C2. Conceptele şi structura procesului de optimizare. Bazele matematice ale

procesului de optimizare. FuncŃii obiectiv, variabile de proiectare şi de stare,

restricŃii ale acestora. Schema generală – conceptuală – a procesului de optimizare

GeneralităŃi Optimizarea este, în esenŃă, o opŃiune ştiinŃifică, care constă în elaborarea şi trierea sistematică a soluŃiilor posibile ale unei probleme inginereşti, având ca scop final selectarea acelei soluŃii care, în limitele unui cadru de referinŃă definit prin condiŃiile admise sau impuse inŃial, conduce la folosirea cea mai avantajoasă a resurselor de care se dispune pentru materializarea ei. Optimizarea unei maşini, instalaŃii sau construcŃii de un anumit tip se poate face prin optimizarea separată a componentelor sale, a subansamblurilor sau a părŃilor constructive distincte, structura de rezistenŃă fiind una dintre acestea. În special la aceasta se vor face referiri în cele ce urmează. Bazele matematice ale proceselor de optimizare le constituie cercetarea operaŃională, programarea liniară, programarea dinamică, programarea geometrică, algoritmii genetici etc. Scopul principal al optimizării unei structuri – sau, altfel spus, al proiectării optimale a structurii – este determinarea formei acesteia. Determinarea tensiunilor şi a deplasărilor constituie o etapă ulterioară în procesul proiectări, în care se verifică dacă forma şi dimensiunile structurii satisfac exigenŃele scopului urmărit. Cele mai utilizate criterii care stau la baza modelelor de calcul pentru optimizarea structurilor sunt: greutate minimă, tensiuni minime (rezistenŃă maximă), energie potenŃială de deformaŃie minimă, rigiditate maximă, deplasări minime, rigiditate maximă pentru o greutate dată, formă de egală rezistenŃă, cost minim etc. RelaŃia dintre tensiuni (uneori eforturi) şi forma structurii este factorul fundamental atât în proiectarea curentă, cât şi în cea optimală, această dependenŃă folosindu-se fie pentru determinarea tensiunilor când se cunoaşte configuraŃia structurii fie pentru determinarea formei structurii când se cunosc (sau se impun) valorile maxime ale tensiunilor. Criteriul de alegere a formei structurii depinde de condiŃiile care trebuie satisfăcute de structură, fiecare criteriu având o importanŃă decisivă asupra rezultatului optimizării. Criterii “absolute” de optimizare nu există şi nici nu par a fi de dorit. Cea mai simplă procedură de optimizare este “optimizarea intuitivă”, care constă în realizarea de modele ale unor soluŃii alternative ale structurii şi - prin încercări repetate - se obŃine o variantă optimă a acesteia. Procesul este empiric şi nu duce cu certitudine la cea mai bună soluŃie posibilă.

Conceptele şi structura procesului de optimizare Uzual este ca tehnicile şi procedurile pentru optimizare să fie incluse în sisteme informatice complexe pentru proiectarea asistată de calculator - CAD. Sistemul conŃine un program performant pentru analiaza structurilor prin metoda elementelor finite MEF. S-a dovedit că implementarea unor module şi proceduri de calcul pentru optimizare în programe cu elemente finite este foarte eficientă. Pentru a realiza optimizarea unei structuri se elaborează un model MEF pentru o variantă “iniŃială” a structurii. Pentru acest model se definesc unul sau mai mulŃi parametri de proiectare – denumiŃi şi variabile de proiectare - şi valori şi (sau) intervale de valori posibile ale acestora denumite restricŃii, sub forma unor egalităŃi sau inegalităŃi. Procesul de optimizare trebuie să determine valoarea minimă a unei funcŃii dependentă de variabilele de proiectare, numită funcŃie obiectiv. Schema generală – conceptuală - a procesului de optimizare se prezintă în figura 27.1, în care se evidenŃiază bucla iterativă a acestuia. De fapt, din punct de vedere matematic, nu este vorba de rezolvarea unui sistem de ecuaŃii algebrice, compatibile,

Figura 27.1 care are o soluŃie unică. Algoritmul matematic al procesului de optimizare este, de regulă, o “strategie euristică” de găsire a celei mai bune soluŃii din mulŃimea celor posibile. Punerea în evidenŃă a acestor aspecte şi altora s-a făcut în schema din figura 27.2, în care prezintă o detaliere a procedurii de optimizare [1].

Figura 27.2 O componentă fundamentală a procesului de optimizare este funcŃia obiectiv, care poate fi definită ca liniară sau neliniară în raport cu variabilele de proiectare. Cele mai utilizate funcŃii obiectiv sunt: preŃul de cost, greutatea, rigiditatea, volumul, energia potenŃială de deformaŃie sub sistemul de sarcini etc. Nu există nici o restricŃie de principiu privind definirea funcŃiei obiectiv. Diversele programe cer doar respectare unor reguli de “sintaxă” în ceea ce priveşte definirea algebrică a funcŃiei.

