Capitolul 1 depi

7/21/2019 Capitolul 1 depi

http://slidepdf.com/reader/full/capitolul-1-depi 1/57



Teoria Transmisiunii Informaţiei 2: Semnale aleatoare

2

1.1 Definirea proceselor aleatoare

Def LudemanUn proces aleator ( , ) X t , sau prescurtat X (t ), este o funcţie de două variabile, t şi ξ, unde t estevariabila timp, iar ξ ia valori în spaţiul eşantioanelor (vezi figura 1.1).

Dacă ξ = ξi, atunci ( , )i X t este o funcţie de timp particulară, denumită traiectorie, realizare

particulară sau funcţie eşantion a p.a.1 şi este notată cu ( )i x t .

Pentru un moment de timp particular,it t , ( , ) ( )i i i X t X t X este o variabilă aleatoare de

alfabeti X .

Procesul aleator poate fi definit de:ansamblul realizărilor particulare reprezentate de funcţiile de timp ( )i x t :

1 1 1 2( ) ( , ), ( , ), , ( , ), ( ), ( ),..., ( ),n n X t X t X t X t x t x t x t ; (1.1)

secvenţa de v.a.2 ( , )i X t , definite la momente de observare,it , poate defini p.a.:

1 2 1 2 1 2( ) ( , ), ( , ), , ( , ), ( ), ( ), , ( ), , , , ,n n n X t X t X t X t X t X t X t X X X . (1.2)

1 Vom prescurta expresia “proces aleator” prin “p.a.”. 2 Vom prescurta expresia “variabilă aleatoare” prin “v.a.”.

Figura 1.1 Ilustrarea unui p.a. ca un ansamblu de traiectorii sau ca un ansamblu de v.a..

V.a.ξi

ξ1

ξ2

.

.

.

ξn

1(t )

2(t )

n(t )

t 1 t 2

t

t

t

1

1

1

-1

-1

-1

V.a. X (t 1)= X 1

V.a. X (t 2)= X 2

P.a. X (t )= X (t ,ξ)



Capitolul 1. Procese aleatoare

3

1.2 Clasificarea proceselor aleatoare

După caracterul continuu sau discret al domeniului de definiţie al variabilei timp t , un proces( , ) X t poate aparţine uneia din următoarele categorii:

proces aleator (p.a.), dacă t aparţine unui domeniu continuu de valori,it .

serie aleatoare (s.a.3), dacă t aparţine unui domeniu discret de valori: , 2 , , ,T T nT ,,n T .

După alfabetuli X al v.a.

i X , obţinută prin observarea procesului la momentulit , avem:

proces aleator continuu (p.a.c.) sau serie aleatoare continuă (s.a.c.), dacă alfabetul i X

este infinit, |i| X ;

proces aleator discret (p.a.d.) sau serie aleatoare discretă (s.a.d.), dacă alfabetuli X este

finit, |i| X ;

Tabel 1.1 Clasificarea proceselor aleatoare.

Timp ProcesAlfabet

i X Notaţie

continuu discret

continuuProces aleator

(P.a.)P.a. continuu P.a. discret

( ) ( , ) ,

,

i i

i

X t X t X

t t

discretSerie aleatoare

(S.a.)S.a. continuă S.a. discretă

[ ] ( , ) ,

,

n X n X nT X

n T

3 Vom prescurta expresia “serie aleatoare” prin “s.a.”.

t

xk (t )

n

xk [n]

0 1 2 3 4 5 6 7 8n

xk [n]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

a) p.a. continuu

t

xk (t )

b) p.a. discret

c) s.a. continuă d) s.a. discretă

Figura 1.2 Ilustrarea unei realizări particulare pentru un: a) p.a. continuu, b) p.a discret,c) s.a. continuă, d) s.a. discretă.




4

Staţionaritate, secvenţă i.d. , proces i.d.

Dacă v.a. ,i X i , au acelaşi alfabet şi aceeaşi distribuţie ( , ) ( )i i p x t p x care nu depinde deit ,

atunci ( ) p x reprezintă f.d.p. de ordinul 1 a p.a. X (t ). Altfel, procesul este caracterizat de o

familie de f.d.p. de ordinul 1, 1 21 2( ), ( ), , ( ),i X X X i p x p x p x .

Legea de distribuţie a unei v.a. din secvenţa ce descrie şirul este aceeaşi indiferent de momentulde timp.

După valorile v.a.i X , un p.a. ( ) X t , caracterizat de o secvenţă de v.a. i.d., numit proces i.d., va

fi descris de:un şir aleator dacă valorile aleatoare ale şirului sunt reale:

1 2( ) ( , , , , )i X t X X X ,

staţionaritatea şirului implicând: , ( ) ( ),

ii X i X X p x p x x ,cu proprietăţile:

( ) 0, X p x x ,

( ) 1 X

x

p x dx X

.

un lanţ aleator dacă v.a. sunt discrete şi valorile acestora aparţin unui alfabet finiti X ,

descris de o mulţime numărabilă, staţionaritatea lanţului implicând: , ( ) ( ) , , 1,2, ,|

ii X i i i k i X p x P X x p x k X X |,

cu proprietăţile: 0, 1,2, ,|k p k X|,

1k

k

p .

Între v.a.1 2, , , ,i X X X poate să existe sau nu o dependenţă statistică. (Cap 2)

1.3 Caracterizarea statistică a proceselor aleatoare

Procesul reprezentat de secvenţa indexată de v.a. 1 2, , , ,i X X X este statistic specificat de

funcţia de repartiţie n -dimensională:

1 2

Notam

1 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , , , , ,n X X X n n n n F x x x P X x X x X x F x x x n, (1.3)

şi de funcţia densitate de probabilitate (f.d.p.) n-dimensională pentru un p.a.c. sau s.a.c.,respectiv de funcţia de masă a probabilităţilor (f.m.p.) n-dimensională pentru un p.a.d. saus.a.d., dacă aceasta există:

1 2

1 2

Notam1 2

1 2 1 2

1 2

( , , , )( , , , ) ( , , , )n

n

n

X X X n

X X X n n

n

F x x x p x x x p x x x

x x x

. (1.4)




5

Această reprezentare a p.a. este similară cu cea a unui vector aleator de componente ( )i i X t X

şi de dimensiune infinită, cu condiţia esenţială de ordonare în timp ( 1 2 it t t ) a

componentelor vectorului.

Valorile medii statistice ale p.a. X (t ), numite şi valori medii pe ansamblu, se calculează peansamblul v.a.

1 2, , , ,i X X X ce rezultă din observarea p.a. la moment

e de timp alese arbitrar

1 2, , , , ,i it t t t .

Caracterizarea procesului aleator în termenii distribuţiei de ordinul 1

Dacă alfabetuli X al v.a.

i X este:

continuu, atuncii X este v.a. continuă descrisă de f.d.p. p( x);

discret, atuncii X este v.a. discretă, descrisă de f.m.p. ( ) ( )

k k

k

p x p x x , unde pk sunt

probabilităţile elementare ale realizărilor particulare ale v.a..

În cele două cazuri de mai sus, operatorul de mediere statistică în termenii distribuţiei de

ordinul 1, se notează sau E şi este descris de relaţiile:

( ) E p x dx , (1.5)

k

k

E p . (1.6)

Operatorul de mediere statistică este un operator linear: [ ] [ ] [ ] X Y E X Y X Y E X E Y ,

[ ] [ ]aX E aX aX aE X .

Pentru un moment de timp fixatit , se pot determina valorile medii statistice ale p.a. X (t ), dacă se

cunoaşte f.d.p. de ordinul 1, ( ) ( , )i X i i i

p x p x t ce caracterizează v.a. ( )i i X t X .

Valoarea medie statistică (momentul de ordinul 1) a v.a.i X :

1,

( ) X i i i

t X E X . (1.7)

Valoarea pătratică medie (momentul de ordinul 2) a v.a.i X :

2 2

2, ( ) X i i it X E X . (1.8)

Dispersia sau varianţa (momentul centrat de ordinul 2) v.a. i X :

2 2c 2 2

2,

2 22

2

2, 1,

( ) ( ) Var

( ) ( ).

X i X i i i i i i

i i i i

X i X i

t t X X X X X

E X E X E X E X

t t

(1.9)




6

Caracterizarea procesului aleator în termenii distribuţiei de ordinul 2

Un p.a. este o secvenţă indexată de v.a.; în consecinţă, poate exista o dependenţă arbitrară întreoricare două v.a.

1 1( ) X t X şi2 2( ) X t X , definite la două momente de timp t 1 şi t 2, ceea ce

justifică necesitatea definirii următoarelor valori medii statistice, pentru a căror evaluare estenecesară cunoaşterea f.d.p. reunită de ordinul 2,

1 2 1 2 1 2

( , ) ( , ) X X

p x x p x x .

Operatorul de mediere statistică în termenii distribuţiei de ordinul 2, se notează sau E

şi este descris de relaţiile: pentru p.a. continuu:

1 2 1 2( , ) E p x x dx dx , (1.10)

pentru p.a. discret:

1 2

1 2

k k

k k

E p p . (1.11)

unde1k

p şi2k

p sunt probabilităţile elementare ale realizărilor particulare ale v.a. 1

X şi2 X .

Astfel, pentru cele două v.a.1

X şi2 X , vom defini:

Funcţia de autocorelaţie:

1 2 1 2 1 2( , ) X R t t X X E X X . (1.12)

Funcţia de autocovarianţă:

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1, 1 1, 2

( , )

( , ) ( ) ( ).

X

X X X

C t t X X X X E X E X X E X

R t t t t

(1.13)

Coeficientul de corelaţie (funcţia de autocovarianţă normalizată):

Extinzând intervalul de timp dintre v.a. din secvenţa 1 2, , , n X X X ce reprezintă procesul

X (t ), de la 12 2 1t t la 1 1n nt t ,

Extinzând intervalul de timp dintre momentele de observare 1 2,t t la , , , 1,2, ,

i jt t i j n ,

putem defini o matrice de funcţii de autocorelaţie ale v.a. ,i j X X , rezultate prin observarea

p.a. ( ) X t .

Matricea de autocorelaţie a p.a. X (t ):

1 1 1 2 11 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

1 21 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

n X X X n

X X X n n

X

X n X n X n nn n n n

X X X X X X R t t R t t R t t

R t t R t t R t t X X X X X X

R t t R t t R t t X X X X X X

R .




7

Matricea de autocovarianţă a p.a. X (t ):

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1 1 1, 1 1, 1 1 2 1, 1 1, 2 1 1, 1 1,

2 1 1,

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) (

X X X n

X X X n

X

X n X n X n n

X X X X X X X n X X n

X X

C t t C t t C t t

C t t C t t C t t

C t t C t t C t t

R t t t t R t t t t R t t t t

R t t t

C

2 1, 1 2 2 1, 2 1, 2 2 1, 2 1,

1 1, 1, 1 2 1, 1, 2 1, 1,

) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

X X X X X n X X n

X n X n X X n X n X X n n X n X n

t R t t t t R t t t t

R t t t t R t t t t R t t t t

T

1, 1, X X X R .

unde

1, X 1, 1 1, 2 1, 1 2( ), ( ), , ( ) , , ,

X X X n nt t t X X X .

Caracterizarea procesului aleator în termenii distribuţiei de ordinul n

Valorile medii bazate pe cunoaşterea f.d.p. de ordinul 1 şi 2 asigură o cunoaştere statistică parţială a p.a.

Dacă vrem să realizăm caracterizarea, din punct de vedere statistic, al întregului p.a. X (t ), trebuiesă precizăm valorile medii pe ansamblul secvenţei indexate de v.a. 1 2, , , n X X X , funcţie de

f.d.p. n-dimensională în cazul unui p.a.c., respectiv f.m.p. n-dimensională în cazul unui p.a.d.

Secvenţe aleatoare i.i.d.

Dacă p.a. este reprezentat de o secvenţă de v.a. independent distribuite - i.d. (v.a.i X sunt mutual

independente pentru orice it ), f.d.p. reunită de ordinul n poate fi exprimată în termenii f.d.p. de

ordinul 1:

1 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( )n n p x x x p x p x p x .

Dacă v.a.i X , independent distribuite, au acelaşi alfabet X şi aceeaşi f.d.p. ( ) p x , fiind identice -

i.i.d., atunci:

1 2( , , , ) ( )n

n p x x x p x .

Caracterizarea procesului aleator în termenii distribuţiei de ordinul n Valorile medii bazate pe cunoaşterea f.d.p. de ordinul 1 şi 2 asigură o cunoaştere statistică

parţială a p.a. Dacă vrem să realizăm caracterizarea, din punct de vedere statistic, al întregului p.a. X (t ), trebuie să precizăm valorile medii pe ansamblul secvenţei indexate de v.a.

1 2, , ,

n X X X , f uncţie de f.d.p. n-dimensională în cazul unui p.a.c., respectiv f.m.p. n-

dimensională în cazul unui p.a.d.secvenţă i.d. , proces i.d.Dacă v.a. ,i X i , au acelaşi alfabet şi aceeaşi distribuţie ( , ) ( )i i p x t p x care nu depinde de

it ,

atunci ( ) p x reprezintă f.d.p. de ordinul 1 a p.a. X (t ). Altfel, procesul este caracterizat de o

familie de f.d.p. de ordinul 1, 1 21 2( ), ( ), , ( ),i X X X i p x p x p x .Legea de distribuţie a unei v.a.din secvenţa ce descrie şirul este aceeaşi indiferent de momentul de timp.




