cap1-p1 (1)

Date post:01-Mar-2018
Category:
View:222 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    1/21

    Capitolul 1

    Sisteme mecanice simple.Formalismul mecanicii clasice

    1.1 Introducere. Analiza dimensionalaFizica1 studiaza cele mai generale si mai simple forme de miscare ale materiei (mecanice,

    termice, electromagnetice, etc.). Prin miscare ntelegand orice schimbare sau proces: dela deplasarile mecanice n spatiu, reactii chimice, radiatii electromagnetice, pana la pro-cese biologice si gandire.

    Scopul fizicii este descrierea, explicarea si prevederea fenomenelor naturii pentru ale putea ntelege si folosi. Dezvoltarea fizicii a fost stimulata de necesitatile practice, larandul lor, descoperirile si realizarile fizicii stand la baza dezvoltarilor tehnologice.

    Fizica stabileste legi pe baza observatiei si experimentului stiintific. Teoria explicaun ansamblu de fenomene folosind un numar mic de ipoteze si legi fundamentale, prin-

    cipii, care sunt abstractizate din experienta. In studiul fenomenelor suntem nevoiti saschematizam, sa studiem modele teoretice ale obiectelor si fenomenelor: un modelia n considerare particularitatile principale ale fenomenului studiat, lasand la o partetrasaturile secundare.

    Fizica este o stiinta cantitativa. Proprietatile, fenomenele fizice sunt descrise demarimi fizice. Marimile fizice sunt masurabile. Procesul de masura este un proces fun-damental n fizica. A masura o marime fizica nseamna a stabili de cate ori se cuprinden ea o marime de aceeasi natura, bine definita si aleasa prin conventie drept unitate demasura.

    Daca a este valoarea masurata a unei marimi fizice A, iar cu < A >notam unitateade masura, se poate scrie

    A= a < A > .

    Marind unitatea de masura de n ori, valoarea masurata se micsoreaza de n ori.In principiu, pentru fiecare marime fizica se poate alege o unitate de masura arbitrara

    (independent de unitatile altor marimi fizice), dar atunci legile fizicii s-ar exprima prinformule care ar avea un aspect complicat din cauza coeficientilor numerici paraziti.

    Sisteme coerente de unitati de masura. Sistemul International (SI) deunitati de masura.

    1De la cuvantul grec, physis, care nseamna natura.

    1

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    2/21

    Intr-un sistem coerent de unitati de masura un numar mic de marimi, numitemarimifundamentale, au unitatile definite arbitrar, pentru celelalte marimi fizice unitatile sedefinesc pe baza unitatilor marimilor fundamentale (aceste marimi, respectiv unitati, senumesc marimi derivate, respectiv unitati derivate n sistemul de unitati considerat).

    Sistemul International de unitati de masura (SI) a fost adoptat n octombrie 1960

    la Conferinta Generala de Masuri si Greutati de la Paris. Pentru mecanica, marimilefundamentale sunt lungimea (L), masa (M) si timpul (T). Numarul total de marimifundamentale este sapte2.

    Marime fundamentala Unitate masura Simbol unitate

    lungime metrul mmasa kilogramul kgtimp secunda s

    intensitatea curentului electric amperul Atemperatura termodinamica grad Kelvin K

    intensitatea luminoasa candela cd

    cantitatea de substanta molul molPentru orice marime fizica A din mecanica se poate scrie formula dimensionala a marimii A,

    care da, sub forma unui monom, modul n care marimea A se exprima n raport cumarimile fundamentale,

    [A] =LMT.

    Coeficientii, , se numesc dimensiunile fizice ale marimii A (pentru alte domenii alefizicii se adauga marimile suplimentare corespunzatoare tabelului).

    Toate formulele fizice trebuie sa satisfaca principiul omogenitatii dimensionale a for-mulelor fizice, care se poate enunta astfel:

    Fiecare formula fizica trebuie sa fie omogena din punct de vedere dimensional, adica

    ambii membri ai egalitatii, cat si fiecare termen al sumei algebrice ce formeaza unul dinmembrii formulei, trebuie sa aiba aceleasi dimensiuni fizice.

    Exemple1. Daca ntr-o formula fizica ntalnim un factor de forma

    e [] =L0M0T0,adica, expresia de la exponent trebuie sa fie adimensionala.

    In adevar, exponentiala se poate dezvolta n serie,

    e = 1 ++1

    22 +...

    Primul termen este adimensional, deci si al doilea, adica, trebuie sa fie adimensional.Acelasi lucru se poate spune si despre expresia de sub logaritm sau despre argumentul

    functiile trigonometrice.2. Prin analiza dimensionala se poate stabili, n unele cazuri fericite, forma unei

    legi fizice, pe baza unor observatii generale. De exemplu, sa determinam perioada unui

    2Adresa Biroului International de Masuri si Greutati, unde se pot consulta hotararile conferintelor(marimi fundamentale si derivate, definirea unitatilor), este http://www.bipm.org

    In limba romana, se poate consulta articolul din Wikipedia referitor la Sistemul Internat ional de unitatide masura.

    2

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    3/21

    pendul matematic, T0, stiind ca aceasta poate depinde doar de lungimea pendulului, l,de acceleratia gravitationala din locul unde se afla pendulul,g , si de masa lui m.

    Forma generala a acestei dependente poate fi scrisa ca

    T0= const lgm.

    Dimensional se poate scrie

    L0M0T1 =L L T2 M.

    Rezulta sistemul+= 0= 12= 0,

    cu solutia = 12 , = 12 , = 0.Rezulta

    T0= const

    lg

    .

    Folosind legea a doua a dinamicii, se gaseste, n adevar, ca, pentru micile oscilatii,

    T0= 2

    l

    g.

    Deci perioada pendulului matematic nu depinde de masa lui.

    1.2 Principiile mecanicii newtoniene. Legi de con-

    servare.

