w
PAGE 80Cap.3. Fiabilitatea structural
Capitolul 3
Fiabilitatea structural
3.1. Modelul funcional
Analiza fiabilitii prin intermediul modelelor statistice globale
necesit asocierea echipamentului cu un obiect abstract, descris de
un grup de variabile accesibile, care constituie singurele legturi
ale echipamentului cu exteriorul.
Variabilele de intrare constituie vectorul cauz, iar vectorul
efect este vectorul de ieire , ambii vectori fiind n general
procese aleatoare [3]. Atunci cnd nu se cunoate nimic despre
structura echipamentului, acesta este descris matematic de
dependena funcional (3.1):
(3.1)
Atunci cnd se cunoate mcar parial structura echipamentului se
poate pune n eviden un numr de variabile interne prin intermediul
crora se manifest influena variabilelor de intrare asupra celor de
ieire. Prin evidenierea variabilelor interne (variabile de stare)
echipamentul iniial poate fi descompus n dou subsisteme ca n figura
3.1.
Fig. 3.1. Reprezentarea unui echipament cnd se cunoate structura
sa.Prin alegerea convenabil a vectorului de stare echipamentul
poate fi descris cu ajutorul relaiilor:
(3.2)
Conform acestor relaii vectorul de stare determin complet
vectorul ieirilor. Analiza fiabilitii unui echipament presupune o
interpretare fizic adecvat a variabilelor de intrare, ieire i
stare. Ca variabile de intrare se iau solicitrile datorate
interaciunii cu alte echipamente i cu mediul ambiant, iar ca
variabile de ieire se consider performanele echipamentului.
Exemplu: n cazul unui sistem de reglare: vectorul de intrare:
solicitrile electrice ale componentelor(tensiuni, cureni, puteri
disipate), temperatur ambiant, umiditatea, nivelul perturbaiilor;
vectorul de ieire: suprareglajul, durata regimului tranzitoriu,
rezerva de stabilitate. Vectorul de stare se alege pe baza
observaiei c performanele echipamentului depind nemijlocit de
parametrii componentelor, care depind de rndul lor de solicitri.
Parametrii componentelor reprezint n acest caz variabilele de stare
ale echipamentului n cazul unei analize de fiabilitate.
Analiza este complet dac se descrie matematic influena
solicitrilor asupra parametrilor componentelor, respectiv a
acestora din urm asupra performanelor echipamentului. Analiza
structural a fiabilitii i propune s elaboreze modele structurale
care s exprime dependena dintre performanele echipamentului i
parametrii componentelor sale.
Aceste modele trebuie s in seama de evoluia variabilelor, astfel
nct s permit calculul indicatorilor de fiabilitate pornind de la
indicatorii de fiabilitate care caracterizeaz componentele.
Modelele se bazeaz pe relaia general dintre performanele
echipamentului i parametrii componentelor.
(3.3)
Aceast dependen funcional mai poate fi scris:
(3.4)
Relaiile (3.4) constituie modelul funcional al echipamentului.
Se observ c fiecare component este descris de parametri , iar
performanele echipamentului depind de toi cei N parametri ai
componentelor, unde:
(3.5)
Pentru a caracteriza fiabilitatea echipamentului este necesar s
se defineasc domeniul de bun funcionare al acestuia ca mulimea
valorilor Y din spaiul p dimensional, pentru care echipamentul i
ndeplinete funcia n mod satisfctor. Delimitarea domeniului de bun
funcionare se poate face utiliznd relaiile urmtoare:
(3.6)Intervalul [] reprezint un interval de toleran pentru
performana i a echipamentului. Acest interval poate fi i
unilateral, adic este posibil ca sau .
Utiliznd intervalele de toleran se pot exprima indicatorii de
fiabilitate la nivelul echipamentului pornind de la performanele
acestuia. Funcia de fiabilitate este probabilitatea ca n intervalul
, vectorul de ieire s aparin domeniului de bun funcionare.
(3.7)
Pornind de la specificaiile impuse performanelor echipamentului
prin condiiile (3.6) se proiecteaz toleranele care trebuie impuse
parametrilor componentelor pentru a asigura ncadrarea vectorului de
ieire n domeniul de bun funcionare. Se stabilesc astfel domeniile
de bun funcionare asociate fiecrui parametru:
(3.8)
Funcia de fiabilitate asociat unei componente este
probabilitatea ca, n intervalul , toi cei parametri ai acesteia s
fie cuprini n intervalele de toleran respective:
(3.9)
Analiza structural a fiabilitii are drept prim scop stabilirea
unei relaii ntre funcia de fiabilitate a echipamentului (3.7) i
funciile de fiabilitate ale elementelor componente (3.9). Analiza
trebuie precedat de o evaluare ct mai precis a funciilor de
fiabilitate individuale {Rj , j=1, 2, ... n}, care s in seama de
criteriile de defectare reale, impuse de structura
echipamentului.
Rezolvarea problemei presupune cunoaterea n fiecare moment de
timp a densitilor de probabilitate asociate parametrilor , care
caracterizeaz elementele compo-nente ale echipamentului. Cu
ajutorul acestor densiti de probabilitate se calculeaz funciile
individuale de fiabilitate (3.9), iar utiliznd relaiile (3.4) se
obin densitile de probabilitate asociate performanelor
echipamentului: . Introducnd aceste densiti n expresia lui se obine
funcia de fiabilitate a echipamentului (3.7). Repetnd aceast
operaie la diferite momente de timp, se stabilete dependena
funcional dintre i {Rj , j=1, 2, ... n}, astfel nct analiza
structural a fiabilitii este ncheiat.
n vederea nlturrii dificultilor ce decurg din calculul densitii
de probabilitate asociat performanelor echipamentului, se poate
utiliza simularea Monte Carlo. Se genereaz astfel valori posibile
ale parametrilor n conformitate cu legile de repartiie asociate,
obinndu-se prin simulri repetate densitile de probabilitate
asociate performanelor i de aici, funcia de fiabilitate a
echipamentului.
Aceast analiz se efectueaz pe sisteme de calcul i este strns
legat de analiza funcionrii echipamentului, fiind posibil
efectuarea ei odat cu proiectarea acestuia. Dezavantajul const n
consumul mare de timp i memorie, fiind necesare numeroase valori ce
trebuie calculate la intervale scurte de timp, pentru a putea obine
indicatorii de fiabilitate ca funcii de timp.
Analiza structural direct a fiabilitii echipamentului, bazat pe
modelul funcional (3.4), este de regul evitat din cauza
dificultilor legate de cunoaterea complet a proceselor aleatoare
asociate componentelor la diferite momente de timp.
