Date post: | 31-Oct-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | laura-denuta |
View: | 318 times |
Download: | 1 times |
Marius PETCU Octavian CIRA
CALCUL NUMERIC
CURS I.D.
2010
Calcul numeric Cuprins
CUPRINS 1. Prezentare generală a pachetului de programe Mathcad 2001 ............... 3
1.1. Structura mediului................................................................................... 3 2. Calculul expresiilor matematice ................................................................ 5
2.1. Forma de afişare a rezultatelor............................................................... 5 2.2. Inserarea funcţiilor .................................................................................. 7
3. Editări de documente Mathcad .................................................................. 9 4. Grafice de funcţii....................................................................................... 13
4.1. Reprezentarea carteziană .................................................................... 13 4.2. Reprezentarea polară ........................................................................... 18
5. Reprezentarea funcţiilor în spaţiu ........................................................... 21 5.1. Grafice suprafaţă .................................................................................. 21 5.2. Grafice bară, scater şi vector................................................................ 31 5.3. Reprezentarea corpurilor în 3D ............................................................ 32
6. Realizarea animaţiei.................................................................................. 35 7. Rezolvarea numerică a sistemelor liniare............................................... 39 8. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare............................................. 41
8.1. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor algebrice.......................................... 41 8.2. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor transcendente.................................. 43 8.3. Rezolvarea numerică a sistemelor neliniare ......................................... 45 8.4. Programare liniară şi neliniară .............................................................. 48 8.5. Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor.................................................... 50
9. Calculul derivatei şi a integralei .............................................................. 54 9.1. Calculul derivatei într-un punct ............................................................. 54 9.2. Calculul integralei definite..................................................................... 55 9.3. Aplicaţii ale calculului derivatei şi a integralei finite............................... 56
10. Operaţii cu matrici şi vectori.................................................................... 61 11. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale ........................................ 71
11.1. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul 1 ................ 71 11.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul 2.......................................................... 72 11.3. Sisteme de ecuaţii diferenţiale........................................................... 74 11.4. Ecuaţii diferenţiale cu proprietăţi speciale.......................................... 75 11.5. Funcţii care determină ultimul punct al soluţiei .................................. 76 11.6. Rezolvarea problemelor la limită ....................................................... 77 11.7. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale ....................... 79
1
Calcul numeric Cuprins
11.8. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare cu funcţia Odesolve ........ 81
Bibliografie...................................................................................................... 82 Anexa 1 ........................................................................................................... 83
2
Calcul numeric Capitolul 1 – Prezentare generală
1. PREZENTARE GENERALĂ A PACHETULUI DE PROGRAME MATHCAD 2001
PROFESSIONAL
1.1 Structura mediului
Da Consideri importantă aplicarea noţiunilor teoretice de calcul numeric în practică ? După lansare în execuţie a programului Mathcad, pachetul de programe afişează un ecran de forma următoare:
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să navighezi în meniurile şi grupurile de butoane ale mediului
Mathcad. să operezi acţiuni simple asupra meniurilor şi grupurilor de
butoane.
• Primul rând al ecranului este ocupat cu simbolul grafic asociat pachetului, denumirea pachetului, titlul documentului (numele implicit al documentului este Untitled urmat de un număr de secvenţă) şi butoanele de redimensionare a ferestrei Mathcad.
Programul are o structură complexă, afisată sub o formă accesibilă.
• Rândul doi conţine titlurile meniurilor Mathcad care sunt: File, Edit, View, Insert, Format, Math, Symbolics, Window, Help şi butoanele de redimensionare a ferestrei documentului Mathcad.
• Rândul trei conţine bara Standard şi paleta Math iar rândul patru conţine bara Formatting; acestea constituie principale butoanele ale comenzilor Mathcad.
• Cursorul vertical pe ultima coloană a ecranului şi cursorul orizontal pe penultimul rând.
• Ultimul rând este ocupat (opţional) cu bara Status.
• Zona de lucru care cuprinde documentul Mathcad, este constituit din regiuni (zone dreptunghiulare). Documentul de mai jos are cinci regiuni (calculul numeric a lui ; calculul simbolic cu 50 de cifre zecimale a valorii ; calculul simbolic al unei primitive, inversa unei matrice de dimensiune 9x9 şi un grafic de funcţie).
• În dreapta ecranului se găsesc paletele Math. Acestea sunt: Evaluation, Graph, Symbolic, Calculus, Greek, Calculator, Matrix, Programming şi Boolean. Poziţia acestor palete odată
3
Calcul numeric Capitolul 1 – Prezentare generală
aleasă este reţinută de pachetul de program Mathcad şi ori de câte ori deschidem o astfel de paletă ea va ocupa aceea poziţie. La schimbarea poziţie unei palete vechea poziţie este “uitată”.
Studiu individual:
Programul Mathcad este produs de firma MathSoft, el este integrat complet WINDOWS, de aceea maniera de lucru este similară cu a produselor Microsoft. Cei care sunt familiarizaţi cu acest mod de lucru, întâlnit la produsele Microsoft, se vor adapta uşor cu produsul Mathcad.
Test de autoevaluare:
E timpul să deschizi mediul Mathcad şi pe baza tabelelor de meniuri din Anexa 1 de la sfarşitul acestui manual, să explorezi configuraţia acestora. Foloseşte Anexa 1 şi pentru a identifica grupurile de butoane (toolbars) şi funcţiile acestora.
Alege la întâmplare din Anexa 1 câteva elemente de meniu şiapoi, găseşte-le în structura de meniuri ale mediului Mathcad. Folosind meniul View, efectuează operaţiuni deascundere/afişare a paletelor Math.
4
Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice
2. CALCULUL EXPRESIILOR MATEMATICE
Ce cunoştinţe de matematică ar trebui să ai pentru a putea calcula orice expresie matematică ?
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să calculezi orice expresie matematică (calculabilă). să afişezi rezultatele calculelor în forma dorită.
2.1. Forma de afişare a rezultatelor Activând paleta de calcul aritmetic (Calculator) se pot construi expresii matematice care se vor calcula doar prin acţionarea tastei =. În mod implicit se afişează rezultatele cu 3 zecimale; activând comanda Result… din meniul Format se poate alege forma de afişare a rezultatelor cu ajutorul fişei Number Format având la dispoziţie în zona Format opţiunile : General, Decimal, Scientific, Engineering şi Fraction.
Forma de afişare General dă posibilitatea să se afişeze zerourile nesemnificative prin activarea opţiuni Show trailing zeros şi să se afişeze forma exponenţială pentru forma de afişare inginerească cu ajutorul opţiunii Show exponents in engineering format. Fereastra
Number of decimal places (cu valoarea implicită 3) ne permite alegerea numărului (între 0-15) de cifre afişate ale rezultatului. Fereastra Exponential threshold (cu valoarea implicită 3) ne permite precizarea numărului (între 0-15) de cifre ale mantisei din forma de
afişare exponenţială. Forma de afişare Decimal are fereastra Number of decimal places şi opţiunea Show trailing zeros. Formele de afişare Scientific şi Engineering au faţă de forma Decimal opţiunea suplimentară Show exponents as E+00. Pentru forma de afişare Fraction programul ne pune la dispoziţie ferestra Level of accuracy (nivelul de preciziei cu
Paleta de calcul permite introducerea de simboluri de operaţii.
5
Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice
valoarea implicită 12)) şi opţiunea Level mixed numbers de afişare a rezultatului sub formă de fracţie mixtă, ca în exemplu de mai jos:
12341.5 4334897187
264961=
Fişa Display Options oferă cu ajutorul ferestrei Matrix display style următoarele forme de afişare a matricelor şi a vectorilor: Automatic (tabel numerotat pe verticală şi orizontală; cu un cursor pe verticală şi cu unul pe orizontală, afişate dacă pe direcţia respectivă dimensiunea este mai mare sau egală cu 15 şi respectiv 10), Matrix (sub formă de matrice) şi Tabel (cu un cap de tabel pe verticală şi un cap de tabel pe orizontală numerotate). Opţiunea Expand nested arrays dacă este activată avem posibilitatea să definim matrice ce are elemente matrice, ca în exemplu de mai jos.
B A v( ):= B
1
2
2
1
1
6
3
1
9
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1
1
3
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
=
Fereastra Imaginary value permite alegerea caracterului ce se va afişa pentru unitatea complexă (valoarea implicită este i). În cel de al doilea caz s-a ales caracterul j pentru unitatea complexă.
3 2i+( )2 5 12i+= 3 2i+( )2 5 12j+=
Fereastra Radix ne dă posibilitatea să alegem baza de numeraţie în care se va afişa rezultatul. Avem la dispoziţie opţiunile Decimal (pentru baza 10), Binary (pentru baza 2, după fiecare număr afişat în binar apare caracterul b), Octal (pentru baza 8, după fiecare număr afişat în octal apare caracterul o) şi Hexadecimal (pentru baza 16, după fiecare număr afişat în hexa apare caracterul h).
23 12⋅ 276= 23 12⋅ 100010100b= 23 12⋅ 424o= 23 12⋅ 114h=
6
Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice
Fişa Unit Display are două opţiuni: Format units pentru afişarea şi a unităţilor de măsură şi opţiunea Simplify units when possible care dacă este activată va simplifica unităţile de măsură unde este posibil.
Ferestrele de pe fişa Tolerance sunt: Complex threshold (10), cu aloarea implicită 10 are următoarea semnificaţie: dacă modulul
măr complex) este mai mare ca sau mai mic decât afişa sub formă exponenţială. Dacă n=10 atunci pentru
numă şa rezultatul egal cu 1. Valoarea lui i 63. Fereastra Zero threshold (15) toarea semnificaţie:
mic ca este considerat egal cu 0.
2.2. Inserarea funcţiilor
trix sau apelând din meniul Insert iar în cadrul ei la comanda Insert Fuction sau la butonul cu acţiune rapidă . Paleta Insert
vrezultatului (nurezultatul se va
rul complex , ca valoarea a unei expresii, se va afin este un întreg între 0 ş
cu valoarea implicită 15 are urmăorice rezultat în modul, ce este mai Valoarea lui n este un întreg între 0 şi 307.
Pentru calculul unor expresii putem apela la posibilitatea de a se insera în expresie funcţii. Înserarea de funcţii se poate face de pe paletele Calculator, Calculus sau Ma
7
Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice
Function permite afişarea tuturor funcţiilor (All), a funcţiilor Bessel, a numere complexe, funcţiilor Curve Fitting, a
etodelor de rezolvare numerică a ecuaţiilor diferenţiale, a funcţiilor u
rier etc. În cele două zone se afişează a
Studiu individual:
Exerciţii rezolvate:
funcţiilor pentrumExpresion Type, funcţii pentru citire şi scriere de fişiere, funcţii pentroperaţiuni financiare, funcţii Fousintaxa funcţiei în prima zonă şi un text explicativ în cea de a douzonă.
eπ 23.1406926327793= πe
22.459157718361=
1 5+
21.61803398874989= 2( )π⎡⎣ ⎤⎦
36.59192142727842=
eππ
e−
1 5+
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
3
5 ln 2( )− ln 3( )− ln 4( )− ln 5( )−( )
2
3+ 0.506=
ln 56( ) sin cos 44.67( )( )+
3ln 678( ) log 223.98( )+ tan sin
π
e⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−
2.46459610178438=
1
12
E timpul s şi să verifici “corectitudinea”exercitiilor rezolvate de mai jos. Modifica modul de afişare a rezultatelor astfel încât să treci prin toateformele.
ă deschizi mediul Mathcad
sin 1( ) sin 2( )+ sin 3( )+ sin 4( )+
cos 1( ) cos 2( )+ cos 3( )+
tan 1( ) tan 2( )+
4!13
1
15
2
1 6++
+
+
+
0.558=
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
0.034=
2( )3 3⎡
⎣⎤⎦
4 4⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
5 5
2.65200233368414=
Test de autoevaluare:
Calculează expresiile: ( ) ∑
=+
⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
+ 7
1k1k )ksin(
3
k
1
7tg
58ln ∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−10
1k k1klnk
∏ −⋅⋅
⋅10
1k2k2
211
=1k
8
Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice
9
Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad
T
3. EDITĂRI DE DO
cu editarea documentebutoanele cu a in bara Formatting.
CUMEN E MATHCAD
Obiect
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să editezi un document ce conţine text, formule matematice, simboluri şi figuri, folosind mediul Mathcad.
ive:
Editarea unui document Mathcad este similară lor în Word. Pentru editarea regiunilor text se folosesc
cţiune rapidă dEditorul Mathcad foloseşte regiuni.
Primul buton este pentru stilul textului,
Text Style şi conţine paleta:
Se alege Enter se va a tlurilor din această list poate schimba cu ajutorul comenzii Style din meniul Formatgăse n
• Butonul Apply• Butonul New
defineşte o p Text Style. Paleta conferestre
un titlu din această listă, textul redactat până la primul fişa cu caracteristicile stilul respectiv. Stilul ti
ă se. Comanda Style deschide paleta Text Style pe care se
şte lista de titluri a stilurilor şi cinci butoa e:
comandă de aplicare a stilului respectiv; deschide paleta Define Style cu ajutorul căreia se oziţie în lista ţine două
o zonă şi patru butoane:
o Fereastra Name pentru numele noi poziţii în lista Text Style
(în cazul prezentat s-a ales numele de Nou);
10
Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad
o Fereastra Base On care pune la dispoziţie stilurile de bază pentru a construi noul stil (în cazul prezentat s-a ales stilul
Description va conţine descrierea caracteristicilor noului stil. Pe lângă alegerea din Base On se poate adăuga celelalte caracteristici cu butonul Font şi Paragraph. Butonul Font deschide paleta Text Format ce conţine patru ferestre, două zone şi două butoane:
Normal); o Zona
Fereastra Font pentru tipul caracterelor; Fereastra Font Style cu opţiunile:Regular, Italic,Bold şi Bold Italic.
Fereastra Size pentru mărimea caracterelor; OK i Cancel; Butonul ş Zona Effects a efectelor de scriere cu opţiunile:
Strikeout, Underline, şi Superscipt. live,
avy, Purple, Teal, Gray, Silver, Red, Lime, Yellow, Blue, Fuchsia, Aqua, White.
y
Subscript Fereastra Color cu culorile: Black, Maroon, O
N
Zona Sample unde se exemplifică cu textul Aa Bb YZz cum arată textul cu caracteristicile alese.
o Butonul Paragraph deschide paleta Paragraph Format cu
două zone o ferestră şi trei butoane.
Zona Indent pentru a fixa marginile paragrafului:
o Left marginea din stânga exprimată în inch; o Right marginea din dreapta exprimată în inch; o Special cu opţiunile none, First Line şi
Hanging. Fereastra Bullets care oferă opţiunile Bullets buline,
Numbers numere sau none pentru marcajul paragrafelor.
Butonul Tabs pentru a stabili poziţia bornelor de TAB Zona Aligment pentru a stabili alinierea: Left în
stânga, Right în dreapta sau Center central. • Butonul Modify… deschide paleta Define Style, paletă în care
a Name este blocată, conţinând numele stilului pentru fereastr
11
Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad
care caracteristicile urmează să fie modificate. În rest totul este identic cu cele descrise la butonul New.
• Butonul Delete pentru ştergerea stilului a cărui nume a fost marcat.
• Butonul Close pentru a închide paleta Text Style.
ea de a doua fereastră din bara ătoarea pentru Size (mărimea caracterelor), apoi urmeaz
C Formatting este pentru Font, urm ă butoanele: Bold, Italic, Underline, Align Left, Align Center, Align Right, Bullets şi Numbering. În cazul în care cursorul se află într-o regiune Math pe o variabilă, în fereastra Style se va afişa cuvântul Variables. În acest fel putem schimba stilul tuturor variabilelor din documentul Mathcad, apelând fereastra Font, Size, Bold, Italic şi Underline.
În acelaşi fel se poate schimba stilul constantelor şi a obiectelor utilizator. Studiu individual:
Editaţi în Mathcad textul de mai jos folosind următoarelecaracteristici: textul “Calcul stiintific” este afişat cu stilul Title, textul “Rezolvarea numerica a ecuatiilor” este afişat cu stilul Heading1, textul “Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare” este afişat cu stilul Heading2, textul “Rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatiineliniare” este afişat cu stilul Heading3, textul “Exemplu rezolvat” este afişat cu stilul Normal, variabilele sunt afişate cu font-ul Times New Roman de mărime 14 iar constantele cu font-ul Times New Roman de mărime 20.
Calcul stiintificRezolvarea numerica a ecuatiilor
Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare
Rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii neliniareExemplu rezolvat
x 0.2:= y 0.9:=
given tan x y⋅( ) x2 x
2
22 y
2+ 1
Find x y,( ) 1.655− 107−
×
0.707
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
=
12
Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad
toevaluare:
Test de au
Alege o pagină dintr-un curs oarecare, ce conţine atâelemente de text c
tât şi relaţii matematice şi editeaz-o în
nt care crează probleme şi adu-l în discu
Mathcad.
oteză orice eleme
N ţieătoarea activitate tutorială. la urm
13
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
4. GRAFICE D
4.1. Reprezentarea carteziană
ă considerăm cazul funcţiilor reale de o singură variabilă reală. Se i se alege rea. Acest
discrete în care se vor calcula valorile funcţie. Reprezentarea acestor
fun pentru g(x) şi h(x)) , variabilei a ”i se atribuie ” (:=)
(a,b ” (:=) valoarea
0.0001
E FUNCŢII
Sdefineşte funcţia ce urmează să fie reprezentată, apointervalul real pe care vrem să se realizeze reprezenta
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să reprezinţi grafic funcţii în coordonate carteziene şi/sau polare. să modifici modul de afişare a axelor, intervalul de reprezentare şi
modul de afişare.
interval se va împărţi în părţi egale de mărime δ, rezultând valori
puncte va furniza graficul funcţiei. De remarcat este faptul că expresiei f(x) (vezi exemplul prezentat) ”i se atribuie ” (:=) expresia
cţiei (analogvaloarea –5; variabilei b ”i se atribuie ” (:=) valoarea 5 . Intervalul
) poate fi oricât de mare. Variabilei δ ”i se atribuie0.005, evident valoarea de 0.005 poate fi înlocuită cu orice altă valoare. Se recomandă ca aceste valori să nu fie mai mici decât
şi să nu fie mai mari de 0.1.
f x( )x2 2− x3 3−−
x2 14
+
5+:= g x( ) f x( )2 3 cos 3x( )+ 2:= −
h x( ) f x( ) g x( )−:=
a 5−:= b 5:= δ 0.005:= x a a δ+, b..:=
6
4
2
6 4 2 0 2 4 6
4
2
f x( )
g x( )
h x( )
xGraficul functiilor f, g si h
14
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Pentru a schimba caracteristicile graficului se dă un dublu clic pe regiunea grafic, astfel se deschide paleta Formatting Currently Selected X-Y Plot.
X şi axa Y sunt: Log tă se va afişa o scară logaritmică pe
axa respectiv Grid Lines şa linii de grilă pentru axa
res Nu ată, se va afişa valoarea numerică prin
ă
dacă comanda Auto Grid este activată, iar dacă ă schimbe
cele de la zona X. entru stilul de afişare a axelor avem zona Axes Style cu trei opţiuni
cartezine OX şi OY; ne va afişa numai graficul funcţiei.
Opţiunea Equal Scales, activată, va provoca egalizarea axe de coordonate.
