4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 27 4. ELEMENTE PRIVIND CALCULUL TENSIUNILOR I ARIEI DE CONTACT 4.1. Micare i fore n punctul de contact [A6, A14] 4.1.1. Sistem de referin conforme - se "potrivesc" exact sau se pot deformampreun; exemple: lagre axiale, radiale, ambreiaje; Suprafeele solidepot fi:nonconforme - au profile diferite: punctuale,- liniareexemple: rulmeni cu bile, role (conform - ntr-o direcie,i neconform - n direcie perpendicular).

Planul tangent x - y = plan osculator (fig.4.1.1) Direciilexiyscoincid,pectposibil,cuaxelede simetrie ale suprafeelor. De ex: pentru contactul a doi cilindri cu axele paralele, axa oy se alege n lungul axelor paralele, iar ox perpendicular. Pentru profile nedeformate, z1 = f1 (x,y) z2 = f2 (x,y) Distana de separare nainte de ncrcare: h = z1 + z2 = f (x,y) (4.1.1) Fig. 4.1.1 4.1.2. Micarea relativ a suprafeelor - alunecare, rostogolire i spin (pivotare) Micarea corpurilor solide - pentru un timp foarte scurt - instantanee. Punct de referin - punctul de contact 0. Corpul 1 are viteza liniar V1 i viteza unghiular 1. Corpul 2 are viteza liniar V2 i viteza unghiular 2. Sistemul de referin are viteza liniar V0 i viteza unghiular 0, fiind orientate relativ fa de planele tangent i normal ale punctului de contact. Cu aceste precizri vitezele liniare i unghiulare ale corpurilor fa de 0: v1 = V1 - V0 v2 = V2 - V0 (4.1.2) 1 = 1 - 0 2 = 2 - 0 (4.1.3) Se descompun aceste viteze n sistemul cartezian. Dac contactul este continuu, suprafeele nu de separ niciodat, vitezele n lungul normalei de contactsunt egale Vz1 = Vz2 = Vz0 i

vz1 = vz2 = 0 (4.1.4) Viteza de alunecare relativ n punctul 0: v = v1 - v2 = V1 - V2 ,cucomponentele 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 28 vx = vx1 - vx2 vy = vy1 - vy2(4.1.5) Rostogolireaestedefinitcavitezunghiularrelativntrecorpurinlunguluneiaxedin planul tangent: x = x1 -x2 = x1 - x2 y = y1 -y2 = y1 - y2(4.1.6) Micareadespin(pivotare)estedefinitcavitezunghiularrelativnjurulnormalei comune: z = z1 -z2 = z1 - z2 (4.1.7) Orice micare trebuie s respecte condiia contactului continuu (4.1.4) i poate fi privit ca o combinaie de alunecare, rostogolire i spin. Spre exemplu, roata autovehiculului - normal este rulare - cnd este pe o curb apare i spin; dac derapeaz - alunec fr rostogolire. 4.1.3. Transmiterea forelor n punctul de contact Fora normal P acioneaz n lungul normalie comune - este o for de compresiune (fig. 4.1.2). Fora tangenial Q - n planul tangent - mrimea trebuie s fie mai mic sau la limit egal cu fora de frecare limit Q P(4.1.8) unde este coeficientul limit de frecare. Q se descompune dup dou direcii paralele cu axeleQx , Qy . Pentrualunecarepurforeletangenialesuntla limit egale cu forele de frecare i de sens invers micrii PvvQxxx = (4.1.9)

PvvQyyy = Fig. 4.1.2 Foratransmisnpunctuldecontactarecaefectmodificareacontactului,transformndu-lntr-o suprafa de mrime finit. Caatare,devineposibiltransmitereaunuimomentadiionallafor.Corespondenele acestuimomentMxiMysuntdefinitecamomentederostogolire.Eleproducorezistenla micareaderostogolire,numitfrecarederostogolirei,ngeneral,suntmiciiuneorise neglijeaz. Cea de-a treia componentMz , care acioneaz dup normala comun, se opune micrii de spinisenumetemomentdespin.Cndspinulacompaniazrosogolirea,energiadisipatprin spin i rostogolire se numeterezisten la rulare . 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 29Laacestpunctestepotrivitdenumireaderostogolireliber(inerial).Seva folosi acest termenpentruadescriemicareaderostogolirencarespinulesteabsentiundefora tangenialQn punctul de contact este zero. Aceastaestecondiiadeoprireipornirearoilorvehiculelor.Dacrezistenaderularei frecareanlagresuntneglijate;estencontrastcuroileconductoareiroiledefrncare transmit fore tangeniale sesizabile prin punctele de contact cu solul sau ina. 4.1.4. Traciuni de suprafa Forele i momentele sunt transmise prin suprafaa de contact i pe suprafa. Traciunea normal (presiune)- notat p i traciunea tangenial (datorat frecrii) - notat q, sunt considerate pozitive (fig. 4.1.2). Condiiile de echilibru: =Spds P (4.1.10) ds q QSx x= ,ds q QSy y= (4.1.11) Pentrucontacteleneconforme(inclusivcilindriicuaxeparalele),suprafaadecontactn planul x, y se consider plan, deci: =Sxpyds M ,=Sypxds M(4.1.12) i ( )ds y q x q MSx y z =4.1.5. Exemple 1. Angrenaje evolventice 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 30 Viteza unghiular de rostogolire n jurul axei y ( )2 1 + = (4.1.15) Viteza de alunecare ( ) ( ) ( ) C T T v v v v v 0 0 0 sin sin2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + = = = = (4.1.16) 2. Rulmeni axial - radial cu bile Inelulinterior,inelulexterioricolivia(bilele cucentrulC)serotescnjurulaxeirulmentului cu vitezele unghiulare i, 0 i, respectiv, c. Punctele de contact 0i, 0o axele (zi , xi , yi ), (zo , yo , yo) Vitezele n punctelele de contact

c i i = , c o o = Fr alunecare n 0ivz3 = vx1 ; i 1 1 3R cos r = ; r = raza bilei. Similar n 0o. o oR r2 3cos = Fig. 4.1.4. Eliminnd i oo i123cos Rcos R= (4.1.17) Dacpuncteledecontact0ii0osuntdiametralopuse,unghiuriledecontactiiosuntegale, astfel c i = o . Examinm pivotarea (spinul) n 0i . Viteza unghiular de spin ( )||.|