3.2. Modelul logicPornind de la relaiile (3.4) dintre
performanele echipamentului i parametrii componentelor i de la
domeniile de funcionare respective (3.6) i (3.8), se poate construi
un model structural cu ajutorul cruia analiza fiabilitii
echipamentului este mult simplificat. Acest model, numit model
logic, se obine prin reducerea dimensiunii vectorilor de ieire i
stare dup cum urmeaz. n locul celor p variabile de ieire se
definete o singur variabil S, astfel nct, la fiecare moment de
timp:
(3.10)
n conformitate cu ultima relaie, vectorul performanelor
echipamentului este nlocuit cu o singur variabil binar, care ia
valoarea 1 dac vectorul de ieire aparine domeniului de bun
funcionare i valoarea 0 n caz contrar. Echipamentul se consider fr
rennoire, fiabilitatea sa n intervalul fiind egal cu probabilitatea
ca la un moment dat, variabila S s ia valoarea 1.
(3.11)
n locul vectorului de stare cu dimensiuni asociat unei
componente j, se consider o variabil binar , care ia valoarea 1 dac
toi cei parametri ai componentei sunt cuprini ntre limitele de
toleran respective, i valoarea 0 n caz contrar:
(3.12)
Funcia de fiabilitate a unei componente este dat de:
Rj=P(xj=1)
(3.13)
Utiliznd variabilele binare {xj , j=1, 2, ...n} i S, relaia
stare-ieire se poate exprima printr-o funcie boolean, numit funcie
de structur.
(3.14)
Analiza structural trebuie s determine o relaia funcional ntre
funcia de fiabilitate a sistemului i funciile de fiabilitate {Rj,
j=1, 2, ... n} ale elementelor componente:
(3.15)
Utilizarea modelului logic presupune cunoaterea funciilor de
fiabilitate care caracterizeaz elementele echipamentului. Modelul
logic difer de cel funcional i prin faptul c structura
echipamentului este descris de funcia boolean (3.14), n locul
relaiilor (3.4) care sunt mult mai complicate. Diferena de
complexitate provine din faptul c relaiile (3.4) realizeaz o
descriere a echipamentului din toate punctele de vedere, n timp ce
funcia boolean (3.14) reflect exclusiv fiabilitatea structural,
punnd n eviden combinaiile logice ale strilor elementelor
componente care implic buna funcionare a echipamentului. Cele dou
modele, funcional i logic se vor compara n cazul concret al unui
echipament asimilat cu un sistem automat cu reacie negativ.
Fig. 3.2. Structur cu reacie negativ
ntruct misiunea acestei structuri este s menin mrimea de ieire z
la o valoare constant, performana echipamentului poate fi definit
ca variaia relativ a acestei mrimi:
(3.16)
Incluznd regulatorul i instalaia tehnologic ntr-un singur
element caracterizat de funcia de transfer , iar traductorul fiind
considerat separat, descris de funcia de transfer echipamentul
analizat se poate descompune astfel:
Fig. 3.3. Reprezentarea simpli-ficat a structurii din figura
3.2.
Mrimea de referin (z0) se consider riguros constant. Din punct
de vedere al fiabilitii structura din figura 3.3 poate fi
reprezentat prin sistemul abstract din figura 3.4:
Fig. 3.4. Reprezentarea structurii din figura 3.3,
din punct de vedere al fiabilitii Solicitrile datorate mediului
ambiant i interaciunilor cu alte echipamente acioneaz asupra
parametrilor caracteristici i ai elementelor componente, care la
rndul lor, influeneaz performana y a echipamentului.
Pentru a obine un model structural se pornete de la funcia de
transfer a echipamentului n regim staionar:
(3.17)
Prin logaritmare i derivare, din relaia (3.17) se obine:
(3.18)
Trecnd la diferene finite, din relaia (3.18) se obine:
(3.19)
Relaia (3.19) definete modelul funcional al fiabilitii
echipamentului analizat.
Pentru a exprima fiabilitatea se delimiteaz domeniul de bun
funcionare prin condiia , astfel nct:
(3.20)
n continuare se pot proiecta toleranele parametrilor elementelor
componente prin metoda cazului cel mai favorabil. Se pune
condiia:
(3.21)
Dac se consider , se obine n continuare:
(3.22)
Relaiile (3.22) sunt analoge cu (3.8), funciile de fiabilitate
individuale ale componentelor fiind date de:
(3.23)
Pentru a stabili, cu ajutorul modelului funcional, relaia dintre
funcia de fiabilitate a echipamentului (3.20) i funciile de
fiabilitate (3.23) ale elementelor componente se folosete urmtorul
algoritm [3]:
1. Se determin densitile de probabilitate i asociate
parametrilor .
2. Se calculeaz funciile de fiabilitate ale elementelor cu
relaiile (3.23).
3. Folosind densitile de probabilitate de la punctul 1 se
stabilete cu relaia (3.19) densitatea de probabilitate a
performanei echipamentului.
4. Utiliznd rezultatul de la punctul 3 se calculeaz cu relaia
(3.20) funcia de fiabilitate a echipamentului.
5. Se repet punctele 1 4 pentru diferite momente de timp.
Din analiza algoritmului se observ c el nu poate fi realizat
analitic, dificultatea esenial fiind legat de punctul 3. Se poate
recurge la simularea Monte Carlo, dar consumul de memorie i timp
calculator este mare, rezultnd concluzia c analiza fiabilitii pe
baza modelului funcional nu este o operaie prea comod.
n cazul modelului logic, se definete variabila binar S, astfel
nct:
Pentru componentele i se definesc variabilele binare i care iau
valori egale cu 1 sau 0 dup cum inegalitile corespunztoare (3.22)
sunt sau nu ndeplinite. Se observ c ndeplinirea egalitilor (3.22)
asigur n mod acoperitor ncadrarea performanei echipamentului n
domeniul de bun funcionare.
Pentru ca echipamentul s fie n bun stare este necesar ca ambele
componente s fie n bun stare, ceea ce conduce la funcia logic de
structur:
(3.24)
Funcia de structur este mult mai simpl dect relaia (3.19) care
definete modelul funcional, deoarece nu descrie modul n care
echipamentul i ndeplinete misiunea, ci exprim doar relaia logic
dintre strile componentelor i starea echipamentului. Dac se admite
independena defectrilor elementelor, relaia dintre funcia de
fiabilitate a echipamentului i funciile de fiabilitate ale
elementelor, i , presupuse cunoscute, se deduce prin calcule
elementare:
(3.25)
Exemplul considerat pune n eviden simplitatea analizei bazat pe
modelul logic.