Corelarea optimizării cu practica inginerească Procesul de optimizare este o componentă a proiectării şi realizării unui produs, dar în final structura optimizată trebuie să îndeplinească şi alte condiŃii sau restricŃii, prezente totdeuna în ingineria

mecanică, adică rezultatul “teoretic” al procesului de optimizare trebuie validat, în final, de considerente tehnologice, de montaj, de transport, de exploatare, estetice, ergonomice, ecologice etc. Câteva se prezintă în continuare (expunerea nu este exhaustivă, ci doar ilustrativă). RestricŃii tehnologice. Orice structură se realizează într-un ansamblu de condiŃii tehnologice existente sau accesibile executantului, care determină unele “adaptări” ale produsului, deoarece fiecare tip de proces tehnologic are avantajele, limitele şi dezavantajele sale. Cele mai importante sunt: - forma structurii, oricât de complicată ar fi, se execută relativ simplu prin turnare. Pentru construcŃii din table şi (sau) profile laminate, asamblate prin sudură, unele forme spaŃiale sunt imposibil sau prea costisitor de realizat. Deci dacă prin procesul de optimizare rezultă o anumită formă a structurii, uneori ea trebuie “sacrificată”, adică modificată, din considerente tehnologice, economice, respectarea unor termene sau de altă natură; - grosimile tablelor şi dimensiunile laminatelor – Ńevi şi profile – sunt standardizate şi au şiruri discrete de valori. Deci dacă, de exemplu, grosimea peretelui unui batiu sau dimensiunile secŃiunii unei bare trebuie să fie variabile, atunci nu pot fi folosite semifabricate laminate standard, deorece este neraŃional şi neeconomic ca o astfel de componentă a structurii să se execute din elemente de mici dimensiuni cu grosimi, sau alte caracteristici, diferite; - execuŃia unei structuri mecanice presupune realizarea unor dispozitive, amenajări tehnologice, “pregătiri ale fabricaŃiei” etc, costurile pe unitatea de produs fiind dependente de volumul producŃiei. CondiŃii de montaj. Structura nu va putea fi acceptată pentru execuŃie, dacă ea nu îndeplineşte condiŃiile de montaj. Toate componentele şi subansamblele structurii trebuie să poată fi executate individual şi apoi asamblate în condiŃiile de precizie, etanşare etc prevăzute în proiect. CondiŃii de transport. Structura în ansamblu, sau componentele sale – dacă structura este de mari dimensiuni – trebuie să fie transportate la beneficiar în condiŃii care să nu afecteze forma geometrică, precizia dimensională sau parametrii funcŃionali ai produsului. În anumite situaŃii aceste considerente pot influenŃa decisiv configuraŃia structurii, soluŃiile constructive sau tehnologice la care va recurge proiectantul. CondiŃii de exploatare. Validarea finală a oricărei activităŃi inginereşi este comportarea în exploatare a produsului, maşinii, dispozitivului sau instalaŃiei care au constituit obiectivul proiectanŃilor, executanŃilor, utilizatorilor, etc. Indiferent ce rezultate oferă procedurile de calcul - inclusiv cele de optimizare – hotărâtore sunt, în luarea deciziilor de finalizare a unui produs, cele privind comportarea în exploatare a acestuia şi anume: siguranŃa tehnică şi umană, valorile parametrilor funcŃionali, fiabilitatea, economicitatea exploatării şi întreŃinerii, funcŃionarea nepoluantă, durata de viaŃă, posibilităŃi de reciclare, costurile dezafectării etc.

Exemplu Pentru a ilustra cât mai simplu şi convingător unele dintre aspectele prezentate, se consideră un exemplu simplu şi anume structura modulară din bare, prezentată în figura 27.3, realizată din Ńeavă Φ30x6 mm. Structura a fost executată prin sudură. Sarcinile sunt precizate în figura 27.3, la care se adaugă şi greutatea proprie. Rezemarea a fost considerată ca încastrări în extremităŃile de jos ale structurii. Modelul de calcul are 20 de noduri şi 44 elemente de tip beam3D (fig. 27.3). În această variantă structura a avut greutatea 2011 N şi deplasarea rezultantă maximă de 3.27 mm (componenta pe direcŃia OX a fost 3.078 mm, pe OY 0.8209 mm şi pe OZ 0.7315 mm), tensiunnea echivalentă maximă Von Mises a avut valoarea 117.7 N/mm2 şi valoarea coeficientului de siguranŃă la flambaj a fost 10.99.

Figura 27.3 În figura 27.4 se prezintă sub formă grafică rezultatele obŃinute şi anume: configuraŃia stării de tensiuni din bare (fig. 27.4.a), forma deformată a structurii la solicitarea statică (fig. 27.4.b) şi forma deformată a structurii la flambaj (fig. 27.4.c).