8

După valorile v.a.i X , un p.a. ( ) X t , caracterizat de o secvenţă de v.a. i.d., numit proces i.d., va

fi descris de:un şir aleator dacă valorile aleatoare ale şirului sunt reale:

1 2( ) ( , , , , )i X t X X X ,staţionaritatea şirului implicând: , ( ) ( ),ii X i X X p x p x x ,

cu proprietăţile: ( ) 0, X p x x , ( ) 1 X

x

p x dx

X

.

un lanţ aleator dacă v.a. sunt discrete şi valorile acestora aparţin unui alfabet finiti X ,

descris de o mulţime numărabilă, staţionaritatea lanţului implicând: , ( ) ( ) , , 1,2, ,|

ii X i i i k i X p x P X x p x k X X |,

cu proprietăţile: 0, 1,2, ,|k p k X|, 1k

k

p .

Între v.a.1 2, , , ,i X X X poate să existe sau nu o dependenţă statistică. (Cap 2)

Secvenţe aleatoare i.i.d. Dacă p.a. este reprezentat de o secvenţă de v.a. independent distribuite - i.d. (v.a.

i X sunt mutual

independente pentru oriceit ), f.d.p. reunită de ordinul n poate fi exprimată în termenii f.d.p. de

ordinul1:

1 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( )n n p x x x p x p x p x .

Dacă v.a.i X , independent distribuite, au acelaşi alfabet X şi aceeaşi f.d.p. ( ) p x , fiind identice -

i.i.d., atunci:

1.4 Caracterizarea statistică a seriilor aleatoare

Dacă p.a. X (t ) este observat la momente de timp discrete, arbitrare, , 1,2,in iT i , şi

T , spunem că avem o serie aleatoare (s.a.) X [n], de perioadă T , ce este descrisă de

ansamblul v.a. ce rezultă la aceste momente de timp:

1 2

1 2

[ ] , , , , , , ,

, , 2 , , , , ,

( ), (2 ), , ( ),

, , , , .

i

i

X n X n X n X n

X T X T X iT

X T X T X iT

X X X

(1.14)

Valorile medii statistice sunt obţinute în urma aplicării operatorului de mediere statistică asuprav.a.

i X , observată la momentul de timp fixatin iT . Pentru simplificare, vom presupune că

1T , momentele discrete de timp la care se face observarea procesului fiind in i .

În cazul unei s.a. continuă, operatorul de mediere statistică este descris de Ecuaţia Error! Reference source not found., iar în cazul unei s.a. discrete, de EcuaţiaError! Reference source not found..

Caracterizarea seriei aleatoare în termenii distribuţiei de ordinul 1




9

Pentru un moment de timp fixatin , se pot determina valorile medii statistice ce caracterizează

s.a. [ ] X n , dacă se cunoaşte f.d.p. de ordinul 1, ( , ) ( , )i X i i

p x n p x n ce caracterizează v.a.

( ) ( )i i X n X iT X . Dacă v.a. , 1, 2,i X i , au acelaşi alfabet şi aceeaşi distribuţie

( , ) ( )i p x n p x , care nu depinde dein , atunci ( ) p x reprezintă distribuţia de ordinul 1 a s.a.

[ ] X n .

Valoarea medie (momentul de ordinul 1) a v.a.i X :

1, [ ] X i i in X E X . (1.15)

Valoarea pătratică medie (momentul de ordinul 2) a v.a.i X :

2 2

2, [ ] X i i in X E X . (1.16)

Dispersia sau varianţa (momentul centrat de ordinul 2) v.a.i X :

2 2c 2 2

2,

2 2 2

2

2, 1,

[ ] [ ] Var

[ ] [ ].

X i X i i i i i i

i i i i

X i X i

n n X X X X X

E X E X E X E X

n n

(1.17)

Caracterizarea seriei aleatoare în termenii distribuţiei de ordinul 2

Dacă se cunoaşte f.d.p. reunită de ordinul 2,1 2

( , ) p x x , a v.a.1 1

( ) X n X şi2 2

( ) X n X

observate la momentele de timp1n T şi

2 2n T , se pot calcula următoarele valori medii

statistice pentru s.a. [ ] X n :


1 2 1 2 1 2[ , ] X R n n X X E X X . (1.18)

Funcţia de autocovarianţă:

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1, 1 1, 2

[ , ]

[ , ] [ ] [ ].

X

X X X

C n n X X X X X X X X

E X E X X E X E X X E X E X

R n n n n

. (1.19)

Observaţie: Dacă într-o situaţie practică avem un singur p.a. X (t ), indicele X din relaţiile anterioare poate fi omis, deoarece se subînţelege că se vorbeşte numai despre acel p.a.

Şi pentru o s.a. continuă sau discretă, vom defini: Matricea de autocorelaţie a s.a. X [n]:




10

1 1 1 2 11 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

1 21 2

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

n X X X n

X X X n n

X

X n X n X n nn n n n

X X X X X X R n n R n n R n n

R n n R n n R n n X X X X X X

R n n R n n R n n X X X X X X

R .

Matricea de autocovarianţă a s.a. X [n]:

1 1 1 2 1

T2 1 2 2 2

1, 1,

1 2

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

X X X n

X X X n

X X X X

X n X n X n n

C n n C n n C n n

C n n C n n C n n

C n n C n n C n n

C R .

unde:

1, X 1, 1 1, 2 1,[ ], [ ], , [ ]

X X X nn n n .

Caracterizarea seriei aleatoare în termenii distribuţiei de ordinul n

1.5 Valori medii statistice pentru perechi de procese (serii)

aleatoare

Dacă ne referim la două procese definite pe acelaşi spaţiu al eşantioanelor x , ( , ) ( ) X t X t x = ,respectiv ( , ) ( )Y t Y t x = , ele sunt caracterizate de funcţia de repartiţie reunită:

( , ) ( ; ) F x y P X x Y y , (1.20)

şi corespunzător f.d.p. reunită a celor două p.a., respectiv f.m.p. reunită a celor două s.a.:

2 ( , )( , )

F x y p x y

x y. (1.21)

Funcţiile de corelaţie mutuală a celor două p.a. ( ) X t şi ( )Y t , observate la momentele de

timp 1t şi 2t , se definesc în termenii distribuţiei reunite de ordin 2:

1 2 1 2 1 2( , ) XY R t t X Y E X Y , (1.22)

1 2 1 2 1 2( , )YX R t t Y X E Y X . (1.23)

Extinzând momentele de timp de observare, corelaţiile celor două p.a. ( ) X t şi ( )Y t pot fiscrise convenabil sub forma unei matrici de corelaţie mutuală:

1 1 1 2 11 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

1 21 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

n XY XY XY n

XY XY XY n n

XY

XY n XY n XY n nn n n n

X Y X Y X Y R t t R t t R t t

R t t R t t R t t X Y X Y X Y

R t t R t t R t t X Y X Y X Y

R . (1.24)




11

Pentru perechea de p.a. ( ) X t , ( )Y t se definesc funcţiile de covarianţă mutuală, evaluate la

momentele de timp 1t şi 2t :

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1, 1 1, 2

( , )

( , ) ( ) ( ).

XY

XY X Y

C t t X X Y Y X Y X Y

E X E X Y E Y E X Y E X E Y

R t t t t

(1.25)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1, 1 1, 2

( , )

( , ) ( ) ( ).

YX

YX Y X

C t t Y Y X X Y X Y X

E Y E Y X E X E Y X E Y E X

R t t t t

(1.26)

Matricea de covarianţă asociată perechii de p.a. ( ) X t şi ( )Y t este:

1 1 1 2 1

T2 1 2 2 2

1, 1,

1 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

XY XY XY n

XY XY XY n

XY XY X Y

XY n XY n XY n n

C t t C t t C t t

C t t C t t C t t

C t t C t t C t t

C R . (1.27)

Analog, se definesc matricea de corelaţie mutuală şi matricea de covarianţă pentru douăs.a. X [n] şi Y [n]:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

[ , ] [ , ] [ , ][ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

XY XY XY n

XX XX XY n

XY

XY n XY n XY n n

R n n R n n R n n R n n R n n R n n

R n n R n n R n n

R (1.28)

1 1 1 2 1

T2 1 2 2 2

1, 1,

1 2

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

XY XY XY n

XY XY XY n

XY XY X Y

XY n XY n XY n n

C n n C n n C n n

C n n C n n C n n

C n n C n n C n n

C R (1.29)

unde funcţiile de corelaţie mutuală şi funcţiile de covarianţă mutuală sunt definite mai jos:

[ , ] XY i j i j i j

R n n X Y E X Y . (1.30)

[ , ]YX i j i j i j

R n n Y X E Y X . (1.31)

1, 1,

[ , ]

[ , ] [ ] [ ].

XY i j i i j j i j i j

i i j j i j i j

XY i j X i Y j

C n n X X Y Y X Y X Y

E X E X Y E Y E X Y E X E Y

R n n n n

(1.32)




12

1, 1,

[ , ]

[ , ] [ ] [ ].

YX i j i i j j i j i j

i i j j i j i j

YX i j Y i X j

C n n Y Y X X Y X Y X

E Y E Y X E X E Y X E Y E X

R n n n n

(1.33)

1.6 Staţionaritate în sens larg şi în sens strict

Un p.a. ale cărui caracteristici statistice sunt invariante în raport cu schimbarea originii timpuluise numeşte p.a. staţionar.

P.a. X (t ) este denumit staţionar în sens strict (s.s.) sau staţionar tare dacă seturile de v.a.

1 2 1 2( ), ( ),..., ( ) , ,...,n n X t X t X t X X X şi1 2( ), ( ),..., ( )l l n l X t t X t t X t t =

1 2, ,...,l l n l X X X au

aceeaşi f.d.p., pentru orice deplasare de timp t l , pentru orice ordin n şi pentru toate posibilităţile

de alegere ale momentelor de observare 1 2, ,..., nt t t :

1 2 1 2 1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., ) ( , , ..., ; , ,..., )n l l n l n n p x x x t t t t t t p x x x t t t (1.34)

P.a. staţionare caracterizate numai de momentele de ordinul unu şi doi (respectiv de f.d.p. reunităde ordin unu şi doi) se numesc procese staţionare în sens larg (s.l.) sau staţionare slab saustaţionare până la ordinul doi şi formează o subclasă a proceselor s.s.

Staţionaritate în sens larg: funcţiile de repartiţie şi f.d.p de ordinul unu nu depind de timp, iarfuncţiile de repartiţie şi f.d.p. de ordinul 2 depind doar de diferenţa de timp

2 1t t .

Consecinţă: media, media pătratică şi varianţa sunt constante, iar autocorelaţia este o funcţie cedepinde doar de diferenţa de timp

2 1t t .

Staţionaritate în sens strict: funcţiile de repartiţie, respectiv de f.d.p. de orice ordin n suntinvariante la o translaţie în timp.

În general, procesele s.s. sunt s.l., dar reciproca nu este întotdeauna adevărată. O excepţie oconstituie p.a. caracterizat de distribuţia Gaussiană, care este un proces s.l. şi este com plet definitde momentele de ordinul unu şi doi; drept urmare este şi s.s.

Ciclostaţionare Joint stationaryP.a nestaţionare

1.7 Valori medii statistice pentru procese staţionare în sens

larg

Fie un p.a. continuu şi staţionar în sens larg X (t ) , caracterizat de o f.d.p. de ordinul unu ce nu

depinde de timp 1 2( , ) ( , ) ( ) p x t p x t p x şi o f.d.p. de ordinul doi dependentă numai dediferenţa de timp

1 2 1 2 1 2 2 1( , , , ) ( , , ) p x x t t p x x t t .




13

Valoarea medie statistică a v.a.i X este constantă faţă de momentul de timp

it :

1 1( ) ,i i i it X E X t , (1.35)

Dispersia este constantă, oricare ar fi momentul de observare:

2 22 2( ) ,i i i i i it X X E X E X t , (1.36)

Observând p.a. staţionar X (t ) la două momente de timp distincte t 1 şi t 2 valoarea funcţiei deautocorelaţie, şi a funcţiei de autocovarianţă, depind numai de diferenţa de timp

2 1t t :

1 2 1 2 2 1( , ) ( ) ( ) X X X R t t E X X R t t R , (1.37)

2 2

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1( , ) ( ) ( ) X X X C t t E X X R t t R , (1.38)

matricile de corelaţie şi de covarianţă, ce caracterizează procesul, putând fi scrise:2 1 1

1 2 2

1 2

(0) ( ) ( )

( ) (0) ( )

( ) ( ) (0)

X X X n

X X X n

X

X n X n X

R R t t R t t

R t t R R t t

R t t R t t R

R ,

2 1 1

1 2 2 T

1 1

1 2

(0) ( ) ( )

( ) (0) ( )

( ) ( ) (0)

X X X n

X X X n

X X

X n X n X

C C t t C t t

C t t C C t t

C t t C t t C

C R ,

unde:

1 1 1 1, , , .