3.2.1. Metode de analiz a fiabilitii sistemelor descrise prin
modele logiceScopul acestor metode este ca pornind de la funcia de
structur s se obin relaia dintre fiabilitatea echipamentului i
fiabilitile componentelor sale .
Se va utiliza n continuare o reprezentare a funciei logice de
structur a unui echipament, cu ajutorul grafurilor de semnal. Se
consider c semnalul introdus n graf ajunge la ieire dac i numai dac
echipamentul este n bun stare, adic S=1. Fiecrei variabile xj i
corespunde un arc care se consider ntrerupt dac xj =0, respectiv
dac elementul j este defect.
Se consider o funcie de structur de forma produsului logic:
(3.26)
Graful de semnal corespunztor este urmtorul:
Fig. 3.5. Graful de semnal pentru funcia de structur
(3.26).Datorit formei grafului de semnal, aceste echipamente se
numesc de tip serie, oricare ar fi structura lor din punct de
vedere funcional. Sub raportul fiabilitii, un echipament care se
defecteaz la defectarea oricruia din elementele sale este de tip
serie. Exemplu: structura cu reacie studiat.
n ipoteza independenei defectrilor elementelor componente,
funcia de fiabilitate a echipamentului este:
(3.27)
Din ultima relaie rezult c un echipament serie format din
elemente fr uzur este la rndul lui un echipament fr uzur. n cazul
echipamentelor cu structur serie avem:
(3.28)
Rata de defectare constant i media timpului de funcionare sunt
date de relaiile:
(3.29)
Din relaiile (3.29) se observ c, dac fiabilitatea uneia dintre
componente este mult inferioar fiabilitii celorlalte, adic , atunci
aceast component determin fiabilitatea echipamentului . Rezult c
este contraindicat s se sintetizeze echipamente de tip serie din
elemente cu fiabiliti mult diferite.
Considerm n continuare o funcie de structur de tipul SAU
logic:
(3.30)
Graful de semnal corespunztor este urmtorul:
Fig. 3.6. Graful corespunztor funciei de structura dat de relaia
3.30
Astfel de echipamente se numesc de tip paralel, indiferent de
structura lor funcional.
Analiza cantitativ a fiabilitii echipamentului nu poate fi fcut
imediat, ca la echipamentul cu structur serie, deoarece
probabilitatea reuniunii nu este dat de suma probabilitilor, dect
pentru evenimente incompatibile, ceea ce nu este cazul. n aceast
situaie se poate proceda la o reducere la cazul anterior considernd
variabila S negat:
(3.31)
n conformitate cu relaia anterioar, probabilitatea de defectare
a echipamentului este dat de produsul probabilitilor de defectare
ale elementelor componente:
(3.32)
Din relaia anterioar se poate deduce c un echipament cu structur
de tip paralel, din punct de vedere al fiabilitii, format din
elemente fr uzur este un echipament cu uzur medie pozitiv (tip
IFRA). Fizic, uzura echipamentului se explic prin faptul c, pe msur
ce unele elemente se defecteaz, pericolul de defectare a
echipamentului crete.
Pornind de la structurile elementare de tip serie i paralel i
utiliznd relaiile (3.27) i (3.32) s-ar putea realiza analiza
oricrui echipament reductibil la o combinaie de astfel de
structuri.
Funcia de structur a unui echipament serie-paralel este, n
general de forma unei reuniuni de produse logice, o variabil fiind
prezent numai n unul dintre aceste produse reunite:
(3.33)
n mod similar un echipament paralel-serie va fi descris de o
funcie de structur de tipul produsului logic al unor reuniuni, o
variabil aprnd ntr-o singur reuniune:
(3.34)
Exist ns i echipamente a cror structur nu poate fi descris cu
ajutorul funciilor de tipul (3.33) sau (3.34), sau de combinaii ale
acestora. Pentru exemplificare se consider funcia de structur dat
de relaia (3.35).
(3.35)
Funcia prezentat n (3.35) nu este o structur reductibil la
combinaii de structuri serie i paralel deoarece variabila apare mai
mult dect o singur dat.
Se vor analiza n continuare echipamentele coerente, adic acele
echipamente ale cror performane se mbuntesc odat cu creterea
numrului de elemente aflate n bun stare. n toate metodele folosite
se face ipoteza independenei defectrii elementelor. Admiterea
acestei ipoteze conduce la o aproximare prin lips a fiabilitii
sistemului, deci la un calcul acoperitor. De asemenea, nu se vor
lua n consideraie posibilitile de rennoire ale echipamentului,
modelul logic nefiind adecvat tratrii unor asemenea situaii.
Una din metodele foarte utilizate n analizele efectuate fr
mijloace automate de calcul, este metoda probabilitii totale.
Aceast metod const n reducerea structurii unui echipament la
combinaii de structuri elementare de tip serie i paralel prin
ipoteze formulate asupra strii unor elemente ale acestuia. Pentru a
obine reducerea este necesar ca ipotezele formulate s se refere la
variabilele care se repet n funcia de structur.
Se consider n continuare c variabila apare de mai multe ori n
funcia de structur. Dac se face ipoteza c elementul j este n bun
stare, variabila ia valoarea 1 iar funcia de structur devine:
(3.36)
n ipoteza c elementul j este defect, variabila , iar funcia de
structur va avea expresia urmtoare:
(3.37)
Fiabilitatea echipamentului se obine conform formulei
probabilitii totale:
(3.38)
Dac expresiile (3.36) i (3.37) reprezint combinaii de structuri
serie i paralel, probabilitile condiionate , pot fi calculate cu
ajutorul relaiilor (3.27) i (3.32), astfel nct funcia de
fiabilitate poate fi calculat.
Dac ns expresiile de tipul (3.36), (3.37) nu reprezint combinaii
de tip serie sau paralel, trebuie s se aplice nc o dat metoda
probabilitii totale.
Presupunnd c expresia (3.36) nu este de tipul unei combinaii
serie-paralel, datorit repetrii variabilei , aplicnd formula
probabilitii totale se obine:
(3.39)
Metoda probabilitii totale are avantajul c permite o evaluare
comod a ponderii pe care o au elementele n asigurarea bunei
funcionri a echipamentului.
Ponderea unei componente j n cadrul modelului logic se definete
ca derivata funciei de fiabilitate a echipamentului n raport cu
funcia de fiabilitate a componentelor respective. Plecnd de la
relaia (3.38) ponderea componentei j poate fi determinat cu
ajutorul relaiei urmtoare:
(3.40)
Aplicarea metodei probabilitii totale necesit evaluarea
funciilor de fiabilitate condiionate, astfel nct evaluarea
ponderilor componentelor se poate face cu minimum de efort de
calcul.