Figura 27.4 Presupunând că, pentru unele utilizări, este necesar ca structura să aibă o greutate cât mai mică posibil, varianta iniŃială, realizată din bare cu aceeşi secŃiune (Ńeavă Φ30x6 mm), s-a supus unui proces de optimizare, în următorale condiŃii: - s-au considerat şase grupe de elemente, care s-au definit ca în figura 27.5; - pentru fiecare grup de elemente s-au considerat ca variabile de proiectare raza exterioară R a Ńevii şi grosimea h a acesteia, presupunând că raza poate avea variaŃii între 2 şi 50 mm, iar grosimea între 1 şi 10 mm; - funcŃia obiectiv a procesului de optimizare a fost considerată greutatea totală a structurii; - restricŃia procesului de optimizare a fost valoarea de 120 N/mm2 a tensiunii echivalente maxime Von Mises în elementele modelului.

În urma procesului de optimizare, pentru care au fost necesare 34 de iteraŃii pentru a atinge o precizie de 0.1 % a funcŃiei obiectiv, s-au obŃinut pentru secŃiunile celor şase grupe de elemente valorile din tabelul 27.1.

Figura 27.5 Tabelul 27.1

Grupul de

elemente

Mărimea

Rezultatul optimizării

[mm]

Valoarea rotunjită

[mm] R 24.413890 25

1 h 2.844969 3

R 9.944366 10 2 h 3.615509 4

R 9.656780 10 3 h 5.694619 6

R 10.463920 11 4 h 2.576373 3

R 10.568980 11 5 h 3.861062 4

R 9.351484 10 6 h 2.280845 2.5

Deoarece Ńevile trebuie să aibă dimensiuni standardizate, valorile obŃinute pentru R şi h prin calculul de optimizare, au fost rotunjite - prin adaos - şi pentru varianta finală a structurii s-au adoptat valorile din ultima coloană a tabelului 27.1. Alte adaptări ale configuraŃiei finale a structurii pot fi impuse de considerente economice (care includ şi numărul de structuri fabricate), tehnologice, de montaj etc. Greutatea variantei finale a structurii a fost de 855.6 N şi deplasarea rezultantă maximă de 6.56 mm (componenta pe direcŃia OX a fost 6.145 mm, pe direcŃia OY 1.687 mm şi pe direcŃia OZ 1.549 mm), tensiunea echivalentă maximă Von Mises a avut valoarea 99.836 N/mm2 şi valoarea coeficientului de siguranŃă la flambaj a fost 2.268. În figura 27.6 se prezintă sub formă grafică rezultatele obŃinute şi anume: configuraŃia stării de tensiuni din bare (fig. 27.6.a), forma deformată a structurii la solicitarea statică (fig. 27.6.b) şi forma deformată a structurii la flambaj (fig. 27.6.c). Concluzia care se impune este că în urma optimizării, pentru structura modulară considerată, greutatea s-a redus de 2011 / 855.6 = 2.35 ori.

Figura 27.6 Concluzii Tehnicile şi procedurile de optimizare s-au impus – mai ales în ultimul deceniu - ca mijloace şi instrumente inginereşti foarte valoroase şi puternice pentru a realiza structuri eficiente şi competitive. În faza de elaborare a modelului de calcul destinat optimizării trebuie avute în vedere şi aspectele practice, semnalate, care de multe ori sunt dificil de formulat în termeni numerici, cantitativi. Ieşirea din impas se face de către proiectant, tehnolog sau executant pe baza intuiŃiei, creativităŃii sau experienŃei inginereşti. MODELAREA PENTRU ANALIZE LOCALE

GeneralităŃi

Marea majoritate a structurilor care trebuie modelate cu elemente finite în vederea diverselor tipuri de analize sunt predimensionate cu relaŃiile clasice din rezistenŃa materialelor şi proiectate, într-o variantă preliminară, pe baza experienŃelor anterioare, astfel încât să reziste în condiŃii sigure, adică acoperitoare, unui sistem de sarcini şi să îndeplinească un set de condiŃii privind tensiunile, deplasările, greutatea proprie, preŃul de cost etc. Primele modele şi analize cu elemente finite se realizează pornind de la aceste proiecte preliminare. Practica inginerească a arătat că în marea majoritate a situaŃiilor, un bun proiectant, elaborează un proiect care are o comportare globală, de ansamblu, satisfăcătoare. Limitarea fundamentală a calculelor pe care proiectantul le-a efectuat constă în faptul, că, relativ frecvent, pentru diverse aspecte locale ale structurii relaŃiile de calcul clasice sunt prea aproximative (de multe ori empirice) sau lipsesc cu desăvârşire şi în consecinŃă, nu există informaŃii satisfăcătoare despre vârfurile de tensiuni din zonele cu discontinuităŃi geometrice ale structurii, despre joncŃiunile elementelor componente, despre solicitările sudurilor etc.

Dacă factorii de decizie hotărăsc să se realizeze o analiză cu elemente finite, care să ofere o cantitate mai mare de informaŃii asupra comportării structurii în diverse condiŃii, desigur că se au în vedere avantajele MEF, printre care este şi cel privind posibilitatea de a realiza analize locale, relativ precise şi sigure. Se poate afirma, fără riscul de a greşi, că problemele grave ale structurilor sunt locale, de cele mai multe ori. Aceste considerente, desigur, trebuie avute în vedere în practica FEA.

