+ All Categories
Home > Documents > Capitolul 1

Capitolul 1

Date post: 10-Dec-2014
Category:
Upload: george-ichim
View: 145 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
Description:
cristalogarfie capitolul 1 cristalogarfie capitolul 1
70
Capitolul 1 CRISTALOGRAFIA GEOMETRICĂ MORFOLOGICĂ Pornind de la definiţia enunţată anterior, cristalografia poate fi împărţită astfel: - cristalografia geometrică morfologică (forma externă a poliedrilor) - cristalografia geometrică structurală (structura internă a cristaleor) şi care se mai numeşte cristalochimia; - cristalogeneza (studiul nucleaţiei, creşterii şi dizolvării cristalelor); - cristalografia fizică ( proprietăţile fizice ale cristalelor). 1.1. Legile cristalografiei geometrice 1.1.1. Legea Euler-Descart Din punct de vedere geometric orice cristal este un corp solid mărginit de feţe plane care se intersectează după linii drepte numite muchii, care la rândul lor, se întâlnesc în puncte numite colţuri. Între feţele (F), muchiile (M) şi colţurile (C) ale unui cristal există relaţia: F+C=M+2 De exemplu, în cazul cubului relaţia este: 6+8=12+2 1.1.2. Legea constanţei unghiurilor (Nicolaus Steno, Romée d’Isle) Formele cristaline sunt caracterizate prin unghiurile diedre pe care le fac feţele între ele. Aceste unghiuri sunt constante la temperatură şi presiune constantă. Primul care a enunţat această lege a fost Nicolaus Steno în 1669: unghiurile dintre elementele echivalente (feţe, muchii) ale diferiţilor indivizi ai aceleiaşi specii 2
Transcript
Page 1: Capitolul 1

Capitolul 1

CRISTALOGRAFIA GEOMETRICĂ MORFOLOGICĂ

Pornind de la definiţia enunţată anterior, cristalografia poate fi împărţită astfel:- cristalografia geometrică morfologică (forma externă a poliedrilor)- cristalografia geometrică structurală (structura internă a cristaleor) şi care se mai

numeşte cristalochimia;- cristalogeneza (studiul nucleaţiei, creşterii şi dizolvării cristalelor);- cristalografia fizică ( proprietăţile fizice ale cristalelor).

1.1. Legile cristalografiei geometrice

1.1.1. Legea Euler-Descart

Din punct de vedere geometric orice cristal este un corp solid mărginit de feţe plane care se intersectează după linii drepte numite muchii, care la rândul lor, se întâlnesc în puncte numite colţuri. Între feţele (F), muchiile (M) şi colţurile (C) ale unui cristal există relaţia:

F+C=M+2

De exemplu, în cazul cubului relaţia este: 6+8=12+2

1.1.2. Legea constanţei unghiurilor (Nicolaus Steno, Romée d’Isle)

Formele cristaline sunt caracterizate prin unghiurile diedre pe care le fac feţele între ele. Aceste unghiuri sunt constante la temperatură şi presiune constantă.

Primul care a enunţat această lege a fost Nicolaus Steno în 1669: unghiurile dintre elementele echivalente (feţe, muchii) ale diferiţilor indivizi ai aceleiaşi specii cristaline sunt întotdeauna egale, indiferent de mărimea cristalului, pe de o parte şi mărimea şi forma feţelor, pe de altă parte.

În anul 1783 Romée d’Isle verifică legea pe diferite cristale iar Mitscherich în 1823 precizează că legea este valabilă numai la presiune şi temperatură constantă, deoarece dilataţia termică, fiind o mărime vectorială, nu este aceeaşi în toate direcţiile.

Unghiul dintre feţele unui cristal se măsoară cu ajutorul unor dispozitive numite goniometre.

După felul de construcţie şi după principiul de măsurare, goniometrele sunt de două categorii:

- goniometre de aplicaţie sau de contact: este întrebuinţat pentru măsurarea unghiurilor diedre dintre feţe la cristalele mai dezvoltate (fig. 1)

- goniometre de reflexie: se bazează pe principiul reflexiei luminii şi este întrebuinţat la măsurarea unghiurilor diedre dintre feţe la cristalele mici (fig.2)

2

Page 2: Capitolul 1

Fig. 1. Goniometru de contact Fig. 2. Goniometru de reflexie

1.1.3. Legea raţionalităţii numită şi legea lui Haűy este considerată legea fundamentală a cristalografiei geometrice şi se enunţă astfel:

“ feţele unui cristal sunt astfel aşezate unele faţă de celelalte, încât raporturile parametrilor lor pe cele 3-4 axe cristalografice sunt sume raţionale, în general foarte simple şi mici: 1, 2, 3, maximum 6, sau ∞ în caz de paralelitate cu axele cristalografice.”

Legea raţionalităţii demonstrează că feţele unui cristal nu sunt aşezate la întâmplare, ci între ele există anumite raporturi numerice simple, şi că la un cristal poate apărea numai un anumit număr de feţe şi numai după anumite direcţii.

1.1.4. Legea simetriei

În baza numeroaselor observaţii efectuate pe diverse cristale, Haűy enunţă legea simtriei astfel:

“feţele existente şi posibile la orice poliedru cristalin, tribuie să satisfacă, ca număr şi ca fel de aranjare în spaţiu, formula sa de simetrie.”

Astfel, octaedrul are simetria identică cu a cubului, deorece el a derivat din acesta prin înlocuirea tuturor colţurilor cu feţe de triunghiuri echilaterale.

1.1.5. Legea zonelor constituie o particularitate a legii raţionalităţii. La majoritatea poliedrilor cristalini se poate observa că unele dintre muchiile acestora sunt paralele între ele. Feţele care se întretaie “în muchii paralele alcătuiesc o zonă şi ele se numesc cozonale sau tautozonale” (Weiss, 1804).

Dreapta imaginară care trece prin centrul zonei, cu care toate feţele sunt paralele, se numeşte axă de zonă. Axa de zonă este întotdeauna perpendiculară pe normalele feţelor tautozonale.

1.1.6. Legea convexităţii

Un cristal este întotdeauna un poliedru convex, cu unghiuri eşinde între feţele adiacente. Apariţia unui unghi intrând, indică o concreştere de două sau mai multe cristale, feţele care închid acest unghi aparţinând la cristale diferite.

3

Page 3: Capitolul 1

1.2. SIMETRIA POLIEDRELOR CRISTALINE

Simetria se defineşte ca o repetare regulată a elementelor identice ale unui corp. Elementele geometrice ajutătoare (puncte, axe, planuri) faţă de care se evidenţiază simetria corpului se numesc elemente de simetrie.

Elementele de simetrie ale unui corp se recunosc cu ajutorul operaţiilor de simetrie.Numim operaţie de simetrie, operaţia care efectuată asupra unui corp aduce elementele

identice ale acestuia în suprapunere. Elementele de simetrie care presupun efectuarea unei singure operaţii de simetrie se numesc simple, cele care rezultă din combinarea a două operaţii simple se numesc compuse sau complexe.

1.2.1. Elemente de simetrie simpleElementele de simetrie simple sunt: axul (axa) de simetrie, planul de simetrie şi

centrul de simetrie.

Axul de simetrie este o direcţie din cristal, în jurul căreia rotind cristalul cu 360º, toate elementele lui (feţe, muchii, colţuri) se repetă de „n” ori, n fiind ordinul axului de simetrie (n=1, 2, 3, 4 sau 6). Notaţia axelor se face cu ajutorul literei A (sau L în literatura din limba rusă), la care în partea dreaptă sus, se trece ordinul axului; astfel, în general vom avea An, iar în particular A1, A2, A3, A4 şi A6, sau în notaţia internaţională 1, 2, 3, 4 şi 6.

Operaţia de simetrie corespunzătoare axului este rotaţia care se face cu un număr de

grade egal cu , deci corespunzător axelor, rotirea se face cu 360 º, 180 º, 120 º, 90 º şi

60º (fig. 3 ).

Fig.3 Axele de simetrie simple.

Simbolurile grafice ale axelor de simetrie simple sunt:

- pentru A2 – axe de simetrie de gradul 2, binare sau digire;

- pentru A3 – axe de simetrie de gradul 3, ternare sau trigire;

- pentru A4 – axe de simetrie de gradul 4, cuaternare sau tetragire;

- pentru A6 – axe de simetrie de gradul 6, senare sau hexagire.

Spre deosebire de figurile geometric obişnuite, la cristale sunt întâlnite numai tipurile de axe de simetrie specificate mai sus. Axele de simetrie şi gradul acestora se identifică prin operaţia de rotire. Practic, ordinul axului de simetrie este determinat de grupul de elemente identice (feţe, muchii, colţuri) care se repetă în jurul capetelor axului.

Considerăm cubul.- Dacă facem să treacă un ax prin centrele a două feţe opuse, constatăm prin rotirea

cubului în jurul acestui ax, că se regăseşte într-o poziţie identică la fiecare rotaţie de

4

Page 4: Capitolul 1

90º. Această axă corespunde unei simetrii de ordinul 4 (fig4.a). cubul are şase feţe deci va avea 3 axe cuaternare;

- Dacă facem să treacă axul prin mijlocul a două muchii opuse şi rotind cubul după direcţia acestei axe, se observă că la fiecare 180º avem o imagine identică. Această axă corespunde la o simetrie de ordinul 2. Cubul are 12 muchii şi deci va avea 6 axe binare (fig.4.b)

- Dacă facem să treacă o axă prin două vârfuri opuse (fig.5), se constată că la fiecare 120º imaginerea este identică. Avem de a face cu o axă de ordinul 3 (fig.4.c). Cubul are 8 vârfuri şi va avea deci 4 axe de ordinul 3.

Fig.4. Axele de simetrie la cub

Fig.5. Axa ternară la cub

Elementele identice ale unei forme cristalografice se pot grupa la un singur capăt al axului de simetrie, axul numindu-se polar, sau la ambele capete, când axul este bipolar. Ca exemplu poate fi dat cazul piramidelor (fig. 6.a) şi bipiramidelor (fig. 6.b).

5

Page 5: Capitolul 1

Figura 6. Ax de simetrie polar (a) şi bipolar (b)

La cristale, axele de ordinul 3, 4 şi 6 (axe de ordin superior sau axe principale) sunt unice, cu excepţia sistemului cubic, unde apar mai multe axe de ordin superior şi anume 3 axe de ordinul 4 (A4) şi patru axe de ordinal 3 (A3).