\| = = = iii1 i 3 i 1 3 z 1 z i ztg0 ArrRsin sin(4.1.18) Pivotarealipsetedacaxabilelor(colivia)intersecteazaxa rulmenilor n punctul A. Analog pentru punctu0o . Pentruabsenaspinuluinambelepunctedecontact,celedou tangente0iyii0oyosuntparalelecuaxarulmentului(rulment radial simplu) sau punctele0ii 02 sunt dispuse astfel nct0iyii0oyointersecteazaxarulmentuluintr-unsingurpunct(punct comun) - cazul rulmentului cu role conice. Fig. 4.1.5. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 31 Sistemul de fore - se consider rulmentul ncrcat cu o for pur axial i, deci, fiecare bil este identic ncrcat. Fiecare contact transmite fora normalPi,o i fora tangenial(Qy)i,o. Presiunea i frecarea ntre bil i colivie introduc fore tangeniale mici i direciaxn punctele0i i0oi sunt neglijate n acest exemplu. Momentuldefrecarederostogolire(My)i,ovafineglijat,darmomentuldespin(Mz)i,o

joac un rol important n determinarea direciei axei de rotaie a bilei. La turaii mari ale bilei apar fore centrifuge apreciabile i un moment giroscopicMg. Se consider bilele n echilibru; fcnd ecuaia de momente n jurul liniei0i0o , se deduce: (Mz)i = (Mz)o(4.1.19) Darpoziiilepunctelordecontact0ii0o idireciaaxeibileiinusuntdeterminate static. De aceea, este necesar i luarea n considerare a forelor tangeniale(Qy)i,oi momentului de spin(Mz)i,odin micarea de rostogolire i spin a punctelor0ii0o . 4.2. Contactul normal al solidelor elastice (teoria lui Hertz) 4.2.1. Geometria suprafeelor netede non-conforme Se cer urmtoarele: -geometria suprafeei de contact; -mrimea i distribuia traciunilor normale, tangeniale transmise n lungul contactului; -tensiunile i deformaiile n ambele corpuri i n apropierea regiunii de contact. Seconsidercorpurileattlascarmicroctimacro,canetede,profilelesuprafeelorsunt continue - axele z sunt pozitive - ctre interiorul corpurilor. Profilele n apropierea originii pot fi aproximate cu expresiile: z1 = A1 x2 + B1 y2 + C1 xy + ... (4.2.1)neglijnd termenii de ordin superior. Alegerea orientrii axelor x i y, x1 i y1,se face astfel nct ca xy s se reduc( 0), i (4.2.1) poate fi scris:

2112111y' ' R 2 1x' R 21z + = (4.2.2.a) undeR1'i R1'' sunt razele principale de curbur ale suprafeei n origine. Aceste raze se aleg astfel nct curbura s fie maxim i minim pentru toate punctele posibile n seciunea transversal a profilului. Dac seciunea transversal este simetric, atunci exist o singur raz principal. Similar, se scrie pentru a doua suprafa: ||.|

\|+ =2212222y' ' R 2 1x' R 21z (4.2.2.b) Separarea ntre dou suprafee esteh = z1 - z2 . n acelai sistem de axex, yCxy By Ax h2 2+ + =La o alegerea a axelor astfel nctC = 0, 2 2 2 2y' ' R 21x' R 21By Ax h + = + = (4.2.3) unde A i B sunt constane pozitive,R'i R''sunt definite ca raze principale relative de curbur. Dac axele principale de curbur ale fiecrei suprafee x1 i x2 sunt nclinate cu unghiul , 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 32 ||.|

\|+ + + = |.|

\|+ = +' ' R1' R1' ' R1' R121' ' R1' R121B A2 2 1 1 (4.2.4) i 2 / 12 2 1 122 221 12 cos' ' R1' R1' ' R1' R12' ' R1' R1' ' R1' R121A B)`||.|

\|||.|

\| +||.|

\| +||.|

\| = (4.2.5) ||.|

\| ||.|

\| = 2 sin' ' R1' R1212 sin' ' R1' R121C1 1 2 2. Legtura ntreieste astfel nctC = 0. ||.|

\| + ||.|

\| = 2 cos' ' R1' R1212 cos' ' R1' R121A B2 2 1 1 Se introduce raza echivalent ( ) ( )2 / 1 2 / 1eAB21' ' R ' R R= = ; ( ) ( ) b / a ' ' R / ' R A / B2 / 1 2 / 1= = =raportulsemi-axelorelipseide contact. Exemple: Pentru doi cilindri cu aceeai raz R (R'1 = R = R'2, R''1 = R''2 = )i ncruciai cu unghiul = 45o R / 1 B A = +i ( ) R A B 2 / 1 = i( ) ) 2 /( 2 / 1 1 R A = i ( ) ) 2 /( 2 / 1 1 R B + =; R' = 1/(2A) = 3,42 RiR'' =1/(2B) = 0,585 R. Razaechivalent( ) ( ) 41 , 2 / , 2 ' ' '2 / 1 2 / 1= = = A B R R R Re.Acestaesteraportuldintre semiaxa mare i semiaxa mic a elipsei,fig. 4.2.1(a). Sub sarcinnormal decompresiune "punctul"de contactse transformn arie.Daccele doucorpuri 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 33sunt solide de revoluie iR'1 = R''2 = R1, R'1 = R''2 = R1, R'2 = R''2 = R2 A = B =||.|

\|+2 1R1R121 contactul circular centrat n 0. Doi cilindri cu razeleR1iR2 i cu axele paralele n lungul axeiy,R'1 = R1, R'1 = , R'2 = R2, R''2 = i = 0, R''2 = i = 0,astfel c( ), R / 1 R / 121A2 1 + = B = 0. Pentru doi cilindri cu axele perpendiculareR'1 = R,R''1 =,R'2 = R, R''2 = , = /2 A = B = (R/2)-1 cerc de contact la fel ca la sfere de aceeai razRn contact cu un plan(R'2 = R''2 = ). SeconsideracumdeformaiasubforanormalP.Dousolidecucurburilegenerale(alese convexe pentru convenien) - fig. 4.2.2 . nainte de deformaie, ntre dou puncte ale suprafeeiS1 (x1y1z1)i S2 (x1y1z2) exist h dat de 4.2.3. Dup deformare, punctele S1i S2 coincid, astfelc 2 1 2 z 1 zh u u + = + + (4.2.6) Deformaiile 1 zu i 2 zu seconsiderpozitiven interiorul fiecrui corp. Scriind = 1 + 2 i utiliznd(4.1.3) 2 22 z 1 zBy Ax h u u = = + (4.2.7) unde x i y sunt coordonate comune punctelorS1 iS2