Tipuri de probleme locale

Este practic imposibil să se identifice, să se prezinte şi să se rezolve toate problemele locale care apar în analiza structurilor. Ele sunt de o mare diversitate şi rezolvarea lor este, aproape totdeauna dificilă. Trebuie menŃionat faptul că nu există abordări generale, aplicabile tuturor tipurilor de probleme locale ci pentru fiecare situaŃie concretă trebuie realizată o modelare corespuzătoare. Se poate da o definiŃie generală a unei probleme locale prin interesul deosebit pentru comportarea

structurii într-o zonă sau subspaŃiu de dimensiuni relativ reduse comparativ cu dimensiunile întregii

structuri.

Cele mai frecvente tipuri de probleme locale sunt: discontinuităŃile geometrice, reazemele, zonele cu gradienŃi mari ai tensiunilor, joncŃiunile elementelor componente ale structurii, concentratorii de tensiuni, flambajul local etc.

DiscontinuităŃi geometrice. ConfiguraŃiile geometrice cunoscute ale structurilor sunt cerute de condiŃiile de funcŃionare (fiecare structură trebuie să îndeplinească o funcŃie foarte precisă) şi de posibilităŃile tehnologice de execuŃie (de exemplu, structurile realizate prin sudură au forme specifice - care sunt mult diferite de cele ale structurilor turnate - pentru a putea fi executate economic şi sigur).

Aceste cerinŃe duc adesea la apariŃia unor probleme locale produse de discontinuităŃi ale geometriei structurii ca, de exemplu, reazemele recipientului din figura 16.1. S-a elaborat modelul din figura 16.2, care a avut în vedere doar zona din jurul unuia din cele patru reazeme ale recipientului, adică modelul conŃine doar un sfert din mantaua şi fundul acestuia, delimitatat de planele XOY şi ZOY, axa OY fiind verticală. Mantaua şi fundul au grosimea 14 mm, raza medie a mantalei este 2143 mm, raza calotei sferice a fundului 4307 mm şi raza racordării toroidale a fundului 437 mm. Reazemul este plasat într-un plan care face 450 cu planele XOY şi ZOY, distanŃa centrului său faŃă de centrul recipientului fiind de 1650 mm şi este realizat dintr-o Ńeavă cu raza medie 218.5 m şi grosimea 20 mm şi o placă dreptunghiulară cu dimensiunile 500x820 mm şi grosimea 50 mm. Cele două nervuri laterale au grosimea 20 mm.

Figura 16.1 Figura 16.2

Modelul s-a considerat încastrat în planele XOY şi ZOY şi încărcat cu o forŃă concentrată de 212.13 kN, aplicată în centrul plăcii de bază, pe direcŃia planului nervurilor.

Modelul are 1189 noduri şi 1190 elemente finite patrulatere şi triunghiulare, de tip shell, subŃire. Este de presupus că la intersecŃia piesei de rezemare cu fundul recipientului apare o stare de tensiuni cu gradienŃi relativ mari. Determinarea valorilor maxime ale tensiunilor din această zonă este o problemă locală, pentru care discretizarea în vederea unei analize corecte trebuie făcută corespunzător. Pentru a ilustra importanŃa discretizării locale, din vecinătatea liniei de intersecŃie dintre Ńeava piciorului şi fund, s-au realizat două variante ale discretizării – adică două modele – şi anume cu pas constant, ca în figura 16.3 (model 1) şi cu pas variabil, ca în figura 16.4 (model 2).

Figura 16.3 Figura 16.4

Cele două variante ale discretizării au fost aplicate atât fundului recipientului cât şi Ńevii suportului.

În aceste condiŃii cele două modele diferă între ele doar printr-un parametru geometric al discretizării – pasul – toate celelalte caracteristici ale lor fiind identice: numărul nodurilor, numărul şi tipul elemntelor, condiŃiile de rezemare, sarcina etc.

Pentru a aprecia efectele discretizării menŃionate, în figura 16.5 s-au reprezentat variaŃiile tensiunilor şi deplasărilor din fundul recipientului, pentru cele doă modele. În abscisa diagramelor s-a considerat raza r, a cercurilor utilizate pentru discretizare, măsurată din centrul Ńevii suportului, ca în figurile 16.3 şi 16.4.

Curbele din figura 16.5 au fost obŃinute prin interpolarea valorilor tensiunilor echivalente în noduri şi în elemente şi ale deplasărilor nodale, cu funcŃii spline cubice. Din observarea curbelor din figura 16.5 se constată diferenŃe importante între rezultatele obŃinute cu cele două modele.

