1

CURS I. MULŢIMI. FUNCŢII. RELAŢII DE ECHIVALENŢĂ

Fie A şi B două mulţimi, o funcţie f BA: şi AC , BD .

Notăm submulţimi de tip special în A , respectiv B prin

DxfAxDf

CxxfCf

/

/

1

Aceşti operatori 1, ff acţionează la nivelul mulţimilor de părţi ale lui A , respectiv B ,

Propoziţie:

Cu notaţiile de mai sus,

a) dacă ACC 21 , atunci 21 CfCf

b) dacă ADD 21 , atunci 2

1

1

1 DfDf

c) dacă ACC 2, , atunci

2121

2121

CfCfCCf

CfCfCCf

d) BDD 21 , atunci

2

1

1

1

21

1

2

1

1

1

21

1

DfDfDDf

DfDfDDf

Demonstraţie

exerciţiu

Definiţie:

Fie A o mulţime nevidă A şi AAR , R . Atunci R se numeşte relaţie în

A (sau pe A ).

Exemplu: ;5,4,3,2,1A }5,5,4,4,3,3,2,2,1,1{R .

Definiţie:

APBPf

BPAPf

:

;:

1

2

Cu notaţiile de mai sus, R se numeşte:

a) reflexivă, dacă Ax Rxx ,

b) simetrică dacă RxyRyx ,,

c) antisimetrică dacă

xyRxy

Ryx

,

,

e) tranzitivă, dacă

RzxRzy

Ryx

,

,

,

Exemplu: relaţia din ex. precedent este reflexivă, este simetrică, este antisimetrică şi

este tranzitivă.

Definiţie:

Cu notaţiile anterioare R se numeşte relaţie :

de echivalenţă sau spunem că R este o echivalenţă, dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;

de ordine, sau spunem că R este o ordine, dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă.

Exemplu: *NA AAR

yxNNyxR

yxNNyxR

/,

divide/,,

**~

**

sunt relaţii de ordine.

Notaţie :

Fie A şi R relaţie pe A . Mai notăm yxyxRyx R ~,

Definiţie:

Se numeşte clasă de echivalenţă în raport cu R (sau a lui R ) orice submulţime C a lui A ,

,C formată de elemente echivalente între ele, AC a.î yxCyx ~, .

3

Propoziţie a) Mulţimea claselor de echivalenţă în raport cu AAR , relaţie de

echivalenţă în A , formează o partiţie a mulţimii A . (colecţie de părţi ale mulţimii A ,

două câte două disjuncte, nevide, cu reuniunea egală cu A ).

b) reciproc fie iAAA , a.î. iA , două câte două disjuncte ( ji AA ji ).

Atunci există şi este unică o relaţie de echivalenţă pe A a.î. iA sunt clasele sale de

echivalenţă.

Demonstraţie

a).evidentă

b). Se defineşte R prin : Iiyx ~ ..ia iAyx ,

Notaţie:

a) APRA / notează mulţimea claselor de echivalenţă. Se numeşte mulţimea cât ( a

lui A prin R ).

b) pt Ax ,

x notează clasa de echivalenţă a lui x , xyAyx ~/^

.

c) RAA /: este aplicaţia canonică ^

xx .

Exemple:

1. ZA , mulţimea numerelor întregi. 7~ yxyx este o relaţie de echivalenţă în

Z .