Comenzile din fişa X-Y Axes pentru axa Scale, dacă este activa
ă; dacă este activată, se va afi
pectivă; mbered dacă este activ
care se trasează liniile de grilă pe axa respectivă; Autoscale dacă este activată, se va alege în mod automat scarde reprezentare pentru axa respectivă; Show Markers dacă este activată se va afişa valoarea minimă şi cea maximă a coordonatei respective; Auto Grid dacă este activată, se va alege o grilă în mod automat pentru axa respectivă;
Number of Grids numărul de linii de grilă, se alege în mod automat comanda Auto Grid nu este activată utilizatorul poate sacestă valoare.
Comenzile pentru axa Y sunt identice cuPcare se exclud una pe alta: opţiunea Boxed va provoca afişarea graficului într-un dreptunghi; va provoca afişarea graficului cu axele de opţiunea Crossed
coordonatele opţiunea No
15
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Comenzile din fişa Traces ne permit alegerea pentru fiecare traseu al graficului (trace1, …, trace16): simbolul (Symbol) cu care se face trasarea (none fără simbol, x’s
cu x-uri, +’s cu plusuri, box cu pătraturi, dmnd cu romburi, o’s cu litera o);
linia de trasare (Line) care poate fi: o solid, linie continuă; o dot, linie scurtă întreruptă;
ă întreruptă;
u linie, points grafic cu puncte, error grafic cu bare de eroare - acest tip de grafic poate fi ales numai dacă avem două grafice ce dorim să le comparăm trasându-se bare de diferenţe - bar grafic cu bare, step grafic scară, draw grafic desenat, stem grafic sub formă de bare ce au cerc în capul barei);
Weight grosimea graficului ce poate varia între valorile 1 şi 9 (pixeli);
Hide Argument ascunderea argumentelor; Hide Legend ascunderea legendei.
o dash, linie lungo dadot, linie punct.
Color culoarea graficului funcţiei (red-roşu, blu-albastru, grn-verde, mag- magenta, cya-cian, brn-maro, blk-negru, wht-alb);
Type tipul liniei cu care se trasează graficul (lines grafic c
Fişa Labels pentru afişa titlul graficului, denumirea axelor de coordonate. Titlul graficului poate fi afişat dacă opţiunea de vizualizare titlu (Show Title) este activată. Titlul poate apărea: Above sus; Below jos.
16
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Pentru afişarea denumiri axelor se va activa respectiv X-Axis şi/sau Y-Axis şi se va tasta denumirea axelor.
Fişa Defaults cu butonul de Change to Defaults pentru schimbarea lor responsabile de forma graficelor din acel iunea Use for Defaults care dacă este activată se
tuturor variabiledocument şi opţvor folosi în acel document valorile setărilor din acel moment.
Cu paleta X-Y Trace din paleta Graph se pot afla coordonatele x şi y le unui punct de pe grafic; se activează fereastra graficului apoi se nsează comanda Trace şi se indică punctul dorit de pe grafic; în
şează în ferestrele X-Value şi Y-Value valorile spective. Butoanele Copy X şi Copy Y copiază valoarea afişată în
ona de memorie Clipboard putem astfel atribui aceste valori unor u cu ajutorul comenzii Paste din meniul
Dacă este activată opţiunea Track Data Points, cursorul ca numai puncte de pe graficul funcţiei.
alamod automat se afirezvariabile din zona de lucrEdit. mouse-lui nu va indi
17
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Comanda Zoom din paleta Graph permite selectarea unui dreptunghi din graficul reprezentat şi mărirea lui prin butonul Zoom; dacă imaginea mărită nu convine putem renunţa prin butonul
nzoom. Butonul FullView provoacă mărirea graficului funcţiilor stfel încât fereastra să fie maxim ocupată. Graficul unei funcţii sau
oate fi mărit sau micşorat mărind sau mic
ea gum ntului
această pregătire nu se face au funcţiile pe intervalul implicit
0 sau intersecţia intervalului [-10,10] cu domeniul de definiţie
Uaal mai multor funcţii p
şorând ferestra graficului ca orice fereastră Windows. De remarcat că versiunea Mathcad 2001 permite reprezentarfuncţiilor fără să facem pregătirile referitoare la variaţia ar efuncţiei pe domeniul de valori. DacăMathcad-ul reprezintă funcţia s[-10,1 ],al func iei (exemplu pentru funcţia ţ x:)x(f = se va genera graficul pe
0]=[-10,10]interva l [0,1lu ∩ R+), urmând ca utilizatorul să corecteze necesităţi.
Studiu individual:
puse:
acest interval de reprezentare după
Probleme pro
E timpul să deschizi mediul Mathcad şi să reprezinţi graficul următor rectat la intervalul [-5,5].
f x( )x 2−
unde intervalul [-10,10] a fost co2 x3 3−−
2 1x
4+
5+:= g x( ) f x( )2 3 cos 3x( )+ 2−:=
4 2 0 2 4
2
2
4
4
Grafice de functii
Valorile argumentului functiei
Val
orile
func
tiei
f x( )
g x( )
x
18
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Să se reprezinte grafic următoarele funcţii :
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
( ) inpex:)x(f x2= [ ]3.1,8.1ervalult
3,3ervalulintpe)xsin(x:)x(f
5,5ervalulintpee1x:)x(f
1.1,0ervalulintpe)xln(x:)x(f
99.1,2ervalulintpex1:)x(f
99.1,2ervalulintpex1x:)x(f
99.1,2ervalulintpex1x:)x(f
99.1,2ervalulintpex41x412
:)x(f
x
2
2
2
22
−
π⋅π⋅−+=
−⋅−=
⋅=
−−=
−⋅−=
−−+=
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+−+⋅=
−
1
4.2. Repre n
Pentru exemplificare reprezentăm două spirale ale lui Arhimede pe
Test de autoevaluare:
Să se reprezinte grafic în
2.
3.
repere carteziene următoarelecurbe plane având la dispoziţie formulele parametrice: 1. Astroida dată de ecuaţiile: 33 )tsin(b)t(v)tcos(a:)t(u ⋅=⋅=
Bifoliul dat de ecuaţiile: )tsin()t(r:)t(v)tcos()t(r:)t(u)tcos())tsin(b)tcos(a(:)t(r 2 ⋅=⋅=⋅⋅+⋅=
Cardioida dată de ecuaţiile: ))tcos(1)(tsin(a2:)t(y))tcos(1)(tcos(a2:)t(x +⋅=+⋅=
Cicloida dată de ec4. uaţiile: ))tcos(1(a:)t(y))tsin(t(a:)t(x −⋅=−⋅=
ze tarea polară
un singur grafic. 1 2−
ρ θ( )3
θ⋅:= φ θ( )5
θ⋅:= θ 0 0.01, 5π..:=
30
60120
150
01804
90
240 300
210 330
20
ρ θ( )
φ θ( )
270θ
P ic p ta
rin comanda Polar Plot sau printr-un dublu clic pe regiunea grafolară, se poate interveni la caracteristicile graficului. Pale
19
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Formatting Currently Selected Polar Axes conţine paletele: Polar Axes, Traces, Labels şi Defaults.
Zona Rad• ial pentru rază conţine opţiunile: Log Scale, dacă este activă se va afişa o scară logaritmică
pentru rază. Grid Lines, dacă este activă se vor afişa linii de grilă pentru rază. Numbered, dacă este activă se va afişa valoarea numerică prin
care se trasează liniile de grilă pentru rază; Show Markers dacă este activată se va afişa valoarea minimă şi
cea maximă a coordonatei respective; Auto Grid dacă este activată, se va alege o grilă în mod automat
pentru axa respectivă; Number of Grids numărul de linii de grilă, se alege în mod
comanda Auto Grid este activată, iar dacă comanda Auto Grid nu este activată utilizatorul poate să schimbe această valoare.
• hi cu opţiunile: ilă pentru
red, dacă este activă se va afi a valoarea numerică prin trasează liniile de grilă pentru unghi;
Auto Grid dacă este activată, se va alege o grilă în mod automat pentru axa respectivă;
Number of Grids numărul de linii de grilă, se alege în mod automat dacă comanda Auto Grid este activată, iar dacă comanda Auto Grid nu este activată utilizatorul poate să schimbe această valoare.
Pentru stilul de afişare a axelor folosim zona Axes Style unde avem trei opţiuni care se exclud una pe alta:
• opţiunea Boxed care, va provoca afişarea graficului într-un dreptunghi;
• opţiunea Crossed va provoca afişarea graficului cu axele de coordonatele OX şi OY.
• opţiunea None care va provoca afişarea numai a graficul funcţiei.
automat dacă
Zona Angular pentru ung Grid Lines, dacă este activă se vor afişa lini de gr
unghi. Numbe ş
care se
20
Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii
Paletele Traces, Labels şi Defaults sunt identice cu cele de la ţia paletei Labels care nu conţine
ferestrele Axis Labels. t că versiunea Mathcad 2001 nu necesită pregătirea
necesară pentru a indica variaţia unghiului θ. În caz că nu se precizează intervalul pe care variază unghiul Mathcad-ul consideră automat intervalul [0,α]
reprezentarea carteziană cu excep
De remarca
∩ D, unde D este domeniul de definiţie al ncţiei, iar α este aşa ales ca graficul funcţiei să facă o rotaţie
ceastă alegere automată poate fi corectată manual capetele intervalului. Asupra raţiei progresiei aritmetice
de t mai sus unde am schimba valoarea raţiei în
fucompletă, aschimbând nu se poate interveni numai dacă vom apela la modulreprezentare prezenta0.01. Prezentăm graficul celor două spirale fără să precizăm variaţia nghiului. u
ρ θ( ) 13
θ⋅:= φ θ( ) 2−5
θ⋅:=
0180
210
240
270
300
330
2
30
60
90
120
150
10
Spirale
ρ θ( )
φ θ( )
θ
Test de autoevaluare:
Reprezentaţi în coordonate polare următoarele funcţii:
aritmicalogSpirala0kaea:)( k ≥∈⋅=θρ θ⋅ R parabolicaSpiralaaa:)( +∈θ⋅=θρ R
π⋅=⋅+=θ+⋅=ρ 10..01.0,0:t)tcos(t)tsin(:)t()tsin()tcos(t:)t( 2
21
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
5. REPREZEN
5.1. Grafice
entarea funcţiilor de două variabile reale, cu valori reale, pachetul Mathcad dispune de comenzi speciale de reprezentare a suprafeţelor în spaţiul cu trei dimensiuni. Se alege dreptunghiul [a,b]x[c,d] din planul XOY unde vrem să reprezentăm funcţia. Segmentul [a,b] se împarte în n părţi obţinându-se n+1 puncte echidistante. Tot aşa se împarte şi segmentul [c,d] în m părţi. Valorile funcţie în punctul de coordonate (xk,yj) se vor atribui elementului Mk,j al matricii M, acestea sunt valorile de pe axa Z. Pe punctul de coordonate (k,j,Mk,j) ce corespunde punctului de coordonate (xk,yj,f(xk,yj)) se “sprijină pânza” ce reprezintă suprafaţa descrisă de funcţia f.
TAREA FUNCŢIILOR ÎN SPAŢIU
suprafaţă
Obiect
Dup spentru a fi capabil: s r
ive:
ă tudiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente
ă eprezinţi grafic funcţii de două variabile sub forma de suprafe
Pentru reprez
n 30:= a 3−:= b 9:= hb a−
n:= k 0 n..:= xk a k h⋅+:=
m 22:= c 3−:= d 6:= qm
d c−:= j 0 m..:= y j c j q⋅+:=
f x y,( ) sin x2 y2+( ) cos x y+( )+:= M k j, f xk y j,( ):=
Grafic sub forma de panze
M
ţe, ş
S modifici textura, culoarea, şi alte c a
i linii de nivel. ă intervalele de reprezentare ar cteristici ale graficelor.
22
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
Unui astfel de grafic i se poate modifica forma de prezentare folosind din3D dublu c
•
•
fişarea denumirii graficului, a axelor;
l de fundal;
Fiş
meniul Format comanda Graph, iar în această paletă comanda Plot. Apelul paletei 3-D Plot Format se poate obţine şi printr-un
lic pe grafic. Această paletă conţine următoarele fişe:
• General comenzi generale;
Axes comenzi referitoare la axe;
Appearance comenzi referitoare la modul de apariţie al graficului;
• Lighting comenzi referitoare la culorilor cu care se prezintă graficul;
• Title comenzi pentru a
• Backplanes comenzi referitoare la planu
• Special comenzi speciale;
• Advanced comenzi de prezentare;
• QuickPlot Data domeniul de reprezentare. a General
conţine zonele:
oate realiza prin “prinderea graficului” cu ajutorul s-a obţinut un unghi favorabil
• Zon u stilul axelor ne propune una din
er cu axele de coordonate la perimetrul vizibil al
o
• zona View unde se pot preciza unghiurile de vizualizare a graficului (Rotation, Tilt, Twist), iar prin comanda Zoom putem mări graficul, introducând valori mai mari ca 1 sau micşora graficul introducând valori cuprinse în intervalul (0,1). Ungiul de vedere se pmouse-lui şi rotirea lui, după ce putem rotunji valorile unghiurilor în mod manual.
a Axes Style pentrreprezentările:
Perimetgraficului; Corner cu axele de coordonate la locul tradiţional al lor; None fără axe de coordonate;
în caz că se activează comanda Equal Scales, se va face afişare a graficul cu axele de coordonate proporţional reprezentate.
23
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
•
a o tare, de asemenea se
x este activată se va afişa
alelipiped.
• suprapus peste graficul 1, dacă există graficul 3 suprapus peste
alegerea unuia din modurile de
de puncte în spaţiu; bare în nodurile reţelei;
rafic sub formă de suprafeţe, realizat din i aşezate în nodurile de coordonate (k,j,Mk,j);
Fişa Axes
Zona Frames are două opţiuni: dacă opţiunea Show Border este activată se va afişmargine a dreptunghiului de prezenpoate alege culoarea acestei margini; dacă opţiunea Show Boparalelipipedul în care se încadrează graficul tridimensional, aici putem alege culoarea cu care se afişează acest par
Fişa Plot 1 (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă există graficul 2
graficul 1 şi 2 …) ne permitereprezentare a graficului:
Surface grafic sub formă de suprafeţă; Contur Plot grafic sub formă de linii nivel;
Data Points grafic sub formă Bar Plot grafic sub formă de Vector Field grafic sub formă de câmp de vectori; Patch Plot g
dreptunghiur
cuprinde 3 fişe pentru fiecare axă de coordonată: X- , , Axis Y-Axis Z-
pentru axa X;
activă se va alege o grilă în
numărul liniilor de grilă, pot fi precizate în cazul când comanda Auto Grid este inactivă;
Axis. Fiecare din aceste fişe conţine comenzi similare pentru axa X, axa Y şi axa Z:
• Zona Grids conţine următoarele: opţiunea Draw Lines dacă este activă, se vor vizualiza linile
de grilă opţiunea Draw Ticks dacă este activă, va vizualiza diviziunea
axei X; opţiunea Auto Grid dacă este
mod automat, care se va vizualiza; în acest caz culoarea, numărul şi grosimea liniilor de grilă nu pot fi precizate;
fereastra Line Color pentru a alege culoarea liniilor de grilă; fereastra Number pentru
24
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
fereastra Line Weight pentru grosimea liniilor de grilă, pot fi precizate în cazul când comanda Auto Grid este inactivă.
şare a
minimă de pe aloarea implicită –1, iar limita maximă este ă 1; dacă opţiunea este inactivă,
lue;
ş tată. ş
• Zona Axis Format conţine următoarele: opţiunea Show Number dacă este activă, va vizualiza valorile
prin care trec liniile de grilă. fereastra Axis Color pentru a alege culoarea de afişare a axei
X; fereastra Axis Weight pentru a alege grosimea de afi
axei X.
• Zona Axis Limits conţine: opţiunea Auto Scale dacă este activă, limita
axa X este vvaloarea implicit Auto Scaleatunci aceste valori pot fi precizate de utilizator în:
fereastra Minimum Va fereastra Maximum Value.
Fi ele Y-Axis şi Z-Axis sunt similare cu fişa mai sus prezenFi a Appearance
ţine fişa Plot 1 (fişa Plot2, con fişa Plot3 … dacă există graficul 2 că există graficul 3 suprapus peste
l său conţine zonele:
e umplere a desenului;
•
• Po punctelor din nodurile
• Color Options cu opţiuni de colorare pentru cele 3 fişe Fill
Opţiunile din zona Fill Options sunt:
• pat
• opţde nivel ale suprafe
suprapus peste graficul 1, dagraficul 1 şi 2 …), care la rîndu
• Fill Options cu opţiuni d
Line Options cu opţiuni de trasare a liniilor;
int Options cu opţiuni de afişare a(k,j,Mk,j);
Options, Line Options şi Point Options.
opţiunea Fill Surface, care, dacă este activă, se va umple rulaterele ce constituie suprafaţa funcţiei;
iunea Fill Contours, care dacă este activă, va vizualiza liniile ţei funcţiei;
25
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
• opţiunea No este constituit
• opţiunea Alternate Mesh, dacă este activată, (poate fi activată numai dacă Fill Surface este activă) va “umple” patrulaterele cu 2 triunghiuri (umplerea suprafeţei se face cu triunghiuri);
• opţiunea Smooth Shading, dacă este activă, (nu poate fi activată numai dacă Fill Surface este activă) va “umple” suprafaţa cu patrulatere.
Opţiunile din zona Line Options sunt:
• Wireframe suprafaţa sub formă de reţea (plasă);
• ContourLine suprafaţa sub formă de linii de nivel;
• No Lin• Hide Lines d
• Weight grosimeaOpţiunile din zon
• Draw Points se desenează
• Symbol în nodu i se va pune: dots (puncte), x’s (x-uri), +’s (plusuri), boxes
• Size dimensiun l .
Opţiunile din fişele Color Options (opţiuni de colorare) conţine comenzile:
• Colormap alege nuanţele dintr-o culoare în mod automat, nuanţele deschise pentru zonele înalte şi nuaţele închise pentru zonele joase;
• Solid Color ne permite alegerea unei singure culori pentru colorarea suprafeţei funcţiei.
Fişa Lighting conţine zonele:
g conţine:
pentru alegerea culorii de
fereastra Lighting Scheme conţine o listă de 6 scheme de colorat;
Fişele Light 1 …Light 8 sunt pentru cel mult 8 culori. Dacă On este activă culoarea respectivă participă la compunerea culori rezultat. Dacă Off este activă culoarea respectivă nu participă la compunerea culorii finale.
Zona Light Color din paleta culorilor de bază permite precizarea:
Fill nu vizualizează suprafaţa patrulaterelor din careă suprafaţa funcţiei;
e fără linii;
acă este activă nu se vizualizează liniile.
liniilor. a Point Options sunt:
punctele în nodurile reţelei.
rile reţele (pătrate), diamonds (romburi).
ea punctelor afişate, cu valori în intervalu(0.1,10)
• Zona Lightin opţiunea Enable Lighting dacă este activă permite
schimbarea schemei de colorare, dacă nu este activă nu putem schimba schema de colorare;
fereastra Ambient Light Colorbază;
o
26
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
fereastră Diffuse Color pentru culori de difuzie; fereastră Specular Color pentru culori reflectate.
o Zon direcţia luminii prin
loca fere s
lumină fereastra
lumină; fereastra
lumină. opţ
pre e
a Light Direction precizeazălizarea sursei de lumină.
a tra X pentru coordonata x a sursei de ;
Y pentru coordonata y a sursei de
Z pentru coordonata z a sursei de
iunea Infinite Light Source dacă este activă ciz ază că sursa de lumină se află la infinit.
