127

4.

CALCULUL STRUCTURILOR CU

COMPORTARE NELINEARĂ

4.1. Categorii de probleme nelineare

Toate fenomenele din domeniul mecanicii solidului deformabil

sunt nelineare. Din fericire, sunt numeroase situaţiile ivite în practica

inginerului mecanic sau constructor, în care, pentru obţinerea unor

soluţii aproximative satisfăcătoare, se acceptă ipoteze care duc la o

formulare lineară a problemei reale, sau, altfel spus, la un model

linear elastic. În astfel de cazuri erorile soluţiei problemei linear

elastice sunt relativ mici faţă de soluţia exactă a problemei nelineare.

Analiza unei structuri ca problemă nelineară, când este cazul, se

justifică prin obţinerea unor rezultate mai precise, conforme cu

realitatea, în acest caz fiind valorificate - de obicei - “rezervele” de

rezistenţă ale structurii.

Calculul în regim linear elastic trebuie să îndeplinească

următoarele condiţii:

- relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice să fie lineare;

- deformaţiile specifice să fie mici;

- deplasările să fie mici;

- să existe o dependenţă lineară între deplasări şi sarcini;

- eforturile să nu fie funcţii de deplasări;

- ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată să

rămână valabile şi pentru structura deformată;

- să fie valabil principiul suprapunerii efectelor.

Trebuie remarcat faptul că uneori unele din condiţiile enumerate

sunt consecinţe ale altora, ca, de exemplu, dacă primele trei condiţii

sunt îndeplinite, atunci, de regulă, există linearitate între deplasări şi

sarcini. Dar această situaţie nu este generală, fiind numeroase

excepţiile întâlnite, ca, de exemplu, cazul arcurilor elicoidale conice

sau al structurilor cu frecări puternice în reazeme. Existenţa frecărilor

128

în reazeme poate duce la încălcarea principiului suprapunerii

efectelor.

În sensul cel mai general, se consideră că o problemă de

mecanica solidului deformabil este nelineară, când cel puţin una din

condiţiile enumerate nu este îndeplinită.

Sunt cazuri în care abordarea unor probleme nelineare ale

analizei structurilor mecanice deformabile nu mai poate fi evitată, ca,

de exemplu:

- Structura este executată din materiale “care nu ascultă de legea

lui Hooke”, adică curba caracteristică a acestora nu are o porţiune

rectilinie; este cazul fontelor, al unor aliaje neferoase, mase plastice,

materiale compozite etc.

- În unele zone ale structurii, deformaţiile se produc în stadiul

plastic, deci structura este solicitată elasto-plastic, adică parţial

elastic, parţial plastic. Astfel de situaţii apar când sunt concentratori

de tensiuni, probleme de contact, în studiul unor procese tehnologice,

în analiza comportării unei structuri înaintea producerii ruperii etc.

- Probleme la care deplasările produse de sarcinile aplicate sunt

mari, acestea putând fi însoţite sau nu şi de deformaţii plastice. Este

cazul unor structuri flexibile, structuri cu pereţi subţiri, structuri

formate din bare sau plăci, elemente elastice compensatoare de

dilatare, studiul unor fenomene post-flambaj sau post-fluaj etc. În

practica analizei acestor probleme se face distincţie între structuri cu

deplasări mari şi cele cu deplasări foarte mari. În aceste cazuri

configuraţia geometrică a structurii se modifică mult, în cel de al

doilea caz, chiar fundamental.

- Probleme de contact, la care, pentru încărcare zero, contactul

este într-un punct sau pe o linie (arie zero) iar pe măsură ce sarcina

creşte, contactul are loc pe suprafaţă a cărei formă şi arie cresc.

Distribuţia presiunii de contact se modifică şi ea, dependenţa fiind

nelineară în raport cu sarcina. În zona contactului apar, de obicei,

tensiuni relativ mari şi este posibilă apariţia deformaţiilor plastice.

- Pentru structuri industriale complexe (de exemplu, reţelele de

conducte din combinatele chimice), este posibil ca dependenţa

deplasărilor de ansamblu ale structurii să fie nelineară funcţie de

sistemul de sarcini, datorită forţelor de frecare din reazeme, a

129

interacţiunilor cu alte structuri sau datorită existenţei unor asamblări

cu elemente (de exemplu, garnituri) care au comportare nelineară.