Pentru mulţimea cât există în acest caz notaţia consacrată 7/ ZRAnot

. Proiecţia canonică

acţionează prin

~~~~~

7 6........2;1;0,: xxZZ .

2. Fie A şi

AxxxR /,1 ,

AAAyxyxR ,/,2

Atunci 21, RR sunt relaţii de echivalenţă pe A .

4

1R : ARA 1/

:2R 2/ RA (mulţime cu un singur element).

Observaţie: Fie R o relaţie de echivalenţă pe A . Atunci 21 RRR .

3. Fie AA 1

Definim 1,~ Ayxyxdef

R sau yx .

Această relaţie de echivalentă în A identifică submulţimea 1A cu un punct (una dintre

clasele de echivalenţă este exact 1A ).

5

Propoziţie: Fie 'RR relaţii de echivalenţă pe A . Atunci există diagrama

comutativă:

'R A 'R

RA / '/ RA

RR ' , unde este în mod natural definită ( a se vedea mai jos).

Demonstraţie:

21 ' RRRR

Definim : '//: RARA ,

xx ; este o bună definire:

Pentru

xy , Ryxyx

, yx R '~

yx i.e.

yx .

Este trivial(nu mai necesită demonstraţie) că diagrama este comutativă, 'RR .

R x 'R

RA / '/ RA

6

Exemplu: ZA , R este congruenţa modulo 8, 'R este congruenţa modulo 4.

z

8z 4z

33

37

xx

Exemplu Fie ,G grup comutativ (abelian) şi H un subgrup în ;G definim

Hyxyxdef

~ .

Verificăm dacă ~ este relaţie de echivalenţă:

reflexivă: Fie Gx , calculăm Hxx G 0 ,aşadar xx ~ .

simetrică : Fie Gyx , , xyHxyHyxHyxyx ~~

tranzitivă: Fie Gzyx ,, , zyyx ~,~ , HzxHzyyxHzyHyx , .

7

~ este r.d.e.

Exemplu

02

3,1

3

RH

RMRG

G

z

GG 00,0,0

0

y

0,0,0

x

H

8

,,,,,, cbacbaP

',','',',' cbacbaQ

Q

T

0,0,0P cbacbaOPOQPQ ,,',','

P

O Q

T

PQOT Q

T

0 H y

x

z

9

Clasele de echivalenţă sunt planele paralele cu HxOy .

Reciproc, orice plan 'H ce conţine originea este subgrup în G . Clasele de echivalenţă ale

relaţiei asociate sunt planele paralele cu 'H .

Demonstraţie:

Pentru planul 'H putem da descrirea 0:' pznymxH '0 H

Fie 222111 ,,,,, zyxzyx 'H

atunci

212121222111 ,,,,,, zzyyxxzyxzyx

din 0222111212121 pznymxpznymxzzpyynxxm

se obţine GH '

Propoziţie: Fie ,GH , G abelian.

Atunci

yxyx este bine definită şi dă structură de grup pe HG / .

În plus HGG /: este morfism de grupuri.

Demonstraţie

exerciţiu

1H

10

2H

H

0

Exerciţiu: Descrieţi clasele de echivalenţă şi grupul lor HR /3 în cazul în care H este o

dreaptă ce conţine originea.

11

CURS II: CORPURI. SPAŢII VECTORIALE. MORFISME DE SPAŢII VECTORIALE

Def: ,.,K este corp (comutativ) dacă:

a) ,K grup abelian

b) ,.0\K grup (comutativ)

c) operaţia . este distributivă bilateral faţă de +.

Exemple: pZ , p prim ~/ZZ p , ~ congruenţa modulo p

CRR 21, , HR 4 (necomutativ)

corpul cuaternionilor

0,,/, 221

2

1 PxRPPxP

xPxRQ

Teoremă (Wedderburn)

Orice corp finit este comutativ.

Numărul de elemente este orice / o putere a unui număr prim .

12

Corpul cuaternionic (cuaternionilor) :

Ca mulţime de puncte,

4RH .

RdcbadcbaR ,,,,,,,4 . Operaţiile de corp sunt:

2121212122221111 ,,,,,,,,, ddccbbaadcbadcba

22221111 ,,,.,,, dcbadcba

),,,( 12211221122112211221122121212121 cbcbdadabdbdcacadcdcbabaddccbbaa

cu notaţiile:

kijkkjj

ii

kji

.;1..

1.

1,0,0,00,1,0,0.0,0,1,0.

Deci H nu este comutativ (înmulţirea nu este comutativă)

În continuare toate corpurile vor fi presupuse a fi comutative.

Definiţie :

Fie ,V şi ,,K structuri algebrice, după cum urmează

,,K este corp; există o operaţie mixtă (externă) , numită tot

înmulţire VVK

a) dacă ,V grup comutativ

b) dacă înmulţirea externă şi cea din K se asociază.

k

j

inot

1,0,0,0

0,1,0,0

0,0,1,0

13

c) dacă înmulţirea externă este distributivă (bilateral) faţă de adunări

d) vvk .1 Vv

Atunci ,V se numeşte spaţiu vectorial peste K , sau K – spaţiu vectorial

Exemple:

a) nK , *Nn

n

def

nnn

def

nn aaaabababbaa ,...,,...,,...,,...,,..., 111111

b) Fie nVVV ,...,, 21 K – spaţii vectoriale

Atunci nVVV ....21 este spaţiu vectorial cu operaţiile

n

def

nnn

def

nn vvvvvvwvwvwwvvv ,...,,,....,,;,....,,....,...., 212111121

Definiţie: Fie KVV ,, 21 spaţii vectoriale

21: VVf se numeşte morfism (aplicaţie liniară) dacă păstrează structura

algebrică, i.e.:

vfvf

vfvfvvf

1

2121

VvvvK 21,,, arbitrari.

Propoziţie: Cu notaţiile de mai sus 21

00 VVf

Demonstraţie: 2111111

0000000 vvvvvvv fffff

14

Notaţie: fVVfVVHomK ,:{, 2121 morfism} notează mulţimea tuturor aplicaţiilor

liniare de la 1V la 2V .

Caz particular

VVV 21 , morfismele se mai numesc endomorfisme ; EndK(V)=HomK(V,V).

15

Teoremă

(Compunerea a 2 morfisme este tot un morfism.)

Fie 321 ,, VVV K - spaţii vectoriale şi

,, 21 VVHomf 32 ,VVHomg , atunci 31,VVHomfg .

Demonstraţie:

wfgvfgwfgvfgwfvfgwvfgwvfg

vfgvfgvfgvfgvfg .. KVwv ,, 1

Notaţie (dualul algebric)

Mulţimea morfismelor de la un K- spaţiu vectorial V la K se notează

*, VKVHomnot

.

Proprietăţi:

Fie KVV ,, 21 - spaţii vectoriale

Atunci 21,VVHomK are structură de K -spaţiu vectorial , în mod natural.

Se definesc:

vfvf

VVf

vfvfvff

VVff

def

.

:.

:

21

2121

2121

16

211 ,,,, fffVvK morfisme

Demonstraţie:

Se verifică axiomele spaţiului vectorial, de exemplu este evident că operaţia + este

comutativă , apoi

ffK 1 din vfvfvfVv KK 1.1;1 , etc.

Pe scurt, o sumă de morfisme e morfism, multiplul unui morfism e morfism.

Obs!

Zeroul spaţiului vectorial ),( 21 VVHomK este morfismul nul,

221

/: 21, VVVHom OvfVVfO .

Temă: II + e asociativă

+ are elemente neutre

. distributivă faţă de + (la stânga şi la dreapta)

Obs.:

În cazul endomorfismelor, operaţia de compunere este una internă. Se poate verifica în

acest caz că ,,VEndK este inel (temă)

Exemplu:

0,,0,,,: 2

33

2 yzyxpRRp este endomorfism.

z,0,0

17

zy,,0

0,,0 y

Din punct de vedere geometric 2p este proiecţia pe axa Oy.

0,0,x

222211122

12121212122221112

,,,,0,,0

0,,00,,0,,,,,,

zyxpzyxpy

yyyzzyyxxpzyxzyxp

este aditivă.

zyxpyyzyxpzyxp ,,0,,00,,0,,,, 222 şi 2p este endomorfism.

18

DESCRIEREA (CARACTERIZAREA) MORFISMELOR nm KKf :

Funcţia 33

13 : RRf , dată prin xzyxf ,0,0,,13 este endomorfism.

Se procedează ca mai sus,

22213111132122211113 ,,,,,0,0,,,, zyxfzyxfxxzyxzyxf deci 13f este aditiv;

analog 13f omogen şi deci morfism.

În general,

nm

ij KKf : , dat prin 0,...,,0,0,...., innij xxxf , este morfism (poziţia j este ocupată în

vectorul ultim).

(dem temă)

Propoziţie:

....,....,...,...,....

,:

22112222121121211 mnmnnmmmmnmn

nm

xaxaxaxaxaxaxaxaxaxxf

KKf

este morfism, unde )(11 KMa nm

mjniij .

Demonstraţie:

Cu notaţiile de mai sus, se poate scrie f ca o sumă de multipli de morfisme, deci este el

însuşi morfism.

19

nm

Kmnnm

mmnnmm

mmmmmm

KKHomfafaf

xxfaxxfa

xxfaxxfaxxfaxaxxf

,...

i.e.,,........,...,

,...,...,...,.,...,....0,...,0,,...,

1111

111221

11112112111111111

Obs.:

Cu scriere pe coloane, formula pentru f este

mm x

x

A

x

x

f 11

, )(11 KMaA nm

mjniij

Reciproc:

Dacă nm KKHomg , , atunci există o matrice KMa nmij a.î. fg (ca mai sus).

Demonstraţie:

1,...0,0...0,...0,1,00,...0,11,...0,0...0,...0,1,00,..,0,1

1,0,..,0...0,..,1,00,..,0,1,0,0...0,...,0,

,...,

2121

211

1

gxgxgxxgxgxg

xxxgxxg

xxg

mm

mm

m

Cu notaţiile

nmmm

n

n

aaag

aaag

aaag

,....,,1,...,0,0

.........

,....,,0,...,1,0

,....,,0,...,0,1

21

22212

12111

se poate scrie :

20

mm x

x

A

x

x

f 11

mj

ni

aA ij

1

1

Deci cu identificarea Af putem identifica KMKKHom nm

nm

K , .

De fapt această identificare este izomorfism: aplicaţie liniară bijectivă.

Proprietăţi:

Fie nm

k KKHomf ,1 , sn KKHomf ,2

kMAff

kMAf

kMAf

ms

ns

mn

,312

,22

,11

Atunci 123 AAA

21

Demonstraţie – evidentă

mmmmm x

x

AA

x

x

AA

x

x

Af

x

x

ff

x

x

ff.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1212 AAff

Definiţie: Fie V un K - spaţiu vectorial şi fie VWW , .

W se numeşte subspaţiu (vectorial) în V dacă este parte stabilă, i.e.

WvKWv

WvvWvv

1

2121

,

,

Exemple:

Fie KVV ,, 21 spaţii vectoriale. Atunci

1

0V este subspaţiu în 1V

1V x 2

0V este subspaţiu în 21 VV , izomorf cu 1V

210 VV subspaţiu în 21xVV , izomorf cu 2V

22

Fie 11 Vv

Atunci Kv /1 este subspaţiu vectorial în 1V (*)

1/),( Vvvv este subspaţiu vectorial în 11xVV

De, exemplu, pentru afirmaţia (*):

111000 VVV

Fie 1111111

0000000., VVVVVVVK

Celelalte afirmaţii –temă

Propoziţie:

Fie 21,VVHomf k atunci nucleul lui f , definit prin 2

0/: 11 vvfVvfKer şi

imaginea lui f , wvfiaVvVwf ..,/Im 12 sunt subspaţii vectoriale, respectiv în

., 21 VV

Demonstraţie:

1

0VKerf deci Kerf .

Apoi KerfuvKerfuv ~~~~

, , după cum urmează:

23

222000

