Cap6 Modelare Fuzzy

7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

1/14

Modelarea proceselor economice 87

Unitatea de nvare 6 MODELAREA DECIZIILOR CU MULIMI FUZZY [ANDREICA, 1998], [BOJADZIEV, 1995], [BOUCHON, 1995], [IONESCU, 1999], [MANSUR, 1995],*MOISIL, 1975+, *NEGOI, 1974+, *RAIU, 2001+, *RAIU, 2002+

ObiectivObiectivul acestui capitol este de a defini i construi modele economicebazate pe conceptul de mulime vag ( fuzzy set, ensemble flou). Utilizareamulimilor f uzzy n modelarea economic permite tratarea unor fenomeneinsuficient precizate, mai puin rigide, deoarece pentru elementele ac estormulimi exist mai multe grade de apartenen intermediare ntreapartenena total i non -apartenena. Studiile de caz prezentatedemonstreaz multiplele posibiliti de aplicare a mulimilor fuzzy nmodelarea unor procese economice.

Competen ele unitii de nvare Parcurgerea acestei uniti permite nelegerea conceptelor fuzzy i aplicarealor n construcia modelelor ce conduc la problema de programare liniar i lamodelarea deciziei multicriteriale.

Durata medie de parcurgere a acestei unit i de nvare este de 6 o re.

Conceptul de mulime vag ( fuzzy set, ensemble flou) a fost introdus n matematic deL.A. Zadeh n anul 1965. Concepetele fuzzy au aprut din necesitatea de a msuracantitativ vagul, imprecisul. Academicianul romnG. Moisil dezvolt ideea de fuzzy set,care ar putea fi neleas ca extensia unui predicat n logica cu o infinitate de valori.

Definia mulimii fuzzy (utiliznd un limbaj vag)O mulime fuzzy este o mulime n care nu exist o tranziie brusc de la apartenena lanon-apartenena unui element la aceast mulime. Ideea fundamental este urmtoarea: dac X este o mulime clasic , n careapartenena este dichotomic, orice submulime X A poate fi identificat prin funcia

sa caracteristic: 1,0: X A ,

unde A x

A x x A ,0

,1

deci, mulimea prilor lui X este n coresponden bijectiv cu mulimea funciilor

1,0: X f .


2/14

88 Dorin Lix ndroiu

Teoria clasic are ca model logica bivalent. Modelul teoriei mulimilor fuzzyeste logica continu. Submulimile fuzzyale lui X sunt ncoresponden bijectiv cu mulimea de funcii: 1,0: X f .Dac A este o submulime fuzzy ( vag ) a lui X , aplicaia ]1,0[: X f A se numete funciade apartenen a lui A.O submulime fuzzy A este definit prin: X x x f x A /, .

Observaii . n cazul particular n care A f nu ia dect dou valori 0 sau 1, submulimea fuzzy A

este o submulime clasic a lui X. Deci, o submulime clasic este un caz particular desubmulime fuzzy.

Definiia mulimilor fuzzy clarific distincia dintre aleator i fuzzy : fenomenulaleator este rezultatul incertitudinii n ceea ce privete apartenena sau non-apartenena unui obiect la o clas; n cadrul unui fenomen fuzzy exist mai multegrade de apartenen intermediare ntre apartenena total i non -apartenena.

Noiunea de mulime fuzzy permite tratarea:- categoriilor cu limite definite neclar (centrul oraului , vechi )- situaiile intermediare ntre totul i nimic ( aproape negru )- trecerea progresiv de la o proprietate la alta (de la aproape la departe )- claselor evitnd utilizarea arbitrar a limitelor rigide (este dificil s spui c o cassituat la 200 m de plaj este aproape, dar dac este la 210 m este departe) !

Exemple de submulimi fuzzy Elementele lui X care posed o anumit proprietate constituie o submulime A a lui X, n

sensul cunoscut al teoriei mulimilor. Se noteaz Prop(A) proprietatea asociat .1. Pentru Prop(A) = d in regiunea parisi an graficul este dat n figura 1.

Figura 1

2. Pentru Prop(A1) = departe i Prop(A2) = aproape o posibil reprezentare afunciilor de apartenen este dat n figura 2.


3/14


Figura 2

De ce o posibil reprezentare ?Din figura 2 constatm, de exemplu, pentru Prop(A2) = aproape (graficul trasat cualbastru) c avem:

1,1002

m A

, 1,2002

m A

, 5.0,3002

m A

, 0,4002

m A

, 0,5002

m A

adic, pentru distane mai mari de 400 m gradul de apartenen la proprietatea aproape este zero. Aceast reprezentare este subiectiv. Pentru o alt persoan esteposibil ca orice distan mai mic de 1 km s aib gradul de apartenen la proprietatea aproape de 1 i gradul de apartenen 0 s nceap pentru distane mai mari de 5 km.