Pentru un p.a. staţionar mediile statistice sunt independente de momentul de timp la care se faceobservarea. Reciproca este adevărată: dacă mediile statistice sunt invariante la translaţii în timp,atunci procesul este staţionar.

Analog, putem scrie şi valorile medii statistice pentru o s.a. staţionară:

Valoarea medie:1 1[ ] [ ] , 0,1,2,n X n n , (1.39)

Dispersia:

22 2[ ] [ ] [ ] , 0,1,2,n X n X n n , (1.40)


1 2 1 2 2 1[ , ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], cu X X R n n X n X n X n X n m R m m n n , (1.41)

Notând Notam

in iT i




14

[0] [1] [ 1]

[ 1] [0] [ 2]

[1 ] [2 ] [0]

X X X

X X X

X

X X X

R R R n

R R R n

R n R n R

R .

Funcţia de autocovarianţă: 2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1[ , ] [ ] [ ] [ , ] [ ]

X X X C n n X n X n R n n R m . (1.42)

[0] [1] [ 1]

[ 1] [0] [ 2]

[1 ] [2 ] [0]

X X X

X X X

X

X X X

C C C n

C C C n

C n C n C

C .

În aceste condiţii, matricea de autocorelaţie X R , a p.a. s.l. ( ) X t are următoarele proprietăţi: 1.

X R este hermitică:

H T*

X X X R R R , deoarece ( ) ( ), , 1, X i j X j i R t t R t t i j n .

2. X

R este o matrice Toeplitz.

3. X R este pozitiv semidefinită.

4. Fie p.a. ( ) X t , definit pe baza p.a. 1 2 3 1( ) , , , , , , n n X t X X X X X , astfel:

1 3 2 1( ) , , , , , ,

n n X t X X X X X .

Matricea de autocorelaţie a p.a. ( ) X t , X

R se poate obţine prin transpunerea matricii de

autocorelaţie a p.a. ( ) X t , X R :

T

X X R R .

5. Matricea de autocorelaţie X

R , aşa cum a fost definită, este de dimensiune n n şi, în acest

caz, notăm ( )n

X R . Dacă extindem p.a.

1 2( ) , , , n X t X X X cu o nouă v.a.1n X , obţinem

p.a.1 2 1( ) , , , , n n X t X X X X , descris de matricea de autocorelaţie ( 1)n

X R , de dimensiune

( 1) ( 1)n n . În aceste condiţii, putem scrie relaţia recursivă: ( ) T

( 1)

T ( )

(0) ( )

(0)

n X X X X n

n X

X X X X

R

R

r R rR

r R r,

unde:(1) (2) ( ) X X X X R R R nr ,

( 1) ( 2) ( ) X X X X

R R R nr .

6. Valorile proprii , 1,i i n ale matricei de autocorelaţie X R sunt reale şi pozitive.

7. Dacă valorile propriii sunt distincte, atunci vectorii proprii 1 2, , , , 1,i i i in i n ,

ai matricei de autocorelaţie X

R , sunt liniar independenţi.

8. Dacă valorile proprii , , , 1, ,i j i j n i j sunt distincte, atunci vectorii proprii

i şi j

sunt ortogonali: T0i j .

9. Urma matricei de autocorelaţie X

R este egală su suma valorilor proprii:




15

1

tr n

X i

i

R , de unde1

1(0)

n

X i

i

Rn

.

10. Matricea de autocorelaţie X R poate fi diagonalizată în cazul în care valorile proprii sunt

distincte:T

X R ,

unde T1 2 n este matricea vectorilor proprii, iar diag , 1,

i i n este

matricea diagonală a valorilor proprii. Evident matricea este unitară TI .

Din relaţia de mai sus, putem scrie teorema lui Mercer sau teorema spectrală:

T

1

n

X i

i

R T

i i.

1.8 Independenţa statistică, necorelare, ortogonalitate

Analizând posibila dependenţă statistică dintre două p.a. X (t ) şi Y (t ) pot fi puse în evidenţăurmătoarele condiţionări:

p.a. sunt independente statistic ( , ) ( ) ( ) p x y p x p y ;

p.a. sunt necorelate 1 2( , ) 0 XY C t t , pentru orice t 1, t 2, cu t 2 ≠ t 1;

p.a. sunt ortogonale dacă corelaţia lor este nulă:1 2( , ) 0 XY R t t .

Dacă ( , ) ( ) ( ) p x y p x p y , cele două p.a. X (t ) şi Y (t ) sunt statistic dependente.

Independenţa statistică dintre două p.a. X (t ) şi Y (t ) implică existenţa condiţiei de necorelare, darreciproca nu este adevarată întotdeauna (excepţie o fac p.a. Gaussiene). Dacă cel puţin unul dincele două semnale are o valoare medie nulă, necorelarea implică şi proprietatea deortogonalitate:

1 2 1 2 1, 1 1, 2 1 2 1, 1 1, 2( , ) 0 ( , ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) 0 XY XY X Y XY X Y C t t R t t t t R t t t t . (1.43)

1.9 Caracterizarea temporală a proceselor (seriilor)

aleatoare

Valorile medii statistice sunt calculate pe ansamblul realizărilor particulare ale procesului. Deşisunt foarte utile, în multe aplicaţii ele nu sunt cunoscute şi vrem să le estimăm pornind de lacunoaşterea unei singure realizări particulare a procesului.

Valorile medii temporale sunt evaluate pentru fiecare din realizările particulare

1 2( ), ( ), , ( ),k x t x t x t ce definesc p.a. ( ) X t sau pentru realizările particulare

1 2[ ], [ ], , [ ],k x n x n x n ce definesc s.a. [ ] X n .

Pentru un p.a. ( ) X t , operatorul de mediere temporală pentru o traiectorie particulară ( )k x t este

definit ca:

1lim

2

T

t T

T

E dt T

. (1.44)




16

Pentru o s.a.. dacă se cunosc 2 1 N eşantioane ale unei realizări particulare [ ]k x n , se defineşte

operatorul de mediere prin:

1lim

2 1

N

t N

i N

E N

, (1.45)

1.9.1 Valori medii temporale pentru p.a.

Pentru o realizare particulară k , ( ) ( )k x t x t valorile medii temporale au următoarele

semnificaţii:

Momentul temporal de ordinul 1 este valoarea medie sau componenta continuă a realizării particulare:

1( ) ( ) ( )t m k x t E x t . (1.46)

Valoarea medie temporală1( )m k nu depinde de originea timpului t 0 şi este o v.a. a cărei

valoare depinde de traiectoria particulară x(t ) pe care se face medierea. Dacă p.a. X (t ) este presupus staţionar , valoarea medie statistică a v.a.

1( )m k va fi 1 1( ) E m k m , independentă

de k , unde1m este valoarea medie pe ansamblul tuturor realizărilor particulare.

Momentul temporal de ordinul 2 reprezintă valoarea pătratică medie:

2 2

2( ) ( ) ( )t m k x t E x t . (1.47)

Valoarea pătratică medie, calculată ca medie temporală, reprezintă puterea medie a procesului pe sarcina unitate şi nu depinde de originea timpului t 0.

Funcţia de autocorelaţie temporală:

( )

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )k

X t R t t x t t x t t E x t t x t t . (1.48)

Pentru un p.a. staţ ionar X (t ), oricare ar fi realizarea particulară x(t ) pe care se determină

funcţia de autocorelaţie în timp ( )

1 2( , )k

X R t t , valoarea rezultată nu depinde de originea

timpului, ci numai de diferenţa de timp τ = t 2 - t 1:( ) ( ) ( )

1 2 1 2( , ) ( ) ( )k k k

X X X R t t R t t R . (1.49)

Funcţia de autocovarianţă temporală:

( )

1 2 1 1 2 1

1 1 2 1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

k

X

t

C t t x t t m k x t t m k

E x t t m k x t t m k (1.50)

Pentru două p.a. X (t ) şi Y (t ) definite pe acelaşi spaţiu al eşantioanelor, se defineştefuncţia de corelaţie mutuală temporală pentru două realizări particulare ( ) ( )k x t x t şi

( ) ( )k y t y t :




17

( )

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )k

XY t R t t x t t y t t E x t t y t t . (1.51)

Funcţiile de corelaţie temporală depind de realizarea particulară aleasă prin parametrul k cât şi de variabilele

1 2 1, ,..., n ce reprezintă diferenţele de timp considerate:

1 ,i i it t i .

Funcţia de covarianţă mutuală temporală:

( )

1 2 1 1 2 1

1 1 2 1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

k

XY

t

C t t x t t m k y t t m k

E x t t m k y t t m k (1.52)

1.9.2 Valori medii temporale pentru s.a.

Pentru o realizare particulară oarecare x[n] a s.a. X [n], se definesc:

Momentul temporal de ordinul 1:

1( ) [ ] [ ]t m k x n E x n . (1.53)

Momentul temporal de ordin 2:

2 2

2( ) [ ] [ ]t m k x n E x n . (1.54)


( )

1 2 1 2 1 2[ , ] [ ] [ ] [ ] [ ]k

X t R n n x n n x n n E x n n x n n . (1.55)

Funcţia de corelaţie mutuală:

( )

1 2 1 2 1 2[ , ] [ ] [ ] [ ] [ ]k

XY t R n n x n n y n n E x n n y n n . (1.56)

1.10 Ergodicitate

Un p.a. este ergodic de ordinul j dacă valorile medii temporale până la ordinul j suntindependente de alegerea realizărilor particulare x1(t ), x2(t ),… pe care se face medierea. Altfelspus, un p.a. ergodic de ordin j are proprietatea că valorile medii statistice sunt egale cu valorilemedii temporale până la ordinul j.

Spunem că procesul ( ) X t este ergodic în medie dacă două condiţii sunt satisfăcute:

1. Media în timp1m tinde la media pe ansamblu

1 dacă momentul de observare t i tinde

la infinit:

1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( ),( ) ( ).

i i i

i

t E X X x t m k t m m k

(1.57)




18

2. Egalitatea trebuie înţeleasă în sensul convergenţei în pr obabilitate:

1 1lim 1, 0t

P m . (1.58)

În aceste condiţii, tratând valoarea medie μ1 a pr ocesului ca o v.a., varianţa acesteiv.a. tinde către 0 când timpul de observare t tinde la infinit:

1limVar 0t . (1.59)

Definind funcţia de autocorelaţie temporală pentru o realizare particulară ( ) x t a p.a.( ) X t , observată în intervalul T t T :

1,

2

T

X

T

R T x t x t dt T

, (1.60)

p.a. ( ) X t este ergodic în funcţia de autocorelaţie dacă următoarele două condiţii limităsunt satisfăcute:

lim , X X

T R T R , (1.61)

lim Var , 0 X

T R T . (1.62)

Observaţii:

În practică, ergodicitatea în medie şi ergodicitatea în funcţia de autocorelaţie nu suntîntotdeauna suficiente.Utilizarea ecuaţiilor (1.57) şi (1.60) pentru a calcula mediile în timp X t şi , X R T

cer ca procesul ( ) X t să fie staţionar.

Deci, pentru ca un p.a. să fie ergodic, trebuie să fie staţionar; reciproca nu este întotdeaunaadevărată.

1.11 Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie pentru procese

ergodice

Pentru orice moment particular de timp t , r edefinim funcţia de autocorelaţie a unui procesergodic ( ) X t ca fiind:

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) X X R R t t X t X t E X t X t . (1.63)

Pentru un proces aleator staţionar în sens larg, funcţia de autocorelaţie statistică areurmătoarele proprietăţi:

1. Este o funcţie pară:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X X R X t X t X t X t R . (1.64)

2. Valoarea din origine a funcţiei de autocorelaţie reprezintă puterea semnalului aleator:




19

2(0) ( ) ( ) ( ) X X

R X t X t X t P . (1.65)

Dacă ( ) X t reprezintă tensiunea la bornele unui rezistor de 1 Ω, atunci 2( ) X t reprezintă

puterea instantanee disipată de acel rezistor, iar 2( ) (0) X X t R reprezintă puterea medie

disipată, exprimată în V2 sau în WΩ-1.

3. valoarea din origine a funcţiei de autocorelaţie este un maxim absolut:

(0) ( ) , X X

R R . (1.66)

4.

Pentru are loc un proces de decorelare între ( ) X t şi ( ) X t , valoarea funcţieide autocorelaţie tinzând către pătratul componentei continue:

2 2

1lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X R X t X t X t X t X t . (1.67)

5. Cu cât p.a. X (t ) se schimbă mai rapid în funcţie de timp, cu atât funcţia de autocorelaţie

X R va descreşte de la maximul său (0) X R , pe măsură ce τ creşte, după cum este

ilustrat în Figura 1.3. Această descreştere este caracterizată de timpul de decorelare τ0, pentru care τ > τ0 amplitudinea funcţiei de autocorelaţie va rămâne sub anumite valori prescrise.