Fişa Title
conţine: zona Graph Title cu o fereastră în care se introduce titlul graficului, acest titlu poate fi afişat deasupra graficului dacă se activează opţiunea Above sau sub grafic dacă se activează opţiunea Below sau poate fi inhibată afişarea dacă activăm opţiunea Hide. ş
Fi a Backplane
27
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
conţineBackp• Fişa X ni şi 2 zone:
ane Border dacă se activează se e planului X-Y;
one pentru fiecare axă;
desenarea linilor de nea este activă
eight pentru grosimea grilă.
senarea diviziunilor
Fişa S
3 fişe similare X-Y Backplane, Y-Z Backplane, X-Z lane:
-Y Backplane are 3 opţiuo opţiunea Fill Backplane dacă se activează se va
“umple” fundalul planului X-Y cu culoarea precizată de comanda Color;
o opţiunea Color care accesează paleta de culori de bază;
o opţiunea Backpltrasează marginil
o zona Grids conţine 2 z zona X-Axis are opţiunile:
• Draw Lines pentru grilă pe axa X. Dacă opţiuputem alege:
o Line Color pentru culoarea linilor de grilă;
o Line Wliniilor de
• Draw Ticks pentru dede pe axa X.
pecial
cu fişa Plot 1 (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă există graficul 2 suprapus peste graficul 1, dacă există graficul 3 suprapus peste graficul 1 şi 2 …) conţine 4 zone:
trele din zona Contour Options
e nivel;
• Opţiunile şi feres sunt: o opţiunea Fill pentru “umplerea” curbelor de contur cu
culoarea ce rezultă din alegerea ce se face în fişa Advanced;
o opţiunea Draw Lines pentru trasarea curbelor de nivel; o opţiunea Auto Contour alege în mod automat numărul de
curbe de nivel; o opţiunea Numbered pentru a vizualiza valoarea de nivel a
curbelor d
28
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
o fereastra Number pentru precizarea numărului de curbe de nivel (nu poate fi folosit numai dacă comanda Auto Contour este inactivă);
.
ficele bară din zona Bar Plot Layout ne
o trix);
o
dintre elementele vizualizate.
ated Mesh (opţiuni de interpolare):
xiunea pe linii; nexiunea pe axa X; nexiunea pe axa Y;
opţiunile (solid, das
Fişa Advanced
o în ultima fereastră putem alege planul (în imaginea prezentată avem planul reprezentat de z=0 cu denumirea de Z-Contours) în care se trasează curbele de nivel
• Opţiunile referitoare la grapermite vizualizarea graficului sub formă:
de matrice (Mao de stivă (Stacked);
de plăci (Side by Side); o cu ajutorul ferestrei Spacing se poate stabili mărimea
spaţiile
• Zona Interpolo numărul de linii (Rows) necesare pentru interpolare; o numărul de coloane (Columns) necesare pentru
interpolare.
• Zona Conectivity opţiuni de conexiuni o Row Order pentru coneo Increasing X pentru coo Increasing Y pentru coo Increasing Z pentru conexiunea pe axa Z; o Line Style stilul liniilor de conexiune cu
hed, dotted, da-dot).
conţine 4 fişe (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă exist ă există graficul 3 sup
o opţiuneperspectiv
Advanced View Options, Plot 1ă graficul 2 suprapus peste graficul 1, dac
rapus peste graficul 1 şi 2 …), Printing şi Colormap .
• Fişa Advanced View Options are două opţiuni şi două ferestre: o opţiunea Enable Fog dacă este activă imaginea se
vizualizează în ceaţă; a Perspective pentru a realiza o imagine în
ă;
29
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
o fereas schimba amplitudinea pe verticală a graficului cu procentul indicat;
o fereastra Viewing Distance pentru distanţa punctului de vedere, cu valori între 1 şi 99, această fereastră poate fi folosită numai dacă comanda Perspective este activă.
• Fişa Plot 1 are 3 ferestre: o fereastra Shininess pentru strălucirea desenului cu valori
între 0 şi 128; o fereastra %Transparency pentru transparenţa desenului
cu valori între 0% şi 100%; reastra Polygon Offset pentru contrast cu valori între 0
şi 10.
o High Quality Printing opţiune pentru a realiza o listare de înaltă calitate;
o Set as default setarea parametrilor de listare la valoarea implicită.
• Fişa Colormap care permite colorarea graficului în raport cu: o axa X (Increasing X); o axa Y (Increasing Y); o axa Z (Increasing Z). o fereastra Choose Colormap permite alegerea modul de
colorare. Aceste moduri de colorare sunt: Rainbow în culorile curcubeului; Grayscale în nuanţe de gri;
ase şi în culori calde pentru zonele înalte;
Gamma în nuanţe de gri; Greens în nuanţe de verde; Neon în nuanţe date de iluminarea cu neon; Reds în nuanţe de roşu; Royal în nuanţe regale; Topografic în nuanţele folosite în hărţile geografice.
Fişa Quick Plot cu fişa Plot 1 (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă există graficul 2 suprapus peste graficul 1, dacă există graficul 3 suprapus peste graficul 1 şi 2 …) şi fişa Coordinate System. Zona Coordinate System permite alegerea sistemului de coordonate:
Cartesian pentru sistemul de coordonate cartezian; Spherical pentru sistemul de coordonate sferic;
tra Vertical Scale cu valori între 1% şi 100% pentru a
o fe
• Fişa Printing
Blues în nuanţe de albastru; Fire în culori reci pentru zonele jo
30
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
Cylindrical pentru sistemul de coordonate cilindric.
) x2 cos x( )⋅ y2 sin y( )⋅+ x y⋅+:=
În cele ce urmează prezentăm graficul funcţiei s sub forma liniilor denivel.
s x y,(Graficul cu linii de nivel
s Reprezentarea funcţiilor complexe poate fi realizată numai dacă
are
reprezentăm valorile funcţiei complexe în modul. Spre exemplificvom reprezenta un polinom cu coeficienţi complecşi.
a 1.2−:= b 1.2:= n 24:= k 0 n..:= hb a−
n:= xk a k h⋅+:=
c 1.2−:= d 1.2:= m 24:= j 0 m..:= qd c−
m:= y j c j q⋅+:=
P z( ) π5
z⋅ 0.575 i z⋅− ln 0.434( ) i+ 1+:= Mk j, P xk y j i+( )2:=
M M, M
31
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
De remarcat că în primul grafic avem două reprezentări diferite suprapuse ale polinomului P, (Surface Plot şi Contour Plot) într-o singură regiune.
Studiu individual:
5.2. Grafice bară, scater şi vector
În exemplele prezentate matricea A are dimensiunea 10x10. Valorile lementelor matricei A sunt numere aleatoare ce depind de n, k şi j.
rea comenzii 3D Bar Chart se afişează spaţiul de a graficului cu bare. Se introduce denumirea matricei în
şi matrice A
e), i r dimensiune pot fi între valorile 0.1 şi 0.
Propunem câteva funcţii care să se reprezinte în 3D: 1. f(x,y)=sin(x-1)2+cos(y-1)2
2. f(z)=z5-1 z complex 3. Să se reprezinte zerourile polinomului z3-z2+1.4142z-1.4142 4. Să se reprezinte funcţia:
( )v1
v
v3v1u)v,u(g
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⋅=
5. Să se reprezinte grafic funcţia , unde
6
czbza:)z(f 2 +⋅+⋅=
CC →: . Să se analizeze în funcţie de a,b,c poziţia zerourilor funcţiei.. Să se determine punctele şa ale func
fţiei
in(x)s 2+cos(y)3+sin(x)4+cos(y)5
eP
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să reprezinţi grafic funcţii de două variabile sub forma de bare,
ectori. i alte
caracteristici ale graficelor.
scater şi vSă modifici forma, culoarea, intervalele de reprezentare ş
rin activareprezentarelocul rezervat şi printr-un simplu Enter se realizează graficul. Alături de graficul cu bare s-a prezentat pentru aceeagraficul scater. Punctele reprezentate se pot afişa sub următoarele forme: dots (discuri), x’s (x-uri), +’s (plusuri), boxes (pătrat
amonds (romburi); ale cărod1
32
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
n 9:= k 0 n..:= j 0 n..:= Ak j, rnd n k⋅ j+( ):=
A A xemplul prezentat pe pagina următoare pentru graficul sub formă câmp de vectori s-a luat o funcţie f căreia i s-a calculat valorile în
unctele zk,j. Comanda Vector Field Plot va vizualiza un spaţiu de lorile vectorizate ale lui f. În
acest fel se obţine graficul prezentat.
În ee d
preprezentare în care se introduce va
f z( ) 2 sin z( )2⋅ cos 2 z⋅( )2
+:= n 9:= k 0 n..:= j 0 n..:= zk j,k11
j13
i+:=
f z( )→⎯
5.3. Repreze
ntarea corpurilor în 3D
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să reprezinţi grafic corpuri geometrice. să modifici textura, culoarea, intervalele de reprezentare şi alte
caracteristici ale graficelor.
33
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
Pentru exemplificare prezentăm graficul benzii lui Moëbus. Având ecuaţiile parametrice a celor trei proiecţii vom genera matricele X ,Y şi Z. Aceste matrice vor constitui ansamblu (X,Y,Z) ce se va introduce în locul rezervat matricei sau funcţiei în regiunea Surface Plot. Ecuaţiile de generare a benzii lui Moëbus:
n 100:= k 0 n..:= j 0 n..:= uk2 π⋅ k⋅
n:= vj 0.5−
jn
+:=
a 1:= f 1:= θπ
2:= Xk j, a vj cos θ f uk⋅+( )⋅+( ) cos uk( )⋅:=
Yk j, a v+(:= j cos θ f uk⋅+( )⋅ ) sin uk( )⋅ Zk j, vj sin θ f uk⋅+( )⋅:=
X Y, Z,( ) Ecuaţiile pentru trunchiul de con înclinat:
Zk j, z αk hj,( ):=Yk j, y αk hj,( ):=Xk j, x αk hj,( ):=hj
Hn
j⋅:=αk2 π⋅
mk⋅:=
g α( ) x α 0,( ) x α H,( )−( )2y α 0,( ) y α H,( )−( )2
+ H2+:=
L α ρ,( ) α ρ⋅:=z α h,( ) h:=
y α h,( ) r R−
Hh R+⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
sin α( )⋅:=x α h,( ) R r−
Hh⋅ R+
r R−
Hh R+⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
cos α( )⋅+:=
j 0 n..:=k 0 m..:=n 10:=m 36:=H 5:=r 1:=R 2:=
34
Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu
X Y, Z,( )
Test de autoevaluare:
Reprezintă în 3D funcţia: f(x,y)=sin(x-1)2+cos(y-1)2
Reprezintă banda lui Moëbus folosind ecuaţiile de generare demai sus.
35
Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei
6. REALIZAREA ANIMA
În multe situaţii este important să realizăm grafice ce descriu un proces evolutiv, pentru aceste cazuri se foloseşte animaţia din Mathcad. Pentru exemplificare să considerăm o metodă de tip
tru determinarea soluţie 0 a ecuaţiei
ŢIEI
O i
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să realizezi animaţia data de evoluţia în timp a unei funcţii. să modifici parametri de care depinde anima
b ective:
ţia astfel încât să aibăun impact vizual corect.
0z 58
=Newton pen . Valoarea ţ
coo . Se vor vedea sub formă de animaţie punctele de coordonate (xFRAME,f(xFRAME).
ini ială este x0=9.5, în aceste condiţii metoda este convergentă. Calculăm valorile x1,x2,…,x9 şi reprezentăm grafic punctele de
rdonate (xFRAME,f(xFRAME))
x0 9.5:= k 0 9..:= xk 1+ xk 0.5 xk( )3
5⋅−:=
40
30
0 5 10
0
10
208
xFRAME( ) 5
xFRAME Valoarea iniţială a variabilei predefinite FRAME este 0. Activăm comanda Animate din meniul View şi selectăm regiunile care dorim să fie cuprinse în fereastra de animaţie, în cazul nostru graficul din stânga ferestrei Animate. Prin activarea comenzii Animate se va crea un fişier Video Clip cu extensia avi care poate fi vizualizat cu ajutorul comenzii Playback. Fişa Animate are o zonă denumită for FRAME şi 4 butoane: • zona for FRAME cu câmpurile:
o fereastra From, pentru valoarea de pornire a variabilei FRAME, valoarea implicită este 0;
o pentru valoarea de sfârşit a variabilei FRAME, o fereastra Tvaloarea implicită este 9;
36
Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei
o fere exprimată în număr de
• butonul Animate pentru generarea fişierului Video Clip cu
extensia avi; • but• but u
astra At pentru viteza de animaţiesecvenţe (frame-uri) pe secundă.
on l Cancel; on l Save As;
u
• butonul Options deschide fişa Compressor Options ce conţine
opţiunile de comprimare.
o fereastra Compressor cu standarde de comprimare; tra Compression Quality pentru calitatea imări, exprimată printr-un număr între 0 şi 100;
ey Frame Every este activată putem l d ame-uri e 1 şi 10 în fereastra
frames. Fereastra de Playback conţine un buton de play
o fereascompr
o dacă opţiunea Kschimba număru e fr într
şi unul de open . Meniul local al ferestrei Playback conţine:
• Comanda View ce conţine 3 opţiuni de afişare a Playback-
ului:
37
Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei
Half Size jumătate de mărime; ize mărime normală; ize mărime dublă.
Normal S Double S
Comanda de Speed are posibilitatea schimba viteza d
afişare în plaja 10%-190%. • e
• Comenzile Open şi Close sunt pentru deschiderea şi
închiderea fişierului Video Clip.
• Comanda Copy pentru a copia fereastra Playback;
Studiu individual:
Evolutia spiralei lui Arhimede: θ 0 0.001, 4 π⋅..:= p θ( ) 1 0.2 θ⋅+:= k 0 1, 20..:= x0 0:=
xk 1+ xk 0.9+:=
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
1
2
3
p xFRAME( )p θ( )
xFRAME θ,
Din meniul Traces modificati tipul de linie, grosimea si culoarea pentru primele doua trasari. Functia p va fi reprezentata de doua ori pe acelasi grafic.
38
Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei
Test de autoevaluare:
Animează evoluţia sinusoidei. Modifică variabileleătoare din fereastra Animate astfel încâtrea să se facă pe intervalul [0,2π], si cu o viteză.
corespunz reprezentaconvenabilă
39
Calcul numeric Capitolul 7– Rezolvarea numerică a sistemelor liniare
EA NUMERICĂ A SISTEMELOR LINIARE 7. REZOLVAR
ezolvarea sistemelor liniare de n ecuaţii şi n necunoscute se poate cad, apelând la funcţia lsolve. Sistemul matricială:
unde A ătrată de n linii şi n coloane nesingulară, iar b este un vector coloană ce reprezintă termenul liber. Se defineşte
şi termenul liber , prin atribuire. Se alege o variabilă căreia se ataşează semnul de atribuire := prin apăsarea tastei “două puncte” sau cu ajutorul mouse-lui de pe paleta Calculator a
tonu i
O
Dp
sind diverse moduri de rezolvare
biective:
upă studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente entru a fi capabil: să rezolvi cu ajutorul pachetului de programe Mathcad sisteme de
ecuaţii liniare. să determini vectorul soluţie folo
Rrealiza cu pachetul Mathliniar trebuie adus la forma
Ax=b este o matrice p
matricea A bi
.bu lu Apoi se apelează la comanda Matrix din meniul Insert. Acestă omandă va deschide paleta Insert Matrix.
c
Se precizează numărul de linii (Rows) şi numărul de coloane (Columns) şi apoi se acţionează comanda Insert. Se va afişa matricea ca în figura de mai sus, apoi în fiecare spaţiu va se introduce elementul respectiv. Pentru a creea un vector se procedează în acelaşi fel, doar că vectorul va avea o singură coloană. Acest mod de creare al matricilor este modul manual care nu permite introducerea matricilor mai mari de 10 pe 10. Pentru a introduce matrici de dimensiuni mai mari ca 100=10x10 se pot folosi funcţii pentru citirea matricilor din fişiere, create cu editoare de texte; sau precizarea elementelor matricei se face printr-un program ce atribuie elementele respective. Prin aceste modalităţi putem să creăm matrici de dimensiuni până la 1000000. Aceste dimensiuni pot fi extinse şi la dimensiuni de
40
Calcul numeric Capitolul 7– Rezolvarea numerică a sistemelor liniare
8000000 în cazul unor calculatoare cu memorii interne mai mari 128 oie de procesoare cu caz contrar timpii de
relucrare vor fi foarte mari.
Rezolvarea sistemului liniar se face cu funcţia lsolve care are ca argumenţi matricea şi termenul liber. Prin acţionarea tastei = se va vizualiza vectorul soluţie. Funcţia lsolve nu acceptă decât matrici ătrate şi vectori de aceaşi dimensiune cu numărul de linii al matricii.
funcţiilor pentru matrice şi vector pot fi abordate şi alte ăţi speciale. O
i să enul liber.
19
31
23−
37
29
41
Mb. Pentru dimensiuni aşa de mari este nevrecvenţe de de lucru cel puţin 300MHz, în f
p
pCu ajutorul
odalităţi de rezolvare a sistemelor liniare cu propietmmodalitate simplă de rezolvare este să inversăm matricea şacem produsul cu termf
A
11 13 17⎛⎜
⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
b 2−
3
:=
1⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= x A b⋅:= x 0.082175925925926
0.021990740740741−
1−0.027777777777778⎛
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Rezolvare folosind matrici şi vectori
Test de autoevaluare:
Să se rezolve : următoarele sis eme liniare
t
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⋅−−⋅+=−⋅+⋅+−=⋅+−+⋅=+++
4t2zy3x5tz2y2x1t2zyx24tzyx
)(⎪⎩
⎪
=+⋅+++⋅−⋅−
=−⋅+
+⋅+⋅
01.77
3 7.11z5 222yexe1
02ez2
15yln(3)xπ
⎪⎪⎪
⎪⎪⎨ −=⋅
+−⋅−⋅
3ππ
0.123z5 1e
3y3 7
2x7
1
⎪⎧
41
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
8. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR NELINIARE
8.1. Rezo
ţii algebrice este: unde n este gradul polinomului iar ak coeficienţii polinomului, care pot fi numere reale sau numere complexe. Se pot pune următoarele probleme vis-a-vis de rezolvarea ecuaţiei algebrice: determinarea tuturor soluţiilor ecuaţiei sau determinarea unei anumite soluţie. Pentru determinarea numerică a tuturor soluţiilor ecuaţiei algebrice se procedează după cum urmează. Fie ca exemplu polinomul:
lvarea numerică a ecuaţiilor algebrice
Forma canonică a unei ecua
0axaxaxa 011n
1nn
n =+⋅++⋅+⋅ −− L
P x( ) 11 x11⋅ 13 x10
⋅− 8 x8⋅− 7 x7
⋅+ 6 x6⋅− 5 x5
⋅+ 3 x3⋅+ 2 x2
⋅− 1+:= atunci vectorul ce defineşte polinomul P este vectorul a (polyroots
tă vectori de dimensiune accep ≤ 100 sau altfel spus rezolvă numeric olinoame ar căror grad este p ≤ 99):
a 1 0 2− 3 0 5 6− 7 8− 0 13− 11(:= )T e aplică funcţia polyroots (funcţia foloseşte metoda lui Laguerre): S
x polyroots a( ):= x
0.753211955156556− 0.595152074139465i−
0.753211869146335− 0.595152135688143i+
0.554267781155217−
0.433950588737159− 0.838883475006448i−
0.433950542562189− 0.838883412789342i+
0.2602051623526 0.902116633101105i+
0.26020516306468 0.902116631654094i−
0.581801275916955 0.463734914766199i+
0.581801275916955 0.463734914766199i−
1.11054588173952
1.22114856812649
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Acest polinom are 3 rădăcini reale şi 8 complexe. Pentru a determina o rădăcină reală rvalul real căruia îi aparţine rădăcina şi aplicăm
vom preciza inte prima formă a funcţiei root (funcţia foloseşte metoda secantei)
pă cum urmează: du
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi numeric ecuaţii algebrice. să foloseşti reprezentările grafice pentru a determina vecinătăţile
soluţiilor.
