Cap 1234

8/4/2019 Cap 1234

1/89

ALGEBRA LINIARA, GEOMETRIEANALITICA SI GEOMETRIE

DIFERENTIALA

Ion Vladimirescu Florian Munteanu

Universitatea din Craiova, ROMNIA

8/4/2019 Cap 1234

2/89

2

8/4/2019 Cap 1234

3/89

Cuprins

I ALGEBR A LINIAR A 1

1 Spatii vectoriale 3

1.1 Notiunea de spatiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Liniar dependenta. Sistem de generatori . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Coordonatele unui vector relativ la o baza . . . . . . . . . . . . . 101.5 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Aplicatii liniare 23

2.1 Notiunea de aplicatie liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Aplicatii liniare injective, surjective si bijective . . . . . . . . . . 252.3 Nucleu si imagine pentru o aplicatie liniara . . . . . . . . . . . . 262.4 Spatii vectoriale izomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Matricea unei aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Subspatii invariante fata de un endomorsm . . . . . . . . . . . . 342.7 Valori proprii si vectori proprii pentru un endomorsm . . . . . . 352.8 Endomorsme diagonalizabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Forme biliniare. Forme patratice 51

3.1 Notiunea de forma biliniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Notiunea de forma patratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Metoda lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Metoda lui Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 Forme patratice denite pe spatii vectoriale reale . . . . . . . . . 613.6 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Spatii euclidiene 67

4.1 Notiunea de spatiu vectorial euclidian . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Inegalitatea lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 Baze ortonormate. Procedeul Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . 704.4 Complementul ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1

8/4/2019 Cap 1234

4/89

2 CUPRINS

4.5 Operatori simetrici: denitie, proprietati . . . . . . . . . . . . . . 744.6 Metoda transformarilor ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8/4/2019 Cap 1234

5/89

Prefata

Acest curs este destinat n primul rnd studentilor din anul I, de la Facultateade Automatica, Calculatoare si Electronica a Universitatii din Craiova care auprevazut n planul de nvatamnt disciplina fundamentala obligatorie "Algebraliniara, geometrie analitica si geometrie diferentiala", n semestrul I, anul I. Deasemenea, cursul este util studentilor din primul an de studiu al facultatilorcu prol tehnic, economic, matematica-informatica, zica, chimie, agronomie,horticultura, precum si tuturor celor care doresc sa nvete si sa aprofundezecunostinte teoretice si practice de algebra liniara, geometrie analitica si geome-trie diferentiala a curbelor si suprafetelor.

Lucrarea de fata este rodul colaborarii deosebite dintre cei doi autori dinultimii 10 ani.

Cartea are trei parti: Algebra liniara, Geometrie analitica si Geometrie difer-entiala. Prima parte se compune din capitolele: 1. Spatii vectoriale; 2. Aplicatiiliniare; 3. Forme biliniare. Forme patratice; 4. Spatii euclidiene. Partea a douaeste alcatuita din capitolele: 5. Vectori liberi; 6. Dreapta si planul n spatiu; 7.Conice si cuadrice. A treia parte este formata din capitolele: 8. Curbe n plan

si n spatiu; 9. Suprafete.Notiunile teoretice sunt prezentate foarte clar si speram, pe ntelesul tuturorstudentilor, ind nsotite de foarte multe exemple si exercitii rezolvate complet.n plus, pentru o mai buna consolidare a notiunilor, la sfrsitul ecarui capitoleste lasat spre rezolvare cte un set de probleme. Pentru cititorul care vreasa parcurga si sa nteleaga continutul cartii sunt necesare notiuni elementarede matematica din anii de liceu, cunoscute la nivel cel putin satisfacator, darmai ales notiunile de algebra din clasa a XI-a (matrici, determinanti, sistemede ecuatii liniare). De asemenea, mai ales pentru ultima parte a cursului,este nevoie de cunoasterea unor notiuni fundamentale ale analizei matemat-ice (derivate partiale, teorema functiilor implicite) si a unor notiuni elementarede topologie (multime deschisa, vecinatate a unui punct).

Autorii

i

8/4/2019 Cap 1234

6/89

ii CUPRINS

8/4/2019 Cap 1234

7/89

Partea I

ALGEBR A LINIAR A

1

8/4/2019 Cap 1234

8/89

8/4/2019 Cap 1234

9/89

Capitolul 1

Spatii vectoriale

1.1 Notiunea de spatiu vectorial

Fie V o multime nevida, ale carei elemente le vom nota cu a, b, c, . . . si Kun corp comutativ (zis si cmp) cu elementele notate , , , ... (exceptndzeroul si unitatea corpului pe care le vom nota cu 0, respectiv 1). De asemenea,presupunem ca pe multimea V este denita relatia de egalitate a elementelorsale.

Denitia 1.1.1 Spunem ca pe multimea V avem o structura despatiu vecto-rial (liniar) peste corpul K daca V este dotata cu doua legi de compozitie:

I) O lege de compozitie interna+ : VV ! V, numitaadunare, n raportcu care V are structura de grup.

II) O lege de compozitie externa s : K V ! V, numita nmultire cuscalari, care satisface urmatoarele axiome:i)

a + b

= a + b,

ii) ( + ) a = a + a,iii) () a = (a),iv) 1a,

oricare ar a, b 2 V si , 2 K.

Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpuluise numesc scalari. Elementul neutru al grupului (V; +) se numeste vectorulnul (notat 0) al spatiului vectorial V.

Un spatiu vectorial peste corpul numerelor reale R (respectiv complexe C)se numeste spatiu vectorial real (respectiv complex).

Exemplul 1.1.1 Multimea Kn = f(x1; x2; : : : ; xn)jxi 2 K; i = 1; : : : ; ng,n 1, are structura de spatiu vectorial peste corpul comutativ K, n raportcu operatiile de adunare, denita prin

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn);

3

8/4/2019 Cap 1234

10/89

4 CAPITOLUL 1. SPATII VECTORIALE

oricare ar x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 Knsi nmultire cu scalari din K, denita prin

x = (x1; x2; : : : ; xn);

oricare ar 2 K si x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 Kn.Spatiul vectorial (Kn; +; s) denit aici se numeste spatiul aritmetic. n

acest spatiu vectorul nul este n-uplul 0 = ( 0; 0; : : : ; 0), iar opusul vectoruluix = (x1; x2; : : : ; xn) este vectorulx = (x1; x2; : : : ; xn).

n particular, K este spatiu vectorial peste K, fata de operatiile de corp.

Exemplul 1.1.2 Fie I o multime nevida si K un corp comutativ. MultimeaKI = ffjf : I ! K functieg are structura de spatiu vectorial pesteK, n raportcu operatiile de adunare a functiilor si nmultirea functiilor cu scalari din Kdenite astfel:

- oricare ar f, g2

KI denim functiaf+g prin(f+g)(x)def= f(x)+g(x),

pentru orice x 2 I;-oricare ar 2 K, f 2 KI denim functia f prin (f)(x) def= f(x),

pentru orice x 2 I.n particular, daca I = f1; : : : ; mg si J = f1; : : : ; ng, atunci multimea

KIJ, adica multimea matricilor cu elemente dinK, avndm linii sin coloane(multime notata prin Mm;n(K)) are structura de spatiu vectorial fata de oper-atiile obisnuite de adunare a matricelor si nmultirea matricilor cu scalari dinK.

