Teorie ANALIZA : SIRURI - 1 -
Clasa a 11-a
Cap. 1
SIRURI
1.1. Chestiuni generale
Definitia sirului
- se numeste sir de numere reale o aplicatie :
R N : f , annf , N n
- sirul f se scrie : an n 0 sau an Nn
care are termenii :
an n 0 : aaaaaa nnn , , , ........ , , , 12210
unde : an = termenul general al sirului .
Definirea unui sir :
Exista mai multe posibilitati de a descrie un sir :
1). Printr-o regula de calcul : in acest caz este necesara o exprimare analitica pentru termenul
de rang n , an , care sa permita calcularea oricarui termen al sirului .
Exemplu :
12
n
nan , n 0 sau nnan
23 , n 0 , etc.
2). Prin mai multe reguli de calcul : ca de exemplu
impar daca ,
par daca , 1
2n
nn
nxn n 0
3). Printr-o relatie de recurenta : un termen al sirului se exprima in functie de unul sau mai
multi termini precedenti .
Pentru a determina bine elementele sirului trebuie dati unul sau mai multi termeni.
Exemplu : 1 , 1 , 100
aaaa nnnn
, n 0
Teorie ANALIZA : SIRURI - 2 -
Clasa a 11-a
xxxx nnnn 3 , 2 , 100
, n 0
1.2. Siruri marginite .
Sir majorat :
- se spune ca sirul ( xn ) este marginit superior ( majorat ) daca exista :
nbb xn , incat astfel R .
Sir minorat :
- se spune ca sirul ( xn ) este marginit inferior ( minorat ) daca exista :
naa xn , incat astfel R
Sir marginit :
- se spune ca sirul ( xn ) este marginit daca exista numerele reale :
nba bxa n , incat astfel R ,
Propozitie :
- sirul (xn) este marginit :
. . , M incat astfel 0 M nxn
Sir nemarginit :
- Un sir care nu este marginit se numeste nemarginit .
Teorie ANALIZA : SIRURI - 3 -
Clasa a 11-a
1.3. Siruri monotone .
Sir strict crescator :
- se spune ca sirul ( xn )n0 este strict crescator daca :
0 , 1 nxx nn
adica daca : ... ... 1210 xxxxx nn .
Sir strict descrescator :
- se spune ca sirul ( xn )n0 este strict descrescator daca :
0 , 1 nxx nn
adica daca : ... ... 1210 xxxxx nn .
Sir strict monoton :
- Un sir care este strict crescator sau strict descrescator se numeste strict MONOTON .
- Observatie : - intr-un sir strict crescator orice termen este stict mai mare decat precedentul ;
- intr-un sir strict descrescator orice termen este stict mai mic decat precedentul ;
Sir crescator :
- se spune ca sirul ( xn )n0 este crescator daca :
0 , 1 nxx nn
adica daca : ... ... 1210
xxxxx nn .
Teorie ANALIZA : SIRURI - 4 -
Clasa a 11-a
Sir descrescator :
- se spune ca sirul ( xn )n0 este descrescator daca :
0 , 1 nxx nn
adica daca : ... ... 1210 xxxxx nn .
Sir monoton :
- Un sir care este crescator sau descrescator se numeste MONOTON .
- Observatie : - intr-un sir crescator orice termen este mai mare sau egal decat precedentul ;
- intr-un sir descrescator orice termen este mai mic sau egal decat precedentul ;
Observatii :
- un sir crescator este marginit inferior de primul sau termen , adica x0 ;
- un sir descrescator este marginit superior de primul sau termen , adica x0 ;
Metoda de stabilire a monotoniei unui sir :
- Pentru a stabili monotonia unui sir se calculeaza diferenta a doi termeni consecutivi oarecare
- 1 aa nn
sau in cazul in care termenii sunt pozitivi se face catul a doi termeni consecutivi
1
a
a
n
n
Avem rezultatele :
Daca
an+1 - an < 0 , ( ) n , atunci sirul este strict descrescator ;
an+1 - an > 0 , ( ) n , atunci sirul este strict crescator ;
an+1 - an 0 , ( ) n , atunci sirul este descrescator ;
an+1 - an 0 , ( ) n , atunci sirul este crescator .
