C12-Aproximarea functiilor_5.pdf

Cursul 12

Aproximarea funciilor

APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE

Cea mai bun aproximare ntr-un spaiu prehilbertian. Definire i caracterizare

Un spaiu prehilbertian este un dublet (F,u) n care F este un spaiu vectorial cu scalari n corpul R(sau C), iar u un produs scalar, adic o aplicaie: u:F x F R (f1,f2)

cu f1, f2 F, avnd proprietile linearitate = + , =c., comutativitate = definire pozitiv 0 nesingularitate = 0f = 0


F=R3 =3i=1 xiyi

F=C([a,b]) =

Fie F un spaiu prehilbertian i G F un

subspaiu al su de dimensiune finit, i.e. avnd

un numr finit de elemente liniar independente.

Definim norma unui element fF prin

Cel mai bun aproximant n sensul celor mai mici ptrate a unui element fF n subspaiul G este

un element g cu proprietatea

Teorema 1 Condiia necesar i suficient ca g*G s fie cel mai bun aproximant a lui fF

este ca =0, gG.

dttwtgtfb

a

f,ff

gfmingfGg


Teorema 2 Cea mai bun aproximare n sensul celor mai mici ptrate g*G a lui fF este

unic.

Pentru o baz, u1,,un din G (i.e. pentru un set

minimal de elemente liniar independente), un element oarecare gG i cel mai bun aproximant

se exprim ca

n

0k

kk

n

0k

kk ucg,ucg

0u,gfcuc,gfg,gf j

n

0j

j

n

0j

jj

n:0j,0u,gf j*

jj

*u,fu,g


Sistemul poart numele de sistem normal

j

n

1k

jk

*

k u,fu,uc

n:0j,u,fcu,u jk

n

1k

jk

n

*

nnn

*

2n1

*

1n0

1

*

n1n

*

211

*

110

0

*

n0n

*

101

*

000

u,fcu,ucu,ucu,u

u,fcu,ucu,ucu,u

u,fcu,ucu,ucu,u


Sistemul normal este simetric (produsele scalare

fiind comutative, n general) i ru condiionat.

Determinantul sistemului poart numele de

determinant Gram.

Intruct rezolvarea direct a sistemului prezint

dificulti, se prefer aducerea la forme particulare;

astfel pentru o baz ortonormat sistemul normal devine diagonal. Componentele bazei ck*, n

acest caz, se numesc coeficieni Fourier i au

forma

nn0n

n000

n0

u,uu,u

u,uu,u

u,,uG


ck*=, k=0:n.

Calitatea aproximrii se evalueaz prin distana

Pentru o baz ortonormat se obine forma

simplificat

f,gf,f

g,gff,gfgf,gfgf

*

0

*****2

*

k

n

1k

*

k

22*u,fcfgf

n

0k

2*

k

22*cfgf

Aproximarea continu n sensul cmmp

In aproximarea continu n sensul celor mai mici

ptrate se alege produsul scalar de forma

unde w(x)>0 este o funcie de ponderare, definit

pe (a,b) aleas adecvat scopurilor aproximrii.

Aproximarea continu n sensul celor mai mici ptrate g*(x) a lui f(x) pe C([a,b]) este

definit prin

dxxgxfxwg,fb

a

b

a

2dxxfxwf


Considernd o baz u={u0,,un} pentru G i

scriind minimul este obinut pentru

Aceste ecuaii sunt echivalente cu cele obinute

din teorema de caracterizare. Concret, trebuie

satisfcut condiia de ortogonalitate

E

b

a

2

Gg

E

b

a

2dxxgxfxwmindxxgxfxw

n

0k

kkucg

n:0ipentru0c

E

i

0dxxgxgxfxwb

a


Alegem baza polinomial, cu dim G=n+1, i notm pentru comoditate indicii ncepnd de la 0

u0(x)=1, u1(x)=x,,un(x)=xn,

Sistemul normal obinut pentru aproximarea continu n sensul celor mai mici ptrate este

Baza polinomial nu este ortonormat; sistemul normal, pentru w(x)=1 este un sistem Hilbert, foarte ru condiionat.

