Pag. 31

Cap. 3. STRUCTURA ATOMULUI

3.1. COMPLEXITATEA STRUCTURII ATOMULUI

Datele experimentale care ilustrează proprietăţile elementelor şi ale combinaţiilor lor s-au putut explica, corect, numai după stabilirea structurii complexe a atomului.

Limitarea interpretărilor privind comportarea chimică a elementelor la conceptul de atom formulat de teoria atomomoleculară a lui J. Dalton (1808) s-a dovedit nesatisfăcătoare.

Din punct de vedere chimic, atomii pot fi consideraţi particule elementare de substanţă, întrucât combinarea cu alţi atomi se face fără modificarea masei proprii. Numeroase argumente ştiinţifice din domeniul fizicii şi al chimiei care s-au acumulat la sfârşitul secolului XIX, începutul secolului XX au dovedit treptat că atomul este din punct de vedere electric neutru, are structură complexă, fiind constituit dintr-un nucleu cu sarcină pozitivă şi un înveliş electronic.

3.1.1. Primele modele atomice

Studiul descărcărilor electrice în gaze rarefiate (J. Plücker 1858, W. Hittorf 1869, W. Crookes 1879, J. J. Thomson 1897), descoperirea radioactivităţii naturale (H. Becquerel 1896, E. Rutherford – P. Curie 1890), descoperirea radiaţiilor X (W. Roentgen 1895) ş. a. au impus revederea noţiunii de atom.

Explicarea datelor experimentale, asociată cu prevederea unor noi comportări, au permis elaborarea unor modele atomice cu rolul de a reda o imagine concretă a atomului – cu părţile lui principale: nucleul şi învelişul electronic, şi de a permite calculul matematic al tuturor caracteristicilor sale.

Prima încercare de reprezentare sintetică a atomului aparţine lui J. J. Thomson prin modelul „static”.

Acest model nu a putut explica rezultatele experienţei efectuate de E. Rutherford şi de aceea a fost înlocuit de modelul „dinamic”.

Fizicianul E. Rutherford, pe baza deviaţiei particulelor prin foiţe metalice, a elaborat modelul planetar (dinamic) al atomului, conform căruia atomul este afânat, are o structură lacunară şi este format din două zone distincte: nucleul – zona centrală în care este concentrată întreaga masă a atomului şi toate sarcinile pozitive (+Ze); în jurul nucleului gravitează la distanţe mari şi pe orbite circulare (sau eliptice) Z electroni (-Ze) care formează învelişul electronic (figura nr. 3.1).

Fig. nr. 3.1. Echilibrul dinamic în modelul planetar al lui Rutherford

Modelul planetar are la bază legile mecanicii clasice: sarcinile electrice ale atomului se echilibrează dinamic astfel încât, forţele centrifugă şi de atracţie care acţionează asupra electronului în mişcare se anulează reciproc, conform relaţiilor:

Pag. 32

Fc = Fe (3.1)

sau

(3.2)

unde:

m = masa electronului;

v = viteza tangenţială a electronului în mişcare;

r = raza orbitei circulare;

0 = permitivitatea vidului = Farad/m;

Z = numărul de ordine;

e = sarcina electronului = 1,602 . 10-19 C.

Modelul propus de E. Rutherford contravine legilor electrodinamicii clasice, deoarece electronii în mişcarea lor din jurul nucleului ar trebui să emită continuu energie radiantă (deci să emită un spectru luminos continuu), treptat să piardă din energia lor şi să fie atraşi mai mult de nucleu.

3.1.2. Spectre atomice. Spectrul optic al hidrogenului

Descompunerea radiaţiilor emise de un corp cu ajutorul unei prisme sau reţele, urmată de determinarea lungimii de undă şi a intensităţii acestora, constituie un spectru.

Radiaţiile electromagnetice emise se caracterizează prin:

lungime de undă, [nm],

frecvenţă, [s-1].

În mod curent, frecvenţele se exprimă prin numărul de undă, , care indică numărul de unde ce trec printr-un punct în timp de o secundă.

Dar:

= . c (3.3)

iar

(3.4)

unde: c = viteza luminii în vid = 3 . 108 m.s-1.

Spectrul optic al hidrogenului din domeniul vizibil denumit seria Balmer cu liniile H, H, H, H, H, a fost studiat de fizicianul J. J. Balmer (1889) care a stabilit o relaţie empirică pentru calculul lungimilor de undă a liniilor cunoscute până la acea dată.

Relaţia lui Balmer este de forma:

(cm-1) (3.5)

unde:

RH este constanta lui Rydberg – 109677,76 cm-1 şi n [3, )

Pag. 33

Fig. nr. 3.2. Serii spectrale din spectrul de emisie atomică al hidrogenului:

H = 656 nm; H = 486 nm; H = 434 nm; H = 410.

Valorile lungimilor de undă determinate experimental (figura nr. 3.2) sunt în strictă concordanţă cu cele calculate prin formula lui Balmer.

Câţiva ani mai târziu, fizicianul W. Ritz (1908) a generalizat relaţia lui Balmer introducând principiul de combinare:

Numărul de undă al oricărei linii spectrale din spectrul hidrogenului poate fi considerat o combinare a doi termeni spectrali:

termenul constant sau termenul seriei spectrale: , unde n1 N;

termenul curent sau termenul liniei spectrale: , unde n2 = n1 + 1, n1 + 2, …..

Spectrele ionilor hidrogenului (Li+, Be2+, B3+etc.) sunt asemănătoare cu spectrul hidrogenului, iar seriile lor spectrale se pot reprezenta prin formula Balmer - Ritz:

(3.6)

unde Z este numărul de ordine al elementului în sistemul periodic.

3.2. MODELE CUANTICE ALE ATOMULUI

3.2.1. Modelul lui Bohr

Fizicianul danez Niels Bohr studiază în laboratorul condus de Rutherford aspectele teoretice ridicate de modelul planetar căutând explicaţii asupra stabilităţii atomului în timp şi asupra mecanismului de formare al spectrelor de emisie.

Bohr menţine de la Rutherford structura planetară a atomului, condiţiile de echilibru ale celor două forţe exercitate asupra electronului conform mecanicii clasice, dar pentru a explica stabilitatea atomului şi discontinuitatea spectrelor de emisie, extinde teoria lui Planck la atomul de hidrogen, sintetizându-şi principiile sale asupra structurii cuantice a atomului în două postulate:

Primul postulat. Atomii neexcitaţi (în stare fundamentală) pot exista numai în anumite stări de energie determinată, W, numite stări staţionare, în care electronii se mişcă continuu pe traiectorii circulare denumite orbite staţionare sau permise fără a absorbi sau iradia energie.