3. Pentru Prop(A) = e ste t nr n figura 3 avem o reprezentare subiectiv:

Figura 3


4/14

90 Dorin Lix ndroiu

4. Pentru Prop(A) = este de vrst medie n figura 4 avem o reprezentare subiectiv:

Figura 4

5. Pentru Prop(A) = e ste n vrst n figura 5 avem o reprezentare subiectiv:

Figura 5

Op eraii cu s ubmulimi fuzzy

Defini ia 1. Dou submulimi fuzzy A i B ale lui X sunt egale dac funciile lor deapartenen iau aceeai valoare pentru orice element din X :

x f x f X x B A, (1)

Definiia 2. Fiind date dou submulimi fuzzy A i B ale lui X , se spune c A este inclus nB dac funciile lor de apartenen sunt astfel nct:

x f x f X x B A, (2)


5/14


Defini ia 3. Intersecia a dou submulimi fuzzy A i B ale lui X este submulimea fuzzyC ,astfel nct:

x f x f x f X x B AC ,min, (3)min desemnnd operatorul de minimizare.

Defini ia 4. Reuniunea a dou submulimi fuzzy A i B ale lui X este submulimea fuzzyD,astfel nct:

x f x f x f X x B AC ,max, (4)max desemnnd operatorul de maximizare.

Modelarea deciziei managerialeFie:

D - o decizie fuzzyreprezentat de funcia de apartenen D(x)

O - un obiectiv fuzzycu funcia de apartenen O(x) R - o restricie fuzzycu funcia de apartenen R(x)

x - un element al mulimii de alternative A

Decizia vag este dat de: ROD (figura 6)

A x x x x ROD ,,min

iar x x x x x RO x

Dopt

,minmaxmax| (5)

Figura 6


6/14

92 Dorin Lix ndroiu

STUDIUL DE CAZ Nr. 1 Selectarea personalului [1] Dorim selectarea unor persoane bine pregtite profesional i care s aib o stare bun de sntate .

Notm :

A - mulimea persoanelor bine pregtite profesional B - mulimea persoanelor avnd o stare bun de sntate T - durata total (maxim) necesar pregtirii profe sionalePmax - punctajul maxim

Pentru proprietatea A - bine pregtite profesional calculm urmtoarea funcie deapartenen:

maxP

p

T

t x f i i i A

unde:

t i - durata pregtirii lui x i p i - punctajul obinut de x i

Pentru proprietatea B - stare bun de sntate apartenena persoanei x i poate fistabilit prin analize, teste medicale pentru fiecare subsistem: nervos, circulator,digestiv, visual, auditiv etc. Calculm urmtoarea funcie de apartenen:

maxmax2

2max

1

1 ....s

isi i i B

P

p

P

p

P

p x f

n final, calculm pentru fiecare persoan funcia de apartenen la proprietatea A i B:

i Bi Ai B A x f x f x f ,min

Ordonarea descresctoare a valorilor funciei de apartenen (3) va permite selectareapersoanelor care ndeplinesc cele dou proprieti: bine p regtite profesional i starebun de sntate .

STUDIUL DE CAZ Nr. 2 Selectarea personalului [2] [BOJADZIEV, 1995]

Pentru a ocupa un post ntr-o organizaie se prezint 5 candidai x i , i=1,2,,5. Acetiaformeaz mulimea de alternative A. Comitetul de selecie vrea s aleag candidatulcare satisface n cel mai mare grad obiectivele:

O1 - experien, O2 - cunotine de utilizare a calculatorului, O3 - vrsta (ct mai tnr).

Comitetul de selecie are o restricie: R - salariul acordat i acceptat s fie ct mai mic.


7/14


Dup analiza CV-urilor, scrisorilor de recomandare i desfurarea interviurilor aurezultat urmtoarele mulimi vagi definite pe mulimea alternativelor:

O1 = {( x1,0.8), ( x2,0.6), ( x3,0.3), ( x4,0.7), ( x5,0.5)}O2 = {( x1,0.7), ( x2,0.6), ( x3,0.8), ( x4,0.2), ( x5,0.3)}

O3 = {( x1,0.7), ( x2,0.8), ( x3,0.5), ( x4,0.5), ( x5,0.4)}R = {( x1,0.4), ( x2,0.7), ( x3,0.6), ( x4,0.8), ( x5,0.9)}

Decizia va fi dat de: ROOOD 321

iar funcia de apartenen D(x) este:D(x)= {( x1,0.4), ( x2,0.6), ( x3,0.3), ( x4,0.2), ( x5,0.3)}

Rezulatatul final: xopt = x2 Candidatul x2 are gradul de apartenen cel mai mare la cele 3 obiective i la restricia

impus de comitetul de selecie.