Desigur că se pot ivi situaţii în care se “combină” unele din

aspectele menţionate, care nu reprezintă nici pe departe o enumerare

exhaustivă.

Problemele enumerate pot fi formulate şi abordate ca procese

statice, staţionare sau ca procese dinamice, dependente de timp,

nestaţionare sau tranzitorii, materialele putând fi vâscoelastice sau

vâscoplastice, adică cu proprietăţi elastice sau plastice, variabile în

funcţie de timp. În concluzie, se poate afirma că există o foarte mare

diversitate de probleme nelineare, cărora le corespund numeroase

metode de rezolvare.

Metoda elementelor finite (MEF), prezentată în capitolul 9, se

pretează foarte bine pentru analiza structurilor cu comportare

nelineară, programele actuale permiţând abordarea problemelor cele

mai complicate.

În practica modelării şi analizei inginereşti a structurilor cu

comportare nelineară, în vederea simplificării şi sistematizării acestor

probleme se foloseşte, de obicei următoarea clasificare:

a. Probleme cu nelinearitate de material. În aceste cazuri

dependenţa dintre tensiuni şi deformaţii este nelineară. Aceasta poate

fi asociată cu solicitarea în domeniul plastic, dincolo de limita de

curgere (sau în domeniul elasto-plastic, adică situaţii în care pentru

unele zone deformaţiile sunt elastice, iar în altele, atât elastice cât şi

plastice), sau cu o comportare intrinsec nelineară a materialului, ca,

de exemplu, în cazul materialelor plastice termoplaste.

b. Probleme cu nelinearitate geometrică. În această categorie

intră problemele pentru care în procesul de deformaţie se produc

deplasări mari. Se admite că materialul are o comportare linear

elastică. Relaţiile dintre deformaţii şi deplasări precum şi relaţiile

dintre sarcini şi deplasări (pentru întreaga structură) devin nelineare.

De asemenea, valorile eforturilor devin funcţii de deplasări, iar

ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată nu mai

rămân valabile şi pentru structura deformată.

c. Probleme cu nelinearitate generală. În aceste cazuri se

suprapun, adică se “cumulează”, condiţiile de nelinearitate de

material şi geometrică, de la categoriile a şi b, aceasta fiind

130

problema generală cu comportare nelineară. În această categorie

intră şi problemele de contact.

În cadrul fiecăreia din cele trei categorii de probleme pot fi avute

în vedere aspecte dinamice, de stabilitate sau de vâscoelasticitate sau

vâscoplasticitate.

4.2. Diagnosticarea unei probleme nelineare

În practica modelării şi analizei structurilor deformabile se

întâlnesc situaţii în care nu există iniţial indicii sau informaţii

privind comportarea nelineară a structurii şi deci se realizează,

pentru început, o analiză lineară (L, în fig. 4.1).

Figura 4.1

În urma postprocesării şi evaluării rezultatelor obţinute se

poate ajunge la concluzia că de fapt structura poate avea o

comportare nelineară şi analiza se reia în

condiţii corespunzătoare.

Indicii simple şi sigure în acest sens sunt:

- apariţia unor tensiuni ale căror valori maxime depăşesc limita

de curgere a materialului, σc (fig. 4.1.a);

- producerea unor deplasări ale căror valori maxime reprezintă

peste 1 – 5 % din dimensiunile de gabarit ale structurii;

- există indicii că forţele de frecare din reazeme sau interacţiunile

structurii care se analizează cu alte structuri, au efecte importante

asupra comportării acesteia.

Din analiza diagramelor din figura 4.1, compararea dreptelor L,

corespunzătoare problemei lineare cu curbele N, corespunzătoare

problemei nelineare, se constată că sunt posibile diferenţe mari ale

rezultatelor (tensiuni – Δσ şi deplasări - Δu) în cele două variante.

131

4.3. Principalele metode de rezolvare

Metodele de calcul utilizate pentru rezolvarea problemelor

nelineare ale mecanicii structurilor se clasifică, frecvent, în metode

directe şi metode indirecte de calcul.

Metode directe de calcul.

Metodele directe de calcul sunt analitice sau numerice, exacte

sau aproximative, elaborate pentru subclase restrânse de probleme,

relativ simple, delimitate de ipoteze specifice, restrictive. De

exemplu, pentru calculul barelor drepte solicitate elasto-plastic la

încovoiere sau răsucire, se admite valabilitatea ipotezei secţiunii

plane (pentru răsucire, doar pentru secţiuni circulare şi inelare) şi se

consideră curba caracteristică a materialului determinată grafic, sub

forma reală, sau schematizată prin linii drepte. Pentru forme simple

de secţiuni se determină relaţii analitice sau grafo-analitice pentru

calculul tensiunilor remanente şi deplasărilor.

