Capitolul 1 Ecuat¸ii diferent¸iale - profs.info.uaic.rofliacob/An2/2013-2014/Resurse MCM/Pentru...

Capitolul 1

Ecuatii diferentiale

an univ 2001/2002Teoria ecuatiilor si a sistemelor diferentiale reprezinta unul din domeniile fundamentale

ale matematicii cu largi aplicatii in tehnica ca de exemplu in mecanica, in studiul circuitelorelectrice,al oscilatiilor si in teoria comenzii automate. O conditie esentiala pe care trebuiesa o indeplineasca un proces fizic pentru a fi rescris de ecuatii diferentiale este aceea caprezentul sa contina predictia viitorului local ca si reconstituirea trecutului local. Un procesfizic care satisface o astfel de conditie se numeste sistem determinist. Un proces fizic estefinit-dimensional si diferentiabil daca este descris de un numar finit de parametri destare (marimi dependente de timp a caror cunoastere determina dinamica procesului) caresunt functii derivabile de variabila timp.

In liceu s-au studiat doar ecuatii de forma f(x) = 0 cu f functie reala: ecuatii algebrice,logaritmice, trigonometrice etc. Se impune insa si studiul unor ecuatii in care necunoscutaeste ea insasi o functie. Astfel de ecuatii se numesc ecuatii functionale. Printre acestea seafla ecuatii diferentiale ordinare (in care necunoscuta este o functie de o singura variabilaindependenta), ecuatii cu derivate partiale (in care necunoscuta este o functie de doua saumai multe variabile independente), ecuatii cu diferente finite, ecuatii integrale etc. Proceseledescrise de ecuatii diferentiale sunt procese continue.

Definitia 1.1 Se numeste ecuatie diferentiala o relatie de dependenta functionala ıntrevariabilele independente, functia necunoscuta si derivatele sale. Daca functia necunoscutadepinde de o singura variabila independenta, dependenta functionala se numeste ecuatiediferentiala ordinara, iar daca functia necunoscuta depinde de mai multe variabile in-dependente, dependenta functionala se numeste ecuatie cu derivate partiale. Ordinulmaxim de derivare al functiei necunoscute care este efectiv implicat in ecuatie poarta den-umirea de ordinul ecuatiei diferentiale.

Exemplul 1.1 Ecuatia x′′(t) + x(t) = sin t cu functia necunoscuta x de variabila reala t

este o ecuatie diferentiala ordinara de ordinul al doilea, iar ecuatia∂u∂x

+∂u∂y

= 0 cu functia

necunoscuta u, depinzand de variabilele reale independente x si y, este o ecuatie cu derivatepartiale de ordinul intai.

1

2 CAPITOLUL 1. ECUATII DIFERENTIALE

1.1 Ecuatii diferentiale rezolvabile prin cuadraturi

O ecuatie diferentiala de ordinul ıntai este o relatie de dependenta functionala deforma:

F (t, x, x′) = 0 (1.1)

ıntre variabila independenta t, functia necunoscuta x = x(t) si derivata ei x′= x′(t), iar Feste o functie definita pe o submultime Dom(F ) ⊂ R3 cu valori in R, neconstanta in raportcu ultima variabila.

O ecuatie diferntiala ordinara de ordin n este de o relatie functionala de forma:

F (t, x, x′, . . . , x(n)) = 0 (1.2)

ıntre variabila independenta t, functia necunoscuta x = x(t) si derivatele ei x′, . . . , x(n) iarF este o functie definita pe o submultime Dom(F ) ⊂ Rn+2 cu valori in R, neconstanta inraport cu ultima variabila.

In anumite conditii de regularitate asupra functiei F (cerute de aplicabilitatea teoremeifunctiilor definite implicit), ecuatia (1.2) poate fi scrisa sub forma:

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)) (1.3)

numita forma normala a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin n.Forma normala a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin intai este

x′ = f(t, x). (1.4)

Definitia 1.2 Prin solutie a ecuatiei diferentiale (1.2) ıntelegem orice functie x : I→ R,Int(I) 6= ∅, x = x(t), de clasa Cn(I,R) care satisface(t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)) ∈ Dom(F ) si ındeplinind conditiaF (t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)) ≡ 0,∀t ∈ I.

Definitia 1.3 Prin solutie a ecuatiei diferentiale (1.1) ıntelegem orice functie x : I→ R,Int(I) 6= ∅, x = x(t), de clasa C1(I,R), care satisface(t, x(t), x′(t)) ∈ Dom(F ) si ındeplinind conditia F (t, x(t), x′(t)) ≡ 0,∀t ∈ I.

Definitia 1.4 O familie de functii {x(·, C) : I→ R, C ∈ R} definite implicit de o relatiede forma

G(t, x, C) = 0 (1.5)

in care G : Dom(G) ⊂ R3 → R, este o functie de clasa C1 in raport cu primele douavariabile, cu proprietatea ca prin eliminarea constantei C din ecuatia

{ ddt

[G(t, x, C)] = 0

G(t, x, C) = 0

se obtine (1.1), poarta denumirea de integrala ecuatiei (1.1) sau solutia generala aecuatiei (1.1).

1.1. ECUATII DIFERENTIALE REZOLVABILE PRIN CUADRATURI 3

Principala problema pe care o vom aborda va fi asa numita problema a lui Cauchy sauproblema cu date initiale referitoare la (1.4). Mai precis, dat (t0, x0) ∈ Dom(f), problemaCauchy pentru ecuatia (1.4) cu datele (t0, x0) consta in determinarea unei solutii x : I→ Rcu t0 ∈ I si x(t0) = x0.

Vom prezenta mai multe tipuri de ecuatii diferentiale ale caror solutii pot fi determinateprin operatii de integrare a unor functii cunoscute. Aceste ecuatii poarta denumirea deecuatii rezolvabile prin cuadraturi. Prin cuadratura intelegem metoda care consta inreducerea rezolvarii unei probleme de analiza matematica la calculul unei integrale definitesau nedefinite, Denumirea provine de la procedeul de calcul al ariei unei figuri plane, foarteutilizat in antichitate, procedeu numit cuadrare deoarece el consta in construirea cu riglasi compasul a unui patrat avand aceeasi arie cu aceea cautata.

1.1.1 Ecuatii diferentiale de ordin ıntai cu variabile separabile

Primele ecuatii cu variabile separabile au fost rezolvate de Isaac Barrow (1630-1677), pro-fesor al lui Isaac Newton (1642-1727), unul din precursorii calculului diferential.

Foma generala a unei ecuatii diferentiale de ordin intai cu variabile separabileeste

x′(t) = f(t)g(x(t)) (1.6)

unde I, J ⊂R; f : I→ R, g : J→ R sunt doua functii continue cu g(y) 6= 0,∀y ∈ J.Rezolvarea ecuatiei diferentiale de ordin intai cu variabile separabile: Fie x = x(t) o

solutie a ecuatiei (1.6). Observam ca ecuatia (1.6) poate fi rescrisa sub formax′(t)

g(x(t))= f(t), ∀t ∈ I.