~~~~

VVVufvfuvf

Pentru K , KerfuKerfu ~~

după cum urmează:

2200.

~~

VVufuf

.

Fie ),(, 2Vftw K

1, Vuv a.î. tuf

wvf

fvfvfw

fuvfufvftw

Im..

Im

Exemplu:

33

2 : RRp 0,,0,,2 yzyxp

z

xOzpKer

p y

2

2 0Im

o y

24

x

Exemplu:

Fie VEndp K ppp p (proiecţie) (proiector)

Atunci 0Im pKerp ; se mai scrie şi pKerp Im şi se spune că cele două (sub)spaţii sunt

în sumă directă.

Fie pKerpv Im , deci 0vp şi Vv~

a.î. vvp

~

Deci

0

0~

~

v

vpvp

vpvpp

25

CURS III – SUBSPAŢII VECTORIALE. SISTEME LINIAR(E) INDEPENDENTE. SISTEME DE

GENERATORI. BAZE

Propoziţie: fie VW , W subspaţiu vectorial în V (peste K).

Atunci WV / are structură de K spaţiu vectorial a.î.

WVV /: este morfism.

Demonstraţie:

Se defineşte KVyxxxyxyx

,,,,^

şi rămâne de arătat că operaţiile sunt bine definite.

Apoi este trivial că este aplicaţie liniară.

Obs:

WKer (temă) , (evident)

Proprietăţi: Fie 21,VVHomf k . Atunci f induce un izomorfism fKerf

VIm

Demonstraţie:

Considerăm

26

xfxf

fKerfVf

^

Im/:

Această funcţie este bine definită (temă).

- este trivial că ~

f este morfism surjectiv.

-Să arătăm că f~

este injectivă:

Fie KerfVyx /, 1

a.î. yfxf

. Urmează

0 yxfyfxf

yxyxfyx ~ker

Proprietăţi: Fie 21,VVHomf K atunci f injectivă 1

0ker Vf

Demonstraţie:

Ştim că 00 f .

Fie 1, Vyx a.î. yfxf

Kerfyxyxfyfxf V 2

00

Deci yxKerf V 1

0

Exemplu: 0,,0,,

: 33

yzyxp

RRp

27

},,,0,{ RzxzxKerp , Oyp Im

dreaptă prin origine Oy .

Definiţie : Fie ,VS cu V K -spaţiu vectorial. Spunem că S este liniar independent

dacă '' , SSS (finită), svvS ,....,' 1 şi

Ks ,...,1 din

s

t

vttv1

0 are loc cu necesitate Ks 0....1 .

Observaţie(trivială) :

Dacă S este liniar independent şi SS ' , atunci şi 'S este liniar independent

Notaţie : Sind K ( S liniar independent peste K )

Exemplu :

n

n KeeB ,...,1 este liniar independentă, unde am notat

0,...,0,1,0,...,0je (scalarul 1 apare în locul j în vector).

Demonstraţie :

Kerp

R3

28

Fie Kn ,...,1 şi presupunem

n

t

tte1

0,...,0 . Urmează

0,...01,...,0,0...0,...,0,1,00,...,0,1 21 n ,

nttn ,1,00,...0,0,...,1

Propoziţie: ( Lema schimbului )

Fie mk vvind ,...,1 şi

m

t

ttvv1

Atunci mvvvv ,...,,....,, 21 (i.e. se înlocuieşte jv cu v ) este liniar independentă 0 j .

Demonstraţie:

Implicaţia: “” :

Presupunem

n

jtt

ttj vv1

0 , atunci vttjj vvvvv 0.1......2211

Deci s-ar contrazice mk vvvind ,...,,...,1 , absurd.

Implicaţia: “” :

Presupunem 0

vv j

jt

tt . Urmează

jt

m

t

ttjtt vv 01

,

jt

jjjttjt vv 0 .

Dar din mnK vvind ,..., rezultă acum

mttjjktjt ,1,00 .

Proprietăţi: Fie 21,VVHomf k şi 1VS apoi

29

a) Dacă nu are loc Sind K , atunci nu are loc sfind K

b) Dacă f este injectivă şi Sind K , atunci sfind K .

Demonstraţie: b).Fie mvv ,...,1 şi Km ,...,1 a.î.

001

tttt

m

t

vfvf

m

t

ttt mtv1

,1,00

Definiţie: Fie .VS Spunem că S este sistem de generatori (liniar, liniari) pt V, dacă:

SvvKVv mm ,...,,..., 11 a.î.

r

j

jjvv1

Obs: Fie VS sistem generator . Dacă SS ' atunci 'S este sistem generator.

Notaţii: VSSpanVSSpVS ,, .

Proprietăţi: Fie 121 ,, VSVVHomf K a.î. .1VS Dacă f este surjectivă, atunci şi

2VSf .

Demonstraţie (temă)

Exemplu

30

neeB ,...,1 este s.g.l. pt nK

Într-adevăr, pentru un vector arbitrar are loc exprimarea nnn eaeaeaaa ...,..., 22111 .

Def. Fie ,VS V spaţiu vectorial

S se numeşte bază în V dacă Sind k , VS .

Temă: 1. câte elemente are 4K , 3ZK

2. câte baze în 4K 2ZK

Proprietăţi: Orice sistem liniar independent se poate completa la o bază.

Din orice sistem de generatori se poate extrage o bază.

Orice 2 baze sunt echipotente (posedă acelaşi număr de elemente).

Obs: N are acelaşi număr de elemente cu Z

,...,2,2,1,1,0

0 1 2 3 4 …

Q ,2

1,

1

1,0

Bazele lui nK

neeB ,...,1 baza în nK

Afirmaţie: nvv ,....,1 bază în nK KGLa nijij . niaij 1, sunt

componentele vectorului jv .

KGLn notează mulţimea matricelor cu elemente în K , pătrate de ordin

,n inversabile.

Demonstraţia foloseşte în mod repetat lema schimbului şi faptul că prin

transformări elementare date de aceasta la o matrice nu se schimbă rangul.

1,...,000

0,...,100

0,...,010

0,...,001

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

...

...