Modelul logic exemplificare metoda probabilitii totale
Se consider un echipament format din patru surse de informaii,
fiecare aflndu-se n legtur cu celelalte trei (figura 3.7). Se
accept ipoteza c sursele nu se defecteaz, ns canalele de
transmitere a informaiei pot fi afectate de perturbaii n mod
independent unul de altul, devenind inutilizabile.
Fig. 3.7. Echipamentul analizat i graful asociatFuncia de
fiabilitate a unui canal este presupus cunoscut i se noteaz cu R,
fiind aceeai pentru toate canalele. Misiunea echipamentului este de
a realiza transferul informaiei ntre dou surse n mod direct sau
prin intermediul celorlalte surse.
Echipamentul avnd o structur simetric, se poate considera
transmiterea informaiei ntre oricare dou surse, de exemplu a i b.
Analiznd logic relaia dintre performana echipamentului i strile
elementelor - operaie pentru care nu se poate da o regul general -
se obine urmtoarea funcie de structur:
(3.41)
cu graful corespunztor n figura 3.7.
Analiznd graful asociat funciei de structur se constat c
echipamentul nu este reductibil la combinaii de tip paralel i
serie. Acest lucru este datorat oricruia dintre elementele 2 6
deoarece toate variabilele corespunztoare se repet n expresia
funciei de structur (3.41).
n vederea analizei cantitative a fiabilitii se aplic metoda
probabilitii totale, fcndu-se ipoteze asupra strii unuia dintre
elementele 2 6. Se opteaz pentru elementul 3, alegerea fcndu-de n
urma analizei grafului din figura 3.7. Presupunnd c elementul 3
este n bun stare de funcionare se obine funcia de structur dat de
relaia (3.42):
(3.42)
Graful de semnal asociat acestei funcii de structur este
prezentat n figura 3.8.
Fig. 3.8. Graful de semnal asociat funciei de structur
(3.42).
Echipamentul cu funcia de structur (3.42) este o combinaie de
structuri serie i paralel, dup cum rezult din figura 3.8. Funcia de
fiabilitate a acestei structuri se obine aplicnd din aproape n
aproape, relaiile (3.27) i (3.32):
(3.43)
Se consider n continuare ipoteza c elementul 3 este defect. Se
obine funcia de structur urmtoare:
(3.44)
Graful de semnal asociat funciei de structur (3.44) este
prezentat n figura 3.9. Acest graf de semnal se obine din cel
iniial (figura 3.7) prin ntreruperea arcului corespunztor
elementului 3.
Fig. 3.9. Graful de semnal asociat funciei de structur
(3.44).
Funcia de fiabilitate asociat acestei structuri se obine aplicnd
din aproape n aproape, relaiile (3.27) i (3.32):
(3.45)
Se aplic apoi formula probabilitii totale (3.38), obinnd funcia
de fiabilitate a echipamentului:
(3.46)
Calculul ponderilor va fi exemplificat pentru elementul 3.
Conform relaiei (3.40) i innd seama de relaiile (3.43) i (3.45) se
obine:
(3.47)
Din ultima relaie se observ c ponderea elementului 3 n
asigurarea performanei echipamentului depinde de funcia de
fiabilitate a elementelor acestuia i deci implicit de timp.
Reprezentnd grafic ponderea elemen-tului 3 n raport cu R se observ
c aceasta este nul pentru i i are un maxim pentru .
Fig. 3.10. Ponderea elementului 3 n asigurarea fiabilitii
echipamentului.
Din analiza efectuat rezult c, n contextul metodei probabilitii
totale, modelul logic se exprim mai comod prin graful de semnal
dect prin funcia de structur. De aceea n aplicaii, modelul logic
este de regul elaborat sub forma grafului de semnal, fr a mai fi
necesar scrierea explicit a funciei de structur.
Acest fapt a sugerat elaborarea unor metode de analiz analoge cu
cele aplicabile reelelor electrice (transfigurri triunghi-stea),
care la rndul lor pot fi reprezentate prin grafuri de semnal.
Metoda probabilitii totale, alturi de formulele de calcul al
fiabilitii structurilor elementare de tip serie i paralel, rmne cea
mai utilizat i mai comod metod pentru analiza unor echipamente de
complexitate redus. Creterea complexitii echipamentelor a impus ns
elaborarea unor metode de analiz mai sistematice, uor de
implementat sub forma unor algoritmi programabili pe calculator.
Exist mai multe metode care satisfac acest deziderat, ele fiind
nglobate sub denumirea de metode algebrice.3.2.2. Metode algebrice
de analiz a fiabilitii echipamentelor descrise prin modele
logice
Aceste metode se bazeaz pe faptul c funcia de structur a
echipamentului poate fi pus sub forma S-O-P (Sum-Of-Products)
[3]:
(3.48)
Termenii reunii cu expresia anterioar se numesc ci. O cale
reprezint o mulime de elemente a cror bun funcionare implic buna
funcionare a echipamentului.
Dac forma canonic (3.48) a funciei de structur este minimizat,
termenii reuniunii vor reprezenta ci minime pentru echipament. O
cale minim este o mulime de elemente a cror bun funcionare implic
funcionarea echipamentului, proprietate pe care nu o are nici o
submulime a cii minime.
Dac evenimentele care se produc atunci cnd termenii reuniunii
(cile minime), iau valoarea 1 i sunt evenimente incompatibile dou
cte dou, atunci se poate determina funcia de fiabilitate a
echipamentului astfel:
(3.49)
n realitate, condiia de incompatibilitate ntre cile minime nu
este ndeplinit ntotdeauna. De aceea este necesar s se modifice
forma (3.48) astfel nct termenii s fie incompatibili ntre ei.
Funcia de structur trebuie pus sub forma unei reuniuni de produse
logice mutual incompatibile.
n continuare se prezint cea mai reprezentativ metod, ce poate fi
utilizat att pentru echipamente simple ct i pentru echipamente
complexe.
Se consider o funcie de structur format din reuniunea a dou ci
minime, i . Cu ajutorul tabelului de adevr se poate arta c relaia
urmtoare este adevrat:
(3.50)
00000
01111
10101
11101
Cu ajutorul relaiei (3.50), o reuniune a doi termeni oarecare
poate fi transformat ntr-o reuniune de termeni incompatibili. Prin
generalizarea relaiei (3.50) se obine:
(3.51)
Se observ c n expresia (3.51) oricare doi termeni sunt
incompatibili ntre ei. Termenii sunt de forma:
(3.52)
Dac se introduc expresiile (3.52) n (3.51) i se dezvolt
produsele logice dup regulile lui De Morgan, caracterul mutual
incompatibil al termenilor se poate pierde.