Integrand aceasta egalitate membru cu membru rezulta∫

x′(t)g(x(t))

dt =∫

f(t)dt,∀t ∈ I.

Obtinem deci G(x(t)) =∫

f(t)dt+C unde G este definita prin relatia G(x) =∫

dug(u)

.

Observam ca g nu se anuleaza pe J si este continua, deci pastreaza semn constant peJ. Putem presupune ca g(y) > 0, ∀y ∈ J , schimband eventual semnul functiei f. Atunci Geste bine definita si strict crescatoare pe J, deci inversabila. Rezulta

x(t, C) = G−1(∫

f(t)dt + C)

(1.7)

Demonstram ca functia definita de relatia (1.7) este solutia generala a ecuatiei (1.6).Fie G1(t, x, C) = 0, din definitia solutiei generale,

G1(t, x, C) = x(t)−G−1

(∫

f(t)dt + C)

, x(t)−G−1

(∫

f(t)dt + C)

= 0 ⇔

G(x(t))−∫

f(t)dt + C = 0.

Derivam in raport cu t relatia anterioara si rezulta


G′(x(t))x′(t)− f(t) = 0 ⇒ 1g(x(t))

x′(t)− f(t) = 0 ⇒

x′(t) = f(t)g(x(t)),ceea ce conduce la ecuatia (1.6). Deci (1.7) este solutia generala a ecuatiei (1.6).

Exercitiul 1.1 Sa se determine solutia generala a ecuatieix′ cos t ln x− x = 0, t ∈ (0, π

2 ), x > 0.

Rezolvare.Scriem ecuatia sub forma x′ =

xcos t ln x

⇒ f(t) =1

cos t, g(x) =

xln x

. Pe (0, π2 ), f este

continua iar pentru x > 1, g este continua si strict pozitiva, iar pentru x ∈ (0, 1), g estecontinua si strict negativa. Obtinemln xx

x′ =1

cos t⇒

∫

ln x(s)x(s)

x′(s)ds =∫

1cos t

dt ⇒ 12

ln2 |x| = ln tg2t + π

4+ C ⇒

x(t, C) = e

vuut2 ln tg2t + π

4+C

, C ∈ R.

Verificam ca x(t, C) este solutia generala. In acest caz G(t, x, C) =12

ln2 x−ln tg2t + π

4+

C. Calculamddt

[G(t, x, C)] = 0 ⇔ ln x · x′

x− 1

cos2 2t + π4

1

tg2t + π

4

12

= 0 ⇔

ln x · x′

x− 1

sin2t + π

2

= 0 ⇔ ln x · x′

x− 1

cos t= 0 ⇔

x′ cos t ln x− x = 0.

Exercitiul 1.2 Sa se determine solutia generala a ecuatieix′ = tx2 + 2tx.

Rezolvare.Avem f(t) = t, g(x) = x2+2x. Observam ca x(t) = 0 si x(t) = 2 sunt solutii ale ecuatiei.

Pe orice interval I = R, J ⊂ (−∞, 0) ∪ (2,∞) sau J ⊂ (0, 2) avem1

x2 + 2xx′ = tdt ⇒ 1

2

(

1x− 1

x + 2

)

x′ = tdt ⇒ ln∣

∣x

x+2

∣

∣ = 2t2 + ln C ⇒∣

∣

∣

∣

xx + 2

∣

∣

∣

∣

= Ce2t2 ⇒ x(t, C) = 2C e2t2

1−Ce2t2 , x ∈ (−∞, 0) ∪ (2,∞) si x(t, C) = 2C e2t2

−1−Ce2t2 ,

x ∈ (0, 2) .

1.1.2 Ecuatii diferentiale de ordin ıntai reductibile la ecuatii cuvariabile separabile.

Definitia 1.5 Functia f = f(x, y) se numeste omogena de grad α ∈ R daca

f(λx, λy) = λαf(x, y). (1.8)


Observatia 1.1 a) Daca α = 0, functia f din relatia (1.8) se numeste omogena de gradzero.

b) Daca P (x, y) si Q(x, y) sunt omogene de acelasi grad, atunci f(x, y) =P (x, y)Q(x, y)

este

o functie omogena de grad zero.c) Daca f este o functie omogena de grad zero, atunci f(x, y) = f(x, x y

x) = f(1, yx) =

f(xy , 1).

Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordin intai omogena este

x′(t) = f(t, x(t)) (1.9)

unde f este o functie continua si omogena de grad zero.

Observatia 1.2 Tinand sema de Observatia 1.1 c), ecuatia (1.9) poate fi scrisa sub forma

x′(t) = g(

x(t)t

)

, (1.10)

unde g(

x(t)t

)

= f(

1,x(t)t

)

, g : I→ R o functie continua si g(y) 6= y, ∀y ∈ R.

Rezolvarea ecuatiei diferentiale de ordin intai omogena se face facand schimbarea defunctie

x(t) = tu(t) (1.11)

si se ajunge la o ecuatie cu variabile separabile. Pentru aceasta derivam relatia (1.11)x′(t) = u(t) + tu′(t), inlocuim in (1.10) si obtinem: u(t) + tu′(t) = g(u(t)) ⇔ u′(t) =1t

[g(u(t))− u(t)] care este o ecuatie cu variabile separabile.

In 1693 Gottfried Wilhelm von Leibniz a utilizat pentru prima data substitutia (1.11)pentru rezolvarea ecuatiilor omogene.

Exercitiul 1.3 Sa se determine solutia generala a ecuatiei

x′(t) =x(t)t

+ tgx(t)t

, t 6= 0, x(t) 6= kπ2t, k ∈ N.

Rezolvare.

Observam ca g(

x(t)t

)

=x(t)t

+ tgx(t)t

. Facem substitutia x(t) = tu(t) si obtinem

u(t) + tu′(t) = u(t) + tg u(t) ⇔ u′(t) =1t

tg u(t) ⇔u′(t)

tg u(t)=

1t⇔

∫

u′(t)tg u(t)

dt =∫

1tdt ⇔ ln |sin u(t)| = ln t + ln C ⇔

sin u(t) = Ct ⇔ sinx(t)t

= Ct ⇔ x(t)t

= arcsin Ct, t ∈[

− 1C

,1C

]


⇒ x(t, C) = t arcsin Ct, t ∈[

− 1C

,1C

]

.

Verificam ca x(t) este solutie generala. G(t, x, C) = sinx(t)t

− Ct . Derivam in ra-

port cu t relatia sinx(t)t

− Ct = 0 ⇒(

cosx(t)t

)(

x′(t)t

− x(t)t2

)

− C = 0 ⇒ C =

(

cosx(t)t

)(

x′(t)t

− x(t)t2

)

. Inlocuim C in G(t, x, C) = 0 ⇒ x′(t) =sin

x(t)t

+x(t)t

cosx(t)t

cosx(t)t

⇒

x′(t) =x(t)t

+ tgx(t)t

.