21

22221

11211

Pentru demonstraţie se aplică lema schimbului.

ija

31

SEMINAR 1

A L G

- MATRICI –

CMf 4,3: CM 4,3

3414331332123111

342414332313322212312111

342414332313322212312111

34333231

24232221

14131211

52525252

537537537537

aiaiaiaiaiaiaiai

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaa

aaaa

f

atunci )(3 CMC a.î.

CAAf )(

Notăm

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

C şi identificăm elementele sale cu ajutorul unor alegeri convenabile,

succesive, pentru A . Alegem

0000

0000

0001

A . În acest caz obţinem

0002

0007

0001

)(

i

Af . Procedînd similar, se găseşte

502

537

111

ii

C .

Se consideră CMCMg 4,34,3:

31343234333231

21242224232221

11141214131211

34333231

24232221

14131211

0132

0132

0132

aaaaiiaaa

aaaaiiaaa

aaaaiiaaa

aaaa

aaaa

aaaa

g .

Atunci CMD 4 a.î. ADAg

32

0101

000

0103

1002

i

iD

1000

0100

0010

0001

4I

Cu identităţile evidente de mai jos observăm că aceste operaţii pe linii (respectiv coloane)

sunt inversabile dacă şi numai dacă matricile asociate sunt inversabile şi în acel caz,

inversa matricii operaţiei este matricea operaţiei inverse.

ACAC

ADAD

1

1.

Ex:

5810

5810

3411

4

2

7834

1012

3411̀

11

313

212

rang

ll

lll

lll

rang

104

012

001

C este matricea acestei operaţii. Este inversabilă deci operaţia păstrează

rangul. Procedînd similar cu un număr nenul de pe altă linie sau coloană (numit pivot) se

obţine, de exemplu cu pivotul 1 din linia şi coloana a doua,

20000

5810

8401

rang

411

810

810

411

=8-4+8+4-8-8=0 3 g

19

01

0 2g

33

2221

1211

2,2aa

aaAM

BM 2,3

232221

131211

bbb

bbb

B

2212121121121111 babababaAxB

Obs.:

Fie KMA n .

Presupunem nIA ~ (adică se poate transforma matricea A , pe linii, astfel încât să

devină matricea unitate). Atunci cu aceleaşi transformări aplicate matricii unitate, aceasta

devine matricea inversă lui A , 1A . Analogă afirmaţie pentru transformările pe coloane.

Demonstraţie:

Deoarece nIA ~ , există )(KMC n astfel încât

nICA . Urmează 1 AC . Pe de altă parte, aceeaşi transformare aplicate unei alte matrice, de

pildă matricii unitate, înseamnă înmulţirea cu aceeaşi matrice a transformării, C . Observaţia devine

acum clară din egalitatea 1 ACCI n

Exemplu: Inversa unei matrici :

194

012

141

A

100

010

001

3I

34

nn IACIDA

AI

ICC

CC

A

I

A

.,.

112

0107

1

7

5

7

1

211

0107

1

7

5

7

1

100

010

001

001

010

100

217

0107

1

7

51

147

010

001

141

010

0101

007

010

100

157

010

100

153

012

100

1

313

31

3

Rezolvarea sistemelor liniare:

BAx

KMb

KMx

KMA

m

n

nm

1,

1,

,

nnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

....

...

...

2211

11212111

este echivalent cu sistemul scris matriceal

CbxCA , dacă KGLC n . Prin transformări elementare(pe linii) se adduce matricea A la forma

CA pentru care sistemul echivalent CbxCA este rezolvat.

Să se rezolve sistemul:

234

02

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

~

4

2

2

400

101

310

~

2

0

2

530

211

310

~

2

0

2

314

211

112

1

1

1

100

001

010

~

1

1

1

3

2

2

x

x

x

1,1,1S

35

Să se rezolve sistemul în care matricea extinsă este

1

1

1

2

1031

4322

3110

1232

:

1

1

1

2

1000

0010

0100

0002

~

1

1

2

3

1000

0010

3100

5002

~

~21

1

4

7050

0010

3110

5012

~

0

3

1

2

1230

3110

3110

1232

~

1

1

1

2

1031

4322

3110

1232

Temă:

1

1

2

0

1031

3110

12032

~

36

SEMINAR 2

Exemplu:

Pentru RMA 3,4 spunem că yx ~ RGLC 4 a.î. yCx

Atunci ~ este echivalenţă.

a) este reflexivă xIx 4 RGLI 44

b) yx ~ RGLC 4 a.î. yCx

urmează yCx 1 deci

RGLCC u 1' a.î. yCx ' xy ~

c) zxzy

yx~

~

~

. Din yCx , zFy urmează zFCx , iar 111 )( FCFC , i.e.

)(4 RGLFC .

37

z

Q

P

N

0 z

M

x

1,0,00,1,00,0,1,0,00,,00.0,,, cbacbaOQONOMOPcbaP

i

j

k

ckbjai

(am folosit că P şi M au aceeaşi proiecţie M pe OX, deci aceeaşi abscisă, analog

aceeaşi ordonată au P,N, aceeaşi cotă P, Q).

38

Operaţii cu vectori (liberi).

1. produs scalar (canonic) 2. produs vectorial (standard) 3. produs mixt

Fie

kcjbiav 1111

2121212121

2222

,. ccbbaavvvv

kcjbiav

Obs:

vvccbbaav

vvv

vvvvvv

....

.

,cos..

2

2

111

212121

39

1v

z x 1221

222 cos2

vvvv

yzzyx

0 2v

y

cos.

cos2.2

cos2

2121

2

221

2

1

2

221

2

1

21

2

1

2

2

2

21

vvvv

vvvvvvvv

vvvvvv

Exemplu: Fie R

Rvvvv

,,,

,,, 3

4321 atunci

423241214321 . vvvvvvvvvvvv

kcjbiav

vvvv

x 111

3131

4,1l

0;1

,,,

4321

333222333111

3231321

vvvv

kcjbiakcjbiakcjbiakcjbia

vvvvvvv

40

3232323131313231321 ccbbaaccbbaavvvvvvv

41

Fie 3

21, Rvv lll cbav ,,

2,1l

12122112211221

222

11121 , vvbabacacacbcb

cba

cba

kji

vv

Obs: 0,

0....,

221

121

121

vvv

vvv

vvv

0

222

111

111

cba

cba

cba

Exemplu:

3231321

3231321 ...

vvvvvvv

vvvvvvv

Exerciţiu:

4232

4131

4321,,

,,det,

vvvv

vvvvvvvv

Temă: Este suficient de verificat pentru orice alegeri

kjivvvv ,,,,, 4321 .

42

j

kji

ikvv

k

kji

ji

kjivv

ivkvjviv

001

100

100

000

;;;

43

21

4321

jv

kv

kv

jv

ijvv

kjvv

iivv

kivv

4

3

2

1

42

32

41

31

000

10det

0..

0..

1..

0..

Consecinţă

212121 ,sin.. vvvvvv .

43

44

SEMINAR 3

Fie VMf : o bijecţie, unde V este un K spaţiu vectorial. Atunci M devine K spaţiu

vectorial izomorf prin f cu V .

Se poate defini suma prin identităţile echivalente

nfmfnmf

nmffnm

)(1

,

Înmulţirea cu scalari, operaţia externă, în mod analog

mfmf

mffm

)(1

1) Arăt că adunarea este asociativă.