42
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
α 1.22:= β 1.23:= root P x( ) x, α, β,( ) 1.22114856812645=
Pentru o rădăcină complexă vom alege o valoare iniţială pentru variabila z, rădăcina complexă determinată cu polyroots şi apoi aplică a doua formă a funcţiei root.
z 0.581801275916955 0.463734914766199i−:=
root P z( ) z,( ) 0.581801275916955 0.463734914766199i−= În cele ce urmează vom rezolva numeric o ecuaţiei algebrică a cărui
coeficienţi complecşi. c6 46− 48i−:= c5 124− 200i+:= c4 129 80i+:=
c 624− 5812i+:= c 11796 15808i+:= c 29184 21840i−:= c0 40320−:=
P z( ) c8 z c7 z⋅+ c6 z⋅+ c5 z⋅+ c4 z⋅+ c3 z3⋅+ c2 z2
⋅+ c1 z⋅+ c0+:=
polinom are
c8 1:= c7 4 12i−:=
3 2 1
8 7 6 5 4⋅
Se aplică funcţia polyroots.
polyroots c( )
⎛ ⎞6.99999999999921−⎜ ⎟2.99999999999183−
2.00000000001429i
8.00000000000291i
00000000000062i
5.00000000000151
4.−
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜
=
⎜⎜
5.99999999998341i
0.999999999999999⎜ ⎟⎝ ⎠
Se determină separat fiecare rădăcină.
000000291i root P z( ) z,( ) 8.00000000000001i=
i root P z( ) z,( ) 5.99999999999997i=
z 6.99999999999921−:= root P z( ) z,( ) 7−=
z 2.99999999999183−:= root P z( ) z,( ) 2.99999999999999−=
z 2.00000000001429i:= root P z( ) z,( ) 2.00000000000001i=
z 8.00000:=
z 4.00000000000062i−:= root P z( ) z,( ) 4i−=
z 5.99999999998341:=
z 0.999999999999999:= root P z( ) z,( ) 1=
z 5.00000000000151:= root P z( ) z,( ) 5.00000000000001= Prezentăm interpretarea grafică a rădăcinilor complexe ale polinomului de gradul doi cxbxa:)x(P . Pentru exemplificare fie a:=1, b:= -2 şi c:=2 .
2 +⋅+⋅=
43
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
2P z( ) z 2z− 2+:= f x y,( ) P x yi+( ):=
f f Studiu individual:
Test de autoevaluare:
8.2. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor transcendente
rice ecuaţie se poate scrie sub forma: f(x) = g(x). Această ecuaţie eb ie adusă la forma canonică f(x) - g(x) = 0.
Să se determine rădăcinile polinoamelor:
)5 131i7(z3z4ziπS(z)
3111i2z134z5i6zR(z)
2π-xe3x3 35x5 5Q(x)
8x72x63x54x45x36x27xP(x)
⋅−−+−⋅⋅=
⋅−⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅−⋅=
−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=
Să se determine rădăcinile polinomului pentru valorileparametrului m:=3, m:=3.5, m:=4, … , m:=7.
( ) ( ) 23425 m64ym48ym12y1mymy:y ⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅−+⋅+−= 2mP
Ob
Du l, vei avea cun ştinţe suficiente
să foloseşti reprezentările grafice pentru a determina vecinătă
iective:
pă studiul acestui capito opentru a fi capabil: să rezolvi numeric ecuaţii transcendente.
ţilesoluţiilor.
Otr u
44
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
Dup pe segmentul de inte cţia se anulează. Alegem ca valoare iniţială x, valoarea pentru care, conform graficului, fun ia se anulează. Această valoare se poate determina cu ajutorul paletei X-Y Trace. Pentru a determina soluţia ecuaţiei cu precizii până la 15 zecimale exacte apelăm la funcţia root.
următorul caz:
ă ce reprezentăm grafic funcţia h(x):=f(x) – g(x)res pu em să evaluăm valorile aproximative în care funt
cţ
Cele prezentate mai sus le exemplificăm cu
Studiu individual:
n condiţiile economiei de piaţă, luarea deciziei cNecontradictorie;
Determinaţi toate zerourile următoarelor funcţii: 1. ( ) xe221x:g(x) ⋅−−=
2. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−=
2xπcos2x:w(x)
3. 2x 1x22:f(x) −⋅−=
x11
x11:h(x)
−+−= 4.
Să itivă a ecuaţiei:
se determine cea mai mică rădăcină poz( ) 0x3cosx =⋅⋅
Să se rezolve ecuaţia lui Zurek
( ) ( )λ−⋅η⋅⋅μρ
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅+⋅+⋅
−lc
4
z211ln1z2
z1
pentru 5.0:=ρ 35.0:=μ 1:c = 85.0:=η 30:=l 3:=λ .
45
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
Test de autoevaluare:
8.3. Rezolvarea numerică a sistemelor neliniare
Pendispest e precizeze un punct iniţial (de obicei în apropierea soluminproconpoaÎn cazul sistemului neliniar de ordinul 2, reprezentarea grafică poate să ne ajute. Prezentăm rezolvarea a două cazuri. 1. Un sistem neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute.
tru rezolvarea sistemelor neliniare pachetul Mathcad ne pune la oziţie două funcţii: find şi minerr. Pentru aproximarea soluţiei căutate necesar să seţiei căutate) cu care va începe procesul iterativ al funcţiilor find şi err. Dacă punctul iniţial nu este ales din bazinul de atracţie al
cesului iterativ, generat de funcţiile find şi minerr, procesul nu va verge sau va converge către o altă soluţie. Alegerea punctului iniţial te fi o întreprindere grea mai ales în cazul dimensiunilor mai mari ca 2.
x 0.2:= y 0.9:=
Given tan x y⋅( ) x2 x2
22y2
+ 1 Find x y,( )0.00000016551329−
0.707106801110735⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
2.
Un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute.
x 1:= y 2:= z 2:=
given x logyz
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1+ y 0.4 z2+ 2x2
− z 2 xy20
⋅+
minerr x y, z,( )
1.08798164191759
2.62392219972735
2.14273895870249
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Determinaţi toate zerourile următoarei funcţii: )xcos(x:)x(f +=
Obiective:
D pitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: upă studiul acestui ca
să rezolvi numeric sisteme de ecuaţii neliniare. să foloseşti diferite metode de rezolvare numerică.
46
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
Cuvântul given deschide un spaţiu ecuaţie, spaţiu care se închide cu funcţia find sau minerr. Semnul “egal” dintre partea stângă şi partea
iilor se realizează prin apăsarea simultană a tastelor trl şi semnul egal sau de pe paleta Boolean. Dacă punem cursorul e fun ia de rezolvare a sistemului neliniar prin acţionarea tastei din
ul de rezolvare al sistemului:
dreaptă a ecuaţCp cţdreapta mouse-lui, se va afişa meni
Comanda Auto Select dacă este activată, va face o alegere automată a metodei de rezolvare a sistemului (Linear pentru sisteme niare, Nonlinear pentru sisteme neliniare, Quadratic pentru
cadrul metodelor pentru sisteme neliniare se alege în mod automat metoda Conjugate Gradient). Dacă această comandă este
activă, putem alege metoda de rezolvare a sistemului neliniar în mod manual.
Pentru sistemele neliniare mai avem la dispoziţie: metoda evenberg-Marquardt şi metoda Quasi-Newton). Comenzile Cut, opy şi Paste au o acţiune locală în cadrul regiunii ecuaţiei.
vanced Options… va provoca afişarea
liprobleme de programare neliniară). În
in
LCAcţionarea comenzii Adferestrei:
unde putem alege: estimarea derivatei (fa
Derivative estimation) să se că înainte estimării sau (Central) în timpul estimării; estimarea
r să se facă în mod tangent (Tangent) sau în mod pătratic ); să se facă un control variabilelor liniare (Yes) sau să nu
e facă controlul variabilelor liniare.
cazul că metoda aleasă nu converge la o soluţie, se poate încerca -3 a constantelor predefinite TOL şi
TOL. În cazul unei valori mai mici a constantei TOL se va obţine o
Cuvântul cheie
variabilelo(Quadratics Înschimbarea valorii implicite de 10C
given trebuiesă preceadă ecuaţiile sistemului.
47
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
soluţie de precizie mai bună. Dacă CTOL este egală cu 0.0001, atunci inegalitatea x<1 este, de fapt, x<1.0001.
Studiu individual:
Test de autoevaluare:
1. Să se rezolve sistemul neliniar
2. Să se determine o soluţie a sistemului neliniar
⎩ =⋅+⋅ 12y22x1.1⎨ ⎧ =⋅−+ 0.2x1.1y)sin(x
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎜⎝
+=++
+ 32zyx
cosy
3. Să se determine o soluţie a sistemului neliniar
⎞⎛+
−
=++
1
xsin
11
31233z2yx
=+− πz5 xy3 y
x
x
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅+=
⋅−+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
20yx2z
x2z4.0y 22
1zylogx
1. Să se rezolve sistemul neliniar
pentru⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−⋅
=−−⋅
04y3yx
012y3xa { }7.5,,2,1.5,1a L∈
2. Să se determine o soluţie a sistemului neliniar
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅+=
⋅−+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
20yx2z
x2z4.0y
1zylogx
22
48
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
8.4. Program
achetul Mathcad pune la dispoziţie două funcţii (Maximize şi inimize) pentru rezolvarea problemelor de programare liniară şi
eliniară. Funcţia Maximize(f,z0,z1,…) ne calculează valorile variabilelor z0,z1,… pentru care se realizează restricţiile impuse şi cea mai mare valoare a funcţiei f. Funcţia Minimize(f,z0,z1,…) calculează valorile variabilelor z0,z1,…pentru care se satisfac restricţiile impuse şi valoarea funcţiei f în aceste puncte este cea mai mică. Prezentăm două exemple rezolvate pentru aceeaşi problemă: o minimizare şi o maximizare:
are liniară şi neliniară
PMn
Functia obiectiv f x y,( ) x y⋅ x+ y2+:=
Valorile initiale x 0:= y 0:=
given 1 x sin 11x( )⋅( )2− y2
≥ 1 x cos 7x( )⋅( )2− y2
≤u
v⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
Minimize f x, y,( ):=
u
v⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
0.911567852495918
0.420670938294961⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
= f u v,( ) 1.47200199465086=
Obiective:
După s diul acestui capitol ente pentru a fi capabil: să rezolvi numeric probleme de programare liniară. să foloseşti func
tu , vei avea cunoştinţe sufici
ţiile de minimizare respectiv maximizare, precum şirestricţiile impuse.
Functia obiectiv f x y,( ) x y⋅ x+ y2+:=
Valorile initiale x 0:= y 0:=
Given 1 x sin 11x( )⋅( )2− y2
≥ 1 x cos 7x( )⋅( )2− y2
≤u
v⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
Maximize f x, y,( ):=
u
v⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
0.864466883886695
0.997344268729066⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
= f u v,( ) 2.72133356640388=
49
Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare
Test de autoevaluare:
Pe baza exemplelor de mai sus rezolvă următoarele problemede programare liniară:
≥⋅⋅
≤+
y)x11sin(x
100yx
)yxyxmax(
2
22
⋅ + +
0yx ≥⋅
R: x=-3.335 y=9.427
x≥⋅
)yxyxmin( ++⋅
y)x11cos(
100yx2
22
≥⋅⋅
≤+
x 0y
50
Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor
A ŞI EXTRAPOLAREA FUNCŢIILOR 9. INTERPOLA E
d ne pune la dispoziţie două funcţii de interpolare: funcţia nterp, care realizează o interpolare liniară unind punctele furnizate cu
linii drepte şi funcţia interp, care realizează o interpolare spline.
• linterp(vx,vy,x) unde în vectorul vx se găsesc momentele determinărilor (sau distanţa la care sau făcut determinările…), în ordine crescătoare, sau doar un număr de ordine al măsurătorii; în vectorul vy se găsesc valorile măsurătorilor (determinărilor); x este variabila funcţiei ce se obţine prin interpolare.
R
Obiective:
După studpentru a f să det are fa
iul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente i capabil:
ermini prin interpolare valori intermedi
Una din problemele cele mai des întâlnite este interpolarea. Având un vector de date ce pot proveni dintr-un set de măsurători, sau un set de determinări, se pune problema găsirii unei funcţii care permite calcularea unor valori intermediare faţă de cele precizate. Pachetul
athcaMli
vx 1 1.7 2.1 2.8 3.2 3.3 4.1 5 5.2 6( )T:=
vy 1.11 1.97 1.05 0.32 0.55 1.35 1.03 1.5 1.25 1.85( )T:=
l x( ) linterp vx vy, x,( ):=
1 2 3 4 5 6
1
2Interpolarea liniara
Val
orile
mas
urat
e
l x( )
vy
Momentele de masurarex vx,
În exemplu mai sus prezentat funcţia l(x) s-a reprezentat sub formă de grafic pe intervalul [vx0, vx9]. În acest grafic s-au reprezentat şi nodurile ce au fost furnizate din măsurători făcute. • interp(vs,vx,vy,x) este funcţia de interpolare spline unde vs este
vectorul furnizat de una din funcţiile spline ajutătoare; vx , vy şi x
ţă de celeobţin te
să detu din măsurători.
ermini prin extrapolare valorile următoare faţă de cele din măsurători. obţinute
51
Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor
au aceleaşi semnificaţi ca la funcţia linterp. Pentru interpolarea spline avem la dispoziţie patru funcţii pregătitoare.
• lspline(Mx,My) funcţia furnizează un vector ce se va folosi
în funcţia interp. Funcţia realizează o interpolare spline liniară cu condiţii de terminare liniare, unde Mx şi My pot fi vector sau matrice.
• pspline(Mx,My) funcţia furnizează un vector ce se va folosi în funcţia interp. Funcţia realizează o interpolare spline parabolică cu condiţii de terminare parabolice,
-a prezentat acelaşi exemplu de la interpolarea liniară realizându-se cele trei interpolări care apoi au fost vizualizate pe un singur grafic pentru a putea face o comparaţie între cele trei tipuri de interpolări spline.
unde Mx şi My pot fi vector sau matrice. • cspline(Mx,My) funcţia furnizează un vector ce se va
folosi în funcţia interp. Funcţia realizează o interpolare spline cubică cu condiţii de terminare cubice, unde Mx şi My pot fi vector sau matrice.
S
vs lspline vx vy,( ):= sl x( ) interp vs vx, vy, x,( ):=
vs pspline vx vy,( ):= sp x( ) interp vs vx, vy, x,( ):=
vs cspline vx vy,( ):= sc x( ) interp vs vx, vy, x,( ):=
1 2 3 4 5 6
1
1
2
3Interpolarea Spline
Momentele de masurare
Val
orile
mas
urat
e sl x( )
sp x( )
sc x( )
vy
x x, x, vx,
pot reprezenta coor onatele torile corespunzătoare valorilor
şi prin alte oduri.
Pentru interpolarea valorilor discrete dintr-o matrice pătrată se va proceda ca în exemplu de mai jos. Se defineşte o matrice cu n linii şi două coloane. În prima coloană se introduc cele n valori discrete de pe axa OX iar în a doua coloană se introduc cele n valori de pe axa OY. Aceste valori discrete (x,y) dunctelor în care s-au făcut măsurăp
din Mz. Matricea Mz cu valorile de interpolat se citeşte dintr-un fişier de tip prn cu ajutorul funcţie READPRN. Dimensiunea matricei Mz rebuie să fie nxn. Matricea Mz se poate evident defini t
m
52
Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor
Mxy1
0
2
2
5
4
10
6
17
8
26
10
37
12
50
14
65
16
82
18⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
T:=
Mz READPRN "C:\Documents and Settings\Mz.prn"( ):=
vs lspline Mxy Mz,( ):= ssl t( ) interp vs Mxy, Mz, t,( ):=
k 0 rows Mxy( )..:= j 0 rows Mxy( )..:= Mlk j, sslk
j⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
Folosind una din funcţiile spline lspline, pspline sau cspline se determină vectorul vs. Cu acest vector cu matricele Mxy, Mz şi cu ajutorul funcţiei interp definim funcţia ssl (spline spaţiu liniar) de argument t. În final fiecare element de indice k,j al matricei Ml va avea o valoare a funcţiei ssl în argumentul vectorul (k,j)T.
Ml Ml,
graficul prezentat s-au suprapus graficul de tip Surface Plot cu raficul de tip Contour Plot al funcţiei ssl.
şi interpolări cu funcţii spline parabolic sau
Îng În mod similar se pot facecubic.
{ }3,2,1n ∈Funcţia bspline de ordinul , cu sintaxa bspline(vx,vy,u,n) funcţia linterp, pentru n=2 este spline-ul parabolic iar
ntru =3 este spline-ul cubic. Dimensiunea vectorului este dată pentru n=1 este pe n ude formula ( ) n1vxrowsm −+= . Valorile capetelui vectorului u trebuie
fie în afara intervalului [vx0, vxm].
acă valorile intermediare ale vectorului u sunt identice cu valorile lui x, atunci vom obţine chiar funcţia mai sus notată cu l(t).
să
Dv
53
Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor
vxT 1 1.7 2.1 2.8 3.2 3.3 4.1 5 5.2 6( )=
u 0.99 1.7 2.1 2.8 3.2 3.3 4.1 5 5.2 6.01( )T:=
vs bspline vx vy, u, 1,( ):= bs1 t( ) interp vs vx, vy, t,( ):=
3
2
1 2 3 4 5 6
1
l t( ) 0.5+
bs1 t( )
t t,
uncţia predict(v,m,n) realizează extrapolarea. Având un set de ă determinăm
3.2
3.3
4.1
5
6
Fvalori sub forma unui vector, se pune problema surmătoarele n valori în funcţiei de cele m valori din vectorul furnizat. A se vedea cele două exemple prezentate.
1
1.7
2.1
2.8
⎛ 1.11
1.97
1.05
⎛⎜⎜⎜
⎞⎟⎟⎟
vx
5.2
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= predict vx 6, 3,( )
6.4
6.3
6.6
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= vy
0.32
0.55
1.35
1.03
1.5
1.25
1.85
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= predict vy 9, 5,( )
0.42
0.39
1.5
1.03
1.26⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Test de autoevaluare:
Se dau următorii vectori de măsurători:
vx 1 2 3 4 5 6( )T:= vy 1 1.2 1.9 3 2.8 2( )T:=
Să se determine valorile lui y în punctele: 2.3, 5.5 şi 7.