Remarcam ca ecuatia diferentiala de ordin intai de forma

x′(t) = f(

a1x(t) + b1t + c1

a2x(t) + b2t + c2

)

(1.12)

unde I ⊂R; f : I→ R este o functie continua, ai, bi, ci ∈ R, a2i + b2

i + c2i 6= 0, i = 1, 2, poate

fi redusa la o ecuatie cu variabile separabile.Rezolvarea ecuatiei (1.12) se face in functie de compatibilitatea sistemului

{

a1x + b1t + c1 = 0a2x + b2t + c2 = 0 . (1.13)

Distingem trei cazuri:

Cazul I. Daca sistemul (1.13) este compatibil determinat, ∆ =∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

6= 0, cu

solutia (t0, x0) atunci prin schimbarea de variabila si de functie{

x(t) = y(t) + x0

t = s + t0,ecuatia

(1.12) poate fi adusa la forma ecuatiei omogene

y′(s) = f

(

a1y(s)

s + b1

a2y(s)

s + b2

)

.

Cazul II. Daca sistemul (1.13) este compatibil nedeterminat ∆ =∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

= 0 si

rang(

a1 b1 c1

a2 b2 c2

)

= 1, atunci exista λ 6= 0 astfel incat (a1, b1, c1) = λ (a2, b2, c2) si

ecuatia (1.12) se reduce la x′(t) = f(λ).

Cazul III. Daca sistemul (1.13) este un sistem incompatibil ∆ =∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

= 0 si

rang(

a1 b1 c1

a2 b2 c2

)

= 2 atunci (a1, b1) = λ (a2, b2) si prin schimbarea de functie y(t) =

a1x(t) + b1t se obtine ecuatia cu variabile separabiley′(t)− b1

a1= f

(

y(t) + c1

λy(t) + c2

)

.�



x′(t) = 2(

x(t) + 1t + x(t)− 2

)2

, t + x− 2 6= 0.

Rezolvare.Observam ca x(t) = −1 este solutie a ecuatiei diferentiale date. Consideram sistemul

algebric{

x + 1 = 0t + x− 2 = 0 . (1.14)

Deoarece∣

∣

∣

∣

0 11 1

∣

∣

∣

∣

= −1 6= 0 sistemul algebric (1.14) are solutie unica, t0 = 3, x0 = −1.

Facand schimbarea de variabile si de functie{

t = s + 3x = y − 1 se obtine ecuatia diferentiala

y′(s) = 2(

y(s)s + y(s)

)2

. Ecuatia se mai poate scrie sub forma y′(s) = 2(

y(s)s

1 +y(s)s

)

2

care este

o ecuatie omogena. Efectuam schimbarea de functie y(s) = su(s) si obtinem ecuatia

u(s) + su′(s) = 2(

u(s)1 + u(s)

)2

⇔ su′(s) = su′(s) =−u(s)− u3(s)

(1 + u(s))2 ⇔

(1 + u(s))2

u(s) + u3(s)u′(s) =

1s⇔

(

1u(s)

+2

u2(s) + 1

)

u′(s) =1s⇔

∫ (

1u(s)

+2

u2(s) + 1

)

u′(s)ds =∫

1sds ⇔

ln u(s) + 2 arctg u(s) = ln s + ln C ⇔ u(s)s

= Ce−2 arctg u(s)

Dar u(s) =y(s)s

=x(t) + 1t− 3

⇒ x(t) + 1(t− 3)2 = Ce

−2 arctgx(t) + 1t− 3 .


x′(t) =t− x(t) + 1t− x(t) + 2

, t− x(t) + 2 6= 0.

Rezolvare.Consideram sistemul algebric{

t− x + 1 = 0t− x + 2 = 0 .

Deoarece ∆ =∣

∣

∣

∣

1 −11 −1

∣

∣

∣

∣

= 0 si rang(

1 −1 11 −1 2

)

= 2 sistemul algebric (1.14) este

incompatibil. Prin schimbarea de functie y(t) = −x(t) + t se obtine ecuatia cu variabileseparabile


−y′(t) + 11

=y(t) + 1y(t) + 2

⇔ y′(t) =1

y(t) + 2⇔

(y(t) + 2)y′(t) = 1 ⇔∫

(y(t) + 2)y′(t)dt =∫

1dt ⇔12y2(t) + 2y(t) = t + C ⇔ 1

2(−x(t) + t)2 + 2(−x(t) + t) = t + C.

Observatia 1.3 Exista multe alte ecuatii diferentiale care pot fi aduse la ecuatii diferentialeomogene si apoi la ecuatii diferentiale cu variabile separabile, deci la ecuatii diferentialecarora li se poate determina solutia. De obicei pentru o ecuatie diferentiala care nu poate fiincadrata in unul din tipurile de ecuatii studiate se incearca o schimbare de functie necunos-cuta de forma x(t) = ym(t), unde m este un numar real nedeterminat. El se determina dinconditia ca noua ecuatie obtinuta in functia necunoscuta y(t) sa fie omogena.

Exercitiul 1.6 Sa se determine solutia generala a ecuatiei2t4x′(t)x(t) + x4(t) = 4t6.

Rezolvare.Facem schimbarea de functie x(t) = ym(t),m ∈ R, y(t) > 0 ⇒ x(t) > 0, x′(t) =

mym−1(t)y′(t)

2t4mym−1(t)y′(t)ym(t) + y4m(t) = 4t6 ⇒ m =32

3t4y2(t)y′(t) + y6(t) = 4t6 ⇒ y′(t) =4t6 − y6(t)3t4y2(t)

care este o ecuatie diferentiala omogena. Facem schimbarea de functie y(t) = tz(t).

z(t) + tz′(t) =4− z6(t)3z2(t)

⇒ tz′(t) =4− z6(t)− 3z3(t)

3z2(t)⇒

3z2(t)−z6(t)− 3z3(t) + 4

z′(t) =1t⇔

∫

3z2(t)−z6(t)− 3z3(t) + 4

z′(t)dt =∫

1tdt

Pentru a calcula prima integrala facem schimbarea de variabila w(t) = z3(t)∫

3z2(t)−z6(t)− 3z3(t) + 4

z′(t)dt = −∫

w′(t)w2(t) + 3w(t)− 4

dt = −15

lnw(t)− 1w(t) + 4

Rezulta

15

lnz3(t)− 1z3(t) + 4

= − ln |t|+ ln C ⇔ 5

√

z3(t)− 1z3(t) + 4

= Ct ⇒ 5

√

√

√

√

√

√

√

√

(

y(t)t

)3

− 1(

y(t)t

)3

+ 4

=Ct

Dar y(t) = x23 (t) de unde rezulta

(

x2(t)t3

)

− 1(

x2(t)t3

)

+ 4=

(

Ct

)5

⇔ x2(t)− t3

x2(t) + 4t3=

(

Ct

)5

.


1.1.3 Ecuatii cu diferentiale exacte.

Forma generala. Fie D o multime nevida si deschisa din R2 si P , Q :D → R doua functiide clasa C1 pe D, cu Q(t, x) 6= 0 pe D. O ecuatie de forma

x′(t) = −P (t, x(t))Q(t, x(t))

(1.15)

se numeste ecuatie cu diferentiala exacta daca exista o functie de clasa C2, F :D → R,astfel incat

Observatia 1.4 a) Conditia (1.16) pune in evidenta ca P (t, x)dt+Q(t, x)dx este diferentialadF a lui F in punctul (t, x) ∈ D.

b) Ecuatia (1.15) mai poate fi scrisa sub formaP (t, x(t))dt + Q(t, x(t))dx(t) = 0.