STUDIUL DE CAZ Nr. 3 Optimizarea stru cturii de producie *RAIU, 2002+

O firm este singurul productor intern al produsului P, care se realizeaz n 3 variante:P1, P2, P3. Stabilii pentru perioada urmtoare structura de producie care maximizeazgradul de satisfacere simultan a obiecti velor:

A. Obinerea unui venit ct mai mare sau ct mai aproape posibil de 3000 u.m. ,dar nu mai mic de 2800 u.m. B. Suplimentarea cu cantiti ct mai reduse a disponibilului de resurse. C. Realizarea produciei la nivelul cererii sau ct mai aproape de de nivelulcererii.

Ipoteze:I1. Cererea i preul au fost determinate prin studii de marketing. I2. Resursele pot fi suplimentate cu maximum de 300 uniti fizice fiecare. I3. Cererea nesatisfcut trebuie s fie mai mic de 50 uniti fizice din fiecare variant aprodusului.

Informaiile legate de consumurile unitare, resursele disponibile, cererea i preul unitar

sunt date n tabelul de mai jos:

P1 P2 P3Resurse

disponibileResursa R1 3 1 3 900Resursa R2 1 2 4 800Cererea 200 200 150Pre ul unitar 6 5 8


8/14

94 Dorin Lix ndroiu

Rezolvare: Obiectivele problemei i restriciile au fost formulate vag. Se va asocia omulime vag fiecrui obiectiv i fiecrei restricii.

Variabilele modelului sunt: X1 - cantitatea de produs P1

X2 - cantitatea de produs P2 X3 - cantitatea de produs P3

Construcia funciilor fuzzy i a restriciilor:- funcia de apartenen pentru obiectivul venit: fie: 0,11 b x g

11

11111

11

,1

,

,0

b x g

b x gbb x g

b x g

x Z

(6)

nlocuind n (6) se obine restricia corespunztoare venitului :

Z x x x

200

2003000856 321

Restricia 1 : 2800200856 321 Z x x x

- funcia de apartenen pentru obiectivul resurse: fie : 0,22 b x g

22

22222

22

,0

,

,1

b x g

b x gb x gb

b x g

x Z (7)

nlocuind n (7) se obine restricia corespunztoare resursei R1:

Z x x x

300

33300900 321

Restricia 2: 120030033 321 Z x x x

Analog pentru resursa R2 se obine :Restricia 3: 110030042 321 Z x x x - funcia de apartenen pentru obiectivul cerere este de tipul (6):

Z

x

50

502001

Restricia 4: 150501 Z x Analog pentru cererile produselor P2 i P3 se obin restriciile: Restricia 5: 150502 Z x Restricia 6: 100503 Z x


9/14


n final se mai adaug restriciile pentru Z:10 Z

i condiiile de nenegativitate pentru variabilele modelului.

Funcia obiectiv este: max Z

n figura 7 se prezint datele de intrare ale problemei n modulul Linear Programmingdin QM.

Figura 7

n figura 8 se dau rezultatele obinute:

Figura 8


10/14

96 Dorin Lix ndroiu

Interpretarea rezultatelor:- valoarea lui Z de 0,37 arat gradul de apartenen simultan la toate obiectivele

formulate;- structura de producie optim este :

P1 = 180 buc. P2 = 168 buc. P3 = 118 buc.

- venitul realizat :2800 + 0.37 x 200 = 2874 u.m.

- realizarea structurii de producie optime implic utilizarea resurselor:R1: 1200 - 24.603 - 0.37 x 300 = 1064.397R2: 1100 - 0.37 x 300 = 989

STUDIUL DE CAZ Nr. 4 Model de decizie multicriterial [ANDREICA, 1998]

O firm dorete achiziionarea unui utilaj n conformitate cu exigenele procesuluitehnologic, cu urmtoarele caracteristici (atribute):

C1: pre ct mai mic (u.m.) C2: productivitate mare (uniti fizice / unitatea de timp) C3: cheltuieli de ntreinere mici (u.m. / unitatea de timp) C4: consum mic de energie (unit. fizice de energie / unit. de timp)C5: gabarit mic (mp)