Metode indirecte de calcul.

Cele mai utilizate metode de rezolvare ale problemelor nelineare

sunt metodele numerice indirecte de calcul. În principiu ele se pot

„combina” cu oricare dintre metodele de calcul pentru probleme

lineare, utilizându-se mai ales asociate cu metode generale, ca, de

exemplu, metoda deplasărilor pentru structuri din bare, metoda

elementelor finite, metoda diferenţelor finite etc.

Metodele indirecte de calcul se bazează pe principiul că o

problemă nelineară poate fi aproximată printr-o succesiune de

probleme elementare lineare. Avantajele acestor metode sunt :

- generalitatea: metodele pot fi aplicate pentru clase de probleme

relativ vaste;

- simplitatea: metodele de calcul pentru problemele linear

elastice se pot adapta cu modificări minime pentru analiza

problemelor nelineare;

- posibilitatea implementării pe calculator: aceste metode duc la

algoritmi care se pot foarte uşor implementa în programe pentru

probleme linear elastice, ca module sau proceduri specifice;

- posibilitatea evaluării ordinului de mărime al erorii soluţiei

aproximative: calculul făcându-se iterativ, diferenţa între soluţiile

132

obţinute prin două iteraţii succesive este un indiciu al erorii soluţiei

aproximative faţă de soluţia “exactă”. Se precizează faptul că în acest

context soluţia exactă este şi ea, de cele mai multe ori, de fapt,

aproximativă.

Principalul dezavantaj al acestor metode este volumul mare de

calcul, care în prezent şi-a pierdut importanţa datorită performanţelor

remarcabile ale sistemelor de calcul.

Cele mai importante metode indirecte de calcul sunt cele

incrementale, iterative şi mixte, care sunt combinaţii ale primelor

două. Fiecare dintre aceste metode poate avea mai multe variante de

aplicabilitate.

În cele ce urmează se dau detalii privind metodele indirecte de

calcul, asociate cu metoda elementelor finite (MEF).

Se consideră că în relaţia de bază a MEF, pentru regim staţionar

(cap. 4)

[K] {u} = {F}, (4.1)

în care: [K] este matricea de rigiditate a modelului structurii, {u} –

vectorul deplasărilor nodale şi {F} – vectorul sarcinilor nodale,

nelinearitatea provine din matricea de rigiditate care este o funcţie

nelineară de proprietăţile materialului (nelinearitate fizică) sau de

modificarea geometriei structurii în procesul de deformaţie

(nelinearitate geometrică).

Nelinearitatea de material.

Matricea [K] depinde de matricea de elasticitate a materialului

[D] care este definită de caracteristicile elastice ale materialului, care

în această situaţie sunt variabile, fiind funcţii de vectorul tensiunilor

, adică se poate considera [K ( [D ( )] ) ].

Nelinearitatea geometrică.

În acest caz, în procesul de deformaţie se produc deplasări mari,

având ordinul de mărime comparabil cu cel al dimensiunilor

structurii iar configuraţia geometrică iniţială a structurii se modifică

apreciabil, adică matricea de rigiditate iniţială nu mai poate descrie

comportarea sub sarcină a structurii în ultima fază a procesului de

încărcare. Ca urmare, eforturile depind de deplasări, iar ecuaţiile de

echilibru pentru structura deformată trebuie scrise cu luarea în

133

considerare şi a deplasărilor, adică matricea de rigiditate a structurii

depinde de deplasările nodale, deci se poate considera [K ( u ) ].

Metoda incrementală.

Se mai numeşte şi „pas cu pas”. Ideea fundamentală a metodei

este subîmpărţirea sarcinii în mai multe sarcini mici, creşteri, paşi

sau incremente. Uzual aceste creşteri ale sarcinii sunt egale dar, în

general, pot fi diferite de la un pas la următorul. Sarcina se consideră

crescătoare (sau descrescătoare), dar în cursul aplicării fiecărui

increment se presupune că structura are o comportare lineară, adică

matricea [K] se consideră constantă, dar poate fi diferită de la un pas

la următorul. Soluţia pentru fiecare pas i de creştere a sarcinii, {Fi},

se obţine sub forma unui increment al deplasărilor, {ui}. Aceste

creşteri ale deplasărilor se “cumulează” pentru a obţine deplasarea

totală a structurii pentru fiecare “stadiu” al încărcării. Procesul se

continuă până se aplică toată sarcina.