Rezolvarea ecuatiei cu diferentiala exacta. Daca (1.15) este o ecuatie cu diferentialaexacta, atunci x este solutie a ecuatiei daca si numai daca P (t, x(t))dt + Q(t, x(t))dx(t) =0,∀t ∈ Dom(x), egaliatate care impreuna cu faptul ca F satisface (1.16) este echivalentacu dF (t, x(t)) = 0,∀t ∈ Dom(x). Aceasta egalitate este echivalenta cu F (t, x(t)) = C.

Determinarea lui F se face astfel: consideram sistemul de ecuatii cu derivate partiale

∂F∂t

(t, x) = P (t, x)

∂F∂x

(t, x) = Q(t, x)

. (1.16)

Urmatoarea teorema o prezentam fara demonstratie.

Teorema 1.1 Daca D este un domeniu simplu conex, atunci o conditie necesara si sufi-cienta ca ecuatia (1.15) sa fie cu diferentiala exacta este ca

∂Q∂t

(t, x) =∂P∂x

(t, x), (t, x) ∈ D. (1.17)

Exercitiul 1.7 Sa se determine solutia generala a ecuatiei(et + x(t) + sin x(t))dt + (et + t + t cos x(t))dx(t) = 0, ex + t + t cos x 6= 0.

Rezolvare.P (t, x) = et+x+sin x, Q(t, x) = ex+t+t cos x,

∂P∂x

(t, x) = 1+cos x,∂Q∂t

(t, x) = 1+cos x,

(1.17) este satisfacuta ⇒ este o ecuatie cu diferentiala exacta. Rezulta ca exista o functie

de clasa C2, F astfel ıncat∂F∂t

(t, x) = (et +x+sin x) si∂F∂x

(t, x) = ex + t+ t cos x. Integram

prima relatie ın raport cu t, F (t, x) =∫

(et+x+sin x)dx = (et+xt+t sin x)+h(x). Calcuam


derivata ın raport cu t,∂F∂x

(t, x) = (t+t cos x)+h′(x). Egalam expresiile derivatelor lui f ın

raport cu x si obtinem h′(x) = ex ⇒ h(x) = ex +C1 ⇒ F (t, x) = et +xt+t sin x+ex +C1 ⇒F (t, x(t)) = C2 ⇒ et + x(t)t + t sin x(t) + ex(t) = C, C = C2 − C1.

1.1.4 Ecuatii cu factor integrant.

In general daca (1.17) nu este satisfacuta, metoda de determinare a solutiei generale aecuatiei (1.15) nu este aplicabila. Exista totusi cazuri ın care, desi (1.17) nu este satisfacuta,ecuatia (1.15) poate fi redusa la o ecuatie cu diferentiala exacta. O metoda de reducere aecuatiei (1.15) la o ecuatie cu diferentiala totala este metoda factorului integrant. JeanBernoulli (1667-1748) a aplicat pentru prima data metoda factorului integrant la rezolvareaunor ecuatii diferentiale.

Rezolvarea ecuatiei cu factor integrant. Daca ecuatia (1.15) nu este cu diferentiala ex-acta, cautam o functie µ : D → R, de clasa C1 cu µ(t, x) 6= 0,∀(t, x) ∈ D astfel incatµ(t, x)P (t, x)dt + µ(t, x)Q(t, x)dx sa fie diferentiala unei functii F : D → R. Din Teorema1.1 rezulta ca o conditie necesara si suficienta pentru aceasta este:

∂∂t

(µ(t, x)Q(t, x)) =∂∂x

(µ(t, x)P (t, x))

care este echivalent cu∂µ∂t

(t, x)Q(t, x) +∂Q∂t

(t, x)µ(t, x)− ∂µ∂x

(t, x)P (t, x)− ∂P∂x

(t, x)µ(t, x) = 0sau

∂µ∂t

(t, x)Q(t, x)− ∂µ∂x

(t, x)P (t, x) +(

∂Q∂t

(t, x)− ∂P∂x

(t, x))

µ(t, x) = 0,∀(t, x) ∈ D.

Aceasta este o ecuatie cu derivate partiale de ordinul ıntai cu µ ca functie necunoscuta.Vom studia doua cazuri particulare de rezolvare a acestui tip de ecuatii. Cazul generalva fi studiat la capitolul ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai liniare omogene sicvasiliniare.

Observam ca daca1

Q(t, x)

(

∂P∂x

(t, x)− ∂Q∂t

(t, x))

= f(t)

este independenta de variabila x, putem cauta functia µ ca functie independenta de variabilax. Aceasta functie este solutie a ecuatiei liniare omogene

µ′(t) = f(t)µ(t).Analog, daca P (t, x) 6= 0,∀(t, x) ∈ D si

1P (t, x)

(

∂Q∂t

(t, x)− ∂P∂x

(t, x))

= k(x)

este independenta de variabila t, putem cauta functia µ ca functie independenta de variabilat. Aceasta functie este solutie a ecuatiei liniare omogene

µ′(x) = k(x)µ(x).

Exercitiul 1.8 Sa se determine solutia generala a ecuatiei(x(t) + ln t) dt− tdx(t) = 0, t > 0.


Rezolvare.P (t, x) = x + ln t, Q(t, x) = −t,

∂P∂x

(t, x) = 1,∂Q∂t

(t, x) = −1,

1Q(t, x)

(

∂P∂x

(t, x)− ∂Q∂t

(t, x))

=2−t

= f(t) ⇒ µ′(t) =2−t

µ(t) ⇒ ln µ(t) = −2 ln t ⇒

µ(t) =1t2⇒ 1

t2(x(t) + ln t) dt − 1

tdx(t) = 0 ⇒ ∂F

∂t(t, x) =

1t2

(x + ln t) ,∂F∂x

(t, x) = −1t.

Dintre aceste doua relatii se integreaza cea a carei integrala se poate calcula mai usor,

de exemplu integram a doua relatie ⇒ F (t, x) = −xt

+ u(t),∂F∂t

(t, x) =xt2

+ u′(t) ⇒

u′(t) =ln tt2

⇒ u(t) = − ln tt− 1

t+ C1 ⇒

x(t)t

+ln tt

+1t

= C ⇒ x(t, C) = Ct− ln t− 1.

1.1.5 Ecuatia diferentiala de ordin ıntai liniara.

Isaac Newton a rezolvat in 1687 pentru prima data o ecuatie diferentiala de ordin ıntailiniara.

Forma generala. O ecuatie diferentiala de ordin intai liniara este o ecuatie deforma

x′(t) = a(t)x(t) + b(t) (1.18)

unde a, b : I→ R sunt functii continue pe I. Daca b ≡ 0 pe I ecuatia se numeste liniara siomogena, iar in caz contrar liniara si neomogena.