Planul de simetrie este un plan imaginar care împarte cristalul în două părţi egale, astfel încât una dintre ele apare ca imaginea celeilalte în oglindă (fig. 7)

Fig.7. Plan de simetrie la cub

Planul de simetrie se notează cu litera P şi se identifică cu ajutorul operaţiei de oglindire. Planul de simetrie se notează cu ajutorul literei P la care se adaugă în dreapta sus, litera „n”, putând scrie în general Pn sau în particular P2, P3, P4 şi P6. În cazul planelor de simetrie, ordinele de simetrie 3, 4 sau 6 ne indică faptul că planele respective sunt perpendiculare pe axe de simetrie de ordin corespunzător. P3, P4 şi P6 se mai numesc plane de simetrie principale, notându-se şi cu litera Π.

Grafic, un plan de simetrie se reprezintă printr-o linie continuă. Planul de simetrie poate fi perpendicular pe un ax, notat în general X, sau paralel cu

axul, în notaţia internaţională scriindu-se respectiv Xm. În cazul desenului din figura 8, în

care este desenată o prismă cu baza pătrat, raportând planul P4 şi P2 la axul principal A4, vom

scrie , internaţional şi respectiv A4P2, internaţional 4m.

Figura 8. Plan perpendicular şi plan paralel cu axul principal A4

Centrul de simetrie este punctul din interiorul cristalului faţă de care orice element de pe cristal îşi găseşte simetricul prin inversiune.Se notează notează cu litera „C”, iar internaţional .

Operaţia de simetrie corespunzătoare centrului de simetrie este inversiunea. Un cristal nu poate avea decât cel mult un centru de simetrie. Practic, un cristal prezintă centru de simetrie dacă are feţe identice şi paralele două câte două după orice direcţie.

6

Page 6: Capitolul 1

1.2.2. Elemente de simetrie complexe

În unele cazuri, pentru a obţine simetricul unui punct de pe cristal nu este suficientă o singură operaţie. Elemente de simetrie noi dă combinarea rotirii cu inversiunea sau a rotirii cu reflexia. În primul caz, axele complexe rezultate se numesc axe de rotoinversiune sau, pe scurt, de inversiune, iar în al doilea, axe de rotoreflexie sau giroide.

Axele de inversiune rezultă din combinarea unei operaţii de rotaţie în jurul unui ax cu o operaţie de inversiune faţă de centrul de inversiune. Se notează cu putând exista ca şi în

cazul axelor simple, , , , şi , rotirea făcându-se, de asemenea cu . În

notaţia internaţională se scrie doar ordinul axului, deasupra căruia se pune o liniuţă orizontală: , , , şi .

Practic, se poate demonstra că fiecare ax de inversiune îşi găseşte echivalenţa în elemente de simetrie simple şi anume:

( = )

( =m)

( =3+ )

( =2)

( = )

În mod obişnuit, se folosesc numai axele de inversiune , , , reprezentate grafic prin următoarele simboluri:

Combinând operaţia de rotire cu operaţia de oglindire se obţin giroidele analoage cu axele de inversiune.

1.3. CLASE DE SIMETRIE (GRUPURI PUNCTUALE)

Un cristal poate avea un număr definit de elemente de simetrie, una sau mai multe axe şi plane de simetrie, dar cel mult un singur centru de simetrie.

Totalitatea elementelor de simetrie ale unui cristal alcătuiesc formula sa de simetrie. Cristalele care au aceeaşi formulă de simetrie fac parte dintr-o clasă de simetrie.

Elementele de simetrie care alcătuiesc formula de simetrie a unui poliedru de cristal, se combină între ele după anumite reguli, care permit stabilirea tuturor formulelor de simetrie. Cele mai importante dintre aceste reguli de combinare, sunt:

7

Page 7: Capitolul 1

1. Axele de simetrie (în general A2) perpendiculare pe un ax de ordin „n” formează între

ele grade.

2. Planele de simetrie care se intersectează după un ax de ordinul „n” formează între ele

grade.

3. Existenţa a două elemente dintre: axă de ordin par A2n, plan de simetrie perpendicular pe axă şi centru de simetrie, impune prezenţa celui de-al treilea: A2n+Π =A2nΠCA2n+C

4. Existenţa a două elemente dintre: axă de ordin impar A2n+1, plan de simetrie perpendicular pe axă Π şi centru de simetrie C, exclude prezenţa celui de-al treilea:A2n+1+C= A2n+1+C

A2n+1+Π = A2n+1+Π5. Dacă o axă de ordin „n”, An este perpendiculară pe o axă A2, poliedrul va avea n axe

de ordinul 2 perpendiculare pe această axă:An + A2(┴)=An ·nA2

6. Dacă o axă de ordinul „n”, An este paralelă sau cuprinsă într-un plan de simetrie, poliedrul va avea n planuri de simetrie la intersecţia cărora se va găsi axa de simetrie:An + P(║) = An ·nP

7. Cu axele de simetrie principale unice (A3, A4, A6) se asociază numai elemente de simetrie de ordinul 2.

Totalitatea combinaţiilor posibile ale elementelor de simetrie conduc la 32 de formule de simetrie posibile pentru poliedrii cristalini, deci 32 clase de simetrie, care corespund la 32 de grupuri punctuale.

Deducerea grupurilor punctuale se face plecând de la axele de simetrie simple cărora li se adaugă, pe rând, plane perpendiculare, plane paralele, axe de ordinul doi perpendiculare şi în sfârşit, atât plane perpendiculare cât şi plane paralele; dacă luăm în considerare şi axele de inversiune, rezultă şapte tipuri de grupuri punctuale:

- grupuri primitive, notate internaţional X;- grupuri primitive de inversiune, notate cu ;

- grupuri centrate, notate internaţional cu ;

- grupuri planare, notate internaţional cu Xm;- grupuri planare de inversiune, notate cu m;- grupuri axiale, notate internaţional cu X2;

- grupuri plan axiale, notate cu .

Denumirea şi notarea claselor de simetrie

Se folosesc în prezent mai multe moduri pentru alcătuirea denumirii claselor de simetrie. Una dintre cele mai folosite denumeşte fiecare clasă după forma simplă generală corespunzătoare unei formule de simetrie date. Forma simplă generală este forma cristalografică ale cărei feţe sunt înclinate faţă de toate elementele de simetrie ale clasei respective şi ca atare are numărul maxim de feţe iar indicii formei au valori oarecare (h k l).

8

Page 8: Capitolul 1

Alături de denumirea clasei după forma simplă generală şi notarea ei pe baza formulei de simetrie se folosesc în prezent încă două sisteme de notaţii: Schoenflies şi internaţională.

Notaţia Schoenflies (1891)

Se notează cu Cn clasele de simetrie cu o singură axă An. Astfel C1 este simbolul pentru clasa cu A1, C2 pentru clasa cu A2 ca singur element de simetrie, şi analog pentru C3, C4, C6.

Cu Ci se notează clasa cu un centru de simetrie ca singurul element, cu Cs clasa P, cu C3i clasa , cu S4 clasa (S de la „spiegel” = oglindă în limba germană).

Cu Cmh se notează clasele rezultate prin combinarea axelor simple cu un plan perpendicular (h de la „horizontal”) pe direcţia lor. De exemplu C2h=A2ΠC, C3h=A3Π, etc.

Prin combinarea axelor de simetrie simple cu plane (verticale) ce conţin axele, rezultă clasele Cnv. Astfel C2v=A22P; C3v=A33P, etc.

Clasele rezultate prin combinarea axelor simple de simetrie cu axe A2 perpendiculare pe direcţia lor sunt notate după Schoenflies cu Dn. De exemplu: D2 = 3A2, D3 = A33A2, D4=A44A2.

Dacă la aceste clase se adaugă plane P (diagonale între axele secundare) rezultă clasele notate cu Dnd. De exemplu: D2d= ; D3d= .

Clasele Dnh: D2h=3A23PC; D3h=A33A23PΠ; D4h=A44A24PΠC; D6h=A66A26PΠC.În cadrul sistemului cubic se foloseşte T (de la tetraedru) pentru clasa 4A33A2 şi O (de

la octaedru) pentru clasa 3A44A36A2. Evident că Th va fi clasa 4A33A23ΠC, Td clasa iar Oh clasa 3A44A36A2.

Notaţia internaţională

La această notaţie se folosesc cifre drept simboluri pentru axe simple de simetrie: 1=A1; 2=A2; deci X pentru An.

Cu m se notează plane P de simetrie (de la „miroir”=oglindă în limba franceză) iar cu /m plane Π. este simbolul pentru axe de inversiune ; deci , ,

şi .O importanţă deosebită are ordinea de scriere a elementelor de simetrie, sensul unei

cifre sau al unei litere - care reprezintă un element de simetrie – depinzând de poziţia în care acestea sunt înscrise în formula de simetrie.

În notaţia internaţională a grupurilor punctuale se înscriu numai elementele generatoare ale simetriei – planele sau axele; cunoscând regulile de combinare a elementelor de simetrie poate fi uşor stabilită formula de simetrie a unui grup punctual. Aşa de exemplu,

plecând de la grupul plan-axial , în care X este un ax de simetrie de ordinul 6 (A6),

pentru a afla formula de simetrie completă se procedează în modul următor: se scrie mai întâi axul principal X (A6), apoi planul m perpendicular pe X (P6); în acest moment regula 3, ne spune că formula va conţine şi un centru de simetrie (C); planul m ne indică un plan paralel cu axul A6 (P2, conform regulii 7), iar regula 6 ne spune că vor fi şase P2; existenţa planelor P2 şi a centrului de simetrie implică existenţa a 6A2. Deci formula completă va fi:

A6 3A2 3A´2

C sau

P6 3P2 3P´2

9

Page 9: Capitolul 1

Planele P2 nu sunt echivalente şi se scriu în două poziţii 3P2 3P´2. La fel se întâmplă şi cu axele A2.

Notaţia internaţională pentru cele 32 de clase de simetrie foloseşte formule de simetrie parţial simplificate, pe baza simbolurilor prezentate mai sus.

În tabelul 1 sunt redate denumirile celor 32 de clase de simetrie şi corespondenţa celor 3 sisteme de notaţii. Repartizarea claselor de simetrie pe cele 7 sisteme cristalografice s-a făcut pe baza notaţiilor internaţionale.

Tabelul 1. Clasele de simetrie

Nr. crt.