Exemplul 1.1.3 Multimea numerelor complexe are structura de spatiu vector-ial peste corpul numerelor reale n raport cu operatiile de adunare a numerelorcomplexe si nmultire a numerelor complexe cu numere reale.

Exemplul 1.1.4 Multimea polinoamelor de o nedeterminata, cu coecienti dinK, K[X], are o structura de spatiu vectorial peste K, n raport cu adunareapolinoamelor si nmultirea polinoamelor cu scalari din K. La fel si multimeapolinoamelor de o nedeterminata, cu coecienti dinK de grad cel multn, Kn[X],este spatiu vectorial peste K.

Exemplul 1.1.5 Daca V este spatiu vectorial peste K, atunci V este spatiuvectorial peste orice subcorp K0 al luiK (K0 K se numestesubcorp al luiKdaca K0 mpreuna cu operatiile de corp de pe K este tot corp). n particular,C este spatiu vectorial pesteR si pesteQ. R este spatiu vectorial pesteQ.

Propozitia 1.1.1 Fie V un spatiu vectorial peste K. Atunci, avem:a) x + y = y + x, oricare ar x, y 2 V;b) Daca 2 K si x 2 V, atunci x = 0 daca si numai daca = 0 saux = 0;c) Daca 2 K si x 2 V, atunci() x = (x) = (x).

Demonstratie. a) Egalitatile(1+1)(x +y) = (1+1)x+(1+1)y = x+x +y + ysi (1 + 1)(x + y) = 1(x + y) + 1(x + y) = x + y + x + y, adevarate pentru oricex, y 2 V implica x + x + y + y = x + y + x + y, adica x + y = y + x.

8/4/2019 Cap 1234

11/89

1.2. LINIAR DEPENDENTA. SISTEM DE GENERATORI 5

b) Daca = 0 avem x = 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, pentru orice x 2 V.Atunci 0x = 0, pentru orice x

2V. Daca x = 0, atunci avem x = 0 =

(0 + 0) = 0 + 0, oricare ar 2 K. Deci, 0 = 0.Reciproc, aratam ca dacax = 0 atunci = 0 saux = 0. ntr-adevar, daca

avem 6= 0, atunci 1(x) = 10 = 0 (tinnd cont de cele de mai sus) si1(x) = (1)x) = 1x = x, de unde rezulta ca x = 0. Iar daca = 0,atunci e clar ca x = 0.

c) Mai nti, din faptul ca x + (1)x = (1 + (1))x = 0x = 0, rezulta cax = (1)x.

Acum, pentru orice 2 K six 2 V avem() x = ((1)) x = ((1)) x =((1) x) = (x) si () x = ((1)) x = (1)(x) = (x).

Corolarul 1.1.1 i) Daca 2 Kn f0g si x, y 2 V, atunci x = y daca sinumai daca x = y.

ii) Daca , 2 K, 6= atunci x = x daca si numai daca x = 0.n continuare, cu exceptia situatiilor n care se precizeaza altceva, prin corpul

comutativ K vom ntelege ca este vorba despre corpul numerelor reale R saucorpul numerelor complexe C.

1.2 Liniar dependenta. Sistem de generatori

Fie V un spatiu vectorial peste K si S= faiji 2 Ig V, unde I este o multimeoarecare de indici.

Denitia 1.2.1 Spunem ca vectorul x este o combinatie liniara de vectori

din S daca exista scalarii i 2 K, i 2 I, astfel nct x = Xi2I

iai , unde

multimeafi 2 Iji 6= 0g este nita.

n particular, vectorul x este o combinatie liniara de vectorii a1, a2, . . . ,

an 2 V daca exista scalarii 1, 2, : : :, n 2 K astfel nct x =nX

i=1

iai :

De exemplu, vectorul nul este o combinatie liniara de orice vectori din S,oricare ar S V.

Denitia 1.2.2 Multimea L(S) a tuturor combinatiilor liniare de vectori dinSse numeste acoperirea liniara (sau anvelopa liniara) a luiS.

n particular, daca S= fa1; a2; : : : ; ang, atunci

L(S) = L(a1; a2; : : : ; an) =(

nXi=1

iai1; 2; : : : ; n 2 K) :

8/4/2019 Cap 1234

12/89


Exemplul 1.2.1 n spatiul aritmeticR2, se considera vectorii a1 = (1; 1) sia2 = (2; 1). Atunci acoperirea liniara a sistemului

fa1; a2

geste

L(a1; a2) = f1a1 + 2a2j1; 2 2 Rg = f(1 + 22; 1 + 2)j1; 2 2 Rg:

Vectorul x = (2; 2) 2 R2 se scrie ca o combinatie liniara de vectorii a1; a2astfel:

x = 23

a1 +4

3a2:

Propozitia 1.2.1 Daca b1; b2; : : : ; bm 2 L(a1; a2; : : : ; an), atunciL(b1; b2; : : : ; bm) L(a1; a2; : : : ; an).

Demonstratie. Se tine cont de faptul ca pentru orice j = 1; : : : ; m avem

bj =

nXi=1

ij ai, unde ij 2 K, 1 j m, 1 i n.

Propozitia 1.2.2 Daca a 2 L(a1; a2; : : : ; an), atunciL(a1; a2; : : : ; an) = L(a; a1; a2; : : : ; an).n particular, L(a1; a2; : : : ; an) = L(0; a1; a2; : : : ; an).

Denitia 1.2.3 Sistemul nit de vectori fa1; a2; : : : ; ang se numeste liniardependent daca exista scalarii 1; 2; : : : ; n 2 K, nu toti nuli, astfel nct1a1 +

2a2 + + nan = 0. Se mai spune ca vectorii a1; a2; : : : ; an suntliniar dependenti.

Daca vectorii a1; a2; : : : ; an nu sunt liniar dependenti, atunci spunem ca ei

sunt liniar independenti (sau spunem ca sistemul fa1; a2; : : : ; ang V esteliniar independent). Altfel spus, vectorii a1; a2; : : : ; an sunt liniar independentidaca egalitatea 1a1 + 2a2 + + nan = 0 are loc numai pentru 1 = 2 = = n = 0.

Exemplul 1.2.2 1. Vectorii e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1) dinspatiul aritmeticR3 sunt liniar independenti. ntr-adevar, din 1e1 + 2e2 +3e3 = 0 rezulta (1; 2; 3) = (0; 0; 0) , adica 1 = 2 = 3 = 0.

2. Vectoriia1 = (1; 1; 2), a2 = (2; 1; 1), a3 = (1; 2; 1) din spatiul aritmeticR3 sunt liniar dependenti deoarece a1 a2 + a3 = 0, adica exista o combinatieliniara nula de acesti vectori, n care nu toti scalarii sunt nuli.

Denitia 1.2.4 Sistemul arbitrar S= faiji 2 Ig de vectori din V se numesteliniar dependent daca exista I1 I, nita, astfel ca subsistemul nit S1 =faiji 2 I1g sa e liniar dependent. n caz contrar, sistemul Sse numeste liniarindependent.

Exemplul 1.2.3 FieR[X] spatiul vectorial real al polinoamelor de o nedeter-minata cu coecienti reali. SistemulS= fXiji 2Ng este liniar independent.

