3. ÎNTREPRINDEREA SISTEM DE PRODUC|IE TOTAL 3.1 Structura =i func\iile sistemului de produc\ie total Orice unitate economică - industrială, agricolă, prestatoare de servicii - este alcătuită din trei subsisteme de producţie, care formează subsistemele funcţionale: 1. subsistemul operaţional (de execuţie) care acţionează direct asupra obiectelor muncii. Acesta, la rândul său, va cuprinde mai multe sub- subsisteme (unele auxiliare) corespunzând compartimentelor de execuţie (fabricaţie). 2. subsistemul decizional (de conducere) care elaborează decizii privind subsistemul operaţional, pe baza prelucrării informaţiei disponibile. 3. subsistemul informaţional , este elementul de legătură în ambele sensuri între subsistemele operaţional şi decizional; el realizează prelucrarea, stocarea şi transmiterea de informaţie (inclusiv decizii) fiind alcătuit din ansamblul datelor şi informaţiei existente împreună cu relaţiile dintre ele, modalităţile de transformare şi elementele purtătoare de date şi informaţie. Un sub-subsistem important al subsistemului informaţional este sistemul informatic , care are funcţia specială de a prelucra datele de care se dispune cu jutorul tehnicilor de calcul automat (hard şi soft). Dezvoltarea economică a dus la accentuarea complexităţii unităţilor economice precum şi a subsistemelor componente. Ca urmare se foloseşte noţiunea de sistem complex industrial , care este de regulă un sistem de deschis, numit şi sistem total (spre a-l deosebi de subsistemele sale).
Transcript
3. ÎNTREPRINDEREA SISTEM DE PRODUC|IE TOTAL
3.1 Structura =i func\iile sistemului de produc\ie total
Orice unitate economică - industrială, agricolă, prestatoare de
servicii - este alcătuită din trei subsisteme de producţie, care formează
subsistemele funcţionale:
1. subsistemul operaţional (de execuţie) care acţionează direct asupra
obiectelor muncii. Acesta, la rândul său, va cuprinde mai multe sub-
subsisteme (unele auxiliare) corespunzând compartimentelor de execuţie
(fabricaţie).
2. subsistemul decizional (de conducere) care elaborează decizii
privind subsistemul operaţional, pe baza prelucrării informaţiei
disponibile.
3. subsistemul informaţional, este elementul de legătură în ambele
sensuri între subsistemele operaţional şi decizional; el realizează
prelucrarea, stocarea şi transmiterea de informaţie (inclusiv decizii) fiind
alcătuit din ansamblul datelor şi informaţiei existente împreună cu
relaţiile dintre ele, modalităţile de transformare şi elementele purtătoare
de date şi informaţie. Un sub-subsistem important al subsistemului
informaţional este sistemul informatic, care are funcţia specială de a
prelucra datele de care se dispune cu jutorul tehnicilor de calcul automat
(hard şi soft).
Dezvoltarea economică a dus la accentuarea complexităţii
unităţilor economice precum şi a subsistemelor componente. Ca urmare
se foloseşte noţiunea de sistem complex industrial, care este de regulă un
sistem de deschis, numit şi sistem total (spre a-l deosebi de subsistemele
sale).
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
35
Structura unui sistem complex industrial are, la acelaşi nivel cu
subsistemul operaţional şi următoarele trei subsisteme (fig. 3.1):
- de aprovizionare;
- de transport;
- de întreţinere.
Fiecare din aceste subsisteme va conţine un subsistem al
procesului sub comanda unui subsitem de control (SC), deci:
SO (subsistemul opera\ional) = SC + PO (proces operativ);
SI (subsistemul de întreţinere) = SC + PI (proces de întreţinere);
ST (subsistemul de transport) = SC + PT (proces de transport);
SA (subsistemul de aprovizionare) = SC + PA (proces de
aprovizionare).
Observaţie:
La această structură a unui sistem complex industrial se mai adaugă:
- subsistemul programării/planificării producţiei, în SCC;
sistemul factorilor de produc\ie prezentat ]n figura 3.2.
Factorii de performanţă umană (FPU) permit pregătirea,
organizarea şi dinamizarea întregului proces. Deşi au un caracter abstract
în raport cu factorii elementari (FE) ei condiţionează modul de
combinare şi transformare a acestora, influenţ`nd cantitatea, calitatea şi
valoarea produselor obţinute.
Informaţia, ca factor elementar de producţie, prezintă unele
particularităţi, deoarece procesul de producţie nu poate avea loc fără
prelevarea, transmiterea, recepţia, interpretarea şi utilizarea unor date cu
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
38
privire la calitatea şi cantitatea factorilor de producţie, caracteristicile
produselor, succesiunea în timp a proceselor şi evoluţia diferiţilor
parametrii.
SFP
FE
M E Mj I ME
FPu
FCd FCr
P O Cd Co C Cp CPs Co
Fig. 3.2
SFP – sistemul factorilor de producţie; FPu – factori de performanţă umană; FE – factori elementari; FCd – factori de conducere; FCr – factori de crea\ie;
M – materiale, E – energie; Mj – mijloace de munc[; I – informa\ie; ME – munc[ de execu\ie; P – planificare/prevedere; O – organizare; Cd – comand[/decizie; Co – coordonare; C – control;
Cp – concep\ie produs; CPs – concep\ie proces tehnologic; CO – concep\ie organizare
Principalele grupe de informaţie legate de procesul de producţie
sunt:
1. Informaţia despre produs;
2. Informaţia despre proces (tehnologic);
3. Informaţia privind programarea producţiei;
4. Informaţia privind controlul şi desfăşurarea producţiei;
5. Informaţia privind desfacerea producţiei;
6. Informaţia privind consumul de resurse.
Aceste 6 grupe de informaţie aparţin uneia din următoarele
categorii:
a) Informaţie tehnică pentru pregătirea producţiei;
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
39
b) Informaţie tehnică pentru realizarea procesului de producţie;
c) Informaţie economică pentru conducerea generală a proceselor
de producţie.
Informaţia tehnică pentru pregătirea producţiei este rezultatul
factorilor de creaţie (FCr) iar celelalte două - ale factorilor de conducere
(FCd) şi elementari (FE) aflaţi într-un proces interactiv permanent.
În concluzie, se poate considera producţia ca o combinare a
factorilor elementari cu cei de creaţie şi conducere, ceea ce permite
exprimarea sa ca pe o funcţie de cantitatea şi calitatea factorilor utilizaţi.
Pentru a se putea aplica principiul minimizării consumului de
factori, este necesară exprimarea acestora sub forma unor costuri.
Alegerea unei anumite variante (combinaţie de factori) se va baza pe
compararea informaţiei economice aferente fiecăreia şi evaluarea
diferitelor combinaţii în raport cu cerinţele principiului eficienţei.
Ca urmare, datele (informaţia) economice(ă) devin premisa funţiei
de reglaj în cadrul procesului de producţie.
Costurile de producţie depind de caracteristicile produsului, de
calitatea şi cantitatea factorilor de producţie şi de costul lor. Calitatea
factorilor de producţie este definită prin cerinţele tehnice; costul
factorilor de producţie – prin date economice iar cantitatea este
condiţionată în aceeaşi măsură de aspecte tehnice, economice şi
organizatorice.
3.3 Structura producţiei
Structura producţiei reprezintă alcătuirea internă a sistemului de
producţie total şi poate fi privită din două puncte de vedere:
- din punct de vedere al organizării structurale;
- din punct de vedere al componentelor şi relaţiilor interne.
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
40
Structura producţiei din punct de vedere al organizării structurale
reprezintă modul de împărţire a procesului de producţie pe subunităţi
organizatorice şi modul de conectare al acestora.
Subunitatea de definire a compunerii structurii de producţie este
secţia. După rolul lor în structura sistemului de producţie secţiile se
clasifică în:
- secţii de bază în care scopul procesului de producţie este realizarea
produselor ce constituie obiectul activităţii sistemului de
producţie;
- secţii de producţie auxiliare în care scopul proceselor de producţie
este asigurarea unor condiţii necesare desfăşurării proceselor de
producţie în secţiile de bază;
- secţii de producţie anexe în care se valorifică unele materiale
refolosibile rezultate în procesul de producţie din secţiile de bază.
Fig. 3.3 Interconectarea tehnologică a secţiilor
Ps
S. An
S,P
S.Ax
MP M C
MR
S,P
SB
EE
MP – materii prime M – materiale C – combustibil E - energie S.Ax – secţii auxiliare S.An – secţii anexe SB – secţii de bază SP – secţii de pregătire ST – secţii de transformare/ prelucrare SM-F – secţii montaj – finisare S,P – servicii şi produse MR - materiale refolosibile Pp – produs principal Ps – produs secundar
Pp
SM - F
ST
SP
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
41
Secţiile conţin subunităţi (ateliere, puncte de lucru, locuri de muncă)
ce au drept scop realizarea unei etape a procesului de producţie:
pregătire, transformare, asamblare, finisare a produselor. Aceste
subunităţi sunt conectate între ele funcţie de nomenclatorul şi
caracteristicile produselor realizate .
Fig. 3.4 Interconectare pe produs
Fig. 3.5 Interconectare pe obiect
P1 P2 P3
SB – P1 SB – P2 SB – P3
MP
PF
SB - M
SB – O1 SB – O2
MP
Livrare directă
PF – produse finite SB – M – secţie de bază de montaj SB – O1 – secţie de bază pentru obiectul 1
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
42
Principalele moduri de interconectare a secţiilor într-un sistem de
producţie sunt:
a. Interconectare tehnologică (fig. 3.3) - în succesiunea proceselor,
indiferent de succesiunea operaţiilor pentru fiecare produs;
b. Interconectarea pe produs (fig. 3.4) - în fluxuri tehnologice
separate pentru fiecare produs
c. Interconectare pe obiect (fig. 3.5) - în succesiunea operaţiilor
tehnologice se introduce o conexiune parţială după cerinţele unui anumit
ansamblu
d. Interconectare mixtă - o combinaţie între variantele de la punctele
a, b şi c ca de exemplu cea prezentată în figura 3.6
Fig. 3.6 Interconectare mixtă
PF
ST 3
ST 2
ST 1
MP
SB – O2
PF – produs finit ST 1, ST 2, ST 3 – secţii de transformare/prelucrare interconectate tehnologic SB – O2 – secţie de bază pentru obiectul 2
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
43
Structura producţiei din punct de vedere al relaţiilor interne şi al
componentelor defineşte totalitatea tehnicilor şi a legăturilor dintre ele,
folosite în vederea obţinerii (realizării) producţiei.
Totalitatea proceselor la care sunt supuse obiectele muncii pot fi
grupate în 5 categorii de tehnici globale:
- tehnica producerii;
- tehnica transportului;
- tehnica conducerii;
- tehnica creaţiei;
- tehnica factorului uman.
Toate aceste tehnici sunt interdependente, alcătuind un tot unitar –
sistemul de producţie. Fiecare tehnică globală este alcătuită din mai
multe tehnici elementare, care corespund anumitor procese şi factori
elementari.
3.4 Tipuri de producţie
Tipul de producţie al unei unităţi (sistem) de producţie este
determinat de:
- numărul de sortimente;
- volumul de produse realizate din fiecare sortiment;
- tipul proceselor tehnologice, al maşinilor şi instalaţiilor folosite.
Principalele elemente care caracterizează tipul de producţie sunt:
- gradul de specializare al locurilor de muncă;
- gradul de continuitate al circulaţiei obiectelor muncii.
Există trei tipuri de producţie:
a) producţie de masă - în flux automatizat sau neautomatizat
(discontinuu);
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
44
b) Producţie de serie ( mare, mijlocie, mică)
c) Producţie individuală ( de unicate)
a) Producţia de masă
Producţia de masă este caracterizată de fabricarea permanentă a unui
produs sau a unui număr foarte mic de sortimente. Termenul
„permanentă” se referă, aici, la perioada de prognoză avută în vedere
pentru produsul respectiv.
Principalele caracteristici ale acestui tip de producţie sunt:
- utilizarea de echipamente (mijloace de muncă) cu un grad ridicat
de înzestrare tehnică (automatizare, mecanizare, robotizare etc.);
- amplasarea maşinilor şi utilajelor în linii tehnologice specializate
pe produs (sau subansamble ale acetuia) într-o succesiune
corespunzătoare operaţiilor procesului tehnologic (amplasare în
flux);
- normare exactă a consumului de timp pe operaţii;
- specializarea strictă a punctelor de lucru (locurilor de muncă);
- personalul pentru execuţie poate avea o calificare scăzută;
- pentru operaţiile de reglare şi întreţinere a utilajelor este necesar
un personal cu calificare foarte ridicată;
- flexibilitatea fabricaţiei este foarte scăzută.