Sistem cristalografic

Denumirea Notaţia Formula de simetrieSchoenflies Internaţio-

nală

1 2 3 4 5 61 Triclinic Pedială C1 1 A1

2 Pinacoidală Ci C3 Monoclinic Sfenoidală C2 2 A2

4 Domatică Cs m P5 Prismatică C2h 2/m A2ΠC6 Rombic Disfenoidală D2 222 3A2

7 Piramidală C2v mm2 A22P8 Dipiramidală D2h mmm 3A23PC9 Tetragonal Piramidală C4 4 A4

10 Disfenoidală S4

11 Dipiramidală C4h 4/m A4ΠC12 Trapezoedrică D4 422 A44A2

13 Piramidal-ditetragonală C4v 4mm A44P14 Scalenoedrică D2d 2m

15 Dipiramidal-ditetragonală D4h 4/mmm A44A24PΠC16 Trigonal Piramidală C3 3 A3

17 Romboedrică C3i A3C18 Trapezoedrică D3 32 A33A2

19 Piramidal-ditrigonală C3v 3m A33P20 Scalenoedric-ditrigonală D3d m .

21 Hexagonal Piramidală C6 6 A6

22 Trigonal-dipiramidală C3h A3Π23 Dipiramidală C6h 6/m A6ΠC24 Trapezoedrică D6 622 A66A2

2 3 4 5 625 Piramidal-dihexagonală C6v 6mm A66P26 Piramidal-ditrigonală D3h 6m2 A33A23P Π27 Dipiramidal-

dihexagonalăD6h 6/mmm A66A26PΠC

28 Cubic Tetraedric-pentagonal dodecaedrică

T 23 4A33A2

29 Diachisdodecaedrică Th m3 4A33A23ΠC

30 Pentagon-icositetraedrică O 32 3A4 4A3 6A2

31 Hexachis-tetraedrică Td 3m 4A33A26P

10

Page 10: Capitolul 1

32 Hexachis-octaedrică Oh m3m 3A4 4A3 6A26P3ΠC

1.4. SISTEME CRISTALOGRAFICE

Pe baza structurii reticulare a cristalelor, s-a stabilit că orice cristal se poate considera că derivă dintr-un paralelipiped oarecare ale cărui muchii sunt egale cu parametrii şirurilor reticulare. Acest paralelipiped se poate raporta la un sistem de referinţă cu trei axe: x, y şi z (axe Miller) sau cu patru axe: x, y, ω şi z (axele Bravais). Axele de referinţă, numite axe cristalografice, formează între ele unghiurile:

- α ( )- β (x z)- γ (x y)

şi segmentele delimitate de paralelipiped pe aceste axe se notează cu “a” pentru axa x, “b” pentru axa y şi “c” pentru axa z (şi “d” pentru axa ω); a, b, c (şi d) fiind parametrii paralelipipedului.

Punând anumite condiţii unghiurilor α, β, γ (sau δ) pe de o parte şi parametrilor a, b, c (şi d) pe de altă parte, rezultă 7 paralelipipede particulare. Toate formele derivate prin trunchiere conform legii raporturilor raţionale ale parametrilor, din acelaşi paralelipiped elementar, constituie un sistem cristalografic. Rezultă deci 7 sisteme cristalografice cărora li se repartizează 32 grupuri punctuale (clase de simetrie).

După criteriul simetriei caracteristice şi după combinaţiile elementelor de simetrie, sistemele cristalografice se grupează în trei categorii:

- categoria inferioară cuprinde 3 sisteme:o sistemul triclinic, fără axe sau plane de simetrie;o sistemul monoclinic, cu un ax de simetrie de ordinul 2, un plan de simetrie,

sau atât un ax cât şi un plan de simetrie;o sistemul rombic, cu mai multe elemente de simetrie de ordinul 2, axe sau

plane de simetrie.- categoria medie cuprinde şi ea trei sisteme :

o sistemul trigonal, cu un ax de simetrie principal unic, A3 sau A ;

o sistemul tetragonal, cu un ax de simetrie principal unic, A4 sau A ;

o sistemul hexagonal, cu un ax de simetrie principal unic, A6 sau A .- categoria superioară, cuprinde un singur sistem, sistemul cubic, caracterizat prin

existenţa a 4 axe de simetrie de ordinul 3 (4A3).

1.4.1. Sistemul triclinic

Paralelipipedul elementar este sub formă pinacoidală cu:

a≠b≠cα≠β≠γ≠90º

Axele cristalografice se aleg paralel cu 3 muchii concurente într-un colţ, în aşa fel încât a<b<c. Conţine două grupuri punctuale.

11

Page 11: Capitolul 1

Poliedrele sistemului triclinic

Singurul element de simetrie este centrul de simetrie, deci putem spune că toate formele simple de simetrie sunt pinacoidele şi că formele cristalelor sunt combinaţii ale acestor pinacoide.

În acest sistem cristalizează doar 7% din minerale, cele mai cunoscute sunt : turcoazul, wollastonitul, rodonitul, axinitul, distenul şi plagiogasul.

Câteva poliedre fundamentale după creşterea cristalelor

Rodonitul (silicat dublu de calciu şi mangan) îşi datorează numele culorii sale roz. Cristalele sunt de formă prismatică alungită. Nu se găseşte decât rar şi în particular în două locuri: New Jersey (SUA) şi Broken Hill (Australia). Cel mai des el se prezintă în mase aglomerate şi atunci este o piatră ornamentală. Principalele zăcăminte sunt situate în Madagascar, în Brazilia şi în Rusia.

Turcoazul (Fosfat bazic hidratat de aluminiu şi de cupru) este foarte căutat în Orient unde el serveşte drept talisman. El se prezintă aproape întotdeauna ca blocuri compacte sub formă reniformă (de rinichi), în stalactite etc.Până nu demult, când a fost descoperită în SUA sub formă de cristale triclinice bine dezvoltate, el a fost considerat împreună cu opalul, o piatră cu structură amorfă. El a fost întotdeauna foarte apreciată şi utilizată ca o piatră fină sau ca o piatră dură. Sunt appreciate mai ales turcoazele de un albastru frumos şi brăzdate cu pete maro.Cristalele sunt extrem de rare.Printre zăcămintele cele mai vechi se regăsesc cele din Sinad exploatate de egipteni în antichitate.

Cristalul de axinit (borosilicat complex calcaro-aluminos cu fier şi mangan) prezintă un aspect tabular caracteristic ascuţit. Este un mineral rar, descoperit în secolul trecut în Oisans. Culoarea variază de la galben-portocaliu la brun-violet (vezi fotografia). Cele mai

12

Page 12: Capitolul 1

bine dezvoltate cristale au fost recent descoperite în Brazilia.

Acest cristal (3 cm) de disten (silicat de aluminiu) care pare că aparţine sistemului monoclinic, este aplatizat, în lamele, rezultând din metamorfismul rocilor aluminoase. Îl întâlnim mai ales în rocile metamorfice formate sub presiune înaltă.Varietatea "Kyanite" (Elveţia) de un albastru limpede este utilizată ca piatră fină.

1.4.2. Sistemul monoclinic (clinorombic)

Paralelipipedul elementar est o formă pinacoidală, îndeplinind condiţiile :a ≠ b ≠ cα = γ =90 º ≠β (>90 º)Axul A2 se aşează paralel cu axa y iar axele x şi z se aleg paralel cu celelalte două muchii astfel încât a<b<c. Conţine 3 grupe punctuale.

Poliedrii sistemului monoclinic

Sistemul monoclinic este sărac în simetrie, gradul său cel mai ridicat posibil constă într-un ax binar care coincide cu axa b, astfel încât un plan de simetrie perpendiculare cu acest ax, intersecţia celor două constituind un centru de simetrie.

Aceste elemente permit doar existenţa prismelor şi pinacoidelor.Cea mai mare parte a mineralelor aparţin acestui sistem, printre cele mai cunoscute

cităm azuritul, ghipsul, malachitul, realgarul, auripigmentul,etc.

Serii de poliedrii fundamentali conform proceselor de creştere cristalină

13

Page 13: Capitolul 1

Aceste două cristale prismatice cu faţa înclinată spre partea superioară sunt caracteristice sistemului monoclinic.

Azuritul (carbonat bazic de cupru, foto alăturată) de culoare albastră, originea Tsumeb, sud vestul african (10 mm)

Crocoitul (cromat de plumb) de culoare roşie, originar din Tasmania, 26 mm.

Malachitul (verde, carbonat bazic de plumb)cristalizează şi în sistemul monolitic dar cristalele prismatice sunt rare, în timp ce aspectele de concreştere sau stalactitele sunt frecvente.

Se găsea în trecut în Ural (Rusia) şi în prezent în Katanga (Zair) în minele de plumb.

În fotografia de mai jos, minunatele cristale sub formă de ac, rare, sunt caracteristice sistemului monolitic.

Cristalul de ortoză (aluminosilicat de potasium) cu aspectul său tubular aparţine, de asemenea, sistemului monolitic, cele două feţe laterale sunt pinacoide, iar feţele superioare şi inferioare aparţin prismei.

14

Page 14: Capitolul 1

Cristalul care pare ortorombic conţine diopsid (silicat de calciu şi de magneziu) de origine din Piemontul Italiei (10 mm), este un cristal monoclinic.

* * *

Euclasul (aluminosilicat de beriliu) Cristalele prismatice sunt alungite, uneori aplatizate şi striate pe verticală cu extremităţile tăiate oblic şi uneori piramidale. Cristalele sunt mici (aici 4 mm) deseori transparente incolore sau în culori palide, verzi sau albastre, este un mineral deseori asociat cu topazul.

Titanitul formează cristale prismatice sau tubulare, rareori în agregate. Ei face parte din mineralele a căror varietate au primit un mare număr de nume diferite. Sfenul este o varietate transparentă cu cristale cuneiforme.

15

Page 15: Capitolul 1

Auripigmentul (sulfură de arseniu, sus)

Realgarul (sulfură de arseniu, jos).

1.4.3. Sistemul rombic (ortorombic)

Paralelipipedul elementar este o formă pinacoidală, care satisface condiţiile:a ≠ b ≠ cα = β = γ = 90ºCele trei axe de ordinul 2 (neechivalente) se aşează pe direcţia axelor x, y, z, astfel încât a < b < c. Conţine trei grupuri punctuale.

16

Page 16: Capitolul 1

Poliedrii sistemului rombic (ortorombic)

Baritina (sulfat de bariu)Sunt prezentate două aspecte exterioare caracteristice acestui mineral :* Traversalla Turin Italy 20 mm (foto stânga). Cristale tubulare, faţa mai întinsă (c) este pinacoidul, feţele laterale (m) sunt cele ale prismei.* Vernasca, Piacenza Italie 18mm (foto dreapta). Cristal prismatic, pinacoidul este (c) aici faţa centrală mai dezvoltată în înălţime.