Teorema 1.2 Solutia generala a ecuatiei (1.18) in conditiile a, b : I→ R sunt functii con-tinue pe I, este de forma:

x(t, C) = eR

a(t)dt

C +∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt

(1.19)

Demonstratie.Prezentam doua metode de rezolvare a acestei ecuatii diferentiale.Prima metoda este metoda variatiei constantelor a lui Lagrange.Solutia generala a ecuatiei (1.18) se scrie ca suma dintre solutia generala a ecuatiei omo-

gene, xo(t, C) si o solutie particulara a ecuatiei neomogene, xp(t), deci x(t, C) = xo(t, C)+xp(t). Justificam afirmatai facuta. Daca xo este solutia generala a ecuatiei omogene, eadepinde de o constanta arbitrara C si satisface ecuatia x′0(t, C) = a(t)x0(t, C),∀x ∈ I..De asemenaen avem xp satisface ecuatia x′p(t) = a(t)xp(t) + b(t). Rezulta de aici cax′p(t) + x′o(t, C) = a(t)(xp(t) + xo(t, C)) + b(t).

Etapa I. Determinam solutia generala a ecuatiei omogene. Fie ecuatia omogena x′(t) =a(t)x(t) care este o ecuatie cu variabile separabile. Solutia ei este

xo(t, C) = Ce

∫

a(t)dt, C ∈ R.


Etapa II. Cautam o solutie particulara a ecuatiei neomogene de forma solutiei ecuatiei

omogene, presupunand constanta ca functie necunoscuta, x(t) = u(t)e

∫

a(t)dtunde u este o

functie derivabila. Functia necunoscuta se determina impunand conditia ca functia x(t) =

u(t)e

∫

a(t)dtsa verifice ecuatia neomogena. Rezulta ca u′(t) = e

−

∫

a(t)dtb(t) ⇒ u(t) =

∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt (nu am mentionat constanta deoarece cautam o solutie particulara a

ecuatiei neomogene). Deci xp(t) = e

∫

a(t)dt ∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt.

Verificam ca x(t, C) = e

∫

a(t)dt

C +∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt

este solutia generala a ecuatiei

(1.18). G(t, x, C) = x(t)− e

∫

a(t)dt

C +∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt

.

Derivam G(t, x, C) = 0 in raport cu t. Obtinem

x′(t)− a(t)e

∫

a(t)dt

C +∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt

−e

∫

a(t)dtb(t)e

−

∫

a(t)dt= 0 ⇒

C = (x′(t)− b(t)) a−1(t)e−

∫

a(t)dt−

∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt ⇒

x(t) = e

∫

a(t)dt

(x′(t)− b(t)) a−1(t)e−

∫

a(t)dt−

∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt +

∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt

⇒ x(t)a(t) = x′(t)− b(t) ⇒ x′(t) = a(t)x(t) + b(t).In 1775 Joseph Lagrange (1736-1813) introduce metoda variatiei constantelor.A doua metoda utilizeaza factorul integrant. In ecuatia (1.18) putem considera

P (t, x) = a(t)x + b(t) si Q(t, x) = −1 ⇒

1Q(t, x)

(

∂P∂x

(t, x)− ∂Q∂t

(t, x))

=a(t)−1

, µ′(t) = −a(t)µ(t) ⇒ µ(t, x) = e−

∫

a(t)dt

si obtinem: x′(t)e−

∫

a(t)dt= a(t)x(t)e

−

∫

a(t)dt+ b(t)e

−

∫

a(t)dt⇔

ddt

x(t)e−

∫

a(t)dt

= b(t)e−

∫

a(t)dt⇔


x(t)e−

∫

a(t)dt=

∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt + C ⇔

x(t, C) = e

∫

a(t)dt

C +∫

b(t)e−

∫

a(t)dtdt

.�


x′(t) +t

1− t2x(t) = t + arcsin t, t ∈ [−1, 1] .

Rezolvare.Metoda variatiei constantelor. Determinam solutia generala a ecuatiei omogene

x′(t) +t

1− t2x(t) = 0 ⇔ x′(t)

x(t)= − t

1− t2⇔

∫

x′(t)x(t)

dt = −∫

t1− t2

dt ⇔

ln x(t) =12

ln(1− t2) + ln C ⇔ x0(t) = C√

1− t2.

Cautam o solutie particulara a ecuatiei neomogene de forma xp(t) = u(t)√

1− t2. Im-punem conditia sa verifice ecuatia neomogena.

u′(t)√

1− t2 − u(t)t√

1− t2+

t1− t2

u(t)√

1− t2 = t + arcsin t ⇔

u′(t)√

1− t2 = t + arcsin t ⇔ u′(t) =t + arcsin t√

1− t2⇔

∫

u′(t)dt =∫

t + arcsin t√1− t2

dt ⇔

u(t) = −√

1− t2 +12

arcsin2 t.

Rezulta ca xp(t) =(

−√

1− t2 +12

arcsin2 t.)√

1− t2, iar solutia generala este

x(t, C) = x0(t) + xp(t) = C√

1− t2 − (1− t2) +12

√1− t2 arcsin2 t.

Utilizand a doua metoda, ınmultim ecuatia diferentiala cu e

∫

t1− t2

dt=

1√1− t2

si

obtinem

x′(t)1√

1− t2+

t1− t2

x(t)1√

1− t2= t

1√1− t2

+1√

1− t2arcsin t ⇔

ddt

(

x(t)1√

1− t2

)

= t1√

1− t2+

1√1− t2

arcsin t ⇔

x(t)1√

1− t2=

∫ (

t1√

1− t2+

1√1− t2

arcsin t)

dt ⇔

x(t)1√

1− t2= −

√1− t2 +

12

arcsin2 t + C ⇔

x(t, C) = C√

1− t2 − (1− t2) +12

√1− t2 arcsin2 t.


1.1.6 Ecuatia Bernoulli.

In 1697 Jean Bernoulli a reusit pentru prima data sa rezolve ecuatia care ii poarta numelein cazul particular al coeficientilor constanti.

Forma generala. O ecuatie de forma

x′(t) = a(t)x(t) + b(t)xα(t), (1.20)

unde a, b : I→ R sunt functii continue pe I, neidentic nule pe I si neproportionale pe I, iarα ∈ R \ {0, 1} , poarta denumirea de ecuatie Bernoulli.

Observatia 1.5 Restrictiile impuse asupra datelor a, b si α se explica astfel: daca a ≡ 0atunci (1.20) este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile; daca exista λ ∈ R astfelincat a(t) = λb(t) pentru orice t ∈ I, atunci (1.20) este o ecuatie diferentiala cu variabileseparabile; daca b ≡ 0 atunci (1.20) este o ecuatie diferentiala liniara si omogena; dacaα = 0 atunci (1.20) este o ecuatie diferentiala liniara; daca α = 1 atunci (1.20) este oecuatie diferentiala liniara si omogena.