Exemplu: Fie unde: i .
nlocuind pe i n funcia de structur i aplicnd regulile lui De
Morgan se obine:
Se observ c ultimii doi termeni nu sunt incompatibili ntre ei.
Rezult observaia urmtoare: atunci cnd expresiile (3.52) ale cilor
minime sunt nlocuite n funcia de structur (3.51), produsele logice
nu trebuie dezvoltate ca reuniuni de variabile negate. Dac nu exist
variabile comune n cile minime, se poate calcula direct funcia de
fiabilitate a echipamentului analizat. Dac ns exist variabile
comune, ele trebuie eliminate pentru a asigura independena
termenilor intersectai n produsele logice.
Se consider o funcie de structur cu dou ci minime care au un
element comun: . Cei doi termeni ai reuniunii sunt incompatibili
ntre ei, dar al doilea termen conine variabila x de dou ori ceea ce
conduce la o dependen ntre termenii i . Rezult c probabilitatea
interseciei nu poate fi calculat direct. Pentru eliminarea
variabilelor comune ntre diferite ci, se utilizeaz egalitatea
urmtoare:
(3.53)
Aplicnd relaia (3.53) n toate situaiile n care exist variabile
comune diferitelor ci minime, se obin relaiile (3.54):
(3.54)
Dup eliminarea variabilelor comune, funcia de fiabilitate a
echipamentului se poate obine direct din forma final a funciei de
structur prin nlocuirea variabilelor cu funciile de fiabilitate
corespunztoare, dup modelul relaiei (3.49).
Pentru ca prelucrarea funciei de structur s fie eficient, este
recomandabil ca n forma ei iniial cile minime s se succed n ordinea
crescnd a numrului de elemente, i pe ct posibil, cile cu mai multe
elemente comune s ocupe poziii succesive. Metoda expus va fi
aplicat n continuare pentru analiza fiabilitii echipamentului
format din patru surse de semnal, avnd graful din figura 3.7. Cile
minime sunt:
(3.55)
iar funcia de structur a echipamentului este: .
n conformitate cu (3.51), funcia de structur se poate pune sub
forma:
(3.56)
Se poate utiliza i notaia prescurtat:
(3.57)
unde reprezint expresia (3.56) pn la inclusiv.
Prin nlocuirea n expresia (3.57) a expresiilor cilor minime i ,
date de relaiile (3.55), se obine:
(3.58)
Variabila care apare de dou ori n termenul al doilea se poate
elimina folosind cea de-a doua relaie din (3.54). Se obine:
(3.59)
nlocuind n continuare expresia cii minime i utiliznd relaiile
(3.54) se obine:
(3.60)
n continuare, nlocuind i expresia cii minime i utiliznd relaiile
(3.54) se obine:
(3.61)
n final, nlocuind i expresia lui se obine dup calcule:
(3.62)
Forma funciei de structur S-O-P este o reuniune de termeni
mutual incompatibili, iar fiecare termen este o intersecie de
variabile aleatoare independente. Independena factorilor este
asigurat de faptul c variabilele individuale nu se repet n cadrul
unei aceluiai produs logic. Repetarea variabilelor n produse logice
diferite nu are importan, datorit ndeplinirii condiiei de
incompatibilitate ntre aceste produse logice.
Funcia de fiabilitate a echipamentului rezult acum din simpla
nlocuire n expresia (3.62) a fiabilitilor componentelor, punnd n
locul lui . Se obine: (3.63)
Dar, ntruct toate elementele au aceeai fiabilitate R, se
obine:
(3.64)
Se constat c rezultatul obinut este identic cu cel obinut prin
metoda probabilitii totale (3.46).
O alt metod algebric de analiz a fiabilitii se bazeaz pe
transformarea funciei logice de structur a echipamentului ntr-o
funcie algebric, innd seama de echivalenele dintre funciile logice
i funciile algebrice:
FuncieLogicAlgebric
I
SAU
NU
SAU
exclusiv
Dac n expresia funciei algebrice apar numai produse de variabile
independente, rezult:
(3.65)
Metoda va fi exemplificat pentru acelai echipament format din
patru surse de informaie (figura 3.7). n prima etap se deduce
funcia algebric asociat echipamentului. n acest scop se pleac de
la: , relaie care se neag:Rezult:
(3.66)
Utiliznd echivalentele dintre funciile logice i cele algebrice
se obine:
(3.67)
innd seama de faptul c funciile de fiabilitate ale componentelor
sunt egale, se obine:
(3.68)
Se constat c i n acest caz rezultatul coincide cu cele obinute
prin metodele anterioare (3.46), (3.64).
n cazul n care structura echipamentului este foarte complicat,
studiul analitic al funciei de fiabilitate prin metodele descrise
devine foarte anevoios.
Evaluarea numeric aproximativ a funciei de fiabilitate poate fi
realizat n asemenea cazuri printr-o metod experimental. Metoda
const din generarea unor stri posibile ale elementelor
echipamentului, n conformitate cu funciile de fiabilitate
individuale, i din evaluarea performanei realizat de echipament n
fiecare din situaiile realizate. Raportul dintre numrul de cazuri
cnd un echipament se comport satisfctor i numrul total de ncercri
va reprezenta o estimaie punctual a funciei de fiabilitate a
acestuia, cu att mai precis cu ct numrul de ncercri este mai
mare.
Dac funcia de structur este cunoscut, experimentarea efectiv nu
este necesar, strile posibile ale componentelor echipamentului
fiind obinute prin simulare. n acest scop, se genereaz valori
posibile ale vectorului de stare, n conformitate cu probabilitile
asociate variabilelor binare , probabiliti care reprezint funciile
de fiabilitate individuale ale componentelor. Pentru fiecare
realizare particular a vectorului de stare se calculeaz, cu
ajutorul funciei de structur, valoarea mrimii de ieire S. Estimaia
punctual a funciei de fiabilitate a echipamentului este dat de
relaia urmtoare:
(3.69)
unde N este numrul de simulri realizate.
3.3. Modelul proceselor MarkovConsidernd un echipament coerent
descris de funcia de structur ((x1,x2,xn) i asociind fiecrui vector
de stare (x1,x2,xn) un numr real care s indice sintetic starea
echipamentului, se obine un proces aleator discret, w(t), cu
anumite proprieti remarcabile [3].