6. Pentru o pereche de p.a. ( ) X t şi ( )Y t , ergodice şi staţionare în sens strict, matricea de

corelaţie dată de ecuaţia (1.24), poate fi simplificată:

2 1, unde

X XY

YX Y

R Rt t

R RR . (1.68)

7. Funcţia de corelaţie mutuală a două p.a. ( ) X t şi ( )Y t nu este, în general, o funcţie de τ, şinici nu are un maxim în origine. Dar are proprietatea de simetrie:

( ) ( ) XY YX R Rt = - t . (1.69)

1 R

( ) X t

Figura 1.3 Ilustrarea funcţiei de autocorelaţie pentru două p.a. ce variază diferit.

Proces cevariază rapid

Proces cevariază încet

τ

R(τ)

0




20

Alte proprietati




21

1.12 Probleme rezolvate

1.1

Medii statistice, staţionaritate. [VGS99] - Tema 6.2.

Fie p.a. ( ) cos(2 ) X t A f t , unde A şi φ sunt constante, iar f este o v.a. distribuită

uniform în intervalul 1 2[ , ] f f .a. Să se calculeze următoarele momente statistice ale p.a. X (t ): media, media pătratică,

dispersia şi funcţia de autocorelaţie statistică;b.

Pe baza mediilor calculate la punctul a., să se indice staţionaritatea semnalului.

Rezolvare

Funcţia densitate de probabilitate a v.a. f , distribuită uniform, este:

1 2

2 1

1, [ , ]

( )

0 , in rest

f f f f f p f .

Câteva realizări particulare ale p.a. X (t ) sunt date în Figura 1.4 şi sunt de formăsinusoidală, având amplitudinea A, faza 0 şi frecvenţă variabilă dată de realizările

particulare ale v.a. f .

a.

Momentele statistice ale p.a. X (t ) se vor calcula pentru un moment de timp it fixat. Înacest caz, valoarea semnalului va depinde de v.a. f .

Media statistică de ordin 1 este:

1( ) ( ) sin(2 ) sin(2 )

sin(2 ) cos cos(2 )sin

sin(2 )cos cos(2 )sin .

i i i i i

i i

i i

t X t X A f t A f t

A f t f t

A f t A f t

Pentru a calcula cele două medii statistice, aplicăm teorema de medie:

Figura 1.4 Trei realizări particulare ale p.a. X (t ), având f recvenţa aleatoare.

1( ) cos(2 3 ) x t A t

1 2 3( ) ( ), ( ), ( ) X t x t x t x t

-A

t [s]

0 1

2( ) cos(2 3.5 ) x t A t 3( ) cos(2 5 ) x t A t




22

2

1

2

1

2 1

1 2

2 1 2 1

1sin(2 ) sin(2 ) ( ) sin(2 )

cos(2 )1 1cos(2 ) cos(2 ) ,

2 2 ( )

f

i i i

f

f

ii i

i i f

f t f t p f df f t df f f

f t f t f t

f f t f f t

2

1

2

1

2 1

2 1

2 1 2 1

1cos(2 ) cos(2 ) ( ) cos(2 )

sin(2 )1 1sin(2 ) sin(2 ) .

2 2 ( )

f

i i i

f

f

ii i

i i f


f t f t f t

f f t f f t

În final, obţinem:

1 1 2

2 1

2 1

2 1

cos( ) cos(2 ) cos(2 )

2 ( )

sinsin(2 ) sin(2 ) .

2 ( )

i i i

i

i i

i

At f t f t

f f t

A f t f t

f f t

Pentru valori date ale frecvenţelor f 1 şi f 2, rezultă că media statistică de ordin 1 (valoareamedie) va depinde de momentul de timp

it la care este evaluată.

Media pătratică a p.a. X (t ) se calculează tot pentru un moment de timp particularit :

22 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

( ) ( ) sin (2 ) sin(2 ) cos cos(2 ) sin

sin (2 ) cos 2sin cos sin(2 ) cos(2 ) cos (2 ) sin .

i i i i i i

i i i i

t X t X A f t A f t f t

A f t f t f t f t

Mediile pătratice ale sinusului şi cosinusului se calculează tot cu teorema de medie:

2

1

2 2

1 1

2 2 2

2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

1sin (2 ) sin (2 ) ( ) sin (2 )

1 1 11 cos(4 ) cos(4 )

2( ) 2 2( )

1 1sin(4 ) sin(4 ) ;

2 8 ( )

f

i i i

f

f f

i i

f f

i i

i


f t df f t df f f f f

f t f t f f t

2 2

2 1

2 1

1 1cos (2 ) 1 sin (2 ) sin(4 ) sin(4 ) ;

2 8 ( )i i i i

i

f t f t f t f t f f t

22

1 12 1 2 1

1 22 1

1 1sin(2 )cos(2 ) sin(4 ) sin(4 ) ( )

2 2

cos(4 )1 1sin(4 )

4

1

cos(4 ) cos(4 ) ;4 ( )

i i i i

f f

ii

i f f

i ii

f t f t f t f t p f df

f t f t df

f f f f t

f t f t f f t

Deci, media pătratică devine:




23

2 2 2 2 2 2

2 2 1

2 1

2 2 2

1 2 2 1

2 1 2 1

2 2

1 2

2 1

cos sin cos( ) sin(4 ) sin(4 )

2 2 8 ( )

sin cos sincos(4 ) cos(4 ) sin(4 ) sin(4 )

2 ( ) 8 ( )

sin coscos(4 ) cos(42 2 ( )

i i i

i

i i i i

i

i

i

A A At f t f t

f f t

A A f t f t f t f t

f f t f f t

A A f t f t f f t

2

2 1

2 1

)

cos2sin(4 ) sin(4 ) .

8 ( )

i

i i

i

A f t f t

f f t

Dispersia p.a. este:

2 2

2 1

2 2 2

1 2 2 1

2 1 2 1

2

1 2 2 1

2 1 2 1

( ) ( ) ( )

sin cos cos 2cos(4 ) cos(4 ) sin(4 ) sin(4 )

2 2 ( ) 8 ( )

cos sincos(2 ) cos(2 ) sin(2 ) sin(2 ) .2 ( ) 2 ( )

i i i

i i i i

i i

i i i i

i i

t t t

A A A f t f t f t f t

f f t f f t

A A f t f t f t f t f f t f f t

Funcţia de autocorelaţie statistică se calculează pentru două momente de timp oarecare t 1 şi t 2:

2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( , ) ( ) ( ) cos(2 ) cos(2 )

cos 2 ( ) cos 2 ( )2 2

cos 2 sin 2cos 2 ( ) sin 2 ( ) cos 2 ( ) ,

2 2 2

X R t t X t X t A f t f t

A A f t t f t t

A A A f t t f t t f t t

unde:

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

2 1 1 2

cos 2 ( ) cos 2 ( )sin 2 ( ) sin 2 ( ) ( ) ,

2 ( )( )

f t t f t t f t t f t t p f df

f f t t

2 1 2 1 1 2

1 2 1 2

2 1 1 2

sin 2 ( ) sin 2 ( )cos 2 ( ) cos 2 ( ) ( ) ,

2 ( )( )


f f t t

2 1 2 1 1 2

1 2 1 2

2 1 1 2

sin 2 ( ) sin 2 ( )cos 2 ( ) cos 2 ( ) ( ) .

2 ( )( )


f f t t

Deci:

1 1 2 2 1 22

1 2

2 1 1 2

2 1 2 1 1 22

2 1 1 2

cos 2 ( ) 2 cos 2 ( ) 2( , )

4 ( )( )

sin 2 ( ) sin 2 ( ).

4 ( )( )

X

f t t f t t R t t A

f f t t

f t t f t t A

f f t t

b. Se observă că mediile statistice calculate la punctul a) depind de momentul de timp it t

ales. Din acest motiv, p.a. X (t ) nu este staţionar.




24

1.2 Medii statistice, staţionaritate. [VGS99] - Tema 6.3.

Fie p.a. ( ) sin(2 ) X t A f t , unde A şi f sunt constante, iar φ este o v.a. distribuităuniform în [0,2 ] .

a. Să se calculeze media, media pătratică, dispersia şi funcţia de autocorelaţie statistică a

procesului aleator X (t );b.

Să se indice staţionaritatea semnalului; c.

Să se reia problema pentru cazul în care φ este o v.a. distribuită uniform în 0, .

Rezolvare

Dacă φ este o v.a. distribuită uniform în [0,2 ] , atunci f.d.p. p(φ) este:

1/ 2 , [0,2 ]( )

0 , in rest p .

a. Pentru un moment de timp t fixat, media de ordin 1 este:

1( ) ( ) sin(2 ) sin(2 )cos cos(2 )sin

sin(2 )cos cos(2 )sin .

t X t A f t A f t f t

A f t A f t

unde:22

00

cos sincos 0

2 2d ,

22

00

sin cossin 0

2 2d ,

adică:

1( ) sin(2 ) 0 cos(2 ) 0 0.t A f t A f t

Media pătratică a p.a. X (t ) este:

2 22 2

2

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) sin(2 ) sin(2 ) cos cos(2 )sin

sin (2 )cos 2 sin(2 ) cos(2 )sin cos cos (2 )sin ,

t X t A f t A f t f t

A f t A f t f t A f t

unde:

2 22 22

2

0 00 0

sin 1 1 cos 2 1 1 2 0sin sin 2 0.5

2 2 2 4 8 4d d ,

2 2 2cos 1 sin 1 sin 1 0.5 0.5 ,

22

00

1 sin 2 1sin cos sin 2 cos 2 0

2 4 8d .

Deci:

2 2 22 2

2 ( ) sin (2 ) 0 cos (2 )

2 2 2

A A At f t f t .

Dispersia v.a. ce rezultă din observarea p.a. la momentul de timp fixat t este:




25

2 22

2 2 2

2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .

2 2

A At t t X t X t

Funcţia de autocorelaţie calculată la două momente arbitrare de timp, t 1 şi t 2, este:

1 2 1 2 1 2

2

1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

1 2

( , ) ( ) ( ) sin(2 ) sin(2 )

sin(2 ) cos cos(2 ) sin sin(2 ) cos cos(2 ) sin

sin(2 ) sin(2 )cos sin(2 ) cos(2 )sin cos

cos(2 ) sin(2 )sin cos cos(2

X R t t X t X t A f t A f t

A f t f t f t f t

A f t f t f t f t

f t f t 2

1 2) cos(2 )sin . f t f t

Deoarece 2cos 0.5 , sin cos 0 şi 2sin 0.5 pentru [0,2 ] , atunci:

2 2

1 2 1 2 1 2

2

1 2

( , ) sin(2 ) sin(2 ) cos(2 ) cos(2 )2 2

cos 2 ( ) .2

X

A A R t t f t f t f t f t

A f t t

b. Pentru a o bserva staţionaritatea p.a. X (t ), trebuie să observăm următoarele lucruri: media,

media pătratică şi dispersia sunt independente de momentul de timp la care s-a făcutobservarea. Astfel, putem scrie:

1 1( ) 0,t t ;

2

2 2( ) ,

2

At t ;

22 2( ) ,

2

At t .

De asemenea, se observă că şi funcţia de autocorelaţie poate fi scrisă numai în funcţie dediferenţa de timp dintre momentele de observare:

2

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) cos 2 , unde = ct, ,2

X X

A R t t R f t t t t .

În concluzie, putem afirma că p.a. este staţionar în sens larg.

c.

Dacă v.a. φ este distribuită în intervalul [0, ] , atunci f.d.p. p

(φ) este:1

, [0, ]( )

0 , in rest

p .

Mediile statistice de ordin 1 şi 2 ale sinφ şi cosφ vor fi:

2sin ; cos 0 ; sin cos 0 ; 2 1

sin2

; 2 1cos

2.

În aceste condiţii, recalculând mediile statistice ale p.a. X (t ), obţinem:




26

1( ) sin(2 )cos cos(2 )sin

2 2sin(2 ) 0 cos(2 ) cos(2 );

t A f t A f t

A A f t A f t f t

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

( ) sin (2 )cos 2 sin(2 ) cos(2 )sin cos cos (2 )sin

sin (2 ) 0 cos (2 ) ;2 2 2

t A f t A f t f t A f t

A A A f t f t

22 2

2 1

2( ) ( ) ( ) cos(2 );

2

A At t t f t

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 ) cos(2 ) cos 2 ( )

2 2 2 X

A A A R t t f t f t f t f t f t t .

Deci p.a. X (t ) nu este staţionar deoarece media de ordin 1 şi dispersia nu sunt constanteîn timp, chiar dacă media pătratică şi funcţia de autocorelaţie îndeplinesc condiţiile destaţionaritate.

1.3 Realizări particulare, medii statistice, staţionaritate. - Set 1, Pa, Ex 2.

Fie p.a. ( ) cos(2 ) X t A f t , unde A este o v.a. distribuită Gaussian, de medie 2 şi

dispersie 2

A, iar φ este o v.a. uniform distribuită în intervalul [0, 4π] şi independentă

statistic de v.a. A. Frecvenţa f a semnalului este un parametru determinist cunoscut.a.

Desenaţi o posibilă realizarea a procesului X (t );b. Desenaţi o funcţie care nu poate fi realizare particulară a p.a. X (t );c.

Determinaţi media şi media pătratică a p.a. X (t );d. Determinaţi funcţia de autocorelaţie a p.a. X (t );

e.