proiectate pe planulx - y. Dac S1 iS2sunt n afara contactului2 22 z 1 zBy Ax u u > + (4.2.8) Pentrurezolvareaproblemei,estenecesarsseafle distribuia de presiuni ntre cele dou corpuri pe suprafaa de contact, astfel ca deplasrile normale nzonadecontactssatisfaccondiiile(4.2.7)iinecuaia(4.2.8)pentruzonadinafara contactului. Hertz a propus ipotezele: -suprafaadecontactesteeliptic-observaieexperimentalpentruinterfranjurilede lumin; -frecarea corp este un semispaiu elastic; -zona de contact este mic i plan eliptic (elasticitate liniar); -n zona de contact nu exist frecare, ci numai presiuni normale. Traciuneanormalesteparalelcuaxa0zitensiuniletangenialeceaparcaurmarea celor normale acionaz n planul x - y. Notnd cua dimensiunea ariei de contact, raza de curbur relativR , razele semnificative R1 i R2pentru cele dou corpuri i lungimeal , ipotezele lui Hertz sunt: 1.suprafeele sunt continue i non-conforme: a < < R ; 2.deformaiile sunt mici: a < < R ; 3.fiecare solid poate fi considerat semispaiu elastic: a < < R1,2a < < l ; 4.suprafaa fr frecare : q x = q y = 0. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 34Problema de elasticitate poate fi acum formulat: distribuia presiunii p (x, y) acioneaz pe aria S a suprafeeicelordousemispaiielastice,carevaproducedeformaiinormalealesuprafeelor 1 zu i2 zu , care satisfac ecuaia (4.2.7) n interiorul S i (4.2.8) n afara lui S. 4.2.2. Teoria lui Hertz pentru contactul elastic a) Solide de revoluie Iniial, un caz simplu al solidului la revoluie: R'1 = R''1 = R1 iR'2 = R''2 = R2. Aria de contact va fi circular, avnd raza a. Din ecuaia (4.2.4)i(4.2.5)este clar c ( )2 1R / 1 R / 121B A + = = .Condiiile de frontier pentru deplasrile din interiorul contactului deduse din (4.2.7); se pot scrie: ( )22 z 1 zr R 2 / 1 u u = + (4.2.9) O distribuie de presiuni care satisface aceast condiie a fost propus de Hertz ( ) { }2 / 12oa / r 1 p p =cu deplasarea normal: ( ) a r , r a 2a 4pE1u2 2 o2z =Presiunea ce acioneaz pe cel de-al doilea corp este egal cu aceea ce acioneaz pe primul, scriind: 222121E1E1E1 + = i, substituind expresiile 1 zu i2 zu n (4.2.9) ( ) ( )2 2 2 or R 2 / 1 r a 2aE 4p = (4.2.10) Pentrur =0 = E 2 / ap0 r = R ( )2 2 2 0RR 21R a 2aE 4p = = E 2 / R p a0i = E 2 / ap0(4.2.11)(4.2.12) Dar( )m 02m20a0p32p a p a p32rdr 2 r p P = = = = (4.2.13) Cunoscnd: P, R i E* 3 / 1E 4PR 3a|.|

\|=(4.2.14) 3 / 122 2RE 16P 9Ra||.|

\|= = (4.2.15) 3 / 12 3220RPE 6a 2P 3p||.|

\|==(4.2.16) 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 35naintecasoluiile(4.2.15)i(4.2.16)sfieacceptatecaunice,severific(4.2.7),dar trebuie s se verifice i (4.2.8). Substituind soluia general: ( ) ( ) ( )( ) { }2 / 12 2 2 1 2 2 02zr / a 1 r / a R r / a sin r a 2a 2PE1u + =, r a i,utiliznd(4.2.11),poatefiverificatcdistribuiahertzianapresiuniinuestevalabilpentru exteriorul cerculuir = a. Laontrebareasupraunicitiisoluieidistribuieidepresiuneserspundeprinfaptulc aceast distribuie produce o deplasare uniform n interiorul cercului de contact. ( ) { }2 / 120a / r 1 ' p p =Fiecare presiune poate fi adugat sau sczut presiunii hertziene, astfel c satisface condiia deplasrii (4.2.9). Totui, presiunea tinde ctre n imediata apropiere a zonei ncrcate, n maniera penetratorului rigid. Deci,celedoucorpurielastice,avndprofilelecontinuinupotdezvoltapresiuninafara zonei cerculuir = a. Pe de alt parte, dac distribuia de presiuni ( ) { }2 / 120a / r 1 ' p p =s-ar scade dinpresiunea hertzian, traciunea normal n interiorul zonei ar fi de ntindere i de amplitudine . n absena adeziunii ntre cele dou suprafee, suprafeele nu pot susine tensiuni, astfel c ambele traciuni pozitive i negative sunt excluse. Deci, singura distribuie care satisface (4.2.9) este distribuia Hertz i reprezint soluia unic a problemei. Tensiunileninteriorulcelordousolide,determinatededistribuiadepresiuni,au expresiile (4.2.17) i (4.2.18) i sunt pretzentate n fig. 4.2.3. -n interiorul suprafeei de contact ( ) ( ) { } ( )2 / 12 22 / 32 2 2 20 ra / r 1 a / r 1 1 r / a32 1p / = ( ) ( ) { } ( )2 / 12 22 / 32 2 2 20a / r 1 2 a / r 1 1 r / a32 1p / = (4.2.17) ( )2 / 12 20 za / r 1 p / = i n exteriorul suprafeei de contact ( )2 20 0 rr 3 / a 2 1 p / p / = =

(4.2.18) Toatetensiunilesuntdecompresiune,cuexcepia celordepemuchiadecontactlacaretensiunile radialeauvaloareamaxim(1-2)p0 /3.Aceasta esteceamaimaretensiunedentindereieste determinat pentru fisurarea materialelor casante, cnd suntpresateninteriorulcontactului.ncentru, tensiunearadialestedecompresiuneiarevaloare (1 + 2) p0 / 2. Pentru materialele incompresibile ( = 0,5),tensiuneancentruestehidrostatic.nafara arieidecontact,tensiunileradiale i circumfereniale Fig. 4.2.3 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 36sunt egale ca mrime i sunt de ntindere i compresiune (ec. 4.2.4). Expresiile pentru tensiunile de sub suprafa n lungul axei z sunt date de ecuaia (4.2.19) ( ) ( ) ( ) { } ( ) 12 2 10 0ra / z 121z / a tan a / z 1 1p p + + + ==(4.2.19.a) ( ) [ ]12 20 0za / z 1p p+ ==(4.2.19.b) Elesunttensiuniprincipaleitensiuneatangenialprincipal |.|

\| = z r 121are valoarea 0,31 p0 la adncimea 0,48 a (pentru = 0,3). Aceasta este tensiunea tangenial maxim i depete tensiunea tangenial pe muchia de contact0 rp 13 , 021= = . Condiiiledeplasticitateseiniiazdesubsuprafa.Acestaspectsevaanalizanparagraful urmtor. b) Profile generale n cazul general, cnd separarea este dat de (4.2.3), forma suprafeei de contact nu este cunoscut cu certitudine n avans. Se consider, prin urmare, c S are form eliptic de semiaxeaib. Hertzaconsideratproblemaelasticitiiprinanalogiecupotenialulelectrostatic.Elanotatco sarcin, a crei intensitate este dispus ntr-o regiune eliptic a suprafeei conductorului, variaz cu ordonata unui semielipsoid, produce o variaie a potenialului dup o suprafa parabolic. Prin analogie, distribuia de presiuni este data de ecuaia ( ) ( ) { }2 / 12 20b / y a / x 1 p p =i produce deplasri n interiorul elipsei date de ecuaia: ( )2 221Ny Mx LEuz =Pentru ambele corpuri, ( ) = + E / Ny Mx L u u2 22 z 1 z(4.2.25) care satisfac condiia (4.2.7): 2 22 z 1 zBy Ax u u = + cu ( )( ) ( ) ( ) { } e E e K a e / b E / p E / M A = = 2 20(4.2.26.a) ( )( ) ( ) ( ) ( ) { } e K e E b / a a e / b E / p E / N B = = 2 2 2 20 (4.2.26.b) ( ) ( ) e bK E / p E / L = = 0 (4.2.26.c) undeE(e)iK(e) sunt integrale eliptice de argument ( )2 / 12 2a / b 1 e = , b > a Distribuia de presiuni este semi-elipsoidal i de volum cunoscut al elipsoidei ( ) ab p ab p 3 / 2 Pm 0 = =(4.2.27) cupm = (2/3)p0 - presiune medie. Pentru definirea formei i mrimea elipsei de contact, se poate scrie: 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 37( ) ( ) ( )( ) ( ) e E e Ke K e E b / a' ' r' RAB2=|.|