Teorie ANALIZA : SIRURI - 5 -
Clasa a 11-a
Daca : an > 0
na
a
n
n , 1 1 , atunci sirul este strict descrescator ;
na
a
n
n , 1 1 , atunci sirul este strict crescator ;
na
a
n
n , 1 1 , atunci sirul este descrescator ;
na
a
n
n , 1 1 , atunci sirul este crescator ;
Observatii :
- Faptul ca sirul ( xn ) este crescator se marcheaza cu : xn .
- Faptul ca sirul ( xn ) este descrescator se marcheaza cu : xn .
Teorie ANALIZA : SIRURI - 6 -
Clasa a 11-a
1.4. Siruri covergente .
Definitia limitei unui sir :
- Fie (an)n0 un sir de numere reale si a R .
- Se spune ca sirul (an)n0 are limita a daca in orice vecinatate a punctului a se afla
toti termenii sirului incepand de la un anumit rang .
- Se scrie atunci :
aann
lim
sau aan pentru n .
Sir convergent :
- Orice sir de numere reale avand o limita finita se numeste convergent .
- Daca a R si aann
lim
, atunci se mai spune ca sirul (an)n0 este convergent catre a.
Sir divergent :
- Sirurile care nu au limita si cele care au limita + sau - se numesc divergente .
Unicitatea limitei :
- Daca un sir de numere reale are limita , atunci aceasta este unica .
Teorie ANALIZA : SIRURI - 7 -
Clasa a 11-a
Teorema :
- Orice sir convergent de numere reale este marginit .
Teorema lui WEIERSTRASS :
a). Orice sir monoton crescator si marginit superior de numere reale ( in R ) este convergent ;
b). Orice sir monoton descrescator si marginit inferior de numere reale ( in R ) este convergent .
Orice sir monoton si marginit de numere reale este convergent .
Lema :
- Orice sir marginit de numere reale are cel putin un subsir convergent .
Criteriul majorarii :
- Daca :
xxxx nnnn n atunci , 0 si , -
- Corolar : - Daca :
0 atunci , 0 si , xx nnnn n .
- Daca :
0 atunci , 0 si , 0 xx nnnn n
Teorie ANALIZA : SIRURI - 8 -
Clasa a 11-a
1.5. Operatii cu siruri convergente .
In continuare vom arata ca efectuand operatii algebrice cu siruri
convergente se obtin de asemenea siruri convergente .
Mai precis are loc :
Daca xn x , yn y , c R atunci :
Limita sumei este egala cu suma limitelor :
- ( xn + yn ) este convergent si :
limlimlim yxyxyx nn
nn
nnn
O constanta iese in fata limitei :
- ( c xn) este convergent si :
climcclim xxx nn
nn
Teorie ANALIZA : SIRURI - 9 -
Clasa a 11-a
Limita produsului este egala cu produsul limitelor :
- ( xn yn ) este convergent si :
limlimlim yxyxyx nn
nn
nnn
Limita catului este egala cu catul limitelor :
-
y
x
n
n este convergent si :
0 , 0 ,
ylim
limlim n
yy
x
y
x
y
x
nn
nn
n
n
n
Limita modulului este egala cu modulul limitei :
- xn este convergent si :
limlim xx nn
nn
Trecerea la limita in inegalitati :
1). Daca : xn yn pentru orice n N , ( N fiind un numar natural fixat ) , atunci :
limlim yx nn
nn
2). Daca sirul an este convergent si daca 0an atunci :
0lim ann
3). Daca an este un sir convergent si daca an pentru orice n , atunci :
ann
lim
Teorie ANALIZA : SIRURI - 10 -
Clasa a 11-a
Criteriul clestelui :
- Fie (xn ) ,( un ) , ( vn ) trei siruri ce satisfac conditiile :
1). un xn vn
2). avu nn
nn
limlim
Atunci sirul (xn ) este convergent la aceeasi limita a .