Mai jos :* Baritina din Maroc 15 - 20 mm, cristale tabulare dar mai mici cu muchii rotunjite

* Baritina din Cantal 50 x 25 mm, cristal prismatic a cărei faţă (c) superioară este lărgită, şi (c) laterală, redusă la o simplă creastă.

Anglezit (sulfat de plumb)

Aceeaşi structură exterioară ca baritina, aceste cristale tabulare (46 mm) şi prismatice (25 mm) sunt de aceeaşi provenienţă din Monteponi, Iglesias,Cagliari (Sardinia). Culoare: albastru, alb, verde-pal, galben sau incolor.

17

Page 17: Capitolul 1

Celestina (sulfat de stronţiu)Foarte cunoscută sub formă de minunate cristale tubulare alungite ale cărei unghiuri sunt tăiate (fig. de mai sus) ; celestina cristalizează şi în cristale prismatice a cărei secţiune este (fig. de jos) un romb (feţele "o" sau "d" a prismei), câteodată pătrate (feţele "m"), feţele "c" sunt pinacoidul. Culoarea deseori albastru deschis, poate fi şi albă, galbenă, roşu până la brun, sau incolor ; luciu vitros.

Iată două exemple "atipice" :În fotografia de sus, cristale incolore (20x30mm) cu secţiune tubulară, din care unul din pinacoizi "c" se rezumă la o creastă (originea Tunisia), şi în fotografia de jos, cristale prismatice albastre cu secţiunea rombică, a celor două pinacoide se reduc de asemenea la o creastă (origine Brazilia).Habitusurile sunt comparabile cu cele ale baritinei sau a anglezitului (imaginea de sus)

Danburitul galben-brun

Acelaşi habitus ca şi pentru baritină, celestina şi anglezitul. Are cristale prismatice (55 mm) cu striaţii verticale. Îl găsim şi în blocuri compacte granulare.

Culoare: incoloră, roz pală, galbenă, brună. Primele eşantioane au provenit din Connecticut SUA. Dimensiunea reală 12 mm

Topazul : fluorosilicat de aluminiu

Iată trei exemple de prisme cu secţiune rectangulară (şi nu pătrată chiar dacă laturile sunt sensibil egale).

Cristalele albastru şi galben-portocalii provin din Siberia.Cristalul incolor provine din munţii Ural.

18

Page 18: Capitolul 1

Olivina (silicat de fier şi magneziu) O găsim cel mai adesea sub formă de mici granule adunate în agregate granuloase. Micile particule libere de olivină seamănă cu mici fragmente de sticlă verde, de la verde-galben la verde-oliv, ea fiind rar cristalizată.Alăturat este prezentată o varietate de sare gemă: Peridot cu dimensiunea reală 52x33 mm (Marea Roşie).

Către 1500 îen sclavii egipteni extrăgeau peridoturile din insula cu palmieri Zebirget. Această insulă deseori ascunsă de ceaţă era aşa de greu accesibilă încât marinarii au denumit această piatră "topazion" provenit dintr-un cuvânt grec semnificând a căuta. Acest nume va rămâne timp de mai multe secole, apoi fiind înlocuit cu numele francez peridot. Acesta provine din arabă "faridat" semnificând piatră preţioasă.

Ceruzit : (carbonat de plumb)Aici asociată cu baritina (cristale roz) şi cu galena (cristale negre). Cristalele incolore verzui sunt de tip bipiramidale (dimensiune de la 8 la 10 mm). Ceruzitul este întotdeauna produs prin alterarea cu aerul a galenei. Aceste cristale sunt rare deoarece acest mineral se prezintă cel mai des sub formă de macle tipice în formă de stea; minerii îl numeau "alb de plumb" de unde termenul ceruzit (din latinescul cerusa care înseamnă colorant alb). Cristalele prezentate alăturat provin din Maroc.

19

Page 19: Capitolul 1

Sulful:Dimensiunea reală a cristalelor 37 mm (Sicilia). Se regăsesc aici poliedrii ai sistemului cubic dar proveniţi dintr-o prismă cu secţiune rectangulară. Aceste cristale de sulf octaedrice sunt bipiramide rombice. Tetredrele sunt numite şi sfenkedre rombice.

Aragonitul : (carbonat de calciu)Se prezintă sub formă de cristale prismatice pseudo-hexagonale.Dimensiunea reală 37 mm.Conturul hexagonal al cristalului este datorat în realitate interpenetrării a trei specii, acestea sunt uşor reperabile graţie striaţiilor dirijate pe trei direcţii diferite (vezi figura).

------------

Natrolitul: (aluminosilicat hidratat de sodiu)Cristalizează în prisme lungi sau în ace fine (vezi fig.) deseori grupate în aglomerări fibroradiate. Cristalele sunt deseori dezvoltate ca ace mici foarte fragile, deseori cu o lungime de la 3 la 4 cm. Tăietura cristalelor este de obicei tetragonală (ea este pseudotetragonală). Cristalele sale se formează pe pereţii cavităţilor şi produc aglomerări rotunde, dese sau sub formă de pensule. Cristalele sunt de obicei transparente sau translucide. Ele se topesc chiar la flacăra unei lumânări şi apa care scapă în vapori îi umflă.

Scolecit: (aluminosilicat hidratat de calciu)

Se găseşte în Irlanda în numeroase peşteri. Cele mai frumoase cristale provin din împrejurimile Teigarhorn aproape de Berufjord, pe coasta de est a insulei. Numele său provine din greacă scoliaxo: a se curba, deoarece în timpul încercărilor de suflat ele se curbează.

20

Page 20: Capitolul 1

------------

------------

Wavelit: (fosfat bazic hidratat de aluminium)

Are o magnifică culoare verde şi regrupează cristale tipice.

Descoperit către 1800 în Barnstaple (Devon Anglia).Este studiat de către fizicianul W. Wavell care îi dă numele. El formează deseori aglomerări fibroradiate constituite din mici cristale fibroase sau sub formă de ace.

1.4.4. Sistemul romboedric (trigonal)

Cristalele din acest sistem se pot raporta atât la sistemul de referinţă cu 3 axe (Miller) cât şi la sistemul cu 4 axe (Bravais). Paralelipipedul elementar este romboedrul, care satisface relaţiile:

Sistemul de referinţă cu 3 axe Sistemul de referinţă cu 4 axea=b=c α=β=γ≠90º a=b (=d) ≠c α=β (=δ)=90º≠γ=120º

Atunci când se folosesc 3 axe cristalografice, acestea se aleg după trei muchii concurente în colţul de jos al romboedrului, iar când se folosesc 4 axe, axa de ordinul 3 se aşează după direcţia lui z, iar axele de ordinul 2 după direcţiile axelor cristalografice x, y şi ω.

Poliedrele sistemului romboedric

21

Page 21: Capitolul 1

Calcitul (carbonat de calciu) este mineralul caracteristic acestui sistem cristalografic. Poliedrul alungit ale cărui feţe sunt de paralelogram, este format din romboedrii îngrămădiţi unul lângă celălalt, distingându-se net semnul planelor de clivaj.

Acest sistem se mai numeşte şi trigonal, şi conţine în principal forme închise, pe lângă romboedru, ca scalenoedrul ditrigonal, trapezoedrul trigonal, piramida trigonală. Aproape 9% din mineralele cunoscute cristalizează în acest sistem, cum ar fi: calcitul, corindonul, dioptazul, cuarţul, turmalina, mileritul etc.

Câteva serii de poliedrii fundamentali conform procesului de creştere cristalină

22

Page 22: Capitolul 1

Grupa CORINDONULUI (oxid de aluminiu)

Safirul Albastrul safirului este datorat prezenţei oxizilor de titan şi de fier în proporţii variabile, care dau toate nuanţele, de la strălucitor la întunecat.Safirele sub formă de stea sunt considerate adevărate miracole ale naturii (provin din Ceylon sau din Australia), depăşesc ca luminozitate unele stele, luminozitate dată de impurităţile care se găsesc în cantităţi imperceptibile şi care reflectă lumina.Tradiţia vrea ca lumina stranie şi mistică care ţâşneşte din piatră să aducă pacea sufletească, invită la fidelitate şi alungă toată ura inimii celui care o poartă.Considerată piatră sfântă, simbolul purităţii, cu ea sunt ornate de mult timp inelele episcopale.

Rubinul (Mogok, Birmania)Este un corindon pur cristalizat, conţine 1-2% oxid de crom care îi dă culoarea sa roşie aprinsă.Toate nuanţele de roşu, de la roz pal până la purpuriu închis, se regăsesc la rubin, cel mai căutat dintre toate este roşu sânge de porumbel.De asemenea, se regăseşte, ca în cazul safirului, o varietate înstelată cauzată de acelaşi fenomen. În Evul Mediu se cunoştea doar o noţiune elementară a pietrelor preţioase şi se dădea numele de rubin tuturor pietrelor roşii; astfel s-a descoperit unul din cele mai celebre rubine ale coroanei britanice Black Prince's Ruby, care erau doar spinele.

23

Page 23: Capitolul 1

CorindonulCorindonul se distinge de toate celelalte minerale prin puritatea culorilor lui şi vivacitatea jocurilor de lumină.În afara calităţilor lor, culoare şi strălucire vie, corindonii prezintă uneori un joc de lumină dintre cele mai extraordinare: asterismul. Este imaginea unei stele cu şase raze care pare să plutească pe suprafaţa convexă a unei pietre tăiate fără faţete.Acest frumos fenomen este provocat de reflexia luminii prin ace filiforme strălucitoare în interiorul coridonului, ele sunt separate şi ordonate în paralel cu trei axe ale cristalului formând între ele 120°.Cu cât acele sunt mai dense, cu atât steaua este mai marcată. Fineţea şi netezimea razelor stelei determină preţul pietrei.Frumoasa stea de pe rubine şi safire foarte colorate este extrem de rară: aceste pietre au atunci o mare valoare.

24

Page 24: Capitolul 1

Grupa CUARŢULUI

Ametist Mult timp considerat o piatră preţioasă datorită culorii sale, un violet profund, numele său are originea destul de curioasă: provine din grecescul amethyein care înseamnă a nu fi beat. Vechii greci credeau efectiv că această piatră prevenea beţia. De asemenea, ei aveau obiceiul de a-şi bea vinul din cupe de ametist. Amestistul purpuriu din Siberia şi Ural sau extraordinarul ametist violet închis de Uruguai sunt printre cele mai căutate pietre preţioase.

