Home >Documents >C3 Identificarea Sistemelor

C3 Identificarea Sistemelor

Date post:26-Nov-2015
Category:
View:43 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Description:
q
Transcript:
  • Capitolul

    Elemente de Identificarea Sistemelor

    Acest capitol constituie o trecere n revist a elementelor de baz din domeniul Identificrii (experimentale a) Sistemelor. Este evideniat importana etapelor de achiziie a datelor, alegerea modelului de identificare i a metodei pentru estimarea parametrilor acestuia. Discuia este focalizat pe o serie de metode de identificare bazate pe tehnici recursive, nrudite cu Metoda Celor Mai Mici Ptrate. Aceste metode sunt utilizate pentru identificarea att n bucl deschis, ct i nchis i se bazeaz pe principiul adaptrii parametrice n manier recursiv. Sunt evideniate performanele i limitrile acestor metode, precum i mijloacele statistice de validare ale modelelor identificate. Capitolul se ncheie cu prezentarea unor tehnici de identificare n bucl nchis, utilizate cu prioritate n controlul adaptiv.

    3.1 Principiul adaptrii parametrice Posibilitile recente oferite de calculul numeric permit dezvoltarea i implementarea algoritmilor de identificare a modelelor discrete ale proceselor [14], [18], [52], [55]. Identificarea modelelor parametrice prin tehnici recursive de prelucrare [26] ofer numeroase avantaje raportat la alte proceduri de identificare cunoscute. Algoritmi de identificare performani, avnd o exprimare recursiv convenabil calcului numeric, au fost dezvoltai cu prioritate n ultima perioad. Principiul de estimare a parametrilor unui modelul discret cu ajutorul unei proceduri recursive este ilustrat n Figura 3.1. Un model parametric discret este implementat pe un calculator. Diferena ntre ieirea procesului y i ieirea predictat cu ajutorul modelului, y , diferen numit eroare de predicie, este folosit de o procedur de adaptare recursiv, care, la fiecare moment de eantionare, va modifica parametrii modelului pentru a minimiza un criteriu de optimizare ptratic exprimat n funcie de eroarea de predicie. Intrarea u folosit n experimentul de identificare ca semnal de stimul al procesului, este n general o secven binar pseudo-aleatoare (SPAB), generat de calculator (succesiune de impulsuri rectangulare de durat variabil, cu amplitudinea determinat de caracteristicile procesului). Odat

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 70

    modelul identificat, o validare obiectiv poate fi efectuat cu ajutorul unor teste statistice aplicate erorii de predicie y y = i ieirii predictate y . Testul de validare permite ca, pentru un proces dat, s se aleag cel mai bun algoritm, respectiv cel mai bun model ca structur pentru estimarea parametrilor.

    Figura 3.1. Principiul estimrii parametrice adaptive.

    Aceast abordare modern de identificare elimin toate defectele metodelor clasice i ofer n plus alte posibiliti, cum ar fi: urmrirea variaiilor parametrilor procesului n timp real, identificarea modelelor de perturbaie, validarea rezultatelor experimentului de identificare, etc. Elementul cheie pentru abordarea prin recuren a mecanismului de identificare a modelelor dinamice discrete, este algoritmul de adaptare parametric (aap), care ajusteaz parametrii modelului de predicie pe baza informaiilor primite din proces, la fiecare pas de eantionare. Acest algoritm are o structur recursiv, adic noua valoare a parametrilor se obine din valoarea precedent la care se adaug un termen de corecie dependent de ultimele msuratori, dup urmtorul principiu general:

    (3.1) n (3.1), vectorul care conine mrimile msurate la intrarea i ieirea procesului, se numete vector al regresorilor (observaiilor). Reamintim c exist algoritmi nerecursivi de identificare parametric, care trateaza n bloc fiierele de date I/O obinute pe o perioad de timp. Raportat la aceste tehnici, identificarea recursiv ofer avantajele urmtoare: obinerea unei

    Proces discretizat

    CNA +

    EOZ PROCES CAN

    Model discret ajustabil

    Algoritm de adaptare parametric

    Parametrii modelului

    u y

    y ^

    Parametrii estimai urmtori (vector)

    Parametrii estimai cureni (vector)

    = +

    Amplificare de

    adaptare (matrice)

    Mrimi msurate regresate (vector)

    Eroare de

    predicie (scalar)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 71

    estimri a modelului pe msur ce procesul evolueaz, o compresie important de date, deoarece algoritmii recursivi nu trateaz n fiecare moment dect o pereche I/O, necesitatea unei memorii i a unei puteri de calcul sensibil mai reduse, posibilitatea realizrii unei identificri n bucl nchis, posibilitatea de identificare a sistemelor cu parametri variabili n timp. Paragraful urmtor este dedicat prezentrii algoritmilor de identificare bazai pe mecanismul de adaptare parametric.