Prima proprietate const n faptul c valorile particulare ale
procesului formeaz o mulime finit i numrabil. Acest lucru este
generat de faptul c echipamentul are un numr finit de elemente, iar
combinaiile strilor acestora, care reprezint strile sunt n numr
finit i distincte, ntruct difer ntre ele prin starea cel puin a
unui element.A doua proprietate se refer la modificarea valorii
w(t) a procesului. Aceast modificare se produce fie prin defectare
fie prin punerea n funciune a unui element al echipamentului,
evenimente care se pot produce ntr-un interval de timp (t, t+(t),
cu precizarea c n acest interval infinit mic nu se poate defecta
sau pune n funciune dect un singur element, astfel nct tranziiile
se pot face numai ntre stri adiacente, care difer ntre ele prin
starea unei singure componente.
Considernd o valoare w0 particular a procesului la momentul t0,
probabilitatea ca sistemul s se gseasc ntr-o stare particular w la
un moment t, t(t0, depinde de w0, deoarece starea w se atinge din
w0 prin tranziii discrete, dar nu depinde de strile anterioare lui
w0. Altfel spus procesul este fr memorie sau este caracterizat de
absena postaciunii. Un astfel de proces poate fi modelat de un
proces Markov omogen i cu un numr finit i numrabil de stri.
Cu ajutorul proceselor Markov se pot descrie echipamentele att
la nivel global, ct i la nivel structural, innd seama de
posibilitile de rennoire ale elementelor. a) Considerm n continuare
un echipament caracterizat la nivel global ca avnd dou stri:
starea 0 de bun funcionare;
starea 1 de defectare.
Dac echipamentul este fr rennoire atunci procesul Markov ce l
descrie se reprezint astfel: trecerea din starea 0 n starea 1 se
produce ntr-un interval de timp (t, t+(t) cu probabilitatea z(t)(t,
unde z(t) reprezint rata de defectare a sistemului.Fig. 3.11.
Graful asociat unui echipament fr rennoire.
n scopul unei analize cantitative a procesului se poate scrie
ecuaia:
P0(t+(t)=P0(t)(1-z(t)(t) (3.70)
Ecuaia (3.70) se transform n:
(3.71)
n condiiile iniiale P0(0)=1 se obine din (3.71): (3.72)
Se observ c n ipoteza absenei rennoirilor, probabilitatea ca
echipamentul s fie n bun stare la momentul t coincide cu funcia de
fiabilitate R(t).b) Considerm acum c echipamentul este supus unei
operaii de rennoire de fiecare dat cnd se defecteaz, iar durata de
rennoire este o variabil aleatoare distribuit dup o lege oarecare,
cu rata de rennoire ((t). n aceast situaie echipamentul poate
reveni din starea 1 n starea 0 cu probabilitatea ((t)(t. Graful
asociat este prezentat n figura 3.12.
Fig. 3.12. Graful asociat unui echipament cu rennoire.
Procesul Markov asociat acestui echipament este caracterizat de
ecuaiile:
(3.73)
Din (3.73) se obine:
(3.74)
Rezolvarea ecuaiei (3.74) n cazul general este dificil i de
aceea se consider cazul particular n care durata de funcionare i
durata de rennoire sunt distribuite exponenial, adic:
i (3.75)
Ipoteza formulat mai sus este adevrat n cazul n echipamentelor
fr uzur. n aceste condiii, pentru P0(0)=1, se obine:
(3.76)
Relaia (3.76) reprezint probabilitatea ca echipamentul s fie n
bun stare de funcionare la momentul t. Rezult c modelul procesului
Markov este foarte util n cazul analizei structurale, ndeosebi n
cazul echipamentelor cu rennoire.
Se consider un echipament descris de un model logic de tip
serie, format din n elemente cu rate de defectare i de rennoire
constante i egale, respectiv cu (i i (i (i=1,2,n). Duratele medii
de funcionare i funcionare i de rennoire ale elementelor sunt:
i=1,2,n
(3.77)
Analiza fiabilitii acestui echipament se face n dou etape
[3]:
1. se calculeaz indicatorii generali de fiabilitate;
2. se calculeaz indicatorii specifici sistemelor cu
rennoire.
Pentru prima etap, funcia de fiabilitate se poate calcula direct
cu ajutorul modelului logic, innd seama de faptul c rennoirile
elementelor echipamentului nu influeneaz comportarea acestuia pn la
defectare. Buna funcionare a echipamentului presupune buna
funcionare a tuturor elementelor sale. Funcia de fiabilitate i
media timpului de funcionare au fost deja prezentate anterior i
sunt date de:
; ;
(3.78)
Funcia de fiabilitate poate fi calculat i cu ajutorul modelului
Markov, al crui graf este prezentat n continuare. Ecuaia cu
diferene ce caracterizeaz procesul este:
(3.79)
Fig. 3.13. Graful asociat unui echipament fr rennoire cu
structur de tip serie.Prin difereniere se obine:
(3.80)ecuaie care integrat n condiiile P0(0)=1 conduce la , adic
chiar la funcia de fiabilitate dat de relaia (3.78).
Analiznd rezultatele obinute se constat c modelul procesului
Markov nu prezint avantaje n analiza structural a fiabilitii
echipamentelor fr rennoire. Pentru etapa a doua inem seama de
posibilitile de revenire ale echipamentului din strile de defectare
n starea de bun funcionare.
Fig. 3.14. Graful asociat unui echipament cu rennoire avnd
structur de tip serie.Probabilitile strilor procesului se determin
cu ajutorul sistemului de ecuaii urmtor:
(3.81)
la care se adaug relaia:
(3.82)
care rezult din condiia de comple-mentaritate a strilor
echipamentului.
Prin diferenierea relaiei (3.81) se obine:
, (3.83)
Presupunnd c la momentul iniial echipamentul se afl n stare de
bun funcionare (P0(0)=1) i utiliznd transformata Laplace, din
relaiile (3.82) i (3.83) se obine:
(3.84)
de unde rezult:
(3.85)
ecuaie ce reprezint disponibilitatea echipamentului.
Transformatele Laplace ale probabilitilor strilor de defectare
sunt:
(3.86)
Aceste probabiliti reprezint indisponibilitatea echipamentului
datorat elementului i. Valoarea asimptotic a acesteia este dat
de:
(3.87)
Considerm acum un echipament cu structur de tip paralel format
din dou elemente. n acest caz apare o deosebire esenial fa de
echipamentul cu structur serie: rennoirea elementului defect se
poate face n timpul funcionrii echipamentului, care este asigurat
de ctre cellalt element aflat n bun stare de funcionare.