În cadrul acestui tip de producţie se pot înt]lni următoarele situaţii:
- producţia de masă cu flux automatizat, caz în care transportul
obiectelor muncii se realizează în mod continuu, automat. Acest
gen de producţie, specific industriei chimice şi petrochimice, se
extinde şi în cadrul industriei constructoare de maşini prin
robotizare.
- producţia în flux neautomatizat (pe bandă) – transportul de la un
punct de lucru la altul se realizează neutomat (de exemplu
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
45
mecanizat). Durata operaţiilor la fiecare punct de lucru trebuie să
fie egală cu tactul liniei sau un multiplu al său.
- producţia în flux discontinuu (intermitent) – transportul obiectelor
muncii de la un punct de lucru la altul se face neautomat, dar o
parte sau toate operaţiile (grupate pe puncte de lucru) au o durată
care nu este nici egală nici multiplu al tactului liniei. Vor exista,
deci puncte de lucru la care timpul necesar realizării operaţiei
respective este mai mic dec`t tactul liniei, astfel înc`t se ceează
întreruperi în funcţionarea utilajelor ce deservesc aceste puncte de
lucru şi disponibilizări ale forţei de muncă. Prin introducerea unor
forme specifice de organizare, se pot elimina pierderile de timp.
b) Producţia în serie
Producţia în serie este caracterizată prin fabricarea de loturi de
produse, care se repetă după anumite perioade de timp prestabilite. Ca
urmare, la majoritatea punctelor de lucru, se repetă periodic aceleaşi
operaţii.
Producţia de serie se clasifică, după mărimea loturilor de
fabricaţie, în:
- producţie de serie mare (în flux), care este asemănătoare
producţiei de masă, cu diferenţa că, pe aceeaşi linie tehnologică se
pot realiza mai multe produse asemănătoare din punct de vedere
constructiv şi al proceselor tehnologice.
- Producţie de serie mijlocie, caracterizată prin loturi de produse
realizate succesiv. După fiecare lot se modifică structura şi
componenţa liniei tehnologice, ceea ce conduce la reducerea
productivităţii;
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
46
- Producţie de serie mică, caracterizată prin fabricarea unui
sortiment mare de produse, în loturi mici ce se repetă la intervale
neregulate de timp.
În general, producţia de serie, necesită at`t maşini specializate c`t şi
maşini universale. Raportul dintre cele două categorii estedependent de
tipul seriei (mare, mijlocie, mică) şi de mărimea lotului de fabricaţie,
care influenţează, de asemenea, gruparea şi amplasamentullor, gradul de
utilizare şi productivitatea.
c) Producţia individuală
Acest tip de producţie este caracterizată prin fabricarea unor produse
diverse, în cantităţi foarte mici, uneori chiar unicate. Din această cauză
sunt necesare maşini universale, grupate după tipul prelucrării pe care o
realizează şi deservite de personal ci înaltă calificare. Productivitatea şi
gradul de utilizare al maşinilor este scăzut.
Observaţie: Caracterizarea tipului de producţie este importantă deoarece:
- permite definirea mijloacelor şi a formei structurale de organizare; - permite analiza orientată a sarcinilor de fabricaţie astfel înc`t să se
stabilească o relaţie între acestea şi un anumit tip de fabricaţie, deci o anumită clasă de sistem de producţie;
- permite elaborarea strategiilor diferenţiate de conducere a sistemului de producţie.
O caracterizare generală a tipurilor de producţie este prezentată în
tabelul 3.1.
Obişnuit în practica proiectării şi a producţiei tipul de producţie nu se
determină prin calcul, ci se apreciază după mărimea seriei de fabricaţie
definită de cantitatea de produse care se execută după aceeaşi
documentaţie tehnică, care nu se modifică pe durata ciclului de viaţă al
produsului. Mărimea seriei de fabricaţie este întodeauna impusă de un
plan sau de piaţă.
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
47
Tabelul 3.1
Criteriu Producţia de unicate
Producţia de serie Producţia în masă
Sortimentaţia producţiei
foarte largă largă ... foarte restr`nsă
singulară
Specializarea producţiei
tehnologică mixtă pe obiect
Specializarea utilajelor şi a
echipamentelor tehnologice
universale universale, specializate,
speciale
speciale
Flexibilitatea producţiei
relativ ridicată medie scăzută
Amplasarea utilajelor şi a
locurilor de muncă
pe grupe omogene
tehnologic
pe grupe, în celule,
în flux
concordant cu fluxul tehnologic
Calificarea operatorilor direcţi
înaltă, policalificare
medie relativ scăzută
Diviziunea muncii scăzută mijlocie mare Consumul specific
de materiale şi manoperă pe produs
relativ mare mijlociu mic
Costul unitar al produsului
mare mijlociu mic
Productivitaea muncii
mică mijlocie mare
Conducerea operativă a producţiei
pe unicate pe comenzi (loturi) pe schimb şi linii de producţie în
flux
Această determinare prin apreciere este foarte imprecisă şi are urmări
negative din punct de vedere tehnico-economic, soluţiile proiectate fiind
mai mult sau mai puţin îndepărtate de optim, necest`nd ulterior
reproiectări de produse, tehnologii şi organizări.
Delimitările cele mai utile pentru determinarea prin calcul a tipului
producţiei sunt prezentate în tabelul 3.2.
a) La nivelul sistemului de producţie (al mulţimii locurilor de muncă
dintr-o secţie, atelier, compartiment etc.), mărimile prin care se
caracterizează tipul producţiei sunt:
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
48
- coeficientul de continuitate al livrării unui produs, kcl, dat de relaţia:
111n
k lcl
−= (2.1)
unde nl este numărul de luni din anul de plan în care este
porgramată livrarea produsului.
- coeficientul mediu al specializării locurilor de muncă, kms, dat de
relaţia:
LM
toms n
nk = (2.2)
unde nto este numărul total de operaţii realizate;
nLM – numărul de locuri de muncă.
Tabelul 1.2
Mărimi şi valori pentru nivelul sistem de producţie loc de muncă Tipul producţiei
kcl kms njk mjk de masă 1 ≤ 1 ≤ 1 ≥ 1
mare 0,5 ... 1 2 ... 10 2 ... 10 0,5 ... 0,1 mijlocie 0,1 ... 0,5 10 ... 50 10 ... 20 0,1 ... 0,05 de serie
mică < 0,1 > 50 > 20 < 0,05 unicate ≅ 0 - - -
b) La nivelul locurilor de muncă, mărimile prin care se caracterizează
tipul producţiei sunt:
- numărul de repere distincte, j fabricate în cursul perioadei de un an
la locul de muncă la care se execută operaţia k pentru reperul respectiv,
njk, exprimat în [repere/loc de muncă], dat de relaţia:
Tjkjan
dankjk NQ
Fn
⋅= (2.3)
unde Fdank este fondul anual de timp disponibil pentru locul de
muncă al operaţiei k ce se execută asupra reperului j, exprimat în
[ore/an];
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
49
Qjan – volumul producţiei fizice a reperului j (aflat în
componenţa produsului i) în conformitate cu programul anual de
producţie, exprimat în [buc/an reper];
NTjk – norma tehnică de timp pentru operaţia k ce se execută
asupra reperului j, exprimată în [min.loc de muncă/buc].
- numărul de locuri de muncă pentru operaţia k necesar continuu în
cursul perioadei de un an pentru fabricare a Qjan repere de tip j,
mjk, exprimat în [nr. loc de muncă/reper], este dat de relaţia:
jkjk n
1m = (2.4)
În întreprinderile constructoare de maşini tipul de producţie la
nivel de sistem de producţie este regăsit numai la 50 ... 70 % din locurile
de muncă aşa cum se exemplifică în tabelul 3.3. Tabelul 2.3
Tipul producţiei la nivelul de loc de muncă Tipul producţiei la nivel de
întreprindere de masă de serie mare de serie
mijlocie de serie mică şi
unicate de masă 55 %
25 % 15 % 5 %
de serie mică şi unicate
5 % 10 % 20 % 65 %
3.5 Proiectarea sistemelor de producţie
Un sistem de produc\ie cuprinde cinci componente tangibile:
- amenajarea – aranjarea fizic[ a sistemului de produc\ie;
aceste condi\ii, un rol important ]l are produc\ia executat[ la comand[,
iar pentru stimularea cererii pe pia\[ se utilizeaz[ politici de marketing-
\int[, orientate spre client. Procesul de v`nzare este cel care determin[
produc\ia =I, ca urmare, ]ntreprinderea se confrunt[ cu exigen\ele impuse
de imperativul <produce ce s-a v`ndut deja>.
2. Fundamenatrea produc\iei ]ntreprinderii ]n func\ie de posibilit[\ile
interne ale acesteia
M[rimea, structura =i caracteristicile calitative ale resurselor tehnice,
materiale =i umane aflate la dispozi\ia ]ntreprinderii, posibilit[\ile de
utilizare a acestora, volumul mijloacelor financiare ce pot fi alocate
pentru produc\ie, condi\iile tehnologice =i manageriale existente
reprezint[ cei mai importan\i factori ai poten\ialului productiv de la
nivelul ]ntreprinderii care condi\ioneaz[ =i deseori limiteaz[ ceea ce
aceasta poate s[ fac[ ]n domeniul produc\iei sale.
3. Fundamentarea produc\iei ]ntreprinderii ]n func\ie de strategia =i
politicile manageriale adoptate de aceasta
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
56
Fundamentarea produc\iei ]n aceast[ direc\ie presupune dou[ etape de
analiz[ previzional[, cu grade diferite de detaliere.
Astfel, ]ntr-o prim[ etap[, din ansamblul cerin\elor pie\ei se selecteaz[
acelea care corespund prevederilor din stategia economic[ a
]ntreprinderii.
Dup[ precizarea cerin\elor pie\ei care pot fi ]ndeplinite cu
resursele disponibile, se vor selecta acele cerin\e care contribuie ]n cea
mai mare m[sur[ la transpunerea ]n practic[ a prevederilor strategiei =i
politicilor adoptate. Factorii de decizie vor hot[r` <ce, c`t, cum, c`nd =i
pentru cine doresc s[ produc[>, adic[:
Ce ? – nomenclatorul produselor =i gama tipurilor, variantelor sau
modelelor executate.
C`t ? – cantit[\ile de produse pe diferite pozi\ii din nomenclator.
Cum ? – caracteristicile calitative, func\iile specifice de utilizare,
costurile de produc\ie =i rata profitului pentru fiecare produs.
C`nd ? – termenele de livrare pe comenzi.
Pentru cine ? – pie\ele de desfacere, domeniile de utilizare =i clien\ii
pentru fiecare produs.
3.5.2 Optimizarea planului produc\iei fizice
Optimizarea constitue o caracteristică esen\ial[ a concep\iei, realiz[rii =i func\ion[rii sistemelor inginere=ti. }n general, la elaborarea modelului matematic necesar optimiz[rii unui sistem ingineresc se identific[:
1. Care sunt variabilele xi asupra c[rora se poate lua decizia (necumoscutele sistemului matematic):
- caracteristici ale produsului; - parametri regimului tehnologic; - volumul produc\iei fizice pentru diferite sortimente. 2. Care sunt restric\iile esen\iale impuse sistemului: - cantit[\ile de materiale disponibile;
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
57
- gabarite limitate; - valori limit[ ale regimurilor tehnologice pentru utilajele disponibile; - for\a de munc[ disponibil[; - grad d e ]nc[rcare al capacit[\ilor de produc\ie existente; - volum al produc\iei fizice sortimentale contractat cu beneficiarii. 3. Care sunt criteriile de alegere a solu\iei optime, criterii care definesc func\ia de optimizat a modelului matematic: - randamentul unui produs sau proces; - consumul specific de materiale sau de energie; - costurile de produc\ie; - profitul; - ]nc[rcarea capacit[\ilor de produc\ie. 4. Care este obiectivul optimiz[rii: maximizarea sau minimizarea func\iei obiectiv.
Rezolvarea unor astfel de probleme face necesar[ apelarea la metodele cercet[rii opera\ionale (programarea liniar[, teoria deciziei, teoria jocurilor, teoria stocurilor, analiza drumului critic, teoria firelor de a=teptare =.a.).
Un astfel de exemplu este dat de problema utiliz[rii optime a unor resurse.