Mpnmpnmpnm ,,,

pfnfmfpfnfmf

pnfmfpfnmff

pnmfpnmf

A

2) …. Distributivă faţă de + nmnm kMnm ,

nfmfnfmf

nfmfnfmf

nmfnmf

Caz particular:

KNfK N : este spaţiu vectorial peste K (mulţimea şirurilor).

45

NNKfKxK f

Nnot

N /: a.î. fNnnf 0 (mulţimea polinoamelor)

fN rangul lui f f

Atunci KaaK nnn

N

,0

Exemplu: Fie

0.].:

0.].

,

22222

1111

1

21

nfafNf

nfafNf

Kff N

2

1

N

N

n

n

Aleg

Nnfnfnff

NNN

n

000

,max

2121

21

dacă

,....,....,,,1

.....0,1,0,0,....0,1,0,....0,0,1,0.

,....,,.

....0,0,1,0

2

2

02112001100000

n

nnnn

xxx

xxx

bababababababa

x

Exemplu:

convergeaRaaln

nnnn

0

2

0

2 ,,

este subspaţiu în NR

46

naa

aaa

aa

a

.....0

210

10

0

Exemplu : mgrPXKPXKm / este subspaţiu în [X]K .

xaabbbaaabababaxba

xbaxbabaxbxbbxaxaxaa

KxK

xaxaxaaa

XKK

mmmm

m

mn

nn

m

m

m

n

n

m

n

nnnn

N

1010101100

2

220010

2

210

1

2

200

,....,,....,,,...,,.

............

.........,.....,

Pag 33

De la pag 33- )notatie pag 3 ADI)

Exemplu: Să se scrie explicit proiecţia ortogonală pe planul

cbap

RRp

zyx

,,

:

032

33

Ecuaţia se poate scrie

0,,,3,1,2 zyx

,,P

Q

PP

47

0,0,0O

nimp Kerp 0Kerpimp

14

32

14

3232

14

3322

312

3,1,2

0,,,3,1,2

032

,,

cbacbacba

PQ

cba

cba

cbaQ

14

536

7

35

14

3132

c

a

b

by

ax

b

a

y

x

48

Exemplu: Calculăm simetria faţă de

,,

,,

: 33

P

simPs

RRs

P

Q T PQT

PTQ

2

2

O

2

2

sIp

PsPIPp

Isos

mendomorfiss

d

d

d

Exemplu: Se consideră

6,4,2,,

3,2,1

6

3

4

2

2

1:

APzyxP

A

zxxd

49

(2,+4,6)

P

A O

A

cba

cba

zyxd

642

,,6,4,2

6

3

4

2

2

1:

50

SEMINAR 4

Exemplu:

21 ,vv sunt liniar independenţi.

bay

bax

CCyxyxw

2

,;0,, 3

este compatibil

yxb

xya

2

0,,37,;

0,2,,

Im..:

2,,,

:

15,,

..:

32

32

23

13

qtqqtCC

bababah

whiaCCh

zzzyxg

CCg

zzyxf

wKerfiaCCf

Exemplu: /,,, 4

4321 Rxxxxw 4

321

4321

321

032

023

02

Rw

xxx

xxxx

xxxx n

0;002

0

0,0,0.0,1,10,2,1

0,1,1,0,2,10,1,10,2,10,,0,2,0,2,

0,2,0,2,

0,2,0,2,

0,2,

,,0,2,

2121

21

21

212121212122222

11111

3

Spanbabbaababav

wbabababav

wbbaabbaavvbabav

babav

Cw

bababaw

51

0000

2105

3017

~2105

2105

1112

~0321

1213

1112

4

3

2

1

25

37

x

x

x

x

,.....2,,,

:

,...,2,,,

:

1,2,3,00,5,7,1

,,25,32,

14321

24

4321321

34

4

xxxxxg

RRg

xxxxxxxxf

RRf

KerfW

RW

,25,37,,

: 42

h

RRh

Exemplu: VJwjj subspaţiu vectorial

= jj Jw este tot subspaţiu vectorial.

Demonstraţie:

sJwv

k

wvvJwvv

wvvwvv

jj

jjj

jiJj

iJj

2121

2124

,

,

52

Exemplu: Fie Vw j subspaţiu vectorial.

Jj

jJj

j ww

;Vv Jjj ....1

şi

s

i

jijiji sivviawv1

,1;..

Atunci Jj

jw subspaţiu în V

Demonstraţie evidentă

Fie

r

t

jt

Jj

j

r

t

jt

s

i

ji

s

i

ji

Jj

j

vpentru

wvvvuvv

wuv

1

111

,

Dacă

s

i

jis

jtjijtjiti

vv

wwvvjj

1

Exemplu: Daţi exemplu de morfism

iJjwv

53

dim1

0232

0,, 3

cba

cbaRcbaKerf

dim2 Rnmmnmnmf ,0,,3,2Im

213

0,0,3,20,1,1,1

nm(A)

232

2.

ba

ba c

45 b 5

4b

5

a

0,79,232,,, cbacbacbacbaf

cbanm

cbanm

2323

2

.3

cbanm

cbanm

46462

33363

cbam 79

iaRRf .: 43

54

0323

02

02

,,, 4

dba

dcba

dcba

Rdcbaw

3,,2, RRxyxxyxyU x

exemplu de morfism 43: RRg

1,2,11,2,1

Im

xy

Wg

UKerf

dc ;

2

2

ba

ba 1

3,2,,,

3322

2

~~~

~~

wdcbaf

b

a

,,33,,

0

0,,

1,0,3,10,1,3,2

,,3,2

~~~~~~

g

U

W

55

Exemplu:

3

1202

2000

3310

0101

2110

3310

3310

0101

2

2211

3310

3211

0101

2,2,1,1,3,3,1,0

3,2,1,1,0,1,0,1

21

4

2

4

1

rkhrK

SpanWW

RSpanW

RSpanW

56

CURS IV : TEOREMA (FORMULA) DIMENSIUNII (GRASSMANN).

SPAŢII, SUBSPAŢII INVARIATE. VECTORI ŞI VALORI PROPRII.

Proprietăţi : Fie V un K-spaţiu vectorial şi VW , subspaţiu.

Atunci VBB 1 a.î. 1B este bază în W şi B este bază în V .

Demonstraţie evidentă.

Fie 1B bază în 1BindW K (în W sau V ) 1BB a.î. B bază în V .

Caz particular – demonstraţie constructivistă.

Presupunem că spaţiul V admite bază finită, nwwwB ,....,' 21 .

Dacă vW 0 atunci (unica) bază în W este 'B .

Să presupunem că vW 0 . Fie muuuB ,....,' 211 bază în W şi deoarece

VuuindWBuuind mKmK ,....,',.... 111 KMa nm

mjni

ij

11

a.î.

n

i

iijj wau1

.

Dar 1i a.î. n

lema

schimbului

i wwua ,....,,;0 2111 este bază în V (cu o renotare am presupus 11 i ).

Prin inducţie, ţinând seama că mK uuind ,....1 şi urmând acelaşi procedeu, se obţine nm

şi se pune în evidenţă o bază nmm wwuuu ,....,,....,, 121 în V .