Exist 6 oferte de utilaje care realizeaz operaiile tehnologice, dorite, dar avnd fiecarealte caracteristici:

Utilaj

C1

min

C2

Max

C3

min

C4

min

C5

minU1 12.0 19.0 0.055 2.0 1.20U2 13.5 18.0 0.040 3.5 1.30U3 11.0 16.0 0.050 3.8 1.00U4 10.0 18.0 0.045 3.0 1.40U5 10.0 20.0 0.058 2.5 1.10U6 13.0 14.5 0.040 2.0 1.45

Din analiza datelor rezult c nici unul din utilaje nu ndeplinete simultan toate criteriilede selecie. Deoarece cele 5 criterii au fost formulate vag, se va utiliza teoria mulimilor

fuzzypentru fundamentarea deciziei de investiie. Pentru realizarea investiiei, se face o analiz prealabil i se stabilete pentru fiecarecaracteristic nivelul de aspiraie i abaterea permis la aceste nivel:

C1 C2 C3 C4 C5Nivelul de aspiraie (S) 9 20 0.04 2 1

Abaterea permis () 5 5 0.02 2 0.5


11/14


De exemplu, pentru criteriul C1 (de minim), se dorete (nivel de aspiraie ) valoarea 9, ise poate accepta cel mult 14 (nivel + abatere: 9 + 5= 14 ).Pentru criteriul C2 (de maxim), se dorete (nivel de aspiraie ) valoarea 20 , i se poateaccepta cel mult 15 (nivel - abatere: 20 - 5 =15 ).

Graficul C1 minim Graficul C2 - maxim

Rezolvare:Pasul 1 . Fie 621 ,...,, UUUE mulimea utilajelor.

Definim5 mulimi fuzzycorespunztoare celor 5 criterii de selecie;rezult 5,...,2,1,6,...,2,1,, j i UU i C i j Pentru fiecare criteriu j C decidentul precizeaz un nivel de aspiraie j S fa decare se admite o abatere 0 j .

Pasul 2. Se calculeaz gradul de apartenen al fiecrui utilaj i U la fiecare mulime fuzzy j C , astfel:

- notm cu i j UV valoarea criteriului j C pentru utilajul i U - gradul de apartenen pentru mulimile fuzzyse determin n funcie de tipulcriterului de selecie max / min Pentru criteriile de minim, gradele de apartenen se calculeaz cu ajutorulfunciei:

j j i j

j j i j j j

j i j

j i j

i C

SUV daca

SUV Sdaca

SUV SUV daca

U j

,0,1

,1

(8)

Pentru criteriile de maxim, gradele de apartenen se calculeaz cu ajutorulfunciei:

1

0 14 19

1

015 20


12/14

98 Dorin Lix ndroiu

j j i j

j i j j j j

i j j

j i j

i C

SUV daca

SUV SdacaUV S

SUV daca

U j

,0

,1

,1

(9)

Utilaj 1C 2C 3C 4C 5C

U1 0.4 0.8 0.25 1 0.6U2 0.1 0.6 1 0.25 0.4U3 0.6 0.2 0.5 0.1 1U4 0.8 0.6 0.75 0.5 0.2U5 0.8 1 0.1 0.75 0.8U6 0.2 0 1 1 0.1

Pasul 3. Pentru fiecare utilaj se calculeaz intersecia celor 5 mulimifuzzy asociate

criteriilor .5,...,2,1, j C j Gradul de apartenen al fiecrui utilaj la interseciamulimilor fuzzyeste dat de relaia:

i C i C i C i UUUUC C C C C 52154321 ,...,,min

Rezult: max {0.25, 0.1, 0.1, 0.2, 0.1, 0} = 0.25

Pasul 4. Se alege utilajul cu cel mai mare gradde apartenen la mulimea intersecie acelor 5 criterii de selecie.

Decizia:alegem utilajul U1 !Datorit gradului mic de apartenen la cerinele solicitate, se impune analizareai a altor oferte.

Comentariu.Modelul propus consider c toate criteriile analizate au aceeai importan. nrealitatea ponderile subiective acordate criteriilor de ctre decident sunt foarteimportante n stabilirea corect a ierarhiei variantelor. Presupunem c decidentul acord ponderi diferite celor 5 criterii analizate:

05.0,2.0,15.0,2.0,4.0W

Aplicnd metoda Ponderrii simple aditive (prezentat n capitolul 4), calculm pentrucele 6 variante:

5

16,...,2,1,

j ij j i i w U f

unde ij reprezint gradul de apartenen al variantei (utilajului) i U la criteriul . j C


13/14


Obinem: f(U1) = 0.587 f(U2) = 0.380 f(U3) = 0.425 f(U4) = 0.662

f(U5) = 0.725 f(U6) = 0.435

Ordinea de clasificare a utilajelor: U5 > U4 > U1 > U6 > U3 > U2Decizia:alegem utilajul U5 !