8/4/2019 Cap 1234

13/89

1.3. BAZA SI DIMENSIUNE 7

Propozitia 1.2.3 i) Sistemul fag V este liniar independent daca si numaidaca a

6= 0.

ii) Un sistem de vectori ai unui spatiu vectorial care contine vectorul nuleste liniar dependent.

iii) Orice sistem de vectori care contine un sistem de vectori liniari depen-denti este liniar dependent.

iv) Orice sistem de vectori care este continut ntr-un sistem liniar indepen-dent este liniar independent.

Propozitia 1.2.4 Vectorii a1; a2; : : : ; an 2 V sunt liniar dependenti daca sinumai daca cel putin unul dintre ei se scrie ca o combinatie liniara a celorlalti.

Demonstratie. Presupunem ca vectorii a1; a2; : : : ; an sunt liniar dependenti.Atunci, exista scalarii 1, ..., n 2 K, nu toti nuli, astfel ca 1a1 + 2a2 + +nan = 0. Daca, de pilda,

i

6= 0, atunci ai =

n

Pj=1; j6=i(j (i)1)aj .Reciproc, daca ai =

nPj=1; j6=i

j aj, atunci 1a1 + + i1ai1 + (1)ai +i+1ai+1 + + nan = 0, adica a1; a2; : : : ; an sunt liniar dependenti (deoareceexista o combinatie liniara nula de a1; a2; : : : ; an n care nu toti scalarii suntnuli).

Denitia 1.2.5 Spunem ca sistemul S de vectori din V este un sistem degeneratori pentru V daca orice vector x 2 V se scrie ca o combinatie liniarade vectori dinS(cu alte cuvinte, daca V = L(S)).

n cazul particular S = fa1; a2; : : : ; ang spunem ca vectorii a1; a2; : : : ; angenereaza spatiul vectorial V, adica V = L(a1; a2; : : : ; an).

Observatia 1.2.1 i) Orice spatiu vectorial V poseda cel putin un sistem degeneratori, de exemplu chiar V.ii) Daca V = L(S) siS S0 atunci V = L(S0).

Exemplul 1.2.4 Vectorii a1 = (1; 1), a2 = (2; 1) genereaza spatiul vectorialaritmeticR2, deoarece oricare ar x = (x1; x2) 2 R2 avem x = 1a1 + 2a2,unde 1 = x

12x23 si

1 = x1+x2

3 .

Uneori vom folosi conventia lui Einstein (sau regula indicilor muti). Astfel,

n loc denX

i=1

iai vom scrie iai, 1 i n sau n loc de

Xi2I

iai vom scrie iai,

i 2 I. Atunci cnd se subntelege multimea valorilor pe care le ia indicele desumare i vom scrie simplu iai.

1.3 Baza si dimensiune

Propozitia 1.3.1 Fie a1, a2, ..., an vectori ai spatiului vectorial V si b1, b2,...,bm 2 L(a1; a2; : : : ; an) vectori liniar independenti. Atunci, m n.

8/4/2019 Cap 1234

14/89


Demonstratie. Presupunem prin absurd ca m > n. Deoarece b1, b2, ...,bm 2L(a

1; a

2; : : : ; a

n), rezult

a c

a oricare ar i = 1; : : : ; m, avem b

i=

n

Pj=1ji aj .Consideram sistemul de n ecuatii liniare si omogene, cu necunoscutele x1, ...,xm, 8>>>:

11x1 + 12x

2 + + 1mxm = 021x

1 + 22x2 + + 2mxm = 0

:::::::::::::::::::::::::::::::::n1x

1 + n2x2 + + nmxm = 0

Din presupunerea ca m > n rezulta ca acest sistem are si solutii nebanale(deoarece rangul matricii sistemului este mai mic strict dect num arul de ne-

cunoscute). Daca (1; : : : ; m) este o astfel de solutie nebanala, atuncimP

i=1ibi =

mPi=1 i nPj=1ji aj! = nPj=1 mPi=1ji i aj = nPj=1 0aj = 0. Contradictie cu liniarindependenta vectorilor b1; b2; : : : ; bm. Deci, presupunerea facuta este falsa siastfel avem m n.

Corolarul 1.3.1 Daca a1; a2; : : : ; an 2 V, iar b1, b2, ...,bm 2 L(a1; a2; : : : ; an)cu m > n, atunci b1; b2; : : : ; bm sunt liniar dependenti.

Denitia 1.3.1 SistemulB de vectori din spatiul vectorial V se numeste bazapentru V daca este liniar independent si sistem de generatori pentru V.

Exemplul 1.3.1 1. Vectorii e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1) din

spatiul aritmeticR3

constituie o baza pentru acest spatiu vectorial. De aseme-nea, sistemul B = fe1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1)geste o baza pentru spatiul aritmetic Kn, numita baza canonica (sau naturalasau standard) a lui Kn.

2. SistemulB = f1; X ; X 2g constituie o baza pentru spatiul vectorial al poli-noamelor de o nedeterminata, cu coecienti reali, de grad cel mult 2, R2[X], iarB = f1; X ; X 2; : : : ; X n; : : :g este o baza pentru spatiul vectorial al polinoamelorde o nedeterminata, cu coecienti reali, R[X].

3. Vectorii Eij 2 Mm;n(K) , 1 i m, 1 j n, unde

Eij (k; l) =

0; daca (i; j) 6= (k; l)1; daca (i; j) = (k; l)

;

oricare ar k = 1; : : : ; m, l = 1; : : : ; n, constituie o baza pentru spatiulvectorial Mm;n(K) al matricilor cu elemente din K, avndm linii sin coloane.

Teorema 1.3.1 (de existenta a bazei) Orice spatiu vectorial nenul (care nuse reduce doar la vectorul nul) poseda cel putin o baza. Mai exact, din oricesistem de generatori al luiV se poate extrage cel putin o baza.

8/4/2019 Cap 1234

15/89

1.3. BAZA SI DIMENSIUNE 9

Demonstratie. Vom demonstra teorema numai n cazul cnd V admite un

sistem nit de generatori, adica V este un spatiu nit generat. n acest sens,e B = fa1; a2; : : : ; amg un sistem de generatori pentru V. Avnd n vedere unrezultat din sectiunea precedenta putem presupune ca toti vectorii lui B suntnenuli. Pentru demonstratie folosim metoda inductiei matematice, dupa m 1;numarul de vectori din B.

Etapa I (vericarea): Pentru m = 1, este clar ca B = fa1g este o baza pentruV, deoarece a1 6= 0, adica este a1 si liniar independent.

Etapa a II-a (demonstratia): Presupunem ca n orice spatiu generat de m1vectori exista cel putin o baza si vom demonstra ca daca un spatiu V este generatde m vectori, a1; a2; : : : ; am, atunci acesta admite cel putin o baza.

Avem doua situatii:a) a1; a2; : : : ; am sunt liniar independenti si atunci a1; a2; : : : ; am formeaza o

baza pentru V, sau

b) a1; a2; : : : ; am sunt liniar dependenti si atunci cel putin unul dintre eise poate scrie ca o combinatie liniara de ceilalti m 1 vectori. Astfel, V estegenerat de m 1 vectori si conform ipotezei de inductie, rezulta ca V admitecel putin o baza.

Teorema 1.3.2 (bazei) Toate bazele unui spatiu vectorial sunt formate dinacelasi numar de vectori.

Demonstratie. Fie B1 = fa1; a2; : : : ; ang si B2 = fb1; b2; : : : ; bmg doua bazeale unui spatiu vectorial V.