57

Proprietăţi: Fie KVV ,, 21 -spaţii vectoriale şi 21,VVHomf K atunci

1dimImdimdim VfKerf KKK

Demonstraţie: Cazul 1dim VK ( bază finită în 1V ).

Fie BB 1 ca în propoziţia anterioară (corespunzător situaţiei 1VKerf ).

nmm

m

wwuuB

uuB

,...,,...,

,...,

11

11

Arăt că nm wfwf ,....,1 bază în fIm .

58

1) nmk wfwfind ,....,1 .

Fie Knnm ,..., a.î.

n

mi

vjj wf1

20 . Urmează

n

mi

n

mj

m

i

iiijjjv

n

mi

jj uwKerfwwf1 1 11

20 pentru nişte scalari Ki . Urmează

0........0........ 121112211 nmmnnmmmm wwuuu

2) Span fwfvf nnm Im,....., .

Este trivială incluziunea „”

"" Fie fx Im 1' Vx a.î. xxf ' Kn ,....,1 a.î.

m

i

n

mi

jjii wx1 1

'

m

i

n

m

jjii

m

i

n

mi

jjii wfufwufxf1 121 1

'

n

m

jj wf12

.

Definiţie: Fie 21,WW subspaţii vectoriale în .V Notăm 2,1,2121 jWwwwWW jj

Proprietăţi: Cu notaţiile de mai sus, 21 WW este subspaţiu vectorial în 21; WWV este subspaţiu

vectorial în .V

59

Proprietăţi : (Formula lui Grossman)

Fie V un K - spaţiu vectoriale şi VWW 21, subspaţii.

Atunci 212121 dimdimdimdim WWWWWW KKKK

Demonstraţie : Cazul VKdim . Observăm că 21 WW este subspaţiu al lui 1W , etc.

Fie rvv ,....,1 bază în .21 WW Completăm la trr vvvv ,...,,,...., 11 bază în 1W şi la

},...,,....,{ 11 srr wwvv bază în 2W .

Arătăm că sstrr wwvvvv ,...,,...,,,... 111 bază în 21 WW .

Remarcă: 1dimImdimkerdim Vff kkk ; fKerf

VIm1

Temă: de construit izomorfism 2

21

21

1

W

WW

WW

W

1) srtrrk wwvvvvind ,...,,...,,,..., 111

Fie Ksrt ,,,...., 11 a.î.

1 1 1 1

21:0j

s

ri

t

j

s

ri

iijjiijj WWwvxwv .

60

Aşadar ....1 Kr

r

l

llvx1

r

j

t

l

r

j

t

rj

jjjjjjjlljj rjvvvw1 1 1 1

,1;,0 şi

trjj ,10 . Analog

r

j

jjji vsri1

00,1,0

Temă: srt wwvvSpanWW ,...,,...., 1121

Definiţie: Fie V K - spaţiu vectorial , VEndf şi VW subspaţiu vectorial.

W se numeşte spaţiu invariant (pentru f ) dacă WWf .

Exemple

a) V este subspaţiu al său invaraint în raport cu orice endomorfism

b) vO subspaţiu în raport cu orice endomorfism

0vOf .

Proprietăţi : Fie V spaţiu vectorial K ; VEndf k .

21,WW subspaţiu în V invariant.

Atunci 2121 , WWWW sunt invariante.

Demonstraţie: Fie

2,1,;21 jWwWWv jj a.î.

212121 WWwfwfvfwwv

61

i.e. 2121 WWWWf

Definiţie: Fie V un K spaţiu vectorial , VEndf k . Un vector vOVv \ se numeşte

vector propriu al lui f corespunzător valorii proprii K dacă vvf .

Proprietăţi: Dacă v este vector propriu pentru f atunci ! valoare proprie

asociată.

Demonstraţie:

vv

vvvf

21

21

0

0

21

21

v

vv

Presupunem prin absurd 21 , notăm cu 1

21

vv

v

v

OaOva

Ov

Ov

.

..1

sau vOv

Proprietăţi: Fie f ca mai sus, K valoare proprie.

Atunci vvfvV / este subspaţiu vectorial invariant.

Demonstraţie: Notăm idfgVVg .,: VEndg k .

Se observă că VKergV subspaţiu vectorial.

Fie VvfvfvffvfvffvvfVv c.t.d.

62

Exemplu: Fie VVp : o proiecţie ppp

Atunci pVKerpV Im; 10

0V 1,0

Demonstraţie: Este trivial că KerpV 0 ; pentru orice endomorfism f KerfV 0 .

Fie pvvpvVv Im1

Fie Vupv Im a.î. vpvvpupvpuppvup

Fie vOVvK \; a.î.

1,0

01. 22

vvvvpvpvpvppvvp

Temă: Pentru ce proiecţii 0 , 1 nu sunt valori proprii .

Exemplu: Fie nn KKf : endomorfism dat de ,

11

nn x

x

A

x

x

f KMA n

Fie VvK , a.î. vvf ; matriceal se poate scrie:

63

0

.

vIA

vIAv

vvA

vvf

n

n

dacă 0det0 nIAv (ecuaţie polinomială de grad n).

Coeficienţii polinomului asociat

A

aaa

ATrrA

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

n

nnn

nnnn

nmnnn

n

n

n

det.....

.......

det.....11

.....

....

.....

.....

1

22111

11

321

3333231

2232221

1131211

64

CURS V. SCHIMBARI DE BAZA (MATRICEA SCHIMBARII).

SCHIMBĂRI (LINIARE) DE COORDINATE. FUNCŢII MULTILINIARE.

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial şi ', BB baze în V . presupunem nV dim

nn wwBvvB ,....,',,...., 11

Notăm KMa nnjiij ,1

,

n

i

iijj vaw1

Atunci kjiijaA

,1 se numeşte matricea schimbării de bază de la B la 'B .

'', ; BBBB MAMA

Observaţie: Contează ordinea elementelor atât din B cât şi din 'B .

Exemplu: 1,,'

,,1

2

2

0

xxB

xxB

baze în 2K [X]

010

001

100

'BBMA

2

22

2

.0..01.11

.1.01.0

.0.11.0

xx

xxx

xxx

65

Observaţie: 'BBMA se poate scrie nn

nn

t wwAvv

w

w

v

v

A ........, 11

11

Propoziţie: Cu notaţiile de mai sus, această matrice este inversabilă: KGLM nBB ' şi

'

1

' BBBB MM

Demonstraţie: Temă: 1

11 ......... Awwvv nn

Din egalităţile nn wwAvv ........ 11 , nn vvBww ........ 11 , nnn wwIww ....... 11 şi unicitatea

matricii de schimbare între două baze date afirmaţia propoziţiei este imediată.

Propoziţie: Cu notaţiile de mai sus, fie Vx , nnnn wbwbvcvcx ....... 1111 . Atunci

nnnn

t

nn

ii

b

b

c

c

A

b

b

A

c

c

Abbcc

Kbc

11

1

11

11 ........