54
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
10. CALCULUL
10.1. Calculul derivatei într-un punct
punct se rmează să
derivăm, apoi i se atribuie lui x valoarea în care se va calcula
DERIVATEI ŞI A INTEGRALEI
Obiective:
pitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să calculezi valoarea derivatei unei funcţii într-un punct dat. să calculezi valoarea derivatei de ordinul n a unei funcţii într-un
punct dat.
După studiul acestui ca
Pentru a calcula valoarea derivatei unei funcţii într-unrocedează după cum urmează: se defineşte funcţia ce up
oderivata funcţiei. Se apelează funcţia de derivare din paleta Calculus în care se indică funcţia de derivat şi variabila după care derivăm.
f x( ) x2 ln x( )⋅:= x π:=x
f x( )dd
10.3341426530481=
g x( ) asin2x
1 x2+
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= x 12
7:=
xg x( )d
d4965
−=
tru derivata de ordinul n se va apela funcţia de derivare de ordinul n din paleta Calculus.
ln x( )⋅:= x π:= f x( )
Pen
f x( ) x25x
d50.129006130447141=
g x( ) asin2x
1 x2+
d
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= x 1.28571428571429:= 2xg x( )d
d
20.730651342152773=
Temă de reflecţie:
Consideri că prin folosirea programului Mathcad la rezolvareaacestor probleme se pierde din semnificaţia lor matematică ?
55
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
Test de autoevaluare:
10.2. Calculul integralei definite
upă apelarea funcţiei de integrare finită se completează spaţile goale u funcţia de integrat, cu limitele de integrare, cu variabila după care se
Dcface integrarea.
f x m,( )m x⋅ sin x( )⋅
1 cos x( )2+
:=0
πxf x 1,( )
⌠⎮⌡
d 2.467=π
xf x 2,( )⌠⎮⌡
d 4.935=0
1
e
xln x( )2⌠⎮⌡
d 0.71828182867017=1
e
xln x( )2⌠⎮⌡
d286565398959
=
Studiu individual:
Pe baza exemplelor de mai sus calculează următoarele integrale definite:
1. ∫π
⋅14
dx2x
x)sin(2
2. ∫ ⋅2
2cos(x)3sin(x)
π
dx 0
Obiective:
După studiul acestui
Calculaţi derivatele de ordinul 1 şi ordinul 3:
capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să calculaţi valoarea integralei finite a unei funcţii date.
f x( ) x cos x( )⋅:= xπ
3:=
f x( ) sinx 1+⎛
x3⎜⎝
⎞ x 3:=⎟⎠
:=
în punctele indicate.
56
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
Test de autoevaluare:
10.3. Aplicaţii ale calculului derivatei şi a integralei finite
10.3.1. Calculul lungimii unei curbe Pentru calculul lungimii unei curbe avem formula bine cunoscută care va depinde de funcţie şi capetele intervalului pe care dorim să determinăm lungimea graficului.
L f a, b,( )
a
b
x1xf x( )d
d⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2+
⌠⎮⎮⎮⌡
d:= g x( )2 cos x2( )⋅ sin 10 x
3
2⋅
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠ e
x−
2⋅−
6:=
L g 0, 3,( ) 4.5637756254=
2):
În exemplu prezentat mai jos calculăm lungimea curbelor f(t,2) şi g(t,
f t m,( ) t m t−( )⋅ cos 2π
m⋅ t⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
⋅:=
g t m,( ) t m 1+ t−( )⋅ sin 2π
m 1+⋅ t⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
2⋅:=
poi comparăm lungimea lor. a
Obiective:
uficiente pentru a fi capabil: să aplica
Calculează integrala finită:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe s
ţi cunoştinţele despre calculul derivatei şi al integraleidefinite la calculul unor elemente geometrice.
să determinaţi valorile unor elemente geometrice plecând de laecuaţii date.
∫ ⋅−1
0
x1x
57
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
0 2
4
2
2
f t 2,( )
g t 2,( )
t
h t( ) f t 2,( ):=
L h 1.5−, 3,( ) 15.599=
w t( ) g t 2,( ):=
L w 1.5−, 3,( ) 14.589=
L h 1.5−, 3,( ) L w 1.5−, 3,( )− 1.009=
10.3.2. Calculul centrului de greutate al unei plăci omogene
2 x−( )⋅ g x( ) 1 cos 2x( )−( )−:= a 0:= bf x( ) x 1+( ):= 2:=
δ 0.01:= x a a δ+, b..:= t g b( ) g b( ) δ+, f b( )..:=
f x( )
g x( )
x g a( )+
t
x x, a, b, Fie o placă omogenă de aceeaşi grosime delimitată de graficele funcţiilor f şi g şi de verticalele x=a şi x=b. Pentru a calcula centrul de greutate aplicăm coordonatelor centrului, care depind de f, g, a şi b.
ξ f g, a, b,( )a
bxx f x( ) g x( )−( )⋅
⌠⎮⌡
d
a
bxf x( ) g x( )−
⌠⎮⌡
d
:= η f g, a, b,( )
12 a
b
xf x( )2 g x( )2−( )⌠⎮⌡
d⋅
a
bxf x( ) g x( )−
⌠⎮⌡
d
:=
58
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
Pentru a aplica aceste formulele trebuie să avem relaţia: [ ]b,ax)x(g)x(f ∈∀>
xG ξ f g, a, b,( ):= xG 1.022= yG η f g, a, b,( ):= yG 0.221=
2.5
2−
f x( )
g x( )
y G
x
t
2.10 x x, x G, a, b,
Studiu individual:
10.3.3. Calculul ariilor corpurilor de rotaţie
ie
Avem o funcţ [ ]→b,a:g
Să se calculeze aria determinată de graficul funcţiei întreprimele două rădăcini pozitive şi axa OX.
( )2xcos2xf(x) ⋅π⋅−=
R ce generează suprafa corpului prin tirea în jurul axei OX. În cazul nostru concret a=0 iar b=1.
ţaro
g x( ) 1 x sin 11x( )⋅( )2−:=
0
0.5
1
g x( )
k
0 0.5 1x
n 30:= m 30:= k 0 n..:= j 0 m..:=
xk j, gn
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
cosm
⎛⎜⎝
πj⋅ ⎞⎟⎠
⋅:= zk j, gnk⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
sinm
⎛⎜⎝
πj⋅ ⎞⎟⎠
⋅:= yk j,kn
:=
59
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
x y, z,( )
ie suprafeţei de rotaţie avem formula:
Pentru calculul ar
A f a, b,( ) 2π
a
b
xf x( ) 1xf x( )d
d⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2+⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
d:= A g 0, 1,( ) 10.918=
Observaţie: Pentru aria totală va trebui să adunăm ariile celor două baze care sunt discuri, în cazul nostru baza mică este un disc de rază practic 0 pentru că g(1)=0.004.
R g 0( ):= R 1= r g 1( ):= r 0.004=
At A f 0, 1,( ) π R2⋅+ π r2⋅+:= At 18.708=
10.3.4. Calculul volumelor suprafeţelor de rotaţie
V f a, b,( ) πa
b
xf x( )2⌠⎮⌡
d⋅:= V g 0, 1,( ) 2.611=
Studiu individual:
Să se calculeze volumul şi aria laterală a corpului de rotaţie.Corpul este generat de rotaţia funcţiei g(x) între limitele 0 şi 1.
( )( )2x7cosx1)x(g ⋅⋅−= . R: V=2.506… A=8.309…
60
Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei
Test de autoevaluare:
Să se calculeze lungimea curbei:
g x( ) x2π x⋅−:= între punctele 2 şi 5.
)lculeze coordonatele
ă se calculeze volumul şi aria laterală a corpului de rota
Să se calculeze aria determinată de graficele funcţiilor sin(xşi cos(x) între π/4 şi 5π/4 . Să se cacentrului de greutate ale acestei plăci . S ţie.
şi 1. Corpul este generat de rotaţia funcţiei g(x) între limitele 0
g x( ) 1 x sin 11 x⋅( )⋅( )2−:= .
61
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
11. OPERAŢII C
tribuim, pe rând, unei variabile cu indicele corespunzător ă dimensiunea vectorului este dată
ărora nu li s-a atribuit în mod explicit o valoare vor avea valoarea zero. Observaţie: pentru operaţiile din Mathcad prin vector se înţelege un masiv coloană;
3−:= w 1:= wT 0 3− 1( )=
U MATRICI ŞI VECTORI
Crearea unui vector în Mathcad se poate realiza în 4 moduri: 1. Să avalorile vectorului. Să remarcăm cde componenta cu indicele cel mai mare, iar componentele c
2 3ORIGIN 1:= w
2. Să apelăm la paleta de matrici şi să definim dimensiunea vectorul linie sau coloană, urmând să introducem
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să efectuezi operaţii cu matrici şi vectori. să aplici diverse funcţii asupra masivelor de date.
în poziţiile afişate valorile vectorului din poziţiile respective.
u 1 0 2 0 3( )T:=
ncţia READPRN un fişier ASCII ce conţine valorile c l ASCII poate fi creat cu un editor de texte, ca de
exemplu cu NOTEPAD-ul. În mod implicit, valoarea iniţială a indicelui unui vector este 0; această valoare poate fi schimbată
Mathcad ORIGIN o altă valoare (de obicei valoare este 1);
3. Să citim cu fuve torului. Fişieru
atribuind variabilei această
vector READPRN "C:\Documents and Settings\Vector.prn"( ):=
vectorT 1 2 3
1
4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3=
5 7 11 13 17 19 23 29 4. Dacă valorile componentelor vectorului depind de indice se poate defini o secvenţă care atribuie valorile respective.
f k n,( ) n k−( )2
:= k 1 3..:= vk f k 4,( ):= vT 9 4 1( )=
62
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
Crearea de matrice se face în acelaşi mod cu crearea de vector, în cazul matricelor avem un masiv cu două dimensiuni.
3.1:= A 2.7−:= A 1 3, 6.7:= A 2 1, 5.9:= A , 6.6:= A 2 3, 2.3−:=
A
A5.9
1.1−
3.7
6.6
0
5.5
2.3−
8.3−
0.5
A 1 1, 1 2, 2 2
3 1, 4.9:= A 3 1, 1.1−:= A 3 3, 8.3−:= A 4 1, 3.7:= A 4 2, 5.5:= A 4 3, 0.5:=
3.1 2.7− 6.7⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= M
1
0
0
2
4
0
3
5
6
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
tua asupra masivelor cu paleta
a lcul determinantului, vectorizarea valorilor unei funcţii ce are ca argument o matrice, extragerea coloanei de matrice, transpusa de matrice, produsul scalar, produsul vectorial, suma componentelor vectorului, desenul de umplere a matricei.
asive:
1
Operaţiile pe care le putem efecM trix sunt: inversarea matricei, ca
Considerăm următoarele m
v 4⎛ 9⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
0
1
= w 3−⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
3.1
1.1
3.7
2.7
= A5.9
−
−
6.6 2.3−
0
5.5
6.7
8.3−
0.5
⎛ ⎞⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎝
⎟⎟⎠
= M 0 4 5⎛ 1
0
2
0
3
6
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
pentru fiecare operaţie de pe paleta Matrix prezentăm câte un
u:
0
0
0.25
0
0.2083333−
0.1666667
exempl
• Inversa şi determinantul unei matrice pătrate:
1 0.5− 0.0833333−⎛M 1− ⎜
⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= M 24=
⎛ ⎞ ⎛
• Vectorizarea:
f x( ) x2:= f M( )
→⎯⎯1
0
0
4
16
0
9
25
36
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= f M( )
1
0
0
10
16
0
31
50
36
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
aplicând vectorizarea, fiecărei componente a matricei i se aplică funcţia f, în cazul aplicării simple a funcţiei f are ca argument
ă în cazul nostru se ridică matricea la pătrat.
⎛
întreaga matrice, adic
• Extragerea unei coloane:
.1−
3.7
A 1⟨ ⟩
3.1
5.9
1
⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
0
5.5
= A 2⟨ ⟩
2.7−
6.6⎛ ⎞⎜⎜⎜⎜⎝
⎟⎟⎟⎟⎠
8.3−
0.5
= A 3⟨ ⟩
6.7
2.3−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜⎝
⎟⎟⎟⎠
=
63
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
• Transpus
a matricei:
AT3.1
2.7−
6.7
5.9
6.6
2.3−
1.1−
0
8.3−
3.7
5.5
0.5
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
• Produsul scalar, produsul vectorial (numai pentru vectori de dimensiune trei) şi suma elementelor unui vector:
v w⋅ 11−= v w×
7
9−
27−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= v∑ 14=
• Desenul de umplere a matricei:
K
Funcţia augment, de concatenare pe orizontală a matricelor şi vectorilor cu acelaşi număr de linii:
augment AT M, v, w,( )3.1
2.7−
6.7 2.3−
5.9
6.6
1.1−
0
3.7
5.5
1
0
2
4
3
5
9
4
0
3−
8.3− 0.5 0 0 6 1 1
⎛ ⎞⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
=
Funcţia cholesky de factorizare Cholesky a matricei S simetrice şi pozitiv definite. Determină matricea sub diagonală L astfel încât
:
SLL T =⋅
S
4
1−
0
0
1−
4
1−
0
0
1−
4
1−
0
0
1−
4
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= L cholesky S( ):= L
2
0.5−
0
0
0
1.936
0.516−
0
0
0
1.932
0.518−
0
0
0
1.932
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
LT
2
0
0
0
0.5−
1.936
0
0
0
0.516−
1.932
0
0
0
0.518−
1.932
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= L LT⋅
4
1−
0
0
1−
4
1−
0
0
1−
4
1−
0
0
1−
4
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
Funcţia cols de numărare a coloanelor matricei:
cols AT( ) 4= cols M( ) 3= cols v( ) 1=
Funcţiile Mathcad pentru vector şi pentru matrice.
Funcţiile cond1, cond2, conde, condi, calculează numărul de condiţie al matricei pătrate. Numărul de condiţie este dat de relaţia
64
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
MMc 1 ⋅= −
euclidiană ş unde norma este respectiv norma L1, norma L2, norma
i norma infinit:
cond1 M( ) 14= cond2 M( ) 10.145= conde M( ) 11.249= condi M( ) 14.25=
Funcţia Create Mesh, creează matricele pentru reprezentările în 3D.
X s t,( ) 2 cos s( )+( ) cos t( )⋅:= Y s t,( ) 4 cos s( )+( ) sin t( )⋅:= Z s t,( ) 2 sin s( )⋅:=
T CreateMesh X Y, Z, 30, 50,( ):=Tor
T uncţia CreateSpace, creează matricea pentru reprezentarea 3D cu
ajutorul regiunilor Scatter Plot. S-a reprezentat o curbă în spaţiu: F
Q t( ) t 1+:= S t( ) t 2+:= R t( ) t 3+:= fmap s( )
s1 sin s3( )⋅ cos s2( )⋅
s1 sin s3( )⋅ sin s2( )⋅
s1 cos s3( )⋅
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Cs CreateSpace Q S, R, 100, fmap,( ):=
Curba in spatiu
Cs Funcţia cyl2xyz, pentru a transforma coordonatele cilindrice în coordonate rectangulare:
65
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
cyl2xyz v( )
5.883−
6.811−⎛
1
⎜
⎜⎝
⎞⎟⎟⎠ 1
= cyl2xyz w( )
0
0⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠ 3
= cyl2xyz 1 2, 3,( )
0.416−
0.909⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Funcţia diag, pentru a genera o matrice ce are ca diagonală vectorul
rgumentul funcţiei:
0
0
4
0
0
1
din a
diag v( )
9 0 0⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= diag A 1⟨ ⟩( ) 0
0
0
5.9
0
0
0
1.1−
0
0
0
3.7
3.1 0 0 0⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= diag w( ) 0
0
3−
0
0
0
1
0 0⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
ătrată.
Funcţiile eigenvals, eigenvec şi eigenvecs, respectiv, pentru calcul valorilor proprii pentru o matrice pătrată; pentru calcul vectorului propriu pentru valoarea proprie indicată pentru o matrice pătrată şi pentru calculul tuturor vectorilor proprii pentru o matrice p
vp eigenvals C( ):= vp
0
0
0
0
0.02
3.72
4.1
3.22−
15.62−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= eigenvec C vp5,( )
0.6779896
0.1924424−
0.054166
0.0161759−
0.0141655
0.0161759−
0.054166
0.1924424−
0.6779896
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
eigenvecs C( )
0.14
0.05−
0.68−
0
0.68
0.13−
0.08−
0.03
0.15−
0
0.15
0.69
0.36−
0.59
0.1−
0
0.1
0.09−
0.59−
0.38−
0.08−
0
0.08
0.06−
0.19−
0.05
0.02−
0.01
0.02−
0.68
0.37−
0.4−
0.39−
0.29−
0.39−
0.08−
0.28−
0.53
0.08−
0.49−
0.08−
0.12−
0.5−
0.03−
0.37
0.43
0.37
0.13−
0.03
0.22−
0.45
0.7−
0.45
0.04
0.13 0.69− 0.09 0.06 0.68 0.08− 0.12− 0.13− 0.04⎛
0.05
0.14−
0.03−
0.08
0.59−
0.36
0.38
0.59
0.05
0.19−
0.4−
0.37−
0.53
0.28−
0.03−
0.5−
0.22−
0.03
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎟
⎟⎟
=
⎟⎠
IA
0.196
0.162−
0.117
0.007−
0.123
0.122−
0.045−
0.111
Funcţia geninv de calculul al inversei generalizate pentru o matrice ce nu neapărat este pătrată:
0.015− 0.039− 0.12− 0.039
IA := geninv A( )⎛ ⎞⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
= IA A⋅
1
0
0
0
0
0
0
1
1⎛⎜⎜⎝
⎞⎟=⎟⎠
Funcţia genvals de calcul al valorilor proprii pentru o matrice pătrată în raport cu o matrice pătrată N:
2
3
1−
2
2
1−
M
N
1− 2 3⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= vp genvals M N,( ):= vp
1.807
0.424−
0.784−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Funcţiile Mathcad pentru vector şi pentru matrice.