Pag. 34

Din multitudinea de traiectorii circulare care pot fi calculate în baza relaţiei (3.1) din mecanica clasică, sunt permise numai acele orbite pentru care momentul cinetic orbital

este un multiplu întreg n al constantei ;

(3.7)

unde: n este număr cuantic principal introdus pentru cuantificarea momentului cinetic orbital pentru traiectorie circulară n N*.

Al doilea postulat. În atomii excitaţi se produc mişcări discontinue ale electronilor, tranziţii electronice, cu emisie sau absorbţie de energie radiantă de o anumită frecvenţă, cuantificată, h (figura nr. 3.3)

Fig. nr. 3.3. Tranziţii electronice în atomul lui Bohr

Prin absorbţie de energie cuantificată, h, electronul efectuează o tranziţie de pe un nivel de joasă energie E1 pe un nivel de mai înaltă energie, E2.

h = E2 – E1 (3.8)

În stare excitată atomul nu este stabil, iar electronul revine în starea iniţială E1 prin emisia unei cuante de energie egală cu cea absorbită.

Starea de energie minimă şi deci, de stabilitate maximă a unui atom se numeşte stare fundamentală. Toate celelalte stări mai bogate în energie se numesc stări excitate.

Modelul Bohr permite calculul frecvenţelor liniilor din spectrul hidrogenului, admiţând că la atomul de H excitat, electronul efectuează un salt de pe nivelul iniţial caracterizat prin numărul cuantic n1 pe un nivel caracterizat prin numărul cuantic n2 (n2 n1). Revenirea electronului din starea energetică En2 în starea energetică En1 se produce cu eliberarea unei cuante de energie:

E = En2 – En1 = h

Folosind expresia energiei totale pentru valorile n1 şi n2 se obţine pentru Z = 1:

(3.9)

Pentru ionii hidrogenului, relaţia (3.9) devine:

(3.10)

sau:

Pag. 35

(3.11)

În cazul n1= 1; n2 = , E conform relaţiei (3.11) este energia de ionizare a hidrogenului:

Eion = R . h . c 13,6 eV (3.12)

Frecvenţa radiaţiei emise, conform relaţiei (3.9) este:

(3.13)

Dar conform relaţiilor(3.2) şi (3.3) ea devine:

(3.14)

Comparând (3.14.) cu (3.5) se observă o asemănare a relaţiilor, factorul:

(3.15)

constanta Rydberg stabilită empiric de J. Balmer.

Figura nr. 3.4, a reprezintă diagrama Grotrian, o reprezentare convenţională a nivelelor energetice, respectiv a termenilor spectrali. Cu creşterea numărului cuantic n, nivelele energetice se îndesesc, iar când n îndesirea liniilor conduce la apariţia spectrului continuu.

Fig. nr. 3.4. Spectrul de emisie al atomului de hidrogen

Pag. 36

Importanţa modelului propus de Bohr constă şi în faptul că a explicat rezultatele experienţei realizate de J. Franck şi G. Hertz (1914) cu privire la cuantificarea energiilor atomului, la absorbţia de energie cuantificată de către atom şi emisia de cuante de lumină de energie echivalentă cu cea absorbită. Din interpretarea rezultatelor acestei experienţe rezultă că un atom poate adopta numai anumite stări discrete de energie, selectate din multitudinea de stări continue pe care le-ar putea avea (figura nr. 3.5, a), că un atom are mai multe stări excitate şi că energia de ionizare creşte continuu pe grupuri de 8 electroni şi un grup de doi electroni şi brusc între grupuri (figura nr. 3.5, b).

a) b)

Fig. nr. 3.5. Rezultatele experienţei Franck şi Hertz

Din aceste date, rezultă că electronii din învelişul electronic al unui atom se împart pe grupe diferite după energia lor.

3.2.2. Dezvoltarea modelului Bohr. Modelul Sommerfeld

3.2.2.1. Cuantificarea în plan. Număr cuantic secundar. Perfecţionarea aparaturii spectrale a permis să se studieze mai atent spectrele de emisie atomică şi cele de raze X. Astfel, s-a observat că, în locul unei linii prevăzute de Bohr apar în spectrul de emisie atomică, grupe de linii foarte apropiate numite multipleţi ceea ce arată că, liniile spectrale Bohr sunt scindate în linii mai fine.

Structura fină a liniilor spectrale nu se putea explica prin variaţia unui singur număr cuantic, n. Se simte necesitatea de perfecţionare a modelului cuantic şi de a admite o scindare a nivelelor energetice în subnivele cu energii foarte apropiate.

De altfel între anii 1916 – 1923, fizicianul A Sommerfeld împreună cu N. Bohr au dezvoltat modelul cuantic al atomului, păstrând principiul de bază după care acesta a fost elaborat – variaţia discontinuă a energiei electronului în atom – dar considerând că mişcarea pe orbite circulare a electronului este un caz particular al mişcării periodice pe orbite eliptice.

Fig. nr. 3.6. Mişcarea electronului: a) traiectorie circulară; b) traiectorie eliptică.

Pag. 37

Sommerfeld propune deci o mişcare a electronului pe orbită eliptică, având nucleul în unul din focare (figura nr. 3.6, b).

În mişcare pe orbită circulară intervine un singur parametru variabil, un singur grad de libertate (unghiul format de raza vectoare cu axa de referinţă).

r – raza vectoare ce reprezintă distanţa de la electronul aflat pe orbita eliptică la nucleul situat în unul din focare;

- unghiul azimutal format de rază şi axa mare a elipsei considerată ca axă de referinţă.

În absenţa unor restricţii de cuantificare, electronul în mişcarea sa în jurul nucleului ar descrie o infinitate de elipse.

Se impune ca pe lângă condiţia de cuantificare azimutală propusă de N. Bohr (3.7) să se introducă o a doua condiţie, cea de cuantificare radială.

Deci, pentru alegerea stărilor staţionare în mişcarea electronului pe orbita eliptică, cele două grade de libertate impun admiterea a două numere cuantice: n şi nr, două condiţii de cuantificare:

1. cuantificarea momentului cinetic orbital p: (3.16)

2. cuantificarea momentului cinetic radial pr: (3.17)

unde n este număr cuantic azimutal şi nr – număr cuantic radial.

Datorită periodicităţii concomitente între şi r se poate scrie:

(3.18)

unde: n + nr = n (3.19)

n este număr cuantic principal, introdus de N. Bohr.