vxu nnn
aaa
1.6. Operatii .
Avem urmatoarele cazuri :
1). + = 2). - - = -
3). = 4). (-) = -
5). (-) (-) = 6). + b =
7). - + b = - 8). b = , daca b > 0
9). b = - , daca b < 0 10). - b = - , daca b >0
11). 0 1
12). 0 1
13). 0
1
14). -
0
1
15). 0 daca ,
aa
16). 0 daca , -
aa
17). 0 daca , -
aa
18). 0 daca ,
aa
Teorie ANALIZA : SIRURI - 11 -
Clasa a 11-a
19). 1 daca ,
aa 20). 1 daca , 0
aa
21). 1 0 daca , 0
aa 22). 1 0 daca ,
aa
23). 0 daca , aa 24). 0 daca , 0 aa
25). 0 0 26).
27). 0 28). e
11
n
n
29). n 30). 12 n
31). 1 daca , log aa
31). 1 daca , 0 log aa
33). 1 0 daca , 0 log aa
34). 1 0 daca , log aa
1.7. Tabloul operatiilor fara sens .
Pentru adunare :
1). -
Pentru inmultire :
1). 0
2). - 0
Pentru impartire :
1). 0
0 particularin
0
a
Teorie ANALIZA : SIRURI - 12 -
Clasa a 11-a
2).
3).
Pentru puteri :
1). 1
2). 00
3). 0
1.8. Alte operatii cu siruri convergente .
Limita unei puteri :
- Daca an > 0 , an a , a > 0 si xn x , atunci : aax
n
xn ,
adica :
a limlim n
lim
n
xx
nnn
ann
Limita unei puteri se distribuie si bazei si exponentului .
Limita radicalului :
- Daca xn x , xn 0 , k N , k 2 , atunci : kkn xx
adica :
limlim k nn
kn
nxx
Limita radicalului este egala cu radicalul limitei .
Teorie ANALIZA : SIRURI - 13 -
Clasa a 11-a
Limita logaritmului :
- Daca xn x , xn 0 , x > 0 atunci : 1 , 0 , loglog aaxana x
adica :
limlogloglim
xx nn
anan
Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .
Limita unui sir remarcabil :
- Sirul ( xn ) n 0 , definit prin : xn = a n , unde a R , fixat
1- pt. existanu
1 , 1- pt. , 0
1 pt. ,
1 pt. , 1
a
a
a
a
an
Limita unui sir definit printr-o functie polinomiala :
- Sirul ( xn ) n 0 , cu termenul general : xn = P(n) , unde P este o functie polinomiala
are limita egala cu limita termenului de grad maxim ( a0 nk )
0 daca , -
0 daca ,
0
0
00limlima
aaanx
k
nn
n
Teorie ANALIZA : SIRURI - 14 -
Clasa a 11-a
Limita unui sir definit printr-o functie polinomiala :
- Sirul ( xn ) n 0 , cu termenul general : xn = )(
)(
nQ
nP , unde P si Q sunt functii reale
polinomiale
are limita egala cu raportul termenilor de grad maxim :
0
0
nb
nam
k
m k daca , 0
m k daca ,
m k daca ,
)(
)(
0
0
0
0
0
0limlimlim
b
a
b
a
nb
nax m
k
nnn
n nQ
nP
1.9. Limite fundamentale de siruri .
1).
e !
1
! 1
1 ........
! 2
1
! 1
1 1 lim
nnn
2). ..2,7182.... e , Q - R e , e 1
1 lim
xn
xn
n
3). e 1 lim1
xn xn
n
4). 1 sin
scris altfelsau 0 daca , 1 sin
limlim0
x
xx
x
x
n
nn
n
n
n xn
5). 1
scris altfelsau 0 daca , 1
limlim0
x
xx
x
x
n
nn
n
n
n
tgtg
xn
6). ln 1 -
scris altfelsau 0 daca , ln 1 -
xn
limlim0
aax
ax
x
a
n
n
nn x
x
n
n
Teorie ANALIZA : SIRURI - 15 -
Clasa a 11-a
7). 0 1
lim nn
8). 0 2
lim n
n
n
9). 0 ; : atunci , Daca limlimlim e
x
x
ex
x
x
n
n
n
nnnn
n
10).