Fig. 3.15. Graful asociat unui echipament cu structur de tip
paralel.
n consecin, comportarea echipamentului pn la defectare,
respectiv funcia de fiabilitate, vor fi influenate de probabilitile
de rennoire ale elementelor. Analiza fiabilitii poate fi efectuat
numai cu ajutorul modelului procesului Markov. Mulimea strilor
echipamentului este S={0, 1, 2} n care 0 reprezint starea n care
ambele componente funcioneaz, 1 reprezint starea n care funcioneaz
doar o component, iar 2 reprezint starea n care nu funcioneaz nici
o component. Strile 0 i 1 sunt stri de funcionare ale
echipamentului n ansamblu, iar starea 2 este stare de defectare. Se
face presupunerea c cele dou elemente ale echipamentului sunt
caracterizate de distribuii exponeniale ale duratelor de funcionare
i rennoire, cu parametrii ( i respectiv (. Probabilitile strilor se
obin din ecuaiile cu diferene finite:
(3.88)
Prin difereniere se obine:
(3.89)
Pentru rezolvarea sistemului (3.89) se alege ca stare iniial una
dintre strile de bun funcionare. Considernd ca stare iniial starea
1 avem P0(0)=0 i P1(0)=1. Aplicnd transformata Laplace sistemului
(3.89) se obine:
(3.90)
Rezolvnd sistemul (3.90) se obine transformata Laplace a funciei
de fiabilitate, care este egal cu probabilitatea ca la momentul t
echipamentul s fie ntr-o stare de funcionare.
(3.91)
Din expresia (3.91) se poate obine imediat media timpului de
funcionare:
(3.92)
Considernd acum i cazul n care echipamentul revine prin
rennoire, din starea de defectare n starea de bun funcionare
(figura 3.16).
Fig. 3.16. Graful asociat unui echipament cu rennoire avnd
structur de tip paralel.
Pentru exemplul considerat dac exist doi reparatori, atunci
tranziia din starea 2 n starea 1 se face cu probabilitatea , ntruct
punerea n funciune a oricrui dintre cele dou elemente conduce la
reluarea funcionrii echipamentului. Dac ns exist un singur
reparator atunci probabilitatea tranziiei va fi . Pentru situaia
din figura 3.16 se obin urmtoarele ecuaiile cu diferene finite:
(3.93)
Prin difereniere i innd cont de , se obine:
(3.94)
n continuare se aplic transformata Laplace i se obine:
(9.95)Se calculeaz apoi i :
(3.96)
(3.97)
Prin nsumarea i se obine transformata Laplace a probabilitii ca
echipamentul s fie n stare de funcionare: (3.98)
n cazul n care cele dou elemente ale echipamentului ar avea
ratele de defectare i de reparare diferite, procesul Markov ar fi
descris de un graf de tipul celui prezentat n figura 3.17.Fig.3.17.
Graful Markov asociat unui echipament de tip paralel format din dou
componente distincte.
3.4. Modelul arborelui de defectare
Metoda arborilor de defectare pentru studiul fiabilitii
previzionale a echipamentelor complexe, pornete de la ideea c
procesul de defectare poate fi cuantificat la nivelul structural
astfel nct orice defeciune a echipamentului este rezultatul unei
secvene cuantificate de stri ale procesului de defectare.Nivelul de
cuantificare este ales de analist, conform scopului urmrit i
preciziei dorite, putndu-se merge pn la nivelul componentelor,
rezultatele obinute fiind cu att mai apropiate de realitate cu ct
nivelul de cuantificare va fi mai detaliat.n figura 3.18 se prezint
schema principial a unui arbore de defectare, care conine o serie
de evenimente primare independente, interconectate prin intermediul
unei structuri logice booleene, care indic multitudinea
posibilitilor n care aceste evenimente se pot combina pentru a
genera n final avaria echipamentului studiat. Din punct de vedere
structural, arborele de defectare utilizeaz urmtoarele
concepte:Fig.3.18. Modelul arborelui de defectare
Elementele primare reprezint componentele sau blocurile care
stau la nivelul de baz al cuantificrii defectrii (avariei)
echipamentului;
Defeciunile primare reprezint defectele elementelor primare;
Evenimentul critic reprezint starea de defect a
echipamentului;
Modul de defectare reprezint setul de elemente defecte simultan
care scot din funciune echipamentul;
Modul minim de defectare reprezint setul cel mai mic de elemente
primare care fiind defecte simultan, conduc la defectarea
echipamentului;
Nivelul ierarhic reprezint totalitatea elementelor care sunt
echivalente structural i care ocup poziii echivalente n structura
arborelui de defectare.
Metoda are la baz logica binar, n mod formal o funcie a
echipamentului cere este asimilat unei funcii binare, ale crei
variabile sunt defeciunile primare i care poate fi sintetizat cu
elemente I, SAU, NU.
Pe baza analizei prin metoda arborelui de defectare, se pot
obine fie probabilitatea de defectare, fie rata de defectare:
a) Evaluarea probabilitii de defectare folosete proprietile
porilor logice I, SAU, NU (figura 3.19).
Fig. 3.19. Pori logice utilizate n construcia arborelui de
defectare.
Astfel, la ieirea celor trei pori logice, probabilitatea de a
avea un defect este:
- ieirea porii I = probabilitatea (A defect i B defect) =
= (3.99)- ieirea porii SAU = probabilitatea (A sau B defect) =
=
(3.100)- ieirea porii NU = = probabilitatea (A s nu fie defect)
=P()= 1- P(A). (3.101)b) Evaluarea intensitii de defectare a
echipamentului, (), se face pe baza ipotezei c defectrile
elementelor componente sunt evenimente independente i legea de
defectare este de tip exponenial (z(t) ==ct.). Pentru a stabili
valoarea ratei de defectare a echipamentului se pornete de la
urmtoarele considerente:
probabilitatea ca elementul A s se defecteze n intervalul (0,t)
este P(A)=FA (t); probabilitatea ca elementul B s se defecteze n
intervalul (0,t) este P(B)=FB(t).n aceste condiii, la ieirea unei
pori SAU se obine probabilitatea ca echipamentul s se defecteze n
intervalul (0,t) din cauza elementului A, sau a elementului B:
P(AB)=P(A)+P(B) -P(A)P(B)=FA(t)+FB(t)-FA(t)FB(t)= FE(t)
(3.102)Se obine n continuare funcia de fiabilitate a
echipamentului:
RE(t)=1- FE(t)=1- FA(t)- FB(t)+ FA(t) FB(t) =>
(3.103)RE(t)=RA(t)RB(t) (3.104)Cum: RA(t)= i RB(t)= se obine pentru
fiabilitatea echipamentului expresia urmtoare:
RE(t)= (3.105)De unde se obine la ieirea porii logice SAU :
(3.106)Pentru a determina rata de defectare la ieirea porii
logice I, se consider N elemente i se reia corespunztor
raionamentul de mai sus:
(3.107)
unde:
(3.108)
Exemplu: Se consider funcia de structur S=((x1, x2, x6) dat de
relaia (3.41) i se dorete obinerea unei relaii dintre
probabilitatea de defectare a echipamentului i probabilitile de
defectare ale componentelor sale: FE=((F1, F2, F6). Funcia de
structur corespunztoare modelului arborelui de defectare se poate
obine direct din funcia de structur corespunztoare modelului logic
(3.41), innd seama de raportul de dualitate dintre aceste dou
modele:S=x1 ( x2 x6 ( x4 x5 ( x2 x3 x4 ( x3 x5 x6==x1(x2( x6)(x4(
x5)(x2( x3( x4)(x3( x5(x6)(SL=x1[ x2 x5 ( x4 x6 ( x2 x3 x4 ( x3 x5
x6 ] (3.109)Arborele de defectare este urmtorul:
Fig. 3.20. Arborele de defectare pentru exemplul din figura
3.7.Cnd o intrare devine egal cu 1 se spune c s-a produs un
eveniment primar, iar cnd ieirea devine egal cu 1 se produce
evenimentul TOP (defectarea echipamentului).