Figura 16.5

JoncŃiunile elementelor componente ale structurilor. Uzual structurile industriale trebuie modelate cu elemente finite diferite (bare şi plăci, solide şi bare, elemente axial simetrice) sau cu elemente de acelaşi tip aşa cum s-a prezentat în exemplul precedent, în care, într-un punct sau pe o linie se intersectează mai multe elemente finite, din plane diferite. Dacă se doreşte determinarea precisă a solicitărilor în zonele joncŃiunilor, o modelare de genul celei prezentate anterior poate să fie nesatisfăcătoare. Pentru o analiză mai atentă a joncŃiunilor structurilor se prezintă un nou exemplu.

a. b. Figura 16.6

O Ńeavă sudată de un înveliş sferic (fig. 16.6) este încărcată cu o forŃă distribuită a cărei rezultantă

este F = 1500 N. Ştiind că atât Ńeava cât şi învelişul sunt din oŃel, cu modulul de elasticitate longitudinal E = 2.105 N/mm2 şi coeficientul lui Poisson ν = 0.3, se cere să se determine deplasarea secŃiunii de aplicaŃie a forŃei pe direcŃie orizontală, tensiunile echivalente (von Mises) maxime din secŃiunile A, B, C, D şi tensiunea echivalentă maximă în zona sudurii, pentru r = 2.5 mm. Un analist neexperimentat este pus în situaŃia de a alege un model de calcul, din cel puŃin următoarele variante: model cu elemente de volum (brick sau tetraedre); model cu elemente de suprafaŃă (shell cu trei, patru sau opt noduri); modele combinate cu elemente unidimensionale (BEAM) pentru Ńeavă şi elemente tip shell pentru înveliş; model plan axial simetric cu încărcare armonică (cu elemente shell sau elemente solide: triunghiulare sau patrulatere - vezi capitolul 22); sau modele combinate cu elemente de tip BRICK, SHELL şi BEAM. Înainte de alegerea tipurilor de elemente finite trebuie avute în vedere, pe lângă scopul calculului şi "posibilităŃile" elementelor. În continuare, se prezintă câteva modelări diferite de calcul, însoŃite de discuŃii critice şi rezultatele obŃinute. Model 1. Primul model de calcul la îndemâna utilizatorului este modelul cu elemente de volum. Acest model este intuitiv cel mai simplu, deoarece geometria reală a structurii se discretizează cu elemente hexaedrice cu opt noduri (BRICK8), nu se face nici o aproximare a geometriei în afara faptului că suprafeŃele curbe se aproximează prin plane, iar dacă discretizarea este foarte fină această aproximare este neesenŃială. Din motive de simetrie, modelul cu elemente finite se elaborează pentru un sfert din structură, deoarece planul XY este un plan de simetrie a încărcării, iar planul YZ este un plan de antisimetrie al încărcării. În figura 16.7 se prezintă modelul zonei de îmbinare dintre Ńeavă şi înveliş.

Figura 16.7 Figura 16.8

Model 2. Deoarece grosimile Ńevii şi învelişului sunt relativ mici, în comparaŃie cu dimensiunile structurii, se poate recurge la un model cu elemente SHELL cu patru noduri (SHELL4). Pentru aceasta se are în vedere suprafaŃa mediană a Ńevii de grosime 4 mm şi a învelişului de grosime 5 mm, iar îmbinarea dintre ele rezultă la întersecŃia celor două suprafeŃe mediane. În acest fel se observă că se neglijează detaliile din zona de îmbinare prin sudură, există o suprapunere geometrică între elemente şi se neglijează complet raza de racordare a sudurii r (fig. 16.8). Modelul cu elemente finite se elaborează pentru un sfert din structură, din motive de simetrie. Model 3. łeava, uzual este un element de bară şi pentru modelarea ei se poate folosi elementul de grindă dreptă cu două noduri (BEAM); similar învelişul sferic poate fi modelat cu elemente de tip SHELL. În acest fel se poate recurge la un model cu două tipuri de elemente: BEAM şi SHELL4. Pentru a putea face legătura dintre beam şi shell în zona sudurii, există cel puŃin două variante: fie se modelează învelişul sferic complet, fără gaura de trecere a Ńevii şi în aceste condiŃii există un nod comun care face transferul de forŃe de la Ńeavă la înveliş; fie se modelează învelişul cu gaura de trecere pentru Ńeavă şi apoi între nodul de legătură al Ńevii şi toate nodurile învelişului se întroduce o relaŃie de legătură rigidă acceptând ipoteza secŃiunii plane pentru bară ("constraint equation" - vezi capitolul 13). S-a elaborat modelul din varianta a doua. În figura 16.9.a sunt reprezentate numai elementele din zona joncŃiunii şi a fost aplicat pe întreaga geometrie a structurii, deşi se poate adopta şi un model al unui sfert al acesteia. În figura 16.9.b se prezintă bara şi o porŃiune din înveliş în zona de îmbinare, aşa cum apare acest model în realitate.