Teorema 1.3 Daca a, b : I→ R sunt functii continue pe I neidentic nule si neproportionalepe I, iar α ∈ R \ {0, 1} atunci x este solutie pozitiva a ecuatiei (1.20) daca si numai dacafunctia y definita prin

y(t) = x1−α(t) (1.21)

este pentru orice t ∈ I este o solutie pozitiva a ecuatiei liniare si neomogene

y′(t) = (1− α)a(t)y(t) + (1− α)b(t). (1.22)

Demonstratie.Daca x este o solutie pozitiva a ecuatiei (1.20), ımpartim aceasta ecuatie prin xα si

obtinem:

x′(t)x−α(t) = a(t)x1−α(t) + b(t), (1.23)

si prin schimbarea de variabila (1.21) obtinemy′(t)1− α

= a(t)y(t) + b(t) ⇔ y′(t) = (1− α)a(t)y(t) + (1− α)b(t)

care este o ecuatie diferntiala de ordin ıntai liniara neomogena. Analog se arata ca dacay este o solutie pozitiva a ecuatiei (1.22), atunci x dat de (1.21) este o solutie pozitiva aecuatiei (1.20).�

Exercitiul 1.10 Sa se determine solutia generala a ecuatieitx′(t) + x(t) = x2(t) ln t, t > 0, x(t) > 0.

Rezolvare.Impartim ecuatia prin x2(t) si obtinem x′(t)x−2(t) + t−1x−1(t) = t−1 ln t, notam y(t) =

x−1(t) si obtinem y′(t) = −1ty(t) +

1t

ln t care este o ecuatie liniara. Solutia este y (t) =1t (t ln t− t + C) ⇒ x−1(t, C) = 1

t (t ln t− t + C) .


1.1.7 Ecuatia Riccati.

In 1715 Jacobo Riccati (1676-1754) a initiat un studiu sistematic al ecuatiei care-i poartanumele. In, 1760 Leonard Euler (1707-1783) a observat ca, daca se cunoaste o solutieparticulara a ecuatiei Riccati, atunci aceasta se pote reduce printr-o simpla substitutie lao ecuatie liniara. Prin studiu sistematic al acestui tip de ecuatie, Euler a pus bazele teorieiecuatiilor diferntiale.

Forma generala. O ecuatie de forma

x′(t) = a(t)x(t) + b(t)x2(t) + c(t), (1.24)

unde a, b, c : I→ R sunt functii continue cu b si c neidentic nule pe I poarta denumirea deecuatie Riccati.

Observatia 1.6 Din definitie s-au exclus cazurile b ≡ 0 cand ecuatia (1.24) este liniara sic ≡ 0 cand ecuatia (1.24) este o ecuatie Bernoulli cu α = 2.

Teorema 1.4 Fie a, b, c : I→ R sunt functii continue cu b si c neidentic nule pe I. Dacax1 : J→ R este o solutie a ecuatiei (1.24), atunci solutia generala a ecuatiei (1.24) pe Jeste data de

x(t, C) = y(t, C) + x1(t)unde y este solutia generala a ecuatiei Bernoulli

y′(t) = (a(t) + 2x1(t)) y(t) + b(t)y2(t).

Demonstratie.Prin calcul direct obtinem x(t) = y(t) + x1(t) ⇒y′(t) = y′(t) + x′1(t) ⇒

y′(t) + x′1(t) = a(t) (y(t) + x1(t)) + b(t) (y2(t) + 2y(t)x1(t) + x21(t)) + c(t) ⇒

y′(t) = (a(t) + 2x1(t)) y(t) + b(t)y2(t) care este o ecuatie Bernoulli cu α = 2.�


x′(t) = x2(t)− 2t2

, t > 0.

Rezolvare.Observam ca x1(t) =

1t

este o solutie particulara a ecuatiei date.

Fie x(t) = y(t)+1t⇒ x′(t) = y′(t)− 1

t2⇒ y′(t)− 1

t2= y2(t)+2y(t)

1t+

1t2− 2

t2⇒ y′(t) =

2y(t)1t

+y2(t) ⇒ y′(t)y−2(t) = 2y−1(t)1t

+1, u(t) = y−1(t), u′(t) = −y′(t)y−2(t) ⇒ −u′(t) =

2u(t)1t+1 ⇒ u′(t) = −2u(t)

1t−1. Inmultim ecuatia cu e2 ln t = t2 ⇒ u′(t)t2+2u(t)t = −t2 ⇒

ddx

(u(t)t2) = −t2 ⇒ u(t)t2 = −t3

3+ C ⇒ u(t, C) = − t

3+ Ct−2 ⇒ y(t, C) =

33Ct−2 − t

⇒

x(t, C) =3

3Ct−2 − t+

1t.


1.1.8 Ecuatia Lagrange.

Forma generala. O ecuatie diferentiala de forma

x(t) = tϕ(x′(t)) + ψ(x′(t)) (1.25)

in care ϕ, ψ : R → R, functii de clasa C1 pe R, ϕ(r) 6= r,∀r ∈ R, se numeste ecuatieLagrange. (este o forma nenormala).

Acest tip de ecuatie se poate integra folosind metoda parametrului. Ea consta indeterminarea solutiilor de clasa C2 nu sub forma explicita x = x(t) ci sub forma paramertica

{

t = t(p)x = x(p) , p ∈ R.

Rezolvarea ecuatiei Lagrange. Fie x o solutie de clasa C2 a ecuatiei Lagrange. Derivamecuatia (1.25) membru cu membru si obtinem:

x′(t) = ϕ(x′(t)) + tϕ′(x′(t))x′′(t) + ψ′(x′(t))x′′(t).Notand x′(t) = p(t) avem x′′(t) = p′(t) si rezultap(t) = ϕ(p(t)) + tϕ′(p(t))p′(t) + ψ′(p(t))p′(t) ⇔

dpdt

(t) = − ϕ(p(t))− p(t)tϕ′(p(t)) + ψ′(p(t))

. (1.26)

Presupunand ca p este inversabila si notand inversa ei cu t = t(p), ecuatia (1.26) se maiscrie sub forma

dtdp

(p) = − ϕ′(p)ϕ(p)− p

t(p)− ψ′(p)ϕ(p)− p

. (1.27)

Ecuatia (1.27) este o ecuatie diferentiala de ordin intai liniara si poate fi integrata prinuna din metodele prezentate in Teorema 1.2. Vom gasi t = θ(p, C), p ∈ R si C o constantareala. Folosim ecuatia (1.25) deducem:

{

t = θ(p, C)x = θ(p, C)ϕ(p) + ψ(p) , p ∈ R. (1.28)

Observatia 1.7 In cazul in care in (1.28) putem elimina parametrul p, obtinem solutiagenerala sub forma implicita sau chiar sub forma explicita.


x(t) =12tx′(t) + (x′(t))2.

Rezolvare.Derivam ecuatia Lagrange in raport cu t si obtinem notand x′(t) = p(t):

x′(t) =12x′(t) +

12tx′′(t) + 2x′(t)x′′(t) ⇔

p(t) =12p(t) +

12tp′(t) + 2p(t)p′(t).