    Mecanica studiaza cea mai simpla forma de miscare a corpurilor, deplasarea lor nspatiu (miscarea mecanica). Poate fi considerata ca fiind structurata n urmatoarelecapitole:

    Cinematica, care studiaza miscarea mecanica facand abstractie de cauzele miscarii;Dinamica, care studiaza miscarea corpurilor tinand cont de fortele care o produc;Statica, care studiaza echilibrul corpurilor sub actiunea fortelor.Mecanica a nceput sa se dezvolte nca din antichitate, mai ales capitolul de statica,

    legat de problemele practice ale acelor timpuri. Constructia dinamicii s-a realizat n ju-

    rul anului 1600. Initiatorul dinamicii este Galileo Galilei (1564-1642), care enunta legea(principiul) inertiei, stabileste legile caderii corpurilor, legile pendulului, etc. Isaac New-ton (1643-1727) a enuntat legea a doua a dinamicii si principiul actiunii si reactiunii nlucrarea din 1687,Philosophiae naturalis Principia mathematica. In lucrare, pe baza prin-cipiilor dinamicii, Newton construieste mecanica, care n cinstea sa se va numi mecanicanewtoniana, stabileste legea atractiei universale si o aplica la miscarea corpurilor ceresti.Pana la sfarsitul secolului XIX, mecanica newtoniana a obtinut succese incontestabile.La nceputul secolului XX s-a aratat ca mecanica newtoniana nu este valabila pentrudeplasari cu viteze mari si n domeniul microparticulelor. A aparut mecanica relativista

    3

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    4/21

    Figura 1.1: Sisteme de coordonate carteziene, cilindrice, sferice.

    si mecanica cuantica. Aceste teorii sunt calitativ diferite, dar contin mecanica clasica caun caz limita.

    Sistem de referintaDeplasarea unui corp se stabileste n raport cu alte corpuri. Un corp care se considera

    fix si fata de care raportam miscarea tuturor corpurilor constituie un corp de referint a.Legat rigid de corpul de referinta, definim unsistem de coordonatestabilind un ansamblude 3 axe fata de care raportam coordonatele unui punct oarecare. Pentru definirea tim-

    pului se foloseste un proces periodic, de exemplu oscilatiile unui pendul. Sistemul caremasoara duratele l numim ceasornic. Sistemul de coordonate si ceasornicul definesc unsistem de referintasau reper.

    Daca alegem un sistem de trei axe ortogonale, sistemul de coordonate se numestesistem de coordonate cartezian (figura 1.1 a). Pozitia unui punct este determinata decele trei proiectii pe axe, coordonatele carteziene ale punctului P. Elementul de volumexprimat n coordonate carteziene este dV =dxdydz.

    Un alt sistem de coordonate este sistemul de coordonate cilindrice (figura 1.1 b).Pozitia unui punct este specificata prin distanta de la punct la axa Oz, prin unghiulazimutal dintre axa Ox si planul determinat de P si axa Oz, precum si coordonataz, coordonatele punctului P fiind P(,,z0). Trecerea de la coordonate cilindrice, la

    coordonate carteziene este data de transformarea

    x= cos y= sin z= z

    (1.1)

    Elementul de volum n coordonate cilindrice3 este dat dedV =dddz.Coordonatele sferice (figura 1.1) constau din raza vectoare r, unghiul azimutal si

    unghiul facut de raza vectoare cu axa Oz, unghiul , P(r,,). Trecerea de la coordonate

    3La schimbarea de variabile, elementul de volum se exprima prin dV = |J|dddz, unde

    4

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    5/21

    sferice, la coordonate carteziene este data de transformarea

    x= r sin cos y= r sin sin z= r cos

    (1.2)

    Elementul de volum n coordonate sferice estedV =r2sindrdd.Punctul materialCel mai simplu model de corp este modelul punctului material. In acest model se

    neglijeaza dimensiunile corpului, deformatiile acestuia n timpul miscarii sau rotatiileproprii ale corpului. Punctul material este un punct geometric, caracterizat prin masasa.

    Un asemenea model poate fi folosit, n functie de problema studiata, la corpuri diverse:de la electron (care n prezent este considerat fara structura, pana la corpuri cosmice,cum poate fi considerat Pamantul daca studiem miscarea sa n jurul Soarelui).

    Urmatorul pas n studiul miscarii corpurilor reale poate fi realizat considerand un

    corp ca un ansamblu de puncte materiale.Pozitia punctului material la un moment dat este specificata prin vectorul de pozitie

    r. Acest vector are drept componete coordonatele punctului material (x,y,z).Curba descrisa de mobil n timpul miscarii se numeste traiectorie. Punctul material

    descrie o traiectorie continua, bine determinata. In fiecare moment punctul material estebine localizat pe traiectorie, iar miscarea este continua. Aceasta nseamna ca coordonatelepunctului material sunt functii finite, uniforme si continue n raport cu timpul. Cele treiecuatii cuprinse n relatia vectorialar= r(t) se numesc ecuatiile cinematice ale miscarii.Ele dau ecuatiile parametrice ale traiectoriei.

    Marimi cinematiceO serie de marimi cinematice caracterizeaza miscarea punctului material pe traiecto-

    rie:-viteza (instantanee) este o marime vectoriala egala cu derivata vectorului de pozitie

    n raport cu timpul,

    v=dr

    dt =r.

    In SI, formula dimensionala pentru viteza este [v] =LT1, iar unitatea este m/s.-acceleratia (instantanee) este derivata vitezei n raport cu timpul (sau derivata de

    ordin doi a vectorului de pozitie n raport cu timpul),

    a=dv

    dt

    =d2r

    dt2

    =r.

    In SI, formula dimensionala pentru acceleratie este [a] = LT2, iar unitatea de masuran SI este m/s2.