Ipotezele problemei sunt urm[toarele: - se urm[re=te producerea reperelor: Ri, i ˆ 1,2, …, n - se utilizeaz[ resursele: Ej, j ˆ 1,2, …, m - resursele sunt disponibile ]n cantit[\ile bj (pentru resursa Ej) - se cunosc consumurile aji de resurs[ Ej pentru producerea reperului
Ri - se cunosc profiturile unitare ci rezultate prin valorificare unit[tii de
produs Ri - se cunosc costurile unitare αj necesare achizi\ion[rii unit[\ii de
resurs[ Ej - se cunoa=te capitalul total disponibil S pentru achizi\ionarea
acestor resurse Necunoscutele problemei sunt cantit[\ile, xi, din fiecare produs care urmeaz[ a fi fabricate. Rela\iilevalabile ]n ipotezele de mai sus sunt:
- ]ncas[rile totale rezultate din v`nzarea produselor Ri, i ˆ 1,2, …, n sunt:
∑=
⋅=n
iijin xaxxxf
121 ),...,,(
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
58
- cantitatea consumat[ din resursa Ej este: ∑=
⋅n
iiji xa
1
- costul total al resursei Ej consumat[ este: ∑=
⋅⋅n
iijij xa
1α
- cheltuielile totale cu resurse sunt: ∑ ∑= =
⋅⋅m
j
n
iijij xa
1 1α
Pentru determinarea necunoscutelor xi, se pot formula urm[toarele dou[ modele:
A) }n cazul ]n care se dispune de resursele E1, E2, …, Em ]n cantit[\ile b1, b2, …, bm se pune problema utiliz[rii lor ]ntr-un mod care s[ conduc[ la ]ncas[ri totale maxime. }n acest caz, modelul matematic care are ca solu\ii cantit[\ile x1, x2, …, xn optime, se scrie astfel:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀≥
=∀≤⋅
⋅=
∑
∑
=
=
nipentrux
mjpentrubxa
xcxxxf
i
j
n
iiji
n
iiin
,...,2,1)(0
,...,2,1)(
),...,,((max)
1
121
B) }n cazul ]n care se dispune de capitalul S (cunoscut), cu care se
dore=te achizi\ionarea resurselor E1, E2, …, Em, pentru fabricarea reperelor R1, R2, …, Rn astfel ]nc`t ]ncas[rile s[ fie maxime =i s[ se recupereze capitalul investit, modelul matematic se scrie:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀≥
≥⋅
≤⋅
⋅=
∑
∑ ∑
∑
=
= =
=
NIpentrux
Sxc
Sxa
xcxxxf
i
n
iii
n
j
n
iijij
n
iiin
,...,2,1)(0
)(
),...,,((max)
1
1 1
121
α
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
59
Aceste modele numite fundamentale pot fi completate cu numeroase detalii, care reprezint[ condi\ii suplimentare. A=a cum se poate u=or constata, aceste dou[ modele probleme de programare liniar[, care se pot rezolva prin metoda SIMPLEX (v. ANEXA 1) dup[ ce au fost aduse la forma standard sau folosind un pachet de programe specializat a=a cum este WINQSB.
3.6 Procesul de produc\ie
Baza activit[\ii ]ntr-un sistem de produc\ie o constitue procesul de
produc\ie, care reprezint[ ac\iunea organizat[ =i con=tient[ a for\elor de
munc[ asupra obiectelor muncii cu ajutorul uneltelor de munc[, ]n
vederea transform[rii lor ]n bunuri materiale necesare societ[\ii sau ]n
vederea realiz[rii unor servicii. Procesul de produc\ie cuprinde totalitatea
activit[\ilor intreprinderilor industriale ]ncep`nd cu procesul de
aprovizionare, continu`nd cu procesul tehnologic =i termin`nd cu
procesul de desfacere a produc\iei realizate.
Dintre cele trei componente amintite, cea mai important[ este
procesul tehnologic ]n cadrul c[ruia are loc activitatea propriu-zis[ de
creare a produsului marf[ sub ac\iunea proceselor de munc[ =i a
proceselor natural-dirijate.
Procesul tehnologic este deci, acea latur[ a procesului de produc\ie
care reprezint[ transformarea direct[ cantitativ[ =i calitativ[ a obiectelor
(ton) (tto) Timp de Timp de munc[ Timp de supraveghere munc[ manual[ manual-mecanic[ a func\ion[rii utilajului (tman) (tmm) (tsf)
Fig. 3.8
B. Timpul neproductiv (TN) este timpul în care au loc întreruperi
în munca executantului, oricare ar fi natura lor. El se compune
din:
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
72
B1. Timpul de întreruperi reglementate, Tîr, este timpul pentru odihna =i
necesit[\ile fire=ti ale executantului, precum =i întreruperile reglementate
de tehnologia aplicat[ =i de organizarea locului de munc[.
Tîr = ton + tto
Timpul de odihn[ =i necesit[\i fire=ti, ton, este timpul din durata
schimbului în cursul c[ruia procesul de munc[ este întrerupt, în scopul
men\inerii capacit[\ii de munc[ =i al satisfacerii necesit[\ilor fire=ti =i de
igien[ personal[ ale executantului.
OBS.: ton depinde de condi\iile în care se desf[=oar[ procesul de munc[.
Timpul de întreruperi condi\ionat de tehnologie =i de organizarea
muncii, tto , este acela de întrerupere a procesului de munc[, care rezult[
inevitabil din prescrip\iile tehnice de folosire a utilajului prev[zut de
tehnologie =i din activitatea executan\ilor la locul de munc[.
Ex.: - timpul de întrerupere la diferite locuri de munc[ pe linii
tehnologice neechilibrate, la care timpul real al activit[\ii este mai mic
decât tactul liniei.
B2. Timpul de munc[ neproductiv, Tmn , este timpul în cursul c[ruia
executantul efectueaz[ ac\iuni ce nu sunt utile desf[=ur[rii normale a
procesului de produc\ie.
Ex.: - timpi rezulta\i din rebutarea unei piese =i/sau remedierea unor
lucr[ri executate necorespunz[tor;
- timpi necesari c[ut[rii de piese sau scule dintr-o mul\ime, în
cazul organiz[rii necorespunz[toare a locului de munc[.
B3. Timp de întreruperi nereglementate, Tîn , este un timp neproductiv
în care procesul de munc[ este întrerupt din cauze nereglementate.
Tîn = ti + td
Timpul de întreruperi independente de executant, ti
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
73
Ex.: a=tept[rile legate de lipsa de energie, materii prime, semifabricate,
scule, mijloace de transport, a defec\iunilor accidentale ale utilajului sau
a calamit[\ilor naturale =i intemperiilor; timpul de supraveghere în care i
s-ar fi putut repartiza executantului alte munci, dar din deficien\e
organizatoriceaceasta nu s-a f[cut.
Timpul de întreruperi dependent de executant, td
Ex.: absen\e, întârzieri, discu\ii, greve.
3.8.2. Structura timpului de folosire a utilajului
Timpul de folosire a utilajului (TFU) se exprim[ în ore-utilaj, min-
utilaj =i are structura prezentat[ ]n figura 3.9
Timpul de folosire a utilajului, TFU , cuprinde timpul disponibil pe
întreaga perioad[ a schimbului de munc[ pentru utilizarea utilajului.
A. Timpul de func\ionare util[, Tfu , cuprinde totalitatea timpurilor:
A1 – de mers în sarcin[, tms , în care utilajul ac\ioneaz[ asupra
obiectului muncii;
A2 – de mers în gol, tmg , în care func\ionarea utilajului este necesar[
pentru asigurarea ac\iunii realizat[ în A1.
B. Timpul de func\ionare inutil[, Tfi
Ex.: timpul neopririi ma=inii la terminarea prelucr[rii sau în cursul
remedierii rebuturilor.
C. Timpul de nefunc\ionare a utilajului, Tnf , timpul în care acesta nu
func\ioneaz[ datorit[ întreruperilor:
C1. reglementate, Tîru , determinate de:
- ton – timpul de odihn[ =i necesit[\i =i
- tto – determinat de tehnologie =i organizare.
C2. nereglementate , Tînu , care pot fi:
- independente de utilaj , tiu
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
74
Ex.: lips[ energie, efectuarea unor repara\ii neplanificate,
necorelarea capacit[\ii cu locurile de munc[ vecine;
- dependente de utilaj , tdu
Ex.: întreruperi datorate defect[rii utilajului.
(TFU) Timp de Timp de func\ionare Timp de func\ionare inutil[ nefunc\ionare util[ (Tfu) (Tfi) (Tnf) Timp util Timp util Timp de Timp de de mers de mers întreruperi întreruperi în sarcin[ în gol reglementate nereglementate (tms) (tmg) (Tîru) (Tînu) independente dependente de utilaj de utilaj (tiu) (tdu)
Fig. 3.9
3.8.3 Structura timpului pe ciclu de fabrica\ie
Acest criteriu stabile=te structura timpului de munc[ d.p.d.v. al
obiectului muncii, în trecerea acestuia prin toate stadiile procesului de
fabrica\ie =i cuprinde:
A. Timpul de transformare, are ponderea cea mai mare =i
reprezint[ timpul în care obiectul muncii este supus
prelucr[rilor.
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
75
B. Timpul de transport, apare ca urmare a deplas[rii
semifabricatelor =i produselor finite între depozite =i între
locurile de munc[.
C. Timpul de control - destinat examin[rii cantitative
=i/sau calitative a materiilor prime =i materiale,
semifabricatelor =i produselor finite.
D. Timpul de a=teptare, pentru activit[\ile A, B =i C.
E. Timpul de depozitare.
Suma tuturor acestor timpi, începând cu depozitul de materii
prime =i materiale =i terminând cu cel de produse finite, formeaz[ ciclul
de fabrica\ie.
3.8.4 Structura =i determinarea normei de timp
Norma de timp, NT cuprinde totalitatea timpilor productivi ai
executantului =i cei de întreruperi reglementate. În vederea determin[rii
NT este util[ stabilirea structurii acesteia cu precizarea componentelor
sale. NT se exprim[ =i se calculeaz[ în min-om (ore-om) norm[/bucat[.
Diagrama structurii NT este prezentat[ ]n figura 3.9, nota\iile fiind
cele cunoscute din paragrafele anterioare.
Stabilirea timpului de preg[tire ]ncheiere Tp]
Tpî depinde de tipul produc\iei, de caracterul opera\iei =i de forma
de organizare a muncii (în principal).
Tpî este relativ mare pentru produc\ia individual[ =i de serie mic[,
atunci când acest timp este consumat la locul de munc[ de personalul de
baz[. În cazul celorlalte tipuri de produc\ie, utilajele fiind reglate pentru
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
76
o perioad[ mare de timp, iar organizarea nesuferind modific[ri, Tpî este
mic, ca pondere, în valoarea NT.
Fig. 3.9
Timpul de preg[tire încheiere se exprim[ în procente fa\[ de
timpul operativ sau în unit[\i de timp. Pentru m[surarea acestui timp se
pot folosi: cronometrarea, fotografierea, fotocronometrarea =i observ[rile
instantanee.
Când în timpul prelucr[rii pieselor unui lot apar activit[\i ce se
repet[ dup[ un anumit num[r de piese, sau timp de func\ionare
(înlocuirea unei scule), timpul de preg[tire încheiere se stabile=te separat
pentru lucr[rile constante =i pentru cele variabile, în conformitate cu
rela\ia:
Tpî = qnTT pîpî ⋅+ "' , unde
T’pî – timpul de preg[tire încheiere constant, care nu variaz[ în
func\ie de m[rimea lotului;
T’’pî – timpul de preg[tire încheiere care variaz[ în func\ie de
m[rimea lotului;
q – nr. de piese realizate între dou[ opera\ii succesive ale lui T’’pî.
NT
Tpî Top Tdl Tîr
tb ta tdt tdo ton tto
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
77
Stabilirea timpilor operativi Top = tb + ta
Pentru procesele manuale =i manual-mecanice (lucr[ri de montaj,
prelucr[ri pe ma=ini unelte) timpul operativ se m[soar[ global prin toate
metodele de m[surare a timpului: cronometrare, fotografiere, observ[ri
instantanee etc. Pentru cazurile în care timpul de baz[ =i cel ajut[tor pot
fi stabili\i separat, timpul operativ se calculeaz[ prin însumnarea lor.