Procesul este staţionar în sens larg?

Rezolvare

Pentru v.a. A şi φ putem scrie f.d.p.:

2

2

1 ( 2)( ) exp

22 A A

a p a , respectiv

1, [0,4 ]

( ) 4

0 , in rest

p ,

ce sunt reprezentate în Figura 1.5.

Figura 1.5 F.d.p. ale v.a. A distribuită 2(2, ) A N şi a v.a. φ distribuită uniform în [0, 4π].

p(φ)

φ 0 2π 4π

1

4

2

a

p(a)

1

2 A






28

22 2 2

2

2

4( ) ( ) cos (2 ) 1 cos(4 2 )

2

41 cos(4 2 ) .

2

A

A

t X t A f t f t

f t

Deoarece:

44

00

cos(4 2 ) sin(4 2 )cos(4 2 ) 0

4 8

f t f t f t d ,

atunci:

2 2

2

4 4( ) 1 0 , .

2 2

A At t

d. Funcţia de autocorelaţie statistică a p.a. X (t ) este:

2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

( , ) ( ) ( ) cos(2 )cos(2 )

1cos 2 ( ) 2 cos 2 ( )

2

1 1cos 2 ( ) 2 cos 2 ( ) .

2 2

X R t t X t X t A f t f t

A f t t f t t

A f t t A f t t

e. Deoarece:

1. 2 2 2 2

2, 1, 4

A A A A A ;

2.

1 2

cos 2 ( ) 2 0 f t t , pentru [0,4 ] ;

3. 1 2cos 2 ( ) cos(2 ) cos(2 ) f t t f f , unde1 2t t ,

funcţia de autocorelaţie va putea fi scrisă:

2

1 2 1 2

4( , ) ( ) cos(2 ), unde

2

A X X R t t R f t t .

Deoarece media, media pătratică sunt independente de momentul de timp de observare,iar funcţia de autocorelaţie depinde doar de diferenţa dintre momentele de timp, atunci

procesul este staţionar în sens larg.

1.4 Medii statistice, staţionaritate. [VGS99] - Ex 6.2.

Fie p.a. ( ) cos(2 ) sin(2 ) Z t X f t Y f t , unde X şi Y sunt două v.a. independente,

normal distribuite 2(0, ) X

N , respectiv 2(0, )Y

N , cu 2

X , 2

Y cunoscute.

a. Să se calculeze media şi dispersia p.a. Z (t );

b. Să se determine funcţia de autocorelaţie;c.

Să se discute staţionar itatea procesului.

Rezolvarea.

Media procesului aleator, pentru un moment de timp t fixat, este :

1, ( ) ( ) cos(2 ) sin(2 ) cos(2 ) sin(2 ) 0, Z t Z t X f t Y f t X f t Y f t t .




29

La acelaşi moment de timp t , media pătratică este:

22

2,

2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) cos(2 ) sin(2 )

cos (2 ) 2 cos(2 )sin(2 ) sin (2 )

cos (2 ) 2 cos(2 )sin(2 ) sin(2 ).

Z

X Y

t Z t X f t Y f t

X f t XY f t f t Y f t

f t XY f t f t f t

Din condiţia de independenţă, rezultă că 0 XY X Y , iar media pătratică va fi:

2 2 2 2 2

2, ( ) ( ) cos (2 ) sin (2 ).

Z X Y t Z t f t f t

Dispersia va fi:2

2 2 2 2 2 2 2

2, 1,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos (2 ) sin (2 ) Z Z Z X Y t t t Z t Z t f t f t .

b. Funcţia de autocorelaţie statistică este:

1 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1

( , ) ( ) ( ) cos(2 ) sin(2 ) cos(2 ) sin(2 )

cos(2 )cos(2 ) sin(2 )sin(2 )

cos(2 )sin(2 ) sin(2 )cos(2 )

cos(2 )cos(2 ) sin(2 )sin(

Z

X Y

R t t Z t Z t X f t Y f t X f t Y f t

X f t f t Y f t f t

XY f t f t f t f t

f t f t f t 22 ). f t

c. În cazul general, când 2 2

X Y , media pătratică şi funcţia de autocorelaţie depind de

timp, deci p.a. Z (t ) nu este s.l.. Dar, în cazul particular 2 2 2

X Y , obţinem:

2 2 2 2 2 2

2, 2,( ) ( ) cos (2 ) sin (2 ) , ; Z Z t Z t f t f t t

2 2 2 2

2, 1,( ) ( ) ( ) , Z Z Z Z t t t t ;

2 2

1 2 1 2 1 2

2

1 2

2

1 2

( ) cos(2 )cos(2 ) sin(2 )sin(2 )

cos 2 ( )

cos 2 ( ), cu ,

Z

Z

R t ,t f t f t f t f t

f t t

f R t t

procesul Z (t ) fiind s.l.

1.5 Realizări particulare, medii statistice, staţionaritate. - Set 1, Pa, Ex 1

Fie p.a. ( ) X t descris de următoarea f .d.p. de ordin 1:

0.5

0.5

1, pentru 0

3 2 sin( ) 3 2sin( )( )

1 , pentru 03 3

x p t

t t p x

x p t

,

unde0.5

( ) p a este funcţia poartă descrisă în Anexa 4.

a. Desenaţi două funcţii de timp care pot fi realizări particulare ale p.a. X (t );

b. Desenaţi două funcţii de timp care nu pot fi realizări particulare ale p.a. X (t );




30

c. Evaluaţi media şi varianţa procesului;

d. Precizaţi dacă procesul este s.l. sau nu.

Rezolvare

Pentru t < 0, f.d.p. este o funcţie poartă de amplitudine 1(3 2sin )t şi de lăţime3 2sin t ca în Figura 1.8.a. Această funcţie depinde de momentul de timp t la care se

face observarea. Pentru t ≥ 0, f.d.p. nu mai depinde de timp ( vezi Figura 1.8.b).

Pentru t < 0, o realizare particulară x(t ) a p.a. X (t ) poate lua valori în intervalul1.5 sin ,1.5 sint t cu aceeaşi probabilitate. A se observa că dimensiunea intervalului

depinde de momentul de timp. Analog, şi pentru t ≥ 0, numai că acum avem un intervalde dimensiune constantă 1.5,1.5 , ce nu depinde de momentul de timp. De asemenea,

şi în acest caz, valorile semnalului au aceeaşi probabilitate.

a.

Pentru a reprezenta realizările particulare ale p.a. X (t ), trebui să reprezentăm domeniul încare procesul poate lua valori (linii continue, Figura 1.9.). Orice realizare particulară,reprezentată cu linie întreruptă, nu trebuie să aibă valori în afara acestui domeniu.

Figura 1.8 F.d.p. de tip poartă pentru un p.a. X (t ).

a) t < 0

x

( x)

3sin

2t 0 3

sin2

t

1

3 2 sin t

b) t ≥ 0

x

( x)

3

2 0 3

2

1

3

Figura 1.9 Două realizări particulare ale p.a. X (t ) având o anumită amplitudine A şi o anumită fază φ.

2

x(t )

-1

t 0

1

-2

posibile realizări nu pot fi realizări ale procesului




31

b. Două funcţii de timp care nu pot fi realizări particulare sunt reprezentate în Figura 1.9 cu

linie punctată, acestea depăşind domeniul marcat cu linie continuă.

c. Pentru a evalua media procesului, trebuie să observăm că ambele f.d.p. din Figura 1.8.sunt simetrice faţă de valoarea zero. Deci media procesului este:

1, ( ) 0,

X t t .

Varianţa unei v.a. Y distribuită uniform în intervalul [-a,a], de medie 0 este:

3 3 3 22 2 1 1 1

2 2 3 2 3 3

aa

Y

a a

y a a a y dy

a a a.

În cazul nostru obţinem:

2

2

(3 2sin ), pentru 0

12( )3

, pentru 04

X

t t

t

t

.

d. Un proces este s.l. dacă media şi dispersia sunt independente de momentul de timp la

care se face observarea, iar funcţia de autocorelaţie depinde de diferenţa de timp dintremomentele de observare.

În cazul nostru, media este zero, iar dispersia depinde de timp, pentru t < 0. În concluzie, procesul nu este staţionar în sens larg.

1.6 Funcţia de autocorelaţie. [MSG83] - Murg 3.7.

În Figura 1.10 este ilustrată o realizare particulară (o traiectorie) x(t ) a unui p.a. X (t )constând dintr-o secvenţă aleatoare de simboluri binare 1 şi 0. Facem următoarele presupuneri: 1. Simbolurile 1 şi 0 sunt reprezentate de amplitudinile + A şi – A volţi, de durată T .2. Impulsurile nu sunt sincronizate: timpul de start t d al primului impuls complet, pe axa

pozitivă a timpului, este la fel de probabil ca să se afle între 0 şi T secunde. Astfel, t d este valoarea eşantionului v.a. T d distribuită uniform, cu f .d.p. definită prin:

1/ , 0

0, altfel

d

d

T t T p t .

+ A

0

- A

t d T

x(t )

t

0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 mesajul binar

Figura 1.10 O realizare particulară a semnalului aleator binar.




32

3. În timpul oricărui interval de timp 1d

n T t t nT , unde n , prezenţa unui 1

sau unui 0 este determinată de aruncarea unei monede: dacă rezultatul este marca,atunci avem 1, iar dacă rezultatul este banul, atunci avem 0. Aceste două sim bolurisunt la fel de probabile iar prezenţa unui simbol este independentă de celelaltesimboluri anterioare.

Calculaţi funcţia de autocorelaţie a p.a. X (t ).

Rezolvare

Dacă nivelele de amplitudine – A şi + A apar cu aceeaşi probabilitate, atunci ( ) 0 E X t

pentru orice t , şi deci media procesului este zero.

Fie v.a.i

X şi j X obţinute prin observarea p.a. X (t ) la momentele de timp t i , respectiv t j.

Dacă i jt t T , atunci v.a.

i X şi

j X apar în diferite intervale de impulsuri şi sunt

independente. Astfel avem:

, 0i j i j i j

R t t X X X X .

Dacă i jt t T , cu 0it şi

j it t . În acest caz, din Figura 1.10 se observă că v.a.i

X şi

j X apar în acelaşi interval al impulsului dacă şi numai dacă întârzierea t d satisface

condiţiad i jt T t t . Obţinem astfel probabilitatea condiţionată:

2, | |

[ | ]0, altfel

d i j

i j d

A t T t t P X X t .

Mediind acest rezultat peste toate valorile posibile ale lui d t , obţinem:

| | | | 22 2

0 0

| |1 , | |

i j i jT t t T t t

i j

i j d d d i j

t t A X X A p t dt dt A t t T

T T .

Printr-un raţionament asemănător, pentru orice altă valoare a lui it , găsim că funcţia de

autocorelaţie a semnalului binar aleator, este o funcţie ce depinde numai de diferenţelede timp τ:

2 | |1 , | |

( ) ,

0, | |

X i j

A T R t t T

T

.

Acest rezultat este ilustrat în Figura 1.11.

-T 0 T

τ

R X (τ)

A2

Figura 1.11 Funcţia de autocorelaţie a semnalului aleator binar.




33

1.7 Funcţia de corelaţie mutuală. [Hay01] - Comm 1.9.Se consider ă o pereche de procese staţionare în sens larg, X (t ) şi Y (t ).Să se arate că funcţiile de corelaţie mutuală ( ) XY R şi ( )YX R ale acestor procese au

următoarele proprietăţi:a.

( ) (- ) XY YX R R ;

b.

( ) 0.5 (0) (0) XY X Y R R R ;c.

2( ) (0) (0)

XY X Y R R R ;

unde ( ) X R şi ( )Y R sunt f uncţiile de autocorelaţie ale p.a. X (t ) şi Y (t );

Rezolvarea.

Ţinând cont de comutativitatea produsului, f uncţia de corelaţie mutuală se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XY R X t Y t Y t X t .

Aceasta nu depinde de originea de timp, deci putem face schimbarea de varia bilău t adică t u şi cum u şi t sunt variabile de timp, atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) XY YX R Y u X u R .

b. Pornim de la proprietatea că media statistică de ordin doi este pozitivă:

2( ) ( ) 0 X t Y t ,

de unde:

2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 X t X t Y t Y t .

În relaţia de mai sus am obţinut chiar funcţiile de corelaţie mutuală şi funcţiile deautocorelaţie ale p.a. X (t ) şi Y (t ):

(0) 2 ( ) (0) 0 X XY Y R R R .

De unde:

( ) 0.5 (0) (0) XY X Y R R R .

c. Analog cu punctul anterior, folosim pr oprietatea că

2( ) ( ) 0Y t X t ,

de unde:2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 X t X t Y t Y t

1.8 Medii statistice. [VGS99] - Tema 6.5Fie X [n] un semnal pur aleator, în timp discret, ale cărui eşantioane sunt distri buiteuniform în intervalul [-1,1].Să se calculeze media, media pătratică, dispersia precum şi funcţia de autocorelaţie

pentru semnalul [ ] [ ] 2 [ 1] [ 2]Y n X n X n X n .