Schema de calcul a

procesului se prezintă în figura

4.2. Se observă că procedeul este

analog metodelor numerice de

calcul utilizate pentru integrarea

sistemelor de ecuaţii diferenţiale,

lineare sau nelineare, cu metoda

lui Euler sau Runge-Kutta.

La scrierea relaţiilor de

calcul se are în vedere starea de

referinţă a structurii, care poate fi

definită de sarcinile iniţiale F0

şi deplasările iniţiale u0. De regulă, vectorii F0 şi u0 sunt nuli,

deoarece structura este nesolicitată şi nedeformată. Se poate defini o

stare iniţială de echilibru pentru sarcinile şi deplasările iniţiale.

Dacă sarcina totală se divide în m paşi, atunci sarcina efectivă

totală este

{F}={F0} + {Fj} , j = 1…m,

în care notaţia arată un increment finit. După aplicarea

incrementului i sarcina este

{Fi}={F0} + {Fj} , j = 1…i,

Figura 4.2

134

cu precizarea că {Fm}={F}. Se procedează analog pentru deplasări şi

deci

{ui}={u0} + {uj} , j = 1…i. (4.2)

Pentru calculul incrementului deplasărilor se utilizează valoarea

matricei de rigiditate [Ki-1], determinată pentru sfârşitul pasului

anterior, adică

[Ki-1] {ui} = {Fi}, i = 1, 2, 3,…m,

în care se are în vedere că

[Ki-1] =[Ki-1 ({ui-1} , {Fi-1})],

şi [K0] este matricea de rigiditate iniţială, care se calculează pentru

configuraţia geometrică iniţială a modelului structurii şi pentru

constantele materialului, determinate pe curba caracteristică, pentru

începutul încărcării.

Metoda iterativă.

În acest caz structura se consideră încărcată cu întreaga sarcină la

fiecare iteraţie. Deoarece se consideră o valoare aproximativă,

constantă, a rigidităţii structurii pentru fiecare iteraţie, nu sunt

satisfăcute ecuaţiile de echilibru. După fiecare iteraţie (sau pas) se

calculează cota parte din sarcina totală care nu satisface ecuaţiile de

echilibru, sau reziduul, (de fapt fiecare ecuaţie din sistemul (4.1) este

o ecuaţie de echilibru), aceasta fiind utilizată la iteraţia următoare

pentru a determina o creştere adiţională a deplasărilor. Procesul se

repetă până când ecuaţiile de echilibru sunt satisfăcute într-o măsură

acceptabilă. În esenţă, metoda iterativă constă în corecţii succesive

ale soluţiei, până când ecuaţiile de echilibru sub sarcina totală {F}

sunt satisfăcute şi reziduul devine nul sau suficient de mic.

Dacă, în cazul general, există sarcini şi deplasări iniţiale, F0 şi

u0, pentru ciclul i al procesului iterativ de calcul trebuie ca sarcina

să se determine cu relaţia

{Fi}={F} - {Fe, i-1} ,

în care {F} este sarcina totală şi {Fe, i-1} este sarcina aflată în

echilibru după iteraţia anterioară. Creşterea deplasărilor, calculată

pentru pasul i se determină cu relaţia

[K(i)] {ui} = {Fi} . (4.3)

135

Deplasarea totală după iteraţia i se calculează cu relaţia (4.2). În

final se calculează sarcina {Fe, i}, necesară să menţină deplasările

{ui}.

Procesul iterativ se continuă până creşterile deplasărilor sau

forţele neechilibrate devin zero, adică {ui} sau {Fi} devin nule sau

suficient de mici.

În ceea ce priveşte calculul matricei de rigiditate [K(i)] din relaţia

(4.3), de obicei aceasta se determină pentru pasul anterior, în punctul

{ui-1}, {Fi-1}, adică [K(i)] =[K(i-1)]. Trebuie avut în vedere că [K(0)]

este matricea de rigiditate pentru starea iniţială a structurii, adică,

pentru valorile F0 şi u0.