    Aplicatie:Daca ntr-un sistem de coordonate cartezian se definesc versorii celor trei directii ale

    axelor Ox, Oy, Oz, ex, ey, ez (sau, uneori vom nota versorii cu i,j, z), vectorul de pozitie

    J =

    x

    x

    xz

    y

    y

    yz

    z

    z

    zz

    =

    cos sin 0sin cos 0

    0 0 1

    =.

    5

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    6/21

    al punctului P se scrie r= x ex+ y ey+ z ez. Versorii sunt ficsi, astel ca derivata n raport

    cu timpul a vectorului de pozitie, viteza, estev= r= xex+ yey+ zez. Aceasta nseamnaca n coordonate carteziene, componentele vectorului viteza sunt vx= x, vy = y,vz = z.

    Pentru coordonatele cilindrice si sferice se definesc versorii corespunzatori directiilorde variatie ale vectorului de pozitie atunci cand una din coordonate variaza cu o cantitate

    infinitezimala (figura 1.1). Acesti versori si schimba directia atunci cand punctul mterialse deplaseaza.

    Pentru coordonatele cilindrice versorii corespunzatori sunt e, e, ez (figura 1.1 b) ).Vectorul de pozitie se scrie

    r= e+zez.

    Din figura se vede ca

    e= sin ex+ cos eye= cos ex+ sin ey,

    astfel ca, derivand n raport cu timpul (deexemplu, deoarece e functie de t,

    cos = (sin ) ), se poate scrie

    e= sin ex+ cos ey = e.Rezulta viteza n coordonate cilindrice

    v= r= e+e+ zez

    sauv= , v= , vz = z.Pentru coordonate sferice versorii sunt er, e, e (figura 1.1 c) ). Vectorul de pozitie

    se scrier= rer.Versorule are aceeasi expresie ca pentru coordonatele cilindrice,

    e= sin ex+ cos eyProiectande sier n planul xOy, se obtine

    e = cos cos ex+ cos sin ey sin ezer = sin cos ex+ sin sin ey+ cos ez

    Derivand n raport cu timpul, rezulta er = e+ sin e, deci

    v= r= rer+re+r sin e,

    astfel ca vr = r,v =r, v= r sin .

    1.2.1 Principiile mecanicii newtoniene

    In lucrarea Philosophiae naturalis Principia mathematica (1687), Newton a formu-lat trei principii generale (axiome sau legi ale miscarii) ale miscarii corpurilor.

    6

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    7/21

    I. Principiul inertiei:Un punct material ramane n repaus sau n miscare rectilinie si uniform a atata timp

    cat asupra sa nu actioneaza alte corpuri care sa-i schimbe aceasta stare de repaus sau de

    miscare rectilinie si uniform a.

    Proprietatea aceasta se numeste inertie. In virtutea inertiei, corpurile tind sa-si

    pastreze starea de miscare rectilinie si uniforma (sau de repaus) n absenta actiunilor exte-rioare. Miscarea rectilinie si uniforma nu necesita o actiune exterioara pentru ntretinereaei. Din cauza frecarii, corpurile nu-si continua miscarea rectilinie si uniforma, astfel caaceasta proprietate nu este evidenta si este meritul lui Galileo Galilei de a fi formulataceasta proprietate a miscarii corpurilor.

    Proprietatea de inertie, faptul ca un corp nu-si modifica viteza decat atunci cand altecorpuri actioneaza asupra lui, nu este, nsa, valabila fata de orice reper. Daca ne situamntr-un vagon de cale ferata care ia o curba, o bila care se afla n repaus pe masutadin compartiment, va ncepe sa se miste catre exteriorul curbei fara ca asupra bilei saactioneze un corp. In sistemul de referinta legat de Pamant explicam aceasta miscareprin tendinta bilei de a-si pastra miscarea rectilinie si uniforma (proprietatea de inertie)pe care o avea mpreuna cu vagonul nainte de a intra n curba. In curba vagonul se miscaaccelerat (viteza si schimba cel putin directia) sub actiunea fortei centripete exercitatade sine, n timp ce asupra bilei nu se exercita aceste forte datorita legaturilor slabe cuplanul masutei.

    Sistemele de referinta n care este valabil principiul inertiei se numesc sisteme dereferint a inertiale.

    Daca un sistem de referinta este un sistem de referinta inertial, orice sistem de referintacare se misca uniform fata de acesta este un sistem de referinta inertial. Nici unul dinaceste sisteme de referinta nu poate fi considerat privilegiat, toate sistemele de referintainertiale fiind echivalente.4 Principiul relativitatii formulat de Galilei afirma ca prin

    niciun experiment mecanic nu putem pune n evidenta miscarea unui sistem de referintainertial, fata de un alt sistem de referinta inertial (legile mecanicii au aceeasi forma ntoate sistemele de referinta inertiale). Lungimile si intervalele de timp au un caracterabsolut, sunt aceleasi, masurate n toate sistemele de referinta.

    In functie de problema analizata se pot alege diverse aproximatii pentru sistemulde referinta inertial. Pentru multe probleme (atunci cand se poate neglija miscareaPamantului n jurul Soarelui) se poate lua un sistem de referinta legat de Pamant ca unsistem de referinta inertial. O aproximatie mai buna este sistemul de referinta n careSoarele este fix, o aproximatie si mai buna fiind sistemul de referinta legat de stelele sinebuloasele ndepartate.