RezolvareMedia şi media pătratică ale s.a. Y [n] sunt:




34

1, [ ] [ ] [ ] 2 [ 1] [ 2] [ ] 2 [ 1] [ 2]Y n Y n X n X n X n X n X n X n ,

22

2,

2 2 2

[ ] [ ] [ ] 2 [ 1] [ 2]

[ ] 4 [ 1] [ 2] 4 [ ] [ 1]

2 [ ] [ 2] 4 [ 1] [ 2]

Y n Y n X n X n X n

X n X n X n X n X n

X n X n X n X n

.

Deoarece seria X [n] este pur aleatoare, eşantioanele sunt independente între ele şi putemscrie:

2 2 2

2, [ ] [ ] 4 [ 1] [ 2]

4 [ ] [ 1] 2 [ ] [ 2] 4 [ 1] [ 2]

Y n X n X n X n

X n X n X n X n X n X n.

Pentru a calcula aceste medii avem nevoie de mediile statistice ale s.a. X [n]. F.d.p. pentruo distribuţie uniformă a eşantioanelor s.a. X [n], în intervalul [-1,1], este:

1, [ 1,1]

( ) 20, în rest

x

p x .

Astfel, media şi media pătratică ale s.a. X [n] sunt:1

1,

1

1[ ] [ ] ( ) 0

2 X

n X n x p x dx x dx ,

1

2 2 2

2,

1

1 1[ ] [ ] ( )

2 3 X n X n x p x dx x dx .

Deoarece toate eşantioanele sunt distribuite identic, mediile statistice nu depind demomentul de timp n la care se face observarea, deci s.a. X [n] va fi staţionară.

În aceste condiţii, mediile s.a. Y [n] sunt:

1, [ ] [ ] 2 [ 1] [ 2] 0 2 0 0 0Y n X n X n X n ,

2 2 2

2, [ ] [ ] 4 [ 1] [ 2] 4 [ ] [ 1] 2 [ ] [ 2]

4 [ 1] [ 2]

1 1 14 0 0 0 2

3 3 3

Y n X n X n X n X n X n X n X n

X n X n

Dispersia s.a. Y [n] este:2 2

2, 1,[ ] [ ] [ ] 2 0 2Y Y Y n n n .

Deoarece o s.a. staţionară, printr -o transformare liniară, devine tot o s.a. staţionară, putem scrie f uncţia de autocorelaţie a s.a. Y [n] ca fiind:




35

[ ] [ ] [ ]

[ ] 2 [ 1] [ 2] [ ] 2 [ 1] [ 2]

[ ] [ ] 2 [ ] [ 1] [ ] [ 2] 2 [ 1] [ ]

4 [ 1] [ 1] 2 [ 1] [ 2] [ 2] [ ]

2 [ 2] [ 1) [ 2] [ 2]

[ ] 2 [

Y

X X

R m Y n Y n m

X n X n X n X n m X n m X n m

X n X n m X n X n m X n X n m X n X n m

X n X n m X n X n m X n X n m

X n X n m X n X n m

R m R 1] [ 2] 2 [ 1] 4 [ ] 2 [ 1]

[ 2] 2 [ 1] [ ]

[ 2] 4 [ 1] 6 [ ] 4 [ 1] [ 2].

X X X X

X X X

X X X X X

m R m R m R m R m

R m R m R m

R m R m R m R m R m

unde funcţia de autocorelaţie a seriei pur aleatoare X [n] este:

[ ], 0[ ]

0, 0 X

m m R m

m.

În aceste condiţii, funcţia de autocorelaţie a s.a. Y [n] devine:

[ ] [ 2] 4 [ 1] 6 [ ] 4 [ 1] [ 2]Y R m m m m m m .

1.9 Funcţia de corelaţie mutuală, funcţia de autocorelaţie. [VGS99] - Ex 6.5.O s.a. discretă Y [n], este obţinută din s.a. X [n] staţionară, de medie 0, prin transformarea:

1 1 1[ ] [ ] [ 1] [ 2]

2 4 4Y n X n X n X n .

a. Să se determine funcţia de autocorelaţie a s.a. Y [n], precum şi funcţiile de corelaţie

mutuală între s.a. X [n] şi Y [n];b. Particularizaţi pentru cazul în care s.a. X [n] este de tip zgomot alb.

Rezolvarea.

Funcţia de autocorelaţie statistică a s.a. Y [n] este dată de:

[ ] [ ] [ ]Y

R m Y n Y n m

1 1 1 1 1 1[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1] [ 2]

2 4 4 2 4 4 X n X n X n X n m X n m X n m

1 1 1[ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 2]

4 8 8 X n X n m X n X n m X n X n m

1 1 1[ 1] [ ] [ 1] [ 1] [ 1] [ 2]


1 1 1[ 2] [ ] [ 2] [ 1] [ 2] [ 2]


1 3 3 3 1[ 2] [ 1] [ ] [ 1] [ 2] .

8 16 8 16 8 X X X X X R m R m R m R m R m

Funcţiile de corelaţie mutuală dintre cele două s.a. se pot calcula astfel:




36

1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ 2] [ ]

2 4 4

1 1 1[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 2] [ ]

2 4 4

1 1 1[ ] [ 1] [ 2] ;

2 4 4

YX

X X X

R m Y n X n m X n X n X n X n m


R m R m R m

1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ 2]

2 4 4

1 1 1[ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 2]

2 4 4

1 1 1[ ] [ 1] [ 2] .

2 4 4

XY

X X X

R m X n Y n m X n X n m X n m X n m


R m R m R m

b. Pentru cazul în care s.a. X [n] este un zgomot alb, funcţia de autocorelaţie este:

[ ], 0[ ]

0, 0 X

m m R m

m.

În aceste condiţii, funcţia de autocorelaţie a s.a. Y [n] este:

1 3 3 3 1[ ] [ 2] [ 1] [ ] [ 1] [ 2]

8 16 8 16 8Y R m m m m m m ,

iar funcţiile de corelaţie mutuală sunt:

1 1 1[ ] [ ] [ 1] [ 2]

2 4 4

YX R m m m m ;

1 1 1[ ] [ ] [ 1] [ 2]

2 4 4 XY

R m m m m .

1.10 Medii statistice. [VGS99] - Tema 6.4

Fie X [n] o s.a., pur aleatoare, staţionară, de medie1, 0 X

şi dispersie 2

X . Pe baza

acesteia se construiesc s.a.:

1 1[ ] [ ] [ 1]

2 2Y n X n X n şi [ ] [ ] [ 1] Z n X n X n .

Pentru aceste noi serii, să se calculeze mediile, mediile pătratice, dispersiile, funcţiile deautocorelaţie precum şi funcţiile de corelaţie mutuală.

Rezolvare

Din ipoteză, avem că media s.a. X [n] este zero1,

0 X

.

În aceste condiţii, media pătratică s.a. X [n] este egală cu dispersia acesteia, 2

2, X X .

Dacă s.a. X [n] este staţionară, atunci şi s.a. Y [n] şi Z [n] sunt staţionare. Dacă s.a. X [n] este de tip zgomot alb, atunci funcţia de autocorelaţie este:

[ ], 0[ ]

0, 0 X

m m R m

m.




37

Mediile celor două s.a. sunt:

1, 1, 1,

1 1 1 1 1 1[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] 0

2 2 2 2 2 2Y X X

Y n X n X n X n X n ,

1, 1, 1,[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] 0 Z X X Z n X n X n X n X n .

Mediile pătratice sunt:

2

2 2 2

2,

2 2

2, 1, 2,

1 1 1 1 1[ ] [ ] [ 1] [ ] [ ] [ 1] [ 1]

2 2 4 2 4

1 1 1 1,

4 2 4 2

Y

X X X X

Y n X n X n X n X n X n X n

22 2 2

2,

2 2

2, 1, 2,

[ ] [ ] [ 1] [ ] 2 [ ] [ 1] [ 1]

2 2 .

Z

X X X X

Z n X n X n X n X n X n X n

În condiţiile în care mediile s.a. Y [n] şi Z [n] sunt zero, atunci dispersiile vor fi egale cumediile pătratice:

2 2

2,

1,

2Y Y X

2 2

2,

1.

2 Z Z X

Funcţiile de autocorelaţie a s.a. Y [n] şi Z [n] sunt:1 1 1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1]2 2 2 2

1 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ 1] [ 1] [ ] [ 1] [ 1]

4 4 4 4

1 1 1 1 1 1[ 1] [ ] [ 1] [ 1] [ ] [ 1].

4 2 4 4 2 4

Y

X X X

R m Y n Y n m X n X n X n m X n m


R m R m R m m m m

[ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1]

[ ] [ ] [ ] [ 1] [ 1] [ ] [ 1] [ 1]

[ 1] 2 [ ] [ 1] [ 1] 2 [ ] [ 1].

Z

X X X

R m Y n Y n m X n X n X n m X n m


R m R m R m m m m

Funcţiile de corelaţie mutuală a s.a. X [n], Y [n] şi Z [n] sunt:

1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1]

2 2

1 1 1 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ ] [ 1],

2 2 2 2 2 2

XY

X X

R m X n Y n m X n X n m X n m

X n X n m X n X n m R m R m m m

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1]

[ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ ] [ 1],

XZ

X X

R m X n Z n m X n X n m X n m

X n X n m X n X n m R m R m m m




38

1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1]

2 2

1 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ 1] [ 1] [ ] [ 1] [ 1]

2 2 2 2

1 1 1 1[ 1] [ 1] [ 1] [ 1].

2 2 2 2

YZ

X X

R m Y n Z n m X n X n X n m X n m


R m R m m m

1.11 Medii temporale, ergodicitate. [Fr 2.1.]Fie p.a. definit în problema 1.2:

( ) sin(2 ) X t A f t ,

unde A şi f sunt ct, iar φ este o v.a. distribuită uniform în [0,2 ] .Să se calculeze media temporală şi funcţia de autocorelaţie temporală şi să se indiceergodicitatea semnalului.

Rezolvare

Pentru o valoare particulară k a v.a. φ, media temporală a realizării particulare ( )k x t a

p.a. X (t ) este:

1

cos 2

2

0

1 1( ) lim ( ) lim sin 2

2 2

lim2

cos(2 ) cos( 2 )lim4

k T T

T

k

T T

T

T T

T T

k k

dt

f t

f

m k x t dt A f t T T

A

T

A f T A f T f T

Deoarece media temporală nu depinde de realizarea particulară a p.a.:1 1( ) 0m k m .

Deoarece media statistică a p.a. X (t ) este zero (vezi problema 1.2), având loc egalitatea:

1 1 0m ,

spunem că p.a. X (t ) este ergodic în medie.

Pentru aceeaşi traiectorie particulară de la punctul a), ( )k x t , putem calcula funcţia de

autocorelaţie temporală:




39

2

2

, 1 2 1 2

2

1 2

2 2

1 1 2

2 21

sin

cos

cos sin 2 (22

1( , ) lim ( ) ( )

2

lim 2 ( ) sin 2 ( )2

lim 2 ( ) lim cos 2 (2 ) 24 4

2 ( )lim lim

4 4

T

k k T

T T

T T

T

X k

T

T

T

T T

k

T T

t

t f T

R t t x t t x t t dt T

A f t t f t t dt

T

A A f t dt f t t t dt T T

A f t A

T T

1 2

2 2

1 2 1 2

) 2

4

cos 2 ( ) 0 cos 2 ( ) .2 2

T

k

T

t t t

f

A A f t t f t t

Se observă că funcţia de autocorelaţie temporală este egală cu funcţia de autocorelaţiestatistică şi deoarece ambele depind numai de diferenţa dintre momentele de timp (s-a

arătat că procesul este s.l. - vezi problema 1.2), putem scrie:2

( ) ( )

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cos 2 , unde .2

k k

X X X X

A R t t R R t t R f t t

deci, procesul este ergodic şi în funcţia de autocorelaţie.

În concluzie, p.a. este ergodic de ordinul 2, adică mediile statistice sunt egale cu mediiletemporale până la ordinul 2.

1.12

Medii statistice, realizări particulare, ergodicitate. [] - Set 1, Pa, Ex 3

Fie p.a. 0 1 0( ) ( ) cos 2Y t a a X t f t unde:1.

0 1 0, ,a a f sunt parametri determinişti cunoscuţi; 2.

X (t ) este un p.a. ergodic, s.l., caracterizat de media 0 şi funcţia de autocorelaţie( ) X R ;

3. φ este o v.a. uniform distribuită în intervalul [0,2π] şi independentă de p.a. X (t ).

a. Calculaţi media p.a. Y (t );b.

Calculaţi funcţia de autocorelaţie a p.a. Y (t );c. Determinaţi dacă procesul Y (t ) este ergodic în medie.

Rezolvare

Media p.a. Y (t ) se poate calcula pentru un moment de timp fixat t , astfel:

1, 0 1 0

0 0 1 0

( ) ( ) ( ) cos(2 )

cos(2 ) ( )cos(2 )

Y t Y t a a X t f t

a f t a X t f t ,

unde a0 şi a1 sunt parametri determinişti. Deoarece p.a. X (t ) este independent de φ şi cummedia p.a. X (t ) este zero avem:

1, 0 0 1 0 0 0( ) cos(2 ) ( )cos(2 ) cos(2 )Y t a f t a X t f t a f t .