În câmpul forţelor centrale, momentul cinetic orbital p este constant, deci prin integrarea expresiei (3.16) rezultă:

(3.20.)

Folosind relaţiile dintre parametrii geometrici ai elipsei, se obţine:

(3.21)

unde este excentricitatea elipsei.

Luând în considerare condiţiile de cuantificare (3.16) şi (3.17) se obţine expresia energiei totale corespunzătoare stărilor staţionare:

(3.22)

Pag. 38

Din (3.19) rezultă că pătratul sumei a două numere întregi, este un număr întreg, deci relaţia (3.22) nu diferă de expresia energiei totale stabilită de Bohr, nu depinde de excentricitatea elipsei.

Rezultă că energia totală a electronului în mişcarea pe orbită eliptică depinde de un singur număr cuantic, n, ca şi în mişcarea pe orbita circulară deşi s-au folosit două condiţii de cuantificare.

Din relaţiile (3.19), (3.21) şi (3.22) se calculează elementele geometrice ale elipsei:

(3.23)

Semiaxa mare depinde de numărul cuantic principal, n:

(3.24)

Semiaxa mică depinde atât de numărul cuantic principal cât şi de cel azimutal.

Dacă în mecanica clasică, pentru o semiaxă mare, sunt posibile o infinitate de valori ale semiaxei mici, deci o infinitate de traiectorii eliptice cu aceeaşi energie, pentru atom, numărul traiectoriilor este limitat şi determinat prin condiţiile de cuantificare.

Dar b a deci n n.

Dacă n = n, orbita devine circulară, iar dacă n = 0 traiectoria electronului se reduce la o dreaptă care trece prin nucleu. Deci, n – număr întreg poate lua valorile 1, 2, …n.

Rezultă că pentru un anumit număr cuantic principal n, respectiv pentru o anumită valoare a semiaxei mari, sunt posibile „n” orbite distincte, de egală energie, din care (n - 1) elipse

cu excentricităţile , diferite şi un cerc (b = a).

Întrucât s-a arătat mai sus că n nu poate fi nul, rezultă că nici momentul cinetic orbital p

nu poate fi egal cu zero, fapt infirmat de experienţă. Această neconcordanţă l-a determinat pe Sommerfeld să introducă în locul numărului cuantic n , un alt număr, cuantic secundar, sau azimutal, l:

l = n - 1 (3.25)

l aparţine mulţimii

Cuantificarea momentului cinetic orbital devine:

Pl = l (3.26)

Pl este vector perpendicular pe planul elipsei în focar şi reprezintă axa de rotaţie a atomului.

Mecanica ondulatorie a corectat relaţia (3.26):

(3.27)

Pag. 39

Pentru a deosebi între ele orbitele degenerate se folosesc simboluri preluate din spectroscopie:

pentru: l = 0 1 2 3

simbol s p d f

(sherp) (principal) (difuz) (fundamental)

3.2.2.2. Cuantificarea în spaţiu. Număr cuantic magnetic. Dezvoltarea modelului lui Bohr de către Sommerfeld nu a putut explica în totalitate fenomenele care apar la excitarea atomilor în câmp magnetic (efectul Zeeman, 1895) sau în câmp electric exterior (efectul Stark, 1910), respectiv nu a putut explica multiplicarea, despicarea, liniilor spectrale obţinute în aceste condiţii. Cele două numere cuantice n şi l nu sunt suficiente, după cum insuficientă este şi tratarea mişcării electronului în câmpul coulombian al nucleului, pe traiectorie plană. O astfel de abordare rezolvă mişcarea într-o stare de energie dată, dar nu poate dovedi că în alte stări mişcarea se va efectua în acelaşi plan. A rezultat de aici ideea că starea atomului s-ar putea determina numai dacă se acceptă o mişcare în spaţiu a electronului, luând în considerare trei parametri, respectiv trei grade de libertate. Astfel se creează posibilitatea determinării atât a poziţiei electronului cât şi orientarea spaţială a orbitei în prezenţa unui câmp perturbator. Intervenţia celui de al treilea grad de libertate – orientarea orbitelor permise faţă de câmpul perturbator – explică suprimarea degenerării şi apariţia deci a unui număr mai mare de linii, care se îndepărtează cu atât mai mult între ele, cu cât intensitatea câmpului perturbator este mai mare.

Dar electronul în mişcarea sa pe orbită generează un curent circular echivalent cu un mic magnet (foiţă) al cărei moment magnetic orbital este:

(3.28)

unde: i este intensitatea curentului; S - suprafaţa foiţei; S = r2

sau:

(3.29)

(3.30)

0 - se numeşte cuantă elementară de magnetism atomic sau magnetonul Bohr - Procopiu.

Din relaţia (3.29) rezultă că orice cantitate de magnetism atomic este un multiplu întreg al cuantei elementare de magnetism.

Din relaţiile (3.28) şi (3.29) rezultă că momentul magnetic orbital l este un vector coliniar cu momentul cinetic orbital pl şi direct proporţional cu acesta:

(3.31)

Dacă se consideră electronul - în mişcare orbitală - sub acţiunea unui câmp magnetic exterior H, el se va orienta paralel cu direcţia câmpului. Dar electronul în mişcare având moment magnetic şi moment cinetic, va efectua o mişcare de precesie în jurul direcţiilor liniilor de forţă ale câmpului magnetic.

Pag. 40

Cei doi vectori şi se vor orienta în raport cu direcţia câmpului magnetic exterior H, sub un unghi (figura nr. 3.7).

a) b) c)

Fig. nr. 3.7. Orientarea vectorilor şi :

a – orientarea în câmp magnetic a momentului cinetic orbital ;

b – proiecţiile vectorului pe direcţia câmpului exterior perturbator;

c – orientarea orbitei eliptice în câmp magnetic exterior

Această orientare nu poate fi întâmplătoare ci cuantificată.

La cele două relaţii de cuantificare, valabile în planul orbitei (3.16) şi (3.17) se introduce a treia condiţie care fixează orientarea orbitei, respectiv a momentului cinetic orbital, , faţă de direcţia câmpului exterior perturbator.

Conform celei de a treia condiţii de cuantificare, din multitudinea de orbite posibile, sunt permise numai cele pentru care proiecţiile vectorului moment cinetic orbital p l pe direcţia câmpului magnetic perturbator H este un multiplu întreg m al constantei lui Planck:

(3.32)

unde: m este număr cuantic magnetic; - vectorul moment cinetic orbital.