Pentru lucr[rile mecanice =i automate:
Top = Tfu – (T’d l +T’îr) + (t’’b + t”a)
Tfu – timp de func\ionare util[ a utilajului;
T’d l – timp de deservire a locului de munc[ suprapus cu Tfu;
T’îr – timp de întreruperi reglementate suprapus cu Tfu ;
t”b – timp de baz[ nesuprapus cu Tfu ;
t”a – timp ajut[tor nesuprapus cu Tfu ;
T”op = t”b + t”a - timp operativ nesuprapus cu Tfu .
În cazul în care timpul de baz[, tb , se suprapune integral cu timpul
de func\ionare util[ a utilajului, atunci timpul operativ este:
Top = Tfu + t”a
Sunt cazuri când timpul de func\ionare util[ a utilajului nu se
poate determina prin calcul ci prin observ[ri directe. În acest caz:
Top = T’op + T”op , în care:
T’op – este timpul operativ, suprapus cu Tfu , dat de rela\ia:
T’op = tsf + t’a , unde:
tsf – este timpul de supraveghere a func\ion[rii utilajului;
t’a – timpul ajut[tor (manual =i manual mecanic) care se suprapune
cu Tfu.
Rezult[ c[. ]n acest caz, timpul operativ se determin[ cu rela\ia:
Top = tsf + t’a + t”b + t”a
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
78
Timpul de produc\ie impune =i precizia norm[rii =i de aceea,
pentru produc\ia de mas[, se au în vedere mânuirile ca elemente de
normat, pe când la produc\ia individual[ sau de serie - fazele sau
opera\iile tipizate.
Calculul timpului de baz[ depinde de caracterul muncii.
Pentru procesele de munc[ manuale =i manual-macanice, timpului
de baz[ îi corespunde timpul de transformare nemijlocit[ de c[tre
executant a materiilor prime =i materialelor etc. De aceea el se stabile=te
prin m[sur[tori de timp care au în vedere diferi\ii factori de influen\[. De
exemplu, ajustarea unei suprafe\e se normeaz[ \inând seama de
caracteristicile mecanice ale materialului, de adaosul de prelucrare ce
trebuie îndep[rtat, de conturul ce trebuie ob\inut.
În cazul proceselor mecanice =i automatizate intervine timpul de
suprapunere a func\ion[rii utile în sarcin[ a utilajului par\ial sau total cu
timpul de func\ionare util[ a utilajului.
În timpul de baz[ se poate include uneori =i timpul de interven\ie
direct[ a executantului asupra obiectelor muncii (nesuprapuse cu Tfu ) ca
de exemplu luarea gradului unei g[uri strunjite, cur[\irea =i verificarea
pieselor prelucrate.
În cazul suprapunerii par\iale a timpului de baz[ cu cel de
supraveghere exist[ posibilitatea ca executantul s[ poat[ deservi mai
multe utilaje, întrucât în acest caz apar mai multe întreruperi în
activitatea executantului.
Timpul de baz[ se calculeaz[ în general cu ajutorul unor rela\ii de
calcul care au în vedere parametrii de func\ionare ai utilajelor =i
caracteristicile obiectivelor muncii.
De exemplu, timpul util de mers în sarcin[ la strunjirea exterioar[
longitudinal[ a unei piese de lungime L este:
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
79
tms = isn
L⋅
⋅ unde:
n este tura\ia, ]n rot/min;
s – avansul, ]n mm/rot;
i – nr. de treceri.
Stabilirea timpului ajut[tor se realizeaz[, de asemenea, în func\ie
de caracterul muncii.
Timpul ajut[tor se poate stabili prin formule de calcul în cazul în
care întregul timp util de mers în gol al utilajului necesit[ supravegherea
executantului, dar de obicei, se stabile=te prin m[sur[tori directe. Timpul
util de mers în gol impune uneori o supraveghere total[ sau par\ial[. În
cazul în care aceast[ supraveghere nu este necesar[ pentru executant,
acest timp se poate considera ca fiind timp de întreruperi condi\ionate de
tehnologie.
La stabilirea timpului ajut[tor se va urm[ri ra\ionalizarea muncii
executantului: prin suprapunerea mi=c[rilor celor dou[ mâini, prin
suprapunerea mi=c[rilor muncitorului cu func\ionarea ma=inilor =i prin
scutirea muncitorului de activit[\i auxiliare =i neproductive.
În func\ie de tipul produc\iei, timpul ajut[tor se stabile=te luând în
considerare urm[toarele elemente ale procesului de produc\ie:
Produc\ia de mas[, serie mare: Elemente normate : mi=c[ri,
mânuiri, complexe de mânuiri.
Produc\ia de serie mijlocie: Elemente normate: complexe de
mânuiri, faze, opera\ii.
Produc\ia de serie mic[, unicate: Elemente normate: procese
tehnologice, pe tipuri de prelucrare a diferitelor suprafe\e sau a pieselor
întregi.
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
80
Stabilirea timpilor de deservire a locului de munc[
Durata timpului de deservire a locului de munc[ =i con\inutul
acestui timp depind de caracterul muncii, de tipul de produc\ie, de
lucrarea care se execut[ =i de felul utilajului folosit.
În cazul proceselor mecanice sau automatizate, acest timp se
calculeaz[ în procente din timpul de func\ionare util[ a utilajului, Tfu =i
se exprim[ în ore-om.
În cazul proceselor manuale sau manual-mecanice, timpul de
deservire a locului de munc[ se exprim[ în acelea=i unit[\i de timp, dar
în procente din timpul operativ Top.
Timpul de deservire a unei ma=ini-unelte va depinde de lucrarea care
se execut[, de cantitatea de =pan care trebuie îndep[rtat[, de lichidul de
r[cire folosit, de regimul de lucru utilizat, de gradul de automatizare,
care poate conduce la un anumit timp în care muncitorul poate executa
lucr[ri corespunz[toare altor categorii de timp, de num[rul de puncte de
ungere sau de sistemul de lubrifiere utilizat =.a.
Procedeele de m[surare a timpului de deservire a locului de munc[
sunt acelea=i cu cele pentru stabilirea timpului de preg[tire-încheiere cu
deosebirea c[ aceast[ categorie de timp se refer[ la aproape toate
lucr[rile ce se efectueaz[ pe un loc de munc[ =i nu se stabile=te în func\ie
de anumite lucr[ri.
Stabilirea timpului de ]ntreruperi reglementate
a) Timpul de odihn[ =i necesit[\i fire=ti, ton , se stabile=tepe baz[ de
normative în func\ie de factorii care determin[ apari\ia senza\iei de
oboseal[ la fiecare loc de munc[.
b) Timpul de întreruperi condi\ionate de tehnologie =i de organizarea
muncii se stabile=te fie prin formule de calcul, fie prin observ[ri
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
81
directe asupra timpului de munc[, separat pe cele dou[ componente
ale sale:
tto = tth + tog
b1) La stabilirea timpului de întreruperi condi\ionate de
tehnologie, tth , trebuie s[ se aib[ în vedere ca acest timp s[ de\in[ o
pondere tot mai mic[, de la o perioad[ la alta, pentru realizarea
cre=terii productivit[\ii muncii. La stabilirea acestui timp pot
interveni dou[ situa\ii:
- timpul de întreruperi condi\ionate de tehnologie survine
în timp cât utilajul nu func\ioneaz[, tth1 (timpul de întreruperi
cauzat de neechilibrarea locurilor de munc[ în flux);
- timpul de întreruperi condi\ionate de tehnologie survine
în timp cât utilajul func\ioneaz[, tth2 (timpul de întreruperi
cauzat de regimul termic variabil al utilajului tehnologic).
tth = tth1 + tth2
b2) În cazul organiz[rii produc\iei în flux, nu se poate asigura
întotdeauna o echilibrare perfect[ a tuturor locurilor de munc[, de=i
sunt numeroase încerc[ri teoretice =i experimentale în acest sens.
Ca urmare a existen\ei acestui dezechilibru apar a=tept[ri ale unor
executan\i =i utilaje, întreruperi în activitatea unor membri ai echipei.
Modificarea ritmului benzii, modificarea num[rului locurilor de
munc[ în flux, o normare corespunz[toare a muncii, o preocupare
pentru cuplarea =i echilibrarea opera\iilor, repartizarea cu grij[ a
executan\ilor la locurile de munc[, sunt c[ile prin care se pot reduce
timpii de intreruperi condi\ionate de organizarea muncii care apar atât
la opera\iile manuale cât =i la cele mecanizate, efectuate în flux de
c[tre o echip[ de muncitori. Prin aceasta se contribuie la cre=terea
productivit[\ii muncii.
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
82
3.8.5 Calculul normei de timp
a) Cazul proceselor manuale sau manual-mecanice:
NT = îrdloppî TTTn
T+++ = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
1001 îrdl
oppî kkTn
T
Obs. Timpul de deservire a locului de munc[ =i cel de întreruperi
reglementate se exprim[, de obicei ca procent din timpul operativ.
b) În cazul proceselor mecanice sau automatizate, trebuie avute în
vedere simultan atât timpul de func\ionare util[ a utilajului deservit cât =i
timpul de munc[ al executantului. Rela\ia dintre cele dou[ categorii de
timp este prezentat[ în figura 3.10.
b1) În cazul în care timpul de func\ionare util[ a utilajului se poate
calcula pe cale analitic[, rezult[:
NT = ''''''îrdla
pîfu TTt
nT
T ++++
tîn
‘’ (secund) – semnific[ timpii respectivi care nu se suprapun cu cel de
func\ionare util[ a utilajelor.
Deci: NT = ''''''''''toondodta
pîfu ttttt
nT
T ++++++
De obicei t ''dt , ''
dot , ''tot se exprim[ în procente din timpul de
func\ionare util[, iar ''ont - procent din timpul productiv, definit de
rela\ia: Tp = n
Tpî + Top + Tdl
Rezult[:
NT = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
1001001001001
'''''''''' tododt
fuon
apî
fukkkTkt
nT
T
b2) În cazul în care timpul de func\ionare util[ a utilajului trebuie stabilit prin m[sur[tori directe =i nu prin rela\ii analitice, se are în vedere rela\ia:
Tfu = tsf + ta’ + Tdl
’ + Tîr’
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
83
Indicele ‘ (prim) – se refer[ la timpii care sunt suprapu=i timpului de func\ionare util[ a utilajului.
Fig.3.10
Tfu – timp de func\ionare util[ a utilajului; tsf – timp de supraveghere a func\ion[rii utilajului; tin – timp de interven\ie al executantului ]n perioada de
timp c`t utilajul nu func\ioneaz[; tis - idem, c`t utilajul func\ioneaz[ 3.8.6 Stabilirea normei de timp ]n cazul deservirii mai multor ma=ini
La baza trecerii la deservirea simultan[ a mai multor ma=ini, st[
posibilitatea execut[rii opera\iilor manuale pentru o ma=in[ în timpul
cât celelalte ma=ini func\ioneaz[ f[r[ interven\ia muncitorului.
Ciclul de lucru, Tc – pentru ma=in[, tc – pentru executant, în cazul
deservirii mai multor ma=ini reprezint[ perioada de timp în decursul
c[reia se îndepline=te cu regularitate una =i aceea=i activitate, care se
repet[ la toate ma=inile deservite.
Pe baza schemei din figura 3.11, rezult[:
Tfu = n ⋅ ( tin + tis + tsf ) - tin ;
n = sfisin
infu
ttttT++
+ unde :
n este num[rul de ma=ini ce pot fi deservite simultan.
În cursul timpului de lucru, executantul î=i poate modifica ritmul
s[u de lucru, poate s[ reduc[ timpii de interven\ie tin =i tis. Ca urmare va
cre=te timpul de trecere de la o ma=in[ la alta =i de a=teptare a
executantului, conducând la o ocupare efectiv mai redus[ a executantului
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
84
în compara\ie cu cea normat[ =i la o mai bun[ folosire a ma=inilor,
ob\inându-se astfel o cre=tere a randamentului mijloacelor fixe =i a
productivit[\ii muncii.
Fig. 3.11
tin – timp de interven\ie în care ma=ina nu func\ioneaz[; tis – idem, ma=ina func\ioneaz[; tsf – timp de supraveghere a func\ion[rii ma=inii.
În situa\ia invers[, a cre=terii timpilor de interven\ie, rezultatele
sunt în sens contrar.
Stabilirea normei de deservire optime are în vedere tocmai
realizarea unui minim de neutilizare a executantului =i a ma=inilor.
Pentru stabilirea normei de timp trebuiesc calcula\i în prealabil
urm[torii coeficien\i:
- Coeficientul de ocupare a executantului la o ma=in[:
Ko = infu
isin
tTtt
++ =
C
isin
Ttt +
- Coeficientul de a=teptare de c[tre ma=in[ spre a fi deservit[; Kam este
dependent de coeficientul de ocupare Ko =i de num[rul de ma=ini
deservite (v. fig 3.12).