Deoarece parametrul φ este distribuit uniform în intervalul [0,2π], acesta are f.d.p.:




40

1, [0,2 ]

( ) 2

0 , in rest

p ,

şi cu ajutorul teoremei de medie, obţinem:

2

1, 0 0

0

2

0

cos(2 )( ) cos(2 ) cos(2 ) ( )2

sin(2 )0 .

2

Y f t t a f t a f t p d d

f t

a. Funcţia de autocorelaţie a p.a. Y (t ) este:

1 2 1 2 0 1 1 0 1 0 1 2 0 2

2 2 2

0 0 1 1 0 1 2 1 2 0 1 0 2

( , ) ( ) ( ) ( ) cos(2 ) ( ) cos(2 )

( ) ( ) ( ) cos(2 )cos(2 ) .

Y R t t Y t Y t a a X t f t a a X t f t

a a a X t a a X t a X t f t f t

Deoarece v.a. φ este independentă de p.a. X (t ) avem:2 2

1 2 0 0 1 1, 1 0 1 1, 2 1 1 2 0 1 0 2( , ) ( ) ( ) ( , ) cos(2 )cos(2 ) .Y X X X R t t a a a t a a t a R t t f t f t

Din ipoteză ştim că p.a. X (t ) este s.l., de medie zero 1, 1 1, 2 1 2( ) ( ) 0, ,

X X t t t t şi

funcţia de autocorelaţie1 2 1 2( , ) ( ), X X R t t R t t . În plus, dacă folosim relaţia

1 1cos cos cos( ) cos( )

2 2a b a b a b ,

obţinem:

2 2

1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

1 1( , ) ( ) cos 2 ( ) 2 cos 2 ( ) .

2 2Y X R t t a a R f t t f t t

Dar22

1 2 1 2

1 2

0 0

cos 2 ( ) 2 sin 2 ( ) 2cos 2 ( ) 2 0

2 4

f t t f t t f t t d ,

şi obţinem:

2 2

1 2 0 1 0 1 2

1( , ) ( ) cos 2 ( )

2

Y X R t t a a R f t t ,

sau

2 2

0 1 0 1 2 1 2

1( ) ( ) cos(2 ), cu , ,

2Y X R a a R f t t t t .

Deci p.a. Y (t ) este staţionar în funcţia de autocorelaţie.

b. Proprietatea de ergodicitatea în medie înseamnă că procesul are media statistică de ordin1 egală cu media temporală de ordin 1:

1, 1,

1

( ) lim ( ) ( ) 02

T

Y Y T T

m Y t y t dt Y t T .

Deci va trebui să evaluăm media temporală a p.a. Y (t ).




41

În cazul unui semnal modulat în amplitudine, o realizare particulară y(t ) a p.a. Y (t ) poatefi cea din Figura 1.12, unde semnalul sinusoidal x(t ) îndeplineşte condiţiile din ipoteză

pentru a fi o realizare particulară a p.a. X (t ).

Pentru ca transmisia să fie eficientă, trebuie ca frecvenţa semnalului modulator x(t ) să fiemult mai mică decât frecvenţa f 0 a semnalului purtător. Astfel, într -o perioadă asemnalului modulat y(t ), a0+a1 x(t ) poate fi considerat constant, deci:

1, 0

1lim cos 2 0

2

T

Y T

T

m f t dt T

,

unde φ s-a presupus a fi o constantă deterministă pe durata unei perioade a semnalului y(t ). Deoarece media statistică este egală cu media temporală, spunem că p.a. Y (t ) esteergodic în medie.

1.13

Proprietăţile f uncţiei de autocorelaţie. [VGS99] - Tema 6.10.

Care sunt proprietăţile unui p.a. ergodic care pot fi extrase din funcţia sa de autocorelaţie: perioada, componenta continuă, puterea, dispersia, proprietăţile de simetrie, faza.Cum se poate proceda?

RezolvareConsider ăm cazul proceselor ergodice, pentru care mediile statistice sunt egale cumediile temporale.

Funcţia de autocorelaţie a unor semnale periodice e tot o funcţie periodică. Dacă p.a.( ) X t este periodic, atunci orice realizare particulară va fi periodică şi va avea aceeaşi

perioadă. Dacă presupunem că semnalul nu conţine semnale deterministe (periodice) şifacem ca diferenţa dintre două momente de observare, t 1 şi t 2, să tindă la infinit, atuncilegatura între v.a. 1( ) X t şi

2( ) X t , obţinute prin eşantionarea procesului la acele

momente de timp, devine din ce în ce mai slabă până la independenţă, adică 1( ) X t şi

2( ) X t devin independente. În plus, presupunem că sunt şi identic distribuite şi de medieμ1. În aceste condiţii, funcţia de autocorelaţie se poate scrie:

Figura 1.12 O realizare particulară a p.a. Y (t ) modulat în amplitudine.

(t )anvelopa (a0+a1 x(t ))(t )

t

a0

-a0

anvelopa (-a0-a1 x(t ))

a0+a1

-a0-a1




42

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1| |

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) X X Notam t t R t t X t X t X t X t R ,

adică limita când τ tinde la infinit din funcţia de autocorelaţie este pătratul componenteicontinue.

Puterea este valoarea funcţiei de autocorelaţie în zero, fiind egală şi cu media pătratică:

2

20 (0) ( ) ( ) ( ) X P R X t X t X t ,

Dispersia este dată de relaţia:

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) X t X t X t X t X t ,

sau, ţinând cont de valorile medie şi mediei pătratice: 2 (0) ( ) X X R R .

Proprietatea de simetrie poate fi observată dacă scriem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

X X R X t X t X t X t R ,

deci funcţia de autocorelaţie este o funcţie pară.

1.14

Medii temporale, f.d.p.. [VGS99] - Tema 6.6.

Se consideră un p.a. ergodic X (t ), distribuit normal şi având funcţia de autocorelaţie( )

X R Ae B , unde A, B şi sunt constante (vezi Figura 1.15).

Să se determine media, media pătratică, dispersia, puter ea medie şi f.d.p. p( x) asemnalului.

RezolvareDeoarece p.a. X (t ) este ergodic, mediile statistice sunt egale cu mediile temporale. Din

proprietăţile funcţiei de autocorelaţie, avem:

1 1 ( ) ( ) lim ( )m X t X t R B ;

2 2

2 2 ( ) ( ) (0) X m X t X t R A B ;

2 2

2 1 A B B A ;

R X (τ)

τ B

A+ B

0

Figura 1.15 Funcţia de autocorelaţie R X (τ) pentru p.a. ergodic X (t ).




43

(0)m X P R A B .

Deoarece X (t ) e distribuit normal, f.d.p. se poate scrie:

2

1

2

( )1( ) exp

22

x p x .

Înlocuind valorile pentru medie şi dispersie, obţinem: 21 ( )

( ) exp22

x B p x

A A.

1.15 Medii temporale. [VGS99] - Tema 6.9.Fie semnalul periodic, de perioadă T = 7, definit de:

1, 0,2

( ) 0, 2,6

2, 6,7

t

x t t

t

.

Să se determine componenta continuă, puterea medie, dispersia semnalului şi funcţia deautocorelaţie temporală.

Rezolvare

Deoarece semnalul este periodic, este suficient ca să calculăm mediile temporale pentru osingură perioadă.

Valoarea medie temporală sau componenta continuă a semnalului x(t ) este:2 7

17

0 0 6

1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 2 0

7 7 7 7

T

t T

m x t E x t x t dt dt dt T

.

Puterea medie este egală cu media pătratică: 7 2 7

2 2 2

2

0 0 6

1 1 1 2 4 6( ) ( ) ( ) 4

7 7 7 7 7 7m t P m x t E x t x t dt dt dt .

În condiţiile în care valoarea medie este 0, dispersia va fi egală cu media pătratică:

2

2

6

7m .

Definind un semnal ajutător ( , ) ( ) ( ) y t x t x t , funcţia de autocorelaţie temporală asemnalului x(t ) se reduce la calculul mediei temporale a semnalului y(t ,τ):

1,( ) ( ) ( ) ( , ) y R x t x t y t m .

Pentru semnalul particular x(t ), y(t ,τ) va fi calculat pentru fiecare interval de valori a lui

τ:




44

2 7 7

1,

0 6 7

1, [0,2 )

0, [2 , 6) 1 6(0,1) ( , ) 4 2

4, [6,7 ) 7 7

2, [7 ,7]

y

t

t y t m dt dt dt

t

t

;

2 7

1,

0 6

1, [0,2 ) 1(1,2) ( , ) 0, [2 ,6) 2

7 72, [6,7]

y

t y t t m dt dt

t

;

9

1,

6

0, [0,6) 1 6 2(2,3) ( , ) 2

2, [6,9 ] 7 7 7 y

t y t m dt

t ;

1,(3,3.5] ( , ) 0 0

y y t m .

Analog, se calculează şi pentru domeniul de valori negative al lui τ, astfel încât f uncţia de

autocorelaţie poate fi scrisă pentru , 3.5,3.52 2

T T

:

0, [ 3.5, 3)

6 2, [ 3, 2)

7 7

, [ 2, 1)7

6, [ 1,0)

7( )

6 , [0,1)7

, [1,2)7

6 2, [2,3)

7 7

0, [3,3.5]

R

Deoarece funcţia de autocorelaţie este periodică, aceasta se poate extinde pe toată axavalorilor reale şi se poate reprezenta ca în Figura 1.16:

( ) ( ), , ,2 2

T T R R iT i .




45

1.16 Medii temporale. [VGS99] - Tema 6.8.Pentru semnalul periodic de perioadă T = 2, determinat de:

, [0,1)( )

0, [1, 2]

A t x t

t ,

să se calculeze componenta continuă, puterea medie şi funcţia de autocorelaţie temporală.

Rezolvare

Componenta continuă a semnalului periodic este dată de media temporală de ordin 1,calculată doar pe o perioadă:

1

1

0 0

1 1( ) ( )2 2

T

Am x t x t dt Adt T

.

Puterea medie este:1 2

2 2 2

0 0

1 1( ) ( )

2 2

T

m

A P x t x t dt A dt

T .

Pentru calculul funcţiei de autocorelaţie temporale, trebuie să ţinem cont de

periodicitatea acesteia, intervalul care ne interesează fiind , 1,1

2 2

T T .

1 22

2

1 222

0

1 (1 ) (1 )[ 1,0) ( ) ( ) ( ) , [ 1,0)2 2 2

( )(1 )1 (1 )

, [0,1][0,1] ( ) ( ) ( )22 2

A A R x t x t A dt

R A A

R x t x t A dt

În Figura 1.17 este reprezentată funcţia de autocorelaţie temporală.

Figura 1.16 Funcţia de autocorelaţie pentru un semnalul periodic x(t ), cu T = 7.

0

T =7

7-7

R(τ)

τ

1




46

1.17

Funcţia de autocorelaţie. [Fr 2.6.]

Spuneţi de ce funcţiile:

1

1,( )

0, altfel

T t T f t şi | |

2( ) | | t f t t e ,

nu pot fi funcţii de autocorelaţie.

RezolvareAmbele f uncţii nu pot fi funcţii de autocorelaţie deoarece nu sunt maxime în origine.Astfel:- funcţia

1( ) f t ia aceeaşi valoare pentru un interval de timp simetric faţă de origine:

1 1 1( / 2) (0) ( / 4) 1 f T f f T ;- funcţia

2( ) f t ia în origine, 0t , o valoare mai mică decât pentru 1t :1

2 2(0) 0 (1) f e f .

1.18 Funcţia de autocorelaţie. [Hay01] - Comm 1.5.

Să se demonstreze următoarele proprietăţi ale funcţiei de autocorelaţie ( ) X R a unui p.a.

( ) X t :

a. Dacă ( ) X t conţine o componentă continuă egală cu A, atunci ( ) X R va conţine o

componentă constantă egală cu A2

;b. Dacă ( ) X t conţine o componentă sinusoidală, atunci ( ) X R va conţine o componentă

sinusoidală de aceeaşi frecvenţă.

Rezolvare

a. Fie p.a. ( ) cos(2 ) X t A B f t , unde A, B, f sunt constante, iar t variază. Funcţia de

autocorelaţie este dată de:

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) cos(2 ) cos 2 ( )

cos(2 ) cos 2 ( ) cos 2 ( ) cos(2 )

cos(2 ) cos 2 ( ) cos 2 ( ) cos(2 )

X R X t X t A B f t A B f t

A AB f t f t B f t f t

A AB f t f t B f t f t

Figura 1.17 Funcţia de autocorelaţie pentru un semnalul periodic x(t ), cu T =2.

0 3-1

R(τ)

τ

2

2

A

1 2-2-3

T =2




47

Deci, ( ) X R conţine un termen constant de valoare A2, indiferent de intervalul pe care se

calculează media funcţiilor cos(2 ) f t şi cos 2 ( ) f t .

b. Fie p.a. ( ) cos(2 ) X t A B f t , unde A, B sunt constante, iar f este o v.a. distribuităuniform în intervalul [0, f max]. Funcţia de autocorelaţie va fi:

2 2( ) cos(2 ) cos 2 ( ) cos(2 )cos 2 ( ) X R A AB f t f t B f t f t .