,

Demonstraţie:

n

i

n

j

n

ji

n

j

j

i

ijijijijjiiii vbavbavabwbx1 1 1, 1

1

1

Deci

n

i

ijij bac1

66

Definiţie: Fie KVV ,, 21 - spaţii vectoriale

21,VVHomf K , presupunem nVmV 21 dim,dim

Fie mvvB ,....,1 bază în 1V

nuuB ,....' 1 bază în 2V

Notăm jiijaA

, mulţimea dată prin

KMA

uavf

mn

m

j

jjii

,

1

Notaţie: 'BBfMA

Caz particular: idf

VVV

21

'BBM matricea anterioară A

Caz particular:

n

m

nm

eeB

eeB

KVKV

,....,'

,....

,

1

1

21

0,....0,1,0,...,0je

67

Fie ,, nm

k KKHomf atunci KMAf mn, a.î.

mm x

x

A

x

x

f 11

.

In acest caz AfMBB

',.

Proprietăţi: Fie KVV ,, 21 spaţii vectoriale 21, BB baze în 211 ,, BBV baze în 2V .

pP ,dim 1 mV nV 2dim .

Notăm :

1

21

21

',

''

BB

BB

BB

fMA

MD

MC

; 21 ','

~

BBfMA

Atunci: AACD~1

Demonstraţie: Temă:

C.p. ,21 VVV ,'11 BB AACCBB~

' 1

22

Definiţie: Fie KV , - spaţiu vectorial, *dim NnVK . Funcţia polinomială

caracteristică a lui VEndf k este nf

f

IAP

KKP

det

:

nf

f

IAP

KKP

det

: unde A este

matricea lui f în o bază a lui V .

Observaţii: Definiţia este corectă:

nnnn IACIACCICACCIA

detdetdetdet 11

~

.

68

Definiţie: Fie KWVV s .,,......,1 - spaţii vectoriale.

O funcţie WxVxVF s ....: 1 se numeşte multiliniară (s-liniară) dacă este liniară în fiecare

argument.

i.e. (în al II-lea argument)

sss vvvbFvvvvaFvvvbavvF ,......',,.....,,,,.....,', 2132132221

Notăm WVFsvv 2:

,.....2,1 svv vvvFvF

s,......, 212,.....2,1

este morfism.

Definiţie: In cazul sVVV ......21 cu notaţiile de mai sus F se numeşte :

a) Simetrică, dacă s are loc ss vvvFvvvF ,.....,,....., 2121

b) Asimetrică dacă: s are loc ss vvvFvvvF ,......,,......, 2121 .

Exemplu:

a)

bcadd

b

c

aF

RRMRMF

1,21,2:

este multiliniară : 2-liniară/biliniară şi antisimetrică

b)

cdabd

b

c

aF

RRxMRMF

,

: 1,21,2

este biliniară şi simetrică

69

c)

0000

000

003

,,,,

:

212133

221111

232221

131211

2

321

4,33,22

3

bmxcmx

bmxamx

mmm

mmm

cxbxaxxxF

RMRMXRRF

este o aplicaţietriliniară.

Proprietăţi: Fie WVVF ......: o funcţie multiliniară simetrică pentru care

0,.....,, vvvF Vv atunci 0F .

Demonstraţie:

Pentru t 1s este trivial

Pentru t 2s

221221112122112121 ,,,,,,,0 vvFvvFvvFvvFvvvFvvvFvvvvF

0, 21 vvF 21 ,vv arbitrari 0 F

Inducţie completă

0,,....,,,,

,.........,,....,,,....,,....,,

,....,....,.....,,....,,,.....,,0

211121

22211

22

211

1

111

21111112111

vvvvFVvv

vvFvvvFCvvvxFCvvvF

vvvFvvvFvvvFvvvvvvF

s

ss

s

70

211112 ,,....,,......, vuuFuuv ss este în cazul de inducţie 1s

WxVVxVxv .....:2

211112 ,,....,......, vuuFuuv ss şi are loc:

1) 2v este multiliniară (trivial)

caz s-1

2) 2v este simetrică (trivial) 02 v

3) 0....,, 1112 vvvv

Definiţie: Fie V un spaţiu vectorial real RK . Un produs scalar pe V este o funcţie

biliniară simetrică nedegenerată RVVF : , i.e.

1) 2121211 ,~,,~ vvbFvvaFvvbavF VvvvRba 211 ,~,,,

2) 1221 ,, vvFvvF

3) pt Vv dacă 0, wvF Vw are loc vv 0

Observaţie: Considerăm pentru o funcţie biliniară simetrică restricţia

3’) 0,, vvfVv cu egalitate atunci şi numai atunci cînd 0v .

71

Observaţie: 00,,0 wFvF pentru orice F biliniară.

Definiţia 2: Cu notaţia de mai sus F se numeşte produs scalar (pozitiv definit) dacă

verifică: 1,2,3’.

Teoremă: Fie V un spaţiu vectorial real şi RVVF : un produs scalar pe V .

Pentru *dim NnVR atunci există o bază rvvvB ,......,, 21 ortonormată în raport cu

F . i.e. jiji vvF ,,

Demonstraţie: prin inducţie matematică. În cazul produsului scalar pozitiv definit se

poate da algoritmul Gramm Schmidt de construcţie efectivă.

Demonstraţie: (lema schimbului adaptată lui F ).

Fie nuu ,....1 bază în V .

Notez ;; 12211 uuwuw a.î. 0, 21 wwF

;0, 121 uuuF 0,, 1121 wuFuuF

Aleg soluţie oarecare a ecuaţiei de mai sus cu 0

Se continuă acest procedeu triangular, 3213 punwmww 0p

0,,, 323121 wwFwwFwwF găsesc m,n,p. , etc.

72

CURS VI: SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE. IZOMORFISM DE SPAŢII EUCLIDIENE.

OPERATORI AUTO-ADJUNCŢI.

Definiţie: Un spaţiu pseudoeuclidian este un spaţiuvectorial real înzestrat cu un produs

scalar (în cazul pozitiv definit spunem că este spaţiu euclidian dacă are dimensiunea

finită ca spaţiu vectorial).

Exemplu:

n

j

jjnn

can

n

yxyyxx

R

1

11 ,....,,....,

,,

Spaţiu psedudoeuclidian

r

j

n

rj

jjjjnn

n

r

yxyxyyxx

R

1 1

11 ,...,,....,

,

Proprietăţi: Fie ,V un spaţiu euclidian de dimensiune finită.

Atunci V este izomorf cu ncan

n ER , .

fRVHomf n

R ,, bijecţie, 2121 ,, vvvfvf can Vvv 21, )

Demonstraţie: Fie nuuuB ,....,, 21 bază ortonormată în .V

Fie ntttB ,....,,' 21 bază ortonormată în nR , de exemplu 0,...0,1,....,0,0 jj et

Construim ji

n eufRVf ,: şi prelungim prin liniaritate.

Adică fie RVv n ....! 1 a.î.

73

n

j

jjuv1

şi atunci

n

j

jjevf1

;

n

j

jj

n

j

jj ufuf11

Temă: f e bine definit şi e funcţie liniară +bijectivă.

Să arătăm că f păstrează structura Euclidiană.