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
85
- Coeficientul de a=teptare al executantului, Kae, func\ie de Ko =i n (v.fig.
3.13).
- Coeficientul de utilizare a unei ma=ini, Kum = amK1 .
- Coeficientul de ocupare al executantului la ma=ini: Koe = aeK
1
Timpul de lucru operativ al executantului la o ma=in[ este:
Top = nTC = (tin + tis) ⋅ Kae
Ciclul de lucru al ma=inii este:
TC = (Tfu + tin) ⋅ Kam
Norma de produc\ie pe schimb, în cazul deservirii mai multor
ma=ini, se poate determina fie prin num[rul de piese care se prelucreaz[
pe fiecare ma=in[, fie ca sum[ a normelor de produc\ie pentru toate
ma=inile deservite.
În cazul în care executantul nu î=i regleaz[ ma=inile norma de
produc\ie ]n buc[\i pe schimb este:
Nnr = n ⋅ C
d
TTT ''− , buc/schimb, unde:
T - durata unui schimb;
T ''d - consum suplimentar de timp ( Td = tdt
’’ + tdo’’ + ton
’’ )
În cazul c[ executantul va rezolva =i reglarea ma=inilor-unelte
deservite, norma de produc\ie în buc[\i pe schimb se calculeaz[ cu
rela\ia:
Nr = n ⋅ C
pîd
TNT
TT ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
, buc/schimb , unde:
n – m[rimea lotului;
Tpî – timpul de preg[tire încheiere.
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
86
Fig.3.12
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
87
Fig. 3.13
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
88
3.9 Aplica\ii ale teoriei a=tept[rii la stabilirea normelor de deservire =i a normelor de personal
Elementele problemei fenomenului de a=teptare :
Sursa : mulţimea unit[ţilor care solicit[ un serviciu la un moment dat.
Sosirea unit[\ilor în sistemul de a=teptare determin[ o variabil[ aleatoare
X care reprezint[ num[rul de unit[\i care intr[ în sistem în unitatea de
timp.
Sistemul de a=teptare, format din:
- Firul de a=teptare : este determinat de num[rul unit[\ilor care
a=teapt[ (finit sau infinit)
- Statia de serviciu : un lucrator , o masina , etc. care efectueaza
serviciul solicitat. Timpul de servire al unei unitati in statia de serviciu
este o variabila aleatoare Y
Indicatorii principali ai problemei de a=teptare .
1) m - num[rul de unit[\i ale popula\iei din surs[ care sosesc în
sistem =i care poate avea valorile: - ∞ - sistem deschis
- finit – sistem închis
2) s - num[rul de sta\ii de serviciu ;
3) pn(t) -probabilitatea ca în sistemul de a=teptare s[ se g[seasc[
n unit[\i la momentul t oarecare (pn) ;
4) n(t) - num[rul de unitati ce se gasesc in sistemul de asteptare
(fir ‡ serviciu) la momentul t; este o variabil[
aleatoare cu distribu\ia:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
mn pppppmn
tn............210
:)(210
4’) ∑=
−
⋅=m
nnpntn
0
)( - num[rul mediu de unit[\i din sistem
la un moment t
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
89
5) nf(t) - num[rul de unit[\i din firul de a=teptare la un moment
dat t; nf(t )este o variabil[ aleatoare, care, \inând cont c[
exist[ unit[\i în firul de a=teptare atunci când n > s, are
distribu\ia:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
−−
+ mnssf
ppppppsmsn
tn...............10
:)(110
5’) −
n f(t) ˆ ∑=
⋅−m
nnpsn
0)( - num[rul mediu de unit[\i care
se afl[ în fir;
6) ns(t) –num[rul de unit[\i care sunt servite la un moment t:
ns(t) = n(t) - nf(t) → variabila aleatoare;
6’) sn (t) = n (t) - fn (t) - num[rul mediu de unit[\i care
sunt servite la momentul t ;
7) P (n (t)> k) - probabilitatea ca num[rul unit[\ilor din sistem
la momentul t s[ fie mai mare decât k :
P (n(t)> k) = 1-P(n(t)≤k) = 1- (po + p1 + ... + pk )
8) ft - timpul mediu de a=teptare al unei unit[\i în fir ;
9) st - timpul mediu de a=teptare al unei unit[\i în sistem .
Legile probabilistice ale sosirilor =i servirilor
Fie X variabila aleatoare discret[ ce reprezint[ num[rul de
unit[\i sosite în unitatea de timp, într-un sistem de a=teptare.
În condi\iile :
a) posibilitatea sosirii unei unit[\i la un moment dat este
costant[ =i nu depinde de ceea ce s-a întâmplat anterior ;
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
90
b) posibilitatea unei sosiri într-un interval de timp (t , t+Δt) este
propor\ional[ cu lungimea , Δt , a intervalului;
c) probabilitatea ca în intervalul de timp (t , Δt) , Δt foarte mic,
s[ avem mai mult de o sosire este aproximativ egal[ cu zero;
variabila aleatoare X , are reparti\ia Poisson , cu parametrul λt
tnn et
ntP ⋅−= λλ )(
!1)(
unde :
Pn(t) – probabilitatea ca la momentul t, num[rul de unit[\i
sosite s[ fie n ;
λ- num[rul mediu de unit[\i sosite în unitatea de timp.
Observa\ie: Acceptând acelea=i condi\ii a) , b) , c) =i pentru
num[rul unit[\ilor servite de c[tre o sta\ie care lucreaz[ f[r[
întrerupere , se ob\ine ca num[rul de servicii ce pot fi f[cute de o
sta\ie într-un timp t , este o variabil[ aleatoare poissonian[ , cu
parametru μt , unde μ este num[rul mediu de unit[\i servite în unitatea
de timp.
Variabila aleatoare Y1 , timpul dintre dou[ sosiri are o
reparti\ie exponen\ial[
f(t) = λ e –λ t
cu valoarea medie
M(Y1) =
λ1
- intervalul mediu între dou[ sosiri
consecutive este inversul num[rului mediu de sosiri în
unitatea de timp.
Observa\ie: În mod similar,varibila aleatoare Y,timpul dintre
dou[ servicii consecutive are o reparti\ie exponen\ial[ de parametru μ
=i deci intervalul mediu dintre dou[ servicii cosecutive este μ1 .
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
91
Ecua\iile de stare pentru un fenomen de a=teptare ]n regim
sta\ionar
Regimul sta\ionar se caracterizeaz[ prin faptul c[ probabilit[\ile
pn(t) nu depind de momentul “t” , deci sunt constante la orice moment,
pk(t)ˆ pk. In acest caz se demonstreaz[ c[:
00
10 ppn
nn ⋅
⋅⋅⋅⋅
= −
μμλλ
K
K (1)
λ0, ,K λn-1 – parametrul sosirilor (num[rul mediu de sosiri in
unitatea de timp) este dependent de num[rul unit[tilor din sistem ;
μ1, K , μn – parametrul serviciilor, num[rul mediu de unit[\i
servite in unitatea de timp, dependent de num[rul unit[\ilor din sistem.
Modele de a=teptare Modelul M(∞, 1, 1) ∞ - o infinitate de unit[\i in sursa (fenomen de asteptare
deschis);
1 – un fir de asteptare;
1 – o sta\ie de servire.
λn – constant, deoarece popula\ia din care provin sosirile este
suficient de mare;
μn - constant, pentru ca exist[ o singur[ sta\ie de servire, deci nu
depinde de num[rul unit[\ilor din sistem.
Rezult[ din (1):
00 ppp nn
n ⋅=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ρ
μλ
Unde ρ = λ/μ este factor de serviciu sau intensitatea traficului
Pentru ρ > 1 - NU este suficient[ o singur[ sta\ie de deservire
(avem o aglomerare , crestere a sirului de asteptare).
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
92
Pentru ρ < 1 se obtine:
po=1-ρ ;
pn=ρn(1-ρ) ;
−−
=ρ
ρ1
n num[rul mediu de unit[\i din sistem;
−−
=ρ
ρ1
2
fn num[rul mediu de unit[\i din fir;
−= ρsn num[rul mediu de unit[\i in curs de servire;
−⋅ nμ num[rul mediu de unit[\i servite in unitatea de timp;
−−
⋅=ρ
ρμ 11
ft timpul mediu de asteptare al unei unit[\i ]n
fir;
−−
⋅=ρμ 1
11st timpul mediu de asteptare al unei unit[\i ]n
sistem;
P(n>k)=ρk+1 – posibilitatea ca num[rul unita\ilor n aflate in
sistem s[ fie mai mare decat un num[r k.
Observa\ie: Dac[ firul de asteptare este limitat, adic[ sistemul de
asteptare are capacitatea m[rginit[ la N unit[ti deci in firul de asteptare
se pot afla cel mult N – 1 unit[ti, atunci formulele modelului M(∞, 1, 1)
devin:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤−−
⋅=
−−
=
+
+
Nnpt
Nnptpp
p
Nn
n
N
.,0
.,1
11
1
1
10
ρρ
ρρ
nu mai este necesar[ conditia ρ<1; unit[tile care sosesc in sistem cand
n>N, pleac[ in alt[ parte.
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
93
Modelul M(∞, 1, s)
.statiiuneialserviredefactorulμλρ =
( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
≤≤⋅⋅=
−
− snptps
pss
snptpnp
snsnsn
n
n
.,!
1!
1
1.,!
1
00
0
ρρρ
ρ
Unde μλρ⋅
=s
reprezinta factorul de serviciu al tuturor statiilor.
( )
( )
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⋅
−⋅⋅⋅=+=
⋅−
⋅⋅⋅
=⋅
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
=
⋅−
⋅=
−⋅+
=
∑−
=
11!
111
1!1
1!
11
!!
1
02
02
02
1
0
0
ps
tt
psn
nt
nnn
n
ps
n
sn
p
s
fs
s
s
ff
sf
s
s
f
s
n
sn
ρ
ρρρμμ
ρ
ρρρμμ
ρ
ρ
ρρ
ρρρ
Modelul M(m,1,1)
In cadrul modelelor anterioare s-a presupus ca populatia din sursa
este infinita. In practica, de cele mai multe ori, sosirile sunt in numar
foarte mare, insa finite. De exemplu: intr-un atelier exista m (numar
finit) masini cu aceleasi caracteristici tehnologice si care functioneaza
independent unele de altele. Masinile se pot defecta in mod intamplator
si sosesc la reparat dupa o lege poissoniana cu parametrul λ; pentru
reparatie exista un singur mecanic (statie), iar durata reparatiei unei
masini urmeaza o repartitie exponentiala (cu parametrul μ).
Acest exemplu constituie un model de asteptare cu un fir de asteptare,
o statie, populatie finita. Pentru determinarea caracteristicilor acestui
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
94
model se observa ca probabilitatea ca in intervalul de timp Δt sa
soseasca in sistem o unitate, atunci cand exista n unitati in sistem din
cele m ale sursei, este cu atat mai mica, cu cat numarul unitatilor ramase
in sursa este mai mic. De aceea se poate scrie:
( ) tnmtn Δ⋅⋅−=Δ⋅ λλ
de unde rezult[:
( ) λλ ⋅−= nmn
Deoarece exista o singura statie, parametrul μn nu depinde de
numarul de unitati din sistem, el fiind constant, μ.
Inlocuind in (1) rezulta:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
mnptpAp
pnmmmm
pnmmn
p
nnmn
n
nn
,,2,1.
121
11
0
0
01
K
K
K
K
=⋅⋅=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+−⋅⋅−⋅−⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅
⋅+−⋅⋅⋅−⋅⋅=
ρ
μλ
μμμμλλλ
Pentru calculul lui p0 se porneste de la relatia:
∑=
=m
nnp
01
∑ ⋅
=⇒=⋅⋅∑
=
=m
n
nnm
nm
n
nm
AppA
0
000
11ρ
ρ
Caracteristicile acestui model vor fi:
- numarul mediu de unitati aflate in sistem:
∑=
−⋅−=⋅=m
nn pmpnn
00 )1(1
ρ
- numarul mediu de unitati care sunt servite la un moment dat va fi
dat de aceeasi expresie ca la modelul modelul M(∞, 1, 1) deoarece
exista o singura statie de servire:
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
95
01 pns −=
- numarul mediu de unitati aflate in fir:
)1(10pmnnn sf −⋅
+−=−=
ρρ
- timpul mediu de asteptare a unei unitati din fir este:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−⋅=
⋅= 11
11
0 ρμμ pm
nn
ts
ff
- timpul mediu de asteptare in sistem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=+=
ρμμ1
111
0pmtt fs
Modelul M(m,1,s)
Ca si in cazul M(m,1,1), cand popula\ia sursei este finita
parametrul λ, reprezentand numarul mediu al sosirilor pe unitatea de
timp, depinde de numarul unitatilor ramase in sursa, fiind proportional
cu acestea:
λn = (m-n) λ
- Celalat parametru, μ – num[rul mediu al venirilor pe unitatea de
timp, se va scrie ca si in modelul M(∞,1,s).