Facem schimbarea de functie p(t) ←→ t(p) si obtinem

t′(p) =1pt(p) + 4p

∣

∣ · 1p⇒

ddp

∣

∣

∣

∣

(

t(p)1p

)

= 4 ⇒ t(p)1p

= 4p + C ⇒ t(p) = 4p2 + Cp ⇒{

t(p) = 4p2 + Cp

x(p) =12(4p2 + Cp)p + p2 .

Observam ca ecuatia admite si solutia x(t) = 0.

1.1.9 Ecuatia Clairaut.

Forma generala. O ecuatie diferentiala de forma

x(t) = tx′(t) + ψ(x′(t)) (1.29)

in care ψ : R→ R, functie de clasa C1 pe R se numeste ecuatie Clairaut.Ecuatia Clairaut se rezolva tot prin metoda parametrului.Rezolvarea ecuatiei Clairaut. Fie x o solutie de clasa C2 pe R a ecuatiei (1.29). Derivand

ecuatia (1.29) obtinem:x′(t) = x′(t) + tx′′(t) + ψ′(x′(t))x′′(t) ⇔ x′′(t) (t + ψ′(x′(t))) = 0.Notand p(t) = x′(t), ecuatia de mai sus este echivalenta cup′(t) (t + ψ′(p(t))) = 0.Daca p′(t) = 0 rezulta x′(t) = c cu c ∈ R, si inlocuind in ecuatia (1.29) obtinem

x(t) = ct + ψ(t) (1.30)

numita solutia generala a ecuatiei Clairaut care, din punct de vedere geometric,reprezinta o familie de drepte.

Daca t + ψ′(p(t)) = 0 deducem{

t = −ψ′(p)x = −pψ′(p) + ψ(p) , p ∈ R. (1.31)

sistem care defineste parametric o curba plana numita solutia singulara a ecuatieiClairaut si care nu este altceva decat infasuratoarea familiei de drepte definite de (1.31)(infasuratoarea unei familii de drepte este o curba cu proprietatea ca familia de dreptecoincide cu familia tuturor tangentelor la curba).�

Exercitiul 1.13 Sa se determine solutia generala a ecuatieix(t) = tx′(t)− (x′(t))2.

Rezolvare.Derivam ecuatia Clairaut in raport cu t si obtinem notand x′(t) = p(t):x′(t) = x′(t) + tx′′(t)− 2x′(t)x′′(t) ⇔ x′′(t) (t− 2x′(t)) = 0 ⇔ p′(t) (t− 2p(t)) = 0 ⇒


p′(t) = 0 ⇒ x(t) = ct + d ⇒ ct + d = ct − c2 ⇒ d = −c2 ⇒ x(t) = ct − c2 care reprezintasolutia generala a ecuatiei.

t− 2p = 0 ⇒ t = 2p ⇒{

t = 2px = p2

care reprezinta solutia singulara a ecuatiei Clairaut. Ecuatia implicita a curbei este x(t) =t2

4. Aceasta reprezinta o parabola. Tangentele la parabola duse prin punctul (t0, x0) de pe

parabola au ecuatia x + x0 =tt02

. Dar x0 =t204⇒ x =

t02

t − t204

care reprezinta ecuatia

x(t) = ct− c2 cu c =t02

.

1.2 Ecuatii diferentiale de ordin superior.

Vom prezenta cateva clase de ecuatii diferentiale de ordin n care, desi nu pot fi rezolvateprin metode elementare, pot fi reduse la ecuatii de ordin strict mai mic decat n.

Definitia 1.6 O familie de functii {x(·, c) : I→ R, c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn} definite im-plicit de o relatie de forma

G(t, x, c1, c2, . . . , cn) = 0 (1.32)

ın care G : Dom(G) ⊂ Rn+2 → R, este o functie de clasa Cn ın raport cu primele douavariabile, cu proprietatea ca prin eliminarea celor n constante c1, c2, . . . , cn din sistemul

G(t, x(t), c1, c2, . . . , cn) = 0ddt

[G(t, x(t), c1, c2, . . . , cn)] = 0...dn

dtn[G(t, x(t), c1, c2, . . . , cn)] = 0

si ınlocuirea sa ın (1.32) se obtine (1.2), poarta denumirea de integrala ecuatiei (1.1) sausolutia generala a ecuatiei (1.2).

I. Ecuatii de formax(n)(t) = f(t), n ≥ 2,

unde f : I → R o functie continua. Aceste ecuatii pot fi integrate complet, solutia lorgenerala exprimandu-se prin n integrari succesive. Obtinem

x(t, c1, c2, . . . , cn) =∫ (∫ (

. . .∫

f(t)dt . . .)

dt)

dt+ c1tn−1 + c2tn−2 + · · ·+ cn−1t+ cn,

(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn

Exemplul 1.2 Sa se determine solutia generala a ecuatieix(3)(t) = sin t.

1.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR. 19

Rezolvare.

x′′(t) = − cos t + c1 ⇒ x′(t) = − sin t + c1t + c2 ⇒ x(t) = cos t + c1t2

2+ c2t + c3 ⇒

x(t, c1, c2, c3) = cos t + c1t2

2+ c2t + c3.

II. Fie ecuatia de ordin n incompleta

F(

t, x(k), x(k+1), . . . , x(n)) = 0 (1.33)

unde 0 < k < n si F : Dom(F ) ⊂ Rn−k+2 → R. Substitutia y(t) = x(k)(t) reduce aceastaecuatie diferentiala la una de ordinul n− k cu functia necunoscuta y

F(

t, y, y′, . . . , y(n−k)

)

= 0. (1.34)

Sa presupunem ca putem determina solutia generala a ecuatiei (1.34), y = y(t, c1, . . . cn−k).In aceste conditii, solutia generala a ecuatiei (1.33), x = x(t, c1, . . . cn) se obtine integrandde k ori identitatea x(k) = y.

Exemplul 1.3 Sa se determine solutia generala a ecuatiei

x′′′ = −1tx′′ + 3t, t > 0.

Rezolvare.Substitutia x′′ = y conduce la ecuatia diferentiala de ordin ıntai liniara

y′ = −1ty + 3t

a carei solutie generala se obtine ınmultind ecuatia cu eR dt

t = t ⇒ y′t = −y + 3t2 ⇒

(yt)′ = 3t2 ⇒ yt = t3 + c1 ⇒ y(t) = t2 +c1

t⇒ x′′(t) = t2 +

c1

t⇒ x′(t) =

t3

3+ c1 ln t + c2 ⇒

x(t) =t4

12+ c1(t ln t− t) + c2t + c3 ⇒ x(t, c1, c2, c3) =

t4

12+ c1(t ln t− t) + c2t + c3.

III. O alta clasa se ecuatii diferentiale care pot fi reduse la ecuatii de ordin mai micdecat cel initial este clasa ecuatiilor de ordin n autonome.

Definitia 1.7 O ecuatie de forma (1.3) sau (1.2) ın care functia f respectiv F nu depindeın mod explicit de variabila independenta t se numeste ecuatie autonoma.