Presupunem ca m > n. Aplicnd corolarul de mai sus rezulta ca b1; b2; : : : ; bmsunt liniar dependenti. Absurd si prin urmare presupunerea facuta este falsa.

Deci, m n. Analog, daca presupunem m < n si aplicam acelasi corolarobtinem ca n m. n concluzie m = n.Acum are sens urmatoarea denitie:

Denitia 1.3.2 Spunem ca spatiul vectorial V aredimensiunea nita n (siscriem dim V = n) daca exista o baza a lui V formata din n vectori. n cazcontrar, spunem ca spatiul vectorial V are dimensiunea innita si scriemdim V = 1.

Spatiul nul V = f0g are, prin denitie, dimensiunea zero.Cnd este pericol de confuzie, scriem dimK V = n, pentru V un spatiu

vectorial peste K. A se vedea ca dimCC = 1, iar dimRC = 2.

Exemplul 1.3.2 1. Spatiul aritmeticR3

are dimensiunea 3, iar dim Kn

= n,pentru orice corp comutativ K.2. dimRn[X] = n + 1, iarR[X] este un spatiu vectorial de dimensiune

innita.3. dimCCn = n, dimRCn = 2n.4. dim Mm;n(K) = mn, iar dimC Mm;n(C) = mn, dimRMm;n(C) = 2mn.

8/4/2019 Cap 1234

16/89


De acum nainte cnd vom spune ca un spatiu vectorial are dimensiunea nntelegem ca n este nit.

Observatia 1.3.1 Conform propozitiei 1.3.1 avem ca daca dim V = n, atunciorice sistem din V format cu n + 1 sau mai multi vectori este liniar dependent.

1.4 Coordonatele unui vector relativ la o baza

Teorema 1.4.1 Fie V un spatiu vectorial siB = fa1; a2; : : : ; ang V. AtunciB este baza a luiV daca si numai daca orice vectorx 2 V se poate scrie n modunic ca o combinatie liniara de vectorii luiB, a1; a2; : : : ; an.

Demonstratie. Fie B = fa1; a2; : : : ; ang o baza a lui V. Atunci, pentru orice

vector x 2 V , exista scalarii x1, ..., xn 2 K astfel nct x = x1a1 + + xnan.Daca ar mai exista si alti scalari y1, ..., yn 2 K astfel nct x = y1a1+ +ynan,atunci avem x1a1 + + xnan = y1a1 + + ynan sau

nPi=1

(xi yi)ai = 0. Dinliniar independenta sistemului B rezulta xi = yi, pentru orice i = 1; : : : ; n, adicascrierea lui x ca o combinatie liniara de vectorii bazei B este unica.

Reciproc, daca orice vector x din V se scrie n mod unic ca o combinatieliniara de vectorii sistemului B = fa1; a2; : : : ; ang, atunci este evident ca Beste un sistem de generatori pentru V. Ramne de aratat ca B este si sistemliniar independent. Pentru aceasta, daca consideram combinatia liniara nula1a1 + 2a2 + + nan = 0 si daca tinem cont de ipoteza si de faptul ca avemsi 0a1 + 0a2 + + 0an = 0, rezulta 1 = 2 = = n = 0. Deci, B este obaza a lui V.

Asadar, daca B = fa1; a2; : : : ; ang este o baza a lui V atunci orice vectorx 2 V se poate scrie n mod unic ca o combinatie liniara de vectorii lui B, adicaexista si sunt unici scalarii x1; x2; : : : ; xn 2 K astfel ca

x = x1a1 + x2a2 + + xnan:

Denitia 1.4.1 Scalariix1; x2; : : : ; xn unic determinati de vectorulx se numesccoordonatele vectorului x n raport cu baza B.

Pentru simplitatea scrierii, n loc de x = x1a1 + x2a2 + + xnan vomscrie xB = (x1; x2; : : : ; xn) sau

exB = (x1; x2; : : : ; xn)t sau, mai ales n relatiile

matriceale exB = 0BBB@x1

x2...

xn

1CCCA.Cnd nu este pericol de confuzie vom scrie x = (x1; x2; : : : ; xn) sau ex =

(x1; x2; : : : ; xn)t.

8/4/2019 Cap 1234

17/89

1.4. COORDONATELE UNUI VECTOR RELATIV LA O BAZA 11

Exemplul 1.4.1 1. n spatiul vectorial aritmeticR3, relativ la baza canonica

B=

fe1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1)

g, orice vector x = (x1; x2; x3) are

drept coordonate chiar componentele salex1, x2, x3, deoarecex = x1e1 + x2e2 +x3e3. Atunci, vectoruly = (1; 2; 7) , de exemplu, are coordonatele 1, 2, 7

relativ la baza canonicaB. ScriemexB =0@ 12

7

1A.2. Daca P = 1 3X+ 2X2 2 R2[X], atunci 1, 3, 2 sunt coordonatele lui

P relativ la bazaB = f1; X ; X 2g a luiR2[X].3. Coordonatele polinomului P = X X2 2 R[X], relativ la baza B =

f1; X ; X 2; : : : ; X n; : : :g, sunt 0, 1 , 1, 0 , ..., 0 ... .

Teorema 1.4.2 Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. Atunci, orice sis-tem de m < n vectori din V, liniar independenti, se poate completa pna la obaza a luiV.

Demonstratie. Fie B = fa1; a2; : : : ; ang o baza a lui V si b1; b2; : : : ; bm vectori

liniar independenti n V. Este clar ca sistemul format cu vectorii b1, b2, ..., bm,a1, a2, ..., an este un sistem de generatori pentru V, care este liniar dependent(m + n > n = dim V). Atunci, cel putin unul dintre ei se scrie ca o combinatieliniara de restul vectorilor din sistem. Cum b1; b2; : : : ; bm sunt liniar indepen-denti, avem ca un astfel de vector nu se poate alege dintre b1; b2; : : : ; bm. Fieai primul vector dintre b1, b2, ..., bm, a1, a2, ..., an, care se scrie ca o com-binatie liniara de ceilalti. Atunci, avem ca V = L(b1; b2; : : : ; bm; a1; a2; : : : ; an)= L(b1; b2; : : : ; bm; a1; : : : ; ai1; ai+1; : : : ; an) si sunt posibile doua situatii:

1) b1; b2; : : : ; bm; a1; : : : ; ai1; ai+1; : : : ; an sunt liniar independenti si atunciei formeaza baza cautata, sau2) b1; b2; : : : ; bm; a1; : : : ; ai1; ai+1; : : : ; an sunt liniar dependenti si atunci se

reia procedeul de mai sus eliminnd pe rnd cte unul dintre vectorii ai+1; : : : ; anpna cnd se obtine un sistem de generatori ai lui V care contine vectoriib1; b2; : : : ; bm si este si sistem liniar independent (este limpede ca trebuie elim-inati m vectori dintre a1; a2; : : : ; an). Aceasta este baza cautata, obtinuta princompletarea sistemului liniar independent b1; b2; : : : ; bm.

Propozitia 1.4.1 FieV un spatiu vectorial pesteK, de dimensiune nitan siS= fa1; a2; : : : ; ang V. Atunci urmatoarele armatii sunt echivalente:

a) Seste o baza a luiV;b) Seste un sistem de generatori pentru V;c) Seste un sistem liniar independent.