Respectiv sunt permise acele orbite pentru care proiecţia momentului magnetic l pe direcţia H este un multiplu întreg al cuantei elementare de magnetism atomic, 0:

= 0 . cos = m0 (3.33)

Introducând în (3.32) valoarea momentului cinetic orbital din (3.26), aceasta devine:

(3.34)

După simplificare rezultă:

m = l cos (3.35)

sau:

cos =

Pag. 41

Dar cos variază între +0 şi –1, atunci m, număr întreg poate lua valori între –l ... 0 … +l, deci m (-l, +l)(Exemplu pentru l = 2, m = -2, -1, 0, 1, 2, deci 5 valori).

Numărul cuantic magnetic, m, determină orientarea în spaţiu a planului orbitei în prezenţa unui câmp exterior perturbator, indică numărul de orientări (orbite) posibile pentru un l dat, respectiv dintr-un subnivel energetic şi poate lua (2l + 1) valori.

În absenţa câmpului magnetic exterior, energia dar nu şi forma celor 2l + 1 orbite este aceeaşi, deci ele prezintă o degenerare de ordinul 2l + 1.

În câmp magnetic, degenerarea dispare, ceea ce explică scindarea liniilor spectrale emise de atomii excitaţi.

În cazul atomului introdus într-un câmp perturbator, pentru un n dat se produce o scindare a nivelului n, în n subniveluri caracterizate prin numărul cuantic secundar l (se suprimă degenerarea de ordinul n). Totodată, se scindează din punct de vedere energetic şi orbitele unui subnivel de l dat, în 2l + 1 orbite, în funcţie de valorile lui n (se suprimă degenerarea de ordinul 2l + 1 pentru fiecare subnivel l) (figura nr. 3.8).

Fig. nr. 3.8. Scindarea nivelelor şi subnivelelor la atomii multielectronici.

Numărul total de orbite dintr-un nivel n este:

(3.36)

3.2.2.3. Numărul cuantic de spin. Studiul structurii fine a spectrelor a arătat că numărul liniilor este mai mare decât cel indicat de numerele cuantice n şi l chiar în absenţa unui câmp magnetic sau electric perturbator. Fiecare linie spectrală este alcătuită din câte două linii foarte apropiate, deci, are structură de dublet. (Exemplu: dubletul sodiului la = 589 nm şi 589,6 nm). Această structură se poate explica, admiţând că electronul efectuează atât o mişcare de rotaţie în jurul nucleului, cât şi în jurul axei proprii numită mişcare de spin (S. Goudsmith şi G. Uhlenbeck, 1925).

Pag. 42

Mişcarea de spin conduce la generarea unui moment cinetic de spin - - care este un vector orientat în direcţia axei de autorotaţie a electronului.

Valorile vectorului ps sunt determinate de condiţia de cuantificare:

(3.37)

unde: s este număr cuantic de spin, sau conform mecanicii ondulatorii:

(3.38)

dar momentul cinetic orbital poate lua 2l + 1 valori, atunci şi momentul cinetic de spin poate lua 2 s + 1 valori (figura nr. 3.9).

Fig. nr. 3.9. Orientările posibile ale momentului cinetic de spin faţă de momentul cinetic orbital

Liniile spectrale sunt însă dubleţi, deci:

2 s + 1 = 2 (3.39)

atunci: s = corespunzător celor două sensuri posibile de autorotaţie a electronului „s”

este singurul număr cuantic din modelul Bohr – Sommerfeld cu valoare fracţionară fapt ce l-a condus pe W. Pauli (1925) la ideea cuplării de spin. Conform acestei idei, pe o orbită pot exista maximum doi electroni, care diferă prin spin. Generalizată ulterior în principiul excluziunii al lui Pauli se enunţă astfel:

Într-un atom nu pot exista electroni care să aibă valori identice pentru cele patru numere cuantice.

3.2.3. Importanţa şi deficienţele modelelor cuantice

Prin introducerea celor 4 numere cuantice n, l, m, s, s-au interpretat corect liniile spectrale din spectrul hidrogenului sau al atomilor hidrogenoizi cât şi scindările liniilor spectrale atomice, în prezenţa unui câmp perturbator (în absenţa unui câmp perturbator sunt suficiente 3 numere cuantice: n, l, s).

Teoria Bohr – Sommerfeld nu se poate aplica la atomii mai complicaţi (/chiar şi la He9, fiind verificată experimental numai pentru calculele energetice implicate în tranziţiile spectrale.

Astfel, deşi are o importanţă deosebită deoarece face tranziţia între mecanica clasică şi cuantică, această teorie apare ca o reuniune forţată de principii. Însăşi obiectivul major pe care şi l-a propus, de a stabili traiectoria şi energia electronului, este nerealizabil şi imposibil de determinat cu orice precizie.

3.3. MODELUL MECANIC CUANTIC AL ATOMULUI

Pag. 43

3.3.1. Dualitatea corpuscul – undă

Bazele mecanicii ondulatorii au fost puse de fizicianii Louis de Bröglie (1924), E. Schrödinger (1926), W. Heisenberg (1927) ş.a., care luând în considerare caracterul ondulatoriu al electronului au încercat o tratare matematică a acestuia.

Electronul - ca particulă – era cunoscut şi studiat de peste 50 ani. Rezultatele experienţei efectuate de fizicienii Davisson şi Germer în 1927 privind difracţia electronilor pe reţele cristaline au evidenţiat şi proprietăţi ondulatorii.

Cu câţiva ani înainte, în 1923, A.- Compton studiind difuzia razelor X prin electroni confirmă ipoteza emisă anterior de A. Einstein cu privire la posesia de către foton a unei anumite cantităţi de mişcare deci a unui caracter dualist: corpuscular şi ondulatoriu

În relaţia lui A. Einstein sunt incluse calitatea de undă a fotonului, prin şi cea de particulă, prin impulsul p.

Cu 3 ani înainte de experienţa efectuată de Davisson şi Germer, fizicianul Louis de Bröglie (1924) a publicat ipoteza sa asupra caracterului ondulatoriu al electronului, extinzând dualitatea corpuscul undă de la foton la electron, conform relaţiei:

(3.40)

unde: m este masa electronului; v - viteza electronului în mişcare.

Atribuirea caracterului dualist al electronului din corelarea datelor teoretice cu cele rezultate în urma experienţei efectuate de Davisson şi Germer, a impus o nouă concepţie despre structura atomilor.

Astfel, mecanica ondulatorie introduce în locul orbitelor permise, noţiunea de undă staţionară care se propagă după un contur închis, un cerc.

Condiţia de existenţă a undei staţionare impune ca ea să aibă aceleaşi valori la revenirea în punctul de plecare, lungimea unui cerc să fie un multiplu întreg al lungimii de undă (figura nr. 3.10).

