsincos

ξ − ξ= ⋅ξ ξ − ξ

, (4.18)

iar

2µω

ξ = ∆ρ

. (4.19)

În relaţia (4.19), µ este permeabilitatea magnetică a materialului magnetic. Înfigura 4.4 sunt reprezentate variaţiile celor doi coeficienţi kh şi kw în funcţie de ξ .

Figura 4.4. Coeficienţii kw şi kh în funcţie de ξ.


4.1.1.3. Materialele magnetice moi utilizate la realizarea cicuitelormagnetice

Aşa cum s-a văzut în paragraful anterior, materialele magnetice moi se carac-terizează prin valori mari ale inducţiei de saturaţie şi ale permeabilităţii magnetice,respectiv câmp coercitiv mic. Trăsătura fundamentală a acestei categorii de materialemagnetice este aceea de a se demagnetiza la încetarea acţiunii câmpului magnetizant.Prin urmare, ele trebuie să se caracterizeze printr-un conţinut cât mai redus deimpurităţi, în speţă carbon, şi să fie lipsite de tensionări locale.Tabelul 4.1. Materiale magnetice moi care se folosesc la realizarea circuitelor magnetice caracteristice

servomotoarelor electrice, respectiv traductoarelor convenţionale.

Compoziţie [ % ]Denumirematerial Fe Ni Co Mo Alte

elem.

Permeabilitatearelativă iniţialăla B = 0,02 [T]

r i,µ

Permeabilita-tea relativă

maximă r ,maxµ

Inducţiede

saturaţie,Bs [T]

Oţel laminat larece 98,5 - - - - 180 2000 2,1

Fier 99,91 - - - - 200 5000 2,15Fier pur 99,95 - - - - 5000 180000 2,15

Fier-siliciu 4[%]

cu cristaleorientate*

96

97

- - - 4 Si

3 Si

500

1500

7000

30000

1,97

2,00

45Permalloy 54,7 45 - - - 2500 25000 1,645Permalloy** 54,7 45 - - - 4000 50000 1,6

Hipernik 50 50 - - - 4500 70000 1,6Monimax - - - - - 2000 35000 1,5Sinimax - - - - - 3000 35000 1,1

78Permalloy 21,2 78,5 - - 0,3Mn 8000 100000 1,07 4-79

Permalloy 16,7 79 - 4 0,3Mn 20000 100000 0,87

Mu-metal 18 76 - 3 - 20000 100000 0,65

Supermalloy 15,5 79 - 5 0,5(Mn+Si) 100000 800000 0,8

Permandur 49,7 - 49 - - 800 5000 2,452V

Permandur 49 - 49 - 2V 800 4500 2,4

Hiperco 64 - - - - 650 10000 2,42 2 – 81

Permalloy 17 - - - - 125 130 0,8

Dynamax 32,7 65 - 2 0,3 Mn - 1530000 1,26

Notă : * Proprietăţile în direcţia de laminare.** Proprietăţi similare pentru Nicaloi, 4750 Alloy, Carpenter 49, Armco 48.


În tabelul 4.1 sunt prezentate cele mai uzuale materiale magnetice moi care sefolosesc la construcţia circuitelor magnetice ce echipează servomotoarele electricerespectiv traductoarele convenţionale din structura servosistemelor [42].

În realizarea circuitelor magnetice ale servomotoarelor electrice, o importanţădeosebită o au materialele feromagnetice, caracterizate prin inducţii mari la intensităţimici ale câmpului magnetic ceea ce permite diminuarea volumului materialelor activeşi a energiei utilizate pentru producerea solenaţiei.

Circuitele magnetice constituie suportul material al fluxului magnetic. Uncircuit magnetic este constituit în principal dintr-un ansamblu de medii feromagneticeşi întrefieruri, prin care se închid fluxuri magnetice. În servomotoarele electrice existăporţiuni ale circuitului magnetic care sunt parcurse de un flux constant în timp, iaraltele care sunt străbătute de un flux magnetic variabil.

În porţiunile de circuit magnetic străbătute de un flux magnetic constant în timp,miezurile se realizează în mod obişnuit din oţel şi fontă turnate, oţel forjat, oţel –carbon laminat (sub formă de foi) sau tablă laminată cu grosimea de 1 – 2 [mm].

În figurile următoare se prezintă curbele de magnetizare B = f(H), folosite lacalculul tensiunilor magnetice ale porţiunilor de circuit magnetic considerate pentru:fontă, figura 4.5, oţel turnat, forjat sau laminat (foi groase), figura 4.6, şi tablălaminată de oţel cu grosimea 1 - 2 [mm], figura 4.7.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

B [T]

H [A/m]

Fig. 4.5. Curba de magnetizare pentru fontă.


0 10 20 30 40 50 600.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

H [A/m]

[T]

Fig. 4.6. Curba de magnetizare pentru oţel turnat, forjat sau laminat (folii groase).

0 100 200 300 400 500 6000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

H [A/m]

B [T]

Fig. 4.7. Curba de magnetizare pentru tablă laminată de oţel de 1 – 2 [mm].


În părţile feromagnetice în care câmpul magnetic variază în raport cu timpul sefolosesc miezurile lamelare, realizate din tole, pentru a se evita producerea unorimportante pierderi prin histerezis şi curenţi turbionari (aceste pierderi se transformă încăldură, limitând solicitările electromagnetice ale servomotorului). La realizarea tolelorse utilizează materiale cu compoziţii şi calităţi diferite de cele ale materialelor folositepentru realizarea circuitelor magnetice străbătute de fluxuri constante, prezentate anterior.

Aceste materiale se obţin prin alierea fierului cu siliciu. Rezultă materiale curezistivitate electrică ridicată, deci cu pierderi prin curenţi turbionari reduse. Pentruservomotoarele uzuale folosite în sistemele automate industriale se utilizează tablăsilicioasă laminată la cald, de grosime între 0,2 şi 0,5 [mm] şi conţinut de siliciu depână la 4,5 [%].

Tabla silicioasă laminată la cald se obţine din blocuri de fier–siliciu, prinlaminări şi recoaceri succesive. După obţinerea dimensiunilor dorite, tablele se supununui tratament termic de scurtă durată (800 [oC]) urmat de o răcire lentă (30 ÷ 50[oC/h]). În urma aplicării acestor tratamente cresc grăunţii cristalini şi scad tensiunileinterne (mărimea pierderilor depinde de aria ciclului de histerezis dar ele suntinfluenţate într-o măsură destul de mare şi de tensiunile interne respectiv de direcţia deorientare a cristalelor).

În tabelul 4.2 sunt prezentate caracteristicile tablei silicioase utilizată frecvent laconfecţionarea miezurilor magnetice lamelare [36].

Tabelul 4.2. Caracteristici ale tablei silicioase.

PIERDERIspecifice[W/kg]

Inducţia magnetică B[T] pentrudiferite valori ale intensităţiicâmpului magnetic H [kA/m]

Calitateatablei

Grosimeatablei[mm]

Conţinutde Si[ % ]

DENSI-TATEA[kg/m3]

P10 P15 2,5 5,0 10,0 30,0

EI – 3,6 0,5 0,7 7,85 3,6 8,6 1,53 1,63 1,75 1,98

EI – 3,2 0,5 1,0 7,8 3,2 7,5 1,50 1,62 1,75 1,98

EII – 2,8 0,5 1,7 7,8 2,8 6,5 1,50 1,62 1,75 1,98

EIII-2,5 0,5 2,3 7,7 2,5 6,1 1,48 1,59 1,73 1,95

EIII-2,0 0,5 2,7 7,7 2,0 4,9 1,46 1,57 1,72 1,94

EIV-1,8 0,5 3,4 7,7 1,8 4,4 1,46 1,57 1,71 1,92

EIV-1,2 0,35 4,3 7,55 1,2 2,9 1,45 1,56 1,69 1,89

EIV-0,9 0,35 4,3 7,55 0,9 2,4 1,44 1,55 1,69 1,89

Tablele slab aliate (conţinut de până la 1 [ % ] Si) sunt caracterizate prin valorimari ale inducţiei de saturaţie iar cele supra (înalt) aliate (peste 4[ % ] conţinut de Si)au pierderi specifice reduse.

În figura 4.8 este prezentată curba de magnetizare corespunzătoare tablelorsilicioase slab şi mediu aliate, folosite frecvent în ţara noastră. Grosimea nominală a tableieste de 0,5 [mm] şi realizează la împachetare un coeficient de umplere kFe ≈ 0,95.

Până nu demult, conţinutul de siliciu era limitat la 4,5 [%] în cazul laminăriialiajului la cald, respectiv 3,3 [ % ] în cazul laminării la rece. Aceste bariere, în


concepţia tehnologiilor clasice de realizare a tablei silicioase, erau impuse de creştereasemnificativă a fragilităţii materialului care face ca acesta să devină neprelucrabil.