    II. Principiul fundamental al dinamicii (legea a II-a a dinamicii)

    Interactiunea mecanica este descrisa prin intermediul marimii fizice fort a. Ea este omarime vectoriala, caracterizata prin intensitate, directie si sens. Fortele (deci interactiunile

    4Newton a presupus existenta unui sistem de referinta absolut si a unui timp absolut. Sistemulde referinta absolut este fix si invariabil, fiind un cadru independent de obiectele materiale: Spatiulabsolut nu este, din cauza naturii sale nsasi, n nici un fel de raport cu vreun obiect oarecare, fiindmereu acelasi si n nemiscare. Fata de acest sistem de referinta absolut se defineste miscarea absolutaa corpurilor. Miscarea absoluta poate fi sesizata prin acceleratia corpurilor. Aceasta conceptie a dainuitpana la sfarsitul secolului 19, cand E. Mach a aratat ca miscarea accelerata nu este un argument solidn sprijinul spatiului absolut, existenta acestuia putand fi pusa la ndoiala. Aparitia teoriei relativitatiia dus la abandonarea totala a spatiului si timpului absolut.

    7

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    8/21

    mecanice ale corpurilor) produc efecte statice de deformare a corpurilor sau echilibrare aaltor forte si efecte dinamice de modificare a vitezei, adica imprima acceleratii corpurilor.Aceste efecte permit masurarea fortelor. Dinamometrele, care folosesc alungirea unuiresort cu o cantitate proportionala cu intensitatea fortei aplicate, se utilizeaza pentru amasura intensitatea fortelor.

    Legea a II-a spune ca,o fort a constanta, F, aplicata unui punct material, i imprima acestuia o acceleratie

    direct proportionala cu forta aplicata,

    a=F

    m , F =ma (1.3)

    m este un parametru pozitiv, masa corpului. Masa masoara proprietatea de inertie acorpului. Cu cat masa unui corp este mai mica, cu atat acceleratia produsa de actiuneaunei forte asupra corpului va determina o schimbare mai puternica a vitezei corpuluin unitatea de timp. Astfel, masa este o masura a proprietatii de inertie a unui corp.Newton a definit masa unui corp ca o masura a cantitatii de substanta continuta n corp.

    Deoarece masa corpului n mecanica clasica este constanta, relatia 1.3 se poate scriesi

    F =d(mv)

    dt =

    dp

    dt, (1.4)

    unde p= mv este impulsul corpului. Aceasta forma a legii a II-a a fost data de fapt dela nceput de catre Newton.

    In mecanica clasica masa este independenta de viteza corpului (la viteze mari, mecanicaclasica este nlocuita de mecanica relativista, n cadrul careia masa unui corp care se de-plaseaza cu viteza v este

    m= m0

    1 v2

    c2

    ,

    undem0este masa corpului n repaus. Forma legii a II-a valabila si n mecanica relativistaeste ( 1.4 ).

    Masa definita n acest mod este masa inertialaa corpului.Conform legii atractiei universale doua corpuri se atrag cu o forta proportionala cu

    masele lor. Masa care intervine n aceasta relatie estemasa gravifica. Greutatea unui corpeste forta cu care este atras acel corp, G= mg, unde g este acceleratia gravitationala nacel loc. Masa care intervine n expresia greutatii se numestemasa gravifica. Experientede precizie nu au gasit diferente ntre valorile celor doua mase. Egalitatea celor doua maseeste afirmata de principiul de echivalenta, care sta la baza teoriei relativitatii generale.

    In SI masa este o marime fundamentala, cu unitatea de masura kilogramul (kg). Forta

    este o marime derivata,[F] = [m][a] =LM T2.

    Unitatea pentru forta n SI are o denumire speciala, newton (N), definita ca 1N =1kg m/s2.

    III. Principiul actiunii si reactiunii Fiecarei actiuni i se opune o reactiune, egalan modul si de sens contrar acesteia.

    Actiunea si reactiunea actioneaza simultan, dar se aplica la corpuri diferite. Ele aparnu numai n cazul interactiunilor prin contact, cat si n cazul n care corpurile actioneazaprin intermediul unui camp.

    8

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    9/21

    Aceste trei principii se completeaza cu:IV. Principiul independentei actiunii fortelorDaca asupra unui punct material actioneaza simultan fortele F1, ...,Fn, punctul ma-

    terial se misca sub actiunea rezultantei vectoriale a fortelor,

    F =n

    k=1

    Fk.

    Compunerea fortelor se realizeaza dupa regula paralelogramului.V. Principiul relativitatii clasice (galileene)Legile mecanicii sunt aceleasi n orice sistem de referinta inertial.

    Acest principiu a fost formulat de catre Galilei (1632). Rezulta ca toate sistemele dereferinta inertiale sunt echivalente din punct de vedere al legilor mecanicii. Prin nicioexperienta de mecanica nu se poate pune n evidenta miscarea unui sistem de referintainertial fata de alt sistem de referinta inertial. Intr-o cabina nchisa a unui avion carese misca uniform fata de Pamant nu putem sa ne dam seama de miscarea uniforma a

    avionului prin nicio experienta de mecanica (n aproximatia n care sistemul de referintalegat de Pamant poate fi considerat inertial).

    Transformarile GalileiPrecizarea unui eveniment ntr-un sistem de referinta (SR) este realizata prin inter-

    mediul a 3 coordonate spatiale (x,y,z) si a momentului producerii evenimentului, t. Inmecanica clasica se considera ca distanta spatiala dintre doua evenimente si intervalelede timp dintre evenimente sunt aceleasi masurate n toate sistemele de referinta (duratelesi lungimile au un caracter absolut, adica sunt invariante la trecerea de la un sistem dereferinta la altul).

    Fie doua sisteme de referinta inertiale, S siS. Presupunem ca S se misca rectiliniuuniform fata de S cu viteza u(viteza

    de transport a S fata de S). In S,aplicand regulile compunerii vecto-riale, se poate scrie

    OP = OO + OP

    Dar OO = ut + r0, astfel ca,lungimile segmentelor fiind aceleasimasurate in ambele sisteme dereferinta,

    r= r + ut+ r0,

    unde r este vecorul de pozitie almobilului masurat n S. Daca cea-sornicele din cele doua sisteme dereferinta sunt sincronizate la mo-mentul initial, relatiile care dau tre-cerea de la un SR la altul sunt:

    9

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    10/21

    x = x +uxt +x0 (1.5)

    y = y +uyt +y0 (1.6)

    z = z +uzt +z0 (1.7)

    t = t. (1.8)

    Acestea sunt transformarile Galilei.O alta formulare a principiului relativitatii galileene este:Legile mecanicii clasice sunt invariante la transformarile Galilei.