Fie ecuatia

F (x, x′, . . . , x(n)) = 0, (1.35)

unde F : Dom(F ) ⊂ Rn+1 → R. Notam cu p = x′ si-l exprimam pe p ın functie de x.Remarcam ca


x′′ =dpdt

=dpdx

dxdt

=dpdx

p

x′′′ =ddt

(

dpdx

p)

=ddx

(

dpdx

p)

dxdt

=d2pdx2p2 +

(

dpdx

)2

p

· · ·

In acest mod, pentru fiecare k = 1, 2, . . . , n, x(k) se exprima ın functie de p,dpdx

, . . . ,dk−1pdxk−1 .

Inlocuind ın (1.35) derivatele functiei x ın functie de p,dpdx

, . . . ,dn−1pdxn−1 obtinem o ecuatie

diferentiala de ordinul n− 1.

Exemplul 1.4 Ecuatia diferentiala de ordinul al doileax′′ +

gl

sin x = 0cunoascuta sub numele de ecuatia pendulului, se reduce prin metoda de mai sus la

ecuatia de ordinul ıntai (cu variabil separabile)dpdx

p =gl

sin x

avand drept functie necunoscuta p = p(x).

IV. Ultima clasa de ecuatii diferentiale pe care o prezentam este cea a ecuatiilor deforma

F (t, x, x′, . . . , x(n)) = 0, (1.36)

unde functia F : Dom(F ) ⊂ Rn+1 → R este omogena in raport cu variabilele x, x′, . . . , x(n).Ecuatiilor de acest tip li se poate reduce ordinul cu o unitate prin schimbarea de functiex′(t) = x(t)y(t). Efectuand schimbarea de functie mentionata, obtinem:

x′′(t) = x′(t)y(t) + x(t)y′(t) = x(t)y2(t) + x(t)y′(t) = x(t) (y2(t) + y′(t))x′′′(t) = (x(t) (y2(t) + y′(t)))′ = x′(t) (y2(t) + y′(t)) + x(t) (2y(t)y′(t) + y′′(t)) =

x(t) (y3(t) + 3y(t)y′(t) + y′′(t)) .Ilocuind ın ecuatia (1.36) obtinem o ecuatie de ordin n− 1 ın functia necunoscuta y(t).

Exemplul 1.5 Sa se determine solutia generala a ecuatiei3(x′)2 − 4xx′′ = x2.

Rezolvare.Ecuatia este omogena de grad doi. Efectuam schimbarea de functie x′(t) = x(t)y(t) si

ecuatia devine3 (x(t)y(t))2 − 4x2(t) (y2(t) + y′(t)) = x2(t) ⇒ 3y2(t)− 4 (y2(t) + y′(t)) = 1 ⇒ −y2(t)−

4y′(t) = 1 ⇒ y′(t) = −14(y2(t) + 1)

care este o ecuatie cu variabile separabile. Rezolvam ecuatia.y′(t)

y2(t) + 1= −1

4⇒

∫

y′(t)y2(t) + 1

dt = −∫

14dt ⇒ arctg y(t) = −1

4t + c ⇒ y(t, c) =

tg(

−14t + c

)

.

1.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR. 21

Inlocuind y(t) obtinem o ecuatie cu variabile separabile

x′(t) = x(t) tg(

−14t + c

)

⇒ x′(t)x(t)

= tg(

−14t + c

)

⇒ t ∈∫

x′(t)x(t)

dt =∫

tg(

−14t + c

)

dt ⇒

ln x(t) = 4 ln(

cos(

−14t + c

))

+ ln c′ ⇒ x(t, c, c′) = c′ cos4

(

−14t + c

)

.

1.2.1 Modele matematice descrise de ecuatii diferentiale

Dezintegrarea unei substante radioactive. In anul 1902, Ernest Rutherford (1871-1937) si Frederick Soddy (1877-1957) au formulat legea dezintegrarii atomilor radioactivicare afirma ca viteza instantanee de dezintegrare a unui element radioactiv este proportionalacu numarul de atomi radioactivi existenti la momentul considerat si nu depinde de alti fac-tori externi. Deci daca notam cu x(t) numarul de atomi dezintegrati la momentul t sipresupunand ca x este o functie de clasa C1 pe [0,∞) , conform legii enuntate anterior,deducem ca

−x′ = ax,∀t ∈ [0,∞) , unde a > 0 este o constanta specifica elementului respectiv,numita constanta de dezintegrare si care poate fi determinata experimental cu o preciziedestul de buna.

Solutia generala este data dex(t) = Ce−at = x(0)e−at

pentru t ≥ 0, C ∈ R+. Subliniem ca acest model simplu se bazeaza pe metoda de datare cuizotopul de carbon 14 radioactiv. Alegerea izotopului de carbon 14 radioactiv s-a bazat pesimpla observatie ca toate substantele organice il contin. Metoda consta in determinareala un moment dat T > 0 a numarului de atomi x(T ) a acestui izotop dintr-un obiect deorigine organica. Din cele precizate anterior rezulta ca x(T ) = x(0)e−aT unde x(0) > 0 estenumarul de atomi de izotop de carbon 14 la momentul initial, care este practic cunoscuta. Inrelatia de mai sus atat x(0) cat si x(T ) sunt cunoscute asa incat putem determina vechimeaobiectului reprezentata prin T.

Un model demografic. Primul model matematic al cresterii populatiei a fost propusin 1798 de catre Thomas Robert Malthus (1766-1834). Notand cu x(t) un numar de indivizila momentul t si cu y(t) cantitatea de resurse utilizate pentru supravietuire, dupa Malthus,viteza instantanee de crestere a resurselor este constanta. Avem atunci un model matematicexprmat prin doua ecuatii diferentiale de forma

{

x′(t) = Cx(t)z′(t) = k , C, k ∈ R+.

Solutia generala este data de{

x(t, ξ) = ξeCt

y(t, η) = η + kt ,

unde t ≥ 0, ξ si η reprezinta numarul de indivizi si respectiv cantitatea de resurse la momen-tul t = 0. Se constata ca acest model descrie relativ bine fenomenul real numai pe intervalefoarte scurte de timp. Din acest motiv au fost propuse alte modele mai rafinate si in acelasitimp mai realiste care pornesc de la observatia ca numarul de indivizi la un moment dat nupoate depasi un anumit prag critic care depinde de resursele din acel moment. Astfel, daca


notam cu h > 0 cantitatea de hrana necesara unui individ pentru a supravietui momentuluit, putem presupune ca x si y verifica un sistem de forma

{

x′(t) = Cx(t)(

y(t)h − x(t)

)

y′(t) = k,care exprima o legatura mai fireasca intre evolutia resurselor si cresterea sau descrestereapopulatiei. In unele modele, precum cel propus de Verhulst in 1845, pentru simplitate seconsidera k = 0, ceea ce exprima matematic faptul ca resursele sunt constante in timp(y(t) = η, ∀t ≥ 0), ajungandu-se la o ecuatie diferentiala de forma

x′(t) = Cx(t)(b− x(t))numita ecuatia logistica si ea este o ecuatie cu variabile separabile.

Date post:	05-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

Capitolul 1 Ecuat¸ii diferent¸iale - profs.info.uaic.rofliacob/An2/2013-2014/Resurse MCM/Pentru...

Documents