0 1000 2000 3000 4000 50000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

H [A/m]

B [T]

Fig. 4.8. Curba de magnetizare corespunzătoare tablelor silicioase slab şi mediu aliate.

La sfârşitul deceniului al IX-lea al secolului trecut s-au produs pentru primaoară în lume table silicioase cu un conţinut de siliciu de 6,5 [ % ], pe baza uneitehnologii noi de producere a materialelor fragile în pături subţiri (filmeferomagnetice) [43], [44]. Acestea sunt caracterizate printr-o diminuare accentuată apierderilor în fier, creşterea rezistivităţii ceea ce conduce la obţinerea unorcaracteristici superioare în domeniul frecvenţelor înalte, comparativ cu tableleconvenţionale. De asemenea, zgomotul cauzat de magnetostricţiune* este scăzut.

Tablele cu un conţinut ridicat de siliciu sunt folosite în practică în aplicaţii totmai numeroase. La început ele au fost produse în Japonia iar din 1999 au devenitdisponibile şi fabricaţiei europene şi americane.

Printre pionierii dezvoltării producţiei de tablă cu conţinut ridicat de siliciu senumără şi corporaţia japoneză NKK. Recent, firma a lansat pe piaţă două noi produse:„super E – Core” şi „super HF-Core”. La obţinerea acestora a fost folosită o nouă *Magnetostricţiunea λ caracterizează variaţiile dimensionale ale materialelor – feri sau feromagnetice –introduse în câmp magnetic. Se defineşte prin raportul dintre alungirea unei laturi a corpului ∆l şidimensiunea ei iniţială l [45]


tehnologie – CVD (chemical vapor deposition). Primul produs se caracterizează prinacelaşi conţinut de siliciu de 6,5 [%] , de-a lungul secţiunii transversale a tablei. La celde-al doilea produs, pe secţiunea transversală, se manifestă un gradient al conţinutuluide siliciu: 3 [%] în mijloc, respectiv 6,5 [%] pe suprafeţe. Tablele se realizează cugrosimi de 0,05; 0,1 şi 0,2 [mm]. Principalele proprietăţi magnetice sunt prezentate întabelul 4.3 [46].

Tabelul 4.3. Proprietăţile magnetice ale tablelor silicioase „super E-Core” şi „super HF-Core”.

Pierderi specifice în fier [ W/kg ]Materialulmagnetic

Grosime [mm]

Inducţia desaturaţie

Bs [T]

Permeabilitateamagneticămaximă

r , maxµp

10/50p

2/5kHzp

1/10kHzp

0,5/20kHz

Tablă silicioasăSuper E - Core 0,1 1,80 23000 0,51 11,3 8,3 6,9

0,05 1,85 5000 0,90 7,0 4,2 2,9Tablă silicioasăSuper HF - Core 0,1 1,88 4100 1,06 11,5 7,1 4,7

Pentru tabla silicioasă „super HF-Core” se prezintă: curba de magnetizare B = f(H)(v. figura 4.9); ciclul de histerezis (v. figura 4.10); variaţia permeabilităţii magneticerelative în funcţie de intensitatea câmpului magnetic, rµ = f(H) (v. figura 4.11); curbapierderilor specifice B = f(p) pentru f = 50 [Hz] (v. figura 4.12) şi curba pierderilorspecifice pentru frecvenţele 100 [Hz]; 200 [Hz]; 400 [Hz]; 1 [kHz]; 2 [kHz]; 5 [kHz];10 [kHz] şi 20 [kHz] (v. figura 4.13).

Fig. 4.9. Curba de magnetizare B = f(H) pentru tabla silicioasa “super HF – core”.


Fig. 4.10. Ciclul de histerezis pentru tabla silicioasa “super HF – core”.

Fig. 4.11. Variatia rµ = f(H) în cazul tablei silicioase “super HF – core”.

Curbele din figurile de mai sus sunt corespunzătoare tablelor silicioase „superHF - Core” de grosime 0,2 [mm].

Principalele avantaje oferite de utilizarea tablelor „super E - Core” şi „super HF- Core” se manifestă în special în domeniul frecvenţelor înalte şi sunt date de zgomot(cauzat de magnetostricţiune) redus şi pierderi în fier mult diminuate, ceea ce lerecomandă a fi folosite la construcţia servomotoarelor de c.a. de înaltă turaţie ce suntalimentate prin invertoare ce au în componenţă tranzistoare cu elemente de comutaţie[IGBT].


Fig. 4.12. Curba pierderilor specifice B = f(p) pentru f = 50 [Hz]în cazul tablei silicioase “super HF – core”.

Fig. 4. 13. Curba pierderilor specifice pentru frecvenţele 100 [Hz]; 200 [Hz]; 400 [Hz]; 1 [kHz];2 [kHz]; 5 [kHz]; 10 [kHz] şi 20 [kHz] ] în cazul tablei silicioase “super HF – core”.


4.1.1.4. Materiale magnetice dure utilizate la construcţiaservomotoarelor. Tipuri de magneţi permanenţi.

4.1.1.4.1. Generalităţi. Proprietăţi ale magneţilor permanenţiMaterialele magnetice dure îşi păstrează starea de magnetizare şi după încetarea

acţiunii câmpului magnetizant. Ele sunt caracterizate de cicluri de histerezis late,inducţie remanentă şi câmp coercitiv mari şi indici superiori, fiind utilizate lafabricarea magneţilor permanenţi.

De o deosebită importanţă pentru magneţii permanenţi sunt curbele de demag-netizare şi cele ale produsului BH (în funcţie de B sau H). Curba de demagnetizarereprezintă porţiunea din cadranul II al ciclului de histerezis (v. figura 4.14).

Curba de demagnetizare B = f(H) se caracterizează prin valoarea inducţieiremanente Br şi intensitatea câmpului magnetic coercitiv Hc.

Eficacitatea unui magnet permanent este dată de valoarea energiei câmpuluimagnetic din întrefier. Această energie este direct proporţională pe de-o parte cuvolumul magnetului, iar pe de altă parte cu produsul (BH). Pentru ca volumulmagnetului să fie minim trebuie ca produsul (BH) să fie maxim. Această condiţie esteîndeplinită de punctul A de pe caracteristica de demagnetizare ale cărei coordonate(Bm, Hm) verifică relaţia [36]:

cm

m r

HHB B

= . (4.20)

Punctul A se determină din inter-secţia curbei de demagnetizare B = f(H) cudiagonala OK a dreptunghiului OBrKHc. Elcorespunde valorii maxime a energiei mag-netice localizată în magnet (v. figura 4.14).

Firmele producătoare de magneţipermanenţi definesc magneţii din punct devedere energetic prin produsul magneticmaxim (BH)max, numit indice de calitate.

Mărimile prezentate anterior, Br şiHc, caracterizează o stare ideală a magne-tului permanent în sine. În aplicaţiile prac-tice însă interesează legătura acestuia cucircuitul magnetic, care va fi analizată încontinuare.

În acest scop, se consideră o formă
Fig. 4.14. Caracteristici de bază ale magneţilorpermanenţi. de circuit magnetic întâlnită în construcţia
servomotoarelor electrice (v. figura 4.15).Aplicând legea circuitului magnetic pe curba Γ se poate scrie:

m MPH dl 2H l 2H 0δΓ= ⋅ + ⋅δ =∫ . (4.21)

Pe baza legii fluxului magnetic se poate scrie:


m u σφ = φ + φ , (4.22)în care mφ este fluxul din magnetul permanent, uφ reprezintă fluxul util în întrefier iar

σφ fluxul de dispersie al magnetului.Se defineşte coeficientul de dispersie σ:

u

1 K 1 σσ

φσ = + = +

φ . (4.23)

Introducând (4.23) în (4.22) şi dezvoltând termenii se poate scrie:

p pu m

1B L B L2 2δ

τ τφ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

σ . (4.24)

În final rezultă:m m

0B BB H

1 Kδ δσ

= = = µσ +

. (4.25)

Înlocuind pe H δ din (4.25) în (4.21) se obţine:

m mMP 0

1 1H Blδ

= − ⋅ ⋅ ⋅σ µ

. (4.26)

Relaţia (4.26) reprezintă ecuaţia unei drepte, numită dreapta caracteristică.Această dreaptă trece prin origine iar la intersecţia ei cu caracteristica de demagne-tizare se află punctul de funcţionare al magnetului permanent (v. figura 4.16).

Fig. 4.15. Circuit magnetic cu magnet permanent.