Metoda iterativă are diverse variante care diferă prin modul în

care se consideră valoarea matricei de rigiditate [K] a structurii. În

figura 4.3.a se prezintă schema metodei iterative de bază, iar în figura

4.3.b, o variantă modificată, care foloseşte pentru toate iteraţiile

valoarea iniţială [K(0)] a matricei de rigiditate. În acest caz este

necesar un număr mai mare de iteraţii, dar în ansamblu se poate o

a b

Figura 4.3 Figura 4.4

viteză mai mare a procesului de calcul deoarece nu mai este necesară

recalcularea matricei [K] la fiecare iteraţie. Metoda iterativă este

asemănătoare procedeelor numerice de calcul utilizate pentru

rezolvarea ecuaţiilor nelineare, de exemplu, metodele lui Newton sau

Newton – Raphson.

Metoda mixtă.

Se mai numeşte şi iterativă în paşi şi este o “combinaţie” între

metoda iterativă şi cea incrementală. În figura 4.4 se prezintă

schema metodei mixte care constă în faptul că sarcina se aplică

136

incremental, iar după fiecare increment se fac iteraţii succesive.

Această metodă este mai eficientă decât precedentele dar cere un

efort de programare mai mare.

Comparaţie între metodele prezentate.

Metodele prezentate sunt considerate drept “procedee de bază”,

ele având diverse variante în implementările din diverse programe.

Este utilă o comparare a lor pentru a pune în evidenţă avantajele şi

dezavantajele fiecăreia.

Avantaje:

metoda incrementală:

- generalitatea; metoda este aplicabilă pentru aproape toate

tipurile de nelinearităţi;

- posibilitatea de a descrie relativ complet dependenţa

sarcină-deformaţie, deoarece se obţin rezultate intermediare, pentru

fiecare treaptă a încărcării;

metoda iterativă:

- simplitatea; metoda este uşor de utilizat şi de implementat

într-un program;

- numărul de iteraţii este, de obicei, relativ mic.

Dezavantaje:

metoda incrementală:

- volumul de calcul este relativ mare, de obicei numărul

incrementelor fiind mare;

- nu se poate stabili a priori care este valoarea necesară a

incrementului sarcinii pentru a obţine o aproximaţie dorită a soluţiei

exacte;

- dificultatea de a aprecia “cât de bună” este soluţia găsită;

metoda iterativă:

- metoda nu asigură totdeauna convergenţa către soluţia

exactă;

- metoda nu este aplicabilă problemelor dinamice, sistemelor

histeretice şi celor neconservative;

- rezultatele, adică deplasările, tensiunile şi deformaţiile se

obţin numai pentru sarcina totală, adică nu se obţin informaţii pentru

valori intermediare ale încărcării.

137

Metoda mixtă “combină” avantajele celorlalte două metode şi

tinde să elimine dezavantajele fiecăreia, fiind foarte eficientă şi

utilizată.

4.4. Câteva aspecte importante ale modelării pentru analize

nelineare

Caracteristicile materialului.

Pentru probleme cu nelinearitate fizică este foarte importantă

cunoaşterea precisă şi detaliată a curbei caracteristice a materialului,

sau “legea constitutivă”. Curba caracteristică se dă sub formă

tabelară (prin puncte) sau sub forma unei funcţii. Simbolic se scrie

{} = f ({},{}) = [D({})]{}.

De asemenea, foarte important este calculul matricelor de

rigiditate ale elementelor şi cea a structurii care trebuie reluat pentru

fiecare pas sau increment al metodelor iterative, incrementale sau

mixte. Mai întâi trebuie să se determine valorile constantelor elastice

ale materialului (pentru un material izotrop sunt E, G şi ) şi

matricea elastică [D] = [D({})], care sunt funcţii de starea de

tensiune.

Curba caracteristică a materialului trebuie să fie determinată în

condiţii cât mai apropiate de cele în care funcţionează structura

pentru care se face modelarea şi analiza. Se va avea în vedere faptul

că, de obicei, curba caracteristică se determină pentru întindere

(compresiune) monoaxială pe când în structură este o stare de

tensiuni mai complexă, de obicei, spaţială. În consecinţă, pentru a

putea compara cele două stări de tensiuni sau de deformaţii trebuie

apelat la o teorie de rezistenţă.