⎩⎨⎧
≤≤⋅≤≤⋅
=mnsdacassndacan
n μμ
μ1
Cu aceste valori rezulta:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤⋅⋅⋅
≤≤⋅⋅=
mnsdacapssA
sndacapCp ns
nm
nnm
n0
0
!
1
ρ
ρ
unde: −⋅
=μλρ
s factorul de serviciu al tuturor statiilor
−=μλρ factorul de serviciu al fiecarei statii
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
96
( )∑ ∑
= =
⋅⋅+⋅=
1
0
0
!
1s
n
mk
sn
nnm
snn
m AssC
pρρ
Celelalte caracteristici ale modelului se calculeaza pornind de la
relatiile lor de definire prezentate anterior.
Probleme de optimizare
In multe dintre fenomenele de asteptare preocuparea principala
este reducerea timpilor de asteptare/inactivitate proiectand spatii de
servire cat mai satisfacatoare, dar evident nu se poate merge cu marirea
acestora la infinit. Deci va fi necesara determinarea unui plan optim de
asteptare care sa fie cat mai convanabil din punct de vedere economic.
Pentru aceasta se studiaza diversele variante ale modelului de asteptare,
comparandu-se indicatorii intre ei: timpi de asteptare, numar de statii. In
acelasi timp trebuiesc calculate costurile globale, pe unitatea de timp ale
fiecarei variante din care se alege cea cu cheltuielile globale minime.
Costurile globale sunt date de rela\ia:
21 CsCtnC ssT ⋅+⋅⋅= w
Primul termen reprezint[ pierderile ca urmare a a=tept[rii iar al
doilea termen costurile cu sta\iile de servire.
Se exemplific[ aceast[ problem[ cu urm[torul exemplu:
3.10 Procedeele de m[surare =i determinare al timpului de
munc[ =i al timpului de func\ionare al utilajului ]n industria
constructoare de ma=ini
M[surarea timpului de munc[ se realizeaz[ ]n cadrul a doua etape
principale:
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
97
- etapa de ]nregistrare a situatiei existente, pe baza c[reia se studiaz[ =i
se eviden\iaza prevederile de timp de munc[ ale executantului =i ]n
func\ionarea utilajului, ]n vederea elabor[rii unei norme ]mbun[t[\ite;
- etapa de m[surare a timpului de munc[ consumat;
M[surarea timpului de munc[, indiferent de metoda care se
utilizeaz[, necesit[ la r`ndul ei urm[toarele faze: preg[tirea m[sur[rii,
efectuarea m[sur[rii, prelucrarea datelor;
Pentru m[surarea timpului de munc[ =i a timpului de folosire a
utilajului se utilizeaz[: aparate indicatoare (ceasornice, cronometre),
aparate ]nregistratoare (obisnuite: magnetofon, oscilograf, filmat sau
e) timpul- T , indic[ perioada în care se execut[ produsul (se iau
în considerare toti timpii: tehnologici , de deservire etc).
Analiza P.Q.R.S.T. d[ indica\ii cu privire la modul în care trebuie
f[cut[ amplasarea în cadrul întreprinderii.
Analiza Q.P. indic[ tipul de amplasare care se va folosi. Curba Q.P.
de forma unei hiperbole (v. fig. 3.22) delimiteaz[ trei zone
(aseman[toarea analizeiABC):
- zona A , cu un num[r mic de produse , în cantit[ti mari ceea
ce denot[ o productie de serie mare sau mas[ , care permite
o organizare în flux cu un transport automatizat cu vitez[
mare de deplasare a produselor.
- zona B , un num[r mai mare de produse care se fabric[ în
serii mici; utilajele sunt grupate în linie , cu masini unelte ,
u=or reglabile pentru o gam[ mare de repere , sunt de tip
universal sau specializate; deplasarea materialelor se face cu
intermitent[.
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
143
- zona C , un num[r mare de produse în canit[ti foarte mici;
se folosesc masini unelte universale iar deplasarea
materialelor este intermitent[ cu vitez[ foarte mic[.
A B C Q P produsul i produsul k
Fig. 3.22
2. Faza de sintez[ a amplas[rii stabileste cu precizie:
- drumul urmat de fiecare produs ;
- volumul stocurilor;
- operatiile pe locurile de munc[ , echipamentul necesar ,
cotele de gabarit;
- personalul;
- productia (medie si maxim[);
- cantitatea stocat[;
- greutatea si volumul corespunz[tor;
- cantitatea ce se deplaseaz[ pe or[ (schimb);
- frecventa transporrtului si a manipul[rilor;
- echipamentul de transport si manipulare.
3. Faza de alegere a solutiei în care se stabilesc avantajele si
dezavantajele solutiilor adoptate în faza 2 , avându-se în vedere :
- cheltuielile generate de fiecare solutie;
- cheltuielile cu întretinerea;
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
144
- calculul eficientei în cazul unei reamplas[ri.
Suprafata de amplasare SA este:
SA=SS+Sg+Se,
unde:
SS este suprafata static[, ocupat[ de utilaj si mobilier;
Sg – suprafata de gravitatie, suprafata utilizat[ de muncitor în jurul
locului de munc[; ea are în vedere si spatiul necesar pentru materiale;
Se – suprafata de evolutie – suprafata care trebuie p[strat[ între locurile
de munc[ pentru deplasarea personalului si pentru efectuarea
transportului.
Se= k(SS+Sg),
unde:
k=0,05…0,15 pentru industria grea cu pod rulant;
k=1,5…2,0 pentru mecanic[ fin[.
Pentru calculul suprafetelor magaziilor nu se calculeaz[ suprafata de
gravitatie Sg ci numai suprafata static[ SS si suprafata de evolutie Se.
3.12.2 Organizarea =i programarea activit[\ii de transport
La baza activit[\ii de transport stau urm[toarele principii:
• reducerea la maxim posibil a opera\iilor de transport ;
• mecanizarea opera\iilor de transport =i asigurarea cerin\elor de
eficien\[ economic[ a acestora ;
• deplasarea materialelor prin gravita\ie, ori de c`te ori este
posibil ;
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
145
• asigurarea unui flux simplu =i rectiliniu al materialelor cu
deplas[ri c`t mai scurte, rapide =i f[r[ ]ncruci=[ri sau blocarea
circula\iei;
• alegerea sistemelor de transport u=or adaptabile (elastice).
}n sistemele de produc\ie organizate pentru produc\ia de mas[ sau
de serie mare, cu flux de transport stabil, transportul se face, de regul[,
pe baz[ de grafic, de itinerariu =i mar=ruturi constante.
}n celelalte situa\ii (produc\ie de serie mic[ sau individual[, caz ]n
care fluxurile de transport sunt variabile) transportul se face pe baz[ de
programe zilnice sau la cerere.
Tipurile de mar=ruturi sunt :
1. Pendular (fig. 3.23)
a. unilateral
b. bilateral
c. ]n evantai
2. Circular (fig. 3.24)
a. constant
b. crec[tor
c. descresc[tor
Programarea activit[\ii de transport necesit[ o prealabil[ analiz[ a
folosirii mijloacelor de transport, pe baza urm[torilor indicatori:
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
146
Fig. 3.23 - coeficientul de folosire a capacit[\ii de ]nc[rcare, definit de
rela\ia:
nCGki ⋅
= (6.3)
unde G este ]nc[rc[tura transportat[ ]ntr-o perioad[ de timp ;
C – capacitatea de ]nc[rcare a mijlocului de transport ;
n – num[rul de curse efectuate ]n acea perioad[ de timp.
Abaterile de la capacitatea de ]nc[rcare a mijlocului de transport sunt
determinate de : natura ]nc[rc[turii, ambalajele folosite, organizarea
activit[\ilor.
- coeficientul de folosire a cursei :
0LLLkc +
= (6.4)
a. b. c.
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
147
unde L este drumul efectuat cu ]nc[rc[tur[ ;
L0 – drumul efectuat f[r[ ]nc[rc[tur[.
Fig 3.24
Cre=terea coeficientului de folosire a cursei determin[ reducerea
necesarului de material rulant, cre=terea productivit[\ii activit[\ii de
transport =i reducerea costurilor ]n activitatea de transport. Analiza
costurilor trebuie s[ arate abaterile de la costul normat =i, eventual,
m[rimea pierderilor.
C[ile de ]mbun[t[\ire a activit[\ii de transport intern sunt:
• mecanizarea lucr[rilor de ]nc[rcare-desc[rcare ;
• centralizarea lucr[rilor de transport;
• crearea bazei de repara\ii =i ]ntre\inere a mijloacelor de transport;
a. b. c.
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
148
• sporirea volumului transporturilor care se repet[ (aplicarea
sistemului pendular =i mai ales a sitemului circular);
• repartizarea judicioas[ a personalului de deservire =i organizarea
folosirii ra\ionale a mijloacelor de transport.
Pentru programarea activit[\ii de transport trebuie s[ se cunoasc[
urm[toarele date:
- programul de produc\ie al ]ntreprinderii pe perioada
considerat[ ;
- necesarul de materiale pentru ]ndeplinirea sarcinilor de plan
(se extrage din planul de aprovizionare).
}ntocmirea unui program de transport intern presupune o preg[tire
minu\ioas[ prin parcurgerea urm[toarelor etape:
a) }ntocmirea sub form[ matricial[ a unei situa\ii cu privire la
cantit[\ile de materiale (pe sortimente) ce urmeaz[ a se
asigura sec\iilor de produc\ie (consumatorii C1, C2, C3, ... ,
Cn) de la sursele de aprovizionare (depozitele D1, D2, D3,
..., Dm), a=a cum este exemplificat ]n tabelul 6.
b) se determin[ distan\ele dintre obiective ]n tone-metri,
distan\ele medii de transport, num[rul mediu de cicluri de
transport, coeficientul mediu de folosire al cursei;
c) se ]ntocme=te balan\a capacit[\ii de transport care
eviden\iaz[ plusul sau deficitul de capacitate de transport
pentru fiecare obiectiv ]n parte ;
d) se determin[ necesarul de mijloace de transport, \in`nd cont
de capacitatea de transport a fiec[rui mijloc =i de
coeficeintul de folosire al acestuia.
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
149
Tabelul 6.
Necesar consumatori
b1 b2 b3 ... bj ... bm
Cantit[\i ]n
depozite
Consumator
Depozit
C1 C2 C3 ... Cj ... Cm Total materiale
extrase din depozite
a1 D1 x11 x12 x13 ... x1j ... x1m
11
1 axm
jj ≤∑
=
a2 D2 x21 x22 x23 ... x2j ... x2m
21
2 axm
jj ≤∑
=
a3 D3 x31 x32 x33 ... x3j ... x3m
31
3 axm
jj ≤∑
=
...
...
...
...
... ...
...
...
ai Di xi1 xi2 xi3 ... xij ... xim
i
m
jij ax ≤∑
=1
...
...
...
...
... ...
...
...
an Dn xn1 xn2 xn3 ... xnj ... xnm
n
m
jnj ax ≤∑
=1
Total transportat
la consumatori
11
1 bxn
ii ≥∑
= 2
12 bx
n
ii ≥∑
= 3
13 bx
n
ii ≥∑
=
... j
n
iij bx ≥∑
=1
... m
n
iin bx ≥∑
=1
3.12.3 Elaborarea planului optim de transport
Elaborarea planului optim de transport face parte din clasa mult
mai larg[ a problemelor modelate prin re\ele de transport.
O re\ea de transport modeleaz[ o situa\ie economic[ ]n care, dintr-
un num[r de puncte, numite surse (depozitele) trebuie transportat[ o
anumit[ cantitate dintr-o substan\[, ]ntr-un alt num[r de puncte denumite
destina\ii (consumatori). Situa\ia extrem de general[ expus[, poate fi
concretizat[ ]ntr-un num[r deosebit de mare de moduri, specific`nd dac[
exist[ sau nu puncte intermediare ]ntre surse =i destina\ii, modul ]n care
se face transportul (care sunt rutele posibile, costul transportului pe rute,
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
150
limite maxime sau minime pentru cantitatea transportat[ pe fiecare rut[,
timpul necesar transportului), scopurile urm[rite etc.