2r = n (3.41)

Situaţie echivalentă cu a undelor staţionare ce se formează în corzile vibrante – limitate la capete.

Fig. nr. 3.10. Unda electronică staţionară

Existenţa undei staţionare impune pentru coarda vibrantă ca lungimea d a corzii să fie un

multiplu întreg n de , iar pentru unda de Bröglie, , deci:

sau (3.42)

Pag. 44

aceasta este de fapt prima condiţie de cuantificare impusă de Bohr ca postulat şi care astfel devine o consecinţă firească a mişcării ondulatorii a electronului.

3.3.2. Principiul incertitudinii al lui Heisenberg

W. Heisenberg (1927), folosind calculul matriceal a formulat principiul incertitudinii şi a arătat că mărimi cum sunt: rază, viteză, impuls, moment cinetic îşi pierd semnificaţia când sunt transpuse la scara atomică.

Pornind de la considerentul că mişcarea unui corp macroscopic este caracterizată dacă se cunoaşte coordonata de poziţie la un moment dat şi impulsul corpului în punctul respectiv, el a încercat să caracterizeze în acelaşi mod, electronul, presupunând măsurarea coordonatei poziţionale x, cu imprecizia de măsurare x şi în acelaşi timp măsurarea impulsului p cu imprecizia p.

Imprecizia totală este: x . p, produs care are dimensiunile unei acţiuni şi nu poate tinde spre zero, ci numai spre h, cuanta elementară de acţiune a electronului în atom:

x . p h (3.43)

Presupunând că s-ar putea determina coordonata de poziţie a electronului în atom şi s-ar putea deci stabili traiectoria cu eroarea x foarte mică (x 0) , atunci imprecizia în

determinarea impulsului , ar tinde spre şi în momentul următor electronul nu va

mai fi localizat. Sau dacă se presupune determinarea cu precizie mare a impulsului (p

0) atunci raportul tinde spre şi deci noţiunea de traiectorie nu mai are

semnificaţie pentru electronul din atom. Astfel, arată Heisenberg, este necesară introducerea unor prevederi de probabilitate privind localizarea electronului cu o oarecare incertitudine în spaţiul din jurul atomului.

Rezultă că este imposibil de determinat concomitent şi cu o precizie mare, o proprietate corpusculară ca: impulsul p, viteza v, (impulsul p = m . v) şi una ondulatorie cum este coordonata poziţională x, frecvenţa .

3.3.3. Ecuaţia lui Schrödinger

Caracterul ondulatoriu al mişcării electronilor a făcut posibil ca prin analogie cu corzile vibrante să se stabilească o ecuaţie a undei asociate electronului care să descrie cât mai exact comportarea acestuia în atom, legea sa de mişcare.

Este meritul fizicianului E. Schrödinger (1926) de a fi stabilit această ecuaţie a undei tridimensionale a electronului, în funcţie de coordonatele spaţiale (x, y, z), de energie totală E şi de energie potenţială Ep în ideea că pentru particulele subatomice, caracterul ondulatoriu devine mai important decât cel corpuscular.

Din mecanică se ştie că în cazul vibraţiilor, legea de mişcare este o ecuaţie diferenţială numită ecuaţia undelor. Pentru o mişcare ondulatorie, cum e vibraţia unei coarde întinse, fixată la capete ce se propagă cu elongaţia a, viteza v, în timpul t, după direcţia O x, ecuaţia este de forma:

(3.44)

Dar elongaţia poate fi scrisă sub forma:

a = f(x) . f(t) (3.45)

Pag. 45

iar ecuaţia (3.43) se poate rezolva prin separarea variabilelor. Pentru undele staţionare, funcţia de timp este de forma:

(3.46)

unde: A este amplitudinea mişcării staţionare a unei corzi fixate la capete, iar - frecvenţa vibraţiei.

Viteza v din relaţia (3.44) se poate exprima în funcţie de :

v = , iar = h/mv

Se efectuează pe rând derivatele expresiei (3.45), în raport cu coordonata de poziţie x şi apoi în raport cu timpul t, şi după înlocuirile corespunzătoare se obţine ecuaţia de mişcare de forma:

(3.47)

Relaţia (3.47) valabilă pentru undele care se propagă unidimensional, poate fi extinsă şi la undele care se propagă în spaţiul tridimensional, deci se trece de la f(x) la (x, y, z).

(3.48)

Forma simplificată introduce operatorul Laplace:

(3.49)

Ecuaţia (3.49) devine:

(3.50)

Dar pentru a stabili legea de mişcare a microparticulei va trebui folosită corelaţia dintre formula (3.40) şi mişcarea mecanică. Pentru aceasta se foloseşte legea conservării energiei sub forma:

Ec = Et- Ep sau

iar:

(3.51)

Înlocuind (3.51) în (3.48) se obţine ecuaţia undelor electronice tridimensionale, care descriu comportarea electronilor în prezenţa sau absenţa câmpurilor de forţă (Ep 0 şi respectiv Ep = 0).

(3.52)

Ecuaţia lui Schrödinger nu este de fapt dedusă, demonstrată ci ea este postulată ca valabilă, aşa cum legea lui Newton este postulată în mecanica clasică.

Pag. 46

Experienţa i-a demonstrat corectitudinea pentru fenomenele la care se referă. Deosebirea de ecuaţia undelor pare formală dacă ne referim la modul de construire al ecuaţiei şi este foarte mare dacă luăm în considerare faptul că elongaţia este o mărime reală iar poate fi o mărime complexă (ceea ce nu se observă la undele din mecanica clasică).

Funcţia de undă (x, y, z) ar semnifica amplitudinea undei electronice în orice punct al spaţiului din jurul nucleului.

Sensul fizic al funcţiei este greu de intuit, în schimb pătratul modulului 2 reprezintă probabilitatea P(x, y, z) de densitate electronică într-un punct de coordonate x, y, z (sau probabilitate de a găsi electronul într-o anumită regiune).

Dar funcţia de undă este o mărime complexă, pe lângă partea reală poate să conţină şi o parte imaginară, atunci:

2 = . (3.53)

unde este conjugata funcţiei:

Probabilitatea ca electronul să se afle într-un element de volum dV este:

(3.54)

Probabilitatea ca electronul să se afle la momentul t în volumul V este dată de relaţia:

(3.55)

Dacă se înmulţeşte densitatea de probabilitate cu sarcina electronului e se obţine densitatea de sarcină.