\|=(4.2.28) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } [ ]2 / 122 20e2 / 1 2 / 1e E e K e K e E b / ae abEpR ' ' R ' R / 121AB = = =(4.2.29) Se scriec = (ab)1/2 i, nlocuind pentru p0 (4.2.27) n (4.2.29) , rezult: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } [ ]2 / 12 2 / 32c2 / 3 3e E e K e K e E b / a a / be4E 4PR 3ab c |.|

\|= = i( ) ( ) e FE 4PR 3ab c13 / 1e2 / 1|.|

\|= =(4.2.30) Din (4.2.26.c) i (4.2.27) rezult: ( ) ( ) e FR E 16P 9e bKabE 2P 323 / 1e22||.|

\|== (4.2.31) i ( ) { }3 / 213 / 12e320e FRPE 6ab 2P 3p||.|

\| =(4.2.32) Excentricitatea elipsei de contact este independent de sarcin i depinde numai de raportul curburilor R'/R'', dat de ecuaia (4.2.28). Se verificinegalitatea2 22 z 1 zBy Ax u u > + . Dacaibsunt semiaxele n direciaxiycu a > b, n centrul suprafeei de contact. ( )( ) { } b a b px+ + = 2 1 20(4.2.34.a) ( ) ( ) { } b a a py+ + = 2 1 20(4.2.34.b) Pe muchia de contact a semiaxelor,x = a,y = 0 ( ))` = = 112 1120e tanhe aebpy x(4.2.35.a) ila x = 0,y = b. ( ))`|.|

\| = = beatanaeb1aeb2 1 p120 x y (4.2.35.b) Tensiunea tangenial maxim b/a00,20,40,60,81,0 z/b0,7850,7450,6650,5900,5300,480 (1)max/p00,3000,3220,3250,3230,3170,310 c) Contactul bidimensional al corpurilor cilindrice Doucorpuricilindriceauaxeleparalelecuaxayisuntncrcatecusarcinapeunitateade lungimeP. Hertzaconsideratacestcazcalimitacontactuluieliptic,atuncicndbesteincomparabilmai mare decta. O alternativ este de a considera semispaiul elastic pentru ncrcare liniar. Ecuaia (4.2.3) devine: 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 38( ) ( )2 22 122 1x R / 121x R / 1 R / 121Ax z z h = + = = + =(4.2.36) cu 1/R = 1/R1 + 1/R2. Pentru punctele din interiorul contactului, ecuaia (4.2.7): ( )2 22 z 1 zx R / 1 2 / 1 Ax u u = = + (4.2.37) i pentru punctele exterioare: ( )22 z 1 zx R / 1 2 / 1 u u > + (4.2.38) Din (4.2.37),prin difereniere ( )x R / 1xuxu2 z 1 z =+(4.2.39) Din teoria elasticitii( ) ( ) ( )( )( ) x qE1 2 1dss xs pE1 2xuab2z + + = pentru p(x) care acioneaz n zona- a x a. Presiuneap(x) este aceeai pentru fiecare suprafa, astfel c: ( )dss xs pE2xuxuaa2 z 1 z =+ Substituind n (4.2.39) ( )xR 2Edss xs paa= (4.2.40) Aceast ecuaie integral, pentru o presiunep(x)necunoscut, este de tipul( )( ) x g dss xs Fab=,n care g (x) este polinominal de ordinul 1 (xR 2E). Soluia este de forma ( )( )( )nabBx nEdss xs p11 22+ = pentrun = 1 ( ) R 2EBx 21 2E2= ;deci ( ) 2 / 1 a / x I I2 21 n = =Deci ( )( ) ( )2 / 12 22 / 12 22 2x aPx a2 / a xR 2Ex p + =(4.2.41) Expresia pentru presiune nu este unic definit pn ce semilimea a nu este cunoscut ca funcie de foranormalP.Iniial,senoteazcpresiuneatrebuiesfiepozitivdelauncaptlaaltulal contactului, pentru care: R 4 / E a P2 Dac P depeteR 4 / E a2 nseamn c presiunea crete la pentru x = a. Semispaiul elastic poate fi considerat ncrcat prin distribuia de forma p0 (1 - x2/a2)-1/2 . 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 39Gradientulsuprafeeinafarazoneincrcareeste,decinuesteconsistentcuproblemapusn discuie prin (4.2.38). Deci, trebuie ca R 4 / E a P2 = i =EPR 4a2 (4.2.43) Deci,( ) ( )2 / 12 22x aaP 2x p = (4.2.44) Presiunea maxim 2 / 1m 0RPEp4aP 2p||.|

\|=== (4.2.45) Fig. 4.2.4 unde 0 mp4p=- presiune medie. Tensiunileninteriorulceordousolide pot fi determinate substituind presiunea (4.244) n ecuaiile generale ale elasticitii. Pe interfaa de contact,( ) x py x = = i n afara regiunii de contact toate tensiunile sunt nule. Prin integrare n lungul axeiz ( )( ) { } z 2 z a z 2 aap 2 / 12 2 2 2 0x + + = (4.2.46.a) ( )2 / 12 20 zz a a p+ = (4.2.46.b) Acestea sunt tensiuni principale, astfel c tensiunea tangenial principal este: ( ) { }2 / 12 2 20 1z a z z a p = de la care ( )0 max 1p 30 , 0 = la z = zo = 0,78 a(4.2.47) AcestetensiunisuntindependentedecoeficeintulPoisson;pentrustareaplandedeformaie,cea de-a treia tensiune( )y x y + = . Variaia tensiunilor x1, z i 1 din(4.2.46) sunt prezentate n fig. 4.2.5. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 40 Fig. 4.2.5 (a) - Tensiunile de sub suprafa n lungul axei de simetrie (b) tensiunile principale1/p0 Mc Ewen (1949) a obinut tensiunile ntr-un punct (x, z) n termeniimindefinii prin: ( ) { } ( )

+ + + + =2 2 22 12 222 2 2 2421z x a z x z x a m/ (4.2.48.a) i( ) { } ( )

+ + + =2 2 22 12 222 2 2 2421z x a z x z x a n/(4.2.48.b) unde semnele luiminsunt aceleai cu cele ale luixiy respectiv. Drept care )`||.|