Prasiolitul Are culoare verde. Datorită culorii sale fine, a fost utilizat încă din Evul Mediu mai mult decât în zilele noastre ca piatră ornamentală pentru bijuterii.La început era denumit drept mama smaraldului.

Cuarţul afumat St Gothard (Elveţia)Gri maro până la negru, îşi datorează culoarea nu numai pigmenţilor alocromatici ci şi bombardamentului cosmic de foarte lungă durată.

25

Page 25: Capitolul 1

Grupa CALCITULUI (carbonat de calciu)

Acest frumos eşantion pune în evidenţă poliedrii romboedrici provenind din Ardennes (Franţa). Perfect translucid, aproape transparent, se pot distinge bine planele de clivaje.

Agregate de cristale scurte romboedrice Baia de Aries (România)Aceste cristale se găsesc de obicei împreună cu cristale tabulare.

Cristale de calcit cu creştere paralelă cu aspect de scalenoedru. (Korsnas, Finlanda)

Calcit Helgustadir (Islanda): mărimea cristalului 6 cm.Se observă scalenoedrii prezentând două macle prin interpenetrare, acest tip de maclă este destul de frecvent în calcit.De asemenea, se găsesc aceste tipuri de macle de calcit şi în Derbyshire (Anglia)

26

Page 26: Capitolul 1

Calcitul "miere": dimensiunea cristalelor 6 cm.Este prezentat aici un filon de calcit cristalizat într-o crăpătură (în poziţie verticală în fragmentul alăturat), într-un fel o druză a cărei cavitate este complet umplută.Cristalele pseudo-hexagonale sunt constituite din romboedrii sau scalenoedrii.

Stalactită 8x6 cm (vedere laterală şi secţiunea eşantionului)Structura este fibro-radială, aici, creşterea cristalelor este îndreptată către exterior. Carbonatul de calciu dizolvat în şuvoaie se depune pe exteriorul stalactitei.Se disting două zone concentrice datorate întreruperii procesului de cristalizare.

Dolomitul (Traversalla Torino Italia 35 mm) cu cuarţContrar aparenţelor nu este un cub ci un romboedru de formă perfectă, distingându-se clar urme de plane de clivaj.

27

Page 27: Capitolul 1

Rodocrozitul (din grecescul rhodon=roz şi chrosis=culoare)Se găseşte rar sub formă cristalizată, deseori romboedric, uneori scalenoedric; are strălucire vitroasă.În mod obişnuit este de culoare roză către roşu, dar uneori poate apărea aproape alb, gri murdar, tinzând către brun sau verde, foarte rar incolor.Altfel, el formează mase compacte, uneori agregate sau concreşteri sub formă de sferă, rinichi sau ciorchini (de tip “botrioidal”).Fotografia de jos permite să facem tranziţia pe două moduri de structură cristalină a grupei de calcită.

Calcita cu structură  “botrioidală”  (sub formă de ciorchine)

Smithsonitul (dedicată lui James Smithson)Iată un exemplu de cristalizare compactă de tip “botrioidal” (în forme de ciorchine), cristalele microscopice.Are strălucirea vitroasă, este de culoare variabilă, deseori alb murdar, sau maroniu spre verzui. Varietăţile verde măr, albastre, galbene sau roz sunt rare.Formele cristalizate sunt rare, cel mai întâlnit este romboedrul şi uneori scalenoedrul.

28

Page 28: Capitolul 1

1.4.5. Sistemul hexagonal

Paralelipipedul elementar este prisma hexagonală, îndeplinind condiţiile:

a=b(=d)≠cα=β (=δ)=90º ≠γ=120º Datorită simetriei, cristalele din acest sistem se raportează la patru axe cristalografice:

axul de ordinul 6 (A6) se aşează paralel cu z, iar 3 axe de ordinul 2 echivalente, se aşează pe direcţia axelor cristalografice x, y şi ω.

Poliedrii sistemului hexagonal

Cel mai celebru beril (silicat de aluminiu şi beriliu): smaraldul."Smaraldele sunt de un verde profund şi sunt ca nişte grădini misterioase pe care le poată în inimile lor şi le ridică la rangul de cele mai frumoase pietre ale lumii".Contrar diamantului smaraldul nu se poate spune că este pur, dar incluziunile pe care le conţine, îi cresc originalitatea.Smaraldul se poate spune că este regina pietrelor preţioase.Cristale pe gangă (dimensiune 2 cm) origine Muzo (Colombia). Se disting aici prismele hexagonale.

29

Page 29: Capitolul 1

Câteva poliedre de bază : prisma hexagonală şi câteva habitusuri caracteristice

Berilul este mineralul tipic sistemului hexagonal.

Acvamarinul Are culoarea apei de mare, este cunoscut de asemenea ca smarald dar mai ieftin.Cristal din Brazilia (lungimea cristalelor 173 mm).

Heliotropul - cristale de beril galben şi în general perfect transparente (Takowaja în Munţii Ural).

Vorobievitul (pe gangă)varietatea de beril roz cea mai cunoscută (Insula Elba).

30

Page 30: Capitolul 1

Alte minerale care cristalizează în sistemul hexagonal

Vanaditul (clorovanadat de plumb)Cristalele sunt de tip tabular datorită faptului că prismele sunt puţin dezvoltate cum se poate vedea în partea superioară a fotografiei, în partea de jos a fotografiei, faţa pinacoidului arată o secţiune hexagonală perfectă.Cristale din Mibladen Maroc (dimensiunea cristalelor 3 mm)

Mimetitul (cloroarseniat de plumb)Johanngeorgenstadt, Saxonia (dimensiunea cristalelor 6 mm)Prismă hexagonală şi bipiramidă.

Apatita- Rio Nero , Italia

(dimensiunea cristalelor 10 mm)

- Greifenstein, Germania (dimensiunea cristalelor 15 mm)

- Durango, Mexic (dimensiunea cristalelor 15 mm)

În mod obişnuit verde-bleu, verde, gri, brun; ea poate lua şi alte culori. Strălucire sticloasă, pulbere albă.Denumirea îşi are originea din greacă apatao=iluzie. Mineralogiştii vechi gândeau că fiecare mineral are culoarea sa caracteristică. Apatita având culori foarte variate, ea este confundată cu mineralele cele mai diverse cum ar fi: acvamarinul, amestistul sau turmalina.Forma cristalelor este foarte variată:

31

Page 31: Capitolul 1

tabulară, prismatică sau ace alungite.

1.4.6. Sistemul tetragonal (patratic)

Paralelipipedul elementar este prisma tetragonală care satisface condiţiile :

a=b≠cα=β=γ=90ºAxa A4 se aşează pe

direcţia lui z iar două axe de ordinul 2 echivalente, pe direcţia x sau y.

Poliedrii sistemului tetragonal

Sistemul tetragonal cuprinde forme deschise, prisme tetragonale sau ditetragonale (octogonale) şi forme închise comparabile cu cele ale sistemului cubic ca bipiramide tetragonale şi ditetragonale dar şi scalenoedre, trapezoedre şi sfenoedre, toate tetragonale.

10% dintre minerale cristalizează în acest sistem, cum ar fi: rutilul, anatasul, zirconul, vezuvianitul, fosfogenitul, wulfenitul, apifilit, etc.

Câteva serii de poliedre fundamentale după procesele de creştere cristalină

Apofilitul:(Silicat hidratat complex calcaro-potasic).

În imaginile alăturate sunt prezentate trei habitusuri caracteristice sistemului pătratic:

1) Pseudo-cubic (Rio grande do Sul, Brazilia)2) Prismă cu feţe oblice piramidale (Poona, India)3) Cristale tabulare (Bolzano, Italia)

32

Page 32: Capitolul 1

Fosgenitul (clorocarbonat de plumb): dimensiunea reală a cristalelor 60 mm (Monteponi, Cagliari, Sardinia).Se observă aici feţele verticale ale diverselor prisme, feţele oblice ale unei piramide şi feţele orizontale terminale ale pinacoidului.

Vezuvianul : (silicat hidratat de calciu, fier şi magneziu) (Egg, Norvegia) cristale prismatice scurte. Dimensiunea reală 15 mm

Torbernitul (fosfat hidratat de uraniu şi fier) Se găseşte în mina Bois-Noirs, Franţa).Culoarea cea mai frecventă este verde smarald. Se găseşte mai ales în cristale tabulare perfect delimitate. Dimensiunea reală 5 mm

Anatasul (TiO2) albastru-negru (Sonnblick, Austria). Se mai numeşte octaedrit, deoarece cristalele sale au formă octaedrică, sau altfel zis o bipiramidă tetragonală. Dimensiunea reală 12 mm

33

Page 33: Capitolul 1

Zircon ul (silicatul de zirconiu) cristalizează în cristale prismatice scurte, adesea bipiramide, muchiile sunt rotunjite şi feţele curbate. Dimensiunea reală 10mm

1.4.7. Sistemul cubic

Paralelipipedul elementar este cubul, îndeplinind condiţiile :a=b=cα=β=δ=90ºAxele de ordinul 4 se aşează după axele x, y şi z. Este figura cu simetria cea mai ridicată.

Poliedrii sistemului cubic

Acest sistem nu conţine decât forme închise din care principalele vor fi reprezentate mai departe.

Aproape 12% dintre minerale cunoscute cristalizează în acest sistem, cu ar fi : cuprul, diamantul, argintul, galena, fluorina, sarea gemă, leucitul, blenda, pirita, etc.

Câteva serii de poliedre fundamentale după procesul de creştere a cristalelor

Fluorina (fluorura de calciu)Cub şi octaedru

34

Page 34: Capitolul 1

Haueritul (sulfura de mangan) (Catania, Italia) cub şi octaedru combinate. Dimensiunea reală 7 mm

Granaţi (silicaţi dubli de metale bi şi trivalente) (Hoetztal, Austria) Dodecaedrul romboidal este forma cea mai întâlnită la granaţi. Dimensiunea reală 10 mm.

Octaedre de Diamant Dimensiunea reală a cristalelor 7 x 7 mm

Leucitul (aluminosilicat de potasiu) (parc Chigi, Roma, Italia) Trapezoedrul este forma caracteristică a leucitului. Dimensiunea reală 9 mm

35

Page 35: Capitolul 1

Cupru gri (Cu Fe)12(AsSb)4S13 Tetraedru perfect(Minele Gabe-Gottes) Dimensiunea reală 4 mm

Pirita (sulfura de fier) (Italia)Dodecaedru pentagonal. Dimensiune reală 10 mm

1.5. HOLOEDRIE ŞI MERIEDRIE

După cum rezultă din tabelul 1, în fiecare sistem cristalografic apare o clasă de simetrie a cărei formulă de simetrie cuprinde toate elementele ce se pot asocia conform regulilor de combinare. Această clasă de simetrie se numeşte clasă holoedrică, întrucât forma sa simplă generală are numărul maxim de feţe posibile în sistemul respectiv. Clasele de simetrie cu un număr mai redus de elemente de simetrie se numesc meriedrice.