a. b. Figura 16.9 Figura 16.10

Model 4. Având la dispoziŃie elemente axial simetrice cu încărcare armonică (vezi cap. 22) această aplicaŃie se pretează foarte bine pentru un model cu astfel de elemente. Se pot alege elemente "plane" de formă patrulateră cu patru sau opt noduri, sau elemente "plane" SHELL cu două sau trei noduri. Aceste din urmă însă nu pot modela "corect" zona sudurii. Discretizarea din zona sudurii se poate face foarte fină, şi cu elemente patrularere cu opt noduri (HARM8), care pot modela foarte bine geometria (fig. 16.10), în special în zona îmbinării sudate. Valorile extreme pentru deplasări şi tensiuni se obŃin pentru °=θ 0 (vezi fig. 16.6b pentru definirea unghiului). Rezultatele cerute se prezintă în tabelele 16.1 şi 16.2, unde se precizează şi numerele de noduri şi elemente ale modelelor de calcul, alături de eroarea procentuală de discretizare (vezi capitolul 13). Tensiunile echivalente din tabelul 16.2 au fost preluate din valorile tensiunilor listate pe elemente. Medierea tensiunilor în noduri prezintă o uşoară variaŃie în special pentru modelele 1 şi 2.

Tabelul 16.1 Modelul Numărul total

de elemente Numărul total

de noduri Eroarea de discretizare a

întregului model [%] Deplasarea pe direcŃia

forŃei [mm] 1 2520 3675 17.71 3.573 2 780 840 35.41 4.043 3 1465 1571 28.09 3.565 4 1502 5103 0.49 3.625

Tabelul 16.2

Tensiunea echivalentă maximă, din elemente, în zonele: [N/mm2] Modelul A B C D Sudură

1 152 361 80 183 514 2 134 357 78 194 564 3 99 370 79 191 633 4 178 392 81 219 609

Deoarece modelul 4 prezintă o eroare globală de discretizare sub 1 %, probabil rezultatele acestui

model sunt cele mai apropiate de rezultatele exacte. Pentru o eventuală comparaŃie a unor modele dezvoltate de cititori, în figura 16.11 se prezintă diagramele de distribuŃie a tuturor tensiunilor în noduri, în sistemul de referinŃă global, din figura 16.6.b, pentru secŃiunea °=θ 0 .

Figura 16.11

Analiza problemei propuse arată că în zona concentratorului din sudură starea de tensiune este

spaŃială şi nu poate fi modelată corect decât cu elemente de volum (brick, tetraedre etc sau axial simetric armonic). Pentru a obŃine rezultate cât mai precise modelul cu elemente de volum trebuie să fie foarte fin discretizat în zona sudurii, conducând la un model de calcul foarte mare. Acest inconvenient este atenuat de folosirea unui model "plan" cu elemente axial simetrice armonice.

În secŃiunea C, toate modelele conduc către aproximativ acelaşi rezultat. Acesta poate fi obŃinut şi pe cale analitică, considerând Ńeava o bară încărcată cu momentul M=1500×200=300000 Nmm, care conduce la o tensiune axială maximă de circa 81 N/mm2.

Similar, ca mai sus, în ipoteza de bară tensiunea axială în secŃiunea A rezultă circa 98 N/mm2, valoare total greşită, deoarece efectul tensiunilor din îmbinarea Ńeavă - înveliş se propagă în lungul Ńevii şi este foarte pronunŃat, aşa cum se observă în figura 6.12, care prezintă variaŃia tensiunii axiale pe linia exterioară a tevii din capătul liber până în secŃiunea A.

Figura 16.12 Figura 16.13

În secŃiunile B şi D nu sunt diferenŃe foarte mari între valorile tensiunilor obŃinute pentru cele patru

modele (vezi tab. 12.6). Acestea provin fie din discretizarea grosieră a modelului cu elemente hexaedrice, fie din reprezentarea aproximativă a elementelor SHELL, care nu preiau corespunzător efectele de forfecare, semnificative pentru această problemă.

În figura 16.13 se prezintă (pentru modelul 4) distribuŃia tensiunii echivalente (von Mises) în zona îmbinării sudate a Ńevii cu învelişul. Se obsevă că tensiunea echivalentă maximă este inferioară tensiunii maxime în lungul axei X. ExplicaŃia constă în faptul că starea spaŃială de tensiune este periculoasă atunci când tensiunile principale sunt de semne diferite. Starea de compresiune hidrostatică, de exemplu, conduce la tensiuni echivalente nule, deoarece nu modifică forma elementului de volum considerat. Concentratorii de tensiuni. De cele mai multe ori concentratorii de tensiuni (orificii, îngustări, canale, etc) din structuri se neglijează. Uneori, aceştia se includ în model dar discretizările din jurul lor nu pot "prinde" valorile maxime ale tensiunilor. Din aceste motive, de obicei, analiza concentratorilor de tensiuni se face într-o etapă secundară. Cel mai des utilizată este tehnica submodelării, dacă studiul concentratorilor se face printr-o analiză cu elemente finite, sau se apelează la tabele cu concentratori de tensiuni, dacă aceştia se încadrează în anumite ipoteze. Spre a evidenŃia aspectele şi implicaŃiile submodelării, se pezintă în continuare câteva exemple simple, mai mult cu caracter metodologic şi mai puŃin izvorâte din necesitatea practică de a rezolva unele probleme industriale. Exemplul 1. Pentru obŃinerea tensiunilor maxime din zona orificiului circular al plăcii subŃiri (stare

plană de tensiuni) din figura 16.14.a, se realizează o primă discretizare cu elemente patrulatere Q6

(eventual triunghiulare), ca în figura 16.14.b. Modelul se consideră pentru un sfert de structură, din

motive de simetrie. Se precizează: modulul de elasticitate longitudinal E = 5102 ⋅ N/mm2, coeficientul

contracŃiei transversale 3.0=ν şi grosimea t = 1 mm.