66
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
Funcţia genvecs de calcul al vectorilor proprii (ce vor constitui o matrice) pentru o matrice pătrate M în raport cu o matrice pătrată N:
N
1−
2
3
2
1−
2
3
2
1−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= X genvecs M N,( ):= X
0.716
0.294
0.633
0.954−
0.172−
0.244
0.59−
0.661−
0.464
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Observaţie: Între valorile proprii şi vectorii proprii avem relaţia:
f k( ) M X k⟨ ⟩⋅ vpk N⋅ X k⟨ ⟩
⋅−:= f 1( )
0
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= f 2( )
0
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= f 3( )
0
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
ez:
Funcţia hlookup(z,A,r), returnează din matricea A (poate fi şi vector) element le de pe linia r pentru care primul element de pe coloanele respective sunt egale cu
hlookup 0 C, 5,( )
1
2
3−
5
5
3−
2
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=C
0
0
0
0
1
0
0
0 0 0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
2
3−
2
1
0
1
2
3−
5
3−
2
1
1
2
3−
5
7−
5
3−
2
0
1
2
3−
5
3−
2
1
0
0
1
2
3−
2
1
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ hlookup 1 C, 5,( ) 7−( )=
⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 0 1 0 0 0 0
=
Funcţia identity generează matricea identitate de ordinul indicat:
identity 3( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= identity 2( )1
0
0
1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
= identity 4( )0
0
1
0
0
1
0
0
⎛ ⎞⎟⎟⎟
1
0
0
0
0
0
0
1
⎜⎜⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Funcţia IsArray, returnează 1 dacă argumentul funcţiei este un masiv şi returnează 0 dacă argumentul funcţiei nu este masiv:
0IsArray A( ) 1= IsArray v( ) 1= IsArray cols A( )( ) 0= IsArray "abc"( ) =
Funcţia IsScalar, returnează 1 dacă argumentul funcţiei este un scalar şi returnează 0 dacă argumentul funcţiei nu este scalar:
IsScalar rows A( )( ) 1= IsScalar A( ) 0= IsScalar v( ) 0=
Funcţia last returnează ultimul indice al vectorului:
ORIGIN 0:= last v( ) 2= ORIGIN 1:= last v( ) 3= last A 2⟨ ⟩( ) 4=
Funcţia length, returnează lungimea vectorului:
ORIGIN 0:= length v( ) 3= ORIGIN 1:= length v( ) 3= length A 2⟨ ⟩( ) 4=
67
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
Funcţia lookup(z,A,B) determină poziţia valori z din matricea A în matricea B şi afişează aceste valori:
N
1−
2
3
2
1−
2
3
2
1−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= M
1
0
0
2
4
0
3
5
6
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
lookup 1− N, M,( )
1
4⎛
6
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
M, N, −( )= lookup 2 N, M,( )
0
0
5
⎛
= lookup 6( ) 12
⎜⎜
⎞⎟⎟=
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Funcţia lsolve de rezolvare (simbolic sau numeric) a sistemelor
e:
⎛
liniar
b α( )α
1
3−
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= lsolve M b α( ),( )
4⎛⎜
⎞⎟α
1−
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
78
1−
2
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
→ α 2:= lsolve M b α( ),( )1.164
0.875⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜⎝
⎟⎠0.5−
Tem
ubmatrix
0
1
0
0
1
0
1.5
0.5−
0
1
0.43
0
0
1
2
0
0
1−
3.5
0
2
4−
5.71
ă de reflecţie:
Această functie ai folosit-o mai devreme la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare.
Funcţia lu(M) furnizează o matrice ce este constituită din matricele P, L, U concatenate pe orizontală şi care verifică identitatea . Matricele P, L, U se pot extrage cu funcţia s :
0 1 0 1⎛⎜lu N( )⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= P submatrix lu N( ) 1, 3, 1, 3,( ):=
L submatrix lu N( ) 1, 3, 4, 6,( ):= U submatrix lu N( ) 1, 3, 7, 9,( ):=
P
0
0
1
1
0
0
0
1
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= L
1
1.5
0.5−
0
1
0.429
0
0
1
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= U
2
0
0
1−
3.5
0
2
4−
5.714
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
P N⋅
2
3
1−
1−
2
2
2
1−
3
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= L U⋅
2
3
1−
1−
2
2
2
1−
3
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
68
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
Funcţia match(z,A), returnează linia şi coloana pe care se află valoarea z în matricea A:
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
M
1
0
0
2
4
0
3
5
6
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= match 5 M,( )2
3⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
= match 3 M,( )1
3⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
=
Funcţia matrix(n,m,F), generează o matrice A de n linii şi m coloane, care are elementele date de ( )j,kF:A j,k = cu ORIGIN1n..ORIGIN:k +−= şi ORIGIN1m..ORIGIN:j +−= :
9 4 1
F k j,( ) v k j− 1+:= matrix last v( ) last v( ), F,( ) 4
1
9
4
4
9
⎛⎜
⎜⎝
⎞⎟=⎟⎠
pentru găsi minimul şi respectiv maximul unui Funcţiile min şi maxmasiv:
min v( ) 1= min A( ) 8.3−= max v( ) 9= max A( ) 6.7=
Funcţiile norm1, norm2, norme şi normi respectiv norma L1, norma L2, norma euclidiană şi norma infinit:
norm1 M( ) 14= norm2 M( ) 9.013= norme M( ) 9.539= normi M( ) 9=
lare, unde r este raza iar α unghiul în radiani: Funcţia pol2xy(r,α) de transformare a coordonatelor polare în coordonate rectangu
pol2xy 1π
2,⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
0
1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
= pol2xy 2π
4,⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
1.414
1.414⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
= pol2xy 3π
6,⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
2.598
1.5⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Funcţia qr se aplică matricelor pătrate şi generează matricea formată din matricele Q şi R prin concatenare pe orizontală. Matricea Q este pătrată şi ortonormală (adică unde I este matricea
ate), iar matricea R este o matrice triangulară superioară astfel IQQ T =⋅
identitîncât avem identitatea RQM ⋅= . Matricele R şi Q se pot extrage cu funcţia submatrix:
QR qr N( ):= QR
0.267−
0.535
0.802
0.726−
0.436
0.532−
0.634−
0.724−
0.272
3.742
0
0
0.535
2.952−
0
0.535−
0.774−
3.621−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Q submatrix QR 1, 3, 1, 3,( ):= R submatrix QR 1, 3, 4, 6,( ):=
N
1−
2
3
2
1−
2
3
2
1−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= Q QT⋅
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= Q R⋅
1−
2
3
2
1−
2
3
2
1−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Funcţia rows afişează numărul de linii pentru o matrice:
rows A( ) 4= rows AT( ) 3= rows v( ) 3= rows vT( ) 1=
69
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
Funcţia rank determină rangul matricei:
rank
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
3= rank M( ) 3=
Funcţia rref determină rangul matricei indicând coloanele ce constituie minorul (în exemplu prezentat ultima linie este zero deci ea nu intră în constituirea minorului) a cărui determinat este diferit de
şi 2 cu coloana 2 şi 3 constituie minorul al cărui terminat este diferit de zero.
zero. Linia 1 de
rref
0 3 0
0 0 2
0 0 8−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟=⎟⎠
Funcţia sph2xyz de transformare a coordonatelor sferice în coordonate rectangulare:
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sph2xyz 2π
2,
π
2,⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
0
2
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= sph2xyz 2 0,π
2,⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
2
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
= sph2xyz 2π
2, 0,⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
0
0
2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
uncţia stack de concatenare pe verticală a masivelor cu acelaş
3.1
5.9
1.1−
3.7
0
2.7−
6.6
0
5.5
3−
6.7
2.3−
8.3−
0.5
1
F i număr de coloane:
9 4 1⎛
stack vT A, wT,( )⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= stack M N,( )
0
0
1−
2
3
4
0
2
1−
2
5
6
3
2
1−
1 2 3⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
uncţia submatrix(A,ir,jr,ic,jc), extrage sub matricea din matricea
a Fîncepând de la linia ir până la linia jr şi de la coloana ic până lcoloana jc:
ORIGIN 0:= submatrix C 0, 3, 0, 3,( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
2
0
1
2
3−
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
ORIGIN 1:= submatrix C 1, 4, 1, 4,( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
2
0
1
2
3−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜
⎟⎟
=
⎜⎝ ⎟⎠ uncţia svd(M) şi svds(M) calculează respectiv, o matrice ce este
constituită din concatenarea pe verticală a matricelor U şi V, şi valoarea s:=svds(M) pentru care avem identitatea :
F
TV)s(diagUM ⋅⋅=
70
Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0.398−
UV svd M( ):= UV
0.684−
0.612−
0.243
0.044−
0.392−
0.919−
−
0.564−
0.789
0.885
0.081−
0.915−
0.394
−
0.463
0.058
0.996−
0.092
0.009
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= U submatrix UV 1, 3, 1, 3,( ):=
V submatrix UV 4, 6, ,(:=1 2 3⎛
1 3, ) U diag svds M( )( )⋅ VT⋅ 0
0
4
0
5
6
⎜⎜⎝
⎞⎟=⎟⎠
Funcţia tr calculează suma elementelor de pe diagonala principală:
tr M( ) 11= tr N( ) 3−= tr C( ) 11−= tr K( ) 11−=
kup(z,A,c), returnează din matricea A (poate fi şi vector)
pe
6.6 2.3−
Funcţia vlooelementele de pe coloana c pentru care primul element derândurile respective sunt egale cu z:
3.1 2.7− 6.7⎛ ⎞⎟⎜
A1.1−
3.7
0
5.5
8.3−
0.5
5.9⎜ ⎟⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
= vlookup 5.9 A, 3,( ) 2.3−( )= vlookup 1.1− A, 2,( ) 0( )=
Funcţiile xy2pol, xyz2cyl şi xyz2sph de transformare a coordonatelor rectangulare în respectiv coordonate polare, cilindrice şi sferice:
xy2pol 1 1,( )1.414⎛0.785
⎜⎝
⎞⎟⎠
1
= xyz2cyl 1 1, 1,( )
1.414
0.785⎛ ⎞⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
= xyz2sph 1 1, 1,( )
1.732
0.785⎛
0.955
⎞⎜ ⎟⎜⎝
⎟⎠
=
diu individual:
Test de autoevaluare:
Stu
Introduceţi o matrice şi un vector apoi efectuaţi toate funcţiilerezentate mai sus. p
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
4110140110410114
:B Pentru matricea:
să se calculeze n2 BBBI ++++ L pentru n=8.
71
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
A NUMERICĂ A 12. REZOLVAR ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE
omene din realitate u la bază cel puţin o ecuaţie diferenţială. Pachetul Mathcad ne oferă
posibilitatea să rezolvăm cu uşurinţă aceste probleme, oferindu-ne mai multe funcţii în acest scop.
12.1. Rezolvarea numeric
Metoda Runge Kutta de ordinul 4 este folosită de funcţia Mathcad rkfixed. Sintaxa funcţiei este rkfixed(y,x0,xf,n,D) unde y este un vector de dimensiune n, x0, xf sunt capetele intervalului pe care dorim luţia discretă, n este numărul de puncte discrete ale intervalului [x0,xf] (se recomandă ca n≥500) iar D este o funcţie de variabile x şi y ce defineşte membrul drept al ecuaţiei. Pentru
rmătorul exemplu:
E
Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale este în multe cazuri o întreprindere grea pentru cei care nu au o instruire deosebită în această direcţie.
oarte multe din modelele matematice ale unor fenFa
ă a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul 1
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale folosind diverse metode numerice.
să obţinem so
exemplificare prezentăm u( ) ( ) ( )
⎩⎨y(⎧ =′ siny
=⋅−⋅+
1)0xsin3xcos2y
orma anonică a ecuaţiei are partea stângă constituită numai din derivata funcţiei necunoscute. Din exemplu prezentat rezultă că x i fie xf:=3π (este la alegerea utilizatorului în funcţie de
l pe care doreşte să rezolve numeric ecuaţia diferenţială), rezultă că intervalul pe care ne interesează soluţia ecuaţiei este [0,3π], iar în acest interval vrem să cunoaştem valoarea y a soluţiei în 500 de puncte echidistante adică n:=500. Din exprimarea
ţiale rezultă că prima valoare a lui y ncţia D(x,y) egală cu membrul drept al
ecuaţiei. În aceste condiţii putem să apelăm funcţia rkfixed.
sin y( ) 2 cos x( )+ 3 sin x( )⋅− y rkfixed y x, x, n, D,( ):=
F c
0:=0, intervalu
ş
matematică a ecuaţiei difereneste 1, adică y0:=1. Definim fu
x0 0:= xf 3π:= n 500:= y0 1:=
D x y,( ) := 0 f
obţine în Mathcad notaţia x şi x se tastează
spectiv a lui f la indice. Această notaţie nu defineşte o componentă a vectorului ci o simplă variabilă.
Observaţie: Pentru a 0 fsuccesiunea de caractere x.0 şi x.f; punctul provoacă afişarea lui 0 şi re
72
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
Pentru a defini elementul 0 al vectorului y se va folosi succesiunea
de caractere: y[0. Matricea y va avea 2 coloane şi 500 de linii, prima coloană (coloana 0) conţine valorile intermediare din intervalul [x0,xf] iar coloana a doua (coloana 1) conţine valorile soluţiei căutate.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
yT0= 0 0.019 0.038 0.057 0.075 0.094 0.113 0.132 0.151
1 1.053 1.106 1.158 1.209 1.26 1.31 1.359 1.406
lui furnizat de matricea y şi
intuitiv graficul obţinut prin reprezentarea punctelor (yk,0,yk,1). Dacă numărul de puncte este mare raportat la lungimea intervalului, se bţine un grafic ce aproximează bine soluţia continuă a ecuaţiei.
În locul tabelu este mult mai sugestiv
o
0 5 10
53.288
y 1⟨ ⟩
3.947− 5
y 0⟨ ⟩0 9.425
autoevaluare:
12.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul 2
Test de
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale de ordinul 2, folosind mediul Mathcad.
Rezolva
ţi ecuaţiile:
( )
( )( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−⋅=′
⎩⎨⎧
=+=′
⎩⎨⎧
==′
21yx1x2y
10yx2sin1y
00yxcosy
2
73
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
Cu func ţiale de ordinul 2; în
alori ale lui y şi se fineş funcţia D sub formă de vector cu două componente, prima
componentă este y1 iar cea de a doua este termenul drept al formei canonice pentru ecuaţia diferenţială ordinară de ordinul 2. Pentru exemplificare, fie următoarea ecuaţie:
ţia rkfixed se pot rezolva şi ecuaţii diferenaceastă situaţie se precizează primele două vde te
( )( )( )⎪
⎪⎨
=′= 1.01.0y
⎩
⎪⎪⎧ ⋅−⋅−′⋅−=′′⋅
11.0y
y4x41yxyx 22
situaţia ecuaţiei de ordinul 2, funcţia rkfixed determină matricea y
coloane şi n linii. În coloana 0 se găsesc punctele din intervalul considerat, în coloana 1 se găsesc valorile
orile lemei. S-a renunţat la tabelarea matricii y,
0.1 xf 15:= n 2000:= y1
⎛
Înce are trei chidistantee
discrete ale soluţiei ecuaţiei, iar în coloana 2 se găsesc valderivatei soluţiei probpreferându-se reprezentarea grafică a punctelor obţinute.
x0 :=0.1 ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
:=
D x y,( )
y1
1x
− y1⋅14
x2 4−
2x⋅ y0⋅−
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= y rkfixed y x0, xf, n, D,( ):=
5 10 15
2
2y 1⟨ ⟩
y 2⟨ ⟩
y 0⟨ ⟩
2 1 0 1 2
1
3y 2⟨ ⟩
1
y 1⟨ ⟩
74
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
Test de autoevaluare:
12.3. Sisteme de ecuaţii diferenţiale
le de ordinul 1, cu două ecuaţii, se pot rezolva cu ncţia rkfixed. Spre exemplificare, prezentăm rezolvarea unui
Sistemele diferenţiafusistem de ecuaţii diferenţiale pentru valoarea parametrului μ=-0.2.
x0 0:= xf 5:= n 1000:= y0
1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= μ 0.2−:=
D x y,( )μ y0⋅ x y1⋅− y0( )2 y1( )2
+⎡⎣
⎤⎦ y0⋅−
μ y1⋅ x y0⋅+ y0( )2 y1( )2+⎡
⎣⎤⎦ y1⋅−
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
:= y rkfixed y x0, xf, n, D,( ):=
0 1 2 3 4 5
1
11
0.4−
y 1⟨ ⟩
y 2⟨ ⟩
50 y 0⟨ ⟩
Funcţia Bulstoer(y,x0,xf,n,D) foloseşte algoritmul Bulirsch-Stoer şi
similară cu rkfixed, dar oferă o soluţie mai bună ca şi rkfixed în acelaş ondiţii. este
i c
Obiective:
capitol, vei avea cunoştinţe suficiente
losind mediul Mathcad. să rezolvi sistemele de ecua
Rezolvaţi ecuaţiile diferenţiale de ordinul 2:
( )( )
După studiul acestui pentru a fi capabil: să rezolvi sisteme de ecuaţii diferenţiale, fo
ţii diferenţiale folosind diverse metodenumerice.
( )( )( )
( ) ( )( )( )⎪
⎪⎨
⎧
==⋅+′⋅−′′
⎪
⎪⎨
⎧=
+⋅=′′⋅⎧ =⋅+′′
01yxexpyxyxsiny
21y1x2yx0xsinyy 22
( )⎩ +=′⎩ =′⎩ =′ 1sin11y11y10y⎪
⎪⎨ = 00y
75
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
Funcţia Rkadapt(y,x ,x ,n,D) foloseşte algoritmul Runge utta
rkfixed în ela
0 f Kadaptat şi este similară cu rkfixed, dar oferă o soluţie mai bună ca şi
ac şi condiţii.
Studiu individual:
12.4. Ecuaţ etăţi speciale
u Bulirsch-Stoer pentru isteme “stiff”. Sistemul diferenţial este “stiff” dacă matricea discretă ce
ii diferenţiale cu propri
Aplicaţi aceste funcţii asupra exemplului de mai sus.
Pachetul Mathcad dispune de funcţii pentru ecuaţiile diferenţiale cu proprietăţi speciale:
ncţia Stiffb(y,x
Obiective:
tinţe suficiente pentru a fi capabil: să identifici argumentele funcţiilor de rezolvare. să rezolvi ecuaţii diferenţiale de tip „stiff” .
După studiul acestui capitol, vei avea cunoş
0,xf,n,D,J) foloseşte metoda Fsrezultă pentru rezolvarea sistemului este “aproape singulară”. Argumentele y,x0,xf,n,D sunt identice cu cele de la funcţia rkfixed, iar J este Jacobian-ul sistemului diferenţial.
x0 0:= xf 1:= n 500:= y0.1
0.1−⎛
⎜⎝
⎞⎟⎠
:= D x y,( )x y0⋅ x3 y1⋅−
sin x y0⋅( ) y1⋅
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
J x y,( )y0 3 x2
⋅ y1⋅− x x3−⎛
y0 y1⋅ cos x y0⋅( )⋅ x y1⋅ cos x y0⋅( )⋅ sin x y0⋅( )⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
y Stiffb y x0, xf, n, D, J,( ):=:=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.2
y 1⟨ ⟩
y 2⟨ ⟩
y 0⟨ ⟩
76
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
unde prima coloană din J este xD
∂∂ , coloana 2 şi 3 reprezintă
0yD
∂∂ şi
respectiv 1y∂
.
Funcţia Stiffr
D∂
(y,x0,xf,n,D,J) foloseşte metoda Rosenbrock pentru isteme “stiff”. Argumentele sunt identice cu cele de la funcţia Stiffb.
12.5. Funcţ l punct al soluţiei
uncţia stiffb(y=f,x0,x,acc,D,J,kmax,save) foloseşte metoda Bulirsch- sisteme diferenţiale “stiff” determinând ultimul punct al
xed, atât
a lungul traiectoriei vor fi mai multe (valoarea
m ă este 2) este numărul maxim al punctelor
paţiu dintre punctele aproximate ale funcţiei.
sMetoda Rosenbrock evită aglomerarea punctelor discrete ale soluţiei pe un anumit interval.