După numărul şi felul elementelor de simetrie deficiente, deosebim trei ordine de meriedrii:

- clase hemiedrice – a căror formulă de simetrie se obţine prin suprimarea unui element de simetrie binară independent în formula clasei holoedrice. Forma simplă generală a noii clase va avea ½ din numărul feţelor formei simple generale a clasei holoedrice.

- Clase tetartoedrice – a căror formulă de simetrie se obţine prin suprimarea a 2 elemente de simetrie binară independente în formula clasei holoedrice. Forma simplă generală a noii clase va avea ¼ din numărul feţelor formei simple generale a clasei holoedrice.

- Clase ogdoedrice – a căror formulă de simetrie se obţine prin suprimarea a 3 elemente de simetrie binară independente în formula clasei holoedrice. Forma simplă generală a noi clase va avea 1/8 din numărul feţelor formei simple generale a clasei holoedrice.

Cele trei ordine de meriedrii sunt exemplificate în figura 8.

36

Page 36: Capitolul 1

apiramidă trigonală

btrapezoedru

trigonal;

ctrapezoedru hexagonal

ddipiramidă

dihexagonală

Fig.8. Ordine de meriedii: a) ogdoedrie – piramidă trigonală; b) tetartoedrie – trapezoedru trigonal; c) hemiedrie – trapezoedru hexagonal; d) holoedrie – dipiramidă dihexagonală.

De fapt toate clasele meriedrice pot fi considerate ca hemiedrii fie a unei holoedrii, fie a unei alte hemiedrii sau chiar a unei tetartoedrii.

După natura elementelor de simetrie binară care se menţin în formula clasei meriedrice, deosebim:

- hemiedrie holoaxă – când clasele respective posedă numai axe de simetrie;- antihemiedrie sau hemiedrie antimorfă – când clasele de simetrie posedă numai axe

polare şi plane de simetrie paralele cu aceste axe. (Prin axă polară se înţelege o axă ce uneşte două elemente geometrice neechivalente ale ale poliedrului cristalin). Majoritatea formelor antihemiedrice sunt hemimorfe, adică reprezintă jumătăţi ale unor forme holoedrice;

- parahemiedrie sau hemiedrie paramorfă – când clasele de simetrie posedă un plan principal de simetrie şi centru de simetrie.

1.6. FORME CRISTALOGRAFICE

Feţele de acelaşi fel ale unui poliedru cristalin constituie o formă cristalografică simplă. În cazul în care feţele de acelaşi fel delimitează complet cristalul se numeşte simplă închisă, iar dacă nu delimitează complet cristalul se numeşte simplă deschisă. Şi feţele unice sunt considerate forme simple deschise.

În cazul în care cristalul este mărginit de mai multe forme simple (mai multe feţe identice) avem de a face cu o formă cristalografică compusă.

1.6.1. Forme cristalografice simple deschise

Sunt : pedionul, pinacoidul, domul, sfenoidul, piramida şi prisma (Planşa I).

Planşa I. Forme cristalografice simple deschise

Forme simple deschise Denumirea formei simple deschise

Numărul feţelor, simetria şi sistemul cristalografic

MONOEDRU (PEDION)

singură faţă care nu se mai repetă la un cristal (de exemplu baza unei piramide); sistemul triclinic.

37

Page 37: Capitolul 1

PINACOID:a) lateral;b) bazal.

două feţe de acelaşi fel, paralele şi simetrice cu un centru de simetrie (de exemplu bazele unei prisme) sistemul monoclinic, triclinic şi rombic.

a bDOMĂ două feţe de acelaşi fel care se întretaie

după o muchie, fiind simetrice faţă de un plan şi având aspectul unui acoperiş de tablă sistemul monoclinic şi rombic

SFENOID două feţe de acelaşi fel, înclinate simetric faţă de o axă binară de simetrie

sistemul monoclinic

PIRAMIDA 3, 4, 6, 8, 12 feţe echivalente care se întretaie după muchii neparalele ce se întâlnesc într-un punct (vârful piramidei)sistemul trigonal, pătratic, rombic, monoclinic şi hexagonal

PRISMA 3, 4, 6, 8, 12 feţe de acelaşi fel (echivalente), care se întretaie între ele prin muchii paralele sistemul, trigonal (romboedric), pătratic (tetragonal), rombic, monoclinic şi hexagonal

1.6.2. Forme cristalografice simple închise

Formele simple închise mai frecvent observate la cristale sunt: tetraedrul, hexaedrul (cubul), octaedrul, dodecaedrul romboidal, dodecaedrul pentagonal, dodecaedrul trapezoidal, tetrahexaedrul, trapezoedrul, tritetraedrul, hexatetraedul, trioctaedrul, hexaoctaedrul, disfenoidul, dipiramida (trigonală, pătratică, rombică, monoclinică şi hexagonală), romboedrul şi scalenoedrul (Planşa II).

Planşa II. Forme cristalografice simple închise.

Forme simple închise

Denumirea formei simple închise

Numărul feţelor, simetria şisistemul cristalografic

1 2 3

TETRAEDRUL

alcătuit din 4 feţe sub formă de triunghi echilateral simetrie inferioară sistemul cubic

HEXAEDRUL (CUBUL)

alcătuit din 6 feţe sub formă de pătrate simetrie superioară sistemul cubic

38

Page 38: Capitolul 1

1 2 3

OCTAEDRUL

alcătuit din 8 feţe sub formă de triunghi echilateral simetrie superioară sistemul cubic

DODECAEDRUL ROMBOIDAL

alcătuit din 12 feţe echivalente sub formă de romb simetrie inferioară sistemul cubic

DODECAEDRUL PENTAGONAL

alcătuit din 12 feţe echivalente sub formă de pentagoane simetrie inferioară sistemul cubic

DODECAEDRUL TRAPEZOIDAL

alcătuit din 12 feţe echivalente sub formă de trapez simetrie inferioară sistemul cubic

TETRAHEXAEDRUL

alcătuit din 24 feţe echivalente sub formă de triunghiuri echilaterale simetrie superioară sistemul cubic

TRAPEZOEDRUL

alcătuit din 24 feţe echivalente sub formă de trapez simetrie superioară sistemul cubic

TRITETRAEDRUL

alcătuit din 12 feţe sub formă de triunghiuri echilaterale simetrie inferioară sistemul cubic

HEXATETRAEDRUL

alcătuit din 24 de feţe echivalente sub formă de triunghiuri isoscele simetrie inferioară sistemul cubic

HEXAOCTAEDRUL

alcătuit din 48 de feţe sub formă de triunghiuri scalene simetrie superioarăsistemul cubic

39

Page 39: Capitolul 1

TRIOCTAEDRUL

alcătuit din 24 feţe dub formă de triunghiuri isoscele simetrie superioară sistemul cubic

DISFENOIDUL TETRAGONAL ŞI ROMBIC

alcătuit din 4 feţe echivalente sub formă de triunghiuri isoscele simetrie inferioară sistemul pătratic şi rombic

DIPIRAMIDA TETRAGONALĂ (PĂTRATICĂ)

alcătuit din 8 feţe echivalente sub formă de triunghiuri isoscele simetrie superioară sistemele trigonal, tetragonal, rombic, monoclinic şi hexagonal

ROMBOEDRU

alcătuit din 6 feţe echivalente sub formă de romburi simetrie inferioară sistemul trigonal (romboedric)

SCALENOEDRU

alcătuit din 12 feţe echivalente sub formă de triunghiuri scalene simetrie superioară sistemul trigonal, pătratic

1.7. NOTAŢII CU INDICI ŞI PARAMETRII A FEŢELOR UNUI CRISTAL

Poziţia relativă a diverselor feţe ale unui cristal, în raport cu axele cristalografice, poate fi exprimată în funcţie de poziţia unei feţe considerată faţă fundamentală. Faţa fundamentală ABC intersectează axa x la distanţa OA=a, axa y la distanţa OB=b şi axa z la distanţa OC=c. (fig.15)

Fig.15. Faţă elementară(ABC) şi oarecare (MNP)

a, b, c se numesc parametrii feţei elementare. Fie o a doua faţă MNP, neparalelă cu prima care interesectează axele cristalografice la distanţele OM=ma, ON=nb şi OP=pc.

ma, nb şi pc sunt parametrii unei feţe oarecare, exprimaţi în funcţie de parametrii feţei fundamentale. m, n şi p sunt valorile numerice sau coeficienţii acestor parametrii şi arată de

40

Page 40: Capitolul 1

câte ori trebuie multiplicaţi parametrii feţei fundamentale pentru a obţine parametrii feţei respective. Notaţia în parametrii se mai numeşte şi notaţia Weiss-Rose.

Relaţiile dintre parametrii unei feţe oarecare şi parametrii feţei elementare pot fi scrise sub forma:

h · ma : k · nb : l · pc= a : b : c

Valorile h, k, l sunt invers proporţionale cu valorile numerice m, n şi p, obţinându-se:

h, k, l se numesc indicii Miller ai feţei şi se scriu între paranteze rotunde, fără vreun semn între ei (h k l), putând fi pozitivi sau negativi, după cum faţa intersectează axele cristalografice în sensul pozitiv sau negativ.

Indicii Miller sunt numere simple, întregi şi mici, nedepăşind, în general, valoarea 6.O situaţie deosebită este întâlnită la sistemele trigonal şi hexagonal, unde pe lângă

axele x, y şi z, apare o a patra axă ω. Deoarece nu pot exista decât trei coordonate spaţiale independente, axei cristalografice ω îi corespunde un indice independent, notat cu i, derivând din indicii h şi k, încât se poate demonstra (fig.9) că:

sau h+k+i=0

Fig.16. Deducerea indicelui i

Indicii Bravais, pentru feţele cristalelor din sistemele trigonal şi hexagonal sunt (h k i l), în calcule utilizându-se totuşi, numai indicii Miller (h k l), valoarea indicelui i=h+k cu semn schimbat.