    Derivand coordonatele n raport cu timpul se obtine legea de transformare a vitezelorla trecerea de la un SR la altul:

    v= v + u, (1.9)

    viteza relativa fata de S este egala cu viteza relativa fata de S plus viteza de transportaS fata de S.

    Derivand aceasta relatie n raport cu timpul, rezulta

    a= a, (1.10)

    acceleratia este aceeasi n toate sistemele de referinta inertiale.Masa este invarianta la schimbarea sistemului de coordonate (n mecanica clasica),

    astfel ca forta este invarianta la schimbarea sistemului de coordonate. Acest lucru lputem deduce si din faptul ca masurarea fortei cu un dinamometru se face prin masurareaalungirii unui resort. Aceasta alungire este aceeasi n toate SR inertiale.

    Legile electromagnetismului (ecuatiile Maxwell) nu sunt invariante la transformarileGalilei. Extinderea principiului relativitatii si la fenomenele electromagnetice, facuta de

    A. Einstein n 1905, reclama nlocuirea acestor transformari cu transformarile Lorentz.

    1.2.2 Marimi dinamice. Legi de conservare

    Impulsul. Legea conservarii impulsuluiImpulsul (cantitatea de miscare) unui punct material este produsul dintre masa cor-

    pului si viteza sa,p= mv

    Impulsul este o marime vectoriala. In SI, formula dimensionala este [p] = LMT1, iarunitatea de masura este N

    s= kg

    m/s.

    Pentru un sistem de puncte materiale, impulsul se defineste ca suma vectoriala aimpulsurilor tuturor particulelor din sistem,

    P =n

    k=1

    pk. (1.11)

    Fortele care se exercita ntre particulele sistemului se numesc forte interne. Din legeaactiunii si reactiunii, rezulta ca suma fortelor interne este nula,

    Fint= 0

    10

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    11/21

    Teorema variatiei impulsuluiVariatia n unitatea de timp a impulsului total al sistemului este egala cu rezultanta

    fortelor externe ce actioneaza asupra sistemului,

    d P

    dt

    = Fext.

    Teorema conservarii impulsuluiDaca Fext= 0, impulsul total al sistemului se conserva, P =constant.Pentru un sistem izolat, impulsul total al sistemului se conserva.Aceasta lege de conservare este legata de proprietatea de omogenitate a spatiului

    (legile mecanicii sunt invariante la schimbarea pozit iei originii sistemului de coordonate,simetria la translatii spatiale).

    Momentul cinetic. Conservarea momentului cineticMomentul cinetic (sau momentul unghiular) al punctului material reprezinta produsul

    vectorial dintre vectorul de pozitie si impulsul punctului material,

    l= r p (1.12)

    In SI, formula dimensionala pentru momentul cinetic este [l] =L2MT1. Aceeasi formulaca si pentru produsul energie x timp, marime care se numeste actiune.

    Unitatea de masura pentru momentul cinetic este kg m2/s = J s, unde J esteunitatea de masura pentru energie n SI.

    Pentru un sistem de puncte materiale, momentul cinetic este suma vectoriala a mo-mentelor cinetice ale punctelor materiale,

    L=n

    i=1

    ri pi (1.13)

    Momentul unei forte fata de origine se defineste ca fiind produsul vectorial dintre vectorulde pozitie al punctului de aplicatie al fortei si forta,

    M=r F . (1.14)Derivand relatia 1.12 n raport cu timpul, gasim ca variatia impulsului punctului mate-rial n unitatea de timp este egal cu momentul rezultantei fortelor ce actioneaza asuprapunctului material,

    dl

    dt=r dp

    dt =r F = MF.

    Aceasta este teorema variatiei momentului cinetic pentru punctul material.Consideram forta cu care particula i actioneaza asupra particulei k, Fki. Ea este

    egala si de sens contrar cu forta cu care particula k actioneaza asupra particulei i

    Fki = FikCele doua forte au acelasi brat b, astfel casuma momentelor lor este zero. Rezulta casuma momentelor fortelor interne este zero,

    forteinterne

    Mi = 0

    11

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    12/21

    Pentru un sistem de puncte materiale, teorema momentului cinetic devine,

    dL

    dt = MF,

    variatia n unitatea de timp a momentului cinetic total al unui sistem de puncte materiale

    este egala cu momentul total al fortelor exterioare ce actioneaza asupra sistemului.Daca momentul fortelor exterioare este nul, momentul cinetic al sistemului se con-

    serva,MF = 0 L= constant

    Aceasta este legea conservarii momentului cinetic. Asupra unui sistem fizic izolat nu seexercita forte din exterior. In acest caz, legea conservarii momentului cinetic se enunta:

    Pentru un sistem fizic izolat, momentul cinetic total se conserva.

    Conservarea momentului cinetic este legata de proprietatea de izotropie a spatiului(care conduce la invarianta legilor mecanicii la rotatia axelor sistemului de referinta -simetria la rotatii).

    Doua exemple:

    In miscarea circulara uniforma, luand originea n cen-trul cercului pe care se misca corpul, forta centripetaeste n lungul vectorului de pozitie, iar momentul eieste zero. Momentul cinetic l = mvr se conserva.Vectorull este perpendicular pe planul cercului.