Teorema 1.4.3 Conditia necesara si sucienta cam vectori ai unui spatiu vec-torialV de dimensiune n (m n) sa e liniar independenti este ca rangul ma-tricei formate cu coordonatele acestor vectori ntr-o baza oarecare a spatiului sa

e egal cu m.

8/4/2019 Cap 1234

18/89


Demonstratie. Fie B = fa1; a2; : : : ; ang o baza a lui V, iar b1; b2; : : : ; bm

vectori ai lui V (m n) astfel nct bj = nPi=1

ij ai oricare ar j = 1; : : : ; m.

DacamP

j=1j bj = 0 , cu

1, ..., m 2 K, atuncinP

i=1

mP

j=1j ij

!ai = 0 si cum

B este un sistem liniar independent rezulta camP

j=1ij

j = 0, oricare ar i =

1; : : : ; n. Obtinem astfel un sistem omogen de n ecuatii liniare cu m necunoscute1, ... , m care are numai solutia banala (1; : : : ; m) = (0; : : : ; 0) daca si numaidaca rangul matricei sale

ij

i=1;n; j=1;meste egal cu m.

n continuare, consideram doua baze B = fa1; a2; : : : ; ang si B0 = fb1; b2; : : : ; bngale unui spatiu vectorial V peste K, iar oricare ar i = 1; n, avem bi =

n

Pj=1ji aj

si oricare ar k = 1; n, avem ak =nP

i=1ikbi. Atunci bi =

nPj=1

nPk=1

ji kj bk, oricare

ar i = 1; n. Prin urmare,nP

j=1

ji kj =

ki =

1; daca i = k0; daca i 6= k sau BA = In,

unde A =

ij

i=1;n; j=1;n2 Mn(K) este matricea pe ale carei coloane avem

coordonatele vectorilor bazei B0 n raport cu baza B, iar B = iji=1;n; j=1;n 2Mn(K) este matricea pe ale carei coloane avem coordonatele vectorilor bazei Bn raport cu baza B0. .

Denitia 1.4.2 Matricea A, formata ca mai sus, se numeste matricea detrecere de la bazaB la bazaB0.

Propozitia 1.4.2 Cu notatiile de mai sus avem B = A1. Mai mult, pentruorice x 2 V avemexB = AexB0 sau

exB0 = A1exB: (1)Demonstratie. Din BA = In este clar ca B = A1. Daca x =

nPi=1

xiai si

x =nP

j=1yj bj atunci, din ai =

nPj=1

ji bj si din unicitatea scrierii lui x, avem

ca yj =nP

i=1ji x

i, pentru toti i = 1; n, ceea ce nseamna ca (y1; : : : ; yn)t =

B(x1; : : : ; xn)t sau

exB0 = A1

exB.

Relatia (1) se numeste formula de schimbare a coordonatelor unui vector

cnd se trece de la baza B la baza B0.

Exemplul 1.4.2 n spatiul vectorial aritmetic R3 se considera baza canon-ica B = fe1; e2; e3g si baza B0 = fa1; a2; a3g, unde a1 = (2; 1; 1), a2 =(3; 1; 1), a3 = (1; 1; 1). Matricea de trecere de la baza B la baza B0 este

8/4/2019 Cap 1234

19/89

1.4. COORDONATELE UNUI VECTOR RELATIV LA O BAZA 13

A = 0@2 3 1

1 1 1

1 1 1 1A, iar matricea de trecere de la baza B0 la baza

Beste

A1. Daca x = (1; 2; 7), atunciexB0 = A1exB = A10@ 12

7

1A.Fie V un spatiu vectorial real n-dimensional si H = fB VjB baza a lui

Vg.

Denitia 1.4.3 Spunem ca bazeleB1, B2 2 H sunt la fel orientate (sau auaceeasi orientare si scriemB1 B2) daca determinantul matricii de trecerede la bazaB1 la bazaB2 este pozitiv.

Propozitia 1.4.3 Relatia binara este o relatie de echivalenta peH.Demonstratie. a) Cum determinatul lui In este pozitiv avem ca B B, oricarear B 2 H, adica este reexiva.

b) Daca B1 B2 si matricea de trecere de la baza B1 la baza B2 este A,atunci B2 B1 deoarece determinantul matricii de trecere A1, de la baza B2la baza B1, este tot pozitiv (det A1 = 1detA ). Astfel, relatia este simetrica.

c) Fie B1, B2, B3 2 H astfel ca B1 B2 si B2 B3, iar A este matricea detrecere de la baza B1 la baza B2 si B este matricea de trecere de la baza B2 labaza B3. Atunci B1 B3, deoarece matrice de trecere de la baza B1 la bazaB3 este chiar AB , iar det(AB) = det A det B > 0. Rezulta ca este o relatietranzitiva.

Deci

este o relatie de echivalenta peH

.

Propozitia 1.4.4 Multimea factorH= are doua elemente.

Demonstratie. Fie B1, B2 2 H astfel ca B1 B2. Fie B 2 H astfel nctB B1. Daca A este matricea de trecere de la baza B la baza B1 si B estematricea de trecere de la baza B1 la baza B2, atunci matricea de trecere de labaza B la baza B2 este AB. Cum det A < 0 si det B < 0, avem ca det AB > 0si astfel B B2.

Cele doua clase de echivalenta care formeaza multimea factor H= se numescorientari ale spatiului vectorial V.

Denitia 1.4.4 Spunem ca spatiul vectorial realV esteorientatdaca am xato orientare pe V, adica o clasa de echivalenta de baze la fel orientate pe care levom numi baze pozitiv orientate. Bazele din cealalta clasa de echivalenta se vornumi baze negativ orientate (n raport cu orientarea xata).

8/4/2019 Cap 1234

20/89


1.5 Subspatii vectoriale

Fie V un spatiu vectorial peste K si V1 o submultime nevida a lui V.

Denitia 1.5.1 V1 se numeste subspatiu vectorial al lui V daca, mpreunacu operatiile spatiului vectorial V, are o structura de spatiu vectorial peste K.

Propozitia 1.5.1 V1 este subspatiu vectorial al lui V daca si numai dacax + y 2 V1, pentru orice , 2 K si orice x, y 2 V1.

Demonstratie. Daca V1 este subspatiu vectorial al lui V, atunci din bunadenire a operatiilor de spatiu vectorial pe V1 rezulta ca x + y 2 V1, 8,2 K, x, y 2 V1.

Reciproc, daca avem ca x + y 2 V1, 8, 2 K, x, y 2 V1, atunci pentru = 1 si = 1 obtinem ca x y 2 V1, 8x, y 2 V1, adica (V1; +) este unsubgrup al lui (V; +) si prin urmare este grup. Apoi axiomele i)-iv) din II)din denitia spatiului vectorial sunt vericate n mod evident si pentru vectoriidin V1. n concluzie, V1 este spatiu vectorial peste K, n raport cu operatiilespatiului vectorial V.

Exercitiul 1.5.1 1. Aratati ca pentru orice sistem de vectori S din V avem

ca L(S) este subspatiu vectorial al lui V.2. Daca a1; a2; : : : ; am 2 V, atunci aratati ca dim L(a1; a2; : : : ; am) m.

Pentru orice sistem S V, L(S) se mai numeste subspatiul generat desistemul de vectori S. n particular, L(a1; a2; : : : ; am) se numeste subspatiulgenerat de vectorii a1; a2; : : : ; am.