Ecuaţia unei feţe în funcţie de axe se poate scrie:

h X+k Y+l Z=1 sau dacă punem condiţia ca axa să treacă prin origine, ecuaţia devine:

h X+k Y+l Z=0

41

Page 41: Capitolul 1

Poziţiile posibile ale feţelor unui cristal

Feţele unui cristal pot ocupa în raport cu axele cristalografice, considerând numai sensurile pozitive, una din următoarele poziţii (fig.10):1. Faţa intersectează toate axele: (h k l)2. Faţa intersectează două axe şi este paralelă cu a treia:

a) este paralelă cu X: (0 k l);b) este paralelă cu Y: (h 0 l);c) este paralelă cu Z: (h k 0).

3. Faţa intersectează o axă şi este paralelă cu celelalte două:a) intersectează pe X: (h 0 0);b) intersectează pe Y: (0 k 0);c) intersectează pe Z: (0 0 l).

Fig.10. Poziţiile posibile ale feţelor unui cristal

1.8. ZONE CRISTALOGRAFICE

O zonă cristalografică este formată din totalitatea feţelor unui cristal care au muchiile paralele între ele şi paralele cu o direcţie comună numită axă de zonă. O faţă face parte din cel puţin două zone cristalografice, muchia comună reprezentând axa de zonă.

Între indicii unei feţe (h k l) şi indicii axei de zonă [u v w] există relaţia:

h u + k v + l w = 0Din ecuaţie rezultă că pentru ca 3 feţe să facă parte din aceeaşi zonă, determinantul

coeficienţilor trebuie să fie nul:

Aceasta este posibilă doar dacă o linie a determinantului reprezintă suma altor două linii, deci:

h2 =h1 + h3

k2 =k1 + k3

l2 =l1 + l3

Axul de zonă este paralel cu muchia dintre cele două feţe, fiind determinat astfel de intersecţia planelor care trec prin originea axelor cristalografice şi sunt paralele cu feţele. Ecuaţia acestor plane va fi:

42

Page 42: Capitolul 1

h1X+k1Y+l1Z=0h2X+k2Y+l2Z=0

Din acest sistem de două ecuaţii cu trei necunoscute se poate deduce că:

Rezultă că valorile indicilor axului de zonă sunt proporţionale cu:

Practic, plecând de la indicii cunoscuţi ai două feţe, se scriu mai întâi indicii uneia dintre feţe şi se repetă pe orizontală, apoi, dedesubt, indicii celeilalte feţe care, de asemenea se repetă; din ceea ce rezultă, se îndepărtează prima şi ultima coloană iar din ce rămâne se constituie determinanţi pătraţi – a doua şi a treia coloană pentru calculul lui u, a treia şi a patra coloană pentru calculul lui v, iar a patra şi a cincea coloană pentru calculul lui w.

De exemplu feţele cubului (100) şi (010) (fig.11). Se cere axul de zonă corespunzător:

Fig.11. Zonele şi axele de zonă corespunzătoare în cazul cubului.

Deci axul de zonă va fi [0 0 1].

1.9. CONCREŞTERI (ASOCIERI) DE CRISTALE

43

Page 43: Capitolul 1

În scoarţa terestră, rare sunt cazurile când se întâlnesc cristale bine individualizate. De regulă, acestea, se prezintă sub formă de grupări de cristale de aceeaşi specie minerală şi rareori de specii diferite.

Grupările de cristale, denumite şi edificii cristaline, în funcţie de condiţiile existente în timpul cristalizării, pot fi întâlnite fie sub formă de agregate compacte de microcristale (roci, minereuri), fie sub formă de asocieri de cristale bine dezvoltate.

În scoarţa terestră se întâlnesc cavităţi (numite geode sau gruze) care sunt “căptuşite” cu cristale bine dezvoltate, crescute perpendicular pe suprafaţa cavităţii (eşantioanele luate din geode sunt binecunoscutele “flori de mină”).

Pentru determinarea mineralelor, cele mai interesante asociaţii regulate de cristale de acelaşi fel sunt concreşterile paralele şi mai ales concreşterile simetrice sau maclele.

Concreşterile paralele sunt formate din asocierea unor cristale simple şi bine dezvoltate. Alipirea lor se face după o faţă sau după o muchie în aşa fel încât toate feţele şi muchiile echivalente ale cristalelor asociate sunt paralele. Aceste concreşteri se întâlnesc frecvent în natură, la cuarţ, calcit, baritină, stibină, etc.

Concreşterile simetrice (maclele) – sunt asocieri sau concreşteri simetrice de două sau mai multe cristale, de regulă din aceeaşi specie minerală, care respectând legile simetriei de maclare, formează un edificiu cristalin, cu o simetrie superioară fiecărui individ component al maclei.

Maclele se întâlnesc rar şi numai la anumite minerale; macroscopic pot fi recunoscute prin unghiurile intrânde ale cristalelor care maclează, prin apariţia de striaţii pe feţe, etc.

Când maclarea nu poate fi observată cu ochiul liber, ea poate fi pusă în evidenţă cu ajutorul microscopului polarizant.

O maclă se caracterizează prin elementele ei de simetrie: axa de maclă, planul de maclă şi centrul de maclă. La maclă se mai deosebeşte şi planul după care se face concreşterea indivizilor maclaţi, numit şi plan de asociere a maclei.

După numărul indivizilor care se asociază, maclele pot fi: macle disintetice, rezultate din asocierea a doi indivizi (de exemplu: macla ortozei,

rutilului, casiteritului, etc.); macle polisintetice, formate prin concreşteri simetrice de mai mulţi indivizi

(exemplu: macla albitului, calcitului, etc.).După aspectul morfologic şi după modul în care sunt concrescuţi indivizi cristalini

maclaţi, se deosebesc: macle de juxtapunere (de alipire sau de hemitropie) care iau naştere din asocierea a

doi sau mai mulţi indivizi cristalini după o faţă sau după o muchie, rotiţi unul faţă de altul cu 180º în jurul axei de maclă. Axul de maclă poate să fie perpendicular pe planul de asociere (hemitropie normală) sau să fie conţinut în planul de asociere al indivizilor cristalini (hemitropie paralelă).

Macle de penetraţie (planşa III) – sunt rezultatul întrepătrunderii a cel puţin două cristale, unul din indivizii cristalini fiind rotit faţă de altul cu un anumit număr de grade în jurul axei de maclă. Cele două cristale penetrate se pot observa distinct, iar unirea lor se face după o suprafaţă neregulată.

Maclele mimetice (planşa III) sunt cazuri particulare ale maclelor de penetraţie şi constau dintr-un complex maclat cu aspectul unui singur cristal. Acest tip de macle, mimează o simetrie mai superioară, de regulă a altui sistem cristalin.

Planşa III. Tipuri de macle la mineralele cristalizate

44

Page 44: Capitolul 1

Tipul de maclă Exemple de macle şi minerale Modul de asociere1 2 3

1. Macle de juxtapunere (de alipire sau de hemitropie)

a) Macla spinelului b) Macla casiteritului (cioc de staniu) a) după feţe de

octaedru

b) după o faţă de piramidă

c) după o faţă de piramidă

d) după o faţă de dipiramidă

e) după o faţă de romboedru, unul din indivizi fiind rotit cu 60º faţă de celălalt

f) după o faţă a prismei longitudinale

g) după o faţă laterală a prismei – maclă alternantă

h) după o faţă de prismă

c)Macla rutilului în formă de inimă

d) Macla calcopiritei

(Baia Mare)

e) Macla calcitului

(Mina Bolduţ în Cavnic)

f) Macla baritinei sub formă de carte deschisă

(Baia Sprie)

g)Macla aragonitului

(Corund – România)

h) Macla columbitului

1 2 3

2. Macle de penetraţie (de întrepătrundere sau de compensaţie)

a) Macla piritei "cruce de fier"

b) Macla fluorinei a) doi dodecaedrii pentagonali întrepătrunşi şi rotiţi unul faţă de celălalt cu 90º.b) două cuburi întrepătrunse şi rotite unul faţă de celălalt cu

45

Page 45: Capitolul 1

c) Macla de tip japonez a cuarţului

d) Macla staurolitului 60º.

c) două cristale întrepătrunse după un unghi de 84º33'.

d) două cristale rombice întrepătrunse la aproximativ 90º.

e) trei indivizi întrepătrunşi după feţele de prismă la 60 º.

f) doi indivizi întrepătrunşi după feţele de prismă la 60 º.

g) două prisme întrepătrunse după feţele de pinacoid lateral şi rotite una faţă de cealelaltă cu 180 º.

h) doi indivizi cristalini întrepătrunşi la 90 º.

e) Macla mispichelului (arsenopiritei)

f) Macla staurolitului

g) Macla ortozei h) Macla augitului

3) Macle mimetice (de imitaţie)

a) Macla leucitului sub formă de trapezoedru

b) Macla phillipsitului sub formă de dodecaedru romboidal

a) complex de cristale tetragonale imitând simetria cubică

b) complex de cristale monoclinice imitând dodecaedrul romboidal cu simetrie cubică superioară

1.10. REPREZENTAREA GRAFICĂ A CRISTALELOR

Pentru reprezentarea grafică a cristalelor se folosesc mai multe metode care permit fie redarea aspectului exterior al cristalului, fie redarea unghiurilor dintre feţe în mărimea lor adevărată alături de alte elemente cristalografice. Dintre aceste metode cele mai utilizate sunt:

A. proiecţia perspectivă (desenul axonometric)B. proiecţiile substituante (polare)

A. Proiecţia perspectivă (desenul axonometric) redă înfăţişarea exterioară a cristalului. Pentru realizarea ei se proiectează cristalul pe un plan cu ajutorul unui fascicol de

46

Page 46: Capitolul 1

raze plecând dintr-un punct situat la infinit. Proiecţia perspectivă poate fi: înclinată (cea mai utilizată) sau ortogonală.

Această proiecţie dă o imagine sugestivă a cristalului, ajutând la aprecierea formei sale şi păstrează paralelismul muchiilor, ducând la recunoaşterea zonelor. Prezintă însă dezavantajul că îşi păstrează valoarea reală numai unghiurile dintre muchiile paralele cu planul de proiecţie, celelalte unghiuri fiind deformate; de aceea proiecţia perspectivă nu poate fi folosită în calcule cristalografice.

În figura 12 este prezentată proiecţia cristalului de olivin (Mg,Fe)2SiO4 în perspectivă înclinată şi ortogonală.