Rezultă din cele arătate că fenomenul ondulatoriu este o undă de probabilitate care indică numai modul de comportare al microparticulei, neavând în sine nici o semnificaţie fizică, aceasta fiind cuprinsă în 2.

Astfel, în mecanica ondulatorie, noţiunea de orbită, traiectorie este înlocuită cu cea de orbital, care exprimă probabilitatea de densitate electronică maximă, corespunzătoare domeniului din jurul nucleului în care existenţa electronului este cea mai probabilă.

Acest domeniu din jurul nucleului fără contur bine definit, care variază în fiecare moment privind distanţa nucleu – electron şi viteza de mişcare a electronului se numeşte orbital.

Rezolvarea ecuaţiei conduce la un număr infinit de soluţii. Dintre acestea au sens fizic numai acele soluţii pentru care este o funcţie univocă, continuă, mărginită în tot spaţiul considerat şi se anulează la infinit.

Conform teoriei ecuaţiilor diferenţiale de ordinul doi cu derivate parţiale, această condiţie este îndeplinită de soluţiile pentru care energia E are anumite valori, numite valori proprii, determinate de valori ale lui n = 1, 2, 3, … (figura nr. 3.11).

Prin această condiţie, fără nici un alt postulat, se cuantifică energia electronului, valorile proprii corespund conţinuturilor energetice ale stărilor permise în atomul lui Bohr. Astfel, ecuaţia Schrödinger corelează datele energetice ale electronului de coordonatele spaţiului din jurul nucleului, valorile corespunzătoare ale funcţiei numindu-se funcţii proprii.

Pag. 47

Fig. nr. 3.11. Distribuţia funcţiei

Funcţiile proprii ale ecuaţiei Schrödinger satisfac două condiţii:

1. condiţia de normare – care arată că probabilitatea existenţei electronului undeva în spaţiu între - şi + este maximă, adică devine certitudine, dacă este satisfăcută relaţia:

(3.56)

(în calculul probabilităţilor, certitudinea se exprimă prin P = 1).

2. condiţia de ortogonalitate - care arată că electronul nu se poate afla simultan în două stări energetice diferite i şi j, adică probabilitatea este nulă, dacă este satisfăcută relaţia:

(3.57)

3.3.4. Orbitali atomici

Din cele arătate, rezultă că în atomul de hidrogen, electronul se poate afla numai în anumite stări energetice, fiecare stare fiind descrisă de o funcţie n,l,m.

Pentru fiecare valoare a numărului cuantic principal se obţin n2 soluţii matematice ale ecuaţiei, deci n2 funcţii orbitale. Orbitalii atomici definesc fiecare câte o stare posibilă a electronului în atom, stare caracterizată printr-o anumită valoare a energiei (dată de valoarea lui n) printr-o anumită simetrie (forma orbitalului dată de l) şi o anumită orientare a momentului cinetic faţă de o direcţie (dată de m). Orbitalii atomici sunt deci regiuni din jurul nucleului cu energii, forme şi orientări definite prin funcţia n,l,m.

Constatăm deci că mecanica cuantică foloseşte pentru reprezentarea stărilor energetice în atomi numerele cuantice, întocmai ca teoria cuantică a lui Bohr. Semnificaţia acestora în principal este aceeaşi, ele reprezentând parametrii energetici de stare ai electronilor şi sunt rezultat al naturii ondulatorii ai electronului.

Astfel, pentru n = 1, se obţine o singură funcţie orbitală 100 sau 1s.

Pentru n = 2, se obţin 22 soluţii deci patru funcţii orbitale:

200, 210, 211, 21-1, sau 2s, 2pz, 2px, 2pz.

Pentru n = 3, se obţin 32 soluţii, deci 9 funcţii orbitale ş.a.m.d.

Pag. 48

În tabelul nr. 3.1 sunt redate funcţiile orbitalilor atomici în coordonate polare pentru primele două nivele.

Tabelul nr. 3.1. Funcţii proprii ale orbitalilor atomici (hidrogenoizi)

Numere cuanticeOrbital Funcţia proprie

n l m

1 0 0 1s

2

0 0 2s

1 0 2pz

1 1 2px

1 -1 2py

Interpretarea soluţiilor ecuaţiei lui Schrödinger îl ajută pe chimist să-şi imagineze un model fizic al atomului care să-i permită să reprezinte sistemele atomice cât mai aproape de realitate.

Pentru valoarea l = 0, orbitalii sunt 1s, 2s, 3s, … funcţiile de undă 100, 200, 300 au o distribuţie cu simetrie sferică în jurul nucleului, ce depinde numai de distanţa radială, nu şi de unghiuri (nu conţin funcţii trigonometrice ale unghiurilor sau ). Au valoare maximă pentru r = 0 şi se anulează la r = . Orbitalii 2s, 3s, 4s etc. se anulează şi pentru alte valori ale lui r, prezentând astfel suprafeţe nodale interne. Numărul acestor suprafeţe nodale este: n – l - 1.

Reprezentarea grafică a variaţiei funcţiilor de undă orbitală ns cu distanţa de nucleu (r), indică maxime la o anumită distanţă de nucleu şi anulare la distanţă mare.

Se observă din figura nr. 3.12 că funcţia 1s rămâne tot timpul pozitivă în timp ce

2sschimbă semnul la suprafaţa nodală internă când funcţia de undă se anulează.

Funcţia de undă 3s are două schimbări de semn, corespunzător celor două suprafeţe nodale interne.

Pentru l = 1, în expresia funcţiilor proprii apar funcţii trigonometrice, care pentru anumite valori ale unghiurilor sau se anulează, determinând suprafeţe nodale exterioare. Anularea apare în dreptul nucleului, din care cauză orbitalii np au o simetrie bilobară, orbitalii p apărând în învelişul electronic de la valoarea n = 2.

Pag. 49

Fig. nr. 3.12. Reprezentarea funcţiei de undă radiale n,s a hidrogenului.

Orbitalii np au în funcţie de cele 3 valori ale numărului cuantic magnetic m (1, 0, -1) orientări şi semne diferite pentru lobi, ceea ce corespunde schimbării fazei de vibrare a undei electronice.

Când n = 2, lobii orbitalilor p conţin suprafaţa nodală interioară ca şi orbitalii s, numărul acestora fiind: n – l - 1 = n – 2.

Astfel, orbitalii 3p au o singură suprafaţă nodală interioară, orbitalii 4p au două suprafeţe nodale interioare etc.

În mod analog, se poate reprezenta grafic, variaţia părţii radiale a funcţiilor np, cu distanţa de la nucleu, în direcţia în care ele sunt maxime (figura nr. 3.13).