Test de autoevaluare:
ii care determină ultimu
FStoer pentrusoluţiei. Unde y,x0,xf,D au aceeaşi semnificaţie ca şi în funcţia rkfiacc controlează precizia soluţiei; cu cât acc este mai mică cu numărul punctelor de-obişnuită a lui acc este 0.001), J este Jacobian-ul sistemului diferenţial,
ax (valoarea minimkintermediare în care soluţia aproximată este afişată, save cel mai mics
x0 0:= xf 1.2:= y0.2
0.2−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= D x y,( ) 0 1
sin x y0⋅( ) y1⋅
x y⋅ x3 y⋅−⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
acc 0.001:=
J x y,( )y y⋅ cos x y0⋅( )⋅
x
x y1⋅ cos x y0⋅( )⋅
x3−
sin x y0⋅( )y0 3 x2
⋅ y1⋅−⎛
0 1
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= kmax 2:=
save 0.0001:=
stiffb y x0, xf, acc, D, J, kmax, save,( ) 0
1.2
0.2
0.5631906
0.2−
0.2536392−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
O
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente
„stiff” folosind diverse metode implementate în structura funcţiilor Mathcad.
biective:
Rezolvă problema dată ca exemplu mai sus, folosind metodaRosenbrock.
pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale
77
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
Observaţie: În afară de valoarea lui y0 (coloana 1) şi y1 (coloana 2) în xf se mai afişează valorile lui y0 şi y1 în primul pas al algoritmului. Funcţia stiffr(y,x0,xf,acc,D,J,kmax,save) foloseşte metoda Rosenbrock pentru sisteme diferenţiale “stiff”, determinând ultimul punct al soluţiei. Argumentele acestei funcţii sunt fel cu cele de la funcţia stiffb. Funcţia bulstoer(y,t0,t1,acc,D,kmax,save) foloseşte metoda Bulirsch-Stoer pentru sisteme diferenţiale “stiff” determinând ultimul punct al soluţiei. Argumentele funcţiei sunt similare cu ale funcţiei Bulstoer. Funcţia rkadapt(y,x0,xf,acc,D,kmax,save) foloseşte metoda Rosenbrock pentru sisteme diferenţiale “stiff”, determinând ultimul punct al soluţiei. Argumentele funcţiei sunt similare cu ale funcţiei rkfixed.
12.6. Rezolvarea problemelor la limită
0,xf,xd,D,load1,load2,score) ă
funcţiei necunoscute la capetele intervalului [x0 , xf]. Fie urm toarea problemă la limită:
Test de autoevaluare:
Funcţia bvalfit(v1,v2,x care calculeazvaloarea derivatei
ă
( )( )
y
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−≥−<
=21ysi5.11y
0xpentruxcos0xpentrux2
′′
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale care conţin puncte de discontinuitate
Rezolvă problema dată ca exemplu mai sus, folosind funcţiile: stiffr(y,x0,x c,D,J ,save) bulstoer(y,t
f,ac ,kmax1,acc,D,kmax,save)
f,0,t
rkadapt(y,x0,x acc,D,kmax,save)
(probleme la limită).
Să utilizezi funcţiile speciale pentru rezolvarea acestor probleme.
78
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
Fie x0=-1 şi xf=1 şi dacă re cţprezentăm grafic fun ia din partea dreaptă semnului egal pe intervalul [x0 , xf] se vede că funcţia are o
=0. adiscontinuitate în punctul xd
x0 1−:= xf 1:= f x( ) x2 x 0<if
cos x( )− x 0≥if
:=
1 0 11
0
1
f x( )
x
xd 0:=
Condiţiile la limită ale derivatei funcţiei y nu sunt cunoscute, considerăm că aceste valori sunt 00 2v)1(ysi1v)1(y =′=−′ , unde valorile v10 şi v2 pot fi schimbate cu ori ce valori. Vectorul load1 conţine valorile
0
( ) ( )fxy( )0xy şi xy′ , iar load2 conţine valorile şi 0
( )xy f′ . Funcţia score(xd,y) defineşte comportarea funcţiei necunoscute y în punctul de discontinuitate.
uncţia bvalfit calculează valoarea derivatei funcţiei necunoscute y în rvalului [x0 , xf].
v10
Fcapetele inte
v10 0:= v20 0:= load1 x v1,( )1.5⎛
0 ⎜⎝
⎞⎟⎠
f v20:= load2 x v2,( )
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
f y0( )
:=
D x y,( )y1⎛⎜
⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
D load1, load2, s, )
S 0.192 0.462( )=
:= s xd y,( ) y:= S bvalfit v1 v2, x0, xf, xd, ,(:=
Funcţia sbval(v,x1,x2,D,load,score) determină valorile derivatelor necunoscute în xf. Fie problema la limită:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪
⎩
⎨
=′′π=′=
π=′=
7.211y1y5.221y
0ye0y2
Fie intervalul [x
⎪⎧ ⋅−−= sinxyy 2v x
0 iar xf=1, valorile iniţiale ale derivatelor ecunoscute ) în x0 se introduc în vectorul v, vectorul load
0 , xf] cu x0=n ( ivysiy,y ′′′′′
conţine valorile funcţiilor ( ) ( ) ( )( )0iv
00 xy,,xy,xy L′ , vectorul D defineşte ecuaţia, iar vectorul ţine diferenţele score con
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f0f0f0 xyxy,xyxy,xyxy ′′−′′′−′− .
79
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
80
( ) ( )( ) ( ) ( )fv
fiv
f xy,xy,xy ′′′ . Funcţia va calcula valorile
x0 0:= xf 1:= v
1.2
0.8
1.1
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= load x0 v,( )
e
π
v0
v1
v2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:= D x y,( )
y1
y2
y3
y4
y0( )2− x sin x( )⋅−
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
:=
score xf y,( )
y0 22.5−
y1 π2
−
y2 21.7−
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= sbval v x0, xf, D, load, score,( )49.011−
226.602
343.668−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
12.7. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale
uncţia relax(a,b,c,d,e,f,u,rjac) pentru rezolvarea ecuaţiei Poisson,
unde u este o matrice pătrată ce conţine valorile pe frontieră; a, b, c, d, ţin coeficienţii ecuaţiilor diferenţiale, iar f
e conţine valorile iniţiale; rjac este raza
grid(M,ncycle) pentru rezolvarea ecuaţiei Poisson cu condiţii zero pe frontieră, unde M este o matrice cu 1+2n linii ce corespund domeniului pătrat; ncycle reprezintă numărul iteraţiilor algoritmului funcţiei multigrid. Prezen m câte un exemplu rezolvat cu funcţiile relax şi multigrid.
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, folosind cele
două metode date de funcţiile relax şi multigrid.
F
e sunt matrice pătrate ce coneste o matrice pătrată cspectrală a iteraţiilor lui Jacobi. Funcţia multi
tă
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
S
S relax a b, ,(:= c d, e, f, v, 0.5, )
f M−:=vn n, 0:=e 4− a⋅:=d 1.1 a⋅:=c 0.9 a⋅:=b a:=k j, 5:=
Mt t, 10.−:=Mt s, 10.5−:=Ms t, 12.9−:=Ms s, 13.9−:=Mm m, 0:=Mn n, 0:=
4j 0 n..:=k 0 n..:=t
3n:=s
n4
:=mn2
:=n 32:=
9
a
n 32:= mn2
:= sn4
:= t3n4
:=
Nn n, 0:= Nm m, 0:= Ns s, 0.5−:= Ns t, 0.5−:= Nt s, 0.2−:= Nt t, 0.2−:=
P multigrid N 10,( ):=
P
Test de autoevaluare:
Descrieţi diferenţele dintre cele două metode de rezolvareprezentate.
81
Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale
12.8. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare cu funcţia Odesolve
funcţia Odesolve(x,b[,step]) pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare, unde x este
e care
opţional). Pentru a folosi această funcţie se declară un spaţiu ecuaţie cu funcţia
xemplu
Obiective:
După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: ţ ţ să rezolvi ecua ii diferen iale ordinare.
Pachetul Mathcad pune la dispoziţie
argumentul soluţiei ecuaţiei diferenţiale, b capătul intervalului prii (este se determină soluţia ecuaţiei iar step este pasul integră
cu ajutorul cuvântului cheie Given, spaţiu ecuaţie se închideOdesolve. Pentru a vedea modul de aplicare prezentăm un erezolvat.
x0 0:= xf 2 π⋅:= y 0 0:= y f 2π:= b 4:= s 0.01:=
Given 2xy x( )d
d5
xy x( )
2 d 2) sin x( )⋅d
⋅− 6 y x( )⋅+ 5 x 1−( )⋅ cos x( )⋅ 5x −(+
y x0( ) y 0 y xf( ) y f y Odesolve x b, s,( ):=
2
0 2 4
4
2
y x( )
x
Test de autoevaluare:
Rezolvaţi ecuaţia:
y″ + 3y = 0
cu condiţiile iniţiale: y(0) = 1, y′(0) = 2
82
Calcul numeric Bibliografie
Bibliografie:
1. *** MathC 7MathSoft, Inc., 101 Main Street, Cambridge, Massachusetts 02142, USA,
2. *** Mathc uideStand oft, IncMassachusetts 02142, U
3. *** Mathcad 8, MathConnexStreet, Cambridge, Massachusetts 02142, USA, August 1998.
4. *** Mathcad 8, User’s Guide, Mathcad 8 Profesional, Mathcad 8 Profe ic, MMain Street, Cambridge, Massachusetts 02142, USA, August 1998.
5. *** Mathc e MCamb achus
6. *** Mathcad, User’s Guide w
Professional, MatSoft, InMassachusetts 02142, U
7. Cira, O. Lecţii athcad, Casa
2001 (3 ediţii)
, C. Mathcad. Probleme de calcul numeric şi statistic, Casa de Editură
Albastră s.r.l., Cluj-Napoca, 1995. 9. Scheiber, E. Lixăndroiu, D. MathCAD. Prezenta
Bucureşti, 1994.
onnex, Mathcad Profesional, Getting Started Guide,
May 1997.
ad 7, Userard, MathS
’s G , Mathcad 7 Profesional, Mathcad 7 ., 101 Main Street, Cambridge, SA, May 1997.
User’s Guide, MathSoft, Inc., 101 Main
sional Academ athcad 8 Standard, MathSoft, Inc., 101
ad 8, Referenc anual, MatSoft, Inc., 101 Main Street, ridge, Mass etts 02142, USA, August 1998.
ith Reference Manual Mathcad 2001 c., 101 Main Street, Cambridge, SA, First printing November 2000.
de M de Editura Albastră, Cluj-Napoca, 2000-
8. Jalobeanu Raşa, I.
re şi probleme rezolvate, Ed. Tehnică,
83
Calcul numeric Anexa 1
ANEXA1 - MENIURI MATHCAD
Meniul File Comandă Acţiune
New… (Ctrl+N) Deschide un nou document Mathcad. Open… (Ctrl+O) Deschide un document Mathcad ce a fost salvat
anterior. Close (Ctrl+W) Închide documentul Mathcad curent.
Salvează documentul Mathcad curent. Save (Ctrl+S) Save As… Sa
co are pentru a a ări ale
un rem să-l sch ea într-un no
lvează documentul Mathcad cu nume. Această mandă se foloseşte la prima salv
d un nume documentului, sau la salvor documente al căror nume vimbăm, sau să redirecţionăm salvar
u folder. Tr dresă de In
ansmite documentul Mathcad la o aternet.
Send…
Page Setup… De tăţile unui document Mathcad pentru tipărire.
fineşte proprie
Print Preview Vizualizează documentul Mathcad ce urmează să fie listat.
Recent Este lista ultimelor documente Mathcad care au fosfolMsaufiş
File t salvate şi închise. Lista afişată poate fi osită pentru deschiderea documentului athcad printr-un dublu clic pe numele fişierului
prin apăsarea numărului de ordine al ierului.
Exit Comandă de ieşire din sesiunea Mathcad.
Meniul Edit ndă Coma Acţiune
Undo (Alt+Bksp) în cadrul unei
enţa de
Anulează ultima comandă datăregiuni. Îndată ce cursorul părăseşte regiunea, Mathcad-ul “uită” secvcomenzi ce au fost executate în aceea regiune.
Redo (Ctrl+Y)
cad-ul “uită” secvenţa de
Activează ultima comandă dată în cadrul unei regiuni. Îndată ce cursorul părăseşte regiunea, Mathcomenzi ce au fost executate în aceea regiune.
Cut (Ctrl+X) se copiază în zona na se şterge.
une sau mai multe regiuni.
Conţinutul zonei selectatede memorie Clipboard şi apoi zoÎntr-o zonă poate să fie o parte dintr-o regiune sau o regi
Copy (Ctrl+C) Conţinutul zonei selectate se copiază în zona de memorie Clipboard. Într-o zonă poate să fie o parte dintr-o regiune sau o regiune sau mai multe regiuni.
Paste (Ctrl+V) Copiază conţinutul zonei de memorie Clipboard î documentul Mathcan d curent
84
Calcul numeric Anexa 1
începând cu poziţia curentă a cursorului. Paste Special
ni, meta fişiere).
Similară cu comanda Paste dar se foloseşte în cazul copierii din zona de memorie Clipboard a unor regiuni mari (imagi
Delete (Ctrl+D) Şterge zonele selectate. Într-o zonă poate să fie o parte dintr-o regiune sau o regiune sau mai multe regiuni.
Select All Selectează toate regiunile documentului Mathcad.
Find…(Ctrl+F5) Caută un şir de caractere în cadrul documentului. Căutarea poate fi setată pentru egiuni Tr ext şi/sau regiuni Math.
Replace…(Sh aută şicaracter
ift+F5) C eventual înlocuieşte un şir de e cu un alt şir de caractere.
Go to Page… ută cu M rsorul pe pagina precizată. Check Spelling… Lansează corectorul lexical în regiunile text. Links… Comandă de editare a înlănţuirilor. Object… d
ăComansau înl
ă de activare a obiectelor încapsulate nţuite.
Meniul View Comandă Acţiune
Toolbar Comanda permite area sau ascunde tpaletei cadruvizualiza sau ascund
vizualizrea barelor S andard şi Format şi a
l paletei Math putem e paletele: C
Math. În alculator,
Graph, Matrix, Evaluation, Calculus, Boolean, Programming, Greek, Symbolic şi Modifier.
Status Bar Comanda poate fi activactivă se vizualizeazăultimul rând al ferestre
ă sau pasivă; dacă este bara de Status pe Mathcad.
Ruler În cazu omafişează o gradaţie oriz
l în care c anda este activă se ontală.
Regions În cazul în care comvizualizează regiunile d
anda este activă se ocumentului.
Zoom… Comanda permite măvizualiz vem la posibilităţi: 25%, 50%150% şi 200%.
rirea sau micşorarea dispoziţie următoarele , 75%, 100%, 125%,
ării. A
Refresh (şterg resturile de regiuni.
Ctrl+R) Se refac toate regiunile documentului şi se
Animate… Creează o fereastră de animaţie. Playback se va … Activează fereastra de animaţie în care
derula animaţia. Preferenc
statură (Keyboard
; paleta de Internet con
e… Cu ajutorul comenzi se accesează două palete. Paleta General are: opţiuni de start (Startup options), opţiuni de taOptions) şi dialectul de limbă engleză pentru corectorul lexical (Spell Check Dialect)
ţine următoarele câmpuri:
85
Calcul numeric Anexa 1
nume utilizator (User Name), adresa de E-mail (E-mail), adresele de internet ale colaboratorilor (Collaboratory) şi Proxy Servers (HTTP, FTP, GOPHER).
Meniul Insert Comandă Acţiune
Comanda deschide o listă de comenzi pentru a însera ezenta grafice de funcţii. regiuni în care se pot repr
Graph
X-Y Plot (@)
Înserează reperele carteziene pentru reprezentarea carteziană a funcţiilor de o singură variabilă reală.
Polar Plot Înserează reperele polare pentru zentarea funcţiilor de o singură (Ctrl+7) repre
variabilă reală în coordonate polare. Comanda ne prezintă cele 5 moduri de vizualizare a graficelor de două variabile reale cu valori reale. Surface Plot (Ctrl+2)
Înserează o regiune în care se va reprezenta
3D Plot Wizard
o funcţie sub formă de pânze.
Contour Plot(Ctrl+5)
Înserează o regiune în care se va reprezenta o funcţie sub formă de linii de nivel.
3D Scatter Chart
Înserează o regiune în care se va reprezenta funcţie sub formă de
punte în spaţiu. o
3D Bar Plot Înserează o regiune în care se va reprezenta o funcţie sub formă de bare în spaţiu.
Vector Field Plot
Înserează o regiune în are se va reprezenta c
o funcţie sub formă de vectori.
Matrix… (Ctrl+M)
Comandă cu care se poate crea o matrice sau un vector.
Function… (Ctrl+F)
Deal
schide lista de funcţii Mathcad, listă din care se poate ege funcţia dorită spre consultare sau înserare.
Unit… (Ctrl+U)
Desis în prco
schide lista unităţilor de măsură a unuia din temele SI, MKS, CGS şi US. Sistemul se alegeealabil cu ajutorul comenzii Unit System din paleta menzii Options din meniul Math.
Pi(Ctrl+T)
Înun
cture serează o regiune Picture în care se poate reprezenta fişier imagine ce a fost salvat într-o matrice.
86
Calcul numeric Anexa 1
k 0 50..:= j 0 200..:= Mk j, k2 j2+:=
M Area În
coa pa
serează o regiune ce poate fi securizată şi care va nţine expresii. Regiunea poate rămâne la vedere fără putea fi modificată sau copiată de cel ce nu cunoaşte rola sau poate fi chiar ascunsă.
Text Region Înserează o regiune text. Page Break În
loserează un caracter special de salt la pagină nouă în cul pe care îl ocupă cursorul.
Hiperlink… (Ctrl+K)
Comandă de creare a unei adrese de înlănţuire.
Re Înference… serează o referinţă. Component… La
(AWLi ft PushButton, MathSoft RadioButton,
ReM
nsează Wizard-ul pentru a însera componente xum Graph, Axum S-PLUS Script, Excel, File Read or rite, Input Table, MathSoft CheckBox, MathSoft stBox, MathSo
MathSoft Slider, MathSoft TextBox, MATLAB, ODBC ad, Scriptable Object, SmartSketch) în documentul athcad.
Object… În(AImMExEdMPoSeVi
serează obiecte realizate cu alte produse informatice dobe Photoshop Image, AutoCAD Drawing, Bitmap age, Image Document, Mathcad Document, Media Clip, icrosoft Equation 3.0, Microsoft Excel Chart, Microsoft cel Workseet, Microsoft Graph Chart, Microsoft Photo itor 3.0 Photo, Microsoft Photo Editor 3.0 Scan, icrosoft Power Point Prezentation, Microsoft Power int Slide, Word Document, Word Picture, MIDI quence Package, Paintbrush Picture, Snapshot File, deo Clip, Wave Sound, Word Pad Document).