Panta dreptei este definită de relaţia:m

m

BtgH

α = , (4.27)

şi este determinată de configuraţia circuitului magnetic.Pentru circuitul magnetic din figura 4.15:

m0 MP

m

B 1tg lH

α = = −µ ⋅σ ⋅ ⋅δ

. (4.28)

Fig. 4.16. Referitoare la definirea curbei de revenire.

În situaţia în care magnetul permanent, magnetizat în circuit închis la punctul defuncţionare A, este scos în afara circuitului magnetic, orice modificare a stării demagnetizare a magnetului nu se mai realizează după caracteristica de demagnetizare cidupă curba de revenire (v. figura 4.16) . Această curbă reprezintă de fapt un ciclu dehisterezis minor, cu originea în punctul A. Practic, ea poate fi echivalată cu o dreaptăavând panta:

revBtgH

∆β = = µ

∆ , (4.29)

numită coeficient de revenire (permeabilitate reversibilă sau permeabilitate perma-nentă) [43].

Magnetul permanent este cu atât mai stabil la câmpurile de magnetizare, cu câtµrev are o valoare mai scăzută.

4.1.1.4.2. Tipuri de magneţi permanenţi utilizaţi în construcţiaservomotoarelor

Primii magneţi permanenţi de mare energie au apărut pe piaţă cam pe la jumă-tatea secolului trecut. Începând cu acea dată, aceşti magneţi au jucat un rol importantîn evoluţia maşinilor electrice.

În realizarea servomotoarelor electrice, alegerea tipului de magnet permanent decătre proiectant se face în funcţie de: parametrii impuşi şi gabaritul elementului de


execuţie, performanţele magnetului permanent, costul acestuia şi nu în ultimul rândcondiţiile de procurare.

Magneţii permanenţi, utilizaţi astăzi în construcţia servomotoarelor se împart înpatru mari clase, corespunzător proprietăţilor de material: Alnico, ceramici (ferite), pebază de samariu – cobalt şi pe bază de neodym, ultimele două categorii făcând partedin familia magneţilor din pământuri rare.

1. Magneţi de tip AlnicoMagneţii metalici Alnico au fost produşi pentru prima oară în anul 1940 şi au

dominat cu autoritate piaţa până la începutul anilor 1970. Sunt aliaje care au încomponenţa lor aluminiu, nichel, cobalt, cupru şi fier, la care se adaugă uneori şi titan.

Aliajele Alnico pot fi izotrope sau anizotrope şi se obţin prin turnare sausinterizare. Sinterizarea permite obţinerea unor magneţi, chiar de dimensiuni mari, custructură omogenă, compoziţie exactă, având caracteristici mecanice şi indici decalitate superiori.

Caracteristici ale magneţilor Alnico:• câmp coercitiv scăzut în comparaţie cu magneţii din pământuri rare şi ceramici

(până la 160 [kA/m]);• inducţii remanente mari (până aproape de 1,35 [T]);• valori moderate ale energiei magnetice maxime(obişnuit până la 60 [kJ/m3]);• o bună rezistenţă la coroziune;• rezistenţă mecanică ridicată;• stabilitate termică ridicată;• preţ de cost ridicat;• cele mai uzuale clase de magneţi Alnico sunt 5 şi 8.

Magneţii de tip Alnico se întâlnesc şi astăzi în multe aplicaţii ale maşinilorelectrice dar în noile proiecte de servomotoare se observă o tendinţă de înlocuire a lorcu alte clase de magneţi, datorită dezavantajelor pe care le prezintă.

2. Magneţi ceramici (ferite)Feritele, magneţi permanenţi cunoscuţi şi sub numele de magneţi ceramici

datorită procedeului tehnologic folosit la obţinerea lor au apărut pe piaţă pe la mijloculanului 1950. Se obţin în general prin sinterizare. Procedeul tehnologic constă dinamestecarea oxidului de fier cu stronţiu, amestec care este măcinat foarte fin. Prafulobţinut se amestecă cu un liant ceramic şi apoi totul este presat într-o formă, fiindulterior ars într-un cuptor. Se pot adăuga şi lianţi organici pentru obţinerea unui gradridicat de flexibilitate a magneţilor.

Principalele caracteristici ale magneţilor ceramici sunt:• câmp coercitiv mare (până în jur de 265 [kA/m]);• inducţie remanentă redusă (până în jur de 0,39 [T]);• energie magnetică maximă redusă în comparaţie cu celelalte clase de magneţi

(aprox. 30 [kJ/m3]);• rezistenţă la coroziune;• rezistivitate electrică mare;• casant la acţiuni mecanice exterioare;


• temperaturi de lucru mai scăzute decât la magneţii Alnico dar mai ridicate decâtla magneţii cu pământuri rare (v. tabelul 4.4);

• preţ de cost scăzut;• cele mai uzuale clase de magneţi ceramici sunt 1; 5 şi 8.

Magneţii ceramici se utilizează la construcţia servomotoarelor electrice cuperformanţe în general mai scăzute.

3. Magneţi pe bază de samariu – cobaltElementele din grupa lantanidelor, cunoscute şi sub denumirea de pământuri

rare, formează în combinaţie cu elementele de tranziţie compuşi feromagnetici cuproprietăţi superioare materialelor metalice. Cel mai utilizat element din grupapământurilor rare este samariul iar dintre elementele de tranziţie, cobaltul. Magneţiipermanenţi pe bază de samariu – cobalt sunt obţinuţi prin sinterizare. Ei au apărut pepiaţă începând cu anul 1970.

Cele mai importante caracteristici ale magneţilor pe bază de samariu – cobalt sunt:• valori ridicate ale câmpurilor coercitive ( peste 700 [kA/m]);• inducţii remanente medii ( până în jur de 1,05 [T]);• energii magnetice maxime foarte ridicate (până aproape de 255 [kJ/m3]);• rezistenţă la coroziune foarte ridicată;• stabilitate termică remarcabilă;• preţuri de cost ridicate.

Datorită preţului de cost ridicat, magneţii pe bază de samariu – cobalt seutilizează în special în aplicaţiile în care stabilitatea termică a servomotoarelor estevitală.

4. Magneţi permanenţi pe bază de neodymReprezintă cea mai recentă clasă de materiale magnetice care a apărut pe piaţă,

începând cu 1982. Fac parte din familia magneţilor permanenţi din pământuri rare,fiind combinaţii de Neodym–Fier–Bor. Prezintă performanţe magnetice foarte ridicate,superioare aliajelor cu samariu.

Caracteristici principale:• valori mari ale câmpurilor coercitive (poate ajunge la valori peste 1000[kA/m]);• inducţii remanente mari (până în jur de 1,35 [T]);• valori foarte mari pentru energiile magnetice maxime (între 200 şi 380 [kJ/m3]);• susceptibil la coroziune (acest dezavantaj se înlătură prin acoperiri galvanice ale

suprafeţelor magnetului);• stabilitate termică moderată;• valori scăzute ale temperaturilor maxime de lucru (până în 150 [oC]);• preţuri de cost mai mici decât ale magneţilor pe bază de samariu–cobalt.

Magneţii pe bază de neodym se utilizează în special în construcţia servomotoa-relor de înalte performanţe.

În tabelul 4.4. se prezintă principalele caracteristici ale diverselor clase demagneţi permanenţi [48].


Tabelul 4.4. Caracteristici ale unor magneţi permanenţi

Tipuri de magneţipermanenţi

Densitate [g/cm3]

(BH)max

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkJ Br

[T]

Hc

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mkA

Temperaturămaximă de

lucru[oC]

TemperaturăCurie [oC]

Alnico5-turnat(anizotropic) 7,3 43,77 1,28 50,93 525 860

Alnico8- turnat(anizotropic) 7,3 42,18 0,82 131,3 550 860

Alnico 5- sinterizat(anizotropic) 6,9 31,03 1,09 49,33 525 860

Alnico 8-sinterizat(anizotropic) 7,0 31,83 0,74 119,36 550 860

Ceramic 1 4,9 8,35 0,23 148,01 450 450

Ceramic 5 4,9 27,05 0,38 190,98 450 450

Ceramic 8 4,9 27,85 0,385 234,75 450 450

SmCo 18 8,2 143,23 0,87 636,62 250 750

SmCo 20 8,2 159,15 0,9 676,4 250 750

SmCo 24 8,4 190,98 1,02 732,11 300 825

SmCo 26 8,4 206,9 1,05 716,19 300 825

Neodym 27 7,4 214,85 1,08 740,07 80 280

Neodym 27 H 7,4 214,85 1,08 779,85 100 300

Neodym 30 7,4 238,73 1,1 795,77 80 280

Neodym 30 H 7,4 238,73 1,1 835,56 100 300

Neodym 35 7,4 278,52 1,23 835,56 80 280

În figura 4.17 sunt prezentate curbele de demagnetizare pentru diferite tipuri demagneţi permanenţi., după cum urmează:

a – magneţi de tip Alnico; b – magneţi ceramici; c – magneţi pe bază de samariu-cobalt; d – magneţi pe bază de neodym [49].


a – 1. Alnico 5 turnat; 2. Alnico 5-7 turnat; 3. Alnico 8 turnat; 4. Alnico 2 sinterizat; 5. Alnico 5sinterizat; 6. Alnico 8 sinterizat.

b – 1. Ceramic 1; 2. Ceramic 5; 3. Ceramic 8.


c – 1. SmCo 16/18; 2. SmCo 18/20; 3. SmCo 26/11.

d – 1. NdFeB 31/25; 2. NdFeB 44/12; 3. NdFeB 35/19.Fig. 4.17. Curbele de demagnetizare corespunzătoare diferitelor tipuri de magneţi permanenţi:

a – magneţi tip Alnico; b – magneţi ceramici; c – magneţi pe bază de samariu-cobalt;d. magneţi pe bază de neodym.