    La miscarea ntr-un camp de forte care sunt mereu orientate catre un punct (camp deforte central), pe care l luam ca origine a sistemului de referinta, momentul fortei fatade origine este zero si momentul cinetic se conserva (de exemplu miscarea planetelor n

    campul gravitational). Orbita pe care o descrie o planeta la miscarea n jurul Soareluieste ntr-un singur plan, iar raza vectoare matura arii egale n intervale de timp egale,din conservarea momentului cinetic.

    Lucrul mecanic. PutereaLucrul mecanic efectuat de o forta constanta se defineste ca fiind produsul scalar

    dintre forta si deplasarea punctului sau de aplicatie,

    W = F d= F d cos( F ,d),deplasarea fiind un vector orientat pe direct ia deplasarii, n sensul acesteia. In cazulgeneral, aceasta definitie ramane valabila pe fiecare element infinitezimal al deplasarii,

    ds, lucrul mecanic total obtinandu-se prin integrare:

    W =

    BA

    F ds

    In SI, formula dimensionala pentru lucrul mecanic este

    [W] = [F][d] =L2MT2,

    iar unitatea de masura este joulul, 1J= 1kg m2/s2.

    12

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    13/21

    Puterea reprezinta lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp,

    P =W

    .

    Unitatea de masura n SI este wattul, 1W = 1J/s.

    Energia cinetica. Teorema variatiei energiei cineticeEnergia cinetica a punctului material se defineste ca fiind

    Ec =mv2

    2 =

    p2

    2m

    Calculand lucrul mecanic efectuat de rezultanta fortelor ce actioneaza asupra punctuluimaterial la deplasarea de la punctul 1, la punctul 2,

    W =21

    F ds=21

    dpdt ds=

    21

    mdvdt ds=

    =21

    mdvdt

    vdt=21

    mv

    dv=21

    d mv22

    W =Ec2 Ec1Aceasta exprima teorema variatiei energiei cinetice,

    Variatia energiei cinetice a punctului material este egala cu lucrul mecanic al fortei

    rezultante ce actioneaza asupra corpului.

    Pentru un sistem de puncte materiale, energia cinetica este egala cu suma energiilorcinetice ale punctelor materiale,

    Ec=n

    i=1

    mv2i2

    Teorema variatiei energiei cinetice se scrie,

    Ec= Wtotal=Wint+Wext

    Variatia energiei cinetice totale a sistemului este egala cu lucrul mecanic efectuat de toate

    fortele, interne si externe, care actioneaza asupra sistemului.

    Energia potentialaAtunci cand se poate defini o forta n fiecare punct se spune ca exista un camp de

    forte, F(r).Camp de forte conservativ: este un camp de forte pentru care lucrul mecanic efectuat

    de fortele campului pe orice curba nchisa este nul.

    F dl= 0,

    unde prindl am notat vectorul de deplasareinfinitezimala pe curba.

    13

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    14/21

    Cum F dl=

    21a

    F dl+12b

    F dl=2

    1a

    F dl 21b

    F dl= 0,

    rezulta ca definitia anterioara este echivalenta cu faptul ca lucrul mecanic efectuat de

    fortele campului ntre doua puncte depinde doar de punctul initial si punctul final, si nude drumul urmat,

    21a

    F dl=2

    1b

    F dl.

    Campurile statice fundamentale, campul electrostatic, campul gravitational sunt aseme-nea campuri.

    Pentru un camp de forte conservativ se poate definienergia potentialan felul urmator.Alegem un punct de referinta arbitrar, P0. Definim energia potentiala a punctului

    material ntr-un punct P oarecare, de vector de pozitier, ca fiind lucrul mecanic cu semn

    schimbat efectuat de fortele campului pentru a aduce punctul material din punctul dereferint aP0, n punctul considerat P:

    U(r) P

    P0

    F dl (1.15)

    Lucrul mecanic efectuat de camp ntre doua puncte va fi,

    W =

    2

    1

    F

    dl=

    P0

    1

    F

    dl+

    2

    P0

    F

    dl= U(1)

    U(2) =

    U

    Energia potentiala este definita pana la o constanta aditiva, acest lucru fiind determinatdin libertatea de a alege punctul de referinta P0. Diferenta de energie este nsa completdeterminata, independent de alegerea P0.

    Cunoscand energia potentialaU(r) a unui camp de forte conservativ, se poate calculaforta n fiecare punct. In adevar, pentru o distanta infinitezimala ntre punctele 1 si 2,relatia de mai sus se scrie

    dU= F dr.Dar dU= U

    x

    dx+ U

    y

    dy+ U

    z

    dz, deci

    U

    xdx+

    U

    ydy+

    U

    zdz= Fxdx Fydy Fzdz

    De unde,

    Fx = Ux

    ; Fy = Uy

    ; Fz = Uz

    sau, forta este gradientul energiei potentiale, cu semn schimbat,

    F = gradU U (1.16)

    14

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    15/21

    Energia mecanica totala a punctului material. Conservarea energiei mecaniceSuma dintre energia cinetica a punctului material si energia potentiala n camp de

    forte conservativ este energia mecanica totala a punctului material,

    E=Ec+U

    Daca asupra particulei actioneaza numai forte conservative, pe care le-am inclus n energiapotentiala, din teorema variatiei energiei cinetice si din variatia energiei potentiale,

    Ec= W , U= W,

    rezulta(Ec+U) = 0

    Intr-un camp de forte conservativ energia mecanica totala se conserva, n timpul misc arii

    avand loc transformarea reciproca a energiei cinetice si a energiei potentiale, dar suma

    lor ramanand constanta.

    In cazul n care pe langa campul conservativ actioneaza si forte neconservative (pentrucare nu se poate defini o energie potentiala), se poate scrie lucrul mecanic total

    Wtot= Wcons+Wnecons.

    Teorema variatiei energiei cinetice Ec = Wtotal, variatia energiei potentiale, U =Wcons, astfel ca, daca adunam, se obtine

    E= Wnecons.