Meniul Format Comandă Acţiune
Equation… prin care se poate alege forma de riab
utilizator. Prin Font (Arial, B tang,…), Font Style
, BEffects (Underlin
Deschide o paletăafişare a va ilelor, a constantelor şi a părţilor
această schimbarea putem stabili: ankGothic, Ba
(Regular, Italic old, Bold Italic), Size (8, 9, 10, … 72), e), Color (Black, Maroon, Olive, Navy, ay, Silver, Purple, Teal, Gr Red, Lime, Yellow, Blue,
ua, WFuchsia, Aq hite) şi Script (Western, Hebrew). Result… Comanda este
“Forma de afişar lor”. prezentată pe larg în paragraful e a rezultate
Text… Deschide o paletă prin care se poate alege forma de afişare a textelor din regiuni text. Prin această schimbarea putem stabili: Font ( , BankGothic, Arial
87
Calcul numeric Anexa 1
Batang,…), FontItalic), Size (8,
Style (Regular, Italic, Bold, Bold 9, 10, … 72), Effects (Strikeout,
Underline, SubscrOlive, Navy, PuYellow, Blue, Fuc
ipt, ), Color (Black, Maroon, rple, Teal, Gray, Silver, Red, Lime, hsia, Aqua, White).
Superscript
Paragraph… Comanda desch(unitatea de măspentru marginea eft), marcajul (Indent)
argineopţiunea SpecialHanging). Se ponou cu: buline (Bnu fie marcat ( menea putem stabili
s) şi unde să se facă tâ u în
t).
ide o paletă pe care putem stabili ură este inch-ul !): Marcajul (Indent) din stânga (L
pentru m a din dreapta (Right) şi pentru ( ce are variantele none, Fist Line şi ate alege a se marca fiecare aliniat ullets) sau numere (Numbers) sau să none). De ase
poziţia bornelor de TAB (Tabalinierea: în s nga (Left), central (Center) sadreapta (Righ
Style… pcaracteristicile uHeading2, Headi al, Paragraph,
. Exente.
Deschide o aletă care permite să stabilim rmătoarelor componente: Heading1, ng3, Indent, List, Norm
Subtitle, Title istă valori prestabilite pentru aceste compon
Properties… Deschide o p care se poate stabili icile d
dacă este o regiune text atunci paleta are
lay at Original Size) iar t cu opţ nea text să ocupe toată
upy Page Width), regiunea
You Tylocul fişa Texturmătoarele opnegru (placehoEvaluation) penMathcad; (Disable Evaluation) pentru a nu permite evaluarea regiuni Mathcad şi să se realizeze optimizarea evaluării (Enable Optimization).
aletă pe caracterist e afişare a regiuni curente. Această regiune două fişe: fişa Display cu opţiunile culoarea de fond a regiuni (Background), încadrarea într-un dreptunghi
i afişarea regiuni cu a regiuni (Show Border) şunea oridimensi
xginală (Disp
giufişa Te iunile: reOcclăţimea documentului (
ăreşte text se mDown As
după textul introdus (Push Regions pe). Dacă avem o regiune non text în avem fişa Calculation care are ţiuni: să nu se afişeze pătrăţelul lder) după evaluare; (Enable
tru a permite evaluarea regiuni
Graph Forma graficelor X-Y Plot… Forma graficelor carteziene (a se
vedea paragraful „Reprezentarea carteziană”).
Polar Plot… Forma graficelor polare (a se vedea paragraful „Reprezentarea polară”).
3D Plot… lul „Reprezentarea funcţiilor
în spaţiu”).
Forma graficelor 3D (a se vedea capito
88
Calcul numeric Anexa 1
Trace… Deschide o paletă în care se ava afişa coordonata x şi y a punctului indicat în regiunea grafic. Aceste valori pot fi copiate pentru ale atribui unor variabile în cadrul documentului (pentru amănunte a se vedea paragraful „Reprezentarea carteziană”).
Zoom… Deschide o paletă ce permite realizarea de detalii ale graficului afişat (pentru amănunte a se vedea paragraful „Reprezentarea carteziană”).
Se poate alege culorile pentru: Background… Fondul documentului Mathcad.
C
Highlight… Prim planul. Annotation… Dacă este activată, comanda
permite alegerea culorii pentru regiunile modificate.
Use DePallete
fault În cazul în care comanda este activată se va folosi paleta de culori implicită.
olor
OptimPallete
ize Foloseşte 256 de culori pentru imaginile din document.
Separate Regions
Comancazul c
dă pentru separarea regiunilor. Se va folosi în ând avem regiuni suprapuse.
Alinierea regiunilor în mod: Across Orizontal.
Align Regions
Down Vertical. Sec izur area regiunilor Loc …k Comanda oferă posibilitatea alegerii
unei parole pentru o regiune creată cu comanda Area. O regiune creată cu comanda Area poate fi formată din una sau mai multe regiuni Mathcad.
A
Un k
ck.
loc … Comanda permite renunţarea la parola pentru o regiune creată cu comanda Area şi care a fost securizată cu comanda Lo
Collapse În cazul că opţiunea este activată
fi ascunsă, în document va apare o linie.
regiunea creată cu comanda Area va
rea
Expand Comanda inversă comenzii Collapse, regiune ă se va vizualiza. a ascuns
Header/ Comanda deschide o paletă cu două fişe: Heade şi r
89
Calcul numeric Anexa 1
Fo olocîn reapta (Right) sau central (Cfie ion), se polu
r of
ata curentă (Insert Date), ora curentă
eastă comandă e modifica:
(R…
oters… F oter. Ambele palete dau posibilitatea de a stabili ul de afişare a textului din Header şi Footer, adică
stânga (Left), în denter). Cu ajutorul opţiuni „toată lăţimea pentru care secţiune” (Use full width for each sectate acoperi toată lăţimea Header-lui sau a Footer-i.
• În grupul de comenzi Tools se găsesc următoarele butoane cu acţiune rapidă care vor insera (în locul indicat de cursor): numele fişierului (Insert File Name), calea şi numele fişierului (Insert File Path), numerele paginilor (Insert Page Number), numărul total de pagini a documentului Mathcad (Insert NumbePages), data ultimei salvări (Insert Date Last Saved), ora ultimei salvări (Insert Time Last Saved), d(Insert Time). În toate aceste texte înserate în Header şi Footer se pot stabili forma textului cu ajutorul comenzi Format. Acva deschide o paletă în care se poatFont (Arial, BankGothic, Batang,…), Font Style
egular, Italic, Bold, Bold Italic), Size (8, 9, 10, 72), Effects (Strikeout, Underline), Color lack, Maroon, Olive, Navy, Purple, Teal, ay, Silver, Red, Lime, Yellow, Blue, Fuchsia, ua, White) ş
(BGrAq i Alignment (Left, Center şi
ImFo
• Grnupa age number) şi posibilitatea
prfiracPaHefo
• Grşi sau mai multe din acest
n
Right). Ultima din grupa Tools este comanda age care permite inserarea în Header sau oter a unei imagini. upul Options are următoarele comenzi: mărul de start pentru numerotarea ginilor (Start at p
de a avea un Header şi Footer diferit pentru ima pagină (Different header and footer on st page). Această comandă dacă este tivată se vor genera două palete noi (Header ge 1 şi Footer Page 1) similare cu paletele ader şi Footer care ne dau voie să precizăm
rma diferită a pagini 1. upul Frame conţine comenzile: Page, Header Footer. Dacă una
comenzi sunt activate Frame-ul se va încadra î : pagină, în Header sau în Footer.
Coma ui Mathcad. ndă de repaginare a documentulRepaginate Now
Meniul Math Comandă Acţiune
90
Calcul numeric Anexa 1
Calculate (F9) Declanşeadin toatedocumentu
ză operaţiunea de calcul a expresiilor regiunile ce preced cursorul în l Mathcad.
Calculate Worksheet
Comanda regiunilor
ce declanşează evaluarea tuturor din documentul Mathcad curent.
Automatic Calculation
Dacă comautoma apărăsi regregiuni seCalculate. manual, anumai dComanda ajutorul
stei F9 sau cu butonul cu acţiune rapidă
anda este activată se lucrează în mod t, dică la tastarea unui Enter (cursorul va
iunea) sau dacă se face un clic în afara va declanşa în mod automat comanda În caz contrar se lucrează în mod dică evaluarea regiunilor se va face
upă declanşarea comenzii Calculate. Calculate se poate declanşa cu
ta . Optimization Comanda lansează o procedură de consultare
între procesoarele simbolic şi numeric ale Mathcad-lui.
Options… Com nurmăto lation,
ispaly, Unit System şi Dimension. ables):
) cu valoarea
lă în
• a convergenţă (Convergente
ceastă opţiune poate fi modificată
doc Mathcad. Exemplu
• Pre r (Constraint Tolerance (CTOL)) cu valoarea implicită 0.001. Cu
ai mică vom
mplu
• random
Var
ă 4. Dacă avem un
0.00001
a da deschide o paletă ce conţine arele fişe: Built-InVariabiles, Calcu
DVariabile rezervate (Built-InVari
• Originea indicilor de matrice şi vector (Array Origin (ORIGIN)implicită 0. Această opţiune poate fi modificată şi printr-o atribuire simpcadrul documentului Mathcad. Exemplu ORIGIN:=1 Toleranţa lTolerance (TOL)) cu valoarea implicită 0.001. Aşi printr-o atribuire simplă în cadrul
umentului TOL:=0.00001
cizia soluţiilo
cât valoarea lui CTOL este mobţine soluţii mai precise cu funcţiile de rezolvare a ecuaţiilor minmize, maximize, find şi minerr. Această opţiune poate fi modificată şi printr-o atribuire simplă în cadrul documentului Mathcad. ExeCTOL:=0.00001 Valoarea iniţială pentru generatorii de numere aleatoare (Seed value fornumbers) cu valoarea implicită 1. iabile pentru fişierele PRN: • Precizia de citire a datelor din fişiere de
tip PRN (Precision (PRNPRECISION)) cu valoarea implicitfişier de tip PRN cu valori ale unor măsurători exprimate cu precizii de
, această variabilă va provoca
91
Calcul numeric Anexa 1
citirea acestor date cu o comandă
tribuire simplă
rul de caractere din coloana de date din fişierul de tip PRN (Column
NCOLWIDTH)) cu valoarea e poate fi
tribuire simplă entului Mathcad.
WIDTH:=9 Obs v emple date s-a precizat ă datele au formatul: din nouă caractere pe un
t la partea zecimală.
recalculare automată ticaly). arităţii matricelor (Use
matrices). inte de calculul essions before
Preferinţele de performanţă (Performance Preference)
• Viteză mare de calcul (Higer speed calculatio
compatibility)
izarea operatorilor (Display): Semautpun Narrow Dot), p(La ţiu îngust (Thin Space) şi fără spaţiu (No Space).
• Semnul pentru derivare: semnul de derder rivate).
• Caracterele de la indice: afişate mari (Large Subscript) sau afişate mici (Small Subscrip
re: caracterele două puncte şi egal (Colon Equal) sau caracterul egal (Equal).
• Caractere pentru atribuire globală:
READPRN, numai cu precizia de 0.0001. Această opţiune poate fi modificată şi printr-o aîn cadrul documentului Mathcad. Exemplu PRNPRECISION:=5.
• Numă
Width (PRimplicită 8. Această opţiunmodificată şi printr-o aîn cadrul documExemplu PRNCOL
er aţie: cu cele două excrând cinci sun
• Restaurarea valorilor implicite la toate variabilele speciale (Restore Defaults)
Opţ alculation): iuni de calcul (C
• Opţiunea de toma(Recalculate au
• Verificarea singulstrict singularity checking for
• Optimizarea expresiilor înaexpresii ( exprOptimizecalculating).
n) • Asigurarea compatibilităţii (Backward
Vizual
nul pentru înmulţire: selectare omată (Auto Select), punctul (Dot), ctul Narrow ( unctul mare
rge Dot), caracterul x (x), spa
ivare (Derivative) sau semnul pentru ivata parţială (Partial De
•
t). • Caracterele pentru atribui
caracterul triplu egal (Tr )iple Equal sau
92
Calcul numeric Anexa 1
caracterul egal (Equal). • Caractere pentru atribuire locală:
al (Equal). • Caractere pentru egalitate: caracterul egal
gros (Bold Equal) sau caracterul egal
Sistemul de unităţi: • Sistemul implicit (Default Unit).
• Sistemul CGS (CGS)
siune n
m uMaLuTim
uem
Lu ity) ance)
caracterul săgeată la stânga (Left Arrow) sau caracterul eg
(Equal).
• Sistemul Internaţional (SI). • Sistemul MKS (MKS)
• Sistemul US (US) • Fără sistem (None)
Dimen Să
ile s
Dimensioafişeze sau nu dimensiunile (Display s). Dacă s-a activat această obţine pute rmătoarele dimensiuni asă ave
• fişate:
sa (mass) ngimea (length) •
• pul (time) • C• T
rentul (charge) peratura (temperature)
minozitatea (luminos• • Materia (subst
Meniul Symbolics Comandă Acţiune
Comandă de evaluare a expresiilor după cum urmează:
Evaluate
Symbolically În mod simbolic (Shift+F9) Floating Point …
În v l de cifre exacte în limitele date de neg Calculul
e cifre exacte
irgulă flotantă cu un număru
i alităţile 1cifre4000 ≥≥ . expresie cu 30 d
eπ 23.1406926327792690057290863680 Co l
6
mp ex În complex cu partea reală şi partea complexă a numărului.
2 i+( ) 2 1 2i−( ) 3+ −8 i⋅+
Simplify Comandă de simplificare a expresiilor.
a b+( )2
a2 b2−
a b+( )a b−( )
Expand Comandă de expandare a expresiilor.
93
Calcul numeric Anexa 1
a b+( )2 a2 2 a⋅ b⋅+ b2+
Fac Coman n dintr-o expresi
2 2
tor dă de determinare a factorului comue şi de scoatere a lui.
a b⋅ 3a+ a b⋅+ a b 3+ a b⋅+( )2⋅
Col ru extragerea unui factor comun parţial.
a
lect Pent a simplifica o expresie prin
a2 b2⋅ b 3+( )⋅+a b⋅ 3a+ a2 b2
⋅+ PolynCoe
că polinomul se dă sub e polinom factor se cu
omial Dacalfficients
z 1
formă dlează coeficienţii acestui polinom.
−( ) z 2−( )⋅ z 3−( )⋅ are coeficienţii 6− 11 6−( 1 )T Faţă de r orul se vor efectua următoa l
va iabila pe care se află cursre e operaţii:
V
Solve Determină soluţia ecuaţiei. Subs e cu altă expresie. titute Substituie o expresiDifferentiate Calculează derivata expresiei în funcţie
de variabila precizată. Integrate Calculează primitiva expresiei în funcţie
de variabila precizată. ExpaSerie
termină dezvoltarea în serie de nd to Se des … puteri a expresie.
ariable
ConvPartFact
e o ert to Descompune în sumă de fracţii simplial expresie raţională. or
Comenzi pentru matrice. Transpose Determină matricea transpusă.
M
Invert Inversează matricea.
atrix
Determinant Calculează determinantul matricei. Transformări. Fourier Transformata Fourier. In
Transform
verse Fourier Inversa transformatei Fourier. Laplace Transformata Laplace. Inverse Laplace Inversa transformatei Laplace. Z Transformata Z. Inverse Z Inversa transformatei Z. Stilul evaluări. Evaluation
e … MStyl od•
• rând o linie în afară (Verticaly,
(Horizontally) - Să se afişeze comentariile (Show Comments) - Să se facă evaluarea în locul pe care la ocupat expresia (Evaluate in Place).
ul de afişare a evaluării: Vertical; înserând o nouă linie (Verticaly, inserting lines) Vertical; însewithout inserting lines).
• Orizontal după expresie
94
Calcul numeric Anexa 1
Meniul Window Comandă Acţiune
Cascade Se zeavizuali ză ferestrele în cascadă. TileH
orinzon
zeatal
Se vizuali ză ferestrele orizontal.
Tile Vert izualizea ical Se v ză ferestrele vertical. Windows List Lista documentelor deschise.
Meniul Help Comandă Acţiune
Mathcad Help (F1)
Mesaje explica• Listă de capitole (• Listă de• Motor
(Search)
tive pentru comenzile Mathcad. Contents).
noţiuni (Index) de căutare a cuvintelor cheie
. Dev lopeRef renc
eferinţe pentree
rs e
R u dezvoltare.
Autors Referenc
eferinţe ale ue
R tilizatorului de Mathcad.
Conectarea la adresa collab.mathsoft.com (Collaboratory).
R
Conectarea la www.mathsoft.com pentelor Mathcad (We
entru a accesa ocum b Library). colecţia d
Conectarea la www.mathsoft.com (Mathcad.com). Conectarea la www.mathsoft.com (Support) Conectarea la www.mathsoft.com (Web Store) Lansarea tutoTutorials).
rialului Mathcad (Overview and
Tabel de ref e (Quick Sheets and leerinţe rapid
Reference Tab s)
esourse Center
cad (Extending Mathcad). Extensii MathTip of t eDay …
omanda permafişat dacă com tup
Pr este ă.
h C ite alegerea unui mesaj ce va fi anda Show Tip of the Day at Star
din paleta eferences al meniului View activat
Open Book …
Permite deschiderea manualelor electronice Mathcad.
Mathcad Update
Componente Mathcad care completează versiunea pe care o avem.
About Mathca
intă urile de cop icenţa şi odul numed
Se prezc
: dreptr
yright, lic.
TOOLBAR (ZONA BUTOANELOR CU ACŢIUNE RAPIDĂ
Bara Standard Buton Semnificaţie
)
Acţiune New Workshee
Mathcat Deschide un nou document
d
95
Calcul numeric Anexa 1
O en Workshe eschida fost s
et D e un document Mathcad ce alvat anterior.
p
Sa e Workshee zt Salvea ă documentul Mathcad. v Print Worksheet Tipăreşte documentul Mathcad. Print Preview Worksheet
fişeazpentru a avea o imagine de
samband
A ă documentul pe ecran
ancom
lu; se foloseşte înainte de a Print.
Ch ck Spelling eclanumai te ale limbi
lezeEnglishize))
e D şează corectorul lexical în dialec
(neng : American English, British
(-ise) şi British English (-
Cut zşi apoi Copia ă zona selectată în Clipboard
şterge această zonă.
Copy CopiazClipboa
ă zona selectată în rd.
Paste Copiază conţinutul Clipboard-ului în locul indicat de cursor.
Undo În cadrul unei regiuni anulează ultima comandă executată.
Redo În cadrul unei regiuni activează ultima comandă anulată.
Align Across Aliniere orizontală. Align Down Aliniere verticală.
Insert Function Înserare de funcţii. Insert Unit Înserare de unităţi de măsură. Calculate Declanşează evaluarea regiunilor
până la poziţia curentă a cursorului.
Insert Hyperlink Creează o legătură cu un fişier. Insert Component Înserează o componentă.
Zoom Vizualizarea documentului
micşorat, mărit sau unu la unu. Resourse Center Activarea cărţilor electronice. Help Afişarea mesajelor de ajutor.
Bara Formatting Buton Semni-
ficaţie Acţiune
Style Stilul de editare al documentului.
Font Fontul de editare al documentului.
Size Mărimea caracterelor din fontul ales.
Bold Zona selectată de text va fi afişată cu caractere groase.
96
Calcul numeric Anexa 1
97
Italic Zona selectată de text va fi afişată cu litere aplecate.
Underline Zona selectată de text va fi afişată cu litere subliniate.
Align Left
Alinierea textului selecta la stânga.
Align Center
Alinierea textului selectat la mijloc.
Align Right
Alinierea textului selectat la dreapta.
Bullets Dacă comanda este activată fiecare aliniat nou de text va fi precedat de o bulină.
Numbering Dacă comanda este activată fiecare aliniat nou de text va fi precedat de un număr de secvenţă.