În încheierea acestui paragraf , în tabelul 4.5 se prezintă comparativ cele patruclase de magneţi permanenţi utilizaţi în construcţia servomotoarelor.


Tabelul 4.5. Clase de magneţi permanenţi utilizaţi în construcţia servomotoarelor. Comparaţie.

Materialulmagnetuluipermanent

Energia magneticămaximă (BH)max

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkJ

Temperaturamaximă de lucru

[oC]

Rezistenţa lademagnetizare

Preţde cost

Alnico 60,0 550 joasă mic

Ferite (ceramic) 32,0 450 foarte joasă mediu

SmCo 255,0 300 foarte ridicată foarte mare

NdFeB 382,0 150 ridicată mare

4.1.2. Materiale conductoarePentru realizarea înfăşurărilor servomotoarelor electrice se utilizează materiale

cu rezistivitate electrică mică şi anume cupru şi aluminiu. Aceste materiale mai suntcaracterizate şi de o rezistenţă mecanică mare, de asemenea sunt rezistente lacoroziune, sudabile, maleabile şi ductile.

Interesează şi proprietăţile mecanice, în special gradul de ecruisaj, după care sedeosebesc:

• varianta „moale” – simbol „m” – materialul nu este supus la eforturi mecanicemari;

• varianta „tare” – simbol „t” – materialul poate suporta eforturi mecanice mari;Din punct de vedere chimic, materialele trebuie să fie cât mai pure. Astfel,

cuprul electrotehnic (simbol „CuE”) se obţine prin rafinare electrolitică şi are opuritate de peste 99,9 [%]. Impurităţile îi pot modifica considerabil proprietăţile. Ceamai dăunătoare impuritate este bismutul care măreşte considerabil fragilitateacuprului. Alte impurităţi ca fosforul, siliciul, fierul etc., determină o reducereimportantă a conductivităţii.

Principalele caracteristici electrice ale cuprului electrolitic sunt date în tabelul 4.6.

Tabelul 4.6. Caracteristici principale ale cuprului electrolitic.

Caracteristici Unitatea demăsură

Cupru recopt„moale”

Cupru tras la rece„tare”

Densitatea, γ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3dmkg

până la 8,95

Rezistivitatea electrică la20[oC], 20ρ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Ωm

mm2

0,017843,93⋅10-3

0,01724

Coeficientul de temperatură, α ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

C1

o 3,81⋅10-3 3,93 310−⋅

Rezistenţa la întindere, σ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2mmN

200 ÷ 250 400 ÷ 490


Pentru bobinele servomotoarelor este indicatǎ utilizarea cuprului electroliticmoale, CuEm, deoarece se formează uşor, evitând astfel degradările mecanice aleizolaţiei conductorului.

Pelicula de email, care constituie izolaţia conductorului, se realizează dinemailuri pe bază de răşini corespunzătoare destinaţiei conductorului. După carac-teristicile mecanice, termice şi tehnologice ale emailului folosit, conductoarele debobinaj emailate pot fi [50]:

• cu proprietăţi mecanice normale – izolate cu email polivinilic;• cu proprietăţi mecanice ridicate – izolate cu email polivinil acetat sau polivinil

formal;• autosudabile – izolate cu email poliuretanic;• cu proprietăţi termice ridicate – izolate cu email poliestertereftalic, poliester-

imidic sau poliimidic.La calculul rezistenţei unei înfăşurări, care are temperatura oarecare θ, se

utilizează următoarea relaţie de calcul:

( )o20 1 20θ ⎡ ⎤ρ = ρ + α θ −⎣ ⎦ , (4.30)

unde valorile lui 20 şiρ α se găsesc în tabelul 4.6.Aluminiul este după cupru, materialul cel mai utilizat în electrotehnică.

Comparativ cu cuprul, aluminiul este mai uşor şi mai ieftin, însă inferior acestuia dinpunctul de vedere al rezistivităţii electrice, a rezistenţei mecanice respectiv arezistenţei la coroziune electrochimică. Aluminiul care este utilizat la realizareaînfăşurărilor nu are voie să conţină mai mult de 0,5 [%] adaosuri (de obicei siliciu şifier), deoarece rezistivitatea sa creşte odată cu creşterea conţinutului de impurităţi (înspecial titan şi vanadiu).

În cazul coliviilor servomotoarelor se foloseşte des şi varianta „aluminiu turnatsub presiune”. Principalele caracteristici electrice ale aluminiului sunt prezentate întabelul 4.7.

Tabelul 4.7. Caracteristici principale ale aluminiului.

Caracteristici Unitatea demăsură

Aluminiu recopt„moale”

Aluminiu tras la rece„tare”

Aluminiuturnat

Densitatea, γ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3dmkg

2,70 2,70 2,56

Rezistivitateaelectrică la 20[oC],

20ρ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ωm

mm2

0,031 0,031 0,031

Coeficientul detemperatură, α ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

C1

o 3,7⋅10-3 3,7⋅10-3 3,7⋅10-3

Rezistenţa laîntindere,σ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

2mmN

70 ÷ 110 150 ÷ 250 90 ÷ 120


În multe aplicaţii , folosirea aluminiului în locul cuprului din înfăşurare consti-tuie o soluţie pentru reducerea momentului de inerţie. Densitatea sa fiind de aproxi-mativ 3,3 ori mai mică decât a cuprului, rezultă o constantă electromagnetică de timpde două ori mai mică (nu s-a luat în calcul momentul de inerţie al arborelui şi al răşiniiepoxidice) [51].

4.1.3. Materiale electroizolanteDurata de viaţă a servomotoarelor electrice, ca şi a sistemelor electrotehnice în

general, depinde în primul rând de durata de viaţă a izolaţiei. În timpul exploatării,izolaţia acestora este supusă unor solicitări electrice, mecanice, termice şi chimice. Deaceea, materialele electroizolante folosite trebuie să îndeplinească o serie de condiţii:rigiditate dielectrică ridicată, rezistenţă mecanică bună, grad de tehnologicitate ridicat,stabilitate termică ridicată, rezistenţă mare faţă de umiditate, faţă de locuri deimpregnare şi faţă de solvenţi, higroscopicitate mică, pierderi dielectrice mici.

Materialele electroizolante utilizate în construcţia servomotoarelor electriceîndeplinesc după caz, următoarele funcţii principale:

• de izolaţie (electrică);• de suport sau / şi de consolidare (mecanică);• de protecţie prin acoperire .

În funcţie de stabilitatea lor termică, materialele electroizolante se împart înşapte clase de izolaţie (v. tabelul 4.8).

Tabelul 4. 8. Clasele de izolaţie.

Clasa de izolaţie Y A E B F H Co

ad C⎡ ⎤θ ⎣ ⎦ 90 105 120 130 155 180 >180

adθ - supratemperatura înfăşurării faţă de temperatura mediului de răcire.

Cel mai des întâlnite sunt materialele de clasă B, F şi H. Clasele Y, A şi E suntdepăşite moral şi prin urmare sunt folosite din ce în ce mai puţin. Se folosesc atâtproduse naturale organice şi anorganice, cât şi materiale sintetice.

Materialele electroizolante se utilizează în servomotoare ca izolaţii decrestătură, izolaţii între straturi, izolaţii între faze, pene etc.

În tabelul 4.9 se prezintă sintetic câteva dintre cele mai utilizate materialeelectroizolante în construcţia maşinilor electrice.

O soluţie des utilizată în practică este reprezentată de materialele electroizolanteanorganice care permit funcţionarea înfăşurărilor la temperaturi mult mai ridicate.Aceste materiale sunt folosite pentru acoperirea conductoarelor înfăşurărilor, materialulde acoperit utilizat fiind oxidul de siliciu sau aluminiu, respectiv sticlă.