Pornind de la o baz oarecare u0,u1,,un, se poate trece la o baz ortonormat

n:0j,dxxuxfxwdxxuxuxwc j

b

a

jk

b

a

n

0k

*

k

n:0j,dxxxfxwdxxxwc jb

a

jk

b

a

n

0k

*

k


v0,v1,,vn, folosind algoritmul de ortogonalizare

Gram-Schmidt

Pentru F=Rn, cu produsul scalar

,w

wv,uw

0

0

000

,w

wv,vv,uuw

1

1

100111

n:1m,w

wv,vv,uuw

m

m

mp

1m

0p

pmmm

yxyxy,xT

n

1k

kk

Aproximare continu trigonometric n sens cmmp

Spaiul G este generat de cele 2n+1 componente

ale bazei trigonometric

pentru orice funcie fC([-1,1])

)nxcos()nxsin()xcos()xsin(2

1

2

0

qrrqrq1

rq0dx)x(u)x(u

1

1dx2

1

2

11u,u

2

0

00

2

0

2

0

2

1q21q2 dxqx2cos12

1dxqxsin

1u,u


1q2

qx2sin

2

11

2

0

2

0

2

0

2

q2q2 dxqx2cos12

1dxqxcos

1u,u

1q2

qx2sin

2

11

2

0

2

0

1q20 0dxqxsin2

11u,u

2

0

q20 0dxqxcos2

11u,u

2

0

1r21q2 0dxrxsinqxsin1

u,u


2

0

r2q2 0dxrxcosqxcos1

u,u

2

0

r21q2 0dxrxcosqxsin1

u,u

n2

1

0

n

1

0

n2p2n21n20

1n21110

0n20100

u,f

u,f

u,f

a

b

a

u,uu,uu,u

u,uu,uu,u

u,uu,uu,u

2

0

00 dxxf2

1u,fa


2

0

1 dxxsinxf1

b

2

0

1 dxxcosxf1

a

2

0

p dxpxsinxf1

b

2

0

p dxpxcosxf1

a

)pxsinbpxcosa(2

ag p

n

1p

p

0

Aproximare continu Cebev n sensul cmmp.

Spaiul G este generat de cele n+1 componente

ale bazei Cebev

Baza este ortogonal n raport cu produsul scalar:

xT,,xT,2

1n1

1

12

rq

.0rq

,0rq2

,rq0

x1

dxxTxT

xTaxTa2

axp nn11

0*

n

1

12

0 dxx1

xf

2

1a

Aproximare discret n sensul cmmp.

In aproximarea discret n sensul celor mai mici ptrate, funcia fF=C([a,b]) este cunoscut

pe un suport finit dat de punctele x0,x1,,xn prin

valorile ei f(x0),f(x1),,f(xn) i se dorete a

fi aproximat optimal n sensul celor mai mici

ptrate printr-o funcie gGF, cunoscut prin valorile sale g(x0),g(x1),,g(xn) n aceleai

puncte.

Subspaiul G de dimensiune n+1, este generat de

elementele liniar independente u(x0),u(x1),,u(xn) din F.

1

12

p

p dxx1

xTxf2a


innd seama de faptul c funciile f i g se

cunosc numai n punctele x0,x1,,xn, produsul

scalar i norma vor fi definite pe spaiul vectorilor valorilor funciilor din C([a,b]) n punctele

menionate prin

Problema aproximrii discrete n sensul celor mai

mici ptrate este de a gsi funcia i.e. coeficienii ck

*, k=0:n astfel nct

ii

p

0i

i xgxfxwg,f

n

0i

i

2

i xfxwf

n

0k

k

*

k

*xucxg

xgxfminxgxfGg

*


n aceste condiii aproximarea discret n sensul

celor mai mici ptrate exist i este unic.