Exemplul 1.5.1 1. Spatiul nulf0g si spatiul vectorial V sunt subspatii vecto-riale ale lui V, numite subspatii improprii ale lui V.

2. Multimea V1 = f(x1; x2; x3) 2 R3jx1 = 0g este un subspatiu vectorial alluiR3.

3. Multimea V2 = f(x1; x2; x3) 2 R3jx2 = 0; x3 = 0g este un subspatiuvectorial al luiR3.

4. n spatiul vectorial Mn(K) multimea matricilor diagonale este un sub-spatiu vectorial.

5. Multimea matricilor patratice de ordin n care sunt simetrice si multimea

matricilor antisimetrice sunt subspatii vectoriale ale spatiuluiMn(R).6. Rn[X] = fP 2 R[X]j grad P ng este subspatiu vectorial al spatiuluivectorial realR[X].

Propozitia 1.5.2 Fie V1 un subspatiu vectorial al lui V, de dimensiune nitan. Atunci, dim V1 dim V.

8/4/2019 Cap 1234

21/89

1.5. SUBSPATII VECTORIALE 15

Demonstratie. Fie m = dim V1. Presupunem prin absurd ca m > n. Din

denitia dimensiunii lui V1 rezulta ca exista n V1 o baza formata din m vectori.Dar V1 V, ceea ce nseamna ca n V exista m vectori liniar independenti,iar m > dim V = n. Contradictie cu denitia dimensiunii lui V. Atunci,presupunerea facuta este falsa si deci, m n.

Fie V1, V2 subspatii vectoriale ale lui V. Denim urmatoarele submultimiale lui V:

V1 + V2 = fx 2 Vj9x1 2 V1 si x2 2 V2 astfel ca x = x1 + x2g == fx1 + x2jx1 2 V1 si x2 2 V2g, V1 \ V2 = fx 2 Vjx 2 V1 si x 2 V2g:

Propozitia 1.5.3 V1 + V2 si V1 \ V2 sunt subspatii vectoriale ale lui V.Demonstratie. Fie x = x1 + x2 si y = y1 + y2 din V1 + V2, iar , 2 K.

Atunci x +y = (x1+x2)+ (y1+ y2) = (x1+y1)+ (x2 +y2) 2 V1+ V2,adica V1 + V2 este subspatiu al lui V.

Cu usurinta se poate proba ca V1 \ V2 este subspatiu vectorial al lui V.

V1 + V2 se numeste suma subspatiilor V1 si V2, iar V1 \ V2 se numeste inter-sectia subspatiilor V1 si V2.

Exemplul 1.5.2 1. Daca n spatiul vectorial aritmeticR3 consideram sub-spatiile vectoriale V1 = f(x1; x2; x3) 2 R3jx1 = 0g si V2 = f(x1; x2; x3) 2R3jx2 = 0; x3 = 0g, atunci suma lor este V1 + V2 = R3, iar intersectia lor esteV1 \ V2 = f0g:

2. Fie V1 =

a 00 0

ja 2 R

si V2 =

0 00 b

jb 2 R

submultimi

nM2(R). Este clar caV1 siV2 sunt subspatii vectoriale ale spatiului vectorialM2(R) si suma lor esteV1+V2 =

a 00 b

ja; b 2 R

, iar intersectiaV1\V2

este subspatiul nul al lui M2(R).

Exercitiul 1.5.2 1. Aratati ca, n general, reuniunea a doua subspatii, V1[V2,nu este un subspatiu vectorial al luiV. Mai mult, aratati caV1[V2 este subspatiuvectorial daca si numai daca V1 V2 sau V2 V1.

2. Aratati ca V1 + V2 = L(V1 [ V2), oricare ar subspatiile V1, V2.

Denitia 1.5.2 Spunem ca sumaV1 + V2 estesuma directadaca orice vectorx 2 V1 + V2 se scrie n mod unic sub forma x = x1 + x2, cux1 2 V1 si x2 2 V2.Vom scrie V1

V2 n loc de V1 + V2.

Propozitia 1.5.4 Fie V1, V2 doua subspatii vectoriale ale lui V. Atunci, ur-matoarele armatii sunt echivalente:

a) V1 \ V2 = f0g;b) suma subspatiilor V1, V2 este suma directa.

8/4/2019 Cap 1234

22/89


Demonstratie. a))b) Fie x 2 V1 + V2 astfel nct x = x1 + x2 si x = y1 + y2,cu x1, y1

2V1 si x2, y2

2V2. Atunci, x1 + x2 = y1 + y2, adica x1

y1 = y2

x2.

Cum x1y1 2 V1, y2x2 2 V2, rezulta ca x1y1, y2x2 2 V1\V2 = f0g. Prinurmare x1 = y1si x2 = y2, adica scrierea este unica si astfel V1 + V2 = V1 V2.

b))a) Fie x 2 V1 \ V2. Atunci x = x + 0 2 V1 V2 si x = 0 + x 2 V1 V2.Din unicitatea scrierii lui x, rezulta ca x = 0. Prin urmare V1 \ V2 f0g. Cumincluziunea f0g V1 \ V2 este evidenta, rezulta ca V1 \ V2 = f0g.

Denitia 1.5.3 Subspatiile vectoriale V1, V2 se numesc suplimentare (saucomplementare) daca V = V1 V2.

n acest caz, V1 se numeste suplimentul lui V2 n V, iar V2 se numestesuplimentul lui V1 n V.

Exemplul 1.5.3 n spatiul vectorial aritmeticR3

subspatiileV1 = f(x1

; x2

; x3

) 2R3jx1 = 0g si V2 = f(x1; x2; x3) 2 R3jx2 = 0; x3 = 0g sunt suplimentare.

Teorema 1.5.1 Fie V un spatiu vectorial peste K, de dimensiune nita n siV1, V2 doua subspatii vectoriale ale lui V. Atunci, V = V1 V2 daca si numaidaca sunt ndeplinite conditiile:

i) V1 \ V2 = f0g;ii) dim V = dim V1 + dim V2.

Demonstratie. Daca V1 V2 = V, atunci V1 \ V2 = f0g, conform propoz-itiei anterioare. Ramne de aratat ca are loc a doua conditie. Fie B1 =

fa1; : : : ; ap

go baza a lui V1 si

B2 =

fb1; : : : ; bq

go baza a lui V2. Fie

B=

fa1; : : : ; ap; b1; : : : ; bqg V. Vom arata ca B este o baza pentru V si astfeldim V = p + q = dim V1 + dim V2.

Fie 1a1+ +pap +1b1+ +qbq = 0. Tinnd cont de unicitatea scrieriivectorului nul din V, 0 = 0 + 0 2 V1 V2 = V rezulta ca 1a1 + + pap =0 si 1b1 + + qbq = 0.Cum B1 si B2 sunt, n particular, sisteme liniarindependente, avem ca 1 = = p = 0 si 1 = = q = 0. Astfel, B estesistem liniar independent.