Principalele avantaje ale acestor materiale, comparativ cu cele clasice, sunt [47]:• o rezistenţă de străpungere mai ridicată (de cca. 2 ÷ 10 ori);• conductibilitatea termică de cca. cinci ori mai mare;• rezistenţă termică crescută (până la aprox. 1000 [oC];• grosimea izolaţiei mult diminuată (1[µm] faţă de 25 [µm] ÷ 5 [mm] );• rezistenţă chimică şi mecanică superioară.


Tabelul 4.9. Materiale electroizolante utilizate în construcţia servomotoarelor.

Categorie de materiale Tipuri de materiale Locul unde se folosesc

Materiale flexibile lăcuite

- ţesături de mătase lăcuite, ţesături din firepoliamidice lăcuite, ţesături din firepoliesterice lăcuite, ţesături din fire desticlă lăcuite sau impregnate cu lacurioleorăşinoase, organice, poliesterice,epoxidice sau siliconice;

- poliglasul.

- izolarea bobinelor faţă decrestătură, izolareacapetelor de bobină;

- material de fretare.

Materiale electroizolantecombinate flexibile

- izolaţii combinate pe bază de cartonelectroizolant cu folie poliesterică,izolaţii combinate pe bază de hârtie deazbest şi folie poliesterică.

- izolaţii de crestătură, întrestraturi şi între faze.

Materiale stratificate dure

- plăci dure, tuburi şi produse din hârtieimpregnată; plăci dure, bare şi produsefasonate din ţesături de bumbacimpregnate; plăci dure, bare şi cilindriidin ţesătură de sticlă impregnată.

- rol de suport sau / şi deconsolidare.

Materiale electroizolantepe bază de mică foiţă

(solzi)

- micafolii, micabenzi, micanite, micaniteflexibile.

- izolarea bobinelor,confecţionarea tecilor decrestătură şi a izolaţiilorîntre straturi.

Materiale electroizolantepe bază de hârtie de mică - samica şi romica. - la fel ca şi materialele pe

bază de mică foiţă.

Folii poliesterice - mylar.- permit aplicarea

tehnologiilor moderne debobinaj.

Materiale electroizolantetermorigide - bachelite, melamine, poliesteri. - la confecţionarea

carcaselor.

Materiale electroizolantetermoplaste - polietilene, poliesteri, poliamide. - la confecţionarea

carcaselor.

- lacuri de impregnare (oleobituminoase,oleogliptalice, poliuretanice). - impregnarea maşinilor.

- lacuri de acoperire (oleobituminoase,oleogliptalice modificate şi cele dinrăşini sintetice).

- protecţia superficială abobinajelor împotrivapătrunderii umidităţii şi aaderării prafului.

- compounduri. - impregnarea şi umplereabobinajelor.

Lacuri electroizolante

- lacuri de emailare. - pentru conductoare.


4.2. Noţiuni matematice de bază utilizate în analizaservomotoarelor electrice

4.2.1. Reprezentarea în complex. Fazorul de timp rotitor.Fazorul de timp în complex simplificat

Fie v(t) o mărime sinusoidală de timp de pulsaţie ω:

( ) ( )efv t 2 V tsin= ⋅ ⋅ ω + ϕ . (4.31)

Această mărime poate fi reprezentată în complex nesimplificat cu ajutorulfazorilor de timp rotitori (fazorii temporali Fresnel). În acest sens, mărimii sinusoidalev(t) i se asociază un fazor de timp v, având modulul egal cu amplitudinea m efV 2V=şi argumentul egal cu faza mărimii sinusoidale, tω + ϕ . Prin urmare rezultăurmătoarea asociere biunivocă:

( ) ( ) ( )j tef efv t 2 V t v 2 V esin ω +ϕ= ⋅ ⋅ ω + ϕ → = ⋅ ⋅ . (4.32)

În conformitate cu formula lui Euler se poate scrie:

( ) ( )ef efv 2 V t j 2 V tcos sin= ⋅ ⋅ ω + ϕ + ⋅ ⋅ ω + ϕ , (4.33)

de unde rezultă că partea imaginară a lui v reprezintă chiar mărimea sinusoidală de lacare s-a plecat:

( ) ( ) efv t 2 V t vsin Im= ⋅ ⋅ ω + ϕ = . (4.34)

Observaţie: Dacă se consideră forma în cosinus a oscilaţiei v(t) se obţine:

( ) ( ) efv t 2 V t vcos Re−

= ⋅ ⋅ ω + ϕ = . (4.35)

În figura 4.18 este arătată reprezentarea în planul complex a fazorului de timprotitor v , pentru un moment oarecare de timp t.

În reprezentarea de mai sus, fazorul de timp roteşte cu viteza unghiulară ω (întermeni electrici) în sens trigonometric. Se poate observa că proiecţia fazoruluitemporal Fresnel pe axa imaginară, fixă β este egală în orice moment cu valoareainstantanee sinusoidală în cauză, v(t). Argumentul ϕ este poziţia unghiulară a fazoruluifaţă de axa reală, fixă α, la momentul t = 0.

La reprezentarea în complex simplificat se ajunge prin suprimarea factoruluitje ω . În această situaţie, mărimea v(t) este reprezentată de un fazor de timp obişnuit V,

staţionar faţă de un sistem de axe d – q, rotitor în sens trigonometric cu vitezaunghiulară ω.

( ) ( ) jef efv t 2 V t V V esin ϕ= ⋅ ⋅ ω + ϕ → = ⋅ . (4.36)

4.2 - Noţiuni matematice de bază utilizate în analiza servomotoarelor electrice 177

Fig.4.18. Reprezentarea în complex nesimplificat a unei mărimi sinusoidale cuajutorul fazorilor de timp rotitori (fazorii temporali Fresnel).

Se poate observa că fazorul temporal V are modulul de 2 ori mai mic decâtfazorul de timp rotitor v şi că de fapt din acesta şi rezultă, dacă sistemul de axe d – qla care se raportează se roteşte împreună cu fazorul temporal Fresnel (v. figura 4.19).

Fig. 4.19. Explicativă la reprezentarea în complex simplificat a unei mărimi sinusoidale:a - raportarea fazorului de timp rotitor la un sistem de axe învârtitoare d – q;

b - reprezentarea simbolică simplificată cu un vector fix în spaţiu – fazorul de timp.


În figura de mai sus:( )j j t j t j

ef efv ve 2 V e e 2 V e 2 V− λ ω +ϕ − ω ϕλ = = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ . (4.37)

În concluzie, o mărime sinusoidală în timp v(t) poate avea două reprezentări cuplanul complex: fazorul de timp rotitor v (fazorul temporal Fresnel) şi fazorul de timp V.

Observaţie: În cazul sistemului trifazat de mărimi, acesta este reprezentat încomplex de trei fazori de timp.

4.2.2. Definirea fazorului spaţialFazorii spaţiali reprezintă suportul fizic al tratării matematice a modelelor d – q

ale maşinilor electrice permiţând totodată realizarea conceptului unitar de „modelmaşină – sistem de reglare”. Fazorii spaţiali caracterizează întregul sistem trifazat,având un dublu caracter: temporal (prin faptul că arată variaţia în timp a mărimilor defază – această însuşire justifică de fapt utilizarea denumirii de fazor) şi spaţial (aratătotodată şi defazajul în spaţiu ce apare datorită dispunerii constructive a înfăşurărilorde fază).

În cele ce urmează se introduce noţiunea de fazor spaţial, care aşa cum se vavedea în paragrafele următoare prezintă importanţă în analiza maşinilor de curentalternativ, atât în ceea ce priveşte regimurile tranzitorii şi staţionare, cât şi principiilede reglare ale lor.

Pentru aceasta se consideră o maşină trifazată simetrică, cu axele fazelor

statorice notate cu as, bs, cs, dispuse la 23π radiani electrici. Axele de timp ta, tb şi tc,

rotite cu 23π în sens trigonometric, se iau suprapuse peste axele fazelor as, bs şi cs.

Acestui sistem de axe astfel ales i se asociază planul complex, a cărui axă realăcoincide cu axa as – ta (v. figura 4. 20). Se presupune că înfăşurările maşinii suntrepartizate sinusoidal, circuitul magnetic este nesaturat iar întrefierul este constant. Înaceastă situaţie, curenţii variabili oricum în timp care parcurg aceste înfăşurărigenerează unde învârtitoare (de exemplu pentru solenaţiile rezultante, câmp magneticprincipal) de repartiţie sinusoidală pe pasul polar. Aceste unde pot fi reprezentate cuajutorul fazorului spaţial, aşa cum se va vedea în continuare.