    Variatia energiei totale a corpului este egala cu lucrul mecanic al fortelor neconservative

    aplicate.Forta elasticaUn exemplu de forta care deriva dintr-un potential este forta elastica. In cazul unui

    resort care se poate deplasa doar pe o direct ie, luand aceasta directie drept axa oX,forta care apare n resort, atunci cand alungim resortul cu distanta x fata de pozitia deechilibru, este o forta proportionala cu deplasarea. Aceasta este forta elastica,

    F = kx.

    Aceasta este o forta conservativa. Energia potentiala n campul fortelor elastice, n cazulunidimensional, va fi (convenind sa luam energia potentiala zero n pozitia de echilibru,

    lax = 0)

    U(x) = x0

    (kx)dx = kx2

    2 .

    Miscarea n campul fortelor elastice este miscarea oscilatorie armonica, pe care o vomstudia n sectiunea urmatoare. Ecuatia de miscare care descrie acesta miscare este comunaoscilatiilor de naturi diferite: oscilatiile unui pendul n camp gravitational, oscilatiile uneimase ataste unui resort elastic, oscilatiile sarcinii n circuitul oscilant, oscilatiile ionilorn reteaua cristalina.

    15

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    16/21

    In general, daca sistemul are o pozitie de echilibru, aceasta pozitie este determinatade un minim local al energiei potentiale, fie aceasta pozitiex0. Conditia de minim este

    U

    x

    x0

    = 0,

    astfel ca dezvoltarea energiei potentiale n serie n jurul lui x0 va fi

    U(x) =U(x0) +k(x x0)2

    2 +...,

    unde am notat k = 2Ux2

    x0

    . Retinand doar termenul de ordin 2 n x= x x0, rezultaca pentru miscari n jurul pozitiei de echilibru, energia potentiala este de tip elastic.

    1.3 Oscilatii mecanice

    1.3.1 Oscilatorul armonic liniar

    Consideram un corp de masa m, atasat unui resort de constanta elastica k. Fiex departarea fata de pozitia de echilibru. Asupra corpului actioneaza forta elastica,Fe = kx. Legea a II-a dinamicii se scrie,

    mx=

    kx,

    saux+20x= 0,

    unde

    0=

    k

    m.

    Aceasta este o ecuatie diferentiala omogena, de ordin 2, cu coeficienti constanti. Ea este oecuatie liniara, solutiile sale satisfac conditia: dacax1(t) este solutie six2(t) este solutie,x1(t) +x2(t) este, deasemenea, solutie a acestei ecuatii.

    Solutia generala a acestei ecuatii este

    x= A cos(0t+0)

    A este amplitudinea miscarii, iar0 este faza initiala a miscarii. Cele doua constante,0si A se determina din conditiile initiale: la t= 0, x(0) =x0, v(0) =v0. Viteza se poatescrie,

    v= 0A sin(0t+0).Energia totala a miscarii se conserva:

    E= Ec+U=mv2

    2 +

    kx2

    2 =

    kA2

    2

    16

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    17/21

    Se observa ca energia oscilatorului armonic poate sa ia orice valoare (n functie deconditiile initiale). In mecanica cuantica acest lucru nu mai este valabil, energia os-cilatorului armonic este cuantificata, luand numai valorile E = h0(n+ 1/2), unden= 0, 1, 2,...este un numar ntreg, iar heste o constanta universala.

    Aplicatie:

    Vom deduce, folosind legea a II-a a dinamicii, perioada pendulului matematic delungime l, ntr-un loc unde acceleratia gravitationala este g.

    Intr-o pozitie n care pendulul face unghiul cu verti-cala, fortele ce actioneaza asupra punctului materialsunt reprezentate n figura. Componenta greutatii nlungul firului este echilibrata de reactiunea din fir,astfel ca doar componenta tangentiala la fir deter-mina acceleratia corpului. In orice moment se poatescrie Gt= mat. Luam sensul pozitiv al axei tangente

    la cerc n momentul considerat n sensul cresterii si Gt = mg sin . Acceleratia tangentiala esteat =

    dvtdt

    . Folosind relatia de definitie a unghiuluila centru exprimat n radiani,

    =s

    l,

    rezulta

    vt= ll

    dt l.

    Legea a doua se scrie atunci ml= mg sin .Aceasta este o ecuatie diferentiala de ordin doi, neliniara. Pentru unghiuri mici ea sepoate transforma ntr-o ecuatie liniara.

    Pentru unghiuri mici este valabila aproximatia sin , astfel ca ecuatia devine

    ml= mg

    sau+20= 0,

    unde0=

    gl

    .

    Aceasta este nsa ecuatia miscarii oscilatorii armonice pe care tocmai am studiat-o. Pen-dulul va efectua o miscare periodica cu perioada

    T0 =2

    0= 2

    l

    g.

    Perioada oscilatiilor este independenta de amplitudine (legea izocronismului micilor oscilatii).

    17

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    18/21

    1.3.2 Oscilatii amortizate

    Consideram un oscilator care se misca n prezenta frecarilor. Forta de frecare depindede viteza. In cazul miscarii ntr-un mediu vascos, la viteze mici, ntr-o curgere laminara,forta de frecare este proportionala cu viteza, la viteze mai mari, n regim turbulent, fortade frecare este proportionala cu patratul vitezei. La miscarea solid-solid forta de frecareeste constanta.

    Vom considera o forta de frecare proportionala cu viteza,

    Fr = x.

    se numeste coeficient de rezistenta. Unitatea de masura n SI este < >SI=kg/s.Legea a II-a dinamicii devine acum

    mx= x kx

    sau

    x+ 2x+20x= 0,

    unde am notat

    =

    2m ; 0 =

    k

    m.

    se numeste coeficient de amortizare (n SI se masoara n< >SI=s1.