Fie x 2 V. Atunci exista x1 2 V1 si x2 2 V2 astfel ca x = x1 + x2. Darx1 =

pPi=1

iai si x2 =qP

j=1j bj . Rezulta ca x =

pPi=1

iai +qP

j=1j bj, adica B este

sistem de generatori pentru V. n concluzie, B este baza pentru V.Reciproc, daca presupunem ndeplinite conditiile i) si ii), atunci pentru a

arata ca V = V1 V2 este sucient sa aratam ca V = V1 + V2, deoarece conditiai) ne asigura ca suma subspatiilor V1 si V2 este suma directa.Daca B1 = fa1; : : : ; apg o baza a lui V1 si B2 = fb1; : : : ; bqg o baza a lui

V2, atunci B = fa1; : : : ; ap; b1; : : : ; bqg este un sistem liniar independent n V,pentru ca din

pPi=1

iai +qP

j=1j bj = 0 sau

pPi=1

iai = qP

j=1j bj , avem ca att

8/4/2019 Cap 1234

23/89


p

Pi=1iai ct si

q

Pj=1j bj fac parte din V1 \ V2 = f0g, adica

p

Pi=1iai = 0 si

qPj=1

j bj = 0 ceea ce implica 1 = = p = 0 si 1 = = q = 0.Din faptul ca dim V = p + q si B este un sistem liniar independent format

din p + q vectori, rezulta ca B este o baza pentru V. Prin urmare, pentru oricex 2 V exista 1; : : : ; p, 1; : : : ; q 2 K astfel nct x = iai + j bj , 1 i p,1 j q, adica pentru orice x 2 V exista x1 = iai 2 V1 si x2 = j bj 2 V2astfel ca x = x1 + x2. Deci, V = V1 + V2.

Fie V1, V2 doua subspatii vectoriale ale lui V astfel nct V = V1 V2.Fie x 2 V. Atunci, exista si sunt unici vectorii x1 2 V1 si x2 2 V2 astfel cax = x1 + x2. Vectorul x1 din aceasta scriere se numeste proiectia lui x pe V1de-a lungul lui V2, iar vectorul x2 se numeste proiectia lui x pe V2 de-a lungullui V1.

Exemplul 1.5.4 Daca x = (3; 1; 2) 2 R3 si consideram subspatiile supli-mentare V1 = f(x1; x2; x3) 2 R3jx1 = 0g si V2 = f(x1; x2; x3) 2 R3jx2 =0; x3 = 0g, atunci proiectia lui x peV1 de-a lungul lui V2 este x1 = (0; 1; 2),iar x2 = (3; 0; 0) este proiectia lui x peV2 de-a lungul lui V1.

Acum prezentam (doar ca enunt) un rezultat foarte util n aplicatii:

Teorema 1.5.2 (Formula lui Grassman) FieV un spatiu vectorial pesteK,de dimensiune nita si V1, V2 doua subspatii vectoriale ale sale. Atunci

dim(V1 + V2) = dim V1 + dim V2 dim(V1 \ V2):

Exercitiul 1.5.3 Fie V un spatiu vectorial peste K, de dimensiune nita n siV1, V2 doua subspatii vectoriale ale sale de dimensiuni p, respectiv q. Aratatica daca p + q > n, atunci V1 si V2 au n comun cel putin un vector nenul.

Observatia 1.5.1 Multimea H a tuturor solutiilor unui sistem de m ecuatiiliniareomogene cun necunoscute, cu coecienti dinK, formeaza un subspatiuvectorial al spatiului aritmeticKn. Mai mult, dim H = n rangA, undeA estematricea sistemului omogen. Demonstrarea acestor armatii nu este complicata.Totusi, este mult mai clar si mai util sa o ilustram pe exemple concrete.

Exemplul 1.5.5 n spatiul aritmeticR4 se da multimea

V1 = x = (x1; x2; x3; x4) 2 R4 x1 + x2 x3 + x4 = 0;x1 + x2 x3 + x4 = 0: a) Aratati ca V1 este un subspatiu vectorial al luiR4 ;b) Determinati o baza pentru V1 si dim V1;c) Aratati ca sistemul

8/4/2019 Cap 1234

24/89


B0 = fa1 = (1; 0; 1; 0); a2 = (1; 1; 0; 0); a3 = (0; 1; 1; 0); a4 = (0; 0; 1; 1)geste o baza pentruR4 si gasiti coordonatele vectorului x = (1; 1;

1; 1) relativ

la noua bazaB0;d) Gasiti un supliment V2 pentru subspatiul V1 nR4.

Rezolvare:a) Fie ; 2 R si x = (x1; x2; x3; x4) , y = (y1; y2; y3; y4) 2 V1 , arbitrar

xate. Atunci:(x1 + y1) + (x2 + y2) (x3 + y3) + (x4 + y4) = (x1 + x2 x3 +x4) + (y1 + y2 y3 + y4) = 0 + 0 = 0 si analogx + y = (x1 + y1; x2 +y2; x3 + y3; x4 + y4) verica si a doua ecuatie din sistemul omogen. Prinurmare x + y 2 V1 si astfel V1 este subspatiu vectorial al luiR4 .b) Matricea sistemului este

A = 1 1 1 1

1 1 1 1 si are rangul 2:Atunci, dim V1 = 4 rangA = 2 . O baza a lui V1 este formata cu doua solutiiparticulare ale sistemului omogen, care sa e liniar independente.Notnd x3 = si x4 = obtinem,

x1 + x2 = x1 + x2 =

si de aici solutia generala x = (0; ; ; ) , ; 2 R sau x = (0; 1; 1; 0) +(0; 1; 0; 1) .Daca notam b1 = (0; 1; 1; 0) si b2 = (0; 1; 0; 1), rezulta ca V1 = L(b1; b2) .

Deoarece fb1; b2g este sistem liniar independent (vezi rang

0BB@

0 01 11 0

0 1

1CCA

= 2)

rezulta caB1 = fb1; b2g este baza pentru V1 .c) Rangul matriceiA1, pe ale carei coloane avem coordonatele vectorilor dinB0 ,n raport cu baza canonicaB = feiji = 1; 4g a luiR4 ,

A1 =

0BB@1 1 0 00 1 1 01 0 1 10 0 0 1

1CCAeste 4 . Prin urmareB0 este sistem liniar independent n spatiul 4-dimensionalR4si astfel este baza pentruR4 .Coloana cu coordonatele lui x = (1; 1 1; 1) relativ la baza B0se gaseste dinrelatia ~x

B0 = A1

1~xB

, A1

ind matricea de trecere de la bazaB

la bazaB0

.Inversa matricei A1 este

A11 =

0BB@1=2 1=2 1=2 1=21=2 1=2 1=2 1=2

1=2 1=2 1=2 1=20 0 0 1

1CCA

8/4/2019 Cap 1234

25/89


si astfel ~xB0 = A11 (1; 1; 1; 1)t = (1; 2; 1; 1)t sau x = a1 + 2a2 a3 + a4 .d) Completam baza lui V1 ,

B1 =

fb1; b2

g, pna la o baza a luiR4 cu vectorii

b3 = (1; 1; 1; 0); b4 = (0; 0; 0; 1) . ntr-adevar, rangul matricei0BB@0 0 1 01 1 1 01 0 1 00 1 0 1

1CCAeste 4 si astfelfb1; b2; b3; b4g este baza.Consideram subspatiul vectorial generat de b3 si b4 , V2 = L(b3; b4) . Atunci,dim V1 + dim V2 = 2 + 2 = 4 = dimR4 .Cum R4 = L(b1; b2; b3; b4) rezulta ca pentru orice vector x din R4 , existascalarii reali i, (i = 1; 4) , astfel nct x = 1b1 + 2b2 + 3b3 + 4b4 siprin urmare orice vector x se poate scrie x = x1 + x2 cu x1 = 1b1 + 2b2

2V1

si x2 = 3b3 + 4b4 2 V2 . Deci, R4 = V1 + V2 . Din aceasta relatie si din faptulca dim V1 + dim V2 = dimR4 rezulta ca V1 V2 = R4 . Prin urmare, V2 esteun supliment al lui V1 nR4 .