    3.2 Algoritmi de identificare recursiv pe baz de gradient Algoritmul de adaptare parametric poate fi proiectat cu ajutorul unor tehnici de optimizare de tip gradient, mpreun cu un criteriu ptratic exprimat n funcie de eroarea de predicie. Obiectivul const n determinarea parametrilor optimali prin minimizarea acestui criteriu. Considerm un proces cu parametri necunoscui. Modelul discret al procesului este de tip ARX i poate fi exprimat prin ecuaiile (1.12) (detaliat) sau (1.15)-(1.16) (n form polinomial), da pentru k N n loc de 1k + . Dac se introduc notaiile:

    1 2 1 2

    T

    nA nBa a a b b b = i

    ( ) [ ( 1) ( 2) ( )( 1) ( 2) ( ) ,

    T

    T

    k y k y k y k nA

    u k d u k d u k d nB

    =

    (3.2)

    unde este vectorul parametrilor necunoscui ai modelului ARX, iar este vectorul regresorilor (format din date I/O msurate), modelul ARX se poate exprima simplu sub forma:

    ( ) ( ) Ty k k= , k N . (3.3) Plecnd de la exprimarea (3.3), n care se consider c i vectorul parametrilor variaz n timp, se poate construi un model de predicie ajustabil ca n ecuaiile (1.12) sau (1.13). Mai precis:

    ( )

    01

    1

    ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)

    ( ) ( ) ( ) ( 1)1 ( ), .

    nA

    nB

    T

    y k a k y k a k y k nA

    b k u k d b k y k nB d

    k k k

    + = + +

    + + + + =

    = +

    N

    (3.4)

    De notat c ( )1k + depinde de valori I/O msurate pn la momentul k , dar nu i la momentul 1k + (a se vedea definiia (3.2)). Se consider c expresia (3.4) reprezint un predictor a priori. Se poate arta c acesta este optimal [52], [55], n sensul c minimizeaz eroarea de predicie a priori, definit prin:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 72

    ( ) 0 0( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( )Tk y k y k y k k k + = + + = + + , k N . (3.5) n mod similar, se poate defini eroarea de predicie a posteriori, folosind vectorul de parametri estimai la pasul urmtor (i nu la pasul curent, ca n definiia (3.5)): ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)Tk y k y k y k k k + = + + = + + + , k N . (3.6) Plecnd de la aceste definiii, se caut un algoritm de adaptare parametric recursiv, cu memorie. Structura general a unui astfel de algoritm este urmtoarea (n concordan cu principiul general (3.1)):

    ( )0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ), ( ), ( 1)k k k k k k k+ = + + = + + f , k N , (3.7) unde funcia f care definete corecia aditiv depinde de informaiile disponibile la momentul 1k + , cel mult. Pentru e deduce expresia termenului de corecie, se poate rezolva o problem de minimizare a ptratului erorii de predicie a priori, la fiecare pas de eantionare:

    ( )0

    20

    ( )( )

    ( 1) arg min ( 1)k

    k

    k k + = +

    J

    , k N . (3.8)

    Soluia problemei (3.8) se poate obine printr-o procedur iterativ de tip gradient. n acest caz, algoritmul de adaptare parametric are forma: ( )0( ) ( 1) ( ) ( )kk k k+ = P J , k N , (3.9) unde 0>P este matricea de adaptare parametric (strict pozitiv definit). De exemplu, 2= P I , cu R (matrice diagonal constant). Prin derivarea definiiei (3.5), se obine:

    ( )0 0

    ( )0

    ( 1) ( ) 2 ( 1) ( 1)( ) 2 1 ( 1), .

    kk k k k

    k k k k

    + = + + = = + + +

    P

    P N (3.10)

    Algoritmul de adaptare parametric exprimat de ecuaia (3.10) prezint riscul de oscilaie, dac amplificarea de adaptare este mare. Pentru a evita acest risc, folosim aceeai abordare a gradientului, dar considerm varianta care folosete un criteriu exprimat n funcie de eroarea de predicie a posteriori. Cu alte cuvinte, se poate rezolva o problem de minimizare aletrnativ:

    ( )1

    21

    ( 1)( 1)

    ( 1) arg min ( 1)k

    k

    k k+

    +

    + = +

    J

    , k N . (3.11)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 73

    Soluia problemei (3.11) are aceeai form ca i soluia problemei de optimizare (3.8), dar adaptat la noul criteriu de optimizare (cu definiia (3.6)): ( ) ( )1 1( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( 1)kk k k k k k++ = + = + + + P PJ , k N . (3.12) Pentru a compara cele dou metode de gradient (exprimate de relaiile recursive (3.10), respectiv (3.12)), poate fi pus n eviden o corelaie ntre cele dou erori de predicie. Prin combinarea definiiei (3.6) cu relaia recursiv (3.12), se obine: ( ) ( ) ( )

    0

    1 1

    ( 1)

    ( 1) ( 1) 1 ( ) 2 1 1 ( 1)T Tk

    k y k k k k k k +

    + = + + + + + P

    ,

    k N , (3.13) de unde rezult:

    ( ) ( )0

    1 ( 1)( 1)1 2 1 1T

    kkk k

    + + =

    + + + P, k N . (3.14)

    nlocuind ecuaia (3.14) n relaia recursiv (3.12), se obine:

    ( )( ) ( )

    02 1 ( 1) ( 1) ( )

    1 2 1 1Tk k

    k kk k+ +

    + = ++ + +

    P

    P, k N . (3.15)

    Algoritmul de gradient (3.15) este mai stabil dect (3.10), pentru orice matrice de amplificare strict pozitiv definit, datorit factorului de normare care nsoete corecia.

    3.3 Metoda Celor Mai Mici Ptrate n variant recursiv (MCMMP-R) Folosind algoritmii pe baz de gradient, se minimizeaz ptratul erorii de predicie la fiecare moment de eantionare. Aceasta se realizeaz printr-o deplasare du

Click here to load reader

Embed Size (px)
Recommended