Problema clasic[ de transport are ca obiectiv minimizarea
cheltuielilor =i este formulat[ ]n cele ce urmeaz[.
Se consider[ aprovizionarea a m consumatori, C1, C2, ... , Cm din
n depozite D1,D2, ... , Dn cu o singur[ marf[.
}n fiecare depozit Di se g[se=te cantitatea de marf[ ai, i = 1,2, ..., n
iar fiecare consumator Cj are nevoie de cantitatea de marf[ bj, j = 1,2, ...,
m.
Costul transportului unei unit[\i de marf[ de la Di la Cj este cij.
Scopul modelului este determinarea cantit[\ilor xij de marf[
transportat[ de la depozitul Di la consumatorul Cj astfel ]nc`t costul
transportului ]ntregii cantit[\i de marf[ s[ fie minim.
}n situa\ia ]n care cij este infinit (foarte mare), transportul de marf[
de la Di la Cj este imposibil.
Problemele ]n care este ]ndeplinit[ rela\ia:
∑∑==
=m
jj
n
ii ba
11 (6.5)
se numesc echilibrate.
Modelele matematice ale problemei con\in ca restric\ii
urm[toarele dou[ condi\ii:
- totalul m[rfii extrase dintr-un depozit s[ nu dep[=easc[
existentul ]n acel depozit, adic[:
niax im
jij ,...,2,1)(,
1=∀≤∑
= (6.6)
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
151
- cantitatea total[ primit[ de un consumator s[ nu fie mai mic[
dec`t necesarul acelui consumator, adic[
mjbx jn
iij ,...,2,1)(,
1=∀≥∑
= (6.7)
Costul total de transport (func\ia obiectiv) este dat de rela\ia :
∑ ∑ ⋅== =
n
i
m
jijijTOT xcC
1 1 (6.8)
Cu cele de mai sus rezult[ urm[toarele modele ale problemei
clasice de transport :
a) problema echilibrat[
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∀≥
=∀=
=∀=
⋅=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
jix
mjbx
niax
xcxf
ij
j
n
iij
i
m
jij
n
i
m
jijijij
,)(,0
,...,2,1)(,
,...,2,1)(,
)((min)
1
1
1 1
(6.9)
c) problema neechilibrat[
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
152
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∀≥
=∀≥
=∀≤
⋅=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
jix
mjbx
niax
xcxf
ij
j
n
iij
i
m
jij
n
i
m
jijijij
,)(,0
,...,2,1)(,
,...,2,1)(,
)((min)
1
1
1 1
(6.10)
Problema echilibrat[ este o problem[ de programare liniar[ ]n
forma standard. Pentru rezolvarea problemei neechilibrate trebuiesc
aplicate regulile de aducere a ei la forma standard (folosirea variabilelor
de compensare).
Exemplu
Se consider[ rezolvarea problemei de transport a unei m[rfi de la dou[ depozite D1 =i D2 ]n care se g[sesc cantit[\ile de marf[ a1 respectiv a2 c[tre trei consumatori C1, C2, C3 care au necesarul b1, b2, b3.
se consider[ cazul problemei echilibrate, deci a1 + a2 = b1 + b2 + b3. Costurile transportului de la depozitul i la consumatorul j sunt date de
matricea urm[toare:
consumator depozit
C1 C2 C3
D1 c11 c12 c13
D2 c21 c22 c23
Problema trebuie s[ determine valorile xij ale cantit[\ilor transportate de la
depozitul i la consumatorul j care s[ asigure costuri minime:
consumator depozit
C1 C2 C3
D1 x11 x12 x13
D2 x21 x22 x23
Modelul matematic al problemei este:
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
153
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∀≥=+=+=+
=++=++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
jixbxxbxxbxx
axxxaxxx
xcxcxcxcxcxcf
ij ,)(,0
(min)
32313
22212
12111
2232221
1131211
232322222121131312121111
(2.11) Prin renotarea necunoscutelor modelul matematic devine:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∀≥=++=++
=++=+++
=+++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
ixbxx
bxxbxx
axxxaxxx
xcxcxcxcxcxcf
i )(,0
(min)
363
252
141
2654
1321
665544332211
Se constat[ c[ acesta este un model de programare liniar[ ]n forma standard care are 6 necunoscute cu matricea A de forma:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
100100010010001001111000000111
A
Se poate constata c[ o astfel de problem[ devine foarte repede uria=[. de exemplu o problem[ de transport cu n ˆ 10 furnizori =i m ˆ 10 consumatori va avea m·n ˆ 100 necunoscute, iar matricea A a sistemului: m ‡ n ˆ 20 linii =i m·n ˆ 100 coloane. Se observ[ u=or c[ rangul matricei r(A) < m‡n ceea ce face imposibil[ aplicarea algoritmului simplex (nu exist[ o baz[ de m ‡ n, num[rul de linii, vectori coloan[ liniari independen\i necesari ]n primul pas). Problema se poate rezolva numai prin scrierea problemei extinse.
Avand ]n vedere cele de mai sus, rezolvarea problemelor de
transport echilibrate se poate face mai usor prin utilizarea dualit[\ii.
Pentru modelul problemei de transport din exemplul de mai sus,
modelul dual se scrie astfel:
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
154
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈∈≤+≤+≤+≤+≤+≤+
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
RvRucvucvucvucvucvucvu
vbvbvbuauag
3,2,12,1
2332
2222
2112
1331
1221
1111
3322112211
,
(max)
Se constat[ c[ scrierea modelului dual implic[ adoptarea
variabilelor u1, u2 corespunz[toare num[rului de depozite, respectiv v1,
v2, v3 – corespunz[toare num[rului de consumatori.
Rezolvarea modelului dual =i ob\inerea solu\iei optime a
modelului primal a condus la stabilirea urm[torului algoritm pentru
rezolvarea problemelor de transport:
pas 1 Se alege o solu\ie de baz[ { }ijx av`nd num[rul de componente
nenule egal cu 1−+ nm
pas 2 Se rezolv[ sistemul { }0/ >=+ ijijji xcvu determin`nd o solu\ie
particular[ ( ){ }ji vu ,
pas 3 Dac[ pentru o component[ xαβ = 0 avem αββα cvu >+ se caut[ o
alt[ solu\ie, pentru care xαβ’ s[ devin[ nenul
pas 4 Solu\ia optim[ s-a atins atunci c`nd :
njmicvu ijji ,...,2,1)(,,...,2,1).( =∀=∀≤+
Problema principal[ ]n cazul aplic[rii algoritmului de mai sus este
g[sirea unei solu\ii ini\iale de baz[. Exist[ o multitudine de metode care
]ncearc[ nu numai g[sirea unei solu\ii ini\iale de baz[, ci chiar g[sirea
uneia c`t mai bun[. Se expun ]n continuare urm[toarele metode :
1. Metoda nord-vest ;
2. Metoda minimului pe linii ;
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
155
3. Metoda minimului pe coloane ;
4. Metoda costului minim ;
5. Metoda diferen\elor maxime.
Schema comun[ a acestor metode este urm[toarea :
pas 1 : Se alege o rut[ ini\ial[ dup[ o anumit[ regul[. Aceast[ regul[
difer[ ]n func\ie de metoda folosit[, astfel :
Metoda nord-vest ruta din co\ul st`nga sus al tabelului
Metoda minimului pe linii ruta de cost minim de pe prima linie (dac[ minimul este multiplu se ia prima din st`nga)
Metoda minimului pe coloane ruta de cost minim de pe prima coloan[ (dac[ minimul este multiplu se ia cea mai de sus)
Metoda costului minim ruta de cost minim din intregul tabel (dac[ minimul este multiplu se ia una la ]nt`mplare)
Metoda diferen\elor maxime 1. Pentru fiecare linie =i fiecare coloan[ se calculeaz[ diferen\a dintre cele mai mici dou[ costuri ale rutelor acesteia (diferen\a poate fi =i 0 dac[ minimul este multiplu) =i se g[se=te maximul dintre aceste diferen\e. 2. Dintre toate rutele de pe liniiile =i coloanele corespunz[toare acestui maxim se alege ruta de cost minim (dac[ minimul este multiplu se ia una la ]nt`mplare)
pas 2 : Se transport[ pe aceast[ rut[ maximul posibil. Acest maxim este
egal cu minimul dintre cantitatea care mai e disponibil[ la furnizorul
corespunz[tor acestei rute =i cantitatea care mai e necesar[ la
consumatorul corespunz[tor rutei, ]n momentul alegerii acestei rute.
pas 3 : Dup[ folosirea unei rute este clar c[ fie se epuizeaz[ disponibilul
furnizorului corespunz[tor, fie se asigur[ ]ntregul necesar al
consumatorului corespunz[tor , fie ambele. Dac[ se epuizeaz[
disponibilul furnizorului este clar c[ nici o rut[ care pleac[ de la ecesta
nu va mai fi folosit[ =i analog, dac[ se asigur[ ]ntregul necesar al
consumatorului, nici o rut[ spre acesta nu va mai fi folosit[. Rutele care
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
156
nu vor mai fi folosite se numesc rute blocate, sunt cele nefolosite ]nc[ de
pe linia sau/=i coloana ultimei rute folosite =i se eviden\iaz[ ]n tabel prin
ha=urare.
pas 4 :Se alege ruta urm[toare, folosind regula :
Metoda nord-vest cea mai apropiat[ rut[ de ultima aleas[ dintre cele neblocate
Metoda minimului pe linii ruta de cost minim de pe prima linie pe care mai sunt ]nc[ rute neblocate (dac[ minimul este multiplu se ia prima din st`nga)
Metoda minimului pe coloane ruta de cost minim de pe prima coloan[ pe care mai sunt ]nc[ rute neblocate (dac[ minimul este multiplu se ia cea mai de sus)
Metoda costului minim ruta de cost minim din ]ntregul tabel dintre cele neblocate ]nc[ (dac[ minimul este multiplu se ia una la ]nt`mplare)
Metoda diferen\elor maxime se repet[ procedeul de la pas 1 pentru rutele neblocate ]nc[
pas 5 : Se reia algoritmul de la pas 2 p`n[ c`nd nu mai r[m`ne nici o rut[
nefolosit[ sau neblocat[.
OBS.
Problemele de transport neechilibrate se rezolv[ prin echilibrarea
lor consider`ndu-se, dup[ caz, un depozit sau consumator fictiv care s[
echilibreze problema. Evident c[ se va considera valoarea zero pentru
costul transportului de la depozitul fictiv c[tre orice consumator
respectiv de la orice depozit c[tre consumatorul fictiv.
3.12.4 Aplica\ii ale teroriei grafurilor la rezolvarea problemelor de
transport
Aplic`nd teoria grafurilor se pot rezolva o multitudine de
probleme care implic[ re\ele de transport ca de exemplu:
- problema comis voiajorului ;
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
157
- problema drumului de cost minim ;
- problema fluxului maxim ;
- problema arborelui de valoare optim[ ;
- probleme de afectare.
A. Drumuri de valoare optim[ ]ntr-un graf
Probleme de transport ca : lungimea drumului minim dintre dou[
localit[\i, costul parcurgerii unei rute, capacitatea transportat[ pe o rut[
au ca rezolvare optimizarea drumurilor ]ntr-un graf.
Din cauza variet[\ii nelimitate, ]n general, a grafurilor, nu exist[
un algoritm care s[ rezolve orice problem[ ]n timp util, dar s-au elaborat
o mul\ime de algoritmi, fiecare fiind cel mai eficace pentru anumite
cazuri.
Algoritmul Bellman – Kalaba
Algoritmul se aplic[ ]n cazul unor grafuri finite f[r[ circuite de
valoare negativ[ (pentru problema de minim) sau f[r[ circuite de valoare
pozitiv[ (pentru problema de maxim) =i g[se=te drumurile de valoare
minim[ (maxim[) de la toate nodurile grafului la un nod oarecare, fixat.
Dac[ se dore=te determinarea drumurilor de valoare minim[ (maxim[)
]ntre oricare dou[ noduri se aplic[ algoritmul, pe r`nd, pentru fiecare nod
al grafului.
Formularea problemei este urm[toarea: fiind dat un graf valuat G
= (X, A, p) =i un v`rf fixat xn ∈ X se cere s[ se determine drumul “d” de
la un v`rf oarecare xi la v`rful xn pentru care valoarea drumului, p(d) s[
fie minim[.