Fig. nr. 3.13. Reprezentarea funcţiilor de undă radiale 2p şi 3p ale hidrogenului.

Dar forma funcţiilor de undă orbitale se poate obţine şi prin reprezentarea grafică a părţilor lor unghiulare. Astfel, reprezentarea grafică a cosinusului unghiului în coordonate polare este o combinare de două cercuri orientate pe axa Oz, de o parte şi de alta a planului xy.

Orbitalii npz se prezintă astfel sub forma unor haltere extinse de-a lungul axei Oz iar cei npx şi npy de aceeaşi formă dar orientaţi de-a lungul axelor Ox şi Oy.

Dar conform celor menţionate anterior, referitor la faptul că funcţia de undă nu are în sine nici o semnificaţie fizică ci 2 reprezintă probabilitatea de a găsi electronul într-un punct din spaţiu şi că unda asociată electronului este o undă de probabilitate, iar electronul este o particulă a cărei mişcare are caracter ondulatoriu, în locul funcţiei de undă şi se foloseşte 2, sau mai exact funcţia de distribuţie 4r22. Aceasta din urmă reprezintă probabilitatea de a găsi electronul într-un strat sferic de grosime r.

Pag. 50

a) b)

Fig. nr. 3.14. Curbele de distribuţie radiale ale orbitalelor 1s,2s şi 3s )a= 2p şi 3p (b) ale hidrogenului.

Reprezentând grafic funcţiile de distribuţie radială ale stărilor s şi p ale hidrogenului (figura nr. 3.14) rezultă că funcţiile de distribuţie 4r2nlm2 prezintă unul sau mai multe maxime, la anumite distanţe de nucleu, în zonele cu densitate maximă de sarcină şi care se pot asemui cu orbitele permise din teoria lui Bohr.

Astfel, în starea 1s a atomului de hidrogen, sarcina electronului înconjoară nucleul atomic cu un înveliş sferic, corespunzător cu densitatea maximă de sarcină, momentul cantităţii de mişcare al orbitei este egal cu zero, la o distanţă de nucleu r = 0,053 nm egală cu raza primei orbite permise din teoria lui Bohr. Dar, conform acestei teorii, electronul nu se poate afla decât pe o orbită plană, circulară, pe care momentul cinetic orbital ar trebui să fie diferit de zero. Semnul funcţiei 1s este acelaşi în tot spaţiul din jurul nucleului.

În starea 2s, densitatea de sarcină are de asemenea simetria sferică, dar prezintă două maxime, primul mai slab, apropiat de nucleu şi altul mai mare, la distanţa de nucleu corespunzătoare celei de a doua orbite permise a lui Bohr.

Funcţia 2s are un semn în regiunea primului maxim şi un alt semn în cel de al doilea maxim ş.a.m.d. (figura nr. 3.15).

Pag. 51

a)b)

Fig. nr. 3.15. Reprezentarea funcţiei de undă 1s (a) şi 2s (b), a densităţii de probabilitate

În ce priveşte orbitalii p, cei doi lobi ai fiecărui orbital au semne diferite (semnul + la lobul orientat în sensul axei de referinţă) (figura nr. 3.16).

Pentru l = 2, funcţiile proprii conţin un produs de funcţii trigonometrice, fiecare din ele anulându-se pentru o anumită valoare a unghiului sau , apărând astfel câte două planuri nodale exterioare, perpendiculare între ele, pentru fiecare orbital de tip d (figura 3.17).

Fig. nr. 3.16. Reprezentarea formei şi orientării orbitalilor 2p şi 3p

a)

b)

Pag. 52

Fig. nr. 3.17. a) reprezentarea formei şi orientării orbitalilor 3d; b) reprezentarea orbitalului 4fx,y,z

Funcţia de undă îşi schimbă semnul pentru fiecare lob şi întrucât numărul cuantic magnetic ia 2l + 1 = 5 valori (-2, -1, 0, 1, 2) sunt 5 orbitali de tip d.

Orbitalii d apar începând cu nivelul n = 3 (orbitalul dz2 rezultă din contopirea dz2 – x

2 şi dz2 –

y2) şi au planuri nodale conice.

Orbitalii d din nivelele n = 3 au n – l – 1 = n – 3 suprafeţe nodale interioare.

Din cei 5 orbitali d, trei sunt orientaţi după bisectoarele unghiurilor formate de axele de coordonate, iar doi (dz

2 – x

2 şi dz2) au lobii orientaţi în sensul axelor de coordonate.

Pentru l = 3, funcţia de undă conţine un produs de trei funcţii trigonometrice, care se pot anula de trei ori, ceea ce justifică existenţa a 3 planuri nodale, respectiv 8 lobi pentru fiecare orbital f.

Orbitalii f sunt în număr de 7, după valorile lui m = 2l + 1 = 2 x 3 + 1 = 7 (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) şi apar începând cu nivelul n = 4 (figura 3.17, b).

Menţionăm că ecuaţia Schrödinger se poate rezolva exact pentru atomul de hidrogen şi ioni hidrogenoizi, He+, Li2+.

3.3.5. Atomi polielectronici. Principii şi reguli de construcţie a învelişului de electroni.

Pentru atomii mai grei, sunt valabile ecuaţii de undă similare cu ecuaţia Schrödinger, dar integrarea lor este deosebit de dificilă. În aceste cazuri, este posibilă aplicarea unor metode de aproximare care conduc la soluţii aproximative ce confirmă existenţa unor orbitali analogi cu cei din atomul de hidrogen. Dar dacă la atomul de hidrogen, orbitalii cu acelaşi număr cuantic principal n au energie egală, la atomii multielectronici, orbitalii s, p, d, f, corespunzător aceluiaşi număr cuantic n deci aceluiaşi nivel, diferă prin energiile lor.

Pag. 53

Cauza acestei diferenţieri energetice a orbitalilor dintr-un nivel, este ecranarea pe care o exercită electronii nivelurilor interioare. Astfel, în funcţie de constanta de ecranare, energia orbitalilor unui nivel creşte în ordinea ns np nd nf.

Rezultă că sunt posibile abateri de la succesiunea energetică în ordinea valorilor crescătoare ale lui n, aspect ce trebuie luat în considerare la construcţia învelişului electronic al atomilor cu număr cuantic mare.

3.3.5.1. Principiul ocupării succesive cu electroni a orbitalilor. Structura electronică a unui atom diferă de cea a atomului precedent printr-o sarcină pozitivă adăugată la nucleu şi printr-un electron adăugat în învelişul electronic. Acest ultim electron se numeşte electron distinctiv.