Rezumat Concepetele fuzzy au aprut din necesitatea de a msura cantitativ vagul,

imprecisul. O mulime fuzzy este o mulime n care nu exist o tranziie bruscde la apartenena la non -apartenena unui element la aceast mulime.

Dac A este o submul ime fuzzy (vag) a lui X , aplicaia ]1,0[: X f A senumete funcia de apartenen a lui A. O submulime fuzzy A este definitprin: X x x f x A /, .

Definiia mulimilor fuzzy clarific distincia dintre aleator i fuzzy :fenomenul aleator este rezultatul incertitudinii n ceea ce privete apartenenasau non-apartenena unui obiect la o clas; n cadrul unui fenomen fuzzy existmai multe grade de apartenen intermediare ntre apartenena total i non -apartenena.

n cazul n care obiectivele problemei i restriciile liniare au fost formulatevag se poate construi un model ce conduce la problema de programare liniar ,asociind o mulime vag fiecrui obiectiv i fiecrei restricii.

Dac ntr-un model de decizie multicriterial, criteriile sunt formulate vag,se poate utiliza teoria mulimilor fuzzy pentru fundamentarea deciziei. Pentrufiecare criteriu se stabilete un nivel de aspiraie i o abatere permis la acestnivel. Pe baza valorilor variantelor se definesc mulimi fuzzy corespunztoarecriteriilor de selecie . Din analiza acestor mulimi fuzzy va rezulta o clasificare avariantelor. Exist posibilitatea de a introduce n model i ponderile subiectiveacordate criteriilor de ctre decident. Acestea sunt foarte importante n

stabilirea corect a ierarhiei variantelor.

Test de evaluare a cunotinelor 1. O firm realizeaz un produs n dou variante: V1 i V2, folosind dou resurse,R1 i R2. Pentru o unitate din V1 sunt necesare dou uniti din R1 i trei unitidin R2, iar pentru o unitate din V2 sunt necesare trei uniti din R1 i douuniti R2. Cantitatea disponibil din R1 este 28, iar din R2 este 22. Profitul


14/14

100 Dorin Lix ndroiu

pentru o unitate din V1 este 10 u.m., iar pentru V2 este de 9 u.m.a) Determinai planul optim de producie i profitul maxim n situaia n carecererea zilnic stabilit pentru V2 reprezint cel puin 70% din totalul cereriiprodusului. (Construii i rezolvai modelul).b) Firma i-a stabilit ca int de profit 120 u.m. i se accept o nerealizare de cel

mult 10%. Resursa R2 poate fi suplimentat cu cel mult6 uniti, iar resursa R1cu cel mult 5 uniti. Determinai planul optim de producie i profitul maxim. (Construii i rezolvai modelul).

2. O persoan dorete s cumpere un autoturism i selecteaz 4 criterii: C1: pre ct mai mic (miiu.m.)C2: consum ct mai mic (l/100km)C3: cheltuieli de ntreinere mici (u.m./10000 km)C4: grad de confort ct mai mare, nivel dotri, siguran

(apreciere pe o scal 1...20 pct., cu max = 20 pct.)Adun 5 oferte i analizeaz prin prisma criteriilor. Din analiza datelor rezult cnici unul din autoturisme nu ndeplinete simultan toate criteriile de selecie.

C1min

C2min

C3min

C4max

AUTO 1 12.5 5.2 45 16 AUTO 2 14.5 5.7 50 19 AUTO 3 11.0 6.2 40 17 AUTO 4 10.0 5.8 55 15 AUTO 5 10.5 5.6 45 16

Persoana studiaz, analizeaz i stabilete c la acest moment dispune de 10 miiu.m. i ar putea suplimenta aceast sum, dar nu ar da pe main mai mult de15 mii u.m. Legat de consum ar dori ca autoturismul s aib un consum ct maimic, ntre 5 i 6 l/100km. La criteriul 4 ar dori, evident, aprecierea maxim, darnu mai puin de 16 pct. Consider criteriul pre cel mai important, iar la celelaltecriterii le acord ponderi subiective egale de 10%. Stabilii iera rhia celor 5autoturisme. ( Construii i rezolvai modelul de clasificare )

Date post:	14-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	ciuraru-lavinia
View:	267 times
Download:	7 times

Cap6 Modelare Fuzzy

Documents