Exemplul 1.5.6 n spatiul aritmeticR4 se dau subspatiile vectoriale

V1 =

8

8/4/2019 Cap 1234

26/89


liniar independente. Deci, V2 = L(a3; a4) si dim V2 = 2 cuB2 = fa3; a4g baza.Deoarece rangul matricei 0BB@

3 0 1 39 1 0 21 0 6 00 1 0 2

1CCAeste4, rezulta caB0 = fa1; a2; a3; a4g este o baza a luiR4 . Astfel, R4 = V1+V2 .Se mai poate arata ca V1 \ V2 = f0g . ntr-adevar, daca x = 1a1 + 2a2 =3a3 +

4a4 2 V1 \ V2 , atunci avem 1a1 + 2a2 3a3 4a4 = 0 si de aiciobtinem 1 = 2 = 3 = 4 = 0 sau x = 0 .Deci V1 V2 = R4.b) Conform punctului a), avem scrierea unica: x = x1 + x2 cu x1 2 V1 six2 2 V2 .

Proiectia lui x = (1; 1; 1; 0) pe V1 de-a lungul lui V2 este x1 = 1

a1 +

2

a2.Pentru a gasi pe x1, luam x2 = 3a3 + 4a4 si determinam scalarii i; i = 1; 4din relatia(1; 1; 1; 0) = 1(3; 9; 1; 0) + 2(0; 1; 0; 1) + 3(1; 0; 6; 0) + 4(3; 2; 0; 2)sau (1; 1; 1; 0) = 31 + 3 34; 91 + 2 24; 1 + 63; 2 + 24.

Rezolvam sistemul liniar8>>>:31 + 3 34 = 1

91 + 2 24 = 11 + 63 = 12 + 24 = 0

si obtinem 1 = 19115 ; 2 = 28115 ;

3 = 16115 ; 4 = 14115 , de unde x1 = 19115a1 +

28115a2 =

1115(57; 143; 19; 28) .

1.6 Probleme propuse spre rezolvare

1. Fie multimea V = fa + bp2 + cp3 + dp5ja;b;c;d 2 Qg. Aratati ca pe Vse poate introduce o structura de spatiu vectorial peste corpul numerelorrationale Q, n raport cu adunarea numerelor reale si n raport cu n-multirea cu numere rationale a numerelor reale. Ct este dimQ V ? DardimQR ?

2. Fie V = (0; 1). Daca denim legea de compozitie interna pe V,x y def= xy si legea de compozitie externa pe V, cu scalari din R(sau Q), x def= x, atunci aratati ca (V; ; ) este un spatiu vectorial

peste R (sau Q). Ct este dimQ V ? Dar dimR V ?3. Stabiliti care dintre urmatoarele sisteme de vectori din spatiul vectorial

aritmetic R3 sunt liniar independente:

a) fa1 = (1; 2; 3); a2 = (2; 3; 1); a3 = (3; 1; 2)g;b) fb1 = (1; 3; 1); b2 = (0; 2; 1); b3 = (3; 1; 1)g.

8/4/2019 Cap 1234

27/89

1.6. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 21

4. Fie fv1; v2; v3g R3, v1 = (1; ; 0), v2 = (; 1; 1), v3 = (1; 0; ), 2 R.a) Sa se ae

2R astfel nct S =

fv1

; v2

; v3g

sa formeze o baza n R3;

b) Pentru = p2 sa se extraga din S o baza S0 a subspatiului vectorialL(v1; v2; v3):

5. Sa se determine 2 R astfel ca vectorii a = e1e2+4e3, b = 2e13e2+e3,c = e1 + 2e2 + e3sa e liniar dependenti n spatiul vectorial aritmetic R3, unde fe1; e2; e3geste baza canonica a lui R3.

6. n spatiul vectorial real aritmetic R3 se dau vectorii a = (4; 9; 7), b =(1; ; 5), c = (2; 1; ).a) Pentru ce perechi de numere reale (; ) sistemul fa;b;cg formeaza obaza a lui R3?

b) Pentru ce perechi de numere reale (; ) subspatiul generat de a;b;care dimensiunea 2?

7. Sa se arate ca sistemele de vectori S1 = f(1; 1; 0), (1; 1; 1)g si respec-tiv S2 = f(9; 1; 5); (7; 1; 4)g din R3, genereaza acelasi subspatiuvectorial.

8. n spatiul vectorial aritmetic R3 se dau vectorii v1 = (3; 1; 0) , v2 = (6; 3; 2), v3 = (1; 3; 5). Se cere:

a) Sa se arate ca v1; v2; v3 formeaza o baza n spatiul R3;

b) Sa se gaseasca coordonatele vectorilor bazei canonice B = fe1; e2; e3gn noua baza B0 = fv1; v2; v3g.

9. Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K si u, v, w trei vectoriliniari independenti. Studiati liniar independenta vectorilor u + v, v + w,w + u n cazul n care corpul K este a) R; b) C; c) f0; 1g.

10. Fie Ms;n(R) = fA 2 Mn(R)jA = Atg multimea matricilor simetrice deordinul n si Mas;n(R) = fA 2 Mn(R)jA = Atg multimea matricilorantisimetrice de ordinul n.

a) Aratati ca Ms;n(R), Mas;n(R) sunt subspatii vectoriale ale lui Mn(R).b) Aratati ca dim Ms;n(R) = n(n+1)2 , Mas;n(R) = n(n1)2 .c) Este adevarat ca Ms;n(R) Mas;n(R) = Mn(R)?

d) Determinati proiectia matricei A = 2 3

2 4

2 M2(R) pe Ms;2(R)de-a lungul lui Mas;2(R).

11. Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune n 3 si B = fu1; u2;:::;ungo baza pentru V. Se considera vectorii

v1 = u1; v2 = u2; vk = uk + ku1 + ku2; pentru k = 3;:::;n;

8/4/2019 Cap 1234

28/89


unde coecientii reali k, k (k = 3;:::;n) sunt xati arbitrar, n prealabil.

Aratati ca sistemul de vectoriB0 =

fv1; v2;:::;vn

gformeaza o baza pentru

V. Scrieti matricea de trecere de la baza B la baza B0.

12. Fie a, b, a0, b0 numere reale astfel nct rangul matricii

a ba0 b0

este 2.

Daca se considera subspatiile vectoriale ale lui R2, V1 = f(x1; x2)jax1 +bx2 = 0g si V2 = f(x1; x2)ja0x1+b0x2 = 0g sa se arate ca V1V2 = R2. Cese poate spune despre submultimile lui R2, W1 = f(x1; x2)jax1+bx2 = 1g,W2 = f(x1; x2)ja0x1 + b0x2 = 1g?

13. Fie sistemul omogen de ecuatii liniare8

Date post:	07-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	andrei-alexandru
View:	216 times
Download:	0 times

Cap 1234

Documents