Principiul ocupării cu electroni a orbitalilor este cel al minimei energii: „orbitalii atomilor multielectronici se populează succesiv cu electroni începând cu orbitalii de joasă energie şi apoi ceilalţi în ordine crescătoare a energiei lor”.

Se constată astfel că ordinea energetică a orbitalilor atomici conform valorilor crescătoare a numerelor n şi l: 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f … se regăseşte la atomii a căror orbitali sunt deja ocupaţi cu numărul de electroni, corespunzător lui Z.

În cursul completării cu electroni, ordinea ocupării orbitalilor este următoarea: 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d … La orbitalii din nivelurile energetice superioare se constată o apropiere a acestora, cum e în cazul orbitalilor 4s şi 3d, 5s şi 4d ş.a. Astfel, respectându-se principiul ocupării în ordine crescătoare a energiei, la atomii unor elemente rămân orbitali din niveluri anterioare, vacanţi sau în curs de ocupare (figura nr. 3.18).

a) b)

Fig. nr. 3.18. Diferenţierea energetică a orbitalilor a) atomul de H; b) atomul cu mai mulţi electroni.

Astfel, pentru a stabili succesiunea completării cu electroni, repartiţia electronilor în subniveluri şi orbitali, s-au enunţat unele reguli, care sunt verificate experimental.

3.3.5.2. Principiul lui Pauli precizează că: „într-un atom nu pot exista doi electroni cu aceleaşi valori pentru numerele cuantice n, l, m, s, electronii diferă cel puţin printr-un număr cuantic”.

Ca urmare, într-un orbital pot fi cel mult doi electroni cu spin opus (electroni cuplaţi), pe un subnivel maxim 2(2l + 1) electroni iar pe un nivel 2n2 electroni.

Pag. 54

Aplicarea în construcţia învelişului de electroni numai a acestui principiu nu e suficientă, fiind necesar a se lua în considerare şi alte reguli.

3.3.5.3. Regula sumei (n + l) minim. Regula Klecicovschi. Ocuparea succesivă a orbitalilor respectă riguros ordinea crescătoare a energiilor, iar aceasta este dată de ordinea crescătoare a sumei (n + l) a diferiţilor orbitali. La valori egale a sumei pentru doi sau mai mulţi orbitali, se completează mai întâi orbitalul cu n minim.

Succesiune orbitalilor conform sumei (n + l) este ilustrată în figura nr. 3.19.

Fig. nr. 3.19. Succesiunea ocupării orbitalilor conform regulii (n + 1) minim.

S-au constatat două abateri de la regulă la elementele lantan (Z = 57) şi actiniu (Z = 89). Înainte de ocuparea subnivelului 4f (respectiv 5f), electronul distinctiv al acestor atomi se plasează în 5d (respectiv 6d), şi numai după aceea începe ocuparea orbitalilor 4f (respectiv 5f).

Succesiunea electronilor nu respectă însă totdeauna regula (n + l). Totuşi, la elementele grele după popularea cu electroni, orbitalii se rearanjează urmărind ordinea corectă.

3.3.5.4. Regula multiplicităţii maxime sau regula lui Hund. Orbitalii de egală energie (dintr-un subnivel) se ocupă succesiv cu câte un electron de spin paralelşi numai după semiocuparea lor urmează completarea cu al doilea electron de spin opus.

Această regulă se aplică la subnivelele ce conţin mai mulţi orbitali de egală energie (l 0).

Starea de semiocupare a orbitalilor de acelaşi tip reprezintă o configuraţie electronică stabilă. Şi mai mare stabilitate prezintă însă, starea de ocupare complexă cu electroni a orbitalilor de acelaşi tip (o afirmaţie argumentată de valorile mari ale potenţialului de ionizare ale electronilor ce se află în situaţie de semiocupare sau ocupare completă).

Aceasta explică unele abateri în ocuparea orbitalilor la atomii unor elemente, ce preferă starea de semiocupare (n - 1)d5ns1 sau de ocupare completă (n - 1)d10ns1 în locul celei normale: (n - 1)d4ns2 (Ex. 24Cr) sau (n - 1)d9ns2 (Ex. 29Cu).

3.3.5.5. Efectul de ecranare. Regulile lui Slater. La atomii polielectronici este foarte dificil de a realiza descrierea matematică riguroasă, datorită faptului că fiecare electron se află în acelaşi timp sub influenţa forţei de atracţie a propriului nucleu şi sub influenţa respingerii electrostatice a tuturor celorlalţi electroni situaţi între electronul considerat şi nucleu.

Pag. 55

S-au propus diferite metode de aproximare, dintre care metoda efectului de ecranare – produs de electronii aflaţi între nucleu şi electronul considerat – este mult mai intuitivă.

J. C: Slater evaluează acest efect prin constanta de ecranare care acţionează asupra atracţiei electrostatice dintre nucleu şi electron, micşorând-o. Ca urmare, un electron va fi atras de nucleu printr-o sarcină nucleară reală numită sarcină nucleară efectivă Zef:

Zef = Z - (3.58)

Valoarea constantei de ecranare se calculează conform regulilor empirice formulate de Slater:

electronii se clasifică în următoarele grupe, din punct de vedere al capacităţii de ecranare: 1s 2s 2p, 3s 3p, 4s 4p, 4d, 4f, 5s 5p, …;

electronii cu număr cuantic principal mai mare decât electronul considerat (situat în subnivele exterioare electronului considerat) se neglijează în calculul constantei;

fiecare electron situat în acelaşi grup cu electronul considerat, contribuie la ecranare cu coeficientul 0,35. Fac excepţie electronii din grupul de ecranare 1s care se ecranează unul pe celălalt cu coeficientul 0,30;

electronii s sau p sunt ecranaţi de fiecare electron dintr-un strat precedent (n - 1) cu coeficientul 0,85, şi de fiecare electron din straturile profunde cu coeficientul 1;

electronii d sau f sunt ecranaţi de fiecare electron din grupurile de ecranare precedente cu coeficientul 1.

3.3.5.6. Configuraţia electronică a atomilor. Cunoscând semnificaţia numerelor cuantice şi principiile de construcţie a învelişului de electroni se poate reprezenta configuraţia electronică a tuturor atomilor elementelor sau formula electronică.

Formula electronică conţine în mod succesiv repartiţia electronilor în niveluri, indicate prin valorile lui n(1, 2, …), şi subniveluri, indicate prin simbolurile s, p, d, fiecare având ca exponent numărul de electroni într-un subnivel (substrat).