Algoritmul care rezolv[ aceast[ problem[ folose=te urm[toarele
no\iuni =i propozi\ii (care nu vor fi demonstrate);
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
158
- matricea extins[ a valorilor arcelor, V = ‚vijƒ unde:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉≠∞
∈=
=
Axxsijipentru
Axxpentrupjipentru
v
ji
jiijij
),(,,,,
),(,,,,0
(1)
- mi(k) – valoarea minim[ a drumului d de la xi la xh considerat ]n
mul\imea drumurilor de cel mult k arce;
- mi – valoarea minim[ a drumului de la xi la xh considerat ]n
mul\imea tuturor drumurilor , indiferent de num[rul de arce.
Propozi\ia 1: Pentru orice k ∈ N*
{ })(
,1
)1( min kjijnj
ki mvm +=
=
+ (2)
Propozi\ia 2: Dac[ exist[ k ∈ N* pentru care mi(k) = mi
(k+1 ) pentru orice i
= n,1 , atunci:
a) 1)(,,1)(,)()( +≥∀=∀= ksnimm si
ki
b) nimm ik
i ,1)(,)( =∀=
Din cele de mai sus rezult[ urm[torul algoritm pentru
determinarea vectorului niim
,1=:
1. Se construie=te matricea V pentru graful dat.
2. Se adaug[ matricei V liniile suplimentare )1(im , )2(
im , ..., )(nim
astfel:
a. Linia )1(im coincide cu
njjnv,1=
, adic[ )1(im =
T
njjnv,1=
b. Presupun`nd completat[ linia ni
kim
,1
)(
= se completeaz[ linia
ni
kim
,1
)1(
=
+ conform propozi\iei 1
c. Se continu[ aplicarea pasului 2. b p`n[ la ob\inerea a dou[
linii ni
kim
,1
)(
=,
ni
kim
,1
)1(
=
+ identice
3. Se adun[ linia i din V cu linia ni
kim
,1
)1(
=
+ urm[rindu-se rezultatul
minim care se poate ob\ine; s[ presupunem c[ acesta este:
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
159
)()1( kiij
ki mvm +=+
atunci primul arc din drumul minim de la xi la xn este (xi, xj); ]n
continuare se adun[ linia j din V cu ni
kim
,1
)1(
=
+ re\in`nd noua valoare
minim[ aflat[ pe coloana k – al doilea arc este (xj , xk) =.a.m.d.
Observa\ie
}n cazul rezolv[rii unei probleme de maxim algoritmul se modific[
astfel:
- rela\ia (1) devine:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉≠∞−
∈=
=
Axxsijipentru
Axxpentrupjipentru
v
ji
jiijij
),(,,,,
),(,,,,0
(1’)
- rela\ia (2) devine:
{ })(
,1
)1( max kjijnj
ki mvm +=
=
+ (2’)
B. Arbori de valoare optim[ Studiul arborilor este justificat de existen\a ]n practic[ a unui
num[r mare de probleme care pot fi modelate astfel, ca de exemplu:
- construirea unor re\ele de aprovizionare (ap[, energie, gaze etc.) a unor
puncte de consum dela un punct central;
- construirea unor c[i de acces (comunica\ie) ]ntre mai multe puncte
izolate;
- desf[=urarea unui joc strategic;
- luarea deciziilor ]n mai multe etape (arbori decizionali);
- organigramele ]ntreprinderilor.
}n toate aceste probleme se dore=te ca, dintre muchiile unui graf
valuat neorientat, s[ se extrag[ arborele optim (minim/maxim).
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
160
Algoritmul Kruskal
Problema pe care o rezolv[ acest algoritm este urm[toarea: fiind
dat un graf G neorientat, conex =i valuat se urm[re=te extragerea din G a
unui arbore par\ial pentru care suma valorilor muchiilor s[ fie minim[.
Pentru simplificare se presupune, ini\ial c[ ]ntre oricare dou[
v`rfuri ale grafului G exist[ o muchie =i c[ toate valorile muchiilor sutn
diferite dou[ c`te dou[. Fie A = {a1, a2, ..., am} iar valoarea muchiei aj
este p (aj) = pj . Vom presupune c[ p1 < p2 < ... < pm. La aceast[ situa\ie
se poate ajunge prin renumerotarea nodurilor =i a muchiilor.
Algoritmul Kruskal pentru determinarea arborelui minimal are
urm[torii pa=i:
1. Se alege muchia a1 de valoare minim[
2. Se alege muchia a2 de valoare minim[ din mul\imea muchiilor
r[mase
3. Fie S = {a1, a2}
4. Dintre muchiile r[mase se alege muchia de valoare minim[ care
nu formeaz[ cicluri cu muchiile din S. Dac[ nu exist[ o muchie ar
atunci algoritmul se ]ncheie =i solu\ia problemei este S. Dac[
exist[ o muchie ar se trece la pasul urm[tor
5. Se stabile=te noua valoare a lui S = S ∪ {ar}=i se reia algoritmul de
la pasul 4 p`n[ c`nd se ating toate v`rfurile rgafului
OBS. Pentru probleme de maxim ]n algoritm se ]nlocuie=te minim cu
maxim.
C. Flux maxim ]ntr-o re\ea de transport
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
161
Un graf orientat valuat G = (X, U, c) se nume=te re\ea de transport dac[
satisface urm[toarele condi\ii :
a) exist[ un v`rf unic a∈ X ]n care nu intr[ nici un arc sau ω-(a) = Φ
unde ω-(a) este mul\imea arcelor care intr[ ]n v`rful a ;
b) exist[ un v`rf unic b ∈ X din care nu iese nici un arc, sau ω+(b) =
Φ unde ω+(b) este mul\imea arcelor care ies din b ;
c) G este conex =i exist[ drumuri de la a la b.
V`rful a se nume=te intrarea re\elei, v`rful b – ie=irea re\elei, iar num[rul
nenegativ c(u) se nume=te capacitatea arcului u ∈ U.
Defini\ie O func\ie f : U → R, astfel ]nc`t f(u) ≥ 0, (∀) u∈U se nume=te
flux ]n re\eaua de transport G cu capacitatea c, dac[ sunt ]ndeplinite
condi\iile :
C) condi\ia de conservare a fluxului :
Pentru (∀) x∈X cu x ≠ a, x ≠ b, suma fluxurilor pe arcele care intr[ ]n x
este egal[ cu suma fluxurilor pe arcele care ies din x, adic[:
∑∑+− ∈∈
=)()(
)()(xuxu
ufufωω
, (∀) x ∈ X − {a,b}
M) condi\ia de m[rginire a fluxului :
Pentru orice arc al re\elei, valoarea fluxului nu poate dep[=i capacitatea
arcului respectiv :
f(u) ≤ c(u), (∀)u ∈ U
Defini\ie Pentru orice mul\ime de v`rfuri A ⊂ X se define=te o t[ietur[
de suport A prin mul\imea arcelor care intr[ ]n mul\imea A =i se
noteaz[ :
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
162
{ }UyxAyAxyxA ∈∈∉=− ),(,,),()(ω
Similar se define=te mul\imea arcelor care ies din A:
{ }UyxAyAxyxA ∈∉∈=+ ),(,,),()(ω
Capacitatea t[ieturii de suport A, ω-(A),se noteaz[ cu c(ω-(A)) =i este
egal[ cu suma capacit[\ilor arcelor care fac parte din t[ietura
considerat[ :
( ) ∑−∈
− =)(
)()(Au
ucAcω
ω
}n problemele de determinare a fluxului maxim ]ntr- re\ea de transport se
lucreaz[ cu t[ieturi care con\in <ie=irea re\elei> (b) =i nu con\in <intrarea
re\elei> (a).
Teorema 1 Fiind dat[ o re\ea de transport cu intrarea a =i ie=irea b =i un
flux f, are loc egalitatea:
bbuau
fufuf == ∑∑−+ ∈∈ )()(
)()(ωω
unde fb este fluxul la ie=irea re\elei.
Teorema, care arat[ c[ fluxul la intrarea ]n re\ea este egal cu cel de la
ie=irea din re\ea, se demonstreaz[, evident, \in`nd seama de condi\ia
conserv[rii fluxului.
Teorema 2 Pentru o re\ea de transport G = (X,U,c) cu intrarea a =i
ie=irea b =i un flux f :
( ))()()()()(
AcufuffAuAu
b−
+∈−∈
≤−= ∑∑ ωωω
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
163
unde A⊂ X, a ∉ A, b ∈ A.
Aceast[ teorem[ arat[ c[ fluxul la ie=irea din re\eaua de transport este
egal cu suma fluxurilor t[ieturii de suport A minus suma fluxurilor pe
arcele care ies din mul\imea A de v`rfuri =i este mai mic[ cel mult egal[
cu capacitatea t[ieturii de suport A.
Algoritmul pentru determinarea fluxului maxim la ie=irea dintr-o
re\ea de transport (Ford – Fulkerson) este urm[torul:
Pasul 1 Se pleac[ de la un flux ini\ial care verific[ condi\iile de
conservare ]n fiecare v`rf =i de m[rginire pe fiecare arc (de exemplu de
la fluxul av`nd componente nule pe fiecare arc al re\elei)
Pasul 2 Se determin[ lan\urile nesaturate de la a la b (lan\urile pe care
fluxul poate fi m[rit). Se utilizeaz[ pentru aceasta urm[torul procedeu de
etichetare :
a) Se marcheaz[ intrarea a cu + ;
b) Un v`rf x fiind marcat, se va marca :
- cu +x oricare v`rf y nemarcat cu proprietatea c[ arcul u
= (x,y) este nesaturat, adic[ f(u) < c(u) ;
- cu –x oricare v`rf y nemarcat cu proprietatea c[ arcul u =
(y,x) are flux nenul, adic[ f(u) > 0 ;
Dac[ prin acest procedeu de marcare se eticheteaz[ ie=irea b,
atunci fluxul fb ob\inut la pasul curent nu este maxim =i se
trece la pasul 3.
Dac[ nu se mai poate marca ie=irea b, atunci fluxul ob\inut
este maxim =i problema este rezolvat[ : STOP.
Pasul 3 Se va considera un lan\ format din v`rfuri etichetate (ale c[ror
etichete au semnele + sau -) care une=te a cu b (care poate fi u=or de g[sit
dac[ se urm[resc etichetele v`rfurilor ]n sensul de la b c[tre a). Fie v
acest lan\. Se noteaz[ cu v+ mul\imea arcelor (x,y) ale lui v unde
cap.3 }ntreprinderea sistem de produc\ie total
164
marcajul lui y are semnul +, deci care sunt orientate ]n sensul de la a
c[tre b =i cu v- mul\imea arcelor (x,y) ale lui v, unde marcajul lui x are
semnul -, deci care sunt orientate ]n sensul de la b c[tre a.
Se calculeaz[ :
[ ]
),min(
)(min
)()(min
21
2
1
εεε
ε
ε
=
=
−=
−
+
∈
∈
uf
ufuc
vu
vu
Din modul de etichetare rezult[ ε > 0.
Se va m[rii cu ε fluxul pe fiecare arc u∈ v+ =i se va mic=ora cu ε fluxul
pe fiecare arc cu u ∈ v-, ob\in`nd la ie=ire un flux m[rit cu ε. Se revine la
pasul 2.
Teorema 3 Algoritmul Ford-Fulkerson are un num[r finit de pa=i
pentru orice re\ea de transport cu capacit[\i numere intregi. }n momentul
]n care prin procedeul de etichetare nu se mai poate eticheta ie=irea
re\elei se ob\ine fluxul maxim ]n re\ea. Mul\imea arcelor care unesc
v`rfurile etichetate cu cele la care nu s-a mai putut continua etichetarea
formeaz[ o t[ietur[ de capacitate minim[.
Corolar Pentru orice re\ea de transport valoarea maxim[ a fluxului
la ie=ire este egal[ cu capacitatea minim[ a unei t[ieturi de suport A, cu
b⊄A.
In cazul unei probleme de transport se pune problema maximiz[rii
cantit[\ii totale de marf[ care poate fi transportat[ de la depozitele D1,
D2, ..., Dm, ]n care se g[sesc cantit[\ile a1, a2, ..., am, c[tre consumatorii
C1, C2, ..., Cn, care au necesarul b1, b2, ..., bn cunosc`ndu-se capacit[\ile
maxime de transport, cij, pe fiecare rut[ (de la depozitul Di la
consumatorul Cj).
INGINERIA SISTEMELOR DE PRODUC|IE
165
Aceasta este o problem[ de flux maxim ]n re\eaua de transport