\|+++ = z 2n mn z1 map2 22 20x(4.2.49.a) ||.|

\|++ = 2 22 20zn mn z1 map(4.2.49.b) ||.|

\|+ = 2 22 201n mz mnapxz (4.2.49.c) 4.2.3. Modelul cu fundaie elastic (Winkler) Dificultileteorieicontactuluielasticsuntdeterminatede faptul c deplasarea unui punct depinde de presiunea ntregului contact ca fiind o funcie integral. AceastdificultateesteevitatdacsolidelepotfimodelateprinfundaieelasticWinklersau "saltea" dect prin modelul semispaiului elastic. Acest model este ilustrat n fig. 4.2.7. Fundaiaelastic,degrosimeh,esterezemat peobazrigidiestecomprimatdeunpenetrator rigid. Profilulpenetratorului,z(x,y),esteconsideratca sumacelordouprofilealecorpuluicetrebuie modelat, ( ) ( ) ( ) y , x z y , x z y , x z2 1+ =(4.2.50) Fig.4.27 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 41 Seneglijeaztensiuneantreelementeleadiacente.Dacpeneraianorigineestenotatcu, deformaiile elastice normale ale fundaiei (saltelei) sunt: ( )( ) > =z 0z , y , x zy , x uz (4.2.51) Presiunea de contact ntr-un punct depinde numai de deplasarea n acel punct: ( ) ( ) ( ) y , x u h / K y , x pz=(4.2.52) unde K este modulul elastic al fundaiei. Pentru dou corpuri cu profile curbe, avnd razele de curburR'iR'' , z(x, y)- ( ec. 4.2.3. 2 2 2 2y' ' R 21x' R 21By Ax n + = + =) se poate scrie: ( ) ( ) ' ' R 2 / y ' R 2 / x u2 2z = (4.2.53) ninteriorularieidecontact.deoarece0 uz= nafaracontactului,graniaesteelipsadesemiaxe( )2 / 1' R 2 a =i( )2 / 1' ' R 2 b = . Presiunea de contact, dat de (4.52), este: ( ) ( ) ( ) ( ) { }2 2 2 2b / y a / x 1 h / K y , x p = (4.2.54) care este un parabolid egal cu cel dat de Hertz. Prin integrare se deduce sarcina total h 2 / ab K P = (4.2.55) n cazul axial simetric( )2 / 1R 2 b a = = i RahKa4P3|.|

\| = (4.2.56) Pentru cazul contactului bidimensional al cilindrilor coaxiali, din ec. (4.2.37), ( )2 22 z 1 zx R / 121Ax u u = = +, ( ) R / x a R / x uz2 22 2 2 = = (4.2.57) astfel c,( ) ( )( )2 2x a Rh 2 / K x p = (4.2.58) i sarcina RahKa32P2|.|

\|=(4.2.59) Ecuaiile(4.2.56)i(4.2.59)stabilesclegturantresarcinilimeadecontact. Comparnd limea cu cea dat de ecuaiile lui Hertz(4.2.22)i(4.2.43), 3 / 1E 4PR 3a|.|

\|=,2 14/EPRa |.|

\|=,aE70 , 1hK= i aE18 , 1hK=PentruaconsiderapeKaficonstandematerial,estenecesardeameninesimilaritate geometric la creterea grosimii fundaiei (saltelei) n proporie cu limea de contacta. Alternativ,considerndchestefixat,secerecavaloarealuiKsse reduc proporional cuinversulluia.Esteoconsecinanaturiiaproximativeasoluiei,ncomparaiecusoluialui Hertz. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 42 Dac facem aE35 , 1hK= , valoarea lui a,dat de(4.2.56)sau (4.2.59) pentru o for P, nu are erori mai mari de 7% fa de soluia lui Hertz. Compliana unui punct de contact nu este bine modelat.Datoritneglijriideplasriisuprafeeinafarazoneidecontact,fundaiamodel ("saltea") d: = a2 / 2R, care este jumtate din cea dat de ecuaia lui Hertz (ec. 4.2.23) 3 / 122 2RE 16P 9Ra||.|

\|= = Dacestemaiimportantnaplicaiaparticularcomplianamodelului,sepoateluaa / E 6 , 0 h / K= , limea de contactapoate fi mrit cu factorul 2. Scopulmodeluluifundaie("saltea")estedeaobineoaproximaiesimplasoluiei complexeasemispaiuluielastic.Deexemplu,contactulnormalfrfrecareadoucorpuride profile arbitrare ce nu pot fi reprezentate adecvat de razele lor de curbur, poate fi analizat uor pe aceastcale.Ariadecontactestedeterminatdirectcaformimrimeprinprofilele(x,y)i penetraia. Distribuia de presiuni este dat de (4.2.52), ( ) ( ) ( ) y , x u h / K y , x pz= , icorespondenacusarcinaseobine prin nsumarea direct a presiunii. Pentru o arie de contact a unei forme arbitrare reprezentateprin valoareaa, trebuie determinat raportul (K/h). Modelul fundaie ("saltea") este uor de adaptat, pentru sarcina tangenial i pentru solidul vscoelastic. 4.2.4. Contactul normal non-hertzian al corpurilor elastice 4.2.4.1. Condiiile tensiunilor pe muchia de contact S-avzutn.4.1,catuncicnddoucorpurielasticenon-conforme,avndprofilele continue, sunt presate n contact, distribuia de presiuni ntre ele este unic determinat n interiorul ariei de contact. Dou condiii trebuie satisfcute: 1.pe interfa nu vor aprea tensiuni; 2.suprafeele nu interfereaz n afara zonei de contact. Aceste condiii elimin termenii din distribuia de presiuni de forma: ( )2 / 12 2a / x 1 ccareducetensiuniledetraciunesaucompresivelapemuchiadecontactx=a(veziecuaia (4.2.41)), ( )( ) ( )2 / 12 22 / 12 22 2x aPx a2 / a xR 2Ex p + = . Se consider( )2 / 12 20a / x 1 p p = , distribuie semi-elipsoidal, care face ca p = 0pentrux = a . Dacpresiuneaesterealizatdencrcareliniaridistribuieuniformtensiunilesunt finite, dar gradientul suprafeei este infinit pe muchia de contact ( ) ( ) cax ax aax ax a pEuz+)`|.|