Apoi se consideră o parte din zona concentratorului (domeniul de rază R = 20 mm, marcat înegrit în figura 16.14.b) care constituie submodelul. Rezultatele obŃinute pentru deplasări nodale şi forŃe

echivalente din nodurile conturului care mărginesc submodelul (fig. 16.14.c), sunt trecute în tabelul 16.3. Aceste deplasări constituie încărcările submodelului discretizat mai fin ca în figura 16.14.c. CondiŃiile de simetrie (deplasări nule în axele de simetrie) se consideră şi pentru submodel, aşa cum este normal.

a. b. c.

Figura 16.14

Tabelul 16.3

Deplasarea [mm] ForŃele nodale "echivalente" [N] Nodul UX UY FX FY

1 0.011652 0 334.02 - 2 0 -0.0038509 - 25.514 3 0.010563 -0.00097524 648.63 -54.533 4 0.0076785 -0.0021930 548.68 -43.930 5 0.0039827 -0.0033477 333.03 17.486

Dacă tipul elementului finit considerat iniŃial se schimbă în Q4, rezultatele obŃinute sunt trecute în tabelul 16.4.

Tabelul 16.4

Deplasarea [mm] ForŃele nodale "echivalente" [N] Nodul UX UY FX FY

1 0.011571 0 333.78 - 2 0 -0.0038040 - 24.741 3 0.010484 -0.00098173 644.51 -52.424 4 0.0077009 -0.0021885 554.91 -44.927 5 0.0039869 -0.0033133 332.05 16.855

ForŃele nodale echivalente în nodurile de contur ale submodelului se obŃin din însumarea forŃelor nodale ale elementelor adiacente conturului, care nu aparŃin submodelului considerat. Pentru cele două tipuri de elemente, Q6 şi Q4, valorile maxime ale tensiunii normale pe directia X sunt prezentate în tabelul 16.5, atât pentru modelul iniŃial, discretizat mai puŃin fin, cât şi pentru submodelul încărcat o dată cu deplasările impuse şi a doua oară cu forŃele impuse, pe nodurile de contur. În tabel se prezintă şi valoarea procentuală a erorii de discretizare E.

Tabelul 16.5 Submodel

Modelul iniŃial Deplasări impuse ForŃe impuse

Tipul elementului Q4 Q6 Q4 Q6 Q4 Q6 maxxσ [N/mm2] 272.68 259.63 296.26 293.99 303.67 299.83

E [%] 4.13 3.97 8.88 8.69 9.11 8.91 Se observă o bună concordanŃă între rezultatele analizei cu utlizarea submodelării, obŃinute prin deplasări impuse sau forŃe impuse pe conturul submodelului şi o creştere vizibilă a valorilor tensiunilor

maxxσ faŃă de cele obŃinute pe modelul iniŃial de calcul. Între cele două tipuri de elemente folosite

pentru modelare nu există diferenŃe remarcabile ale rezultatelor, deoarece solicitarea predominantă este de întindere şi ambele elemente finite considerate lucrează bine pentru acest tip de solicitare. Totuşi se observă că rezultatele obŃinute prin impunerea pe conturul (frontiera) submodelului a forŃelor, conduce la o precizie mai mare decât prin impunerea deplasărilor, având în vedere că pentru acest concentrator tensiunea maximă (din calcul analitic) este 303.5 N/mm2. Exemplul 2. Placa subŃire din figura 16.15.a are un orificiu circular care introduce un efect de

concentrare a tensiunilor. Dacă se consideră modulul de elasticitate longitudinal E = 5102 ⋅ N/mm

2,

coeficientul contracŃiei transversale 3.0=ν şi grosimea t = 1 mm, se cere să se găsească tensiunea

maximă pe direcŃia X în zona concentratorului.

Pentru început s-a realizat o discretizare cu elemente Q6 (fig. 16.15.b) şi s-a pus în evidenŃă submodelul din zona concentratorului, care este un pătrat de latură 40 mm. În urma analizei acestui prim model au rezultat deplasările şi forŃele echivalente ale nodurilor de pe frontiera submodelului (fig. 16.15.c) care se dau în tabelul 16.6.