Pentru început, fie cazul general în care fiecărei înfăşurări statorice i se asociazăcâte o mărime oarecare scalară în timp. Aceste mărimi (tensiuni, curenţi, solenaţii,fluxuri) se notează cu vsa , vsb şi vsc. Ele pot fi caracterizate de o variaţie oarecare întimp. Fiecărei mărimi îi corespunde câte un vector spaţial având direcţia axei spaţialede magnetizare a fazei. Modulul şi sensul acestui vector sunt date de valoareainstantanee a mărimii scalare care l-a generat. Dacă se iau în considerare toate cele trei

faze, rezultă trei vectori spaţiali sa sb scv v şi v, , defazaţi în spaţiu cu unghiurile 23π ,

respectiv 43π . În cazul maşinii trifazate simetrice considerate, vectorii spaţiali se

găsesc în planul perpendicular pe axa maşinii, fiind caracterizaţi de o direcţie fixă (axa


spaţială de magnetizare a fazei) şi modul variabil (corespunzător valorii instantanee amărimilor scalare). Cei trei vectori spaţiali pot fi exprimaţi cu ajutorul relaţiilor:

sasa vv = ,

sbsb vav ⋅= , (4.38)

sc2

sc vav ⋅= ,în care:

2j3 1 3a e j

2 2

π

= = − + , (4.39)4 2j j2 3 3 1 3a e e j

2 2

π π−

= = = − − .

La scrierea relaţiilor (4.38) s-a considerat că axa reală a sistemului de coordo-nate este în direcţia axei de magnetizare a fazei as.

Vectorul spaţial trifazat ssv se obţine prin însumarea vectorială a celor trei

vectori spaţiali:ss sa sb scv v v v= + + . (4.40)

Ţinând cont de (4.38), (4.40) devine:2s

sa scs sbv v a v a v= + ⋅ + ⋅ . (4.41)

Fazorul spaţial corespunzător celor trei mărimi scalare se defineşte prin inter-mediul relaţiei [52, 53]:

( )2sa scs sb

2v v a v a v3

= + ⋅ + . (4.42)

Se observă că:

ss s

2v v3

= ⋅ . (4.43)

La o variaţie oricum în timp a mărimilor scalare vsa, vsb şi vsc, fazorul spaţial svva rezulta ca un vector de lungime variabilă şi viteză de rotaţie de asemenea variabilăfaţă de axele considerate. El roteşte într-un plan perpendicular pe axul maşinii, cuviteza de deplasare a undei învârtitoare rezultante a celor trei mărimi scalare.Construcţia fazorului spaţial este prezentată în figura 4. 20.

În continuare se descompune fazorul spaţial sv după cele două axe ale planuluicomplex considerat solidar cu statorul, deci staţionar. Indicele după axa reală,suprapusă axei as, va fi α , iar după cea imaginară β (aceste notaţii sunt utilizate îngeneral în literatura de specialitate pentru axele referenţiarului considerat legat deînfăşurarea statorică).

În urma descompunerii se obţine:

s ssv v jvα β= + . (4.44)


Fig. 4.20. Construcţia vectorului spaţial trifazat ssv şi a fazorului spaţial sv .

Descompunerea fazorului spaţial în planul complex este reprezentată grafic înfigura 4. 21.

Fig. 4.21. Descompunerea fazorului spaţial în planul complex.

Proiecţiile fazorului spaţial pe cele două axe obţin următoarele relaţii de calcul:

[ ] ( )s sa scs sb2 1v v v v v3 2

Reα⎡ ⎤= = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4.45)

[ ] ( )s scs sb1v v v v3

Imβ = = − . (4.46)


Se consideră în continuare că mărimile scalare vsa, vsb şi vsc formează un sistemtrifazat simetric, echilibrat de variabile sinusoidale în timp:

( )sa asef

asb sef

sc asef

v 2 V t2v 2 V t3

4v 2 V t3

cos

cos

cos

= ⋅ ω + ϕ

π⎛ ⎞= ⋅ ω + ϕ −⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞= ⋅ ω + ϕ −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (4.47)

cuvsa + vsb + vsc = 0 . (4.48)

Ţinând cont de relaţiile (4.39), pentru partea reală şi imaginară a fazoruluispaţial se obţin următoarele expresii:

[ ] ( )

( )

s a a as sef

asef

2 2 1 2 1 4v v V t t t3 2 3 2 3

2 V t

Re cos cos cos

cos

απ π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ ω +ϕ − ⋅ ω +ϕ − − ⋅ ω +ϕ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ ω +ϕ (4.49)

[ ]

( )s a as sef

asef

2 2 3 2 4v v V t t3 2 3 3

2 V t

Im [cos cos ]

sin

βπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ ω + ϕ − − ω + ϕ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅ ⋅ ω + ϕ

(4.50)

Dacă se înlocuiesc relaţiile (4.49) şi (4.50) în relaţia (4.44), pentru fazorulspaţial rezultă expresia:

( ) ( )( )a

s s a as sef

j tsef

v v jv 2 V t j t

2 V e

cos sinα β

ω +ϕ

= + = ⋅ ω + ϕ + ω + ϕ =⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ ⋅

(4.51)

În această situaţie particulară, fazorul spaţial va rezulta ca un vector de lungimeconstantă care roteşte în spaţiu cu viteză unghiulară constantă corespunzătoarepulsaţiei ω a mărimilor scalare, iar vârful său va descrie un cerc (v. figura 4. 22 a);unda spaţială pe care o reprezintă este o undă învârtitoare circulară.

Dacă mărimile scalare vsa, vsb, vsc sunt sinusoidale în timp, dar formează unsistem trifazat nesimetric, dar echilibrat:

( )( )( )

sa s aef

ssb bef

sc s cef

v 2V t

v 2V t

v 2V t

cos

cos

cos

= ω + ϕ

= ω + ϕ

= ω + ϕ

, (4.52)

vsa + vsb + vsc = 0 , (4.53)atunci pentru stabilirea expresiei fazorului spaţial se aplică metoda componentelorsimetrice [53, 55].


Se definesc componenta de succesiune directă Vsd şi cea de succesiune inversăVsi prin expresiile:

( )2sd sa sb sc

1V V aV a V3

= + + , (4.54)

( )2si sa sb sc

1V V a V a V3

= + + . (4.55)

Cum sistemul (4.52) este echilibrat rezultă că nu există componentă homopolară.În relaţiile de mai sus, fazorii în complex simplificat au următoarele relaţii:

j asa sef

j bsb sef

j csc sef

V V e

V V e

V V e

ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅

= ⋅

= ⋅

. (4.56)

Fazorii în complex simplificat se pot înlocui cu fazorii temporali Fresnelcorespunzători:

( )2sd sa sb sc

1v v av a v3

= + + , (4.57)

( )2si sa sb sc

1v v a v av3

= + + . (4.58)

Dacă se consideră fazorul complex conjugat cu Vsi,

( )2si sa sb sc

1v v av a v3

∗ ∗ ∗ ∗= + + , (4.59)

prin însumarea fazorilor sd siv şi v∗ se obţine în final:

j t j ts sd si sd siv v v V e V eω − ω∗ ∗= + = + . (4.60)

Relaţia (4.60) pune în evidenţă faptul că suma ( sd siv v∗+ ) defineşte în fiecaremoment fazorul spaţial vs în modul şi direcţie. În acest caz, vârful fazorului spaţial vadescrie o elipsă (v. figura 4. 22 b).

Este important de subliniat faptul că dacă nu există componentă homopolară(cazul sistemelor trifazate echilibrate care satisfac relaţia (4.48)), proiecţia fazoruluispaţial pe cele trei axe ale fazelor determină valorile momentane ale mărimii scalareconsiderate în faza respectivă.

Se consideră acum că mărimile scalare vsa, vsb şi vsc nu satisfac condiţia (4.48).Componenta homopolară va fi:

( )sa scs0 sb1v v v v3

= + + . (4.61)

În această situaţie, proiecţia fazorului spaţial pe cele trei axe ale fazelor va fiegală cu diferenţa dintre valoarea momentană a mărimii considerate în faza respectivăşi componenta homopolară. În [52] se demonstrează următoarele relaţii:


[ ]

[ ] [ ] [ ]

a sa s0 sas

2 2a s0s s sb sb sb

c a sc s0 scs s s

pr v v v v

pr v pr a v a v v v v

pr v pr a v a v v v v

'

'

'

Re

Re

= − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⋅ = ⋅ = − =

. (4.62)

În prezenţa componentei homopolare, expresia fazorului spaţial devine:

( )2sa sb scs

2v v a v a v3

' ' '= + + . (4.63)

O altă situaţie particulară este cea a regimului tranzitoriu cu mărimi amortizate.În acest caz, vârful fazorului spaţial descrie o curbă spiralată (v. figura 4. 22 c).