\| + |.|

\| ++ =2 22ln ln1 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 43Acest gradient infinit al suprafeei este asociat cu saltul de presiune de la zero n exterior la valoareapninterior.Esteclarcceledousuprafee,iniialnetedeicontinue,nusepotdeformape aceast cale n afara zonei ncrcate. Acesteobservaiiconduclaunprincipiuimportant:distribuiadepresiunintredoucorpuri elastice,alecrorprofilesuntcontinuepesuprafaademargineaarieidecontact,scadecontinuu ctre zero la margine (principiu apreciat de Boussinesq). Exemplelesuntvalabileattpentrusuprafeelefrfrecaredaripentrufrecareadealunecarela muchiadecontact,q=pi,deasemenea,dacfrecareaestesuficientpentruapreveni alunecarea. Dacunulsauambelecorpuriauprofiluldiscontinuupemuchiacontacului,situaiaeste destul de diferit i, n general, pe muchie apar concenraii puternice de tensiuni. Pentru penetratorul fr frecare, distribuia de presiuni are forma: ( )2 / 12 20a / x 1 pcare, pentru distane mici de unul din coluri, poate fi scris: ( )2 / 10a / 2 pDesigur, tensiuni infinite nu exist n realitate. n primul rnd, teoria elasticitii liniare este valabil numai pentru deformaii mici i, n al doilea rnd, materialele reale se deformeaz plastic la tensiuni finite. Condiiile pe muchia de contact a penetratorului rigid cu semispaiul elastic sunt influenate de frecarea de pe faa penetratorului i de valorile coeficientului Poisson ale semispaiului.Aproape de col( = a - x G1-1,000 Perspexoel0,970,38800,300,970,19 Sticloel220,50800,300,570,21 Duraluminiuoel280,32800,300,610,12 Fontoel450,25800,300,310,12 Carbur de wolfram oel3000,22800,30-0,54-0,24 Cnd exist alunecare ntre pan i semispaiu, tensiunile pe vrf pot fi de forma (a), (c) sau (d) definite nainte, dar valori complexe ale lui s, care conduc la variaii ale tensiunilor. Pentru ca presiunea s fie finit n 0 - cazul (d) -este necesar ca ( ) ( )( ) ( ) + + sin 1 cossin 1 cos(4.2.64) nafardecazulcpresiuneascadepnlazeron0(fig.4.2.8),tensiuneatangenialn semispaii are singularitate logaritmicn 0 - cazul (c). Acesta este cazul presiunii uniforme: Dac excede partea dreapt a relaiei (4.2.64), exist legea puterii a singularitii n punctul 0 cus depinznd de , , i , pana deplasndu-se n sensul pozitiv al axei x.4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 45Pentrudeplasareansensulopusalaxei,valorileluidin(4.2.64)trebuieintrodusecusemn negativ. Concentrarea tensiunilor este redus la deplasarea n sensul axeixi ridicat la deplasarea n sens negativ. 4.2.4.2. Pana teit i conul Pemuchiilepenetratoruluirigidcucoluridrepte presiuneaesteinfinit.Seconsiderdeformaiile suficientdemiciisepoateaplicateoriaelasticitii liniare. Semiunghiul penei sau conului trebuie s fie mai mic de 90o.Dacseconsiderpanabidimensionalcapenetrator pentru suprafaa plan i limea de contact (2a) mic, n comparaiecudimensiunilecorpurilor,atuncisepoate utilizasoluiaelasticasemiplanuluipentruambele corpuri (pan i semispaiu). Deplasrile normale sunt definite de profilul penei: x ctg u uz z = +2 1, - a < x < a (4.2.65) i derivnd: ( ) = + ctg x sign ' ' u ' u2 z 1 z,(4.2.65) unde(sign x) = +1sau-1cndxeste pozitiv i - cndxeste negativ. Neglijndfrecarea,presiuneanormalacioneazpesuprafaisedeterminprin substituire n ecuaia( ) ( ) ( )( )( ) x qE1 2 1dss xs pE1 2xuab2z + + = , ( )( ) = ctg x sign dss xs pE2aa(4.2.66) Aceasta ecuaie integral pentrup(x) poate fi rezolvat innd seama c ( ) ( ) ( ) ( )== 0a2 / 12 2 aba02 / 12 22 / 12 2s xds s as xds s as xds s sign s a ( )( )( ) )` + 2 / 12 22 / 12 22 / 12 2x a ax a aln s a a 2(4.2.67) Astfel, ( )( )( )( ) ( )

+)` +=2 / 12 22 / 12 22 / 12 22 / 12 2x aPx a ax a alnx aa 22ctg Ex p(4.2.68) Dac feele netede ale penei se extind departe de muchia contactului, presiunea poate scdea pn la zero pe muchie i evitarea tensiunilor sau interferena exterioar a contactului, P = aE* ctg (4.2.69) Distribuia de presiuni este 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 46( )( )( )( ) x / a h cosctg Ex a ax a aln2ctg Ex p12 / 12 22 / 12 2 =)` +=(4.2.70) n lungul axei z, componentelexiysunt tensiuni principale, astfel c ( ) ( )2 / 12 2y x 1z a ctga E21 + = = (4.2.71) care are valoarea maxim dedesubtul vrfului ( ) = ctg / Emax 1 Ptrunderea conului n suprafaa plan este similar penei: ( ) ( )( )( ) )` + = = 2 / 12 22 / 12 21r a ar a aln ctg E21r / a h cos ctg E21r p (4.2.72) i fora total =ctg E a21P2. Tensiunea tangenial de pe suprafa este: ( ) + = = 0 rp 2 121 Tensiunea tangenial principal: ( ) ( ) 12 2 2z r 1z a ctg a E2121 + = = i = ctg E21max r 4.2.4.3. Suprafee conforme Subsarcin,ariadecontactcreterapididimensiuniledecontactdevincomparabilecuceleale corpurilor, astfel c relaiile lui Hertz nu mai sunt valabile. Seconsideriniialcontactulcorpuriloralecrorprofilenregiuneadecontactnupotfiadecvat reprezentate prin polinom de ordinul doi dar, totui, pot fi considerate ca semispaii pentru iniierea calculului deformaiilor elastice i tensiunilor. Profilele sunt reprezentate prin polinom al crui grad aproximativ este cerut. Pentru contactul bidimensional K K + + + + = + =n 2n4221 2 1x A x A x A z z h(4.2.73) i pentru contacul axial simetric K K + + + + =n 2n4221r A r A r A h(4.2.74) Substituind (4.2.73) sau (4.2.74) n (4.2.6), 2 1 2 z 1 zh u u + = + + , se gsete condiia ce trebuie satisfcut prin deplasrile fiecrei suprafee n zona de contact. Steuermann(1939)adeterminatdistribuiadepresiunipn(x)ipn(r)pentruprofilede formaAnx2n i Anr2n

( )( ) ( )( ))` |.|

\| |.|

\| =n 2 4 23 n 2 3 1ax21axx aa A Ex aPx p2 n 2 n 22 / 12 2n 2nn2 / 12 2nnKKK(4.2.75) Dac profilele sunt netede i continue, presiunile nu pot fi infinite lax = a, pentru care se consider 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 47( )nna A E n pnn n2 4 21 2 3 12KK =i (4.2.76) ( )( )( )( )2 / 12 24 n 2 2 n 22 n 2n nx a2 n 2 4 23 n 2 3 1ax21axa A nE x p )` + + |.|

\|+ |.|

\|= KKK(4.2.77) Observaie Pentrun = 1 distribuia dup teoria lui Hertz n= mare p(x) = maxim n centru. Pentru problema axial simetric ( )( )( )( ) r a2 n 2 4 23 n 2 3 1ar21ar1 n 2 3 1n 2 4 2 a E nAr p24 n 2 2 n 222 n 2nn)` + + |.|