Pentru o curbă caracteristică nelineară a

materialului, obţinută printr-o încercare

monoaxială, valoarea modulului de elasticitate

E, pentru un material izotrop, se poate de

determina astfel:

Modulul de elasticitate tangent, se

defineşte într-un punct oarecare P al curbei

caracteristice - , ca panta tangentei la

curbă, dusă în punctul respectiv (fig. 4.5), se

Figura 4.5

138

notează EtP şi este EtP = d / d | P.

Aproximativ, Et poate fi evaluat prin relaţia

Et / ,

în care are semnificaţia de creşteri finite; valoarea lui Et este panta

dreptei duse cu linie întreruptă în figura 4.5.

Modulul de elasticitate secant,se defineşte într-un punct oarecare

P al curbei caracteristice - , în funcţie de valorile totale şi în

punctul respectiv (fig. 4.5), adică

EsP = / | P.

Criteriul şi matricea de plasticitate.

Pentru structuri care au sub sarcină o comportare elastoplastică

trebuie pusă în evidenţă solicitarea în stadiul plastic. În acest scop,

deformaţia specifică totală {} se descompune în componentele

elastică, {e} şi plastică, {

p}, adică

{} = {e} + {

p}.

Pentru o metodă incrementală de aplicare a sarcinii, relaţia

anterioară devine

{d} = {de} + {d

p},

în care trebuie avut în vedere că incrementul deformaţiei plastice

{dp} este funcţie de starea curentă de tensiune, de incrementul

deformaţiei totale şi de incrementul tensiunii, adică

{dp} = {d

p ({},{d},{d})}

şi de asemenea

{de} = [D

e]

-1{d}.

Rezultă relaţia

{d} = [De]({d} - {d

p}),

care poate fi scrisă sub forma

{d} = [Dep

]{d},

în care [Dep

] se numeşte matricea elastoplastică, care se calculează

cu relaţia

[Dep

] = [De] - [D

p],

unde [Dp] este matricea de plasticitate.

Matricea elastoplastică [Dep

] se obţine cu relaţia anterioară, după

ce se determină matricea de plasticitate [Dp], care implică

cunoaşterea modului în care se calculează incrementele deformaţiilor

139

plastice {dp}. Pentru aceasta trebuie adoptat un criteriu de

plasticitate, care să determine condiţiile în care se produc deformaţii

plastice, pentru starea de tensiuni spaţială din fiecare element finit al

modelului. Cel mai utilizat este criteriul de plasticitate al lui Mises,

pentru care Prandtl-Reuss au scris ecuaţiile care au permis

determinarea expresiei matricei [Dp]. Pentru materiale izotrope

aceasta este

în care: G = E / 2(1 + ) este modulul de elasticitate transversal;

= { [( 1 - 2 )

2 + ( 2 - 3

)

2 + ( 3 - 1

)

2 ] / 2}

1/ 2 -

tensiunea echivalentă sau efectivă;

= { 2 [( 1 - 2 )

2 + ( 2 - 3

)

2 + ( 3 - 1

)2

] / 9}1/ 2

-

deformaţia echivalentă sau efectivă;

≡ Et - panta curbei - ;

1 , 2 , 3 - tensiunile normale principale ale solicitării;

I1 = x + y + z = 1 + 2 + 3 - invariantul linear al stării de

tensiune;

Dx = x - I1 / 3; Dy = y - I1 / 3; Dz = z - I1 / 3.

Modelarea sarcinilor şi a reazemelor pentru structuri cu

deplasări mari.

Pentru analize ale structurilor cu deplasări mari este foarte

important ca modelul să conţină precizări riguroase, fără echivoc, ale

legilor de variaţie ale intensităţilor, direcţiilor şi punctelor de

aplicaţie ale sarcinilor precum şi variaţiile condiţiilor de rezemare

care se pot produce în cursul procesului de deformare a structurii.

Ca exemplu, în figura 4.6 se prezintă trei variante de încărcare

ale unei bare încastrată la un capăt şi solicitată cu o forţă concentrată

140

în capătul liber. Pentru deplasări mici solicitarea este aceeaşi în toate

cazurile (reprezentate schematic cu linii întrerupte) dar problemele

sunt complet diferite pentru deplasări mari.

Figura 4.6

Figura 4.7

Analog, pentru bara din figura 4.7, cele trei moduri de rezemare

sunt echivalente pentru deplasări mici, dar complet diferite pentru

deplasări mari.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,

Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,

Editura BREN, Bucureşti, 1999.

3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,

Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura

Printech, Bucureşti, 2007.

4. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.