Fig. 4.22. Curba descrisă de vârful fazorului spaţial în situaţia sistemului trifazat de mărimi:a. sinusoidal simetric în regim staţionar; b. sinusoidal nesimetric în regim staţionar;

c. sinusoidal în regim tranzitoriu cu mărimi amortizate.

Un caz special se obţine în cazul în care maşinile de curent alternativ sealimentează de la reţea prin intermediul convertoarelor statice cu circuit intermediar dec.c. În această situaţie, mărimile de fază statorice se compun din impulsuri continue dediferite niveluri pozitive şi negative (în cazul circuitului intermediar cu caracter desursă de tensiune, tensiunea statorică va avea trepte constante iar curentul se apropiede o sinusoidă; în situaţia circuitului intermediar cu caracter de sursă de curent, undade curent va avea trepte constante iar tensiunea statorică va fi apropiată de osinusoidă). Fazorul spaţial corespunzător celor trei mărimi de fază va avea o mişcareintermitentă, iar vârful său va descrie un poligon regulat.

În figura 4.23 sunt prezentate secvenţele fazorului spaţial, în situaţia unuiconvertor static de frecvenţă cu circuit intermediar de curent continuu. Circuitulintermediar are caracter de sursă de curent iar invertorul este realizat cu tiristoare custingere automată. Se consideră funcţionarea ideală a convertorului.

Mişcarea fazorului spaţial se produce atunci când se comută curentul (sautensiunea, în cazul circuitului intermediar cu caracter de sursă de tensiune). Din figurade mai sus se poate observa că pe durata comutaţiei, modulul fazorului spaţial estevariabil.

În cele prezentate până acum, s-a considerat un sistem de referinţă fix αβ, legatde înfăşurarea statorică, a cărui axă reală coincide cu axa fazei as. Deseori, în studiulregimului dinamic al maşinilor electrice este mai utilă folosirea unui sistem dereferinţă dq mobil (fie rigid legat de rotor, fie în cazul general rotitor cu o viteză


oarecare ωb). În noul sistem învârtitor de axe ortogonale, axa d se ia drept axă reală,iar θ(t) este unghiul dintre axele de referinţă omoloage (v. figura 4. 24).

Fig. 4.23. Secvenţele şi traiectoria vârfului fazorului spaţial cu mişcare intermitentăîn cazul unui sistem trifazat de mărimi cu variaţie în trepte – diagrama cu 6 secvenţe.

Fig. 4.24. Referitoare la trecerea într-un sistem de referinţă mobil.

Trecerea fazorului sv din sistemul de referinţă αβ fix în sistemul de referinţădq mobil se face conform relaţiei:


( )j tsdq sv v e− θ

αβ= ⋅ . (4.64)

În sistemul ortogonal d, q se poate scrie:

sqsdq sdv v jv= + , (4.65)

unde vsd şi vsq reprezintă proiecţiile după axele d,q. Ele se mai numesc componentelongitudinale şi transversale ale mărimilor scalare vsa, vsb şi vsc [53].

Observaţie: În literatura de specialitate există şi alte moduri de definire afazorului spaţial decât cel dat de relaţia (4.42). În esenţă, diferenţa este dată numai deun factor de proporţionalitate kF. Fazorul spaţial este proporţional cu vectorul spaţialtrifazat care se obţine prin însumarea vectorială a celor trei vectori spaţiali aimărimilor de fază (v. relaţia (4.40)). În situaţia mărimilor scalare considerate, vsa, vsb şivsc, se poate scrie:

2sF F sa scs s sbv k v k v a v a v( )= ⋅ = + ⋅ + . (4.66)

Factorul kF nu influenţează ecuaţiile tensiunilor, curenţilor sau ale fluxurilor,intervenind în schimb în bilanţul puterilor modelului fizic şi a celui echivalent almaşinilor de c.a.. Astfel expresia cuplului electromagnetic momentan al unei maşinitrifazate de c.a. poate fi generalizată sub forma:

( )se m m sm k p I i∗= ⋅ ⋅ ψ ⋅ , (4.67)

unde s∗ψ este forma complex conjugată a fazorului spaţial de flux statoric, si fazorul

spaţial de curent statoric iar p numărul de perechi de poli.Coeficienţii kF şi km sunt legaţi matematic prin relaţia:

2F m

2k k3

= . (4.68)

În tabelul 4. 10 sunt date câteva valori uzuale pentru kF şi km, întâlnite înliteratura de specialitate [35, 52].

Tabelul 4.10. Valori uzuale pentru coeficienţii kF şi km.

kF km Observaţii

32

23 - aceste valori corespund variantei de fazor cel mai des întâlnită [52, 57,

58, 59, 60];

132 - aceste valori corespund definiţiei vectorului spaţial trifazat conform

relaţiei (4.40) [61];

32 1 - această pereche de valori menţine invariantă puterea electrică [62, 63].

4.2.3. Transformări de variabileTransformările de variabile creează premisele soluţionării analitice sau nume-

rice a sistemelor de ecuaţii diferenţiale asociate maşinilor electrice. În urma acestortransformări se ajunge la noile variabile care sunt în general fără corespondenţă fizică,obţinându-se modele matematice mult mai simple decât în cazul variabilelor iniţiale


care caracterizează structurile fizice reale. Marele câştig constă în obţinerea unorstructuri matematice cu parametrii constanţi pentru care se obţin soluţii analiticeelegante în situaţia multor regimuri tranzitorii particulare.

Un alt avantaj al acestor transformări îl reprezintă posibilitatea modificăriiconfiguraţiei electromagnetice a maşinii electrice. Se pot obţine astfel, pentru unul şiacelaşi model fizic real, mai multe modele matematice abstracte, care uşurează semni-ficativ analiza maşinii, atât în regim permanent cât şi în regim tranzitoriu. Utilizareatransformărilor de variabile presupune parcurgerea următoarelor trei etape [56]:

• se precizează variabilele şi parametrii fizici reali;• se trece la noile variabile prin alegerea modelului matematic adecvat, care

ulterior se soluţionează analitic sau numeric;• cu ajutorul transformărilor inverse se revine la variabilele şi parametrii fizici

reali care pot fi verificaţi şi experimental.În cele ce urmează se prezintă transformările de variabile ce se aplică în siste-

mele cu două axe de simetrie respectiv cu trei axe de simetrie (m axe în cazul general).

a. Transformarea simetrică complexă – este transformarea de faze cea mai cunos-cută, care se realizează pe baza relaţiilor de legătură:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

012 012 abc

1012 012abc

i T i

i T i−

= ⋅

= ⋅, (4.69)

unde matricea de transformare [T012], cunoscută sub numele de matricea de trans-formare Fortescue, are expresia:

[ ] 2012

2

1 1 11T 1 a a3

1 a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4.70)

cu 2j3a eπ

= , iar inversa ei, [ ] 1012T − :

[ ] 1 2012

2

1 1 1T 1 a a

1 a a

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (4.71)

Această transformare realizează trecerea de la sistemul de coordonate al fazelor(natural) ”abc” la sistemul simetric ”120”. Noul sistem de coordonate se defineşte însistemul de referinţă fix faţă de stator, prezentând avantaje în studiul regimurilornesimetrice.

b. Transformarea ”abc” → ”αβ 0”

Dacă se consideră axele fazelor statorice a, b, c şi planul complex a cărui axăreală coincide cu axa fazei a, atunci axa reală α şi cea imaginară β la care se adaugăşi o a treia variabilă, componenta de secvenţă – zero constituie axele sistemului( )0, ,α β , fix faţă de stator (v. figura 4. 25).


Fig. 4.25. Referitoare la transformarea ”abc” → ” 0αβ ”.

Trecerea de la sistemul de curenţi ia, ib, ic la sistemul de curenţi 0i,i,i βα este

definită de matricea de transformare [ ]0Tαβ (matricea Clarke):

0

1 112 2

2 3 3T 03 2 2

1 1 12 2 2

αβ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (4.72)

Între variabilele celor două sisteme de referinţă există relaţia de legătură:

[ ]0 0 abci T iαβ αβ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (4.73)

Se obţine astfel un alt sistem de curenţi 0i i i, ,α β în locul sistemului ia , ib , ic ,care prezintă avantaje în studiul regimurilor tranzitorii ale circuitelor trifazate nesimetrice.

Transformarea inversă este dată de relaţia:

[ ] 1

0 0abci T i−

αβ αβ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (4.74)unde,


10

1 0 1

1 3T 12 21 3 12 2

−

αβ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

. (4.75)

c. Transformarea ”abc” → ”dq0”Transformarea directă a sistemului trifazat în coordonatele fazelor ”abc” în

sistemul bifazat rotitor”dq0” (v. figura 4. 26) se realizează pe baza expresiei:

[ ]dq0 dq0 abci T i⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (4.76)

unde matricea de transformare dq0T⎡ ⎤⎣ ⎦ (matricea Park) este:

dq0

2 2c3 3

2 2 2T3 3 3

1 1 12 2 2

cos cos os

sin sin sin

π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥π π⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − θ − θ − − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (4.77)

Fig. 4.26. Referitoare la transformarea ”abc” → ”dq0”.