Fie

njRVvv jj ,1,,;, 21 a.î.

n

j

jj

n

j

jj

uv

uv

1

2

1

1

Atunci

n

qv

n

qj

canqjqjcanqqjjcan

n

g

qq

r

j

jj eeeeeevfvf1, 1,11

21 ,,,,

n

j

n

j

n

q

qqjjjj vvuu1 1 1

21,,

Remarcă: Orice 2 spaţii pseudoeuclidiene de dimensiune finită egală şi cu acelaşi index

sunt izomorfe.

Exemple: a) canxR ,

mnmnmmnn bababaxbxbbxaxaa ,min,min11001010 ........,....

b) 2, lxR can

0

100 ..............n

nn

n

nn baxbbxaxaa nu e bine definită.

74

01

2

0

2

nnn aRal

1) 2l este subspaţiu vectorial în RNf :

2) can este bine definită pe 22 ll şi este produs scalar.

Definiţie: pag 71 din curs VI

75

c) CURS VII : TRANSFORMĂRI ORTOGONALE. IZOMETRI ALE UNUI SPAŢIU EUCLIDIAN . GENERĂRI DE SUPRAFEŢE ÎN E3.

Definiţie: ./ 1 AARMAnO t

n nS mulţimea matricelor ortogonale (de ordin n ).

Proprietăţi: nO este grup (cu înmulţirea matricelor),.

Demonstraţie: Fie nOBA , . Atunci ABABABBAttt 111

. . i.e. nOAB .

111 )( AAAA ttt , sau ttAAA

11 .

Fie

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

.....

.....

21

22221

11211

nO

Atunci:

a) coloanele lui A sunt vectori ortonormaţi în can

n

n RE ,

b) liniile lui A sunt vectori ortonormaţi în can

n

n RE ,

76

nn

n

n

nn RRMRM

,....,..... 11

1

,11,

Demonstraţie: b) Din n

tt IAAAA .1

10

1

01

.....

.....

.....

....

....

....11

21

22221

11211

21

22212

12111

nn

ji

nnnn

n

n

nnnn

n

n

ll

ll

ll

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

a) Din n

tt IAAAA .1 i.e. ncc ,.....1 (sistem) bază ortonormată în nE .

Lemă: Fie mvv ,.....,1 vectori nenuli, doi câte doi ortogonali într-un spaţiu euclidian.

Atunci sunt liniar independenţi.

Demonstraţie: Fie Rm ,....,1 a.i.

m

j

vjj Ov1

.

m

j

tttttjj

m

j

tjj

t

vvvvvv

v

11

00,0,0,

,

,tarbitrar.

77

Definiţie: Fie nn EEf : a.î. 2121 ,, vvvfvf nEvv 21, .

Atunci f se numeşte transformare ortogonală.

Proproziţie:

a) Fie f transformare ortogonală. Atunci

nn x

x

A

x

x

f 11

cu nOA .

b) Reciproc, dacă nREndf şi nOfM atunci f este transformare ortogonală.

Demonstraţie: b) 2121212121 ,.,,,, vvvAAvAvAvAvAvvfvf tt

a) i) Alegem o bază ortonormată în nE de ex. nee ,....1

nijjiji efefeeefef ,.....,,, 1 sunt ortonormaţi sunt liniar

independenţi în nR deci (sunt în număr n ) formează bază în nR

ii) arăt f este aditivă

332

132313231321321

2121

,

,,,,,,

..

vvfvf

vfvfvfvfvfvvvvvvvvfvvf

vfvfvvfei

wwvfvfwvvf ,, 2121 dintr-o bază în nR

21212121 ,, vfvfvvfRwwvfvfwvvf n .

iii) f omogenă. vfvf

33333 ,,,,, vfvfvfvfvvvvvfvf şi se procedează ca

mai sus

Putem scrie acum RMA

x

x

A

x

x

f n

nn

,

11

iv) Arătăm nOA

78

n

t

tt

IAA

vvAAvvvvAAvAvAvvfvf

.

).(,.,,, 22121212121

Definiţie: O funcţie nn EEf : se numeşte izometrie dacă BPdBfPfd ,,

nEBP , .

Propoziţie: a) Fie f izometrie nn EEf : . Atunci ,

11

b

x

x

A

x

x

f

nn

cu RMb

nOA

n 1,

b) Dacă nn RRf : are forma de mai sus, atunci este izometrie în nE .

Demonstraţie:

b) BPABPABPAbBAbPABfPfBfPfd ,...,

= BPdBPBPAABP t ,,

a) fie 0,: fxfxgRRg nn

yxdyfxfdyfxffyffxfygxgygxgd ,,00,

Arăt că nRyxyxygxg ,,,

Ştiu xxd 0, , xgxgdgxgd 0,0, , deci xxg )(

yxyyxxyxyxygxgygxg ,2,,,,

)(),(2)(),()(),(, ygxgygygxgxgygxgygxg

79

Deci Ryxyxygxg ,,,

Proprietate anterioară: ,Axxg A nO .

Definiţie: Fie curbă în 3E şi d o dreaptă în 3E . Notăm dC , suprafaţa obţinută din

mişcarea unei drepte (variabile) paralele cu d de-a lungul lui . dC , se numeşte

suprafaţă cilindrică de generatoare d şi curbă directoare .

Ex:

02

0442:

222

zyx

zyxzyx

21: zyxd

Scriem ecuaţii implicite pentru dC , .

922194444412044222222222 zyxzzyyxxzyxyx

Azyxd

zyxd

zyx

36

7

141

2410,2,2,2,1

32,2,1,,,

32,2,1

96

492 r 6

5r

80

PsimPs

ERs

3

3:

02: zyx

P

P’

P”

2

"'

PPP

'

,,',,,

PP

cbaPzyxP

121

czbyax 02 cba

6

2

14

22

1

zyxczbyax

81

P’

6

52

3

6

25

zyxc

zyxb

zyxa

P”

3

22

3

242

3

22

zyxz

zyxy

zyxx

33: RRs

z

y

x

A

z

y

x

s

221

212

122

3

1A

Generatoarele suprafeţei dC ,

111

zyx

''

zyx

zyx

82

Sistemul

2

'3'2

2

'

2

''2

z

y

x

922

322

2

21

2

22/,,,

922

'3'22

2

'

2

''2

22

23

222

xzxyxxxyRzyxdC

Definiţie: Fie curba în 3E şi 3EV . Notăm VC ,0 suprafaţa obţinută ca reuniune

a dreptelor ce trec prin V şi intersectează nevid . Numim VC ,0 suprafaţă conică de

vîrf V şi curbă directoare .

Exemplu:

02

9221222

zyx

zyx 1,1,1V

83

Ecuaţia dreptelor ce trec prin V p

z

n

y

m

x 111

cu 0,0,0,, pnm

Pentru generatoare sistemul format este compatibil.

.

02

9221

111

222

zyx

zyx

p

z

n

y

m

x

1''2

1'4'2

pn

pnz

1''2

1''

1''2

31

1''2

2''2

2''21''2

011'11'2

11'

11'

pn

pny

pnx

pn

pnx

pnpnx

npnmx

npz

nmy

84

2

22

0

222

..................

11

1

1

12

3/,,,

91''2

3'6'6

1''2

1''5

1''2

3

z

x

y

xzyxVPC

pn

pn

pn

pn

pn

Urmeaza CURS VIII

85

86

CURS VII

87