Un sistem de funcii ortonormate discret satisface

condiiile

Teorema de caracterizare

conduce la sistemul normal

n

0i

ikiji ,n:0k,j,kjpentru,0xuxuxw

1xuxw i2

ji

n

0i

0xgxgxfxw iiin

0i

i

n:0j,xuxfxwxuxuxwc ijin

0i

iijik

n

0i

i

n

0k

*

k


Pentru un sistem de ecuaii normale diagonal

coeficienii Fourier sunt

iar calitatea aproximrii este dat de

Sistemul normal obinut folosind baza polinomial

are forma

n:0k,xuxfxwc ikin

0i

ik

n

0k

2

ki

2n

0i

i

2n

0i

n

0k

ikkii cxfxwxucxfxw

n:0j,xxfxwxxwc jiin

0i

i

jk

i

n

0i

i

n

0k

*

k

Aproximare discret trigonometric n sens cmmp.

este ortogonal n raport cu produsul scalar discret

n care suportul interpolrii este constituit din punctele echidistante din intervalul [0,2]

Coeficienii polinomului minimal de aproximare

discret trigonometric n sensul celor mai mici ptrate

rezult din sistemul diagonal Gram

)x1ncos(),x1nsin(),xcos(),xsin(,2

1

1p2:0r,q,rq,n

rq,0xuxu kr

1n2

0k

kq

1n2:0k,n

kxk

Aproximare discret trigonometric n sens cmmp.

Aproximarea discret Cebev n sensul cmmp

este ortogonal n raport cu produsul scalar discret

1n2

0k

0n

kf

2

1

2

1,fa

1n2

0k

j jn

ksin

n

kfpxsin,fb

.1n:1j,jn

kcos

n

kfjxcos,fa

1n2

0k

j

)x(T,),x(T,2

1n1

n

0k

krkq n:0r,q,rq,2

1nrq,0

xuxu

Aproximare discret Cebev n sensul cmmp.

Punctele xk de pe suportul interpolrii sunt

rdcinile polinomului Tn+1(xk)=0,

Facem substituia

n:0k,2n2

1k2cosxk

2n2

1k2cosx k

n

0k

n

0k

kkkrkq rcosqcosxTxT

n

0k

kk rqcosrqcos2

1

)x(Ta)x(Ta2

a)x(p nn11

0

n

0k

k0

n

0k

k00 f1n

2a,f

2

1u,fa

2

1n

Polinoame ortogonale

Polinoame ortogonale Un ir de funcii {pi(x)}iN este ortonormat, dac

=0, ij

||pi||2=1

Dac irul {ui} este liniar independent, atunci exist

un ir ortonormat {vi} format din combinaii liniare

de elemente ale lui {ui} astfel nct subspaiul liniar

generat de u0,u1,,ui coincide cu subspaiul liniar

generat de v0,v1,,vi.

nlocuind irul {ui} prin irul de polinoame

1, x, x2,,xn

n

0k

kjkj

n

0k

kjkjj xTf1n

2a,xTfu,fa

2

1n


se obine un ir de polinoame ortogonale corespunztor irului {wi} p0, p1,,pn p0=1

O familie de polinoame ortogonale se definete n mod unic n raport cu un interval [a,b] i o funcie

pondere w(x).

Anumite produse scalare satisfac relaia de simetrie

= situaie n care:

p0(x)=1, p1(x)=x-0

pk+1(x)=(x-k)pk(x)-kpk-1(x), k=1:n-1

1i

0j

j2

j

j

i

i

i pp

p,xxp


Pentru un polinom ortonormat

avem relaia de recuren

dac polinomul este numai ortogonal, fr a fi

ortonormat, atunci relaia de recuren este

,1n:0k,p

p,xp

2

k

kk

k

.1n:1k,p

p

2

1k

2

k

k

n

0j

j

njn0

1n

n,1n

n

nnn xaaxaxaxp

0xpa

axpx

a

a

a

axp

a

a1n

n,n

1n,1n

n

1n,1n

1n,n

n,n

n,1n

1n

1n,1n

n,n


Polinoamele ortogonale mai des utilizate Cebev,

Legendre, Laguerre i Hermite

Cebev Tn+1-2xTn+Tn-1=0,T0=1,T1=x

Legendre (n+1)Ln+1-(2n+1)xLn+nLn-1=0, L0=1,

L1=x

Laguerre Gn+1-(2n+1-x)Gn+n2Gn-1=0, G0=1,G1=1-x

Hermite Hn+1-2xHn+2nHn-1=0, H0=1, H1=2x

0xpp

p

a

axpx

a

a

a

axp

a

a1n2

1n

2

n

n,n

1n,1n

n

1n,1n

1n,n

n,n

n,1n

1n

1n,1n

n,n


Proprieti polinoame ortogonale

1. un polinom ortogonal are rdcini reale, distincte

situate n intervalul

2. un polinom ortogonal prezint proprietatea de

ortogonalitate n raport cu orice polinom

(neortogonal) cu grad mai mic dect el

=0, k=0:n-1, n particular qk=xk, unde

produsul scalar, prin ponderea w i intervalul [a,b]

individualizeaz un anumit polinom ortogonal.

3. rdcinile polinomului pn(x) determin intervale

de separare pentru rdcinile polinomului pn-1(x)

k

0j

j

nj

k

0j

j

jnkn x,paxa,pp,p0


Dac x1n,x2n,,xnn sunt rdcinile lui pn(x) i

x1,n-1,x2,n-1 ,,xn-1,n-1 - rdcinile lui pn-1(x),

ambele ordonate cresctor, atunci

x1n < x1,n-1,

xnn > xn-1,n-1,

xi-1,n-1 < xi,n < xi-1,n, 1


impunnd variaia semnului polinomului la capetele

intervalului de separare a rdcinii

pn(x1,n-1).pn() < 0,

pn(xn-1,n-1).pn() < 0.

O rdcin separat ntr-un interval poate fi

localizat prin bisecie (njumtirea intervalului).

4. minimul integralei este

realizat de ctre polinomul ortogonal pn(x), definit

n mod unic de ponderea w(x) i de intervalul

[a,b]

dxxqxwmin 2n

b

aq nn


Descompunem polinomul qn(x) dup baza

reprezentat de polinoamele ortogonale p0(x),p1(x),,pn(x)

qn(x)=pn(x)+n-1pn-1(x)++ 0p0(x)

Termenii de forma

dispar, datorit ortogonalitii. Se observ c minimul integralei se obine pentru toi i=0, ceea

ce conduce la qn(x)=pn(x).

Polinoamele ortogonale pot fi obinute i folosind relaia lui Rodrigues

dxxpxwdxxpxwdxxqxw i2

i

1n

0i

b

a

2

n

b

a

2

n

b

a

dxxpxpxw2 jiji

b

a


n care Kn este o constant, iar funcia Gn(x),

specific unui anumit polinom ortogonal verific

condiiile

Gn(a)=Gn(a)=Gn

(a)==Gn(n-1)(a)=0

Gn(b)=Gn(b)=Gn

(b)==Gn(n-1)(b)=0

Pentru polinoamele ortogonale uzuale, funcia Gn(x)

este:

Cebev ordin 1

Cebev ordin 2

Legendre

xGdx

d

xw

Kxp nn

n

n

n

2

n2

x1

x1

2n2 x1x1 n2 1x


Laguerre: xne-x

Hermite:

Formula lui Rodrigues, pentru polinoamele ortogonale

Cebev ordin 1:

Cebev ordin 2:

Legendre:

Laguerre:

Hermite:

2x

e

2

n2

n

n

n

2

n

x1

x1

dx

d

2

1n2

x11

2n2

n

n

21n

nx1x1

dx

d

x1

1

2

3n2

1n1

n2n

n

n

nx1

dx

d

!n2

11

xnn

n

xex

dx

de

!n

1

22 xn

n

xne

dx

de1

Date post:	05-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	vi7er
View:	45 times
Download:	0 times

C12-Aproximarea functiilor_5.pdf

Documents