\|+ |.|

\|)` = KKLKK (4.2.78) Compresiunea ( )n 2na A1 n 2 3 1n 2 4 2 = KK Exemple a) Contactul bidimensional al unui bol ntr-un alezaj (fig. 4.2.9) 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 48Punctele celor dou suprafee S1 i S2 , care vin n contact n S, se deplaseaz elastic att radial ruct i tangenial u . DeoareceRi sunt ambele mici n comparaie cuR1iR2 , = cos CO CS S O2 2 ( ) ( ) ( ) + = + + cos R u R u R1 r 1 2 r 2(4.2.79) sau ( ) = cos 1 R cos u u1 r 2 r(4.2.80) Cndcontactulsesubntindepeununghicarenuestemic,expresia(4.2.80)difer semnificativ de aproximaia Hertz, dat de (4.2.37), ( )2 22 1121x R / Ax u uz z = = + . Acum se cere s se determine distribuia de presiuni normale (neglijnd frecarea) care, acionnd n zona,producedeformaiinsuprafaaboluluiialezajuluiicare satisfac condiia (4,2.80) n intervalul- < < . ProblemaafoststudiatdePersson(1964)careafolositfunciiledetensiuniapropiatedediscul circular i alezajul circular de limea (fig. 4.2.10). Fig. 4.2.10 Problemaanalog-b)sferafrfrecarentr-ocavitate(analizatdeGoodman&Keer (1965) - utiliznd metoda corespunztor corpurilor sferice)- Ei arat c contactul este mai mare cu pn la 25% fa de cel prezis cu teoria lui Hertz. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 494.2.4.4. Influena frecrii interfaciale Frecarea de pe suprafaa de contact a dou corpuri neconforme are rol important, n special pentru materialele cu constante elastice diferite. n zona alunecrii p q =(4.2.81) cudireciaopus,direcieidealunecare.Pentrucazulbidimensionaltraciuneatangenial acioneazparalelcuaxax.ncontactulaxialsimetricalunecareaesteradialiaxialsimetric. Tensiunileideformaiileintrodusedetraciuneatangenialconduclacretereaproporionala zonei de contact i la margini se stabilete o corelaie ntre alunecare i aderen. Dacsarcinaexterioarcreteimrimeazoneidecontactcrete;puncteledecontact mperecheate ale celor dou suprafee, din afara zonei de adeziune, vor suferi deplasri tangeniale diferite. Cnd sunt aduse n zona de adeziune nceteaz deplasarea relativ. Fiecareperechedepunctemeninedeplasarearelativtangenial 2 x 1 xu u ideformaia relativx / u x / u2 x 1 x careacptat-odelanceput.naceastnoustare,mrimea deformaieicretedirectproporionalcua,astfelcpentrudoupunctedecontactdinzonade adeziune la distanax de centru se poate scrie x Cxuxu2 x 1 x=(4.2.82) undeCeste o constant ce se va determina. 1)-Cazulcontactuluiadoicilindricuaxeleparalele(limeadecontact2a)-frecareaelimin alunecare - ntr-o zon centrat caracterizat prin limea 2c: -presiunea p(x) are distribuie simetric i q(x) antisimetric; -deplasrile normale pe suprafaxR1xuxu2 z 1 z = n afara contactului. Dar( ) ( ) ( )( )( ) x qE1 2 1dss xs pE1 2xuab2z + + = innd seama c traciunile sunt egale i opuse ( )( ) , R 2 / x E x q dss xs paa = a x a (4.2.83) unde1/R = 1/R1 + 1/R2ieste o msur a diferenei constantelor elastice ( ) { } ( ) { }( ) { } ( ) { }

+ = 2 2 1 12 2 1 1G / 1 G / 2 1G / 2 1 G / 2 121 n regiunea de adeziune, ( )( )( )( ) ( )dss xs qE1 2x pE1 2 1xuab2x + =, i introducnd n condiia non-slip (fr alunecare)(4.2.82), rezult( )( )c x , x E21s xds s qx paa =+ (4.2.84) ip q (4.2.85) Pentru regiunea de lunecare a x c , p q < < =(4.2.86) semnul lui q fiind determinat de sensul alunecrii. Dac (4.2.83) - (4.2.85) se mpart laa (p/a),(x/a) - mrimi adimensionale. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 50Pentru distribuie hertzian de presiuni, ( ) ( )2 / 12 22x aaP 2x p = a E / p 2 CRPEaP 2p02 / 10 = ||.|

\|==i ( ) ( )( )( )

)` +++=2 / 12 22 / 12 22 / 12 2 0x a ax a aln xx ax aln x aapx q(4.2.87) Dac se analizeaz raportulq(x) / p(x) se observ pe muchia de contact raportul ialunecarea este inevitabil. Zona central fr lunecare,- c x c, pentru materiale identice ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 2 / 2 1 a / c K / a / c ' KundeK (c/a)- integrala eliptic complet;K' (c/a) = K (1 - c2/a2)1/2 Pentru materiale diferite ( ) ( )( )( ) =1 22 2 1a / c K / a / c ' K (curba A) (4.2.88) Pentru zone de contact axial simetrice ( ) ( )( )( )dt3 tr tlnr ttra2rr a alnarr ar1 pr qar2 / 12 222 / 12 22 / 12 2 0

++)` ++ =(4.2.89) i ) a / c ( K )c ac aln(c 2a'=+ (4.2.90) A) - fr lunecare (ec. 4.2.87) B) - alunecare parial / = 0,99c = 0,7 a C) - fr lunecare (ec. 4.2.88) D) - lunecare parial /p = 0,6c = 0,7 a Linia punctatp / p0. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 51Mossakovski (1963) i Spence (1968, 1979) au artat c frecarea poate crete ncrcarea de contact cu cel mult 5% n comparaie cu ncrcarea hertzian, n funcie de ( are valoarea maxim de 0,5 i, practic, 0,2). ncazulcontactuluiliniar,fralunecare,traciuneaq(x)(4.2.81)ducelacretereatensiunilorpe muchia de contact la ( ) ( )0 x xp 2 a a = = ,(4.2.91) compresiunipentrusuprafaadeformabilitraciunepentrucearigid.Alunecareaducela reducerea tensiunilor. Dac alunecarea este complet p q = , ( ) ( ) ( )0 x xp / 4 a a = = (4.2.92) n realitate, alunecarea exist numai pentrux > c , astfel c (4.2.92) se consider valabil pentru c / a < 0,7cnd / < 1,0. Pentru cazul axial -simetric, tensiunea radial (r) crete, astfel c pentru r = a i fr alunecare ( ) ( )0 rp 16 , 0 1 515 , 1 a = (4.2.93) Dac alunecarea este complet ( ) ( )0 rp 23 , 0 1 185 , 1 a = (4.2.94) Relaia (4.2.95) este o aproximaie bun dac c / a < 0,7 cnd / < 0,66. ncazulaxial-simetric,dacpresiuneanormalesteaceeai,tensiunearadiallamarginea contactului are o valoare ce atinge maximul( )0p 2 131 la r =ai descrete cur2 ( )2 20 0 rr 3 / a 2 1 p / p / = = . 4.2.5. Adeziunea ntre corpurile elastice Lanivelatomicsaumolecular,ntreceledousuprafeeidealeaulocforedeatraciei repulsie, echilibrul avnd loc la o distanz0 . Pentruz z0se atrag. Variaia forei pe unitatea de arie n funcie dezpoate fiscrissubforma( ) n m , Bz Az z pm nf + =(4.2.95) n zonaz > z0 apar deci fore de adeziune. Este dificil msurraeaacestorfore.Seapreciazcaomsura lucrului mecanic (2) de a separa suprafeele de laz = z0 laz=idescrieenergiadesuptafadeasecreea suprafeelibere.Dacceledousolidesuntdiferite, energia de separare va fi : 12 2 12 + unde 1i2sunt energiile intrinseci ale celor dou solide i12 energia interfeei. Pentru suprafee contaminate cu film, adeziunea solidelor nu se observ n mod uzual. nlimearugozitilorestemarencomparaiecurazadeaciuneaforelordeadeziune.Dar,n zona real de contact se dezvolt adeziuni i care progresiv se desfac. Excepie de la aceast stare o constituie"mica"careareosuprafaatomicnetedisolidelecumoduldeelasticitateredus 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 52(gelatinasaucauciucul)caresepotadaptalarugozitilesuprafeei.nacestecircumstane,aria real a contactului este egal cu aria aparent. Seanalizeazefectulforeideadeziunenabsenarugozitilorpentrudousolide neconforme axial-simetrice i care fac contactul pe aria circular de raz a. Deplasrile normale elastice satisfac ecuaia: R 2 / r u u22 z 1 z = +( ) ( ) R 2 / r z z u u22 1 2 z 1 z = + = +(5.38) 2112111y' ' R 2 1x' R 21z + = (4.2.96) analog z2 2 1R1R1R1+ =