    Solutia generala a acestei ecuatii este o combinatie liniara de doua solutii liniar inde-pendente. Cautam o solutie de forma

    x(t) =et,

    care conduce la ecuatia caracteristica

    2 + 2+20 = 0,

    cu solutiile

    =

    2 20.Se disting trei cazuri, cand radacinile sunt complexe, reale sau confundate.

    a) Miscarea oscilatorie amortizataPentru frecari mici 2 < 20 si solutiile ecuatiei caracteristice sunt complexe. Cele

    doua solutii particulare ale ecuatiei diferentiale sunt liniar independente, astfel ca solutiagenerala se scrie

    x(t) =C1e(+i202)t +C2e(i202)t,

    saux(t) =A0e

    t cos(t+0),

    unde =

    20 2 este pulsatia oscilatiilor libere amortizate. Ea este mai mica decatpulsatia oscilatiilor libere neamortizate. Perioada

    T = 220 2

    18

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    19/21

    este mai mare decat cea a oscilatiilor libere.Aceste oscilatii sunt de tip sinusoidal, daramplitudinea lor scade exponential n timp,A = A0e

    t. Logaritmul natural al rapor-tului amplitudinilor la un interval de timp

    egal cu perioada se numeste decrement loga-ritmic,

    D= ln x(t)

    x(t+T)=T

    Factorul exponential expt face ca energia totala sa scada n timp. Nelijand termenulcare apare n viteza prin derivarea acestui factor (posibil n cazul0>> ), rezulta

    E=E0e2t =E0e

    mt.

    Deoarece variatia de energie este egala cu lucrul mecanic al fortelor neconservative, se

    poate scrie dE=Frdx= xdx= x2dtPuterea disipata va fi proportionala cu patratul vitezei,

    P =

    dEdt = 2mv2.

    b) Miscarea amortizata aperiodicaPentru frecari mari, > 20, solutiile ecuatiei caracteristice sunt reale si distincte.

    Solutia generala va fi,

    x(t) =C1e(+

    22

    0)t +C2e

    (

    220)t

    Miscarea nu mai este periodica, solutia tindeasimptotic catre zero. In functie de conditiileinitiale, corpul poate sa treaca sau nu o sin-gura data prin pozitia de echilibru.

    c) Miscarea aperiodica critica

    In cazul = 0, exista o singura solutie pentru ecuatia caracteristica, deci o singurasolutie a ecuatiei diferentiale, et. O alta solutie a ecuatiei este tet. Cele doua solutiisunt liniar independente, astfel ca solutia generala se poate scrie

    x(t) = (C1+C2t)et.

    Este valabila aceeasi discutie ca la punctul (b.

    19

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    20/21

    1.3.3 Oscilatii fortate

    Presupunem ca asupra oscilatorului cu frecare actioneaza o forta exterioara variabilan timp. Cum o forta periodica poate fi descompusa n serie Fourier, cazul importanteste cel al unei forte care variaza armonic n timp,

    F =F0cos t

    Ecuatia de miscare devinemx+x+kx = F0cos t

    Solutia generala a acestei ecuatii neomogene este suma dintre o solutie particulara aecuatiei neomogene si solutia generala a ecuatiei omogene. Cum solutia generala aecuatiei omogene este de forma A0e

    tcos(t + ), dupa trecerea unui regim tranzi-toriu, contributia solutiei generale este neglijabila, astfel ca n regim permanent solutiaeste data de solutia particulara.

    Pentru a cauta solutia particulara modificam termenul liber al ecuatiei, considerand

    un termen complex5, F0eit, forta anterioara fiind partea reala a acestui termen. Solutianoii ecuatii este o functie complexa, solutia problemei initiale fiind partea reala a acesteifunctii. Acest lucru este posibil deoarece functia necunoscuta si derivatele ei intra necuatie la puterea ntai.

    Vom rezolva ecuatia

    x+ 2x+20x=F0m

    eit,

    cu aceleasi notatii ca si n paragrafele anterioare. Vom cauta solutia acestei ecuatii deforma

    xpart(t) =Beit,

    unde B este un numar complex,B = |B| ei

    (partea reala a solutiei fiind x(t) = |B| cos(t+), ceea ce arata ca |B| reprezinta amplitudinea oscilatiilor, iareste defazajul oscilatiilorfortate fata de forta exterioara. Introducand n ecuatie rezulta

    B= F0/m

    20 2 + 2icu

    |B| = F0/m(20 2)2 + 422

    iar defazajul se obtine din

    tg= 22 20

    .

    Rezonanta

    |B| = F0/m(20 2)2 + 422

    5Notam i =1.

    20

  • 7/25/2019 cap1-p1 (1)

    21/21

    Dependenta amplitudinii oscilatiilor fortate de frecventa exterioara este data n figura.Se observa ca pentru o anumita frecventa amplitudinea are un maxim. Pentru aceastafrecventa are loc rezonanta elongatiilor. Amplitudinea este maxima cand numitorul esteminim. Conditia de minim (de extrem) va fi

    d

    d2

    20 2

    2+ 422

    = 0

    Rezulta

    rez =

    2

    0 22

    Valoarea maxima a amplitudinii este

    Bmax= F0

    20 2,

    iar daca frecarea este nula, la rezonanta numitorul este zero si amplitudinea este infinita.Derivand pe x se obtine viteza corpului care executa oscilatii fortate,

    v= x= ix.Amplitudinea vitezei va fi

    v0 = F0

    m

    (20 2)2 + 422= F

    0/m42 +

    02

    2Amplitudinea vitezei are o valoare maxima pentru

    =0

    Aceasta esterezonanta vitezelor. Dacaeste mic, cele doua rezonante sunt foarte apropi-ate. Pentru frecari mari rezonanta elongatiilor nu este puternica, dar rezonanta vitezeloreste manifesta.

Embed Size (px)
Recommended