Mediile statistice sunt:

max

max

max0

max max

0max max

1cos(2 ) cos(2 ) ( ) cos(2 )

1 sin(2 ) 1sin(2 ) sinc(2 ).

2 2

f

f

f t f t p f df f t df f

f t f t f t

f t f t

max

max

max0

max 0

1cos 2 ( ) cos 2 ( ) ( ) cos 2 ( )

sin 2 ( )1sinc 2 ( ) .

2 ( )

f

f

f t f t p f df f t df f

f t f t

f t

1 1cos cos cos cos 2

2 2

1 1 1cos sin 2 sin

2 2 2

t t t

t

.

Deci, funcţia de autocorelaţie conţine o componentă sinusoidală.

1.19

Funcţia de autocorelaţie. [VGS99] - Ex 6.4.

Fie p.a. ( ) ( ) ( ) Z t X t Y t , unde ( ) X t şi ( )Y t sunt două p.a. staţionare şi independente. a. Să se calculeze funcţia de autocorelaţie a p.a. ( ) Z t în funcţie de funcţiile de autocorelaţie

a celor două p.a., ştiind că cel puţin unul dintre procesele ( ) X t şi ( )Y t are media nulă. b.

Repetaţi punctul a. dacă nici un proces nu are media nulă?

Rezolvare

a.

Funcţia de autocorelaţie căutată este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

Z R Z t Z t X t Y t X t Y t

X t X t X t Y t Y t X t Y t Y t

Deoarece procesele ( ) X t şi ( )Y t sunt procese independente, putem scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z X Y R R X t Y t Y t X t R .

Deoarece procesele ( ) X t şi ( )Y t sunt procese staţionare, atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( ) ( ).

Z X Y

X Y

R R X t Y t Y t X t R

R X t Y t R

Pentru că măcar unul din procese are media nulă:




48

( ) ( ) ( ) Z X Y R R R .

b. Pentru a deduce o relaţie generală, care să fie valabilă şi pentru medii nenule, trebuie săţinem seama de o proprietate a funcţiei de autocorelaţie:

2

lim ( ) ( ) X

R X t ,

astfel:

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) Z X Y X Y R R R R R .

1.20

Funcţia de autocorelaţie. [MSG83] - Murg 3.4.

Să se stabilească dacă funcţiile reprezentate în graficele de mai jos, pot fi funcţii deautocorelaţie ale unui proces aleator.

Rezolvare

Funcţiile f 1(τ), f 2(τ), f 3(τ) şi f 4(τ) nu pot fi funcţii de autocorelaţie, pentru că: 1. f 1(τ) şi f 3(τ) nu sunt funcţii pare;2.

f 2(τ) nu are valoarea maximă în origine; 3. valoarea din origine a lui f 4(τ) nu reprezintă un maxim absolut.

Funcţiile f 5(τ) şi f 6(τ) pot fi funcţii de autocorelaţie, pentru că sunt funcţii pare, aumaximul în origine.

1(τ)

τ

2(τ)

τ

4(τ)

τ τ

3(τ)

6(τ)

τ

5(τ)

τ

Figura 1.18 6 funcţii de timp care pot fi sau nu funcţii de autocorelaţie.




49

1.13 Probleme propuse

1.21 Realizări particulare, valori medii, staţionaritate. [] - set 1, Pa, Ex 4.

Fie p.a. dat de relaţia ( ) ( ) X t A r t B , unde:1. A este o v.a. distribuită Gaussian, de medie zero şi dispersie unitară, (0,1)N ;

2.

B este o v.a. independentă statistic de v.a. A, având f.d.p. ( ) ( )b

p b e u b (exponenţiala unilaterală);

3. ( )r t este un impuls dreptunghiular de durată T , având originea t =0.

a. Desenaţi câteva realizări particulare ale procesului aleator;

b. Desenaţi câteva funcţii care nu pot fi realizări particulare ale procesului; c. Evaluaţi media, media pătratică şi dispersia procesului;d.

Calculaţi funcţia de autocorelaţie statistică a procesului; e. Procesul este s.s.l?

1.22

Staţionaritate, ergodicitate. [Hay01] - Comm 1.2.

Se consideră procesul sinusoidal:

( ) cos(2 ) X t A f t ,

unde frecvenţa f şi faza φ sunt constante iar amplitudinea A este o v.a. uniformdistribuită în intervalul [0,1] V.

a. Să se determine dacă procesul este s.l.;

b. Să se verifice ergodicitatea procesului X (t ).

1.23




50

1.24

F.d.p., staţionaritate, ergodicitate. [Hay01] - Comm 1.3.

Un p.a. X (t ) este definit prin( ) cos(2 ) X t A f t ,

unde A este o v.a. cu distribuţie Gaussiană de medie zero şi dispersie 2

A iar f este

constantă. Acest p.a. este aplicat la intrarea unui integrator ideal, producând ieşirea:

0

( ) ( )

t

Y t X d .

a. Să se determine f .d.p. a p.a. Y (t ) pentru un moment de timp fixat, t k ;

b. P.a. Y (t ) este staţionar?

c.

Dar ergodic?

1.25 Valori medii statistice, convertor digital analog. [SW94] – Stark 8.1.

Fie [ ] X n o s.a. staţionară, având media 1, X şi funcţia de autocorelaţie [ ] X R m . Dacă s.a.

[ ] X n este aplicată la intrarea unui convertor digital analogic, atunci la ieşire se obţine un proces continuu în timp, modelat ca un p.a. ( )Y t astfel:

( ) [ ], [ , 1)Y t X n t n n şi 0n .

c. Determinaţi media p.a. ( )Y t funcţie de media 1, X ;

d.

Determinaţi funcţia de autocorelaţie a p.a. ( )Y t funcţie de [ ] X R m ;

1.26 F.d.p., medii statistice, medii temporale, staţionaritate, ergodicitate. [Hay01] -

Comm 1.6.Fie p.a. X (t ) reprezentat de forma de undă dretunghiulară din Figura 1.19, de amplitudineconstanta A, perioadă T şi defazaj t d .Defazajul este aleator, dat de f.d.p.:

1 1 1,

( ) 2 2

0, altfel

d

d

T t T p t T .

x(t )

t

T t d

A

Figura 1.19 Semnal aleator dreptunghiular de parametrii determinişti A, T şi v.a. t d .




51

a. Să se determine f.d.p. a v.a. X (t k ) obţinută prin observarea p.a. X (t ) la momentul t k ;

b. Să se determine mediile statistice ale p.a. X (t );c.

Să se determine mediile temporale ale p.a. X (t );d. P.a. X (t ) este staţionar? De ce ordin? Dar ergodic?

1.27

Staţionaritate. [Mur98] Murg98 11-8Fie două v.a. necorelate X şi Y , de medie zero.Să se arate că p.a. definit de relaţia:

1 22 2( ) j f j f Z t Xe Ye ,

unde 1 2 1 2, , f f f f sunt doi parametri cunoscuţi, este un proces staţionar în sens larg.

1.28 Puterea medie. [Hay01] - Comm 1.8.

Un p.a. ( )Y t constă dintr -o componentă continuă de 23 volţi, o componentă periodică

( ) g t şi o componentă aleatoare ( ) X t . Funcţia de autocorelaţie a lui ( )Y t este:

a. Care este puterea medie a componentei periodice ( ) g t ?

b. Care este puterea medie a componentei aleatoare ( ) X t ?

1.29 Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie. [VGS99] Tema 7.9Să se arate că funcţia de autocorelaţie a unui p.a. staţionar verifică relaţia:

1(0) ( ) (0) (2 )

4

n

n

R R R R .

Indicaţie:

Folosiţi inegalitatea trigonometrică: 2 2 2 11 cos 2sin 2sin cos (1 cos 2 )

2 2 2 4.

1.30 Funcţia de autocorelaţie, staţionaritate. [RS78] - Article 8.1. Ex 3.Fie secvenţa aleatoare:

[ ] cos(2 ) X n A f n ,unde A, f şi φ sunt posibile v.a.

a.

Determinaţi funcţia de autocorelaţie a secvenţei X [n] când A şi f sunt constante, iar θ esteo v.a. uniform distribuită în intervalul [0,2π]. Discutaţi staţionar itatea semnalului?

T T 2T 3T 4T 5 0 T 5T 4T 3T 2T

2( ) [V ]Y R

Figura 1.20 Funcţia de autocorelaţie a unui p.a. Y (t ).




52

b. Determinaţi funcţia de autocorelaţie a secvenţei X [n] când f , φ sunt constante şi A este o

v.a. Este acest proces staţionar?

R ăspuns:

a. 2

[ ] cos(2 )2

X

A R k f k ;

b.

21[ ] [ ] [ ] cos(2 ) cos 2 (2 ) 2

2 X R k E x n x n k f k f n k E A ,

unde 2 E A este calculată din distribuţia v.a. A.

1.31 Medii statistice, staţionaritate. [MSG83] - Murg 3.6.

Să se repete cerinţele din problema 1.13 pentru un semnal aleator telegrafic, codatbipolar (simbolul 0 este codat prin nivelul de tensiune -A V şi simbolul 1 este codat prinnivelul de tensiune + A V). Celelalte ipoteze ale problemei rămân neschimbate.

Observaţie: Problema este rezolvată în [MSG83], pag. 109.

1.32 Realizări particulare, f.m.p., medii statistice. [Lud03] - Ldmn 4.2.

Pe baza unui experiment cu patru realizări particulare1 2 3 4, , , şi cu probabilităţile de

apariţie ale realizărilor1( ) 1/ 4 P ,

2( ) 1/3 P ,3( ) 1/ 6 P şi

4( ) 1/ 4 P , se

defineşte un p.a. ( ) ( , )i X t X t cu ajutorul relaţiilor:

1 1( , ) ( ) 2cos(2 ) X t x t t ,2 2( , ) ( ) sin(2 ) X t x t t ,

3 3( , ) ( ) X t x t t , 4 4( , ) ( ) t

X t x t e .a. Evaluaţi valoarea la momentul de timp t =2 a realizării particulare 4 a p.a. X (t );b. Reprezentaţi grafic câteva realizări particulare ale p.a. X (t ), specificând numărul maxim

de realizări posibile ale procesului; c. Care este f.m.p. p( x) a p.a. X (t ) pentru momentul de timp t =1;d.

Calculaţi media statistică1,

( ) X

t a p.a. X (t ); p.a. este staţionar în medie?

e. Calculaţi funcţia de autocorelaţie 1 2( , ) X R t t a p.a. X (t ), pentru două momente diferite de

timp t 1 şi t 2; p.a. este staţionar în funcţia de autocorelaţie?f. Găsiţi f.m.p. 1 2( , ) p x x de ordinul 2 a p.a. X (t ) pentru două momente de timp 1 0t şi

2 0.5t .

1.33 Realizări particulare, f.m.p., medii statistice, staţionaritate. [Lud03] - Ldmn 4.4.Definim un p.a. X (t ) astfel:

( ) , ( 1) , pentru ( , )i X t A iT t i T i ,

unde v.a. Ai sunt i.i.d. cu f.m. p. dată de:

1 1 1( ) ( 1) ( ) ( 1)

4 2 4i i i i p a a a a .

a.

Desenaţi câteva realizări ale procesului X (t );b. Determinaţi f.m.p. p( x) de ordinul 1 a procesului;




53

c. Calculaţi valoarea medie

1, ( ) X t ; această valoare este o realizare particulară a p.a. X (t )?

d. Procesul X (t ) este staţionar de ordinul 1? Explicaţi; e.

Găsiţi f.m.p. p( x1, x2) de ordinul 2 a procesului X (t );f. Determinaţi funcţia de autocorelaţie

1 2( , ) X R t t a p.a. X (t ), pentru două momente diferite

de timp t 1 şi t 2;g. P.a. X (t

) este staţionar în funcţia de autocorelaţie? Dar staţionar în sens larg? Explicaţi.

1.34 Realizări particulare, medii statistice, staţionaritate. [Lud03] - Ldmn 4.7.

Semnalizarea On-Off este o metodă de transmitere a datelor binare. Astfel, pentru fiecareinterval de bit T b se transmite un semnal determinist s(t ) dacă informaţia binară este 1 şinu se transmite nici un semnal dacă informaţia binară este 0.Presupunând că informaţia binară aleatoare este reprezentată prin v.a. Ai, cu f.m.p. datăde:

1 1( ) ( 1) ( )

2 2i i i p a a a ,

şi că Ai sunt v.a. independente oricare ar fi i, definim p.a. X (t ) ca fiind:

( ) ( )i b

i

X t A s t iT .

a. Desenaţi câteva realizări particulare ale p.a. X (t );

b. Determinaţi media1,

( ) X

t a procesului X (t );

c. Calculaţi funcţia de autocorelaţie

1 2( , ) X R t t ;

d. Procesul este s.l.? Dacă procesul nu este staţionar, cum putem schimba enunţul problemei pentru a-l face staţionar?

1.35




54

Suma a n v.a.

Valoarea medie




55

Legea numerelor mari

Varianta




56

Teorema limita centrala




Date post:	03-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	oana-diaconescu
View:	230 times
Download:	1 times

Capitolul 1 depi

Documents