Fig.12. Proiecţia înclinată şi ortogonală orizontală a olivinului

B. Proiecţiile substituante (polare): înlătură neajunsurile proiecţiei perspectivă, putând fi reprezentate atât feţele cristalelor (prin polii lor), cât şi elementele de simetrie. Acestea cuprind:

B1. Proiecţia sferică B2. Proiecţia gnomonică B3. Proiecţia stereografică

B1. Proiecţia sferică

Să ne imaginăm o sferă care este circumscrisă cristalului. Din centrul O al acesteia ducem normalele la feţele cristalului, prelungindu-se până ce intersectează sfera. Fiecare normală se va proiecta pe sferă ca un “punct polar” (punctul a1 din figura 13a). Orice plan care trece prin centrul O intersectează suprafaţa sferei după arce de cerc. Dacă planurile sau direcţiile pe care le proiectăm nu trec prin punctul O, ele pot fi deplasate paralel cu ele însele, fără a afecta relaţiile unghiulare.

47

Page 47: Capitolul 1

Figura 13. Construirea proiecţiei sferice (a), măsurarea coordonatelor pe ea (b) şi construirea proiecţiei stereografice (c)

În proiecţia sferică, poziţia unei feţe este determinată de coordonatele sferice ale polului ei pe sferă ρ şi φ.

Unghiul ρ este unghiul de la centru făcut de normala feţei respective şi axa N-S a sferei, măsurat pe meridianul polului dat; se mai numeşte distanţă polară.

Unghiul φ este unghiul la centru făcut de meridianul care trece prin polul dat şi un meridian luat ca origine – meridianul 0. Se măsoară pe paralela care trece prin polul respectiv sau pe ecuator, numindu-se şi longitudinea polului.

Axele de simetrie ale cristalului se proiectează prin polii lor, adică prin punctele în care, prin prelungire, ele intersectează sfera.

Planele de simetrie ale cristalului, trecând prin centrul sferei, se proiectează prin urmele prelungirii lor pe sferă, fiind cercuri mari ale acestuia.

Dezavantajul metodei constă în faptul că, modelul fiind spaţial este incomodă; are totuşi şi avantajul că, constituie singura cale pentru a înţelege proiecţiile gnomonică şi stereografică, acestea realizându-se prin transpunerea feţelor şi elementelor de simetrie ale cristalului din proiecţia sferică, sau pe un plan tangent la sferă sau pe planul ecuatorial al sferei.

B2. Proiecţia gnomonică

Suprafaţa de proiecţie este un plan tangent la sferă, de obicei în polul N, numit plan gnomonic.Pentru a obţine proiecţia gnomonică a unei feţe se prelungeşte normala dusă din centrul cristalului la faţă (şi trece prin polul sferic N) până întâlneşte planul gnomonic în punctul P1, acesta fiind polul gnomonic al feţei (fig.14).

48

Page 48: Capitolul 1

Figura 14. Relaţiile dintre proiecţia sferică, gnomonică şi stereografică

În proiecţia gnomonică, meridianle se proiectează prin linii drepte, longitudinale (unghiurile φ) – păstrându-şi valoarea reală; distanţele polare (unghiurile ρ) îşi modifică valoarea, fiind proporţionale cu lungimea segmentului de dreaptă dintre punctul N şi polul feţei (în desen NP1).

Punctele din proiecţia sferică având aceeaşi distanţă polară, se găsesc în proiecţia gnomonică pe acelaşi cerc cu centrul în N, iar polii feţelor cozonale se proiectează pe aceeaşi dreaptă.

Principalul dezavantaj al metodei constă în faptul că nu pot fi proiectate feţele care sunt paralele sau fac un unghi mic cu direcţia N-S, feţele paralele cu direcţia N-S se proiectează la infinit şi se marchează în planul gnomonic, prin săgeţi orientate în direcţia polilor respectivi.

Avantajul acestei metode constă în faptul că se utilizează pentru interpretarea unor diagrame de puncte obţinute prin studiul cristalelor cu ajutorul razelor X.

B3. Proiecţia stereografică

Proiecţia stereografică reprezintă transpunerea în plan a proiecţiei sferice a unui cristal. Pentru aceasta, se uneşte polul feţei cu polul opus al sferei de proiecţie (pentru feţele din emisfera nordică cu polul S şi invers) (fig.14). Punctul în care această dreaptă intersectează planul ecuatorial al sferei (planul de proiecţie S) reprezintă proiecţia stereografică a feţei date.

În proiecţia stereografică, polii feţelor din emisfera nordică se notează cu +, iar polii feţelor din emisfera inferioară cu un cerc mic (◦); tot cu + se simbolizează şi feţele verticale (paralele cu z) ai căror poli se află chiar pe cercul de proiecţie.

Polii feţelor cozonale se proiectează pe acelaşi cerc mare.

Realizarea proiecţiei stereografice reprezintă o etapă importantă în analiza cristalografică. Ea prezintă următoarele avantaje:

- permite citirea directă a unghiurilor dintre feţe;- permite recunoaşterea grupurilor de feţe tautozonale;- permite recunoaşterea respectiv reprezentarea elementelor de simetrie a cristalului.

Atât polii sferici ai axelor de simetrie, cât şi urmele pe sferă ale planelor de simetrie, se transpun în planul stereografic urmând aceeaşi cale ca şi în cazul feţelor; astfel, axele de

simetrie se vor proiecta stereografic prin puncte, reprezentate grafic prin: pentru A2;

pentru A3; pentru A4; pentru A6; pentru şi pentru ; iar planele de simetrie prin linii continue; planul principal de simetrie (planul perpendicular pe axa z) se proiectează printr-un cerc, iar celelalte plane prin linii drepte sau curbe.

49

Page 49: Capitolul 1

Practic, ordinea logică de executare a unei priecţii stereografice este următoarea:- se stabileşte formula de simetrie a cristalului;- se aleg axele cristalografice, stabilindu-se sistemul cristalografic;- se aşează cristalul pe axa z perpendiculară pe planul de proiecţie şi cu axa y paralelă

cu observatorul;- se începe proiecţia propriu-zisă proiectând:

o planele de simetrieo axele de simetrie, care se găsesc la intersecţia planelor (la intersecţia a „n”

plane se găseşte un ax de ordin „n”);o feţele cristalului.

- se stabilesc şi se trec pe proiecţie indicii feţelor.Pe toată durata proiecţiei se va avea în vedere faptul că planul de proiecţie trece prin

mijlocul cristalului, încât una din jumătăţi este deasupra iar cealaltă dedesubtul acestui plan.În fig. 15 este redată proiecţia stereografică a cubului cu formula de simetrie: 3A4 4A3 6A2

C3Π - 6P2

Fig.15. Proiecţia stereografică a cubului

Construirea proiecţiei stereografice este o operaţie anevoioasă în majoritatea cazurilor de cristale. Cel mai simplu caz îl reprezintă cristalele din sistemul cubic şi pătratic, hexagonal şi trigonal, unde axele din planul de proiecţie (planul orizontal) sunt echivalente şi ocupă poziţii bine determinate una faţă de cealaltă.

Modul de proiecţie în sistemul cubic:

50

Page 50: Capitolul 1

Se construieşte cercul de proiecţie şi se notează centrul. Se trasează axele cristalografice din planul orizontal, ţinând cont de unghiul dintre axe şi luând axa y orizontală. Se notează punctele pentru care se cunosc coordonatele (fig.15):

- terminaţiile axei y (010) şi (0 0);- terminaţiile axei x (100) şi ( 00);- coordonatele centrului sunt (001) şi (00 ), întrucât punctul se găseşte pe normalele

ambelor axe din planul orizontal;- mijloacele segmentelor (001) – (110) corespund la punctul (111) întrucât acest punct

este egal înclinat faţă de cele trei axe.Pentru obţinerea altor puncte din zona (100) – (010) se face următoarea construcţie

auxiliară (fig.16):

Fig.16. Obţinerea punctelor din zona (100) – (010)

- se divid segmentele (001)-(010) şi (001)-(100) în patru părţi egale- se uneşte prima diviziune a segmentului (001)-(100) cu diviziunile de pe segmentul

(001)-(010) şi se duc normalele din centru la segmentele 1-1´, 1-2´, 1-3´, astfel obţinute. Punctele de intersecţie cu cercul de proiecţie vor avea indicii: (110), (210), (310)

- repetând operaţia pentru cealaltă axă se vor obţine punctele (110), (120) şi (130)- unind punctele 2-3´, 2´-3, etc se vor obţine punctele (320), (230) ş.a.m.d.- se trasează arcul de cerc care uneşte punctele: (010), (111), (1, , 1) şi (0 0); (010), (

11), ( , , ), (0 0); (100), (111), (1 1), ( 00);(100), (1 1), ( 1), ( 00) şi se obţin la intersecţia cu axele cristalografice x şi y punctele (101), (011), ( 01), (0 1). Intersecţia aceloraşi arce cu segmentele (001)-(210), (001)-(120) ş.a.m.d. dau poziţiile punctelor (211), (212), (121), (122) etc.Prin operaţii identice, respectând aceleaşi principii, se obţine proiecţia stereografică,

care cuprinde poziţiile tuturor feţelor posibile în sistemul cubic, deci proiecţia standard a sistemului respectiv.

Fig. 17 prezintă proiecţia stereografică a diamantului.

51

Page 51: Capitolul 1

Fig.17. Proiecţia stereografică a diamantului

1.11. Reţele de proiecţie

Reţeaua Wulf (fig.18) se obţine prin proiectarea pe un plan meridian al unei sfere a meridianelor şi paralelelor ei, de obicei la o echidistanţă de 2 sau 10º.

Fig.18. Reţeaua Wulf , echidistanţă de 10º

Reţeaua Boldîrev sau reţeaua polară se obţine prin proiectarea stereografică a meridianelor şi paralelelor unei sfere pe planul ecuatorial al acesteia (fig.19). Meridianele se proiectează sub formă de diametre ale suprafeţei de proiecţie, iar paralele sub formă de cercuri concentrice.

Fig. 19. Reţeaa BoldîrevReţeaua Flint- este formată din jumătate de reţea Wulf şi jumătate de reţea polară.Reţeaua Feodorov este realizată prin suprapunerea a două reţele Wulf, rotite cu 90º,

peste o reţea polară.Reţeaua Schmidt: este asemănătoare cu reţeaua Wulf, numai că pentru realizarea ei

nu se foloseşte proiecţia stereografică ci proiecţia Lambert, prin care suprafeţele de aceeaşi mărime de pe sferă dau suprafeţe egale, indiferent care ar fi poziţia lor în spaţiu; acest tip de reţea se foloseşte mai mult în petrografia structurală.

52


Recommended