PAGE
_1142173087.unknown
_1142250251.unknown
_1142417043.unknown
_1142419980.unknown
_1142420954.unknown
_1147089554.unknown
_1160469953.unknown
_1161580234.unknown
_1145883407.unknown
_1142422160.unknown
_1142422565.unknown
_1142422566.unknown
_1142422446.unknown
_1142422564.unknown
_1142422436.unknown
_1142421003.unknown
_1142420985.unknown
_1142420629.unknown
_1142420686.unknown
_1142420858.unknown
_1142420668.unknown
_1142420454.unknown
_1142420512.unknown
_1142419984.unknown
_1142418430.unknown
_1142419201.unknown
_1142419601.unknown
_1142419628.unknown
_1142419352.unknown
_1142419182.unknown
_1142419193.unknown
_1142418868.unknown
_1142419159.unknown
_1142419177.unknown
_1142419116.unknown
_1142418749.unknown
_1142417389.unknown
_1142418315.unknown
_1142418339.unknown
_1142418274.unknown
_1142417582.unknown
_1142417152.unknown
_1142417250.unknown
_1142417112.unknown
_1142410513.unknown
_1142414320.unknown
_1142416789.unknown
_1142416850.unknown
_1142416903.unknown
_1142416803.unknown
_1142415145.unknown
_1142416334.unknown
_1142415084.unknown
_1142412703.unknown
_1142412834.unknown
_1142412812.unknown
_1142411011.unknown
_1142412433.unknown
_1142410820.unknown
_1142334868.unknown
_1142335867.unknown
_1142409966.unknown
_1142410475.unknown
_1142409769.unknown
_1142335636.unknown
_1142335776.unknown
_1142335813.unknown
_1142335730.unknown
_1142334882.unknown
_1142251696.unknown
_1142251974.unknown
_1142251981.unknown
_1142251907.unknown
_1142251596.unknown
_1142251680.unknown
_1142251242.unknown
_1142173175.unknown
_1142173330.unknown
_1142173539.unknown
_1142173615.unknown
_1142173642.unknown
_1142173661.unknown
_1142173675.unknown
_1142173746.unknown
_1142173667.unknown
_1142173658.unknown
_1142173628.unknown
_1142173562.unknown
_1142173566.unknown
_1142173542.unknown
_1142173530.unknown
_1142173534.unknown
_1142173401.unknown
_1142173261.unknown
_1142173269.unknown
_1142173282.unknown
_1142173265.unknown
_1142173248.unknown
_1142173257.unknown
_1142173243.unknown
_1142173130.unknown
_1142173147.unknown
_1142173155.unknown
_1142173165.unknown
_1142173150.unknown
_1142173138.unknown
_1142173143.unknown
_1142173134.unknown
_1142173108.unknown
_1142173122.unknown
_1142173125.unknown
_1142173119.unknown
_1142173095.unknown
_1142173101.unknown
_1142173091.unknown
_1142172734.unknown
_1142172935.unknown
_1142173027.unknown
_1142173050.unknown
_1142173079.unknown
_1142173082.unknown
_1142173075.unknown
_1142173035.unknown
_1142173043.unknown
_1142173031.unknown
_1142172982.unknown
_1142172993.unknown
_1142173020.unknown
_1142173024.unknown
_1142173017.unknown
_1142173014.unknown
_1142172985.unknown
_1142172959.unknown
_1142172978.unknown
_1142172940.unknown
_1142172848.unknown
_1142172869.unknown
_1142172875.unknown
_1142172914.unknown
_1142172872.unknown
_1142172856.unknown
_1142172860.unknown
_1142172852.unknown
_1142172783.unknown
_1142172822.unknown
_1142172833.unknown
_1142172811.unknown
_1142172756.unknown
_1142172771.unknown
_1142172747.unknown
_1142172486.unknown
_1142172594.unknown
_1142172703.unknown
_1142172710.unknown
_1142172721.unknown
_1142172707.unknown
_1142172647.unknown
_1142172689.unknown
_1142172600.unknown
_1142172515.unknown
_1142172563.unknown
_1142172580.unknown
_1142172519.unknown
_1142172498.unknown
_1142172511.unknown
_1142172494.unknown
_1140957170.unknown
_1141119594.unknown
_1142172434.unknown
_1142172470.unknown
_1142172475.unknown
_1142172466.unknown
_1141119729.unknown
_1142172424.unknown
_1142172428.unknown
_1142153400.unknown
_1141119650.unknown
_1141119667.unknown
_1141119621.unknown
_1140960110.unknown
_1140960133.unknown
_1140961994.unknown
_1140962089.unknown
_1141119577.unknown
_1140962104.unknown
_1140962084.unknown
_1140961520.unknown
_1140960121.unknown
_1140960129.unknown
_1140960114.unknown
_1140960117.unknown
_1140959913.unknown
_1140960009.unknown
_1140960033.unknown
_1140959916.unknown
_1140957183.unknown
_1140957950.unknown
_1140957174.unknown
_1122203876.unknown
_1122203976.unknown
_1122204326.unknown
_1122205084.unknown
_1122205623.unknown
_1122204538.unknown
_1122203979.unknown
_1122203927.unknown
_1122203931.unknown
_1122203880.unknown
_1122203560.unknown
_1122203824.unknown
_1122203872.unknown
_1122203684.unknown
_1122203717.unknown
_1122203720.unknown
_1122203687.unknown
_1122203608.unknown
_1122203551.unknown
_1122203556.unknown