Sistemul de curenţi id, iq , i0 determină complet sistemul de curenţi ia, ib, ic.Aceşti curenţi au fost definiţi în sistemul de coordonate dq care în acest caz este fixfaţă de rotor, rotind cu viteza rω faţă de stator.

Transformarea inversă are loc pe baza relaţiei:

[ ] 1

abc dq0 dq0i T i−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (4.78)

cu,

1

dq0

12 2T 13 3

2 2 13 3

cos sin

cos sin

cos sin

−

⎡ ⎤⎢ ⎥θ − θ⎢ ⎥

π π⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = θ − − θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥θ + − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(4.79)

În cazul transformării de mai sus, echivalenţa între numerele de spire alemaşinii reale şi a celei echivalente este dată de relaţia:

nd = nq = na , (4.80)

iar egalitatea puterilor este afectată de coeficientul 32

:

a a c c q q 0 0b b d d3p u i u i u i u i u i 2u i2

( )= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ . (4.81)

Observaţie: Maşina echivalentă se poate obţine şi printr-o transformare ortogonală,utilizând transformata Park modificată. În această situaţie se introduce condiţia deinvarianţă a puterilor sub forma:

a a c c q q 0 0b b d dp u i u i u i u i u i u i= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ . (4.82)

Statorul bifazat al modelului are două înfăşurări având numărul de spire:

q a 0 ad3n n n n 3 n2

;= = = . (4.83)

În aceste condiţii, matricea de conexiune [ ]'0dqT obţine expresia:

( )

( )dq0

2 2c3 3

2 2 2T3 3 3

1 1 12 2 2

'

cos cos os

sin sin sin

π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥π π⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − θ − θ − − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4.84)

iar inversa acesteia:


1

dq0

12

2 2 2 1T3 3 3 2

2 2 13 3 2

'

cos sin

cos sin

cos sin

−

⎡ ⎤θ − θ⎢ ⎥⎢ ⎥

π π⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = θ − − θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥θ + − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(4.85)

Matricea de transformare (4.84) este ortogonală şi prin urmare transformarea devariabile imediată este o transformare ortogonală.

Transformata Park s-a impus în teoria maşinilor electrice datorită facilităţilor pecare le oferă în rezolvarea analitică sau numerică a ecuaţiilor de definiţie precum şidatorită multiplelor aplicaţii din teoria şi practica sistemelor automate de poziţionare.

d. Transformarea ” 0αβ ” → ”dq0”

În foarte multe aplicaţii este utilă trecerea din sistemul staţionar de variabile αβîn sistemul de referinţă rotitor dq. Astfel, considerând transformarea completă devariabile cu secvenţa zero inclusă, sistemului de curenţi iα, iβ, i0 din sistemul dereferinţă fix αβ 0 îi corespunde sistemul id, iq, i0 din sistemul rotitor cu vitezaunghiulară dθ/dt (constantă sau variabilă) (v.figura 4. 27).

Fig. 4.27. Referitoare la transformarea 0αβ → dq0.

Transformarea de variabile se realizează pe baza relaţiei:

[ ] 0dq0i T iθ αβ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎣ ⎦ , (4.86)

unde,

[ ]0

T 00 0 1

cos sinsin cosθ

θ θ⎡ ⎤⎢ ⎥= − θ θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (4.87)

4.3 - Modele matematice ale servomotoarelor 191

4.3. Modele matematice ale servomotoarelor

În studiul servomotoarelor electrice, a maşinilor electrice în general, se faceapel la modelele de maşină. Modelul de maşină reprezintă o unealtă fizic-matematicăde lucru care permite o abordare unitară a maşinilor electrice, indiferent de tipulacesteia. Particularităţile specifice diverselor categorii de maşini sunt cuprinse înecuaţiile modelului prin schimbarea corespunzătoare a mărimilor de stare.

Modelele matematice (de circuit) care vor fi aplicate pe parcursul lucrării defaţă sunt:

• modelul în coordonatele fazelor;• modelul dq;• modelul bazat pe teoria fazorilor spaţiali.

a. Modelul în coordonatele fazelorModelul în coordonatele fazelor (modelul natural) a permis dezvoltarea unor

studii analitice a regimurilor staţionare ale tuturor tipurilor de maşini electrice,simetrice sau nesimetrice. Ecuaţiile generale în coordonatele fazelor se obţin prinaplicarea directă a legii inducţiei electromagnetice asupra circuitelor fazelor statoriceşi rotorice cu considerarea variaţiei inductanţelor maşinii cu poziţia rotorului. Datorităacestor variaţii în timp ale parametrilor modelului, rezolvarea sa se face asistată decalculator, prin metode numerice [66].

b. Modelul dqModelul dq al maşinilor electrice a fost introdus cu scopul de a elimina

dependenţa inductanţelor de poziţia rotorului. La acest model se ajunge prin înlocuireaîn calcule a maşinii reale cu o maşină echivalentă la care înfăşurările statorice realesunt substituite prin două înfăşurări învârtitoare, repartizate sinusoidal pe pasul polar,având axele în axele dq; înfăşurările rotorice ale maşinii reale se înlocuiesc analog prindouă înfăşurări plasate de asemenea în axele dq. În cazul general, sistemul de referinţă dqse găseşte în mişcare relativă, la sugestia lui Blondel, atât faţă de stator cât şi faţă de rotor(modelul cu axele dq fixe faţă de rotor a fost propus de Park în 1929 pentru studiulregimurilor tranzitorii ale maşinilor sincrone şi extins apoi la maşinile de inducţie [67]).

Principalul avantaj al modelului este că parametrii săi sunt constanţi ceea cepermite obţinerea unor sisteme de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi.

La elaborarea modelului s-au avut în vedere următoarele ipoteze simplificatoare:• maşina se consideră liniară (circuitul magnetic este nesaturat), permiţându-se

astfel aplicarea principiului superpoziţiei efectelor;• Fe 0µ ⟩⟩ µ ;• întrefierul maşinii echivalente este constant pe lungimea pasului polar τ;• înfăşurările sunt repartizate sinusoidal, fiind plasate pe periferia pieselor

magnetice într-un strat de grosime infinitezimală (statorul şi rotorul se considerăca neavând crestături);


• se ia în considerare doar armonica fundamentală de spaţiu a inducţiei magnetice(printr-o dimensionare potrivită a înfăşurărilor, efectul armonicilor de spaţiu dincurba inducţiei magnetice din întrefier este redus);

• conversia electromagnetică a energiei are loc datorită variaţiei exclusive aenergiei magnetice.Modelul dq este aplicabil atât maşinilor electrice cu poli plini cât şi celor cu poli

aparenţi.

c. Modelul bazat pe teoria fazorilor spaţialiTeoria fazorilor spaţiali a permis obţinerea unui model general şi simplu al

maşinilor electrice de curent alternativ, cuprinzând cele mai complexe regimuri defuncţionare ale acestora. Totodată, modelul maşinilor de curent alternativ bazat peteoria fazorilor spaţiali a stat la baza concepţiei generale a sistemelor de reglare aleacestor maşini. Fazorii spaţiali reprezintă unealta fizic-matematică pentru analizaunitară a maşinilor electrice alimentate prin convertoare statice şi a sistemelor dereglare în circuit închis.

Modelul fazorilor spaţiali a apărut înspre anii 1960 [68, 69, 70], la începutulanilor 1970 apărând şi primele lucrări care au creat bazele sistemelor de reglare cuorientare după câmp ale maşinilor de c.a. [57,71,72,73].

Modelul maşinilor electrice de curent alternativ care se bazează pe teoriafazorilor spaţiali este mai simplu decât modelul în coordonatele fazelor şi chiar decâtmodelul dq, faţă de care se obţine o reducere a numărului de ecuaţii prin înlocuireacelor trei mărimi de fază – curent, flux, tensiune – cu o singură mărime complexănumită fazor spaţial (v. paragraful 4. 2. 2).

La ora actuală, modelul bazat pe teoria fazorilor spaţiali s-a extins la studiulsistemelor performante de control al mişcării cu servomotoare de inducţie şi sincrone.

Alte modele matematice au fost propuse de Clarke [74], Lyon [75], Kron [76],Ku [77] şi Yamamura [78] ultimul cunoscut sub numele de modelul fazorilor

spirali.

Date post:	24-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	radu-marian
View:	123 times
Download:	0 times

Capitolul 4

Documents