0 conditiacu , 0 ln
; ln
: atunci , Daca limlimlim xx
x
x
xx n
n
n
nn
n
nn
n
11). 1 conditiacu : atunci , Daca limlim ax
ax
nnn
n
xn
12). 0 ln : atunci , 0 , 0 Daca limlim xxxx nnn
nnn
13). 0 : atunci , Daca limlim exx xn
nn
nn
14). 1 lim
n
n
n
15). 0 , 1 lim
aan
n
16). 0 , ln 1 - lim
aaan n
n
17). 0 ln
lim n
n
n
18). N , 0 , R , 0
lnlim
paan
na
p
n
19). R , 0 !
lim
an
an
n
20). , 1 daca ,
, 1 daca , 0 lim
R
Ran
pa
panp
n
21). e !
lim
nn n
n
Teorie ANALIZA : SIRURI - 16 -
Clasa a 11-a
22). , 1 pentru , 0
, 1 pentru , lim
R
R
n
apa
pa
p
n
n
23). 1 ln
1
.......... 3
1
2
1 1
lim
n
n
n
24). , 1
1
........ N
321lim
*
1
ppn
np
pppp
n
25). , 2
1
1 -
........ N
321lim
*
pp
n
n
np
pppp
n
1.10. Lema Stolz – Cesaro
Teorema :
- Fie (an)n1 si (bn)n1 doua siruri de numere cu proprietatile :
1). 0 < b1 < b2 < ……. < bn (sir strict crescator ) ;
2). lim
bnn
3). R -
-
1
1lim
lbb
aa
nn
nn
n
atunci :
lim lb
a
n
n
n
Teorie ANALIZA : SIRURI - 17 -
Clasa a 11-a
1.11. Criteriul Cauchy – d’Alembert -criteriul raportului
Teorema :
- Fie sirul (xn) cu xn > 0 , () n N* , pentru care exista :
ax
x
n
n
n
1lim
Atunci sirul : nnx are limita si mai mult :
1limlim a
x
xx
n
n
n
nn
n
Teorie ANALIZA : SIRURI - 18 -
Clasa a 11-a
EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 1 :
Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri date prin termenii generali xn :
1). 1 , 1
1
n
nxn ;
2). 1 , 1
nn
nxn ;
3). 1 , 1
2
nn
nxn ;
4). 2 , 1
2
2
nn
nxn ;
Teorie ANALIZA : SIRURI - 19 -
Clasa a 11-a
5). 0 , 1 nnnxn ;
6). 1 , 12 nnnxn ;
7). 0 , 13 3 nnnxn ;
8). 1 , 1
...3
1
2
11 n
nxn ;
9). 2 , 2
1
nnx
nn .
EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 2 :
Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri date prin termenii generali xn :
1). 0 , 1
nn
nxn ;
2). 0 , 1
22
nn
nxn ;
3). 1 , 12
nn
nxn ;
4). 1 , 2
1...
2
1
1
1
n
nnnxn ;
5). 1 , 12
nn
nxn ;
6). 0 , 12
3
nx
nn ;
7). 0 , 1
12
nnn
xn ;
8). 0 , !
1 n
nxn ;
9). 0 , 1
12
n
n
nxn .
EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 3 :
Teorie ANALIZA : SIRURI - 20 -
Clasa a 11-a
Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri date prin termenii generali xn :
1). 1 , ...321
2
n
n
nxn ;
2).
1 , 1
1...
43
1
32
1
21
1
n
nnxn ;
3). 1 , 1
...3
1
2
11
222 n
nxn ;
4).
n
kknx
1 15
1 ;
5).
n
nnxn 3
1...4321 ;
6). 3
...3212
2222 n
n
nxn
;
7). n
nxn
1...
3
1
2
11
;
8).
3
1...
9
1
3
11
2
1...
4
1
2
11
n
n
nx
.