Apoi, submodelul s-a discretizat mai fin şi s-au considerat două variante de încărcare: cu impunerea deplasării nodurilor de pe frontieră şi cu impunerea forŃelor echivalente obŃinute pentru modelul iniŃial. Al doilea caz conduce către matricea de rigiditate singulară şi pentru a rezolva problema se impune preluarea mişcării de corp rigid prin fixarea arbitrară a unor noduri (se impun trei blocaje, de exemplu un nod se fixează complet şi altul se blochează pe o direcŃie). ReacŃiunile din aceste noduri trebuie să fie nule, deoarece submodelul este în echilibru. PrezenŃa unor reacŃiuni considerabile (în afara celor produse de erorile de trunchiere inerente în faza de preluare forŃelor din modelul iniŃial), trădează prezenŃa unor erori de modelare generate de utilizator.

a. b. c. Figura 16.15

Tabelul 16.6

Deplasarea [mm] ForŃele nodale "echivalente" [N] Nodul UX UY FX FY

3 0.058894 -0.12914 1326.1 -0.58918 5 0.086946 -0.13191 863.10 -39.187 8 0.077055 -0.10491 0 0

10 0.067288 -0.080422 -850.28 -28.092 13 0.043766 -0.077722 -1303.1 18.493 16 0.030280 -0.12631 479.70 107.02 19 0.025752 -0.10061 26.817 -85.829 23 0.020248 -0.075884 -542.37 28.180

Rezultatele tensiunii maxime normale pe direcŃia X, obŃinută din analiza modelului iniŃial şi a submodelului, în cele două variante de încărcare, se prezintă în tabelul 16.7. Pentru a avea rezultate de referinŃă, s-a recurs la analiza unui model al întregii plăci, discretizat foarte fin, care completează rezultatele din tabelul menŃionat: de asemenea, se precizează valoarea procentuală a erorii de

discontinuitate a tensiunilor E. Se observă din nou că submodelarea cu impunerea forŃelor, conduce la rezultate mai precise decât cea cu impunerea deplasărilor.

Tabelul 16.7 Submodelare Modelul iniŃial

Deplasări impuse ForŃe impuse Model discretizat

foarte fin maxxσ [N/mm2] 129.1 204.7 215.1 225.4

E [%] 28.18 10.58 10.56 2.20 Concluzii

1. Tehnica submodelării, în care se consideră că distribuŃia deplasărilor din zona conturului submodelului nu se modifică esenŃial cu modificarea discretizării, este în general aplicabilă pentru submodelele care sunt în vecinătatea unor zone pentru care deplasările sunt estimate cu o precizie foarte bună, de genul exemplului 1, sau pentru structuri "corect" modelate cu bare şi grinzi în prima etapă a modelării, având în vedere că elementele de tip bară pot conduce la rezultate foarte precise în deplasări, urmând ca submodelul să fie modelat cu elemente de solid;

2. Tehnica submodelării cu forŃe impuse pe frontiera submodelului, conduce în general la rezultate superioare, deoarece echilibrul static al submodelului nu este perturbat, forŃele echivalente de încărcare în noduri fiind destul de corect estimate folosind MEF si chiar, mai mult, se pot folosi şi alte programe pentru estimarea lor;

3. Tehnica submodelării, cu impunerea forŃelor drept încărcări, se poate aplica, de fapt, pentru analiza oricărei structuri care face parte dintr-un ansamblu care nu se poate analiza ca întreg, dar termenul de submodelare se foloseşte în MEF aşa cum a fost definit în capitolul 12. În sprijinul afirmaŃiilor de mai sus, se prezintă în tabelul 16.8 valorile deplasărilor corespunzătoare nodurilor de pe frontiera ale submodelului, obŃinute din analiza modelului discretizat fin, precum şi reacŃiunile produse de deplasările impuse submodelului considerat. În mod normal aceste reacŃiuni ar trebui să fie egale cu forŃele nodale echivalente din tabeleul 16.6. DiferenŃa între deplasările nodale obŃinute pentru un model discretizat fin (tabelul 16.8) şi unul discretizat grosier (tabelul 16.6) poate fi semnificativă, aşa cum se întâmplă şi pentru exemplul 2. În aceste condiŃii, analiza prin submodelare cu impunerea deplasărilor în nodurile conturului se recomandă a fi evitată.

Tabelul 16.8 Deplasări obŃinute dintr-un model

discretizat foate fin [mm] ReacŃiuni la deplasările impuse din

tabelul 16.6 [N]

Nodul DX DY FX FY

3 0.061914 -0.13541 1274.0 15.637 5 0.091182 -0.13781 847.57 -42.984 8 0.080673 -0.11065 0.55601 14.106

10 0.070161 -0.084255 -834.84 -28.194 13 0.045875 -0.081857 -1256.0 26.920 16 0.030876 -0.13388 471.52 93.074 19 0.027116 -0.10488 19.726 -101.01 23 0.023355 -0.080325 -522.50 22.452

Bibliografie 1. Eschenauer H., Koski J., Osyczka A., Multicriteria Design Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

2. Constantinescu I., Sorohan Şt., Local Modeling For Stress Analysis Using Finite Element Method, The 9-th International Symposium on Experimental Stress Analysis and Material Testing,

Bucureşti - ConstanŃa, pag. 122-127, 2002.