h = z1 - z2 Condiia(4.2.96)estesatisfcutdeodistribuie de presiuni de forma( ) ( ) ( )2 / 12 2 102 / 12 20a / r 1 p a / r 1 p r p + = (4.2.97) unde R / aE 2 p0 =. Ovaloarepozitivaluip0serespingedeoarecepentrur=aconducelaovaloareinfinitapresiuniip,ceeacearfaceca suprafeelesinterferenafarazoneidecontact;ovaloarenegativa luip'0serespingedeoarecezonadecontactpreianumaicompresiuni (corpurile sunt n contact). nprezenaforelordeadeziune(atracie),nusepoateexclude posibilitateacap'0sfienegativ.Princonsiderarealucruluimecanic decompresiune,datdepresiuneap(r),energiaelasticdedeformaie stocat n corpurile elastice va fi : ( )

+ += + = 20 0 0203 2 a02 z 1 z E' p ' p p32p152Eapdr u u r 2 U (4.2.98) Compresiunea total ( ) ( )( ) ( )( )'0 00 '0222121p2 z 1 zp2 z 1 zp 2 p* E 2a* E 2apa pE1E1u u u u0'0+=+

+ = + + + = (4.2.99) Se consider variaia energiei deformaiei cu raza de contact menionnd deplasarea relativ total a celor dou corpuri , constant. Cu R 2* aEpo= , rezult:

+ +=2 'o'o22 2 3 2Ep pR 2* aE32R 4* E a152* EaUrezult 2 'o2 2Ep* EaaU =

. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 53Deoareceestemeninutconstantinuseproducelucrumecanic,laechilibru0aUE=,rezult 0 p'o= , identic ca n teoria lui Hertz. DarforeleadeziveintroducoenergiedesuprafaUScaredescrete cnd suprafeele intr n contact i crete cnd se separ. Se poate scrie 2Sa 2 U =unde este energia pe unitatea de arie a fiecrei suprafee. Energia total liber a sistemului este La echilibru

aUT se neglijeaz, astfel c: a 4aUp* EaS 2 'o2 2 = = i2 / 1'oa* E 4p|.|

\| = (4.2.100) undesemnul minus arat c este tensiune de comrpesiune. Pentru r=a se exclude aceast presiune. Condiia de echilibru mecanic |.|

\|+ = =a02 'o oa p 2 p32dr ) r ( rp 2 P . Substituind pentru po, |.|

\|=R 2* aEpoi ||.|

\||.|

\| =2 / 1o'oa* E 4p , p , rezult 323a * E 16R 3a * E 4P =||.|

\| (4.2.101) Relaia(4.2.101)seprezintn fig.4.2.11ncomparaiecurezultatele experimentaleutilizndsferedin gelatin n contact cu "perspex". Cndcorpurilesuntncrcate princomrpesiune(ncrcarepozitiv) foradeadeziuneatragecorpurilen contactastfelcariadecontact depetepeaceadatdeteorialui Hertz. Reducndsarcinalazero,suprafeeleadercuorazdatdepunctulC(fig.4.2.11). Aplicareauneitraciuni(negativ)determinreducereadinnouarazeidecontact.npunctulB, cnd R 3 P Pc = =(4.2.102) i3 / 12c* E 4R 9a a||.|

\| = = ,(4.2.103) situaia devine instabil i suprafeele se separ. 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 54Fora Pc (4.2.102) se numete "fora de adeziune". Contactul adeziv este stabil n punctul A, n celelalte puncte jonciunile adezive se rup. 2 / 3c c3aa ,9P 5P = =Traciunea dat de (4.2.97),22'o22oar1par1 p p+ = , i curbura suprafeei deformate, ( )( ) ,ra1rarraarcsin r a 2a 2pE1) r ( U,ararcsin a pE1 2) r ( U2 / 1222 2 2 o2z'o2z)`||.|

\| + = = sunt prezentate n fig.4.2.12pentru o sfer elasticncontactcuosuprafaplan rigid.Aceastaesteotensiunedetraciune infinitiprofiluldeformatarelocpe suprafaa plan la r = a. n realitate tensiunile nupotfiinfinite,nicicolurilenusunt perfecte, dar exist tensiunile de traciune pe suprafa care separ corpurile. Deplasrileelasticesuntmari,astfelcse poatecomparacuteorialiniarelastica ruperii prin fisuri ale lui Griffith. ntr-adevr, chiar discontinuitatea n zona de col poate fi sursa de deschidere a fisurii. Maugis,GreenwoodiJohnsonauutilizatconceptulde"factor de intensitate a tensiunilor" pentru analiza ruperii solidelor elastice i vscoelastice. 4.2.6. Contactul corpurilor cilindrice Compresiuneaelasticacorpurilorbidimensionalenupoateficalculatnumaipebaza tensiunilor de contact date de teoria lui Hertz. Sarcinadecompesiunepeunitateade lungimePdodistribuiehertziandepresiunin punctul O1 2 / 12121ax1aP 2p||.|

\|= (4.2.105) i semilimea de contact *121EPR 4a= ,(4.2.106) unde *1Eeste modulul de elasticitate redus al rolei i corpului 1. Distribuiadetensiunintr-uncilindruacionat diametralopusdesarciniconcentrateafostdedus deTimoshenkoiGoodier(1981).Sesuprapun 4.Elemente privind calculul tensiunilor i ariei de contact 55efectele cmpurilor de tensiuni a dou fore concentrate P ce acioneaz n planele tangente la dou semispaii n punctele O1 i O2, mpreun cu tensiunea biaxial uniform: RPz x= = (4.2.106) Deoarce a